ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ SEIR ส าหรับ ...webportal.pkru.ac.th/data_journals/f757b399e9ebe3f8d217f...จากสมการข างต

วารสารวชาการมหาวทยาลยราชภฏภเกต

ปท 13 ฉบบท 2 กรกฎาคม – ธนวาคม 2560

254

ตวแบบเชงคณตศาสตร SEIR ส าหรบการควบคมการแพรระบาด ของโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความร

A Mathematical Model SEIR for Controlling the Spread of Chickenpox by Education Campaign

อนวตร จรวฒนพาณช1, อนรกษ วระประเสรฐสกล2

สดาทพย หาญเชงชย2, จฬาลกษณ ใจออน2

Anuwat Jirawatphanit1, Anurak Veeraprasertsakul2 Sudatip Hanchengchai2, Julaluk Jai-oon2

บทคดยอ

การวจยครงนมวตถประสงคเพอพฒนาและวเคราะหเสถยรภาพของตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการรณรงค ใหความร วเคราะหตวแบบโดยใชวธมาตรฐาน ศกษาจดสมดล ศกษาเสถยรภาพของจดสมดล หาค าตอบเชงวเคราะห ศกษาประสทธภาพของการรณรงคใหความร ( ) ในตวแบบเชงคณตศาสตรและหาค าตอบเชงตวเลข

ผลการวเคราะหตวแบบเชงคณตศาสตรพบวา ณ จดสมดลไม ม โรค เมอประสทธภาพการรณรงคใหความร (=0.5) มคาระดบการตดเชอ (

0R ) เทากบ 0.914 และ ณ จดสมดลท มโรคเมอประสทธภาพการรณรงคใหความร (=0) มคาระดบการตดเชอ (

0R ) เทากบ 1.827 และประสทธภาพของการรณรงคใหความรเปนปจจยทมผลตอตวแบบเชงคณตศาสตร ถาประชากรทเสยงตอการตดเชอมความรเกยวกบการปองกนโรคอสกอใสและปฏบตตามสมมตฐานทตงไวมากขนจะสงผลใหการแพรระบาดของโรคลดลงจนไมมการแพรระบาดของโรค

1 อาจารยสาขาวชาคณตศาสตรและสถต คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฎภเกต 2 อาจารยสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฎภเกต



255

ค าส าคญ : ตวแบบเชงคณตศาสตร, โรคอสกอใส, การควบคมการแพรระบาดของโรค, การรณรงคใหความร

Abstract

The objective of this research is to develop and evaluate stability of mathematical modeling for controlling the spread of Chickenpox on Education Campaign. The model is analyzed using standard methods, the equilibrium point, stability of the equilibrium points and analytic solutions. The effectiveness of Education Campaign ( ) in mathematical modeling and numerical solutions is studied.

The analysis model found that the stability of equilibrium points when the effectiveness of Education Campaign 0.5 , have basic reproductive number 0R =0.914, and the effectiveness of Education Campaign 0 , the disease endemic equilibrium

0R =1.827. The effectiveness of Education Campaign is the factor affecting to the mathematical modeling. If the risk of infection’s population has Education Campaign and follow hypothesis increase then the spread of Chickenpox decreased until no epidemic. Keyword : Mathematical model, Chickenpox, Control the spread, Education Campaign บทน า

คณตศาสตรไดเขามามบทบาทเกยวของในการด ารงชวตของมนษย สามารถน ามาประยกตใชไดหลากหลาย โดยเฉพาะทางการแพทย คณตศาสตรสามารถประยกต ใชเพอจ าลองการเกดโรคและการควบคมโรคตางๆ รวมทง



256

เปนเครองมอชวยท าความเขาใจเกยวกบสขภาพหลายๆ ดาน อาท สภาพแวดลอม ทท าใหเกดโรคตางๆ การปองกนโรค การทดสอบปรมาณยา เปนตน ปจจบน การเปลยนแปลงของสภาพภมอากาศ สงแวดลอมเปนสาเหตใหเกดโรคทตดตอไดงาย มการแพ รระบาดอยางรวดเรวสงผลตอสขภาพท าใหมนษ ย เสย ชวตได งาย ดงนนจ าเปนตองอาศยเครองมอทางคณตศาสตรและวทยาศาสตรมาประยกตใชแกปญหาชวยใหมนษยมคณภาพชวตทดขน (ธรวฒน นาคะบตร, 2546) จากการศกษาตวแบบเชงคณตศาสตรแสดงใหเหนถงบทบาทและประโยชนของตวแบบเชงคณตศาสตรทมสวนชวยในการแกวกฤตการณทก าลงเกดขนจากโรคภยตางๆ โดยจะจ าลองประชากรทเสยงตอการตดเชอ ตวเชอโรค ตวพาหะน าโรค และผตดเชอ โดยแปลงขอมลใหอยในรปสมการทางคณตศาสตร เพออธบายลกษณะการระบาดและการด าเนนของโรคโดยทผวจยไมจ าเปนตองไปศกษากบมนษยโดยตรงซงอาจเกดอนตรายตอชวตของผ วจยและผ ปวยได อกทงยงชวยลดงบประมาณส าหรบการหามาตรการการปองกนและการรกษาโรคตามความตองการทแทจรงไดอยางรวดเรวและเหมาะสมมากทสด (Bureau of Epidemiology, 2016)

โรคอสกอใสมลกษณะอาการเปนผนแดงราบ ตมใส ตมหนอง กระจายตามหนา ล าตว และแผนหลง และมไข เกดจากเชอไวรสทมชอวา ไวรสวารเซลลา (Varicella virus) หรอ Human herpes virus type 3 เปนเชอไวรสชนดเดยวกบทท าใหเกดงสวด ตดตอโดยการสมผสถกตมน าโดยตรงหรอสมผสถกของใช เชน แกวน า ผาเชดหนา ผาเชดตว ผาหม ทนอน เปนตน ทเปอนถกตมน าของคนทเปนอสกอใสหรองสวดหรอ สดหายใจเอาละอองของตมน าผานเขาทางเยอเมอก ระยะฟกตว 10-20 วน ในรายทเปนงสวดสามารถตดตอในรปแบบของอสกอใสไดโดยเฉพาะมารดาทใหนมบตร (อภชาต ศวยาธร, 2550)

อาการของโรคมกจะมไขสง มอาการปวดเมอยตามเนอตวคลายไขหวด ขณะเดยวกนจะมผนขนพรอมๆ กบวนทเรมมไขหรอ 1 วนหลงมไขโดยในระยะแรกจะขนเปนผนแดงราบกอน ตอมาจะกลายเปนตมนน มน าใสๆ และคน ตอมาอก 2-3 วนจะตกสะเกด ผนและตมเหลานจะขนตามไรผมกอนแลวกระจายไปตามใบหนาล าตว และ



257

แผนหลง บางคนจะมตมขนในชองปากท าใหปากและลนเปอย จะเกดอาการเจบคอ บางคนอาจไมมไข มเพยงผนและตมขนเทานน เดกวยรนและผ ใหญมกจะมอาการรนแรงและมตมขนมากกวาเดก โดยทวไปผนจะหายไดโดยไมมแผลเปน โรคนเมอหายแลวมกจะมเชอหลบซอนอยทปมประสาท ซงอาจจะออกมาเปนงสวดในภายหลงได (ส านกระบาดวทยา, 2559)

จากการศกษาตวแบบเชงคณตศาสตรการแพรระบาดของโรคอสกอใส ท าใหทราบผลลพธจากตวแบบและการแพรระบาดของโรคชวยใหผวจยเขาใจถงปจจยทสามารถควบคมการแพรระบาดของโรคได รวมทงมความเขาใจทถกตองเกยวกบ การตดตอของโรค นอกจากนนจดเดนของตวแบบเชงคณตศาสตรยงสามารถปรบเปลยนลกษณะเฉพาะของโรคระบาดและคาพารามเตอรตางๆทเกยวของกบโรคได ซงในขนตอนการวเคราะหขอมลนน ตวแบบเชงคณตศาสตรจะชวยใหเขาใจววฒนาการของการแพรระบาดและเขาใจถงมาตรการควบคมโรค (Kribs-Zaleta and Valesco-Hernández, 2000) ดงนนผลลพธทไดของการศกษานจะเปนประโยชน อยางสงในการลดความเสยงของการตดเชออสกอใสและการควบคมโรคอสกอใส การวจยในครงนผ วจยไดพฒนาตวแบบเชงคณตศาสตรจากงานวจยเรองแบบจ าลองการระบาดของโรคอสกอใสในประเทศไทยของอรวรรณ ตนสยและพนธน พงศสมพนธ (2556) โดยเพมปจจยการศกษาเกยวกบประสทธภาพการรณรงคใหความรเปนมาตรการควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใส (JantrapronSukawat and Surapol Naowarat, 2014) จากเหตขางตนผวจยไดตระหนกและเหนประโยชนทไดรบจงด าเนนการวจยเรองตวแบบเชงคณตศาสตร SEIR ส าหรบการควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความรซงผวจยไดเพมคาพารามเตอรของประสทธภาพการรณรงคใหความรเปนปจจยส าหรบการศกษาในตวแบบเชงคณตศาสตร เพอสรางตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบปองกนและควบคมโรคอสกอใสทมประสทธภาพสงขน



258

วตถประสงค 1. เพอพฒนาตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบควบคมการแพรระบาดของ โรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความร 2. เพอวเคราะหเสถยรภาพของตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบควบคม การแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความร วธด าเนนการวจย การด าเนนการวจยในครงน ผ วจยไดศกษาตวแบบเชงคณตศาสตรการแพรระบาดโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความรซงมวธด าเนนการวจย 3 ขนตอน (Jantrapron Sukawat and Surapol Naowarat, 2014) ดงน 1. การพฒนาตวแบบเชงคณตศาสตร ผวจยไดศกษาแผนภาพแสดงความสมพนธขององคประกอบในตวแบบเชงคณตศาสตร (Biophysics Group, 2009) ดงน

ภาพ 1 องคประกอบของตวแบบเชงคณตศาสตร SEIR ของการแพรระบาดของโรคอสกอใส เมอS เปนจ านวนคนทเสยงตอการตดเชอ ณ เวลา t ใดๆ, E เปนจ านวนคนทตดเชอแตไมถายทอดเชอ ณ เวลา t ใดๆ, I เปนจ านวนคนทตดเชอ ณ เวลา t ใดๆ, Rเปนจ านวนคนทหายปวยจากโรค ณ เวลา t ใดๆ, เปนอตราการเกดใหมของประชากรมนษย, เปนอตราการสมผสเชอ, เปนอตราการฟกตวของเชอ, เปนอตราการม



259

ภมคมกน, เปนอตราการตายโดยธรรมชาตและ N เปนจ านวนประชากรของมนษยทงหมดซงการศกษาในครงนไดก าหนดใหจ านวนประชากรมนษยคงท 2. การตรวจสอบตวแบบเชงคณตศาสตร การตรวจสอบตวแบบ เชงคณตศาสตร SEIR ส าหรบการควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความร เปนการตรวจสอบความถกตองของตวแบบโดยผ เชยวชาญทเกยวของกบศาสตรนโดยตรง ไดแก นกระบาดวทยาและนกคณตศาสตร 3 . การว เคราะหตวแบบเชงคณตศาสตร การว เคราะหตวแบบ เชงคณตศาสตรเปนการวเคราะหตามวธมาตรฐาน (Standard Method) โดยศกษาจดสมดลและศกษาเสถยรภาพของจดสมดลเพอหาเงอนไขของพารามเตอรทเหมาะสมของจดสมดล หาคาระดบการตดเชอโดยใชวธ Next Generation Method หาค าตอบเชงวเคราะหและค าตอบเชงตวเลขโดยวธ Numerical Analysis (Anderson and May, 1991) ดงน 3.1 การวเคราะหตามวธมาตรฐาน (Standard Method) การวเคราะหตามวธมาตรฐานเปนวธการศกษาหาจดสมดล คาระดบการตดเชอและเสถยรภาพของระบบ ไดดงน 3.1.1 การหาจดสมดล (Equilibrium Point) การหาจดสมดลด าเนนการโดยจดสมการเชงอนพนธไมเชงเสน

ของตวแบบเชงคณตศาสตรใหเทากบศนย คอ dS0

dt , dE

0dt

, dI0

dt , dR

0dt

จากสมการขางตนจะไดคา ณ จดสมดลทไมมโรค (Disease Free Equilibrium Point:

0E ) โดยก าหนดให E 0 จะได I 0 และแทนในสมการเชงอนพนธไมเชงเสนจะได S 1 ด ง น น 0 0E (S, E, I) E (1, 0, 0) แ ล ะ ณ จ ด ส ม ด ล ท ม โ ร ค (Endemic

Equilibrium Point: 1E ) โดยก าหนดให *E 0 และ *

E 0 จะได 1

* * *E (S , E , I )

3.1.2 การหาคาระดบการตดเชอ (Basic Reproductive Number: 0R ) คาระดบการตดเชอเปนคาเฉลยทผ ปวยหนงคนจะสามารถท าใหคนกลมเสยงปวยเปนจ านวนกคนในชวงของเวลาทเขายงปวยอย โดยใชวธการ Next



260

Generation Method โดยจดสมการเชงอนพนธไมเชงเสนในรป dXF(X) V(X)

dt

เพอหาคา 0R จากเมตรกซ 1(FV )

ซง F(X) คอเมตรกซของผ ปวยทเพมขน,V(X)

คอเมตรกซของผ ปวยทเปลยนสถานะจากกลมหนงไปอกกลมหนงไดจากอนพนธยอย (Partial Derivative) ดงน

S

X E

I

, i 0

i

F (E )F

X

และ i 0

i

V (E )V

X

โดยพจารณาคา 0R

ดงน 1. ถา 0R 1 แสดงวา โรคมการระบาดเพมขน (Epidemic) 2. ถา 0R 1 แสดงวา โรคเรมเสถยร (Endemic) 3. ถา 0R 1 แสดงวา โรคไมมการระบาด 3.1.3 การว เค ราะ ห เสถ ย รภ าพ (Stability Analysis) เป น การ หาคาลกษณะเฉพาะ (Eigen Value) เพออธบายค าตอบของสมการเกยวกบคา ความสมดลส าหรบตรวจสอบวาเปน Local Asymptotically Stable ม 2 กรณ ดงน 1) Local Asymptotically Stable ณ จด 0E ของจดสมดลทไมมโรคโดยการตรวจสอบคาลกษณะเฉพาะของจาโคเบยนเมตรกซ ณ สภาวะทไมมโรค ( 0E ) ซงจะไดสมการลกษณะเฉพาะจาก

0det(J I) 0 ,

0J คอจาโคเบยนเมตรกซ

ณ จด 0E โดยมขอก าหนดวา ทกคาสวนจรงตองเปนลบซงจะสอดคลองตามเงอนไขของ Routh-Hurwizt ซงจะสงผลใหคา 0R 1 2) Local Asymptotically Stable ณ จด 1E ของจดสมดลทมโรคโดยการตรวจสอบคาลกษณะเฉพาะของจาโคเบยนเมตรกซ ณ สภาวะทมการแพรระบาดของโรค ( 1E ) ซงจะไดสมการลกษณะเฉพาะจาก 1det(J I) 0 , 1J คอจาโคเบยนเมตรกซ ณ จด 1E โดยมขอก าหนดวา ทกคาสวนจรงตองเปนลบซงจะสอดคลองตามเงอนไขของ Routh-Hurwizt ซงจะสงผลใหคา 0R 1



261

3.2 การวเคราะหเชงตวเลข (Numerical Analysis) การวเคราะหเชงตวเลขเปนการพจารณาหาคาพารามเตอรทเหมาะสม ทท าใหจดสมดลทไมมโรค (Disease Free Equilibrium Point: 0E ) และจดสมดลทเกดการแพรระบาดของโรค (Endemic Equilibrium Point: 1E ) ทท าใหระบบสมการเชงอนพนธไมเชงเสนเปน Local Asymptotically Stable เพอน าคาพารามเตอรไปค านวณหาค าตอบเชงตวเลขโดยจ าลองแบบดวยโปรแกรม Matlab (สกลยา ศรสรฉน, 2559) การสรางตวแบบและการวเคราะหตวแบบ การสรางและวเคราะหตามวธมาตรฐานจากการวจยตวแบบเชงคณตศาสตร SEIR ส าหรบการควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความร สามารถสรางตวแบบเชงคณตศาสตรโดยผวจยสนใจศกษาประสทธภาพการรณรงคใหความร ( ) ดงภาพ 2 ดงน

ภาพ 2 ความสมพนธและองคประกอบของการควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใส โดยการรณรงคใหความร

จากภาพ 2 ผวจยไดด าเนนการสงใหผ เชยวชาญทเกยวของไดแก ผทรงคณวฒ

ทางคณตศาสตรและบคลากรทางการแพทย ชวยตรวจสอบแผนภาพและสมการ เชงอนพนธแบบไมเชงเสน เมอผ เชยวชาญตรวจสอบและใหขอเสนอแนะ ผ วจยไดท าการแกไข ปรบปรงตามค าแนะน าแลวน าตวแบบเชงคณตศาสตรทไดมาวเคราะหตามวธมาตรฐาน ซงจากภาพ 2 ไดระบบสมการเชงอนพนธแบบไมเชงเสน (Kermack and McKendrick, 1927) ดงน



262

dSN (1 ) SI S

dt (1)

dE(1 ) SI E E

dt (2)

dIE I I

dt

(3)

dR

I Rdt

(4)

โดยท N S E I R จากสมการ (1) - (4) ผวจยด าเนนการวเคราะหตวแบบเชงคณตศาสตร ไดผลดงน

เมอก าหนดให SS

N , E

EN

, II

N และ R

RN

สามารถจดสมการ

(1)-(4) ใหมไดดงน

dS

S[(1 ) IN ]dt

(5)

dE(1 ) NSIN E( )

dt (6)

dIE I( )

dt (7)

และR สามารถหาไดจากเงอนไข S E I R 1 จะได R 1 (S E I)

4.1 การหาจดสมดล (Equilibrium Point)

เนองจาก dNF(X)

dt โดยท

1

2

3

f

f

f

F(X)

และ tX (S, E, I) ดงนน เมอ

ก าหนดใหจ านวนประชากรทงหมดเปนคาคงท นนคอ dN0

dt จะได

dN dS dE dI dR

dt dt dt dt dt

ดงนน 0 N N จะได



263

เมอก าหนดให dS0

dt , dE

0dt

, dI0

dt จากสมการ (5), (6) และ (7) จะได

*

*S

(1 ) NI

(8),

2

E*

( ) (1 ) N

(9) และ

*

I* E

(10)

เสถยรภาพของจดสมดลสามารถพจารณาจากคาลกษณะเฉพาะของจาโคเบยนเมตรกซ จากสมการเชงอนพนธไมเชงเสน (5)-(7) สามารถแปลงเปนจาโคเบยนเมตรกซ ไดดงน

[(1 ) NI ] 0 (1 ) NS

J (1 ) NI ( ) (1 ) NS

0 ( )

และพจารณาคาลกษณะเฉพาะไดจาก 3

det(J I ) 0 เมอ 3

I คอเมตรกซเอกลกษณขนาด 3 3 4.1.1 การหาจดสมดลไมมโรค (Disease Free Equilibrium Point) ก าหนดให E 0 ในสมการท (10) จะได I 0 และแทนI 0 ในสมการ (8) จะได S 1 ดงนน 0 0E (S, E, I) E (1, 0, 0) เสถยรของระบบ

(Stability of Systems) ท จ ด 0E โด ย ด า เน น ก า รห า ส ม ก า รล ก ษ ณ ะ เฉ พ า ะ

0det(J I) 0 เพอหาคา λ เมอ λ เปนคาลกษณะเฉพาะ (Eigen Values) และ I เปนเมตรกซเอกลกษณขนาด 3 x 3 ดงน

2

2

0

0 (1 ) N

J 0 ( ) (1 ) N

0 ( )

0

20 (1 ) N

20 ( ) (1 ) N

0 ( )

det(J I)

จะได

2 2 2

( 2 ) (1 ) N( )[ ]



264

ดงนน

2 2 2

( 2 ) (1 ) N( )[ ] 0 จะได

10 และ

2,3

2 2 2( 2 ) 4[ (1 ) N ]( 2 )

2

จะพบวา 2

และ3

สวนจรงมคาเปนลบเมอ 2 2 2( 2 ) 4[ (1 ) N ]2

ดงนน จดสมดลภายใตสภาวะไมมโรคมเสถยร เมอ 0R 1 โดยท 0

(1 ) NR

( )( )

4.1.2 การหาจดสมดลทมโรค (Disease Endemic Equilibrium Point)

ก าหนดE 0 และ E 0 พจารณา 1

* * *E (S , E , I ) ซงไดจาก

* * *(S , E , I ) =

*( ) E, ,

* (1 ) N(1 ) NI

ดงนน สมการลกษณะ

เฉพาะทจด 1

* * *E (S , E , I ) โดยให det(J I) 0

1 เพอหาคา เมอ เปนคา

ลกษณะเฉพาะ (Eigen Values) และ I เปนเมตรกซเอกลกษณขนาด 3 x 3 ดงน

1

* *

* *

(1 ) NI 0 (1 ) NS

J (1 ) NI ( ) (1 ) NS

0 ( )

1

* *[(1 ) NI ] 0 (1 ) NS

* *(1 ) NI ( ) (1 ) NS

0 ( )

det(J I)

3 2* * *

[(1 ) NI 3 ] [((1 ) NI )( 2 ) (1 ) NS ]

2 2 2 * * *

N I S (1 ) NS[2 (1 ) ]

ดงนน 3 2* * *

[(1 ) NI 3 ] [((1 ) NI )( 2 ) (1 ) NS ]



265

2 2 2 * * *

N I S (1 ) NS[2 (1 ) ] 0 จดในรป 3 2

a b c 0 เมอ *a (1 ) NI 3 ,

* *b ((1 ) NI )( 2 ) (1 ) NS และ

2 2 2 * * *N I S (1 ) NSc [2 (1 ) ]

ดงนน เปนคาลกษณะเฉพาะ (Eigen Values) โดยหาไดจากสมการ

ลกษณะเฉพาะจากสมการ 3 2a b c 0 จะไดวา ab c นน คอสมการ

3 2a b c 0 สอดคลองกบเงอนไขของ Routh-Hurwitz

4.2 การหาคาระดบการตดเชอ (Basic Reproductive Number: 0R ) การหาคาระดบการตดเชอหาคารศมทโดดเดน (Spectral Radius) ของ

1FV

โดยใชวธการ Next Generation Method ซงไดจากสมการ (1) - (4) จะได

เมตรกซ ในรป dXF(X) V(X)

dt เพอหาคารศมทโดดเดนจากเมตรกซ 1

FV

ซง

F(X)และ V(X) ไดจากอนพนธยอย (Partial Derivative) ดงน S

E

I

R

X

, i 0

i

F (E )F

X

และ i 0

i

V (E )V

X

เมอ F(X) คอเมตรกซของผ ปวยทเพมขน,V(X) คอเมตรกซของผ ปวยทเปลยนสถานะจากกลมหนงไปอกกลมหนงโดยพจารณาคาระดบการตดเชอ ( 0R ) ดงน

0

(1 ) SIF(X)

0

0

และ

N (1 ) SI S

E EV(X)

E I I

I R



266

ดงนน 0

1( )

0 0 0 0

(1 ) N (1 ) N0 0

FV E ( )( )

0 0 0 0

0 0 0 0

ค านวณหาคา

Spectral Radiusของ0

1( )FV E

เขยนแทนดวย 0

1( )][FV E

(1 ) N

( )( )

จะได R0

(1 ) N

( )( )

ดงนน จดสมดลภายใตสภาวะการระบาดมเสถยรภาพเมอ0

1R โดย R0

(1 ) N

( )( )

โดยพจารณา ดงน 1) คา0

R ณ จดสมดลทไมมโรคมคา0

1R จะไมเกดการแพรระบาด และ 2) คา

0R ณ จดสมดลทมโรคมคา

01R จะเกดการแพรระบาด

(Kermack and McKendrick, 1927) 4.3 การวเคราะหเชงตวเลข (Numerical analysis) การวจ ยในครงน ผ ว จ ยไดท าการวเคราะหเชงต วเลขโดยการน าคาพารามเตอรทไดจากการส ารวจขอมลเกยวกบการแพรระบาดของโรคอสกอใส ซงมคาตามตารางดงน



267

ตาราง 1 คาพารามเตอรทไดจากการส ารวจขอมลเกยวกบการแพรระบาดของโรค อสกอใส

ขอความ สญลกษณ คาพารามเตอร หนวย

จ านวนประชากรของมนษยทงหมด N 100,000 คน อตราการเกดใหมของประชากรมนษย*

3.068 x 10-5 ตอวน

อตราการสมผสเชอ* 1.44 x 10-6 ตอวน อตราการฟกตวของเชอ 1.8356 x 10-4 ตอวน อตราการตายโดยธรรมชาต* 1.89 x 10-5 ตอวน อตราการมภมคมกน* 7.143 x 10-2 ตอวน ประสทธภาพการรณรงคใหความร 0 - 1

*ส านกระบาดวทยากรมควบคมโรคกระทรวงสาธารณสข, (2559) ผวจยไดศกษาประสทธภาพการรณรงคใหความรแลวหาคาระดบการตดเชอ (Basic Reproductive Number :

0R ) พบความสมพนธระหวางคาพารามเตอรของ

ประสทธภาพการรณรงคใหความรกบคาระดบการตดเชอไดดงตาราง 2 ดงน



268

ตาราง 2 ความสมพนธระหวางคาพารามเตอรของประสทธภาพการรณรงคใหความรกบคาระดบการตดเชอ

ประสทธภาพการรณรงคใหความร

( )

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.85

1.0

คาระดบ การตดเชอ

(0

R )

1.827

1.645

1.462

1.279

1.096

0.914

0.731

0.548

0.365

0.274

0

จากตาราง 2 พบวาคาระดบการตดเชอ (

0R ) มคา

01R เมอประสทธภาพ

การรณรงคใหความร >0.5 วเคราะหไดวา ณ จดสมดลจะไมมโรคจงไมเกดการแพรระบาดของโรคและคา

01R เมอประสทธภาพการรณรงคใหความร <0.4

วเคราะหไดวา ณ จดสมดลมโรคจงเกดการแพรระบาดของโรค เมอพจารณาเสถยรภาพของระบบ ณ จดสมดลทไมมโรค จะพบวาคาลกษณะเฉพาะ

1 =- 0.00003068, 2 = -0.14295845 และ

3 =-0.00039139 ซง

ทกคามสวนจรงเปนคาลบและสอดคลองกบเงอนไขของ Routh-Huewitz สงผลใหค าตอบจะลเขาสจด 0E = (100000, 0, 0) ดงนน จดสมดลไมมโรค 0E จะเปน Local Asymptotically (Fred Brauer, Pauline den Driessche and Jianhong Wu (Eds.), 2008) ดงภาพ 3



269

ภาพ 3 (a) แสดงอตราการเปลยนแปลงของจ านวนประชากรกลมเสยง ณ เวลา t ใดๆ (b) แสดงอตราการเปลยนแปลงของจ านวนประชากรกลมตดเชอแตไม

ถายทอดเชอ ณ เวลา t ใดๆ (c) แสดงอตราการเปลยนแปลงของจ านวนประชากรกลมตดเชอ ณ เวลา t ใดๆ ณ เสถยรภาพของจดสมดลทไมมโรค เมอพจารณาเสถยรภาพของระบบ ณ จดสมดลท ม โรค จะพบวาคา

ลกษณะเฉพาะจากสมการ 3 2a b c 0 โดยท a=0.071736517, b=-

0.00000870034, ab=-0.000000624132

และ c=-0.00000000101143จะไดวา ab c นน คอสมการ 3 2a b c 0

ส อ ด ค ล อ งก บ เ ง อ น ไข ข อ ง Routh-Hurwitz ส ง ผ ล ใ ห ค า ต อ บ จ ะล เ ข า ส จ ด

1

* * *E (S , E , I ) ดงนน จดสมดลทมโรค 1

* * *E (S , E , I ) จะเปน Local Asymptotically

เมอแทนคา=0.5, 0.6, 0.7, 0.8, และ0.85 ตามล าดบดงภาพ 4, 5 และ6 ดงน



270

ภาพ 4 อตราการเปลยนแปลงของจ านวนประชากรกลมเสยง (S) ณ เวลา t ใดๆ เมอคา

=0.5, 0.6, 0.7, 0.8, และ 0.85 ตามล าดบ ณ เสถยรภาพของจดสมดลทมโรค ภาพ 5 อตราการเปลยนแปลงของจ านวนประชากรกลมตดเชอแตไมถายทอดเชอ (E)

ณ เวลา t ใดๆ เมอคา =0.5, 0.6, 0.7, 0.8, แ ล ะ 0.85 ต า ม ล า ด บ ณ เสถยรภาพของจดสมดลทมโรค

จ ำนว

นคนท

ตดเช

อแตไ

มถำย

ทอดเ

ชอ

ณ เวลำ t ใดๆ (วน)

จ ำนว

นคนท

เสยง

ตอกำ

รตดเ

ชอ

ณ เวลำ t ใดๆ (วน)



271

ภาพ 6 อตราการเปลยนแปลงของจ านวนประชากรกลมตดเชอ ( I ) ณ เวลา t ใดๆ เมอ

คา=0.5, 0.6, 0.7, 0.8, และ 0.85 ตามล าดบ ณ เสถยรภาพของจดสมดลทมโรค

จากการศกษาพบวาประสทธภาพการรณรงคใหความรเปนปจจยหนง ทสงผลตอการเปลยนแปลงของตวแบบเชงคณตศาสตร SEIR ส าหรบการควบคม การแพรระบาดของโรคอสกอใส โดยพบวาถาประชากรทเสยงตอการตดเชออสกอใส มความรเกยวกบการปองกนโรคอสกอใสนอยจะสงผลใหการแพรระบาดของโรคเพมขนและถาประชากรทเสยงตอการตดเชออสกอใสมความรเกยวกบการปองกนโรคอสกอใสเปนจ านวนมากขนจะสงผลใหการแพรระบาดของโรคลดลงจนกระทงไมมการแพรระบาดของเชออสกอใสและจ านวนประชากรทเสยงตอการตดเชอมความรเกยวกบ การปองกนโรคอสกอใสเปนจ านวนไมต ากวารอยละ 50 ของประชากรทงหมด จะสงผลใหการแพรระบาดของโรคลดลงจนกระทงไมมการแพรระบาดของเชอ ผลการวจยและอภปรายผล การวจยครงนมวตถประสงคเพอพฒนาตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความรและวเคราะห

จ ำนว

นคนท

ตดเช

อ ณ เวลำ t ใดๆ (วน)



272

เสถยรภาพของตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความร ตวแบบเชงคณตศาสตรทใชในการวจยครงน คอ ระบบสมการเชงอนพนธแบบไมเชงเสน ซงประกอบดวยประชากรทเสยงตอการตดเชอ ประชากรทตดเชอแตไมถายทอดเชอ ประชากรทตดเชอ และประชากรทหายปวยจากโรคซงผ วจยไดเพมคาพารามเตอรประสทธภาพการรณรงคใหความร ( ) เปนปจจยส าคญในตวแบบเชงคณตศาสตรแลวใชวธการวเคราะหวธมาตรฐาน และวเคราะหเชงตวเลขส าหรบตรวจสอบการแพรระบาดของโรค ผวจยไดพจารณาจดสมดลทไมมโรคและจดสมดลทเกดการแพรระบาดของโรคโดยการวเคราะหจดสมดลและเสถยรภาพของจดสมดลดวยวธการวเคราะหวธมาตรฐาน ซงคาเสถยรภาพของระบบ Local Asymptotical Stable ทไดตองเปนไปตามเงอนไขของ Routh-Hurwitz เพอใหสามารถหาคาพารามเตอร

0R ซงมความจ าเปน

ภายใตเงอนไขเพอใหLocal Asymptotically stability of Equilibrium State ทมเสถยรในสวนของจดสมดลทไม ม โรคและจดสมดลท มการแพรระบาดของโรค โดยท

0

(1 ) NR

( )( )

สามารถพจารณาคาระดบการตดเชอ (

0R ) โดยคา

01R

วเคราะหไดวา ณ จดสมดลจะไมมโรคจงไมเกดการแพรระบาดของโรคและคา0

1R

ว เค ราะ ห ได ว า ณ จ ด สมด ล ม ก ารต ด เช อ จ ง เก ด การแพ รระบ าดขอ งโรค (JantrapronSukawat and Surapol Naowarat, 2014) จากการวเคราะหเชงตวเลขพบวาจดสมดลทงสองเปนLocal Asymptotical Stable ณ จดสมดลทไมมโรค เมอ =0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.85 พบวาคาระดบการตดเชอ

0R =0.731, 0.548, 0.365, 0.274 ตามล าดบและ ณ จดสมดลทมการแพรระบาดของโรค เมอ =0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 พบวาคาระดบการตดเชอ

0R =1.827, 1.645,

1.462, 1.279, 1.096 ตามล าดบ จากการวจยพบวาประสทธภาพการรณรงคใหความรเปนผลปจจยหนงทสงผลตอการเปลยนแปลงของตวแบบเชงคณตศาสตร SEIR ส าหรบการควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใส โดยพบวาถาประชากรทเสยงตอการตดเชออสกอ ใสม



273

ความรเกยวกบการปองกนโรคอสกอใสนอยจะสงผลใหการแพรระบาดของโรคเพมขนและถาประชากรทเสยงตอการตดเชออสกอใสมความรเกยวกบการปองกนโรคอสกอใสเปนจ านวนมากขนจะสงผลใหการแพรระบาดของโรคลดลงจนกระทงไมมการแพรระบาดของเชออสกอใส (อรวรรณ ตนสยและพนธน พงศสมพนธ , 2556) ดงนนสามารถน าผลจากการวจยตวแบบเชงคณตศาสตร SEIR ส าหรบการควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความรน าไปใชเปนขอมลเบองตนในการปองกนโรคเพอลดจ านวนผ ปวยและใชเปนขอมลทางวชาการใหกบหนวยงานทเฝาระวงของส านกระบาดวทยา กรมควบคมโรค กระทรวงสาธารณสข รวมทงน าเสนอขอมลตอหนวยงานดานสาธารณสขด าเนนการมาตรการควบคมและปองกนโรคอสกอใสโดยการรณรงคใหความรใหกบประชาชนทวไปทเสยงตอการตดเชอ และผ ปวยอสกอใสเพศหญงเปนจ านวนไมต ากวารอยละ 50 ของประชากรทงหมด ขอเสนอแนะ 1. ตวแบบเชงคณตศาสตรทไดจากการศกษาในครงน สามารถน าไปประยกตใชกบโรคชนดอนทมลกษณะการแพรกระจายจากการสมผสและแพรระบาดคลายกบโรคอสกอใสได 2. สามารถวจยและศกษาองคประกอบอนๆทมผลตอการควบคมการแพรระบาดของโรคอสกอใสโดยการเพมคาพารามเตอรอนๆไดแก การกกกนผตดเชอ การฉดวคซนปองกนโรค เปนตน กตตกรรมประกาศ ขอขอบคณมหาวทยาลยราชภฏภเกตทใหการสนบสนน วสดและอปกรณ และสถานทในการด าเนนการวจย



274

เอกสารอางอง ธรวฒน นาคะบตร. (2546). ตวแบบเชงคณตศาสตร. นครปฐม: สถาบนราชภฏ

นครปฐม. สกลยา ศรสรฉน. (2559). การสรางตวแบบเชงคณตศาสตร. [Online]. http://elearn

ing.nsru.ac.th/web_elearning/math_model/introduction.html, (13 August 2016)

ส านกระบาดวทยา. (2559). โรคอสกอใส (Chickenpox). [Online]. http://www.boe. moph.go.th/boedb/surdata/disease.php?ds=15, (15 มกราคม 2558)

อภชาต ศวยาธร. (2550). โรคผวหนงตองรส าหรบเวชปฏบตท วไป. (พมพครงท 8). ส านกพมพหมอชาวบาน: กรงเทพฯ.

อรวรรณ ตนสยและพนธน พงศสมพนธ. (2556). แบบจ าลองการระบาดของโรคอสกอใสในประเทศไทย. วารสารวทยาศาสตรลาดกระบง, 22(1) : 39-52.

Anderson, R.M., and May, R.M.. (1991). Infectious diseases of humans:

dynamics and control. Oxford : Oxford University Press. Biophysics Group. (2009). Mathermatics Model of Transmission. Faculty of

science, MahidolUniversity. Bureau of Epidemiotogy. (2016). chickenpox. [Online]. http://rnnvw.boe.moph

.go.th/facchickenpox, (13 August 2016) Fred Brauer, Pauline den Driessche and Jianhong Wu (Eds.). (2008).

Mathematical Epidemiology. Vancouver, B.C. V6T 1Z2, Canada : Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Kribs-Zaleta, C.M. and Valesco-Hernández, J.X.. (2000). A simple vaccination

model with multiple endemic states. Mathematical Biosciences, 164 (2) : 183–201.



275

Jantrapron Sukawat and Surapol Naowarat. (2014). Effect of Rainfall on the

transmission Model of Conjunctivitis. Advanced in Environmental Biology, 8(14) : 99-104.

Kermack, W. O. and McKendrick, A. G. (1927). A Contribution to the

Mathematical Theory of Epidemics. Proc. Roy. Soc. Lond. A 115: 700-721.

Documents

ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ SEIR ส าหรับ ...webportal.pkru.ac.th/data_journals/f757b399e9ebe3f8d217f...จากสมการข างต