Embed Size (px)
Citation preview
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
1
เวกเตอร์ในสามมิติ
(Vector In Three-Space)
1. ระบบพกิดัฉากสามมิต ิ
ตัวอย่าง จงเขียนจุด A (2 , 2 , –1), B (1 , –3 , 2 ), C (–1 , 3 , 3 ) ลงในระบบพิกดัฉากสามมิติ
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
2
แบบฝึกหัด 3.1
1. จากรูป จงหาพิกดัของจุด B, C, D, E, F และ G เม่ือก าหนดจุด A(3,5,4)
2. จงเขียนจุด A (3 , 1 , –1), B (2 , –1 , 1), C (–2 , 1 , 3 ) ลงในระบบพิกดัฉากสามมิติ
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
3
2. สัญลกัษณ์แทนเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ และ
การคูณด้วยสเกลลาร์
ขอ้แตกต่างของเวกเตอร์กบัสเกลาร์ คือ ...............................................................
…………………………………………………………………………………………………………
สัญลกัษณ์แทนเวกเตอร์
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
4
ตัวอย่าง
นิยามเบือ้งต้นของเวกเตอร์
นิยาม 1 u และ v จะขนานกนั ก็ต่อเม่ือ ………………………………………………………..
นิยาม 2 u และ v จะเท่ากนั ก็ต่อเม่ือ ………………………………………………………..
นิยาม 3 นิเสธของ u คือ ………………………………………………………………………
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
5
โปรดสังเกต
1. ……………………………………………………………………………………………………………
2. ……………………………………………………………………………………………………………
3. ……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
4. u จะขนานกบั v ก็ต่อเม่ือ ..........................................................................................................................
แบบฝึกหัด 3.2
1.
2.
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
6
3.
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
การบวกเวกเตอร์
บทนิยาม ถา้จุดปลายของ u เป็นจุดเดียวกบัจุดตั้งตน้ของ v แลว้ vu คือ เวกเตอร์ซ่ึง
มีจุดตั้งตน้เป็นจุดเดียวกบัจุดตั้งตน้ของ u และมีจุดส้ินสุดเป็นจุดจุดเดียวกบัจุดส้ินสุดของ v
ตัวอย่าง
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
7
การลบเวกเตอร์
บทนิยาม ให ้u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ ผลลบของ u และ v เขียนแทนดว้ย
vu และ )( vu จะเห็นวา่การลบ กคื็อ การบวกดว้ยนิเสธนัน่เอง
ตัวอย่าง
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
8
แบบฝึกหัด 3.3
1.
2.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
9
3.
พร้อมใหเ้หตุผลประกอบ
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
4.
พร้อมใหเ้หตุผลประกอบ
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
10
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลลาร์
บทนิยาม ให ้a เป็นจ านวนจริงและ u เป็นเวกเตอร์ ผลคูณระหวา่ง a และ u เป็นเวกเตอร์ท่ีเขียนแทนดว้ย
ua
โดยที่ 1) ถา้ a > 0 แลว้ ua จะมีขนาดเท่ากบั ua และมีทิศทางเดียวกบั u
2) ถา้ a < 0 แลว้ ua จะมีขนาดเท่ากบั ua และมีทิศตรงกนัขา้มกบั u
3) ถา้ a = 0 แลว้ 0ua
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
11
แบบฝึกหัด 3.4
1.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. เวกเตอร์ในระบบพกิดัฉาก
กรณสีองมติิ
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
12
ตัวอย่าง จงวาดรูปคร่าวๆ ของเวกเตอร์ต่อไปน้ี
1.
2. ก าหนด A (1 , 2) และ B = (3 , 4) จงหา AB , BA
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.5
1. จงวาดรูปคร่าวๆของเวกเตอร์ต่อไปน้ี
1.
2
1 2.
2
3 3.
2
2
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
13
2. ก าหนด P (–5 , 1) และ Q = (3 , –2) จงหา PQ
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. ก าหนด C(–2 , –3) และ D(5 , 6) จงหา CD และ DC
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
4. ก าหนด T(1 , –3) และ G(-3 , 4) จงหา TG และ GT
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
5. ก าหนด A(1 , 2) , B(2 , 3) และ C(5 , 6) จงหา BCAB
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
6. ก าหนด A(2 , 2) , B(1 , 3) และ C(7 , 6) จงหา BCAB
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
7. (มช 36) จงหาเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ท่ี (0 , 0) มีความยาว 4 หน่วย และท ามุม 30 กบัแกน x ……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
14
กรณสีามมติิ
ตัวอย่าง ให ้P มีพิกดัเป็น (3 , 4 , –4 ) และ Q มีพิกดัเป็น (5 , 0 ,7 ) จงหาค่า PQ
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.6
1. ให ้A(2, 1,–3 ) และ B(1, 1, 1), C(2, 3, -2), D(3, 3, 3) จงหาค่า
1. AB 2. CD
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
15
3. CDAB 4. CDAB
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. จงหาเวกเตอร์ต่อไปน้ี
3.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
4.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
16
4. เวกเตอร์หน่ึงหน่วย (Unit Vector)
ตัวอย่าง
1.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
17
2. AB มีจุดเร่ิมตน้ท่ี A (1 , 2 , 0) และ จุดปลายท่ี B (–2 , 3 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.7
1. จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปน้ีในรูป i และ j
1.
2
1 2.
2
3 3.
2
2 4.
0
5
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. AB มีจุดเร่ิมตน้ท่ี A (3 , 2 , 1) และ จุดปลายท่ี B (–1 , -1 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. AB มีจุดเร่ิมตน้ท่ี A (0 , -2 , -1) และ จุดปลายท่ี B (1 , 4 , 3) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
5. เวกเตอร์ที่ขนานกนั
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
18
ตัวอย่าง เวกเตอร์ต่อไปน้ีเวกเตอร์ใดบา้งท่ีขนานกนั
1.
1
2,
4
8
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2.
1
2,
2
1
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3.
2
4
2
,
1
2
1
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.8
เวกเตอร์ต่อไปน้ีเวกเตอร์ใดบา้งท่ีขนานกนั
1.
0
8,
0
7 2.
3
1,
3
9
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3.
2
4
2
,
1
2
1
4.
5
4
3
,
0
2
1
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
19
6. ขนาดของเวกเตอร์
ตัวอย่าง
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
20
3.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เร่ืองนีช้อบออกข้อสอบเข้ามหาลยั!!!!!!
ให้นักเรียนไปศึกษา แล้วน ามาเสนอในช้ันเรียนนะครับ
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
21
7. ผลคูณเชิงสเกลลาร์
ตัวอย่าง
1.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3.
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
22
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.9
1. ถา้ jiu 43 , jiu 52 และ jiw 3 จงหา wuwvvu ,,
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. ให ้
2
2
1
a ,
2
4
0
b และ
1
2
3
c จงหา cacbba ,,
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
23
3. ให ้
2
1u ,
1
3v และ
1
1w จงหาค่าของ
1. vu
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. uv
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. uu
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
4. wvu
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
5. wvu )(
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
6. wvu )(
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
24
เร่ืองนีช้อบออกข้อสอบเข้ามหาลยั!!!!!!
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
25
ตัวอย่าง
1.
2.
8. ผลคูณเชิงเวกเตอร์
ตัวอย่าง
ตัวอย่าง
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
26
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.10
จงหา vu เม่ือก าหนด
1. jiu 43 , jiv 2
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. jiu , jiv 2
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. jiu 42 , jiv 23
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
27
เวกเตอร์ในสามมิต ิ(Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
28
ตารางการส่งงานเร่ืองเวกเตอร์ในสามมติิ
วนั/เดือน/ปี งาน ลายเซ็นผูป้กครอง ลายเซ็นครู แบบฝึกหดัท่ี 3.1 แบบฝึกหดัท่ี 3.2 แบบฝึกหดัท่ี 3.3 แบบฝึกหดัท่ี 3.4 แบบฝึกหดัท่ี 3.5 แบบฝึกหดัท่ี 3.6 แบบฝึกหดัท่ี 3.7 แบบฝึกหดัท่ี 3.8 แบบฝึกหดัท่ี 3.9 แบบฝึกหดัท่ี 3.10
ประโยชน์ของการตรงต่อเวลา
1.ท าใหเ้รามีนิสัยขยนัขนัแขง็เอาการเอางานอยา่งจริงจงั
2.ฝึกใหเ้ราเป็นคนกระตือรือร้นม่ีชีวิตชีวา
3.ท าใหเ้รามีความซ่ือตรงต่อตวัเองรักษาเกียรติยศของตนเอง
4.ท าใหเ้ราท างานไดส้ะดวกรวดเร็วเรียบร้อยและมีผลดี
5.หนา้ท่ีการงานประสบความส าเร็จชีวิตกา้วหนา้
6.สามารถก าหนดกิจกรรมต่างๆ ท่ีเราจะกระท าไดใ้นแต่ละวนัท าใหชี้วติมีระเบียบและมีวนิยักบัตนเอง
7.เป็นท่ีเช่ือถือและไวใ้จของคนอ่ืน
