UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Nº 1 “DFT” (ex Cátedra Federico - Díaz - Fileni)

Profs. Titulares: Arq. Néstor A. Díaz - Ing. Marcelo E. Fileni Prof. Adjunto: Arq. Prof. Susana Toscano

NIVEL I : ELEMENTOS DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

TRABAJO PRÁCTICO: ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

Autoría y recopilación:

Prof. Carlos V. Federico

Arq. Néstor Díaz

Prof. Estela Lafuente

Prof. Claudia Giovannucci

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BIENVENIDOS!!

Al Nivel I del Taller Vertical de Matemática N° 1 “Díaz – Fileni - Toscano” de la Facultad de Arquitectura y Urbanismo de la UNLP.

Al ingresar a la Carrera de Arquitectura tuviste que optar por diferentes talleres de

distintas asignaturas de primer año, y en Matemática decidiste formar parte de

nuestro Taller al inscribirte con nosotros. Desde ese momento formaste parte de un

grupo de trabajo, el Taller de Matemática Nº 1, donde se consideran sus integrantes

tanto a docentes como a estudiantes. Juntos transitaremos el proceso de enseñanza-

aprendizaje, cada cual cumpliendo su rol, por lo tanto ya sos un miembro activo del

Taller, nuestro Taller, tu Taller. Y como nuevo miembro te damos la bienvenida.

Como parte del Taller te solicitamos te comprometas con la propuesta elegida a fin

de facilitar lograr sus objetivos, que en líneas generales se reducen a que aprendas

los conocimientos que nos impone el Programa, pero desde un punto de vista poco

común, como es aprender Matemática sin dejar de lado su aplicación a la carrera que

elegiste. Por lo tanto, en todos los temas que lo posibiliten se vinculará dos áreas del

conocimiento como son la Matemática y el Diseño, donde cada una de ellas puede

valerse de la otra, sólo hay que saber cómo se complementan. Por eso esperamos

que en tu vida como estudiante y en tu futuro desempeño profesional utilices a la

Matemática como una herramienta más que posibilite tus proyectos de diseño.

De nuestra parte pondremos todo el potencial que brinde nuestro saber, experiencia,

pericia y esfuerzo para que la propuesta pedagógica se lleve a cabo de la forma más

eficiente, asistiéndote en tu desempeño.

Es un hecho constatado a lo largo de nuestra experiencia docente, que el nivel con el

que los alumnos llegan a la universidad y el que necesitan al iniciar sus carreras, en

líneas generales, se ha ido distanciando con el tiempo, generando numerosos

inconvenientes.

3

En lo que nos concierne, haciendo uso de las nuevas tecnologías, intentamos

despejar este problema, en la medida de lo posible, diseñando un material de

ejercitación práctica de Matemática donde se exponen los conceptos previos

necesarios para poder encarar correctamente los diferentes temas que se abordarán

en el desarrollo de la cursada.

Los contenidos de Matemática pertenecientes al Nivel Medio de Educación son

conocimientos básicos necesarios para construir una base sólida que los alumnos

emplearán y desarrollarán en un futuro cercano.

Mencionaremos algunas de las ventajas que tendrás al contar con estos saberes

previos:

• Tener mayor seguridad en tu nueva etapa de estudiante y así disminuir las

posibilidades de fracaso.

• Mejorar la enseñanza y el aprendizaje, esto implica que en clase logremos que

comprendas con mayor fluidez los nuevos conceptos.

• Motivarte al autoaprendizaje desde el inicio de tus estudios universitarios, lo

que debería ser una constante en tu carrera universitaria.

Por tal motivo, te solicitamos que comiences a trabajar con las tareas propuestas en

el TRABAJO PRÁCTICO : “ACTIVIDADES DE INTRODUCCION”, que no es más

que un pequeño repaso de algunos conocimientos que seguramente ya has

estudiado. Encontrarás también, un archivo que contiene el soporte necesario para

resolver en forma adecuada las actividades propuestas.

Ante cualquier duda, consultá al docente a cargo de tu Comisión de Trabajos

Prácticos, no te olvides que su función es ayudarte.

Te deseamos un buen comienzo.

La Cátedra.

4

AAALLLGGGEEEBBBRRRAAA

CAMPO NUMÉRICO

La noción de número se remonta a varios milenios atrás. Incluso las tribus más

"primitivas", tienen el concepto de cantidad.

Los primeros números que surgieron son los naturales, N = {1, 2, 3, 4, ....}.

Unos de los primeros en manejar con éxito las fracciones fueron los egipcios

alrededor del 2000 a.C.

La aparición del cero y de los números negativos ocurrió mucho después que

surgiera el concepto de número fraccionario. Aunque en oriente los chinos

manejaban la idea de número negativo varios siglos antes de Cristo, en occidente

tomo mucho más tiempo y recién se afianzó la idea durante el siglo XVII al resolver

ecuaciones algebraicas.

Esto dió lugar al conjunto de los números enteros: Z = {...., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Las fracciones, junto con los números negativos y los números enteros dieron lugar

al conjunto de los números racionales:

Q = {p/q, tal que p y q son números enteros y q ≠ 0}

Los números racionales son aquellos que pueden escribirse como el cociente entre

dos números enteros.

Ejemplos de números racionales son 5/7; -2/5; 3; 0,803178; 0,222...., etc.

Los números racionales escritos en forma decimal, pueden ser:

enteros

ó, tienen una cantidad finita de dígitos después de la coma,

ó, son periódicos (por ejemplo 5,731616161616.....)

Los griegos, que en un principio, pensaron que el universo se regía por los números

naturales y la proporciones entre ellos, se dieron cuenta que esto no era así.

Algunos números como la proporción entre la diagonal de un cuadrado y su lado no

podían representarse como cociente entre dos números naturales.

Así surgieron los números irracionales, en contraposición a los racionales, que se

pueden describir como los números que tienen infinitos dígitos después de la coma y

que no son periódicos.

5

Los números irracionales no pueden escribirse como el cociente entre dos números

enteros-

La unión de los números irracionales con los racionales da el conjunto de los

números reales.

Naturales

El cero Enteros Racio

Enteros negativos Fraccionarios

N0 Z

-Z F

nales

Irracionales

Q

I

Reales R

http//roble.pntic.mec.es/~tvirgos/matematicas/irracionales.htm

ACTIVIDAD N° 1

Tapar el/los campo/s numéricos a los cuales no pertenece el número que figura en la primer columna:

Número Campo numérico

a) - 8/7 N Z Q I R

b) 2 N Z Q I R

c) 3 72+ N Z Q I R

d) -3,188118811881… N Z Q I R

e) 9,123 N Z Q I R

f) 16,522222222… N Z Q I R

g) 23,111213141516… N Z Q I R

6

PROPIEDADES Y FÓRMULAS

0a 1= exponente cero.

nn

1aa

− = exponente negativo.

n n

na bb a

− =

m n m na . a a += producto de potencias de igual base.

m

m nn

a aa

−= cociente de potencias de igual base.

( )nm m.na a= potencia de potencias.

( )n n na b a b± ≠ ± la potencia no es distributiva con

respecto a la suma y a la resta.

( )2 2 2a b a 2ab b± = ± + cuadrado de un binomio.

( )3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b± = ± + ± cubo de un binomio.

( ) ( )2 2a b a b . a b− = − + diferencia de cuadrados.

n m m.na a= raíz de raíz.

n n na . b a . b= la radicación es distributiva con

respecto a la multiplicación

n

nn

a a . b b

= y a la división.

n n na b a b± ≠ ± la radicación no es distributiva con

respecto a la suma y a la resta.

7

ACTIVIDAD N° 2

Indicar cuáles de las siguientes igualdades son válidas:

( )3 212

3 3

1 7 49a 125 b) 6 36 c 5 3 9

d 25+9 8 e 6+2 2 2 f) 2 32 4

− −− = = − = −

= = × =

) )

) )

ACTIVIDAD N° 3

Aplicar propiedades y realizar los cálculos:

( ) ( )

0 2 3 6 4

18 3

2 2 2 7 7a b 3 3 3 5 5

14 6c 2 2 d 5 15

3 3e 5 5 f 3 2 5 324 4

−−

⋅ ⋅ = ÷ =

⋅ ⋅ = = ⋅

+ ⋅ = − +

- - -) )

) )

) - ) 7 8 9 50 − =

ACTIVIDAD N° 4

Unir con una flecha las expresiones de la primera y segunda columna que sean

iguales.

8

( )

( ) ( )

2

2

x y 2 2x

x y x y x x

x 2 x

2x

+ ⋅ ⋅

-

-

2 2

2 2

x y

2x 2x x x

2x 2x x y 2xy

+ +

+ +

-

-

9

NOTACIÓN CIENTÍFICA

• La velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo 300

000 000 m/seg

• La capacidad de almacenamiento de información de 4 gigabyte es equivalente a

4 000 000 000 bytes.

• Un micrómetro equivale a 0,000001 metros.

En los textos científicos o técnicos las cifras no aparecen escritas de forma tan

grande, se utiliza la notación científica. Las cifras del párrafo anterior quedarían

escritas así:

• La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/seg

• La capacidad de almacenamiento de 4 gigabyte es equivalente a 4 x 109 bytes

• Un micrómetro equivale a 1 x 10-6 metros.

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos

y escribir en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se

usan potencias de diez.

Los números se escriben como un producto: ⋅ na x siendo:

a un número entero o decimal cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor

que 10, recibe el nombre de coeficiente.

n un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (en el

caso de los números enteros, consideramos que la coma está al final del número) y

la desplazamos de manera de obtener un coeficiente cuyo valor absoluto sea mayor

o igual a 1 y menor que 10. La cantidad de lugares que movimos la coma nos indica

el valor del exponente.

− Si movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será positivo.

− Si movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10

será negativo.

10

Es más fácil entender con ejemplos:

a) 525,7306 = 5,257306 . 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la

izquierda, el exponente es 2)

b) 0,000243 = 2,43 . 10−4 (movimos la coma decimal 4 lugares hacia la derecha,

el exponente es - 4).

ACTIVIDAD N° 5

Indicar cuáles de los siguientes números están escritos correctamente en notación

científica:

4 6 3

7 5 4

a 0 000492 4 92 10 b 0 000728 7 28 10 c 0 008 8 10

d 53 000 000 5 3 10 e 168400 16 84 10 f 25000 2 5 10

− −= ⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅ = ⋅

) , , ) , , ) ,

) . . , ) , ) ,

ACTIVIDAD N° 6

Resolver las siguientes ecuaciones, indicar previamente que valores de x no pueden

ser solución y verificar las soluciones obtenidas:

( )

( ) ( )

( )

2

2 2

2 2

1a) x 4 5 b) 3 x 1 6x3

3x 2c) x 1 d) x 16 04

3 4e) 0 f) 2x 4 x 3x 2 x 3

x 1 2x 1 1 15g) 1 h) 0x 1 2x x xx 1

− + = − =

+= − − =

+ = + = +− +

+− = − + − =

++

11

ACTIVIDAD N° 7

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas. Simplificar en los casos posibles.

Si necesitás ayuda podés consultar en la página del curso el archivo: “Factoreo”.

5 4 2

3 2 2

2 4 4

3 7

2

a) 24x 18x 30x b) x 1/ 9

c) 3 / 2x 3 / 8x d) m n 2mn

e) 5x 15x 45 / 4 f) a b

g) p 8 / 27 h) 7h 7

i) x 2x 3

+ − = − =

− = + − =

+ + = − =

+ = − − =

− + + = 2

3 2 2

3 2 2

4

2

j) 12x 9x 3

x x 6 6mk) l) x x 2x 1 m 2m

x 27xm) 2x 6x

+ − =

− −= =

+ − + +

−=

−

ACTIVIDAD N° 8

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

{ {

{

3 x y 1a) b) 15x 44 14yx 2 y 3 21 y 25x 71

1 10 cos 30º x cos 45º y cos 40º 0x y 2c) d) 3 y sen 40º 10 sen 30º x sen 45º 03x y 1

xe)

− − = − = −+ = + =

+ − =− = + − == −

{ { cos 60º + y cos 210º 0 x cos30º + y cos 60º - 50 cos 45º 0f) y sen 210º + x sen 60º 18 50 sen 45º + x sen 30º + y sen 60º 80= == =

GGGEEEOOOMMMEEETTTRRRÍÍÍAAA

ACTIVIDAD N° 9

Calcular los lados de un rectángulo que tiene 84 m de perímetro, si los lados son

entre sí como 3:4. ¿Cuál es la medida de sus lados y cuál su área?

12

ACTIVIDAD N° 10

Calcular los catetos de un triángulo rectángulo que son entre sí como 2:3, si la

hipotenusa mide 26 cm.

ACTIVIDAD N° 11

El área de un triángulo rectángulo mide 156 cm2. Los catetos son entre sí como 3:2. Calcular la hipotenusa.

ACTIVIDAD N° 12

El volumen de un cilindro es 6000π cm3. Calcular el radio de la base y la altura si son

entre sí como 4:3.

ACTIVIDAD N° 13

Los lados de un rectángulo miden 4 cm y 7,5 cm. ¿ Cuánto debo disminuir a esos

lados para que su diagonal disminuya 2 cm?

ACTIVIDAD N° 14

Indica cuáles de estas ternas son las medidas en cm de los lados de un triángulo

rectángulo: a) 5 ; 12 ; 13 b) 4 ; 9 ; 15

ACTIVIDAD N° 15

Calcula la superficie griseada si el módulo cuadrado que conforma la malla

representa 1 cm2.

13

ACTIVIDAD N° 16

La figura está formada por 4 cuadrados. Cada cuadrado tiene lado igual a la mitad

del anterior. ¿Qué parte de la superficie del cuadrado grande equivale a la superficie

sombreada?.

ACTIVIDAD N° 17

En la figura ad = 12 cm, todos los arcos son semicircunferencias, c es punto medio

de ad y b es punto medio de ac. α) Determinar el perímetro y la superficie de la figura sombreada.

β) Halla la razón entre:

la superficie de la figura sombreada y la superficie del círculo de diámetro ad.

el perímetro de la figura sombreada y la longitud de la circunferencia de

diámetro ad.

ACTIVIDAD N° 18

El cubo de la figura tiene 421,875 m3 de volumen.

Calcula la longitud de la diagonal d d

14

ACTIVIDAD N° 19

El cuadrado ABCD tiene el lado de longitud x. Los otros dos cuadrados inscriptos en

la figura, tienen sus vértices en los puntos medios de los lados respectivos. El área

rayada es:

2 2

2 2

2

x 2 xa) b) 4 8

x xc) d) 16 3

xe) 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Si necesitás ayuda podés consultar en la página del curso el archivo:

“Trigonometría”.

ACTIVIDAD N° 20

a) De acuerdo con el esquema indicar cuánto mide x

b) Indicar cuánto mide la altura h con una h 65º 25º

precisión de cm. 10 m x

ACTIVIDAD N° 21 En el rectángulo bcde de la figura, la medida ed es:

10 3a) b) 203

20c) d) 20 . 33

10 cm

b

e d

c a

30º 30º

A B

C D

15

ACTIVIDAD Nº 22

Los dos niveles de un local comercial se vinculan a través de una escalera de un

tramo que tiene 22 escalones desde la planta baja hasta el primer piso. Cada

peldaño mide 16 x 31 (medida de la contrahuella en cm x medida de la huella en

cm). Con el objeto de mejorar la atención al cliente se construirá una rampa con

cinta transportadora que una esos dos pisos, ubicándola al lado de la escalera y

manteniendo el mismo desarrollo que ésta. Se desea saber: ¿Cuánto mediría

aproximadamente el ángulo que formaría la cinta con la horizontal? ¿Qué distancia

aproximada recorrería una persona ubicada sobre esa cinta? ¿El ángulo hallado es

el apropiado para transportar en una cinta a una persona? Averigua cuál es la

pendiente correcta que se debe utilizar en una cinta para transportar a una persona

con discapacidad motriz. Nota: N° de huellas = N° de contrahuellas - 1

ACTIVIDAD Nº 23

Un observador se encuentra a 204 m del edificio de la Torre de PEMEX en la ciudad

de México, mide el ángulo que forma la horizontal con la visual dirigida a la punta de

la construcción y es de 46°. ¿Qué altura tiene el edificio?

ACTIVIDAD Nº 24

Para medir la anchura AC de un barranco, un topógrafo camina de A a B, siguiendo

el borde del barranco. Luego mide BA y el ángulo B. si AB mide 300 m y el ángulo B

56º ¿Cuánto mide AC?

A B

C

16

ACTIVIDAD Nº 25

Se está proyectando una vía de ferrocarril que deberá ascender 300m a lo largo de

una pendiente de 5°. ¿Qué longitud deberá tener la vía?

ACTIVIDAD Nº 26

La torre de un faro se levanta 120 m

sobre el nivel del mar. Hasta 90 m

medidos desde su base, la torre está

rodeada de arrecifes. Desde la cubierta

de un barco, a 6 m sobre el nivel del

mar, un marinero mide el ángulo de la

horizontal con la visual dirigida a la

punta de la torre; el ángulo es de 50°.

¿Está el navío a salvo de los arrecifes?

¿Por qué?

ACTIVIDAD Nº 27

HERÓN (aproximadamente siglo I d.C.), el célebre matemático y constructor

alejandrino, mostró cómo sería posible construir un túnel bajo una montaña, cavando

simultáneamente desde ambos extremos para que al final se encontraran las dos

perforaciones.

Eligió por un lado el punto que juzgó conveniente para el

proyecto, A por el otro lado el punto B, y por último el

punto C, vértice del ángulo ACB, de 90°. A continuación

midió AC y BC; las longitudes respectivas fueron de 100 y

75 m. Ahora, dijo Heron, será posible calcular los ángulos

A y B. Es así que, dio instrucciones a los trabajadores

que se encontraban en el punto A, para que siguieran la

línea que formaba el ángulo calculado con AC. Luego, dio

análogas instrucciones a la cuadrilla que esperaba en B

para iniciar la perforación. ¿Cómo hizo para calcular los

ángulos A y B?

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RRRESPUESTAS

ACTIVIDAD N° 1

Número Campo numérico

a) - 8/7 Q R

b) 2 I R

c) 3 72+ I R

d) -3,188118811881… Q R

e) 9,123 Q R

f) 16,522222222… Q R

g) 23,111213141516… I R

ACTIVIDAD N° 2: Rtas: a);e) y f) ACTIVIDAD N° 3:

24)f;4

9 7)e;5

72)d;3 21)c;

2 54 9)b;

2 4 33 2)a −

−

ACTIVIDAD N° 4:

( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2

x y = x y 2xy

x y x y = x y

x = x x

2x = x x

2x 2x = 2 x

2x 2x = 2 2x

+

+ ⋅

⋅

+

+

+

- -

- -

ACTIVIDAD N° 5: Rtas: a);d) y f) ACTIVIDAD N° 6:

1 2

a)x -3 b) x -1 c) x 6 d) x 4 e) x -1/7f) x -1 ; x 7 / 3 g) x 2 (x 1 no es solución) h) x 10

= = = = ± == = − = = − =

18

ACTIVIDAD N° 7: + − − +

− + −

+ − + +

− + + − + +

4 3

2

2 2 2

2 6 5

a)6x.(4x 3x 5) b)(x 1/ 3).(x 1/ 3)

c)3 / 2x.(x 1/ 2).(x 1/ 2) d)(m n)

e)5.(x 3 / 2) f)(a b).(a b).(a b )

2 4 2g)(p p ).(p ) h) 7.(h h h3 9 3

+ + + + −

− + − − +

− + ++ +

4 3 2

2

h h h 1).(h 1)

i) (x 1).(x 3) j)12(x 1/ 4).(x 1)

x 6.(1 m) x 3x 9k) l) m)x 2 1 m 2

ACTIVIDAD N° 8: a) (−1 ; 2) b) (2 ; 1) c) no tiene solución d) (107,8 ; 110,8) e) (31,18 ; 18) f) (16,59 ; 41,98) ACTIVIDAD N° 9: lados 24 m y 18 m superficie 432 m2

ACTIVIDAD N° 10: 6 13 y 4 13 ACTIVIDAD N° 11: 26 cm ACTIVIDAD N° 12: radio 20 cm, altura 15 cm ACTIVIDAD N° 13: 1,5 cm ACTIVIDAD N° 14: a) ACTIVIDAD N° 15: (36 − 4π) cm2; (56 − 8π) cm2; (30 + 5/4 π) cm2 ACTIVIDAD N° 16: 66,41 % ACTIVIDAD N° 17: a) perímetro 12 π cm; superficie 27/2 π cm2 b) 3/8 y 1

ACTIVIDAD N° 18: 7,5. 3 m ACTIVIDAD N° 19: b) ACTIVIDAD N° 20: x = 36 m y h = 21,45 m ACTIVIDAD N° 21: b) ACTIVIDAD N° 22: aproximadamente 28º, recorrería 7,75 m ACTIVIDAD N° 23: 211,25 m ACTIVIDAD N° 24: 444,77 m ACTIVIDAD N° 25: 3442,11 m ACTIVIDAD N° 26: está a salvo a 95,7 m de la base de la torre. ACTIVIDAD N° 27: A = 36º 52’ 12’’ B = 53º 7’ 48’’

19

FÓRMULAS DE PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS

20

FÓRMULAS DE SUPERFICIES DE FIGURAS PLANAS

21

FÓRMULAS DE VOLÚMENES DE CUERPOS