Álgebra Unidade IV

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Unidade IV

A classe de congruência módulo m determinada por um inteiro b é dada pelo conjunto:

b x x bm

= ∈ ≡{ } / , que é chamado de conjunto dos inteiros módulo m e é representado por Z m. Entãoos b serão os elementos do conjunto Z

m:

Z b b Zm = ∈{ }/

Saiba mais

Para saber mais sobre congruência módulo M, consulte:

MOREIRA C. G. divisibilidade, congruências e aritmética módulo n.Eureka! n. 2, p. 41-52, 1998. Disponível em: . Acesso em: 22. abr. 2013.

EUREKA! n. 5, 1999. Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em:. Acesso em: 22. abr. 2013.

7.1.3 O anel em Zm

Ao considerar m > 2, podemos trabalhar com operações de adição e multiplicação em Zm, o que o

classifica como uma estrutura de anel comutativo com unidade, e, como vimos em exemplos anteriores,se temos Z

p com p primo, além de tudo, ele passa a ser um corpo.

Zm é um anel finito, ou seja, tem um número finito de elementos.

7.1.4 Anéis de polinômios

Considere S = R[X] = {a0, a

1 X + a

2 X2 + ...+ a

n Xn; a

i ∈ R, n ∈ N}, em que

p X a a X a X a X aXnn

ii

i

n( ) ...= + + + + =

=∑0 1 2 2

1

é um polinômio sobre S. Podemos definir

operações de adição e multiplicação para dois polinômios p X aXii

i

n

( ) ==∑

1 e q X b Xi

i

i

m

( ) ==∑

1

, com m m <n, da seguinte forma:

Adição

p x q x a b a b X a b X a b Xn nn

i ii

i

n

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )+ = + + + + + + = +

=

∑0 0 1 10


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ser degenerada, ou seja, ser igual à primeira, que equivale, nesse caso, a fazer o termo dentro da raizigual a zero, resultando em duas equações iguais).

Já no século XVI, Tartaglia deu uma solução completa para se acharem as raízes de equações depolinômios de ordem 3: (ax3 + bx2 + cx + d).

Nesse mesmo século, Ferrari deu uma solução para o polinômio de ordem 4: (ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e).

Saiba mais

Para detalhes da solução completa das raízes de polinômios de ordem 3e 4, consulte as páginas 3, 4 e 5 do seguinte trabalho:

FERNANDEZ, C. S.; SANTOS, R. A. O teorema fundamental da álgebra.In: V BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2010 . JoãoPessoa: UFPB. Disponível em: . Acesso em 03out. 2012.

Em polinômios de ordem 3 e 4, também podemos ter raízes reais ou complexas, lembrando quesempre que um polinômio tem uma raiz complexa, necessariamente ele deve ter outra tambémcomplexa, e é o complexo conjugado da primeira, ou seja, se a primeira solução encontrada foi z

1

= a + bi, necessariamente, seu complexo conjugado, z1 = a – bi, também será uma solução. Então,assim como para os polinômios de ordem 2, os de ordem 3 e 4 também possuem pelo menos umaraiz complexa, pois podemos ter uma única solução com multiplicidade 3 (no caso de um polinômiode ordem 3), como o polinômio x3 – 3x2 + 3x – 1, que possui apenas uma raiz, x = 1, que, nesse caso,tem multiplicidade 3.

Para polinômios com ordens maiores que 4, Abel, no século XIX, provou que não existe solução comradicais como os de grau 1, 2, 3 e 4. Na verdade, casos particulares de polinômios com ordem maioresque 4 possuem soluções específicas, mas, no geral, não é possível se obter uma solução por meio de

radicais para esses polinômios.O Teorema Fundamental da Álgebra foi apresentado por Gauss, no século XVIII, afirmando que

qualquer polinômio de ordem n > 1 e coeficientes reais ou complexos possui pelo menos uma raizcomplexa.

É equivalente dizer que um polinômio de ordem n terá n raízes complexas, mas como já vimos,algumas raízes podem ter multiplicidade, o que faz com que as duas formas de definir o teoremasejam equivalentes.


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Saiba mais

Uma prova com detalhes do Teorema Fundamental da Álgebra pode ser

vista também no trabalho que acabamos de indicar para consulta. Consulte,então, desta vez, a página 7 de:

FERNANDEZ, C. S.; SANTOS, R. A. O teorema fundamental da álgebra. In: V BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2010. João Pessoa:UFPB. Disponível em: < http://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/arquivos/Mini_Cursos_Completos/MC5Completo.pdf>. Acesso em 03 out. 2012.

7.2 Corpos racionais, reais e complexos

Diferentemente do conjunto dos números inteiros, que não possui um elemento inversível,o conjunto dos números racionais, reais e complexos, além de satisfazer todas as propriedadesnecessárias para termos um anel com domínio de integridade, também satisfaz a propriedadenecessária para termos um corpo, situação em que: para um elemento a, sempre existe um elementob , tal que: ab = ba = 1, ou seja, um elemento b inverso ao elemento a. Portanto, chamamos essestrês conjuntos de corpos.

7.2.1 Racionais

O conjunto dos números racionais (Q), além dos elementos do conjunto dos números inteiros,também admite frações não inteiras. O Conjunto Q é definido como:

Q a Z b Zab

= ∈ ∈{ }/ , *

É fácil ver, então, que o que falhava quanto aos números inteiros serem um corpo não acontece

agora no conjunto dos números racionais, pois:a

b

b

a

b

a

a

b⋅ = ⋅ = 1, em que tanto

a

b quanto

b

a fazem

parte de Q.

7.2.2 Reais

O conjunto dos números reais R, por sua vez, inclui todos os seguintes conjuntos: N, Z e Q, assimcomo raízes de números positivos em geral (no caso do conjunto dos números racionais, inclui apenasas raízes exatas). Como os números racionais fazem parte dos números reais, fica, então, fácil provar queo conjunto dos números reais se trata de um corpo, o corpo dos reais .


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Unidade IV

Saiba mais

Saiba mais sobre números reais lendo o artigo:

FRID, H. Os números irracionais. Eureka! n. 10, p. 37-46, 2001. Disponívelem: . Acesso em: 22. abr. 2013.

7.2.3 Complexos

Por fim, temos o conjunto dos números complexos C, que incluem, além dos elementos do conjuntodos números reais, a raiz de números negativos. Como foi já foi visto, podemos escrever um número

complexo, desta forma:

C a bi a R b R i= + ∈ ∈ = −{ }/ , , 1

Portanto, se chamamos z = a + bi, fica claro que o seu inverso, 1/z, também está definido nosnúmeros complexos, o que classifica também o conjunto dos números complexos como um corpo.

8 HOMOMORFISMO E GRUPOS FINITOS E INFINITOS

8.1 Homomorfismo

8.1.1 Homomorfismo de grupos

Tomemos dois conjuntos, A e B não vazios, que possuem, respectivamente as operações binárias * eº. Se A e B são grupos: ((A, *) e (B, º)), uma função f de A em B será, então, um homomorfismo se:

f(a * b) = f(a) º f(b)

Note que, nesse caso, a operação não necessariamente precisa ser conservada. Exemplo:f(x) = ln(x) → f(a.b) = ln(a) + ln(b) = f(a) + f(b)

f(a.b) = f(a) + f(b)

Logo, essa função é um homomorfismo que leva à multiplicação na soma. Notamos o homomorfismotambém na sua inversa, a exponencial:

g(x) = ex → f(a+b) = ea+b = ea . eb = f(a) . f(b)


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A função g é um homomorfismo que leva à soma na multiplicação. Essa função é um homomorfismode grupos.

Conjunto A Conjunto B

f(a * b) = f(a) º f(b)

Operação*a

b

a * b

Operaçãoº

f(a)

f(b)

f(a) º f(b)

Figura 21

8.1.2 Homomorfismo de anéis

Homomorfismo de anéis corresponde às funções ou aplicações que preservam asoperações, transformando, por exemplo, as somas dos elementos do conjunto de partida(domínio) na soma dos elementos do conjunto de chegada (imagem). Da mesma forma,transformam um produto de elementos do conjunto de partida no produto de elementos doconjunto de chegada.

Domínio

f(a)

f(b)

Imagem

A

Ba

b

Figura 22

Simbolicamente, dados a, b ∈ A e f(a), f(b) ∈ B, podemos representar o homomorfismo daseguinte maneira:

f(a + b) = f(a) + f(b) ef(a . b) = f(a) . f(b)


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Observação

Um homomorfismo de grupos é um homomorfismo entre dois grupos

Um homomorfismo de anéis é um homomorfismo entre dois anéis.

Uma transformação linear é um homomorfismo entre dois espaços vetoriais.

Um homomorfismo álgebra é um homomorfismo entre duas álgebras.

Saiba mais

Uma aplicação importante do homomorfismo é o critério de divisibilidadepara números inteiros. Para saber mais a respeito acesse as páginas 13 e 14 dotrabalho indicado em seguida. Outra aplicação de homomorfismo é a Provados Nove, que pode ser vista com mais detalhes na página 15 do mesmo texto.

PICADO, J. Corpos e equações algébricas . Departamento de Matemáticada Universidade de Coimbra, 2009. Disponível em: . Acesso em 03 out. 2012.

Exemplos:

1) Sabemos que o conjunto dos números reais e o conjunto de matrizes (2 x 2) são anéis, tendo comooperações a adição e multiplicação. Podemos definir uma função entre esses anéis da seguinte forma:

f aa

aa R( ) =

∈0

0 com

Logo, f será um homomorfismo de anéis se preservar as operações de adição, ou seja, f(a + b) = f(a) + f(b):

f a ba b

a b

a

a

b

bf a f b( ) ( ) ( )+ =

++

=

= +

0

0

0

0

0

0+

e de multiplicação, ou seja, f(a . b) = f(a) . f(b):

f a ba b

a b

a

a

b

bf a f b( ) ( ) ( )⋅ =

⋅⋅

=

⋅

= ⋅

0

0

0

0

0

0


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2) Seja f: N → C, tal que f(n) = in, com i ∈ C, n ∈ N e f(n) ∈ C e . Note que todos os possíveisresultados de f(n) = in são {1, –1, i,–i}. Desse modo, f(n) = in é uma aplicação não sobrejetora etão pouco injetora. Logo, f(n) = in é um homomorfismo não bijetor, o que, como veremos a seguir,implica no homomorfismo ser um isomorfismo. Portanto, este é um exemplo de uma função queé homormofismo, mas não, isomorfismo.

Vejamos, então, os tipos de homomorfismo que podemos ter.

8.1.3 Tipos de homomorfismos

Endomorfismo

Todo homomorfismo de (H, * ) em si próprio é chamado endomorfismo.

Automorfismo

Um automorfismo corresponde a todo endomorfismo cuja aplicação f é bijetora. Vale lembrar queuma aplicação de um conjunto B em B’ é dita bijetora quando for injetora e sobrejetora ao mesmotempo, sendo que, em uma aplicação injetora, cada elemento da imagem tem um único correspondenteno domínio, enquanto que, numa aplicação sobrejetora, todos os elementos de B' devem ser imagemde elementos de B.

Monomorfismo

Um homomorfismo f é um monomorfismo ou homomorfismo injetor quando a aplicação f é injetora.

Epimorfismo

Um homomorfismo f é um epimorfismo ou homomorfismo sobrejetor quando a aplicação f é sobrejetora.

Isomorfismo

Se f é um homomorfismo de um conjunto B em B' e se também é uma aplicação bijetora, dizemos

que f é um isomorfismo ou que B é isomorfo a B'.

Exemplos:

1) Temos, em seguida, a tabela de representação de Z / 〈5〉 , em que aparecem apenas os restosdas divisões de qualquer número inteiro por 5. Nesse exemplo, temos uma aplicação bijetora,pois ela é injetora (cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio) esobrejetora (todos os elementos de um grupo são imagens do outro). Temos, então, um exemplode um isomorfismo.


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Tabela 8 Tabela 9

+ 0 1 2 3 4 • 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4

2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3

3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2

4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

2) Considerando os grupos (R*+, +) e (R, .), temos:

ao aplicarmos f(x) = In(x): R*+ → R

ou

ao aplicarmos f(x) = In(x) : R → R*+

Podemos notar que se trata de um isomorfismo, pois, como vimos, essas funções sãohomomorfismos, mas nas aplicações entre os grupos (R*

+, +) e (R, .), vemos que se trata de uma

aplicação sobrejetora em ambos os casos.

3) Nos grupos (Z+, +) + e (C*

+, .), na aplicação f: Z

+ → C*

+, em que f(n) = f(n) = in, temos uma aplicação

que não é nem sobrejetora nem injetora, não se encaixa em nenhum dos tipos dos outros tipos dehomomorfismos, sendo, portanto, apenas um homomorfismo.

4) Nos grupos (Z, +) e (Q, +), na aplicação f: Z+ → C *

+, em que f(x) = 4x, temos uma aplicação

de um grupo em outro e notemos que se trata de uma aplicação que é injetora, mas não ésobrejetora, pois, nela, há elementos de Q que não são imagem de nenhum elemento de Z(é fácil ver que a multiplicação de 4 por um inteiro nunca resultará em uma fração racionalnão inteira: ½, ¾ etc). Então, pelas definições dos homomorfismos, vemos que se encaixa nomonomorfismo.

5) Nos grupos (C*, .) e (R*+, .), na aplicação f: C * → R *

+, em que f(z) = |z|, temos uma aplicação

que não é injetora, pois, para mais de um valor diferente de z, resulta no mesmo valor def(z). Por exemplo, |1| = |i| = |–i| = 1, ou seja, três valores diferentes de z resultam no mesmovalor de f(z). No entanto, ela é uma aplicação sobrejetora, pois todo número sempre poderáser o módulo de algum número complexo. Temos, então, exemplo de função que é umepimorfismo.

6) Na aplicação f: Z x Z → Z x Z, em que f(x) = (x + y, 0), temos uma aplicação de um grupo emsi mesmo; logo, temos um endomorfismo, e como essa aplicação não é bijetora, pois temos umsistema de pontos cartesianos inteiros, mas como vemos, poderemos ter a mesma imagem paradiferentes domínios, o que torna essa operação não bijetora, e portanto ela será um endomorfismo,mas não será um automorfismo.


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Logo, não é grupo comutativo com a multiplicação, não é anel comutativo, não é corpo enem é domínio de integridade, é anel com elemento unidade. Portanto, a alternativa corretaé a e) .

3. O conjunto Z com a adição usual é:

a) Grupo abeliano.

b) Não é associativo.

c) Não tem elemento neutro.

d) Não tem simétrico.

e) Não é comutativo.

Resolução:

(Z, +) é grupo abeliano (comutativo). Logo, é associativo, tem elemento neutro, tem simétrico eé comutativo. Portanto, a alternativa correta é a a) . Deixamos a você a tarefa de justificar por que asdemais alternativas são incorretas.

4. Para a estrutura algébrica (Z, +,. ), inteiros com a adição e a multiplicação usuais, podemos dizerque:

a) ( Z, +,. ) é um corpo.

b) ( Z, +,. ) não possui a propriedade comutativa da multiplicação.

c) ( Z, +,. ) é um anel.

d) ( Z, +,. ) não é comutativo com a adição.

e) ( Z, +,. ) não vale a propriedade distributiva.

Resolução:

O conjunto dos inteiros com a adição e a multiplicação é um anel comutativo com elemento unidade.Assim, valem as propriedades: comutativa da adição, comutativa da multiplicação e distributiva. Logo,as alternativas b) , d) e e) são falsas.

No conjunto dos inteiros, não vale a propriedade do elemento inverso, portanto não pode ser corpo.

Assim, a alternativa correta é a c) : ( Z, +,. ) é anel.


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5. Sobre a estrutura de grupo, é correto afirmar que devem valer as propriedades:

a) Associativa e elemento neutro.

b) Associativa, elemento neutro e simétrico.

c) Associativa e distributiva.

d) Associativa e comutativa.

e) Elemento neutro e distributiva.

Resolução:

Para ser grupo, o conjunto não vazio, com uma operação, deve satisfazer as propriedades: associativa,

elemento neutro e simétrico. Logo, a alternativa correta é a b) .

6. Sobre a estrutura de anel, é correto afirmar que:

a) Todo anel é comutativo.

b) Todo anel tem elemento unidade.c) Todo anel é corpo.

d) Todo anel é domínio de integridade.

e) Existe anel que é domínio de integridade.

Resolução:

Para ser anel, não é obrigatório que seja comutativo, que tenha elemento unidade, que seja domíniode integridade, além do fato de nem todo anel ser corpo. Assim, as alternativas a) , b) , c) e d) são falsas.Portanto, a alternativa correta é a e) .

7. Considerando as propriedades das estruturas algébricas e os conjuntos:

I. (IN, +, •).

II. (Z, +, •).

III. (Q, +, •).

IV. (IR, +, •).

É correto afirmar:


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a) Apenas I e II são corpos.

b) Apenas I e III são corpos.

c) Apenas II e III são corpos.

d) Apenas III e IV são corpos.

e) Apenas II e IV são corpos.

Resolução:

Para ser corpo, o conjunto precisa ser: anel comutativo, com elemento unidade, sem divisores dezero e deve existir inverso para todo elemento não nulo. Assim,

• (IN, +, •) não é corpo, pois não é grupo com a adição;

• (Z, +, •) não é corpo, pois não possui inverso para todo elemento não nulo;

• (Q, +, •) é corpo;

• (IR, +, •) é corpo.

Portanto, III e IV são corpos; consequentemente, a alternativa correta é a d) .

8. Considerando as propriedades das estruturas algébricas e os conjuntos:

I. (M2(IR), +, •).

II. (C, +, •).

III. (Q, +, •).

IV. (IR, +, •).

É correto afirmar:

a) I, II e III têm divisores de zero.

b) I, III e IV têm divisores de zero.

c) II, III e IV não têm divisores de zero.

d) I, II e IV não têm divisores de zero.

e) II e IV têm divisores de zero.


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Resolução:

(M2(IR), +, •) têm divisores de zero.

(C, +, •), (Q, +, •) e (IR, +, •) não têm divisores de zero.

Assim, a única alternativa correta é a c) , ou seja, II, III e IV não têm divisores de zero.

9. Considerando a resolução da equação a seguir, no corpo dos reais, as propriedades que justificama forma como foi solucionada (em ordem de utilização) são:

2x + 3 = 7 ⇒ (2x + 3) + (-3) = 7 + (-3) ⇒ 2x + (3 + (-3)) = 4 ⇒ 2x + 0 = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒⇒ x = 4 / 2 ⇒ x = 2

a) Simétrica, comutativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.

b) Simétrica, associativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.

c) Simétrica, comutativa, simétrica e associativa.

d) Simétrica, distributiva, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.

e) Simétrica, comutativa, simétrica, elemento neutro e distributiva.

Resolução:

Observando a resolução, notamos que as propriedades são utilizadas nesta ordem: simétrica,associativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso. Portanto, a alternativa correta é a b) .

10. Considerando a resolução da equação a seguir, no corpo dos reais, as propriedades que justificamessa resolução (em ordem de utilização) são:

2x + 1 = x + 3 ⇒ 2x + (-x) = 3 + (-1) ⇒ x (2 – 1) = 2 ⇒ x . 1 = 2 ⇒ x = 2

a) Simétrica, distributiva e elemento neutro.

b) Simétrica, comutativa e elemento neutro.

c) Elemento neutro, comutativa e elemento neutro.

d) Simétrica, distributiva e elemento inverso.

e) Simétrica, comutativa e elemento inverso.


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Resolução:

Observando a resolução, notamos que as propriedades são utilizadas segundo esta ordem: simétrica,distributiva (para colocar x em evidência) e elemento neutro. Portanto, a alternativa correta é a a) .

8.1.4 Corpo ordenado

Um corpo ordenado é um corpo K (evidentemente, esse conjunto satisfaz as propriedades enunciadasaqui para um conjunto totalmente ordenado), no qual se destacou um subconjunto P ⊂ K, chamadoconjunto dos elementos positivos de K, tal que as seguintes condições são satisfeitas:

I. a soma e o produto dos elementos positivos são positivos. Simbolicamente, temos: x, y ∈ P → x + y ∈ P e x . y ∈ P;

II. dado x pertencente a K, ocorre, exatamente, uma das três alternativas seguintes: ou x = 0, oux ∈ P, ou –x ∈ P.

Num corpo ordenado K, escrevemos x < y, dizendo que x é menor do que y, para significar que y – x∈ P, ou seja, que x = y + z, em que z ∈ P. De modo análogo, escreve-se y > x, para y maior que x.

Exemplo 1

Corpo ordenado dos números racionais.

Exemplo 2

Corpo ordenado dos números reais.

Observação

Um corpo ordenado K chama-se completo quando todo subconjuntonão vazio, limitado superiormente, X ⊂ K, possui supremo em K. Existe um

corpo ordenado completo, R, chamado corpo dos números reais, que, amenos de um isomorfismo, é único.

8.2 Grupos finitos e infintos

Ao estudarmos os grupos finitos, geralmente consideramos a simetria dos objetos matemáticos oufísicos se estes admitem apenas um número finito de estrutura de preservação de transformações. Essestipos de grupos são finitos gerados por reflexões que atuam em um espaço euclidiano de dimensãofinita. Basicamente, um grupo finito é aquele cujo conjunto G tem um número de elementos finito. Onúmero de elementos de G será indicado por ºG, notação que designará a ordem do grupo G. Se G nãofor finito, será um grupo infinito e sua ordem será infinita.


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Lembrete

Se G é um conjunto não nulo, munido de uma operação *, para que G, com essa

operação, seja um grupo (G, *), devem ser satisfeitas as condições denominadasde axiomas de grupo a saber: associatividade, identidade e elementos inversos.

Intuitivamente, sabemos que um conjunto G é finito se os seus elementos podem ser contados. Umexemplo de um conjunto finito com n > 0 elementos é o conjunto dos primeiros n naturais:

Xn = {1, 2, 3, ..., n} = {c∈ N / c < n}

É fácil ver que, se n = 0, temos um conjunto vazio: Xn = ∅. A contagem do número de elementos

de G consiste em estabelecer uma função bijetora entre G e Xn. Esse conceito pode ser formalmentedescrito do seguinte modo:

• o conjunto G diz-se finito, se é isomorfo a Xn, para algum n > 0. Se G não é isomorfo a nenhum

Xn, então dizemos que é infinito.

Exemplos:

1) Xn é isomorfo a si próprio. Desse modo, ele é finito.

2) O subconjunto G ⊂ N será finito se, e somente se, G for limitado.

Observação

G será infinito se, e somente se, existir uma função f: G → G injetora enão sobrejetora.

Lema:

Se f: Xn → Xn é injetora, então f é sobrejetora.Faremos a demonstração disso por indução:

I) Se n = 0, não há o que provar. Note que é possível que seja vazio. Nesse caso, f é injetora esobrejetora, pois f: X

n → X

n e X

né vazio.

II) Supondo que o resultado é valido para n, isto é, se f: Xn → X

n é injetora, então f é sobrejetora.

III) Vamos provar que o resultado também é válido para n + 1, isto é, que sef: Xn+1

→ Xn+1

é injetora,

então f é sobrejetora.


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Vamos supor que f: Xn+1

→ Xn+1

é injetora e que g = f(n+1). Consideremos uma função bijetorah : X

n+1 → X

n+1 , dada por h(n + 1) = g, h(g) = n + 1, e h (x), conforme ilustração em seguida. Em todos

os outros casos, h substitui os naturais g, n + 1 e é a identidade, se x ≠ a, n + 1, mas esse último fatonão necessita de demonstração. Definimos f* = h º f e percebemos que f * é injetora (uma vez que hácomposição de duas funções injetoras), com f * (n – 1) = n + 1, por definição de h. Como f * é injetora,se x ∈ X

n (isto é, x ≠ n + 1), temos f * (x) – x + 1, em que f * (x) ∈ X

nou f * (X

n) ⊂ X

n.

A restrição de f * a Xn a torna, portanto, uma função injetora de X

n em X

n, ou seja, f *(X

n) = X

n. Como

f * (n+1) = n + 1, temos f * (Xn+1

) = Xn +1

, isto é, f * é uma função sobrejetora de Xn+1

→ Xn+1

.

f h

Xn + 1

f * = h º f

Xn + 1 Xn + 1

n + 1

g

•

Xn

•

n + 1

g

•

Xn

•

n + 1

g

•

Xn

•

Figura 23

Observe que f = h–1 º f *é sobrejetora, por ser uma composição de funções sobrejetoras.

A seguir, apresentamos algumas proposição sobre grupos finitos:

1) Se G é finito e f: G → G é injetora, então f é sobrejetora.

Demonstração: seja h : Xn → G uma função bijetora. Note que f * = h–1

º f º h; h : Xn → Xn é injetora,por uma composição de funções injetoras (veja ilustração a seguir). De acordo com o lema anterior, f *é necessariamente sobrejetora. Logo, f * = h–1 º f º h é uma composição de funções sobrejetoras, o quesignifica que ela também é sobrejetora.


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G

X

G

X

f

h h–1

–1f* = h º f º h

Figura 24

Lembrete

Vale lembrar que f: N → N, dada por f(n) = n + 1, é injetora, masnão é sobrejetora. De acordo com o resultado anterior, concluímos queN é infinito.

Vejamos algumas proposições, lemas e corolários importantes sobre os grupos finitos.

1) Corolário: se f: G → G é uma função injetora, e não sobrejetora, então G é um grupo infinito.

2) Corolário: se G é finito, G ⊃ H e f: G → H é uma aplicação injetora, então G = H.

3) Corolário: se f: Xn → G e h : X

m → G são aplicações bijetoras, então n = m.

4) Proposição: se H ⊂ G, temos que:

I. se G é finito, então H também é finito e ºH < º G.

II. se G é finito e ºH = º G, então H = G.

III. se H é infinito, então G também é infinito.

5) Lema: se f: Xn → G é uma aplicação injetora, mas não é sobrejetora, então existe f * : X

n+1 → G,

que é injetora.

6) Lema: se f: Xn → G é uma aplicação injetora, então G é finito e ºG < n.

7) Proposição: se G e H são finitos, então:


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ÁLGEBRA

fazemos 4 rotações de 90º no sentido horário, naturalmente voltando para a configuraçãooriginal, daí o nome que recebe, pois esta é o elemento neutro da nossa aplicação. Além dela,temos a aplicação a que chamaremos de 1, que é uma rotação de 90º, a aplicação 2 , queequivale a duas rotações de 90º (ou seja, uma de 180º) e a aplicação 3 , que corresponde a trêsrotações de 90º (uma de 270º).

1

4

2

3

1 4

2 3

1 4

2 3

1

4

2

3

Rotação 90º para a direita

Rotação 90º para adireita (corresponde a

180º da 1ª figura)Rotação 90º para a

direita (corresponde a360º da 1ª figura)

Rotação 90º para adireita (corresponde a

270º da 1ª figura)

Figura 25

Sendo assim, podemos montar a tabela de rotação do nosso grupo finito, em que especificaremosa rotação como •. Logo, temos:

Tabela 10

• 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

As operações expressas na tabela são extremamente simples de se interpretar. Tomemos alguns

exemplos: 0 com 2 resulta em 2, pois se estamos na situação inicial e giramos duas vezes em 90°,


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Unidade IV

cairemos na situação 2, que é o quadrado rotacionado em 180º; 1 com 2 resulta em 3, pois se jáestamos na situação 1, em que o quadrado está rotacionado em 90º e depois rotacionamos mais duasvezes, será o equivalente a tê-lo rotacionado 3 vezes, ou 270º; 3 com 2: nesse caso, como já estamosinicialmente rotacionados em 270º e desejamos rotacionar mais uma vez, lembremos que, na primeiravez que o fizermos, ele reiniciará o ciclo, voltando para a situação 0, e, na segunda aplicação, iremospara a situação 1.

O interessante nesse problema é que sua tabela de aplicações é exatamente igual ao aneldos congruentes módulo m, considerando a operação de adição. Entretanto, ao pegarmosapenas uma operação, temos exatamente um grupo, que, nesse caso, é finito. Podemos, então,definir esse grupo finito (Z

m, +), que tem as mesmas propriedades de um grupo de rotação

finito.

8.2.2 Conjuntos infinitos

Nesta seção, optamos por apenas apresentar (sem demostrar) os teoremas proposições, lemas ecorolários importantes sobre os grupos infinitos.

Já vimos que N é um conjunto infinito. Em certo sentido, é possível provar que N é o menor conjuntoinfinito que existe.

1. Lema: G é infinito se, e somente se, G contém um subconjunto isomorfo a N.

2. Teorema: G é infinito se, e somente se, existe f: G → G que seja injetora sem sersobrejetora.

3. Teorema (Cantor): h: G → P (G) é uma função, então h não é sobrejetora.

Saiba mais

Você pode encontrar as demonstrações dos itens 1, 2 e 3 na página 409

do seguinte trabalho:FERNANDES, R. J.; RICOU, M. Álgebra abstrata. 2003. Disponível em: Acesso em: 08 out. 2012.

Observação

Conjunto das partes de um conjunto. Se um conjunto G finito possuin elementos, então o conjunto das partes de G terá 2n elementos. Veja o

exemplo a seguir:


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ÁLGEBRA

Se G = {1, 2, 3}, então: ºP (G) – 8, pois 23 = 8; e a sequência do conjuntode subconjuntos de G será:

P (G) = {∅; {1} ;{2};{3};{1, 2};{1, 3};{1, 2};{2, 3};{1, 2, 3}}

Exemplo 1:

Supoha que G = {1, 2}, em que: P (G) = {∅ ;{1};{2};{1, 2}}. Dada a aplicação h : G → P (G) umafunção, sendo h(1) = {2} e h(2) = {1, 2}.

Temos F = {g ∈ G / g ∉ h(g)} = {1}, sendo que, obviamente, F ∉ h(G) = {{2}; {1, 2}}.

Exemplo 2:

Considere o conjunto P(N), formado por todos os conjuntos dos números naturais. Conformeexemplo anterior, P(N) não é isomorfo a N, visto que não é um homomorfismo sobrejetor. Contudo, éfato evidente que f: N → P (N), dada por f(n) = {n}, é injetora, e, portanto, P(N) é infinito.

Exemplo 3:

O conjunto G será numerável se, e somente se, G for um conjunto finito ou isomorfo a N; casocontrário, G será (infinito) não enumerável.

Exemplo 4:

Z é um conjunto não enumerável.

Exemplo 5:

R é um conjunto não enumerável.

Resumo

Relembremos, brevemente, o que vimos nesta unidade. Estudamos acongruência modulo m em Z. Dados a, b e m, dizemos que a é congruenteem b modulo m se, ao dividirmos a por m, a divisão resultar em um resto b,ou seja, a ≡ b (mod m) ou a b

m≡ logo, se m divide a – b. Assim,

a) se r é o resto da divisão de a por m, então a rm≡ ;

b) se a r r Z e r mm≡ ∈( ) ≤


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Unidade IV

Do conjunto Zm, das classes de congruência módulo m, lembremosque se m ≥ 2 m ∈ Z, temos ∀ ∈ ≡ ⇔a b Z a b m

m, , divide a – b. Sendo assim,

a classe de congruência módulo m: b x Z x bm

= ∈ ≡{ }/ o conjunto dosinteiros modulo m: Z b b Z

m

= ∈{ }

/

Estudamos também o conceito de anéis e suas propriedades. Temos,no anel em Zm, (Zm, +, .). Sendo m ≥ 2, o anel é comutativo com unidade.Sendo Zp, com p primo, temos também um corpo. Zm é um anel finito.

Abordamos, ainda, os anéis de polinômios. Seja

S R X a a X a X a X a R n Nnn

i= [ ] = + + + ∈ ∈{ }0 1 2 2 ... , , , em que

p X a a X a X a X aXnn

ii

i

n( ) = + + + + =

=∑0 1 2 2

1

... é um polinômio sobre S.

Seja p X aXii

i

n

( ) ==∑

1

e q X b Xii

i

m

( ) ==∑

1

, com m 1, com coeficientes reais ou complexos, possuipelo menos uma raiz complexa.

Estudamos os corpos racionais, reais e complexos. Um corpo é umdomínio de integridade quando satisfaz a condição: ab = ba = 1. Existeum elemento b que é inverso ao elemento a. Lembremos que o conjuntodos números inteiros não possui elemento inverso e que os conjuntos dosnúmeros racionais, reais e complexos, além de serem anéis com domínio de

integridade, também possuem estrutura de um corpo.


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ÁLGEBRA

Vale lembrarmos que o conjunto dos números racionais (Q) é definido

por: Qa

ba Z b Z= ∈ ∈

/ , * . Como é um anel de integridade e cada

a

b Q

b

a tal que

a

b

b

a∈ ∃ =, , . 1, então Q é um anel.

O conjunto dos números reais R, por sua vez, inclui todos os seguintesconjuntos: N, Z e Q, assim como as raízes de números positivos em geral.Logo, esse conjunto á um corpo.

O conjunto dos números complexos C é expresso por:

c a bi a R b R i= + ∈ ∈ = −{ }/ , , 1 Se z = a + bi, o seu inverso, 1/z, está

definido nos números complexos; logo, é um corpo.

O homomorfismo de grupos e de anéis foi outro tópico abordado nessasegunda parte da nossa disciplina. Sendo A, B ≠ ∅, com as operaçõesbinárias * e o, se A e B são grupos ((A, *) e (B, º)), f: A → B e homomorfismose f(a * B) = f(a) o f(b) ou f(a + b) = f(a) + f(b) e f(a . b) = f(a) . f(b).

São tipos de homomorfismo:

Endomorfismo: homomorfismo de (H, *) em si próprio;

Automorfismo: endomorfismo em que a aplicação f é bijetora;

Monomorfismo: homomorfismo injetor, quando f for injetora;

Epimorfismo: homomorfismo sobrejetor, quando f for sobrejetora;

Isomorfismo: se f é um homomorfismo de B em B’ e se f também éuma aplicação bijetora.

Vale lembrarmos também do conceito de corpo ordenado. K é um corpoordenado se, dado P ⊂ K, as seguintes condições são satisfeitas:

1) a soma e o produto dos elementos positivos são positivos.Simbolicamente, temos: x, y ∈ P → x + y ∈ P e x . y ∈ P;

2) dado x pertencente a K, exatamente uma das três alternativasseguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈ P, ou –x ∈ P.

Num corpo ordenado K, x < y => y – x ∈ P, ou seja, x = y + z, em que z∈ P; também podemos escrever y > x.


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Unidade IV

Estudando grupos finitos e infinitos, vimos que um conjunto G é finitose é isomorfo a Xn, para algum n ≥ 0. Se G não é isomorfo a nenhumXn, então dizemos que G é infinito. Vale relembrarmos destas importantespropriedades:

Se f: Xn → Xn e injetora, então f é sobrejetora.

Se G e finito e f: G → G é injetora, então f é sobrejetora.

Se f: G → G é injetora e não é sobrejetora, então G é um grupo infinito.

Se G é finito, G ⊃H e f: G → H é uma aplicação injetora, então G = H.

Se f: Xn → G e h: Xm → G são aplicações bijetoras, então n = m.

Se H ⊂ G, temos:

a) Se G é finito, então H também e finito e ºH < ºG.

b) Se G é finito e ºH = ºG, então H = G.

c) Se H é infinito, então G também é infinito.

Se f: Xn → G é injetora e não é sobrejetora, então existe f*: Xn + 1 → G,que é injetora.

Se f: Xn → G é uma aplicação injetora, então G é finito e ºG ≤n.

Se G e H são finitos, então:

a) G ∪ H é finito, º(G H) < ºG ∪ ºH;

b) se G e H são disjuntos, então º(G ∪ H) = ºG + ºH.

Vimos que um grupo é cíclico quando indica um sistema de geradores:a ∈ Z é gerador de (G, *); se ∀m ∈ G, existe um m’ ∈ G / m’ = a * m . ⇒H= {am, m ∈ Z}.

Quanto aos conjuntos infinitos, vimos que N é o menor conjuntoinfinito que existe.

G é infinito ⇔ G contém um subconjunto isomorfo a N.

G é infinito ⇔ f: G → G que seja injetora sem ser sobrejetora.

(Cantor). h: G → P(G) uma função. Então h não é sobrejetora.


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ÁLGEBRA

Exercícios

Questão 1. Analise as afirmações sobre homomorfismo:

I. A aplicação f : Z → C* dada por f(m) = im para todo “m” em Z é um homomorfismo de (Z, +) em(C*,

•).

II. O núcleo do homomorfismo f : Z → C* dado por f(m) = im para todo “m” em Z é dado por: N(f) = {0, 4, 8, 12, . . . } = { 4x ; x ∈ Z}

III. No anel (Z6,+,

• ) os elementos: 1 3 4, e são idempotentes.

IV. Sejam os anéis (A, +, • ) e (B, +, •) onde A = {a + b −2 ; a, b ∈ Q } e B = M2 (Q). A aplicaçãof : A → B dada por: f(a + b −2) = a b

b a

−2 é um homomorfismo.

Quais itens são afirmações verdadeiras?

A) I e II.

B) I e IV.

C) II e III.

D) I, II e III.

E) I, III e IV.

Resposta correta: alternativa E.

Análise das afirmativas

I – Afirmação correta.

Justificativa: a aplicação f : Z → C*, dada por f(m) = im para todo “m” em Z, é um homomorfismo de(Z, +) em (C*,

•), pois ∀ m, n ∈ Z, f(m + n) = im+n = im . in = f(m) . f(n).

II – Afirmação incorreta.

Justificativa: o núcleo do homomorfismo f : Z → C*, dado por f(m) = im para todo “m” em Z, é dadopor: N(f) = { 0, ±4, ±8, ±12, . . . } = { 4x ; x ∈ Z }


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Unidade IV

III – Afirmação correta.

Justificativa: no anel (Z6,+,

• ) : ( 1 )2 = 1 , ( 3 )2 = 3 , ( 4 )2 = 4 .

Portanto, para o anel (Z6, +,

• ), os elementos

1,

3 e

4 são idempotentes.

IV – Afirmação correta.

Justificativa: sejam os anéis (A, +, • ) e (B, +,

•) onde A = {a + b −2 ; a, b ∈ Q} e B = M2 (Q).

Verifique se a aplicação f : A → B, dada por: f(a + b −2 ) =a b

b a

−2, é um homomorfismo.

∀ a + b −2 , c + d −2 ∈ A,

i) f [(a + b −2 ) + (c + d −2 )] = f [(a + c) + (b + d) −2 ] =

ac b b b

ad bc a c

a c b d

b d a c

a b

b a

c d

d c

− − ++ +

= + − −

+ + =

−+

−2 2 2 2 2 2( )

= f(a + b −2 ) + f(c + d −2 ).

ii) f [(a + b −2 ) • (c + d −2 )] = f [(ac – 2bd) + (ad + bc) −2 ] =

ac b ad bcad bc ac bd

ac b ad bcad bc ac bd

a bb a− − ++ − = − − ++ − = −2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) .. c dd c− 2

= f(a + b −2 ) • f(c + d −2 ).

Portanto, f é um homomorfismo do anel A no anel B.

Questão 2. Resolvendo o sistema Sx y

x y=

+ =+ =

2 3 7

5 6 em Z

11, o conjunto solução será:

A) S = { ( , )0 7 }

B) S = {( , )0 6 }

C) S = {( , )5 6 }

D) S = {( , )3 7 }

E) S = {( , )3 10 }

Resolução desta questão na plataforma.


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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES

Figura 16

Wonder_Cube__1_.JPG. 1 foto, color. Disponível em: . Acesso em: 02 out. 2012.

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Textuais

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Exercícios

Unidade 1 – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIOTEIXEIRA (INEP). Enade 2008: Computação. Questão 13. Disponível em: . Acesso em: 18 out. 2013.Unidade 2 – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIOTEIXEIRA (INEP). Enade 2005: Matemática. Questão 20. Disponível em: . Acesso em: 18 out. 2013.

Unidade 2 – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIOTEIXEIRA (INEP). Enade 2008: Matemática. Questão 17. Disponível em: . Acesso em: 18 out. 2013.

Unidade 3 – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIOTEIXEIRA (INEP). Enade 2005: Matemática. Questão 23. Disponível em: . Acesso em: 18 out. 2013.


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Informações:

www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000

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Álgebra Unidade IV