ÖABT

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI

ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

Yasin ŞAHİN ÖRNEKTİR

ÖABT

ANALİTİK GEOMETRİ

KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

© Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz,

yayınlanamaz, depolanamaz.

Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir.

Eser Sahibi Yasin ŞAHİN

ISBN: 978-605-66977-0-8

Aybil Basımevi Sertifika No: 31790

Baskı & Cilt:

www.aybilonline.com

Aybil Dijital Baskı Reklam Mühendislik Turizm Sanayi ve Ticaret Limited Şirketi

Ferhuniye Mh. Sultanşah Cd. No:30/A KONYA Tel: 0.332 350 21 71 Fax: 0.332 350 71 21

KONYA – KASIM – 2016

ÖRNEKTİR

İÇİNDEKİLER Noktanın Analitik İncelenmesi ................................................................................................................................ 1 Test 1 ........................................................................................................................................................................ 6 Çözümler .................................................................................................................................................................. 8 Konu Tarama Testi 1 .............................................................................................................................................. 10 Çözümler ................................................................................................................................................................ 11 Doğrunun Analitik İncelenmesi ............................................................................................................................. 12 Test 2 ...................................................................................................................................................................... 19 Çözümler ................................................................................................................................................................ 21 Test 3 ...................................................................................................................................................................... 23 Çözümler ................................................................................................................................................................ 26 Konu Tarama Testi 2 .............................................................................................................................................. 30 Çözümler ................................................................................................................................................................ 31 Analitik Düzlemde Simetri .................................................................................................................................... 32 Test 4 ...................................................................................................................................................................... 37 Çözümler ............................................................................................................................................................... 40 Konu Tarama Testi 3 .............................................................................................................................................. 43 Çözümler ................................................................................................................................................................ 44 Analitik Düzlemde Eşitsizlikler ............................................................................................................................. 45 Test 5 ..................................................................................................................................................................... 48 Çözümler ............................................................................................................................................................... 50 Konu Tarama Testi 4 .............................................................................................................................................. 52 Çözümler ................................................................................................................................................................ 53 Çemberin Analitik İncelenmesi .............................................................................................................................. 54 Test 6 ..................................................................................................................................................................... 64 Çözümler ............................................................................................................................................................... 66 Test 7 ...................................................................................................................................................................... 69 Çözümler ................................................................................................................................................................ 71 Test 8 ...................................................................................................................................................................... 74 Çözümler ................................................................................................................................................................ 76 Konu Tarama Testi 5 .............................................................................................................................................. 78 Çözümler ................................................................................................................................................................ 80 Elips ....................................................................................................................................................................... 82 Test 9 ...................................................................................................................................................................... 87 Çözümler ............................................................................................................................................................... 89 Test 10 .................................................................................................................................................................... 91 Çözümler ................................................................................................................................................................ 94 Konu Tarama Testi 6 .............................................................................................................................................. 97 Çözümler ............................................................................................................................................................... 99 Hiperbol ............................................................................................................................................................... 101 Test 11 ................................................................................................................................................................. 105 Çözümler ............................................................................................................................................................. 108 Konu Tarama Testi 7 ............................................................................................................................................ 111 Çözümler .............................................................................................................................................................. 112

ÖRNEKTİR

Parabol ................................................................................................................................................................. 113 Test 12 ................................................................................................................................................................. 115 Çözümler ............................................................................................................................................................. 118 Konu Tarama Testi 8 ............................................................................................................................................ 121 Çözümler .............................................................................................................................................................. 122 Kutupsal Koordinatlar .......................................................................................................................................... 123 Test 13 ................................................................................................................................................................. 126 Çözümler ............................................................................................................................................................. 128 Konu Tarama Testi 9 ............................................................................................................................................ 129 Çözümler .............................................................................................................................................................. 130 Düzlemde Vektörler ............................................................................................................................................. 131 Test 14 .................................................................................................................................................................. 134 Çözümler .............................................................................................................................................................. 136 Test 15 .................................................................................................................................................................. 138 Çözümler .............................................................................................................................................................. 140 Konu Tarama Testi 10 .......................................................................................................................................... 142 Çözümler .............................................................................................................................................................. 143 Uzayda Vektörler ................................................................................................................................................ 144 Test 16 .................................................................................................................................................................. 147 Çözümler .............................................................................................................................................................. 149 Konu Tarama Testi 11 .......................................................................................................................................... 150 Çözümler ............................................................................................................................................................. 151 Uzayda Doğru Denklemleri ................................................................................................................................. 152 Test 17 .................................................................................................................................................................. 154 Çözümler .............................................................................................................................................................. 156 Konu Tarama Testi 12 .......................................................................................................................................... 158 Çözümler .............................................................................................................................................................. 159 Uzayda Düzlem Denklemleri ............................................................................................................................... 160 Test 18 .................................................................................................................................................................. 163 Çözümler ............................................................................................................................................................. 166 Konu Tarama Testi 13 .......................................................................................................................................... 168 Çözümler ............................................................................................................................................................. 169 Uzayda Simetri – Koordinat Dönüşümleri – Genel Konik Denklemleri .............................................................. 170 Test 19 ................................................................................................................................................................. 176 Çözümler ............................................................................................................................................................. 179 Konu Tarama Testi 14 .......................................................................................................................................... 182 Çözümler ............................................................................................................................................................. 183 Yüzeyler .............................................................................................................................................................. 184 Test 20 .................................................................................................................................................................. 186 Çözümler ............................................................................................................................................................. 189 Konu Tarama Testi 15 .......................................................................................................................................... 191 Çözümler .............................................................................................................................................................. 192 Genel Tarama Sınavı ........................................................................................................................................... 193 Çözümler ............................................................................................................................................................. 203

ÖRNEKTİR

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Arkadaşlar,

ÖABT soruları akademik konulardan ve okul müfredatındaki temel konulardan

oluşmaktadır. Hepimizin amacı bu sınavda başarılı olmak ve istediğimiz bir okula atanmaktır.

Yeni sınav sisteminde bu amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerinizi

pekiştirmeniz, çıkacak soru tiplerine uygun çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık

tekrar yapmanız gerekmektedir.

Analitik Geometri Konu Anlatımlı Çözümlü Soru Bankası Kitabı, yukarıdaki

belirlemeye uygun olarak değişen sınav sistemine göre, sizleri ÖABT sınavına en iyi biçimde

hazırlamak amacıyla düşünülmüştür. Bu kitabın hazırlanmasında çok emek sarf edildiğinden,

kitabı kısmen ya da tamamen çoğaltanlara hakkımı helâl etmiyorum. Faydalanacak tüm

öğretmen arkadaşlara başarılar diler, bugünlere gelmemde büyük pay sahibi olan sevgili eşime

ve dostlarıma şükranlarımı sunarım.

Yasin ŞAHİN

ÖRNEKTİR

Analitik Geometri Yüzeyler

184

Küre

Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan

noktaların geometrik yerine küre denir.

Analitik uzayda merkezi M(a, b, c) ve yarıçapı r

olan kürenin denklemi

2 2 2PM (x a) (y b) (z c) r

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2

dir. Bu ifade açılır ve düzenlenirse,

x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + a2 + b2 + c2 - r2 = 0

D = -2a, E = -2b, F = -2c ve

G = a2 + b2 + c2 - r2 alınırsa küre denklemi,

x2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz + G = 0

biçiminde olur.

-2a = D ise Da2

-2b = E ise Eb2

-2c = F ise Fc2

olduğundan küre merkezinin koordinatları

D E FM , ,2 2 2

dir.

G = a2 + b2 + c2 - r2

2 2 2

2 D E Fr G4 4 4

olacağından kürenin yarıçapı

2 2 21r D E F 4G2

biçimindedir.

= D2 + E2 + F2 - 4G olmak üzere,

i) < 0 ise denklem küre belirtmez.

ii) = 0 ise denklem nokta belirtir.

iii) > 0 ise denklem küre belirtir.

Not:

Merkezi orijin ve yarıçapı r birim olan kürenin denk-

lemi x2 + y2 + z2 = r2 dir.

Silindir

Uzayda sabit bir doğruya paralel kalarak ve sabit

bir eğriye dayanarak hareket eden bir doğrunun

oluşturduğu yüzeye silindir denir.

Dayanak eğrisi (f(t), g(t), h(t)) ve doğrultmanı v

= (a, b, c)

olan silindirin parametrik denklemi

x = f(t) + ka

y = g(t) + kb

z = h(t) + kc

elde edilir. k değerleri eşitlendiğinde

x f(t) y g(t) z h(t)a b c

biçiminde silindirin doğrusal denklemi bulunur.

Parametrik denklemde t ve k yok edilerek elde

edilen F(x, y, z) = 0 denklemine de silindirin kartez-

yen denklemi denir.

ÖRNEKTİR

.Analitik Geometri Yüzeyler

185

Örnek: Dayanak eğrisi

(t, t2, 0) : t R

ve doğrultmanı da V

= (0, 0, 1) olan silindirin denk-

lemini yazalım.

x = t + 0.k = t

y = t2 + 0.k = t2

z = 0 + 1.k = k

x = t ve y = t2 denklemlerinden y = x2 elde edilir.

Koni

Sabit bir eğriye dayanarak hareket eden ve eğri

düzleminde olmayan sabit bir noktadan geçen

doğrunun oluşturduğu yüzeye koni denir. Sabit

noktaya koninin tepe noktası, sabit eğriye koninin

dayanak eğrisi ve hareket ederek koniyi meydana

getiren doğruya da koninin ana doğrusu denir.

Dayanak eğrisi (f(t), g(t), h(t)) ve tepe noktası

1 1 1T(x ,y ,z ) olan koninin parametrik denklemi

1x (1 k)f(t) kx

1y (1 k)g(t) ky

1z (1 k)h(t) kz

dir. Bu denklem sisteminde t ve k yok edilerek f(x, y, z) =

0 şeklinde koninin kartezyen denklemi elde edilir.

Örnek: Dayanak eğrisi

(cost, sint, 0) : t R

ve tepe noktası T(0, 0, 1) olan koninin denklemini

yazalım.

x = (1 - k) cost + k.0 = (1 - k) cost

y = (1 - k) sint + k.0 = (1 - k) sint

z = (1 - k) 0 + k.1 = k

2 2x y 1

1 k 1 k

z = k

olduğundan

2 2x y 1

1 z 1 z

x2 + y2 = (z - 1)2

bulunur.

Dönel Yüzeyler

Düzlemsel bir eğrinin aynı düzlemde bulunan bir

doğru tarafından döndürülmesiyle oluşan yüzeye

dönel yüzey denir.

x = f(z) eğrisinin x ekseni etrafında döndürül-

mesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi

2 2x f y z

y = f(x) eğrisinin y ekseni etrafında döndürülmesiy-

le oluşan dönel yüzeyin denklemi

2 2y f x z

z = f(x) eğrisinin z ekseni etrafında döndürülmesiy-

le oluşan dönel yüzeyin denklemi

2 2z f x y

Örnek: (t2, 0, t) t R eğrisinin x ekseni etrafın-

da döndürülmesiyle elde edilen dönel yüzeyin

denklemini bulalım.

x = t2, y = 0, z = t

x = z2

22 2x y z

2 2x y z

ÖRNEKTİR

Analitik Geometri Yüzeyler Test 20

186

1. Dayanak eğrisi

(0,2cos t,3sin t) t R

ve doğrultmanı V

= (3, 0, 0) olan silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2x y 1

4 9 B)

2 2x y 19 4

C) 2 2y z 1

4 9 D) 2 24y 9z 1

E) 2 2y z 6

2. Dayanak eğrisi x = y = z doğrusu ve doğ-

rultmanı da V

= (2, 0, 1) olan silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x yz2

B) z = x + y

C) z = 2x + y D) z = x + 2y

E) z = 3x - y

3. Dayanak eğrisi 2

2 yx 14

elipsi ve doğ-

rultmanı da V

= (1, 0, 1) olan silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 24x z 1 B) 2

2 y(x z) 14

C) 2

2 (y z)x 14

D) 2

2 y(x z) 14

E) 2

2 (y z)x 14

4. Dayanak eğrisi

(t, t, t) t R

olan ve x y 1 z 21 3 2

doğrusunu da

doğrultman kabul eden silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3x yz4

B) x yz4

C) x 2yz3

D) x 3yz4

E) x 3yz2

5. Dayanak eğrisi

(2,cos t,sin t) t R

ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2 2x 4(y z ) B) 2 2 2z 2(y z )

C) 2 2 2x y z D) 2 2y z 4

E) 2 2 2x z 4y

6. Dayanak eğrisi

2 2 2 2(x,y,z x y 1, z 10 x y

ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2 2z x y B) 2 2 2z 2(x y )

C) 2 2 2z 3(x y ) D) 2 2 2z 4(x y )

E) 2 2 2z 9(x y )

ÖRNEKTİR

.Analitik Geometri Yüzeyler Test 20

187

7. Dayanak eğrisi bir reel sayı olmak üzere,

3 t, t, : , t R

ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x yz B) 2x 2yz

C) 2x 3yz D) 2x 4yz

E) 2x 9yz

8. 2(0, t, 1 t ) t R

eğrisinin z ekseni etrafında döndürülmesiy-le oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?

A) 2 2z 1 x y B) 2z 1 y

C) 2 2z x y D) 2 2 2z x y

E) 2 2 2z 1 x y

9. 2(t, t , 0) t R

eğrisinin y ekseni etrafında döndürülmesiy-le oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?

A) 2y x B) 2 2y 1 x z

C) 2 2y x z D) 2 2y 2(x z )

E) 2 2 2y x z

10. (x,y,z) y 0, z x

eğrisinin x ekseni etrafında döndürülme- siyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) 2 2y x z B) 2 2z x y

C) 2 2x 2(y z ) D) 2 2x y z

E) 2 2 2x y z

11. 2 22x y 1

eğrisinin x ekseni etrafında döndürülme- siyle meydana gelen dönel yüzeyin denk- lemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2 2x y z 1

B) 2 2 22x y z 1

C) 2 2 2x 2y z 1

D) 2 2 2x 2y 2z 1

E) 2 2x 2y 1

12. 2x 3y 2 0

eğrisinin x ekseni etrafında döndürülme- siyle meydana gelen dönel yüzeyin denk- lemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2 2x z y

B) 2 2x z 3y 2

C) 2 2 2x 2 y z

D) 2 2 2x z 3(y z )

E) 2 2 2 2(x 4) 9(y z )

ÖRNEKTİR

Analitik Geometri Yüzeyler Test 20

188

13. Merkezi orijin olan ve P(-2, 0, 3) noktasın- dan geçen kürenin denklemi aşağıdakiler- den hangisidir?

A) x2 + y2 +z2 = 5 B) x2 + y2 + z2 = 8

C) x2 + y2 + z2 = 9 D) x2 + y2 + z2 = 10

E) x2 + y2 + z2 = 13

14. (x + 1)2 + y2 + (z - 2)2 = 16

(x - 2)2 + (y - 4)2 + (z + 10)2 = 25

kürelerinin birbirine en yakın iki noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

15. Denklemi

x2 + y2 + z2 - 4x - 6y + 8z + 20 = 0

olan kürenin yarıçap uzunluğu kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16. Uzayda

x2 + y2 + z2 - 6x - 4y - 12 = 0

denklemi ile verilen kürenin yüzey alanı kaç br2 dir?

A) 4 B) 16 C) 36

D) 100 E) 144

17. A(4, -10, 3) noktasının

x2 + y2 + z2 + 2x - 4y -6z + 5 = 0

küresine olan en kısa uzaklığı kaç birimdir?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 13

ÖRNEKTİR

Analitik Geometri Çözümler Test 20

189

1. x f t k.a x 0 k.3

2 2

y g t k.b y 2cos t k.0

z h t k.c z 3sin t k.0

y z 14 9

Cevap C

2. x f t k.a x t k.2

y g t k.b y t k.0

z h t k.c z t k.1z y kz y kx y 2 z yx y 2z 2y

x yx 2z y z2

Cevap A

3. x cos t

22

y 2sin tz 0 cos t, 2sin t, 0 t

x cos t k.1y 2sin t k.0z 0 k.1x z cos t yx z 1y 4sin t2

Cevap B

4. t, t, t t

v 1,3,2

x t k. 12x zy t k.3 y 3k

3z t k.2

3y 2x z 9k3y 2x z 9 y z0 6y 2x 8z

3y xz4

Cevap D

5. x 1 k .2 k.0

222 2 2 2

2 2 2

y 1 k cos t k.0

z 1 k sin t k.0

xy z 1 k y z4

4y 4z x

Cevap A

6. cos t, sin t, 3

22 2

22 2

2 2 2

x 1 k .cos t k.0 x y 1 ky 1 k .sin t k.0 zx yz 1 k .3 k.0 9

9x 9y z

Cevap E

7. 2x 3 ty t x 3yzz

Cevap C

8.

2 2 2

2

22 2

2 2

x 0y t z 1 y , z f x y

z 1 t

1 x y

1 x y

Cevap A

9.

22 2 2 2

2 2

x t

y t y x , y x zz 0

y x z

Cevap C

ÖRNEKTİR

Analitik Geometri Çözümler Test 20

190

10.

22 2

2

2 2

y 0

z x x y z

z x

x y z

Cevap D

11. 2 22x y 1

2 2

2 22

22 2

2 2

2 22

2 2 2

2x 1 y

1 y 1 yx x2 2

1 y zx f y z , x

2

1 y zx

22x y z 1

Cevap B

12. 2x 3y 2 0

2

2 2

2 2 2

2 2 2

22 2 2

x 3y 2 x 2 3y

x 2 3 y z

x 2 3 y z

x 2 3 y z

x 2 9 y z

Cevap E

13. 2 2 2 2r 2 0 3 r 13

2 2 2x y z 13

Cevap E

14. 1 1m 1,0,2 ,r 4

2 2m 2,4, 10 .r 5

1 2m .m 13

Cevap C

15. 2 2 2x 4x 4 y 6y 9 z 8z 16 9

2 2 2x 2 y 3 z 4 9r 3

Cevap C

16. 2 2 2x 6x 9 y 4y 4 z 25

2 2 2

2

x 3 y 2 z 25

yüzey alanı 4 r 4 25 100

Cevap D

17. 2 2 2x 2x 1 y 4y 4 z 6z 9 9

2 2 2x 1 y 2 z 3 9

m 1,2,3 ,r 3

Cevap D

ÖRNEKTİR

.Analitik Geometri Yüzeyler Konu Tarama Testi 15

191

1. Uzayda

x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0

denklemi ile verilen kürenin yüzey alanı kaç br3 dir?

A) 4 B) 9 C) 18 D) 27 E) 36

2. x2 + y2 + z2 - 2x -6y + 6 = 0

küresinin A(-1, 1, 1) noktasına olan uzaklığı en çok kaç birimdir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. Dayanak eğrisi

2(0, t, t ): t R

ve doğrultmanı da V

= (1, 0, 0) olan silindi-rin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2y z B) 2z y C) 2y x

D) 2x z E) 2z x

4. Dayanak eğrisi

(cos t, 2sin t, 0 : t R

ve doğrultmanı da V

= (0, 0, 2) olan silindi-rin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2

2 yx 14

B) 2 24x y 1

C) 2 22x y 1 D) 2 2x 4y 1

E) 2 2x 2y 1

5. Dayanak eğrisi

2 2 2 2(x,y,z):x z 4, y 5 x z

ve tepe noktası (0, 0, 0) olan koninin denk- lemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2 2z x y B) 2 2 2x z 4y

C) 2 2 2y 4(x z ) D) 2 2 2y x z

E) 2 2 2y 9(x z )

6. Dayanak eğrisi

(0,sin t, cos t): t R

ve tepe noktası T(1, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2 2x y z B) 2 2 2y z (x 2)

C) 2 2 2x y z D) 2 2 2(x 1) y z

E) 2 2 2(x 1) y z

7. 2(t ,0, t) t R

eğrisinin x ekseni etrafında döndürülme- siyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) 2 2x y z B) 2 2 2x y z

C) 2 2x y z 1 D) 2 2 2y x z

E) 2 2z x y

8. 3y2 + z2 = 1

eğrisinin y ekseni etrafında döndürülme- siyle meydana gelen dönel yüzeyin denk- lemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2 2x 3y z B) 2 2 2x y 3z

C) 2 2 2x 2y z 1 D) 2 2 2x 3y z 1

E) 2 2 2x y z 1

ÖRNEKTİR

Analitik Geometri Çözümler Konu Tarama Testi 15

192

1. 2 2 2x 2x 1 y 4y 4 z 6z 9 9

2 2 2

2

x 1 y 2 z 3 9

m 1, 2,3 .r 3

yüzey alanı 4 r 4 .9 36

Cevap E

2. 2 2 2x 2x 1 y 6y 9 z 4

2 2 2x 1 y 3 z 4

m 1,3,0 ,r 2

MA 5

Cevap D

3. x 0 k.1

2 2y t k.0

z t k.0 z y

Cevap B

4. 2

2x cos t k.0

yy 2sin t k.0 x 14

z 0 k.2

Cevap A

5.

2 22

2 2 2

x 1 k 2cos t k.0x zz 1 k 2sin t k.0 y4 4

y 1 k 1 k.0

x z 4y

Cevap B

6.

22 2

22 2

x 1 k 0 k.1

y 1 k sin t k.0 y z 1 k

z 1 k cos t k.0

y z x 1

Cevap E

7. 2 2 2x t x f y z

2 2 2y 0 x z x y z

z t

Cevap A

8. 2 2

2 2 2 1 z 1 z3y 1 z y y3 3

2 2

2 22

2 2 2

1 x zy

31 x zy

33y x z 1

Cevap D

ÖRNEKTİR