Apresentação do PowerPoint - rioeduca.net PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · Material Pedagógico 2017 –4.º bimestre –Matemática. • Ao apresentar o caderno no datashow ou, apenas,

MATEMÁTICA – 9.° ANO

MARCELO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR BENJAMIN

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

MARIA DE FÁTIMA CUNHA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTOORGANIZAÇÃO

CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL

DALTON DO NASCIMENTO BORBA

ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

GIBRAN CASTRO DA SILVA

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO

O “Movimento Matemático” é uma contribuição da Professora RegenteClaudia Rosania Nunes dos Santos Vasconcellos, da Escola Municipal08.33.016 Mário Casasanta.

Objetivo: Facilitar o entendimento de determinado conceito.Acesso: para ter acesso às páginas em que se encontrao Movimento Matemático, será necessário estar logado na sua contado rioeduca.net

FORMAS DE APRESENTAÇÃO DO MOVIMENTO MATEMÁTICO

I – On-line• Para o caderno do Aluno, acessar o Portal Rioeduca

(www.rioeduca.net), Recursos Pedagógicos, Material 4.º bimestre/2017.

• Para o caderno do Professor, acessar a intranet (http://sme) –Material Pedagógico 2017 – 4.º bimestre – Matemática.

• Ao apresentar o caderno no datashow ou, apenas, no computador,ao clicar no Movimento Matemático, você deverá ser encaminhado àapresentação. Em seguida, clicando em qualquer parte daapresentação, ocorrerá (por meio de sucessivos cliques)o movimento na imagem.

II – Off-lineBasta baixar o arquivo do caderno. Ao acessar a página, cliqueno Movimento Matemático. Você deverá ser redirecionado à páginade download. Após baixar e abri-la, clique, sucessivamente,permitindo, assim, a apresentação do Movimento Matemático.

Para criar sua conta rioeduca.net, entre em contato com o Help Desk, através do telefone 4501-4018.

PÁGINA 2MATEMÁTICA – 9.° ANO

1- No plano cartesiano, apresentado a seguir, as coordenadas

da casa e da árvore são, respectivamente,

(A) (2, 3) e (1, –2).

(B) (2, 3) e (–2, 1).

(C) (3, 2) e (1, –2).

(D) (3, 2) e (–2, 1).

3- Qual das funções, apresentadas a seguir, é de 1.º grau?

(A) 𝒚= 21

(B) 𝒚 = 𝓍³ – 7

(C) 𝒚 = 2𝓍 + 3

(D) 𝒚 = 𝓍² – 3𝓍 + 1

4- Um estacionamento cobra R$ 5,00 por estadia, mais

R$ 1,50 por hora de estacionamento.

Sendo 𝒚 o valor pago, pelo motorista, por 𝒙 horas com o

veículo estacionado, a função que expressa essa situação é:

(A) 𝒚 = 5 + 1,5 𝓍

(B) 𝒚 = 6,5

(C) 𝒚 = 5𝓍 + 1,5

(D) 𝒚 = 5 – 1,5 𝓍

2- No começo desse ano, o foguete fabricado no Brasil, VS-

30/Orion, lançou, com sucesso, o experimento atmosférico

europeu ICI-4. O lançamento foi realizado da base de Ando𝒚a, na Noruega.

Baseado na figura abaixo, podemos afirmar que a altura

alcançada, quando ele percorrer 2 mil metros (para 3 = 1,7)

será de

(A) 1 000 m.

(B) 1 500 m.

(C) 1 700 m.

(D) 3 400 m.

altura

.

–4 –3 –2 –1

0

1 2 3 4 5

–1

–2

–3

1

2

3

4

5

𝒙

𝒚


FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2.º GRAU

A figura, apresentada a seguir, representa um terreno retangular com uma piscina ao centro. Em volta da piscina, o terreno será gramado.

Para calcular a área a ser gramada, precisamos calcular a área total do

terreno e retirar a medida da área da piscina.

Sendo assim,

a área total da figura é: x∙2x = 2x²;

a área da piscina (retângulo azul) é: 3∙(x – 5).

Com essas informações, podemos determinar a área a ser gramada da

seguinte maneira:

2x² – 3∙(x – 5), ou seja, 2x² – 3x + 15

Indicando essa área por 𝒚, teremos:

𝒚 = 2x² – 3x + 15

A função definida por 𝒚 = 2x² – 3x + 15 é um exemplo de função polinomial

de 2.o grau (ou função quadrática).

Uma função polinomial de 2.º grau é toda função do tipo

ou

com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0, e é definida para todo 𝓍 que

seja um número real.

𝒚 = ax² + bx + c

Leia os exemplos:

a) 𝒚 = x² – 6 𝓍 + 3

sendo a = 1, b = – 6 e c = 3

b) 𝒚 = – x² + 8

sendo a = – 1, b = 0 e c = 8

c) 𝒚 = – 2x² – 6x

sendo a = – 2, b = – 6 e c = 0

f(x) = ax² + bx + c

2 𝓍

𝓍

𝔁 – 5

3

Muito legal!!!!


O gráfico de uma função de 2.º grau é dado por uma PARÁBOLA com concavidade (abertura da parábola) voltada para cima ou

para baixo.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU

http

://ww

w.m

useuvirtu

alb

rasil.c

om

.br

Ponte JK, que liga o Lago Sul, Paranoá e São Sebastião ao Plano

Piloto em Brasília. Possui três arcos em forma de parábola.

Para entender o gráfico da função de 2.o grau, acompanhe o seguinte

exemplo:

A bola de basquete faz a seguinte trajetória até a cesta. Esse arco

representa o gráfico de uma função de 2.º grau e chama-se

PARÁBOLA.

http

://ww

w.in

epac.rj.g

ov.b

r

Passarela do Samba – Sambódromo - RJ

Essas imagens são de construções

formadas por curvas conhecidas como

parábolas.


Para construir o gráfico de uma função de 2.º grau, podemos fazer o mesmo que na função de 1.º grau:

atribuímos valores para 𝓍 e encontramos o correspondente em 𝒚;

localizamos esses pontos no plano cartesiano;

ligamos esses pontos por meio de uma linha curva denominada parábola.

Exemplos:

– 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

– 1

– 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(1, 0) (3, 0)

(4, 3)

(0, 3)

(–1, 8) (5, 8)

(2, –1)

𝓍

𝒚

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU

𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 3 𝒚 (𝔁, 𝒚)

Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 4(–1) + 3

𝒚 = 1 + 4 + 3𝒚 = 8 (–1, 8) A

Para 𝓍 = 0 𝒚 = (0)² – 4(0) + 3

𝒚 = 0 – 0 + 3𝒚 = ___ (0, ___) B

Para 𝓍 = 1 𝒚 = (1)² – 4(1) + 3

𝒚 = ___ (___,___) C

Para 𝓍 = 2𝒚 = (2)² – 4(2) + 3

𝒚 = ___ (___,___) D

Para 𝓍 = 3𝒚 = (3)² – 4(3) + 3

𝒚 = ___ (___,___) E

Para 𝓍 = 4𝒚 = (4)² – 4(4) + 3

𝒚 = ___ (___,___) F

Para 𝓍 = 5𝒚 = (5)² – 4(5) + 3

𝒚 = ___ (___,___) G

O vértice da parábola de uma função de 2.° grau é o ponto

máximo ou mínimo da curva (depende da

concavidade).

𝒚 = 1 – 4 + 3

𝒚 = 4 – 8 + 3

𝒚 = 9 – 12 + 3

𝒚 = 16 – 16 + 3

𝒚 = 25 – 20 + 3

Observe os pares

ordenados (𝒙, 𝒚) no

plano cartesiano. A

união deles formou a

parábola.

O vértice encontra-

se, exatamente, no

lugar em que a

parábola faz a curva.

Vértice da parábola

A

B

C

D

E

F

G𝒚 = 𝒙² – 4𝒙 + 3

A) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 4x + 3.

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkX85CriEtYSlK_sn





B) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 2x + 1.

𝒚 = x² – 2x + 1 𝒚 (𝔁, 𝒚)

Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 2(–1) + 1

𝒚 = 1 + 2 + 1𝒚 = 4 (–1, 4)

Para 𝓍 = 0𝒚 = (0)² – 2(0) + 1

𝒚 = 0 – 0 + 1𝒚 = 1 (0, ___)

Para 𝓍 = 1𝒚 = (1)² – 2(1) + 1𝒚 = 1 – 2 + 1

𝒚 = 0 (1, ___)

Para 𝓍 = 2𝒚 = (2)² – 2(2) + 1

𝒚 = 4 – 4 + 1𝒚 = _____ (2, ___)

Para 𝓍 = 3𝒚 = (3)² – 2(3) + 1

𝒚 = 9 – 6 + 1𝒚 = _____ (___, ___)

Complete a tabela acima.

Observe os pares ordenados (x, 𝒚) no

plano cartesiano. Marque os pontos

determinados por esses pares.

Ligando-os, construiremos a parábola.

As coordenadas do

vértice da parábola

são (1, 0).

– 2 – 1 0 1 2 3 4

– 1

1

2

3

4

5

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkgAgBqNi0pWjrG3G





1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

– 9

– 1 0 1 2 3 4 5 6

C) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 6𝓍 – 8.

𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 8 𝒚 (𝒙, 𝒚)

Para 𝒙 = 0 𝒚 = – (0)² + 6(0) – 8

𝒚 = – 0 + 0 – 8𝒚 = –8 (0, –8)

Para 𝒙 = 1 𝒚 = – (1)² + 6(1) – 8

𝒚 = – 1 + 6 – 8𝒚 = –3 (1, –3)

Para 𝒙 = 2𝒚 = – (2)² + 6(2) – 8

𝒚 = – 4 + 12 – 8𝒚 = 0 (2, ___)

Para 𝒙 = 3𝒚 = – (3)² + 6(3) – 8

𝒚 = – 9 + 18 – 8𝒚 = 1 (3, ___)

Para 𝒙 = 4𝒚 = – (4)² + 6 (4) – 8

𝒚 = – 16 + 24 – 8𝒚 = _____ (4, ___)

Para 𝒙 = 5𝒚 = – (5)² + 6 (5) – 8

𝒚 = – 25 + 30 – 8𝒚 = _____ (___, ___)

Para 𝒙 = 6𝒚 = – (6)² + 6 (6) – 8

𝒚 = – 36 + 36 – 8𝒚 = _____ (___, ___)

Complete os valores

que estão faltando

na tabela!!!

As coordenadas do


são (___, ___).

Localize, no plano cartesiano, os

pontos (𝒙, 𝒚). Depois, trace a

parábola!!!


– 2 – 1 0 1 2 3 4

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

D) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2.

𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2 𝒚 (𝓍, 𝒚)

Para 𝓍 = –1 𝒚 = – (–1)² + 2(–1) – 2

𝒚 = – 1 – 2 – 2𝒚 = –5 (–1, –5)

Para 𝓍 = 0𝒚 = – (0)² + 2(0) – 2

𝒚 = – 0 + 0 – 2𝒚 = –2 (0, ___)

Para 𝓍 = 1𝒚 = – (1)² + 2(1) – 2𝒚 = – 1 + 2 – 2

𝒚 = _____ (1, ___)

Para 𝓍 = 2𝒚 = – (2)² + 2(2) – 2

𝒚 = – 4 + 4 – 2𝒚 = _____ (___, ___)

Para 𝓍 = 3𝒚 = – (3)² + 2(3) – 2

𝒚 = – 9 + 6 – 2𝒚 = _____ (___, ___)

Lembre-se de completar

os valores que estão

faltando na tabela,

localizar os pontos no

plano cartesiano e traçar

a parábola!!!

As coordenadas do


são (___, ___).


x 𝒚 = x² – 3 𝒚 (x, 𝒚)

–2𝒚 = (–2)² – 3

𝒚 = 4 – 31 (–2, 1)

–1

0

1

2

AGORA,É COM VOCÊ!!!

1- Complete a tabela:

2- Localize os pares ordenados da atividade anterior no

plano cartesiano, apresentado a seguir. Depois, trace a

parábola:

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3

– 1

– 2

– 3

3

2

1


4- Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano

cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a parábola:

– 2

– 2

1

2

3

4

– 1 0 1 2 3

– 1

𝓍 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 + 3 𝒚 (𝓍, 𝒚)

–1𝒚 = – (–1)² + 2(–1) + 3

𝒚 = – 1 – 2 + 30 (–1, 0)

0

1

2

3

3- Complete a tabela:


𝓍 𝒚 = 𝓍² + 2𝓍 – 3 𝒚 (𝓍, 𝒚)

–3𝒚 = (–3)² + 2(–3) – 3

𝒚 = 9 – 6 – 30 (–3, 0)

–2

–1

0

1

5- Complete a tabela: 6- Localize os pares ordenados da atividade anterior no

plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a

parábola:

– 3 – 2 – 1 0

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

1 2


𝓍 𝒚 = 𝓍² – 4𝓍 + 4 𝒚 (𝓍, 𝒚)

0𝒚 = (0)² – 4(0) + 4

𝒚 = 0 – 0 + 44 (0, 4)

1

2

3

4

7- Complete a tabela: 8- Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano

cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a parábola:

– 1 0 1 2 3 4 5

– 1

1

2

3

4

5

6


● Se a > 0 concavidade voltada para “cima”.

● Se a < 0 concavidade voltada para “baixo”.

CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

a) Quanto à concavidade da parábola:

Beatriz, observe que,

nas páginas 5 e 6, as

parábolas estão com as

concavidades voltadas

para cima.

Percebi, Vanessa! Mas nas

parábolas das páginas 7 e 8,

as concavidades estão

voltadas para baixo.

Para saber em que direção a

concavidade está, basta

olhar o sinal do coeficiente de

𝓍². O valor de a!!!


b) Quanto às coordenadas do vértice:

● Se a > 0 o vértice é o ponto de mínimo (ponto mais baixo).

● Se a < 0 o vértice é o ponto de máximo (ponto mais alto).

A abscissa (x) do vértice pode ser calculada pela seguinte fórmula:

A ordenada (𝒚) do vértice pode ser calculada, substituindo-se o 𝓍encontrado na função dada. Observe este exemplo:

𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎

Determinar as coordenadas do vértice da função

𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 4

𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎=

− −6

2 ∙ 1=

6

2= ______

𝑦𝑣 = ____ 2 − 6 _____ + 4 = ____ − ____ + 4 = ______

V(3, –5) Com isso, determinamos,

exatamente, onde a

parábola faz a curva.

O vértice dessa parábola se

localiza nas coordenadas

(3, –5).

E, nesse outro, o

ponto de máximo

é dado pelo maior

valor no eixo 𝒚.

A ordenada (𝒚) do vértice também pode ser encontrada pela fórmula:

𝑦𝑣 =−∆

4𝑎

Nesse gráfico, o

ponto de mínimo

é dado pelo menor

valor no eixo 𝒚.

= (–6)² – 4∙1∙4

= 36 – 16

= 20

𝑦𝑣 =−20

4 ∙ 1= −5

Mas, pra isso, teremos que calcular o valor do delta .


I. Se > 0 a parábola “corta” o eixo x em dois pontos.

II. Se = 0 a parábola tangencia o eixo x em um ponto.

III. Se < 0 a parábola não “toca” no eixo x.

c) Quanto ao discriminante ( = b² – 4ac):

< 0

A parábola não

toca no eixo 𝓍.

= 0

A parábola

“toca” o eixo 𝒙 ,

apenas, em um

ponto.

> 0

A parábola corta o

eixo 𝒙 em dois

pontos.

O discriminante () é o

mesmo que utilizamos na

fórmula de Bháskara

(equação de 2.º grau).


I IIII II

– 1 1 2 3 4 5

– 1

0

1

2

3

4

5

6y

x

– 1 1 2 3 4 5

– 1

0

1

2

3

4

5

6y

x

– 1 1 2 3 4 5

– 1

0

1

2

3

4

5

6y

x

– 1 1 2 3 4 5

– 1

0

1

2

3

4

5

6y

x

– 1 1 2 3 4 5

– 5

0

– 4

– 3

– 2

– 1

1

6y

x

– 1

1 2 3 4 50

5

6y

x

– 1

– 2

– 4

3

– 5



1- Sabendo-se que o gráfico de cada função é uma parábola,

determine a concavidade de cada uma delas (para cima ou

para baixo):

a) 𝒚 = x² + 7x + 6 _______________________________

b) 𝒚 = – 2x² + x – 3 _______________________________

c) 𝒚 = – x² + 5 _______________________________

d) 𝒚 = 3x² – 4x – 1 ______________________________

e) 𝒚 = x² + 9x – 7 ______________________________

2- Determine as coordenadas do vértice da parábola que

representa cada uma das funções:

a) 𝒚 = x² – 10x + 9

b) 𝒚 = 𝔁² + 2x – 8

c) 𝒚 = x² – 2x + 1

d) 𝒚 = – x² + 9


4- Determine a existência e a quantidade de pontos em

que a função intercepta o eixo das abscissas (eixo x).

a) 𝒚 = 𝒙² – 7𝒙 + 6 b) 𝒚 = 2𝒙² + 5𝒙 + 3

c) 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 10 d) 𝒚 = 𝒙² + 14𝒙 + 49

3- Determine o ponto de mínimo ou o ponto de máximo em

cada um dos gráficos. Indique cada um desses pontos:

a) b)

_______________________ ____________________

c) d)

______________________ ______________________

– 1 0

1

2 3 4 5

2

3

– 1

– 2

– 3

1

0– 2– 3– 4

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

1– 1

3

2

1

– 1

0– 1 1 2 3 4 5

6

5

4– 1

– 1– 2– 3– 4

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

0


ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Os zeros de uma função quadrática são os valores de x para os quais 𝒚 = 0 (os pontos que a parábola “corta” o eixo x).

Isso significa que, para achar os zeros de uma função quadrática, é só igualar a função a zero e resolver a equação de 2.º grau. Vamos ler

os exemplos:

Exemplo 1:

Determinar os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5𝔁 + 6:

Solução:

Igualando a função a zero:

x² – 5x + 6 = 0

a = 1

b = (–5)

c = 6

𝑥 =−(−5) ± 1

2 ∙ 1=5 ± 1

2=

Resposta: Os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5 𝔁 + 6 são 2 e 3.

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

= (–5)² – 416

= 25 – 24

= 1

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎

𝑥′ =5 + 1

2=

6

2= 3

𝑥′′ =5 − 1

2=

4

2= 2

Exemplo 2:

Determinar os zeros da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9:

= 6² – 4(– 1)(– 9)

= 36 – 36

= 0

Solução:

Igualando a função a zero:

– 𝔁² + 6𝔁 – 9 = 0

a = (– 1)

b = 6

c = (– 9)

𝑥 =−6 ± 0

2 ∙ (− 1)=−6 ± 0

−2=

Resposta: O zero da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9 é 3.

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎𝑥′ =

−6 + 0

−2=

−6

−2= 3

𝑥′′ =−6 − 0

−2=

−6

−2= 3

Igualando a função a

zero, teremos a

equação de 2.º grau.


AGORA,É COM VOCÊ!!! 1- Determine os zeros de cada função:

a) f(𝔁) = 𝔁 ² + 2 𝔁 – 3

b) f(𝔁) = 5 𝔁 ² + 20

c) f(𝔁) = 𝔁² – 8𝔁 + 16

d) f(𝒙) = 2𝒙² – 4𝒙


2- Sendo 𝒚 = 𝔁² + 2𝔁 – 3, determine

a) os zeros da função (𝒚 = 0):

b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎𝑒 𝑦𝑣 =

−∆

4𝑎:

c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

d) Esboço do gráfico:

– 4 – 1

3

2

1

– 2– 3 0 1 2

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5


3- Sendo 𝒚 = – x² + 4, determine




−∆

4𝑎:


________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

d) esboço do gráfico:

– 1– 2– 3 0 1 2 3

1

2

3

4

5

– 1

– 2

–3


4- Sendo 𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 5, determine




−∆

4𝑎:


_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________


– 2 10– 1 2 3 4

– 2

– 1

3

4

5

6

2

1



________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________


5- Sendo 𝒚 = x² – 2𝒙 + 1, determine




−∆

4𝑎:

– 2 10– 1 2 3 4

6

5

4

2

3

1


1- Qual das funções apresentadas a seguir é de 2.º grau?

(A)𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙² + 5 (B) 𝒚 = 𝒙² + 7𝒙 – 1

(C) 𝒚 = 𝒙 – 3𝒙 + 5 (D) 𝒚 = – 4𝒙 + 9

2- A função 𝒚 = a𝔁² + b𝔁 + c terá a concavidade voltada para

cima se

(A) a = 0. (B) a for positivo.

(C) a for negativo. (D) a não for par.

3- A função definida por 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 8 tem, como zero(s),

(A) 6 e 8.

(B) 5 e –5.

(C) 2 e 4.

(D) 1 e 9. .

4- O gráfico que melhor representa uma função de 2.º grau é:

(A) (B)

(C) (D)

– 2

4

– 1 1 2

– 4

– 3

– 2

0

– 1

1

2

3

– 2

1

1 2

– 4

– 3

– 2

0

– 1

1

2

3

– 1

0 1

– 5

– 3

– 2

– 1

– 4

– 1– 2– 3

– 2

– 1

5

4

3

2

1

0 1– 1– 2– 3


5- Podemos afirmar que são os zeros da função

(A) –3.

(B) –3 e 1.

(C) –1 e 4.

(D) 0.

6 – As coordenadas do vértice da parábola são

(A) (–1, –4).

(B) (–3, 1).

(C) (0, –3).

(D) (–3, 0).

Observe o gráfico e responda às questões 5, 6, 7 e 8: 7- O valor do coeficiente de x² é

(A) zero. (B) positivo.

(C) negativo. (D) irracional.

8- O valor de 𝒚 quando x = 0 é

(A) –3. (B) 0.

(C) 3. (D) 5.

9- Dada a função f(𝔁)= 3𝔁 2 – 10𝔁 + 3, assinale a única

opção verdadeira:

(A) f(0)= –10.

(B) O gráfico é uma reta crescente.

(C) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada

para cima.

(D) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada

para baixo.

– 3 –2 –1 0 1 2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5


PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÃO DE 2.º GRAU

Leia o exemplo:

Certa maçã, lançada para cima, a partir do solo, tem sua

altura h (em metros) expressa em função do tempo t (em

segundos), decorrido após o lançamento, pela seguinte lei

de formação:

h(t) = 18t – 3t2

a) Qual a altura em que esta maçã se encontra, um

segundo após o lançamento?

b) Qual a altura máxima que pode ser atingida pela maçã?

t = 1 s

h(1) = 18∙1 – 3∙1²

h(1) = 18 – 3 = 15

Resposta: 15 m.

Altura máxima é dada pelo 𝒉𝒗 do vértice.

𝒕𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒕𝒗 =−𝟏𝟖

𝟐 ∙ (−𝟑)

𝒕𝒗 = 𝟑

𝒉𝒗 = 18t – 3t2

𝒉𝒗 = 18∙3 – 3∙32

𝒉𝒗 = 54 – 27

𝒉𝒗 = 27

Resposta: 27 m.

c) Qual a maior distância horizontal que essa maçã alcançará

até tocar o chão?

a = –3

b = 18

c = 0 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = 𝟏𝟖² − 𝟒 ∙ (−𝟑) ∙ 𝟎

∆ = 𝟑𝟐𝟒

t =−𝒃± ∆

𝟐𝒂

𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟑𝟐𝟒

𝟐 ∙ (−𝟑)

𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟏𝟖

−𝟔

𝒕′ =−𝟏𝟖 + 𝟏𝟖

−𝟔=

𝟎

−𝟔= 𝟎

𝒕′′ =−𝟏𝟖 − 𝟏𝟖

−𝟔=−𝟑𝟔

−𝟔= 𝟔

Para determinar essa distância, basta calcular o

intervalo entre os zeros da função:

18t – 3t2 = 0

Resposta: 6 m.

6 – 0 = 6



1- Depois de estudar o comportamento de uma bola,

arremessada para o alto e para frente, um pesquisador

elaborou a seguinte lei de formação para seu movimento:

𝒚 = – 2𝒙2 + 8𝒙 em que 𝒚 é a altura (em metros) e 𝒙, o

alcance horizontal (em metros). Observe o gráfico que

descreve a trajetória da bola:

Determine:

a) Qual a altura máxima atingida pela bola?

http://brainl𝒚.com.br/

b) Qual a maior distância horizontal alcançada pela bola?


1- Determine a área de cada retângulo:

a)

b)

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

ÁREA DO RETÂNGULO

Em 2014, o campo do Estádio do Maracanã foi todo

reformado. Para isso, precisou-se saber a área ocupada

pelo gramado.

O cálculo é bem simples!! Basta multiplicar a medida do

comprimento pela medida da largura. Observe:


comprimento

larg

ura

htt

p:/

/glo

boesport

e.g

lobo.c

om

Sabendo-se que as dimensões do campo do Maracanã

possuem 105 m de comprimento por 68 m de largura,

qual a sua área?

A = 105 68 = 7 140 m²

Resposta: Sua área é de 7 140 m².

8 cm

4 c

m

5 cm

9,5

cm

ÁREA DO RETÂNGULO

A = base(b) x altura(h)

ou

A = b . h

Agora, vamos calcular?


ÁREA DO QUADRADO

O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados são congruentes

(possuem a mesma medida).

Para calcular a área da superfície da mesa, apresentada a seguir, é só elevar ao

quadrado a medida do seu lado. Leia:

ÁREA DO PARALELOGRAMO

Apresentadas as medidas da base e da altura do paralelogramo, podemos

calcular a sua área.

1- Determine a área de cada figura:

a)

b)

c)


htt

ps:/

/br.

pin

tere

st.

co

m

4,2 cm

8 cm

Mesa de

tampo

quadrado

Observando a figura, podemos

concluir que a área de um

paralelogramo é igual à área

do retângulo. Então,

A = base(b) x altura(h)

ou

A = b . h

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkX5aTfNzE5lwlv58

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkX5aTfNzE5lwlv58


ÁREA DO LOSANGO

ÁREA DO TRAPÉZIO

A parte amarela da bandeira brasileira é formada por um losango. A sua área será dada

pela multiplicação de suas diagonais e o valor encontrado será dividido por dois.


a)

b)

c)


diagonal menor(d)

diagonal maior(D)

https://pt.wikipedia.org

Esta maquete de ponte foi construída pelos alunos da Universidade Católica de Pelotas

(UCPel). Se observarmos bem, a sua lateral possui o formato de um trapézio.

htt

p:/

/ww

w.u

cp

el.e

du

.br

Para calcularmos a área de um

trapézio, utilizamos a seguinte fórmula:

Observe o cálculo para a área do

losango:

TRAPÉZIO

TRAPÉZIO

LOSANGO

𝐴 =𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐷 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (𝑑)

2

ou




a)

b)

c)

ÁREA DO TRIÂNGULO

As laterais das Pirâmides do Egito são formadas por triângulos. Veja:

Se quisermos calcular a área desses triângulos, basta multiplicarmos

a medida de sua base pela medida de sua altura e dividir o resultado

por 2:

htt

p:/

/revis

tagalil

eu.g

lobo.c

om


3- Para a Copa do Mundo de 2018, na Rússia, foram

compradas gramas naturais para todos os 12 estádios.

Sabendo-se que cada campo possui as dimensões de 110 m

por 75 m, quantos metros quadrados de grama natural são

necessários para cobrir cada campo?

2- João pretende construir pipas conforme esta figura:

Sabendo-se que as diagonais da pipa, que ele pretende

construir, no formato de losango, medem 30 cm e 50 cm,

quantos centímetros quadrados de papel serão necessários,

no mínimo, para construir 10 pipas iguais a esta?

http

://ww

w.d

ica

sm

iud

as.c

om

.br

http

://ww

w.b

9.c

om

.br/

OBMEP – NÍVEL 2

Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos

menores. As áreas de três deles estão indicadas na figura

dada. Qual é a área do retângulo ABCD?

(A) 80. (B) 84. (C) 86. (D) 88. (E) 91.

16

2712

A

B C

D


O = centro da circunferência

r = raio

d = diâmetro

a = arco

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

A circunferência é formada por todos os pontos de um plano que estão localizados a

uma mesma distância r de um ponto fixo denominado centro da circunferência.

Elementos da circunferência

CIRCUNFERÊNCIA

* O diâmetro mede o dobro do valor do raio:

d = 2r* O diâmetro é a

maior corda que pode ser traçada em uma

circunferência.

http://www.vocesabia.net

Se você observar,

a medida do

diâmetro é o dobro

da medida do

raio!!!

http://tilinbrinquedos.com.br

Existem diversos

objetos que nos

dão ideia de

circunferência!!!

Anéis

PulseiraBambolê


C é o comprimento da circunferência.

é igual a 3,14159... (usualmente consideramos = 3,14).

r é o raio da circunferência.

COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Observe esta praça:

A Prefeitura de Goiânia realizou um estudo para cercar a praça que fica numa

rotatória no centro da cidade. Para tal, precisa conhecer o comprimento de seu

contorno.

Para realizar esse cálculo, utiliza-se a fórmula do comprimento da circunferência:

No final:

C = 2 r

Exemplos:

1- A Praça da Prefeitura de Goiânia possui a

forma de um círculo, cujo raio é de 18 metros.

De quantos metros deverá ser o comprimento

da grade que irá cercá-la?

( = 3,14)

Resposta: A grade terá, aproximadamente,

113 m de comprimento.

2- Se uma circunferência possui 31,4 cm de

comprimento, quanto mede seu raio?

C = 2 r

C = 2 3,14 18

C = 113,04

C = 2 r

31,4 = 2 3,14 r

31,4 = 6,28r

r = 31,4/6,28

r ≅ 5

htt

p:/

/arq

cid

ad

e.b

log

sp

ot.

co

m.b

r



1- Calcule o comprimento de uma circunferência quando

a) o raio mede 5 cm:

b) o raio mede 8 m:

c) o diâmetro mede 14 cm:

d) o diâmetro mede 30 m:

2- Qual o raio de uma circunferência que possui um

comprimento aproximado de 62,8 metros?

3- O ciclista Flávio está em treinamento dando voltas em torno

de uma pista circular. Sabendo-se que o raio dessa pista é de

60 m, quantos metros ele percorrerá em cada volta?

4- Bruno dará 10 voltas ao redor de uma praça circular que

possui diâmetro de 24 m. Quantos metros, aproximadamente,

ele percorrerá?

Vamos considerar o

valor de como 3,14.

http

://gale

ria.c

olo

rir.com

60 m


Para comemorar as Olimpíadas de 2016, no Brasil, a Casa da Moeda lançou, em 2012, a moeda de prata “ENTREGA DA BANDEIRA

OLÍMPICA”.

ÁREA DO CÍRCULO

Que moeda

linda!!!

Essa moeda possui um diâmetro de 40 milímetros. Para conhecermos a área de sua

face, é necessário utilizarmos a seguinte fórmula:

A = r²

A é a área do círculo.

é igual a 3,14159... (usualmente consideramos = 3,14).

r é o raio do círculo.

Conhecendo a área de sua face, o

diâmetro da moeda é de 40 milímetros.

Qual é a área de sua superfície (face)?

Resposta: A área da face da moeda é

de, aproximadamente, 1 256 mm² (ou

12,56 cm²).

A = r²

A = 3,14 20²

A = 3,14 400

A = 1 256

htt

p:/

/ww

w.m

oedasdobra

sil.c

om

.br

diâmetro = 40 mm

raio = 20 mm



1- Calcule a área de um círculo quando

a) o raio mede 6 m:

b) o raio mede 7 cm:

c) o diâmetro mede 15 m:

d) o diâmetro mede 30 cm:

2- Qual o raio de um círculo que possui área aproximada de

31 400 cm²?

3- Esta figura mostra a imagem de satélite do furacão Katrina,

(28/08/2005). Sabendo-se que um furacão como esse pode

chegar a 1 000 km de diâmetro, podemos afirmar que a área

total que ele abrange será de quantos quilômetros

quadrados? (Considerando = 3,14)

htt

ps:/

/te

mp

ojo

ao

pe

sso

a.jim

do

.co

m

4- Paulo quer colocar piso em uma sala de formato circular

com 12 metros de diâmetro. Qual será o valor mínimo da

despesa de Paulo, se o metro quadrado do piso custa

R$ 32,50?

Vamos considerar o

valor de como 3,14.


Porcentagem é a razão centesimal representada por %

(lê-se “por cento”).

Exemplo:

a) 0,10 =10

100= 10% b) 0,15 =

15

100= 15%

PORCENTAGEM

Essa forma de representação (10%, 15%, 25%...)

chama-se taxa percentual.

Exemplos:

1- Calcular 20% de 500.

20% 𝑑𝑒 500 =

20

100𝑑𝑒 500 =

500 ∙ 20 ÷ 100 = 100Resposta: 100.

2- Calcular 12% de 1 100.

12% 𝑑𝑒 1 100 =

12

100𝑑𝑒 1 100 =

1 100 ∙ 12 ÷ 100 = 132Resposta: 132.

x

÷

x

÷

3- 15% de uma quantia correspondem a

90 reais. Qual é o valor desta quantia?

15% 𝑑𝑒 ? = 90

15

100𝑑𝑒 ?= 90

90 ∙ 100 ÷ 15 = 600Resposta: 600 reais.

x

÷

htt

p:/

/ww

w.d

istr

ibuic

aohoje

.com

Observe: cem cento porcentagem


2- A turma de Débora possui 40 alunos e 15% faltaram à

aula hoje. Qual a quantidade de alunos que compareceu

nesse dia?

3- Um produto que custa 600 reais foi vendido com um

desconto de 12%. Qual foi o valor do desconto?


1- Determine:

a) 40% de 70:

b) 7% de 300:

c) 25% de 640:

d) 15% de 1200:


6- Nas compras com cartão de crédito, as lojas pagam às

operadoras 5% do valor da nota. Quanto uma loja pagará se

a compra for de 840 reais?

7- A produção mensal de uma fábrica aumentou em 20%, o

que corresponde a 360 peças a mais. Quantas peças eram

produzidas anteriormente?

4- Comprei um carro por 20 mil reais. Depois, o vendi com um

acréscimo de 7%. Por quanto vendi o carro?

5- Uma conta de R$ 350,00 tem um acréscimo de 10% se for

paga com atraso. Qual será o valor dessa conta, se for paga

com atraso?


JUROS

JURO COMPOSTO

Já o sistema de juro composto consiste na definição do percentual da

taxa de juros de acordo com cada período, sendo este novo valor

adicionado ao valor inicial, para que seja feito um novo cálculo no

período seguinte.

Em outras palavras: os juros compostos são os “juros sobre juros”.

Esse é o regime de juros mais comum no sistema financeiro.

Portanto, mais útil para os cálculos de situações cotidianas.

Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 foi aplicado por 3 meses,

a uma taxa de 10% ao mês, no sistema de juros compostos.

Observe:

Mês R$ 1.000,00

1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100

2 1 100 + 1 100∙10% = 1 210

3 1 210 + 1 210∙10% = 1 331Pagamento realizado após três meses.

Definição

Juro ou juros (termo mais usado) é o rendimento que se obtém quando uma instituição financeira empresta dinheiro por um

determinado período. Os juros são para o credor (aquele que tem algo a receber), um acréscimo referente ao período que o capital

esteve emprestado.

Por outro lado, quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, geralmente terá que pagar um acréscimo pela utilização

do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do produto ou do bem. A esse acréscimo também dá-se o nome de juro.

Existem dois tipos básicos de juros:

JURO SIMPLES

O juro é simples quando a taxa é definida

tendo como base o valor inicial

emprestado, sem a incidência de juros

sobre juros.

Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00

foi aplicado por 3 meses, a uma taxa de

10% ao mês, no sistema de juros simples.

Observe:

Mês R$ 1.000,00

1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100

2 1 100 + 1 000∙10% = 1 200

3 1 200 + 1 000∙10% = 1 300Pagamento realizado após três meses



1- As tabelas, apresentadas a seguir, apresentam os valores

obtidos em função do tempo em que foram investidos R$

2.000,00, a partir do mês de março. Leia:

Agora, responda:

a) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 1?

_______________________________________________

b) Qual o valor do juro mensal na tabela 1?

_______________________________________________

c) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 1?

_______________________________________________

d) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 2?

_______________________________________________

e) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 2?

_______________________________________________

f) Qual é a tabela que rendeu o maior juro até o mês de julho?

_______________________________________________

g) Com base no que você observou, complete as frases

abaixo com as expressões simples ou compostos:

Na tabela 1, incidem juros _______________.

Na tabela 2, incidem juros _______________.

Valor (R$) Tempo

2.000,00 Março

2.200,00 Abril

2.400,00 Maio

2.600,00 Junho

2.800,00 Julho

Valor (R$) Tempo

2.000,00 Março

2.200,00 Abril

2.420,00 Maio

2.662,00 Junho

2.928,20 Julho

Tabela 1 Tabela 2


2- Observe esta propaganda:

Agora, responda:

a) Qual o valor desse carro à vista?

_______________________________________________

b) Qual é o valor de entrada, se esse carro for pago

parceladamente?

_______________________________________________

c) Qual o valor total a ser pago nas 30 parcelas?

_______________________________________________

d) Após pagar todas as parcelas e a entrada, qual o valor

total pago pelo carro?

_______________________________________________

3- O Banco “Poupa Bem” emprestou, à Dona Silvia,

R$ 2.000,00 com juros simples de 10% ao mês. Observe as

anotações de Dona Sílvia:

a) Qual o valor dos juros cobrados, por mês, pelo Banco

“Poupa Bem”?

__________________________________________________

b) Em quanto estará a dívida do cliente ao final de 10 meses?

__________________________________________________

Valor

emprestadoR$ 2.000,00

1.º mês R$ 2.200,00

2.º mês R$ 2.400,00

3.º mês R$ 2.600,00

.

.

.

.

.

.

10.º mês ?

Vende-se carro por

R$ 60.000,00

à vista ou entrada de 50%

e saldo em 30 parcelas

mensais, com taxa de 2%

ao mês sobre o valor

financiado no sistema de

juros simples.http://galeria.colorir.com


1- Na reta, apresentada a seguir, a letra que melhor representa

a localização da 31 é:

(A) A. (B) B.

(C) C. (D) D.

2- A única sentença que representa uma função de 2.º grau é:

(A) 𝒚 = 2𝒙 – 7. (B) 𝒚 = 5𝒙² – 3𝒙 + 4.

(C) 𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙 ² + 5𝒙. (D) 𝒚 = 2(3𝒙 – 4).

3- O lucro (𝒚), em reais, de uma pequena confecção é

calculado através da função 𝒚 = 𝒙² – 15𝒙, sendo 𝒙 o número

de peças produzidas. Se a confecção produzir 40 peças de

roupa, terá, de lucro,

(A) 800 reais. (B) 1 000 reais.

(C) 1 600 reais. (D) 2 400 reais.

4- A função de 2.º grau, definida por 𝒚 = 𝒙² + 3𝒙 – 4, tem como zeros

de função:

(A) – 4 e 1. (B) – 4 e 3.

(C) 1 e 3. (D) 3.

5- A Professora Penha escreveu, no quadro, a seguinte função:

f(𝒙) = 𝒙² – 16

Na construção do gráfico, o vértice ficou localizado no par ordenado:

(A) (8, 0). (B) (1, 6).

(C) (0, –16). (D) (– 3, 3).

6- A função representada por este gráfico possui:

(A) > 0 e a > 0

(B) < 0 e a > 0

(C) = 0 e a = 0

(D) = 0 e a < 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A B C D

– 1

– 1

1

1

Y

X

0


7- O gráfico que melhor representa a função 𝒚 = 𝒙 ² – 9 é:

(A) (B)

(C) (D)

8- Para colocar piso em uma sala, de formato retangular, com

6 m de comprimento e 3,5 m de largura, serão necessários

(A) 30 m² de piso. (B) 21 m² de piso.

(C) 9,5 m² de piso. (D) 2,5 m² de piso.

9- O comprimento de uma circunferência com 10 cm de raio é, em cm,

(A) 3,14. (B) 13,14.

(C) 31,4. (D) 62,8.

10- A circunferência, apresentada a seguir, possui raio de 7,5 cm. Com

essa informação, podemos afirmar que o segmento AB mede, em cm,

(A) 7,5. (B) 15.

(C) 20. (D) 75.

11- Diego aplicou, na poupança, 7 mil reais a uma taxa de 2% ao mês,

durante 10 meses. Quanto ele recebeu de juros simples ao final

desses 10 meses?

(A) 14 reais. (B) 140 reais.

(C) 1 400 reais. (D) 14 000 reais.

12- Quais os juros simples produzidos por um empréstimo de 5 mil

reais, durante 3 anos, a uma taxa de 15% ao ano?

(A) R$ 2.250,00. (B) R$ 3.000,00.

(C) R$ 5.550,00. (D) R$ 10.000,00.

A

B

( = 3,14)

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Apresentação do PowerPoint - rioeduca.net PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · Material Pedagógico 2017 –4.º bimestre –Matemática. • Ao apresentar o caderno no datashow ou, apenas,