Astronomija i astrofizika I

UNUTRAŠNJOST ZVIJEZDA

HIDROSTATSKA RAVNOTEŽA

- Spektroskopska i fotometrijska opažanja određivanje svojstava vanjskih dijelova atmosfera zvijezda: efektivna temperatura, luminozitet, sastav

- Ne postoji opažačka metoda kojom je moguće izravno opažati unutrašnjost zvijezda izuzetak je opažanje neutrina

- Neutrinska astronomija je nedovoljno razvijena zbog problema vrlo slabe interakcije neutrina s materijom

Određivanje unutarnje strukture zvijezda

- Određivanje strukture unutrašnjosti zvijezda numerički pristup pomoću računala numeričko modeliranje i računalni modeli

- Modeli moraju biti u skladu s poznatim zakonima fizike i voditi do svojstava na površini koja odgovaraju opaženim svojstvima

- Fizikalni procesi u unutrašnjosti zvijezde moraju dovesti do opaženih svojstava fotosfere zvijezde

- Numeričko modeliranje i određivanje strukture zvijezda je omogućeno tek razvojem računala (60-ih godina 20. stoljeća)

- Detaljno računalno modeliranje unutrašnjosti i evolucije zvijezda najveći uspjesi moderne astrofizike

- Niz detalja i pitanja vezana za evoluciju i strukturu još su uvijek problematična potrebna su detaljnija modeliranja i veća snaga računala

- Zvijezde su dinamički objekti koji se mijenjaju na vrlo dugoj skali (milijuni i milijarde godina) moguće su i vrlo brze promjene: eksplozija supernova

- Snaga zračenja Sunca: 3.839 × 1026 J/s- Zvijezde nemaju beskonačan izvor energije izvor

energije mora se tijekom vremena potrošiti

Evolucija zvijezda je stalna borba s gravitacijskom silom i gravitacijskim kolapsom!

Jednadžba hidrostatske ravnoteže

- Gravitacijska sila je uvijek privlačna svaka nakupina materije težit će kolapsu u centar mase uslijed gravitacijskog međudjelovanja gravitacijski kolaps

- Dodatna sila mora postojati kako bi uravnotežila gravitacijsku silu i spriječila kolaps sila uslijed tlaka plina

- Promatrajmo valjak ispunjen plinom mase dm čija je osnovica udaljena za r od središta sferno-simetrične zvijezde

- Površine baza valjka iznose dA, visina valjka je dr- Pretpostavimo da na valjak djeluju samo gravitacijska sila i

sila tlaka koja je uvijek okomita na površinu i mijenja se s udaljenošću od središta zvijezde

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

Newtonov drugi zakon fizike: 𝐹 = 𝑚 𝑎

Rezultantna sila na valjak:

𝑑𝑚𝑑2𝑟

𝑑𝑡2 = 𝐹𝑔 + 𝐹𝑃,𝑡 + 𝐹𝑃,𝑏

Fg je gravitacijska sila (Fg < 0), FP,t i FP,b su sile uslijed tlaka s gornje i donje osnovice valjka

- Sile tlaka na plašt valjka međusobno će se poništiti

- Sila tlaka je uvijek okomita na površinu sila tlaka na vrhu valjka je usmjerena prema središtu zvijezde (FP,t < 0), a na dnu valjka prema površini zvijezde (FP,b > 0),

- Razlika u silama tlaka dFP na gornju i donju bazu (osnovicu) valjka predstavlja promjenu sile tlaka s udaljenošću r :

𝐹𝑃,𝑡 = − 𝐹𝑃,𝑏 + 𝑑𝐹𝑃

Newtonov zakon:

𝑑𝑚𝑑2𝑟

𝑑𝑡2= 𝐹𝑔 − 𝑑𝐹𝑃

Gravitacijska sila na malu masu dm udaljenu za r od središta sferno-simetrične zvijezde:

𝐹𝑔 = −𝐺𝑀𝑟𝑑𝑚

𝑟2

Gdje je Mr masa unutar sfere polumjera r unutarnja masa- Doprinos mase iznad položaja r valjka, odnosno doprinos

sferno-simetrične ljuske mase izvan polumjera rgravitacijskoj sili jednako je nula

Tlak je djelovanje sile na jediničnoj površini:

𝑃 ≡𝐹

𝐴

Razlika u silama tlaka dFP između gornje i donje osnovice valjka vodi do razlike u tlakovima dP :

𝑑𝐹𝑃 = 𝐴𝑑𝑃

Uvrštavanjem u jednadžbu za drugi Newtonov zakon:

𝑑𝑚𝑑2𝑟

𝑑𝑡2 = −𝐺𝑀𝑟𝑑𝑚

𝑟2 − 𝐴𝑑𝑃

Za gustoću plina u cilindru, možemo odrediti masu plina u cilindru:

𝑑𝑚 = 𝜌𝐴𝑑𝑟Adr je volumen valjka

𝜌𝐴𝑑𝑟𝑑2𝑟

𝑑𝑡2= −𝐺

𝑀𝑟𝜌𝐴𝑑𝑟

𝑟2− 𝐴𝑑𝑃

Konačno, jednadžba radijalnog gibanja valjka u sfernoj simetriji:

𝝆𝒅𝟐𝒓

𝒅𝒕𝟐 = −𝑮𝑴𝒓𝝆

𝒓𝟐 −𝒅𝑷

𝒅𝒓

Statička aproksimacija zvijezde svaki dio zvijezde ima ubrzanje jednako nuli

Jednadžba hidrostatičke ravnoteže:𝒅𝑷

𝒅𝒓= −𝑮

𝑴𝒓𝝆

𝒓𝟐= −𝝆𝒈

lokalno ubrzanje sile teže je 𝑔 ≡ 𝐺𝑀𝑟/𝑟2

- Jedna od fundamentalnih jednadžbi strukture sferno-simetričnog zvjezdanog objekta pod pretpostavkom zanemarujuće malog ubrzanja plina

- Mora postojati gradijent tlaka (promjena tlaka s udaljenošću od središta) kako bi zvijezda bila statička i u hidrostatičkoj ravnoteži

- Gradijent tlaka uravnotežuje gravitacijsku silu- Postojanje tlaka plina nije dovoljno za statičku

ravnotežu!!- Tlak mora opadati s povećanjem udaljenosti od

središta tlak u središtu zvijezde je veći nego na površini

Primjer: Procijenite tlak u središtu Sunca. Pretpostavite da je Mr = 1 MSun, r = 1 RSun, 𝜌 = 𝜌Sun = 1410 kg/m3 je srednja gustoća Sunca. Pretpostavite da je tlak na površini približno nula

- Diferencijalni izraz za tlak može se napisati kao razlika:𝑑𝑃

𝑑𝑡~

𝑃𝑠 − 𝑃𝑐

𝑅𝑠 − 0~

𝑃𝑐

𝑅𝑠

Pc je tlak u središtu Sunca, Ps i Rs su tlak i polumjer na površini Sunca- Gornji izraz uvrstimo u jednadžbu hidrostatičke ravnoteže:

𝑃𝑐~ − 𝐺𝑀Sun 𝜌Sun

𝑅Sun~2.7 × 1014 N/m2

- Točna vrijednost tlaka u središtu integracijajednadžbe hidrostatske ravnoteže od površine do središta zvijezde:

𝑃𝑠

𝑃𝑐

𝑑𝑃 = 𝑃𝑐 = − 𝑅𝑠

𝑅𝑐 𝐺𝑀𝑟𝜌

𝑟2 𝑑𝑟

- Unutarnja masa Mr mijenja se s udaljenošću r, baš kao što je i gustoća ovisna o polumjeru r 𝜌𝑟 ≡ 𝜌 𝑟

- Za točnu integraciju potrebno je poznavati funkcije Mr(r) i (r) ove ovisnosti nisu poznate, već ih je potrebno odrediti rješavanjem skupa fundamentalnih jednadžbi

Precizniji i detaljniji račun Sunčevog modela:𝑃𝑐 = 2.34 × 1016 N/m2

- Znatno veći iznos tlaka od prethodne procjene zbog velike gustoće u središtu Sunca

- Izraženo u atmosferama: 2.3 × 1011 atm

Jednadžba očuvanja mase

Promatrajmo ljusku mase dMr i debljine dr koja se nalazi na udaljenosti r od središta sferno-simetrične zvijezde

Pod pretpostavkom da je ljuska dovoljno tanka(𝑑𝑟 ≪ 𝑟) volumen ljuske iznosi 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2𝑑𝑟

Masa ljuske iznosi:𝑑𝑀𝑟 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌 4𝜋𝑟2𝑑𝑟

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

Jednadžba očuvanja mase

- Promatrajmo ljusku mase dMr i debljine dr koja se nalazi na udaljenosti r od središta sferno-simetrične zvijezde

- Pod pretpostavkom da je ljuska dovoljno tanka (𝑑𝑟 ≪ 𝑟) volumen ljuske iznosi 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2𝑑𝑟

Masa ljuske iznosi:𝑑𝑀𝑟 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌 4𝜋𝑟2𝑑𝑟

Jednadžba očuvanja mase:𝑑𝑀𝑟

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝑑𝑟

- Jednadžba očuvanja mase opisuje kako se masa mora mijenjati s udaljenošću r od središta zvijezde druga fundamentalna jednadžba zvjezdane strukture

JEDNADŽBA STANJA ZA TLAK

- Što je izvor tlaka u zvijezdi koji je nužan za uspostavljanje hidrostatske ravnoteže?

- Tlak je makroskopska posljedica međudjelovanja konstituenata plina potrebno je izvesti jednadžbu stanja za tlak plina

- Jednadžba stanja opisuje ovisnost tlaka o drugim fundamentalnim svojstvima plina temperatura, gustoća

- Jednadžba stanja za tlak tlak idealnog plina:𝒑𝑽 = 𝑵𝒌𝑻

- Otkuda ova jednadžba za tlak idealnog plina? izvod iz fundamentalnih principa bitno za razumijevanje okoline i uvjeta u kojima ova aproksimacija vrijedi

Integral tlaka

- Promatrajmo valjak plina dužine ∆𝑥 i poprečnog presjeka površine A

- Plin se sastoji od točkastih čestica mase m koje međudjeluju u savršeno elastičnim sudarima idealni plin

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

- Promatramo sudar čestice sa zidom valjka upadni i izlazni kut prije i nakon sudara čestice sa zidom moraju biti jednaki jer su sudari elastični promjena količine gibanja je samo u smjeru okomitom na površinu zida (x-os)

- Drugi Newtonov zakon za pojedinačnu česticu (mala slova):

𝑓 = 𝑚 𝑎 = 𝑑 𝑝/𝑑𝑡- Treći Newtonov zakon akcija je jednaka reakciji

impuls sile koju je zid primio 𝑓∆𝑡 jednak je promjeni

količine gibanja čestice: 𝑓∆𝑡 = −∆ 𝑝 = 2𝑝𝑥 𝑖

gdje je px komponenta količine gibanja čestice u x smjeru

- Vremenski interval između dva sudara čestice sa zidom valjka čestica mora proći dvostruku dužinu valjka da bi se vratila i udarila u isto mjestu na zidu:

∆𝑡 = 2∆𝑥

𝑣𝑥

- Srednja sila kojom pojedinačna čestica u tom vremenu djeluje na zid valjka iznosi:

𝑓 =2𝑝𝑥

∆𝑡=

𝑝𝑥𝑣𝑥

∆𝑥𝑝𝑥 ∝ 𝑣𝑥 ⟹ 𝑓 ∝ 𝑣𝑥

2

Veličina vektora brzine:𝑣2 = 𝑣𝑥

2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧

2

Za statistički veliki broj čestica u plinu svi smjerovi su jednakopravni:

𝑣𝑥2 = 𝑣𝑦

2 = 𝑣𝑧2 =

𝑣2

3⟹ 𝑝𝑥𝑣𝑥 =

1

3𝑝𝑣

- Srednja sila po čestici s količinom gibanja p :

𝑓 𝑝 =1

3

𝑝𝑣

∆𝑥- Čestice imaju raspodjelu količine gibanja ako je Npdp

broj čestica s količinom gibanja između p i p+dp, tada je ukupan broj svih čestica u valjku:

𝑁 = 0

∞

𝑁𝑝𝑑𝑝

- Doprinos ukupnoj sili dF(p) svih čestica s količinom gibanja između p i p+dp iznosi:

𝑑𝐹 𝑝 = 𝑓 𝑝 𝑁𝑝𝑑𝑝 =1

3

𝑁𝑝

∆𝑥𝑝𝑣𝑑𝑝

- Integriranje preko svih mogućih vrijednosti količine gibanja ukupna sila uslijed sudara čestica sa stjenkom valjka:

𝐹 =1

3 0

∞ 𝑁𝑝

∆𝑥𝑝𝑣𝑑𝑝

- Volumen valjka: ∆𝑉 = 𝐴∆𝑥- Broj čestica po jediničnom volumenu s količinom

gibanja između p i p+dp :

𝑛𝑝𝑑𝑝 =𝑁𝑝

∆𝑉𝑑𝑝

Tlak na stjenke posude integral tlaka:

𝑃 =1

3 0

∞

𝑛𝑝𝑝𝑣𝑑𝑝

- Za zadanu funkciju raspodjele npdp gustoće čestica može se odrediti tlak

Idealni tlak sa srednjom molekulskom težinom

- Integral tlaka vrijedi i za masene i za bezmasene(fotoni) čestice koje se gibaju proizvoljnom brzinom

- Za masivne nerelativističke čestice količina gibana je:𝑝 = 𝑚𝑣

Integral tlaka:

𝑃 =1

3 0

∞

𝑚𝑛𝑣𝑣2𝑑𝑣

gdje je 𝑛𝑣𝑑𝑣 = 𝑛𝑝𝑑𝑝 broj čestica po jediničnom volumenu s

brzinom između v i v+dv

- Funkcija raspodjele brojčane gustoće čestica po brzinama ovisi o prirodi sustava za idealni plin raspodjela brzina je Maxwell-Boltzmannova:

𝑛𝑣𝑑𝑣 = 𝑛𝑚

2𝜋𝑘𝑇

3/2

𝑒−𝑚𝑣2/2𝑘𝑇4𝜋𝑣2𝑑𝑣

gdje je n brojčana gustoća svih čestica:

n = 0

∞

𝑛𝑣𝑑𝑣

Uvrštavanjem Maxwell-Boltzmannove raspodjele u integral tlaka jednadžba tlaka idealnog plina:

𝑷𝒈 = 𝒏𝒌𝑻

gdje je n ≡ 𝑁/𝑉- Gustoća broja čestica n je povezana s masenom gustoćom

plina za plin sastavljen od čestica različitih masa, pri čemu je 𝑚 srednja masa čestice plina:

𝑛 =𝜌

𝑚

Tlak idealnog plina:

𝑃𝑔 =𝜌𝑘𝑇

𝑚Srednja molekulska težina:

𝜇 ≡ 𝑚

𝑚𝐻

gdje je mH = 1.673532499 10-27 kg masa vodikovog atoma

Srednja molekulska težina je srednja masa slobodne čestice u plinu izražena u jedinicama mase vodika

Tlak idealnog plina izražen preko srednje molekulske mase:

𝑷𝒈 =𝝆𝒌𝑻

𝝁𝒎𝑯

- Srednja molekulska težina ovisi o sastavu plina i ionizacijskom stanju svake komponente

- Ionizacijsko stanje plina je ključno jer svi slobodni elektroni moraju biti uključeni u određivanje srednje mase čestice plina potrebno je odrediti relativni broj različitih stanja ionizacije pomoću Sahine jednadžbe

- Povećanje ionizacije plina smanjuje srednju molekulsku težinu račun je bitno pojednostavljen za neutralan ili potpuno ioniziran plina

Potpuno neutralan plin:

𝑚𝑛 = 𝑗 𝑁𝑗𝑚𝑗

𝑗 𝑁𝑗

gdje su Nj i mj ukupan broj i masa atoma j-tog elementa koji se nalaze u plinu, a sumira se preko svih elemenata

𝜇𝑛 = 𝑗 𝑁𝑗𝐴𝑗

𝑗 𝑁𝑗

gdje je 𝐴𝑗 ≡ 𝑚𝑗/𝑚𝐻

Potpuno ioniziran plin:

𝜇𝑖 ≃ 𝑗 𝑁𝑗𝐴𝑗

𝑗 𝑁𝑗 1 + 𝑧𝑗gdje 1+zj predstavlja ukupan broj čestica po ionu: jezgra + broj slobodnih elektrona uslijed potpune ionizacije atoma j-tog elementa- Srednja molekulska težina može se zapisati i kao maseni

udio 1/ uz 𝑚 = 𝜇𝑚𝐻:

Neutralan plina:1

𝜇𝑛𝑚𝐻=

𝑗 𝑁𝑗

𝑗 𝑁𝑗𝑚𝑗

1

𝜇𝑛𝑚𝐻=

ukupan broj čestica

ukupna masa plina

1

𝜇𝑛𝑚𝐻=

𝑗

broj čestica j elementa

masa čestica j elementa∙masa čestica j elementa

ukupna masa plina

1

𝜇𝑛𝑚𝐻=

𝑗

𝑁𝑗

𝑁𝑗𝐴𝑗𝑚𝐻𝑋𝑗

1

𝜇𝑛𝑚𝐻=

𝑗

1

𝐴𝑗𝑚𝐻𝑋𝑗

gdje je Xj maseni udio atoma j-tog elementa:

𝑋𝑗 =masa čestica j elementa

ukupna masa plinaKonačno:

1

𝜇𝑛=

𝑗

1

𝐴𝑗𝑋𝑗

Neutralan plin:

1

𝜇𝑛≃ 𝑋 +

1

4𝑌 +

1

𝐴𝑛

𝑍

gdje je 1/𝐴 𝑛 težinski usrednjena atomska masa svih

elemenata težih od helija- Za Sunčevu zastupljenost elemenata 1/𝐴 𝑛 ∼ 1/15.5

- Za određivanje srednje molekulske mase potpuno ioniziranog plina potrebno je uključiti ukupan broj svih čestica u plinu – uključujući i jezgre i elektrone

- Atom vodika doprinosi s dvije čestice (proton i elektron), atom helija sa 3 čestice (dva elektrona i jezgra)

Potpuno ionizirani plin:1

𝜇𝑖=

𝑗

1 + 𝑧𝑗

𝐴𝑗𝑋𝑗

Potpuno ionizirani plin:

1

𝜇𝑖≃ 2𝑋 +

3

4𝑌 +

1 + 𝑧

𝐴𝑖

𝑍

- Za elemente puno teže od helija 1 + 𝑧𝑗 ≃ 𝑧𝑗 gdje je

𝑧𝑗 ≫ 1 broj protona (ili elektrona) u atomu j-tog elementa

- Teški atomi zbog stabilnosti jezgara imaju gotovo podjednak broj neutrona i protona u svojim jezgrama, a protoni i neutroni imaju slične mase 𝐴𝑗 ≃ 2𝑧𝑗

1 + 𝑧

𝐴𝑖

≃1

2

Za sastavi tipičan za mlađu zvijezdu (poput Sunca):X = 0.70, Y = 0.28, Z = 0.02

𝝁𝒏 = 𝟏. 𝟑𝟎 𝝁𝒊 = 𝟎. 𝟔𝟐

Srednja kinetička energija po čestici

Iz relacija

𝑃 =1

3 0

∞

𝑚𝑛𝑣𝑣2𝑑𝑣

𝑃𝑔 = 𝑛𝑘𝑇

možemo dobiti srednju kinetičku energiju po čestici:

𝑛𝑘𝑇 =1

3 0

∞

𝑚𝑛𝑣𝑣2𝑑𝑝

1

𝑛 0

∞

𝑛𝑣𝑣2𝑑𝑝 =𝑘𝑇

𝑚

- Lijeva strana jednadžbe je srednja vrijednost od 𝑣2

usrednjena po Maxwell-Boltzmannovoj raspodjeli

𝑣2 =3𝑘𝑇

𝑚

1

2𝑚𝑣2 =

3

2𝑘𝑇

- Faktor 3 potječe iz usrednjavanja brzina u tri smjera (broj stupnjeva slobode)

Srednja kinetička energija čestice iznosi 𝟏

𝟐𝒌𝑻 po

stupnju slobode

Fermi-Diracova i Bose-Einsteinova statistika

- Pretpostavka idealnog plina je dobra za većinu astrofizičkih objekata

- Postoji niz astrofizičkih objekata, stanja plina i okolina za koje pretpostavka idealnog plina nije ispravna

- Gornja granica integracije po brzinama u integralu za tlak je beskonačna brzina je ograničena brzinom svjetlosti prema teoriji specijalne relativnosti

- Nisu uključeni efekti kvantne mehanike raspodjela čestica ne slijedi Maxwell-Boltzmannovu raspodjelu u kvantnim sustavima s Heisenbergovom relacijom neodređenosti i Paulijevim principom isključenja raspodjela čestica je opisana Fermi-Diracovomraspodjelom

- Plin vrlo velike gustoće u kompaktnim objektima poput bijelih patuljaka ili u središtima zvijezda je opisan Fermi-Diracovom statistikom jednadžba stanja za tlak bitno se razlikuje od jednadžbe stanja idealnog plina

- Čestice koje su opisane Fermi-Diracovom statistikom nazivaju se fermioni elektroni, protoni, neutroni

- Bozoni su čestice koje su opisane Bose-Einsteinovom statistikom i mogu se sve pronači u istom stanju (za razliku od fermiona) ove čestice nastoje zauzeti ista stanja fotoni

- U limitu niskih gustoća i malih brzina Fermi-Diracova i Bose-Einsteinova statistika prelaze u Maxwell-Boltzmannovu (klasičan opis plina)

Tlak zračenja

- Fotoni mogu djelovati impulsom sile na druge čestice pri apsorpciji ili raspršenju jer imaju količinu gibanja:

𝑝𝛾 =ℎ𝜈

𝑐- Međudjelovanje elektromagnetskog zračenja sa česticama

plina stvara tlak zračenja- Brzinu čestica v zamjenimo s brzinom svjetlosti,

iskoristimo izraz za količinu gibanja fotona i funkciju raspodjele 𝑛𝑝𝑑𝑝 = 𝑛𝑣𝑑𝑣, iz:

𝑃 =1

3 0

∞

𝑛𝑝𝑝𝑣𝑑𝑝 ⇒

𝑃𝑟𝑎𝑑 =1

3 0

∞

ℎ𝜈𝑛𝜈𝑑𝜈

- Za rješavanje integrala tlaka zračenja nužno je poznavati funkciju raspodjele fotona 𝑛𝜈𝑑𝜈 fotoni su bozoni Bose-Einsteinova raspodjela

- 𝑛𝜈𝑑𝜈 je gustoća broja fotona s frekvencijom između i +d ℎ𝜈𝑛𝜈𝑑𝜈 u stvari predstavlja umnožak energije fotona frekvencije i raspodjele broja fotona iste frekvencije gustoća energije fotona frekvencije između i +d :

𝑃𝑟𝑎𝑑 =1

3 0

∞

𝑢𝜈𝑑𝜈

𝑢𝜈𝑑𝜈 = ℎ𝜈𝑛𝜈𝑑𝜈Raspodjela gustoće energije fotona određena je iz Planckove funkcije za zračenje crnog tijela:

𝑢𝜈𝑑𝜈 =4𝜋

𝑐𝐵𝜈𝑑𝜈 =

8𝜋ℎ𝜈3/𝑐3

𝑒ℎ𝜈/𝑘𝑇 − 1𝑑𝜈

Integracijom dobijemo tlak zračenja:

𝑃𝑟𝑎𝑑 =1

3𝑎𝑇4

- U određenim uvjetima u astrofizici, tlak zračenja fotona može biti znatno veći od tlaka plina sila uslijed tlaka zračenja može biti veća od gravitacijske sile što uzrokuje ekspanziju sustava (npr. vanjskih dijelova zvijezde)

Ukupan tlak:

𝑷𝒕𝒐𝒕 =𝝆𝒌𝑻

𝝁𝒎𝑯+

𝟏

𝟑𝒂𝑻𝟒

Primjer: Procijenite temperaturu u središtu Sunca uzevši u obzir tlak u središtu dobiven grubom procjenom iz uvjeta hidrostatičke ravnoteže (𝑃𝑐~2.7 × 1014 N/m2).

- Zanemarimo tlak zračenja:

𝑃𝑐 =𝜌𝑘𝑇𝑐

𝜇𝑚𝐻⟹ 𝑇𝑐 =

𝑃𝑐𝜇𝑚𝐻

𝜌𝑘- Korištenjem srednje gustoće Sunca 𝜌Sun = 1410 kg/m3 i

pod pretpostavkom da je plin u središtu u potpunosti ioniziran 𝜇𝑖 = 0.62:

𝑇𝑐~1.44 × 107 K- Rezultat je u skladu s teorijskim proračunima Sunčev

model predviđa temperaturu u središtu od 15 700 000 K na toj je temperaturi tlak zračenja 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 1.53 ×1013 N/m2 ili samo 0.065% tlaka plina

- Tlak zračenja u središtu Sunca možemo zanemariti

IZVORI ENERGIJE U ZVIJEZDAMA

- Luminozitet odnosno brzina kojom se energija oslobađa sa zvijezde je vrlo velik što je izvor energije u zvijezdama?

- Zvijezda mora imati dovoljno snažan izvor energije kako bi svjetlila tijekom cijelog svog 'života' dugovječnost zvijezde ovisi o izvoru energije

Gravitacija i Kelvin-Helmholtzova vremenska skala

- Gravitacijska potencijalna energija može biti izvor energije u zvijezdama

- Gravitacijska potencijalna energija sustava dvije čestice:

𝑈 = −𝐺𝑀𝑚

𝑟2

- Ukoliko se udaljenost r između dviju čestica masa M i msmanjuje gravitacijska potencijalna energija postaje negativnija energija je morala preći u drugi oblik, npr. u kinetičku energiju

- Zvijezda bi mogla sjajiti kada bi pretvarala gravitacijsku potencijalnu energiju u toplinu i zatim tu toplinu izračila u svemir

- Virijalni teorem ukupna energija sustava čestica u ravnoteži jednaka je polovici potencijalne energije sustava:

𝐸 =1

2𝑈

- Samo polovica gravitacijske potencijalne energije može biti izračeno, a druga polovica se troši na grijanje zvijezde i povećanje njezine termalne energije

- Gravitacijsku potencijalnu energiju zvijezde odredimo uzevši u obzir sve međudjelujuće parove čestica u zvijezdi

- Gravitacijska sila na točkastu masu dmi koja se nalazi na radijusu r koji obuhvaća sferno simetrično raspoređenu masu Mr i usmjerena je prema središtu sfere:

𝑑𝐹𝐺,𝑖 = 𝐺𝑀𝑟𝑑𝑚𝑖

𝑟2

- Sila je jednaka sili koja bi postojala kada bi se sva masa sfere nalazila u središtu, na udaljenosti r od točkaste mase

Gravitacijska potencijalna energija točkaste mase:

𝑑𝑈𝐺,𝑖 = −𝐺𝑀𝑟𝑑𝑚𝑖

𝑟Pretpostavimo da su točkaste mase jednoliko raspoređene u ljusci debljine dr, mase dm i gustoće , pri čemu je volumen ljuske 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 :

𝑑𝑚 = 4𝜋𝑟2𝜌𝑑𝑟Gravitacijska potencijalna energija ljuske:

𝑑𝑈𝐺 = −𝐺𝑀𝑟4𝜋𝑟2𝜌

𝑟𝑑𝑟

Integriramo po svim ljuskama od središta zvijezde do površine (R je polumjer zvijezde):

𝑈𝐺 = −4𝜋𝐺 0

𝑅

𝑀𝑟𝜌𝑟𝑑𝑟

- Točno određivanje gravitacijske potencijalne energije zahtjeva poznavanje radijalne ovisnosti raspodjele gustoće i mase u zvijezdi (r), Mr(r)

- Uz pretpostavku homogene zvijezde 𝜌~ 𝜌 = constant:

𝜌~ 𝜌 =𝑀

43

𝜋𝑅3

Gdje je M ukupna masa zvijezde- Odredimo približno masu unutar sfere polumjera r :

𝑀𝑟~4

3𝜋𝑟3 𝜌

𝑈𝐺 = −4𝜋𝐺 0

𝑅

𝑀𝑟𝜌𝑟𝑑𝑟 ~ − 4𝜋𝐺 0

𝑅 4

3𝜋𝑟3 𝜌2𝑟𝑑𝑟

𝑈𝐺~ −16𝜋2

15𝐺 𝜌2𝑅5~ −

3

5

𝐺𝑀2

𝑅

Primjena virijalnog teorema ukupna mehanička energija zvijezde:

𝐸~ −3

10

𝐺𝑀2

𝑅

Koliku je energiju oslobodilo Sunce u gravitacijskom kolapsu ako je u prošlosti bilo znatno veće nego što je danas?

- Početni polumjer Sunca 𝑅𝑖 ≫ 1 𝑅Sun

- Ukupna energija koja je izračena za vrijeme gravitacijskog kolapsa:

∆𝐸𝐺 = − 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 ≃ −𝐸𝑓 ≃3

10

𝐺𝑀Sun2

𝑅Sun2 ≃ 1.1 × 1041 J

- Ukoliko je luminozitet Sunca u prošlosti bio otprilike konstantan i jednak današnjem vrijeme u kojem je Sunce tom brzinom moglo oslobađati energiju:

𝑡𝐾𝐻 =∆𝐸𝐺

𝐿𝒕𝑲𝑯~𝟏𝟎𝟕 𝐠𝐨𝐝𝐢𝐧𝐚

Kelvin-Helmholtzova (vremenska) skala tKH za gravitacijski kolaps- Ako je gravitacijska potencijalna energija jedini izvor

energije u Suncu, Sunce može svijetliti 10 milijuna godina- Starost stijena na Mjesecu 4 109 godina!- Starost Sunca je manja od starosti Mjeseca!

gravitacijska potencijalna energija ne može biti glavni izvor energije u Suncu i ne može održavati Sunčev sjaj tijekom cijelog njegovog 'života'!

Kemijska energija u kemijskim procesima kao izvor energije u Suncu?- Energije kemijskih veza i kemijskih procesa su reda 1 – 10

eV po atomu tipične energije stanja u vodikovom i helijevom atomu vezanje atoma u molekule ili transformacija iz jedne vrste molekule u drugu nastanak i nestanak kemijskih veza

- Količina raspoložive kemijske energije je također premala da bi objasnila dugotrajan Sunčev luminozitet

Nuklearna vremenska skala

- Energija kemijskih veza – prijelaza elektrona u elektronskim orbitalama: ~1-10 eV

- Nuklearni procesi pretvorba jedne vrste jezgre u drugu energija ~ MeV

- Broj protona (Z) određuje vrstu elementa i jednak je broju elektrona

- Broj neutrona (N) određuje izotop istog elementa svi izotopi istog elementa imaju isti broj protona

- Maseni broj ili broj nukleona (A) ukupan broj protona i neutrona u jezgri: A = Z + N mase protona i neutrona su slične pa broj nukleona odgovara masi jezgre izraženoj u atomskoj jedinici mase (približno masa protona)

- Atomska jedinica mase 1/12 mase izotopa ugljika-12:1 u = 1.66053873 × 10−27 kg

Mase protona, neutrona i elektrona:𝑚𝑝 = 1.67262158 × 10−27 kg = 1.00727646688 u

𝑚𝑛 = 1.67492716 × 10−27 kg = 1.00866491578 u𝑚𝑒 = 9.10938188 × 10−31 kg = 0.0005485799110 u

Mase nuklearnih čestica izražene kao energija mase mirovanja:

𝐸 = 𝑚𝑐2 ⟹ 1 u = 931.494013 MeV/c2

Najjednostavniji atom izotop vodika koji se sastoji od jednog protona i elektrona mase mH = 1.00782503214 u- Masa atoma vodika je nešto manja od sume masa dijelova

atoma vodika (mase protona i mase elektrona) - Ako je atom vodika u osnovnom stanju razlika u masa je

točno 13.6 eV toliko je energije potrebno predati atomu vodika da bi se ionizirao i 'razdvojio' na elektron i proton

- Masa je ekvivalentna energiji gubitak energije pri rekombinaciji elektrona i protona u atom vodika mora voditi na gubitak ukupne mase atoma vodika

- Rekombinacijom elektrona i jezgre oslobađa se energija vezani sustav jezgre i elektrona stabilniji je od pojedinačnih dijelova

- Nastanak jezgri iz konstituenata (neutroni i protoni) sustav jezgre je stabilniji od pojedinačnih neutrona i protona oslobađa se energija na račun niže mase jezgre od ukupne mase konstituenata

Fuzijske nuklearne reakcije fuzija ('stapanje') lakših jezgara u teže jezgreFisijske reakcije razdvajanje masivne jezgre u više lakših jezgara

Fuzija vodika u helij:𝟒𝐇 ⟶ 𝐇𝐞 + 𝐥𝐚𝐠𝐚𝐧𝐞 č𝐞𝐬𝐭𝐢𝐜𝐞

Ukupna masa četiri vodikova atoma: 4mH = 4.03130013 uMasa atoma helija: mHe = 4.002603 u

Defekt mase ukupna masa 4 atoma vodika veća je od mase atoma helija za m = 0.028697 u ili m 0.07%- Ukupna energija koja se oslobodi fuzijom vodika u helij

iznosi Eb = mc2 = 26.731 MeV energija vezanja jezgre atoma helija

- potrebno je uložiti 26.731 MeV energije da bi se jezgra atoma helija rastavili na 2 protona i 2 neutrona

Primjer: Da li nuklearna energija oslobođena u fuziji vodika u helij može biti izvor energije u Suncu? Pretpostavimo da se Sunce u potpunosti sastojalo od vodika neposredno nakon svog nastanka te da samo 10% mase u okolici središta Sunca ima dovoljno visoku temperaturu za fuziju vodika u helij. - U jednoj reakciji fuzije pretvori se 0.7% mase u energiju ako 10% mase Sunca sudjeluje u fuziji, pretvorit će se 10% 0.7% 0.1 0.007 = 0.0007 0.07% Sunčeve mase u energiju:

𝐸nuc = 0.1 × 0.007 × 𝑀Sun𝑐2 = 1.3 × 1044 J( 𝐸g≃ 1.1 × 1041 J )

𝑡nuc =𝐸nuc

𝐿Sun

𝒕𝐧𝐮𝐜~𝟏𝟎𝟏𝟎 𝐠𝐨𝐝𝐢𝐧𝐚𝑡KH~107 godina

- Nuklearna energija kao izvor energije u Suncu može objasnit konstantni sjaj Sunca u posljednjih ~4 milijardi godina starost Sunčevog sustava, Zemlje i Mjeseca određena radioaktivnim datiranjem stijena

Kvantno-mehaničko tuneliranje

- Atomske jezgre mogu osigurati dovoljno energije za sjaj zvijezde

- Mogu li se nuklearne reakcije odvijati u središtima zvijezda?

- Nuklearna reakcija konstituenti (atomi vodika) moraju se sudariti sudar pozitivno nabijenih čestica nužno je savladati Coulombovu barijeru potencijalne energije

- Potencijal međudjelovanja dvaju protona (p-p međudjelovanje) sastoji se od dva dijela:- Područje izvan jezgre potencijalna energija između

dva pozitivno nabijena naboja opadanje potencijalne energije s udaljenošću kao ∝ 1/𝑟 (Coulombova sila opada kao ∝ 1/𝑟2)

Područje unutar jezgre potencijalni bunar određen jakom nuklearnom silom

Jaka nuklearna sila sila kratkog dometa koja veže nukleone u jezgru na malim udaljenostima prevladava privlačna jaka nuklearna sila nad odbojnom Coulombovom silom

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

- Kombinacija djelovanja odbojne Coulombove i privlačne jake nuklearne sile nastanak Coulombove potencijalne barijere čija je visina obrnuto proporcionalna razmaku između nukleona (veličina jezgre) i proporcionalna umnošku njihovih naboja

- Fuzija protona u p-p međudjelovanju protoni u sudaru moraju imati dovoljnu energiju da savladaju Coulombovu barijeru i dospiju u područje gdje prevladava privlačna jaka nuklearna sila procjena termalne energije i temperature plina nužne za savladavanje Coulombove barijere u aproksimaciji klasične fizike sudari i čestice su nerelativističke, a njihova energija je opisana termalnom energijom plina

- Čestice u plinu se nasumično gibaju izotropnost gibanja promatramo relativno gibanje v jedne čestice u odnosu na drugu i njihovu reduciranu masu

- Izjednačimo kinetičku energiju reducirane mase (to je ujedno i termalna energija plina) sa potencijalnom energijom barijere kako bi dobili temperaturu plina u klasičnoj aproksimaciji nužnu za prelazak barijere:

1

2𝜇𝑚𝑣2 =

3

2𝑘𝑇klasična =

1

4𝜋𝜖0

𝑍1𝑍2𝑒2

𝑟Tklasična je temperatura potrebna kako bi prosječna čestica savladala barijeru, Z1 i Z2 su broj protona u svakoj jezgri koja se sudara, r je razmak između tih jezgara

Temperatura plina u klasičnoj aproksimaciji nužna za savladavanje Coulombove barijere za tipičnu veličinu jezgre od 1 fm = 10-15 m i za sudar dvaju protona (Z1 = Z2 = 1):

𝑇klasična =𝑍1𝑍2𝑒2

6𝜋𝜖0𝑘𝑟𝑻𝐤𝐥𝐚𝐬𝐢č𝐧𝐚~𝟏𝟎𝟏𝟎 𝐊

Temperatura u središtu Sunca je samo 1.57 107 K gotovo 1000 puta manje od potrebne temperature!- Možemo uzeti u obzir rep Maxwell-Boltzmannove

raspodjele u kojem se nalazi značajan broj čestica s brzinama i energijama puno većim od srednje brzine i srednje energije čestica u plinu njihov broj je još uvijek nedovoljan da bi objasnio brzinu nuklearnih reakcija i luminozitet Sunca!

- Klasična fizika ne može objasniti luminozitet Sunca i značajan broj čestica koje mogu savladati Coulombovu barijeru

Rješenje problema Coulombove barijere kvantno tuneliranje!

Heisenbergov princip neodređenosti nije moguće apsolutno točno poznavati istovremeno položaj i količinu gibanja u kvantnom sustavu:

∆𝑥∆𝑝𝑥 ≥ℏ

2- Neodređenost u položaju protona pri sudaru s drugim

protonom proton se može naći u prostoru dominantnog djelovanja jake nuklearne sile i u potencijalnom bunaru čak i ako ima energiju nižu od Coulombove barijere!

- Vjerojatnost tuneliranja ovisi o širini i visini barijere, te omjeru kinetičke energije čestice i visine barijere (potencijalna energija barijere)

- Kako odrediti temperaturu potrebnu za održavanje nuklearnih reakcija?

- Pretpostavimo da proton mora biti udaljen od drugog protona približno jednu de Broglievu valnu duljinu da bi tunelirao kroz barijeru i doveo do nuklearne reakcije

- Valna duljina (de Broglieva valna duljina) čestice s masom mirovanja:

𝜆 =ℎ

𝑝Kinetička energija izražena preko količine gibanja u sustavu reducirane mase:

1

2𝜇𝑚𝑣2 =

𝑝2

2𝜇𝑚

Udaljenost između dvije čestice jednaka de Broglievoj valnoj duljini (u toj je točki visina potencijalne barijere jednaka kinetičkoj energiji čestice):

1

4𝜋𝜖0

𝑍1𝑍2𝑒2

𝜆=

𝑝2

2𝜇𝑚=

ℎ/𝜆 2

2𝜇𝑚

𝜆 =4𝜋𝜖0ℎ

2

2𝑍1𝑍2𝑒2𝜇𝑚

- Uvrstimo gornju valnu duljinu za r = u donju relaciju3

2𝑘𝑇kvantna =

1

4𝜋𝜖0

𝑍1𝑍2𝑒2

𝑟i dobijemo:

𝑇kvantna =𝑍1

2𝑍22𝑒4𝜇𝑚

12𝜋2𝜖02ℎ2𝑘

Za sudar dva protona m = mp/2, Z1 = Z2 = 1

𝑻𝐤𝐯𝐚𝐧𝐭𝐧𝐚 ~ 𝟏𝟎𝟕 𝐊

Temperatura kakvu očekujemo u središtu Sunca!

Brzina nuklearnih reakcija i Gamow vrh

- Detaljni opis brzine nuklearnih reakcija je nužan za razumijevanje strukture zvijezde i zvjezdane modele

- U plinu temperature T neće sve čestice imati dovoljnu kinetičku energiju i odgovarajuću valnu duljinu za kvantno tuneliranje

- Brzina reakcija = brojčana gustoća čestica s energijom unutar nekog intervala vjerojatnost tuneliranja kroz Coulombovu barijeru

Određivanje brojčane gustoće čestica unutar intervala energije:- Pretpostavimo Maxwell-Boltzmannovu raspodjelu brzina- Čestice su početno dovoljno udaljene da možemo zanemariti

njihovu potencijalnu energiju ukupna energija čestice određena je nerelativističkom kinetičkom energijom:

𝐾 = 𝐸 =𝜇𝑚𝑣2

2

𝑣2 =2𝐸

𝜇𝑚⟹ 𝑣 =

2

𝜇𝑚

1/2

𝐸1/2

- Maxwell-Boltzmannova raspodjela izražena preko broja čestica s kinetičkom energijom između E i E + dE :

𝑛𝐸𝑑𝐸 =2𝑛

𝜋1/2

1

𝑘𝑇 3/2𝐸1/2𝑒−𝐸/𝑘𝑇𝑑𝐸

Vjerojatnost međudjelovanja dviju čestica:- Udarni presjek broj reakcija po meti u jedinici vremena

podijeljeno sa tokom upadnih čestica:

𝜎 𝐸 ≡broj reakcija / jezgra (meta) / vrijeme

broj upadnih čestica / površina / vrijeme

- 𝜎 𝐸 je mjera vjerojatnosti može se promatrati i kao površina udarnog presjeka mete svaka upadna čestica koja prođe unutar te površine sudjelovat će u reakciji

- Meta kao da ima površinu jednaku površini udarnog presjeka

- Promatrajmo broj čestica koje će se sudariti s metom koja ima površinu 𝜎 𝐸 jednaku površini udarnog presjeka sve čestice se gibaju u istom smjeru

- x je meta, i je upadna čestica - niEdE je broj upadnih čestica po jediničnom volumenu s

energijom između E i E + dE- dNE je broj čestica koje mogu pogoditi metu x u vremenu

dt s brzinom 𝑣 𝐸 = 2𝐸/𝜇𝑚

Broj upadnih čestica koje pogađaju metu x u vremenu dt i imaju gore navedenu brzinu v(E) jednak je broju čestica u cilindru volumena 𝜎 𝐸 𝑉 𝐸 𝑑𝑡:

𝑑𝑁𝐸 = 𝜎 𝐸 𝑣 𝐸 𝑛𝑖𝐸𝑑𝐸𝑑𝑡

Broj upadnih čestica koje pogađaju metu x u vremenu dt i imaju gore navedenu brzinu v(E) jednak je broju čestica u cilindru volumena 𝜎 𝐸 𝑉 𝐸 𝑑𝑡:

𝑑𝑁𝐸 = 𝜎 𝐸 𝑣 𝐸 𝑛𝑖𝐸𝑑𝐸𝑑𝑡

Broj upadnih čestica po jediničnom volumenu s odgovarajućom brzinom (kinetičkom energijom) za prolaz kroz barijeru jednak je nekom dijelu ukupnog broja čestica:

𝑛𝑖𝐸𝑑𝐸 =𝑛𝑖

𝑛𝑛𝐸𝑑𝐸

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

gdje je:

𝑛𝑖 = 0

∞

𝑛𝑖𝐸𝑑𝐸 ; 𝑛 = 0

∞

𝑛𝐸𝑑𝐸

Raspodjela čestica po energijama nE(dE) određena je Maxwell-Boltzmannovom raspodjelom:

𝑛𝐸𝑑𝐸 =2𝑛

𝜋1/2

1

𝑘𝑇 3/2𝐸1/2𝑒−𝐸/𝑘𝑇𝑑𝐸 (1)

Broj reakcija po meti-jezgri u jedinici vremena dt s energijom između E i E + dE :

broj reakcija po meti(jezgri)

interval vremena=

𝑑𝑁𝐸

𝑑𝑡= 𝜎 𝐸 𝑣 𝐸

𝑛𝑖

𝑛𝑛𝐸𝑑𝐸

Ukupan broj reakcija u jedinici vremena i volumena, integrirano po svim energijama:

𝒓𝒊𝒙 = 𝟎

∞

𝒏𝒙𝒏𝒊𝝈 𝑬 𝒗 𝑬𝒏𝑬

𝒏𝒅𝑬 (2)

gdje je nx broj jezgara-meta u jediničnom volumenu

- Za određivanje broja reakcija u vremenu i u nekom volumenu nužno je poznavati ovisnost udarnog presjeka 𝝈 𝑬 o energiji ovisnost je složena, udarni presjeci se mogu mjeriti u laboratorijima

- Problem s visokim energijama u zvijezdama koje nije moguće postići u laboratorijima

- Udarni presjek možemo aproksimativno odrediti ako promatramo članove koji najviše ovise o energiji

- Udarni presjek fizička površina koja odgovara geometrijskom presjeku jezgre jezgra kao da ima površinu jednaku površini kruga određenog de Broglievomvalnom duljinom (𝑟~𝜆):

𝝈 𝑬 ∝ 𝝅𝝀𝟐 ∝ 𝝅𝒉

𝒑

𝟐

∝𝟏

𝑬

uz kinetičku energiju: 𝐾 = 𝐸 = 𝜇𝑚𝑣2/2 = 𝑝2/2𝜇𝑚

- Vjerojatnost tuneliranja kroz Coulombovu barijeru ovisi o omjeru početne kinetičke energije E upadne jezgre i visine barijere Uc

- Porastom barijere u odnosu na početnu kinetičku energiju upadne čestice eksponencijalno se smanjuje vjerojatnost tuneliranja vjerojatnost tuneliranja teži nuli kada visina barijere teži beskonačnosti

- Udarni presjek mora sadržavati i opis vjerojatnosti međudjelovanja – tuneliranja:

𝜎 𝐸 ∝ 𝑒−2𝜋2𝑈𝑐/𝐸

Uz pretpostavku da je polumjer jezgre 𝑟~𝜆 = ℎ/𝑝 omjer

visine potencijalne barijere Uc i kinetičke energije E čestice:𝑈𝑐

𝐸=

𝑍1𝑍2𝑒2/4𝜋𝜖0𝑟

𝜇𝑚𝑣2/2=

𝑍1𝑍2𝑒2

2𝜋𝜖0ℎ𝑣

Konačno:

𝝈 𝑬 ∝ 𝒆−𝒃𝑬−𝟏/𝟐

gdje je:

𝑏 ≡𝜋𝜇𝑚

1/2𝑍1𝑍2𝑒2

21/2𝜖0ℎ- Udarni presjek uslijed visine barijere ovisi o masama i

naboju jezgara u sudaru udarni presjek je manji za masivnije jezgre s više naboja

Kombinacijom prethodna dva rezultata (ovisnost udarnog presjeka o veličini mete i visini barijere):

𝝈 𝑬 =𝑺 𝑬

𝑬𝒆−𝒃𝑬−𝟏/𝟐

(3)

gdje je S(E) (sporo promjenjiva) funkcija energije uslijed drugih utjecaja na udarni presjek

Uvrstimo (1) i (3) u integral (2):

𝒓𝒊𝒙 =𝟐

𝒌𝑻

𝟑/𝟐𝒏𝒊𝒏𝒙

𝝁𝒎𝝅 𝟏/𝟐 𝟎

∞

𝑺 𝑬 𝒆−𝒃𝑬−𝟏/𝟐𝒆−𝑬/𝒌𝑻𝒅𝑬 (4)

- Član 𝑒−𝐸/𝑘𝑇 potječe od visokoenergetskog repa Maxwell-

Boltzmannove raspodjele

- Član 𝑒−𝑏𝐸−1/2potječe iz vjerojatnosti tuneliranja

- Produkt ovih dviju članova daje funkciju koja ima izražen vrh Gamow vrh

George Gamow (1904. – 1968.)

- Funkcija postiže maksimum za energiju:

𝐸0 =𝑏𝑘𝑇

2

2/3

Udarni presjek nuklearnih reakcija i Gamow vrh

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

- Posljedica postojanja Gamowog vrha najveći doprinos integralu brzine nuklearnih reakcija dolazi od čestica s energijom unutar vrlo uskog intervala koja ovisi o temperaturi plina

- Vjerojatnost tuneliranja kroz barijeru pa tako i brzina nuklearnih reakcija u zvijezdama vrlo je osjetljiva na temperaturu

- Ako S(E) sporo ovisi o energiji procjeni se njena vrijednost u maksimumu za E0 [𝑆 𝐸 ≃ 𝑆 𝐸0 = konstanta] i zatim izbaci iz integrala

Rezonancije- Funkcija S(E) može snažno varirati i imati vrhove na

određenim energijama ove energije predstavljaju energijske nivoe u jezgrama (slično kao i za elektrone u atomima)

- Ukoliko energija upadne čestice odgovara razlici energijskih nivoa u jezgri rezonancija

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

Elektronsko zasjenjenje

- Mnoštvo slobodnih elektrona nastalih ionizacijom plina pri visokim temperaturama u unutrašnjosti zvijezda ponašaju se kao 'more' negativnog naboja koji zasjenjuje pozitivno nabijene jezgre smanjuje se efektivni pozitivni naboj

- Posljedica smanjenje Coulombove potencijalne barijere i veća vjerojatnost tuneliranja pri nižim energijama

Efektivna Coulombova barijera s elektronskim zasjenjenjem:

𝑈eff =1

4𝜋𝜖0

𝑍1𝑍2𝑒2

𝑟+ 𝑈𝑠 𝑟

Gdje je 𝑈𝑠 𝑟 < 0 doprinos elektronskog zasjenjenja

- Elektronsko zasjenjenje može povećati brzinu fuzije vodika u helij i za 10% – 50%

Brzine nuklearnih reakcija kao funkcija potencije

- Brzine nuklearnih reakcija mogu se zapisati kao potencija temperature

Brzina nuklearnih reakcija za dvočestično međudjelovanje (bez zasjenjenja):

𝑟𝑖𝑥 ≃ 𝑟0𝑋𝑖𝑋𝑥𝜌𝛼′𝑇𝛽

gdje je r0 konstanta, Xi i Xx su maseni udjeli čestica koje međudjeluju, ' i su potencije koje je moguće odrediti iz razvoja jednadžbe za brzinu reakcija u red potencija- Za dvočestične sudare je ' =2- Potencija može poprimiti vrijednost od 1 pa do više od 40

Jednadžba za brzinu nuklearnih reakcija + količina energije oslobođena u reakciji = količina energije koju svake sekunde otpusti kilogram zvjezdane materije

Količina energiju koju svake sekunde otpusti kilogram zvjezdane materije:

𝜖𝑖𝑥 =ℰ0

𝜌𝑟𝑖𝑥

gdje je ℰ0 količina energije koja se oslobodi u jednoj

nuklearnoj reakcijiKonačno u obliku potencija:

𝝐𝒊𝒙 = 𝝐𝟎′ 𝑿𝒊𝑿𝒙𝝆

𝜶𝑻𝜷 [𝐖/𝐤𝐠]gdje je 𝛼′ = 𝛼 − 1- Ukupna brzina oslobađanja nuklearne energije u zvijezda

jednaka je zbroju 𝜖𝑖𝑥 za sve vrste nuklearnih reakcija u

zvijezdi- Brzina oslobađanja nuklearne energije koristit će se za

razmatranje ovisnosti o temperaturi i gustoći za različite nizove nuklearnih reakcija u zvijezdama

Jednadžba gradijenta luminoziteta

- Mora se uzeti u obzir sva oslobođena energija u zvijezdi kako bi se odredio luminozitet (sjaj) zvijezde

Doprinos ukupnom luminozitetu od strane infinitezimalne mase dm zvjezdane materije:

𝒅𝑳 = 𝝐𝒅𝒎𝜖 je ukupna energija oslobođena u sekundi po kilogramu zvjezdane materije uslijed svih nuklearnih reakcija i drugih izvora energije (gravitacijska potencijalna energija):

𝜖 = 𝜖nuklearna + 𝜖gravitacija

Masa tanke ljuske debljine dr u sferno-simetričnoj zvijezdi je:𝑑𝑚 = 𝑑𝑀𝑟 = 𝜌𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2𝜌𝑑𝑟

Ubacimo u gornju jednadžbu i dobijemo:

𝒅𝑳𝒓

𝒅𝒓= 𝟒𝝅𝒓𝟐𝝆𝝐

gdje je Lr unutarnji luminozitet (luminozitet zvjezdane materije do radijusa r) luminozitet uslijed cjelokupne energije oslobođene u unutrašnjosti zvijezde do radijusa r

Gradijent luminoziteta je četvrta fundamentalna jednadžba strukture zvijezde (izvor energije)!

Nukleosinteza u zvijezdama i zakoni očuvanja

Nukleosinteza niz pretvorbi (transformacija) jednog elementa u drugi kroz nuklearne reakcije - Nuklearna vremenska skala za Sunce je određena pod

pretpostavkom pretvorbe 4 atoma vodika u atom helija takva reakcija koja uključuje istovremeno međudjelovanje čak 4 čestice je vrlo malo vjerojatna!

- Fuzija 4 atoma vodika u atom helija mora se odvijati kroz niz dvočestičnih nuklearnih reakcija relacija za brzinu reakcija je također izvedena za dvočestična međudjelovanja

- Niz nuklearnih reakcija mora se odvijati u skladu sa zakonima očuvanja

Zakoni očuvanja u nuklearnim reakcijama:1. Očuvanje električnog naboja2. Očuvanje broja nukleona (protoni, neutroni)3. Očuvanje broja leptona (elektroni, pozitroni, neutrini,

antineutrini)4. Očuvanje broja čestica i antičestica

- Antičestice su važne u subatomskoj fizici i u nuklearnim reakcijama imaju istu masu kao i čestice, dok su sva ostala svojstva suprotna (naboj)

- Anihilacija parova čestica – antičestica nastanak dva fotona (zakon očuvanja količine gibanja i energije):

𝑒− + 𝑒+ → 2𝛾

Neutrino i antineutrino električni neutralne čestice vrlo male mase 𝑚𝜈 < 0.120 eV/c2

- Slabo međudjeluju s ostalom materijom otežana detekcija

- Udarni presjek neutrina 𝜎𝜈~10−48 m2 srednji slobodni put neutrina za gustoće u unutrašnjosti zvijezda iznosi ~1018 m ili ~10 pc, odnosno 109 RSun

- Nakon nastanka neutrina u nuklearnim reakcijama u središtima zvijezda neutrini slobodno napuštaju zvijezdu bez međudjelovanja s okolnim plinom!

- Razlika ukupnog broja leptona i antileptona mora biti konstantna u zakonu očuvanja leptonskog broja

- Jezgre se predstavljaju kao:

𝑍𝐴𝑋

X – kemijski simbol elementa A – maseni broj (ukupan broj nukleona = protoni + neutroni)Z – broj protona (naboj jezgre)

Proton-proton lanac

Proton-proton lanac niz dvočestičnih nuklearnih reakcija kojom se 4 atoma vodika fuzionira u atom helija:

𝟒 𝟏𝟏𝐇 → 𝟐

𝟒𝐇𝐞 + 𝟐𝒆+ + 𝟐𝝂𝒆 + 𝟐𝛄

Prva grana proton-proton lanca (PP I) niz nuklearnih reakcija koje uključuju nastanak međuprodukata deuterij(11H) i helij-3 (2

3He):

11H + 1

1H → 12H + 𝑒+ + 𝜈𝑒

12H + 1

1H → 23He + 𝛾

23He + 2

3He → 24He + 21

1H (69%)

- Svaki korak PPI lanca ima drugačiju brzinu reakcija različiti udarni presjeci i visine barijere

- Najsporiji je prvi korak: fuzija vodika u deuterij uključuje + raspad protona u neutron slaba sila, vrlo spori raspad:

𝑝+ → 𝑛 + 𝑒+ + 𝜈𝑒

- Vrlo rijetko se u prvom koraku odvija pep reakcija (0.4%):

11H + 𝑒− + 1

1H → 12H + 𝜈𝑒

Četiri fundamentalne sile:1. Gravitacijska sila (čestice s masom-energijom)2. Elektromagnetska sila (fotoni i električni naboj)3. Jaka sila (veže nukleone u jezgri)4. Slaba sila (radioaktivni beta elektron/pozitron raspad)

Druga grana proton-proton lanca (PP II)- Nastanak jezgre helija-3 u PPI lancu omogućuje direktnu

reakciju sa jezgrom helija-4 (umjesto s vodikom):

23He + 2

4He → 47Be + 𝛾 (31%)

47Be + 𝑒− → 3

7Li + 𝜈𝑒

37Li + 1

1H → 2 24He

Treća grana proton-proton lanca (PP III)- Uhvat protona umjesto uhvata elektrona na berilij-7 jezgri u

PPII lancu:

47Be + 1

1H → 58B + 𝛾 (0.3%)

58B → 4

8Be + 𝑒− + 𝜈𝑒

48Be → 2 2

4He

Tri grane proton-proton lanca (PPII):

Brzina oslobađanja nuklearne energije u cjelokupnom pp lancu (iz (4)):

𝜖𝑝𝑝 = 0.241𝜌𝑋2𝑓𝑝𝑝𝜓𝑝𝑝𝐶𝑝𝑝𝑇6−2/3

𝑒−33.80𝑇6−1/3

W/kg

gdje je T6 bezdimenzionalna temperatura izražena u jedinicama 106 K:

𝑇6 ≡𝑇

106 K𝑓𝑝𝑝 = 𝑓𝑝𝑝 𝑋, 𝑌, 𝜌, 𝑇 ≃ 1 je faktor zasjenjenja u pp lancu;

𝜓𝑝𝑝 = 𝜓𝑝𝑝 𝑋, 𝑌, 𝑇 ≃ 1 je faktor korekcije zbog istovremenog

odvijanja PP I, PP II i PP III lanaca;𝐶𝑝𝑝 ≃ 1 opisuje korekcije višeg reda

Zapis u obliku potencija (u obliku 𝜖𝑖𝑥 = 𝜖0′𝑋𝑖𝑋𝑥𝜌𝛼𝑇𝛽) u blizini

T = 1.5 107 K gdje je brzina oslobađanja energije najveća:

𝜖𝑝𝑝 ≃ 𝜖0,𝑝𝑝′ 𝜌𝑋2𝑓𝑝𝑝𝜓𝑝𝑝𝐶𝑝𝑝𝑇6

4

gdje je 𝜖0,𝑝𝑝′ = 1.08 × 10−12 Wm3/kg2

- Umjerena ovisnost brzine oslobađanja energije u pp lancu s temperaturom kao ∝ 𝑇4 u blizini 𝑇6 = 15

CNO ciklus

Hans Bethe (1906. – 2005.)1938. nezavisni ciklus fuzije vodika u helij pomoću katalizatora (ugljik, dušik, kisik CNO)

Katalizatori jezgre koje sudjeluju u nuklearnim reakcijama, ali izlaze iz njih u istom broju

1. grana (dominantna – 99.96%):

612C + 1

1H → 713N + 𝛾

713N → 6

13C + 𝑒+ + 𝜈𝑒

613C + 1

1H → 714N + 𝛾

714N + 1

1H → 815O + 𝛾

815O → 7

15N + 𝑒+ + 𝜈𝑒

715N + 1

1H → 612C + 2

4He

2. grana (0.04%) u zadnjoj reakciji 1. grane stvara se kisik-16 i foton umjesto ugljika-12 i helija-4:

715N + 1

1H → 816O + 𝛾

816O + 1

1H → 917F + 𝛾

917F → 8

17O + 𝑒+ + 𝜈𝑒

817O + 1

1H → 714N + 2

4He

Oslobođena energija u jedinici vremena po kilogramu zvjezdane materije u CNO ciklusu:

𝜖CNO = 8.67 × 1020𝜌𝑋𝑋CNO𝐶CNO𝑇6−2/3

𝑒−152.28𝑇6−1/3

W/kg

Gdje je XCNO ukupni maseni udio ugljika, dušika i kisika; CCNO

su kvantne korekcije višega redaZapis u obliku potencija u blizini T = 1.5 107 K:

𝜖CNO ≃ 𝜖0,CNO′ 𝜌𝑋𝑋CNO𝑇6

19.9

gdje je 𝜖0,𝐶𝑁𝑂′ = 8.24 × 10−31 Wm3/kg2

- CNO ciklus jako ovisi o temperaturi puno više nego pp lanac

- Zvijezde manjih masa niža temperatura u središtu fuzijom vodika u helij dominira pp lanac

- Zvijezde većih masa viša temperatura u središtu dominira CNO ciklus

- Razlika u nuklearnim procesima ima važnu ulogu u strukturi unutrašnjosti zvijezda

- Granica između zvijezda u kojima dominira pp lanac i u kojima dominira CNO ciklus je oko 1.2 MSun

- Fuzija vodika u helij povećanje srednje molekulske težine u središtu zvijezde Tlak u središtu opada (jednadžba idealnog plina) izostanak hidrostatičke ravnoteže gravitacijski kolaps središta porast temperature i gustoće kako bi se kompenzirao porast srednje molekulske težine temperatura znatno raste

Trostruki procesi i nuklearno gorenje helija

- Porast temperature u središtu zvijezde jezgre helija mogu tunelirati i savladati Coulombovu barijeru i sudjelovati u fuziji ugljika trostruki procesi (tri jezgre helija-4 pretvaraju se u jezgru ugljika-12):

24He + 2

4He ⇌ 48Be

48Be + 2

4He → 612C + 𝛾

- Prvi korak fuzija nestabilnog berilija-8 koji se brzo raspadne na dvije početne jezgre helija-4 osim ako se u međuvremenu ne sudari s jezgrom helija-4 gotovo tročestično međudjelovanje brzina reakcije ovisi o 𝜌𝑌 3

- Brzina oslobađanja nuklearne energije u trostrukim procesima:

𝜖3α = 50.9𝜌2𝑌3𝑇8−3𝑓3𝛼𝑒−44.027𝑇8

−1W/kg

𝑇8 ≡𝑇

108 K𝑓3𝛼 je faktor zasjenjenja za trostruke proceseZapis u obliku potencija u blizini T = 108 K vrlo snažna ovisnost o temperaturi:

𝜖3α ≃ 𝜖0,3α′ 𝜌2𝑌3𝑓3𝛼𝑇8

41.0

- Mala promjena temperature vodi do velike promjene u količini oslobođene energije u sekundi helijev bljesak

- Povećanje temperature za 10% vodi do povećanja oslobođene energije u sekundi za 50 puta (5000%)!!

Nuklearno gorenje ugljika i kisika

- Drugi nuklearni procesi se odvijaju pri visokim temperaturama nužnim za fuziju helija u ugljik

- Fuzija helija u ugljik porast udjela ugljika u središtu uhvat jezgre helija na jezgri ugljika i nastanak kisika:

612C + 2

4He → 816O + 𝛾

816O + 2

4He → 1020Ne + 𝛾

- Uhvat više jezgara helija i nastanak masivnijih jezgri je onemogućen zbog sve veće Coulombove barijere

- Masivnije zvijezde postižu se još više temperature u središtu nuklearne reakcije sa masivnijim jezgrama

Nuklearno gorenje ugljika pri T ~ 6 108 K:

612C + 6

12C →

816O + 2 2

4He ∗∗∗

1020Ne + 2

4He

1123Na + 𝑝+

1223Mg + 𝑛 ∗∗∗

1224Mg + 𝛾

Nuklearno gorenje kisika pri T ~ 109 K:

816O + 8

16O →

1224Mg + 2 2

4He ∗∗∗

1428Si + 2

4He

1531P + 𝑝+

1631S + 𝑛 ∗∗∗

1632S + 𝛾

Endotermne reakcije reakcije koje zahtjevaju potrošnju energije (označene ***)Egzotermne reakcije reakcije u kojima se energija oslobađa- U endotermnim reakcijama jezgre produkti imaju veću

energiju po nukleonu nego jezgre reaktanti- Endotermne reakcije troše energiju nastalu u egzotermnim

reakcijama ili gravitacijskim kolapsom

Energija vezanja po nukleonu

Energija vezanja:

𝐸𝑏 = ∆𝑚𝑐2 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝐴 − 𝑍 𝑚𝑛 − 𝑚jezgr𝑎 𝑐2

- Neke jezgre manjih masa i masenih brojeva (A < 56) imaju znatno veće energije vezanje po nukleonu u odnosu

na susjedne jezgre izrazito stabilne jezgre 𝟐𝟒𝐇𝐞 i 𝟖

𝟏𝟔𝐎

uz 𝟏𝟏𝐇 najzastupljenije jezgre u svemiru

- 'čarobne' jezgre vrlo stabilne jezgre zbog zatvorene strukture ljuske jezgre (slično kao i zatvorene strukture ljuske elektrona u atomima)

- Veliki prasak nastanak svemira primordijalni svemir se sastojao samo od vodika i helija

- Masivnije jezgre atoma prisutne u velikom broju u svemiru nastale su u procesima nukleosinteze u središtima zvijezda

Energija vezanja po nukleonu (Eb/A) kao funkcija masenog broja A

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

- Širok vrh oko masenog broja A = 56 na vrhu je izotop

željeza-56 𝟐𝟔𝟓𝟔𝐅𝐞 najstabilniji izotop

- Fuzijom sve težih jezgara u zvijezdama približavamo se vrhu pri čemu se oslobađa energija u nuklearnim procesima

konačan rezultat niza nuklearnih reakcija u središtima dovoljno masivnih zvijezda je nastanak najstabilnije

jezgre 𝟐𝟔𝟓𝟔𝑭𝒆

- Za tvorbu jezgara većih masa od 2656Fe nuklearnom fuzijom,

potrebno je ulagati energiju

- Jezgre masivnije od 2656Fe mogu cijepanjem jezgre –

nuklearnom fisijom oslobađati energiju i stvarati lakše jezgre

- Zastupljenost atomskih elemenata u svemiru: 11H, 2

4He,

816O, 6

12C, 1020Ne, 7

14N, 1224Mg, 14

28Si i 2656Fe posljedica

nukleosinteze u središtima zvijezda (nizovi nuklearnih reakcija) i stabilnosti jezgara

PRIJENOS ENERGIJE I TERMODINAMIKA

- Određene su do sada 4 fundamentalne jednadžbe strukture zvijezde povezuju fundamentalne veličine P, M i L sa udaljenošću r od središta zvijezde diferencijalne jednadžbe: hidrostatička ravnoteža, očuvanje mase, oslobađanje energije i opis stanja plina

- Jednadžba koja povezuje temperaturu s radijusom T=T(r)? mora uključivati opis fizikalnih procesa kojima se toplina nastala u središtu zvijezde nuklearnim procesima ili gravitacijskom kontrakcijom prenosi prema površini

Mehanizmi prijenosa energije

Tri mehanizma prijenosa energije u unutrašnjosti zvijezde:1. Prijenos energije zračenjem2. Prijenos energije miješanjem (konvekcijom)3. Prijenos energije vođenjem (kondukcijom)

- Prijenos energije zračenjem odvija se putem fotona

fotoni se apsorbiraju i re-emitiraju u gotovo nasumičnim smjerovima u plinu opacitet plina je važan za razumijevanje prijenosa zračenja

- Prijenos energije konvekcijom zagrijani plin manje gustoće od svoje okoline uzdiže se iz unutrašnjosti zvijezde prema površini uslijed uzgona hladi se i predaje energiju okolini hlađenjem povećava gustoću i pada prema središtu zvijezde

- Prijenos energije vođenjem odvija se putem sudaraizmeđu čestica važan mehanizam prijenosa energije u bijelim patuljcima, nevažan u većini zvijezda

Temperaturni gradijent

- Promatrajmo prijenos energije zračenjem gradijent tlaka zračenja:

𝑑𝑃rad

𝑑𝑟= −

𝜅𝜌

𝑐𝐹rad

Frad je tok zračenja prema površiniTlak zračenja se može iskazati i kao:

𝑃rad =1

3𝑎𝑇4

Deriviranjem dobijemo:𝑑𝑃rad

𝑑𝑟=

4

3𝑎𝑇3

𝑑𝑇

𝑑𝑟

Izjednačimo gornje izraze:

− 𝜅𝜌

𝑐𝐹rad =

4

3𝑎𝑇3

𝑑𝑇

𝑑𝑟𝑑𝑇

𝑑𝑟= −

3

4𝑎𝑐

𝜅𝜌

𝑇3𝐹rad

Tok zračenja zapisan pomoću lokalnog luminoziteta zračenja zvijezde radijusa r :

𝐹𝑟𝑎𝑑 =𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

Temperaturni gradijent za prijenos zračenja:

𝒅𝑻

𝒅𝒓= −

𝟑

𝟒𝒂𝒄

𝜿𝝆

𝑻𝟑

𝑳𝒓

𝟒𝝅𝒓𝟐(4𝑎)

- Posljednja fundamentalna jednadžba strukture zvijezde

- Opacitet, gustoća ili tok zračenja raste ili temperatura pada s radijusom gradijent temperature mora postati strmiji (jača ovisnost temperature o radijusu) ukoliko je zračenje jedino odgovorno za prijenos energije i opaženi luminozitet zvijezde

Visinska skala tlaka

- Veliki temperaturni gradijent prijenosom energije počinje dominirati konvekcija gibanje vrućeg plina prema površini i hladnog plina prema središtu znatno zahtjevniji makroskopski opis procesa nego za prijenos energije zračenjem

- Konvekcija zahtjeva poznavanje mehanike fluida opis gibanja plina i tekučina pomoću trodimenzionalnih Navier-Stokes jednadžbi vrlo kompleksan opis u tri dimenzije većina modela strukture zvijezda koji uključuju konvekciju su jednodimenzionalni (ili dvodimenzionalni) uslijed ograničenosti računarne snage

- Konvekcija je često turbulentna poznavanje viskoznosti i disipacije topline je nužno

- Trodimenzionalni problem nastoji se svesti na jednodimenzionalni fenomenološki problem

- Karakteristična skala za konvekciju visinska skala tlaka često usporediva s veličinom zvijezde

- Vremenska skala konvekcije je usporediva sa vremenskom skalom promjena u strukturi zvijezde povezanost konvekcije s dinamičkim ponašanjem zvijezde

- Konvekcija je vrlo težak i složen astrofizički problem!

Veličina konvektivne zone opisana visinskom skalom tlaka:

𝟏

𝑯𝑷≡ −

𝟏

𝑷

𝒅𝑷

𝒅𝒓Pretpostavimo da je visinska skala tlaka konstantna:

𝑃 = 𝑃0𝑒−𝑟/𝐻𝑃

- Visinska skala tlaka je udaljenost na kojoj tlak opada za faktor 1/e (29% početne vrijednosti)

- Jednadžba hidrostatičke ravnoteže (g je lokalno ubrzanje sile teže):

𝑑𝑃

𝑑𝑟= −𝜌𝑔 = −

𝐺𝑀𝑟

𝑟2𝜌

- Uvrštavanjem u definiciju visinske skale tlaka:

𝐻𝑃 =𝑃

𝜌𝑔

Primjer: Koliko iznosi visinska skala tlaka u Suncu uz pretpostavku srednje gustoće Sunca i srednjeg tlaka koji je jednak polovici tlaka u središtu Sunca, 𝑃 = 𝑃𝑐/2 :

𝑔 =𝐺 𝑀Sun/2

𝑅Sun/2 2= 550 m/s2

Visinska skala tlaka:𝐻𝑃 ≃ 1.8 × 108 m ∼ 𝑅Sun/4

Točniji račun 𝐻𝑃 ∼ 𝑅Sun/10

Unutarnja energija i prvi zakon termodinamike

- Termodinamika nužna za razumijevanje prijenosa topline u zvijezdama

Prvi zakon termodinamike (očuvanje energije):𝒅𝑼 = 𝒅𝑸 − 𝒅𝑾

- Promjena unutarnje energije dU neke mase plina jednako je količini topline dQ koju je ta masa plina dobila minus rad dW kojeg je ta masa plina izvršila na okolinu

- Unutarnja energija sustava U je funkcija stanja ovisi samo o trenutnom stanju plina a ne o procesima koji su doveli do tog stanja dU je neovisan o procesima u plinu i putu do tog stanja

- Toplina i rad nisu funkcije stanja količina topline i izvršeni rad ovise o putu i fizikalnim procesima između dva stanja

Ukupna unutarnja energija (po jedinici mase) idealnog monoatomnog neutralnog plina sastavljenog od jedne vrste čestica:

U = (srednja energija/čestica) (broj čestica/ masa)

𝑈 = 𝐾 ×1

𝑚gdje je 𝑚 = 𝜇𝑚𝐻 srednja masa čestice u plinu- Idealni plin 𝐾 = 3𝑘𝑇/2 unutarnja energija je:

𝑈 =3

2

𝑘

𝜇𝑚𝐻𝑇 =

3

2𝑛𝑅𝑇 (5)

gdje je n broj molova po jedinici mase (1 mol = 1 NA čestica = 6.022 1022 čestica; NA je Avogadrov broj), R = 8.314 J/molK je univerzalna plinska konstanta (R = NAk)

𝑛𝑅 =𝑘

𝜇𝑚𝐻

Unutarnja energija U = U(, T) je funkcija isključivo srednje molekulske težine (sastav plina) i temperature

Specifična toplina

Specifična toplina C je količina topline potrebna da se jediničnoj masi plina temperatura povisi za jedinični interval temperature pri konstantnom tlaku (P) ili volumenu (V):

𝐶𝑃 ≡ 𝜕𝑄

𝜕𝑇𝑃

𝐶𝑉 ≡ 𝜕𝑄

𝜕𝑇𝑉

- Pretpostavimo valjak poprečnog presjeka dA napunjenog plinom mase m i tlaka P plin tlači bazu valjka silom F = PA

- Ukoliko je baza valjka slobodni klip koji se pomakne za udaljenost dr rad plina po jedinici mase iznosi:

𝑑𝑊 =𝐹

𝑚𝑑𝑟 =

𝑃𝐴

𝑚𝑑𝑟 = 𝑃𝑑𝑉

gdje je V specifični volumen (volumen po jedinici mase):

𝑉 ≡1

𝜌Prvi zakon termodinamike:

𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑃𝑑𝑉Pri konstantnom volumenu dV = 0:

𝑑𝑈 = 𝑑 𝑈𝑉

= 𝑑 𝑄𝑉

𝑑𝑈 = 𝜕𝑄

𝜕𝑇𝑉

𝑑𝑇 = 𝐶𝑉𝑑𝑇 (6)

Iz relacije (5) dobijemo za monoatomni plin:

𝑑𝑈 =3𝑛𝑅

2𝑑𝑇

𝐶𝑉𝑑𝑇 =3𝑛𝑅

2𝑑𝑇

𝐶𝑉 =3

2𝑛𝑅

Diferencijal unutarnje energije za konstantni tlak:

𝑑𝑈 = 𝜕𝑄

𝜕𝑇𝑃

𝑑𝑇 − 𝑃 𝜕𝑉

𝜕𝑇𝑃

𝑑𝑇 (7)

Diferencijal tlaka idealnog plina (𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇):𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 = 𝑅𝑇𝑑𝑛 + 𝑛𝑅𝑑𝑇 (8)

Za konstantni tlak i bez promjene broja čestica plina:𝑃𝑑𝑉

𝑑𝑇= 𝑛𝑅

Uvrstimo li taj rezultat u (6) i uz (7) i definiciju Cv :𝑪𝑷 = 𝑪𝑽 + 𝒏𝑹 (9)

Gornja relacija vrijedi uvijek za idealni tlak

Adijabatski koeficijent:

𝛾 ≡𝐶𝑃

𝐶𝑉(10)

Za idealni monoatomski plin: 𝐶𝑉 =3

2𝑛𝑅; 𝐶𝑃 =

5

2𝑛𝑅

𝜸 = 𝟓/𝟑- Uz ionizaciju dio topline ne troši se na povećanje

srednje kinetičke energije i povećanje temperature, već na ionizaciju temperatura neće rasti tako brzo kao kod neutralnog plina toplinski kapaciteti su veći u parcijalnoj ionizacijskoj zoni

- Povećanje toplinskih kapaciteta 𝛾 ≈ 1

Adijabatski plin

Adijabatski proces proces u kojem nema izmjene topline s okolinom (dQ = 0) nema toka toplina u ili iz promatranog volumena plina

Prvi zakon termodinamike u adijabatskom procesu:𝑑𝑈 = −𝑃𝑑𝑉

Iz relacije (8) uz konstantni broj čestica:𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 = 𝑛𝑅𝑑𝑇

Iz (6) dobijemo:

𝑑𝑇 =𝑑𝑈

𝐶𝑉= −

𝑃𝑑𝑉

𝐶𝑉

𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 = −𝑛𝑅

𝐶𝑉𝑃𝑑𝑉

Iz (9) i (10):

𝛾 − 1 =𝑛𝑅

𝐶𝑉

Konačno:

𝜸𝒅𝑽

𝑽= −

𝒅𝑷

𝑷(11)

Rješenje diferencijalne jednadžbe gdje je K konstanta:𝑷𝑽𝜸 = 𝑲 (12)

Iz jednadžbe idealnog plina dobijemo drugu adijabatsku relaciju gdje je K' druga konstanta:

𝑷 = 𝑲′𝑻𝜸/ 𝜸−𝟏

- Adijabatska konstanta ne mora biti konstanta! važna uloga u dinamičkoj stabilnosti zvijezda

Adijabatska brzina zvuka

- Moguće je odrediti brzinu zvuka kroz materijal zvijezde brzina zvuka je određena kompresibilnošću plina i inercijom plina (gustoća):

𝑣𝑠 = 𝐵/𝜌

gdje je B zapreminski ('bulk') modul plina:

𝐵 ≡ −𝑉𝜕𝑃

𝜕𝑉

- Brzina zvuka je određena procesom u kojem se tlak mijenja s volumenom širenje zvuka kroz plin je dovoljno brzo da nema izmjene topline s okolinom širenje zvuka je adijabatski proces

- Zapreminski modul opisuje kako se mijenja volumen plina s promjenom tlaka

Iz relacije (11) dobijemo adijabatsku brzinu zvuka:

𝑣𝑠 =𝛾𝑃

𝜌

Primjer: Odredite adijabatsku brzinu zvuka u Suncu pod pretpostavkom monoatomnog plina

Približno:

𝑣𝑠 ≃𝛾 𝑃

𝜌

gdje je 𝑃~𝑃𝑐/2 i 𝜌 = 𝜌Sun

𝑣𝑠 ≃ 4 × 105 m/s

Vrijeme potrebno zvučnom valu da pređe polumjer Sunca:𝑡 ≃ 𝑅Sun/2 ≃ 29 minuta

Adijabatski temperaturni gradijent

Opis konvekcije vrući konvektivni mjehur plina se uzdiže prema površini i širi adijabatski nema izmjene topline između mjehura plina i okoline- Nakon što je mjehur prešao neku udaljenost

termalizacija mjehur predaje suvišak topline okolini i stapa se s okolnim plinom

- Diferenciranjem jednadžbe idealnog plina:

𝑃 =𝜌𝑘𝑇

𝜇𝑚𝐻

dobijemo temperaturni gradijent mjehura (promjena temperature mjehura s položajem):

𝑑𝑃

𝑑𝑟= −

𝑃

𝜇

𝑑𝜇

𝑑𝑟+

𝑃

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟+

𝑃

𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑟(13)

Iz relacije (12) i uz specifični volumen 𝑉 ≡ 1/𝜌 dobijemo:𝑃 = 𝐾𝜌𝛾

Deriviranjem dobijemo:𝑑𝑃

𝑑𝑟= 𝛾

𝑃

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟(14)

- Pretpostavimo da je srednja molekulska težina konstantna ( = const.)

Iz relacija (13) i (14) dobijemo adijabatski temperaturni gradijent:

𝑑𝑇

𝑑𝑟ad

= 1 −1

𝛾

𝑇

𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑟(15)

Uz jednadžbu idealnog plina i jednadžbu hidrostatske ravnoteže (𝑑𝑃/𝑑𝑟 = −𝐺𝑀𝑟𝜌/𝑟2):

𝒅𝑻

𝒅𝒓𝒂𝒅

= − 𝟏 −𝟏

𝜸

𝝁𝒎𝑯

𝒌

𝑮𝑴𝒓

𝒓𝟐(16)

Ekvivalentni oblik adijabatskog temperaturnog gradijenta uz:

𝑔 =𝐺𝑀𝑟

𝑟2 ;𝑘

𝜇𝑚𝐻= 𝑛𝑅; 𝛾 =

𝐶𝑃

𝐶𝑉; 𝐶𝑃 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅

n, CP i CV su po jediničnoj masi:

𝑑𝑇

𝑑𝑟ad

= −𝑔

𝐶𝑃

- Gornje relacije opisuju kako se mijenja temperatura unutar mjehura kako se mjehur uzdiže i adijabatski ekspandira

Temperaturni gradijent u zvijezdi je superadijabatski ako je stvarni temperaturni gradijent (act) u zvijezdi strmiji od adijabatskog temperaturnog gradijenta (ad):

𝑑𝑇

𝑑𝑟act

>𝑑𝑇

𝑑𝑟ad

- U zvijezdi je uvijek dT/dr < 0

- Može se pokazati da se u dubokoj zvjezdanoj unutrašnjosti energija može gotovo u potpunosti prenositi konvekcijom ako je 𝑑𝑇/𝑑𝑟 act samo malo veći od 𝑑𝑇/𝑑𝑟 ad

- U unutrašnjosti zvijezda dominira prijenos energije ili zračenjem ili konvekcijom temperaturni gradijent određuje koji mehanizam prevladava

- U blizini površine i zračenje i konvekcija mogu istovremeno prenositi energiju

Kriterij konvekcije u zvijezdama

- Koji su nužni uvjeti za nastup konvekcije u zvijezdama kao prevladavajući mehanizam prijenosa energije?

- Pretpostavimo postojanje konvektivnog mjehura koji prelazi put dr kroz okolni plin

- Arhimedov zakon ako je početna (i) gustoća mjehura

(b) manja od gustoće okolnog plina (s): 𝜌𝑖𝑏

< 𝜌𝑖𝑠

mjehur se giba prema površini- Sila uzgona po jedinici volumena na mjehur koji se u

potpunosti nalazi u plinu gustoće 𝜌𝑖𝑠

je:

𝑓𝑏 = 𝜌𝑖𝑠

𝑔

Oduzmemo gravitacijsku silu na mjehur po jedinici volumena koja djeluje u suprotnom smjeru od smjera sile uzgona:

𝑓𝑔 = 𝜌𝑖𝑏

𝑔

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

dobijemo rezultantnu silu koja djeluje na mjehur po jedinici volumena:

𝑓𝑛𝑒𝑡 = −𝑔𝛿𝜌

gdje je 𝛿𝜌 ≡ 𝜌𝑖𝑏

− 𝜌𝑖𝑠

< 0 na početku

- Ako mjehur nakon što je prošao infinitezimalnu udaljenost

dr ima gustoću veću od gustoće okolnog plina (𝜌𝑓𝑏

> 𝜌𝑓𝑠

)

konvekcija je potisnuta i mjehur pada prema unutrašnjosti

- Ako mjehur nakon što je prošao infinitezimalnu udaljenost dr ima gustoću manju od gustoće okolnog plina

(𝜌𝑓𝑏

< 𝜌𝑓𝑠

) konvekcija je održana i mjehur nastavlja

put prema površini- Ova dva uvjeta potrebno je izraziti matematički preko

temperaturnog gradijenta

- Pretpostavimo da je u početnom trenutku plin vrlo blizu

termalne ravnoteže sa 𝑇𝑖𝑏

≃ 𝑇𝑖𝑠

i 𝜌𝑖𝑏

≃ 𝜌𝑖𝑠

- Pretpostavimo da mjehur ekspandira adijabatski i da su tlak u mjehuru i tlak okolnog plina uvijek jednaki

(𝑃𝑓𝑏

= 𝑃𝑓𝑠

)

- Mjehur je prešao infinitezimalnu udaljenost prikaz konačnih vrijednosti preko početnih Taylorovim razvojem:

𝜌𝑓(𝑏)

≃ 𝜌𝑖𝑏

+ 𝑑𝜌

𝑑𝑟

𝑏

𝑑𝑟; 𝜌𝑓(𝑠)

≃ 𝜌𝑖𝑠

+ 𝑑𝜌

𝑑𝑟

𝑠

𝑑𝑟

- Ako su gustoće unutar i izvan mjehura približno jednake,

te uz uvjet konvekcije 𝝆𝒇𝒃

< 𝝆𝒇𝒔

dobijemo:

𝑑𝜌

𝑑𝑟

𝑏

< 𝑑𝜌

𝑑𝑟

𝑠

(17)

- gornju relaciju potrebno je izraziti samo preko svojstava okolnog plina, a ne mjehura

- Primijenimo relaciju (14) na adijabatski mjehur plina i na lijevu stranu jednadžbe (17), a relaciju (13) na desnu stranu jednadžbe (17) uz konstantnu srednju molekulsku težinu (d/dr=0):

1

𝛾

𝜌𝑖𝑏

𝑃𝑖𝑏

𝑑𝑃

𝑑𝑟

𝑏

<𝜌𝑖

𝑠

𝑃𝑖𝑠

𝑑𝑃

𝑑𝑟

𝑠

−𝑃𝑖

𝑠

𝑇𝑖𝑠

𝑑𝑇

𝑑𝑟

𝑠

Kako su tlakovi unutar i van mjehura uvijek isti (P(b) = P(s)) nužno je:

𝑑𝑃

𝑑𝑟

𝑏

= 𝑑𝑃

𝑑𝑟

𝑠

=𝑑𝑃

𝑑𝑟

Izvršimo zamjenu i poništimo jednake početne uvjete:

1

𝛾

𝑑𝑃

𝑑𝑟<

𝑑𝑃

𝑑𝑟−

𝑃𝑖𝑠

𝑇𝑖𝑠

𝑑𝑇

𝑑𝑟

𝑠

- Maknemo indeks za početne uvjete i okolni plin:1

𝛾− 1

𝑑𝑃

𝑑𝑟< −

𝑃

𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑟act

(18)

- Temperaturni gradijent je stvarni temperaturni gradijent okolnog plina

- Pomnožimo s –T/P :

1 −1

𝛾

𝑇

𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑟>

𝑑𝑇

𝑑𝑟act

Iz relacije (15) vidimo da je lijeva strana gornje jednadžbe jednaka adijabatskom temperaturnom gradijentu uvjet da se mjehur nastavi podizati:

𝑑𝑇

𝑑𝑟ad

> 𝑑𝑇

𝑑𝑟act

Temperatura opada sa radijusom zvijezde (dT/dr < 0) UVJET KONVEKCIJE:

𝒅𝑻

𝒅𝒓𝒂𝒄𝒕

>𝒅𝑻

𝒅𝒓𝒂𝒅

- Superadijabatski temperaturni gradijent nastupa konvekcija

- Ekvivalentni uvjet konvekcije (dT/dr < 0 i 1/ - 1 < 0 jer je > 1) iz relacije (18):

𝑇

𝑃

𝑑𝑇

𝑑𝑟

−1𝑑𝑃

𝑑𝑟< −

1

𝛾−1 − 1𝑇

𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑇<

𝛾

𝛾 − 1

Uvjet konvekcije:𝑑 ln𝑃

𝑑 ln𝑇<

𝛾

𝛾 − 1- Idealni monoatomni plin sa = 5/3 konvekcija će

nastupiti u nekim dijelovima zvijezde kada je 𝑑 ln 𝑃 /𝑑 ln𝑃 < 2.5 temperaturni gradijent je tada približno određen relacijom (16)

- Kada je 𝑑 ln𝑃 /𝑑 ln 𝑃 > 2.5 područje zvijezde je stabilno i nema konvekcije temperaturni gradijent je tada određen temperaturnim gradijentom za prijenos zračenjem - relacija (4a)

Temperaturni gradijent za prijenos zračenjem:𝑑𝑇

𝑑𝑟= −

3

4𝑎𝑐

𝜅𝜌

𝑇3

𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

Temperaturni gradijent za konvekciju:

𝑑𝑇

𝑑𝑟𝑎𝑑

= − 1 −1

𝛾

𝜇𝑚𝐻

𝑘

𝐺𝑀𝑟

𝑟2 = −𝑔

𝐶𝑃

- Usporedbom temperaturnih gradijenata možemo odrediti koji će mehanizam prijenosa energije prevladavati

Konvekcija će prevladavati:1. kada je opacitet plina velik 2. u području snažne ionizacije što uzrokuje velike specifične

topline i 1 adijabatski temperaturni gradijent postaje vrlo malen

3. velika osjetljivost brzine nuklearnih reakcija o temperaturi (CNO ciklus i trostruki procesi) strm gradijent toka zračenja veliki temperaturni gradijent

- Prva dva uvjeta mogu se istovremeno ostvariti u gornjim slojevima mnogih zvijezda

- Treći uvjet se može ostvariti samo duboko u unutrašnjosti zvijezde gdje se oslobađa nuklearna energija: CNO ciklus i trostruki procesi

MODELI ZVIJEZDA

- Teorijski model zvijezde istovremeno rješavanje fundamentalnih jednadžbi strukture zvijezde i relacija koje opisuju fizička svojstva plina u zvijezdi

Diferencijalne jednadžbe vremenski neovisnog (statičkog) modela strukture zvijezda:

𝑑𝑃

𝑑𝑅= −𝐺

𝑀𝑟𝜌

𝑟2

𝑑𝑀𝑟

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌

𝑑𝐿𝑟

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌𝜖

𝑑𝑇

𝑑𝑟= −

3

4𝑎𝑐

𝜅𝜌

𝑇3

𝐿𝑟

4𝜋𝑟2(zračenje)

𝑑𝑇

𝑑𝑟= − 1 −

1

𝛾

𝜇𝑚𝐻

𝑘

𝐺𝑀𝑟

𝑟2(adijabatska konvekcija)

- U posljednjoj jednadžbi je konvekcijski temperaturni gradijent u potpunosti adijabatski i vrijedi za:

𝑑 ln𝑃

𝑑 ln𝑇<

𝛾

𝛾 − 1

- Statička zvijezda 𝜖 = 𝜖nuklearna

- Ukoliko zvijezda nije statička na duljoj vremenskoj skali strukture zvijezde se mijenja tijekom vremena evolucija 𝜖 = 𝜖nuklearna + 𝜖gravitacija

- Član za gravitacijsku energiju unosi eksplicitnu ovisnost o vremenu posljedica virijalnog teorema: polovica gravitacijske potencijalne energije prelazi u toplinu:

𝜖gravitacija = −𝑑𝑄

𝑑𝑡- Negativni predznak toplina se oslobađa iz plina

Entropija

- Oslobađanje gravitacijske potencijalne energije može se prikazati promjenom entropije po jediničnoj masi:

𝒅𝑺 ≡𝒅𝑸

𝑻

Brzina oslobađanja energije može se napisati preko entropije:

𝜖gravitacija = −𝑇𝑑𝑆

𝑑𝑡- Kolaps (kontrakcija) zvijezde 𝜖grav > 0 entropija pada

- Nema narušenja drugog zakona termodinamike: entropija zatvorenog sustava mora uvijek ostati nepromijenjena ili rasti zvijezda nije zatvoreni sustav raste entropija svemira uslijed emisije fotona i neutrina

- Jednadžba hidrostatske ravnoteže postaje jednadžba gibanja s ubrzanjem kada se ono ne može zanemariti eksplozija supernove i pulsirajuće zvijezde

Konstitutivne relacije

- Uz fundamentalne jednadžbe potrebno je poznavati konstitutivne relacije koje opisuju fizikalno stanje plina u zvijezdama relacije koje povezuju tlak, opacitet i brzinu oslobađanja energije s fundamentalnim svojstvima plina: gustoćom, temperaturom i sastavom:

𝑃 = 𝑃 𝜌, 𝑇, sastav 𝜅 = 𝜅 𝜌, 𝑇, sastav

𝜖 = 𝜖 𝜌, 𝑇, sastav- Jednadžba idealnog plina s jednadžbom za tlak zračenja

dobro opisuje plin u zvijezdi osim u dubokoj unutrašnjosti nekih vrsta zvijezda potrebno je uzeti u obzir i promjene srednje molekulske težine sa sastavom i ionizacijom plina

- Opacitet plina ne može se izraziti jednostavnom analitičkom relacijom zadaje se numerički za različite sastave zvijezde za različite gustoće i temperature

- Izračuna strukture zvijezde interpolira numerički zadane opacitete ili prilagođuje funkciju tim vrijednostima

- Za točnije račune koriste se mreže reakcija kako bi se odredile individualne brzine oslobađanja energije za svaki korak u nizu nuklearnih reakcija za ravnotežnu zastupljenost svakog izotopa

Granični uvjeti

- Rješavanje fundamentalnih jednadžbi i konstitutivnih relacija zahtjeva poznavanje graničnih uvjeta oni su ključni za određivanje granica integracije

- Središnji granični uvjeti unutarnja masa i luminozitet teže nuli u središtu zvijezde:

𝑀𝑟 → 0𝐿𝑟 → 0

za 𝑟 → 0

- Zvijezda je realna: ne sadrži rupu, središte negativnog luminoziteta ili singularitet

- Površinski granični uvjeti najjednostavniji uvjet je da temperatura, tlak i gustoća na površini gdje je radijus jednak radijusu zvijezde R* teže nuli:

𝑇 → 0𝑃 → 0𝜌 → 0

za 𝑟 → 𝑅∗

- Realna zvijezda temperatura, tlak i gustoća na površini nikada ne teže nuli, a posebno ne temperatura odstupanje je značajno u zvijezdama s gubitkom mase i proširenim atmosferama (divovi)

Vogt-Russellov teorem

Gradijent tlaka na nekom radijusu ovisi o unutarnjoj masi i gustoći:

𝑑𝑃

𝑑𝑅= −𝐺

𝑀𝑟𝜌

𝑟2

Temperaturni gradijent za zračenje ovisi o lokalnoj temperaturi, gustoći, opacitetu i unutarnjem luminozitetu:

𝑑𝑇

𝑑𝑟= −

3

4𝑎𝑐

𝜅𝜌

𝑇3

𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

Gradijent luminoziteta ovisi o gustoći i brzini oslobađanja energije:

𝑑𝐿𝑟

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌𝜖

Tlak, opacitet i brzina oslobađanja energije ovise o gustoći, temperaturi i sastavu na nekoj udaljenosti od središta zvijezde

- Uz zadanu unutarnju masu na površini (ukupna masa zvijezde), sastav i luminozitet na površini, te polumjer zvijezde primjena površinskih rubnih uvjeta omogućuje određivanje tlaka, unutarnje mase, temperature i unutarnjeg luminoziteta na infinitezimalnoj udaljenosti dr od površine

- Integracija kroz cijelu zvijezdu mora zadovoljiti i središnje granične uvjete iterativni proces dok se ne postigne samousuglašeno konzistentno rješenje

- Radijus zvijezde i luminozitet ne mogu biti proizvoljni za zadanu masu i sastav zvijezde vrijednosti gradijenata su ovisni o sastavu zvijezde

Vogt-Russellov teorem:Masa i sastav zvijezde jedinstveno određuje njen

polumjer, luminozitet i unutarnju strukturu te evoluciju

Ovisnost evolucije zvijezde o masi i sastavu posljedica je promjena u sastavu uslijed nuklearnih reakcija u središtu.

- Određeni značaj u evoluciji ima i rotacija i magnetsko polje zvijezde

Numeričko modeliranje jednadžbi strukture zvijezde

- Sustav fundamentalnih diferencijalnih jednadžbi strukture zvijezde i konstitutivne relacije nije moguće riješiti analitički numerička integracija

- Politropi posebna grupa približnih rješenja jednadžbi strukture zvijezda za specijalne slučajeve

- Princip numeričke integracije: diferencijalne jednadžbe približno se zamjenjuju jednadžbama razlike:

𝒅𝑷/𝒅𝒓 → ∆𝑷/∆𝒓- Zvijezdu približno opisujemo nizom sferno-simetričnih

ljusaka male ali konačne debljine numerička integracije od početnog radijusa (polumjer zvijezde) prema središtu preko konačnih koraka (debljine ljusaka) određenih pomakom r

- Eulerovski numerički kodovi (radijus je nezavisna varijabla)

- Lagrangianski numerički kodovi masa je nezavisna varijabla sve jednadžbe se moraju prikazati kao gradijent po masi, npr. dP/dM

- Svaki fizikalni parametar se povećava sukcesivnom primjenom jednadžbi razlike npr. tlak u zoni i je dan iznosom Pi tlak Pi+1 u susjednoj dubljoj zoni i+1 bit će određen kao:

𝑃𝑖+1 = 𝑃𝑖 +∆𝑃

∆𝑟𝛿𝑟

gdje je r < 0

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

- Integracija se najčešće vrši istodobno u dva smjera iz središta prema površini i sa površine prema središtu rješenja se susreću u točki prilagodbe gdje rješenja moraju biti kontinuirane glatke funkcije

- Ovakav pristup je pogodan jer se fizički mehanizma u vanjskom dijelu zvijezde često bitno razlikuju od onih u unutrašnjosti zvijezde u vanjskim dijelovima zvijezde bliže površini odvija se prijenos zračenja kroz optički tanka područje te ionizacija vodika i helija, u dubokoj unutrašnjosti odvijaju se nuklearne reakcije

- Numeričko modeliranje se ponavlja u većem broju iterativnih procesa sve dok se ne postignu središnji i površinski rubni uvjeti te kontinuirani prijelaz u točki prilagodbe

- Ukoliko se rješenja ne podudaraju u točki prilagodbe mijenjaju se početni rubni uvjeti sve dok se ne ostvari podudarnost

- Iterativni proces rješenja koja ne zadovoljavaju početne rubne uvjete i točku prilagodbe koriste se za procjenu novih početnih uvjeta sve dok se ne postigne slaganje

GLAVNI NIZ

- Sastav atmosfere većine zvijezda: 70% vodik (X 0.7), maseni udio metala se kreće od gotovo nula do 3% (0 < Z < 0.03)

- Pretpostavka homogenog početnog sastava zvijezde zvijezde prvo kroz nuklearnu fuziju stvaraju helij iz vodika (pp lanac i CNO ciklus) jer je Coulombova barijera za ove reakcije najniža te su potrebne najniže temperature

- Struktura homogene zvijezde bogate vodikom jako je ovisna o nuklearnom gorenju vodika u središtu

- Proces nuklearnog gorenja vodika je vrlo spor

10 milijardi godina za Sunce promjena strukture i sastava zvijezde uslijed gorenja vodika je također vrlo spora

- Vogt-Russellov teorem svaka promjena sastava ili mase zvijezde vodi do promjene efektivnih temperatura i luminoziteta na površini opažena svojstva zvijezde na njenoj površini moraju se promijeniti uslijed nuklearnih reakcija u središtu

- Promjene u opaženim svojstvima površine su spore sve dok su i promjene u središtu također spore

- Izuzetak su puno kraće promjene na površini poput pulsacija vanjskih dijelova zvijezde koje su odvojene od dugoročnih promjena u središtu

- Zvijezde su sličnog sastava struktura zvijezda mora polagano ovisiti o masi zvijezda povećanje mase zvijezde vodi do veće temperature i tlaka u središtu

- Zvijezde manjih masa prevladavaju pp lanci jer je potrebno manje energije (niže temperature) za početak reakcija

- Zvijezde većih masa prevladava CNO ciklus zbog značajne ovisnosti o temperaturi

- Zvijezde vrlo malih masa temperatura u središtu je preniska za nuklearne reakcije i očuvanje stabilnosti zvijezde uslijed gravitacijske kontrakcije ~0.072 MSun

za Sunčev sastav (~0.09 MSun za zvijezdu gotovo bez metala)

- Zvijezde vrlo velikih masa termalne oscilacije uslijed velikih promjena brzine oslobađanja nuklearne energije u središtu na vremenskoj skali do 8 sati 𝝐 mehanizam pulsacija

Eddingtonova granica

- Stabilnost masivne zvijezde je određena i njezinim visokim luminozitetom

- Ukupan tlak u zvijezdi:

𝑃tot =𝜌𝑘𝑇

𝜇𝑚𝐻+

1

3𝑎𝑇4

- Ukoliko je temperatura zvijezde visoka a gustoća u vanjskim dijelovima zvijezde niska dominira tlak zračenja u ukupnom tlaku u vanjskim dijelovima masivne zvijezde

- Gradijent tlaka je u tom slučaju:𝑑𝑃

𝑑𝑟≃

𝑑𝑃rad

𝑑𝑟= −

𝜅𝜌

𝑐𝐹rad

- Relacija između toka zračenja i luminoziteta:

𝐹rad =𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

Gradijent tlaka u blizini površine postaje:𝑑𝑃

𝑑𝑟≃ −

𝜅𝜌

𝑐

𝐿

4𝜋𝑟2

Hidrostatska ravnoteža također određuje gradijent tlaka u blizini površine zvijezde:

𝑑𝑃

𝑑𝑟= −𝐺

𝑀𝜌

𝑟2

gdje je M ukupna masa zvijezdeGornje dvije relacije daju za granični luminozitet Eddingtonov luminozitet:

𝑳𝐄𝐝𝐝 =𝟒𝝅𝑮𝒄

𝜿𝑴

Eddingtonov luminozitet:

𝑳𝐄𝐝𝐝 =𝟒𝝅𝑮𝒄

𝜿𝑴

Eddingtonov luminozitet je najveći luminozitet kojeg zvijezda može imati a da je još uvijek u hidrostatskoj ravnoteži

- Ako je luminozitet zvijezde veći od Eddingtonovog luminoziteta zvijezda je nestabilna i dolazi do gubitka mase pogonjenog tlakom zračenja

- Eddingtonov luminozitet je važan u mnogim područjima astrofizike masivne zvijezde, kasne faze evolucije, nove, strukture akrecijskih diskova

- Procjena Eddingtonovog luminoziteta za zvijezde u gornjem dijelu HR dijagrama (masivne sjajne zvijezde) efektivne temperature su ~50 000 K većina vodika u fotosferi je ionizirana glavni doprinos opacitetupotječe od raspršenja elektrona:

𝜅es = 0.02 1 + 𝑋 m2/kgZa X = 0.7 𝜅es = 0.034 m2/kg

𝐿Edd ≃ 1.5 × 1031𝑀

𝑀SunW

𝐿Edd

𝐿Sun≃ 3.8 × 104

𝑀

𝑀Sun

Za zvijezdu mase M = 90 MSun 𝐿Edd ≃ 3.5 × 106 𝐿Sun

oko tri puta veći luminozitet od luminoziteta masivnih zvijezda na glavnom nizu zvijezde na glavnom nizu su uglavnom stabilne na tlak zračenja

- Luminozitet masivnih zvijezda na glavnom nizu je dosta blizak Eddingtonovom luminozitetu atmosfere ovih zvijezda slabo su vezane za ostatak zvijezde značajan gubitak mase pogonjen tlakom zračenja i vrlo promjenjiv luminozitet

Promjene parametara zvijezda glavnog niza s masom

- Numerička relacija između mase M zvijezde i njenog luminoziteta L može se odrediti iz teorijskih modela ovakva teorijska relacija dobro slijedi opaženu ovisnost masa-luminozitet

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson(Data from Popper, 1980, Annu. Rev. Astron. Astrophys., 18, 115)

- Teorijski model za različite mase moguće je prikazati i na HR dijagramu u ovisnosti luminoziteta o efektivnoj temperaturi

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson (Podaci iz Schaller et al. 1992, Astron. Astrophys. Suppl. 96, 269 i Charbonnel et al. 1999, Astron. Astrophys. Suppl. 135, 405)

- Usporedimo teorijski model zvijezda s opaženim HR dijagramom zvijezde koje u svojim središtima troše vodik u fuziji helija nalaze se na glavnom nizu!

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson (Data by European Space Agency, Hipparcos catalog)

- Luminozitet zvijezda na glavnom nizu mijenja se gotovo 9 redova veličine od ~5 10-4 LSun do 1 106 LSun

- Masa se na glavnom nizu mijenja puno manje oko tri reda veličine

- Sjajne masivne zvijezde u gornjem dijelu HR dijagrama imaju izrazito veliki luminozitet brzi utrošak svog vodika u središtu u vrlo kratkom vremenu u odnosu na manje masivne zvijezde niskog luminoziteta u donjem dijelu HR dijagrama Vrijeme života na glavnom nizu opada s povećanjem luminoziteta

- Efektivne temperature puno slabije ovise o masi zvijezda od 1700 K do 50 000 K povećanje oko 20 puta

- Razlika u temperaturama je još uvijek dovoljno velika za velike razlike u spektrima zvijezda

- Usporedbom s teorijskim modelom moguće je korelirati mase zvijezda glavnog niza s njihovom efektivnom temperaturom

- Unutarnja struktura zvijezde također se mijenja u ovisnosti o masi zvijezde na glavnom nizu različiti su položaji i veličina konvektivne zone

- Masivne sjajne zvijezde u gornjem dijelu HR dijagrama CNO ciklus dominira u nuklearnim reakcijama koje su vrlo osjetljive na temperaturu brzina oslobađanja energije brzo se mijenja s radijusom zračenje nije efikasno za prijenos energije središte masivnih zvijezda je konvektivno

- Izvan središta masivnih zvijezda prijenos energije zračenjem

- Smanjenje mase zvijezde opada temperatura u središtu opada efikasnost i brzina CNO ciklusa

- Zvijezde masa manjih od 1.2 MSun u središtu dominira pp lanac i prijenos energije zračenjem

- U blizini površine opada efektivna temperatura porast opaciteta (djelomično zbog područja parcijalne ionizacije vodika) konvekcija postaje efikasnija od prijenosa zračenjem u blizini površine zvijezda masa manjih od ~1.3 MSun nastanak konvekcijske zone

- Zvijezde još manjih masa u donjem dijelu HR dijagrama konvekcijske zone postaju sve dublje dok cijela zvijezda ne postane konvektivna za mase ~0.3 MSun

- Veliki broj zvijezda nalazi se izvan glavnog niza HR dijagrama posljedica promjene strukture zvijezde uslijed promjene sastava zbog nuklearnog gorenja u središtu

Teorija dužine miješanja i superadijabatska konvekcija

- Dovoljno je da temperaturni gradijent bude samo malo superadijabatski da bi nastupila konvekcija

- Pretpostavili smo u modelu mjehura plina da su tlakovi u mjehuru i okolnom plinu jednaki iz jednadžbe idealnog

plina slijedi 𝑇𝑓(𝑏)

> 𝑇𝑓(𝑠)

ako je ostvaren osnovni uvjet

konvekcije 𝜌𝑓(𝑏)

< 𝜌𝑓(𝑠)

i pod pretpostavkom početne

termičke ravnoteže - Temperatura okolnog plina mora opadati brže s radijusom

kako bi dobili konvekciju:

𝑑𝑇

𝑑𝑟

(𝑠)

−𝑑𝑇

𝑑𝑟

(𝑏)

> 0

- Temperaturni gradijent je negativan:

𝑑𝑇

𝑑𝑟

(𝑏)

− 𝑑𝑇

𝑑𝑟

(𝑠)

> 0

Pretpostavimo da se mjehur giba adijabatski, dok je temperaturni gradijent okolnog plina u stvari pravi temperaturni gradijent u zvijezdi:

𝑑𝑇

𝑑𝑟

(𝑏)

= 𝑑𝑇

𝑑𝑟ad

i 𝑑𝑇

𝑑𝑟

(𝑠)

= 𝑑𝑇

𝑑𝑟act

Temperatura mjehura bit će veća od temperature okolnog plina nakon što je mjehur prešao udaljenost dr za:

𝛿𝑇 = 𝑑𝑇

𝑑𝑟ad

− 𝑑𝑇

𝑑𝑟act

𝑑𝑟 = 𝛿𝑑𝑇

𝑑𝑟𝑑𝑟 ≡ ∆𝛻𝑇 (19)

označava razliku između veličine povezane s mjehurom i veličine povezane s okolnim plinom a određene na radijusu r

Pretpostavimo da vrući mjehur pređe neku udaljenost ℓ prije nego što se disipira i termalizira s okolinom, te preda okolini suvišak topline pri konstantnom tlaku:

ℓ = 𝜶𝑯𝑷

udaljenost ℓ se naziva duljinom miješanja, HP je visinska skala za tlak

Omjer duljine miješanja i visinske skale za tlak je slobodni parametar prilagodbe (reda veličine jedinice, odnosno 0.5 < < 3):

𝛼 ≡ℓ

𝐻𝑃

Tok suviška topline po jedinici volumena iz mjehura u okolni plin nakon što je mjehur prešao jednu duljinu mješanja:

𝛿𝑞 = 𝐶𝑃𝛿𝑇 𝜌

T je određen iz relacije (19) zamjenom ℓ sa dr

- Pomnožimo sa srednjom brzinom 𝑣𝑐 konvektivnog mjehura kako bi dobili konvektivni tok količina energije po jedinici površine i u jedinici vremena koju nosi mjehur:

𝐹𝑐 = 𝛿𝑞 𝑣𝑐 = 𝐶𝑃𝛿𝑇 𝜌 𝑣𝑐 (20)

- 𝜌 𝑣 je u stvari toka mase količina mase mjehura koja u jedinici vremena prođe kroz jediničnu površinu postavljenu okomito na smjer gibanja (toka) mehanika fluida

- Srednju brzinu 𝑣 odredimo iz rezultantne sile po jedinici mase koja djeluje na mjehur Iz jednadžbe stanja idealnog plina i pod pretpostavkom konstantnog dobijemo:

𝛿𝑃 =𝑃

𝜌𝛿𝜌 +

𝑃

𝑇𝛿𝑇

Tlak između mjehura i okoline je uvijek isti

𝛿𝑃 ≡ 𝑃(𝑏) − 𝑃 𝑠 = 0

𝛿𝜌 = −𝜌

𝑇𝛿𝑇

Rezultantna sila na mjehur je otprije:𝑓net = −𝑔𝛿𝜌

pa dobijemo uvrštavanjem:

𝑓net =𝜌𝑔

𝑇𝛿𝑇

- Pretpostavili smo da su početne temperature mjehura i okolnog plina gotovo jednake 𝛿𝑇𝑖 ≈ 0 sila uzgona također na početku mora biti vrlo mala i bliska nuli

- Rezultantna sila 𝑓net linearno raste s promjenom temperature 𝛿𝑇 usrednjimo rezultantnu silu po putu ℓizmeđu početnog i konačnog položaja:

𝑓net =1

2

𝜌𝑔

𝑇𝛿𝑇𝑓

- Zanemarimo viskozne sile (unutarnje trenje) rad sile uzgona po jedinici volumena na putu ℓ troši se na

povećanje kinetičke energije mjehura:1

2𝜌𝑣𝑓

2 = 𝑓net ℓ

- Srednja kinetička energija na putu koji odgovara jednoj duljini miješanja daje srednju vrijednost 𝑣2 𝛽𝑣2 gdje poprima vrijednost 0 < < 1

- Srednja brzina konvektivnog mjehura je sada:

𝑣𝑐 =2𝛽 𝑓net ℓ

𝜌

1/2

- Zamijenimo rezultantnu silu po jedinici volumena i upotrijebimo relaciju (19) uz 𝑑𝑟 = ℓ:

𝑣𝑐 =𝛽𝑔

𝑇

1/2

𝛿𝑑𝑇

𝑑𝑟

1/2

ℓ

= 𝛽1/2𝑇

𝑔

1/2𝑘

𝜇𝑚𝐻𝛿

𝑑𝑇

𝑑𝑟

1/2

𝛼 (21)

gdje smo u zadnjem retku zamijenili duljinu miješanja ℓ sa 𝛼𝐻𝑃 uz korištenje definicije visinske skale tlaka 𝐻𝑃 ≡ 𝑃/𝜌𝑔 i

jednadžbe stanja idealnog plina

- Iz relacija (21) i (22) konačno možemo dobiti izraz za konvektivni tok:

𝐹𝑐 = 𝜌𝐶𝑃

𝑘

𝜇𝑚𝐻

2𝑇

𝑔

3/2

𝛽1/2 𝛿𝑑𝑇

𝑑𝑟

3/2

𝛼2 (22)

- Konvektivni tok nije osjetljiv na , ali snažno ovisi o i (dT/dr)

- Izvod konvektivnog toka je poznat kao teorija duljine miješanja fenomenološka teorija koja sadrži proizvoljne konstante i , ali dobro predviđa rezultate opažanja

- Potrebno je poznavati razliku između temperaturnog gradijenta mjehura i okoline da bi odredili konvektivni tok pretpostavimo da konvektivni tok predstavlja cjelokupni tok:

𝐹𝑐 =𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

gdje je Lr unutarnji luminozitet- Gornja relacija će nam pomoći da odredimo razliku

temperaturnih gradijenata

- Relaciju (22) za konvektivni tok možemo riješiti za razliku temperaturnih gradijenata:

𝛿𝑑𝑇

𝑑𝑟=

𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

1

𝜌𝐶𝑃𝛼2

𝜇𝑚𝐻

𝑘

2 𝑔

𝑇

3/2

𝛽−1/2

2/3

(23)

- Podijelimo gornju relaciju (23) s relacijom za adijabatski temperaturni gradijent:

𝑑𝑇

𝑑𝑟ad

= −𝑔

𝐶𝑃

dobit čemo procjenu koliko stvarni temperaturni gradijent mora biti adijabatski da bi sam konvekcijom prenio cjelokupni tok (stupanj superadijabatičnosti):

𝛿 𝑑𝑇/𝑑𝑟

𝑑𝑇/𝑑𝑟 ad=

𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

2/3

𝐶𝑃1/3

𝜌−2/3𝛼−4/3𝜇𝑚𝐻

𝑘

4/3 1

𝑇𝛽−1/3

Primjer: Procijenite karakteristični adijabatski temperaturni gradijent, stupanj superadijabatičnosti stvarnog temperaturnog gradijenta i brzinu konvektivnog mjehura u Sunčevoj konvektivnoj zoni. Pretpostavite da je plin monoatomni s = 1 i = ½

Za Sunce možemo uzeti rezultate modela strukture zvijezde:Mr = 0.976 MSun Lr = 1 LSun

r = 0.714 RSun g = GMr/r2 = 525 m/s2

CP = 5nR/2 P = 5.59 1012 N/m2

= 187 kg/m3 = 0.606T = 2.18 106 K

Iz relacije za adijabatski temperaturni gradijent dobijemo:

𝑑𝑇

𝑑𝑟ad

= −𝑔

𝐶𝑃~0.015 K/m

Iz relacije (23) dobijemo za razliku temperaturnih gradijenata:

𝛿𝑑𝑇

𝑑𝑟~6.7 × 10−9 K/m

Stupanj superadijabatičnosti relativna vrijednost za koju je stvarni temperaturni gradijent superadijabatičan:

𝛿 𝑑𝑇/𝑑𝑟

𝑑𝑇/𝑑𝑟 ad~4.4 × 10−7

- Za navedene parametre u dubokoj unutrašnjosti, konvekcija se može aproksimirati adijabatskim temperaturnim gradijentom

- Brzina konvektivnog mjehura potrebna za prijenos cjelokupnog konvektivnog toka odredi se iz relacije (21):

𝑣𝑐~50 m/s ~ 10−4 𝑣𝑠

gdje je 𝑣𝑠 lokalna brzina zvuka u Suncu

- konvektivna brzina je subsonična