5. APLIKASI TURUNAN

5.1 Menggambar Grafik FungsiBeberapa hal yang diperlukan untuk menggambargrafik fungsi:A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu yContoh: Tentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dari kurva y = x2 + 5x + 4Jawab : • Titik potong dengan sumbu x y = 0

x2 + 5x + 4 = 0 ( x + 4 ) ( x + 1 ) = 0 x + 4 = 0 x = – 4 , titiknya adalah: ( – 4 , 0 ) x + 1 = 0 x = – 1 , titiknya adalah: ( – 1 , 0 ).

• Titik potong dengan sumbu y , x = 0 sehingga y = 4 . Jadi titik potongnya adalah ( 0 , 4 ).

Kemonotonan FungsiDefinisi : Fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk x1 < x2 , x1 , x2 ϵ I Fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika untuk x1 < x2 , x1 , x2 ϵ I

1 2( ) ( )f x f x

1 2( ) ( )f x f x

( )f x

( )f x

Teorema 1: Jika diferensiabel di selang І , maka:• Fungsi monoton naik pada І jika >0,x ϵ I • Fungsi monoton turun pada І jika <0,x ϵ I Contoh 5.1:

Jawab :

• naik pada yaitu pada • turun pada yaitu pada

'( )f x

'( )f x

( )f x

( )f x

3 2( ) 2 3 12 7 cari dimana naik dan dimana turunf x x x x f

2'( ) 6 6 12 6( 1)( 2)

kita perlu menentukan dimana ( 1)( 2) 0

dan dimana ( 1)( 2) 0

f x x x x x

x x

x x

)(xf

)(xf

0)(' xf ),2(dan )1,(

0)(' xf )2,1(

Soal Latihan

Tentukan selang dimana fungsi monoton naik dan dimana monoton turun dari fungsi berikut:1.

2.

3.

4.

5.2 EKSTRIM FUNGSI

Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum dan minimum fungsi di daerahdefinisinya.

Definisi 2 : Misalkan kontinu pada selang І dan c ϵ I.• disebut nilai maksimum global dari f pada І jika ≥ x ϵ І• disebut nilai minimum global dari f pada І jika ≤ x ϵ І• disebut nilai maksimum lokal dari f pada І jika terdapat selang buka

yang memuat c sehingga ≥ x pada selang buka tadi• disebut nilai minimum lokal dari f pada І jika terdapat selang buka

yang memuat c sehingga ≤ x pada selang buka tadi• nilai maksimun dan minimun fungsi disebut juga nilai ekstrem• Titik pada daerah definisi yang menjadi calon tercapainya ekstrem

fungsi disebut titik kritis.

( )f c

( )f c

( )f c

( )f c

( )f c

( )f x

( )f c

( )f c

( )f c

( )f x

( )f x

( )f x

Teorema 3 (teorema titik kritis). Misalkan f terdefinisi pada selang І yang memuat c. Jika nilai ekstrim, maka c adalah titik kritis, yakni salah satu :

1. Titik ujung selang І2. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana = 0 ), secara geometris : Garis singgung mendatar dititik (c, )3. Titik singular (x = c dimana tidak ada ), secara geometris : terjadi patahan pada grafik f di titik (c, ).

Ketiga jenis titik kritis ini (titik ujung, titik stasioner, titik singular)merupakan titik-titik kunci teori maksimum-minimum.

( )f c

( )f c

'( )f c

'( )f c

( )f c

Teorema 4 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokali.Jika > 0 pada selang (b,c) dan <0 pada selang (c,d), maka merupakan nilai maksimum lokal f.ii.Jika < 0 pada selang (b,c) dan > 0 pada selang(c,d), maka merupakan nilai minimum lokal .

Teorema 5: Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal.Misalkan = 0,i.Jika <0 maka merupakan nilai maksimum lokal dari f.ii.Jika >0 maka merupakan nilai minimum lokal darif.

'( )f c

'( )f c'( )f c

( )f c

( )f c

( )f c

( )f c

''( )f c

''( )f c

'( )f x'( )f x

Contoh 5.2:Cari nilai ekstrim lokal dari pada (–∞,∞)

Jawab:Titik kritis f adalah – 1 dan 3 bila digunakan titik uji –2 , 0 dan 4 didapat pada ( – ∞, –1 ) dan (3,∞) Dan pada ( –1,3 )

Menurut uji turunan pertama adalah nilai maksimum lokal adalah nilai minimum lokal

)3)(1(32)(' 2 xxxxxf

0)3)(1( xx

3

17)1( f

0)3)(1( xx

5)3( f

Teorema 6: Misalkan kontinu pada selang І dan c ϵ І . Jika ada dan f mencapai ekstrim lokal di c , maka = 0 .Bukti:Misalkan f mencapai maksimum lokal di c , maka ≥ di sekitar c. Karena f’(c) ada, maka

Ini menunjukan bahwa

Teorema ini tidak berlaku sebaliknya, artinya jika

( )f x'( )f c'( )f c

( )f c ( )f x

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim 0 dan (c) = lim 0

f x f c f x f cf c f

x c x c

( ) 0, belum tentu ( ) nilai ekstrimf c f c

Soal Latihan

Tentukan titik-titik kritis dari fungsi berikut pada selang yang diberikan:1.

2.

3.

4.

5.3 KECEKUNGAN FUNGSI• Secara geometris, grafik fungsi akan cekung ke bawah di

suatu titik bila kurva terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan grafik fungsi akan cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung

kurva di titik tersebut.• Fungsi dikatakan cekung ke atas pada interval bila

naik pada interval , sedang dikatakan cekung ke bawah bila turun pada interval .

Teorema 7: Uji turunan kedua untuk kecekungan• Jika f ''(x) > 0, x ϵ maka cekung ke atas pada • Jika f ''(x) < 0, x ϵ maka cekung ke bawah pada

( )y f x

( )y f x

II ( )f x

( )f x ( )f x

( )f x I

I

I I

I

f ''(x) > 0, x f ''(x) < 0, x

Contoh 5.3:Tentukan dimana naik, turun, cekung keatas dan cekung kebawahPenyelesaian

sedangkan f turun pada [ –1, 3].Demikian juga, dari didapat f cekung ke atas di ( 1, ∞) , dan dari didapat f cekung ke bawah di ( –∞, 1 ) .

433

1)( 23 xxxxf

)3)(1(32)(' 2 xxxxxf)1(222)('' xxxf

0)3)(1( xx

0)1(2 x

0)1(2 x

Soal Latihan

Tentukan dimana fungsi cekung keatas dan dimana fungsi cekung ke bawah:

1.

2.

3.

4.

5.4. TITIK BELOK

Definisi 3: Misalkan kontinu di x = b maka (b , f(b)) disebut titik belok dari kurva jika terjadi perubahan kecekungan di x =b, yaitu di sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b cekung kebawah atau sebaliknya.

Contoh 5.4: Carilah ttk belok fungsi Penyelesaian:

maka

Bila Untuk sehingga f cekung ke bawahUntuk sehingga f cekung ke atasKarena di terjadi perubahan kecekungan maka (0 ,–1) merupakan titik belok.

( )f x( )f x

12)( 3 xxf

26)(' xxf xxf 12)(''

12)( 3 xxf

00)('' xxf

0)(''0 xfx0)(''0 xfx

0x

Soal Latihan1.Sketsakan grafik fungsi f(x) yang mempunyai sifat berikut:• f kontinu di mana-mana• f (–3) = 1

• • • 2.Jika f kontinu dengan f (2) = f (0) = 0 dan grafik fungsi y = adalah sebagai berikut:

Tentukan selang kemonotonan f, selang kecekungan f, dan sketsakan grafik fungsi f tersebut.

=

Soal Latihan 1. Gambarkan grafik dari fungsi berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

34 4)( xxxf

53 3)( xxxf

630152)( 345 xxxxf

3/1)( xxf

5.5 MASALAH MAKSIMUM MINIMUM LAINNYATurunan suatu fungsi dapat pula dipergunakan untuk menyelesaikan masalah

maksimum dan minimum pada kehidupan sehari-hari.

Contoh 5.6:Suatu pelat seng yang lebarnya 50 cm akan dibuat talang air dengan melipat kedua sisinya sama panjang. Agar talang itu dapat dialiri air sebanyak-banyaknya, tentukan ukuran penampang tegak talang tersebut.

Jawab:

x 30 – 2x

Misalkan x = panjang sisi yang dilipat.Maka ukuran penampang talang tersebut : panjang = 30 – 2x dan lebar = x .

Agar talang dapat dialiri air sebanyak-banyaknya maka luas talang harus maksimal. Dengan p = 30 – 2x dan l = x diperoleh luas = (30 – 2x) x. Jadi model matematika untuk luas penampang talang : A = – 2x2 + 30 x

Titik kritis : ( < 0 ), berarti tercapai nilai maksimum.Jadi agar luas penampang talang itu maksimum maka ukurannya :Panjang = 30 – 2(7,5) = 15 cmLebar = 7,5 cm.

Contoh 5.7:Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva dengan persamaan .a.Tentukan saat partikel bergerak kekanan dan bergerak ke kiri.b.Tentukan saat partikel berhenti.Jawab:a. Partikel bergerak ke kanan, jika kecepatan atau dan partikel bergerak ke kiri,jika

b.Partikel berhenti, jika

.

. .

Soal Latihan

1. Carilah luas persegi panjang terbesar yang dapat diletakkan di dalam setengah lingkaran berjari-jari r

2. Sebuah kotak dengan bidang alas persegi (bujur sangkar) akan dibuat agar dapat menampung 16 liter benda cair. Jika biaya pembuatan per satuan luas dari bidang alas dan atas dari kotak dua kali biaya pembuatan bidang sisi tegaknya, berapakah ukuran kotak yang biaya pembuatannya paling murah.

3. Sebuah peluru ditembakkan tegak lurus ke atas dari permukaan tanah dan pada saat t detik ( ) tingginya adalah meter di atas permukaan tanah

a. Tentukan kecepatan peluru setelah ditembakkan 2 detik dan 9 detik. b. Tentukan saat peluru mencapai titik tertinggi beserta panjang lintasannya. c. Tentukan saat peluru mencapai tanah kembali,kecepatan, dan percepatannya pada saat itu.

4. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah daerah setempat akan memasang kabel telepon dari A ke B . Jika besar biaya pemasangan kabel setiap kilometer melewati jalan laut dua kali besar biaya pemasangan kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin.