book2014_OCT_เซเรบอส Brands วิชาคณิตศาสตร์ (224 หน้า).pdf

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 __________________________________________คณตศาสตร (1)

สวนท 1 (O NET).......โดย อ.ตลนนท นวลเพญ.................................หนา 2-50

สวนท 2 (PAT 1)........โดย อ.ภาคภม อรามวารกล (พแทป) ..............หนา 51-83

สวนท 3 (PAT 1)........โดย อ.ศภฤกษ สกลชยพรเลศ (คร sup’k) .....หนา 84-209 สวนท 4 ชดเกงขอสอบ........................................................................หนา 210-224

คณตศาสตร (2)___________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26

เซต เซตจากด คอ เซตทสามารถระบจานวนสมาชกได เซตอนนต คอ เซตทมจานวนสมาชกมากมาย เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก หรอมจานวนสมาชกเปนศนย เขยนแทนดวย φ หรอ { } ตวอยางท 1 ให A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ 1) มเซตจากดทเปนสบเซตของ A 2) มเซตจากดทเปนสบเซตของ B 3) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B สบเซต บทนยาม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอสมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และ

เขยนเปนสญลกษณ คอ A ⊂ B ตวอยางท 2 ให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} เนองจากสมาชกของเซต A ทกตวเปนสมาชกของ

เซต B ดงนน A ⊂ B


เพาเวอรเซต บทนยาม เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสบเซตทงหมดของเซต A เขยนแทนดวย P(A) ตวอยางท 3 ให A = {1, 2, 3} จะไดสบเซตทงหมดของ A ไดแก φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} สมบตของสบเซตและเพาเวอรเซต 1. φ เปนสบเซตของเซตทกเซต 2. φ เปนสมาชกของเพาเวอรเซตเสมอ 3. A ⊂ A 4. A ∈ P(A) 5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 6. จานวนสบเซตของเซต A ทงหมดเทากบ 2n(A) 7. จานวนสมาชกของ P(A) ทงหมดเทากบ 2n(A) การดาเนนการทางเซต 1. ยเนยน เซต A ยเนยนกบเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของเซต A หรอเซต B เขยนแทนดวย AU B 2. อนเตอรเซกชน เซต A อนเตอรเซกชนกบเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย AI B 3. ผลตาง ผลตางของ A และ B คอ เซตทมสมาชกในเซต A แตไมเปนสมาชกในเซต B เขยนแทนดวย A - B 4. คอมพลเมนต ถา A เปนเซตเซตใดในเอกภพสมพนธ U แลว คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย A′


ตวอยางท 4 กาหนดให U = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 4, 8} B = {2, 4, 6, 10} จะได AU B = {1, 2, 4, 6, 8, 10} AI B = {2, 4} A - B = {1, 8} B - A = {6, 10} A′ = {3, 5, 6, 7, 9, 10} และ B′ = {1, 3, 5, 7, 8, 9} ตวอยางท 5 ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ AU B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว AI B เปนสบเซตในขอใดตอไปน 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} ตวอยางท 6 ให A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเทจ 1) A - B มสมาชก 5 ตว 2) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากบ 4 3) จานวนสมาชกของ (A - B)U (B - A) เปนจานวนค 4) AI B คอ เซตของจานวนนบทมคามากกวา 5 จานวนสมาชกของเซตจากด ให n(A) แทนจานวนสมาชกของเซต A 1. n(U) = n(A) + n(A′) 2. n(AU B) = n(A) + n(B) - n(AI B) 3. n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AI B) - n(AI C) - n(BI C) + n(AI BI C) 4. n(A - B) = n(A) - n(AI B)


ตวอยางท 7 ถากาหนดจานวนสมาชกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปน

เซต AU B AU C BU C AU BU C AI BI C จานวนสมาชก 25 27 26 30 7

แลวจานวนสมาชกของ (AI B)U C เทากบขอใดตอไปน 1) 23 2) 24 3) 25 4) 26 ตวอยางท 8 นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว

ถานกเรยน 39 คนมเสอสเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมทงเสอสเหลองและเสอสฟามจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 9 2) 10 3) 11 4) 12 ตวอยางท 9 นกเรยนกลมหนงจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน

ชอบฟงเพลงแตไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน ตวอยางท 10 กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AU B) = 88 และ n[(A - B)U (B - A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากบขอใดตอไปน 1) 45 2) 48 3) 53 4) 55 ตวอยางท 11 ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวามคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน มคนทดมชา

100 คน และมคนทดมกาแฟ 150 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด ตวอยางท 12 ในการสอบของนกเรยนชนประถมกลมหนง พบวา มผสอบผานวชาตางๆ ดงน คณตศาสตร 36 คน สงคมศกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทงสามวชา 5 คน จานวนผสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน


การใหเหตผล การใหเหตผลทางคณตศาสตรทสาคญมอย 2 วธ ไดแก 1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรง จากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆ ครงจากกรณยอยแลวนามาสรปเปนความรแบบทวไป 2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) หมายถง วธการสรปขอเทจจรงโดยการนาความรพนฐาน ความเชอ ขอตกลง หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลนาไปสขอสรป ตวอยางท 1 จงพจารณาการใหเหตผลตอไปนเปนการใหเหตผลแบบอปนยหรอนรนย 1) เหต 1. นทชอบทานไอศกรม 2. แนทชอบทานไอศกรม ผล เดกทกคนชอบทานไอศกรม 2) เหต 1. เดกทกคนชอบทานไอศกรม 2. แนทเปนเดก ผล แนทชอบทานไอศกรม ตวอยางท 2 จงหาคา a จากแบบรปของจานวนทกาหนดให 1, 4, 9, 16, 25, a 2, 4, 8, 16, 32, a


ความสมเหตสมผล สวนประกอบของการใหเหตผล การตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 1. a เปนสมาชกของ A 2. a ไมเปนสมาชกของ A 3. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B 4. ไมมสมาชกตวใดใน A เปนสมาชกของ B 5. สมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B 6. สมาชกบางตวของ A ไมเปนสมาชกของ B ตวอยางท 3 กาหนดเหตใหดงตอไปน เหต ก. ทกจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานครเปนจงหวดทมอากาศด ข. เชยงใหมเปนจงหวดทมอากาศไมด ขอสรปในขอใดตอไปนสมเหตสมผล 1) เชยงใหมเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 2) นราธวาสเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 3) เชยงใหมเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร 4) นราธวาสเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร ตวอยางท 4 จงพจารณาขอความตอไปน 1. คนตกอลฟทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคนเปนคนสายตาด 3. ธงชยตกอลฟเกง แตตไดไมไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนธงชย

1) 2) 3) 4)


ตวอยางท 5 จากแบบรปตอไปน

1 2 47

2 4 814

3 6 1221

. . . a b c77

โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a - b + c มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 22 3) 33 4) 44 ตวอยางท 6 พจารณาขอความตอไปน ก. นกกฬาทกคนมสขภาพด ข. คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด ค. ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร

1) 2)

3) 4)

ตวอยางท 7 เหต 1. ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน 2. มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง 3. มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง ผล ในขอใดตอไปนทเปนการสรปผลจากเหตขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล 1) มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2) มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน 3) มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4) มคนตกงานทเปนคนขยน ตวอยางท 8 พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1) A 2) เหดเปนพชมดอก ผล เหดเปนพชชนสง ขอสรปขางตนสมเหตสมผล ถา A แทนขอความใด 1) พชชนสงทกชนดมดอก 2) พชชนสงบางชนดมดอก 3) พชมดอกทกชนดเปนพชชนสง 4) พชมดอกบางชนดเปนพชชนสง


ระบบจานวนจรง

แผนผงแสดงความสมพนธของระบบจานวน

จานวนเชงซอน

จานวนจนตภาพจานวนจรง (R)

จานวนอตรรกยะ (Q′) จานวนตรรกยะ (Q)

จานวนตรรกยะ (I′) ทไมใชจานวนเตม จานวนเตม (I)

จานวนเตมลบ (I-)จานวนเตมศนย (I0)

จานวนเตมบวก (I+) (จานวนนบ) (N)

จานวนอตรรกยะ หมายถง จานวนทไมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจานวนเตม หรอทศนยม ซาได เชน 2 , 5 , - 3 , π, 2.17254... เปนตน จานวนตรรกยะ หมายถง จานวนทสามารถเขยนในรปเศษสวนของจานวนเตมได ตวอยางท 1 พจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ข. มจานวนอตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ผด 2) ก. และ ข. ถก 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 2 กาหนดใหคาประมาณทถกตองถงทศนยมตาแหนงท 3 ของ 3 และ 5 คอ 1.732 และ

2.236 ตามลาดบ พจารณาขอความตอไปน ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 - 1.731 ≤ 5 - 3 ≤ 2.237 - 1.733 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

คณตศาสตร (10)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26

ตวอยางท 3 พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนทเปนจดทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนอตรรกยะ ข. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนตรรกยะ ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด สมบตของจานวนจรง 1. สมบตการเทากนของจานวนจรง กาหนดให a, b, c ∈ R 1) สมบตการสะทอน a = a 2) สมบตการสมมาตร ถา a = b แลว b = a 3) สมบตการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4) สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c 5) สมบตการคณดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c 2. สมบตของจานวนจรงเกยวกบพชคณต กาหนดให a, b, c ∈ R

สมบต สมบตของการบวก สมบตของการคณ

สมบตปด a + b ∈ R a ⋅ b ∈ R สมบตการสลบท a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a สมบตการเปลยนกลม a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c สมบตการมเอกลกษณ ม 0 เปนเอกลกษณการบวก

ซง 0 + a = a = a + 0 ม 1 เปนเอกลกษณการคณ

ซง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 สมบตการมอนเวอรส สาหรบจานวนจรง a

มจานวนจรง -a ท (-a) + a = 0 = a + (-a)

สาหรบจานวนจรง a ท a ≠ 0 จะม a-1 ท a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1

สมบตการแจกแจง a(b + c) = ab + ac

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (11)

ตวอยางท 4 ให a และ b เปนจานวนตรรกยะทแตกตางกน c และ d เปนจานวนอตรรกยะทแตกตางกน พจารณาขอความตอไปน ก. a - b เปนจานวนตรรกยะ ข. c - d เปนจานวนอตรรกยะ ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 5 พจารณาขอความตอไปน ก. สมบตการมอนเวอรสการบวกของจานวนจรง b ท b + a = 0 = a + b ข. สมบตการมอนเวอรสการคณของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง

b ท ba = 1 = ab ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ทบทวนสตร 1. กาลงสองสมบรณ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2. กาลงสามสมบรณ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3a2b - b3 3. ผลตางกาลงสอง a2 - b2 = (a - b)(a + b) 4. ผลตางกาลงสาม a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)


จากสมการพหนามกาลงสอง ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงท, a ≠ 0

จะได x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ถา b2 - 4ac > 0 แลว x จะม 2 คาตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว x จะม 1 คาตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว x จะไมมคาตอบทเปนจานวนจรง ตวอยางท 6 ถา 4

3 เปนผลเฉลยหนงของสมการ 4x2 + bx - 6 = 0 เมอ b เปนจานวนจรงแลว อกผลเฉลยหนงของสมการนมคาตรงกบขอใด

1) -2 2) - 21

3) 21 4) 2

สมบตของอสมการ ให a, b และ c เปนจานวนจรง 1. สมบตการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตการบวกดวยจานวนจรงทเทากน ถา a > b แลว a + c > b + c 3. สมบตการคณดวยจานวนทเทากน ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ให a และ b เปนจานวนจรง จาก a < x < b จะได a < x และ x < b ตวอยางท 7 กาหนดให s, t, u และ v เปนจานวนจรง ซง s < t และ u < v พจารณาขอความตอไปน ก. s - u < t - v ข. s - v < t - u ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด


ชวงของจานวนจรง ให a และ b เปนจานวนจรง และ a < b 1. (a, b) = {x | a < x < b} เสนจานวน คอ a b

2. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} เสนจานวน คอ a b

3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} เสนจานวน คอ a b

4. [a, b) = {x | a ≤ x < b} เสนจานวน คอ a b

5. (-∞, a) = {x | x < a} เสนจานวน คอ a

6. [a, ∞) = {x | x ≥ a} เสนจานวน คอ a

ตวอยางท 8 ตองการลอมรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาซงมพนท 65 ตารางวา โดยดานยาวของทดนยาวกวา

สองเทาของดานกวางอย 3 วา จะตองใชรวทมความยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 30 วา 2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา


ตวอยางท 9 เมอเขยนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท a ≠ 0 เพอหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนแสดงวาสมการไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

1)

y

x50

5

-5

-5

2)

y

x50

5

-5

-5

3)

y

x50

5

-5

-5

4)

y

x50

5

-5

-5

ตวอยางท 10 แมคานาเมลดมะมวงหมพานต 1 กโลกรม ถวลสง 3 กโลกรม และเมลดฟกทอง 4 กโลกรม

มาผสมกน แลวแบงใสถง ถงละ 100 กรม ถาแมคาซอเมลดมะมวงหมพานต ถวลสง และ เมลดฟกทองมาในราคากโลกรมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลาดบ แลวแมคาจะตองขายเมลดพชผสมถงละ 100 กรมน ในราคาเทากบขอใดตอไปนจงจะไดกาไร 20% เมอขายหมด

1) 10 บาท 2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท ตวอยางท 11 เซตคาตอบของอสมการ -1 ≤ 2 +

2 1x

- ≤ 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] 3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2]


คาสมบรณ บทนยาม ให a เปนจานวนจรง

|a| =

<≥

0 a เมอ a0 a เมอ a

-

ทฤษฎบทเกยวกบคาสมบรณ 1. |x| = a กตอเมอ x = a หรอ x = -a 2. ให a เปนจานวนจรงบวก |x| < a กตอเมอ -a < x < a |x| ≤ a กตอเมอ -a ≤ x ≤ a |x| > a กตอเมอ x < -a หรอ x > a |x| ≥ a กตอเมอ x ≤ -a หรอ x ≥ a ตวอยางท 12 พจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ 1) คาตอบหนงของสมการมคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการมคาเทากบ 14 3) สมการนมคาตอบมากกวา 2 คาตอบ 4) ในบรรดาคาตอบทงหมดของสมการ คาตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 3

ตวอยางท 13 จานวนสมาชกของเซต

+=

22a1 |a| |a|

1 a xx

-- เมอ a เปนจานวนจรงซงไมเทากบ 0

เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) มากกวาหรอเทากบ 4 ตวอยางท 14 ผลบวกของคาตอบทกคาตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 3 3) 3 - 1 4) 3 + 1 ตวอยางท 15 ผลเฉลยของสมการ 2|5 - x| = 1 อยในชวงใด 1) (-10, -5) 2) (-6, -4) 3) (-4, 5) 4) (-3, 6)


ความสมพนธและฟงกชน คอนดบ (a, b) โดยท a คอ สมาชกตวหนา และ b คอ สมาชกตวหลง บทนยาม (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d ผลคณคารทเชยน กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเชยนของ A และ B คอ A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B} เชน ให A = {1, 2} และ B = {a, b, c} จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} สมบตของผลคณคารทเชยน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. A × φ = φ × A = φ 2. A × B ≠ B × A 3. n(A × B) = n(A) × n(B) 4. A × (BU C) = (A × B)U (A × C) (BU C) × A = (B × A)U (C × A) 5. A × (BI C) = (A × B)I (A × C) (BI C) × A = (B × A)I (C × A) ตวอยางท 1 กาหนดให A = {1, 2} และ B = {a, b} คอนดบในขอใดตอไปนเปนสมาชกของผลคณคารทเชยน

A × B 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบทเกยวของกนตามเงอนไขทกาหนดและเปนสบเซตของผลคณคารทเชยน กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ r เปนความสมพนธจาก A ไป B เขยนแทนดวย r ⊂ A × B r เปนความสมพนธใน A เขยนแทนดวย r ⊂ A × A *จานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B เทากบ 2n(A)×n(B)


ตวอยางท 2 กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ..., 11, 12}

S =

+=×∈ 2a 2a b B A b) (a,

จานวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 ตวอยางท 3 ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจานวนสมาชกในความสมพนธ r

เทากบขอใดตอไปน 1) 8 2) 10 3) 12 4) 16 โดเมนของ r เขยนแทนดวย Dr คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบทงหมดใน r สญลกษณ คอ

Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจของ r เขยนแทนดวย Rr คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบทงหมดใน r สญลกษณ คอ

Rr = {y | (x, y) ∈ r} เชน จาก r = {(-2, 4), (-1, 1), (1, 1)} จะได Dr = {-2, -1, 1} และ Rr = {1, 4} การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธของ r ⊂ R × R 1. โดเมน หาโดยจดรปสมการเปน y ในรปของ x และพจารณาวา x สามารถเปนจานวนจรงใดไดบาง

ทสามารถหาคา y ทเปนจานวนจรงได 2. เรนจ หาโดยจดรปสมการเปน x ในรปของ y และพจารณาวา y สามารถเปนจานวนจรงใดไดบาง ฟงกชน คอ ความสมพนธทคอนดบทกๆ ตวในความสมพนธ ถาสมาชกตวหนาของคอนดบสองคเทากนแลวสมาชกตวหลงของทงสองคอนดบตองเทากนดวย นนคอ r เปนฟงกชนกตอเมอ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z r ไมเปนฟงกชนกตอเมอ ม (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ซง y ≠ z


การตรวจสอบฟงกชน 1. กรณ r เขยนแบบแจกแจงสมาชก ถามสมาชกตวหนาของคอนดบ ซงเปนสมาชกใน r จบคกบสมาชกตวหลงของคอนดบมากกวา 1 ตวขนไป r ไมเปนฟงกชน เชน r1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 4)} จะได r1 ไมเปนฟงกชน เพราะ b จบคกบ 2 และ 3 r2 = {(p, 2), (q, 4), (r, 6)} จะได r2 เปนฟงกชน เพราะสมาชกตวหนาของคอนดบทกตวจบคกบสมาชกตวหลงเพยง ตวเดยวเทานน 2. กรณ r วาดเปนรปกราฟ ใหลากเสนตรงตงฉากกบแกน x ถามกรณทเสนตรงทลากตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟของ r เกนเกน 1 จดขนไป r ไมเปนฟงกชน เชน เนองจากมกรณทเสนตรงทตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟ r

เกน 1 จด ดงนน r1 ไมเปนฟงกชน เนองจากไมมกรณทเสนตรงทตงฉากกบแกน x ตดกบ

กราฟ r เกน 1 จด ดงนน r2 เปนฟงกชน ตวอยางท 4 ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1) {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2) {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3) {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)} 4) {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)} ตวอยางท 5 ให A = {1, 99} ความสมพนธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชน 1) เทากบ 2) ไมเทากบ 3) หารลงตว 4) หารไมลงตว

y r1

x

y

r2

x


ตวอยางท 6 จากความสมพนธ r ทแสดงดวยกราฟดงรป

1 2

y

x30

123

-3 -2 -1

-3-2-1

ขอใดตอไปนถกตอง 1) r เปนฟงกชนเพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยในแนวเสนตรงเดยวกน 2) r เปนฟงกชนเพราะมจานวนจดเปนจานวนจากด 3) r ไมเปนฟงกชนเพราะมจด (3, 3) และ (3, -1) อยบนกราฟ 4) r ไมเปนฟงกชนเพราะมจด (1, 1) และ (-1, 1) อยบนกราฟ ตวอยางท 7 กาหนดใหกราฟของฟงกชน f เปนดงน

y

x0

5

-5-10

คาของ 11f(-11) - 3f(-3)f(3) คอขอใด 1) 57 2) 68 3) 75 4) 86 ตวอยางท 8 ถา f(x) = x 3 - และ g(x) = -2 + |x - 4| แลว DfU Rg คอขอใด 1) (-∞, 3] 2) [-2, ∞) 3) [-2, 3] 4) (-∞, ∞)


ตวอยางท 9 จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของโดเมนของฟงกชน f =

+++

=1 x1 2x

2 3x xx y y)(x, 22

--

1) -2 2) -1 3) 0 4) 1 ฟงกชนประเภทตางๆ ฟงกชนเชงเสน (Linear Function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b ∈ R ฟงกชนคงท (Constant Function) คอ ฟงกชนเชงเสนทม a = 0 กราฟของฟงกชนจะเปนเสนตรงขนานกบแกน X ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic Function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R และ a ≠ 0 ถา a > 0 กราฟหงาย มจดวกกลบเปนจดตาสดของฟงกชน และถา a < 0 กราฟควา มจดวกกลบเปนจดสงสดของฟงกชน

ถารปทวไปของสมการ คอ f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R จดวกกลบอยท

2abf ,2a

b --

หรอ

4a

b 4ac ,2ab 2--

ถารปทวไปของสมการ คอ f(x) = a(x - h)2 + k เมอ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จดวกกลบอยท (h, k) การแกสมการโดยใชกราฟ 1. ในกรณทกราฟไมตดแกน x จะไมมคาตอบของสมการทเปนจานวนจรง 2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน x ทจด (-c, 0) สมการมคาตอบเดยว คอ x = -c กราฟของ y = a(x - c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน x ทจด (c, 0) สมการมคาตอบเดยว คอ x = c

3. นอกเหนอจากนกราฟตดแกน x สองจด โดยพจารณาจากการแกสมการ หรอสตร x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential Function) คอ ฟงกชนทอยในรป y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute Value Function) คอ ฟงกชนทอยในรป y = |x - a| + c เมอ a, c ∈ R ฟงกชนขนบนได (Step Function) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และมคาฟงกชนคงตว เปนชวงๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชนจะมรปคลายบนได


ตวอยางท 10 คาของ a ททาใหกราฟของฟงกชน y = a(2x) ผานจด (3, 16) คอขอใดตอไปน 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 ตวอยางท 11 ทก x ในชวงใดตอไปนทกราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยเหนอแกน x 1)

31 ,3

2 -- 2)

23 ,2

5 --

3)

76 ,4

1 4)

23 ,2

1

ตวอยางท 12 กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ถากราฟของฟงกชน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx

มลกษณะดงแสดงในภาพตอไปน

0x

1

2

yx

2 b 1 y +=

x1 a 1 y +=

ขอใดตอไปนเปนจรง 1) 1 < a < b 2) a < 1 < b 3) b < 1 < a 4) b < a < 1 ตวอยางท 13 ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10)

เมอ k เปนจานวนจรง แลว f มคาสงสดเทากบขอใดตอไปน 1) -4 2) 0 3) 6 4) 14 ตวอยางท 14 กาหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปนผด 1) f(x) ≥ -17 ทกจานวนจรง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) 4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 )


ตวอยางท 15 ถา f(x) = -x2 + x + 2 แลวขอใดสรปถกตอง 1) f(x) ≥ 0 เมอ -1 ≤ x ≤ 2 2) จดวกกลบของกราฟของฟงกชน f อยในจตภาคทสอง 3) ฟงกชน f มคาสงสดเทากบ 2 4) ฟงกชน f มคาตาสดเทากบ 2 ตวอยางท 16 ขบวนพาเหรดรปสเหลยมผนผาขบวนหนง ประกอบดวยผเดนเปนแถว แถวละเทาๆ กน

(มากกวา 1 แถว และแถวละมากกวา 1 คน) โดยมเฉพาะผอยรมดานนอกทงสดานของขบวนเทานนทสวมชดสแดง ซงมทงหมด 50 คน ถา x คอ จานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คอจานวนคนทอยในขบวนพาเหรด แลวขอใดถกตอง

1) 31x - x2 = N 2) 29x - x2 = N 3) 27x - x2 = N 4) 25x - x2 = N


เลขยกกาลง สมบตของเลขยกกาลง ให a และ b เปนจานวนจรงใดๆ โดยท m และ n เปนจานวนเตมบวก และ k เปนจานวนเตม 1. am ⋅ an = am+n

2. nm

aa = am-n

3. (am)n = amn 4. (am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk

5. k

nm

ba

= nk

mk

ba , b ≠ 0

6. a-n = na1 , a ≠ 0

7. a0 = 1, a ≠ 0 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ บทนยาม เมอ a เปนจานวนจรงบวก และ n เปนจานวนทมากกวา 1 a1/n = n a บทนยาม กาหนด a เปนจานวนจรง m และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 ท ห.ร.ม. ของ m และ n เทากบ 1

n m a = am/n

ตวอยางท 1 คาของ 22)(- +

+32

22 81/2 เทากบขอใดตอไปน

1) -1 2) 1 3) 3 4) 5 ตวอยางท 2 ( 18 + 2 3 125- - 3 4 4 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -10 2) 10 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5


ตวอยางท 3 2

152

65

- มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 103 2) 10

7

3) 5 - 2 4) 6 - 2

ตวอยางท 4 35

2732- + 3/2

6

(64)2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 2413 2) - 6

5

3) 32 4) 24

19

ตวอยางท 5 ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 4) 200 ตวอยางท 6 ขอใดมคาตางจากขออน 1) (-1)0 2) (-1)0.2

3) (-1)0.4 4) (-1)0.8

ตวอยางท 7 (|4 3 - 5 2 | - |3 5 - 5 2 | + |4 3 - 3 5 |)2 เทากบขอใด 1) 0 2) 180 3) 192 4) 200 ตวอยางท 8 กาหนดให a เปนจานวนจรงบวก และ n เปนจานวนคบวก พจารณาขอความตอไปน ก. ( n a )n = |a|

ข. ( n n a ) = |a| ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด


สมการในรปเลขยกกาลง ให a และ b เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1 และ m, n เปนจานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am = an กตอเมอ m = n 2. am = bm กตอเมอ m = 0 และ a, b ≠ 0

ตวอยางท 9 ถา 4

1258

=

x/162516

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 43 2) 3

2 3) 23 4) 3

4

ตวอยางท 10 ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 32 3) 3

4 4) 35

ตวอยางท 11 ถา x3

83 3

+ = 81

16 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 94 2) - 9

2 3) - 91 4) 9

1

ตวอยางท 12 ถา 4a = 2 และ 16-b = 4

1 แลว a + b มคาเทากบเทาใด

ตวอยางท 13 คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2(x2)

= 4(4x)

42 เทากบขอใดตอไปน

1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 อสมการในรปเลขยกกาลง ให a เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1 และ m, n เปนจานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am < an และ a > 1 จะไดวา m < n 2. am < an และ 0 < a < 1 จะไดวา m > n ตวอยางท 14 ขอใดตอไปนผด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30


ตวอยางท 15 เซตคาตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 321 คอเซตในขอใดตอไปน

1)

25 ,2

5 - 2)

1 ,2

5 - 3)

1 ,2

1 - 4)

25 ,2

1 -

ตวอยางท 16 ขอใดตอไปนผด 1) 10 0.9 + < 0.9 + 10 2) ( 0.9 )( 4 9.0 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 9.0 ) 4) 300 125 < 200 100 ตวอยางท 17 อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600


อตราสวนตรโกณมต ทฤษฎบทพทาโกรส ถา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากซงม BCAˆ เปนมมฉาก c แทนความยาวของดานตรงขามมมฉาก a และ b แทนความยาวของดานประกอบมมฉาก จะไดความสมพนธระหวางความยาวของดานทงสามของ รปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงน

a

A C

B

b

c c2 = a2 + b2

ตวอยางท 1 รปสามเหลยมมมฉากรปหนง มพนท 600 ตารางเซนตเมตร ถาดานประกอบมมฉากดานหนง

ยาวเปน 75% ของดานประกอบมมฉากอกดานหนง แลวเสนรอบรปสามเหลยมมมฉากรปน ยาวกเซนตเมตร

1) 120 2) 40 3) 60 2 4) 20 2 ตวอยางท 2 รปสเหลยมผนผาสองรปมขนาดเทากน โดยมเสนทแยงมมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานา

รปสเหลยมผนผาทงสองมาวางตอกนดงรป จด A และจด B อยหางกนเปนระยะกเทาของ ดานกวาง

A

C

B

1) 1.5 2) 3 3) 2 4) 2 2


อตราสวนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก บทนยาม กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ไซน (sine) ของมม A = sin A = ความยาวของดานตรงขามมม A ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

โคไซน (cosine) ของมม A = cos A = ความยาวของดานประชดมม A

ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

แทนเจนต (tangent) ของมม A = tan A = ความยาวของดานตรงขามมม A ความยาวของดานประชดมม A

sin A = ca , cos A = c

b , tan A = ba

และยงมอตราสวนอนๆ อก คอ 1. csc A = A sin

1 , sec A = A cos1 , cot A = A tan

1

2. tan A = A cosA sin , cot A = A sin

A cos

3. sin2 A + cos2 A = 1 4. tan2 A + 1 = sec2 A 5. 1 + cot2 A = csc2 A ความสมพนธระหวางมม A กบมม 90° - A ในรปสามเหลยมมมฉาก

A B

C

sin A = cos (90° - A), csc A = sec (90° - A) cos A = sin (90° - A), sec A = csc (90° - A) tan A = cot (90° - A), cot A = tan (90° - A)

a

A C

B

b

c


อตราสวนตรโกณมตของมม 30°, 45° และ 60° มม sin cos tan csc sec cot

30° 21

23 3

1 2 32 3

45° 22 2

2 1 22 = 2 2

2 = 2 1

60° 23 2

1 3 32 2 3

1 การเปรยบเทยบมาตรการวดมมระบบองกฤษและระบบเรเดยน 360° = 2π เรเดยน 180° = π เรเดยน 90° = 2

π เรเดยน

60° = 3π เรเดยน 45° = 4

π เรเดยน 30° = 6π เรเดยน

ตวอยางท 3 จากรป ขอใดตอไปนถกตอง 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° ตวอยางท 4 ขอใดตอไปนถกตอง 1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60° ตวอยางท 5 กาหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ดงน

ตาราง A ตาราง B ตาราง C

θ sin θ θ cos θ θ tan θ 40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900

ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก มม C มขนาด 41° และสวนสง BX ยาว 1 หนวย

แลวความยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดงขอใดตอไปน 1) ปรากฏอยในตาราง A 2) ปรากฏอยในตาราง B 3) ปรากฏอยในตาราง C 4) ไมปรากฏอยในตาราง A, B และ C

A 21° B

C

A C

B

X


ตวอยางท 6 ถารปสามเหลยมดานเทารปหนงมความสง 1 หนวย แลวดานของรปสามเหลยมรปนยาวเทากบ ขอใดตอไปน

1) 23 หนวย 2) 3

32 หนวย 3) 34 หนวย 4) 2

3 หนวย

ตวอยางท 7 กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และ cos B = 3

2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน

1) 55 ตารางหนวย 2) 4

5 ตารางหนวย

3) 35 ตารางหนวย 4) 2

5 ตารางหนวย

ตวอยางท 8 กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผาซงมพนทเทากบ 12 หนวย และ tan DBAˆ = 3

1

ถา AE ตงฉากกบ BD ทจด E แลว AE ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 310 หนวย 2) 5

102 หนวย

3) 210 หนวย 4) 5

103 หนวย

ตวอยางท 9 พจารณารปสามเหลยมตอไปน โดยท EFCˆ , BACˆ , BEAˆ

และ BDEˆ ตางเปนมมฉาก ขอใดตอไปนผด 1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) 3) sin ( 2 ) = cos ( 4 ) 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 )

C

F

AD B

E12 3 4

5


ตวอยางท 10 พจารณาตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ทกาหนดใหตอไปน

θ sin θ cos θ 72° 0.951 0.309 73° 0.956 0.292 74° 0.961 0.276 75° 0.966 0.259

มมภายในทมขนาดเลกทสดของรปสามเหลยมทมดานทงสามยาว 7, 24 และ 25 หนวย มขนาด

ใกลเคยงกบขอใดมากทสด 1) 15° 2) 16° 3) 17° 4) 18° ตวอยางท 11 มมมมหนงของรปสามเหลยมมมฉากมขนาดเทากบ 60 องศา ถาเสนรอบรปของรปสามเหลยมน

ยาว 3 - 3 ฟต แลวดานทยาวเปนอนดบสองมความยาวเทากบขอใด 1) 2 - 3 ฟต 2) 2 + 3 ฟต 3) 2 3 - 3 ฟต 4) 2 3 + 3 ฟต มมกมหรอมมกดลง หมายถง มมทวดจากเสนระดบสายตาไปยงเสนแนวการมองเมอวตถอยตากวาเสนระดบสายตา มมเงยหรอมมยกขน หมายถง มมทวดจากเสนระดบสายตาไปยงเสนแนวการมองเมอวตถอยสงกวาเสนระดบสายตา

มมเงย

มมกมเสนระดบสายตา

ตวอยางท 12 กลองวงจรปดซงถกตดตงอยสงจากพนถนน 2 เมตร สามารถจบภาพไดตาทสดทมมกม 45°

และสงทสดทมมกม 30° ระยะทางบนพนถนนในแนวกลองทกลองนสามารถจบภาพไดคอเทาใด (กาหนดให 3 ≈ 1.73) 1) 1.00 เมตร 2) 1.46 เมตร 3) 2.00 เมตร 4) 3.46 เมตร


ลาดบและอนกรม ลาดบ (Sequences) บทนยาม ลาดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก หรอโดเมนเปนเซต

ของจานวนเตมบวก ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก เรยกวา ลาดบจากด (Finite Sequences) ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก เรยกวา ลาดบอนนต (Infinite Sequences) ตวอยางท 1 ใน 40 พจนแรกของลาดบ an = 3 + (-1)n มกพจน ทมคาเทากบพจนท 40 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40 ลาดบเลขคณต (Arithmetic Sequences) บทนยาม ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงตว

คาคงตวน เรยกวา ผลตางรวม (Common Difference) 1. เมอกาหนดใหพจนแรกของลาดบเลขคณต คอ a1 และผลตางรวม คอ d โดยท d = an+1 - an พจนท n ของลาดบน คอ an = a1 + (n - 1)d 2. ลาดบเลขคณต n พจนแรก คอ a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d ตวอยางท 2 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n 3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2n ตวอยางท 3 พจนท 31 ของลาดบเลขคณต - 20

1 , - 301 , - 60

1 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 125 2) 30

13 3) 209 4) 15

7

ตวอยางท 4 ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลาดบเลขคณตน

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 ตวอยางท 5 กาหนดให 2

3 , 1, 21 , ... เปนลาดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด

1) -18 2) -19 3) -37 4) -38


ตวอยางท 6 ในสวนปาแหงหนง เจาของปลกตนยคาลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสาม 16 ตน โดยปลกเพมเชนนตามลาดบเลขคณต ถาเจาของปลกตนยคาลปตสไวทงหมด 15 แถว จะมตนยคาลปตสในสวนปานทงหมดกตน

ลาดบเรขาคณต (Geometric Sequences) บทนยาม ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n เปนคาคงตว คาคงตวน เรยกวา อตราสวนรวม (Common Ration)

1. เมอกาหนดพจนแรกของลาดบเรขาคณตเปน a1 และอตราสวนรวม คอ r โดยท r = n1n

aa +

พจนท n ของลาดบเรขาคณตน คอ an = a1 ⋅ rn-1 2. ลาดบเรขาคณต n พจนแรก คอ a, ar, ar2, ..., arn-1 ตวอยางท 7 กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คอคาในขอใด

ขอหนงตอไปน แลวขอดงกลาวคอขอใด 1) -20 2) -50 3) 60 4) 100 ตวอยางท 8 กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต พจารณาลาดบสามลาดบตอไปน ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ... ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , ... ค.

1a1 ,

2a1 ,

3a1 , ...

ขอใดตอไปนถก 1) ทงสามลาดบเปนลาดบเรขาคณต 2) มหนงลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 3) มสองลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 4) ทงสามลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต ตวอยางท 9 พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 625

1 , 5125

1 , 1251 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 25 5 2) 125 3) 125 5 4) 625


ตวอยางท 10 ลาดบในขอใดตอไปน เปนลาดบเรขาคณต 1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n อนกรมเลขคณต (Arinmetic Series) เมอ a1, a2, a3, ..., an เปนลาดบเลขคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกรมเลขคณต ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม คอ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d]

หรอ Sn = 2n [a1 + an]

ตวอยางท 11 คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากบขอใดตอไปน 1) 970 2) 1020 3) 1050 4) 1071 ตวอยางท 12 ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a2 + a3 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 120 2) 125 3) 130 4) 135 ตวอยางท 13 กาหนดให S = {101, 102, 103, ..., 999} ถา a เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S และ b

เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S แลว b - a มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450


อนกรมเรขาคณต (Geometrics Series) เมอ a1, a2, a3, ..., an เปนลาดบแรขาคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกรมเรขาคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

Sn = r 1)r (1a n

1-- เมอ r ≠ 1

ตวอยางท 14 ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199

2) 1 + 31 + 5

1 + ... + 1) (2n1- + ... + 199

1

3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199

4) 51 + 125

1 + 31251 + ... + 12n5

1- + ... + 1995

1

ตวอยางท 15 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากบขอใดตอไปน 1) -171 2) -85 3) 85 4) 171 ตวอยางท 16 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน 1) 3

16 2) 320 3) 3

26 4) 332

ตวอยางท 17 กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = -64 แลวผลบวกของ 10

พจนแรกของลาดบนเทากบขอใด 1) 2048 2) 1512 3) 1364 4) 1024


ความนาจะเปน กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1. กฎการบวก ถาการทางานอยางหนงแบงออกเปน k กรณ โดยทกรณท 1 มจานวน n1 วธ กรณท 2 มจานวน n2 วธ กรณท 3 มจานวน n3 วธ M M กรณท k มจานวน nk วธ ดงนน จานวนวธในการทางานทงหมดจะเทากบ n1 + n2 + n3 + ... + nk วธ 2. กฎการคณ ถาการทางานอยางหนงแบงออกเปน k ขนตอน โดยทขนตอนท 1 มจานวน n1 วธ ขนตอนท 2 มจานวน n2 วธ ขนตอนท 3 มจานวน n3 วธ M M ขนตอนท k มจานวน nk วธ ดงนน จานวนวธในการทางานทงหมดจะเทากบ n1 × n2 × n3 × ... × nk วธ แฟกทอเรยล นยาม กาหนดให n เปนจานวนเตมทมคามากกวาหรอเทากบ 0 ขนไป n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1 เชน 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 * 0! = 1 ตวอยางท 1 ในการคดเลอกคณะกรรมการหมบานซงประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญง

1 คน กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญง 1 คน จากผสมครชาย 4 คน และหญง 8 คน มวธการเลอกคณะกรรมการไดกวธ

1) 168 วธ 2) 324 วธ 3) 672 วธ 4) 1344 วธ


ตวอยางท 2 มาลตองการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C โดยตองเดนทางผานไปยงเมอง B กอน จากเมอง A ไปเมอง B มาลสามารถเลอกเดนทางโดยรถยนต รถไฟ หรอเครองบนได แตจากเมอง B ไป เมอง C สามารถเดนทางไปทางเรอ รถยนต รถไฟ หรอเครองบน ขอใดตอไปนคอจานวนวธ ในการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C ทจะตองเดนทางโดยรถไฟเปนจานวน 1 ครง

1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 ตวอยางท 3 ครอบครวหนงมพนอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญง 4 คน จานวนวธทจะจดใหคนทง 6 คนยนเรยง

กนเพอถายรป โดยใหชาย 2 คนยนอยรมสองขางเสมอเทากบขอใดตอไปน 1) 12 วธ 2) 24 วธ 3) 36 วธ 4) 48 วธ ตวอยางท 4 ตนรภยมระบบลอกทเปนรหสประกอบดวยเลขโดด 0 ถง 9 จานวน 3 หลก จานวนรหสทงหมด

ทมบางหลกซากนคอเทาใด ตวอยางท 5 จานวนวธในการจดใหหญง 3 คน และชาย 3 คน นงเรยงกนเปนแถว โดยใหสามภรรยาคหนง

นงตดกนเสมอมทงหมดกวธ การทดลองสม คอ การทดลองใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทานายผลลวงหนาได ความนาจะเปน คอ อตราสวนระหวางจานวนสมาชกของเหตการณทสนใจกบจานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ เขยนแทนดวย P(E) ความนาจะเปนของเหตการณ E คอ P(E) = n(S)

n(E)

โดยท n(E) คอ จานวนของเหตการณทสนใจ n(S) คอ จานวนเหตการณทเปนไปไดทงหมด สมบตของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0, P(S) = 1 3. P(E1U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1I E2) 4. P(E1U E2U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1I E2) - P(E1I E3) - P(E2I E3) + P(E1I E2I E3) 5. P(E) = 1 - P(E′) เมอ P(E′) แทนความนาจะเปนของเหตการณทไมตองการ


ตวอยางท 6 พจารณาขอความตอไปน ก. การทดลองสมเปนการทดลองททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลพธของการทดลองสมมโอกาสเกดขนเทาๆ กน ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 7 โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน กาลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสม

ความนาจะเปนทไมมนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบขอใดตอไปน

1) 9

31

2)

932

3)

391

4)

392

ตวอยางท 8 โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 10 หอง ชนทสาม 25 หอง ถาครสมใจ

ตองการเขาพกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะไดเขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบขอใดตอไปน

1) 101 2) 5

1

3) 103 4) 2

1

ตวอยางท 9 ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กากบ

ความนาจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลขบนบตรใบทสามเทากบขอใด

1) 41 2) 4

3

3) 21 4) 3

2

ตวอยางท 10 กลอง 12 ใบ มหมายเลขกากบเปนเลข 1, 2, ..., 12 และกลองแตละใบบรรจลกบอล 4 ลก

เปนลกบอลสดา สแดง สขาว และสเขยว ถาสมหยบลกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลก แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอลสดาจากกลองหมายเลขคเทากบขอใดตอไปน

1) 2

121

2)

1241

3)

1221

4)

4121


ตวอยางท 11 กาหนดให A = {1, 2, 3} B = {5, 6, ..., 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B} ถาสมหยบคอนดบ 1 ค จากความสมพนธ r แลวความนาจะเปนทจะไดคอนดบ (m, n) ซง

5 หาร n แลวเหลอเศษ 3 เทากบขอใดตอไปน 1) 15

1 2) 101

3) 5

1 4) 53

ตวอยางท 12 ชางไฟคนหนงสมหยบบนได 1 อนจากบนได 9 อน ซงมความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

และ 12 ฟต แลวนามาพาดกบกาแพง โดยใหปลายขางหนงหางจากกาแพง 3 ฟต ความนาจะเปนทบนไดจะทามมกบพนราบนอยกวา 60° มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 91 2) 9

2

3) 93 4) 9

4

ตวอยางท 13 ถาสมตวเลขหนงตวจากขอมลชดใดๆ ซงประกอบดวยตวเลข 101 ตว แลวขอใดตอไปนถก 1) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน < 2

1

2) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต < 21

3) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน > 21

4) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต > 21

ตวอยางท 14 ทาสเหรยญสามอนดงน เหรยญแรกดานหนงทาสขาวอกดานหนงทาสสแดง เหรยญทสอง

ดานหนงทาสแดงอกดานหนงทาสฟา เหรยญทสามดานหนงทาสฟาอกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสามขนพรอมกน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหนาตางสกนทงหมดเปนดงขอใด

1) 21 2) 4

1

3) 81 4) 16

1


ตวอยางท 15 กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1-10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสมหยบสลากจานวนสองใบ โดยหยบทละใบแบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากหมายเลขตากวา 5 เพยงหนงใบเทานนเทากบขอใด

1) 92 2) 15

8

3) 352 4) 156

11

ตวอยางท 16 ในการวดสวนสงนกเรยนแตละคนในชน พบวานกเรยนทสงทสด สง 177 เซนตเมตร และ

นกเรยนทเตยทสด สง 145 เซนตเมตร พจารณาเซตของสวนสงตอไปน S = {H | H เปนสวนสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนในชน} T = {H | 145 ≤ H ≤ 177} เซตใดถอเปนปรภมตวอยาง (แซมเปลสเปซ) สาหรบการทดลองสมน 1) S และ T 2) S เทานน 3) T เทานน 4) ทง S และ T ไมเปนปรภมตวอยาง ตวอยางท 17 ในการคดเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวย ประธาน รองประธาน และเลขานการ

อยางละ 1 คน จากหญง 6 คน และชาย 4 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดนจะมประธานและรองประธานเปนหญงเทากบขอใด

1) 181 2) 12

1

3) 91 4) 3

1


สถต สถตเชงพรรณนา (Descriptive) คอ การวเคราะหขนตนทมงวเคราะห เพออธบายลกษณะกวางๆ ของขอมลชดนน เชน การวดคาแนวโนมเขาสสวนกลาง คาวดการกระจาย การแจกแจงความถของขอมล และการนาเสนอผลสรปดวย ตาราง แผนภมแทง เพออธบายขอมลชดนน สถตเชงอนมาน (Inferential Statistice) คอ การวเคราะหขอมลทเกบรวบรวมไดจากตวอยางเพออางองไปถงขอมลทงหมด องคประกอบของสถต 1. การเกบรวบรวมขอมล เชน การสอบถาม การสงเกต การทดลอง เปนตน 2. การวเคราะหขอมล โดยขอมลทนามาวเคราะหเพยงสวนหนง เรยกวา กลมตวอยางและขอมลทเลอกมาจากขอมลทงหมด เรยกวา ประชากร 3. การนาเสนอขอสรป ขอมล คอ ขอความจรงหรอสงทบงบอกถงสภาพ สถานการณหรอปรากฏการณ โดยทขอมลอาจเปนตวเลขหรอขอความกได สารสนเทศหรอขาวสาร คอ ขอมลทผานการวเคราะหเบองตนหรอขนสงแลว ประเภทของขอมล 1. แบงตามวธเกบ 1.1 ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทผใชเกบรวบรวมเอง เชน การสามะโน การสารวจกลมตวอยาง 1.2 ขอมลทตยภม คอ ขอมลทไดจากผอนเกบรวบรวมไวแลว เชน รายงาน บทความ เปนตน 2. แบงตามลกษณะของขอมล 2.1 ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทใชแทนขนาดหรอปรมาณ ซงวดออกมาเปนจานวนทสามารถนามาใชเปรยบเทยบกนไดโดยตรง 2.2 ขอมลเชงคณภาพ คอ ขอมลทไมสามารถวดออกมาไดโดยตรง แตอธบายลกษณะหรอคณสมบตในเชงคณภาพได ตวอยางท 1 ขอใดตอไปนเปนเทจ 1) สถตเชงพรรณนา คอ สถตของการวเคราะหขอมลขนตนทมงอธบายลกษณะกวางๆ ของขอมล 2) ขอมลทเปนหมายเลขทใชเรยกสายรถโดยสารประจาทางเปนขอมลเชงคณภาพ 3) ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทผใชเกบรวบรวมจากแหลงขอมลโดยตรง 4) ขอมลทนกเรยนรวบรวมจากรายงานตางๆ ทไดจากหนวยงานราชการเปนขอมลปฐมภม


ตวอยางท 2 ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจหลงจากตรวจรายงานโครงงานของทกคนแลว ผลสรปดงน

ผลการประเมน จานวนโครงงาน

ดเยยม ด

พอใช ตองแกไข

3 20 12 5

ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด 1) ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2) ขอมลทตยภม เชงปรมาณ 3) ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4) ขอมลทตยภม เชงคณภาพ การวเคราะหขอมลเบองตน ขอมลเชงปรมาณทใชในการวเคราะหทางสถตมสองประเภท คอ ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ซงจะเหนคาของขอมลทกตวและขอมลทแจกแจงความถ จะเหนเปนอนตรภาคชน ความกวางของอนตรภาคชน = ขอบบน - ขอบลาง จดกงกลางอนตรภาคชน = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2 ฮสโทแกรม คอ รปสเหลยมมมฉากวางเรยงตอกนบนแกนนอน โดยมแกนนอนแทนคาของตวแปร ความกวางของสเหลยมมมฉากแทนความกวางของอนตรภาคชน และพนทของรปสเหลยมมมฉากแทนความถของแตละอนตรภาคชน ซงถาความกวางของทกชนเทากน ความสงของรปสเหลยมจะแสดงความถ แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปนวธการสรางแผนภาพเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตน โดยเรมจากการนาขอมลมาแบงกลม โดยใชเลขหลกสบ แลวนามาสรางเปนลาตน (Stem) แลวใชเลขโดดในหลกหนวยมาสรางเปนใบ (Leaf) การวดตาแหนงของขอมล : มสองขนตอน คอ การหาตาแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน โดย Q1, Q2, และ Q3 คอ คะแนนของตวแบงทง 3 ตว 2. เดไซล (Deciles) คอ การแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน โดย D1, D2, ..., D9 คอ คะแนนของตวแบงทง 9 ตว 3. เปอรเซนไทล (Percentiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน ม P1, ..., P99 คอ คะแนนของตวแบงทง 99 ตว การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

1) r(N +

ตาแหนงของ Dr คอ 101) r(N +

ตาแหนงของ Pr คอ 1001) r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางศ


หมายเหต เมอหาคาขอมลทมคาสงสด ตาสด Q1, Q2 และ Q3 สามารถนามาสรางแผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรอ Box-Plot) โดยแผนภาพจะทาใหเราทราบถงลกษณะการกระจายของขอมล การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1. คาเฉลยเลขคณต, Mean, x

x ของขอมลทไมแจกแจงความถ x = N

N

1 iix∑

=

x ของขอมลทแจกแจงความถ x = N

k

1 iixif∑

=

ขอสงเกต 1. ∑=

N

1 iix = N x

2. )N

1 ixi(x ∑

=- = 0

3. 2)N

1 iai(x ∑

=- มคานอยทสดเมอ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ..., xn มคาเฉลยเลขคณตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ..., xn + k มคาเฉลยเลขคณตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มคาเฉลยเลขคณตเปน x k

5. x รวม = 22

2211N N

xN xN++

2. มธยฐาน, Median, Me Me สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Me = คาของขอมลตาแหนงตรงกลาง (ตวท 2

1 N + ) เมอเรยงลาดบขอมลแลว ขอสงเกต 1. การหามธยฐานมสองขนตอน คอ หาตาแหนง และหาคาโดยใชสตรหรอการเทยบ

บญญตไตรยางศ

2. ∑=

N

1 i|aix| - มคานอยสดเมอ a = Me

3. ฐานนยม, Mode, Mo Mo สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Mo = คาของขอมลทมความถมากทสด ขอสงเกต ใชไดกบขอมลเชงคณภาพ


ตวอยางท 3 สวนสงของพนอง 2 คน มพสยเทากบ 12 เซนตเมตร มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 171 เซนตเมตร ขอใดตอไปนเปนสวนสงของพหรอนองคนใดคนหนง

1) 167 เซนตเมตร 2) 172 เซนตเมตร 3) 175 เซนตเมตร 4) 177 เซนตเมตร ตวอยางท 4 ขอมลชดหนงประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอใดตอไปนถกตอง 1) คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน 2) ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต 3) ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน 4) มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต ตวอยางท 5 ความสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน เปนดงน 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามนกเรยนเพมขนอกหนงคน ซงมความสง 158 เซนตเมตร แลวคาสถตใดตอไปนไมเปลยนแปลง 1) คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน 3) ฐานนยม 4) พสย ตวอยางท 6 การเลอกใชคากลางของขอมลควรพจารณาสงตอไปน ยกเวนขอใด 1) ลกษณะของขอมล 2) วธจดเรยงลาดบขอมล 3) จดประสงคของการนาไปใช 4) ขอดและขอเสยของคากลางแตละชนด ตวอยางท 7 คาเฉลยเลขคณตของนาหนกของพนกงานของบรษทแหงหนง เทากบ 48.01 กโลกรม บรษทน

มพนกงานชาย 43 คน และพนกงานหญง 57 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของนาหนกพนกงานหญงเทากบ 45 กโลกรม แลวนาหนกของพนกงานชายทงหมดรวมกนเทากบขอใด

1) 2,236 กโลกรม 2) 2,279 กโลกรม 3) 2,322 กโลกรม 4) 2,365 กโลกรม


ตวอยางท 8 แผนภาพตน-ใบของนาหนกในหนวยกรมของไขไก 10 ฟอง เปนดงน 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 ขอสรปใดเปนเทจ 1) ฐานนยมของนาหนกไขไกมเพยงคาเดยว 2) คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของนาหนกไขไกมคาเทากน 3) มไขไก 5 ฟองทมนาหนกนอยกวา 70 กรม 4) ไขไกทมนาหนกสงกวาฐานนยมมจานวนมากกวาไขไกทมนาหนกเทากบฐานนยม ตวอยางท 9 สาหรบขอมลเชงปรมาณใดๆ ทมคาสถตตอไปน คาสถตใดจะตรงกบคาของขอมลคาหนงเสมอ 1) พสย 2) คาเฉลยเลขคณต 3) มธยฐาน 4) ฐานนยม ตวอยางท 10 ขอมลตอไปนแสดงนาหนกในหนวยกโลกรม ของนกเรยนกลมหนง 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 คากลางในขอใดเปนคาทเหมาะสมทจะเปนตวแทนของขอมลชดน 1) มธยฐาน 2) ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยของคาสงสดและคาตาสด การวดการกระจายของขอมล 1. พสย (Range) Range = xmax - xmin 2. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. = N

N

1 i2)x i(x∑

=-

= N2x

N

1 i2ix

-∑=

ขอสงเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2 5. The 95% Rule กลาววา มจานวนขอมลทอยในชวง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95% ของจานวนขอมลทงหมด

6. โดย The 95% Rule ไดวา s ≈ 4Range


ความสมพนธของ x , Me และ Mo

x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย

การสารวจความคดเหน 1. ขอบเขตของการสารวจ กาหนดดวยพนท ลกษณะผใหขอมล การมสวนไดสวนเสยกบขอมล 2. วธเลอกตวอยาง การสมตวอยาง (Sampling) การเลอกตวอยางแบบชนภม การเลอกตวอยาง แบบหลายขนและการเลอกตวอยางแบบกาหนดโควตา 3. การสรางแบบสารวจความคดเหน แบบสารวจทดประกอบดวย ลกษณะของผตอบทคาดวามผลตอการแสดงความคดเหน ความคดเหนของผตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคาถามทชนา และ มจานวนไมมากเกนไป ตลอดจนความสอดคลองของความรของผใหขอมลกบเรองทสอบถาม 4. การประมวลผลและวเคราะหความคดเหน 1. รอยละของผตอบแบบสารวจความคดเหนในแตละดานทเกยวของ 2. ระดบความคดเหนเฉลย ตวอยางท 11 ขอมลชดหนงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20 มธยฐานเทากบ 25 และฐานนยมเทากบ 30 ขอสรปใด

ตอไปนถกตอง 1) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางซาย 2) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางขวา 3) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายแบบสมมาตร 4) ไมสามารถสรปลกษณะการกระจายของขอมลได ตวอยางท 12 พจารณาขอมลตอไปน 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคยงกบขอใดตอไปนมากทสด 1) 15.1 2) 15.4 3) 15.7 4) 16.0 ตวอยางท 13 ในกรณทมขอมลจานวนมาก การนาเสนอขอมลในรปแบบใดตอไปนทาใหเหนการกระจายของ

ขอมลไดชดเจนนอยทสด 1) ตารางแจกแจงความถ 2) แผนภาพตน-ใบ 3) ฮสโทแกรม 4) การแสดงคาสงเกตทกคา


ตวอยางท 14 จากการสอบถามเยาวชนจานวน 12 คน วาเคยฟงพระธรรมเทศนามาแลวจานวนกครง ปรากฏผลดงแสดงในแผนภาพตอไปน

1 2 30

123

4 5 6

45

นจานวนเยาวช

าระธรรมเทศนทเคยฟงพจานวนครง

มธยฐานของขอมลนคอขอใด 1) 3 ครง 2) 3.25 ครง 3) 3.5 ครง 4) 4 ครง ตวอยางท 15 ขอใดตอไปนมผลกระทบตอความถกตองของการตดสนใจโดยใชสถต ยกเวนขอใด 1) ขอมล 2) สารสนเทศ 3) ขาวสาร 4) ความเชอ ตวอยางท 16 คะแนนสอบความรทวไปของนกเรยน 200 คน นาเสนอโดยใชแผนภาพกลอง ดงน

10 12 16 18 24 ขอใดเปนเทจ 1) จานวนนกเรยนททาได 12 ถง 16 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 16 ถง 18 คะแนน 2) จานวนนกเรยนททาได 12 ถง 18 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 3) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 12 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 4) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 16 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 16 ถง 24 คะแนน ตวอยางท 17 จากการตรวจสอบลาดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวชาคณตศาสตรทมผเขา

สอบ 400 คน ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยในตาแหนงควอรไทลท 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนของ นาย ก และนาย ข มประมาณกคน

1) 15 คน 2) 30 คน 3) 45 คน 4) 60 คน


ตวอยางท 18 ขอมลชดหนง มบางสวนถกนาเสนอในตารางตอไปน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ 2-6 7-11 12-16 17-21

6

11 14

0.2

0.3 ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด 1) 2-6 2) 7-11 3) 12-16 4) 17-21 ตวอยางท 19 จานวนผวางงานทวประเทศในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2551 มจานวนทงสน 4.29 แสนคน

ตารางเปรยบเทยบอตราการวางงานในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2550 กบป พ.ศ. 2551 เปนดงน

อตราการวางงานในเดอนกนยายน (จานวนผวางงานตอจานวนผอยในกาลงแรงงานคณ 100) พนทสารวจ

ป พ.ศ. 2550 ป พ.ศ. 2551

ภาคใต ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ ภาคเหนอ ภาคกลาง (ยกเวนกรงเทพมหานคร) กรงเทพมหานคร ทวประเทศ

1.0 0.9 1.5 1.3 1.2 1.2

1.0 1.3 1.2 0.9 1.2 1.1

พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนผวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 เทากน ข. จานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551 มประมาณ 39 ลานคน ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 20 ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน สาหรบเรองทจาเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ

ถาขาดขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรทาขนตอนใดกอน 1) เกบรวบรวมขอมล 2) เลอกวธวเคราะหขอมล 3) เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4) กาหนดขอมลทจาเปนตองใช


เฉลยตวอยางขอสอบ เซต 1. 3) 2. - 3. - 4. - 5. 3) 6. 3) 7. 1) 8. 4) 9. 1) 10. 4) 11. 50 12. 101 การใหเหตผล 1. - 2. - 3. 1) 4. 3) 5. 4) 6. 4) 7. 2) 8. 3) ระบบจานวนจรง 1. 4) 2. 1) 3. 1) 4. 2) 5. 2) 6. 1) 7. 3) 8. 2) 9. 4) 10. 2) 11. 3) 12. 3) 13. 2) 14. 3) 15. 4) ความสมพนธฟงกชน 1. 1) 2. 2) 3. 2) 4. 4) 5. 3) 6. 3) 7. 4) 8. 4) 9. 3) 10. 1) 11. 1) 12. 3) 13. 2) 14. 4) 15. 1) 16. 1) เลขยกกาลง 1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 1) 5. 4) 6. 2) 7. 1) 8. 1) 9. 2) 10. 2) 11. 1) 12. 0.75 13. 3) 14. 3) 15. 4) 16. 2) 17. 3) อตราสวนตรโกณมต 1. 1) 2. 4) 3. 1) 4. 1) 5. 3) 6. 2) 7. 2) 8. 4) 9. 3) 10. 2) 11. 3) 12. 2)


ลาดบและอนกรม 1. 2) 2. 3) 3. 3) 4. 2) 5. 3) 6. 390 7. 1) 8. 1) 9. 3) 10. 1) 11. 4) 12. 2) 13. 1) 14. 4) 15. 4) 16. 4) 17. 3) ความนาจะเปน 1. 3) 2. 1) 3. 4) 4. 280 5. 240 6. 2) 7. 2) 8. 2) 9. 1) 10. 2) 11. 3) 12. 2) 13. 1) 14. 2) 15. 2) 16. 2) 17. 4) สถต 1. 3) 2. 3) 3. 4) 4. 2) 5. 4) 6. 2) 7. 1) 8. 4) 9. 4) 10. 1) 11. 1) 12. 3) 13. 4) 14. 1) 15. 4) 16. 2) 17. 4) 18. 1) 19. 3) 20. 4)


กราฟว เคราะห ข อสอบ PAT 1

แคลคลส

ลาดบ &

อนกรม


Main Map


ตรรกศาสตร ตวเชอมประพจน และตารางคาความจรง

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q ∼p T T T T T T F T F F T F F F T F T T F T F F F F T T

ความหมายของสมมลและนเสธ สมมล คอ มคาความจรง “ตรงกน” ทกกรณ นเสธ คอ มคาความจรง “ตรงขามกน” ทกกรณ กฎพชคณต 1. p ∧ q ≡ q ∧ p 4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ q ≡ q ∨ p p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ↔ q ≡ q ↔ p 5. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q 2. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 6. p → q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q → ∼p 3. ∼(∼p) ≡ p 7. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ ∼p ↔ ∼q 1. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ พจารณาขอความตอไปน (ก) ถาประพจน (p ∨ q) ↔ (r ∧ s) และประพจน p มคาความจรงเปนจรง แลวสรปไดวาประพจน s มคาความจรงเปนจรง (ข) ประพจน (p ∧ q) → (r ∧ s) สมมลกบประพจน [q → (p → r)] ∧ [p → (q → s)] ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


2. กาหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจน ซง p → (q ∧ r) มคาความจรงเปน เทจ p ↔ (s ∨ t) มคาความจรงเปน จรง ประพจนในขอใดตอไปน มคาความจรงเปนจรง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (q ∧ s) → (p ∧ q) 2) (s ∧ t) → ∼q 3) (q ∨ s) ↔ p 4) (p → r) → s 3. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง โดยท ab > 0 ให p แทนประพจน “ถา a < b แลว a

1 > b1 ”

และ q แทนประพจน “ ab = a b ” ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (p → q) ∨ (q ∧ ∼p) 2) (∼q → ∼p) ∧ (∼q ∨ p) 3) (p ∧ ∼q) ∧ (q → p) 4) (∼p → q) → (p ∧ q) 4. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ ประพจน [(p ∧ ∼q) ∨ ∼p] → [(r ∨ s) ∧ (r ∨ ∼s)]

สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 55) 1) p → r 2) q → r 3) (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) 4) (q ∨ r) ∧ (q ∨ s) 5. กาหนดให p และ q เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนเปนสจนรนดร ( PAT 1 ต.ค. 55) 1) (p → q) → (q → p) 2) (∼p ∨ ∼q) → (p → q) 3) [(p ∧ ∼q) → ∼p] → (p → q) 4) [(p ∧ q) → ∼q] → (p → q)


ระบบจ านวนจร ง การแกสมการพหนามกาลง 2

ถา ax2 + bx + c = 0 แลว x = 2a 4ac b b 2 -- ± สตรทควรร

> 0 ; ม 2 คาตอบ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 โดยท b2 - 4ac = 0 ; ม 1 คาตอบ a2 - b2 = (a + b)(a - b) < 0 ; ไมมคาตอบใน R a3 ± b3 = (a ± b)(a2 m ab + b2) การแกสมการ / อสมการ คาสมบรณ 1. |P(x)| = Q(x) P(x) = ±Q(x) |P(x)| < Q(x) -Q(x) < P(x) < Q(x) |P(x)| > Q(x) P(x) < -Q(x) หรอ P(x) > Q(x) 2. |P(x)| = P(x) P(x) ≥ 0 |P(x)| = -P(x) P(x) ≤ 0 3. |P(x)| = |Q(x)| (P(x))2 = (Q(x))2 4. x2 = |x|2 5. ถาม | | หลายพจน ใหปลด | |, แยกกรณคด 6. |a| + |b| = |a + b| ab ≥ 0 |a| + |b| = |a - b| ab ≤ 0 |a| + |b| > |a + b| ab < 0 |a| + |b| ≥ |a + b| R 6. กาหนดให เอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรงบวก พจารณาขอความตอไปน (ก) ประพจน ∀x[|x2 - 5x + 4| < x2 + 6x + 5] มคาความจรงเปนจรง (ข) ประพจน ∀x[|x2 - 1| ≥ 2x - 2] มคาความจรงเปนเทจ ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


7. ถา A แทนเซตของเซตคาตอบของสมการ |2 - 2x| + |x + 2| = 4 - x แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)

1) (-4, 0) 2) (-1, 1) 3) (0, 4) 4) (-3, 2) 8. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก และ a < b เซตคาตอบของสมการ |x - a| - |x - b| = b - a

เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) {b} 2) (a, b] 3) [b, ∞) 4)

+ ∞ ,2

b a

9. ให A แทนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบสมการ

7 8x 4x4x

2 +- +

7 10x 4x3x

2 +- = 1

และให B แทนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบอสมการ |x2 - 2x| + x2 > 4 พจารณาขอความตอไปน (ก) A ⊂ B (ข) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของเซต AI B เทากบ 2 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


10. ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา A = {x ∈ R | x2 + 4 3x x2 +- > 3x + 2} แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (-∞, 2)U (3, 4) 2) (-∞, 0)U (3, ∞) 3) (-∞, -1)U (4, ∞) 4) (-1, ∞) 11. กาหนดให I แทนเซตของจานวนเตม ให A = {x ∈ I | |2x + 7| ≤ 9} และ B = {x ∈ I | |x2 - x - 1| > 1} พจารณาขอความตอไปน (ก) จานวนสมาชกของเซต AI B เทากบ 7 (ข) A - B เปนเซตวาง ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 12. ถา A แทนเซตของจานวนเตมทงหมด ทสอดคลองกบอสมการ 3|x - 1| - 2x > 2|3x + 1| และ B แทนเซตคาตอบของอสมการ x(x + 2)(x + 1)2 < 0 แลวขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 55) 1) เซต A - B มสมาชก 5 ตว 2) AU B = A 3) เซต AI B มสมาชก 1 ตว 4) (A - B)U (B - A) = B


ทฤษฎ จ านวน ห.ร.ม. นยาม (a, b) = d กตอเมอ 1. d|a และ d|b 2. ถา c|a และ c|b แลว c|d สมบต 1. d = ax + by โดยท x, y ∈ I 2. (a, b) = (-a, b) = (a, -b) = (-a, -b) ค.ร.น. นยาม [a, b] = c กตอเมอ 1. a|c และ b|c 2. ถา a|d และ b|d แลว c|d สมบต a ⋅ b = (a, b) ⋅ [a, b] 13. กาหนดให a เปนจานวนเตมบวก ถา ห.ร.ม. ของ a และ 2520 เทากบ 60 และ ค.ร.น. ของ a และ 420 เทากบ 4620 แลว a อยในชวงในขอใดตอไปน (สามญ 56) 1) [200, 350) 2) [350, 500) 3) [500, 650) 4) [650, 800) 5) [800, 950) 14. กาหนดให n เปนจานวนนบทมากทสดทหาร 166 และ 1101 แลวไดเศษเหลอ 1 แลว n มคาเทากบเทาใด

(สามญ 57)


15. กาหนดให m และ n เปนจานวนเตมบวกซง m = n + 2 และ ค.ร.น ของ m และ n เทากบ 180 แลว ผลคณ mn มคาเทากบเทาใด (สามญ 57)

16. ถา S เปนเซตของจานวนนบ n ซง ค.ร.น. ของ 720 และ n มคาเทากบ 10800 แลวสมาชกของ S ทมคา

นอยทสดมคาเทากบเทาใด (สามญ 55) 17. กาหนดให a, b เปนจานวนเตมบวกซง ab - 25a - 25b = 1575 ถา ห.ร.ม. (a, b) = 5 แลว |a - b|

มคาเทากบขอใดตอไปน (สามญ 55) 1) 15 2) 45 3) 90 4) 210 5) 435 18. เศษเหลอจากการหาร 4999 + 9555 ดวย 5 มคาเทากบเทาใด (สามญ 57) 19. ถา d เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 และจานวน 3456, 2561 และ 1308 หารดวย d มเศษเหลอเทากน

คอ r แลว d + r เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)


เรขาคณ ตว เคราะห และภาคต ดกรวย เรขาคณตวเคราะห

) y,(x 11

) y,(x 22

d

) y,(x 11

dAx + By + C = 0

0 C By Ax 1 =++

d0 C By Ax 2 =++

d = 221

221 ) y (y )x (x -- + d =

2211

B A

|C By Ax|

+

++ d = 22

21

B A

|C C|

+

-

ภาคตดกรวย

วงกลม (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ; จดศนยกลาง คอ (h, k) รศม = r (x - h)2 = 4c(y - k) ; c > 0 หงาย, c < 0 ควา

พาราโบลา (y - k)2 = 4c(x - h) ; c > 0 ขวา, c < 0 ซาย

นอน : 22

ah) (x - + 2

2

bk) (y - = 1 ตง : 2

2

bh) (x - + 2

2

ak) (y - = 1

วงร a2 = b2 + c2 ; คาความเยองศนยกลาง (e) = a

c ; 0 < e < 1

นอน : 22

ah) (x - - 2

2

bk) (y - = 1 ตง : 2

2

ak) (y - - 2

2

bh) (x - = 1

ไฮเพอรโบลา c2 = a2 + b2

20. กาหนดใหวงรรปหนงมสมการเปน x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0 ; A, B, C ∈ I โดยทมจดศนยกลาง

อยท (2, 1) และแกนเอกยาวเปน 2 เทาของแกนโท ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) A + B + C = 0

2) ความเยองศนยกลางของวงรเทากบ 53

3) วงรมจดศนยกลางรวมกบจดศนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 และแกนเอก ยาวเทากบรศมของวงกลม

4) ผลบวกของระยะทางจากจด (2, 6) ไปยงโฟกสทงสองของวงรเทากบ 20 หนวย


21. ให F เปนโฟกสของพาราโบลา 4y = x2 - 6x + 13 ถาไฮเพอรโบลารปหนงมสมบตดงน (ก) แกนตามขวางขนานแกน y (ข) จดศนยกลางของไฮเพอรโบลาอยท F (ค) โฟกสหนงของไฮเพอรโบลา คอ (3, 2 + 2 13 ) (ง) แกนสงยคยาว 12 หนวย แลวไฮเพอรโบลารปนมสมการตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57) 1) 4x2 - 9y2 - 24x + 36y + 144 = 0 2) 4x2 - 9y2 - 24x + 36y - 36 = 0 3) 9y2 - 4x2 + 24x + 36y - 144 = 0 4) 9y2 - 4x2 + 24x + 36y + 36 = 0 22. ถาวงกลมวงหนงมจดศนยกลาง คอ C(h, k) อยบนเสนตรง x + y + 4 = 0 และวงกลมนผานจด

A(-5, -2) และจด B(-2, 5) แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55) 23. ให A เปนจดตดของเสนตรง x - 3y + 1 = 0 และ 2x + 5y - 9 = 0 ถาเสนตรง L มความชนเทากบ m

เมอ m < 0 มระยะหางจากจดกาเนด (0, 0) เทากบ k หนวย โดยท k2 + 2m = 1 และผานจด A แลวสมการของเสนตรง L ตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)

1) 2x + y - 5 = 0 2) 3x + y - 7 = 0 3) x + 2y - 4 = 0 4) x + 3y - 5 = 0


24. พจารณาขอความตอไปน (ก) ให P(x, y) เปนจดใดๆ ในระนาบ ถาผลบวกของระยะทางจากจด P(x, y) ไปยงจด (0, -2) และ

ระยะทาง จากจด P(x, y) ไปยงจด (2, -2) เทากบ 2 5 แลวเซตของจด P(x, y) คอ {(x, y) | 4x2 + 5y2 - 8x + 20y - 12 = 0}

(ข) จด (1, 1) เปนจดบนพาราโบลา y = x2 อยใกลกบเสนตรง y = 2x - 4 มากทสด ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 25. แกนเอกของวงรเปนสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของวงกลม x2 + y2 = 25 กบวงกลม

x2 + y2 + 6y - 7 = 0 และโฟกสจดหนงของวงรอยบนเสนตรง x + 2 3 = 0 สมการของวงรตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)

1) x2 + 4y2 - 8x = 0 2) x2 + 4y2 + 24y + 20 = 0 3) 4x2 + y2 + 6y - 7 = 0 4) 4x2 + y2 - 32x + 48 = 0 26. กาหนดใหไฮเพอรโบลารปหนงมสมการเปน x2 - y2 - 2x = 0 ถาพาราโบลามโฟกสเปนจดกงกลางของ

สวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของเสนตรง y = 2x กบเสนกากบของไฮเพอรโบลา และมเสนไดเรกตรกซเปนเสนตรงทผานจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา แลวสมการของพาราโบลาคอขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)

1) 9x2 + 12x + 12y - 3 = 0 2) 9x2 + 12x + 12y + 8 = 0 3) 9x2 + 6x - 12y - 3 = 0 4) 9x2 + 6x + 12y + 5 = 0


27. พาราโบลาทมจดโฟกส F อยทจดศนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 6x + 4y + 4 = 0 และมจดยอด V อยทจดตดของวงกลมกบแกน y ถา A และ B เปนจดบนพาราโบลาซงสวนของเสนตรง AB ผานจดโฟกส F และตงฉากกบแกนของพาราโบลา แลวพนทของรปสามเหลยม VAB เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 55)

1) 9 ตารางหนวย 2) 12 ตารางหนวย 3) 18 ตารางหนวย 4) 36 ตารางหนวย 28. กาหนดให L เปนเสนตรงมสมการเปน a

x + by = 1 เมอ a, b > 0 และให C1 และ C2 เปนวงกลมสองวง

ทตางกน โดยทมรศมเทากนและวงกลมทงสองวงตางสมผสกบเสนตรง L ทจดเดยวกน ถาวงกลม C1 มจดศนยกลางทจด (0, 0) แลวสมการของวงกลม C2 คอขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)

1) (a2 + b2)2(x2 + y2) - 4ab(a2 + b2)(bx + ay) + 3a2b2 = 0 2) (a2 + b2)(x2 + y2) - 4ab(bx + ay) + 3a2b2 = 0 3) (a2 + b2)2(x2 + y2) - 4ab(a2 + b2)(bx + ay) + 5a2b2 = 0 4) (a2 + b2)(x2 + y2) - 4ab(bx + ay) + 5a2b2 = 0


ฟ งก ช น ฟงกชนอนเวอรส 1. Df-1 = Rf และ Rf-1 = Df 2. (f-1)-1 = f 3. f(∆) = → ∆ = f-1( ) ฟงกชนประกอบ 1. (fog)(x) = f(g(x)) 2. (fog)-1(x) = (g-1of-1)(x) 29. ให R แทนเซตของจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงโดยท a ≠ 0 ให f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทนยามโดย f(x) = ax + 2 และ g(x) = x3 - 3x(x - 1)

สาหรบทกจานวนจรง x ถา (f-1og-1)(1) = 1 แลว (gof)(a) เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57) 30. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทสอดคลองกบ f(x + g(y)) = 2x + y + 15 สาหรบ

ทกจานวนจรง x และ y พจารณาขอความตอไปน (ก) (gof)(x) = 2x + 15 สาหรบทกจานวนจรง x (ข) g(25 + f(57)) = 75 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


31. ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนหนงตอหนง โดยท (fog)(x) = 4x - 5 และ g-1(x) = 2x + 1

สาหรบทกจานวนจรง x พจารณาขอความตอไปน (ก) 4(f-1og)(2x + 1) = g(x) + 1 สาหรบทกจานวนจรง x (ข) (g-1o(f-1og))(x) = f-1(x) + 1 สาหรบทกจานวนจรง x ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก และ (ข) ผด 3) (ก) ผด และ (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 32. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง กาหนด g(x) = x2 + x + 3 สาหรบทกจานวนจรง x ถา f : R → R เปนฟงกชน และสอดคลองกบ (fog)(x) + 2(fog)(1 - x) = 6x2 - 10x + 17 2(fog)(x) + (fog)(1 - x) = 6x2 - 2x + 13 คาของ f(383) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 55) 33. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง และให I แทนเซตของจานวนเตม ให f และ g เปนฟงกชนจาก R ไปยง R โดยท f(x + 5) = x3 - x2 + 2x สาหรบทกจานวนจรง x และ

g-1(2x - 1) = x + 4 สาหรบทกจานวนจรง x พจารณาขอความตอไปน (ก) (f - g)(0) < -169 (ข) {x ∈ I|(gof)(x) + 5 = 0}เปนเซตวาง ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


34. ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา f เปนฟงกชน ซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตจานวนจรง โดยท f(x) = 1 x 4 4x 2x2

+++ เมอ

x ≠ -1 แลวเรนจของฟงกชน f เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) {x ∈ R|x2 + 6x - 7 ≥ 0} 2) {x ∈ R|x2 + 3x - 10 ≥ 0} 3) {x ∈ R|x2 + x - 12 ≥ 0} 4) {x ∈ R|x2 - 6x - 16 ≥ 0} 35. ให R แทนเซตของจานวนจรง และให f : R → R เปนฟงกชนทมสมบตสอดคลองกบ f

+ x 1x 1 - = x

สาหรบทกจานวนจรง x ≠ -1 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 54)

1) f(f(x)) = -x สาหรบทกจานวนจรง x 2) f(-x) = f

+

x 1x 1

- สาหรบทกจานวนจรง x ≠ 1

3) f

x1 = f(x) สาหรบทกจานวนจรง x ≠ 0 4) f(-2 - x) = -2 - f(x) สาหรบทกจานวนจรง x


เมทร กซ ดเทอรมแนนต กรณ n = 2

A =

dcba → det(A) = dc

ba = ad - bc

กรณ n = 3

A =

ihgfedcba

→ det(A) = ihgfedcba

gda

heb

สมบตของ det 1. det(At) = det(A) 2. det(AB) = det(A) ⋅ det(B) 3. det(An) = (detA)n 4. det(kA) = kndet(A) 5. det(I) = 1 และ det(0) = 0 6. ถาเมทรกซมสมาชกแถวใดหรอหลกใดเปนศนยทกตว จะไดวา det เทากบ 0

653000121

, 650430120

7. ถาเมทรกซมสองแถวใดหรอสองหลกใดเหมอนกน จะไดวา det เทากบ 0

121654121

, 668443112

8. คา det ของเมทรกซสามเหลยมจะเทากบ ผลคณของสมาชกในแนวทแยงมมหลก

356024001

, 600430122

9. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการสลบสองแถวใดหรอสองหลกใดแลว det(B) = -det(A)

333231232221131211

aaaaaaaaa

= -333231131211232221

aaaaaaaaa

= -333132232122131112

aaaaaaaaa


10. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการคณแถวใดแถวหนงดวย k ∈ R แลว det(B) = k ⋅ det(A)

333231232221131211

aaakakakaaaa

= k333231232221131211

aaaaaaaaa

11. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการคณแถวใดแถวหนงดวย k ∈ R แลวนาไปบวกกบอกแถวหนงหรอคณหลกใดหลกหนงดวย k ∈ R แลวนาไปบวกกบอกหลกหนง แลว det(B) = det(A)

333231232221131211

aaaaaaaaa

= 333231

132312221121131211

aaa)ka (a)ka (a)ka (a

aaa+++

36. พจารณาขอความตอไปน

(ก) ถา A =

0c000ba00

เมอ a, b, c เปนจานวนจรงบวกท abc = 1 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณ

การคณมต 3 × 3 แลว det(A2 + A + I) = 0

(ข) ให A =

321321321

cccbbbaaa

และ B =

+++

321321

333222111

3c3c3c2b2b2b

3c 2b a3c 2b a3c 2b a ---

เมอ a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 เปนจานวนจรง ถา det(A) = 3 แลว det(B) = -18 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


37. กาหนดให A =

4ba1

, I =

1001

เมอ a และ b เปนจานวนจรงท ab ≠ 0 และเมทรกซ A

สอดคลองกบสมการ 2(A - I)-1 = 4I - A พจารณาขอความตอไปน (ก) ab = 2 (ข) det(3A2AtA-1) = 324 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


1021

--

, I =

1001

และ B เปนเมทรกซใดๆ มมต 2 × 2 ให x เปนจานวนจรงท

สอดคลองกบ det(A2 + xI) = 0 พจารณาขอความตอไปน (ก) det(A + xI) = 0 (ข) det(A2 + xI - B) = det(Bt) ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


39. กาหนดให A เปนเมทรกซ ทมมต 3 × 3 และ det(A) ≠ 0 พจารณาขอความตอไปน (ก) (det(A))3 = det(adj(A)) (ข) ถา A2 = 2A แลว det(A) = 2 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด

40. กาหนดให A, B และ C เปนเมทรกซมมต 3 × 3 โดยท det B ≠ 0 ถา A =

0 13 1 1 2 32 1

-

-- และ

det(BtCB-1) = -4 แลว det(CtAC) เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55) 41. กาหนดให A และ B เปนเมทรกซจตรสมตเทากน โดยท det(A) ≠ 0 และ det(B) ≠ 0 ถา

det(A-1 + B-1) ≠ 0 และ det(A + B) ≠ 0 แลว (A + B)-1 ตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) B-1(A-1 + B-1)A-1 2) B-1(A-1 + B-1)-1A-1 3) B(A-1 + B-1)A 4) B(A-1 + B-1)-1A


ฟ งก ช นเอกซ โพเนนเช ยล และฟ งก ช นลอการ ท ม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล สมบตของเลขยกกาลง

1. am ⋅ an = am+n 2. nm

aa = am-n 3. (am)n = amn

4. (ab)m = ambm 5. m

ba

= m

m

ba 6. a-n = na

1

การแกสมการ Expo 1. ax = ay → x = y 2. ax = bx → x = 0 การแกอสมการ Expo 1. ax > ay 2. ax > bx

ถา 0 < a < 1 แลว x < y จดรปเปน x

ba

> 1 →

x

ba

>

0

ba

ถา a > 1 แลว x > y แลวพจารณาตามขอ 1. ฟงกชนลอการทม สมบต log 1. loga1 = 0 2. logaa = 1

3. logax + logay = loga(xy) 4. logax - logay = loga

yx

5. logax = alogxlog

cc = alog

1x

6. loganxm = nm logax

7. ylogax = xlogay 8. alogax = x ขอควรร log10x = logx, logex = ln x log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771, log 5 = 1 - log 2 การแกสมการ log 1. logax = logay → x = y 2.logax = logbx → x = 1 การแกอสมการ log 1. logax > logay 2. logax > logbx

ถา 0 < a < 1 แลว x < y จดรปเปน alogxlog

cc > blog

xlogcc

ถา a > 1 แลว x > y !!! การแกสมการ / อสมการ log ตองตรวจคาตอบ log∆ → > 0 และ ∆ > 0 แต ∆ ≠ 1


42. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ 3(1+2x) + 9(2-x) = 244 แลวเซต A เปนสบเซตของชวงใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)

1) (-1, 4) 2) (-2, 0.5) 3) (0, 5) 4) (-3, 0) 43. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ log2(x + 7)2 + 4log4(x - 3) = 3log8(64x2 - 256x + 256)

ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต A เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57) 44. ให R แทนเซตของจานวนจรงและ ถา A = {x ∈ R|32x - 34(15x-1) + 52x = 0} และ B =

++=+∈ 2x1 1 6log 125) (5logR x 5

1/x5

แลวจานวนสมาชกของเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)


45. พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา x เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ log2x + log4x + log8x + log16x - 2log64x = 7

แลว x สอดคลองกบสมการ x - 3 x = 4 (ข) ถา a, b และ c เปนจานวนจรงทสอดคลองกบ (1 - a)log32 = 2 - log35 (3 + b)log52 = 2 - log53 และ (3 + c)log72 = 4log73 - log75 แลว 2a + b - c = 2 + 5log25 - 9log23 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด

46. ถา x เปนจานวนจรงทมากทสดทเปนคาตอบของสมการ 2x 3x 14 -+ - 2x 5x 9 -+ = 1 แลวคาของ

1221

2x 3x9x 12x 4--

--

-- + เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)

47. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ log6(3 ⋅ 4x + 2 ⋅ 9x) = x + log65

และให B แทนเซตคาตอบของสมการ x + 2x 1 - = 1 + 2x 2x 1 - จานวนสมาชกของเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)


48. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ 1 3x2 2 3x +++ + 1 3x6 10 3x +++ = 14

และให B เปนเซตคาตอบของสมการ 2x2 - 6x + 11 + 2 5 3x x2 +- = 25 ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)


++ >∈ 32 2 2 2R x 1/2x2x2x -- เมอ R แทนเซตของจานวนจรง จงหาจานวน

สมาชกทเปนจานวนเตมของ R - A (PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 50. ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ (x - 2)x2+2 < (x - 2)2x+10 เมอ x > 2 แลว A เปนสบเซตของชวง

ในขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (2, 3) 2) (3.5, 5) 3) (2.5, 4) 4) (4, 7) 51. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ x2log4(x2 + 2x - 1) + xlog1/2(x2 + 2x - 1) = 2x - x2

และให B = {x2|x ∈ A} ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)


ฟ งก ช นตร โกณม ต เอกลกษณ sin2 A + cos2 A = 1 สตร ผลบวก/ผลตาง มม 2 เทา sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B sin 2A = 2 sin A cos A cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B cos 2A = cos2 A - sin2 A tan (A ± B) = B tanA tan 1

B tan A tanm

± tan 2A = A tan 1

A tan22-

มม 3 เทา มม 21 เทา

sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A sin 2A = ± 2

A cos 1 -

cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A cos 2A = ± 2

A cos 1 + สมบตของอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต สมบต arc มมลบ arcsin (-x) = -arcsin x arccos (-x) = π - arccos x arctan (-x) = -arctan x arccot (-x) = π - arccot x arccsc (-x) = -arccsc x arcsec (-x) = π - arcsec x สมบตสวนกลบ สมบตยบ arctan arcsin x = arccsc x

1 arctan x + arctan y = arctan xy 1 y x

-+ ; xy < 1

arccos x = arcsec x1 สมบตค co-function

arctan x = arccot x1 ; x > 0 arcsin x + arccos x = 2

π

arctan x + arccot x = 2π

arcsec x + arccsc x = 2π

ฟงกชนตรโกณมตกบเรขาคณต Law of Sine Law of Cosine a

A sin = bB sin = c

C sin a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

A

C Ba

b c


52. cot

+326 1 arccos 3

2 arccos - มคาเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)

1) 32 2) 3

1 3) 326 1 + 4) 3

53. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B และมม C เปนมมแหลม โดยท 25 cos B - 13 cos C = 15,

65(cos B + cos C) = 77 และดานตรงขามมม C ยาว 20 หนวย ความยาวของเสนรอบรปสามเหลยม ABC เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)

54. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม โดยทมความยาวของดานตรงขามมม A มม B และมม C เทากบ a

หนวย b หนวย และ c หนวย ตามลาดบ และมม A มขนาดเปนสองเทาของมม B ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57)

1) c2 = a2 + ab 2) c2 = b2 + ab 3) a2 = b2 +bc 4) a2 = c2 + bc 55. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ โดยทมความยาวของดานตรงขามมม A มม B และมม C เทากบ a

หนวย b หนวย และ c หนวย ตามลาดบ ถามม A มขนาดมากกวา 90° มม B มขนาด 45° และ 2 c = ( 3 - 1)a แลว cos2 (A - B - C) + cos2 B + cos2 C เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)


56. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ ถา a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมม A มม B และ

มม C ตามลาดบ โดยท c a1+ + c b

1+ = c b a

3++ แลว sin C เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)

1) 22 2) 2

1 3) 23 4) 1

57. คาของ sec2

+ 7

1 arctan 31 arctan 2 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)

58. ถา x และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ 3 sin (x - y) = 2 sin (x + y) แลว (tan3 x)(cot3 y)

เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) 8 2) 27 3) 64 4) 125 59. กาหนดให θ เปนจานวนจรงใดๆ พจารณาขอความตอไปน (ก) 16 sin3 θ cos2 θ = 2 sin θ + sin 3θ - sin 5θ (ข) sin 3θ = (sin 2θ + sin θ)(2 cos θ - 1) ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


60. ถา cos 5θ = a cos5 θ + b cos3 θ + c cos θ เมอ θ เปนจานวนจรงใดๆ แลวคาของ a2 + b2 + c2 เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)

61. กาหนดให sin θ - sin 2θ + sin 3θ = 0 โดยท 0 < θ < 2

π ถา a = θθθθ

2 cos cos2 tan tan

-- และ

b = θθθθθθ

++++

5 cos 4cos 3 cos5 sin 4sin 3 sin แลวคาของ a4 + b4 เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)

62. กาหนดให 0° < θ < 15° คาของ arctan

θθ sin 3 1

cos 3- - arccot

θθ sin 3

cos- เทากบขอใดตอไปน

(PAT 1 เม.ย. 57) 1) arctan (cot θ) 2) arctan (tan θ) 3) arctan (sin θ) 4) arctan (cos θ) 63. ให A แทนเซตคาตอบของจานวนจรง x ∈ [0, 2π) ทงหมดทสอดคลองกบสมการ 2(1+3sinx) - 5 ⋅ 22sinx + 2(2+sinx) = 1 จานวนสมาชกของเซต A เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)


64. พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา A และ B เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ sin2 B = sin A cos A แลว cos 2B = 2 cos2 (45° + A) (ข) ถา 0 ≤ A, B ≤ 2

π สอดคลองกบ sin A = 2 sin B และ 3 sec B = 2 sec A แลว sin 10A + cos 10B = 0.5

ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 65. พจารณาขอความตอไปน (ก) cos 5

π + cos 53π + cos π = 2

1

(ข) tan 167π - tan 8

3π = cosec 8π

ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


ล าด บอน นต และอน กรมอน นต ลมตอนนต เศษสวนพหนาม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล 1. ดกรสงสดของ “เศษ < สวน” 1. ฐานสงสดของ “เศษ < สวน”

∞→n

lim 4 n

3 2n n n423

+

+++ = 0 ∞→n

lim 1 52 3

nn1n

+

+ - = 0

2. ดกรสงสดของ “เศษ = สวน” 2. ฐานสงสดของ “เศษ = สวน”

∞→n

lim 3 2n 4n

1 4n n 3n23

23

--

+

++ = 43

∞→nlim nn

n1n

2 3 42 3

+

+

⋅- = 4

3

3. ดกรสงสดของ “เศษ > สวน” 3. ฐานสงสดของ “เศษ > สวน”

∞→n

lim 1 2n n

n n2

23

++

+ → หาคาไมได ∞→n

lim n1nn

2 31 5

++- → หาคาไมได

อนกรม เลขคณต / เรขาคณต

จากด อนนต

อนกรมเลขคณต Sn = 2n (a1 + an) 0 + 0 + 0 + ... = 0

อนกรมเรขาคณต Sn = r 1)r (1a n

1-- S∞ = r 1

a1- ; |r| < 1

อนกรมเศษสวนยอย

∑ d) n(n1+

= d1 ∑

+ d n1 n

1 -

∑ 2d) d)(n n(n1

++ = 2d

1 ∑

+++ 2d) d)(n (n

1 d) n(n1 -


66. กาหนดให an = 4 16n

n22

- เมอ n = 1, 2, 3, ... ถา

∞→nlim n

a ... a a a n321 ++++ = ba โดยท

a และ b เปนจานวนเตมบวก ซง ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ 1 แลว a2 + b2 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)

1) 17 2) 25 3) 145 4) 257

67. กาหนดให an = k2kn

1k=∑ เมอ n = 1, 2, 3, ... คาของ

∞→nlim

1 5n n

)3a (622

nn

++

- เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)

68. กาหนดให an = 3 16n n2 ++ - 2 n2 + เมอ n = 1, 2, 3, ... คาของ ∞→n

lim 3 na เทากบเทาใด

(PAT 1 ม.ค. 57) 1) 0 2) 1 3) 2 4) 8


69. กาหนดให an = sin

ππ 2 n - - cos nπ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... และ bn = 6 cos

ππ 3 2n -

สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ผลบวกของอนกรม 11

ba +

2

22

ba

+

3

33

ba

+ ... +

n

nn

ba

+ ... เทากบ

ขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55) 1) 5

2 2) - 52 3) 2 4) -2

70. สาหรบ n = 1, 2, 3, ... กาหนดให an = 2 + 4 + 6 + ... + 2n และ bn = a1 + a2 + a3 + ... + an

คาของ ∞→n

lim

+++++n321 b1 n ... b

4 b3 b

2 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)


เฉลยตวอยางขอสอบ 1. 1) 2. 1) 3. 3) 4. 3) 5. 3) 6. 4) 7. 4) 8. 3) 9. 3) 10. 2) 11. 2) 12. 1) 13. 4) 14. 55 15. 360 16. 675 17. 1) 18. 3 19. 234 20. 4) 21. 3) 22. 14.5 23. 1) 24. 3) 25. 2) 26. 4) 27. 3) 28. 2) 29. 9 30. 4) 31. 1) 32. 763 33. 4) 34. 3) 35. 4) 36. 2) 37. 3) 38. 1) 39. 4) 40. 320 41. 2) 42. 1) 43. 5 44. 4 45. 1) 46. 4 47. 3 48. 11 49. 2) 50. 3) 51. 4 52. 4) 53. 54 54. 3) 55. 2 56. 3) 57. 2 58. 4) 59. 1) 60. 681 61. 153 62. 2) 63. 3 64. 2) 65. 3) 66. 4) 67. 3 68. 3) 69. 3) 70. 2.25


เนอหาในสวน ทคร Sup’k รบผดชอบ

PAT1 ธ.ค.54

PAT1 ม.ค.55

PAT1 ต.ค.55

PAT1 ม.ค.56

PAT1 ม.ค.57

PAT1 เม.ย.57

ระดบขอสอบ ยากเกอบ

มาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก

โจทยปญหาเชาวน แนวจานวนกบตวเลข

- - 1 1 4 1

โจทยปญหาเชาวน แนวโอเปอรเรชนใหมๆ

2 1 - 2 – –

เอกซโปเนนเชยล 2 2 3 3 2 0.5 ลอการทม 0.5 2 1 2 1 2.5 ตรรกศาสตร 2 1 2 1 2 1.5

ระบบจานวนจรง 1 2 1 2.5 2 2.5 ทฤษฎจานวน 1 2 2 1 2 1

เรขาคณตวเคราะห 0.5 - - 0.5 – 1 ภาคตดกรวย 2.5 2 3 3 3 2 ความสมพนธ 1 1 1 2 1 –

ฟงกชน 2.5 3 1 2 – 3 เมทรกซ

และดเทอรมนนต 2 2 2 2 2 2

ตรโกณพนฐานในวงกลม 0.5 1 0.5 - – – ตรโกณประยกต 3 1 2 2 3 2 อนเวอรสตรโกณ 1 1 2 2 1 1


เนอหาในสวน ทคร Sup’k รบผดชอบ

PAT1 ธ.ค.54

PAT1 ม.ค.55

PAT1 ต.ค.55

PAT1 ม.ค.56

PAT1 ม.ค.57

PAT1 เม.ย.57

ระดบขอสอบ ยากเกอบ

มาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก

กฎของ sin, กฎของ cos

1 1 1 1 1 2

ลาดบอนกรมพนฐาน 1 1 1.5 2 – – ลาดบเวยนบงเกดแปลกๆ 1 - 1 - 1 1 อนกรมประยกตแปลกๆ 1.5 2 2 2 1 2

โจทยเซอรไพส แนวโอลมปก

1 2 2 1 1 2

รวม 27 ขอ 27 ขอ 29 ขอ 32 ขอ 27 ขอ 27 ขอ ขอสอบทงหมด 50 ขอ 45 ขอ

หมายเหต

ชอย 25 ขอ ขอละ 5 คะแนน

เตมคา 25 ขอ ขอละ 7 คะแนน

ชอย 30 ขอ ขอละ 6 คะแนน

เตมคา 15 ขอ ขอละ 8 คะแนน


สรปภาพรวม “โจทยปญญาเชาวน” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยปญหาเชาวน แนวลาดบ – ฟงกชน สองตวแปร 2. โจทยปญหาเชาวน แนวเตมตวเลขในตารางเกาชอง 3. โจทยปญหาเชาวน แนวผลรวมตวเลขในตาราง 4. โจทยปญหาเชาวน แนว Sudoku 5. โจทยปญหาเชาวน แนว Alphabetic Problem 6. โจทยปญหาเชาวน แนวทฤษฎจานวน 7. โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร ผมไมไดพดโกหก VS นงตดกบคนโนน ตรงขามคนน 8. โจทยปญหาเชาวน แนวโอเปอรเรชนของระบบจานวนจรง


โจทยปญหาเชาวน แนว ลาดบ-ฟงกชน สองตวแปร NichTor-Pb1.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กาหนด a(n, m) เปนจานวนเตมบวก ทกๆ n = 1, 2, 3, 4 , m = 1, 2, 3, ..., n และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1)

เมอ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n ถา a(1, 1) = 10, a(2, 1) = 5 และ a(2, 3) = 18 จงหาคาของ a(1, 2) ตอบ .............................. แนวคด & เทคนค *NichTor-Pb1.2 (ดกแนวขอสอบ PAT1) กาหนด a(n, m) เปนจานวนเตมบวก ทกๆ n = 1, 2, 3, 4, m = 1, 2, 3, ..., n และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) เมอ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n ถา a(1, 1) = 10, a(2, 1) = 5 และ a(4, 1) = 4, a(4, 4) = 35 จงหาคาของ a(3, 1) ตอบ .............................. NichTor-Pb1.3 (ดกแนวขอสอบ PAT1) สาหรบจานวนเตม n, m ทไมตดลบ นยาม กาหนด a(n, m) ดงน (i) a(0, m) = m + 1 (ii) a(n + 1, 0) = a(n, 1) (iii) a(n + 1, m + 1) = a(n, a(n + 1, m)) จงหาคาของ a(3, 0) ตอบ ..............................

Tips จากคร Sup’k


NaDate-Pb2.48 (PAT1’ม.ค.56) สาหรบ x, y ∈ {0, 1, 2, 3, ...} กาหนดให F(x, y) เปนจานวนเตมบวก โดยท

F(x, y) =

≠≠

=+

≠=

0 y, 0 x , 1 y, y)1, F(xF0 y, 1 x

0 y, 0 x , 1) yF(1,

)( --

-

คาของ F(1, 2) + F(3, 1) เทากบเทาใด ตอบ............................. โจทยปญหาเชาวน แนวเตมตวเลขในตารางเกาชอง BRAN-Pb2.50 (PAT1’ต.ค.53) จากตารางทกาหนดให มชองวางทงหมด 9 ชอง ดงรป

X10 3

7

ใหเตมจานวนเตมบวก ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จานวน

โดยใหผลบวกของจานวนในแตละแถว ในแตละหลก และในแตละแนวทแยงมม มคาเทากน ถาเตมจานวนเตมบวก 3, 7, 10 ดงปรากฏในตาราง แลวจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด แนวคดเรวๆ ขนท 1 ขนท 2

X10 3

7

X10 3

7

ขนท 3 (แถม) ขนท 4 (แถม) ขนท 5 (แถม)

10 3

7

10 3

7

10 3

7



โจทยปญหาเชาวน แนวผลรวมตวเลขในตาราง SheLL2.46 (PAT1’ก.ค.53) ใหเตมจานวนเตมบวกลงในชองสเหลยม โดยใหผลรวมของจานวนในชองสเหลยมสามชองทตดกน เทากบ 18

7 x 8 คาของ x เทากบเทาใด ตอบ .............................. SheLL2.47 (PAT1’ก.ค.53) จากตารางทกาหนดให มชองวาง 16 ชอง ดงรป

1 5

x 13

แถว (ก)

แถว (ข)

หลก (ค) หลก (ง)

ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวก ของจานวนในแตละแถว (แถว (ก) และ แถว (ข)) และแตละหลก (หลก (ค) และ หลก (ง)) มคาเทาๆ กน ถาเตมจานวนเตมบวก 1, 5, 13 ดงปรากฏในตารางแลวจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด ตอบ .............................. โจทยปญหาเชาวน แนว Sudoku SheLL2.4 (PAT1’ก.ค.53) ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางของตาราง 5 × 5 ตอไปน

5 4

1 3

5 3

2 3 1

x

โดยทแตละแถวตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 และแตละหลกตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหาวาจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด ตอบ ..............................


โจทยปญหาเชาวน แนว Alphabetic Problem BRAN-Pb1.24 (PAT1’ต.ค.53) พจารณาการบวกของจานวนตอไปน A B C D E F G เมอ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดทแตกตางกน โดยท F = 0 และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถาจานวนสองหลก AB เปนจานวนเฉพาะ แลว A + B มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 7 4) 9 แนวคด SupK-Pb2.28.2 (ดกแนว PAT 1) SupK-Pb2.28.3 (ดกแนว PAT 1) ให ตวอกษรภาษาองกฤษแตละตวทแตกตางกน ให ตวอกษรภาษาองกฤษแตละตวทแตกตางกน แทน เลขโดดทแตกตางกน แทน เลขโดดทแตกตางกน จงหาตวเลขมาเตมตวอกษรองกฤษตอไปน จงหาตวเลขมาเตมตวอกษรองกฤษตอไปน S E N D F A T H E R M O R E M O T H E R M O N E Y P A R E N T เมอตวอกษร O ในขอน คอ เลขศนย เมอตวอกษร O ในขอน คอ เลขโดดใดๆ

+

+ +


โจทยปญหาเชาวน แนวทฤษฎจานวน BRAN-Pb2.43 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a, b, c, d, e, f เปนจานวนเตมบวก ถาผลบวกของสองจานวนทแตกตางกน ในเซต {a, b, c, d, e, f} มทงหมด 15 จานวน โดยท a < b < c < d < e < f คอ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155 แลวคาของ c + d เทากบเทาใด ตอบ .............................. แนวคด Happy–Pb 1.1 (PAT1’ม.ค.57) ถา a, b, c, d, e เปนจานวนเตมบวก โดยท 5a = 4b = 3c = 2d = e และ a + 2b + 3c + 4d + 5e เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด แลวคาของ a + 4b + 3c + 4d + e เทากบขอใดตอไปน 1) 52 2) 120 3) 262 4) 312



Happy–Pb 1.2 (PAT1’ม.ค.57) ตนรภยมรหสเปดตเปนจานวน 10 หลก คอ ABCDEFGHIJ โดยท (ก) A, B, C, D, E, F, G, H, I, J {0, 1, 2, ..., 9} และ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J เปนจานวนทแตกตางกนทงหมด (ข) A, B, C, D เปนจานวนคทเรยงตดกนและ A B C D (ค) E, F, G เปนจานวนคทเรยงตดกนและ E F G (ง) H I J และ H + I + J = 15 คาของ C + F + I เทากบขอใดตอไปน 1) 10 2) 13 3) 15 4) 17 Happy–Pb 1.3 (PAT1’เม.ย.57) สราง ABCDEF เปนจานวนเตมบวก 6 หลก โดยท A, B, C, d, E, F {1, 2, 3, ..., 9} และสอดคลองกบ A + B = 14 และ C - D D - E E - F 0 ไดทงหมดกจานวน ตอบ .................................... Happy–Pb 1.4 (PAT1’เม.ย.57) ให A เปนเซตของ a2 + b2 + c2 + d2 โดยท a, b, c, d เปนจานวนเตมบวก

ทสอดคลองกบ (ก) a = b + d (ข) (a + b + c + d) = (a - c)d (ค) 2 + cd = a(c - 1) ถา M เปนสมาชกทมคามากทสดใน A และ m เปนสมาชกทมคานอยทสดใน A แลว M - m เทากบเทาใด ตอบ .................................... โจทยปญหาเชาวน แนวทฤษฎการหารลงตว BRAN-Pb1.25 (PAT1’ต.ค.53) สาหรบ a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ นยาม a * b หมายถง a = kb สาหรบบางจานวนเตมบวก k ถา x, y และ z เปนจานวนเตมบวกแลว ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ถา x * y และ y * z แลว (x + y) * z 2) ถา x * y และ x * z แลว x * (yz) 3) ถา x * y และ x * z แลว x * (y + z) 4) ถา x * y แลว y * x


โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร ผมไมไดพดโกหก VS นงตดกบคนโนน ตรงขามคนน TF-PAT119 (B-PAT1’ต.ค.51) ในการจดคน 5 คน ยนเขาแถวหนากระดาน พบวา - นาย ก ไมยนขางนาย ข - นาย ค ยนอยรม - นาย ง ยนอยขางนาย จ และไมยนอยกลางแถว ขอใดตอไปนเปนไปได 1) นาย ก ยนขางนาย ข 2) นาย จ ยนอยรมดานหนง 3) นาย ก ยนอยตรงกลาง 4) นาย จ ยนอยตรงกลาง TF-PAT120 (B-PAT1’ต.ค.51) จากโจทย ขอเมอก ถานาย ข ยนอยรมดานหนงแลว ขอใดตอไปนผด 1) นาย ค ยนตดนาย ก 2) นาย ก ยนอยตรงกลาง 3) นาย จ ยนอยตรงกลาง 4) นาย ง ยนตดกบนาย ข TF-PAT123 (PAT1’ม.ค.52) ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยนเขาแถวตอน ตามลาดบ โดยมเงอนไขดงน นาย ฉ ไมยนตดกบนาย ข นาย ฉ ยนอยในลาดบกอนนาย ก นาย ก ยนตดนาย ง นาย จ ยนอยลาดบท 4 ถานาย ฉ ยนตดและอยหลงนาย ค แลว คนทมโอกาสอยในลาดบท 5 ไดแก ชายในขอใดตอไปน 1) นาย ข 2) นาย ค 3) นาย ง 4) นาย ฉ TF-PAT124 (PAT1’ม.ค.52) จากเงอนไขในโจทยขอทแลว ขอความใดตอไปนจรง 1) นาย ง ยนอยในลาดบท 2 2) นาย ค ยนอยในลาดบท 3 3) นาย ง ยนอยหลงนาย ข 4) นาย ข ยนอยหลงนาย จ



โจทยปญหาเชาวน แนวการโอเปอรเรชนระบบจานวนจรง BRAN-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ กาหนดให a * b = b a + สาหรบ a, b ∈ N พจารณาขอความตอไปน ก. (a * b) * c = a * (b * c) สาหรบ a, b, c ∈ N ข. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) สาหรบ a, b, c ∈ N ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด แนวคดเรวๆ

วธจรง สาหรบ a, b ∈ N เรามวา a * b = b a + (ก) ผด , (a * b) * c = ( b a + ) * c = c b a ++ a * (b * c) = a * c b + = c b a ++ ∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c) (ข) ผด , a * (b + c) = c b a ++ , a * b = b a + , a * c = c a + เพราะวา c b a ++ ≠ b a + + c a + ∴ a * (b + c) ≠ (a * b) + (a * c) ดงนน ทง (ก) และ (ข) ผดทงค


สตรลด จากคร Sup’k


BRAN-Pb1.20 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ, สาหรบ a, b ∈ N a , a b b , a b aΘb = a , a = b และ a∆b = a , a = b b , a < b a , a < b พจารณาขอความตอไปน สาหรบ a, b, c ∈ N ก. aΘb = bΘa ข. aΘ(bΘc) = (aΘb)Θc ค. a∆(bΘc) = (a∆b)Θ(a∆c) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถก 1 ขอ คอ ขอ ก. 2) ถก 2 ขอ คอ ขอ ก. และ ข. 3) ถก 2 ขอ คอ ขอ ก. และ ค. 4) ถกทง 3 ขอ คอ ขอ ก., ข. และ ค. KAiOU-Pb1.24 (PAT1’ม.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ กาหนดให a * b = ab สาหรบ a, b ∈ N พจารณาขอความตอไปน สาหรบ a, b, c ∈ N ก. a * b = b * a ข. (a * b) * c = a * (b * c) ค. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) ง. (a + b) * c = (a * c) + (b * c) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถก 2 ขอ คอ ข. และ ค. 2) ถก 2 ขอ คอ ค. และ ง. 3) ถก 1 ขอ คอ ค. 4) ก., ข., ค. และ ง. ผดทกขอ SheLL2.49 (PAT1’ก.ค.53) ให a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ กาหนดให a ⊗ b เปนจานวนจรงทมสมบตตอไปน ก. a ⊗ a = a + 4 ข. a ⊗ b = b ⊗ a ค. b a

b) (a a⊗

⊗ + = b b a +

คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากบเทาใด ตอบ .............................. NaDate-Pb2.49 (PAT1’ม.ค.56) สาหรบ x และ y เปนจานวนจรงบวกใดๆ กาหนดให x * y เปนจานวนจรงบวก ทมสมบตตอไปน (1) x * (xy) = (x * x)y (2) x * (1 * x) = 1 * x (3) 1 * 1 = 1 คาของ 2 * (5 * (5 * 6)) เทากบเทาใด ตอบ ..................................


สรปภาพรวม “เอกซโปเนนเชยล” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเลขยกกาลง ม.2 2. โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเปรยบเทยบความมากนอยเลขยกกาลง ม.2 3. โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเลขยกกาลงกบรด 4. โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง แบบฐานตดตวแปร 5. โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง 6. โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลงโอลมปก 7. โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการตดรด


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเลขยกกาลง ม.2

FPAT-Pb2 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา ab = 2 แลว 2b)(a

2b)(a2

2 -

+ มคาเทากบเทาใด

1) 4 2) 8 3) 64 4) 256 แนวคดเรวๆ ถา ab = 2 → วธลด ยกตวอยางไปเลย เชน a = 2 , b = 1

จะหา แลว 2b)(a

2b)(a2

2 -

+ = 21)(2

21)(22

2 -

+

= 2(1)

2(3)2

2 = 1

922

= 29-1 = 28 = 256

วธจรง จะหา 2b)(a

2b)(a2

2 -

+ = 2(a + b)2 - (a - b)2 = 2(a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2)

= 2a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2 = 24 ⋅ ab = 24 ⋅ 2 = 28 = 256 ตอบ QET-G-Pb26.1 ถา a = 1 - 2n และ x = 1 - 2-n โดยท a และ n เปนคาคงตว จงหา x 1) a 1

a 2-- 2) a 1

2 a-- 3) a 1

a- 4) 1 a

a-

QET-G-Pb23.2 จงหารปอยางงายของ 3

432

baba

−

⋅ -- ÷

5

231

baba

⋅⋅

--

1) 5a1 2) 9a

1- 3) 7b

1 4) 12b1

QET-G-Pb23.3 จงหา 1n3n

32

--+

× 1n2n

53

--- +

× 2nn1nn

2 4 2 32 2

--

--

×× × 1n

2n

52

+

+-

1) 4 2) 864 3) 870 4) ไมมขอถก

สตร 2.2 (a ⋅ b)n = an ⋅ bn

n

ba

= nn

ba

amn = a(mn)

สตร 2.3

สตร 2.1 am × an = am+n

nam

= am-n = mna1- เมอ a ≠ 0

(am)n = am⋅n = (an)m



โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเปรยบเทยบความมากนอยเลขยกกาลง ม.2 NaDate-Pb1.25 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให A = 3 57 , B = 3 75 , C = 3 75 และ D = 3 57

ขอใดตอไปนถกตอง

1) D > C > A > B 2) A > C > B > D 3) A > B > D > C 4) C > A > D > B VetaNaDate-Pb1.25 (โจทยตางประเทศ) ให A = 3 10 , B = 5 , C = 3 28 ขอใดตอไปนถกตอง 1) A < B < C 2) A < C < B 3) B < A < C 4) B < C < A 5) C < A < B

สตร I เมอ 1 < ฐาน เจอ 3.5x < 3.5y ∴ x < y

สตร II เมอ 0 < ฐาน < 1 เจอ 0.21x < 0.21y ∴ x > y

สตร III เมอ 1 < ฐาน เจอ log7.8 x < log7.8 y ∴ x < y

สตร IV เมอ 0 < ฐาน < 1 เจอ log0.42 x < og0.42 y ∴ x > y


KAiOU-Pb 1.22 (PAT1’ม.ค.53) ให A = 7(77), B = 777, C = 777 และ D = (777)7 ขอใดตอไปนถกตอง 1) B < A < C < D 2) B < C < A < D 3) C < B < D < A 4) C < A < D < B SheLL1.24 (PAT1’ก.ค.53) กาหนด a = 248, b = 336, c = 524 ขอใดตอไปนถกตอง 1) b

1 > c1 > a

1

2) a1 > b

1 > c1

3) b

1 > a1 > c

1

4) a1 > c

1 > b1

**DiAMK-Pb1.25 (ดกแนว PAT 1) ให a = (10100)10 , b = 10(1010) , c = 1000000! , d = (100!)10 ขอใดตอไปนถกตอง 1) a < c < d < b 2) a < d < c < b 3) a < d < b < c 4) a < b < c < d SheLL1.10 (PAT1’ก.ค.53) พจารณาขอความตอไปน

ก. 23

2 < 34

3 ข. log2

83 < log3

21

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด DiAMK-Pb1.2 (ดกแนว PAT 1) จงพจารณาขอความตอไปน ก. π log

12

+ π log15

> 2 ข. π log12

+ 2 log1π

> 2

ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด KAiOU-Pb1.11 (PAT1’ม.ค.53) เซตคาตอบของอสมการ 72x + 72 < 23x+3 + 32x+2 เปนสบเซตของชวงใด 1) (log8 7, log9 8) 2) (log9 8, log8 9) 3) (log8 9, log7 8) 4) (log9 10, log8 9)

คณตศาสตร (100) ________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26

โจทยเอกซโปเนนเชยล : แนวเลขยกกาลงกบรด

พสจน ii) m n a = m1

n1)(a = m

1n1

a⋅

= mn1 a ⋅ = mn a

iii) n ma = nm

a = knkm

a ⋅⋅

= kn km a⋅ ⋅

พสจน i) n a n b = n1

a ⋅ n1

b = n1

b)(a ⋅ = n ba ⋅

ii) n b

n a = n1n1

b

a = n1

ba

= n

ba

ตวอยางท 5.2.1 จงหารปอยางงายของ

i) aa = 21

aa ⋅ = 211 aa ⋅ = 2

11a+

= 23

a = 21

23)(a = 2

123

a⋅

= 43

a

ii) aaa = 43

aa ⋅ = 431 aa ⋅ = 4

31a+

= 47

a = 21

47)(a = 2

147

a⋅

= 87

a

iii) aaaa = 87

aa ⋅ = 871 aa ⋅ = 8

71a+

= 815

a = 21

815

)(a = 21

815

a⋅

= 1615

a

ตวอยางท 5.2.2 จงหารปอยางงายของ 3 54 6aa ⋅ ตอบ......................... แนวคด

3 54 6aa ⋅ =

3 514 (6a)a ⋅ =

351

514 a6a ⋅⋅ =

35145

1aa6 ⋅⋅ =

35145

1a6

+⋅

= 3

521

51

66 ⋅ = 31

521

51

)a(6 ⋅ = 31

51}{6 ⋅ 3

1521

][6 = 31

51

6⋅

⋅ 31

521

a⋅

= 151

6 ⋅ 1521

a = 15 16 ⋅ 15 21a

สตร 5.1

i) nm

a = ( n a )m = n ma

ii) m n a = mn a

iii) n ma = nk mka

สตร 5.2 i) n a n b = n ab

ii) n b

n a = nba

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 ________________________________________คณตศาสตร (101)

โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง แบบฐานตดตวแปร BRAN-Pb2.29 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง และให C = {x ∈ R | (3x2 - 11x + 7)(3x2+4x+1) = 1} จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ตอบ ................. วธลด วธจรง พจารณาสมการ (3x2 - 11x + 7)(3x2 +4x+1) = 1 ออกเปน 2 กรณ กรณท 1 เมอ 3x2 - 11x + 7 0 จะได log(3x2 - 11x + 7)(3x2 +4x+1) = 0 (3x2 + 4x + 1)log(3x2 - 11x + 7) = 0 ฉะนน 3x2 + 4x + 1 = 0 หรอ log(3x2 - 11x + 7) = 0 (3x + 1)(x + 1) = 0 หรอ 3x2 - 11x + 7 = 1 x = - 3

1 , -1 หรอ (3x - 2)(x - 3) = 0

x = - 31 , -1 หรอ x = 3

2 , 3 กรณท 2 เมอ 3x2 - 11x + 7 < 0 เปนไปไดทางเดยว คอ 3x2 - 11x + 7 = -1 และ 3x2 + 4x + 1 เปนเลขค 3x2 - 11x + 8 = 0 (3x - 8)(x - 1) = 0

x = 38 , -1

ถา x = 38

จะได 3x2 + 4x + 1 = 3⋅ 9

64 + 4⋅ 38 + 1 = 33

ถา x = 1 จะได 3x2 + 4x + 1 = 3 + 4 + 1 = 8 ในกรณน จงได x = 1 เทานน

รวมทง 2 กรณ จะได C =

3 1,,3

2 ,31 1, --

∴ จานวนสมาชกของเซต C มคาเทากบ 5



Sup’k-Pb2.29.1 (ดกแนว PAT1) ให R แทนเซตของจานวนจรง และให C = {x ∈ R | (x – 3)x2 – 8x +15 = 1} จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ตอบ ............................... Sup’k-Pb2.29.2 (ดกแนว PAT1) ให R แทนเซตของจานวนจรง

และให C =

= ++

∈ xlog 535xlog

10 x R x

จงหา n(C) ตอบ ..............................

FPAT-Pb14 (PAT1’ก.ค.52) ให x และ y เปนจานวนจรงท x, y > 0 ซงสอดคลองกบ xy = yx และ y = 5x

จงหาวาคาของ x อยในชวงใด

1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [3, 4) 4) [5, 6)


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง

สตร 5.1 ax = ay → x = y เมอ a ≠ -1, 0, 1 สตร 5.2 ax = bx → x = 0 เมอ a, b ≠ -1, 0, 1

พสจน สตร 5.2 จาก ax = bx → xx

ba = 1 →

xba

= 1 → ∴ x = 0จบ

Happy–Pb 2.1 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดให A เปนเซตของจานวนจรง x [0, 2 ) ทงหมดทสอดคลองกบสมการ

21+3sin x - 5 ⋅ 22sin x + 22+sin x = 1 จานวนสมาชกของเซต A เทากบเทาใด ตอบ ................................... แนวคด 21+3sin x - 5 ⋅ 22sin x + 22+sin x = 1 2(2sin x)3 - 5(2sin x)2 + 4(2sin x) = 1 2(2sin x)3 - 5(2sin x)2 + 4(2sin x) - 1 = 0 (2sin x - 1)(2(2sin x)2 - 3(2sin x) + 1) = 0 (2sin x - 1)(2sin x - 1)(2(2sin x) - 1) = 0

2 sin x = 1, 21

ถา 2 sin x = 1 จะได sin x = 0 แต x [0, 2 ) ดงนน x = 0,

ถา 2 sin x = 21 จะได sin x = -1 แต x [0, 2 ) ดงนน x = 2

3π

เซตคาตอบของสมการ A =

ππ 2

3 0, ,

ดงนน จานวนสมาชกของเซต A เทากบ 3 ตว ตอบ

*NichTor–Pb2.1 (ดกแนว PAT1) ถา θ เปนมมซง 180° < θ < 270° ทสอดคลองกบ

3(2sinθ)θ

2cos278 = 2(3sinθ)

แลว sin 3θ เทากบขอใดตอไปน ตอบ .............................. วธทา



NichTor–Pb2.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) ถา θ เปนมมซง 180° < θ < 270°

ทสอดคลองกบ 3(2sinθ)θ

2cos94 = 2(3sinθ)

แลว 3 tan2 θ - 2 sin 3θ เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 3 3) 7 4) 11 NichTor–Pb2.2 ตอบ 2) 3

3(2sinθ)θ

2cos94 = 2(3sinθ)

θ

ins32 θ

22cos32 = 3

2

θθ +

22cos sin32 = 3

2

θθ +

22cos sin32

=

132

จะได sin θ + 2 cos2 θ = 1 sin θ + 2(1 - sin2 θ) = 1 -2 sin2 θ + sin θ + 1 = 0 2 sin2 θ - sin θ - 1 = 0 (sin θ - 1)(2 sin θ + 1) = 0 sin θ = 1, - 2

1

เพราะวา 180° < θ < 270° ฉะนน sin θ = - 21 ทาให θ = 210°

∴ 3 tan2 θ - 2 sin 3θ = 3 tan2 210° - 2 sin 630°

= 3 tan2 67π - 2 ⋅ sin 2

7π

= 3 tan2

+ ππ 6

- 2 ⋅ sin 2

7π

ยบมมดวยตรโกณในวงกลม = 3 tan2

π6 - 2 ⋅ sin 2

7π

= 32

31

- 2(-1)

= 1 + 2 = 3 ตอบ


FPAT-Pb1 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 6a+b = 36 และ 5a+2b = 125 แลวคาของ a มคาเทาใด 1) 1 2) 1.5 3) 2 4) 2.5 FPAT-Pb3 (PAT1’ม.ค.52) ถา 4x–y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากบขอใดตอไปน 1) -2 2) –1 3) 1 4) 2 SheLL1.11 (PAT1’ก.ค.53) ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ 32x+2 – 28(3x) + 3 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ log x + log (x – 1) = log (x + 3) แลวผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AU B เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Happy–Pb 2.1.2 (สามญ’57) จงหาคาตอบของสมการ 2x ⋅ 2x+1 ⋅ 2x+2 = 4x + 4x+1 + 4x+2 ตอบ .............................. AVATAR-Pb5.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท) กาหนด 22x2 + 2x2+2x+2 – 24x+5 = 0 จงหาวา x2 - 2x เทากบเทาใด ตอบ .............................. KMK-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.52) ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยในชวงใดตอไปน 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)

*KAiOU-Pb1.12 (PAT1’ม.ค.53) ถาสมการ x

41

+

1x21 −

+ a = 0 มคาตอบเปนจานวนจรงบวก แลว

คาของ a ทเปนไปไดอยในชวงใดตอไปน 1) (-∞, -3) 2) (-3, 0) 3) (0, 1) 4) (1, 3) โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลงโอลมปก

*FPAT-Pb4 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดสมการ x

254

+

x259

= 1 จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา a เปนคาตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมคาตอบ แลวคาตอบจะมเพยงคาตอบเดยว ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด *NaDate-Pb2.27 (PAT1’ม.ค.56) ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบสมการ 5(x-2A)2yA = (16)64 เมอ A = xlog

ylog แลวคาของ x + y เทากบเทาใด ตอบ ......................................


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการตดรด *NaDate-Pb 2.30 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ

)14xx(1 25 --+ +

+

+

14xx2x4x5

2

2

5 --

-

= 126 ผลบวกของสมาชกในเซต A ทงหมดเทากบเทาใด ตอบ ...................................... วธลด (ฟงคร Sup’k สอนสดในหอประชม Brand’s นะครบ) วธจรง ขนท 1

กอนอนสงเกตวา 1 4x x 2

x 4x 52

2

---

+

+ = )1 4x x )(21 4x x (2

)1 4x x 2)(x 4x (522

22

---------

+

+

=

)1 4x (x 4)1 4x x 2)(x 4x (5

222

-------+

= 2 - 1 4x x2 --

Sup’k ระวง




ขนท 2 จากนนเพอความสะดวกให y = 1 4x x2 -- (ฉะนน y ≥ 0)

ขนท 3 แกสมการ

+ 14xx1 2 5

-- +

+

+

14xx2x4x5

2

2

5 --

-

= 126

+ 14xx1 2 5

-- +

14xx2 2

5---

= 126

51+y + 52-y = 126 5y ⋅ (51+y + 52-y) = 126 ⋅ 5y 5(52y) + 25 = 126 ⋅ 5y 5(52y) - 126 ⋅ 5y + 25 = 0 (5 ⋅ 5y - 1)(5y - 25) = 0 5y = 5

1 , 25

5y = 5-1, 52 y = -1, 2 แต y ≥ 0 จงได y = 2 เทานน

ขนท 4 ทาให y = 1 4x x2 -- = 2 ยกกาลงสองทงสองขาง

x2 - 4x - 1 = 4 x2 - 4x - 5 = 0 (x - 5)(x + 1) = 0 x = 5, -1 จะได เซตคาตอบ A = {-1, 5} ∴ ผลบวกของสมาชกใน A ทงหมด = -1 + 5 = 4 ตอบ


BRAN-Pb2.27 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา A = {x ∈ R | 2x2 – 2x + 9 – 2 3 x x2 +- = 15} แลวผลบวกของกาลงสองของสมาชกในเซต A เทากบเทาใด ตอบ .............................. KAiOU-Pb2.2 (PAT1’ม.ค.53) ถา S = {x ∈ R | 1 3x + + 1 x - = 1 7x + } เมอ R แทนเซตของจานวนจรง แลวผลบวกของสมาชกใน S เทากบเทาใด ตอบ .............................. SheLL2.27 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา S = {x ∈ R | 1 x + + 1 3x - = 1 7x - } และ T = {y ∈ R | y = 3x + 1, x ∈ S} แลวผลบวกของสมาชกใน T เทากบเทาใด ตอบ .............................. Happy–Pb2.2 (PAT1’ม.ค.57) ถา x เปนจานวนจรงทมากทสดทเปนคาตอบของสมการ

2x 3x 14 -+ - 2x 5x 9 -+ = 1

แลวคาของ 1221

2x 3x9x 12x 4--

---

- + เทากบเทาใด

ตอบ ..............................


สรปภาพรวม “log ลอการทม” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน log 2. โจทยลอการทม แนวแกสมการ log 3. โจทยลอการทม แนวแกอสมการ log


สตรของ log

สตร 10.1! loga x + loga y = loga x ⋅ y สตร 10.2! logz x - loga y = loga y

x

สตร 10.5! logan xm = nm

⋅ loga x

สตร 10.6! loga x1 = -loga x

สตร 10.7! loga xn = loga1/n x

สตร 10.8! logb a = b loga og

ccl

สตร 10.9! loga x = a log

1x

สตร 10.10! xblogablog a x = เอกซกาลงลอก a นนยากอย

ฝากหวใจใหกนเอาไวกอน เปลยนสตรโดยสลบ x และ a

ทเราจะตองหางเหนไป

สตร 10.12! log 2 = 1 – log 5 อาจจะมบางคราว เราพบใครใหม

สตร 10.13! และ log 5 ก = 1 – log 2

เกดหวนไหว ไปตามประสาคนไกล

ตวอยาง 10.1 จา log 2 ≈ 0.30103 log 4 = log 22 = 2 ⋅ (log 2) ≈ 2 ⋅ (0.30103) = 0.60206 log 5 = 1 – log 2 ≈ 1 – 0.30103 = 0.69897 log 8 = log 23 = 3 ⋅ (log 2) ≈ 3 ⋅ (0.30103) = 0.90309

จา log 1 = 0 จา log 7 ≈ 0.84509 log 10 = log10 10 = 1

ตวอยาง 10.3 จา log 3 ≈ 0.4771 log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 ≈ 0.30103 + 0.4771 = 0.77813 log 9 = log 32 = 2 ⋅ (log 3) ≈ 2 ⋅ (0.4771) = 0.9542

ระวง 10.1! log (x + y) ≠ log x + log y ระวง 10.2! log (x - y) ≠ log x - log y ระวง 10.3! (x ± y)n ≠ xn ± yn

สตร 10.3! loga a = 1 สตร 10.4! loga 1 = 0

log10 x = log x logex = x nl

e ≈ 2.7182

ตวอยาง 10.5 จงหาคาของ log3 15 + log3 12 + log3 5 – log3 9 วธทา = log3

××

95 2 15 = log3 100 = log3 102 = 2 ⋅ (log3 10)

= 2 ⋅

3 log110

= 2 ⋅

3log 1 ≈ 2 ⋅

0.4771

1

สตร 10.11! blogb a = a ตอดวยสตร ฐาน log และ expo

เผอวาเราลาบากอยหนใด เหมอนกนใหเอาหลง log มาตอบ

หวใจกยงมคนดแล

loga x เงอนไข : หลง log > 0 ฐาน log > 0 และ ≠ 1


โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน BRAN-Pb2.35 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a, b, c และ d เปนจานวนจรงทมากกวา 1 ถา (logb a)(logd c) = 1 แลวจงหาคาของ a(logb c-1)b(logc d-1)c(logd a-1)d(loga b-1) ตอบ ............ วธเรวๆ ถา (logb a)(logd c) = 1 จะหาคาของ a(logb c-1)b(logc d-1)c(logd a-1)d(loga b-1) วธจรง BRAN-Pb2.35 ตอบ 1 เพราะวา (logb a)(logd c) = 1 blog

a log ⋅ dlog

c log = 1

จะได (logd a)(logb c) = 1

ฉะนน logb c = a log1d

= loga d , logc d = c log1d

= logb a

logd a = c log1b

= logc b , loga b = a log1b

= logd c

∴ a(logb c-1)b(logc d-1)c(logd a-1)d(loga b-1) = abcdd c b a b aloga dlogd clogc blog ⋅⋅⋅

= abcdd c b a c dlogb cloga blogd alog ⋅⋅⋅

= abcdc b a d ⋅⋅⋅ = 1

สตร 10.8! logb a = blog a log

สตร 10.9! loga x = a log1x

สตร 10.11! blogb a = a ตอดวยสตร ฐาน log และ expo

เผอวาเราลาบากอยหนใด เหมอนกนใหเอา...............................

หวใจกยงมคนดแล

สตร 10.3! logm m = 1


โจทยเพมเตมลอการทม แนวสตรพนฐาน SheLL1.14 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบสมการ 35x ⋅ 9x2 = 27

และ y = 7)5)(log3)(log(log7)5)(log3)(log(log

864642 จงหาคาของ xy เทากบขอใด

1) - 81

2) 81

3) -27 4) 27 FPAT-Pb9 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรงทมากกวา 1 โดยท loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 จงหาวาคาของ logc d เทากบเทาใด 1) 75 2) 120 3) 150 4) 180 FPAT-Pb8 (B-PAT1’ต.ค.51) ให m และ n เปนจานวนเตมบวก ถา m ⋅ log50 5 + n ⋅ log50 2 = 1 แลว m + n เทากบขอใดตอไปน 1) 2 2) 3 3) 4 4) 6 KAiOU-Pb1.10 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให x และ y เปนจานวนจรงบวก และ y ≠ 1 ถา logy 2x = a และ 2y = b แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 21 (log2 b)a

2) 2(log2 b)a 3) 2

a (log2 b) 4) 2a(log2 b) FPAT-Pb7 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 4(log a)2 + 9(log b)2 = 12(log a)(log b) แลวขอใดตอไปนถก 1) b2 = a 2) a2 = b 3) a3 = b2 4) a2 = b3


โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน VS ผลบวกราก, ผลคณราก BRAN-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.53) ถา a, b และ c เปนรากของสมการ x3 + kx2 - 18x + 2 = 0

แลวจงหา log27

++ c1 b

1 a1 เมอ k เปนจานวนจรง

1) 91 2) 3

1 3) 32 4) 1

แนวคดเรว 1 ⋅ x3 + kx2 - 18x + 2 = 0 ผลบวกราก = a + b + c = .................... a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a = .................... ผลคณราก = a ⋅ b ⋅ c = .................... แนวคดท 2 ขนท 1 เนองจาก x = a, b, c เปนราก(เปนคาตอบ)ของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 จงไดวา x3 + kx2 - 18x + 2 = (x - a)(x - b)(x - c) x3 + kx2 - 18x + 2 = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x - abc เทยบสมประสทธ ฉะนน ab + bc + ca = -18 และ abc = -2 ขนท 2 จะหา log27

++ c1 b

1 a1 = หา ค.ร.น. เพอรวมเศษสวน = log27

++ ⋅⋅⋅ ab

abc1 acac

b1 bc

bca1

= log27

++

abcab ac bc = log27

218-- = log27 9

= log33 32 = 32 ⋅ (log3 3) = 3

2 ⋅ (1) = 32 ตอบ

เทคนคลนลา กบคร Sup’k

ผลคณราก คอ..................... ผลบวกราก คอ......................... จบมอไวแลวไปดวยกน เหมอนวาไมมวนจะพรากไป

แลวไลเครองหมาย + , - , - , ... .............................. ทาอะไรไดดงฝนใฝ ถาเรารวมใจ

แตขอให................. co-ef หนาสด ตองเปน ....... จดหมายทฝนกนไว กคงไมเกนมอเรา


โจทยลอการทม แนวแกสมการ log Happy–Pb 3.1 (PAT1’เม.ย.57) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ log2(x + 7)2 + 4log4(x - 3) = 3log8(64x2 - 256x + 256)

จงหาผลบวกของสมาชกทกตวในเซต A ตอบ 0005.00 แนวคด log2(x + 7)2 + 4log4(x - 3) = 3log8(64x2 - 256x + 256) log2(x + 7)2 + 4

3) (xlog21

2 -

= 3

2

2 16) (8xlog31 -

log2(x + 7)2 + 2log2(x - 3) = log2(8x + 16)2 log2(x + 7)2 + log2(x - 3)2 = log2(8x + 16)2 log2[(x + 7)(x - 3)]2 = log2(8x - 16)2 ฉะนน [(x + 7)(x - 3)]2 = (8x - 16)2 (x2 + 4x - 21)2 - (8x - 16)2 = 0 จะได (x2 - 4x - 5)(x2 + 12x - 37) = 0 [a2 - b2 = (a - b)(a + b)] (x + 1)(x - 5)(x2 + 12x - 37) = 0 ∴ (x + 1) = 0, (x - 5) = 0, (x2 + 12x - 37) = 0

∴ x = -1 , x = 5 , x = 2292 12 ±-

ตรวจคาตอบเงอนไขของ log จะได ∴ x = 5 จะไดเซตคาตอบของสมการ A = {5} ดงนน ผลบวกของสมาชกทกตวใน A เทากบ 5

สตร I เจอ logm ♥ = logm → ....................

สตร II เจอ log5 ♥ = 7 → ....................

ขอควรระวง จากคร Sup’k


BRAN-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.53) เซตคาตอบของสมการ x log2

3 – log27 x3 = 6 ตรงกบเซตคาตอบของสมการในขอใดตอไปน

1) 41log

31log

21log 3 2 29 244x 9x

1+-

= 0

2) 2 log2 (x + 1) - log2 (x2 - 14x + 41) = 1

3) 5) 8x x321( ++ - + 5) 8x x3

22( --− = 28 4) log3x 3 + log27 3x + 3

4 = 0 ตอบ ขอ 1. แนวคด

เนองจาก log27 x3 = 27 logx log

3

33

= 3

x 3log3 = log3 x

สมการ x log23 – log27 x3 = 6 ทตองการแก

จงเปลยนรปเปน (log3 x)2 - log3 x = 6 (log3 x)2 - log3 x - 6 = 0 (log3 x -3)(log3 x + 2) = 0 log3 x = 3, -2 x = 33, 3-2 → x = 27, 9

1

∴ เซตคาตอบ คอ

27 ,91 , ตอไปดวาเซตคาตอบนตรงกบเซตคาตอบในตวเลอกใด

(1)

41log

31log

21log 3 2 29 244x 9x

1+-

= 0

31log

21log 3 2 29 244x 9x

1+-

= 1

21log 3 2 29 244x 9x

1+- = 3

1

3 2 29 244x 9x1

+- = 31

21

29 244x 9x1

2+-

= 2

1

9x2 - 244x + 27 = 0 (9x - 1)(x - 27) = 0 → x =

91 , 27

เซตคาตอบของตวเลอก 1. คอ

27 ,91 ตวเลอก 1. จงเปนคาตอบ

เพอประโยชนของนองๆ จะหาเซตคาตอบของตวเลอกอนๆ ทเหลอดวย


(2) 2 log2 (x + 1) - log2 (x2 - 14x + 41) = 1 (เงอนไข : หลง log > 0 → ∴ x -1) log2 (x + 1)2 = log2 2 + log2 (x2 - 14x + 41) log2 (x2 + 2x + 1) = log2 2(x2 - 14x + 41) x2 + 2x + 1 = 2(x2 - 14x + 41) x2 - 30x + 81 = 0 (x - 27)(x - 3) = 0 → x = 3, 27 เซตคาตอบของตวเลอก 2. คอ {3, 27}

(3)

+ 58xx1

32 --

+

− 58xx2

32 --

= 28

เพอความสะดวก ให y = 5 8x x2 -- ฉะนน y ≥ 0 และไดวา 31+y + 32-y = 28 3 ⋅32y + 9 = 28 ⋅3y

3 ⋅32y - 28 ⋅3y + 9 = 0 (3 ⋅32y - 1)(3y - 9) = 0 3y = 3

1 , 9 → y = -1, 2

จะได y = 2 เทานน ⇒ 5 8x x2 -- = 2 x2 - 8x - 5 = 4 x2 - 8x - 9 = 0 (x - 9)(x + 1) = 0 → x = 9, -1 เซตคาตอบของตวเลอก 3. คอ {-1, 9} (4) log3x 3 + log27 3x + 3

4 = 0

3x log3 log

33

+ 27 log

3x log33

+

34 = 0

3x log13

+ 33x log3

+

34 = 0

(log3 3x)2 + 4(log3 3x) + 3 = 0 (log3 3x + 3)(log3 3x + 1) = 0 log3 3x = -3, -1 3x = 27

1 , 31

⇒ x = 81

1 , 91

เซตคาตอบของตวเลอก 4. คอ

91 ,81

1


FPAT-Pb11 (PAT1’ก.ค.52) เซตคาตอบของสมการ log 2 (4 - x) = log2 (9 - 4x) + 1 เปนสบเซตของชวงใด

1) [-9, -7) 2) [-7, -2) 3) [-2, 2) 4) [2, 7) NaDate-Pb2.29 (PAT1’ม.ค.56) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา A = {x ∈ R | 3log (x - 1) - 3 3 log (x - 1) = 1}

B = {x ∈ R | 1 x + + 1 x - = 2} แลวสามเทาของผลคณของสมาชกในเซต AUB ทงหมดเทากบเทาใด ตอบ........................... KMK-Pb2.10 (PAT1’ต.ค.52) รากทมคานอยทสดของสมการ 2log(x–2) ⋅ 2log(x–3) = 2log 2 มคาเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb12 (PAT1’ม.ค.52) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ log3 x = 1 + logx 9 อยในชวงใด 1) [0, 4) 2) [4, 8) 3) [8, 12) 4) [12, 16) KMK-Pb2.9 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 เทากบเทาใด ตอบ........................... Happy–Pb 3.2 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ log3 (32x2+2x + 9) = x2 + x + 3log

1

และให B = {x2 | x ∈ A} ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B เทากบเทาใด ตอบ........................... Happy–Pb 3.3 (PAT1’เม.ย.57) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ log6(3 ⋅ 4x + 2 ⋅ 9x) = x + log6 5

และ B เปนเซตคาตอบของสมการ x + 2x 1 - = 1 + 2x 2x 1 - จงหาจานวนสมาชกของ AUB ตอบ...........................


โจทยเพมเตมลอการทม แนวแกอสมการ log NaDate–Pb1.12 (PAT1’ม.ค.56) ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ logx

1 x2- ≥ 1

แลว A เปนสบเซตในขอใดตอไปน 1) {x ∈ R | |x2 + 2x - 3| = 3 - 2x - x2} 2) {x ∈ R | |2x + 5| > 9} 3) {x ∈ R | 0 ≤ |x + 3| ≤ 5} 4) {x ∈ R | x3 > 3x2} วธลด (ฟงคร Sup’k สอนสดในหอประชม Brand’s นะครบ) วธจรง เงอนไข : หลง log > 0

∴ จะได 1 x2- > 0 → x - 1 > 0 → x > 1 → ∴ x ∈ (1, ∞) .....(1)

ตอไปแกอสมการ, logx

1 x2- ≥ 1

1 x2-

≥ 1 (เพราะ x > 1, ไมตองกลบทศอสมการ)

2 ≥ x(x - 1) 0 ≥ x2 - x - 2 0 ≥ (x - 2)(x + 1) ∴ -1 ≤ x ≤ 2

∴ x ∈ [-1, 2] .....(2) นา (1)I (2) ; จะไดเซตคาตอบของอสมการ คอ (1, ∞)I [-1, 2] คอ (1, 2] ∴ A = (1, 2]


ตอไปตรวจสอบตวเลอก ตวเลอก 1. |x2 + 2x - 3| = 3 - 2x - x2 จะได x2 + 2x - 3 ≤ 0 → (x + 3)(x - 1) ≤ 0 → ∴ x ∈ [-3, 1] ∴ A ⊄ [-3, 1] ตวเลอก 2. |2x + 5| > 9 จะได 2x + 5 > 9 หรอ 2x + 5 < -9 x > 2 หรอ x < -7 ∴ x ∈ (-∞, 7)U (2, ∞)

∴ A ⊄ (-∞, 7)U (2, ∞) ตวเลอก 3. 0 ≤ |x + 3| ≤ 5 จะได -5 ≤ x + 3 ≤ 5 -8 ≤ x ≤ 2 ∴ x ∈ [-8, 2] ∴ A ⊂ [-8, 2] ∴ ตอบตวเลอก 3. ตวเลอก 4. x3 > 3x2 จะได x2(x - 3) > 0 x - 3 > 0 x > 3 ∴ x ∈ (3, ∞) ∴ A ⊄ (3, ∞)


สรปภาพรวม “ตรรกศาสตร” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยตรรกศาสตร แนวลาดบการทาแบบตรง VS ลาดบการทาแบบยอนกลบ 2. โจทยตรรกศาสตร แนวสมมล VS สจนรนดร 3. โจทยตรรกศาสตร แนววลบงปรมาณตวแปรเดยว 4. โจทยตรรกศาสตร แนววลบงปรมาณสองตวแปร 5. โจทยตรรกศาสตร แนวสมเหตสมผล 6. โจทยตรรกศาสตร แนวอนๆ


ทบทวนสตรตรรกศาสตร นเสธ และ หรอ

P ∼P P Q P ∧ Q P Q P ∨ Q T ∼T ≡ F T T T ∧ T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F ∼F ≡ T T F T ∧ F ≡ F T F T ∨ F ≡ T

F T F ∧ T ≡ F F T F ∨ T ≡ T F F F ∧ F ≡ F F F F ∨ F ≡ F

ถา...แลว... ...กตอเมอ...

P Q P → Q P Q P ↔ Q T T T → T ≡ T T T T ↔ T ≡ T T F T → F ≡ F T F T ↔ F ≡ F F T F → T ≡ T F T F ↔ T ≡ F F F F → F ≡ T F F F ↔ F ≡ T

ประพจนทสมมลกน คอ ประพจนสองประพจนทมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ กรณตอกรณ สมมลใชสญลกษณ คอ ≡ เชน (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)

p q r (p ∧ q) (p ∧ q) → r (p → r) (q → r) (p → r) ∨ (q → r) T T T (T ∧ T) ≡ T T → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T T F (T ∧ T) ≡ T T → F ≡ F F F F ∨ F ≡ F T F T (T ∧ F) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T F F (T ∧ F) ≡ F F → F ≡ T F T F ∨ T ≡ T F T T (F ∧ T) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F T F (F ∧ T) ≡ F F → F ≡ T T F T ∨ F ≡ T F F T (F ∧ F) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F F F (F ∧ F) ≡ F F → F ≡ T T T T ∨ T ≡ T


โจทยตรรกศาสตร แนวพนฐาน ลาดบการทาแบบตรง Happy–Pb 4.1 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง โดยท ab 0

ให p แทนประพจน “ถา a < b แลว a1

b1 ”

q แทนประพจน “ ab = a b ” ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1. (p → q) ∨ (q∧∼p) 2. (∼q → ∼p) ∧ (∼q∨p) 3. (p∧ ∼ q) ∧ (q→p) 4. (∼p → q) → (p ∧ q)

สตร กฎการสลบท p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p กฎการเปลยนกลม (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) กฎการคณกระจาย p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) กฎเดอรมอนแกน ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q กฎนเสธ ∼(∼p) ≡ p

หลก I ลาดบการทาแบบตรง ขนท 1 ทาในวงเลบกอน ขนท 2 ทา นเสธ ขนท 3 ทา ∧ , ∨ ขนท 4 ทา → ขนท 5 ทา ↔


โจทยตรรกศาสตร แนวพนฐาน ลาดบการทาแบบยอนกลบ Happy–Pb 4.2 (PAT1’เม.ย.57) กาหนดให p, q, r, s เปนประพจน โดยท p → (q ∧ r) มคาความจรงเปนเทจ และ p ↔ (s ∨ t) มคาความจรงเปนจรง ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1. (q ∧ s) → (p ∧ q) 2. (s ∧ t) → ∼q 3. (q ∨ s) ↔ p 4. (p → r) → s

หลก II ลาดบการทาแบบยอนกลบ ขนท 1 ทา ↔ ขนท 2 ทา → ขนท 3 ทา ∧ , ∨ ขนท 4 ทา นเสธ ขนท 5 ทาในวงเลบ


โจทยตรรกศาสตร แนวสมมล VS สจนรนดร BRAN-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให A, B และ C เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสจนรนดร 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) สมมลกบประพจน (A ∧ B) → C ตอบ ขอ 3) แนวคด ชอย ขอ 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร

C]B) (A[ ∧ [(A B) (A C)]

T

F

T) (T ∧ F

(๒)

(๑)

T

F

T

T

(๒)

T F

F (๓)(๓)

(๕) (๖) (๔) (๔)(๗) (๗) (๗)

เกดขอขดแยงเพราะวาจากขนท (๗)

(T ∧ T) → F ≡ (T) → F ≡ F ซงไมตรงกบการแตกกงในขนท (๒) การเกดขอขดแยง หมายถง การจบเทจ ไมสาเรจ แสดงวา ประพจนในขอน เปนสจนรนดร

Tips สตรลด จากคร Sup’k


SheLL1.1 (PAT1’ก.ค.53) ให p, q, r และ s เปนประพจน ถาประพจน (p ∨ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนเทจ และประพจน p ↔ r มคาความจรงเปนจรง ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1) (q → p) ∧ (q → r) 2) q → [p ∨ (q ∧ ∼r)] 3) (p → s) ↔ (r ↔ q) 4) (r ↔ s) ∧ [q → (p ∧ r)] Peach–Pb2.44 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงพจารณาขอความตอไปน ก. ถา p, q, r เปนประพจน ซง p ⇒ (q ∧ r) มคาความจรงเปนจรง แลวประพจน r ⇒ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] มคาความจรงเปนจรง ข. กาหนดให เอกภพสมพทธ คอ {x|x2 ≤ 2x + 3} แลว ประพจน ∃x [3x + 6 = 33-x] มคาความจรงเปนจรง ขอใดตอไปนสรปถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด KMK-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให p, q, r เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน ก. ถา q ∧ r มคาความจรงเปนจรง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) → p] มคาความจรงเหมอนกน ข. ถา p มคาความจรงเปนเทจ แลว r และ (p → q) ∧ r มคาความจรงเหมอนกน ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด FPAT-Pb17 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให p, q, r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p → (p → (q ∨ r)) สมมลกบประพจน p → (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q → r) สมมลกบประพจน (q → p) ∨ ∼(p → ∼r) ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


FPAT-Pb18 (B-PAT1’ต.ค.51) กาหนดให P, Q, R, S เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน (i) ประพจน (∼P ∨ Q) → (R ∧ ∼S) สมมลกบ (S ∨ ∼R) → (P ∧ ∼Q) (ii) ประพจน (P ∨ R) ∧ [(P ∧ R) → (Q ∨ R ∨ ∼S)] เปนสจนรนดร ขอใดตอไปนถกตอง 1) ขอ (i) ถก และ ขอ (ii) ถก 2) ขอ (i) ถก และ ขอ (ii) ผด 3) ขอ (i) ผด และ ขอ (ii) ถก 4) ขอ (i) ผด และ ขอ (ii) ผด Peach–Pb2.43 (แนว PAT1’ต.ค.55) สาหรบประพจน p, q, r ใดๆ ขอใดตอไปนเปนสจนรนดร 1) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) 2) (p ↔ q) ↔ (∼q ↔ p) 3) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼p) ⇒ (p ⇒ q) 4) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼q) ⇒ (p ⇒ q) KAiOU-Pb1.1 (PAT1’ม.ค.53) ให p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) (p → q) ∨ p 2) (∼p ∧ q) → q 3) [(p → q) ∧ p] → q 4) (∼p → q) ↔ (∼p ∧ ∼q) Happy–Pb 4.3 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ พจารณาขอความตอไปน (ก) ถาประพจน (p ∨ q) ↔ (r ∧ s) และประพจน p มคาความจรงเปนจรง แลวสรปไดวาประพจน s มคาความจรงเปนจรง (ข) ประพจน (p ∧ q) → (r ∧ s) สมมลกบประพจน [q → (p → r)] ∧ [p → (q → s)] ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด


โจทยตรรกศาสตร แนววลบงปรมาณตวแปรเดยว BRAN-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง

และ P(x) แทน 21) (x + = x + 1 Q(x) แทน 1 x + > 2 ขอใดตอไปนมคาความจรงตรงขามกบประพจน ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] 1) ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] 2) ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] NaDate-Pb1.3 (PAT’ม.ค.56) กาหนดให P(x) แทน 2 x

2 x+- < 2

และให Q(x) แทน |2x + 1| > x - 1 เอกภพสมพทธในขอใด ททาใหขอความ ∀x[Q(x)] → ∃x[P(x)] มคาความจรงเปนเทจ 1) (-∞, -4) 2) (-5, -1) 3) (-3, 2) 4) (-1, ∞) Happy–Pb4.4 (PAT’เม.ย.57) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรงบวก พจารณาขอความตอไปน (ก) ∀x[|x2 - 5x + 4| < x2 + 6x + 5] มคาความจรงเปนจรง (ข) ∀x[|x2 - 1| ≥ 2x - 2] มคาความจรงเปนเทจ ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด


โจทยตรรกศาสตร แนววลบงปรมาณ 2 ตวแปร SheLL1.2 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดเอกภพสมพทธ คอ {–1, 0, 1} ขอใดตอไปนถกตอง

1) ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มคาความจรงเปนจรง 2) ∀x∃y[x + y ≥ 0] มคาความจรงเปนเทจ 3) ∃x∀y[x + y = 1] มคาความจรงเปนเทจ 4) ∃x∃y[x + y > 1] มคาความจรงเปนเทจ

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x∀y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∃x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∃x∀y จะ T ได


SheLL1.2 ตอบ 3. แนวคด เรามเอกภพสมพทธ คอ {-1, 0, 1} ซงจะใชพจารณาคาความจรงของแตละตวเลอก (1) ผด, เนองจาก ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มคาความจรงเปนเทจ เพราะวาม x = y = -1 ททาให (-1) + (-1) + 2 > 0 2 > 0 เปนเทจ (2) ผด, เนองจาก ∀x∃y[x + y ≥ 0] มคาความจรงเปนจรง ให x เปนสมาชกใดๆ ใน {-1, 0, 1} เลอก y = -x จะได x + y = 0 ≥ 0 ดงนน ∀x∃y[x + y ≥ 0] ≡ T (3) ถก, เนองจาก ∃x∀y[x + y = 1] มคาความจรงเปนเทจ - เมอ x = -1 จะม y = 1 ททาให (-1) + 1 = 1 ⇒ 0 = 1 (เปนเทจ) - เมอ x = 0 จะม y = 0 ททาให 0 + 0 = 1 ⇒ 0 = 1 (เปนเทจ) - เมอ x = 1 จะม y = -1 ททาให 1 + (-1) = 1 ⇒ 0 = 1 (เปนเทจ) (4) ผด, เนองจาก ∃x∃y[x + y > 1] มคาความจรงเปนจรง เพราะวาม x = y = 1


KAiOU-Pb1.2 (PAT1’ม.ค.53) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถาเอกภพสมพทธ คอ {–1, 0, 1} คาความจรงของ ∀x∃y[x2 + x = y2 + y] เปนเทจ 2) ถาเอกภพสมพทธ เปนเซตของจานวนจรง คาความจรงของ ∃x[3x = log3 x] เปนจรง 3) ถาเอกภพสมพทธ เปนเซตของจานวนจรง นเสธของขอความ ∀x∃y[(x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ (xy < 0)] คอ ∃x∀y[(xy < 0) → (x ≤ 0 ∨ y > 0)] 4) ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนเตม นเสธของขอความ ∀x[(x > 0) → (x3 ≥ x2)] คอ ∃x[(x ≤ 0) ∧ (x3 < x)] FPAT-Pb21 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดเอกภพสมพทธ U = {n ∈ I+ | n ≤ 10} ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 2) ∀x∀y[(x2 = y2) → (x = y)] 3) ∀x∃y[(x ≠ 1) → (x > y2)] 4) ∃x∃y[(x – y)2 ≥ y2 + 9xy] KMK-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ {–2, –1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ –(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x – y = 0] 4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|] FPAT-Pb22 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนถกตอง 1) ∀x∀y[ xI y ≠ ∅ ] 2) ∀x∀y[ xU y = U ] 3) ∀x∃y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 4) ∃x∀y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ]


โจทยตรรกศาสตร แนวสมเหตสมผล FPAT-Pb23 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P, Q, R เปนประพจน พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต 1. P → (∼Q ∨ R) 2. Q ∨ R 3. ∼R ผล S S เปนประพจนในขอใด จงจะทาใหการอางเหตผลขางตน สมเหตสมผล 1) ∼P 2) ∼Q 3) P ∨ ∼Q 4) P ∨ R วธจรง ชอย ขอ 1) ;

(๗)

เกดขอขดแยงเพราะวา

(๑)FF(๒)

T (๓)T(๒)

T(๒)

F (๕) F(๔)T(๖)T(๒)

R)(Q R)Q~ (P )([ ∨∧∨ P][~]R)(~ ∧

)( F)T(~ T ∨

จากขนท (๗) (T → (∼T ∨ F)) ≡ (T → ( F ∨ F)) ≡ (T → (F)) ≡ F ซงไมตรงกบการแตกกงในขนท (๒) การเกดขอขดแยง หมายถง การจบเทจ ไมสาเรจ แสดงวา ประพจนในขอน เปนสจนรนดร

∴ โจทยขอน เปน ขอความทสมเหตสมผล ดวย ตอบ

ทฤษฎ สมมต ถามเหต : S1, S2, S3, ..., Sn ผล : P ขอความดงกลาวจะสมเหตสมผล กตอเมอ [S1 ∧ S2 ∧ S3 ∧ ... ∧ Sn] → P เปนสจนรนดร พดงายๆวา ตรวจสอบสมเหตสมผล ใหเอา “(เหต ทงหมด มา ∧ กน)→ ผล” มาเชควา เปนสจนรนดร


สรปภาพรวม “ระบบจานวนจรง” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยระบบจานวนจรง แนวทฤษฎบทเศษเหลอ 2. โจทยระบบจานวนจรง แนวแกสมการพหนาม 3. โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ 4. โจทยระบบจานวนจรง แนวแกสมการคาสมบรณ 5. โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ


โจทยระบบจานวนจรง แนวทฤษฎบทเศษเหลอ FPAT-Pb32 (B-PAT1’ต.ค.51) ให c เปนคาคงตว และ P(x) = x3 - 3x2 + 2

c x + 5

ถา P(x) หารดวย x - 2 เหลอเศษเทากบ 7 แลว P

+ 2 3c เทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 33 3) 35 4) 37 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกสมการพหนาม FPAT-Pb34 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A = {x | x ∈ I และ x3 – x = 0} เซตในขอใดตอไปนเทากบ A 1) {x | x ∈ R และ x2 - x4 = 0} 2) {x | x ∈ R และ x3 + x = -2x} 3) {x | x ∈ I และ x2 - 1 = 0} 4) {x | x ∈ I และ x2 + 1 = -2x} FPAT-Pb35 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให S = {x | |x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนเทากบเซต S 1) {x | x3 = 1} 2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = -1} 4) {x | x4 = x} FPAT-Pb36 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x4 - 5 2 x2 + 8 = 0 ผลบวกของสมาชกทเปนจานวนจรงบวกของ A เทากบขอใดตอไปน 1) 18 2) 24 3) 4 242 4) 4 162 FPAT-Pb37 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให S เปนเซตคาตอบของสมการ 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0 ผลบวกของสมาชกทงหมดของ S เทากบขอใดตอไปน 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 4) 3.5 KMK-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.52) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + x2 - 27x - 27 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + (1 - 3 )x2 - (36 + 3 )x - 36 = 0 AIB เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน 1) [-3 5 , -0.9] 2) [-1.1, 0] 3) [0, 3 5 ] 4) [1, 5 3 ]


โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ FPAT-Pb39 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = {x ∈ R | (x2 - 1)(x2 - 3) ≤ 15} ม a เปนจานวนทมคานอยทสดใน S และม b เปนจานวนทมคามากทสดใน S แลว (b - a)2 มคาเทากบเทาใด 1) 24 2) 12 3) 6 4) 3 Happy–Pb 5.1 (PAT1’ม.ค.57) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา

A =

+++ >∈ 2 x3 4 3x x x | R x 22 -

แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (-∞, 2)U (3, 4) 2. (-∞, 0)U (3, ∞) 3. (-∞, -1)U (4, ∞) 4. (-1, ∞) วธลด วธจรง

ให y = 4 3x x2 +- จะได y ≥ 0 และ x2 - 3x - 2 = y2 -6

x2 + 4 3x x2 +- 3x + 2

(x2 - 3x - 2) + 4 3x x2 +- 0 (y2 - 6) + y 0 (y + 3)(y - 2) 0 เพราะวา y ≥ 0 → y + 3 0 จงกลา นา (y + 3) ไปหาทงสองขาง y - 2 > 0 y > 2 y2 > 4 x2 - 3x + 4 > 4 x2 - 3x > 0 x(x - 3) > 0 จะได (x < 0 หรอ x > 3) ทาให A = (-∞, 0)U (3, ∞) ดงนน A = ⊂ (-∞, 0)U (3, ∞)


โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ ตดเศษสวน ดานใดดานหนง เทากบ 0

FPAT-Pb41 (B-PAT1’ต.ค.51) ให X =

++ ≤ 0 1) 4)(2x (x

3) 2)(x (x | x -- และ Y = {x | x ∈ X และ x < 0}

ถา p เปนสมาชกทมคามากทสดของ X และ q เปนสมาชกทมคามากทสดของ Y แลว |pq| เทากบขอใดตอไปน 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12

FPAT-Pb43 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ 6 5x x36 13x x

224

++

+- ≥ 0

ถา a เปนสมาชกทมคานอยทสดในเซต AI (2, ∞) และ b เปนจานวนจรงลบทมคามากทสด โดยท b ∉ A แลว a2 - b2 มคาเทากบเทาใด 1) -5 2) –9 3) 5 4) 9 FPAT-Pb42 (PAT1’ก.ค.52) ให X คอ เซตคาตอบของอสมการ x 2

1) 1)(x (2x-

-+ ≥ 0

Y คอ เซตคาตอบของอสมการ 2x2 - 7x + 3 < 0 คาของ 6a - b มคาเทาใด เมอ XIY = [a, b) 1) 4 2) 6 3) 8 4) 10 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ ตดเศษสวน ดานใดดานหนง ไมเทากบ 0

KMK-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให S =

+≥1 x2 x

2 3x xx | x 22 ---

ชวงในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ S 1) (–∞, –3) 2) (–1, 0.5) 3) (–0.5, 2) 4) (1, ∞)


โจทยระบบจานวนจรง แนวแกสมการคาสมบรณ Happy–Pb 5.2 (PAT1’เม.ย.57) ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ |2 - 2x| + |x + 2| = 4 - x แลว A เปนสบเซตของชวงใดตอไปน 1. (-4, 0) 2. (-1, 1) 3. (0, 4) 4. (-3, 2) วธลด 1 วธลด 2 วธจรง |2 - 2x| + |x + 2| = 4 - x 2|x - 1| + |x + 2| = 4 - x แยกกรณคด กรณท 1 x < -2 2(1 - x) + (-x - 2) = 4 - x -3x = 4 - x -2x = 4 x = -2 ใชเปนคาตอบไมได ∴ เซตคาตอบกรณท 1 = ∅


กรณท 2 -2 ≤ x < 1 2(1 - x) + (x + 2) = 4 - x 4 - x = 4 - x เปนจรงเสมอ ∴ x ∈ R ∴ เซตคาตอบกรณท 2 = x ∈ R ∧ -2 ≤ x < 1 = [-2, 1) กรณท 3 x ≥ 1 2(x - 1) + (x + 2) = 4 - x 3x = 4 - x 4x = 4 ∴ เซตคาตอบกรณท 3 = {1} ทาให เซตคาตอบของสมการ คอ เซตคาตอบกรณท 1 U กรณท 2 U กรณท 3 คอ ∅ U [-2, 1) U {1} คอ [-2, 1] ∴ A = [-2, 1) U {1} = [-2, 1] ∴ A = ⊂ (-3, 2) ตอบ ขอ 4. Happy–Pb 5.3 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก และ a < b เซตคาตอบของสมการ |x - a| - |x - b| = b - a เทากบขอใดตอไปน 1. {b} 2. (a, b] 3. [b, ∞) 4.

+ ∞ , 2

b a


โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ แบบมแอบขางเดยวอกขางเปนคาคงท

KAiOU-Pb1.4 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให A =

+ ≤∈ 4 9 6x x | R x 2 - เมอ R คอ เซตของจานวนจรง

ขอใดตอไปนถกตอง 1) A′ = {x ∈ R | |3 - x| > 4} 2) A′ ⊂ (-1, ∞) 3) A = {x ∈ R | x ≤ 7} 4) A ⊂ {x ∈ R | |2x - 3| < 7} BRAN-Pb1.3 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจานวนเตม และ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S ให A = {x ∈ I | | x2 - 1| < 8} และ B = {x ∈ I | 3x2 + x - 2 ≥ 0} ขอใดตอไปนถกตอง 1) จานวนสมาชกของ P(A - B) เทากบ 4 2) จานวนสมาชกของ P(I - (AUB)) เทากบ 2 3) P(A - B) = P(A) - P(AIB) 4) P(A - B) - P(AIB) = {{0}} โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ แบบมแอบขางเดยวอกขางเปนตวแปร FPAT-Pb46 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = {x | |x - 1| ≤ 3 - x} และ a เปนสมาชกคามากทสดของ A คาของ a อยในชวงใด 1) (0, 0.5] 2) (0.5, 1] 3) (1, 1.5] 4) (1.5, 2] Happy–Pb 5.4 (PAT1’เม.ย.57) กาหนดให A เปนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทเปนคาตอบของสมการ

7 8x 4x

4x2 +-

+ 7 10x 4x

3x2 +-

= 1

และ B เปนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทเปนคาตอบของอสมการ |x2 - 2x| + x2 > 4 พจารณาขอความตอไปน (ก) A ⊂ B (ข) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ AIB เทากบ 2 ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด


โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ แบบมแอบสองขาง FPAT-Pb45 (B-PAT1’ต.ค.51) ถาชวง (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ 2|x + 3| > 3|x - 2| แลว b - a เทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 12 3) 13 4) 14 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ แบบปลดแอบโดยนยาม SheLL1.4 (PAT1’ก.ค.53) ถา A =

+>∈ 1 3 |x| x|2 |x 1| | R x -

-- แลว AI [0, 1) เทากบขอใด

1)

32 3

1,

2)

1 31,

3)

1 32,

4)

23 3

2,

NaDate–Pb1.4 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให A = {x ∈ R ||2x - 5| + |x| ≤ 7} และ B = {x ∈ R | x2 < 12 + |x|} พจารณาขอความตอไปน ก. AI B ⊂ {x ∈ R | 1 ≤ x < 4} ข. A - B เปนเซตจากด (finite set) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


สรปภาพรวม “เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยเรขาคณตวเคราะห 2. โจทยภาคตดกรวย แนววงกลม 3. โจทยภาคตดกรวย แนวพาราโบลา 4. โจทยภาคตดกรวย แนววงร 5. โจทยภาคตดกรวย แนวไฮเพอรโบลา


เรขาคณตวเคราะห

สตร 1.11! พนทรป n เหลยม ในกรณทรจดยอด n จดของรป n เหลยมใดๆ : (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn) เชน จงหาพนทของรป ABCD เมอ A(1, 3), B(2, 0), C(5, 7), D(-1, 5) แนวคด

D(-1, 5)

A(1, 3) B(2, 0)

C(5, 7)

หลกการใชสตร 1. เรมตนจากจดใด ตองลงทายดวยจดนน 2. วนในทศใดทศหนง 3. .................................................................... 4. .................................................................... 5. .................................................................... ขอควรระวง ............................................................................................................................


โจทยเรขาคณตวเคราะห แนวหาพนทรป n เหลยม BRAN-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.53) ให ABCD เปนรปสเหลยมทมจดยอด เปน A(-2, 3), B(2, 8), C(4, 4) และ D(0, -3) พนทของรปสเหลยม ABCD เทากบขอใดตอไปน 1) 16 ตารางหนวย 2) 32 ตารางหนวย 3) 10 13 ตารางหนวย 4) 26 10 ตารางหนวย วธคดเรวๆ วธจรง BRAN-Pb1.9 ตอบ 2) ขนท 1 จากรป พนท [PQRS]= PQ ⋅ QR = |-2 - 4|⋅|-3 - 8| = 66 พนท [ABP] = 2

1 ⋅ AP ⋅ BP = 2

1 |8 - 3||-2 - 2|

= 10 ตารางหนวย พนท [BCQ] = 2

1 ⋅ CQ ⋅ BQ = 2

1 |8 - 4||4 - 2|

= 4 ตารางหนวย พนท [CDR] = 2

1 ⋅ CR ⋅ DR = 2

1 |-3 - 4||4 - 0|

= 14 ตารางหนวย พนท [ADS] = 2

1 ⋅ AS ⋅ DS = 2

1 |-3 - 3||-2 - 0| = 6 ตารางหนวย ขนท 2 จะหา พนท [ABCD] = [PQRS] - [ABP] - [BCQ] - [CDR] - [ADS] ∴ พนท [ABCD] = 66 - 10 - 4 - 14 - 6 = 32 ตารางหนวย


Y

X

C(4, 4)

B(2, 8) Q(4, 8)P(-2, 8)

A(-2, 3)

S(-2, -3) D(0, -3) R(4, -3)


สตร 1.1! สตรระยะระหวางจดสองจด d = 21PP = 2

212

21 ) y (y )x (x -- + เชน จงหาระยะหางระหวางจด A(5, -4), B(7, 8) วธทา AB = 22 )( 8 4)( 7) (5 --- +

= 22 12)( 2)( -- + = 144 4 + = 148 สตร 1.2! สตรจดกงกลางหางระหวางจดสองจด จดกงกลางระหวาง 21PP =

++

2 y y ,2

x x 2121 เชน จงหาจดกงกลางระหวางจด A(5, -4), B(7, 8) วธทา จดกงกลาง =

++

28 4)( ,2

7 5 -

= (6, 2)

Y

X

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

Y

X

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)


สตร 1.3! สตรหาจดปลาย เมอใหจดกงกลาง และจดปลายอกดานหนง เชน ใหจด (6, 2) เปนจดกงกลางระหวางจด A(5, -4), B จงหาจด B วธทา สมมตวา จด B(x, y) (6, 2) = จดกงกลาง =

++

2 y 4 ,2

x 5 -

6 = 2x 5 + , 2 = 2

y 4 +-

7 = x , 8 = y ∴ B(x, y) = B(7, 8) NichTor-Pb3.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กาหนดให A(1, 3) เปนจดกงกลางของ OP เมอ O(-1 , 2) จงหาพกดจด P ตอบ .............................. วธทา


A(5, -4) (6, 2)

B(x, y)


FPAT-Pb48 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABCD เปนสเหลยมดานขนานทอยในระนาบ XY ถา A = (-3, -2), B = (1, -5), C = (9, 1) แลว BD มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 91 2) 10 3) 97 4) 10 2 วธคดเรวๆ วธจรง & พสจนสตรลด ขนท 1 สมการ จดกงกลางของเสนทแยงมม AC = จด G = จดกงกลางของเสนทแยงมม BD

++

21 2][ ,2

9 3][ -- =

++

25][ y ,2

1 x -

∴ 29 3][ +- = 2

1 x + และ 21 2][ +- = 2

5][ y -+

∴ 5 = x และ 4 = y ∴ D(x, y) = D(5, 4) ขนท 2 จะหา BD = ระยะ BD = 22 y)( x)( ∆∆ + = 22 5])[ (4 1) (5 --- + = 97 ตอบ

ทฤษฎเรขาคณต เสนทแยงมมของสเหลยมดานขนาน จะตดกนและแบงครงซงกนและกน


D

A(-3, -2)

C(9, 1)

B(1, -5)

D(x, y)

A(-3, -2)B(1, -5)

C(9, 1)

G


โจทยเพมเตมเรขาคณตวเคราะห KAiOU-Pb1.15 (PAT1’ม.ค.53) ให ABC เปนรปสามเหลยมทม A(0, 0) และ B(2, 2) เปนจดยอด และ C(x, y) เปนจดยอดในจตภาค (quadrant) ท 2 ททาใหดาน AC ยาวเทากบดาน BC ถาพนทของสามเหลยม ABC มคาเทากบ 4 ตารางหนวย แลวจด C อยบนเสนตรงในขอใด 1) x - y + 4 = 0 2) 4x + 3y - 1 = 0 3) 2x - y - 3 = 0 4) x + y - 5 = 0 KAiOU-Pb1.9 (PAT1’ม.ค.53) จด A(-3, 1), B(1, 5), C(8, 3) และ D(2, -3) เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD ขอใดตอไปนผด 1) ดาน AB ขนานกบดาน DC 2) ผลบวกความยาวของดาน AB กบ DC เทากบ 10 2 หนวย

3) ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผานจด C และ D มคาเทากบ 229 หนวย

4) ระยะตงฉากจากจด B ไปยงเสนตรงทผานจด C และ D มคาเทากบ 29 หนวย

FPAT-Pb49 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A(-1, -1) และ B(1, c) เปนจดในระนาบ XY ถา L เปนเสนตรงซงผานจด A, B และมความชนเทากบ 3 แลวเสนตรงทมความชนเทากบ -2 และผานจด B จะมสมการดงขอใดตอไปน 1) y = -2x + 7 2) y = -2x + 5 3) y = -2x + 3 4) y = -2x + 1 SheLL1.9 (PAT1’ก.ค.53) รปสามเหลยม ABC ม CBAˆ เปนมมฉาก และดานตรงขามมมฉากยาว 10 หนวย ถาพกดของจด A และจด B คอ (-4, 3) และ (-1, 2) ตามลาดบ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจด C 1) x + 8y - 27 = 0 2) 8x + y - 27 = 0 3) 4x - 5y + 3 = 0 4) -5x + 4y + 3 = 0


สตร 1.20! โปรเจกชนของจด P บนเสนตรง L สตร ระยะหางระหวางจด P(x1, y1) กบเสนตรง L คอ

d = 22

21B A

|C By Ax|+

++

ระวง 1.20!

NichTor-Pb3.2 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาระยะทางทสนทสดจากจด P(3, 4) ไปยงเสนตรง 3y - 4x = 15 ตอบ ................................. วธทา Happy–Pb 6.1 (PAT1’เม.ย.57) เสนตรง L มความชนเทากบ m โดยท m < 0 และผานจด A ซงเปนจดตดของเสนตรง x - 3y + 1 = 0 และ 2x + 5y - 9 = 0 ถาระยะทางจากเสนตรง L ไปยงจด (0, 0) เทากบ k หนวย และ k2 + 2m = 1 แลวสมการของเสนตรง L ตรงกบขอใดตอไปน 1. 2x + y - 5 = 0 2. 3x + y - 7 = 0 3. x + 2y - 4 = 0 4. x + 3y - 5 = 0

Y

XO

L : Ax + By + C = 0P(x1, y1)


Happy–Pb 6.1 ตอบ 1. แนวคด ขนท 1 แกระบบสมการ x - 3y + 1 = 0 และ 2x + 5y - 9 = 0 จะไดจดตดของเสนตรงทงสองเสน คอ จด A(2, 1) ขนท 2 เสนตรง L มความชนเทากบ m < 0 จงสมมต สมการของ L เปน y = mx + c ขนท 3 แต L ผานจด A(2, 1) ดวย จะได 2m + c = 1 หรอ c = 1 - 2m ขนท 4 เพราะวา k เปนระยะทางจากเสนตรง L ไปยงจด (0, 0) ฉะนน K =

22 1)( m|C 1(0) m(0)|

--+

+ = 1 m

|C|2 +

ขนท 5

จาก k2 + 2m = 1 จะได 1 m

c22

+ + 2m = 1

1 m

2m) (12

2

+

- + 2m = 1

(1 - 2m)2 + 2m(m2 + 1) = m2 + 1 (1 - 2m)2 - (1 - 2m)(m2 + 1) = 0 (1 - 2m)(1 - 2m - (m2 + 1)) = 0 (1 - 2m)(-2 - m)m = 0 m = 2

1 , -2, 0

ขนท 6 แต m < 0 จงได m = -2 ทาให c = 1 - 2m = 1 - 2(-2) = 5 ดงนน สมการของเสนตรง L อยในรป y = -2x + 5 หรอ 2x + y - 5 = 0 นนเอง


ภาคตดกรวย : วงกลม . สตร 2.1! วงกลม ระวง! กอนใชสตร สมประสทธ หนา x2, y2 ตองเทากบ …… สมการรปทวไป

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 สมการมาตรฐาน

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

จดศนยกลาง

รศม

NichTor-Pb3.3 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาจดศนยกลางและรศมของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ตอบ................................... วธทา

เทคนคลนลากบคร Sup’k รองเพลงกบพ Sup’k แลวจาไดเลย

วงกลมนนมสองสงสาคญ คอจดศนยกลาง กบ รศม ไง ศนยกลางอยท (h, k) =

2B ,2

A --

กอนเคยเชอในลขตฟาดน ปลอยชวตไปตามโชคชะตา แตฝนไมเคยถงฝง ผดหวงในใจเรอยมาเพราะไมมหวใจ รศม คอ รดผลบวกของ กาลงสองของ.................... แลว............................... จะดหรอเลวมนอยทคน จะมหรอจนมนอยทใจ ดนฟาไมเคยลขต .........ตวเลขใดๆ ............................................ ชวตจะเปนเชนไร อยาเลยอยาไปถามฟา


วธการตรวจสอบวา จดใดอยใน หรออยบน หรออยนอกวงกลม

x2 + y2 = 25 กบ P(1, 0) x2 + y2 = 25 กบ P(3, 4) x2 + y2 = 25 กบ P(7, 10) 12 + 02 < 25 32 + 42 = 25 72 + 102 > 25 ควรจดสมการใหอยรป (x - h)2 + (y – k)2 = r2 หลงแทนคา จด P(x1, y1) ทสนใจแลว กรณท 1 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 < r2 แสดงวา จด P อยในวงกลม กรณท 2 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 = r2 แสดงวา จด P อยบนเสนรอบวงกลม กรณท 3 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 > r2 แสดงวา จด P อยนอกวงกลม หรอหากจดในรป x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หลงแทนคา จด P(x1, y1) ทสนใจแลว

กรณท 1 21x + 2

1y + Ax1 + By1 + C < 0 แสดงวา จด P อยในวงกลม

กรณท 2 21x + 2

1y + Ax1 + By1 + C = 0 แสดงวา จด P อยบนเสนรอบวงกลม

กรณท 3 21x + 2

1y + Ax1 + By1 + C > 0 แสดงวา จด P อยนอกวงกลม

NichTor-Pb3.4 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงตรวจสอบวา จด A(1, 3) อยดานใน หรอดานนอก หรออยบนเสนรอบวงของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ตอบ ..............................


โจทยภาคตดกรวย แนววงกลม PTOR–Pb3.5 (แนวขอสอบจรง PAT1’ธ.ค.54) ถา P เปนจดบนวงกลม x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ทอยใกลจด A(1, 3) มากทสด แลวระยะทางจาก P ไปยงเสนตรง 3y - 4x = 15 มคาเทาใด ตอบ .............................. วธลด ใหฟงคร Sup’k สอนในหอประชม Brand’s Summer Camp วธจรง ขนท 1 x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 จดรปกาลงสองสมบรณ (x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 20 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 20 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 220 ∴ วงกลมมจดศนยกลางท O(-1, 2) รศม r = 20 = 2 5 หนวย ขนท 2 จด P(a, b) บนวงกลมทอยใกล A(1, 3) มากทจด คอ จด P ททาให O, A, P อยบนเสนตรงเดยวกน (ดรป)

สงเกตวา OA = 22 2) (3 1)( 1 )( --- + = 5 = 2r

ฉะนน A เปนจดกงกลางของ OP จะได 2

1 a - = 1 และ 22 b + = 3

a = 3 และ b = 4 ฉะนน พกดของจด P คอ P(3, 4) ขนท 3 จะหาระยะหางจาก P กบเสนตรง 3y - 4x = 15 คอ ระยะหางจาก P กบเสนตรง 3y - 4x - 15 = 0 d =

22 4)( 3|15 4(3) 3(4)|

---

+ หนวย = 3 หนวย


Y

X

O(-1, 2)A(1, 3)

P(a, b)


BRAN-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.53) พจารณาขอความตอไปน ก. x2 + y2 + 6x - 4y = 23 เปนสมการวงกลมทสมผสกบเสนตรง ซงมสมการเปน 21x + 20y + 168 = 0 ข. y2 + 16x - 6y = 71 เปนสมการของพาราโบลาทมจดยอดท (–5, 3) และจดโฟกสท (-1, 3) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด NaDate-Pb1.8 (PAT1’ม.ค.56) ใหพาราโบลา P มสมการเปน y2 - 2y + 6x + 4 = 0 ถาวงกลมวงหนงผานจดโฟกสของพาราโบลา P และสมผสกบเสนตรง 3x - 2y - 6 = 0 ณ จด (4, 3) แลวสมการของวงกลมตรงกบขอใดตอไปน 1) 7x2 + 7y2 - 4x - 82y - 55 = 0 2) 7x2 + 7y2 + 4x + 82y + 55 = 0 3) 7x2 + 7y2 - 4x + 82y - 55 = 0 4) 7x2 + 7y2 + 4x - 82y + 55 = 0 KMK-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x - 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากทสดทเปนไปไดระหวางจด p และ q เทากบขอใดตอไปน 1) 5 2 หนวย 2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย BRAN-Pb2.34 (PAT1’ต.ค.53) จด A(1 , 0) และจด B(b , 0) เมอ b > 1 เปนจดปลายของเสนผานศนยกลางของวงกลมวงหนง ถาเสนตรง L ผานจด (-1, 0) และสมผสกบวงกลมวงน มความชนเทากบ 3

4 แลว b เทากบเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb50 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให วงกลมรปหนงมจดศนยกลางอยทจด (2, 1) ถาเสนสมผสวงกลมทจด x = 1 เสนหนงมความชนเทากบ

31 แลวจดในขอใดตอไปนอยบนวงกลมทกาหนด

1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0)


โจทยภาคตดกรวย แนวพาราโบลา

หมายเหต : สตรทพมพใหในชทน นน พมพถกตองแลว เพราะ พาราโบลา หงาย กบ ควา จะใชสตรเดยวกน แตวา ตอนแทนคา จะแทนคา c ตางกน ในทานองเดยวกน พาราโบลา ตะแคงขวา กบ ซาย จะใชสตรเดยวกน แตวา ตอนแทนคา จะแทนคา c ตางกน

•

• V (h, k)

(x – h)2 = 4 c(y – k) (x– h)2 = 4 c(y – k)

(y– k)2 = 4 c(x – h) (y– k)2 = 4 c(x – h)

• •

V

• •

•

เมอ c < 0

เมอ c < 0 เมอ c > 0

เมอ c > 0

จดยอด คอ V(h, k) จดโฟกส คอ F(h, k + c) เสนไดเรกตรกซ คอ y = k – c

F

F

จดยอด คอ V(h, k) จดโฟกส คอ F(h, k + c) เสนไดเรกตรกซ คอ y = k – c

จดยอด คอ V(h, k) จดโฟกส คอ F(h + c, k) เสนไดเรกตรกซ คอ x = h – c

V V • F

จดยอด คอ V(h, k) จดโฟกส คอ F(h + c, k) เสนไดเรกตรกซ คอ x = h – c

เสนไดเรกตรกซ


เสนไดเรกตรกซ เสนไดเรกตรกซ


ตวอยาง–ST-Pb 1 จงอธบายลกษณะของกราฟพาราโบลาทมสมการ x2 – 8x + 12y + 28 = 0 ตอบ ………………………………… แนวคด x2 – 8x + 12y + 28 = 0

x2 – 8x = – 12y – 28 x2 – 8x + 42 = – 12y – 28 + 42 x2 – 8x + 16 = – 12y – 28 + 16 x2 – 8x + 16 = – 12y – 12 (x – 4)2 = – 12(y + 1) เทยบกบสตร (x – h)2 = 4 c(y – k) ∴ – h = – 4, – k = + 1, 4c = – 12 ∴ h = 4, k = – 1, c = – 3 จดยอด คอ V(h, k) คอ V(4, –1) คอ V(4, –1) คอ V(4, –1) จดโฟกส คอ F(h, k + c) คอ F(4, –1 + {–3}) คอ F(4, –1 – 3) คอ F(4, –4) เสนไดเรกตรกซ คอ y = k – c คอ y = –1 – {–3} คอ y = –1 + 3 คอ y = 2 ตวอยาง–ST-Pb 2 สมการของพาราโบลา y2 – 4y –4x –12 = 0 มจดยอดและจดโฟกสตามขอใด ก. V(2, 4), F(2, 3) ข. V(4, 2), F(3, 2) ค. V(2, –4), F(2, 3) ง. V(–4, 2), F(–3, 2) แนวคด y2 – 4y –4x –12 = 0

y2 – 4y = 4x + 12 y2 – 4y + 22 = 4x + 12 + 22

y2 – 4y + 4 = 4x + 16 (y – 2) 2 = 4 ⋅ (x + 4) เทยบกบสตร (y – k) 2 = 4c(x – h) ∴ –h = + 4, – k = – 2, 4c = 4 ∴ h = – 4, k = 2, c = 1 จดยอด คอ V(h, k) คอ V(–4, 2) จดโฟกส คอ F(h + c, k) คอ F(–4 + 1, 2) คอ F(–3, 2) เสนไดเรกตรกซ คอ x = h – c คอ x = –4 – 1 คอ x = –5



•

V • F

• F V •


FPAT–Pb56 (PAT1’ม.ค.52) ถาเสนตรงเสนหนงผานจดกาเนดและจดยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0 และเสนไดเรกตรกซทจด (a, b) แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 แนวคด ขนท 1 y2 - 4y + 4x = 0 y2 - 4y + 4x = -4x + 4 (y - 2) 2 = -4(x - 1) เทยบกบสตร (y – k)2 = 4c(x – h) ∴ –h = – 1, – k = – 2, 4c = – 4 ∴ h = 1, k = 2, c = – 1 จดยอด คอ V(h, k) คอ V(1, 2) จดโฟกส คอ F(h + c, k) คอ F(1 + {–1}, 2) คอ F(0, 2) เสนไดเรกตรกซ คอ x = h – c คอ x = 1 – {–1} คอ x = 2 ขนท 2 วาดรปไดดงน

V(1, 2) F(0, 2)

x = 2 Y

X


ขนท 3 จากโจทย บอกใหลากเสนตรงผานจดกาเนดและจดยอดของพาราโบลา จงไดรปดงน

เสนตรง L คอ เสนตรงทผานจดกาเนด (0, 0) และ จดยอดของพาราโบลา จด V(1, 2) ∴ สมการเสนตรง L คอ (y – y1) = m ⋅ (x – x1) คอ (y – 0) = m ⋅ (x – 0) คอ (y – 0) = 0 1

0 2--

⋅ (x – 0)

คอ y = 2x ขนท 4 แกสมการหาจดตด ระหวางเสนตรง L กบเสนไดเรกตรกซ L : y = 2x → (๑) เสนไดเรกตรกซ : x = 2 → (๒) แกสมการ (๑), (๒) ; ∴ ตดกนทจด (2, 4) โจทยใหวา ตดกนทจด (a, b) ∴ a = 2, b = 4 → ดงนน a + b = 6 ตอบ ขอ 3.

(2, 2) (0, 2)

x = 2

(1, 2)

X

L

Y


FPAT-Pb54 (PAT1’ก.ค.52) จงหาระยะทางระหวางจดโฟกสของพาราโบลา y2 = -8x กบเสนตรง 2x + y = 6 1) 2 5 หนวย 2) 3 5 หนวย 3) 4 5 หนวย 4) 5 5 หนวย FPAT-Pb55 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P เปนจดตดของเสนตรง x - 2y = 0 และเสนไดเรกตรกซของพาราโบลา x2 = 8y ระยะระหวางจด P และเสนตรง 2x - y = 1 เทากบขอใดตอไปน 1)

56 หนวย 2) 5

7 หนวย 3) 7 หนวย 4) 5

7 หนวย

FPAT-Pb56 (PAT1’ม.ค.52) ถาเสนตรงเสนหนงผานจดกาเนดและจดยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0 และเสนไดเรกตรกซทจด (a, b) แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 KMK-Pb2.8 (PAT1’ต.ค.52) พาราโบลามจดยอดท (-1, 0) และมจดกาเนดเปนจดโฟกส ถาเสนตรง y = x ตดพาราโบลาทจด P และจด Q แลว ระยะทางระหวางจด P กบจด Q เทากบเทาใด ตอบ........................... Happy–Pb 6.2 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดใหไฮเพอรโบลารปหนงมสมการเปน x2 - y2 - 2x = 0 ถาพาราโบลามโฟกสเปนจดกงกลางของสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของเสนตรง y = 2x กบเสนกากบของไฮเพอรโบลาและมเสนไดเรกตรกซเปนเสนตรงทผานจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา แลวสมการของพาราโบลาคอขอใด 1. 9x2 + 12x + 12y - 3 = 0 2. 9x2 + 12x + 12y + 8 = 0 3. 9x2 + 6x + 12y - 3 = 0 4. 9x2 + 6x + 12y + 5 = 0


โจทยภาคตดกรวย แนววงร นยาม วงร คอ เซตของจดใดๆ บนระนาบทผลบวกของระยะจากจดใดๆ ไปยงจดคงททงสองมคาคงทเทากบ 2a

จดคงททงสองเรยกวา จด F, จด F′

22

ah) (x - + 2

2

bk) (y - = 1

2

2

ak) (y - + 2

2

bh) (x - = 1

จดยอด V = (h + a, k) V′ = (h – a, k)

จดยอด V = (h, k + a) V′ = (h k – a)

จดปลายแกนโท B = (h, k + b ) B′ = (h, k – b)

จดปลายแกนโท B = (h + b, k) B′ = (h – b, k)

จดโฟกส F = ( h + c, k ) F′ = ( h – c, k)

จดโฟกส F = (h, k + c) F′ = (h, k – c)

ความยาวแกนเอก = 2a → ขนานกบแกน X ความยาวแกนโท = 2b

ความยาวแกนเอก = 2a → ขนานกบแกน Y ความยาวแกนโท = 2b

เมอ a คอ ระยะ ทวดจาก จดศนยกลางวงร จนถง จดปลายแกนเอก b คอ ระยะ ทวดจาก จดศนยกลางวงร จนถง จดปลายแกนโท c คอ ระยะ ทวดจาก จดศนยกลางวงร จนถง จดโฟกส

สตร 4.2! | PF + PF′ | = 2a

สตร 4.3! a2 = b2 + c2

F

• • F’ •

P

• • F F′

B′

B

V′

Y

V X

F′

•

• X B

F

B′

V′

y Y


Happy–Pb 6.3 (PAT1’เม.ย.57) วงรมสมการเปน x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0

เมอ A, B, C เปนจานวนจรง โดยมจดศนยกลางอยทจด (2, 1) และแกนเอกยาวเปนสองเทาของแกนโท ขอใดตอไปนถกตอง

1. A + B + C = 0

2. ความเยองศนยกลางของวงร เทากบ 53

3. วงรมศนยกลางรวมกนกบวงกลม x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 และแกนเอกของวงรยาวเทากบรศมของวงกลม

4. ผลบวกของระยะทางจากจด (2, 6) ไปยงจดโฟกสทงสองของวงรเทากบ 20 หนวย แนวคด ขนท 1 วงรมสมการเปน x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0 มจดศนยกลางทจด (2, 1)

∴ สมการวงร คอ 22

(a)2) (x - + 2

2

(b)1) (y -

= 1

ขนท 2 โจทยให แกนเอกยาวเปนสองเทาของแกนโท (นนคอ a = 2b)

วงรจงตองมสมการในรปมาตรฐานเปน 22

(2b)2) (x - + 2

2

(b)1) (y -

= 1

คณกระจาย จดรป (x2 - 4x + 4) + 4(y2 - 2y + 1) = 4b2 x2 + 4y2 - 4x - 8y +(8 + 4b2) = 0 → (*) ขนท 3 โจทยให x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0 เทยบกบ(*) ; x2 + 4y2 - 4x - 8y + (8 - 4b2) = 0 ∴ 8 - 4b2 = -92 ∴ b2 = 25


ขนท 4 แทน b2 = 25 ลงใน สมการ (*) ∴ x2 + 4y2 - 4x - 8y + (8 - 4b2) = 0 ∴ x2 + 4y2 - 4x - 8y + (8 - 4 ⋅ 25) = 0 ∴ x2 + 4y2 - 4x - 8y - 92 = 0 เทยบกบโจทยให x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0 ∴ A = 4, B = –4, C = – 8 จดรปกาลงสองสมบรณตอเนอง

∴ 1002) (x 2- + 25

1) (y 2- = 1

เทยบกบรปมาตรฐาน 22

ah) (x - + 2

2

bk) (y -

= 1

∴ a2 = 100 , b2 = 25 ∴ a = 10 , b = 5 (1) ผด : A + B + C = 4 - 4 - 8 = -8 ≠ 0 (2) ผด : วงรม b = 5 และ a = 2b = 10

ทาให c = 22 b a - = 22 5 10 - = 5 3

ดงนน ความเยองศนยกลาง = ac = 10

35 = 2

3 ≠ 5

3

(3) ผด : วงกลม x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

มรศมยาว 220)4( 2)( 4)( 22 ---- + หนวย = 5 หนวย

แตแกนเอกของวงรยาว 2a = 20 หนวย ดงนน แกนเอกของวงรยาวกวารศมของวงกลม

(4) ถก : เนองจาก (2, 6) แทนคาลงใน 1002) (x 2- + 25

1) (y 2- = 1 แลวเปนจรง

∴ จด P(2, 6) จงเปนจดบนวงร ให F1, F2 เปนจดโฟกสของวงร โดยนยามของวงร จะได PF1 + PF2 + = 2a = 2(10) = 20 หนวย ตอบ ขอ 4.


KMK-Pb1.6 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให S = [-2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ Dr - Rr 1) (-1.4, -1.3) 2) (-1.3, -1.2) 3) (1.2, 1.4) 4) (1.4, 1.5) FPAT-Pb57 (B-PAT1’ต.ค.51) วงรทมจดศนยกลางทจด (1, 2) แกนเอกขนานกบแกน X และยาว 6 หนวย แกนโทยาว 4 หนวย ผานจดในขอใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (2, 0) 3) (1, 4) 4) (4, 1) FPAT-Pb58 (PAT1’ก.ค.52) ให E เปนวงรทมจดโฟกสทงสองอยบนวงกลม C ทมสมการเปน x2 + y2 = 1 ถาวงร E สมผสกบวงกลม C ทจด (1, 0) แลวจดใดตอไปนอยบนวงร E 1)

21 2

1, 2)

25 2

1 ,

3)

1 31 , 4)

34 3

1 ,

FPAT-Pb59 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให วงรรปหนงมโฟกสอยทจด (±3, 0) และผานจด

2212,

จดในขอใด

ตอไปนอยบนวงรทกาหนด

1) (-4, 0) 2)

225 0,

3) (6, 0) 4) (0, -3 2 ) NaDate-Pb2.31 (PAT1’ม.ค.56) ใหวงรมจดศนยกลางอยท (0, 0) และมโฟกส F1 และ F2 อยบนแกน X จด A(4, 1) เปนจดบนวงรโดยทผลบวกระยะทางจากจด A(4, 1) ไปยงจดโฟกสทงสองมคาเทากบ 6 2 ใหเสนตรง L ตดแกน X ทจด (4.5, 0) และสมผสกบวงรทจด A(4, 1) ถา d เปนระยะหางระหวางจด (0, 0) กบเสนตรง L แลวคาของ d2|AF1||AF2| เทากบเทาใด ตอบ...........................


โจทยภาคตดกรวย แนวไฮเพอรโบลา นยาม ไฮเพอรโบลา คอ เซตของจดบนระนาบทคาสมบรณของผลตางของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจดคงททงสองมคาทเทากบ 2a

22

ah) (x - - 2

2

bk) (y -

= 1

2

2

ak) (y - - 2

2

bh) (x -

= 1

จดยอด V = (h + a, k) V′ = (h – a, k)

จดยอด V = (h, k + a) V′ = (h, k – a)

จดปลายสงยค B = (h, k + b) B′ = (h, k – b)

จดปลายสงยค B = (h + b, k) B′ = (h – b, k)

จดโฟกส F = (h + c, k) F′ = (h – c, k)

จดโฟกส F = (h, k + c) F′ = (h, k – c)

ความยาวแกนตามขวาง = 2a → อยในแกน X ความยาวแกนสงยค = 2b

ความยาวแกนตามขวาง = 2a → อยในแกน Y ความยาวแกนสงยค = 2b

เมอ a คอ ระยะ ทวดจาก จดศนยกลางไฮเพอรโบลา จนถง จดยอด b คอ ระยะ ทวดจาก จดศนยกลางไฮเพอรโบลา จนถง จดปลายแกนสงยค c คอ ระยะ ทวดจาก จดศนยกลางไฮเพอรโบลา จนถง จดโฟกส

สตร! c2 = a2 + b2

สตร | PF – PF′ | = 2a เมอจด P คอ จดใดๆ บนไฮเพอรโบลา

F′ •

แกนสงยค

แกน ตาม ขวาง • • • •

Y

V′

(h, k)

V F

X

แกนตามขวาง

แกนสงยค • • • •

•

(h, k) V′

F

V

Y

X

F′


Happy–Pb6.4 (PAT1’เม.ย.57) ให F เปนจดโฟกสของพาราโบลา 4y = x2 - 6x + 13 ไฮเพอรโบลามสมบตตางๆ ดงน (ก) แกนตามขวางขนานกบแกน Y (ข) จดศนยกลางอยทจด F (ค) จดโฟกสอยทจด (3, 2 + 2 13 ) (ง) แกนสงยคยาว 12 หนวย ขอใดตอไปนคอสมการของไฮเพอรโบลา 1. 4x2 - 9y2 - 24x + 36y + 144 = 0 2. 4x2 - 9y2 - 24x - 36y -36 = 0 3. 9y2 - 4x2 - 24x + 36y - 144 = 0 4. 9y2 - 4x2 + 24x - 36y + 36 = 0 แนวคด ขนท 1 จดรปสมการพาราโบลา 4y = x2 - 6x + 13 → (x - 3)2 = 4(y - 1) พาราโบลานจงเปนพาราโบลาหงาย ทมจดยอด (3, 1) และ c = 1 ทาใหจดโฟกสของพาราโบลา คอ จด F(3, 1 + 1) = F(3, 2) ขนท 2 ไฮเพอรโบลา มแกนตามขวางขนานกบแกน Y และมจดศนยกลางอยท F(3, 2)

ทาใหสมการของไฮเพอรโบลา ตองอยในรป 2

2

a2) (y - - 2

2

b3) (x -

= 1

จากทจดโฟกสของไฮเพอรโบลาอยท (3, 2 + 2 13 ) ทาใหได c = (2 + 2 13 ) - 2 = 2 13 และจากทแกนสงยคยาว 12 หนวย จะได b = 2

12 = 6

เรารวา a2 + b2 = c2 ฉะนน a2 + 62 = (2 13 )2 จะได a2 = 16

ทาใหไดสมการของไฮเพอรโบลา 162) (y 2- - 36

3) (x 2-

= 1 คณดวย -144 ; -9(y2 - 4y + 4) + 4(x2 - 6x + 9) = -144 ∴ 4x2 - 9y2 - 24x + 36y + 144 = 0 ตอบ ขอ 1. KMK-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.52) ให E เปนวงรทมโฟกสอยทจดยอดของไฮเพอรโบลา x2 – y2 = 1 ถา E ผานจด (0, 1) แลวจดในขอใดตอไปนอยบน E

1)

22 1,-

2) (1, 2 )

3)

21 1,-

4)

231,


FPAT-Pb62 (B-PAT1’ต.ค.51) ให F1, F2 เปนจดโฟกสของไฮเพอรโบลา 2(x - 1)2 - (y - 2)2 = 8 โดยทF2อยในควอดรนตท1 วงกลมทม F2เปนจดศนยกลางและผานจด (2 3 , 3) คอวงกลมทมสมการดงขอใด 1) (x + (1 + 2 3 )2) = 4y - y2 + 2 2) (x - (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 + 2 3) (x + (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 - 2 4) (x - (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 - 2 FPAT-Pb63 (PAT1’ก.ค.52) กาหนด S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17} P = {(x, y) | x2 - y2 = 1} Q = {(x, y) | y2 - x2 = 1} ถา a ∈ SIP และ b ∈ SIQ แลวระยะทางทนอยทสดระหวาง a และ b เทากบเทาใด 1) 3 2 - 4 2) 2 3 - 2 3) 3 2 - 2 4) 2 3 - 4 FPAT-Pb64 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = {a | เสนตรง y = ax ไมตดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตดกราฟ y2 = 1 - x2 สองจด} เซต {d | d = c2, c ∈ B - A} เทากบชวงใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 2) 4) (0, 4) KAiOU-Pb1.8 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดใหวงร 25x2 + 21y2 + 100x - 42y - 404 = 0 แลวไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจดโฟกสทงสองของวงรและผานจด (–3, 1 + 8 ) มสมการตรงกบขอใดตอไปน 1) 5y2 - 4x2 - 10 8 y - 32x - 25 = 0 2) 3y2 - 2x2 - 6 8 y - 8x + 15 = 0 3) y2 - 4x2 - 2y - 16x - 19 = 0 4) y2 - 7x2 - 2y - 28x - 28 = 0 SheLL1.8 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดวงกลมรปหนงมจดปลายของเสนผานศนยกลางอยบนจดศนยกลาง และ จดโฟกสดานหนงของไฮเพอรโบลา 9x2 - 16y2 - 90x + 64y + 17 = 0 แลววงกลมดงกลาวนมพนทเทากบ ขอใดตอไปน 1) 4

25π ตารางหนวย 2) 225π ตารางหนวย 3) 4π ตารางหนวย 4) 5π ตารางหนวย

NaDate-Pb1.17 (PAT1’ม.ค.56) ให 9x2 - 16y2 - 18x + 64y - 199 = 0 เปนสมการของไฮเพอรโบลา ถาพาราโบลารปหนงมแกนสมมาตรขนานแกน Y ตดแกน X ทจด (1, 0) และผานจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลาทกาหนดให แลวจดในขอใดตอไปนไมอยบนพาราโบลา 1)

81 2, 2)

21 1,- 3)

21 3, 4)

41 4,

Happy–Pb 6.4.2 (สามญ’57) ให F เปนจดโฟกสทอยจตภาคท 1 ของ 9x2

- 162) (y 2- = 1

แลววงกลมทมศนยกลางอยทจด F และสมผสกบเสนกากบทงสองของไฮเพอรโบลามรศมยาวกหนวย ตอบ .........................


สรปภาพรวม “ความสมพนธ และฟงกชน” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยความสมพนธ แนวอนเวอรสของความสมพนธ 2. โจทยความสมพนธ แนวโดเมนและเรนจ 3. โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนธรรมดา VS อนเวอรส 4. โจทยฟงกชน แนวคอมโพสต 5. โจทยฟงกชน แนวพชคณต 6. โจทยฟงกชน แนวสมการเชงฟงกชนโอลมปก


โจทยความสมพนธ แนวอนเวอรสของความสมพนธ FPAT-Pb77 (B-PAT1’ต.ค.51) ให r = {(x, y) | 2y = 3x - 4} ถา a, b เปนคาคงตว และ r-1 = {(x, y) | y = ax + b} แลว 3a - 4

b มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 35 2) 4

3 3) 54 4) 3

4

แนวคด

ตอบ 1) 35

แนวคด ขนท 1 จากโจทย r = {(x, y) | 2y = 3x - 4} ∴ r-1 = {(x, y) | 2x = 3y - 4} ∴ r-1 =

+= 34 x3

2 y y)(x,

ขนท 2

จากขนเมอก r-1 =

+= 34 x3

2 y y)(x,

จากทโจทยกาหนดให r-1 = {(x, y) | y = ax + b} เทยบสมประสทธ ∴ a = 3

2 และ b = 34

ขนท 3

∴ จะหา 3a - 4b = 3

32 - 4

1

34

= 2 - 31

= 35

FPAT-Pb78 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดความสมพนธ r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พจารณาขอความตอไปน ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± |x| } ข. กราฟของ r ตดกบกราฟของ r-1 เพยง 2 จด เทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด

หลกการ จากคร Sup’k หลกการหา “อนเวอรส”

ใหเปลยน x → ไปเปน y ใหเปลยน y → ไปเปน x


โจทยความสมพนธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยกราฟ FPAT-Pb75 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให f(x) = x2 - 1 เมอ x ∈ (-∞, -1]U [0, 1] และ g(x) = 2x เมอ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนถกตอง 1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg

3) f เปนฟงกชน 1-1 4) g ไมเปนฟงกชน 1-1

FPAT-Pb70 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = [-2, -1]U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x - y = -1} ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) 2.5 2) 3 3) 3.5 4) 4 โจทยความสมพนธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยการจดรป หาเงอนไข NaDate-Pb1.5 (PAT1’ม.ค.56) ให R แทนเซตของจานวนจรง กาหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | |x| 12 - + 1 y + = 3} พจารณาขอความตอไปน ก. DrI Rr ⊂ (-1, 8) ข. Dr - Rr

= {x ∈ R | 8 < x ≤ 12} ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด FPAT-Pb71 (สอบตรงวศวะ) กาหนด r และ s เปนความสมพนธ

r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + xy = -1} s =

=×∈ |x 3| 12yR R y)(x, --

จงหาวา Rs - Rr เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1) (-4, -2) 2) (-1, 1) 3) (-2, 0) 4) (-1, 4)

FPAT-Pb72 (สอบตรงวศวะ) กาหนดให r =

=×∈2x 9 5

1yR R y)(x,

--

s = {(x, y) ∈ R × R | 2xy2 - 3xy = 4x + 1} มจานวนเตมกจานวนทอยในเซต Rr - Ds 1) 0 2) 1 3) 2 4) 7


KAiOU-Pb1.6 (PAT1’ม.ค.53) ให f และ g เปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรงไปยงเซตของจานวนจรง

โดยท f(x) = 4 x1 x

2 -- และ g(x) = f(x) - 1 x - จงพจารณาขอความตอไปน

ก. Dg = (2, ∞) ข. คาของ x > 0 ททาให g(x) = 0 มเพยง 1 คาเทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด Happy-Pb7.1 (PAT1’ม.ค.57) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f เปนฟงกชน ซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซต

ของเซตจานวนจรง โดยท f(x) = 1 x 4 4x 2x2

+++ เมอ x ≠ -1 แลวเรนจของฟงกชน f เปนสบเซตของขอใด

ตอไปน 1) {x ∈ R | x2 + 6x - 7 ≥ 0} 2) {x ∈ R | x2 + 3x - 10 ≥ 0} 3) {x ∈ R | x2 + x - 12 ≥ 0} 4) {x ∈ R | x2 - 6x - 16 ≥ 0} โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนธรรมดา FPAT-Pb65 (PAT1’ก.ค.52) ให g(x) = x2 + x + 1 และ r, s เปนคาคงตว ซง s ≠ 0 ถา g(r + s) = g(r - s) แลว r2 เปนสมาชกของชวงใดตอไปน 1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2) โจทยฟงกชน แนวจดรปฟงกชนธรรมดา KAiOU-Pb1.13 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให f

1 xx- = x

1 เมอ x ≠ 0 และ x ≠ 1 ถา 0 < θ < 2π แลว

f(sec2 θ) เทากบขอใดตอไปน 1) sin2 θ 2) cos2 θ 3) tan2 θ 4) cot2 θ โจทยฟงกชน แนวจดรปฟงกชนอนเวอรสธรรมดา

AVATAR-Pb6.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท) จงหา f-1(x) เมอ f(x) = xxxx

10 1010 - 10

--

+

ตอบ...........................


โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนคอมโพสต VS อนเวอรส Happy-Pb7.3 (PAT1’เม.ย.57) ให f : R → R และ g : R → R โดยท f(x) = ax + 2 และ g(x) = x3 - 3x(x - 1) ถา (f-1og-1)(1) = 1 แลว (gof)(a) มคาเทาใด ตอบ .................................... วธลด วธจรง f : R → R และ g : R → R โดยท f(x) = ax + 2 และ g(x) = x3 - 3x(x - 1) ให g-1(1) = k จะได g(k) = 1 ฉะนน k3 - 3k(k - 1) = 1 k3 - 3k2 + 3k - 1 = 0 (k - 1)3 = 0 k = 1 ดงนน g-1(1) = 1 จาก f(x) = ax + 2 จะได f-1(x) = a

2 x -

เพราะวา (f-1og-1)(1) = 1 และ g-1(1) = 1 ฉะนน f-1(1) = 1 a

2 1 - = 1 a = -1 จะได f(x) = -x + 2 ทาให f(a) = f(-1) = -(-1) + 2 = 3 ดงนน (gof)(a) = g(f(-1)) = g(3) = 33 - 3(3)(3 - 1) = 9

สตร


Peach–Pb2.32 (แนว PAT1’ต.ค.55) ให f และ g เปนฟงกชนซง f(x + 5) = x3 - x2 + 2x และ g-1(2x - 1) = x + 4 จงพจารณาขอความตอไปน เมอ I แทน เซตของจานวนเตม ก. (f - g)(0) < –169 ข. {x ∈ I | (gof)(x) + 5 = 0} เปนเซตวาง ขอใดตอไปนสรปถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด

KMK-Pb2.3 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = x1 และ g(x) = 2f(x) แลว จงหา gof(3) + fog–1(3)

ตอบ........................... FPAT-Pb66 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = 2

x + 1 และ g(x) = x3, (f-1og)(3) มคาเทากบขอใด

1) 16 2) 20 3) 50 4) 52 FPAT-Pb66.1 ให f(x) = 6 x

3 x++ และ (f-1og)(x) = 1 x

6x-

- ถา g(a) = 2 แลว a อยในชวงใด

1) [-1, 1) 2) [1, 3) 3) [3, 5) 4) [5, 7) FPAT-Pb67 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดฟงกชน f(x) = x - 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจานวนจรงททาให fog(a) = gof(a) แลว (f ⋅ g)(a) มคาเทากบเทาใด 1) 18 2) -18 3) 25 4) -25 Happy-Pb7.2 (PAT1’เม.ย.57) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนหนงตอหนง โดยท (fog)(x) = 4x - 5 และ g-1(x) = 2x + 1 ทกจานวนจรง x พจารณาขอความตอไปน ก. 4(f-1og)(2x + 1) = g(x) + 1 ทกจานวนจรง x ข. (g-1o(f-1og))(x) = f-1(x) + 1 ทกจานวนจรง x ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนคอมโพสตยากขนมาหนอย KAiOU-Pb2.22 (PAT1’ม.ค.53)

นยาม f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนใดๆ (f ⊗ g)(x) = f(g(x)) - g(f(x)) สาหรบทกจานวนจรง x

ถา f(x) = x2 - 1 และ g(x) = 2x + 1 สาหรบทกจานวนจรง x แลว (f ⊗ g)(1) เทากบเทาใด ตอบ........................... KAiOU-Pb1.5 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให y1 = f(x) = 1 x

1 x-+ เมอ x เปนจานวนจรงทไมเทากบ 1

y2 = f(y1) , y3 = f(y2), ... yn = f(yn–1) สาหรบ n = 2, 3, 4, ... คาของ y2553 + y2010 เทากบขอใดตอไปน

1) 1 x1 x

+- 2) 1 x

1 x2-+

3) 2x1 x2 + 4) 1 x

x 2x 1 2--+

SheLL2.28 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f1, f2, f3, f4, g และ h เปนฟงกชนจาก R ไป R โดยท f1(x) = x + 1, f2(x) = x – 1, f3(x) = x2 + 4, f4(x) = x2 - 4 (f1og)(x) + (f2oh)(x) = 2 และ (f3og)(x) - (f4oh)(x) = 4x คาของ (goh)(1) เทากบเทาใด ตอบ........................... SheLL1.18 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = ax + b เมอ a, b เปนจานวนจรง ถา f เปนฟงกชนลด และ f(f(f(f(x)))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากบขอใดตอไปน 1) -11 2) -5 3) 11 4) 5


โจทยฟงกชน แนวสมการเชงฟงกชนโอลมปก *NaDate-Pb2.50 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน ซงสอดคลองกบ (fof)(x) = 4 + x(4 - f(x)) สาหรบทกจานวนจรง x แลวคาของ f(4) เทากบเทาใด ตอบ .................................. แนวคด ขนท 1 จากโจทย f(f(x)) = 4 + x(4 - f(x)) ...(*) ขนท 2 แทน x = 0 ลงใน (*) จะได f(f(0)) = 4 + 0(4 - f(0)) f(f(0)) = 4 ...(#) ขนท 3 แทน x = f(0) ลงใน (*) จะได f(f(f(0))) = 4 + f(0)(4 - f(f(0))) จาก (#) ; f(4) = 4 + f(0)(4 - 4) f(4) = 4 + f(0)(0) ∴ f(4) = 4 ตอบ *Happy-Pb7.4 (PAT’เม.ย.57) กาหนดให f : R → R และ g : R → R และ f(x + g(y)) = 2x + y + 15 ทกจานวนจรง x และ y พจารณาขอความตอไปน

ก. (gof)(x) = 2x + 15 ทกจานวนจรง x

ข. g(25 + f(57)) = 75 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


โจทยฟงกชน แนวนยามตรวจสอบความเปนฟงกชน BRAN-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง, ความสมพนธขอใดตอไปนเปนฟงกชน

1) ความสมพนธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 2 y 4 - และ xy ≥ 0} 2) ความสมพนธ r2 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4 และ xy > 0} 3) ความสมพนธ r3 = {(x, y) ∈ R × R | ||x| - |y|| = 1} 4) ความสมพนธ r4 = {(x, y) ∈ R × R | |x - y| = 1} โจทยฟงกชน แนวฟงกชนแยกชวง FPAT-Pb76 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = x2 + 2 เมอ x ∈ [-1, 0]U (1, 2)

และ g(x) = [ ]

∈∈

2 ,21 x , 2 4x

0] 1,[ x , x-

--

ขอใดตอไปนไมถกตอง 1) Df ⊆ Dg 2) Rf ⊆ Rg 3) f เปนฟงกชนหนงตอหนง 4) g เปนฟงกชนหนงตอหนง

NaDate-Pb1.11 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให f(x) =

+ ≥

<

21 |x| , x

1 21

21 |x| , x

1

คาของ f

31ff - ตรงกบขอใดตอไปน

1) -6 2) 6 3) -3 4) 3 โจทยฟงกชน แนวฟงกชนแยกชวง VS อนเวอรส

FPAT-Pb79 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให f(x) = 3x - 1 และ g–1(x) =

<

≥

0 x , x0 x , x

2

2

-

คาของ f-1(g(2) + g(-8)) เทากบขอใดตอไปน

1) 32 1 - 2) 3

2 1 + 3) 32 1

-- 4) 3

2 1-+


NaDate-Pb1.7 (PAT1’ม.ค.56) ให R แทนเซตของจานวนจรง พจารณาขอความตอไปน ก. ความสมพนธ {x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4 , xy > 0} เปนฟงกชน

ข. ถา f(x) =

>

≤

0 x , x 0 x , 2 x

2-

และ g(3x - 1) = 2x2 + 3x สาหรบ x ∈ R

แลวคาของ (gof-1)(25) = 14 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด โจทยฟงกชน แนวฟงกชนพชคณตฟงกชน VS อนเวอรส KMK-Pb2.4 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = 3 x และ g(x) = x 1

x+ แลว (f–1 + g–1)(2) เทากบเทาใด

ตอบ........................... โจทยฟงกชน แนวคอมโพสต VS อนเวอรส VS นยามฟงกชนแบบเซต BRAN-Pb2.42 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ให f = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 5} g = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x + 1} ถา a ∈ R และ (g-1of-1)(a) = 4 แลว (fog)(2a) เทากบเทาใด ตอบ...........................


สรปภาพรวม “เมทรกซ และดเทอรมนนต” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยเมทรกซ แนวพนฐานและการหาอนเวอรส และสมการเมทรกซ 2. โจทย det ดเทอรมนนต แนวทฤษฎของ det ดเทอรมนนต, ไมเนอร, โคแฟกเตอร 3. โจทย det ดเทอรมนนต แนวสตรของ det ดเทอรมนนต 4. โจทย det ดเทอรมนนต แนวสตรของ det (adj A) 5. โจทย det ดเทอรมนนต แนว det ของเมทรกซบวกกน 6. โจทยเมทรกซ แนวแกสมการหลายตวแปร


เมทรกซ : อนเวอรสการคณของเมทรกซ (ตวผกผนของเมทรกซ)

นยาม 1.1!! AA-1 = A-1A = I เมทรกซ Bn×n เปนอนเวอรสการคณของเมทรกซ An×n กตอเมอ AB = I = BA เขยนแทนดวย B = A-1

สตร 1.2!! ตวผกผนการคณของเมทรกซ A, อนเวอรสของเมทรกซ A, A-1 สาหรบมต n × n

A-1 = A det1

⋅ adj A

สตร 1.3!! ถา A = [ก] → ∴ A-1 =

ก1 เมอ ก ≠ 0

สตร 1.4!! ถา A =

d cb a → ∴ A-1 = A det

1

a cb d

--

นยาม 1.6!! สาหรบเมทรกซ An×n ขนาดมตใดๆ ถา det A = 0 แลว จะเรยก เมทรกซ A วา “เมทรกซเอกฐาน”, “Singular Matrix”, “ซงกลารเมทรกซ”

จะหา A-1 ไมได นยาม 1.7!! สาหรบเมทรกซ An×n ขนาดมตใดๆ ถา det A ≠ 0 แลว จะเรยก เมทรกซ A วา “ไมใชเมทรกซเอกฐาน”, “Non-singular Matrix”, “นอนซงกลารเมทรกซ”

จะหา A-1 ได


Pb3 ให A-1 =

2 1 1 1

- , B-1 =

0 11 2 - จงหา (A – 2B)-1 ตอบ ....................

แนวคด

ขนท 1 จาก A-1 =

2 1 1 1

-

→ A = 1 1 2 1)(1

⋅⋅ --

1 11 2

--- → A = 3

1-

1 11 2

--- → A =

31 3

1 31 3

2-

ขนท 2 จาก B-1 =

0 11 2 -

→ B = 1)( 1 0 21

-- ⋅⋅

2 11 0

- → ∴ B = 11

2 11 0

- → ∴ B =

2 11 0

-

ขนท 3 จะหา (A – 2B)-1 =

1

2 11 0

2 31 3

131 3

2-

-

--

=

1

422 0

31 3

131 3

2-

-

--

=

1

311- 3

735- 3

2-

-

=

35

37 3

1132

1 -----

32 3

735 3

11

---

= 579

32 3

735 3

11

---

โจทยเมทรกซ แนวหาอนเวอรสของ 2 × 2

TF-PAT4 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให A และ B เปนเมทรกซทสอดคลองกบ 2A - B =

6 3

43

และ A + 2B =

2 42 1

-- จงหาวา (AB)-1 คอ เมทรกซในขอใดตอไปน

1)

41 1 0 1

--

2)

1 041 1- 3)

1 1 0 4

1-

- 4)

41 01 1

--

โจทยเมทรกซ แนวแกสมการเมทรกซ SheLL2.30 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d เปนจานวนจรง

ถา 3

d 2b 5

c

a =

3 1 d6 5 a

- +

+

2d 2b 5 4

c

a แลวคาของ b + c เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’k ระวง!! (A - 2B)-1 = A-1 - 2 ⋅ B-1


KAiOU-Pb2.7 (PAT1’ม.ค.53) ให x, y, z และ w สอดคลองกบสมการ

w1

0 1 -

y 01 x

-

=

yz

1 2y -

w1

0 1 -

คาของ 4w - 3z + 2y - x เทากบเทาใด ตอบ...........................

BRAN-Pb1.12 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให A =

1 11 1

- และ B =

z y

yx

ถา A-1BA =

40

0 2- แลวคาของ xyz เทากบเทาใดตอไปน

1) -3 2) -1 3) 0 4) 1

KMK-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให X =

zyx

สอดคลองกบสมการ AX = C

เมอ A =

2 1 0 1 0 21 2 1

- , B =

0 411 0 20 1 1

--

และ C =

3 22

-

ถา (2A + B)X =

cba

แลว a + b + c มคาเทาใดตอไปน

1) 3 2) 6 3) 9 4) 12


โจทย det ดเทอรมนนต : ทฤษฎของ det ดเทอรมนนต สตร 3.1!! ดเทอรมนนตของเมทรกซของเมทรกซขนาด 2 × 2 A = [5] → ∴ det A = |[5]| = 5 B = [-7] → ∴ det B = |[-7]| = -7

สตร 3.2!! ดเทอรมนนตของเมทรกซของเมทรกซขนาด 2 × 2

C =

2 45 9

→ ∴ det C = 2 4 5 9

= 9 × 2 - 4 × 5 = 18 - 20 = -2

D =

7 5 4 2

--

→ ∴ det D = 2 4 4 2 --

= (-2) × 7 - (-4) × 5 = –14 + 20 = 6

สตร 3.3!! กาหนดให A =

i hg f e dc b a

จะได det A = i hg f e d c b a

= i hg f e d c b a

∴ det A = a ⋅ e ⋅ i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h - g ⋅ e ⋅ c - h ⋅ f ⋅ a - i ⋅ d ⋅ b ระวง! สตรคณลงตอบเลย คณขนใสลบซอน ใชไดเฉพาะ 2 × 2, 3 × 3

TF-PAT1 (B-PAT1’ต.ค.51) ให a และ b เปนจานวนจรง

ถา X =

2 b 31 a 23 2 1

และ Y =

3 2 13 b 23 a 2

โดยท X และ Y ไมมตวผกผน แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) -1 2) -2 3) -3 4) -4

Sup’k ระวง!!


โจทย det ดเทอรมนนต : สตรของไมเนอร, โคแฟกเตอร นยาม 4.1 กาหนดใหเมทรกซ A = [aij]n×n โดยท aij ∈ R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 2 ไมเนอรของ aij คอ ดเทอรมนนตของเมทรกซทเกดจากการตดแถวท i และหลกท j ออกไป เขยนแทน ไมเนอรของ aij ดวย M(aij), Mij(A)

นยาม 4.2 กาหนดให A = [aij]n×n โดยท aij ∈ R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 2 โคแฟกเตอรของ aij คอ (-1)i+j ⋅ Mij(A) เขยนแทน โคแฟกเตอรของ aij ดวย C(aij) , Cij(A)

เชน A =

3 1 0 1 42 3 2

2 1 1 10 40 2

-- → ∴ M13(A) =

3 1 0 1 42 3 2

2 1 1 1 0 40 2

-- =

3 21 43 2

2 1 1

- = –5

→ ∴ C13(A) = (-1)1+3M13(A) = (-1)4M13(A) = (-1)4(-5) = -5

TF-PAT2 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A =

y1 22 x 21 2 1 -

โดยท x และ y เปนจานวนจรง

ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว det (A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -33 2) -30 3) 30 4) 33


โจทย det ดเทอรมนนต : สตรของ det ดเทอรมนนต กาหนดให A, B และ C เปนเมทรกซจตรสมต n × n และ k เปนคาคงทใดๆ

Happy-Pb8.1 (PAT1’เม.ย.57) กาหนดเมทรกซ A =

4b

a 1 และ I =

1 00 1

เมอ a, b เปนจานวนจรง โดยท ab ≠ 0 ถา 2(A - I)-1 = 4I - A แลวพจารณาขอความตอไปน ก. ab = 2 ข. det (3A2AtA-1) = 324 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด แนวคด

กาหนด A =

4b

a 1 และ I =

1 00 1

โดยท ab ≠ 0

จะได A - I =

3 ba 0

ทาให (A - I)-1 = ab 0(3)1-

0 ba 3

--

=

0 a1

b1 ab

3

-

ก. ผด : เพราะวา 2(A - I)-1 = 4I - A ฉะนน

0 a2

b2 ab

6

- =

0 ba 3

--

จะได - ab6 = 3 และ b

2 = -a และ b2 = -b

ดงนน a = -2 ข. ถก : เมอ ab = -2 จะได

det (AB) = det A ⋅ det B det (cA) = cn ⋅ (det A) det I = 1, det 0 = 0

det (At) = det A det (A-1) = (det A)-1 det (An) = (det A)n

det (-A) = det A , n = ค det (-A) = - det A , n = ค det (A ± B) ≠ det A ± det B


NaDate-Pb2.33 (PAT1’ม.ค.56) ให S เปนเซตของจานวนจรง x ทงหมดททาใหเมทรกซ

x 0 23 1 x7 2 4

--

เปนเมทรกซเอกฐาน

และให y เทากบผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต S

ถา A =

y1

1 y- แลวคาของ det

1t1tA-

-

เทากบเทาใด

ตอบ .............................. DJton–Pb15.1 (แนว PAT1’ต.ค.55) ให A, B, C เปนเมทรกซ ซง det B ≠ 0

ถา A =

7 8 20 6 10 0 5

และ det (B-1CBt) = -4 จงหาคาของ det (CtAC) ตอบ ..............................

KAiOU-Pb2.6 (PAT1’ม.ค.53) ให A และ B เปนเมทรกซทมขนาด 2 × 2

โดยท 2A - B =

6 5 4 4

-- และ A - 2B =

0 4 8 5

-- คาของ det (A4B-1) เทากบเทาใด

ตอบ...........................

KMK-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.52) ถา det

1

5 1 32 2 00 x 0

2

-

= 1 x1- แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4


โจทย det ดเทอรมนนต แนว det (adj A) AVATAR-Pb14.1 (แนวขอสอบตรงเขาแพทย กสพท) กาหนด A เปนเมทรกซ 3 × 3 ทม det (A) = 2

จงหา det (adj(adj (A))) ตอบ........................... แนวคด & เทคนค Peach-Pb2.34 (แนว PAT1’ต.ค.55) กาหนดให A เปนเมทรกซทมมต 3 × 3 โดยท det (A) ≠ 0 จงพจารณาขอความตอไปนวา ถก หรอผด ก. det (A3) = det (adj A) ข. ถา A2 = 2A แลว det A = 2 ขอใดตอไปนสรปถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด

MARARine-Pb46.34.1 กาหนดให A =

12 1 23232 1

-- จงหา det (adj(adj A)) ตอบ ...................

Pb34.2 ให A =

321121211

, B =

35 02 1 01 11

-

- จงหาคาของ det (adj(adj(-5A-1B adj(B2))))

ตอบ .............................. * RaChiNee–Pb11.7 (สามญ’57) ให A = [aij] เปนเมทรกซขนาด 3 × 3 และ det(A) 0

ถา [Mij(A)]

20 54 2 32 11

-

-

และ A-1 = [bij] แลว b11 + b12 + b13 มคาเทาใด

ตอบ ............................



โจทย det ดเทอรมนนต : แนวใชสตรของเมทรกซบวกกน

Happy-Pb8.2 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดให A =

1 02 1--

, I =

1 00 1

และ B เปนเมทรกซใดๆ มต 2 × 2

ให x เปนจานวนจรงทสอดคลองกบ det (A2 + xI) = 0 พจารณาขอความตอไปน ก. det (A + xI) = 0 ข. det (A2 + xI - B) = det (Bt) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด MARARine-Pb27.2 (PAT1’ม.ค.54) กาหนดให x เปนจานวนเตม

และ A =

xx12x เปนเมทรกซ ทม det (A) = 3

ถา B เปนเมทรกซมมต 2 × 2 โดยท BA + BA-1 = 2I เมอ I เปนเมทรกซ เอกลกษณการคณมต 2 × 2 แลวคาของ det (B) อยในชวงใดตอไปน 1) [1, 2] 2) [-1, 0] 3) [0, 1] 4) [-2, -3] TF-PAT3 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเมทรกซมต 2 × 2 โดยท det (A) = 4 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณ ถา A - 3I เปนเมทรกซเอกฐาน แลว det (A + 3I) มคาเทากบเทาใด 1) 12 2) 16 3) 20 4) 26 BRAN-Pb2.36 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให X เปนเมทรกซทสอดคลองกบสมการ

3 421 - + 4X =

3 1 021 2 -

1 3 41

2 3

-

แลวคาของ det (2Xt ⋅ (X + Xt)) เทากบเทาใด ตอบ...........................

SheLL1.12 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให A =

1 01 0

, B =

0 01 1

และ C =

2 01 1

-

คาของ det (2At + BC2 + BtC) เทากบขอใดตอไปน 1) -1 2) 0 3) 2 4) 6

SheLL2.31 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d, t เปนจานวนจรง ถา A =

d cb a

โดยท det (A) = t ≠ 0

และ det (A + t2A-1) = 0 แลวคาของ det (A - t2A-1) เทากบเทาใด ตอบ...........................


NaDate-Pb 1.13 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให A และ B เปนเมทรกซ มมต 3 × 3 โดยท det (A) = 2

และ B =

y2 0x 1 02 3 1

-- เมอ x และ y เปนจานวนจรง

ถา AB + 3A = 2I เมอ I เปนเมทรกซเอกลกษณ ทมมต 3 × 3 แลว x + y เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) -1 3) -2 4) -2.5 เมทรกซผกพนของ A, adj (A) นยาม 2.1 เมทรกซผกพนของ A คอ adj A กาหนดให A = [aij]n×n จะได adj A = [Cij]t โจทยเมทรกซ แนวหาอนเวอรสของ 3 × 3

KMK-Pb2.11 (PAT1’ต.ค.52) ให A =

1 2 1 0 8 3

42 1

--

สมาชกแถวท 3 หลกท 1 ของ A-1 เทากบเทาใด ตอบ...........................

แนวคด ขนท 1 หา det A = 1 2 1 0 8 3

42 1

-- = -70 ≠ 0 ซงสามารถหาอนเวอรสได

ขนท 2 ใชสตร A-1 = A det1 (adj A)

A-1 = 70

1- ⋅ (adj A)

∴ A-1 = 701

- ⋅

t

333231232221131211

C C CC C CC C C

→ A-1=

701

- ⋅

333231232221131211

C C CC C CC C C

=

70C 70

C 70C

70C 70

C 70C

70C 70

C 70C

332313

322212

312111

---

---

---

∴ สมาชกแถวท 3 หลกท 1 ของ A-1 = 70C13- = 70

M (-1) 1331

-⋅+

= 701- 2 1 0 8 3

42 1 (-1)

31

-

-⋅+

= 702 1 8 3

(-1)

31

-

-⋅+

= 708 1 2 3)( (-1) )(31

--- ⋅⋅⋅+

= 0.2

สตร 2.3 A ⋅ adj A = adj A ⋅ A = (det A)I

นยาม 2.2 adj A =

t

333231232221131211

C C CC C CC C C


TF-PAT6 (B-PAT1’ต.ค.51) กาหนดให A = [aij]3×3

เปนเมทรกซ ทม A-1 =

1 2 1 0 8 3

42 1

--

แลว จงหาคาของ a23

1) 0 2) 7016 3) 70

32 4) 7012

TF-PAT7 (PAT1’ม.ค.52) ให At =

41 00 1 1 3 2 2

--

จงหาสมาชกในแถวท 2 และหลกท 3 ของ A-1

1) - 32 2) -2 3) 3

2 4) 2 Happy-Pb8.3 (สามญ’57) ให A = [aij]3×3 และ det (A) > 0

ถา [Mij (A)] =

2 0 54 2 32 1 1

--

และ A-1 = [bij] แลว b11 + b12 + b13 มคาเทาใด

ตอบ........................... โจทยเมทรกซ แนวแกสมการหลายตวแปร TF-PAT8 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา a, b และ c เปนจานวนจรงททาให a - b + 2c = 9 , 2a + b - c = 0 , 3a - 2b + c = 11 แลว a มคาเทากบเทาใด 1) -4 2) -2 3) 2 4) 4 TF-PAT9 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให x, y, z สอดคลองกบระบบสมการ 2x - 2y - z = -5 , x - 3y + z = -6 , -x + y - z = 4 ขอใดตอไปนถก 1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2

3) xyz = 6 4) zxy = -2

TF-PAT10 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให a, b, c เปนจานวนจรงทสอดคลองกบระบบสมการ 2a - 2b - c = 1 , a - 3b + c = 7 , -a + b - c = -5 แลวคาของ a

1 + b2 + c

3 เทากบขอใดตอไปน

1) 0 2) 3 3) 6 4) 9


สรปภาพรวม “โจทยตรโกณมต” เนนเฉพาะทออกขอสอบ

1. โจทยตรโกณมต แนวสตรตรโกณประยกต 2. โจทยตรโกณมต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ) 3. โจทยตรโกณมต แนวอนเวอรสตรโกณ 4. โจทยตรโกณมต แนวกฎของ sin VS กฎของ cos


โจทยตรโกณมต แนวสตรตรโกณประยกต สตร 8.1! สตรผลบวกหรอผลตางของมม

cos (A + B) = cos A ⋅ cos B - sin A ⋅ sin B cos (A - B) = cos A ⋅ cos B + sin A ⋅ sin B

sin (A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B sin (A - B) = sin A ⋅ cos B - cos A ⋅ sin B

tan (A + B) = B tan A tan 1

B tan A tan⋅

+-

, tan (A - B) = B tan A tan 1B tan A tan

⋅+-

พสจน tan (A + B) = B) (A cosB) (A sin

++ = B sin A sin B cos A cos

B sin A cos B cos A sin-+ =

B cos A cosB sin A sin B cos A cos B cos A cos

B sin A cos B cos A sin -+

= B cos A cosB sin A sin B cos A cos

B cos A cosB cos A cosB sin A cos B cos A cos

B cos A sin

-+

= B cos A cosB sin A sin B cos

B cosB cosB sin A cos

A sin

-+

= B tanA tan 1B tan A tan

-+

cot (A + B) = A cot B cot

1 B cot A cot+⋅ - , cot (A - B) = A cot B cot

1 B cot A cot-

+⋅

Hormone Pb1.1 (PAT1’ม.ค.57) ถา x และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ 3 sin (x - y) = 2 sin (x + y) แลว (tan3 x) (cot3 y) เทากบขอใดตอไปน 1) 8 2) 27 3) 64 4) 125

sin2 A + cos2 A = 1 1 + tan2 A = sec2 A 1 + cot2 A = cosec2 A


FPAT-Pb81 (PAT1’ก.ค.52) จงหาวา o

o

10 sin30 sin - o

o

10 cos30 cos มคาเทาใด

1) -4 2) -2 3) 2 4) 4 แนวคด SheLL1.13 (PAT1’ก.ค.53) ถา sin 15° และ cos 15° เปนคาตอบของสมการ x2 + ax + b = 0 แลวคาของ a4 - b เทากบขอใดตอไปน 1) -1 2) 1 3) 2 4) 1 + 3 2 KMK-Pb2.5 (PAT1’ต.ค.52) ถา 1 - cot 20° = o25 cot 1

x-

แลว x มคาเทาใด

ตอบ...........................

ลด


*KAiOU-Pb2.5 (PAT1’ม.ค.53) คาของ ooo

oo

36 cos 18 tan36 sin72 cos 36 cos

+

- เทากบเทาใด

ตอบ........................... วธเรวกวา

ลด

วธจรง ooo

oo

36 cos 18 tan36 sin72 cos 36 cos

+

- = o

o

oo

oo

36 cos 18 cos18 sin 36 sin

18 sin 54 sin 2

-

= oooo

ooo

18 cos 36 cos 18 sin 36 sin18 cos 18 sin 54 sin 2

+ =

)18 (36 cos18 cos 18 sin 54 sin 2

oo

ooo

-

= o

ooo

18 cos18 cos 18 sin 54 sin 2 = 2 sin 54° sin 18° = 2 cos 36° cos 72°

= o

ooo

36 sin72 cos 36 cos 36 sin 2 = o

oo

36 sin72 cos 72 sin = o

oo

36 sin 272 cos 72 sin 2

= o

o

36 sin 2144 sin = 2

1 = 0.5


สตรมม 2A . พสจน จาก สตร sin (A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B แทนคา มม B = มม A จะไดเปน sin (A + A) = sin A ⋅ cos A + cos A ⋅ sin A ∴ sin (2A) = 2 ⋅ sin A ⋅ cos A จบ

แนวบทกลบของมม 2A .

cos 2A = cos2 A - sin2A = 2 ⋅ cos2 A - 1 = 1 - 2 ⋅ sin2 A

= A tan 1A tan 1

22

+

-

sin 2A = 2 sin A ⋅ cos A

= A tan 1

A tan 22+

⋅ tan 2A =

A tan 1A tan 2

2-⋅

cot 2A = A cot 21 A cot2

⋅-

sin2 A = 2

2A cos 1 - พสจน จาก cos 2 A = 1 – 2 ⋅ sin2 A ∴ 2 ⋅ sin2 A = 1 – cos 2A

∴ sin2 A = 22A cos 1 -

cos2A = 2

2A cos 1 + พสจน จาก cos 2A = 2 ⋅ cos2 A – 1 ∴ cos 2A + 1 = 2 ⋅ cos2 A

22A cos 1 + = cos2 A

tan2A = 2A cos 1

2A cos 1+-

พสจน

tan2 A = A cosA sin

22

tan2 A = 2

2A cos 12

2A cos 1

+

-

tan2 A = 2A cos 12A cos 1

+-


โจทยตรโกณประยกต แนวสตรมมสองเทา NaDate-Pb1.9 (PAT1’ม.ค.56) พจารณาขอความตอไปน

ก. oo

oo

10 sin 10 cos10 sin 10 cos

+

- = sec 20° - tan 20°

ข. 3

cot 20° = 1 + 4 cos 20°

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด ***BRAN-Pb2.32 (PAT1’ต.ค.53) ให (sin 1°)(sin 3°)(sin 5°) ⋅ ... ⋅ (sin 89°) = n2

1

คาของ 4n เทากบเทาใด ตอบ......................... FPAT-Pb83 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา θ

θ+ tan 1 tan 1

- = θθθ+

2 cos sin cos A 1 แลว A มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

***SheLL2.29 (PAT1’ก.ค.53) คาของ ∑

∑

=

=44

1n

44

1n

n sin

n cos

o

o

– ∑

∑

=

=44

1n

44

1n

n cos

n sin

o

o

เทากบเทาใด ตอบ...........................


สตรมม 3A และ บทกลบ . sin 3A = 3 ⋅ sin A – 4 ⋅ sin3 A cos 3A = 4 ⋅ cos3 A – 3 ⋅ cos A

tan 3B = B tan 3 1

B tan B tan 32

3

⋅⋅

--

cot 3A = 1 A cot 3

A cot 3 A cot2

3

--

⋅⋅

Hormone Pb1.2 (PAT1’เม.ย.57) ถา cos 5θ = a cos5 θ + b cos3 θ + c ⋅ cos θ เมอ θ เปนจานวนจรงใดๆ แลว a2 + b2 + c2 มคาเทากบเทาใด ตอบ ........................... วธลด

มวธจรง อยหนาถดไป

sin3 A = 43A sin A sin 3 -

cos3 A = 43A cos A cos 3 +

เทคนค เพลงสตรคณต จากคร Sup’k . คา cos 3B กคอ 4 ⋅ cosกาลง three ลบดวย three แลว กคณ cos มม B

แตบอกตอนน ไมร จะเรวไปหรอไม กยงไมรวา เธอคดเชนไร คา cos 4D ตองมตวเลข ................ ..............................................................

ถาบอกคานน แลวเธอตอบมาวา ไมใช ถาเปนแบบน กคงจะเดนหนไป cos มม 5B ……………………………………………………..………………….

มองกนใหด เธอกคงร ในความหวงใย ฉนมอะไรซอนอย ทยงไมร คอ เธอนนคดอยางไร


วธจรงท 1 วธจรงท 2 ให z = cos θ + i sin θ

จะได (cos θ + i sin θ)5 = cos5 θ +

15

(cos θ)4(i sin θ)

+

25

(cos θ)3(i sin θ)2

+

35

(cos θ)2(i sin θ)3 +

45

(cos θ)(i sin θ)4 + (i sin θ)5

cos 5θ + i sin 5θ = cos5 θ + 5i cos4 θ sin θ - 10 cos3 θ sin2 θ - 10i cos2 θ sin3 θ + 5 cos sin4 θ + i sin5 θ cos 5θ + i sin 5θ = cos5 θ - 10 cos3 θ sin2 θ + 5 cos θ sin4 θ + i(5 cos4 θ sin θ - 10 cos2 θ sin3 θ + sin5 θ) เทยบสวนจรง จะได cos 5θ = cos5 θ - 10 cos3 θ sin2 θ + 5 cos θ sin4 θ = cos5 θ - 10 cos3 θ (1 - cos2 θ) + 5 cos θ (1 - cos2 θ)2 = cos5 θ - 10 cos3 θ + 10 cos5 θ + 5 cos θ (1 - 2 cos2 θ + cos4 θ) = 11 cos5 θ - 10 cos3 θ + 5 cos θ - 10 cos3 θ + 11 cos5 θ = 16 cos5 θ - 20 cos3 θ + 5 cos θ เทยบกบรปแบบ cos 5θ = a cos5 θ + b cos3 θ + c cos θ จะได a = 16, b = -20, c = 5 ดงนน a2 + b2 + c2 = 256 + 400 + 25 = 681 ตอบ

Tips จากคร Sup’k ใชเทคนค จานวนเชงขว และทวนามชวยจดรปสตร


โจทยตรโกณประยกต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ) NaDate-Pb2.28 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให x เปนจานวนจรง โดยท sin x + cos x = 3

4

ถา (1 + tan2 x) cot x = ba เมอ a และ b เปนจานวนเตม โดยท ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ 1

แลว a2 + b2 เทากบเทาใด ตอบ .............................. แนวคด & เทคนค เนองจาก sin x + cos x = 3

4

(sin x + cos x)2 = 916

sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 916

1 + 2 sin x cos x = 916

sin x cos x = 187

เพราะวา (1 + tan2 x) cot x =

+

x cosx sin 1 2

2x sinx cos

= x sinx cos + x cos

x sin

= x cos x sinx sin x cos 22 +

= 18

7 1

(1 + tan2 x)cot x = 718

เพราะวา ห.ร.ม. ของ 18 และ 7 เทากบ 1 จงได a = 18, b = 7 ∴ a2 + b2 = 182 + 72 = 373 ตอบ

KAiOU-Pb1.7 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให x เปนจานวนจรง ถา sin x + cos x = a และ sin x – cos x = b แลวคาของ sin 4x เทากบขอใดตอไปน 1) 2

1 (a3b - ab3) 2) 21 (ab3 - a3b)

3) ab3 - a3b 4) a3b - ab3



KMK-Pb2.6 (PAT1’ต.ค.52) ถา (sin θ + cos θ)2 = 2

3 เมอ 0 ≤ θ ≤ 4π แลว arccos (tan 3θ) มคาเทาใด

ตอบ ..............................

FPAT-Pb82 (PAT1’ม.ค.52) ถา cos θ - sin θ = 35 แลวคาของ sin 2θ เทากบขอใดตอไปน

1) 134 2) 13

9 3) 94 4) 9

13

BRAN-Pb2.33 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a เปนจานวนจรง และสอดคลองกบสมการ

5(sin a + cos a) + 2 sin a cos a = 0.04 จงหาคาของ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a ตอบ.............. วธจรง ให x = sin a + cos a และ y = sin a cos a จากโจทยจะได 5x + 2y = 0.04 ...(1) เนองจาก x2 = (sin2 a + cos2 a) + 2 sin a cos a = 1 + 2y = 1 + sin 2a ฉะนน x2 = 1 + 2y ...(2) พจารณา x2 = 1 + sin 2a จะได 0 ≤ x2 ≤ 2 ฉะนน - 2 ≤ x ≤ 2 (1) + (2) ; x2 + 5x = 1.04 x2 + 5x - 1.04 = 0 (x + 5.2)(x - 0.2) = 0 x = 0.2, -5.2 แต - 2 ≤ x ≤ 2 จงได x = 0.2 เทานน สงผลให y = 2

1 ((0.2) - 1) = -0.48

เพราะวา sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)(sin2 a - sin a cos a + cos2 a) = x(1 - y) ∴ 125 (sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 125x(1 - y) + 75y = 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48) = 37 - 36 = 1 ตอบ


โจทยตรโกณประยกต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ) Peach-Pb1.2 (แนว PAT1’ต.ค.55) สาหรบ จานวนจรง θ ใดๆ ให a และ b เปนคามากทสดของ cos4 θ - sin4 θ และ 3 ⋅ sin θ + 4 ⋅ cos θ ตามลาดบ จงหาคาของ a + b ตอบ ................. แนวคด & เทคนค จากคร Sup’k

สตร 22.1! สตร ผลบวก ผลตาง → ผลคณ . sin A + sin B = 2 sin

+

2B A cos

2B A - = 2 sin (half sum) cos (half diff)

sin A - sin B = 2 cos

+

2B A sin

2B A - = 2 cos (half sum) sin (half diff)

cos A + cos B = 2 cos

+

2B A cos

2B A - = 2 cos (half sum) cos (half diff)

cos A - cos B = -2 sin

+

2B A sin

2B A - = -2 sin (half sum) sin (half diff)

สตร 23.1! สตร ผลคณ → ผลบวก ผลตาง . 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) = sin (sum) + sin (diff) ก 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) = sin (sum) - sin (diff) ก 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B) = cos (sum) + cos (diff) -2 sin A sin B = cos (A + B) - cos (A - B) = cos (sum) - cos (diff)



Hormone Pb1.3 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดให θ เปนจานวนจรงใดๆ พจารณาขอความตอไปน ก. 16 sin3 θ cos2 θ = 2 sin θ + sin 3θ - sin 5θ

ข. sin 3θ = (sin 2θ + sin θ)(2 cos θ - 1) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด วธลด วธจรง ก. ถก 2 sin θ + sin 3θ - sin 5θ = (sin 3θ + sin θ) - (sin 5θ - sin θ) = (2 sin 2θ cos θ) - (2 cos 3θ sin 2θ) = (2 sin 2θ)(cos θ - cos 3θ) = (4 sin θ cos θ)(-2 sin 2θ sin (-θ)) = (4 sin θ cos θ)(4 sin θ cos θ sin θ) = 16 sin3 θ cos2 θ ข. ถก (sin 2θ + sin θ)(2 cos θ - 1) = (2 sin θ cos θ + sin θ)(2 cos θ - 1) = (sin θ)(2 cos θ + 1)(2 cos θ - 1) = (sin θ)(4 cos2 θ - 1) = (sin θ)(4 - 4 sin2 θ - 1) = 3 sin θ - 4 sin3 θ = sin 3θ



Peach-Pb2.22 (แนว PAT1’ต.ค.55) จงพจารณาความถก ผดของขอความตอไปน

ก. cos 5π + cos 5

3π + cos π = 21

ข. tan 167π + tan 8

3π = cosec 8π

ขอใดตอไปนสรปถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด Hormone Pb1.4 (PAT1’ม.ค.57) ให sin θ - sin 2θ + sin 3θ = 0 โดยท 0 < θ < 2

π

ถา a = θθθθ

2 cos cos2 tan tan

-- และ b = θθθ

θθθ++++

5 cos 4cos 3 cos5 sin 4sin 3 sin

แลวคาของ a4 + b4 เทากบเทาใด ตอบ………………… ตอบ 0153.00 แนวคด sin θ - sin 2θ + sin 3θ = 0 (sin 3θ + sin θ) - sin 2θ = 0 ใชสตรเปลยนผลบวก ไปเปนผลคณ ; 2 sin 2θ cos θ - sin 2θ = 0 (sin 2θ)(2 cos θ - 1) = 0

เพราะวา 0 < θ < 2π จะได 0 < 2θ < π ฉะนน sin 2θ ≠ 0

จงไดวา 2 cos θ - 1 = 0

cos θ = 21

θ = 3π

จะได a = 32 cos 3 cos32 tan 3 tanππ

ππ

--

=

21 2

1)3( 3

---- = 2 3

b = θθθθθθ

++++

5 cos 4cos 3 cos5 sin 4sin 3 sin

= θθθθθθ

++

4cos cos 4cos 2 4sin cos 4sin 2

= tan 4θ = tan 34π = 3

∴ a4 + b4 = (2 3 )4 + ( 3 )4 = 144 + 9 = 153


โจทยตรโกณมต แนวอนเวอรสตรโกณ

สตร 3.1!! arctan x + arctan y = arctan xy 1 y x

-+ เมอ - 2

π < arctan x + arctan y < 2π


-+ + π เมอ 2

π < arctan x + arctan y


-+ - π เมอ arctan x + arctan y < - 2

π

สตร 3.4!! arctan x – arctan y = arctan xy 1 y x

+-

สตร 35.1! ระวงเงอนไขของ x ดวย arcsin (-x) = -arcsin x arccos (-x) = π - arccos x arctan (-x) = -arctan x arccot (-x) = π - arccot x arccosec (-x) = -arccosec x arcsec (-x) = π - arcsec x

สตร 35.2! ระวงเงอนไขของ x ดวย arcsin x

1 = arccosec x

arccos x1 = arcsec x

arctan x1 = arccot x

arccot x1 = arctan x

arccosec x1

= arcsin x

arcsec x1 = arccos x

สตร 35.3!! arcsin (sin x) = x เมอ - 2

π ≤ x ≤ 2π

arccos (cos x) = x เมอ 0 ≤ x ≤ π arctan (tan x) = x เมอ - 2

π < x < 2π

arccot (cot x) = x เมอ 0 < x < π arccosec (cosec x) = x เมอ x ∈

π 0 , 2 - U

π

2 , 0

arcsec (sec x) = x เมอ x ∈

π

2 , 0 U

ππ , 2


Peach-Pb1.26 (แนว PAT1’ต.ค.55) จงหาคาของ sec2

+⋅ 7

1 arctan 31 arctan 2

ตอบ ............................... แนวคด & เทคนค จากคร Sup’k

BRAN-Pb2.31 (PAT1’ต.ค.53) จงหา

+

+

1312 arctan 13

5 arcsin sin97 arctan 3

1 arccot 51 arccot tan -

ตอบ ...............................

MEP-Pb1.3 (แนวสามญ) cos

11)2 arctan (2sec arcsin

2

มคาเทากบเทาใด

ตอบ ............................... MEP-Pb1.3.2 (สามญ) sin2 (2 ⋅ arctan 2 ) มคาเทากบเทาใด ตอบ ...............................

Hormone Pb1.4 (PAT1’ม.ค.57) cot

+326 1 arccos 3

2 arccos - มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 32 2) 3

1 3) 326 1 + 4) 3


โจทยตรโกณประยกต แนวสมการอนเวอรสตรโกณ Hormone Pb1.5 (สามญ’57) ผลบวกของคาตอบของสมการ 2 arcsin (x2 - 3x + 1) + π = 0 เทากบเทาใด ตอบ .......................................... แนวคด 2 arcsin (x2 - 3x + 1) + π = 0 2 arcsin (x2 - 3x + 1) = -π arcsin (x2 - 3x + 1) = - 2

π

x2 - 3x + 1 = -1 x2 - 3x + 2 = 0 (x - 1)(x - 2) = 0 → ∴ x = 1, 2 ตรวจคาตอบแลวผาน ดงนน ผลบวกของคาตอบของสมการ = 1 + 2 = 3 FPAT-Pb87 (B-PAT1’ต.ค.51) จานวนคาตอบทแตกตางกนของสมการ arcsin x = 2 arccos x มกคา 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 วธทา & เทคนค

Peach-Pb2.39 (แนว PAT1’ต.ค.55) ให arcsec x = 2 ⋅ arccos 52 - arcsin 17

1

แลวจงหาคาของ cot

+π x arcsec 2

1) - 913 2) 9

13

3) - 1613 4) 16

13

FPAT-Pb89 (PAT1’ก.ค.52) ถา arcsin (5x) + arcsin (x) = 2π แลว tan (arcsin x) มคาเทาใด

1) 51 2) 5

1 3) 31 4) 3

1 FPAT-Pb88 (PAT1’ม.ค.52) ให -1 ≤ x ≤ 1 เปนจานวนจรง ซง arccos x - arcsin x = 2552

π

แลวคาของ sin

π2552 เทากบขอใดตอไปน

1) 2x 2) 1 - 2x2 3) 2x2 - 1 4) -2x

สตรลด จากคร Sup’k I สตรลด จากคร Sup’k II


SheLL1.6 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจานวนจรง ถา arcsin x = 4π

แลวคาของ sin

+π )(x arccos 15

2 อยในชวงใดตอไปน

1)

21 , 0 2)

21 , 2

1 3)

23 ,

21 4)

1 , 23

KAiOU-Pb2.4 (PAT1’ม.ค.53) ให α และ β เปนมมแหลมของรปสามเหลยมมมฉาก

โดยท tan α = ba ถา cos

+ 22 b aa arcsin + sin

+ 22 b aa arccos = 1

แลว sin β มคาเทากบเทาใด ตอบ.................................. NaDate-Pb1.10 (PAT1’ม.ค.56) ถา x เปนจานวนจรงทมากสด โดยท 0 < x < 1

และสอดคลองกบ arctan (1 - x) + arccot

2x1 = 2 arcsec x) 2x(1 1 -+

แลวคาของ cos πx ตรงกบขอใดตอไปน

1) -1 2) 0 3) 21 4) 2

3 ตอบ 3) แนวคด ให y = arcsec x) 2x(1 1 -+ , 0 < x < 1 → sec y = x) 2x(1 1 -+ ทาให tan y = x) 2x(1 - ดงนน y = arctan x) 2x(1 -

ตอไปแกสมการ arctan (1 - x) + arccot

2x1 = 2 arcsec x) 2x(1 1 -+

arctan (1 - x) + arctan (2x) = 2 arctan x) 2x(1 - tan (arctan (1 - x) + arctan (2x)) = tan (2 arctan x) 2x(1 - )

x)(2x) (1 12x x) (1

--- + = x) 2x(1 1

x) 2x(12---

22x 2x 1x 1+

+

- = 22x 2x 1

x) 2x(12+-

-

1 + x = 2 x) 2x(1 - 1 + 2x + x2 = 4(2x - 2x2) 9x2 - 6x + 1 = 0 ∴ (3x - 1)2 = 0 → x = 3

1 ตรวจคาตอบแลวผาน

∴ จะหาคาของ cos πx = cos 3π = 2

1 ตอบ


NaDate-Pb2.32 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให 0 < θ < 2π

โดยท θ = arctan

+x 11 x

- - arctan x เมอ 0 < x < 1

คาของ tan θ + cot θ เทากบเทาใด ตอบ.................................. โจทยตรโกณประยกต แนวกฎของ sin VS กฎของ cos

สตร 42.1! สตรของพนทสามเหลยม . พนท ∆ ABC = 2

1 a ⋅ b ⋅ sin C

พนท ∆ ABC = 21 b ⋅ c ⋅ sin A

พนท ∆ ABC = 21 a ⋅ c ⋅ sin B

สตร 42.21! กฎของ sin .

สตร 42.3! กฎของ cos .

กฎของ cos a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ bc ⋅ cos A b2 = a2 + c2 - 2 ⋅ ac ⋅ cos B c2 = a2 + b2 - 2 ⋅ ab ⋅ cos C

กฎของ sin

A sinaˆ =

B sinbˆ =

C sincˆ

A

BC a ซม.

c ซม.b ซม.

A

BC a ซม.

c ซม.b ซม.

A

BC a ซม.

c ซม.b ซม.


โจทยตรโกณประยกต แนวกฎของ sin BRAN-Pb1.7 (PAT1’ต.ค.53) ให ABC เปนรปสามเหลยม ดงรป ถา CBAˆ = 30°, CABˆ = 135° และ AD และ AE แบง CABˆ ออกเปน 3 สวนเทาๆ กน แลว BC

EC มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 3

3) 21 4) 2

แนวคด ใน ∆ABC จะได BCAˆ = 180° - 135° - 30° = 15° โดยกฎของไซน

ได AC30 sin o

= BC135 sin o

2(AC)

1 = (BC)21

BC = 2 (AC)

ใน ∆ACE จะได EACˆ = 3135o = 45°

และ CEAˆ = 180° - 45° - 15° = 120°

โดยกฎของไซนได AC120 sin o

= EC 45sin o

2(AC)3 =

(EC)21

EC = 3

(AC)2 EC =

3BC → ∴ BC

EC = 31

A

B D E C

A

B D E C

45°45°

30° 120° 15°


โจทยตรโกณประยกต แนวกฎของ sin ผสมกฎของ cos Duem-Pb2.8 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กาหนดใหรปสามเหลยม ABC มดานตรงขามมม A, B, C ยาว a, b, c ตามลาดบ และ (sin A - sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C

จงหาคาของ B sec 3 B cosec 3 22 + ตอบ ................... แนวคด & เทคนค ขนท 1 ใน ∆ABC โดยกฎของ sin

A sina = B sin

b = C sinc

∴ A sina = B sin

b = C sinc = สมมตตวแปรเพม = k

∴ A sina = k , B sin

b = k , C sinc = k

∴ ka = sin A , k

b = sin B , kc = sin C → (*)

ขนท 2 จากโจทยกาหนดให (sin A - sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C

แทนจาก (*) ;

+ kc k

b ka -

++ kc k

b ka = 3 ⋅

ka

⋅

kc

+

kc b a -

++

kc b a = 3 ⋅

2kca ⋅

(a - b + c)(a + b + c) = 3 ⋅

a ⋅

c ((a + c) - b)((a + c) + b) = 3ac (a + c)2 - b2 = 3ac a2 + 2ac + c2 - b2 = 3ac a2 - ac + c2 = b2 a2 + c2 - b2 = ac ขนท 3 จากขนทแลว a2 + c2 - b2 = ac

นา 2ac หารทงสองขาง ∴ 2acb c a 222 -+ = 2ac

ac

∴ 2acb c a 222 -+ = 2

1

โดยกฎของ cos ; ∴ cos B = 21

∴ B = 60° ตอบ

สตรลด จากคร Sup’k

กฎของ cos

b2 = a2 + c2 - 2 ⋅

ac ⋅

cos B

จดรปใหม ∴ 2 ac ⋅

cos B = a2 + c2 - b2 ∴ cos B = 2ac

b c a 222 -+


NaDate-Pb1.16 (PAT1’ม.ค.56) กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ ถาดานตรงขามมม A ยาว 14 หนวย, ความยาวของเสนรอบรปสามเหลยมเทากบ 30 หนวย และ 3 sin B = 5 sin C แลว sin 2A เทากบขอใดตอไปน

1) - 21

2) - 2

3 3) 21 4) 2

3

Hormone Pb1.6 (PAT1’เม.ย.57) ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B และ C เปนมมแหลม และสอดคลองกบ ก. 25 cos B - 13 cos C = 15 ข. 65 (cos B + cos C) = 77 ค. ความยาวดานทอยตรงขามมม C ยาว 20 หนวย จงหาความยาวเสนรอบรปของ ∆ABC ตอบ ......................................... Hormone Pb1.7 (PAT1’ม.ค.57) กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ โดยทความยาวตรงขามมม A, มม B, มม C เทากบ a หนวย, b หนวย, c หนวย ตามลาดบ ถามม A มขนาดมากกวา 90° , มม B มขนาด 45° และ 2 c = ( 3 - 1)a แลว cos2 (A - B - C) + cos2 B + cos2 C เทากบเทาใด ตอบ .........................................


เฉลยคาตอบ ชทตวแบรนดซมเมอรแคมป ในสวนของคร Sup’k NaDate-Pb2.48 ตอบ 10 SheLL2.46 ตอบ x = 3 SheLL2.47 ตอบ x = 9 SheLL2.4 ตอบ x = 3 BRAN-Pb1.25 ตอบ 1) TF-PAT119 ตอบ 4) TF-PAT120 ตอบ 2) TF-PAT123 ตอบ 3) TF-PAT124 ตอบ 3) BRAN-Pb1.20 ตอบ 4) KAiOU-Pb1.24 ตอบ 4) SheLL2.49 ตอบ 208 NaDate-Pb2.49 ตอบ 6 QET-G-Pb26.1 ตอบ 4) QET-G-Pb23.2 ตอบ 1) QET-G-Pb23.3 ตอบ 4) VetaNaDate-Pb1.25 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.22 ตอบ 3) SheLL1.24 ตอบ 4) DiAMK-Pb1.25 ตอบ 2) SheLL1.10 ตอบ 1) DiAMK-Pb1.2 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.11 ตอบ 2) Sup’k-Pb2.29.1 ตอบ 2 ตว Sup’k-Pb2.29.2 ตอบ 2 ตว FPAT-Pb14 ตอบ 2) FPAT-Pb1 ตอบ 1) FPAT-Pb3 ตอบ 2) SheLL1.11 ตอบ 2) AVATAR-Pb5.1 ตอบ 2) KMK-Pb1.8 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.12 ตอบ 2) FPAT-Pb4 ตอบ 3) NaDate-Pb2.27 ตอบ 20 NaDate-Pb2.30 ตอบ 4 BRAN-Pb2.27 ตอบ 13 KAiOU-Pb2.2 ตอบ 5 SheLL2.27 ตอบ 2 SheLL1.14 ตอบ 2) FPAT-Pb9 ตอบ 1) FPAT-Pb8 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.10 ตอบ 1) FPAT-Pb7 ตอบ 4) BRAN-Pb1.11 ตอบ 1) FPAT-Pb11 ตอบ 3) NaDate-Pb2.29 ตอบ 5 KMK-Pb 2.10 ตอบ 4 FPAT-Pb12 ตอบ 3) KMK-Pb2.9 ตอบ 6 NaDate-Pb1.12 ตอบ 3) SheLL1.1 ตอบ 2) KMK-Pb1.2 ตอบ 1) FPAT-Pb17 ตอบ 2) FPAT-Pb18 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.1 ตอบ 4) NaDate-Pb1.3 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.2 ตอบ 3) FPAT-Pb21 ตอบ 4) KMK-Pb1.1 ตอบ 4) FPAT-Pb22 ตอบ 1) FPAT-Pb32 ตอบ 2) FPAT-Pb34 ตอบ 1) FPAT-Pb35 ตอบ 2) FPAT-Pb36 ตอบ 4) FPAT-Pb37 ตอบ 4) KMK-Pb1.4 ตอบ 1) FPAT-Pb39 ตอบ 1) FPAT-Pb41 ตอบ 1) FPAT-Pb43 ตอบ 3) FPAT-Pb42 ตอบ 1) KMK-Pb1.5 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.4 ตอบ 1) BRAN-Pb1.3 ตอบ 4) FPAT-Pb46 ตอบ 4) FPAT-Pb45 ตอบ 2) SheLL1.4 ตอบ 3) NaDate-Pb1.4 ตอบ 3) KAiOU-Pb1.15 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.9 ตอบ 4) FPAT-Pb49 ตอบ 1) SheLL1.9 ตอบ 2) BRAN-Pb1.8 ตอบ 4) NaDate-Pb1.8 ตอบ 4) KMK-Pb1.9 ตอบ 2) BRAN-Pb2.34 ตอบ 17 FPAT-Pb50 ตอบ 1) FPAT-Pb54 ตอบ 1) FPAT-Pb55 ตอบ 4) FPAT-Pb56 ตอบ 3) KMK-Pb2.8 ตอบ 8 KMK-Pb1.6 ตอบ 4) FPAT-Pb57 ตอบ 3) FPAT-Pb58 ตอบ 4) FPAT-Pb59 ตอบ 1) NaDate-Pb2.31 ตอบ 162 KMK-Pb1.10 ตอบ 1) FPAT-Pb62 ตอบ 4) FPAT-Pb63 ตอบ 1) FPAT-Pb64 ตอบ 3) KAiOU-Pb1.8 ตอบ 3) SheLL1.8 ตอบ 1) NaDate-Pb1.17 ตอบ 4) FPAT-Pb77 ตอบ 1) FPAT-Pb78 ตอบ 1) FPAT-Pb75 ตอบ 1) FPAT-Pb70 ตอบ 2) PAT-Pb71 ตอบ 3) FPAT-Pb72 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.6 ตอบ 4) FPAT-Pb65 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.13 ตอบ 1)


AVATAR-Pb6.1 ตอบ f-1(x) = log x 1

x 1-+ KMK-Pb 2.3 ตอบ 7.5 FPAT-Pb66 ตอบ 4)

FPAT-Pb66.1 ตอบ 3) FPAT-Pb67 ตอบ 2) KAiOU-Pb2.22 ตอบ 7 KAiOU-Pb1.5 ตอบ 2) SheLL2.28 ตอบ 1 SheLL1.18 ตอบ 1) BRAN-Pb1.4 ตอบ 2) FPAT-Pb76 ตอบ 4) NaDate-Pb1.11 ตอบ 2) FPAT-Pb79 ตอบ 1) NaDate-Pb1.7 ตอบ 1) KMK-Pb2.4 ตอบ 6 BRAN-Pb2.42 ตอบ 262 TF-PAT4 ตอบ 4) SheLL2.30 ตอบ 4 KAiOU-Pb2.7 ตอบ 6 BRAN-Pb1.12 ตอบ 1) KMK-Pb1.11 ตอบ 3) TF-PAT1 ตอบ 2) TF-PAT2 ตอบ 4) KAiOU-Pb2.6 ตอบ 32 KMK-Pb1.12 ตอบ 4) AVATAR-Pb14.1 ตอบ 16 TF-PAT3 ตอบ 4) BRAN-Pb2.36 ตอบ 396 SheLL1.12 ตอบ 3) SheLL2.31 ตอบ 4 NaDate-Pb1.13 ตอบ 4) TF-PAT6 ตอบ 4) TF-PAT7 ตอบ 3) KMK-Pb2.11 ตอบ 0.2 TF-PAT8 ตอบ 3) TF-PAT9 ตอบ 1) TF-PAT10 ตอบ 1) SheLL1.13 ตอบ 3) KMK-Pb2.5 ตอบ 2 KAiOU-Pb2.5 ตอบ 0.5 FPAT-Pb83 ตอบ 2) SheLL2.29 ตอบ 2 KAiOU-Pb1.7 ตอบ 3) KMK-Pb2.6 ตอบ 0 FPAT-Pb82 ตอบ 3) BRAN-Pb2.31 ตอบ 1 FPAT-Pb87 ตอบ 1) FPAT-Pb89 ตอบ 1) FPAT-Pb88 ตอบ 2) SheLL1.6 ตอบ 4) KAiOU-Pb2.4 ตอบ 0.5 NaDate-Pb2.32 ตอบ 2 Hormone Pb1.6 ตอบ 54 Hormone Pb1.7 ตอบ 2

คณตศาสตร (210) ________________________________________โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26

เกงขอสอบ

ชดท 1 1. จากการสอบถามผหญงจานวน 100 คน เกยวกบดอกไมทชอบ ระหวางดอกกหลาบกบดอกมะล พบวา

22 คนชอบทงสองชนด 11 คนไมชอบดอกกหลาบและไมชอบดอกมะล 53 คนชอบดอกมะล มจานวนผหญงทชอบดอกกหลาบเพยงอยางเดยวกคน

1) 36 คน 2) 58 คน 3) 67 คน 4) 89 คน

2. กาหนดให a, b เปนคาตอบของสมการ |7 - 2x| = 9 และ c, d เปนคาตอบของสมการ x1 2x2 - = 1 แลว

คาของ a + b + c + d เทากบขอใดตอไปน 1) -5.5 2) -2.5 3) 3.5 4) 7.5

3. ถา x2xx

93 3 ++ = 9 แลว ( 3 )x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 35 2) 3

10 3) 35 4) 3

10 4. รปสามเหลยมดานเทารปหนงมพนทเทากบ 4

33 ตารางเซนตเมตร แลวความยาวของเสนรอบรปสามเหลยมรปนตรงกบขอใด

1) 3 เซนตเมตร 2) 9 เซนตเมตร 3) 27 เซนตเมตร 4) 81 เซนตเมตร 5. กาหนด Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม โดยท Sn = 2n2 - 25 แลวพจนท 7 ของอนกรมนมคา

เทากบขอใด 1) 26 2) 47 3) 73 4) 120 6. รปสามเหลยม ABC ทมมม C เปนมมฉาก ถา sin A = 5

2 และ AB ยาว 5 หนวย แลวพนท

รปสามเหลยม ABC ตรงกบขอใด 1) 5 ตารางหนวย 2) 2 5 ตารางหนวย 3) 5 ตารางหนวย 4) 10 ตารางหนวย 7. กราฟพาราโบลารปหนงมจดวกกลบทจด (2, -3) ตดแกน X ทจด (5, 0) แลวจดตดแกน X ของกราฟ

พาราโบลารปดงกลาวอกหนงจดคอจดในขอใด 1) (-3, 0) 2) (-1, 0) 4) (1, 0) 4) (8, 0)


8. กาหนดแผนภาพตน-ใบ แสดงคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนจานวน 19 คน ดงน ตน ใบ 1 2 3 4

3 8 2 0 8 7 9 4 5 3 6 5 8 1 5 3 2 8 9

ขอใดคอคะแนนสอบของนกเรยนตรงตาแหนงเปอรเซนไทลท 60 1) 18 2) 28 3) 36 4) 43 9. กาหนดขอมล 7 จานวน ดงน 15 8 11 22 34 11 25 ขอใดตอไปนเรยงลาดบไดถกตอง 1) ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต < คามธยฐาน 2) ฐานนยม < คามธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต 3) คามธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต 4) คามธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม 10. นาเลขโดดทงหมดมาสรางเปนจานวนคสามหลก โดยทเลขโดดในแตละหลกไมซากนไดทงสนกจานวน 1) 328 จานวน 2) 360 จานวน 3) 504 จานวน 4) 720 จานวน 11. จงพจารณาการใหเหตผลตอไปน ก. เหต 1. นกเรยนทกคนเปนคนขยน

2. นายมารโอไมใชนกเรยน ผล นายมารโอไมใชคนขยน ข. เหต 1. คนทเลนอคเลเลทกคนจะเปนคนอารมณด 2. คนอารมณดทกคนจะมความสข ผล คนทเลนอคเลเลทกคนเปนคนมความสข ขอความใดสรปถกตอง 1) ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล 2) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 3) สมเหตสมผลทง ก. และ ข. 4) ไมสมเหตสมผลทง ก. และ ข. 12. กาหนด 3, 3, 8, 6, 13, 9, 18, 12, ... โดยใชหลกการใหเหตผลแบบอปมย พจนท 19 มคาเทากบขอใด 1) 48 2) 47 3) 29 4) 28 13. ให a = 3 - 2 และ b = 3 + 2 ขอใดเปนอนเวอรสการคณของ ab + 2a - 2b 1) - 5

1 2) - 91 3) 9

1 4) 51

14. กาหนด f = {(-2, 5), (0, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9)} คาของ f(-2) + f(0) - f(4) - f(2) ตรงกบขอใด 1) 0 2) -6 3) -5 4) 27


15. กาหนด (x + y, 2) = (8, x - y) คาของ |x| + |y| - 2|xy| คอขอใด 1) -38 2) -22 3) 22 4) 38 16. กาหนด f(x) = |x + 2| - 5 และ g(x) = |x| + 3 คาของ Rf - Rg เปนสบเซตในขอใด 1) (-7, 2] 2) (-5, 2] 3) (-6, 4) 4) [-3, 3] 17. กาหนด g(x) = x2 - 2x + 5 ถาคาของ g(x - 1) = x2 + ax + b เมอ a, b เปนจานวนจรง แลวคาของ a + b เทากบเทาใด 1) 4 2) 3 3) -3 4) -4 18. กาหนด f(x) = 2x2 + 8x + c เมอ c เปนจานวนจรง คา c ททาให f(x) มคาตาสดเปน -5 คอขอใด 1) -13 2) -3 3) 3 4) 13

19. กาหนด 2yx

53 +

= 125

27 และ 3x

32

= 729

64 คาของ x + y ตรงกบขอใด

1) 1 2) 23 3) 2 4) 2

5 20. กาหนดให A, B และ C เปนมมแหลมท cos B = 10

1 และ cos C = 215 ถา 2

A sin = 7 cos B - 3 tan C แลว sec A tan A มคาเทากบขอใด

1) 1615 2) 25

12 3) 54 4) 5

3 21. กาหนดให A = 8 + 3 3 512 125 + และ B = 256 + 3 27- - 4 64 คาของ AB ตรงกบขอใด 1) 5 2) 31 3) 161 4) 177 22. ให a และ b เปนจานวนจรงบวกรปอยางงาย

และมเลขชกาลงเปนบวกของ 3/5

1/221/34/3

baba

-- ÷ 6

2/31/23/42/3

baba

-- ตรงกบขอใด

1) 85

ba 2) a5b8 3) 5

9

ab 4) 9

5

ba

23. คาของ sin2 15° + sin2 75° + 2(1 - sec2 75°)(sec2 15° - 1) เทากบขอใด 1) 3 2) 1 3) -1 4) -3 24. นายดายนอย ณ ทศตะวนออกของเสาธง เขามองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 30° สวนนายแดงยนอยทาง

ทศตะวนตกของเสาธง เขามองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 60° ถาเขาทงสองอยหางกน 100 เมตร ความสงของเสาธงเทากบขอใด

1) 25 เมตร 2) 25 3 เมตร 3) 50 เมตร 4) 50 3 เมตร 25. ถา 3a - 1, b - a, 7b + 8 เปนลาดบเลขคณต แลว a + b มคาเทาใด 1) - 5

7 2) - 75 3) 7

5 4) 57


26. พจนท 16 ของลาดบเรขาคณตเทากบขอใด 1) 25 5 2) 125 625

1 , 51251 , 125

1 , ...

3) 125 5 4) 625 27. ถาพจนท n ของอนกรมเลขคณตเปน 2n - 5 แลวผลบวก 15 พจนแรกของอนกรมนเทากบขอใด 1) 165 2) 175 3) 185 4) 195 28. กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน 1) 3

16 2) 320 3) 3

26 4) 332

29. ถา A = 2

50 sin 40sec30 cot 60 csc

oooo และ B = 2) 45sin 45(cos

)30 tan 60 cot (23oo

oo

+

- แลวคาของ A2 - 2AB + 4B2

เทากบเทาใด 1) 9 2) 11 3) 13 4) 16 30. จากสมการ y = 2x2 - 8x + 5 เมอจดใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดย a, h และ k เปนจานวนจรง

แลวคาของ 2a + h - k คอขอใด 1) 11 2) 9 3) 5 4) 3 31. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง ความนาจะเปนทผลรวมของแตมบนหนาลกเตาไมถง 10 เปนเทาใด 1) 12

1 2) 1211 3) - 12

1 4) 65

32. สมจานวน 1 จานวน จากจานวนนบตงแต 11 ถง 50 ความนาจะเปนทไดจานวนท 4 และ 6 หารลงตว

เปนเทาใด 1) 40

13 2) 407 3) 4

1 4) 101

33. กาหนดให A และ B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U โดยท n(U) = 10, n(A) = 7, n(B) = 6 และ

n[P(AIB)] = 32 คาของ n[AUB)′] ตรงกบขอใด 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 34. นกเรยนหองหนงมสวนสงเฉลย 156 เซนตเมตร เฉพาะนกเรยนชายมสวนสงเฉลย 168 เซนตเมตร สวน

นกเรยนหญงมสวนสงเฉลย 148 เซนตเมตร จงหาอตราสวนของจานวนนกเรยนชายตอจานวนนกเรยนหญงเปนเทาใด

1) 3 : 2 2) 2 : 3 3) 3 : 4 4) 4 : 3 35. ถาขอมลชด X กบชด Y มความสมพนธในรป Yi = 3Xi - 2 โดยท i = 1, 2, 3, ..., 10 และคาเฉลย

เลขคณตของขอมลชด X เปน 32 แลวขอมลชด Y จะมคาเฉลยเลขคณตเปนเทาใด 1) 23 2) 46 3) 94 4) 96


ชดท 2 36. กาหนดจานวนสมาชกของเซตตามตารางตอไปน

เซต AU BU C AU B BU C AU C AI BI C จานวนสมาชก 46 37 39 38 4

คาของ n(A) + n(B) + n(C) เทากบขอใดตอไปน 1) 72 2) 84 3) 96 4) 156 37. กาหนดให ประพจน (∼p ↔ ∼r) ∨ (p ↔ q) มคาความจรงเปนเทจ ประพจนใดตอไปนมคาความจรง

เปนเทจ 1) ∼p → (q ∨ r) 2) ∼p → (q ∧ r) 3) p ∨ q ∨ ∼r 4) p ∧ q ∧ ∼r 38. จงหาเซตคาตอบของอสมการ x2553 - x2550 + x5 - x2 + 4 > 0 39. ให p(x) เปนพหนาม ถาหาร p(x) ดวย x - 1 จะเหลอเศษ 3 และถาหาร p(x) ดวย x - 3 จะเหลอเศษ 5

ถา r(x) = ax + b คอ เศษทเกดจากการหาร p(x) ดวย (x - 1)(x - 3) แลว 3a + 2b เทากบเทาใด 40. ให A = {x|x ∈ R และ |x2 - 1| = |x - 1| - |x + 1|} จงเขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชก 41. ถา ab - 25a - 25b = 1575 และ (a, b) = 5 โดยท a, b ∈ R+ แลว |a - b| เทากบเทาใด 42. กาหนดให A(4, 3), B(10, -5), C(3, -4) และ R(u, v) เปนจดในระนาบโดยท CP ตงฉากกบ AB ทจด

P แลวระยะจากจด P ไปยงเสนตรงซงมสมการ 3x + 4y + 8 = 0 เทากบขอใดตอไปน 1) 5

18 2) 521 3) 5 4) 6

43. ให H เปนไฮเพอรโบลา 12y2 - 4x2 + 72y + 16x + 44 = 0 ซงมจดโฟกส คอ F1 และ F2 ให E เปนวงร

ซงมจดศนยกลางรวมกบ H โดยม F1 และ F2 เปนจดยอดและสมผสกบแกน Y ถา E ตดแกน X ทจด A และ B แลว AB ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 8 หนวย 2) 7 หนวย 3) 6 หนวย 4) 5 หนวย


3 1113 1 11 5

----

และ a เปนจานวนจรงคานอยสดทสอดคลองสมการ det(A - aI3) = 0

จงหา

zyx

ททาให (A - aI3)

zyx

=

000

และ x2 + y2 + z2 = 1

45. กาหนดให A เปนเมทรกซขนาด 3 × 3 และ I คอ เมทรกซเอกลกษณขนาด 3 × 3 ถา A2 + 3A = I แลว

det(AAt + At + 2A + 2I) เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 3 3) 9 4) 27


46. ถา f(x) = x + 2 และ (f-1og)(x) = 3x2 - 5 แลวเซตคาตอบของอสมการ g(x) < 0 คอขอใดตอไปน 1) [-1, 1] 2) (-∞, -1)U (1, ∞) 3) (-1, 1) 4) (-∞, -1]U [1, ∞) 47. 4 2x2 x -+ + 4 2x2 x -- เมอ 2 < x < 3 มคาเทาใด 1) 3 3 2) 4 3 3) 2 2 4) 3 2 48. ถา 22x2 + 2x2+2x+2 = 25+4x แลว x2 - 2x เทากบเทาใด 49. ให a = log18 12 และ b = log54 24 จงหาคาของ b a

ab 1-

- 50. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ x2log5(x2 + 2x - 3) - xlog1/5(x2 + 2x - 3) = x2 + x

ผลบวกของคาสมบรณของสมาชกของ A มคาตรงกบขอใดตอไปน 1) 2 2) 4 3) 6 4) 8 51. กาหนดให uv และ vv เปนเวกเตอร ซง | uv + vv |2 + | uv - vv |2 = 22 และ | uv | = 3 ถามมระหวาง

uv และ vv เปน 60° แลวคาของ uv ⋅ vv คอขอใด 1) 2 2) 6 3) 12 4) 18 52. ถา - 2

π ≤ x ≤ 2π และ A + B + C = π แลวเซตคาตอบของสมการ

cos 2x - 3 sin x = 2 + B cosA cosB) sin(A

⋅- + C cosB cos

C) sin(B ⋅- + A cosC cos

A) sin(C ⋅- เทากบขอใดตอไปน

1)

ππ

2 ,6 -- 2)

ππ

2 ,6 3)

ππ

3 ,6 -- 4)

ππ

3 ,6 53. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ arccos(1 - x) + 2

π = arccos 43x

และ B เปนเซตคาตอบของสมการ arccos(1 - x) = 2π + arccos 4

3x

ขอใดตอไปนถกตอง 1) A = B 2) A ⊂ B แต B ⊄ A 3) B ⊂ A แต A ⊄ B 4) A ⊄ B และ B ⊄ A 54. ในรปสามเหลยม ABC ถา (sin A + sin B + sin C)(sin A + sin B - sin C) = 3 sin A ⋅ sin B แลว

tan C เทากบเทาใด

55. กาหนด z เปนจานวนเชงซอน และ i2 = -1 ถา i) (1

i 1i z +

-- = 3 และ

i) (1i 1

i z -+

+ = 1 แลว

|z + 1| มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 23 2) 2 3) 2

5 4) 3 56. ถา z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ z|z| + 2z + i = 0 แลวสวนจนตภาพของ z มคาเทากบ

ขอใดตอไปน 1) -1 2) 2 3) 2 - 1 4) 1 - 2


57. กาหนดให P(x) = x3 +bx2 + x + d โดยท b, d ∈ R และ P(1 + i) = 0 จงหาผลบวกของรากทงหมด ของ P(x)

58. กาหนดให an = kn1 [1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + ... + (n + ... + n)] โดยท k เปนคาคงตว

ททาให ∞→n

lim an = l , l > 0 แลว 6( l + k) มคาเทาใด 59. กาหนดให a, b, c เปน 3 พจนเรยงตดกนในลาดบเรขาคณต และมผลคณเปน 27 ถา a, b + 3, c + 2

เปน 3 พจนเรยงตดกนในลาดบเลขคณตแลว a + b + c มคาเทากบเทาใด 60. ให x เปนจานวนจรง ซง |x| < 1 ถาอนกรม

1 + (1 + x) 21 + (1 + x + x2)

221

+ (1 + x + x2 + x3)

321

+ ... มผลบวกเทากบ 7

16 และ x

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) - 3

1 2) - 41 3) 3

1 4) 41

2 x

2)a x 4)( (x-

- + เมอ x > 4

61. ให f(x) = 1 เมอ x = 4 โดยท a, b เปนจานวนจรง x2 - b เมอ x < 4 ถา f ตอเนองทจด x = 4 แลว f

+ 16

b a เทากบขอใดตอไปน

1) -16 2) -14 3) 14 4) 16 62. ให y = f(x) เปนสมการของเสนโคงบนระนาบ XY โดยท f มอนพนธท x = 1 และ

0hlim→ 2h h

f(1) h) f(12 +

+ - = 3

ถา y = g(x) เปนสมการของเสนสมผสเสนโคงนทจด (1, 2) แลวคาของ ∫3

2g(x)dx เทากบเทาใด

63. ให L เปนเสนตรงซงสมผสเสนโคง y = 23

x3 2x - , x > 0 ทจด (1, -1) เสนตรงทตงฉากกบ L ณ จด

สมผสจะตดกบพาราโบลา x = y2 ทจดใดตอไปน 1) (1, - 1) และ (4, 2) 2) (1, -1) และ (16, -4) 3) (1, - 1) และ (25, 5) 4) (1, - 1) และ (49, -7) 64. พนทมากทสดของสเหลยมผนผาทบรรจภายในระหวางพาราโบลา y = 5 + 4x - x2 กบแกน X โดยมดานหนง

อยบนแกน X มคาเทากบเทาใด 65. ถา a คอ เลขทไดจากการสมเลขจากเลข 1 ถง 7 และ b คอ เลขทไดจากการสมเลขจากเลข 2 ถง 9

ความนาจะเปนทสมการ x2 - ax + b = 0 จะมรากเปนจานวนจรงมคาเทาใด 66. ในการคานวณคาเฉลยและคาความแปรปรวนของขอมลชดหนงซงม 40 จานวน พบวามคาเฉลย 20 และ

คาแปรปรวน 25 ตอมาภายหลงพบวาอานคะแนนผดไป 2 จานวน คอ “อาน 7 เปน 1 และอาน 3 เปน 5” แลว ความแปรปรวนทถกตองมคาเทาใด

n พจน


67. ถานาหนกแรกเกดของเดกไทยมการแจกแจงปกต โดยในป 2533 มนาหนกเฉลย 2500 กรม และสวน เบยงเบนมาตรฐานเปน 250 กรม และในป 2540 มนาหนกเฉลย 3240 กรม และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 200 กรม นาหนกแรกเกดของเดกไทยทอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 97.73 ในป 2533 จะอยในตาแหนงเปอรเซนไทล ตามขอใดตอไปนเมอเทยบกบป 2540 กาหนดตารางแสดงพนทใตโคงปกตดงน

Z 1.0 1.2 2.0 2.2 A 0.3413 0.3849 0.4773 0.4861

1) 11.51 2) 38.49 3) 48.61 4) 61.51 68. จากการศกษาความสมพนธระหวางยอดขาย (y) (หนวยเปนหมนบาท) ของพนกงานขายประกน ในบรษท

ประกนภยแหงหนงกบประสบการณการขาย (x) (หนวยเปนป) ของพนกงานขาย โดยเกบขอมลจาก พนกงานขายประกน 8 คน ไดขอมลดงน

∑=

8

1i ix = 48, ∑=

8

1i iy = 41, ∑=

8

1i iiyx = 286, ∑=

8

1i2ix = 348

พจารณาขอความตอไปน ก. ถาพนกงานขายประกนคนหนงมประสบการณขาย 6 ป ยอดขายโดยประมาณของพนกงานคนน

เทากบ 51,250 บาท ข. ประสบการณในการขายเพมขน 1 ป ทาใหยอดขายประกนเพมขน 11,250 บาท ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 69. กาหนดให สมการจดประสงค คอ C = 3x + y อสมการขอจากด คอ 2x + 3y ≤ 120 x + y ≥ 10 y - x ≤ 5 y - 2 ≥ 0 ถา a เปนคามากสด และ b เปนคานอยสดของ C แลว a - b เทากบขอใดตอไปน 1) 63 2) 147 3) 158 4) 188 70. ให x, y, z เปนจานวนเตมบวก โดยท 27x + 28y + 29z = 363 แลว 10(x + y + z) มคาเทากบเทาใด


ชดท 3

71. Sup’k-Pb 2.1 If for x ∈ R, 31 <

4 2x x 4 2x x

22

++

+- < 3, then 4 3 6 3 9 4 3 6 3 9

x2xx2x

++

+

⋅⋅⋅⋅ - lies between :

สาหรบทกๆ x ∈ R, ถา 31 <

4 2x x 4 2x x

22

++

+- < 3 แลว จงหาวา 4 3 6 3 9 4 3 6 3 9

x2xx2x

++

+

⋅⋅⋅⋅ - อยระหวางคาใด

1) 21 และ 2 2) 3

1 และ 3 3) 0 และ 2 4) ไมมขอใดถกตอง

72. Sup’k-Pb 2.2 Find the solution of 2x + 2|x| ≥ 2 2 จงหาเซตคาตอบของ 2x + 2|x| ≥ 2 2 ตอบ ............................. 73. Sup’k-Pb 2.3 The solution of ||x| - 1| < |1 - x| จงหาเซตคาตอบของ ||x| - 1| < |1 - x| ตอบ ............................. 74. Sup’k-Pb 2.4 กาหนดให A = {x ∈ : 3x5 - 2x4 - 7x3 + x = 10} , B = {2} และ C =

32 จงพจารณาขอความตอไปน

ก. AUB ≠ P(A) ข. {A, A - C} ∈ P(P(A)) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. เปนจรง 2) ก. เปนจรง และ ข. เปนเทจ 3) ก. เปนเทจ และ ข. เปนจรง 4) ก. และ ข. เปนเทจ 75. Sup’k-Pb 2.5 จงพจารณาขอความตอไปน ก. ∀x, y ∈ , ||x| + |y|| + ||x| - |y|| = |x + y| + |x - y|

ข. ∀x, y ∈ , 2| y x| y x --+ ≤ x ≤ 2

| y x| y x -++

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. เปนจรง 2) ก. เปนจรง และ ข. เปนเทจ 3) ก. เปนเทจ และ ข. เปนจรง 4) ก. และ ข. เปนเทจ


76. Sup’k-Pb 2.6 กาหนดการดาเนนการ * บนเซตของจานวนจรง เปนไปตามกฎตอไปน ก. 2 * 2 = 2

3

ข. 2a * b = (a * b) + 21 ทกจานวนจรงบวก a และ b

ค. a2 * b = b2 * a ทกจานวนจรงบวก a และ b

จงพจารณาวา 1 * 1 มคาตรงกบขอใดตอไปน 1) 0 2) 2

1 3) 1 4) 23

77. Sup’k-Pb 2.7 กาหนดความสมพนธ r1 และ r2 ดงตอไปน r1 = {(x, y) ∈ × : log2556 (2x + y) + xy = 3y + 3} r2 = {(x, y) ∈ × : 4x2 + 8xy + 5y2 + 4x + 8y + 5 = 0} ขอใดตอไปนถกตอง 1) r1I r2 = ∅ 2) r1 ⊆ r2 3) r2 ⊆ r1 4) r1U r2 ⊆ × + 78. Sup’k-Pb 2.8 ถา x และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ

2 + yx1y2x 4 16 2 --++ = log3 (x + y)

แลว x2 + y มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3 2) 8 3) 15 4) 24 79. Sup’k-Pb 2.9 ให A = {x | 2x+3 > 4} B = {x | 2 ⋅ log (x + 3) < log (5x + 15)} และ C = {x ∈ I | x ∈ AI B} จงหา n(P(C)) ตอบ ............................. 80. Sup’k-Pb 2.10 จงพจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนจรงบวก a ≠ b ซงสอดคลองกบสมการ a + b

1 = b + a1

ข. มจานวนจรงบวก a ≠ b ซงสอดคลองกบสมการ a - b1 = b - a

1

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. เปนจรง 2) ก. เปนจรง และ ข. เปนเทจ 3) ก. เปนเทจ และ ข. เปนจรง 4) ก. และ ข. เปนเทจ


81. Sup’k-Pb 2.11 กาหนดให 0 < θ 8π ถา tan (2θ) = n

m โดยท m, n ≥ 0

แลวขอใดตอไปนตรงกบคาของ tab θ

1) 22 n m

m+

2) mm n n 22 ++ 3)

22 m n nm

++ 4) ไมมขอใดถกตอง

82. Sup’k-Pb 2.12 จงหาคาสงสดทเปนไปไดของ p + q เมอ p และ q เปนจานวนเฉพาะ ซง p + q หาร pq ลงตว ตอบ .............................. 83. Sup’k-Pb 2.13 กาหนดให a1, a2, ..., a100 เปนลาดบของจานวนเตมบวก 100 จานวนเรยงตดกน จงหาคานอยทสดทเปนจานวนเตมของ 9932 a ... a a +++ - 1001 a a +

ตอบ .............................. 84. Sup’k-Pb 2.14 Find the value of cos 65

π ⋅ cos 65

2π ⋅ cos 65

4π ⋅ ... ⋅ cos 65

32π

จงหาคาของ 65π

⋅ cos 652π

⋅ cos 654π

⋅ ... ⋅ cos 6532π

ตอบ .............................. 85. Sup’k-Pb 2.15 If tan x + cot x = 2, then the value of sin x + cos x + sin2 x + cos2 x + ... + sin25 x + cos25 x กาหนดให tan x + cot x = 2 จงหาคาของ sin x + cos x + sin2 x + cos2 x + ... + sin25 x + cos25 x 1) 2

1 2) 31 3) 3

2 4) ไมมขอใดถกตอง

86. Sup’k-Pb 2.16 กาหนดรปสามเหลยม ABC ซงมดานตรงขามมม A มม B และมม C เทากบ a, b, c ตามลาดบ ถา b2 + c2 - bc = a2 และ b

c = 21 + 3 แลว tan B มคาเทากบเทาใด

ตอบ .............................. 87. Sup’k-Pb 2.17 รปสามเหลยม ABC ม ∠ACB กาง 45° ให D เปนจดบนดาน AC ซงทาให AD = (2 + 2 3 )DC ถา ∠ACB กาง 60° แลว AB ⋅ DB มคาเทากบเทาใด ตอบ ..............................


88. Sup’k-Pb 2.18 ถา ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว ซงสอดคลองกบสมการ sin (2A - B) + sin (2B - C) + sin (2C - A) = 0 แลว cos (2A - B) + cos (2B - C) + cos (2C - A) มคาเทากบเทาใด ตอบ ..............................

89. *Sup’k-Pb 2.19 กาหนดให A =

=+ π∈⋅

..

2 0, yx, 2, y tan x tan: ycos x cos

จงเขยนเซต A ในรปของชวง ตอบ .............................. 90. *Sup’k-Pb 2.20 จงหาสามสงอนดบ (a, b, p) ทงหมดซง a, b เปนจานวนเตม และ p เปนจานวนเฉพาะ

และสอดคลอง

b 1a+ - a 1

b+ = ab b a 1

p2

+++

ตอบ .............................. 91. Sup’k-Pb 2.21 ในตารางขางลางน ถาผลบวกของแตละแถว ผลบวกของแตละหลก และผลบวกของแนวทแยงมมทงสองเทากนหมด จงหาคาของ a + b + c + d + e + f

a b 6c d e

f 7 2

ตอบ .............................. 92. Sup’k-Pb 2.22 ถา x เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ log (x + 1) = 3 log 2 และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ 2y = 8

1 แลว x + y มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 4 4) 5 93. Sup’k-Pb 2.23 กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ 3x = 2x2 และ B = {2x | x ∈ A} แลวผลบวกของสมาชกทงหมดของเซต B มคาเทากบเทาใด ตอบ ..............................


94. Sup’k-Pb 2.24 กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ถา (p ∧ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนเทจ แลวประพจนในขอใดตอไปนมความจรงเปนจรง 1) ∼(p → s) 2) p ∧ r 3) ∼(r → q) 4) q ↔ s 95. Sup’k-Pb 2.25 กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ |x 1| 1

2x 3--

- ≥ 0 ขอใดตอไปนถก

1) A′I [2, 3) ≠ ∅ 2) A′ ⊂ (-∞, 0) 3) AI (1, 2) = ∅ 4) A ⊂ (1, ∞) 96. Sup’k-Pb 2.26 จงหาผลบวกของสมาชกใน A เมอ A = {a ∈ I+ | a ≥ 3 และ a - 2 เปนตวประกอบของ 3a2 - 2a + 10} ตอบ .............................. 97. Sup’k-Pb 2.27 ให C1, C2 และ C เปนวงกลมทมสมการ ดงน C1 : x2 + y2 - 2x + 2y - 7 = 0 C2 : x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 C : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ถา C ผานจดตดของ C1 กบ C2 และผานจด (0, 0) จงหา D + E + F ตอบ ............................ 98. Sup’k-Pb 2.28 ให C เปนวงกลมทมสมการเปน x2 + y2 = 4 และ l เปนเสนสมผสวงกลม C ทจดใน

จตภาค (Quadrant) ท 1 และ l ผานจด (5, 0) จงหาความชนของ l ตอบ ..............................

99. Sup’k-Pb 2.29 ถา F1 และ F2 เปนโฟกสของไฮเพอรโบลา 520) (y 2- - 4

11) (x 2+ = 1 แลว สวนของเสนตรง F1F2 มความยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 1 หนวย 2) 2 หนวย 3) 3 หนวย 4) 5 หนวย 100. Sup’k-Pb 2.30 ให m เปนคาตอบของสมการ f(m) = 4

1 เมอ f(x) = 1 3x x

x2 ++

แลว

จงหา 4 ⋅ f(m2) เทากบเทาใด ตอบ ..............................


เฉลย

ชดท 1 1. 1) 2. 4) 3. 4) 4. 3) 5. 1) 6. 3) 7. 2) 8. 3) 9. 2) 10. 1) 11. 2) 12. 1) 13. 2) 14. 3) 15. 2) 16. 3) 17. 1) 18. 3) 19. 4) 20. 1) 21. 3) 22. 4) 23. 3) 24. 2) 25. 1) 26. 3) 27. 1) 28. 4) 29. 3) 30. 3) 31. 4) 32. 4) 33. 1) 34. 2) 35. 3)

ชดท 2 36. 1) 37. 4) 38. (-1, ∞) 39. 7 40. {- 3 , 1 - 2 } 41. 15

42. 3) 43. 2) 44. 21-

110

, 21

110

45. 4) 46. 3) 47. 3) 48. 2 49. 5 50. 3) 51. 2) 52. 1) 53. 4) 54. 3 55. 2) 56. 4) 57. 2

3 58. 20 59. 13

60. 4) 61. 2) 62. 11 63. 4) 64. 12 3 ตารางหนวย 65. 56

25

66. 21.79 67. 1) 68. 2) 69. 3) 70. 130

ชดท 3 71. Sup’k-Pb 2.1 ตอบ 2) 72. Sup’k-Pb 2.2 ตอบ (-∞, log2 ( 2 - 1)]U

∞ , 21

73. Sup’k-Pb 2.3 ตอบ (-∞, 0) 74. Sup’k-Pb 2.4 ตอบ 3) 75. Sup’k-Pb 2.5 ตอบ 1) 76. Sup’k-Pb 2.6 ตอบ 1)


77. Sup’k-Pb 2.7 ตอบ 3) 78. Sup’k-Pb 2.8 ตอบ 3) 79. Sup’k-Pb 2.9 ตอบ 4 80. Sup’k-Pb 2.10 ตอบ 3) 81. Sup’k-Pb 2.11 ตอบ 3) 82. Sup’k-Pb 2.12 ตอบ 4 83. Sup’k-Pb 2.13 ตอบ 66 84. Sup’k-Pb 2.14 ตอบ 64

1 85. Sup’k-Pb 2.15 ตอบ 4) 86. Sup’k-Pb 2.16 ตอบ 2

1 87. Sup’k–Pb 2.17 ตอบ 0 88. Sup’k-Pb 2.18 ตอบ 2

1 5 -

89. Sup’k-Pb 2.19 ตอบ

32 , 1

90. Sup’k-Pb 2.20 ตอบ (-3, 1, 2) , (-3, -2, 2) , (2, 1, 2) , (2, -2, 2) 91. Sup’k-Pb 2.21 ตอบ 12 92. Sup’k-Pb 2.22 ตอบ 3) 93. Sup’k-Pb 2.23 ตอบ 4 94. Sup’k-Pb 2.24 ตอบ 1) 95. Sup’k-Pb 2.25 ตอบ 1) 96. Sup’k-Pb 2.26 ตอบ 51 97. Sup’k-Pb 2.27 ตอบ -17.5 98. Sup’k-Pb 2.28 ตอบ - 21

2 99. Sup’k-Pb 2.29 ตอบ 4) 100. Sup’k-Pb 2.30 ตอบ 2

Documents

book2014_OCT_เซเรบอส Brands วิชาคณิตศาสตร์ (224 หน้า).pdf