李昀城

第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动

思维训练营 二年级

（王文君老师，李昀城老师出品）

王文君老师：小升初数学思维训练师，所教学生多次斩获各大杯赛奖项，小升初

成绩喜人。

李昀城老师：原 XES 小高奥数教练员，专注小学奥数 8 年之余，横扫小学三、

四、五年级的奥数教学工作，拥有丰富的教学经验和小升初指导经

验.欢迎关注微信公众平台------李昀城奥数交流平台。

例 1 <青少年科技报 9月 30日思维训练营-填数字>三个圆圈两两相交形成七块小

区域，分别填上1 2 3 4 5 6 7、、、、、、这七个自然数。在一些小区域中，自然数3 5 7、、三

个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和

都等于15。

【分析】 设15=1+2+5+7 15=1+3+4+7 15=1+3+5+6 15=2+3+4+6， ， ， 。其中1和3用的

次数最多。图中最中间的区域由三个圆重叠构成，所以1和3应该填入其中。但

题目3已填好，所以只能填1。1填好后其他的数字也就容易确定了。

同类型题目拓展：

拓 1

将 1-9 填入下列各图的 9 个○中，（其中 6 和 1 已经填好），使得每个三角形上的

数之和都相等。

李昀城

【分析】:每个三角形上的 3 个数之和都等于 15.

拓展 2

将 1—6 填入图中三角形的 3 条边的 6 个圈内，使每条边上的 3 个数○内数的和相

等，请给出一组答案

[分析]:

16 16

16

16

9

8

75

4

3

2

16

9

8

7

5

4

3

2 6 1

9

8

7

5

43

2 6 1

9

8

7 5

4

3

2

6 1

9

8

7 5

43

2

6 1

9

8

7 5

4

3

2

6 1

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设每条边的和是 K,则三条边的总和为 3K，而三个角上 a,b,c 多算了 1 次，即

1+2+3+4+5+6+a+b+c=3K，而 1+2+3+4+5+6=3 倍，所以 a+b+c=3 倍 ,以此举例：

a+b+c=6+1+2+3 K=(21+6)÷3=9. 然 后 进 行 试 填 。 其 他 的 依 次 类 推

a+b+c=9,a+b+c=12 然后进行尝试。

拓展 3

四个圆相互交叉重叠在一起，形成 13 个区域。如果在这些区域中分别填上从 1

开始的 13 个连续的自然数，然后把每个圆中的数分别相加，得到四个和，最后

使这个和最小，请问该怎么填，请给出一种填法！

【分析】：要使四个大圆圈内的数的和的总和最小，则重叠次数最多的地方数最

小，依次类推，则总和最小。A 重复了 4 次，填 1;B、C、D、E 各重复了 3 次，

分别填 2,3,4,5,；F、G、H、I 各重复了 2 次，分别填 6，7，8，9；J、K、L、M

各重复出现了 1 次，分别填 10，11，12，13；则四个圆圈中的总和最小是

1x4+(2+3+4+5)x3+(6+7+8+9)x2+(10+11+12+13)x1=最小

例 2 <青少年科技报 10 月 7 日思维训练营-趣题> 如下图所示，一只蚂蚁从一

个正方体的 A点沿着棱爬向 B 点，如不故意绕远，一共有几种不同的走法？

【分析】因考虑到不能故意绕远，那么从 A点到B 点最少要走3条棱。一共有6 种

方法，走法如下：

cb

a

6 5

4 32

1

6

5

4

3 2

1

6

5

4

3

2

1

ML

K J

I

H

G

F

ED

C BA

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同类型拓展题：

拓 4

在正五边形 ABCDE 上，一只青蛙从 A 点开始跳动，它每次可以随意的跳到相

邻两个顶点中的任意一个上，一旦跳到 D 点上就停止跳动。青蛙在 5 次之内（含

5 次）跳到 D 点有（ ）种不同的跳法？

【分析】：本题是简单分类枚举，可以结合树状图进行。2 步：AED，3 步：ABCD,

4 步：AEAED,ABAED, 5 步：ABCBCD、ABABCD、AEABCD，共 7 种不同

的跳法。

拓 5

一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，在每种走法中，每条线段都不能重复经

过。问这只甲虫最多有几种不同的走法？

【分析】：A C 有 3 种，C B 有 3 种，所有从 A 共有 3x3=9 种

例 3 <青少年科技报 10 月 14 日思维训练营-趣题> 两只小熊有一个瓶子，里面

装有8千克的蜂蜜。现在要将这些蜂蜜分成两瓶，每瓶 4千克，但是没有秤和其

他可以称量的工具，只有一个能装5千克蜂蜜的中等瓶子和一个能装1千克蜂蜜

的小瓶子。你能帮小熊利用这三个瓶子将蜂蜜分开吗？

【分析】先将5千克瓶子倒满， 再从5千克瓶中倒出1千克蜂蜜，将1千克瓶子

E

DC

B

A

D

DC

A

EB

DC

A

A

D

DC

B

D

E

B

A

C

D

543

2

1

A

E

B

A

A

C

B

A

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装满，最后将

1千克瓶子中的蜂蜜倒回8千克瓶子中即可。

拓展 6

稀释一种农药需要 2 千克清水，现有两只玻璃杯，一个盛满清水恰好是 13 千克，

另一个盛满水是 8 千克。现有压水机由井中汲取清水，请你只用这两个玻璃杯设

法取出 2 千克清水来，简要说明你的操作程序？（这个可是李老师的武功秘籍哦，

一定要掌握哦）

【分析】：这可是李老师的武功秘籍哦，一般人我不告诉他哦。嘻嘻嘻

（1）、被减数的桶空了就装满。（2）、减数的桶满了就倒掉。（3）、每次尽可能的

往减数桶里倒。 13x2-8x3=2 ｛2 表示装满 2 次，减数中的 3 表示倒

空 3 次｝

13 0

5 8

0

13

10 8

② 0

被减数的中 2 表示装满 2 次，减数中的 3 表示倒空 3 次

例 4 <青少年科技报 10 月 21 日思维训练营-巧填数阵图>数阵图是将一些

数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，

可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子入手吧！

1 把1 5这五个数分别填入图1的方格中,使得横行三数之和与竖行三数之和都

等于9。

2 把1 5这五个数分别填入图3的小圈中，使得两条直线上的三数之和为10。

【分析]】1 这道题看上去很简单,有的同学稍微一试就可以得出答案，现在

就让我们一起来分析其中的道理。首先，我们来看中间方格中的数，我们把它称

为“重叠数”，解题的着手点就从这个“重叠数”开始。假如我们将横行的三个数与

竖行的三个数相加，那么“重叠数”就被加了两次，即“重叠”一次。而横行和竖行

三数之和分别为 9 ，两者相加得到 18 。于是我们可以得到以下等式：

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1+2+3+4+5+ =9+9=18“重叠数” 。得到“重叠数”为3。可根据和为9的要求，将剩

余 4个数两两配对，即 2和 4，1 5和 （如图 2）

2 首先我们看到，这个数阵同样拥有一个“重叠数”，所以我们应该先确定“重叠

数”。

“ ”=10+10=21+2+3+4+5+ 0重叠数 ，得到“重叠数”为5。填数方法：

拓展 7、将 1—7 分别填入下图的 7 个○内，使每条线上三个数的和都相等。

【分析】：开放型的数阵图有个小秘密哦，将所给的数按序排列，一般的，

中心数 A 取头取尾取中间，其余的首位配对。A 可以取 1,4,7,当中的任何一个。

例 5 <青少年科技报 10 月 28 日思维训练营-填图形> 下图中的正方体对应下列

哪个展开图？

A

7

4

3 5

2

6

1

7

4

3

5

2

6

1

7

4

3

5

2

6

1

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【答案】

拓 8

正方体的平面展开图有哪 11 种情形？

拓 9

下列图形中不可以拼成正方体的图形是（ ）

【分析】：C 不可以，记住凡是“田”，“一”字，有两个在同侧的都不行。

拓 10

边长为 1 厘米的正方体,如图这样层层重叠放置,那么当重叠到 5 层时,共有个正方

体？

【三三型】共一种

【二二二型】共1种

【二三一型】共3种

[一四一型共6种]

(D)(C)(B)(A)

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【分析】：1+（1+2）+（1+2+3）+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35 个

拓 11

如图，将硬纸片沿虚线折起来，便可做成一个正方体，这个正方体的 2 号面的对

面是（ ）号面

[分析]：相对的两个面不能有公共顶点，2 与 1,3,4,5 都有公共的顶点，所以 2 的

对面是 6。

建议大家中环杯考试的时候提前自己准备点小的正方体 ，或者正方体的橡皮擦，

想不出来就用笔在橡皮擦上面标，然后进行旋转操作。

例 6<青少年科技报 11 月 4 日思维训练营-逻辑问题> 十个人站成一列纵队，从

十顶黄帽子和九顶蓝帽子中，取出十顶分别给每个人戴上。站在最后的第十个人

说：“我虽然看见了你们每个人头上的帽子，但仍然不知道自己头上的帽子的颜

色。你们呢？”第九个人说：“我也不知道。”第八个人说：“我也不知道。”第七

个、第六个……直到第二个人，依次都说不知道自己头上帽子的颜色。

出乎意料的是，第一个人却说：“我知道自己头上帽子的颜色了。”他为什么知道

呢？

【分析】： 第十个人说不知道自己头上的帽子的颜色，这说明前面的九个人中有

人戴黄帽子，否则，他马上可以知道自己头上戴的是黄帽子了。第九个人知道了

九个人中有人戴黄帽子， 但不能断定自己帽子的颜色，这说明他看到前面的八

个人中有人戴黄帽子。依次类推，每个人都不知道自己所戴帽子的颜色，说明每

个人前面都有人戴黄帽子。所以，第一个人断定自己戴的是黄帽子。

拓 12 逻辑推理

甲、乙、丙、丁四人，已知乙不是最高，但比甲、丁高，而甲又比丁高，请按从

高到低分别说出是谁？

【分析】：一共有四个人，乙不是最高的，但他比甲、丁高，所以乙的身高在四

人中数第二，丙是第一；丙是第二；甲、丁的身高处于后两位，甲不比丁高即丁

高，甲矮。所以他们的高矮顺序是：丙 乙 丁 甲

拓展 13

有 A、B、C、D、E、F 六个人围坐在圆桌边打扑克，已知 C、E 相隔一人，E

坐在 C 的右边，（如图），D 坐在 A 的对面，B 和 F 相隔一人坐在 E 的右边，E

与 A、F 均不相邻，试问 A、B、D、F 各坐在哪一个位置上？

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拓展 14

豆豆、方方、圆圆、丁丁参加跳高比赛，兰兰是这样推测他们的名次的？“豆豆

是第二名，方方是第一名，圆圆是第四名，丁丁不是第三名”比赛结果，只有一

个人的名次推测错了，那么谁是第四名？

【分析】：圆圆第四名，如果豆、方、圆的话都对，这丁丁应该是第三名，但结

果说只有一个人猜错，则与丁不是第三名矛盾，满足题意，故第四名是圆。

拓展 15

过新年时，哥哥送给妹妹一盒彩笔，哥哥告诉妹妹：“盒子里除去 5 支以外，都

是绿色的；除去 5 支以外，都是红色的；除去 5 支以外，都是黄色的；除去 5

支以外，都是蓝色的；除去 5 支以外，都是棕色的；除去 5 支以外，都是黑色的。”

请问：盒子里放有几支彩笔？

【分析】6 支。比如 ABCDE+绿色=至少 6 支，又 ABCD+绿+红=至少 6 只，又

ABC+绿+红+黄=至少 6 支，又 AB+绿+红+黄+蓝=至少 6 支，又 A+绿+红+黄+

蓝+棕+黑=至少 6 支，而 6 种颜色已经各出现一次，所以至多只能 6 支，故只能

是 6 支。

例 7 <青少年科技报 11 月 11 日思维训练营-速算与巧算>

E

C

四三 二 一

丁丁

圆圆

方方

豆豆

李昀城

9 9 + 9 8 + 9 7 + 9 6 + 9 5

1 =100-1+100-2+100-3+100-4+100-5

=500-1-2-3-4-5

=485

原式

23+20+19+22+18+21

2 =20+3+20+20-1+20+2+20-2+20+1

=120+3-1+2-2+1

=123

原式

拓展 15

巧算 29+299+2999+29999

【分析】:原式=30-1+300-1+3000-1+30000-1

=（30+300+3000+30000）-4

=33330-4

=33326

拓展 16

巧算 61+60+55+63+62+57+61+59

【分析】=60x8+（1+3+2+1）-（5+3+1）

=480+7-9

=478

例 8 <青少年科技报 11 月 18 日思维训练营-数量关系>

1 豆腐店有8袋黄豆，每袋50千克。如果 2千克黄豆可做 4千克豆腐，那么这些

黄豆可以做多少千克豆腐？

【分析】（50x8÷2）x4=800

2 有52人参加了晚上的唱歌和跳舞表演，其中有36人参加了跳舞表演。有 40人

参加了唱歌表演。有多少人同时参加了这两项表演？

【分析】：40-（52-36）=24 或者 36-（52-40）=24

拓展 17

已知 3 头牛和 8 只羊一天共吃青草 93 千克，5 头牛和 10 只羊一天共吃青草 165

千克，问 1 头牛和 1 只羊一天共吃青草多少千克？

【分析】：3 牛+8 羊=93① 5 牛+10 羊=165②

（②-①）÷2=（2 牛+2 羊）÷2=（165-93）÷2=36 千克

拓展 18

二年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有 36 人，参加美

术组的有 28 人，两个小组都参加的有 8 人，三年级一共有多少人参加课外兴趣

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小组的 ？

【分析】:36+28-8=56 人

拓展 19

二年级同学有 56 人参加科技和美术课外兴趣小组，其中参加科技组的有 36 人，

参加美术组的有 28 人，两个小组都参加的有多少人？

【分析】36+28-56=8 人

科技美术

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