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calor
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
381
CAPITULO vii
CALOR Y PROPAGACIÓN DEL CALOR
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
382
7.1. INTRODUCCIÓN.
Es sabido que cuando dos cuerpos o sistemas a diferentes temperatura se ponen en
contacto, la temperatura del cuerpo más caliente disminuye y la temperatura del
cuerpo más frío aumenta. Si a estos cuerpos se le deja en contacto cierto tiempo,
ambos alcanzan una temperatura común de equilibrio en algún punto comprendido
entre las temperaturas iníciales. Cuando ocurre dicho proceso se dice que ocurre un
flujo de calor del cuerpo más caliente hacia el cuerpo más frío. Pero ¿Cuál es la
naturaleza de la transferencia de calor?. Los primeros científicos creían que el calor
era una sustancia material invisible llamada calórico, la cual pasaba de un cuerpo a
otro. De acuerdo con esta teoría, el calor no se podía crear ni destruir. Aun cuando ésta
teoría tuvo éxito en la descripción de la transferencia de calor, posteriormente fue
desechada debido a su inconsistencia con los experimentos.
La primera observación experimental de que el calórico no se conservaba la realizó B.
Thompson al final del siglo XVIII, un americano emigrado a Europa y nombrado
director del Arsenal de Baviera. Thompson supervisó el torneado de los cañones de
Baviera. A causa del calor generado por el taladro se utilizaba agua para refrigerar y
había que remplazarlo continuamente, porque se evaporaba durante la operación. De
acuerdo con la teoría del calórico, cuando el metal procedente del torneado se cortaba
en trozos pequeños, su propiedad de retener calor disminuía. Por lo tanto se cedía
calórico al agua calentándolo hasta la ebullición. Thompson observó, sin embargo, que
aun cuando la broca no estuviese lo suficientemente afilada como para cortar el metal,
el agua seguía evaporándose en tanto la broca giraba. Aparentemente el calórico se
producía por fricción y podía producirse indefinidamente. Así sugirió que el calor no
era una sustancia que se conservara, sino alguna forma de movimiento que era
comunicada de la broca al agua. Demostró además que el calor producido era
aproximadamente proporcional al trabajo realizado durante la operación del taladro.
Existen muchos otros experimentos que contradicen la teoría del calórico. Por
ejemplo, si se frotan entre sí dos bloques de hielo en un día en que la temperatura
ambiental es menor a 00C, los bloques se fundirán; este experimento lo realizó por
primera vez H. Davy. Para explicar de manera apropiada esta “creación del calórico”,
se observa que en el proceso se realiza trabajo mecánico sobre el sistema. Por lo tanto,
se ve que los efectos de realizar trabajo mecánico sobre el sistema y el de agregarle
calor directamente, como una flama, son situaciones equivalentes. Es decir, tanto el
trabajo como el calor son formas de transferencia de energía.
Aun cuando los experimento mostraron que la energía calorífica no se conserva, no
fue sino hasta mediados del siglo XIX que se desarrolló el modelo mecánico moderno
del calor. Desde este punto de vista el calor se trató como otra forma de energía que
se transfiere de un cuerpo hacia otro debido a su diferencia de temperaturas. Los
experimentos más precios que demuestran esta teoría los realizó James Joule (1818 –
1889) hacia finales de 1830. Joule demostró que la aparición o desaparición de una
cantidad dada de calor va siempre acompañada de la desaparición o aparición de una
cantidad equivalente de energía mecánica. Los experimentos de Joule y otros
experimentos demostraron que ni el calor ni la energía se conservan
independientemente, pero que la energía mecánica perdida iguala al calor producido.
Lo que se conserva es el total de la energía mecánica y la energía térmica.
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
383
7.2. CALOR Y ENERGÍA TÉRMICA
Las magnitudes como el calor y la energía interna de una sustancia son dos conceptos
muy diferentes. La palabra calor sólo se debe usar cuando se describe la energía que
se transfiere de un lugar hacia otro. Es decir, el flujo de calor es una transferencia de
energía que se lleva a cabo como una consecuencia de las diferencias de
temperaturas únicamente. Por otro lado, la energía interna es la energía que tiene un
cuerpo debido a su temperatura.
En un gas ideal la energía interna está asociada con el movimiento interno de sus
átomos y moléculas. Es decir, la energía interna del gas es esencialmente su energía
cinética en una escala microscópica, mientras más grande sea la temperatura del gas
más grande es la energía interna. En forma análoga, el trabajo realizado sobre (o por)
el sistema es una medida de la energía transferida entre el sistema y sus alrededores,
mientras que la energía mecánica (cinética y potencial) es una consecuencia del
movimiento y de la posición del sistema. Por lo tanto cuando se hace trabajo sobre un
sistema se transfiere energía al sistema. Es decir, no tiene sentido hablar de trabajo de
un sistema sólo se puede referir uno al trabajo realizado por o sobre un sistema
cuando ha ocurrido cierto proceso en el cual el sistema cambia en alguna forma. De la
misma forma no tiene sentido hablar de calor al menos que alguna de las variables
termodinámicas del sistema haya sufrido un cambio.
Debe hacerse notar además que se puede transferir energía entre dos sistemas, aún
cuando no haya flujo de calor. Un ejemplo lo constituye la frotación de dos cuerpos
entre sí, durante el proceso el trabajo mecánico entre ellos produce un aumento en su
energía interna.
7.3. UNIDADES DE CALOR.
El flujo de calor que interviene en un proceso se mide por algún cambio que acompaña
a éste proceso, y una unidad de calor se define como el calor necesario para producir
una transformación de tipo convenida. Las unidades de calor son:
7.3.1. La caloría(cal). Es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura
de 1 gramo de agua a la presión atmosférica de 14,5 0C a 15,5
0C.
7.3.2. La kilocaloría (kcal). Es la cantidad de calor necesaria para aumentar la
temperatura de 1 kg de agua de 14,5 0C a 15,5
0C.
7.3.3. La unidad térmica británica (BTU). Definida como la cantidad de calor
necesaria para elevar la temperatura de una libra de agua de 63 0F a 64
0F.
7.3.4. El joule(J). Debido a que el calor es una forma de energía en la actualidad la
unidad de calor es el Joule.
Las equivalencias entre estas distintas unidades de calor son:
1 cal = 4, 186 J = 3,968.10-3
BTU
1 J = 0,2389 cal = 9,478.10-4
BTU
BTU = 1055 J = 252 cal
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7.3. EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR.
James Joule efectuó varios experimentos que muestran que el flujo de calor así como
el trabajo, representan una forma de transferencia de energía. Uno de estos
experimentos se muestra en la Figura 7.1. El sistema de interés consta del agua
encerrado en un recipiente térmicamente aislado. Se hace trabajo sobre el agua por
medio de la rueda de paletas que se hace girar al caer las pesas con una rapidez
constante. El agua, la cual es agitada por las paletas, se calienta debida a la fricción
entre ésta y las paletas. Si se desprecia la energía que se pierde en las poleas, en los
cojinetes, y en las paredes del recipiente, entonces la energía potencial que pierden las
pesas al caer es igual al trabajo realizado por las paletas sobre el agua
Este experimento muestra que hay un aumento de temperatura para una cantidad
específica de trabajo y por tanto habrá un equivalente preciso entre trabajo efectuado
sobre el sistema (ΔW) y el flujo de calor hacia el agua (ΔQ). Para un sistema
térmicamente aislado se cumple que
WQ (7.1)
Este resultado se conoce como equivalente mecánico del calor, es decir
1 cal = 4,186 J (7.2)
(a) (b)
Figura 7.1. (a) Fotografía del aparato para el experimento de Joule en la que se ve
la rueda de paletas y el recipiente; (b) Diagrama esquemático del
aparato utilizado por Joule para demostrar la conversión de trabajo en
calor.
7.4. CAPACIDAD CALORÍFICA Y CALOR ESPECÍFICO.
7.4.1. Capacidad calorífica.
Cuando se adiciona calor aun cuerpo, normalmente aumenta su temperatura del
mismo. (Los cambios de fase constituyen una excepción). La cantidad de energía
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calorífica que se requiere para elevar la temperatura de una masa dada de una
sustancia varía de una sustancia a otra. Por modelo, el calor necesario para elevar la
temperatura de 1 kg de agua en1 0C es de 4186 J, pero el calor necesario para elevar la
temperatura de 1 kg de cobre en 1 0C es sólo 387 J.
La capacidad calorífica, C, de cualquier sustancia se define como la cantidad
de energía calorífica que se requiere para elevar la temperatura de la
sustancia en un grado Celsius.
Es decir si se agrega, ΔQ unidades de calor a una sustancia le produce un cambio en la
temperatura, ΔT, entonces
TCQ (7.3)
En esta ecuación, ΔQ, puede ser positivo o negativo. La cantidad, C, siempre es
positiva, es decir el signo del cambio de temperatura indica el signo del flujo de calor.
7.4.2. Calor específico.
La dependencia que tiene la capacidad calorífica con la cantidad de masa de la
sustancia puede eliminarse definiendo el calor específico.
El calor específico (ce ) de una sustancia se define como la capacidad
calorífica por unidad de masa.
Tm
Q
m
Cce (7.4)
El calor específico de una sustancia es numéricamente igual a la cantidad de calor que
hay que suministrarle a una unidad de masa de dicha sustancia para elevar su
temperatura en un grado.
Las unidades de capacidad calorífica es cal/grado; Btu/grado; J/grado; mientras que
las unidades de calor específico son cal/gramo-grado, Btu/libra-grado, J/kg-grado.
Debe indicarse que ni la capacidad calorífica, ni el calor específico de una sustancia es
constante, sino que dependen de la variación de la temperatura, Las ecuaciones (3) y
(4) solamente proporcionan valores medios.
El calor específico de una sustancia a cualquier temperatura se expresa mediante la
ecuación.
dTm
dQce
. (7.5)
La cantidad de calor que debe proporcionarse a un cuerpo de masa, m, cuyo material
tiene un calor específico ce para elevar su temperatura desde Ti hasta Tf es
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dTcmQ
f
i
T
T
e (7.6)
Siendo el calor específico función de la temperatura. A temperaturas ordinarias y en
intervalos de temperaturas ordinarias el calor específico puede considerarse como
constante, en estas condiciones la ecuación (6) se escribe
TmcQ e (7.7)
La fig. 7.2, muestra la variación del calor específico del agua con la temperatura.
Figura7.2. Variación del calor específico del agua con la temperatura.
De esta gráfica se observa que el calor específico varía menos del 1 % de su valor 1
cal/g-0C, a 15
0C.
Las ecuaciones (5.5) y (5.7) no define el calor específico en forma única. Debe
especificare además las condiciones bajo las cuales se agrega el calor a la sustancia.
Una de estos casos es que la presión se mantiene constante, sin embargo hay muchas
otras posibilidades y cada una ellas conducen a diferentes valores del calor específico.
7.4.3. Capacidad calorífica molar.
En muchos casos por ejemplo para los gases, es más conveniente expresar el
calor específico tomando como unidad de masa el mol de sustancia, definiéndose
La capacidad calorífica molar como la capacidad calorífica por mol.
M
dQC
ndT (7.8)
7.4.4 Ley de Dulong y Petit.
En 1819 estos científicos mostraron que la capacidades caloríficas molares de
todos los metales excepto los más ligeros es aproximadamente la misma, e igual a 6
cal/mol-0C..La tabla 01 muestra tal situación.
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Tabla Nº 01. Valor de la capacidad calorífica molar para algunos sólidos a
temperatura ambiente y 1 atmósfera de presión.
Sustancia Calor
específico
Peso
molecular
Capacidad
calorífica
molar
Aluminio 0,215 27 5,82
Carbono 0.121 12 1,46
Cobre 0,0923 63’5 5,85
Plomo 0,0305 207 6,32
Plata 0,0564 108 6,09
Wolframio 0,0321 184 5,92
7.5. MEDIDAS DEL CALOR ESPECÍFICO (ce) – CALORIMETRIA.
Una técnica para medir el calor específico de sólidos y líquidos consiste en calentar la
sustancia a cierta temperatura, colocarlo en un recipiente con una masa dada de agua a
una temperatura conocida y medir la temperatura del agua una vez que se haya logrado
el equilibrio térmico. Aún cuando se realiza una cantidad de trabajo, éste puede
despreciarse.
El principio de conservación de la energía requiere que la cantidad de calor que
transfiere la sustancia más caliente (calor específico desconocido) es igual a la
cantidad de calor que recibe el agua más el recipiente, esto es:
ganadocedido QQ
wecalecalweewwexexx TTcmTTcmTTcm ,
exx
wecalecalwew
xeTTm
TTcmcmc
))(( ,,
, (7.9)
donde: Tx = temperatura de la sustancia; Te = temperatura de equilibrio; Tw = TCal =
temperatura del agua y del calorímetro iníciales; mw = masa del agua; mcal = masa del
calorímetro; cw = calor específico del agua; ccal = calor específico del calorímetro; mx =
masa de la sustancia; cx = calor específico de la sustancia.
7.7. CAMBIOS DE FASE Y FLUJO DE CALOR.
Cuando se le suministra calor a un cuerpo a presión constante, el resultado es un
aumento de la temperatura del cuerpo. Sin embargo a veces un cuerpo puede absorber
grandes cantidades de calor sin variar su temperatura. Este fenómeno ocurre cuando
hay cambio de fase, es decir cuando la condición física de la sustancia está cambiando
de una forma a otra. Los principales cambios de fase son: la fusión, que es el cambio
de la fase sólida a la líquida; la vaporización, que es el paso de la fase líquida a la de
vapor y la sublimación que es el paso de directo de la fase sólida a la de vapor.
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Estos fenómenos son explicados por la teoría molecular. Un aumento de la
temperatura de la sustancia refleja el hecho de que se ha incrementado la energía
cinética molecular media. Así por ejemplo cuando un sólido pasa a la fase líquida sus
moléculas que estaban fuertemente unidas cuando está liquido estas fuerzas
disminuyen. Esto exige que se desarrolle trabajo contra las fuerzas atractivas, es decir
debe agregarse energía a las moléculas para que se separen. Esta energía pasa a
aumentar la energía potencial de las moléculas más que a incrementar la energía
cinética. Por lo tanto la temperatura de la sustancia no varía.
En una sustancia pura, un cambio de fase a una determinada presión tiene lugar sólo a
una temperatura dada. Por ejemplo el agua pura a 1 atmósfera de presión pasa de
sólido a líquido a la temperatura de 0 ºC y pasa de líquido a vapor de agua la
temperatura de 100 ºC. La primera temperatura se llama punto de fusión del agua y la
segunda se llama punto de ebullición del agua.
Se necesita una cantidad específica de energía térmica para que ocurra el cambio de
fase de una cantidad determinada de sustancia. El calor requerido es proporcional a la
masa de la misma, de tal manera que la cantidad de calor necesaria para fundir una
masa dada de sustancia sin cambio de temperatura es
ff mLQ (7.10)
donde: Lf = calor latente de fusión.
Para el caso de la fusión del hielo en agua a 1 atmósfera de presión, el calor de fusión
es
Lf = 33,5 kJ/kg =79,7 kCal/kg
Cuando el cambio de fase corresponde al de líquido a gas, el calor necesario esta dado
por la ecuación
vv mLQ (7.11)
donde: Lv = calor de vaporización. Para el cambio de fase de líquido a vapor para el
agua a 1 atm, de presión el calor latente de vaporización es
Lv = 2,26 kJ/kg = 540 kCal/kg
En forma análoga cuando hay un cambio de fase de gas a liquido, el calor necesario
que se le debe extraer al vapor es
cc mLQ (7.12)
donde: Lc es el calor de condensación cuyo valor es igual al calor de vaporización.
Finalmente el calor que debe extraerse a una sustancia para cambiar de fase de líquido
a sólido esta dado por
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ss mLQ (7.13)
donde Ls = calor latente de solidificación cuyo valor es igual al calor de fusión.
Los cambios de fase que ocurren en las diferentes sustancias pueden representarse en
la figura 7.3.
Figura7.3. Cambios de fase de las sustancias.
7.8. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR.
Cuando dos cuerpos que tienen distintas temperaturas se ponen en contacto entre sí, se
produce una transferencia de calor desde el cuerpo de mayor temperatura al de menor
temperatura. La transferencia de calor se puede realizar por tres mecanismos físicos:
conducción, convección y radiación, que se ilustran en la figura 7.4.
Figura 7.4. Esquema de los mecanismos de transferencia de calor.
7.8.1. Conducción de calor.
Es el proceso de transferencia de calor entre un punto y otro de la
sustancia, debido a los choques entre sus moléculas. Si un extremo de un cuerpo es
expuesto a una fuente de calor, entonces las moléculas próximas a la fuente
verán aumentada su velocidad media y su separación molecular, chocando a
sus vecinas más frías, de velocidad menor, transfiriéndole parte de su energía
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
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en el proceso. Estas a su vez incrementan su velocidad transfiriendo su
energía a las vecinas y así, a través del material.
Existe un experimento sencillo (ver figura 7.5) que usted puede hacer en su casa
para mostrar esto. Tome una varilla delgada de metal (ojalá cobre) y sujétela con
un soporte de manera tal que quede vertical (por comodidad), pegue clips a
espacios regulares con cera de una vela común (la cantidad mínima que asegure que
no se caiga el clip) y caliente el extremo libre de la varilla con la vela. Se
sorprenderá.
Figura 7.5. Experimento que muestra la conducción de calor.
La conducción es el mecanismo de transferencia de calor en escala atómica a través de
la materia por actividad molecular, por el choque de unas moléculas con otras, donde
las partículas más energéticas le entregan energía a las menos energéticas,
produciéndose un flujo de calor desde las temperaturas más altas a las más bajas. Los
mejores conductores de calor son los metales. El aire es un mal conductor del calor.
Los objetos malos conductores como el aire o plásticos se llaman aislantes.
La conducción de calor sólo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes
del medio conductor. Para un volumen de espesor ∆x, con área de sección transversal
A y cuyas caras opuestas se encuentran a diferentes T1 y T2, con T2 > T1, como se
muestra en la figura 7.6, se encuentra que el calor ∆Q transferido en un tiempo ∆t
fluye del extremo caliente al frío. Si se llama H (en Watts) al calor transferido por
unidad de tiempo, la rapidez de transferencia de calor H = ∆Q/∆t, está dada por la
ley de la conducción de calor de Fourier.
Donde: k (en W/mK) se llama conductividad térmica del material, magnitud que
representa la capacidad con la cual la sustancia conduce calor y produce la
consiguiente variación de temperatura; A es el área de la placa; y dT/dx es el gradiente
de temperatura. El signo menos indica que la conducción de calor es en la dirección
decreciente de la temperatura. En la tabla 7.2, se listan valores de conductividades
térmicas para algunos materiales, los altos valores de conductividad de los metales
indican que son los mejores conductores del calor.
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Figura 7.6. Conducción de calor
Si un material en forma de barra uniforme de largo L, protegida en todo su largo por
un material aislante, como se muestra en la figura 7.7, cuyos extremos de área A están
en contacto térmico con fuentes de calor a temperaturas T1 y T2 > T1, cuando se
alcanza el estado de equilibrio térmico, la temperatura a lo largo de la barra es
constante. En ese caso el gradiente de temperatura es el mismo en cualquier lugar a lo
largo de la barra, y la ley de conducción de calor de Fourier se puede escribir en la
forma:
1 2T TQH kA
t L (7.14)
Figura 7.7. Flujo de calor a través de una barra de longitud L
Algunos autores acostumbran llamar como corriente térmica (I) a la velocidad de
conducción de energía térmica Q
t, por tanto, la ecuación (7.14) se escribe en la forma
Q TI kA
t x (7.15)
Si despejamos la diferencia de temperaturas de la ecuación (7.15), se tiene
xT I
kA (7.16)
También, siguiendo la analogía eléctrica, esta ecuación se puede escribir
T RI (7.17)
Comparando las ecuaciones (7.16) y (7.17) se obtiene la resistencia térmica, la cual está
dada por
xR
kA (7.18)
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Tabla 7.2. Algunos valores de conductividades térmicas.
Ejemplo 7.1. Dos placas de espesores L1 y L2 y conductividades térmicas k1 y k2
están en contacto térmico, como en la figura. Las temperaturas de las superficies
exteriores son T1 y T2, con T2 > T1. Calcular la temperatura en la interface y la rapidez
de transferencia de calor a través de las placas cuando se ha alcanzado el estado
estacionario.
Solución: si T es la temperatura en la interface, entonces la rapidez de transferencia de
calor en cada placa es:
Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son iguales:
Despejando la temperatura T
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Ejemplo 7.2. Una barra de oro está en contacto térmico con una barra de plata, una a
continuación de la otra, ambas de la misma longitud y área transversal. Un extremo de
la barra compuesta se mantiene a T1 = 80º C y el extremo opuesto a T2 = 30º C.
Calcular la temperatura de la unión cuando el flujo de calor alcanza el estado
estacionario.
Solución: similar al ejemplo anterior, con L1 = L2 = L
Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son iguales:
Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son iguales:
Despejando la temperatura T, con k1 del oro y k2 de la plata, valores obtenidos de la
tabla 7.2:
7.8.2. Convección.
La convección es el mecanismo de transferencia de calor por movimiento de
masa o circulación dentro de la sustancia. Puede ser natural producida solo por las
diferencias de densidades de la materia; o forzada, cuando la materia es obligada a
moverse de un lugar a otro, por ejemplo el aire con un ventilador o el agua con una
bomba. Sólo se produce en líquidos y gases donde los átomos y moléculas son libres
de moverse en el medio.
En la naturaleza, la mayor parte del calor ganado por la atmósfera por conducción y
radiación cerca de la superficie, es transportado a otras capas o niveles de la atmósfera
por convección.
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Un modelo de transferencia de calor H por convección, llamado ley de enfriamiento
de Newton, es el siguiente
H = h A (TA – T) (7.19)
Donde: h se llama coeficiente de convección, en W/(m2K), A es la superficie que
entrega calor con una temperatura TA al fluido adyacente, que se encuentra a una
temperatura T, como se muestra en el esquema de la figura 7.8. La tabla 14.2 lista
algunos valores aproximados de coeficiente de convección h.
Figura 7.8. Proceso de convección.
El flujo de calor por convección es positivo (H > 0) si el calor se transfiere desde la
superficie de área A al fluido (TA > T) y negativo si el calor se transfiere desde el
fluido hacia la superficie (TA < T).
Tabla 7.3. Valores típicos de coeficiente de convección.
Ejemplo 7.3. El vidrio de una ventana se encuentra a 10º C y su área es 1.2 m2. Si la
temperatura del aire exterior es 0º C, calcular la energía que se pierde por convección
cada segundo. Considerar h = 4 W/(m2K).
Solución: Los datos son: TA = 10º C = 283K, T = 0º C = 273K, A = 1.2 m2. Usando la
ley de enfriamiento de Newton:
7.8.3. Radiación.
La radiación térmica es energía emitida por la materia que se encuentra a una
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temperatura dada, se produce directamente desde la fuente hacia afuera en todas las
direcciones. Esta energía es producida por los cambios en las configuraciones
electrónicas de los átomos o moléculas constitutivas y transportadas por ondas
electromagnéticas o fotones, por lo que recibe el nombre de radiación
electromagnética. La masa en reposo de un fotón (que significa luz) es idénticamente
nula. Por lo tanto, atendiendo a la relatividad especial, un fotón viaja a la velocidad de
la luz y no se puede mantener en reposo. (La trayectoria descrita por un fotón se llama
rayo). La radiación electromagnética es una combinación de campos eléctricos y
magnéticos oscilantes y perpendiculares entre sí, que se propagan a través del espacio
transportando energía de un lugar a otro.
A diferencia de la conducción y la convección, o de otros tipos de onda, como el
sonido, que necesitan un medio material para propagarse, la radiación
electromagnética es independiente de la materia para su propagación, de hecho, la
transferencia de energía por radiación es más efectiva en el vacío. Sin embargo, la
velocidad, intensidad y dirección de su flujo de energía se ven influidos por la
presencia de materia. Así, estas ondas pueden atravesar el espacio interplanetario e
interestelar y llegar a la Tierra desde el Sol y las estrellas. La longitud de onda (λ) y la
frecuencia (ν) de las ondas electromagnéticas, relacionadas mediante la expresión λν =
c, son importantes para determinar su energía, su visibilidad, su poder de penetración y
otras características. Independientemente de su frecuencia y longitud de onda, todas
las ondas electromagnéticas se desplazan en el vacío con una rapidez constante c =
299792 km/s, llamada velocidad de la luz.
Los fotones son emitidos o absorbidos por la materia. La longitud de onda de la
radiación está relacionada con la energía de los fotones, por una ecuación desarrollada
por Planck:
Donde h se llama constante de Planck, su valor es
h = 6,63 x 10-34 Js.
7.8.3.1. Espectro de radiación.
Atendiendo a su longitud de onda, la radiación electromagnética recibe
diferentes nombres, y varía desde los energéticos rayos gamma, con una longitud de
onda muy corta del orden de picómetros (frecuencias muy altas) hasta las ondas de
radio con longitudes de onda muy largas del orden de kilómetros (frecuencias muy
bajas), pasando por la luz visible, cuya longitud de onda está en el rango de las
décimas de micrómetro. El rango completo de longitudes de onda es lo que se
denomina el espectro electromagnético, que se muestra en la figura 7.9. Esta variación
es porque las fuentes que producen las ondas son completamente diferentes. El
espectro electromagnético no tiene definidos límites superior ni inferior.
La luz, llamada también luz visible o luz blanca, es uno de los componentes del
espectro electromagnético, y se define como aquella parte del espectro de radiación
que puede percibir la sensibilidad del ojo humano. La luz visible es un minúsculo
intervalo que va desde la longitud de onda correspondiente al color violeta
(aproximadamente 400 nm) hasta la longitud de onda correspondiente al color rojo
(aproximadamente 700 nm).
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Figura 7.9. Espectro electromagnético y región visible (inferior).
Por orden creciente de longitudes de onda (o decreciente de frecuencias), el espectro
electromagnético está compuesto por rayos gamma, rayos X duros y blandos,
radiación ultravioleta, luz visible, rayos infrarrojos, microondas y ondas de radio. Los
rayos gamma y los rayos X duros tienen una longitud de onda de entre 5.10-6
y 5.10-4
micrómetros (un micrómetro, símbolo µm, es una millonésima de metro). Los rayos X
blandos se superponen con la radiación ultravioleta en longitudes de onda próximas a
los 5x10-2
µm. La región ultravioleta, a su vez, da paso a la luz visible, que va
aproximadamente desde 0.4 hasta 0.8 µm. Los rayos infrarrojos se mezclan con las
frecuencias de microondas, entre los 100 y 400 µm. Desde esta longitud de onda hasta
unos 15.000 m, el espectro está ocupado por las diferentes ondas de radio; más allá de
la zona de radio, el espectro entra en las bajas frecuencias, cuyas longitudes de onda
llegan a medirse en decenas de miles de kilómetros. La tabla 7.4, muestra el espectro
electromagnético, con sus longitudes de onda, frecuencias y energías del fotón.
Tabla 7.4. Espectro electromagnético.
Longitud de onda Frecuencia Energía
Rayos gamma <10 pm > 30 EHz > 19,910-15
Rayos X < 10 nm > 30 PHz >19,9.10-18
Ultravioleta Extremo < 200 nm >1,5 PHz >993.10-21
Ultravioleta Cercano < 380 nm >789 THz >523.10-21
Luz Visible <780 nm >384 THz >255.10-21
Infrarrojo Cercano < 2,5µm >120 THz >79,5.10
Infrarrojo Medio < 50 µm >6,00 THz >3,98.10-21
Infrarrojo Lejano < 1 mm >300 GHz >199.10-24
Microondas < 30 cm >1,0 GHz >1,99.10-24
Ultra Alta Frecuencia Radio < 1 m >300 MHz >1,99.10-25
Muy alta Frecuencia Radio < 10 m >30 MHz >2.05.10-25
Onda Corta Radio <180 m >1,7 MHz >1,13-10-27
Onda Media (AM) Radio < 650 m >650kHz >4,38.10-28
Onda Larga Radio < 10 km >30 kHz >1,98.10-29
Muy Baja Frecuencia Radio < 10 km <30 kHz >1,99.10-29
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La radiación del Sol es emitida en todas las longitudes de onda, pero tiene un máximo
en la región de luz visible. La luz visible está compuesta por varios colores, que
cuando se mezclan forman la luz blanca. Cada uno de los colores tiene una longitud de
onda específica, con límites entre 0.4 y 0.7 µm. Considerando desde las longitudes de
onda más cortas a las más largas, los diferentes colores tienen los valores centrales de
longitudes de onda que se indican en la tabla 7.5.
Tabla 7.5. Colores del espectro visible y sus extremos.
Estos colores están dentro de un rango de longitudes de onda, por ejemplo el violeta
esta en el rango entre 0.4 y 0.45 µm. Son los colores que forman el arco iris. En sus
extremos se tienen el ultravioleta y el infrarrojo. La mayor cantidad de energía radiante
del Sol se concentra en el rango de longitudes de onda del visible y visible cercano del
espectro, con las siguientes proporciones: luz visible 43%, infrarrojo cercano 49%,
ultravioleta 7%, y el 1% restante en otros rangos.
7.8.3.2. Penetración de la radiación electromagnética.
Cuando la frecuencia es inferior a la frecuencia de la radiación ultravioleta, los
fotones no tienen suficiente energía para romper enlaces atómicos. Se dice entonces que
la radiación es radiación no ionizante. A partir de los rayos ultravioleta, vienen los
Rayos X y los Rayos gamma, muy energéticos y capaces de romper moléculas, dicha
radiación se denomina radiación ionizante.
La radiación electromagnética reacciona de manera desigual en función de su frecuencia
y del material con el que entra en contacto. El nivel de penetración de la radiación
electromagnética es inversamente proporcional a su frecuencia. Cuando la radiación
electromagnética es de baja frecuencia, atraviesa limpiamente las barreras a su paso.
Cuando la radiación electromagnética es de alta frecuencia reacciona más con los
materiales que tiene a su paso. En función de la frecuencia, las ondas electromagnéticas
pueden no atravesar medios conductores. Esta es la razón por la cual las transmisiones
de radio no funcionan bajo el mar y los teléfonos móviles se queden sin cobertura
dentro de una caja de metal. Sin embargo, como la energía ni se crea ni se destruye, sino
que se transforma, cuando una onda electromagnética choca con un conductor pueden
suceder dos cosas. La primera es que se transformen en calor: este efecto tiene
aplicación en los hornos de microondas. La segunda es que se reflejen en la superficie
del conductor (como en un espejo).
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
398
Figura 7.10. Poder de penetración de la radiación.
La radiación de partículas también puede ser ionizante si tiene suficiente energía.
Algunos ejemplos de radiación de partículas son los rayos cósmicos, los rayos alfa o
los rayos beta. Los rayos cósmicos son chorros de núcleos cargados positivamente, en
su mayoría núcleos de hidrógeno (protones). Los rayos cósmicos también pueden estar
formados por electrones, rayos gamma, piones y muones. Los rayos alfa son chorros
de núcleos de helio positivamente cargados, generalmente procedentes de materiales
radiactivos. Los rayos beta son corrientes de electrones, también procedentes de
fuentes radiactivas. La radiación ionizante tiene propiedades penetrantes, importantes
en el estudio y utilización de materiales radiactivos. Los rayos alfa de origen natural
son frenados por un par de hojas de papel o unos guantes de goma. Los rayos beta son
detenidos por unos pocos centímetros de madera. Los rayos gamma y los rayos X,
según sus energías, exigen un blindaje grueso de material pesado como hierro, plomo
u hormigón, como se muestra en la figura 7.10. También existe la radiación mecánica,
que corresponde a ondas que sólo se transmiten a través de la materia, como las ondas
de sonido.
7.8.3.3 Leyes de radiación.
Ley de Stefan.
Todos los objetos emiten energía radiante, cualquiera sea su temperatura, por
ejemplo el Sol, la Tierra, la atmósfera, los Polos, las personas, etc. La energía radiada
por el Sol a diario afecta nuestra existencia en diferentes formas. Esta influye en la
temperatura promedio de la tierra, las corrientes oceánicas, la agricultura, el
comportamiento de la lluvia, etc.
Considerar la transferencia de radiación por una superficie de área A, que se encuentra
a una temperatura T. La radiación que emite la superficie, se produce a partir de la
energía térmica de la materia limitada por la superficie. La rapidez a la cual se libera
energía se llama potencia de radiación H, su valor es proporcional a la cuarta potencia
de la temperatura absoluta. Esto se conoce como la ley de Stefan (Joseph Stefan,
austriaco, 1835-1893), que se escribe como:
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
399
donde σ = 5,67.10-8
W/(m2K
4) se llama constante de Stefan-Boltzmann
(Ludwing Boltzmann, austriaco, 1844-1906) y ε es una propiedad radiactiva de la
superficie llamada emisividad, sus valores varían en el rango 0 < ε < 1, es una medida
de la eficiencia con que la superficie emite energía radiante, de- pende del material.
Un cuerpo emite energía radiante con una rapidez dada por la ecuación7.17, pero al
mismo tiempo absorbe radiación; si esto no ocurriera, el cuerpo en algún momento
irradiaría toda su energía y su temperatura llegaría al cero absoluto. La energía que un
cuerpo absorbe proviene de sus alrededores, los cuales también emiten energía
radiante. Si un cuerpo se encuentra a temperatura T y el ambiente a una temperatura
To, la energía neta ganada o perdida por segundo como resultado de la radiación es
Cuando el cuerpo está en equilibrio con los alrededores, irradia y absorbe la misma
cantidad de energía, por lo tanto su temperatura permanece constante. Cuando el
cuerpo está más caliente que el ambiente, irradia más energía de la que absorbe, y por
lo tanto se enfría.
Un absorbedor perfecto se llama cuerpo negro (no significa que sea de color negro),
que se define como un objeto ideal que absorbe toda la radiación que llega a su
superficie y su emisividad es igual a uno. No se conoce ningún objeto así, aunque una
superficie de negro de carbono puede llegar a absorber aproximadamente un 97% de
la radiación incidente. El Sol, la Tierra, la nieve, etc. bajo ciertas condiciones se
comportan como un cuerpo negro. En teoría, un cuerpo negro sería también un emisor
perfecto de radiación, y emitiría a cualquier temperatura la máxima cantidad de
energía disponible. A una temperatura dada, emitiría una cantidad definida de energía
en cada longitud de onda. En contraste, un cuerpo cuya emisividad sea igual a cero, no
absorbe la energía incidente sobre él, sino que la refleja toda, es un reflector perfecto.
Los cuerpos con emisividades entre 0 y 1 se llaman cuerpos grises, son los objetos
reales. A raíz del fracaso de los intentos de calcular la radiación de un cuerpo negro
ideal según la física clásica, se desarrollaron por primera vez los conceptos básicos de
la teoría cuántica. Una buena aproximación de un cuerpo negro es el interior de un
objeto hueco, como se muestra en la figura 7.11. La naturaleza de la radiación emitida
por un cuerpo hueco a través de un pequeño agujero sólo depende de la temperatura de
las paredes de la cavidad.
Figura 7.11. Representación de un cuerpo negro.
Ejemplo 7.4. Una carretera de superficie ennegrecida a una temperatura de 320 K
recibe energía radiante del Sol por un valor de 700 W/m2. Calcular la radiación neta
ganada por cada m2 de la superficie de la carretera.
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
400
Solución: la energía que emite la superficie de la carretera es:
Como del Sol recibe 700 W/m2, la radiación neta es:
Ley de Wien.
La figura 7.13, muestra la curva típica de la intensidad de radiación de un cuerpo
negro en función de la longitud de onda de la radiación emitida, para diferentes
valores de temperatura indicados como frío, templado y cálido. De acuerdo a la teoría
cuántica, se encuentra que los cuerpos a una temperatura determinada, emiten
radiación con un valor máximo para una longitud de onda λ dada. Al aumentar la
temperatura de un cuerpo negro, la cantidad de energía que emite se incrementa.
También, al subir la temperatura, el máximo de la distribución de energía se desplaza
hacia las longitudes de onda más cortas. Se encontró que este corrimiento obedece a la
siguiente relación, llamada ley del desplazamiento de Wien (Wilhelm Wien, alemán,
1864-1928):
donde λmax es la longitud de onda que corresponde al máximo de la curva de radiación
(figura 7.12), en µm, y T es la temperatura absoluta del objeto que emite la radiación.
La ley de Wien afirma que para la radiación de un cuerpo negro la longitud de onda
de máxima emisión es inversamente proporcional a la temperatura absoluta. Con esta
ley se demuestra que la emisión de radiación de la superficie terrestre tiene un máximo
en cerca de 9.9 µm, que corresponde a la región infrarroja del espectro. También
muestra que la temperatura del Sol, si el máximo de emisión de radiación solar ocurre
en 0.474 µm, es del orden de 6110 K.
Fig. 7.12. Intensidad de radiación de un cuerpo negro.
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
401
Ley de Planck.
Los objetos con mayor temperatura radian más energía total por unidad de área que los
objetos más fríos. Por ejemplo el Sol con una temperatura media de 6000 K en su
superficie, emite 1,6105(6000/300)
4 veces más energía que la Tierra con una
temperatura media en superficie de 289 K = 16º C. Por definición, un cuerpo negro es
un absorbedor perfecto. Este también emite la máxima cantidad de energía a una
temperatura dada. La cantidad de energía emitida por un cuerpo negro está únicamente
determinada por su temperatura y su valor lo da la Ley de Planck. En 1900, Max
Planck (alemán, 1858-1947), descubrió una fórmula para la radiación de cuerpo negro
en todas las longitudes de onda. La función empírica propuesta por Planck afirma que
la intensidad de radiación I(λ,T), esto es, la energía por unidad de tiempo por unidad
de área emitida en un intervalo de longitud de onda, por un cuerpo negro a la
temperatura absoluta T, está dada por:
donde I(λ,T) es la densidad de flujo de energía por unidad de longitud de onda, en
W/(m2µm), h es la constante de Planck, y k es la constante de Boltzmann, de valor k =
1,38.10-23
J/K. El gráfico de la función I(λ,T) para diferentes valores de temperatura
absoluta, se muestra en la figura 7.13.
Figura 7.14. Gráfico de la función I(λ,T) de la ley de Planck.
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
402
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 01
El calor específico de cierto material se determina
midiendo la variación de temperaturas que tiene
lugar cuando una porción calentada de metal se
sitúa en un recinto aislado construido del mismo
material y que contiene agua. La porción de metal
posee una masa de 100 g y una temperatura inicial de 100°C. El recinto posee una masa de 200 g y
contiene 500 g de agua a una temperatura inicial de
20°C. La temperatura final es 21,4°C.¿Cuál es el
calor específico del metal?.
Solución
Datos e incógnitas
m D D
w E e
100 ; a T 100 ; m 200 a T 20
500 ; a T 20 ; T 21,4 ; c =???
m
w
m g C g C
m g C C
Despreciando las pérdidas de energía, el calor
ganado por el recipiente y el agua es igual al calor
perdido por el metal.
GQ (1)PQ
El calor ganado será
,( ) ( )
200 (21,4 20) 500(1)(21,4 20)
280 700 (2)
G D x E D w e w E w
x
G x
Q m c T T m c T T
c
Q c cal
Calor perdido
( )
280 (100 201,4
7860 (3)
P m x m E
x
G x
Q m c T T
c
Q c
Remplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1) resulta
280 700 7860
0,092 Cal/g°C Rta
x x
x
c c
c
Problema 02
Un trozo de hielo de 200 a 0°C se introduce en 500
g de agua a 20°C. El sistema se encuentra en un
recinto de capacidad calorífica despreciable y
aislada de sus alrededores. Determine: (a) la
temperatura de equilibrio final; (b) la cantidad de
hielo que se funde
Solución.
Datos e incógnitas
h w
e,w e,h E h w
200 ; a T 0 ; 500 ; a T 20 ;
c =1cal/g°C; c =0,5 cal/g°C; T ??; m =??
h wm g C m g C
Debido a que en este problema existen cambios de
fase es necesario hacer un balance de energía para
determinar si todo el hielo se funde, o si ocurre una
conversión parcial.
Calor necesario para convertir el hielo en agua
1
1
200 (80 / )
16000 cal (1)
h fQ m L g cal g
Q
Calor cedido por el agua cuando esta pasa de 20°C
a 0°C
2 , 20 0
2
Q ( )
500(1)(20 0)
1000 cal (2)
w e wm c T T
Q
Comparando las ecuaciones (1) y (2) se observa que se funda todo el hielo se necesitan 16000 cal y
sólo se disponen de 1000 cal, por lo tanto no todo el
hielo se funde siendo la temperatura de equilibrio
TE =0°C
La cantidad de hielo fundido será
h w
h w
h w
m 1000
m (80 / ) 1000
m 125 g Rta.
fL cal
cal g cal
Problema 03
Un calorímetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20°C. Dentro del recipiente se
introduce de hielo de 100 g enfriado a -20°C. (a)
Determine la temperatura final del sistema
suponiendo que no hay pérdidas de energía. (b) Se
añade un segundo trozo de hielo de 200 g a -20°C.
¿Cuánto hielo queda en el sistema, una vez que se
ha alcanzado el equilibrio térmico?. (c) ¿Sería
distinta la respuesta a la parte (b) si ambos trozos se
agregaran al mismo tiempo?.
Solución
Datos e incógnitas
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
403
al w
'
h h
e,w e,h al
E h, queda
200 ; a T 20 ; 500 ; a T 20 ;
100 ; a T 20 ; 200 a T 20
c =1cal/g°C; c =0,5 cal/g°C; c =0,215cal/g°C
(a) T ??;( ) m =??; (c) verificar
al w
h h
m g C m g C
m g C m g C
b
Parte (a) Debido a que en este problema también
existen cambios de fase es necesario hacer un
balance de energía para determinar si todo el hielo
se funde, o si ocurre una conversión parcial.
Calor necesario para convertir el hielo en agua
100 (0,5 / )(20 ) 200 (80 / )
9000 cal (1)
G h e h f
G
Q m c T m L
g cal g C C g cal g
Q
Calor cedido por el agua más el calorímetro cuando
esta pasa de 20°C a 0°C
P ,
2
Q
200 (0,225 / )(20 ) 500 (1 / )(20 )
10800 cal (2)
al al w e wm c T m c T
g cal g C C g cal g C C
Q
Comparando las ecuaciones (1) y (2), se observa
que si disponemos de la cantidad de energía
suficiente para fundir todo el hielo e agua líquida e
incluso elevar la temperatura
G PQ Q
El calor ganado es '
100(0,5)(20) 100(80) 100(1)( )
9000 100
G h e f f w w
G E
G E
Q m c T m L m c T
Q T
Q T
El calor perdido es
''
200(0,215) 500(1) 20
543 20
P al al w w
E
P E
Q m c m c T
T
Q T
Por tanto se tiene
9000 543 20
2,89 Rta
E E
E
T T
T C
Parte (b). De la parte (a) ahora el sistema está
formado por
al w
h
200 ; a T 20 ; 600 ; a T 20 ;
200 ; a T 20 ;
al w
h
m g C m g C
m g C
El calor ganado será
'' ' '
G
''
G
Q
200(0,5)(20) 200(80)
Q 18000 (3)
h h h fm c T m L
cal
El calor perdido es
'' ''
P
''
P
Q
600(1)(2,89) 200(0,215)(289)
Q 1858,27 (4)
w w al alm c T m c T
cal
Comparando ahora las ecuaciones (3) y (4) se
observa que ahora que solo se disponen de 1858,27
cal para fundir todo el hielo sin embargo se
necesitan 18000 cal por tanto parte del agua se
transforma en hielo, siendo la nueva temperatura de
equilibrio 0°C y la masa fundida. La masa de agua
fundida será
'
Hm
200(0,5)(20) (600 1 200 0,215)(2,89) (80)
1000 1858,27 80
1,77
h w w al al w h f
x
x
x
c T m c m c T m L
x x m
m
m g
La masa total de hielo será
, 201,77h Tm g
Parte (c). Cuando se añaden ambos trozos a la vez
se tiene:
Calor ganado por el hielo
300 (0,5 / )(20 ) 300 (80 / )
27000 cal (6)
G h e h f
G
Q m c T m L
g cal g C C g cal g
Q
Calor perdido por el agua más el calorímetro.
P ,Q
200 (0,225 / )(20 ) 500 (1 / )(20 )
10800 cal (7)
al al w e w
P
m c T m c T
g cal g C C g cal g C C
Q
Comparando las ecuaciones (6) y (7), se observa
que no todo el hielo se funde. Por tanto la cantidad
de hielo fundido será
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
404
10860
80 10860 300(0,5)(20)
98,25
h h x f
x
x
m c T m L
m
m g
La masa de hielo que queda será
,
,
300 98,25
201,25
No existe variación.
h queda
h queda
m
m g
Problema 04
Un extremo de una varilla metálica aislada se
mantiene a 100°C, y el otro se mantiene a 0°C con
una mezcla de hielo más agua. La varilla tiene 40 cm de largo y el área transversal es 0,75 cm2. El
calor conducido por la varilla funde 3 g de hielo en
5 minutos. Determine la conductividad térmica de
material.
Solución
Datos e incógnitas.
1
2
0
3 ; t = 5 min; k = ??, T 100 ;
0 ; L = 40 cm; A = 0,75 cm
hm g C
T C
En la figura se muestra a la barra
40 cm
Ahora se determina el calor utilizado para fundir el
hielo
3 (80 / ) 240
240(4,186 )
1004,64 (1)
h fQ m L g cal g cal
Q J
Q J
La corriente térmica o calor por unidad de tiempo
será
3 (80 / ) 240
240(4,186 )
1004,64 (1)
h fQ m L g cal g cal
Q J
Q J
Se procede a determinar la conductividad térmica.
En el régimen estacionario
1 0
4 2
kA(T )H=
(0,75.10 )(100 0 )3,35
0,4
178,67 W/m.K
T
L
k m C CW
m
k
Problema 05
Una varilla larga, aislada para evitar pérdidas de
calor por los costados, está en contacto térmico
perfecto con agua hirviendo ( a la presión
atmosférica), en un extremo y con una mezcla de hielo-agua en el otro extremo como se muestra en
la figura. La varilla consiste en un tramo de 1 m de
cobre (un extremo en el vapor) unido al extremo de
otro ramo L2 de acero. La temperatura de la unión
cobre-acero es 65°C una vez que se alcanza el
estado estacionario, determine: (a) la corriente
térmica; (b) la longitud L2 que tiene el tramo de
acero; (c) la resistencia térmica del sistema y (d) la
cantidad de hielo que se funde en 40 min.
Considere que Kcu = 385 W/m.K y Kac = 50,2
W/m.K.
Solución
Parte (a). La corriente térmica es
4T 373 338I KA 385(6.10 )
x 1
8,085 /I J s
Parte (b). En el estado de régimen estacionario se
cumple que
2
4
2
2
'8,085
338 2738,085 50, 2(6.10 )
24, 2
cu ac
ac ac
I I
TK A
L
L
L cm
100°C
0°C
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
405
Parte (c). Resistencia térmica del sistema
4 4
( ) ( )
1 0,242
385(6.10 ) 50,2((6.10 )
51 K/W
T cu ac
cu ac
T
R R R
x x
KA KA
R
Parte (d). Cálculo del hielo fundido
Se sabe que
x
8,085 / (2400 )
19282,9 J
m (80 4,186 / ) 19282,9
57,58 g
x f
x
QH I
t
Q It J s s
Q m L
x J g J
m
Problema 06
Una barra de 2 m de longitud tiene un alma de
acero de 1 cm de diámetro rodeado de una camisa
de cobre cuyo diámetro externo es 2 cm. La
superficie exterior de la barra está térmicamente
aislada de modo que el calor sólo puede fluir
longitudinalmente por la varilla. (a) Determine la
corriente total de calor en la barra, en el estado
estacionario; (b) ¿Qué fracción transporta cada
material?. Considere que Kcu = 385 W/m.K y Kac = 50,2 W/m.K.
Solución
En primer lugar se determina el área de las
secciones transversales
Área transversal del acero
2 2
2
4 2
(1 )
4 4 4
0,785.10 (1)
ac
ac
d cmA cm
A m
Área transversal del cobre
2 2 2 2 2
cu
4 2
3A 2 1
4 4 4
2,356.10 (2)
cu ac
cu
d d cm
A m
Se determina ahora la corriente térmica en la barra
de acero
1 2ac
4
( )I
393 27350,2(0,785.10 )
2
0,1971 W (3)
ac ac
ac
T TK A
L
I
La corriente térmica en el cobre será
1 2cu
4
( )I
393 273385(2,356.10 )
2
4,54 W (4)
cu cu
ac
T TK A
L
I
La corriente total será
acI=I 0,197 4,54
4,737 W
cuI
I
Parte (b). Fracción de corriente que pasa por cada
barra
0,197x100En el acero= 4,2%
4,737
4,54x100En el cobre= 95,8%
4,737
Problema 07
Se disponen dos cubos metálicos de 3 cm de lado,
uno de cobre y el otro de aluminio tal como se
muestra en la figura. Determine: (a) la resistencia
térmica de cada uno de los cubos, (b) la resistencia
total de sistema, (c) la corriente térmica y (d) la
temperatura en la interface de los cubos.
Solución
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
406
Datos e incógnitas
1
2
0
3 ; t = 5 min; k = ??, T 100 ;
0 ; L = 40 cm; A = 0,75 cm
hm g C
T C
Parte (a). cálculo de la resistencia térmica
2
2 2
3.10
401(3.10 )
0,083 / (1)
cu
cu cu
cu
xR
K A
R K W
2
2 2
' 3.10
237(3.10 )
0,14 / (2)
al
al al
cu
xR
K A
R K W
Parte (b). La resitencia total será
TR 0,083 0,14
0,224 K/W (3)
cu al
T
R R
R
Parte (c). Corriente térmica esta dada por
373 273 (0,224 / )
357,14 W
eqT IR
K K I K W
I
Parte (d). Cálculo de la temperatura en la interface.
Se sabe que en régimen estacionario la corriente se mantiene constante, por lo tanto
'
373 357,14 (0,224 / )
343,4 K
cu
x
x
T IR
K T W K W
T
Problema 08
Los mismos cubos empleados en el problema
anterior se disponen en la forma indicada en la
figura. Determine: (a) la resistencia térmica de cada
uno de los cubos, (b) la corriente térmica y (c) la
resistencia térmica equivalente.
Solución
Parte (a). La resistencia térmica en cada cubo será
2
2 2
3.10
401(3.10 )
0,083 / (1)
cu
cu cu
cu
xR
K A
R K W
2
2 2
' 3.10
237(3.10 )
0,14 / (2)
al
al al
cu
xR
K A
R K W
Parte (b). La corriente térmica en cada cubo es
373 273 (0,083 / )
963,86 W
373 293 (0,224 / )
571,43
eq
cu
cu
al al
al
al
T IR
K K I K W
I
T I R
K K I K W
I W
La corriente total será
963,86 571,43
1535,3 W
total cu alI I I
I
Parte (c). La resistencia térmica equivalente es
eq
0,083(0,14)R
0,083 0,14
0,052 K/W
cu al
cu al
eq
R R
R R
R
Problema 09
Un pequeño estanque tiene una capa de hielo de 1
cm de espesor flotando sobre él. (a) si la
temperatura del aire es -10°C, halle la velocidad en
cm/h con que aumenta el espesor del hielo por su parte inferior, (b) ¿Cuánto tiempo tardará en
formarse una capa de hielo de 20 cm de espesor?.
Considere que ρh =0,917 g/cc; Kh = 4,78.10-3
cal/s.cm°C.
Solución
Datos e incógnitas
1 2
3
h
1 ; T 0 ; T 10 ;
0,917 / ; K 4,78.10 / . .h
e cm C C
g cc cal s cm C
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
407
Parte (a). En la figura se muestra la capa de hielo y
la forma como ocurre el flujo térmico, además
suponemos que se está formando una capa de hielo
de espesor x
La corriente térmica se expresa en la forma
1 2 (1)T TdQ
I H KAdt e
La masa de la capa de hielo de área A y espesor dx
que se está formando es
dm = dV = Adx (2)
El calor necesario para que pase el agua de 0°C a hielo a 0°C es
f fdQ = L ( ) = L Adx (3)dm
Remplazando (3) en (1) se tiene
f 1 2
1 2
3
L Adx
4,78.10 10
0,917 1 80
2,34 /
f
KA T T
dt e
K T Tdxv
dt eL
v cm h
Parte (b). Cálculo del tiempo
f
20
f0 0
10
L Adx 10
L 10
85,3 h Rta
t
dQKA
dt x
KA
dt x
xdx K dt
t
Problema 10
Una barra de sección transversal uniforme A y de
longitud L que tiene la superficie lateral
termoaislada se compone de un material, cuya
conductividad térmica varía con la temperatura
según la ley , donde α es una constante y T es
la temperatura. Los extremos de la barra se
mantienen a las temperaturas T1 y T2 (T1 > T2).
Determine: (a) la corriente térmica y (b) la
dependencia T(x), donde x es la distancia medida
desde el extremo con temperatura T1.
Solución.
En la figura se muestra la forma de la barra
x
L
La ley de conducción de calor en este caso nos da
(1)
(2)
dTH KA
dx
Hdx KAdT
AHdx dT
T
Integrando la expresión anterior resulta
2
10
1
2
ln (3)
L T
T
dTH dx A
T
TAH
L T
Parte (b). Para determinar T(x) se procede a
integrar la expresión (2) pero con otros límites,
esto es
10
1ln (4)
xx T
T
x
dTH dx A
T
TAH
x T
Remplazando (3) en (4), resulta
T1
T2
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
408
1 1
2
/
11
2
ln ln
(5)
x
x L
x
T TA A
L T x T
TT T
T
Problema 11
Una tubería de vapor de agua de 2 cm de radio que
lleva vapor a 140oC, está rodeada por una camisa
cilíndrica de corcho (Ke = 0,04 W/m.K) con radios
exterior e interior de 2 cm y 4 cm, respectivamente,
ésta a su vez está rodeada por una camisa de
espuma de poliestireno (Ke = 0,01 W/m.K) con
radios interior y exterior de 4 cm y 6 cm,
respectivamente. La superficie exterior de la
espuma de poliestireno está en contacto con el aire
de 20oC. Determine: (a) la temperatura en un radio
de 4 cm (la unión de los materiales aislantes) y (b)
La corriente térmica total hacia fuera de un tramo de 2 m de tubería.
Solución
Debido a que la transferencia de calor es a través de
la superficie lateral del cilindro, entonces la
corriente térmica se expresa
1
1
1
2
2 (1)
r
dTH K A
dr
dTK rL
dr
drH LK dT
r
Integrando la ecuación anterior desde r = a, hasta
r = b, resulta
1
1
1
2
2 (2)
ln
x
a
b T
a T
x a
drH LK dT
r
LK T TH
b
a
Integrando la ecuación desde r = b hasta r = c, se
tiene
2
1
2
2
2 (3)
ln
c
x
c T
b T
c x
drH LK dT
r
LK T TH
c
b
Parte (a). En régimen estacionario se tiene
1 2
1 2
1 2
2 2
ln ln
ln ln
0,04 413 0,02 293
4 6ln ln2 4
377,2 104,2 Rta
x a c x
x a c x
x x
x
H H
LK T T LK T T
b ca b
K T T K T T
b ca b
T T
T K C
Parte (b). Cálculo de la corriente térmica. De la
ecuación (2), se tiene
1
1
2
ln
2 (2) 0,04 377,2 413
ln 4 / 2
26,1 W Rta
x aLK T TH
b
a
H
H
Problema 12
Un iglú hemisférico hecho de nieve compactada tiene un radio interior de 2 m. Se desea mantener en
su interior una temperatura de 20°C. El calor
generado por los habitantes del iglú es 30.106 J/dia.
¿Qué espesor debe tener las paredes del iglú
sabiendo que la temperatura exterior es – 20°C
y la conductividad térmica de la nieve compactada
es 0,209 W/m.K?.
Solución
En la figura se muestra el iglú
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
409
En este caso asumimos que el flujo de calor a través
de la superficie del iglú es radial. Por lo tanto la
ecuación de conducción de calor será
242
22 (1)
r
dTH KA
dr
dTK r
dr
drH KdT
r
Integrando la ecuación (1) desde r = a hasta r = b,
resulta
22
2 (2)
2 2(2 ) 0,209 20 ( 20)347,2 /
86,7 Rta
b
a
b T
ha T
h a b
drH K dT
r
ab K T TH
b a
eJ s
e
e cm
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
410
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. a) Una persona de 80 kg intenta bajar de
peso subiendo una montaña para quemar el
equivalente a una gran rebanada de un rico
pastel de chocolate (700 Cal alimenticias).
¿A qué altura debe subir? b) Otra persona
consume energía a razón de 150 W durante
su trabajo, ¿qué cantidad de pan debe
ingerir para poder trabajar durante una hora? (Calor de combustión del pan es 8000
cal/g). Considere que el 25% de la energía
liberada del alimento se aprovecha como
trabajo útil.
R: a) 934 m, b) 64.5 g.
2. Se acuerdan del problema del Salto del
Laja; suponga ahora que el agua en su parte
superior tiene una temperatura de 15ºC. Si
toda su energía potencial se emplea en calentar el agua que cae, calcule la
temperatura del agua en la base del salto.
R: si altura del salto se estima en 25m,
15.06ºC.
3. Se utilizan 2 kcal para calentar 600 gr de una
sustancia desconocida de 15ºC a 40ºC.
Calcular el calor específico de la sustancia.
R: 0.13 cal/grºC.
4. Un trozo de cadmio de 50 gr tiene una
temperatura de 20ºC. Si se agregan 400 cal al
cadmio, calcular su temperatura final.
5. A un vaso aislante del calor (de plumavit)
que contiene 200 cm3 de café a la
temperatura de 95ºC, se le agregan 40 cm3
de leche que se encuentra a temperatura
ambiente. Calcular la temperatura de
equilibrio que alcanza la mezcla. (Suponer
calor específico de los líquidos igual al del agua y considere un día de primavera).
6. Al desayunar, usted vierte 50 cm3 de leche
refrigerada en su taza que contiene 150 cm3
de café recién preparado con agua hirviendo.
Calcular la temperatura de equilibrio alcanza
esta apetitosa mezcla. (Desprecie la capacidad
calórica de la taza).
R: 75ºC.
7. Se enfría un bloque de 40 gr de hielo hasta -50ºC. Luego se agrega a 500 gr de agua en un
calorímetro de 75 gr de cobre a una
temperatura de 25ºC. Calcular la temperatura
final de la mezcla. Si no se funde todo el hielo,
calcular cuánto hielo queda.
8. En un recipiente aislado se mezclan 150 g de
hielo a 0ºC y 600 g de agua a 18ºC. Calcular:
a) la temperatura final del sistema, b) la
cantidad de hielo queda cuando el sistema
alcanza el equilibrio.
R: a) 0º C, b) 14.4 g.
9. Un recipiente de aluminio de 300g contiene
200g de agua a 10º C. Si se vierten 100 g más
de agua, pero a 100º C, calcular la temperatura
final de equilibrio del sistema.
R: 34.6º C.
10. Un calorímetro de 50 g de cobre contiene 250
g de agua a 20º C. Calcular la cantidad de
vapor que se debe condensar en el agua para
que la temperatura del agua llegue a 50ºC.
R: 12.9 g
11. Un calorímetro de aluminio con una masa
100 gr contiene 250 gr de agua. Están en
equilibrio térmico a 10ºC. Se colocan dos
bloques de metal en el agua. Uno es 50 gr de
cobre a 80ºC. El otro una muestra de masa de
70 gr a una temperatura de 100ºC. Todo el
sistema se estabiliza a una temperatura final
de 20ºC. Deducir de qué material se trata la
muestra.
12. Un envase plumavit contiene 200 g de
mercurio a 0ºC. Se le agregan 50 g de alcohol
etílico a 50ºC y 100 g de agua a 100ºC. a)
Calcular la temperatura final de la mezcla. b)
calcular el calor ganado o perdido por el
mercurio, alcohol y agua. Desprecie la
capacidad térmica del plumavit.
R: a) 84.4º C, b) 557 cal, 998 cal, 1560 cal.
13. Un cubo de hielo de 20 g a 0ºC se calienta
hasta que 15 g se han convertido en agua a
100ºC y el resto en vapor. Calcular el calor
necesario para este proceso.
R: 21739 J.
14. Un trozo de cobre de 1 kg y a 20ºC se
sumerge en un recipiente con nitrógeno
líquido hirviendo a 77K. Calcular la cantidad
de nitrógeno que se evapora hasta el momento
en que el cobre alcanza los 77K. Suponga que el recipiente está aislado térmicamente.
R: 941 kg.
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
411
15. La temperatura en áreas costeras se ve
influenciada considerablemente por el gran
calor específico del agua. Una razón es que el
calor liberado cuando un metro cúbico de
agua se enfría en 1ºC aumentará la
temperatura de un volumen enormemente más
grande de aire en 1ºC. Calcule este volumen
de aire. El calor específico del aire es
aproximadamente 1 kJ/(kgºC). Considere la densidad del aire igual a 1,25 kg/m3.
R: Vaire = 3433 Vagua.
16. Un estudiante inhala aire a 22ºC y lo exhala a
37ºC. El volumen promedio del aire en una
respiración es de 200 cm3. Ignore la
evaporación del agua en el aire y estime la
cantidad de calor absorbido en un día por el
aire respirado por el estudiante.
R: 3.75 J por respiración.
17. Un calentador de agua funciona por medio de
potencia solar. Si el colector solar tiene un
área de 6 m2 y la potencia entregada por la luz
solar es de 550 W/m2, ¿Cuál es el tiempo
mínimo en aumentar la temperatura de 1 m3
de agua de 20ºC a 60ºC? Indique la(s)
suposición(es) hecha(s).
R: aprox. 14 horas.
18. Cuando un conductor frena su auto, la fricción entre los tambores y las balatas de los frenos
convierten la energía cinética del auto en calor.
Si un auto de 1500 kg que viaja a 30 m/s y se
detiene, ¿cuánto aumenta la temperatura en
cada uno de los cuatro tambores de hierro de
8 kg de los frenos? (desprecie la pérdida de
energía hacia los alrededores).
R: 47.1º C.
19. Dos balas de plomo cada una de 5,0 g, a 20ºC y moviéndose a 400 m/s chocan de
frente. Suponiendo una colisión
perfectamente inelástica y que no hay ninguna
pérdida de calor hacia la atmósfera, describa el
estado final del sistema (las dos balas).
R: 645º C.
20. Un lago contiene cerca de 5.1011 m3 de agua.
a) ¿Cuánto calor se necesita para elevar la
temperatura de ese volumen de agua de
14.5 a 15.5ºC? b) Calcule el tiempo que se requeriría para calentar el lago, entre esas
temperaturas, si el calor lo suministra una
central eléctrica de 1000MW.
R: b) aprox. 66 años.
21. El gradiente térmico de la Tierra, medido en la
superficie es 30º C/km. Suponga que este
valor no cambia en todo el trayecto hasta el
centro de la Tierra. Si la temperatura en la
superficie terrestre es 17º C, calcular la
temperatura en el centro de la Tierra. ¿Considera que es una res- puesta razonable?
Considerar el radio terrestre de 6370 km.
R: 191117º C.
22. Una barra de hierro de 60 cm de longitud y
área transversal de 2 cm2, tiene un extremo a
80º C y el otro a 20º C. Calcular: a) el
gradiente de temperatura, b) la rapidez de
transferencia de calor, c) su temperatura a 20
cm del extremo caliente.
R: a) -100 ºC/m, b) 1.6x10-4 W, c) 60ºC.
23. Dos barras de la misma longitud, de
diferentes materiales y áreas transversales se
colocan paralelas entre sí. Encuentre la
expresión de la tasa del flujo de calor en
términos de las conductividades térmicas y las
áreas de las barras. Generalice el resultado al
caso de más de dos barras.
R: -(∆T/∆x)(k1A1+k2A2)
24. Un carpintero construye una pared. Hacia el
exterior coloca una lámina de madera (k =
0.08 W/mK) de 2 cm de espesor y hacia el
interior una capa de espuma aislante (k = 0.01
W/mK) de 3,5 cm de espesor. La temperatura
de la superficie interior es de 19º C, y la
exterior es –10º C. Calcular: a) la temperatura
en la unión entre la madera y la espuma, b) la
razón de flujo de calor por m2 a través de esta
pared.
R: a) -15.3º C, b) -53.2 W/m2.
25. Una tabla de área de 2 m2 y 2 de cm de espesor
se usa como una barrera entre un cuarto a 20º
C y una región a 50º C. Calcular el número de
clavos de acero de 2 cm de longitud y 4 mm de
diámetro que se deben clavar sobre la tabla
para que el flujo de calor a través de la tabla se
duplique.
R: aprox. 160 clavos.
26. Un extremo de una varilla metálica aislada se
mantiene a 100º C, y el otro se mantiene a 0º C
en contacto con una mezcla de hielo-agua. La
varilla tiene 40 cm de longitud y un área
Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García
412
transversal de 0,75 cm2. El calor conducido
por la varilla funde 3 g de hielo en 5 minutos.
Calcular: a) el gradiente térmico a lo largo de
la varilla, considerando que este es uniforme,
b) la cantidad de calor conducida por la varilla,
c) la conductividad térmica del metal. d) Si el
extremo que está a 100º C está en contacto con
vapor ¿qué cantidad de vapor condensa en los
5 minutos señalados?
R: a) 250 ºC/m, b) 3.3 W, c) 173.7 W/mK, d)
0.44 g.
27. Una barra de hierro de 20 cm de largo con un
diámetro de 1 cm tiene un extremo sumergido
en una mezcla de hielo a 0º C, mientras que el
otro extremo está en un tanque de vapor a 100º
C. Suponga que a lo largo de la barra se ha
establecido un gradiente de temperatura
uniforme. Calcular: a) la rapidez del flujo de
calor a lo largo de la barra, b) la rapidez con la que se funde el hielo en el extremo frío, c) la
rapidez con la que se condensa el vapor en el
extremo caliente para mantener el gradiente de
temperatura uniforme, d) el gradiente de
temperatura a lo largo de la barra.
28. Una heladera cúbica de plumavit, de 30 cm de
lado y 2 cm de espesor, tiene una temperatura
interna de 5º C y externa de 25º C. Si 5kg de
hielo se funden en 8 horas, calcular la
conductividad térmica del material.
R: 0.143 W/mºC.
29. Un tubo de vapor se cubre con material
aislante de 0.5 cm de espesor y 0.2 cal/(s cm
ºC) de conductividad térmica. Inicialmente
¿Cuánto calor se pierde por segundo si el tubo
está a 120º C y el aire circundante a 20º C? El
tubo tiene un perímetro de 20 cm y una
longitud de 50 cm. Ignore las pérdidas por los
extremos del tubo. Analice la conveniencia o
no de usar la relación dada para superficies planas. Estrictamente, debería usar la ecuación
diferencial para la tasa conducción de calor e
integrar para un conjunto de capitas
superpuestas, cada una de forma cilíndrica y
muy delgadita.
R: 5.3x104 W
30. Una ventana térmica de 6 m2 se construye con
dos capas de vidrio, cada una de 4 mm de
espesor, separadas por un espacio de aire de 5
mm. Si la parte interna está a 25º C y la externa a 0º C, calcular la pérdida de calor a
través de la ventana.
31. A cierta familia le agrada tener la casa a 23° C
durante el invierno, cuando afuera hay 0° C.
¿Qué temperatura interna deberían elegir si
quisieran bajar sus gastos en combustibles en
10%? Explique clara- mente las hipótesis que
hizo.
R: 20.7º C.
32. a) Si la temperatura promedio de la piel de
algún alumno es 30º C, su poniendo una emisividad ε = 0.97, calcular la radiación que
emite. b) Si la temperatura promedio de las
paredes de la sala donde se encuentra es 15º C,
calcular la radiación que emite, considerada
como cuerpo negro. c) Calcular la radiación
neta para el alumno.
33. Una dama se encuentra en bikini en una sauna
cuyas paredes están a 85°C y tienen una
emisividad igual a 1. Su piel se encuentra a
40°C y su emisividad es 0.8. a) ¿Cuánto calor absorbe la dama por radiación de las paredes?
b) ¿Cuál es la tasa a la cual la dama irradia
energía al medio exterior? c) ¿Cuánto sudor
debería evaporar por hora para que su
temperatura se mantenga normal y estable?
(Suponga que éste es el único mecanismo de
pérdida energía y que no está produciendo
energía por metabolismo). Considere que el
calor latente del sudor, a 37º C, es 2427 kJ/kg
(compare con el del agua, tenga presente que
éste último está dado a 100º C).
34. Averiguar en algún texto de óptica, cual es la
longitud de onda y la frecuencia de la radiación
donde el ojo humano tiene la máxima
sensibilidad, ¿y el ojo de un gato?, ¿un
murciélago?, ¿un búho?
35. Calcular la frecuencia en Hertz y la energía en
J (ecuación 14.4), para las longitudes de onda
de cada tipo de radiación de la tabla 14.4.
36. La temperatura de la superficie del Sol es de
unos 6000 K. Tomando el radio del Sol igual
7x108 m, calcular la energía total irradiada por
el Sol cada día.
R: 3.7x1031 J.
