Características de Los Filtro Analógicos de Butterworth y Chebyshev

8/16/2019 Características de Los Filtro Analógicos de Butterworth y Chebyshev

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Características de los filtro analógicos de Butterworth

y Chebyshev

Los filtros analógicos de Butterworth y Chebyshev ofrecen al

diseñador dos forma distintas de aproximación de la respuesta ideal enfrecuencia tal y como se ilustra en la Figura 6!"#

Fig 6!"

$l filtro de Butterworth efect%a la aproximación mediante el criterio de

m&xima uniformidad en la banda pasante La ganancia disminuye

gradualmente pasando por el punto de '() dB* a la frecuencia de

corte ωl + medida ,ue aumenta el orden del filtro se incrementan las

pendiente de atenuación

+ continuación se incluye una tabla con los coeficientes de los

polinomios de Buterworth La tabla est& dada para filtros normali-ados.

es decir. la frecuencia de corte ω l = 1 rd/sg. /ara obtener el filtro a

cual,uier frecuencia deberemos multiplicar tanto el numerador como

denominador por la frecuencia de corte elevada al grado del polinomio de

denominador /or e0emplo para un filtro de paso ba0o de 12orden#

H(s) 3


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La aproximación de Chebyshev genera un ri-ado en la banda pasante

La amplitud de dicho ri-ado varía entre 1 y donde ε es el factor

de ri-ado. par&metro controlado por el diseñador + medida ,ue aumenta

el orden del filtro se incrementa el ri-ado en la banda de paso

/ara un mismo orden la atenuación de un filtro de Chebyshev es

superior al de Butterworth

4H(ω)| = Butterworth

|H(ω)| = Chebyshev

donde n es el orden del filtro yωl es la frecuencia de corte Cn son

los polinomios de Chebyshev de grado n definidos por #

C5 'x* 3 " C" 'x* 3 x C! 'x* 3 ! x! ( " C) 'x* 3 7 x

) ( ) x

C8 'x* 3 ! x C8 (" 'x* ( C8 (! 'x*

$stos polinomios tiene la siguiente propiedad descubierta por /L

Chebyshev#

9e todos los polinomios de grado 8 con coeficientes igual a ". el

polinomio definido por # tiene el menor valor m&ximo de

magnitud en el intervalo 4x4 " 9icho valor es. de hecho. 2

1 - N

$n lagr&fica ad0unta. Figura 6!!. se muestran e0emplos para 83 ! y )


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Fig 6!!

$l n%mero de oscilaciones en la banda de paso est& determinado por el

par&metro δ mediate la e!"resi#$

$xisten diversas t:cnicas para transformar un filtro de paso ba0o conuna frecuencia de corte normali-ada de " rd;s en otro filtro de paso ba0o

'con distinta frecuencia de corte*. paso alto . paso de banda o recha-o de

banda


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Las frecuencias analógicas€ω y digital Ω€est&n relacionadas por =

mediante la expresiónΩ = ω Τ

+sí mismo en el campo digital las transformaciones de paso son#

9onde = es el periodo de muestreo y ω€u la frecuencia de corte

deseada. y en t:rminos de la frecuencia digital#

Ω = ω Τ

9onde = es el periodo de muestreo y ω€u la frecuencia de corte deseada

y en t:rminos de la frecuencia digital#

Ω = ω Τ

9onde = es el periodo de muestreo. ω0

es la frecuencia central de la

banda de paso. ω€u la frecuencia de corte superior y ωl la frecuencia de

corte inferior deseada

% = &ot



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Ω = ω Τ

> 3 cot

9onde = es el periodo de muestreo.ω

0

es la frecuencia central de la

banda de paso €w u la frecuencia de corte superior y ωl la frecuencia de

corte inferior deseada

% = &ot


Ω = ω Τ

> 3 cot

1! Filtro de Butterworth

'eiido siem"re "ara el iltro "aso bao.Características de su respuesta#


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• *u&i# &ara&ter+sti&a$

,u &om"ortamieto$

• es"uesta "laa e la bada de "aso.

• Ca+da de 2 dB/d&ada e la bada ateuada.

• *iltro &ara&teri0ado "or los valores de & y .

9iseño de un filtro de Butterworth#

eemos 3ue e&otrar & y 3ue satisaga las es"e&ii&a&ioes.

4s"e&ii&a&ioes$

1. Cálculo del orden del filtro de Butterworth (n).

'ebe &um"lir$

,i o es etero redodearemos al siguiete 3ue asegure el &um"limieto de

es"e&ii&a&ioes.

2. Cálculo de la frecuencia de corte (ωc ) del filtro de Butterworth.

5m"oiedo 3ue el iltro "ase "or la es3uia ( "6 H ")$


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Bode de am"litud de iltros Butterworth de orde &re&iete$

1) Filtro de Chebyshev

'eiido siem"re "ara iltro "aso bao.

Características de su respuesta#

• *u&i# &ara&ter+sti&a$

'eii&i# de los "oliomios de Chebyshev$


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7bteidos de orma re&urrete$

,u &om"ortamieto$

• es"uesta &o ri0ado e la bada de "aso.

• *iltro &ara&teri0ado "or los valores de 8 y .

• 'ado el orde del iltro ()6 a mayor ri0ado "ermitido e la bada de "aso6 meor

sele&tividad e re&ue&ia.


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9iseño de un filtro de Chebyshev

eemos 3ue e&otrar 8 y 3ue &um"le las es"e&ii&a&ioes dadas.

4s"e&ii&a&ioes$

1. Cálculo del orden del filtro de Chebyshev (n).

'ebe &um"lir$

,i o es etero redodearemos al siguiete 3ue asegure el &um"limieto de

es"e&ii&a&ioes.

2. Cálculo del parámetro de rizado () del filtro de Chebyshev.

5m"oiedo 3ue el iltro "ase "or la es3uia ( "6H ")$


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,i os da el ri0ado 8 9 "odemos dedu&ir H ".Comparación Butterworth(Chebyshev

• :os Chebyshev de&ae m;s r;"idamete 3ue los Butterworth.

• :os Butterworth se &om"orta meor e la bada de "aso.

17 ?mplementación de filtros de Butterworth y Chebyshev

*iltros Butterworth y Chebyshev solo "aso bao.

+C=?@A 'paso ba0o*#

*iltro de 2< orde (=2)

*iltro de < orde (=)


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*iltro de >< orde (=>)

,o iltros ,alle-?ey &oe&tados e &as&ada. 4stos &ir&uitos im"lemeta la res"uesta

de Butterworth o Chebyshev seg@ el valor de sus &om"oetes.

/+?@A 'paso ba0o*#

*iltro e es&alera.

(a) Cir&uito &o m+imo @mero de idu&ta&ias.

(b) Cir&uito &o m+imo @mero de &odesadores.

4 orde del iltro lo determia el @mero total de elemetos alma&eadores de eerg+a

(&odesadoresAidu&ta&ias).

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Como uestra re&ue&ia w& o w " o ser; de 1rad/s y o usaremos resiste&ias de 1D

debemos a"li&ar ua ley de es&alamieto (e re&ue&ia e im"eda&ia) a los valores de

la tabla.

:ey Eiversal de 4s&alamieto "ara iltros a&tivos

=ablas filtros pasivos

:o "rimero 3ue teemos 3ue de&idir es si vamos a utili0ar ua estru&tura &o el m+imo

@mero de &odesadores o de idu&ta&ias.

Butterworth$ Coo&ido y w&6 la tabla muestra los valores de Cs y :s "ara w &= 1rad/s y

:= 1D.

Chebyshev$ Coo&ido y 86 la tabla muestra los valores de Cs y :s "ara w "= 1rad/s y := 1D6 "ara u ri0ado determiado.

estos iltros se les &oo&e &omo iltros "aso bao "asivos "rototi"o o ormali0ados.

Fara obteer u iltro &o la re&ue&ia 3ue os iteresa y valores Gra0oablesG de

&om"oetes tedremos 3ue a"li&ar otra ley de es&alamieto.

:ey Eiversal de 4s&alamieto "ara iltros "asivos

16 Criterios de diseño para otros tipos de especificaciones

=ransformación de paso ba0o a paso alto

4 la u&i# de trasere&ia e3uivale a sustituir$

s 91/s

$0emplo#

4sta trasorma&i# se "rodu&e al sustituir s "or Cs de valor 1/ y Cs "or s de valor

1/C (trasorma&i# C-C de itra) e el iltro "aso bao activo "rototi"o.


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4sta trasorma&i# e3uivale e el iltro "aso bao pasivo "rototi"o a sustituir :s "or Cs

de valor 1/: y Cs "or :s de valor 1/C.

=ransformación de paso ba0o a paso banda

4 la u&i# de trasere&ia e3uivale a sustituir$

4sta trasorma&i# e3uivale a "oer e &as&ada dos iltros a&tivo "rototi"o.

4sta trasorma&i# se obtiee sustituyedo e el iltro "aso bao "asivo "rototi"o$

=ransformación de paso ba0o a recha-o banda4 la u&i# de trasere&ia e3uivale a sustituir$


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4sta trasorma&i# e3uivale a "oer e "aralelo dos iltros a&tivo "rototi"o.

4sta trasorma&i# se obtiee sustituyedo e el iltro "aso bao "asivo "rototi"o$

1 $scalado en frecuencia e impedancia

Fermite reutili0ar u iltro diseIado modii&ado las re&ue&ias de &orte o los valores

de las resiste&ias em"leadas

$scalado en frecuencias#

'eseamos multi"li&ar la re&ue&ia &ara&ter+sti&a de u iltro "or ua &ostate J.

,i la re&ue&ia del iltro "asa a ser J6 debemos modii&ar el valor de los

&om"oetes utili0ados "ara o variar otras &ara&ter+sti&as del iltro.4 filtros pasivos$

9 J

C 9 C/J

: 9 :/J

4 filtros activos (s#lo hay resiste&ias y &odesadores)$

,e es&ala s#lo los valores de o los valores de C

9 J

C 9 C/J # 9 /J

$scalado de impedancias#

'eseamos mateer la re&ue&ia de &orte "ero utili0ar los &om"oetes dis"oibles

(utili0ar otros valores de im"eda&ias).


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,i dis"oemos de resiste&ias de valor K e lugar del valor del diseIo6 debemos

modii&ar el valor de los otros &om"oetes utili0ados "ara o variar las &ara&ter+sti&as

del iltro.

,i 9 K

C 9 C/K

: 9 K:$0emplo del uso de escalados#

4l siguiete &ir&uito es u iltro "aso bao de Chebyshev &o las siguietes

&ara&ter+sti&as$

,e desea &overtirlo e u iltro "asa alto &o las mismas &ara&ter+sti&as "ero &o ua

" de 1 ?h0 y uos valores de resiste&ias Gra0oablesG del orde de ?D.

1. Frimero se &ovierte e u iltro "aso bao ormali0ado e re&ue&ia "= 1

rad/s.

J=1/(2L1)=.1MO1-

Fara redu&ir la re&ue&ia6 aumetaremos el valor de las resiste&ias o &odesadores e

la misma "ro"or&i#. 4 este &aso es m;s modo modii&ar las resiste&ias.

4 el &aso de iltros "asivos aumetar+amos al mismo tiem"o los valores de los

&odesadores e idu&ta&ias.

2. rasormamos a "asa alto ormali0ado e re&ue&ia "= 1 rad/s mediate las

trasorma&ioes PC de itra.

. Ha&emos u es&alado e re&ue&ia "ara "asar el iltro "asa alto de ua "= 1

rad/s a ua " de 1 ?h0 (Q "= 2L1 rad/s).

J= 2L1/1= R2S


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Fodemos dismiuir (dividir "or J) el valor de las resiste&ias o de los &odesadores.

Como las resiste&ias 3uedar+a muy "e3ueIas6 o"tamos "or redu&ir el valor de los

&odesadores.

>. Como los valores de las resiste&ias so muy elevadas las redu&iremos mediate

u es&alado e im"eda&ias. Como o deseamos 3ue " var+e si dismiuimos las

resiste&ias tedremos 3ue aumetar e la misma rela&i# los &odesadores (e

este &aso 1).

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