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JOÃO BATISTA DE AZEVEDO DUTRA –[email protected] – www.webeficienciaenergetica.kit.net
CARGA DO CAPACITOR: Circuito RC Este trabalho descreve o comportamento do circuito RC série, com o capacitor inicialmente sem carga. A
solução adotada, utiliza o método clássico de análise de circuitos por meio de equações diferenciais. Este
processo envolve uma série de conceitos implícitos na utilização da Transformada de Laplace. O exemplo com
os parâmetros v(t), R e C definidos é resolvido com o auxilio do programa computacional MATLAB.
Figura 1: Circuito RC série
Onde: v(t) = V.U-1(t) e C sem carga
1) TENSÃO E CORRENTE NO CAPACITOR. ESTADO PERMANENTE ( ∞→t ): O capacitor totalmente carregado, comporta-se como um circuito aberto,
portanto, no estado permanente ip (t) = 0 e Vtvc =)(
EQUAÇÃO DIFERENCIAL: ∫ =+ VdtiC
iR 1
RESPOSTA TRANSITÓRIA: v(t)=0 e temos a equação diferencial homogênea 01=+ i
RCdtdi
Equação característica: 01=+
RCr , cuja raiz é
RCr 1
−= ( raiz real )
Logo a solução da equação homogênea será t
RCh eKti
1
.)(−
=
RESPOSTA COMPLETA: i(t) = ip(t) + ih(t) , portanto i(t) = 0 + ih(t)
Condições iniciais: No instante em que a chave fecha o circuito (t=0), o capacitor sem gaga equivale a um curto-
circuito, resultando RVi =)0( e vc (0) = 0
logo 0.ekRV= ,
RVk = e a solução completa será
tRCe
RVti
1
.)(−
= (1) ( t≥0)
TENSÃO NO CAPACITOR: V = Ri(t) + vc(t) então, ).1()(1 t
RCc eVtv
−−= (2) ( t≥0)
2) CONSTANTE DE TEMPO:
Para t = RC → ).1()( 1−−= eVtvc onde e = 2,718 , portanto vc(t) = 0,632 V
O termo RC é chamado constante de tempo. É o tempo para o capacitor armazenar 63,2% da tensão V.
Após o tempo 5RC, podemos considerar o capacitor com a tensão armazenada totalmente.
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3) ENERGIA ARMAZENADA NO CAPACITOR. A energia fornecida ao capacitor, num intervalo de tempo, pode tem a seguinte expressão:
∫=2
1
)()(t
tcc dttptW ( Joule), onde Pc(t) = i(t). vc(t)
Logo , para o exemplo com as expressões (1) e (2), onde a carga do capacitor inicia em t=0, a energia
armazenada será:
∫ =+−−=−=−=−−−−−−t
RCtt
RCtRCtt
RCRCt
RCt
c eeCVeeRCR
VdteVdteRVtW
0
22
0
22
)121
21(])
21()1(.)(
22
2 )]1([21)21(
21 RC
ttRCRC
t
eVCeeCV−−−
−=+−
Então, concluímos que a energia armazenada no capacitor, em um intervalo de tempo t=0 até t :
)(21)( 2 tvCtW CC = (Joule) (3)
Sendo que, a energia máxima armazenada para t→∞ será 2
21 VCWC =
4) EXEMPLO:
Na figura 1, v (t) = 100 U-1(t) , R = 10Ώ e C = 1,0 μF. Determine a corrente i(t), a tensão Vc(t) e a energia armazenada Wc(t) no capacitor,
inicialmente descarregado, após o fechamento da chave:
Solução utilizando o programa de linguagem computacional MATLAB
14/03/11
20:13
C:\Documents and Settings\Usuário\Meus documentos\academico\circuito_rc_serie\circuito_rc_serie.m
1 of 1
% %-------------------------- MATLAB EDITOR ------------------------------
% CORRENTE DE UM CIRCUITO RC SÉRIE:
% ----------------------------------------------------------------------
clear all
%VARIAVEIS DO CIRCUITO
V= 100;%tensão (Volts): 100u-1(t)
R = 10;%resistência (ohms)
C=1e-6;%capacitância (uF)
for j=1:11
RC=R*C;%constante de tempo (segundos)
k(1)=0;
t(j)=k(j)*RC;%Tempo em constante RC (5 constantes RC)
e(j)=exp(-(t(j)/RC));%Exponencial
I(j)=(V/R)*e(j);%Corrente i(t)
Vc(j)=V*(1-e(j));%Tensão no capacitor vc(t)
Wc(j)=(1/2)*C*(Vc(j))^2;
i=j+1;
k(i)=k(j)+ 0.5;
end
disp (' CIRCUITO RC SÉRIE: v(t)=100.U-1(t), R=10 ohms e C=1,0 uF');
disp (' ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ');
% tempo em multiplos da constante RC
disp ('t(RC)= 0.0RC 0.5RC 1.0RC 1.5RC 2.0RC 2.5RC 3.0RC 3.5RC 4.0RC 4.5RC 5.0RC ');
disp ('TEMPO (s) t :'); disp (t);% tempo em segundos
%corrente i(t) A
disp (' CORRENTE (A) i(t):');disp (I);
%tensão no capacitor vc(t)
disp ('TENSÃO (V) Vc(t): '); disp(Vc);
disp ('ENERGIA(J) Wc(t):'); disp(Wc);
disp ('--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ');
disp ('JOÃO BATISTA DE AZEVEDO DUTRA - [email protected] - www.webeficienciaenergetica.kit.net');
plot(t,I);
%plot(t,Vc);
14/03/11
20:10
MATLAB Command Window
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CIRCUITO RC SÉRIE: v(t)=100.U-1(t), R=10 ohms e C=1,0 uF
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
t(RC)= 0.0RC 0.5RC 1.0RC 1.5RC 2.0RC 2.5RC 3.0RC 3.5RC 4.0RC 4.5RC 5.0RC
TEMPO (s) t :
1.0e-004 *
0 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000
CORRENTE (A) i(t):
10.0000 6.0653 3.6788 2.2313 1.3534 0.8208 0.4979 0.3020 0.1832 0.1111 0.0674
TENSÃO (V) Vc(t):
0 39.3469 63.2121 77.6870 86.4665 91.7915 95.0213 96.9803 98.1684 98.8891 99.3262
ENERGIA(J) Wc(t):
0 0.0008 0.0020 0.0030 0.0037 0.0042 0.0045 0.0047 0.0048 0.0049 0.0049
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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CIRCUITO RC SÉRIE : v(t) = 100U-1(t) , R = 100 Ώ e C= 1,0 μF
tRCe
RVti
1
.)(−
=
).1()(1 t
RCc eVtv
−−=
)(21)( 2 tvCtW CC =
