5o Trabalho de Laboratorio - Circuitos RC

Grupo 18, Turno 4afeiraAndre Patrıcio (67898)Bavieche Samgi (67901)Miguel Aleluia (67935)

MEFT, TCFE

20 de Abril de 2011

Resumo

Analisamos um circuito RC serie de primeira ordem no domınio do tempo, nomeadamente o regime estacionario etransitorio. Identificamos, fazendo uma analise no domınio da frequencia, das propriedades propriedades de filtro passa-baixo do circuito em analise. Realizamos ainda uma analise de um filtro passa-alto realizado com um circuito RC. Fizemosainda um pequeno teste auditivo, recorrendo a um transdutor piezoelectrico e a um sinal sinusoidal.

Todos os resultados experimentais concordaram com o previsto teoricamente.

1

1 Introducao e Teoria Relevante

I. Circuito RC serie de primeira ordem

Consideramos o seguinte circuito RC serie e realizamos uma analise no domınio do tempo do mesmo

Figura 1: Circuito RC serie de primeira ordem

Regime Estacionario

Consideremos o caso estacionario, em que vG(t) = VG = 8V , e assuma-se que esta fonte de tensao foi ligada ha muitotempo, de modo a que o condensador se encontra ja carregado.

Neste caso, o metodo dos nos revela quedvCdt

+vCRC

=VGRC

(1)

e, impondo a condicao de estacionaridade( dvCdt = 0 ), vemos que

vC = VG, iC = CdvCdt

= 0, vR = RiC = 0, q(t) = CvC(t) = CVG (2)

Vemos que no caso estacionario o condensador se comporta como um circuito aberto, armazenando uma energia

WC =1

2Cv2C =

1

2CV 2

G (3)

previamente fornecida pela bateria no ciclo de carga( na verdade, a bateria fornece duas vezes este valor de energia, comoveremos; metade da energia fornecida dissipa-se no resistor como energia termica ).

Regime Transitorio

Fonte de Tensao Ligada em t=0

Estudamos o ciclo de carga do condensador com vG uma tensao em escada de magnitude VG aplicada em t = 0:

onde u(t) e a unit step function, bem conhecida. Assumimos, para nao perder generalidade que, para t < 0, vc = V0 ,apesar de, neste caso particular ser teoricamente vc = 0 para t < 0.

Aplicando a KCL ao no com a tensao vC , temos que

vc − VGR

+ CdvCdt

= 0,dvCdt

+vCRC

=VGRC

(4)

As solucoes para o regime livre e forcado ve-se facilmente serem, respectivamente

vCH = Ae−t/RC , vCP = VG (5)

Assim, a solucao do problema de valor incial e(para t > 0), introduzida a condicao inicial,

vC(t) = VG + (V0 − VG)e−(t−t0)/RC , iC(t) = CdvCdt

=VG − V0

Re−t/RC , q(t) = CvC(t) = C

(VG + (V0 − VG)e−t/RC

)(6)

No caso concreto, V0 = 0V , temos

vC(t) = VG(1− e−t/RC), iC(t) = CdvCdt

=VGRe−t/RC , q(t) = CvC(t) = CVG(1− e−t/RC) (7)

As formas de onda de input e output apresentam-se na figura 2.

Fonte de Tensao Desligada em t=1ms

Continuamos a analise do mesmo circuito mas desligando, agora, a fonte de tensao em t = t∗ = 1ms, como se esque-matiza na figura 3.

2

Figura 2: Formas de onda para o regime transitorio com fonte de tensao ligada em t=0.

Figura 3: Fonte de tensao ligada em t=1ms

Neste caso, o input e nulo, pelo quevC(t) = vCH(t) = Ae−t/RC (8)

Com a condicao inicial v∗C = vC(t∗) = VG(1− e−t∗/RC), obtemos entao, para t > t∗,

vC(t) = vCH(t) = v∗Ce−(t−t∗)/RC , iC(t) = C

dvCdt

= −v∗

Re−(t−t∗)/RC , q(t) = CvC(t) = Cv∗Ce

−(t−t∗)/RC (9)

Apresentam-se, em seguida, as formas de onda de input e output

Verificamos, entao, que a corrente sofre uma descontinuidade em t = t∗ = 1ms, passando o seu sinal a ser negativo.De facto, ao desligar a fonte, o circuito e qualitativamente equivalente a um condensador de dielectrico nao perfeito.

Assim, a densidade de carga ja existente nas armaduras estabelece um campo electrico entre elas de sentido oposto aode crescimento da diferenca de potencial. Como o dielectrico e nao perfeito, este campo da origem a uma densidade decorrente ~J no mesmo sentido do campo, logo no sentido de descarregar o condensador. Assumindo, para aproximacao, queos efeitos electromagneticos sao instantaneos, isto explica a variacao abrupta da corrente bem como o seu sinal negativo.

3

Figura 4: Circuito equivalente de um condensador com dielectrico nao perfeito.

Sabendo que a energia armazenada num condensador e igual a WC = q2

2C , e admitindo que a capacidade e invarianteno tempo, espera-se que no perıodo de tempo 0 ≤ t ≤ 1ms ( de carga do condensador como vimos ) a energia armazenadaneste aumente e que para t > 1ms( de descarga do condensador como vimos ) diminua.

De facto, para 0 ≤ t ≤ 1ms

WC =q2

2C=CV 2

G(1− e−t/RC)2

2→ 1

2CV 2

G (10)

e para t > 1ms

WC =q2

2C=C(v∗C)2e−2(t−t∗)/RC

2→ 0 (11)

A tensao vC nao sofre uma descontinuidade devido a continuidade da energia electrica no condensador; os saltos devG(t) transmitem-se a vR(t).

Suponhamos que agora aplicamos uma forma de onda quadrada como input vG(t) de perıodo T . Para o caso T = 2msatras analisado, e com RC dado pelos valores anteriores, obtemos as formas de onda de input e output seguintes:

O condensador nunca carrega ou descarrega totalmente; apenas para ciclos de carga/descarga de tempo infinito sepoderia observar tal comportamento. Porem, podemos estimar os intervalos de tempo de subida, tr, e tempo dedescida, tf (intervalos de tempo correspondente a uma variacao entre 10% e 90% da amplitude do impulso). Vemos ser

tr = tf = ln(10)τ ≈ 2.3τ (12)

Assim, para uma frequencia f <≈ 4200 Hz, conseguimos observar no laboratorio uma carga/descarga do condensadorate 90%(10%) do valor da amplitude do impulso.

Note-se uma propriedade muito interessante dos sucessivos ciclos de carga e descarga. Se desejarmos verificar para quevalor de tensao tende vC para um determinado intervalo de tempo b = ∆t dentro do ciclo de carga (isto e, iniciado o ciclode carga no tempo t∗, queremos saber o valor de tensao ao fim de b segundos, em t∗ + b e passado um grande numero deciclos de carga/descarga ) e se designarmos a = e−b/RC , podemos ver facilmente que a tensao tende para o valor

vC(t∗ + b)→ VG1 + a

(13)

Vemos que no limite a → 0 o valor limite de tensao assume, como esperado, o valor VG(ciclo de carga completo). Jano limite a→ 1, este valor de tensao situa-se em VG/2, ou seja, para ciclos de pequena duracao face a constante de tempoestabelece-se um regime estacionario com uma tensao VG/2 aos terminais do condensador, valor DC da fonte de tensao.

No ciclo de descarga, o valor limite ao fim de muitos ciclos e

vC(t∗∗ + b)→ VGa

1 + a(14)

Assim, no limite a → 0 o valor de tensao assume, como esperado, um valor nulo. Para a → 1, encontramos o mesmovalor limite anterior, ou seja, VG/2. Isto seria de esperar porque para ciclos de pequena duracao a continuidade da tensaoaos terminais do condensador assim o exige.

Estes resultados ilustram-se nas imagens seguintes para os dois limites a → 0 (com f = 1Hz ) e a → 1(com f =100KHz ), onde se visualiza a convergencia inicial para os valores citados.

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II. Filtro Passa-Baixo

Vamos, nesta etapa, reanalisar o circuito RC anterior, mas agora com uma fonte de tensao sinusoidal vg(t) = VGsin(ωt):

Na analise do circuito anterior, vimos que, para o resolver, tinhamos que resolver a equacao diferencial

dvCdt

+vCRC

=vGRC

(15)

Vimos ser a solucao naturalvC(t) = Ae−t/RC (16)

Vamos determinar, agora, a solucao forcada vc como resposta ao input vg. Procedemos pelo metodo de impedancia 1:

1. Notando que sin(ωt) = =(ejωt), comecamos por substituir a tensao sinusoidal vg pela sua amplitude complexa VG.

2. Substituimos os elementos do circuito pelas suas impedancias, nomeadamente o resistor R pela sua impedancia R e ocondensador pela sua impedancia 1/(Cjω). O diagrama resultante e o modelo de impedancia do circuito:

3. Determinamos as amplitudes complexas das tensoes( Vc e Vr) e correntes( Ic e Ir ) no circuito. Pela relacao de divisorde tensao generalizada, vemos de imediato que

Vc =ZC

ZC + ZRVG =

VG1 + jωRC

, Vr =ZR

ZC + ZRVG =

jωRC

1 + jωRCVG (17)

eIc =

1

ZCVc =

(1

jωC

)VG

1 + jωRC, Ir =

1

ZRVG =

jωC

1 + jωRCVG (18)

4. Apesar de nao ser necessario, determinamos as variaveis temporais vc e vr a partir das amplitudes complexas:

vc(t) = |Vc|sin(ωt+ ∠Vc) =|VG|√

1 + (ωRC)2sin(ωt+ ∠Vc), ∠Vc = arctan (−ωRC) (19)

Devemos notar que, sendo a constante de tempo τ = RC ≈ 1.03×10−4 s << 1 s, o regime transitorio e praticamenteinvisıvel a olho pelo experimentador e apenas vemos o regime estacionario dado pela expressao 19.

Portanto, a funcao do sistema e

H(jω) =VcVG

=1

1 + jωω0

=ω0

ω0 + jω, |H(jω)| = 1√

1 + (ω/ω0)2, ∠|H(jω)| = arctan

(−ωω0

)(20)

onde identificamos com ω0 a frequencia natural do sistema 1/(RC). Vemos de imediato que a funcao do sistema temmagnitude proxima da unidade para baixas frequencias e praticamente nulas para altas frequencias. Por esse motivo,chamamos ao circuito, observando o sinal vC , filtro passa-baixo.

5

Figura 5:

Assim, a resposta em frequencia do sistema esboca-se na figura 5.Vemos que, para ω → 0,

|H| → 1 (21)

e para ω >> 1 |H(jω)| → ω0

ω(22)

ou, em decibeis, para ω → 0, |H|dB → 0 (23)

e para ω >> 1 |H(jω)| → 20Log (ω0)− 20Log(ω) (24)

Assim, a resposta em frequencia do sistema pode aproximar-se por duas assimptotas, uma para ω << 1 e outra paraω >> 1. Estas intersectam-se na frequencia de corte, ωbreak tal que

ωbreak = ω0 = 1/(RC)⇔ fbreak = 1/(2πRC) (25)

Na frequencia de corte, temos |H(jω)| = 1/√

2 e as partes real e imaginaria de H igualam-se, sendo, portanto,∠H = −45o. Vemos, assim, que o produto RC e determinante no valor da frequencia de corte, sendo esta tanto menorquanto maior o produto RC. Assim, e a frequencia propria do circuito, ω0 = 1/(RC), que determina a banda de passagemdo filtro, sendo tanto menor esta quanto maior o valor RC.

III. Filtro Passa-Alto

Circuito RC serie

Se no circuito anteriormente analisado estivessemos interessados na tensao aos terminais da resistencia R, obtinhamos umfiltro passa-alto. De facto, vimos ser

Vr =ZR

ZC + ZRVG =

jωRC

1 + jωRCVG (26)

e, portanto, no domınio do tempo, a solucao forcada e:

vR(t) = |VR|sin(ωt+ ∠VR) =ωRC|VG|√1 + (ωRC)2

sin(ωt+ ∠VR), ∠VR = arctan(1

ωRC) (27)

A funcao do sistema e, assim,

H(jω) =VRVG

=ω

ω0· j

1 + j(ω/ω0), |H(jω)| = (ω/ω0)√

1 + (ω/ω0)2, ∠|H(jω)| = arctan

(ω0

ω

)(28)

Temos que a funcao do sistema tem magnitude proxima da unidade para altas frequencias( ω >> ω0) e praticamentenulas para baixas frequencias( ω << ω0). Por esse motivo, chamamos ao circuito, observando o sinal vR, filtro passa-alto.

A resposta em frequencia do sistema esboca-se na figura 6.

1 baseia-se no facto de que se y(t) = u(t)+ jv(t) for uma solucao complexa de uma EDO de ordem 2, a sua parte real e imaginaria sao solucaoda mesma EDO. Assim, para resolucao da solucao forcada, consideramos a resolucao da EDO complexa e tomamos a parte real ou imaginariaconforme o input( imaginaria se for sinusoidal; real se for cosenusoidal). O modelo de impedancia da uma interpretacao fısica a este metodo.

6

Figura 6:

Vemos que, para ω → 0,

|H| → ω

ω0(29)

e para ω >> 1 |H(jω)| → 1 (30)

ou, em decibeis, para ω → 0, |H|dB → 20Log (ω)− 20Log(ω0) (31)

e para ω >> 1 |H(jω)| → 0 (32)

Assim, a resposta em frequencia do sistema pode aproximar-se por duas assimptotas, uma para ω << 1 e outra paraω >> 1. Estas intersectam-se na frequencia de corte, ωbreak tal que

ωbreak = ω0 = 1/(RC)⇔ fbreak = 1/(2πRC) (33)

Na frequencia de corte, temos |H(jω)| = 1/√

2 e as partes real e imaginaria de H igualam-se( a 1/2 ), sendo, portanto,∠H = 45o. Vemos, assim, que o produto RC e determinante no valor da frequencia de corte, sendo esta tanto menorquanto maior o produto RC. Assim, e a frequencia propria do circuito, ω0 = 1/(RC), que determina a banda de passagemdo filtro, sendo tanto maior esta quanto maior o valor RC.

Circuito com dois condensadores

Num divisor de tensoes comum, costuma existir sempre uma capacitancia parasita de shunt, modelando-se este efeito porum condensador C2 como na figura que segue:

Se analisarmos este circuito no domınio da frequencia, vemos de imediato que

V2 =R2||(1/(C2jω))

R1 +R2||(1/(C2jω))Vg (34)

Em altas frequencias, ω >> 1, esta expressao reduz-se a

V2 ≈1

jωR1C2Vg, ∠V2/Vg = arctan−(

R1R2C2ω

R1 +R2) (35)

Logo, para altas frequencias, v2(t) torna-se praticamente nula e esta em quadratura (∠V2/Vg = −90o) com o sinal deinput. Assim, a atenuacao do divisor de tensao nao e fixa com o valor das resistencias como desejado mas varia com afrequencia.

Para remediar a situacao, introduzimos um condensador C1 em paralelo com R1, sendo o circuito a analisar o presentena figura 7.

A analise do modelo de impedancia revela que

V2 =R2||(1/(C2jω))

R1||(1/(C1jω)) +R2||(1/(C2jω))Vg =

R2(1 + jωR1C1)

R1(1 + jωR2C2) +R2(1 + jωR1C1)Vg (36)

7

Figura 7: Filtro passa-alto realizado com circuito com dois condensadores.

Logo, o ganho em frequencia eV2Vg

=R2(1 + jωR1C1)

R1(1 + jωR2C2) +R2(1 + jωR1C1)(37)

Para altas frequencias( ω >> 1 ), o ganho eV2Vg→ C1

C2 + C1(38)

e para baixas frequencias recuperamos a expressao do divisor de tensao habitual

V2Vg→ R2

R1 +R2(39)

Vemos de imediato que escolhendo C1 por forma a que

R2C2 = R1C1 (40)

o ganho e independente da frequencia e igual a expressao habitual

V2Vg

=R2

R1 +R2⇒ v2(t) =

R2

R1 +R2vg(t) (41)

Rearranjando a expressao para o ganho, obtemos

H(jω) =V2Vg

=

(R2

R1 +R2

)(1 + jω/ω1

1 + jω/ω2

)(42)

Portanto,

|H(jω)| = V2Vg

=

(R2

R1 +R2

)√1 + (ω/ω1)2

1 + (ω/ω2)2, ∠H(jω) = arctan

(ω(ω2 − ω1)

ω2 + ω1ω2

)(43)

com

ω1 = 1/(R1C1), ω2 =R1 +R2

R1R2(C1 + C2)(44)

A resposta em frequencia do sistema esboca-se, para cada um dos casos de sobre-compensacao(C1 demasiado elevado), de compensacao correcta e sub-compensacao, na figura 8.

Figura 8:

O caso de sobre-compensacao correspondente aos parametros actuais do circuito apresenta-se na figura 9.8

Figura 9:3) Procedimento e Analise de Resultados

I. Circuito RC Serie

Montamos o circuito da figura 1, medindo com o osciloscopio a tensao aos terminais do condensador, no canal 2. Utilizamosum gerador de sinais, ligado ao canal 1 do osciloscopio, como fonte de alimentacao do nosso circuito. Geramos uma formade onda quadrada com 500Hz, amplitude 4V e componente DC com o mesmo valor.

Registamos o sinal do gerador bem como o de saıda do condensador vC para frequencias de 500 Hz, 5kHz, 50kHz,100kHz e 500kHz, presentes nas figuras 10 a) a 10 e).

(a) f = 500Hz (b) f = 5 kHz

(c) f = 50 kHz (d) f = 100 kHz

(e) f = 500 kHzFigura 10: Sinais visualizados para o circuito RC Serie.

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FALTAM OS DADOS PARA 500!!!!!TINHAMOS MEDIDO MAS FOI COM AQUELE PROBLEM DO CONDEN-SADOR

Verificamos que os resultados confirmam na totalidade as previsoes teoricas, pelo que nao nos alongaremos na analisedos sinais experimentais.

Note-se que para f=500Hz....COMPLETARPara f = 5000Hz verifica-se ja que os ciclos de carga/descarga nao chegam a completar-se, como previsto teoricamente.

A forma de onda vC aproxima-se mais de uma onda triangular com amplitude VC ≈ 1.65V e perıodo T = 0.2ms. Porem,esta amplitude nao e ainda desprezavel face a VG.

Ja para f = 50 kHz o sinal vC apresenta apresenta claramente semelhanca a uma forma de onda triangular comampltiude pico-a-pico medida no osciloscopio(infelizmente nao e muito visivel na imagem registada) de 2VC ≈ 0.4V .Como vG = RC dvC

dt + vC , segue que neste regime de altas frequencias vG ≈ RC dvCdt . O declive aproximado de cada um

dos segementos da forma de onda experimental e, em modulo, RC ≈ 40000. Este valor possui um desvio a exactidao de3.4%. Vemos, portanto, que a tensao AC aos terminais do condensador e aproximadamente o integral da tensao de inputvG, vC − VG/2 ≈ 1

RC

∫(vG − VG/2)dt.

Com f = 100 kHz tiram-se identicas conclusoes, sendo que agora a aproximacao da forma de onda vC por uma ondatriangular com offset DC VG/2 e mais correcta. De facto, registamos uma amplitude pico-a-pico de vC de 2VC = 0.19V e,portanto, um declive experimental RC ≈ 38000, com um desvio a exactidao de 1.8% menor que no caso anterior.

Finalmente, verificamos que para f = 500 kHz >> 1, como esperado, o sinal vC estabiliza num valor de tensao devC ≈ 4V , igual ao valor DC do sinal de input. De facto, a impedancia do condensador diminui para zero e a corrente esomente determinada pela tensao de entrada e pela resistencia.2

II. Filtro Passa-Baixo

Alteramos, agora, a forma de onda do sinal no gerador para alternada sinusoidal com amplitude 4V, sem componente DCe com frequencia 100Hz. Colocamos os dois canais do osciloscopio em modo AC.

Registamos os sinais presentes nas figuras 12a) a 12j).Com base nestes registos, retiramos o ganho de tensao e a desfasagem do sinal de output face ao de input, valores estes

que se registam graficamente na figura 11, sendo os pontos a vermelho os pontos experimentais e as linhas azuis as linhasteoricas.

Figura 11: Ganho de tensao em dB e desfasagem entre vC e vG experimentais.

Estes resultados sao identicos aos esperados em todos os pontos, sendo o ganho experimental em dB por decadada assımptota de |H| para ω >> 1 de 20.1 ± 0.3, estando, portanto, dentro do valor esperado. Ja a frequencia decorte ωbreak obtida pelos valores do ganho de tensao e de ωbreak = 9600 ± 500 rad.s−1 e a obtida pelo grafico da faseωbreak ≈ 9500 rad.s−1.

2Podemos usar o modelo de impedancia pois uma onda quadrada e a soma de ondas sinusoidais de frequencias distintas.10

(a) f = 10Hz (b) f = 30Hz

(c) f = 100Hz (d) f = 300Hz

(e) f = 1 kHz (f) f = 3 kHz

(g) f = 10 kHz (h) f = 30 kHz

(i) f = 100 kHz (j) f = 500 kHzFigura 12: Sinais visualizados para o circuito passa-baixo.

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III. Filtro Passa-Alto

Montamos o circuito da figura 7 na breadboard e ligamos o sinal v2 aos canal 2 do osciloscopio e o sinal de input ao canal1. O sinal de entrada e uma forma de onda sinusoidal com amplitude 4V e sem componente DC no gerador de funcoes. Oosciloscopio mantem-se ainda no modo AC de visualizacao.

Variamos a frequencia do sinal de entrada e registamos os sinais de entreda e de saıda, tal como no filtro passa-baixo.Estes apresentam-se nas figuras 14.

Baseados nestes dados, registamos o ganho de tensao em dB e a desfasagem do sinal de saıda em relacao ao de entrada,apresentando-se estes na figura 13 com os pontos experimentais a vermelho e as linhas teoricas a azul.

Figura 13: Ganho de tensao em dB e desfasagem entre vC e vG experimentais para o filtro passa-alto.

Mais uma vez, todos os resultados experimentais corroboram a analise teorica efectuada, indicando os graficos que ocircuito esta sobre-compensado.

Em particular, verifica-se que a frequencia de corte ωbreak ocorre aproximadamente no valor previsto teoricamenteωbreak ≈ 5098 rad.s−1, como indicado nos graficos.

IV. Medicao Experimental da Capacidade Auditiva

Finalmente, apenas para observacao algo qualitativa das propriedades filtradoras dos ouvidos dos elementos do grupo,substituımos no circuito da figura 1 a resistencia por um transdutor piezoelectrico e com C = 8.2nF .

Escolhemos uma amplitude de 4V e variamos a frequencia livremente identificando os limites minimos e maximos dafrequencia audivel por cada um dos elementos do grupo. Estes valores apresentam-se na tabela 1.

Numero Aluno Frequencia Maxima(kHz) Frequencia mınima(Hz) VGM (V) VGM (V)67898 19.8 23 4 167901 19.5 21 4 167935 18.1 20 4 1

Tabela 1: Resultados experimentais para a medicao da capacidade auditiva.

Repara-se imediatamente que os valores parecem indicar uma frequencia maxima audıvel pelos elementos do grupode 20kHz. Apesar das condicoes de audicao no laboratorio serem extremamente deficientes, estes valroes confirmam osesperados, notando-se que os limites, principalmente os limites maximos, nao sao identicos para toda a gente. Poderıamoster aumentado a amplitude do sinal VGM , mas tal nao introduziria melhoria significativa.

Isto permite-nos pensar que os nossos orgaos auditivos se comportam como um filtro passa-banda(tımpano+ossos daorelha) em conjunto com um sistema de recepcao dos sinais filtrados(orgao de Corti+cerebro) cuja amplitude mınima porele reconhecida ocorre para frequencias baixas f ≈ 20Hz e altas f ≈ 20 kHz.

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(a) f = 10Hz (b) f = 30Hz

(c) f = 100Hz (d) f = 300Hz

(e) f = 1 kHz (f) f = 3 kHz

(g) f = 10 kHz (h) f = 30 kHz

(i) f = 100 kHz (j) f = 300 kHzFigura 14: Sinais visualizados para o circuito passa-alto.

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4) Conclusao

Todos os objectivos para esta actividade laboratorial foram cumpridos com sucesso, estando as previsoes teoricas para ocircuito RC serie, para o filtro passa-baixo e para o filtro passa-alto de acordo com os dados experimentais.

Para a medicao da capacidade auditiva, verificamos que os valores presentes na literatura para as frequencias maximae minima de audicao humana sao razoaveis e confirmam-se experimentalmente. Estes resultados permitiram-nos pensarna modelacao dos nossos orgaos auditivos como um circuito passa-banda complementado com um sistema de recepcaodos sinais filtrados e na possıvel modelacao destes orgaos como redes electricas, alargando o estudo das redes electricas amodelacao de sistemas fısicos.

Referencias

[1] Anant Agarwal and Jeffrey H. Lang., Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits( Elsevier, July 2005 ).

[2] Manuel Medeiros da Silva, Introducao aos Circuitos Electricos e Electronicos 2a ed.( Fundacao Calouste Gulbenkian,2001 ).

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