Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico · 2014-02-14 · cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Coordinación de Mecatrónica TESIS

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Coordinación de Mecatrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Control Inteligente Vía NHTE en un Robot de 3 GDL

presentada por

Rafael Alfonso Figueroa Díaz Ing. Mecánico por el I. T. del Mar #02, en Mazatlán Sinaloa.

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecatrónica

Director de tesis: Dr. José Ruiz Ascencio

Co-Director de tesis:

M.C. Wilberth Melchor Alcocer Rosado

Jurado: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar – Presidente

Dr. Jorge Bedolla Hernández – Secretario MI. Marino Sánchez Parra – Vocal

Dr. José Ruiz Ascencio – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 7 de Mayo de 2007

Control inteligente vía NHTE en un robot de 3 GDL CENIDET

I

Contenido Lista de figuras ...................................................................................................................... V

Lista de tablas .......................................................................................................................XI

Simbología......................................................................................................................... XIII

Abreviaturas ....................................................................................................................... XV

Resumen ...........................................................................................................................XVII

Abstract........................................................................................................................... XVIII

Introducción.......................................................................................................................XIX

Capítulo 1 Estado del arte ............................................................................................ 1

1.1 Planteamiento del problema ............................................................................................. 2

1.2 Objetivos........................................................................................................................... 3

1.2.1 Objetivo general: ....................................................................................................... 3

1.2.2 Objetivos particulares:............................................................................................... 3

1.3 Alcances ........................................................................................................................... 3

1.4 Limitaciones ..................................................................................................................... 4

1.5 Estado del arte .................................................................................................................. 4

1.6 Desarrollo de la tesis ........................................................................................................ 7

Capítulo 2 Fundamento matemático del NHTE y herramienta de

sintonización ...................................................................................................................... 9

2.1 Fundamento matemático del NHTE.............................................................................. 10

2.1.1 Sistemas dinámicos y concepto de estado .............................................................. 10

2.1.1.1 Descripción de sistemas dinámicos a partir de datos entrada-salida ............... 12 2.1.2 Núcleo Híbrido de Transición de Estados (NHTE)................................................ 12

2.2 Herramienta de sintonización ......................................................................................... 15

2. 2.1 Método del gradiente descendente. ........................................................................ 15

2.3 Resumen ......................................................................................................................... 19


II

Capítulo 3 El robot PUMA como plataforma experimental .......................... 21

3.1 Estructura mecánica del robot PUMA............................................................................ 22

3.1.1 Espacio de trabajo.................................................................................................... 23

3.1.2 Especificaciones del robot tipo PUMA ................................................................... 24

3.1.3 Actuadores ............................................................................................................... 24

3.2 Etapa de adquisición y potencia ..................................................................................... 25

3.3 Control PID .................................................................................................................... 26

3.3.1 Implementación del control PID en el robot PUMA............................................... 26

3.3.2 Programas de adquisición y control......................................................................... 30

3.3.3 Características del equipo de cómputo .................................................................... 32

3.4 Resumen ......................................................................................................................... 32

Capítulo 4 Diseño de controladores NHTE.......................................................... 33

4.1 Diseño de controladores NHTE...................................................................................... 34

4.1.1 Control desacoplado ................................................................................................ 36

4.1.1 .1 Control desacoplado de 2 antecedentes ........................................................... 36 4.1.1. 2 Control desacoplado de 3 antecedentes ........................................................... 37

4.1.2 Control acoplado NHTE.......................................................................................... 38

4.2 Diseño de la señal de entrenamiento .............................................................................. 39

4.3 Implementación de controladores difusos NHTE .......................................................... 42

4.4 Resumen ......................................................................................................................... 43

Capítulo 5 Resultados .................................................................................................. 45

5.1 Seguimiento del controlador PID ................................................................................... 46

5.1.1 Controlador convencional PID ................................................................................ 46

5.2 Sintonización de controladores NHTE. .......................................................................... 48

5.2.1 Sintonización de controladores desacoplados ......................................................... 50

5.2.1.1 Proceso de entrenamiento................................................................................. 50 5.2.1.2 Sintonización de controladores desacoplados de dos antecedentes aplicados en cintura ........................................................................................................................... 50 5.2.1.3 Sintonización de controladores desacoplados de dos antecedentes aplicados en hombro.......................................................................................................................... 51


III

5.2.1.4 Sintonización de controladores desacoplados de tres antecedentes aplicados en hombro.......................................................................................................................... 52 5.2.1.5 Sintonización de controladores acoplados aplicados en cintura....................... 53

5.3 Resultados de los controladores NHTE.......................................................................... 55

5.3.1 Controladores desacoplados NHTE......................................................................... 55

5.3.1.1 Control desacoplado de dos antecedentes en cintura........................................ 55 5.3.1.2 Control desacoplado de dos antecedentes en hombro ...................................... 56 5.3.1.3 Control desacoplado de tres antecedentes en hombro ...................................... 58

5.3.2 Controlador acoplado NHTE................................................................................... 60

5.3.2.1 Controlador acoplado NHTE en cintura........................................................... 62 5.3.2.2 Controlador acoplado NHTE en hombro ......................................................... 65 5.3.2.3 Generalización de controlador NHTE .............................................................. 68

5.4 Comparación de controladores ....................................................................................... 71

5.4.1 Comparación de controladores desacoplados.......................................................... 71

5.4.2 Comparación de controladores acoplados ............................................................... 73

5.5 Resumen ......................................................................................................................... 74

Capítulo 6 Conclusiones finales................................................................................ 77

6.1 Objetivos cubiertos ......................................................................................................... 78

6.2 Controladores desacoplados ........................................................................................... 78

6.3 Controladores acoplados ................................................................................................ 79

6.4 Aportaciones................................................................................................................... 79

6.5 Trabajos Futuros ............................................................................................................. 80

Bibliografía........................................................................................................................... 81

Anexo A Manual de usuario................................................................................................. 83

Anexo B Observabilidad y controlabilidad del robot PUMA .............................................. 89


IV

Hoja en blanco


V

Lista de figuras

Capítulo 1 Estado del arte

Capítulo 2 Fundamento matemático del NHTE y herramienta de

sintonización Figura 2.1.- Identificación de una componente del estado con NHTE................................. 14

Figura 2.2.- Control de planta inversa acoplado a la planta. ................................................ 14

Figura 2.3.- Función de pertenencia del antecedente. .......................................................... 15

Capítulo 3 El robot PUMA como plataforma experimental Figura 3.1.- Estructura del robot tipo PUMA....................................................................... 22

Figura 3.2.- Espacio de trabajo: a) Vista superior, b) Vista frontal...................................... 23

Figura 3.3.- Motor Pittman ®, GM9234C212-R3................................................................ 24

Figura 3.4.- Tarjeta de adquisición y control........................................................................ 25

Figura 3.5.- Diagrama a bloques de la tarjeta de adquisición y control. .............................. 26

Figura 3.6.- Diagrama de control PID para cada articulación. ............................................. 27

Figura 3.7.- Señal de referencia LSPB. ................................................................................ 28

Figura 3.8.- Perfil de velocidad de la trayectoria LSPB....................................................... 29

Figura 3.9.- Perfil de aceleración de la trayectoria LSPB. ................................................... 29

Figura 3.10 .- Diagrama de flujo del programa de control y adquisición. a) Programa

principal, b) subrutina de lectura de encoders, c) subrutina de control. ............................... 31

Capítulo 4 Diseño de controladores NHTE Figura 4.1.- Estructura mecánica del robot tipo PUMA....................................................... 34

Figura 4.2.- Esquema general del NHTE como controlador de planta inversa. ................... 34

Figura 4.3 Esquema de control del NHTE con dos antecedentes en la cintura.................... 36

Figura 4.4 Esquema de control del NHTE con dos antecedentes en hombro. ..................... 37


VI

Figura 4.5 Esquema de control del NHTE con tres antecedentes en hombro. ..................... 37

Figura 4.6.- Esquema de control acoplado NHTE MIMO. .................................................. 38

Figura 4.7.- Consigna aplicada en cintura. ........................................................................... 40

Figura 4.8.- Consigna aplicada en el hombro....................................................................... 40

Figura 4.9.- Señal de entrenamiento aplicada en la cintura.................................................. 41

Figura 4.10.- Señal de entrenamiento aplicada en el hombro. ............................................. 42

Capítulo 5 Resultados Figura 5.1.- Seguimiento de la cintura con controlador PID y consigna LSPB. .................. 46

Figura 5.2.- Error de seguimiento en la cintura con control PID. ........................................ 46

Figura 5.3.- Seguimiento de la cintura con controlador PID perturbado. .......................... 47

Figura 5.4.- Error de seguimiento en cintura con control PID perturbado........................... 47

Figura 5.5.- Seguimiento de la cintura con controlador PID y consigna sinusoidal. ........ 47

Figura 5.6.- Error de seguimiento del control PID para una señal sinusoidal. .................... 47

Figura 5.7.- Seguimiento del controlador PID con consigna LSPB en hombro................. 48

Figura 5.8.- Error de seguimiento del controlador PID en hombro con señal LSPB. ......... 48

Figura 5.9.- Datos de entrenamiento con zona muerta. ........................................................ 49

Figura 5.10.- Datos de entrenamiento sin zona muerta. ....................................................... 49

Figura 5.11.-Respuesta de la cintura bajo control NHTE 23 con una señal LSPB como

consigna. ............................................................................................................................... 55

Figura 5.12.-Error en cintura bajo control NHTE 23 con una señal LSPB como consigna.

.............................................................................................................................................. 55

Figura 5.13.-Respuesta de la cintura bajo control NHTE 32 con una señal LSPB como

consigna. ............................................................................................................................... 55


.............................................................................................................................................. 55

Figura 5.15.-Respuesta del hombro bajo control NHTE 33, consigna LSPB y bajo el 1er

conjunto de entrenamiento. .................................................................................................. 56

Figura 5.16.-Error en hombro bajo control NHTE 33, consigna LSPB y bajo el 1er



VII

Figura 5.17.- Respuesta del hombro bajo control NHTE 43, consigna LSPB y bajo el 1er


Figura 5.18.- Error en hombro bajo control NHTE 43, consigna LSPB y bajo el 1er


Figura 5.19.-Respuesta del hombro bajo control NHTE 33 con una señal LSPB como

consigna y 2do conjunto de entrenamiento. ......................................................................... 57

Figura 5.20.-Error en hombro bajo control NHTE 33 con una señal LSPB como consigna y

2do conjunto de entrenamiento............................................................................................. 57



Figura 5.22.-Error en hombro bajo control NHTE 43 con una señal LSPB como consigna y

2do conjunto de entrenamiento............................................................................................. 57


consigna y 1er conjunto de entrenamiento. .......................................................................... 58

Figura 5.24.-Error en hombro bajo control NHTE 222 con una señal LSPB como consigna

y 1er conjunto de entrenamiento. ......................................................................................... 58


consigna y 1er conjunto de entrenamiento. .......................................................................... 59


y 1er conjunto de entrenamiento. ......................................................................................... 59




y 2do conjunto de entrenamiento.......................................................................................... 59




y 2do conjunto de entrenamiento.......................................................................................... 60

Figura 5.31.-Respuesta de la cintura bajo control NHTE 232 acoplado con una señal

LSPB como consigna y la 1er condición.............................................................................. 62


VIII

Figura 5.32.-Error en cintura bajo control NHTE 232 acoplado con una señal LSPB como

consigna y la 1er condición. ................................................................................................. 62


LSPB como consigna y 1re condición.................................................................................. 62


consigna y la 1er condición. ................................................................................................. 62


LSPB como consigna y la 2da condición. ............................................................................ 63


consigna y la 2da condición. ................................................................................................ 63


LSPB como consigna y la 2da condición. ............................................................................ 63


consigna y la 2da condición. ................................................................................................ 63


LSPB como consigna y la 3ra condición.............................................................................. 64


consigna y la 3ra condición. ................................................................................................. 64


LSPB como consigna y la 3ra condición.............................................................................. 64


consigna y la 3ra condición. ................................................................................................. 64

Figura 5.43.-Respuesta del hombro bajo control NHTE 232 acoplado con una señal LSPB

como consigna y la 1ra condición. ....................................................................................... 65

Figura 5.44.-Error en el hombro bajo control NHTE 232 acoplado con una señal LSPB







IX


como consigna y la 2da condición........................................................................................ 66















Figura 5.55.-Respuesta de la cintura bajo control NHTE 232 con una señal sinusoidal con

frecuencia de 3π como consigna. ........................................................................................ 69

Figura 5.56.-Error en cintura bajo control NHTE 232 con una señal sinusoidal con













X



Capítulo 6 Conclusiones finales


XI

Lista de tablas Capítulo 1 Estado del arte

Capítulo 2 Fundamento matemático del NHTE y herramienta de sintonización Capítulo 3 El robot PUMA como plataforma experimental Tabla 3.1.- Especificaciones del robot tipo PUMA.............................................................. 24

Capítulo 4 Diseño de controladores NHTE

Capítulo 5 Resultados Tabla 5.1.- Sintonización de los controladores desacoplados de dos antecedentes en cintura

con el segundo conjunto de datos de entrenamiento. ........................................................... 50

Tabla 5.2.- Sintonización de los controladores desacoplados de dos antecedentes en hombro

con el primer conjunto de datos de entrenamiento. .............................................................. 51

Tabla 5.3.- Sintonización de controladores desacoplados de dos antecedentes en hombro


Tabla 5.4.- Sintonización de controladores desacoplados de tres antecedentes en hombro

con el primer conjunto de datos de entrenamiento. .............................................................. 52

Tabla 5.5.- Sintonización de controladores desacoplados de tres antecedentes en hombro


Tabla 5.6. Sintonización del control acoplado en cintura con el segundo conjunto de datos

de entrenamiento. ................................................................................................................. 53

Tabla 5.7. Sintonización del control acoplado en hombro con el segundo conjunto de datos

de entrenamiento. ................................................................................................................. 54

Tabla 5.8.- Comparación de errores en controladores desacoplados de dos antecedentes en

cintura bajo consigna LSPB. ................................................................................................ 71


XII

Tabla 5.9.- Comparación de errores en controladores desacoplados de dos antecedentes en

hombro bajo consigna LSPB. ............................................................................................... 72

Tabla 5.10.- Comparación de errores en controladores desacoplados de tres antecedentes en

hombro bajo consigna LSPB. ............................................................................................... 72

Tabla 5.11.- Comparación de errores en controladores acoplados implementados en cintura

con consigna LSPB............................................................................................................... 73

Tabla 5.12.- Comparación de errores en controladores acoplados implementados en hombro

bajo consigna LSPB. ............................................................................................................ 73

Tabla 5.13.- Comparación de errores en controladores implementados en cintura con

consigna sinusoidal de 5 ciclos/3 seg. .................................................................................. 74

Tabla 5.14.- Comparación de controladores acoplados implementados en cintura con

consigna sinusoidal de 8 ciclos/3 seg. .................................................................................. 74

Capítulo 6 Conclusiones finales


XIII

Simbología A Matriz de estados

( )i jA x Grado de pertenencia para un valor de entrada jx a Aceleración

ija Centro del triangulo isósceles para el conjunto ,i j

maxa Aceleración máxima

mina Aceleración mínima B Matriz de entrada

ijb Base del triangulo isósceles para el conjunto ,i j C Matriz de gravedad D Matriz de inercias E Función objetivo EC Función error

ce Error en cintura

code Error en codo

he Error en hombro H Matriz de Coriolis

iI Momento de inercia del eslabón i respecto a su eje de giro

aK Factor de aprendizaje para centro

bK Factor de aprendizaje para centro

dK Ganancia derivativa

iK Ganancia integral

pK Ganancia proporcional

wK Factor de aprendizaje para pesos de reglas

il Longitud del eslabón i

im Masa del eslabón i N Suma de la matriz de Coriolis y gravedad

cq Posición real en la cintura

codq Posición real del codo

cod refq Posición deseada del codo

crefq Posición deseada de la cintura

fq Posición final

hq Posición real del hombro

hrefq Posición deseada del hombro

0q Posición inicial


XIV

cq•

Velocidad angular de la cintura

codq•

Velocidad angular del codo

hq•

Velocidad angular del hombro

cq••

Aceleración de la cintura

codq••

Aceleración del codo

hq••

Aceleración del hombro R Espacio de los números reales r Función de salida sgn Función signo t Tiempo bt Tiempo de transición

ft Tiempo final

0t Tiempo inicial

cU Voltaje de control aplicado en la cintura

codU Voltaje de control aplicado en el codo

hU Voltaje de control aplicado en el hombro

( )U t Voltaje de control ( )u t Entrada del sistema

v Velocidad angular maxv Velocidad angular máxima

iw Aportación de la regla i a la solución del sistema X Espacio de estados

( )X t Estado estimado y Salida del sistema difuso ( )y t Salida del sistema

( )refy t Señal de referencia ry Salida real A Espacio de estados ϒ Espacio de salida φ Función de transición de estados π Constante Pi μ Grado de disparo de la regla i τ Matriz de pares


XV

Abreviaturas ANFIS Adaptive Neuro-Fuzzy Inference Systems CENIDET Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico CNAD Centro Nacional de Actualización Docente COSNET Consejo del Sistema Nacional de Educación Tecnológica CD Corriente Directa DOS Disk Operating System EE Número máximo de épocas que fue entrenado el controlador difuso NHTE EMEE Error cuadrático medio a la mejor época de entrenamiento ESSE Número de gráfica en que se muestra el error de seguimiento a la señal de

entrenamiento GC Gráfica de respuesta en tiempo de la articulación del brazo robótico GD Gradiente Descendente GDL Grados De Libertad GM General Motor I Señala si el controlador fue o no implementado en el brazo IAE Integral of Absolute value of Error IAE Índice de desempeño de la integral de los errores absolutos del seguimiento a

la señal de trayectoria ISE Integral of the Square of Error ISE Índice de desempeño de la integral de los errores al cuadrado del

seguimiento a la señal de trayectoria LPT Line Printer LSPB Linear Segments whit Parabolic Blends MEE Mejor época de entrenamiento MIMO Multiple Input Multiple Output MISO Multiple Input Single Output NCD1 Número de conjuntos difusos del antecedente uno NCD2 Número de conjuntos difusos del antecedente dos NCD3 Número de conjuntos difusos del antecedente tres NHTE Núcleo Híbrido de Transición de Estados PC Personal Computer PID Proporcional-Integral-Derivativo PUMA Programmable Universal Manipulator for Assembly PWM Pulse Width Modulator RC Resistencia-Capacitor Vcd Voltaje de corriente directa VGA Video Graphics Array


XVI

Hoja en blanco


XVII

Resumen En el presente trabajo se implementó la metodología NHTE en un robot de tres grados de libertad siguiendo así con la línea de investigación que se tiene en CENIDET de esta metodología de control autosintonizado.

El NHTE es una metodología de identificación y control inteligente para sistemas no lineales e invariantes en el tiempo que se fundamenta en la aproximación de la ley de evolución de estados de sistemas dinámicos. Para realizar esta aproximación en este trabajo se usó lógica difusa para aproximar un control de planta inversa a partir de datos de entrada y salida de la planta, utilizando un método del gradiente descendente. Para la obtención de datos de entrenamiento se diseñaron dos señales sinusoidales en las articulaciones de cintura y hombro.

Partiendo de los controladores MISO descritos en las tesis de Rodolfo Castillo y de

David Jiménez y Juan Carlos Ramírez, se amplió el esquema a control multivariable (de MISO a MIMO) en la articulación de cintura y hombro del robot tipo PUMA e implementaron controladores desacoplados y acoplados en estas articulaciones.

Este esquema de control inteligente se comparó con un controlador PID

implementado en cintura y hombro con base en los índices de error ISE e IAE. Los controladores inteligentes NHTE y el PID se programaron en lenguaje C. La comparación se realizó para diferentes señales de trayectoria como la LSPB y señales sinusoidales moduladas. Los resultados muestran desempeños que varían de moderadamente superiores a muy superiores al control convencional, excepto en casos que son atribuibles a deficiencias en la sintonización. Palabras clave: NHTE, función de transición de estados, control inteligente, controlador difuso, control acoplado.


XVIII

Abstract This work implements and extends the Hybrid State Transition Kernel (HSTK) methodology in a robot with three degrees of freedom, continuing this research on self-tuning intelligent control at CENIDET (National Center for Research and Technological Development).

The HSTK is a methodology for intelligent identification and control of nonlinear, time invariant systems, based on approximating their state transition function. Fuzzy logic tuned by a gradient descent method was used for approximating an inverse plant controller using input/output data from the plant. Two sinusoidal trajectories were designed to move the waist and shoulder joints, in order to obtain the training data.

Starting from MISO controllers presented in the theses of Rodolfo Castillo, David Jiménez and Juan Carlos Ramírez, the control scheme was extended from MISO to MIMO, and decoupled and coupled versions were applied in the waist and shoulder joints of a PUMA type robot.

Intelligent controller performance is compared to that of a decoupled PID controller using the integral of squared error and the integral of absolute error. The comparison was carried out along LSPB and modulated sinusoidal trajectories. Both the HSTK and the PID controllers were programmed in the C language. The PUMA robot was designed and built in a previous research project. Results show performance of the HSTK controllers vary from moderately superior to much superior to conventional controllers, except in cases attributed to deficient tuning. Keywords: HSTK, state transition function, intelligent robot control, fuzzy controller, coupled control.


XIX

Introducción El objetivo de control en un sistema es lograr que el proceso responda de manera deseada ante un estímulo dado, para ello el control convencional clásico ha abordado el diseño de controladores a partir de la teoría de sistemas lineales. En décadas recientes se ha desarrollado en esta área técnicas de control no lineal como el control predictivo, adaptativo y control inteligente. Esta última área combina teorías y métodos de otras áreas, como el control convencional lineal y no lineal y ciencias computacionales. Dentro de las técnicas del área de control inteligente se encuentran las redes neuronales, lógica difusa, algoritmos genéticos y algoritmos neurodifusos (ANFIS). En el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) surgió una metodología de control inteligente autosintonizado llamada NHTE. Esta metodología se basa principalmente en la función de transición de estados para realizar la identificación y control de un sistema lineal y una variedad de sistemas no lineales. Esta metodología se ha implementado en el control de un robot de dos grados de libertad, frenado regenerativo en un motor de inducción y diagnóstico de fallas realizadas en simulación.

En el presente trabajo se implementa la metodología NHTE en dos articulaciones (cintura y hombro), de un robot de tres grados de libertad tipo PUMA, para conocer y comparar el comportamiento del controlador NHTE contra un controlador convencional PID. El objetivo principal es ampliar el esquema de control MISO a MIMO e implementar para este ultimo esquema de control, controladores desacoplados y acoplados para comparar el desempeño en base a los índices de error ISE e IAE.


XX

Hoja en blanco


Ing. Rafael A. Figueroa Díaz 1

Capítulo 1

Estado del arte

Introducción El objetivo del control en un sistema es lograr que el proceso responda de manera deseada ante un estímulo dado, para ello el control convencional clásico ha abordado el diseño de controladores a partir de la teoría de sistemas lineales. Aunque la mayoría de los sistemas físicos son no lineales, éstos se abordan linealizando la planta a controlar en diferentes puntos de operación para así aplicar la teoría de control convencional clásico.

En décadas recientes, en el campo de la ingeniería de control se desarrollan nuevas teorías para sistemas no lineales como el control predictivo, adaptable y de pasividad.

Además de las técnicas de control lineales y no lineales mencionadas anteriormente se encuentra en desarrollo una nueva área que se denomina control inteligente, que es interdisciplinaria y pretende combinar teorías y métodos de otras áreas, como el control convencional clásico lineal, no lineal y ciencias computacionales. Para lograr el control de modo sistemático, se desarrollan diferentes metodologías de control inteligente. En [1] se define la metodología de control inteligente de igual manera que un controlador inteligente, como:



“Un controlador es inteligente si se desarrolla y/o se implementa con a) una

metodología de control inteligente o b) técnicas de control convencional que emulan funciones de control que normalmente son desarrolladas por humanos/animales/sistemas biológicos”.

Entre las técnicas de control inteligente se encuentran las redes neuronales, lógica

difusa, algoritmos genéticos y algoritmos neurodifusos (ANFIS).

Una nueva metodología de control inteligente automático, creada en CENIDET, es el Núcleo Híbrido de Transición de Estados (NHTE), que propone una sistematización para la identificación y control de sistemas lineales y no lineales con el uso de técnicas de control inteligente como lógica difusa o redes neuronales. Esta metodología aproxima en forma discreta la función de transición de estados de un sistema dinámico, que puede ser continuo o discreto.

En el presente trabajo se implementa la metodología NHTE en un robot articulado de tres grados de libertad (GDL) tipo PUMA (Programmable Universal Manipulator for Assembly) que sirve como plataforma experimental donde se explora el desempeño de la metodología propuesta para casos de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO) en dos grados de libertad del brazo robótico. El principal criterio de desempeño de los controladores se define en el presente trabajo como el seguimiento que a una señal de referencia tiene el robot bajo el correspondiente controlador.

En esta metodología se exploran los controladores desacoplados y acoplados en el

robot tipo PUMA. Los controladores desacoplados usan en el cálculo de la señal de control sólo las variables de la articulación que se controla, despreciando las perturbaciones de las fuerzas inerciales debidas a variaciones de las variables de las otras articulaciones. Los controladores acoplados intentan tomar en cuenta la o las perturbaciones más significativas de otras articulaciones sobre la articulación que se está controlando.

1.1 Planteamiento del problema En el presente trabajo se analiza el comportamiento y desempeño de la metodología NHTE que se aplica a un sistema no lineal como lo es el robot tipo PUMA de 3 GDL.

La metodología NHTE se programará usando lógica difusa para realizar el control de robot tipo PUMA y se realizará la comparación con un controlador PID convencional para evaluar el desempeño.

Esta comparación se realizará en base a dos criterios de error, como lo son la

integral del valor absoluto del error (IAE) y la integral del cuadrado del error (ISE). Los dos índices de error se utilizan para conocer el seguimiento del controlador a la señal de referencia.



1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo general: Ampliar la metodología NHTE de casos de múltiples entradas y una salida, a casos de múltiples entradas y múltiples salidas y validarla en un robot de tres GDL de tipo PUMA para comparar su desempeño en relación con un control PID usando dos diferentes índices de error.

1.2.2 Objetivos particulares:

i) Ampliar el esquema para realizar control multivariable NHTE (de MISO a MIMO).

ii) Incorporar información de dos eslabones del robot de tal manera que el

controlador NHTE del hombro tome en cuenta el movimiento de la cintura,

iii) Comparar los resultados del NHTE contra un control PID sintonizado en base a los índices de error IAE e ISE.

1.3 Alcances En el presente trabajo se investiga la capacidad de la metodología de control autosintonizado NHTE, para sistemas no lineales, específicamente será implementado en un robot tipo PUMA. Esta plataforma experimental servirá para evaluar el control desacoplado NHTE en el hombro y comparar con un PID convencional. Además se implementarán y evaluarán controladores acoplados NHTE en donde se tenga interacción entre las articulaciones del hombro y la cintura.

La implementación del NHTE para el control desacoplado y acoplado se realizará con el uso de la lógica difusa bajo plataforma MSDOS.

Las metas propuestas en la presente tesis son:

1. Implementar el control desacoplado en la articulación de cintura y hombro del robot tipo PUMA y evaluar su desempeño contra un control PID convencional usando los índices de error IAE e ISE.

2. Implementar y evaluar el control acoplado NHTE en dos articulaciones del robot

tipo PUMA de forma tal que la articulación del hombro considere el movimiento de la cintura y viceversa.



3. Sintonizar los datos de entrada/salida de la planta al utilizar un método de gradiente descendente.

4. Usar lógica difusa para la programación de los controladores NHTE.

5. Presentar el formalismo matemático para fundamentar la función de transición de

estados en la que se basa la presente metodología.

6. Implementar controladores NHTE acoplados para la articulación de hombro y cintura, pasando de un control MISO a un control MIMO.

1.4 Limitaciones

1. En el presente trabajo se probará el desempeño de la metodología NHTE aplicando controladores desacoplados y acoplados en las articulaciones de cintura y hombro del robot PUMA. Para estos últimos se ampliará el esquema de sistemas MISO a sistemas MIMO.

2. Se utilizará un algoritmo de gradiente descendente para la sintonización de la base

de reglas del sistema difuso a partir de los datos de entrada/salida de la planta obtenidos con un PID convencional.

3. Se cuenta con un equipo de cómputo con las siguientes características:

• Procesador Pentium IV a 2.8 GHz y 512 KB de memoria caché. • Tres salidas de puerto paralelo. • 256 de memoria RAM. • Disco duro de 40 GB. • Sistema operativo Windows 98.

1.5 Estado del arte A pesar de la constante producción de robots comerciales, el diseño de controladores de robots sigue siendo un campo de intensos estudios por parte de las empresas que los manufacturan, así como de los centros de investigación en el área [2].

Para un mejor desempeño de los controladores en aplicaciones generales, se han introducido diseños basados en el conocimiento previo del modelo dinámico del robot. Asimismo se aplican en el campo de la robótica, controladores adaptables con estructura variable, controladores difusos, controladores adaptables, controladores basados en redes neuronales, controladores híbridos y genéticos [2].



Dentro de la línea de investigación de control inteligente que se tiene en el postgrado del CENIDET nació en el área de ciencias computacionales una nueva metodología de control autosintonizante denominada NHTE, que se fundamenta en la función de transición de estados. Su evolución y los trabajos que sirven para fundamentarla se describen a continuación:

En el artículo titulado “A learning method of fuzzy inference rules by descent method” [3] se presenta un método de aprendizaje para aproximar una relación de entrada-salida contenida en datos mediante una sistema difuso que consta de funciones y reglas de pertenencia. Dichas funciones de pertenencia y el peso de las reglas se sintonizan o adaptan a los datos mediante un algoritmo de gradiente descendente. En la tesis titulada “Sintonización de controladores difusos basados en el método de gradiente descendente” [4] se automatizó la sintonización de controladores difusos en forma sistemática utilizando el método GD para eliminar la dependencia del conocimiento experto humano. En este trabajo se evaluó el desempeño del controlador NHTE mediante pruebas de simulación en sistemas lineales y no lineales. En el trabajo se presentaron las ventajas y desventajas de utilizar el método GD para la sintonización de los parámetros de la lógica difusa y el comportamiento del NHTE en un sistema no lineal controlado.

En la tesis denominada “Implementación de una red holográfica para el control de un brazo robot articulado” [5] de la maestría del departamento de ciencias computacionales se implementó el control acoplado NHTE de un brazo robótico planar de dos grados de libertad usando una red neuronal holográfica. La eficiencia de la red holográfica se comparó con respecto a la red “backpropagation”, concluyendo que la calidad del control es prácticamente independiente del tipo de red. El control NHTE sobre el brazo robótico se realizó en simulación.

En el artículo titulado “Self-Tuning Fuzzy Identification and Control using a

Hybrid State Transition Kernel” [6] se presenta la metodología NHTE para la identificación y control de sistemas dinámicos invariantes continuos o discretos, de parámetros concentrados, mediante la aproximación de la función de transición de estados. En el artículo se reporta la utilización de redes neuronales holográficas y lógica difusa para realizar la identificación y control de un sistema no lineal de primer orden, del péndulo invertido y un robot planar de dos grados de libertad. Los controladores que se presentan en el artículo se implementaron en simulación.

En la tesis titulada “Sobre detección de fallas usando el núcleo híbrido de

transición de estados: aplicación a un sistema electrónico no lineal” [7], de la maestría de ingeniería mecatrónica se implementó el NHTE para la detección de fallas en tiempo real de un sistema no lineal de primer orden (un circuito RC con un diodo rectificador). En este trabajo se utilizó la metodología NHTE para identificar la dinámica de la planta y en base a esto detectar la presencia de una falla en el circuito RC.



En la tesis titulada “Construcción de un brazo robótico de tres grados de libertad y su control mediante el núcleo híbrido de transición de estados” [8] de la maestría de ingeniería mecatrónica se diseñó y construyó un robot de tres grados de libertad con arquitectura tipo PUMA y se hizo una comparación entre control PID y el control desacoplado NHTE con base en los índices de error IAE e ISE. El controlador NHTE se implementó en la articulación del hombro.

En la tesis denominada “Control inteligente del frenado en propulsión eléctrica con regeneración” [9] de la maestría de ingeniería mecatrónica se implementó la metodología NHTE para el control de un sistema de propulsión eléctrica con frenado regenerativo. El sistema de propulsión consta de un motor de inducción tipo jaula de ardilla acoplado a un volante de inercia y una combinación de frenado disipativo y frenado regenerativo. Esta tesis se realizó en modo simulación y se utilizó la herramienta ANFIS, de Matlab, para la sintonización de los parámetros de la lógica difusa.

En el artículo titulado “Fuzzy logic to the identification and the command of the multidimensional systems” [10] se realizó la identificación y control de un invernadero usando lógica difusa. La planta fue tratada como un sistema MIMO para la identificación y control. Para realizar la identificación de la planta se presentan 3 técnicas: modelos difusos tipo Takagi-Sugeno, optimización de árboles de regresión difusa y modelado difuso iterativo, siendo esta última la que se utilizó en el desarrollo del trabajo.

En este artículo se utilizó el modelo matemático de la planta para obtener los datos

de entrenamiento usados en la identificación. Se presentó una técnica para disminuir el número de reglas del sistema difuso. Se realizó el control para cuatro entradas y tres salidas al usar el modelado difuso iterativo. El resultado del trabajo no se comparó con ningún otro control implementado a la planta.

En el artículo denominado “Fuzzy systems, modeling and identification” [11] se

cita un método para el modelado de sistemas dinámicos invariantes en el tiempo usando el concepto de función de transición de estados. A continuación, se presenta un método general para realizar la identificación y obtener el modelo de una planta discreta usando lógica difusa.

Para realizar la identificación con lógica difusa, se propone el uso de los sistemas

difusos Takagi-Sugeno-Kan (TSK), Mamdani, agrupamiento difuso, y un sistema neuro-difuso (ANFIS). Se presenta un método alternativo para reducir las reglas del sistema difuso en el caso MISO.

Los enfoques que se presentan son aplicables a los sistemas una entrada-una salida

(SISO) y múltiples entradas-múltiples salidas (MIMO). En el artículo titulado “Dissipative dynamical systems part I: general theory”

[12] se presentan los conceptos fundamentales de la función de transición de estados para sistemas dinámicos disipativos. El análisis del artículo se extiende a sistemas dinámicos estacionarios [13]. Trata el problema de realización de un sistema y existencia del estado.



Los postulados principales en que se basa el análisis son: determinismo y causalidad. Además se definen las bases teóricas de los sistemas disipativos, las funciones de almacenamiento e interconectividad de sistemas. Este trabajo es la primera parte de dos publicaciones. La segunda parte de esta publicación se limita a sistemas dinámicos lineales.

En el artículo titulado “A destructive method of fuzzy inference rules” [15] se

presenta un método para automatizar la sintonización del número de reglas del sistema difuso. En este artículo se hace la comparación entre el método de GD que se presenta en [3] el cual llaman un método constructivo y el método destructivo con el que disminuyen el número de reglas.

En este artículo el método que produce menor error y mayor velocidad de

convergencia de sintonización de centros, bases y pesos es el método de GD [3], sin embargo el método destructivo presenta un menor número de reglas para el sistema difuso.

El presente trabajo surgió por la necesidad de continuar con el desarrollo de la

metodología del NHTE, extendiéndola al tratamiento del control acoplado de seis entradas y dos salidas y conocer su comportamiento cuando se implementa en un robot de 3 GDL.

1.6 Desarrollo de la tesis El presente trabajo está organizado de la siguiente manera:

En el primer capítulo se presentan los antecedentes del NHTE, el planteamiento del

problema, los objetivos de la tesis, alcances y limitaciones, estado del arte y desarrollo de la tesis.

En el segundo capítulo se presenta el fundamento matemático del NHTE que se

basa en [4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14] y la herramienta que se utilizará para la sintonización a lo largo del desarrollo de la presente tesis.

En el tercer capítulo se presenta la estructura mecánica del robot tipo PUMA,

también se explicarán las características del control PID, la etapa de adquisición de datos y control, y los algoritmos de control del robot. En el cuarto capítulo se presenta el diseño de los controladores NHTE desacoplados y acoplados que se implementaron en el robot tipo PUMA y las señales de consigna que se utilizaron para generar los datos de entrenamiento. En el quinto capítulo se presentan la sintonización y los resultados de los controladores NHTE desacoplados y acoplados para diferentes señales de consignas y la comparación de los controladores inteligentes con el controlador PID. En el sexto capítulo se presentan las conclusiones finales de la tesis, las aportaciones y trabajos futuros.



Hoja en blanco



Capítulo 2

Fundamento matemático del NHTE y herramienta de sintonización

Introducción En el capítulo anterior, uno de los puntos tratados fue el estado del arte de la metodología NHTE, se expuso la evolución que ha tenido en los trabajos que se han desarrollado en el CENIDET y que se presentan en [4, 5, 6, 7, 8, 9], se expone su principio fundamental basado en la función de transición de estados. También se presentan los artículos [12, 13] en los que se fundamenta el método propuesto.

El presente capítulo se desarrollará de la siguiente manera:

En la sección 2.1 se expone el fundamento matemático de la función de transición de estados y la metodología NHTE. En la sección 2.2 se presenta el desarrollo de la herramienta de sintonización.



En la sección 2.3 se realiza un resumen final del capítulo.

2.1 Fundamento matemático del NHTE

2.1.1 Sistemas dinámicos y concepto de estado Un sistema dinámico se define como un objeto matemático abstracto en donde se relacionan los espacios de señales de entrada (causas, excitaciones) y salida (efectos, respuestas) mediante variables intermedias llamadas estados [12]. El estado de un sistema resume las influencias de las entradas pasadas.

Las siguientes definiciones se restringirán para sistemas estacionarios (invariantes en el tiempo).

Un sistema dinámico (estacionario) se define por los conjuntos , , , ,U Y XϒA y los mapas y rφ , y satisface los siguientes axiomas [12, 13]:

i) Espacio de entradas (A ) consiste en una clase de funciones de valores U en el

espacio de los números reales ( R ). Se supone que el espacio A es cerrado en el operador de desplazamiento en tiempo. Por ejemplo, si u∈A entonces la función definida por ( ) ( )t u t TΤ = +u también pertenece a A para cualquier T R∈ .

ii) Espacio de salidas ( ϒ ) consiste en una clase de funciones de valores Y en R .

Se supone que el espacio ϒ es cerrado ante el operador de desplazamiento en tiempo. Por ejemplo, si y∈ϒ entonces la función definida por ( ) ( )y t y t TΤ = + también pertenece a ϒ para cualquier T R∈ .

iii) X es un conjunto abstracto llamado espacio de estados.

iv) La función de transición de estados (φ ) es un mapa de 1

2R X+ × ×A dentro de X y obedece los siguientes axiomas:

• Consistencia: 0 0 0 0( , , , )t t x u xφ = para todo 0t R∈ , 0x X∈ y u ∈A . • Determinismo: 1 0 0 1 1 0 0 2( , , , ) ( , , , )t t x u t t x uφ φ= para todo 1 0 2( , )t t R+∈ y 0x X∈ ,

1 2,u u ∈A que satisfaga 1 2( ) ( )u t u t= para 0 1t t t≤ ≤ . • Propiedad de semigrupo: 2 0 0 2 1 1 0 0 1( , , , ) ( , , ( , , , ), )t t x u t t t t x u uφ φ φ= para todo

0 1 2t t t≤ ≤ , 0x X∈ y u ∈A .

1 2R+ es el sector triangular causal definido por { }2

2 1 2 2 2 1( , ) |R t t R R t t+ = ∈ = ≥



• Invariancia: 1 0 0 1 0 0( , , , ) ( , , , )Tt T t T x u t t x uφ φ+ + = para todo 1 0 2( , )t t R+∈ , T R∈ , 0x X∈ , y , Tu u ∈A dado que ( ) ( )t u t TΤ = +u para todo t R∈ .

v) La función de salida ( r ), es un mapa de X U× a Y .

vi) La función de salida 0 0( ( , , , ), ( ))r t t x u u tφ para 0t t≥ , es, para todo 0x X∈ ,

0t R∈ y u ∈A la restricción a los límites [ )0 ,t ∞ de la función y∈ϒ . Esto significa que existe un elemento de y∈ϒ tal que 0 0( ) ( ( , , , ), ( ))y t r t t x u u tφ= para 0t t≥ .

Un sistema dinámico en el formalismo de espacio de estados es visto como la

generación de salidas a partir de entradas y estados iniciales que ocurre mediante el mecanismo de composición de la función de evolución de estados y el mapa de salida [12], donde las propiedades de determinismo y causalidad son fundamentales para el análisis. La evolución del estado toma en consideración la memoria del sistema mientras que el mapa de salida es sin memoria y depende solamente del valor actual del tiempo, el estado y la entrada [12]. El significado de 1 1 0 0( ) ( , , , )x t t t x uφ= es: “el estado en que se encuentra el sistema dinámico en un tiempo 1t , cuando parte de un estado inicial 0x a un tiempo inicial 0t , al aplicarle una entrada u ". El significado de ( , )y r x u= es: "la salida debido a la presencia del estado x y el valor de la entrada u ". Esta última función es difícil de derivar para sistemas no lineales por lo que se usa la metodología NHTE para aproximar a través de la lógica difusa los mapas de la función de transición de estados ( )φ y la salida ( )r . Es importante recalcar que el método NHTE supone que el sistema goza de observabilidad y controlabilidad. El concepto de controlabilidad se refiere a la posibilidad de transferir un estado inicial arbitrario a una trayectoria deseada. Esta trayectoria deseada es a menudo el punto de equilibrio.

La observabilidad se refiere a la posibilidad de reconstruir el estado a partir de las salidas medidas del sistema [13]. Se supondrá que para todo tiempo inicial en la recta real 0t R∈ , 0( , ,0,0) 0t tφ = para

0t t≥ y (0,0) 0r = . Entonces son válidas las siguientes definiciones: Un sistema dinámico es controlable en 0t si dado cualquier 0x X∈ existe un tiempo 1 0t t≥ y u∈A tal que 1 0 0( , , , ) 0t t x uφ = .



Un sistema dinámico es observable para entrada cero si el conocimiento de la salida 0 0( , ,0)y t x en un tiempo 0t determina el estado 0x en forma única. Un sistema dinámico es observable en 0t si para todo 0x X∈ y u ∈A , el conocimiento de la salida observada 0 0( , , )y t x u para 0t t≥ determina en forma única el estado 0x [13]. Un sistema dinámico es reconstruible para entrada cero en 0t si el conocimiento de la salida correspondiente a 0u = para 0t t≤ determina unívocamente el estado inicial

0x X∈ . Un sistema dinámico es reconstruible en 0t si para cualquier entrada u ∈ A el conocimiento de la salida en 0t t≤ determina unívocamente el estado inicial 0x X∈ .

2.1.1.1 Descripción de sistemas dinámicos a partir de datos entrada-salida La descripción o modelado de sistemas dinámicos se puede realizar de dos formas. Una de ellas es la descripción en espacio de estados y la segunda a partir de datos de entrada-salida. Partiendo de que se puede obtener de una planta una tabla de funciones de entrada A con su correspondiente función de salida ϒ , se define el llamado problema de realización, que consiste en construir un sistema dinámico en espacio de estados tal que genere los mismos pares de entrada-salida a los pares de datos experimentales.

Para lograr esto se debe hacer la construcción apropiada del espacio de estados y los

mapas φ y r . Para el caso de sistemas lineales con un número finito de grados de libertad existen

soluciones elegantes para resolver este problema. Sin embargo para sistemas no lineales la solución es más complicada. Para resolver el problema de realización de sistemas no lineales se utilizan herramientas de la inteligencia artificial como lo son las redes neuronales, lógica difusa, ANFIS y algoritmos genéticos.

2.1.2 Núcleo Híbrido de Transición de Estados (NHTE). El NHTE se basa en el concepto de variables de estado, en particular en la función de transición de estados φ [4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14]. Se considera una planta invariante que es observable y controlable.

Sea ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1, , ,T

NX t x t x t x t−= ⎡ ⎤⎣ ⎦K una representación del estado de la planta y la salida ( )y t una componente del estado ( )X t , y sea φ la función de la transición de



estados. Entonces se tiene ( ) ( ) [ ]( )1 0 0 1, ,X t X t u t tφ= donde [ ]0 1,u t t para todo 1 0t t≥ es la

función de entrada para t ∈ [ ]0 1,t t [4, 5, 6, 7, 9]. En el intervalo de muestreo [ 0t , 0t T+ ): ( ) [ )( )0 0 0 0( ), ,X t T X t u t t Tφ+ = +

En lo que sigue, se hará la restricción clave [ ),u t t T+ = constante en todo intervalo de muestreo.

La propiedad de semigrupo o composición de la función de transición de estados φ , descrita en la sección 2.1.1, para un intervalo de muestreo toma la siguiente forma:

En el intervalo de muestreo ( 0t T+ , 0 2t T+ ):

( ) ( ) [ ]( )0 0 0 02 , , 2X t T X t T u t T t Tφ+ = + + +

( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )0 0 0 0 0 02 , , , , 2X t T X t u t t T u t T t Tφ φ+ = + + +

En el intervalo de muestreo ( 0 2t T+ , 0 3t T+ ):

( ) ( ) [ ]( )0 0 0 03 2 , 2 , 3X t T X t T u t T t Tφ+ = + + +

( ) [ ]( ) [ ] [ ]0 0 0 0 0 0 0 03 ( ( ( ), , , , 2 ), 2 , 3 )X t T X t u t t T u t T t T u t T t Tφ φ φ+ = + + + + +

y así sucesivamente. La metodología NHTE utiliza datos entrada-salida para obtener la dinámica y estática de la planta. Se requiere un observador de la planta que aporte un estimado del estado cada periodo de muestreo de T segundos. El conjunto de datos de entrenamiento consta de la secuencia de estados junto con los valores de la entrada en el mismo instante.

Una vez obtenidos los datos de entrenamiento se puede realizar la identificación de la planta u obtener un controlador de planta inversa con sólo alterar la asignación de datos entre antecedentes y consecuente.

Si se usa el NHTE para identificar la planta, entonces se utilizará el esquema de la figura 2.1.



Figura 2.1.- Identificación de una componente del estado con NHTE. Si se utiliza como controlador de planta inversa se puede generar señales de control

que hagan transitar a la planta de un estado actual a un estado deseado como se muestra en la figura 2.2 [7].

Figura 2.2.- Control de planta inversa acoplado a la planta.

El objetivo del control de planta inversa es invertir la relación entre la entrada y salida de la planta para obtener un comportamiento deseado a la salida. El NHTE como controlador de planta inversa aproxima la dinámica de planta a partir de datos de entrenamiento para hacerla transitar a estados deseados como se muestra en la figura 2.2. El NHTE determina que el número de antecedentes es igual al orden del sistema más número de entradas, pero si se usa el error, se reduce en uno el número de antecedentes.

Tanto para la identificación como para el control de la planta, el NHTE depende de aproximar e interpolar la relación funcional entre antecedentes y consecuente mediante un algoritmo computacional. La inteligencia artificial ofrece varias alternativas para esta función de aproximador universal. Las herramientas que se han usado para la implementación del NHTE son:

• Lógica difusa usando el método de gradiente descendente para la sintonización de parámetros y control de sistemas lineales y no lineales presentado en [4].

• Redes neuronales para el control de un brazo robótico en la tesis que se presenta en

[5]. • ANFIS en la tesis presentada en [9].

( )refy t

( ) ( )sTrefy t e y t−≈

( )kX t T+

( )X t ( )U t

NHTE

Planta

P

Control de planta inversa

1sTe P− −

( )u t

( )kx t T+

1( )Nx t−

1( )x t0 ( )x t

NHTE

Antecedentes Consecuente



2.2 Herramienta de sintonización Se describe el método de gradiente descendente que se usó para sintonizar los parámetros del sistema difuso.

2. 2.1 Método del gradiente descendente. Razonamiento difuso Cuando los antecedentes son expresados como datos 1 2, ,..., mx x x , y el consecuente se expresa como y , entonces la regla simplificada de razonamiento difuso puede expresarse como:

:regla i

1 1 ... ( 1, 2,..., )i m i m isi x en A y y x en A entonces y w desdei n= = (2.1) Donde i una de n de reglas, 11,..., i mA A son las funciones de pertenencia de los

antecedentes y iw es un número real en la parte del consecuente. Las funciones de pertenencia son expresadas por triángulos isósceles como se muestra en la Figura 2.3. Los parámetros que determinan el triángulo son el centro i ja y el ancho i jb .

Figura 2.3.- Función de pertenencia del antecedente. La salida " "y para el razonamiento difuso es derivada de las siguientes ecuaciones:

2( ) 1 ( 1, 2,..., )j i j

i j ji j

x aA x j m

b⋅ −

= − = (2.2)

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )i i i i m mA x A x A xμ = ⋅ ⋅ ⋅ (2.3)

1 ( )i j jA x

i jb i ja

jx

Gra

do d

e pe

rtene

ncia



1

1

n

i ii

n

jj

wy

μ

μ

=

=

⋅=

∑

∑ (2.4)

Algoritmo de sintonización El algoritmo que se usa en la sintonización es el método de gradiente descendente. El método anterior busca un vector Z , el cual minimiza una función objetivo ( )E Z , en donde

1 2( , ,..., )pZ z z z= es un vector p-dimensional de la sintonización de parámetros. La dimensión p es la suma del número de centros y bases de las funciones de pertenencia, más el número de pesos de todas las reglas. El vector que hace decrecer la función objetivo ( )E Z se expresa como

1 2

, ,...,p

E E Ez z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂− − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, y la regla de aprendizaje que se utiliza es:

( )( 1) ( ) ( 1,..., )i ii

E Zz t z t K i pz

∂+ = − ⋅ =

∂ (2.5)

Siendo t es el número de la época de aprendizaje y K una constante, llamada factor de aprendizaje. En este método las reglas de inferencia son sintonizadas para minimizar una función objetivo E , que se define como:

21 ( )2

rE y y= − (2.6)

En la ecuación anterior " "ry es la salida real, y " "y es la salida del razonamiento difuso. Sustituyendo la ec.(2.3) y ec.(2.4) en la ec.(2.6) , se expresa la función objetivo E como:

1 1 2

1 1

( )1 ( )2 ( )

mn

i j ii j r

mn

i ji j

A wE y

A

= =

= =

⋅= −

∑ ∏

∑ ∏ (2.7)

La forma de la función de pertenencia i jA está definida por el valor del centro i ja y el ancho i jb , la minimización de la función objetivo E consiste en la sintonización de los



parámetros i ja , i jb y ( 1,..., , 1,..., )iw i n j m= = . El presente método puede ser aplicado usando el método de gradiente descendente por lo que el vector de optimización Z para minimizar la función objetivo ( )E Z puede ser derivado cuando el vector Z se define de la siguiente manera: 1 2 11 11 1( , ,..., ) ( ,..., , ,..., , ,..., ) 2p n m n m nz z z a a b b w w donde p nm n= = + (2.8) De la ec. (2.5) las reglas de aprendizaje del razonamiento difuso se expresan por las ecuaciones (2.9), (2.10) y (2.11).

( 1) ( )i j i j ai j

Ea t a t Ka

∂+ = − ⋅

∂ (2.9)

( 1) ( )i j i j bi j

Eb t b t Kb

∂+ = − ⋅

∂ (2.10)

( 1) ( )i i wi

Ew t w t Kw

∂+ = − ⋅

∂ (2.11)

En las ecuaciones (2.9) a (2.11) se muestran los valores de los parámetros sintonizados en la iteración ( 1)t + . El gradiente de la función objetivo de (2.9) a (2.11) puede ser derivado de las ecuaciones (2.2), (2.3), (2.4) y (2.6), como se muestra a continuación.

1

2( ) ( ) sgn( )( )

rii j i jn

i j i j i j ji

i

E y y w y x aa b A x

μ

μ=

∂= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

∂ ⋅∑ (2.12)

1

1 ( ) 1( ) ( )( )i j jri

ini j i j j i j

ii

A xE y y w yb A x b

μ

μ=

−∂= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

∂ ∑ (2.13)

1

( )rin

ii

i

E y yw

μ

μ=

∂= ⋅ −

∂ ∑ (2.14)

Sustituyendo las ec. (2.12) a (2.14) en las ec. (2.9) a (2.11), las reglas de aprendizaje para el razonamiento difuso se pueden expresar como sigue:

1

2( 1) ( ) ( ) ( ( ) ) sgn( ( ))( ) ( )

ra ii j i j i j i jn

i j i j ji

i

Ka t a t y y w t y x a tb t A x

μ

μ=

⋅+ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

⋅∑ (2.15)



1

1 ( ) 1( 1) ( ) ( ) ( ( ) )( ) ( )i j jrb i

i j i j ini j j i j

ii

A xKb t b t y y w t yA x b t

μ

μ=

−⋅+ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

∑ (2.16)

1

( 1) ( ) ( )rw ii i n

ii

Kw t w t y yμ

μ=

⋅+ = − ⋅ −

∑ (2.17)

La aplicación iterativa de estas reglas realiza la sintonización de parámetros que minimiza la función objetivo. Al minimizar la función objetivo se minimiza el error entre la salida deseada " "ry y la salida del razonamiento difuso " "y .

El proceso de sintonización es un proceso iterativo donde se tiene una función de error “EC” y se define por:

( )2

1

12

NDr

dEC y y

=

= −∑ (2.18)

Pasos de sintonización [3, 4, 15]:

1. Contar con una base de ND datos de entrenamiento entrada-salida, cada uno de la forma 1( ,..., , )r

mx x y . 2. Se calcula la inferencia difusa de los datos de entradas 1( ,..., , )r

mx x y usando las ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4). Como resultado de calcular la función de pertenencia

iμ de cada regla se obtendrá la salida del sistema difuso y .

3. Calcular la aportación a efectuar de cada uno de los datos de entrenamiento hacia cada uno de los pesos ( iw ) de las reglas del sistema difuso mediante la ecuación

( )1

rin

i ii

E y yw

μμ

=

∂= −

∂ ∑ (2.14)

4. Calcular el promedio de todas las aportaciones a los pesos de las reglas del sistema difuso, tal como una votación por parte de cada uno de los datos de entrenamiento hacia la dirección que habrán de seguir los parámetros; esto hace mas dirigido el proceso de sintonización [4]. El algoritmo original [3] no realiza una votación de todos los datos de entrenamiento, ya que afecta en forma independiente los parámetros del sistema. Esta política no asegura una dirección de modificación de parámetros bien planeada.

5. Aplicar el incremento promedio en cada peso de las reglas de sistema difuso iw .



6. Realizar los pasos 1 al 4 considerando como parámetros a sintonizar los centros ija

así como sus respectivas bases ijb , con las ecuaciones:

( )( )1

2( ) sgn ( ( ))( ) ( )

rii j ijn

ij ij ij jii

E y y w t y x a ta b t A x

μμ

=

∂= − − ⋅ −

∂ ⋅∑ (2.12)

( )( )1

1 ( ) 1( )( ) ( )ij jri

inij ij j ijii

A xE y y w t yb A x b t

μμ

=

−∂= − − ⋅ ⋅

∂ ∑ (2.13)

7. Calcular el resultado de la función de error EC utilizando los nuevos valores de los

parámetros.

8. Si EC ε> regresar al paso 2; en caso contrario se ha llegado a la convergencia al haber encontrado los parámetros del sistema que minimizan la función costo.

Nota: El parámetro de usuario 0ε ≥ se utiliza como condición de paro de la etapa de entrenamiento.

En [3] se concluye que para la sintonización de los parámetros se tiene un número

óptimo de conjuntos difusos dependiendo del sistema. Para encontrar este número óptimo un buen indicativo es el error dado por la ecuación (2.18).

El algoritmo que se presenta en [3] sólo tiene la capacidad de sintonizar sistemas difusos múltiples entradas-una salida (MISO).

Para lograr implementar controladores NHTE MIMO en el robot tipo PUMA, se pondrán en paralelo sistemas MISO como se propone en [4]. Para realizar la sintonización de los datos de entrenamiento al utilizar la herramienta de computación Matlab dada en [4], ver el anexo A.

2.3 Resumen En la primera parte del capítulo se presentó el fundamento matemático del NHTE que se basa principalmente en [12, 13]. También se presentaron los esquemas del NHTE para identificación y control, siendo este último el objetivo del presente trabajo. Finalmente se enumeraron las herramientas que se han utilizado para implementar la metodología propuesta. En la segunda parte se presentó la herramienta de sintonización basada en el método de gradiente descendente [3] donde se expuso el desarrollo matemático de los parámetros a



sintonizar en la lógica difusa y también se explicaron los pasos a seguir para realizar la sintonización.



Capítulo 3

El robot PUMA como plataforma experimental

Introducción En la primera parte del capítulo anterior se presentó el fundamento matemático de la metodología NHTE que se basa principalmente en [12,13] y también se presentaron los esquemas para la identificación y control de sistemas no lineales al usar la metodología propuesta. En la segunda parte del capítulo se presentó la herramienta de sintonización en [3] donde se utiliza un método de automatización para sintonizar los parámetros de la lógica difusa con el uso del método de gradiente descendente.

El presente capítulo se encuentra estructurado de la siguiente forma:

En la sección 3.1 se describe la estructura mecánica del robot PUMA, espacio de

trabajo, especificaciones de la plataforma experimental y actuadores que se utilizan en el control de cada articulación.



En la sección 3.2 se explica la etapa de adquisición de datos y control que tiene el brazo robótico. En la sección 3.3 se presenta el controlador PID que se tiene implementado en el robot tipo PUMA, el algoritmo de control y las características del equipo de cómputo con que se cuenta. Por último, en la sección 3.4 se expone el resumen final del presente capítulo.

3.1 Estructura mecánica del robot PUMA El robot tipo PUMA que sirve como plataforma experimental para probar la metodología NHTE tiene tres grados de libertad. El diseño detallado del robot se presenta en [8] y se manufacturó en el Centro Nacional de Actualización Docente (CNAD) bajo el apoyo del Consejo del Sistema Nacional de Educación Tecnológica (COSNET) en el proyecto 887.03P. La estructura mecánica del robot se presenta en la figura 3.1:

Figura 3.1.- Estructura del robot tipo PUMA. En la figura 3.1 se muestran los tres GDL de la plataforma experimental. La primera articulación es la cintura y se controla a través del motor 1 con un sistema de transmisión por poleas y bandas dentadas de alto par, siendo esta articulación la única que no se ve afectada por los efectos de la gravedad, sin embargo presenta el mayor momento de inercia cuando el hombro se encuentra a 90º respecto a la cintura.

Motor 2

Motor 1

Motor 3

Cuerpo

Brazo

Antebrazo

Base

Cintura

Codo

Hombro



La segunda articulación es el hombro y se controla por el motor 2 trasmitiendo la potencia a la articulación a través de bandas y poleas dentadas de alto par, siendo el hombro un elemento que se ve afectado por el momento de inercia, la gravedad de la propia articulación y por el codo.

La tercer articulación es el codo el cual es controlado por el motor 3 y la potencia a

esta articulación se trasmite de la misma manera que las dos articulaciones anteriormente mencionadas. Esta junta se ve afectada por el momento de inercia y por los efectos de la gravedad. La mayor parte del material que se usó en la construcción del robot tipo PUMA es aluminio debido a su baja densidad y buenas propiedades mecánicas para soportar las cargas a las que estaría sometida la estructura. Sin embargo en el cuerpo y eje del hombro se utilizó acero 10-18 debido a que en estos dos elementos se presenta la mayor cantidad de esfuerzos.

3.1.1 Espacio de trabajo En la figura 3.2 se muestra el espacio de trabajo que el robot tipo PUMA necesita para desempeñarse en forma segura y este se determina directamente por las longitudes de los eslabones.

Figura 3.2.- Espacio de trabajo: a) Vista superior, b) Vista frontal.

La estructura mecánica del robot tipo PUMA se diseñó con la herramienta computacional Solid Works 2003 ®, con ella se analizaron los esfuerzos a los que se somete la estructura y el espacio seguro de trabajo al simular la estructura mecánica para diferentes posiciones.



3.1.2 Especificaciones del robot tipo PUMA En la tabla 3.1 se muestran las especificaciones del robot tipo PUMA. Tabla 3.1.- Especificaciones del robot tipo PUMA. Número de ejes 3 Rango de movimiento: Eje 1 cintura Eje 2 hombro Eje 3 codo

360º 270º 310º

Radio máximo de operación 331mm Home físico No implementado Efector final No implementado

Realimentación Encoders ópticos incrementales en cada motor. 500 cuentas/rev. Señales cuadradas desfasadas 90º, entrada 5 Vcd, 40 A. (HP, HEDS-9100)

Actuadores Motores de CD, 24 Vcd (Pittman ®, GM9234C212-R3)

Reducción por poleas: Cintura: Hombro: Codo:

12.5:1 12.5:1 5.0:1

Transmisión de potencia Poleas y bandas dentadas de alto par Peso del total del brazo 17 Kg. Carga máxima 0.250 Kg.

3.1.3 Actuadores Cada articulación del robot PUMA se controla por un motor de CD de imán permanente. Este tipo de motor es utilizado en el control de manipuladores debido a sus características dinámicas y facilidad de control. Los motores que controlan cada articulación son de la marca Pittman ® y están acoplados a una caja de engranes y encoders incrementales.

En la figura 3.3 se muestra el motor comercial que se utiliza en cada articulación del

robot PUMA.

Figura 3.3.- Motor Pittman ®, GM9234C212-R3.



El cálculo y selección de los motores se realizó principalmente tomando en cuenta el torque necesario para cada articulación y se detalla en [8].

3.2 Etapa de adquisición y potencia El robot tipo PUMA cuenta con una tarjeta de adquisición de datos y control por cada articulación. Las tarjetas con las que cuenta el robot tienen dos etapas: adquisición y control.

En la figura 3.4 se muestra la tarjeta de adquisición de datos y control para cada articulación:

Figura 3.4.- Tarjeta de adquisición y control.

La etapa de adquisición de datos se encarga de contar los pulsos que vienen de los

encoders de los motores Pittman ® y mandar estos pulsos a la computadora a través del puerto paralelo. El elemento que realiza la cuenta de los pulsos es el microcontrolador PIC 16F84A [19] que monitorea en todo momento los dos canales de los encoders de cada motor y la cuenta de pulsos los manda a la PC a través del puerto paralelo. Conociendo así en todo momento la posición de la articulación correspondiente.

La etapa de potencia se encarga de recibir la señal de control proveniente de la

computadora a través del puerto paralelo y convertirla a una señal modulada con un cierto ancho de pulso. En la figura 3.5 se detalla en un diagrama a bloques la etapa de potencia.



Figura 3.5.- Diagrama a bloques de la tarjeta de adquisición y control. De la figura 3.5 la información de la computadora se envía a través del puerto LPT al buffer “74HC541” [20] que asegura que lleguen 0 ó 5 Vcd al arreglo de resistencias R-2R. Funciona como un convertidor digital/analógico (D/A) de 8 bits. La salida del convertidor D/A es la entrada al circuito modulador de ancho de pulso [21] que a la vez se comunica con el buffer inversor [22] y éste manda la modulación PWM al puente H [23] que controla directamente el motor de CD de imán permanente con un voltaje de 24 Vcd.

3.3 Control PID

3.3.1 Implementación del control PID en el robot PUMA. El control PID que se programó en el robot tipo PUMA es un controlador PID digital que se implementó de manera independiente en cada articulación del robot. Este controlador se programó en lenguaje C y las constantes del controlador se sintonizaron de manera experimental moviendo el brazo a diferentes posiciones y velocidades. Las ganancias que se obtuvieron para las tres articulaciones son: kp

= 5.0, ki = 0.001, kd = 0.2 [8].

Las interacciones entre las tres articulaciones del robot son consideradas por el controlador PID como perturbaciones externas, como se muestra en la figura 3.6.

CDA

PWM SG3524 Buffer inversor SN74HC14

Puente H 18200

Buffer 74HC541

PIC 16F84A

Motor

Encoder

Tarjeta electrónica

LPT

PC

Conector DB25 LPT

Conector DB15 NHTE: interrupciones encoder control pantalla lectura teclado



Figura 3.6.- Diagrama de control PID para cada articulación. La adquisición de datos de entrenamiento se realiza cada 20 ms y la acción de control para cada motor se realiza cada 20 ms. Debido a la comunicación que se tiene entre la PC y las tarjetas de adquisición, en el control se pueden obtener rangos hasta ±255 cuentas digitales (±24 Vcd), sin embargo, la salida del controlador a los motores de CD está limitada mediante software a ±200 cuentas digitales (18.8 Vcd). Además, para compensar fuerzas inerciales de las articulaciones, cargas constantes como la fricción estática y la zona muerta del motor, se le aplica a la salida del controlador PID una constante de ±85 cuentas digitales (±8 Vcd). Para protección de la integridad física de un robot y de su carga, es muy importante evitar aplicarle fuerzas impulsivas. Las señales de consigna que se usan en un robot seguidor o posicionador son las señales: LSPB (Linear Segments with Parabolic Blends) o cicloidales que tienen la característica de que poseen al menos una derivada continua. En el robot tipo PUMA se utiliza la señal LSPB para alcanzar una posición final deseada. La trayectoria LSPB es tal que la velocidad se incrementa a un valor inicial específico, se mantiene y después se decrementa hasta alcanzar la posición final ( fq ) [17].Para lograr esto, se especifica la trayectoria deseada en tres partes (Figura 3.7): La primera parte es un polinomio cuadrático desde el tiempo inicial 0t hasta el tiempo bt . La segunda parte continúa con una línea recta desde bt hasta f bt t− . Finalmente al tiempo f bt t−

la trayectoria de posición lineal cambia nuevamente a un polinomio

cuadrático, por lo que la velocidad se decrementa en forma lineal como se puede apreciar en la figura 3.8. A los instantes bt y f bt t− se les llama tiempos de transición.

hq

hq • hq +

+h refq

PID Hombro−

+

code

codq • codq ++cod refq

PID Codo −

+

ce

cq • cq ++c refq

PID Cintura−

+

Robot PUMA

ip

ip

ip



to tb tf-tb tfqo

qf

Tiempo (seg)

qi (t

)

Trayectoria LSPB

Figura 3.7.- Señal de referencia LSPB.

Las ecuaciones para generar el perfil de la trayectoria LSPB son las siguientes:

20 b

0b

22

f

0 t t2

( ) t2

t2 2

f fdi f b

ff f b f

aq t

q q vtq t vt t t t

at aq at t t t t t

⎧ + ≤ ≤⎪⎪⎪⎪ + −⎪= + < ≤ −⎨⎪⎪⎪⎪ − + − − < ≤⎪⎩

(3.1)

Donde:

0

f

f

q Posición inicialq Posición final

t Tiempot Tiempo final

v Velocidada Aceleración

==

==

==

Los perfiles de velocidad y aceleración se pueden ver en las figuras 3.8 y 3.9 respectivamente. En la figura 3.7 se observa que la señal que se usa para generar la trayectoria deseada es una señal suave para el control y protección de los actuadores.



Figura 3.8.- Perfil de velocidad de la trayectoria LSPB.

Figura 3.9.- Perfil de aceleración de la trayectoria LSPB.

to tb tf-tb tf

v max

Tiempo (seg)

Vel

ocid

ad (r

ad/s

eg)

Velocidad



3.3.2 Programas de adquisición y control Para la adquisición de datos y control del robot se cuenta con una PC dedicada bajo la plataforma Windows 98. Sin embargo las plataformas como Windows no permiten tener un control en tiempo real ya que están diseñadas para uso de propósito general por lo que no son ideales para este propósito. Por esta razón en la adquisición de datos y control en tiempo real se utiliza el compilador “Turbo C++ versión 3.0 de Borland” bajo la plataforma DOS. El programa que se desarrolló en lenguaje C tiene rutinas que permiten enviar y recibir datos en tiempo real a través de los tres puertos paralelos de la PC (uno por articulación), cuyas direcciones son: 3BC (hombro), 378 (cintura) y 278 (codo) [16]. La adquisición de datos provenientes directamente del conteo de pulsos que realiza el microcontrolador PIC 16F84A y la toma de estas cuentas se realiza cada 8 ms a través del puerto paralelo usando el bus de control. De esta forma se conoce en todo momento la posición en tiempo real de cada articulación del robot. La señal de control se actualiza cada 20 ms y se comunica con las tarjetas de adquisición y control a través del puerto paralelo utilizando el bus de datos. Dentro de los programas de control una de las subrutinas principales se enfoca a la lectura constante del teclado de la PC, ya que a través de éste el usuario puede modificar las consignas de las posiciones de las articulaciones y/o terminación del programa. Sin embargo la modificación de la posición de las articulaciones solo se puede hacer cuando se alcanzó la posición deseada. Para terminar el programa en cualquier momento se utiliza la tecla ESC debido a que ésta tiene un mayor privilegio para que se atienda.

Otras dos subrutinas importantes son las que se enfocan a la lectura de los encoders

de cada motor, y al cálculo y modificación de las señales de control para cada motor. Estas dos subrutinas se realizan a través de interrupciones cada 2 y 20 ms respectivamente y se activan mediante el uso de la circuitería interna de la PC que nos permite provocar cambios en las señales de salida de los puertos con sincronía entre el reloj interno de la PC y el algoritmo de control [16]. Para conocer la posición real de cada articulación se realiza la adquisición del número de pulsos que manda el microcontrolador PIC 16F84A a través de puerto paralelo. Posteriormente, para realizar la conversión del número de pulsos a grados se considera la resolución del encoder que tiene el motor Pittman ® y la relación de transmisión que se tiene en cada articulación. La velocidad angular de cada articulación se determina con la posición actual y la posición anterior con un intervalo de tiempo de 20 ms.

El algoritmo de adquisición y control que se implementó en la PC para el control

PID y el control NHTE se describen en las figuras 3.10 a), 3.10 b) y 3.10 c).



Figura 3.10.- Diagrama de flujo del programa de control y adquisición. a) Programa principal, b) subrutina de lectura de encoders, c) subrutina de control.

Inicio

Declaración de funciones, variables y funciones de

interrupción

Inicialización del PIC, puente H

Generación de trayectoria

Inicializa Interrupción:

encoder control

Desplegar datos Leer teclado

¿Terminar?

Terminar interrupciones

Fin

No

Si

(a)

Encoder

Leer valores de los puertos LPT

Retorna

(b)

Control

Calcula posición, velocidad y acción

de control

Retorna

Envía datos al puerto

(c)



3.3.3 Características del equipo de cómputo Una de las características principales que se debe tener en cuenta cuando se aplica un control inteligente es la capacidad del equipo de cómputo que se tiene, ya que el control inteligente consume muchos recursos del sistema de cómputo. En décadas recientes los equipos de cómputo han incrementado considerablemente tanto la capacidad como la velocidad de procesamiento, sin embargo los precios de estos equipos han ido disminuyendo y aumentando sus prestaciones, por lo que el control inteligente esta tomando un mayor auge en las presentes décadas.

El robot PUMA cuenta con una PC dedicada a la adquisición y control que tiene las siguientes características:

• 1 Monitor VGA. • 1 Teclado. • 1 Mouse. • 3 Puertos paralelos. • 256 MB de memoria RAM. • Procesador “Intel Pentium(R) IV” a 2.80GHz. • Plataforma DOS. • Compilador Borland ® 3.0. • Sistema operativo Windows 98. • Disco duro de 40 GB.

Con las características del equipo de cómputo anteriormente mencionadas se

implementaron controladores desacoplados y acoplados NHTE para el robot tipo PUMA.

3.4 Resumen En el presente capítulo se expusieron las características de la plataforma experimental con la que se cuenta, así como el control convencional PID que se tiene implementado en el robot. Se describió en detalle la generación de trayectorias LSPB que se aplica en cada una de las articulaciones. También se presentaron las características del equipo de cómputo con el que se cuenta para el control del robot y los diagramas de flujo del algoritmo de control.



Capítulo 4

Diseño de controladores NHTE Introducción En los capítulos anteriores se presentó el estado del arte de la metodología NHTE, el fundamento matemático y la herramienta para sintonizar los parámetros de la lógica difusa. También se presentó la estructura mecánica de la plataforma experimental, la etapa de adquisición y control, el controlador PID implementado, el diagrama de flujo de control y las características del equipo de cómputo con que se cuenta. En este capítulo se expondrá el diseño de los controladores desacoplados y acoplados que se tienen programados en la plataforma experimental y se presentarán en el siguiente orden: En la sección 4.1 se expone el diseño de los controladores NHTE desacoplados y acoplados.

En la sección 4.2 se presenta el diseño de la señal de entrenamiento utilizada en el presente trabajo de tesis. En la sección 4.3 se expone el resumen del presente capítulo.



4.1 Diseño de controladores NHTE La metodología NHTE se basa principalmente en la función de transición de estados [4,5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14] en donde se trata de aproximarla con el uso de diversas técnicas del área de inteligencia artificial, como lógica difusa, redes neuronales, algoritmos genéticos y ANFIS. En el presente trabajo se usa la lógica difusa para realizar la aproximación de la función de transición de estados y usarla para controlar dos articulaciones de un robot de 3 GDL. El método autosintonizado NHTE supone que la planta a tratar es observable y controlable [ver anexo B].

La plataforma experimental donde se implementó la metodología NHTE es un robot

tipo PUMA como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1.- Estructura mecánica del robot tipo PUMA.

El robot tipo PUMA tiene 3 articulaciones y cada una contribuye con dos variables de estado (posición y velocidad angular). El controlador más general de planta inversa NHTE tendrá 6 variables de estado como antecedentes (posición y velocidad de cintura, hombro y codo) y como consecuente el voltaje para cada articulación (cintura, hombro y codo). El esquema general de control se muestra en la figura 4.2.

Figura 4.2.- Esquema general del NHTE como controlador de planta inversa.

Motor 2

Motor 1

Motor 3

Cuerpo

Brazo

Antebrazo

Base

Cintura

Codo

Hombro

( )X t

( )refy t ( )dX t T+

( )U tNHTE



Donde:

( )

c

c

h

h

cod

cod

q

qq

X tqq

q

•

•

•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.1)

Es:

cq = Posición de la cintura.

cq•

= Velocidad angular de la cintura.

hq = Posición del hombro.

hq•

= Velocidad angular del hombro.

codq = Posición del codo.

codq•

= Velocidad angular del codo.

( )

( ) ( )

( )

d c

d d h

d cod

q t T

X t T q t T

q t T

⎡ ⎤+⎢ ⎥

+ = +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

(4.2)

Es:

( )d cq t T+ = Posición deseada en la cintura. ( )d hq t T+ = Posición deseada del hombro

( )d codq t T+ = Posición deseada en el codo.

( )c

h

cod

UU t U

U

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.3)

Es: cU = Voltaje de control aplicado en la cintura.

hU = Voltaje de control aplicado en el hombro.

codU = Voltaje de control aplicado en el codo.



El NHTE como controlador de planta inversa aproxima el inverso de la función de transición de estados a partir de datos de entrenamiento de la planta. Con esto, el NHTE logra hacer transitar a la planta de un estado dado a uno deseado.

Una de las características de los controladores NHTE es que al tener un mayor

número de antecedentes en la entrada del controlador aumenta su complejidad en el proceso de sintonización. Esto se refleja directamente en un aumento del error de sintonización y en una disminución del desempeño de los controladores con más antecedentes respecto de los que tienen menos.

Por este motivo se reduce el número de variables de estado seleccionando como

antecedentes las variables más significativas para la aproximación del estado. Con base en lo anterior se realizó el diseño de los controladores desacoplados y acoplados MIMO que se aplicaron en la articulación de la cintura y el hombro.

Para lograr implementar controladores NHTE MIMO en el robot tipo PUMA, se pondrán en paralelo sistemas MISO como se propone en [4].

4.1.1 Control desacoplado

4.1.1 .1 Control desacoplado de 2 antecedentes Los controladores que se implementaron en el hombro y cintura del robot tipo PUMA tienen como antecedentes las variables error y velocidad angular y como consecuente el voltaje. Al utilizar como variable de estado el error se ahorra una entrada el controlador NHTE, pero se pierde la no linealidad del controlador respecto a la posición.

En la figura 4.3 se muestra el esquema del controlador inteligente de planta inversa que se implementó en la cintura.

Figura 4.3 Esquema de control del NHTE con dos antecedentes en la cintura. Las variables de estado para el controlador NHTE de la figura 4.3 se seleccionaron de acuerdo al conocimiento que se tiene de los efectos de estas entradas en los controladores lineales y que son variables de estado significativas en la aproximación del estado de una planta. Por otro lado, se tiene la experiencia previa [6] donde se experimentó con los

antecedentes ( )q t , ( )q t T+ y ( )q t•

, y se descubrió que la sintonización era pobre debido a

cq

+

−

ce

cq•

•

•cq

•

cq c deseadaq

NHTE Planta( )cU volts



la proximidad numérica de ( )q t y ( )q t T+ . La solución fue sustituir ambos antecedentes por su diferencia, ( )e t . Por su parecido con el error en los controladores tradicionales, en la discusión de controladores le hemos llamado por ese nombre, sin embargo debe mantenerse presente que es la diferencia entre ( )q t y ( )q t T+ .

En el hombro también se implementaron controladores desacoplados inteligentes NHTE con 2 antecedentes: error y velocidad en hombro. El esquema de control de planta inversa se muestra en la figura 4.4.

Figura 4.4 Esquema de control del NHTE con dos antecedentes en hombro.

La selección de estas entradas se debió a que el error y velocidad angular son variables de estado significativas para aproximar el estado de esta articulación.

4.1.1. 2 Control desacoplado de 3 antecedentes Los controladores de este tipo que se implementaron en el hombro tienen como antecedentes el error, velocidad angular y posición real del hombro. El esquema de control de planta inversa se muestra en la figura 4.5.

Figura 4.5 Esquema de control del NHTE con tres antecedentes en hombro. Las variables de estado en el controlador que se muestra en la figura 4.5 se seleccionaron debido a que el error, velocidad angular y posición son significativas en la aproximación del estado, sin embargo la tercer variable (posición real del hombro), afecta el desempeño del controlador debido a que es una variable de estado redundante al estar contenida en el error. Esto se refleja en el incremento de los índices de error y el seguimiento de la señal de referencia.

( )hU volts

hq

+

−

he

hq•

•

•hq

•hq h deseadaq

NHTE Planta

hq +

− •

he

hq hq

• •

•hq

•

h deseadaq

NHTE Plantahq ( )hU volts



En la cintura no se implementó un controlador desacoplado de tres antecedentes debido a que, a diferencia del hombro, el esfuerzo de control para posicionar la cintura no depende de su posición.

4.1.2 Control acoplado NHTE Una característica importante del controlador acoplado NHTE es que considera en su acción de control las perturbaciones de las demás articulaciones, sin embargo al tomar en cuenta un número mayor de antecedentes en el controlador NHTE se vuelve más difícil el proceso de sintonización. Por esta razón se experimentó con la adición de un antecedente, el que mejor representara las perturbaciones de la otra articulación.

El tercer antecedente del controlador de cintura se seleccionó por el efecto que tiene la articulación del hombro sobre la cintura y este es provocado por el momento de inercia que produce el hombro. El momento de inercia del hombro es función de su posición.

El tercer antecedente del controlador de hombro se seleccionó por el efecto que tiene la fuerza centrífuga producida por la velocidad de la cintura. La dirección de la velocidad de la cintura no es importante, solo su magnitud. La posición de la cintura no tiene ningún efecto sobre el hombro. El esquema de control de planta inversa NHTE MIMO se muestra en la figura 4.6.

Figura 4.6.- Esquema de control acoplado NHTE MIMO.

En la adquisición de datos para la sintonización de los controladores acoplados es crucial adquirir datos de entrenamiento que contengan información precisa y completa del

NHTE HOMBRO

Señal de referencia

•

•

•

( )hU volts

hq

cq•

ce +

−

•

cq

hq•

codq•

codq

hq•

hq

cq•

Señal de

referencia

•he

cq•

•

cq cdesq

( )cU volts

Planta

NHTE CINTURA

+

−

hq

hdesq



comportamiento de los estados internos del sistema, en el presente caso el brazo robótico tipo PUMA.

4.2 Diseño de la señal de entrenamiento Para la sintonización de los parámetros difusos, la metodología NHTE necesita datos de entrenamiento de entrada/salida del robot. Este aspecto es muy importante para la metodología propuesta ya que mientras estos datos revelen más información sobre la dinámica del sistema, mejor se realizará la aproximación de la función de transición de estados y se obtendrá un mejor control de la articulación del brazo robótico.

La trayectoria LSPB se utiliza como señal de referencia de cada articulación del brazo robótico, sin embargo el controlador PID también se usa para la adquisición de datos de entrenamiento necesarios en la sintonización de los controladores difusos NHTE. En [8] se concluye que al usar la señal LSPB como señal de entrenamiento se obtiene poca información sobre la dinámica interna del brazo robótico. Esto se refleja en un pobre desempeño de los controladores inteligentes desacoplados NHTE.

Por tal motivo se diseñó una señal sinusoidal modulada en la articulación del hombro y la cintura para obtener datos de entrenamiento que tengan una riqueza de la dinámica interna del robot. En particular, se desea observar las perturbaciones que los movimientos de unas articulaciones causan sobre otras. La duración de las señales de entrenamiento es de 30 segundos para la articulación de la cintura y hombro. En la presente tesis en la articulación del codo no se tomaron datos de entrenamiento debido a una falla de la tarjeta de adquisición y control.

En el presente trabajo se utilizaron dos diferentes señales de entrenamiento para las

articulaciones de cintura y hombro. En ambos casos son señales sinusoidales moduladas. Estas señales, al igual que las de tipo LSPB, cumplen con tener una primera derivada continua. Podemos considerarlas como una sucesión de trayectorias "pick and place" que se suceden sin pausa alguna.

En las figuras 4.7 y 4.8 se muestran las señales que se utilizaron para la adquisición de datos de entrenamiento de cintura y hombro respectivamente.

La ecuación de consigna en cintura es:

( )( ) sin ( ) sin (0.1 )4cy t t tπ π π= (4.4)



Y su gráfica es la siguiente:

Figura 4.7.- Consigna aplicada en cintura.

La ecuación de consigna en el hombro es:

( ) sin( ) sin(0.1 )4 2 2 4hy t t tπ π π ππ π⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.5)

Y su gráfica es la siguiente:

Figura 4.8.- Consigna aplicada en el hombro.

Con las trayectorias deseadas para cintura y hombro dadas por las ecuaciones (4.4) y (4.5) se tomaron datos de entrenamiento cada 20 ms durante un intervalo de 20 seg. para aproximar la función de transición de estados del robot. Sin embargo con estos datos de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-60

-40

-20

0

20

40

60

Señal de consigna aplicada en la cintura

Tiempo (seg)

posi

cion

(° )

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-100

-80

-60

-40

-20

0

20Señal de consigna aplicada al hombro

Tiempo (seg)

posi

cion

(° )



entrenamiento las perturbaciones eran apenas observables y no fue posible sintonizar un controlador que atenuara las perturbaciones.

Por tal motivo se diseñó una señal sinusoidal modulada que al aplicarla sobre cintura y hombro se pudieran adquirir las diversas condiciones que se presentan al estar moviendo las dos articulaciones al mismo tiempo. Estas señales se diseñaron a diferentes amplitudes y frecuencias; se requirió que la articulación de la cintura se moviera más rápido pero en menor amplitud que el hombro. En (4.6) y (4.7) se presentan las ecuaciones matemáticas que se usaron para obtener una mayor información de la dinámica interna de la planta en sustitución de las ecuaciones (4.4) y (4.5). Estas señales se muestrearon cada 20 ms durante un intervalo de 30 seg.

Consigna de la cintura:

( ) (2 ) (0.2 )11.5cy t sen t sen tπ π π= (4.6)

Consigna del hombro:

1.35( ) (0.82 ) (0.035 ) 1.24 2 2 4.09487hy t sen t sen tπ π π ππ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.7)

De la ecuación (4.6) la consigna de cintura es:

Figura 4.9.- Señal de entrenamiento aplicada en la cintura.

De la ecuación (4.7) la consigna que se aplicó en el hombro es:

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Consigna en cintura

t (seg)

Pos

icio

n (°

)



Figura 4.10.- Señal de entrenamiento aplicada en el hombro.

Para la adquisición de datos de entrenamiento en cintura y hombro se ponen en movimiento las dos articulaciones del robot, logrando con esto que tanto la cintura como el hombro se perturben mutuamente durante la corrida. Para el seguimiento de la consigna se utiliza el controlador PID. Estas señales se diseñaron con base en la capacidad límite del controlador PID para seguir la consigna.

4.3 Implementación de controladores difusos NHTE Las señales de consigna se usan para mover el robot bajo control PID. Se captura la respuesta (posición real y señal de control) de cada articulación del robot. Estas respuestas son propiamente las señales de entrenamiento que servirán para aproximar la ley de transición de estados del robot. Es imprescindible que la señal de control sea constante en cada intervalo de control T.

El proceso de sintonización se realiza fuera de línea, en una computadora que no es la de control en tiempo real del robot. Para sintonizar cada controlador se especifica al algoritmo de Nomura [3, 4] los antecedentes (a partir de los datos de entrenamiento) y el número de conjuntos difusos de cada antecedente (parámetros de usuario, ver Anexo A). Los resultados serán los parámetros de las funciones de pertenencia triangulares (centros y bases) y los pesos de las reglas de inferencia difusa, ver anexo A.

El controlador NHTE se implementa en el programa de control en tiempo real programando la fórmula (2.4). El control difuso que realiza la ecuación (2.4) requiere calcular el grado de pertenencia de cada señal antecedente a todas sus funciones de pertenencia, y pesar dicha pertenencia de acuerdo a la regla correspondiente para obtener el valor de la variable de control para la articulación correspondiente.

0 5 10 15 20 25 30-100

-80

-60

-40

-20

0

20Consigna en hombro

t (seg)

Pos

ició

n(°)



4.4 Resumen En el presente capítulo se expuso la metodología que se siguió para el diseño de los controladores desacoplados y acoplados, además se detalla el diseño de las consignas de entrenamiento y la implementación en tiempo real de los controladores. Debido a que una de las características importantes en la sintonización de los controladores NHTE es la riqueza de la dinámica interna de los datos de entrenamiento, en el presente trabajo se aplicaron dos señales de entrenamiento, con las que se sintonizaron los controladores NHTE desacoplados y acoplados.

El comportamiento de los controladores específicos se muestra en el siguiente capítulo.



Hoja en blanco



Capítulo 5

Resultados Introducción En el capítulo anterior se presentó la metodología de diseño de los controladores difusos NHTE desacoplados y acoplados que se implementaron para el brazo robótico de 3 GDL y se presentaron las señales de consigna que se utilizaron para la adquisición de datos de entrenamiento. Se diseñaron dos señales de consigna por la necesidad de cubrir un mayor campo del espacio de estado de las dos articulaciones (cintura y hombro). En el presente capítulo se expone el seguimiento del controlador PID al usar dos señales distintas en amplitud y frecuencia como consigna en cintura y hombro. También se presentan los resultados de los controladores NHTE desacoplados y acoplados que se implementaron en el robot tipo PUMA. Este capítulo se expondrá de la siguiente manera: En la sección 5.1 se presenta el seguimiento del PID para 2 señales diferentes de consigna. En la sección 5.2 se presenta la sintonización de los controladores inteligentes. En la sección 5.3 se presentan los resultados de los controladores inteligentes desacoplados y acoplados implementados en el robot tipo PUMA. En la sección 5.4 se presenta la comparación de los controladores PID y NHTE. En la sección 5.5 se expone el resumen final del presente capítulo.



5.1 Seguimiento del controlador PID

5.1.1 Controlador convencional PID

En la sección 4.2 se describe el uso del controlador PID para adquirir datos de entrenamiento que se utilizan para sintonizar los parámetros de la lógica difusa (pesos, bases y centros). En la presente sección se expone el seguimiento del controlador convencional PID con propósitos de comparación con los controladores NHTE desacoplados y acoplados con base en los índices de error ISE e IAE. Durante las corridas con las señales de consigna la articulación de la cintura y hombro se mueven al mismo tiempo mientras que el codo permanece fijo.

El controlador convencional PID se usó en este trabajo para compararse, con base en los índices de error ISE e IAE, con el control acoplado NHTE al usar dos señales de consigna. Para el hombro se usó la trayectoria LSPB y para la cintura la trayectoria LSPB y una señal sinusoidal modulada.

A continuación se muestra en las figuras 5.1 y 5.2 el seguimiento con el controlador PID para la cintura al usar la trayectoria LSPB en 3 seg.

El seguimiento de la cintura que se muestra en la figura 5.1 se corrió con consigna LSPB mientras que el hombro permaneció fijo a -90º, obteniendo a los 3 seg. un error

0.8300ISE = e 0.9991IAE = . El controlador PID también se corrió moviéndose simultáneamente la cintura y hombro bajo la consigna LSPB y en las figura 5.3 y 5.4 se muestra el comportamiento de este controlador.

Figura 5.1.- Seguimiento de la cintura con controlador PID y consigna LSPB.

Figura 5.2.- Error de seguimiento en la cintura con control PID.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Señal de referencia y señal real del controlador

Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

PID

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.83004IAE = 0.99915



El seguimiento bajo control PID de la señal LSPB de la figura 5.4 presenta un buen

desempeño, con un error en estado estacionario de 0.2465º− a un tiempo de 3 seg. e índices de error 0.8196ISE = e 1.0837IAE = . No hay diferencia apreciable entre estas corridas por el hecho de estar en movimiento el hombro en una de ellas.

En las gráficas 5.5 y 5.6 se muestra el seguimiento de la consigna en cintura bajo

control PID para una señal sinusoidal modulada cuya ecuación es:

sin(3 )sin(0.3 )20

y t tπ π π= (5.1)

Las respuestas que se muestran en las figuras 5.1, 5.3 y 5.5 se produjeron

controlando la articulación de la cintura con el control convencional PID. Durante la corrida de la figura 5.5 el hombro permaneció a una posición fija de -90º. El seguimiento

Figura 5.3.- Seguimiento de la cintura con controlador PID perturbado.

Figura 5.4.- Error de seguimiento en cintura con control PID perturbado.

Figura 5.5.- Seguimiento de la cintura con controlador PID y consigna sinusoidal.

Figura 5.6.- Error de seguimiento del control PID para una señal sinusoidal.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Señal de referencia y señal real del controlador en cintura

Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

PID

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.81968IAE = 1.0837

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 49.5667IAE = 10.4348

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

PID



bajo control PID de la señal sinusoidal que se muestra en la figura 5.5 presentó un defasamiento considerable de la posición de la cintura respecto a la consigna. Esta resultó ser la frecuencia de operación más alta posible bajo control PID, a esa amplitud. El error en estado estacionario a un tiempo de 3 seg. es de 4.1392− y los índices de error son

49.5667ISE = e 10.4348IAE = .

La consigna para el controlador PID que se aplicó en el hombro es la trayectoria LSPB y su comportamiento se muestra en las figuras 5.7 y 5.8.

El seguimiento de la consigna del controlador PID en hombro para una trayectoria

LSPB se muestra en las figuras 5.7 y 5.8. Esta corrida se realizó al tener la cintura sin movimiento mientras que el hombro seguía la trayectoria LSPB. El seguimiento de consigna que tiene el controlador PID para una señal LSPB a un tiempo de 3 seg. presenta un error en estado estable es de 0.1555º− e índices de error 0.7313ISE = e 1.1971IAE = .

5.2 Sintonización de controladores NHTE. Se adquirieron datos de entrenamiento usando el controlador PID para dos conjuntos de consignas: El primer conjunto se da por las ecuaciones (4.4) y (4.5), y el segundo por las ecuaciones (4.6) y (4.7). Las señales de entrenamiento tienen periodo de muestreo de 20 ms. y duración de 20 y 30 seg. respectivamente. Estos datos muestreados constan de tres señales: consigna, voltaje de entrada al motor y posición angular real de la articulación correspondiente. Los voltajes de entrada incluyen la zona muerta de los motores de la articulación de cintura y hombro del brazo robótico. Esta zona muerta previamente fue medida y sumada a la señal de salida del control PID.

En [8] se presentan los resultados de control NHTE desacoplado al controlar la articulación del hombro. En ese trabajo todos los resultados que se obtuvieron de los controladores desacoplados NHTE se sintonizaron incluyendo la zona muerta del motor.

Figura 5.7.- Seguimiento del controlador PID con consigna LSPB en hombro.

Figura 5.8.- Error de seguimiento del controlador PID en hombro con señal LSPB.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

PID

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.73135IAE = 1.1971



Sin embargo las funciones no lineales con una discontinuidad están fuera del alcance del NHTE. Como resultado, la aproximación difusa a la ley de evolución o transición de estados tiene un error grande en torno a la discontinuidad y el control presenta deficiencias.

En el presente trabajo se reportan los resultados de los controladores desacoplados y acoplados NHTE que se implementaron en las articulaciones de cintura y hombro. A los datos de entrenamiento que se usaron para la sintonización de los parámetros difusos (pesos, bases y centros) en estos controladores, se les quitó la zona muerta del motor de cada articulación, una constante de 85± cuentas digitales (8 volts). Al igual que en el controlador PID, esta zona muerta se suma posteriormente a la salida del controlador NHTE. La zona muerta en cuestión se ilustra en las figuras 5.9 y 5.10.

La sintonización de los controladores NHTE para los datos de entrenamiento

generados por las ecuaciones (4.4) y (4.5) que se implementaron en hombro se muestran en las tablas 5.2 y 5.4 y el significado de los encabezados de las columnas son:

EE Número máximo de épocas que fue entrenado el controlador difuso NHTE. EMEE Error cuadrático medio a la mejor época de entrenamiento. ESSE Número de figura en que se muestra el error de seguimiento a la señal de

entrenamiento. GC Gráfica de respuesta en tiempo de la articulación del brazo robótico. I Señala si el controlador fue o no implementado en el brazo. IAE Índice de desempeño de la integral de los errores absolutos del seguimiento a la

señal LSPB. ISE Índice de desempeño de la integral de los errores al cuadrado del seguimiento a

la señal LSPB. MEE Mejor época de entrenamiento. NCD1 Número de conjuntos difusos del antecedente uno. NCD2 Número de conjuntos difusos del antecedente dos. NCD3 Número de conjuntos difusos del antecedente tres.

Figura 5.9.- Datos de entrenamiento con zona muerta.

Figura 5.10.- Datos de entrenamiento sin zona muerta.

volta

je

velocidad angular

velocidad angular

volta

je



5.2.1 Sintonización de controladores desacoplados

5.2.1.1 Proceso de entrenamiento Los datos de entrenamiento se adquirieron durante las corridas con un periodo de muestreo de 20 ms y fueron: la consigna, señal de entrada (voltaje de la articulación) y señal de salida (posición angular de la articulación).

Con base en estos datos de entrenamiento se generaron los archivos para hacer la

sintonización de los controladores mediante el método de GD. Para conocer el error en cada articulación se tomó la diferencia entre la posición real siguiente y la actual, la velocidad angular se calculó como la diferencia de la posición real actual y la real anterior, dividida por el periodo de muestreo T (20 ms).

5.2.1.2 Sintonización de controladores desacoplados de dos antecedentes aplicados en cintura En la tabla 5.1 se presenta la sintonización de los controladores desacoplados de dos antecedentes que se implementaron en la cintura al usar los datos de entrenamiento que se generaron con el controlador PID bajo una señal de consigna dada por las ecuaciones (4.6) y (4.7) (segundo conjunto de datos). Por el pobre desempeño en el seguimiento de la señal de consigna y el error en estado estable que tuvieron los controladores desacoplados de tres antecedentes implementados inicialmente en el hombro, no se diseñaron para la articulación de la cintura.

El esquema de control de los controladores desacoplados de dos antecedentes se

muestra en la figura 4.3 y se tienen como antecedentes el error cintura ( ce ), velocidad

angular ( cq•

) en cintura y como consecuente el voltaje ( cU ) en esta articulación.

Tabla 5.1.- Sintonización de los controladores desacoplados de dos antecedentes en cintura con el segundo conjunto de datos de entrenamiento.

NCD1 NCD2 EE MEE EMEE I GC ESSE ISE IAE 2 2 1000 1000 3.08573 x 0.272 0.760 2 3 1000 1000 2.10655 x 5.11 5.12 0.1158 0.4783 3 2 1000 1000 2.09717 x 5.13 5.14 0.1273 0.5008 3 3 1000 1000 1.86724 x 0.130 0.496 3 4 1000 1000 2.15855 x 0.145 0.528 4 3 1000 1000 1.90825 x 0.151 0.564 4 4 1000 1000 2.14297 x 11.407 5.647 4 5 1000 1000 1.91409 x 0.182 0.578 5 4 1000 1000 2.39303 x 0.180 0.609 5 5 1000 1000 1.97417 x 0.151 0.522

La señal de entrenamiento que se usó en la sintonización consta de 1498 datos, es decir casi 30 segundos. Estos datos se sintonizaron con la herramienta que se presenta en [3, 4]. La época máxima de entrenamiento se seleccionó con base en la velocidad de convergencia del error RMS.



5.2.1.3 Sintonización de controladores desacoplados de dos antecedentes aplicados en hombro En la tabla 5.2 se presenta la sintonización de los controladores desacoplados en el hombro al utilizar el primer conjunto de datos de entrenamiento. El esquema de control de los controladores desacoplados de dos antecedentes en hombro se muestra en la figura 4.4 y se

tiene como antecedentes el error en hombro ( he ), velocidad angular ( hq•

) en hombro y como consecuente el voltaje ( hU ) en esta articulación.

Tabla 5.2.- Sintonización de los controladores desacoplados de dos antecedentes en hombro con el primer conjunto de datos de entrenamiento.

NCD1 NCD2 EE MEE EMEE I GC ESSE ISE IAE 2 2 200 200 0.85229 2 3 200 200 0.68480 3 2 200 200 0.63278 3 3 200 200 0.56698 x 5.15 5.16 0.5653 1.2255 3 4 200 200 0.59557 x 0.464 1.107 4 3 200 200 0.53634 x 5.17 5.18 0.2820 0.8139 4 4 200 200 0.57557 x 0.282 0.822 4 5 200 200 0.54740 5 4 200 193 0.49274 5 5 200 200 0.56403

Se usaron 998 datos de entrenamiento para la sintonizar los parámetros difusos que se muestran en la tabla 5.2. En la tabla 5.3 se presenta la sintonización de los controladores desacoplados en hombro al utilizar los datos de entrenamiento que genera el controlador PID bajo una consigna en cintura y hombro dada por las ecuaciones (4.6) y (4.7) (segundo conjunto de datos de entrenamiento).

Tabla 5.3.- Sintonización de controladores desacoplados de dos antecedentes en hombro con el segundo conjunto de datos de entrenamiento.

NCD1 NCD2 EE MEE EMEE I GC ESSE ISE IAE 2 2 1000 1000 0.98100 2 3 1000 1000 0.62571 3 2 1000 1000 0.61509 3 3 1000 1000 0.54882 x 5.19 5.20 0.0438 0.2896 3 4 1000 995 0.50635 x 0.082 0.381 4 3 1000 1000 0.54339 x 5.21 5.22 0.0609 0.3397 4 4 1000 988 0.52780 x 0.067 0.339 4 5 1000 1000 0.56416 5 4 1000 990 0.51109 5 5 1000 1000 0.55721

Al igual que para la cintura, este segundo conjunto de entrenamiento contiene 1498 datos.



El número máximo de épocas de entrenamiento para los datos que se muestrearon de señal de consigna dadas por las ecuaciones 4.6 y 4.7 se muestra en la tabla 5.3 y es de 1000 épocas. El número de épocas adicionales que se requirió para la sintonización de los conjuntos difusos de la tabla 5.3 es de 800 épocas respecto a la tabla 5.2. Esto se debió al mayor número de datos de entrenamiento que se tiene en la tabla 5.3 y a una mayor información de la dinámica interna del robot tipo PUMA.

5.2.1.4 Sintonización de controladores desacoplados de tres antecedentes aplicados en hombro En la tabla 5.4 se muestran las sintonizaciones que se utilizaron para el controlador de tres antecedentes, ordenados por el número de conjuntos difusos. Los datos que se utilizaron son la respuesta de la planta bajo control PID al tener como consigna la primera señal de entrenamiento dada por las ecuaciones (4.4) y (4.5). El esquema de control desacoplado de tres antecedentes en hombro se muestra en la figura 4.5 donde se tienen como antecedentes

el error del hombro ( he ), la velocidad angular del hombro ( hq•

), la posición real ( hq ) del hombro y como consecuente el voltaje ( hU ) en esta articulación.

Tabla 5.4.- Sintonización de controladores desacoplados de tres antecedentes en hombro con el primer conjunto de datos de entrenamiento. NCD1 NCD2 NCD3 EE MEE EMEE I GC ESSE ISE IAE

2 2 2 200 200 0.57053 x 5.23 5.24 2.5635 2.5554 2 2 3 200 200 0.58171 2 3 2 200 200 0.47681 x 5.25 5.26 2.8119 2.6227 2 3 3 200 200 0.74204 3 2 2 200 200 0.43741 x 3.789 3.110 3 2 3 200 200 0.57045 3 3 2 200 200 0.39343 x 4.549 3.424 3 3 3 200 200 0.56031 x 1.896 2.325 4 2 2 200 200 0.49350 4 3 2 200 200 0.46266 3 4 2 200 199 0.33521 x 8831.495 150.379

El primer conjunto de entrenamiento consta de 998 datos. Los controladores que se

muestran implementados en la tabla 5.4 son los que presentaron menores índices de error. Por limitaciones de espacio y tiempo, se eligieron los dos mejores controladores para su análisis detallado.

En la tabla 5.5 se muestran las sintonizaciones para diferentes combinaciones de

conjuntos difusos en los controladores desacoplados NHTE de tres antecedentes que se aplicaron en la articulación del hombro. Los datos de entrenamiento que se utilizaron en la presente tabla se obtuvieron del conjunto de las segundas señales de entrenamiento dadas por las ecuaciones (4.6) y (4.7).



Tabla 5.5.- Sintonización de controladores desacoplados de tres antecedentes en hombro con el segundo conjunto de datos de entrenamiento.

NCD1 NCD2 NCD3 EE MEE EMEE I GC ESSE ISE IAE 2 2 2 1000 1000 0.89805 x 5.27 5.28 0.2882 0.8162 2 2 3 1000 1000 0.76197 2 3 2 1000 1000 0.74030 x 5.29 5.30 0.2032 0.6729 2 3 3 1000 1000 0.81523 3 2 2 1000 1000 0.63001 x 0.897 1.533 3 2 3 1000 1000 0.59563 3 3 2 1000 734 0.51654 x 0.803 1.470 3 3 3 1000 342 0.57284 x 0.792 1.492 4 2 2 1000 740 1.00716 4 3 2 1000 373 0.89858 3 4 2 1000 999 0.51691 x 0.739 1.339

El número de datos que se usaron en la sintonización en la tabla 5.5 es de 1498. Los

controladores que se muestran implementados en esta tabla son los que presentaron menores índices de error. Por limitaciones de espacio y tiempo, se eligieron los dos mejores controladores para su análisis detallado.

5.2.1.5 Sintonización de controladores acoplados aplicados en cintura En la tabla 5.6 se muestran las sintonizaciones y los respectivos errores de sintonización de la articulación de la cintura con la segunda señal de entrenamiento dada por las ecuaciones (4.6) y (4.7). De los controladores implementados se eligieron dos para su análisis detallado (NHTE 232 y NHTE 322), tanto por su menor error de sintonización como por ser evidente su aprovechamiento de la señal de perturbación. En los otros controladores no se observó diferencia entre los casos perturbados y no perturbados.

Tabla 5.6. Sintonización del control acoplado en cintura con el segundo conjunto de datos de entrenamiento.

NCD1 NCD2 NCD3 EE MEE EMEE I GC ESSE ISE IAE 2 2 2 2000 2000 3.18411 2 2 3 2000 2000 3.00950 x 0.383 0.908 2 3 2 2000 2000 2.03640 x 5.31 5.32 0.1592 0.5667 2 3 3 2000 2000 2.00573 3 2 2 2000 1997 2.56763 x 5.33 5.34 0.1265 0.4852 3 2 3 2000 1999 3.46709 3 3 2 2000 1008 1.86201 3 3 3 2000 1740 1.90945 x 0.213 0.650 4 2 2 2000 2000 3.12037 4 3 2 2000 1987 2.14350 x 0.186 0.587 3 4 2 2000 2000 2.06389 x 0.211 0.656

El número de datos de entrenamiento que se usaron en la sintonización en cintura y

hombro es de 1498 datos. En la tabla 5.7 se muestra la sintonización de los controladores difusos NHTE

acoplados para la articulación del hombro.



Tabla 5.7. Sintonización del control acoplado en hombro con el segundo conjunto de datos de entrenamiento.

NCD1 NCD2 NCD3 EE MEE EMEE I GC ESSE ISE IAE 2 2 2 1000 1000 0.96375 2 2 3 1000 1000 0.96854 2 3 2 1000 1000 0.83581 x 5.43 5.44 0.7293 1.4159 2 3 3 1000 1000 0.83410 3 2 2 1000 1000 0.63819 x 5.45 5.46 0.2891 0.8502 3 2 3 1000 1000 0.60388 3 3 2 1000 786 0.56759 3 3 3 1000 961 0.53869 x 0.210 0.725 4 2 2 1000 545 0.93985 4 3 2 1000 1000 0.82187 3 4 2 1000 991 0.52900 En la tabla 5.6 se muestran los índices de error cuando en la cintura se tiene como

consigna una LSPB mientras que el hombro permaneció fijo a -90º. A estos controladores se les proporciona la información correcta de las variables de entado a la entrada del controlador (error cintura, velocidad angular cintura y posición real del hombro).

En la tabla 5.7 se muestran los índices de error cuando en el hombro se tiene como consigna una LSPB mientras que la cintura permaneció fija a 0º. A estos controladores acoplados se les proporciona la información correcta de las variables de entado a la entrada del controlador del hombro (error hombro, velocidad angular del hombro y velocidad angular de la cintura).



5.3 Resultados de los controladores NHTE

5.3.1 Controladores desacoplados NHTE

5.3.1.1 Control desacoplado de dos antecedentes en cintura En las siguientes gráficas se presenta la consigna, la respuesta y el error de la cintura usando controladores desacoplados NHTE 23 y 32 (ver tabla 5.1).

En las gráficas 5.13 y 5.14 se muestra el seguimiento del controlador NHTE 32 desacoplado y el error de este.

Las corridas de las gráficas 5.11 y 5.13 se realizaron al tener en cintura una señal

LSPB y en el hombro en una posición fija de -90º. El controlador NHTE 23 presenta un error en estado estable de 0.1635º a un tiempo de 3 seg. e índices ISE e IAE mostrados en

Figura 5.11.-Respuesta de la cintura bajo control NHTE 23 con una señal LSPB como consigna.


Figura 5.13.-Respuesta de la cintura bajo control NHTE 32 con una señal LSPB como consigna.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.11581IAE = 0.47838

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 23

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

PID

NHTE 32

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.12736IAE = 0.50088



la tabla 5.1. El controlador NHTE 32 presenta un error en estado estable de 0.3002º a una tiempo de 3 seg. e índices de error mostrados en la tabla 5.1.

5.3.1.2 Control desacoplado de dos antecedentes en hombro En las gráficas 5.15 y 5.16 se muestra el comportamiento del controlador desacoplado NHTE 33 al sintonizarlo con el primer conjunto de datos de entrenamiento.

En las gráficas 5.17 y 5.18 se muestra el comportamiento del controlador

desacoplado NHTE 43 al sintonizarlo con el primer conjunto de datos de entrenamiento.

Figura 5.15.-Respuesta del hombro bajo control NHTE 33, consigna LSPB y bajo el 1er conjunto

de entrenamiento.

Figura 5.16.-Error en hombro bajo control NHTE 33, consigna LSPB y bajo el 1er conjunto de

entrenamiento.

Figura 5.17.- Respuesta del hombro bajo control NHTE 43, consigna LSPB y bajo el 1er conjunto

de entrenamiento.

Figura 5.18.- Error en hombro bajo control NHTE 43, consigna LSPB y bajo el 1er conjunto de

entrenamiento.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 33

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.56534IAE = 1.2255

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

PID

NHTE 43

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.28203IAE = 0.8139



Las corridas de los controladores NHTE 33 y 43 se realizaron teniendo la cintura a una posición fija, mientras que el hombro seguía la consigna LSPB. El controlador NHTE 33 presenta un error en estado estable de 0.6028º a un tiempo de 3 seg. El controlador NHTE 43 obtuvo un error en estado estable de 0.4466º a un tiempo de 3 seg. Los índices de error se reportan en la tabla 5.2. En las gráficas 5.19 y 5.20 se muestra el comportamiento del controlador desacoplado NHTE 33 al sintonizarlo con el segundo conjunto de datos de entrenamiento.

En las gráficas 5.21 y 5.22 se muestra el comportamiento del controlador

desacoplado NHTE 43 al sintonizarlo con el segundo conjunto de datos de entrenamiento.

Figura 5.19.-Respuesta del hombro bajo control NHTE 33 con una señal LSPB como consigna y

2do conjunto de entrenamiento.

Figura 5.20.-Error en hombro bajo control NHTE 33 con una señal LSPB como consigna y 2do conjunto

de entrenamiento.



Figura 5.22.-Error en hombro bajo control NHTE 43 con una señal LSPB como consigna y 2do conjunto

de entrenamiento.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 33

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.043843IAE = 0.2896

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

PID

NHTE 43

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.060942IAE = 0.33978



Las corridas de los controladores que se muestran en las figuras 5.19 y 5.21 se realizaron teniendo la cintura en una posición fija, mientras que el hombro seguía la consigna LSPB. El controlador NHTE 33 presenta un error en estado estable de 0.0951º a un tiempo de 3 seg. El controlador NHTE 43 presenta un error en estado estable de 0.2123º a un tiempo de 3 seg. Los índices de error se reportan en la tabla 5.3.

El controlador NHTE 33 revela en las figuras 5.16 y 5.20 la importancia del

segundo conjunto de datos de entrenamiento donde se obtuvo un mejor seguimiento de la señal de referencia e índices de error menores que se muestran en las tablas 5.2 y 5.3.

5.3.1.3 Control desacoplado de tres antecedentes en hombro En las gráficas 5.23 y 5.24 se muestra el comportamiento del controlador desacoplado NHTE 222 al sintonizarlo con el primer conjunto de datos de entrenamiento.

En las figuras 5.25 y 5.26 se muestra el comportamiento de controlador inteligente

NHTE 232 desacoplado en hombro al sintonizarlo con el primer conjunto de datos de entrenamiento.


1er conjunto de entrenamiento.

Figura 5.24.-Error en hombro bajo control NHTE 222 con una señal LSPB como consigna y 1er

conjunto de entrenamiento.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 222

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 2.5635IAE = 2.5554



Los controladores desacoplados NHTE 222 y 232 se corrieron teniendo en el hombro una señal de consigna LSPB, mientras se mantuvo la cintura fija. El controlador NHTE 222 presentó un error en estado estable de 1.3350º a los 3 seg. El controlador NHTE 232 presentó un error en estado estable de 1.6084º a los 3 seg. Los índices de error se reportan en la tabla 5.4 En las figuras 5.27 y 5.28 se muestra el controlador NHTE de tres antecedentes cuando se tiene como señal de consigna la LSPB. El controlador se sintonizó con los datos de la segunda señal de entrenamiento que se muestran en la tabla 5.5.


1er conjunto de entrenamiento.

Figura 5.26.-Error en hombro bajo control NHTE 232 con una señal LSPB como consigna y 1er




Figura 5.28.-Error en hombro bajo control NHTE 222 con una señal LSPB como consigna y 2do


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 2.8119IAE = 2.6227

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 222

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.2882IAE = 0.81629



En las figuras 5.29 y 5.30 se muestra el controlador NHTE desacoplado de tres antecedentes en hombro cuando tiene como señal de consigna la LSPB.

Los controladores desacoplados NHTE 222 y 232 se corrieron al tener en el hombro

una señal de consigna LSPB, mientras se mantuvo la cintura fija. El controlador NHTE 222 presentó un error en estado estable de 0.6516º a los 3 seg. El controlador NHTE 232 presentó un error en estado estable de 0.5149º. Los índices de error se reportan en la tabla 5.5 En los controladores desacoplados NHTE 222 y 232 que se muestran en las figuras 5.24, 5.26, 5.8 y 5.30 se evidencia la importancia del segundo conjunto de datos de entrenamiento. En estos controladores, el tercer antecedente tiene como objetivo devolver la no linealidad al controlador y por lo tanto elimina mejor el efecto de la gravedad. Estos controladores tienen como característica que al aumentar una dimensión se necesita un número menor de conjuntos difusos para obtener las relaciones entre las variables de entrada y salida del controlador.

5.3.2 Controlador acoplado NHTE En la adquisición de datos para la sintonización de los controladores acoplados es crucial adquirir datos de entrenamiento que contengan información completa y precisa de la dinámica, incluyendo las perturbaciones de unas componentes del estado sobre otras, en el presente caso el brazo robótico tipo PUMA. Sólo el segundo conjunto de datos de entrenamiento se aproxima a esta condición. Todos los controladores acoplados fueron sintonizados con el segundo conjunto de datos de entrenamiento. En la presente sección se exponen las corridas de los controladores NHTE 232, 322. Se realizaron tres corridas para cada uno, bajo condiciones diferentes para verificar que cada



Figura 5.30.-Error en hombro bajo control NHTE 232 con una señal LSPB como consigna y 2do


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.20329IAE = 0.6729



controlador estuviera tomando en cuenta las perturbaciones en su acción de control. Estas condiciones variaron entre los controladores acoplados en la cintura y el hombro.

Las condiciones para la cintura se definieron de la siguiente manera:

1. La primer corrida en la cintura se realizó siguiendo una consigna LSPB y teniendo el hombro una consigna igual a 90 º− constante (mínimo momento de inercia) y proporcionando como realimentación las siguientes señales al controlador de cintura: error, velocidad cintura y posición hombro.

2. La segunda corrida en la cintura se realizó siguiendo una consigna LSPB y teniendo

el hombro una consigna LSPB de –90° a 0 º (máximo momento de inercia) y proporcionando como realimentación las siguientes señales al controlador de cintura: error, velocidad cintura y posición hombro.

3. La tercera corrida en la cintura se realizó siguiendo una consigna LSPB y teniendo

el hombro una consigna LSPB de 0° constante (máximo momento de inercia) y proporcionando como realimentación las siguientes señales al controlador de cintura: error, velocidad cintura y se alimenta una posición del hombro correspondiente a 90 º− , cuando en realidad la posición del hombro es de 0 º . Esta prueba se realizó para comprobar que el control acoplado sí está tomando en cuenta la perturbación del hombro.

Las condiciones para el hombro se establecieron de la siguiente forma:

1. La primera corrida en el hombro se realizó siguiendo una consigna LSPB, teniendo la cintura una posición fija, y proporcionando al controlador acoplado del hombro como señales: error, velocidad hombro y velocidad cintura.

2. La segunda corrida en el hombro se realizó siguiendo una consigna LSPB y

teniendo en cintura una consigna sinusoidal dada por la ecuación (5.2).En esta segunda corrida se utilizan las señales: error, velocidad hombro y velocidad cintura.

3. La tercera corrida en el hombro se realizó siguiendo una consigna LSPB y teniendo

en cintura una consigna sinusoidal dada por la ecuación (5.2). En los antecedentes del controlador acoplado del hombro se proporciona la información de posición y velocidad angular del hombro y se da como tercer antecedente una velocidad angular de la cintura igual a 0 grados/seg, cuando en realidad esta articulación tiene una velocidad específica debido a que se encuentra en movimiento.



5.3.2.1 Controlador acoplado NHTE en cintura En las figuras 5.31, 5.32, 5.33 y 5.34 se muestran el comportamiento de los controladores acoplados NHTE bajo la condición número 1 en cintura.

Controlador NHTE 232 con seguimiento LSPB.


El controlador NHTE 232 presenta un error en estado estable de 0.3294 º a los 3

segundos. El controlador NHTE 322 presenta un error en estado estable de 0.3197 º a los 3 segundos.

Figura 5.31.-Respuesta de la cintura bajo control NHTE 232 acoplado con una señal LSPB como

consigna y la 1er condición.

Figura 5.32.-Error en cintura bajo control NHTE 232 acoplado con una señal LSPB como consigna y la 1er

condición.


consigna y 1re condición.

Figura 5.34.-Error en cintura bajo control NHTE 322 acoplado con una señal LSPB como consigna y la

1er condición.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.5

0

0.5

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.15922IAE = 0.5667

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 322

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.12655IAE = 0.48526



Estos dos controladores acoplados pueden compararse contra los controladores PID ya que se corrieron bajo las mismas condiciones. Con base en los índices de error que se resumen en la tabla 5.11 se observa que bajo estas condiciones los controladores acoplados NHTE 232 y 322 presentan menores índices que el controlador PID.

En las figuras 5.35, 5.36, 5.37 y 5.38 se muestra el comportamiento de los controladores acoplados NHTE bajo la condición número 2 en cintura.




consigna y la 2da condición.

Figura 5.36.-Error en cintura bajo control NHTE 232 acoplado con una señal LSPB como consigna

y la 2da condición.





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.5

0

0.5

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.15314IAE = 0.55834

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 322

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(° )

ISE = 0.13683IAE = 0.52409



El controlador acoplado NHTE 232 presenta un error en estado estable de 0.3197 º a los 3 seg. El controlador acoplado NHTE 322 presenta un error en estado estable de 0.0756 º a los 3 seg. Se observa que los controladores inteligentes realizan un mejor control en la cintura que el control PID aún bajo la condición dos, que es más desfavorable.

En las figuras 5.39, 5.40, 5.41 y 5.42 se muestra el comportamiento de los controladores acoplados NHTE bajo la condición número 3 de cintura.




consigna y la 3ra condición.


y la 3ra condición.





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.5

0

0.5

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.414IAE = 0.88962

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 322

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.48015IAE = 0.97432



El controlador acoplado NHTE 232 presenta error a los 3 segundos de 0.3978º . El controlador acoplado NHTE 322 presenta un error en estado estable de 0.2904 º a los 3 segundos. Los índices de error se muestran en la tabla 5.11.

Los controladores acoplados NHTE 232 y 322 cuando se corren bajo la 3ra

condición (dando posición de hombro falsa al control de cintura) presentan mayores índices de error ISE e IAE que los arrojados por la 1ra y 2da condición como se ilustra en la tabla 5.11, demostrando que los controladores NHTE acoplados en cintura atenúan la perturbación que proporciona la articulación del hombro.

5.3.2.2 Controlador acoplado NHTE en hombro En esta sección se presenta el comportamiento de los controladores acoplados NHTE implementados en la articulación del hombro. En las figuras 5.43, 5.44, 5.45 y 5.46 se muestra el comportamiento de los controladores acoplados NHTE bajo la condición número 1 en hombro.

Controlador acoplado NHTE 232 con seguimiento LSPB.

Figura 5.43.-Respuesta del hombro bajo control NHTE 232 acoplado con una señal LSPB como


Figura 5.44.-Error en el hombro bajo control NHTE 232 acoplado con una señal LSPB como consigna


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.7293IAE = 1.4159




El controlador acoplado en hombro NHTE 232 presenta un error a los 3 segundos de

0.5833º . El controlador acoplado en hombro NHTE 322 presenta un error a los 3 segundos de 0.5345º . Los controladores acoplados NHTE 232 y 322 en hombro se corrieron bajo las mismas condiciones que el controlador PID. En la tabla 5.12 se puede observar que el controlador NHTE 322 presenta menores índices de error que el controlador PID, mientras que el controlador NHTE 232 presenta mayores índices de error que el controlador convencional.

En las figuras 5.47, 5.48, 5.49 y 5.50 se muestra el comportamiento de los controladores acoplados NHTE bajo la condición número 2 en hombro.










0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 322

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.28914IAE = 0.85023

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.80089IAE = 1.4717




El controlador acoplado en el hombro NHTE 232 obtuvo un error a los 3 segundos

de 0.6711º . El controlador acoplado en el hombro NHTE 322 presenta un error a los 3 segundos de 0.5735º .

De este caso no se tiene experimento equivalente con control PID, porque dicho

controlador no era capaz de seguir la consigna sinusoidal de alta frecuencia en cintura para perturbar la articulación del hombro.

En las figuras 5.51, 5.52, 5.53 y 5.54 se muestra el comportamiento de los

controladores acoplados NHTE bajo la condición número 3 en hombro.










0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 322

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.43365IAE = 0.96235

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.81118IAE = 1.4608




El controlador acoplado NHTE 232 en hombro presenta un error a los 3 segundos de 0.7200 º . El controlador acoplado NHTE 322 presenta un error de 0.5735º .

Los índices de error se resumen en la tabla 5.12 y se observa que el controlador

NHTE 232 no quedó bien sintonizado ya que su error es siempre grande, y el controlador NHTE 322, aunque tampoco tiene una muy buena sintonización, da evidencia de aprovechar la información de la perturbación.

5.3.2.3 Generalización de controlador NHTE Dado que todas las señales que se usaron en los conjuntos de datos de entrenamiento son sinusoidales, el control de la trayectoria LSPB es una demostración de la capacidad de generalización de este control de lógica difusa autosintonizada. En esta sección se presenta el comportamiento de los controladores NHTE 232 y 322 aplicados en la cintura cuando se tienen trayectorias sinusoidales moduladas de diferentes amplitudes y frecuencias que las del conjunto de entrenamiento. Los controladores acoplados NHTE en cintura cuyos comportamientos se muestran en las figuras 5.55, 5.57, 5.59 y 5.61 se corrieron teniendo la articulación del hombro una posición fija de -90º mientras que la cintura sigue la señal de consigna sinusoidal con frecuencia de 3π y 5π . Durante las corridas de los controladores inteligentes en cintura se proporcionaron las siguientes variables de estado a la entrada del controlador NHTE (error cintura, velocidad angular cintura y posición real hombro).





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 322

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.447IAE = 0.99091



A continuación se presentan los resultados de los controladores acoplados NHTE 232 y 322 al tener como señal de referencia la ecuación (5.1).

Controlador NHTE 232

Controlador NHTE 322

El controlador NHTE 232, al tener como consigna la señal sinusoidal dada por la

ecuación (5.1), presenta un error de 0.0975º− a los 3 segundos. El controlador NHTE 322, al tener como consigna la señal sinusoidal dada por la ecuación (5.1), presenta un error de

0.2146 º− a los 3 segundos. Los índices de error se resumen en la tabla 5.13 y se observa que los controladores inteligentes NHTE 232 y 322 presentan menores índices que el controlador convencional PID.


frecuencia de 3π como consigna.

Figura 5.56.-Error en cintura bajo control NHTE 232 con una señal sinusoidal con frecuencia de

3π como consigna.




3π como consigna.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-15

-10

-5

0

5

10

15Señal de referencia y señal real del controlador

Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0

0.5

1

Señal de error

Tiempo (seg)er

ror(

°)

ISE = 0.47224IAE = 0.92419

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-15

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 322

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0

0.5

1

Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 0.75145IAE = 1.1699



Además de la señal sinusoidal dada por la ecuación (5.1) también se implementó una señal de mayor frecuencia y menor amplitud. Esta señal se representa por la ecuación siguiente:

(5 ) (0.3 )24

y sen t sen tπ π π= (5.2)

El controlador PID no pudo seguir esta señal de referencia en todo el trayecto. Sin

embargo los controladores NHTE lograron seguir esta referencia y los resultados se muestran en las gráficas 5.59 y 5.61.

Controlador acoplado NHTE 232

Controlador acoplado NHTE 322




5π como consigna.




5π como consigna.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-15

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 232

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 1.8939IAE = 1.9415

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-15

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

posi

cion

(°)

Referencia

NHTE 322

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Señal de error

Tiempo (seg)

erro

r(°)

ISE = 4.0763

IAE = 2.6532



El controlador acoplado NHTE 232 logra seguir la señal de referencia de la ecuación (5.2), a diferencia del controlador PID que no logra seguir esta consigna. El error que se alcanzó a un tiempo de 3 seg. es de 0.4883º . El controlador NHTE 322 presenta un error a los 3 seg. de 0.0392 º . Los índices de error se muestran en la tabla 5.14

5.4 Comparación de controladores En esta sección se presentan las comparaciones de los controladores NHTE desacoplados y acoplados contra el control PID, con base en los índices de error ISE e IAE.

5.4.1 Comparación de controladores desacoplados En la tabla 5.8 se muestra la comparación de los controladores desacoplados que se implementaron en cintura al sintonizar los controladores difusos con los datos generados por el PID al tener como consigna la segunda señal de entrenamiento dada por las ecuaciones (4.6) y (4.7). Esta corrida se realizó teniendo una consigna en cintura LSPB mientras que el hombro se mantuvo fijo a -90º. Tabla 5.8.- Comparación de errores en controladores desacoplados de dos antecedentes en cintura bajo consigna LSPB.

PID NHTE 23 NHTE 32 ISE IAE ISE IAE ISE IAE 2do conjunto de

datos de entrenamiento

0.8300 0.9991 0.1158 0.4783 0.1273 0.5008

Los controladores desacoplados NHTE 23 y 32 no se corrieron con el primer

conjunto de datos de entrenamiento ya que se conoció el pobre desempeño del primer conjunto de datos de entrenamiento al evaluarlo en la articulación del hombro.

En la tabla 5.8 se muestra que con base en los índices de error ISE e IAE los

controladores NHTE desacoplados 23 y 32 presentan menores índices que el controlador convencional PID.

En la tabla 5.9 se muestra la comparación de los controladores desacoplados de dos antecedentes que se implementaron en el hombro al sintonizar los controladores difusos con los datos generados por el PID al tener como consigna el primer y segundo conjunto de datos de entrenamiento dada por las ecuaciones (4.4), (4.5), y las (4.6) y (4.7) respectivamente. Esta corrida se realizó teniendo como consigna en hombro una LSPB, mientras que la cintura se mantuvo fija.



Tabla 5.9.- Comparación de errores en controladores desacoplados de dos antecedentes en hombro bajo consigna LSPB.

PID NHTE 33 NHTE 43 ISE IAE ISE IAE ISE IAE

1er conjunto de datos de

entrenamiento 0.7313 1.1971 0.5653 1.2255 0.2820 0.8139

2do conjunto de datos de

entrenamiento 0.7313 1.1971 0.0438 0.2896 0.0609 0.3397

En la tabla 5.9 se muestra que al tener una mejor información de la dinámica interna del robot tipo PUMA se mejora el comportamiento de los controladores desacoplados en hombro. Los índices de error ISE e IAE que se obtienen al sintonizar los controladores NHTE 33 y 43 con el segundo conjunto de datos de entrenamiento son menores que los que presenta el controlador convencional PID.

En la tabla 5.10 se presenta la comparación de los controladores desacoplados de tres antecedentes que se implementaron en el hombro al sintonizar los controladores difusos con los datos generados por el controlador PID al tener como consigna la primera y segunda señal de entrenamiento dada por las ecuaciones (4.4), (4.5), (4.6) y (4.7). Esta corrida se realizó teniendo en hombro una consigna LSPB, mientras que la cintura se mantuvo fija. Tabla 5.10.- Comparación de errores en controladores desacoplados de tres antecedentes en hombro bajo consigna LSPB.

PID NHTE 222 NHTE 232 ISE IAE ISE IAE ISE IAE 1er conjunto de

datos de entrenamiento

0.7313 1.1971 2.5635 2.5554 2.8119 2.6227

2do conjunto de datos de

entrenamiento 0.7313 1.1971 0.2882 0.8162 0.2032 0.6729

Los índices de error ISE e IAE que se presentan en la tabla 5.10 para los controladores desacoplados NHTE 222 y 232 al sintonizarlos con los datos generados por la segunda señal de entrenamiento son menores que los índices del controlador convencional PID. De las tablas 5.8, 5.9 y 5.10 se observa que los controladores desacoplados de dos antecedentes presentan menores índices de error que los de tres antecedentes. Esto se debe a que la sintonización de estos últimos controladores es más complicada. Debe tomarse en cuenta que sólo el hombro requiere un esfuerzo de control que depende de su posición, lo cual motiva el uso del tercer antecedente; en la cintura el efecto gravitacional es nulo.



5.4.2 Comparación de controladores acoplados En la tabla 5.11 se muestra la comparación de los controladores que se implementaron en la cintura al usar como señal de consigna la LSPB. La sintonización de estos controlares se realizó al tomar datos de entrenamiento cuando el controlador desacoplado PID tiene como señal de consigna la segunda señal de entrenamiento. La comparación de los controladores desacoplados PID se realiza con los controladores acoplados NHTE 232 y 322 bajo la condición 1, condición 2 y condición 3. Tabla 5.11.- Comparación de errores en controladores acoplados implementados en cintura con consigna LSPB.


Condición 1 0.8300 0.9991 0.1592 0.5667 0.1265 0.4852 Condición 2 - - 0.1531 0.5583 0.1368 0.5240 Condición 3 0.8196 1.0837 0.4140 0.8896 0.4801 0.9743

En la tabla 5.11 se muestra que con base a los índices de error, los controladores inteligentes acoplados NHTE 232 y 322 aplicados en cintura presentan menores índices de error ISE e IAE que el controlador desacoplado PID para la señal de consigna LSPB. Al comparar los errores bajo condición 3 con los de condición 1 y 2, se observa que los controladores acoplados en cintura logran atenuar la perturbación que produce el hombro.

En la tabla 5.12 se presentan las comparaciones de los controladores acoplados NHTE y el controlador desacoplado PID que se implementaron en el hombro al usar como consigna la señal LSPB. Tabla 5.12.- Comparación de errores en controladores acoplados implementados en hombro bajo consigna LSPB.


Condición 1 0.7313 1.1971 0.7293 1.4159 0.2891 0.8502 Condición 2 - - 0.8008 1.4717 0.4336 0.9623 Condición 3 - - 0.8111 1.4608 0.4470 0.9909

En la tabla 5.12 se muestra que el control acoplado NHTE 322 presenta menores índices de error que el controlador desacoplado PID, y el controlador NHTE 232 presenta mayores índices de error que los dos anteriormente mencionados.

En la tabla 5.13 se presentan las comparaciones de los controladores acoplados

NHTE y PID que se implementaron en la cintura al usar como señal de consigna la señal sinusoidal de 3 /rad segπ y una amplitud máxima de 8.69º y cuyos comportamientos se muestran en las figuras 5.55 y 5.7. El hombro se mantiene fijo a -90°, y a los controladores NHTE de cintura se les realimenta con las señales: error de cintura, velocidad angular de cintura y posición real del hombro.



Tabla 5.13.- Comparación de errores en controladores implementados en cintura con consigna sinusoidal de 5 ciclos/3 seg.


49.5667 10.4348 0.4722 0.9241 0.7514 1.1699

De la tabla 5.13 se muestra que los controladores inteligentes presentan un desempeño muy superior al controlador PID cuando se tienen consignas de alta frecuencia.

En la tabla 5.14 se presentan las comparaciones de los controladores acoplados

NHTE y el controlador desacoplado PID que se implementaron en la cintura al usar como señal de consigna una señal sinusoidal con una frecuencia de 5 /rad segπ y amplitud máxima de 7.5º cuyos comportamientos se muestran en las figuras 5.59 y 5.61. El hombro se mantiene fijo a -90°. En esta corrida el controlador PID no logra seguir la consigna de la señal sinusoidal modulada.

Tabla 5.14.- Comparación de controladores acoplados implementados en cintura con consigna sinusoidal de 8 ciclos/3 seg.


- - 1.8939 1.9415 4.0763 2.6532 En la tabla 5.14 se muestra que los controladores inteligentes aplicados en cintura NHTE 232 presentan menores índices de error que el NHTE 322 y que el controlador desacoplado PID no logra seguir la señal de consigna dada por la ecuación (5.2). En las tablas 5.13 y 5.14 se muestra que los controladores acoplados NHTE presentan notoriamente mejores desempeños para altas frecuencias que el controlador desacoplado PID.

5.5 Resumen En el presente capítulo se presentó el desempeño de los controladores desacoplados y acoplados NHTE con base a los índices de error ISE e IAE, que se implementaron en el robot tipo PUMA en las articulaciones de cintura y hombro. También se mostró que la riqueza de la dinámica interna de la planta que tengan los datos de entrenamiento es crucial para obtener una buena sintonización del controlador y a la vez un buen control de la planta mediante los controladores inteligentes NHTE desacoplado y acoplado. En el segundo conjunto de datos de entrenamiento se buscó incluir más combinaciones de valores de los estados de cintura y hombro, así como un mayor rango dinámico de esfuerzos de control. Se demostró que los controladores acoplados que se implementaron en hombro y cintura logran atenuar la perturbación para tener un mejor desempeño.



Finalmente se presenta una comparación de los controladores desacoplados, acoplados y PID.



Hoja en blanco



Capítulo 6

Conclusiones finales Introducción En la presente tesis se amplió la metodología de control inteligente mediante el Núcleo Híbrido de Transición de Estados (NHTE) al pasar de un esquema de control de múltiples entradas y una salida (MISO) a uno de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). En el brazo robótico se implementaron controladores inteligentes NHTE desacoplados y acoplados en las articulaciones de cintura y hombro. Los controladores inteligentes NHTE se compararon con un controlador convencional PID con base en los índices de error ISE e IAE. Además de utilizarse el PID para compararse con los controladores inteligentes también se utilizó para la adquisición de datos de entrenamiento con los que se sintonizaron los controladores NHTE. En este capítulo se presentan los comentarios finales del trabajo de investigación.



6.1 Objetivos cubiertos En el presente trabajo se alcanzaron los objetivos iniciales de esta investigación:

• Se amplió el esquema de control de la metodología NHTE pasando de MISO a MIMO.

• Se comparó el controlador inteligente autosintonizado NHTE contra un controlador

convencional PID con base en los índices de error ISE e IAE.

• Se incorporó información de dos eslabones del robot de tal manera que el controlador acoplado NHTE del hombro tome en cuenta el movimiento de la cintura y el controlador acoplado NHTE en cintura toma en cuenta el movimiento del hombro, en ambos casos atenuando la perturbación debida al movimiento del otro eslabón.

6.2 Controladores desacoplados Se comprobó que la riqueza de información de la dinámica interna del robot contenida en la señal de entrenamiento es crucial para realizar un buen control desacoplado como lo muestran las tablas 5.9 y 5.10. En éstas se observa que los índices de error obtenidos por los controladores entrenados usando la segunda señal son considerablemente menores que los obtenidos con la primera señal. De aquí se infiere que los resultados obtenidos por los primeros controladores no son representativos del desempeño que se obtiene con la metodología NHTE.

En la sintonización de los datos de entrenamiento se quitó la zona muerta del motor correspondiente y esto se debió a que la zona muerta viola el supuesto de que la función de transición de estados se puede aproximar mediante una función difusa. Se implementaron controladores desacoplados en cintura y hombro. Se observa una fuerte correlación entre error pequeño de sintonización y error pequeño de seguimiento (ISE). Sin embargo, no se cumple que el menor error de sintonización corresponda al mejor controlador durante el seguimiento. Esto también se cumple para los controladores acoplados. Los controladores desacoplados implementados en cintura y hombro tuvieron menores índices de error ISE e IAE que el controlador PID al tenerlos sintonizados con la segunda señal de entrenamiento.



6.3 Controladores acoplados El controlador NHTE desacoplado es ya de sí eficaz en la corrección de perturbaciones recibidas en un intervalo de muestreo, sin embargo, el control acoplado tiene el objetivo de atenuar estas perturbaciones, además de corregir el error residual en el intervalo de muestreo.

Se implementaron controladores acoplados en la articulación de la cintura y hombro y se demostró que estos controladores acoplados se pueden sintonizar.

Además se comprobó que los controladores acoplados sí aprovechan la información

de la perturbación de la articulación correspondiente para mejorar su desempeño. Sin embargo, dada la eficacia del controlador desacoplado para la eliminación de perturbaciones, el control acoplado sólo va a resultar ventajoso bajo condiciones de mucha interacción.

Al aumentar el número de antecedentes en los controladores NHTE desacoplados y

acoplados aumenta la complejidad y error de sintonización y disminuye el desempeño de los controladores.

Se demostró que la superioridad de los controladores inteligentes NHTE sobre el

PID es particularmente notoria para altas frecuencias ( 2π para cintura y 0.82π para hombro). Se comprueba que la calidad de los datos de entrenamiento es crucial para que los controladores acoplados logren atenuar las perturbaciones de las otras articulaciones. El diseño de las señales de consigna para obtener datos de entrenamiento con el PID, se realizó al tomar en cuenta sus limitaciones en el seguimiento de la consigna en cintura y hombro. Por la capacidad de los controladores NHTE presentan en el seguimiento de las señales de consigna se concluye que para mejorar el conjunto inicial de datos de entrenamiento se pueden emplear los controladores inteligentes aquí desarrollados.

6.4 Aportaciones

• Se mejoraron los controladores desacoplados desarrollados en la tesis anterior [8], principalmente mediante la eliminación en los datos de la zona muerta del motor.

• Se amplió el esquema de control del NHTE de MISO a MIMO en una brazo

robótico tipo PUMA de 3 GDL. • Se comprobó que el control acoplado logra aprovechar la señal de la perturbación

de la articulación correspondiente para mejorar su desempeño.



• Se mejoró la herramienta de sintonización [4], introduciendo un paso variable para reducir el error de sintonización.

• Se logró una mejor comprensión de cómo obtener una buena señal de

entrenamiento.

• Se adquirió conocimiento del espacio de diseño de controladores NHTE para el robot PUMA al sintonizar siempre algunos controladores más complejos y más sencillos que el óptimo.

• Se produjeron controladores NHTE que servirán para trabajos posteriores del robot

PUMA, así como para producir conjuntos de datos de entrenamiento aún más precisos que el segundo conjunto.

6.5 Trabajos Futuros

• Mejorar la interfase gráfica de los programas de control. • Reparar la tarjeta de la articulación del codo.

• Implementar un control acoplado NHTE considerando las interacciones de cintura,

hombro y codo.

• Obtener un mejor conjunto de datos de entrenamiento mediante el empleo del control NHTE como excitación.

• Comparar el control inteligente NHTE con otros métodos de control inteligente

sobre el robot PUMA.



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[12] Willems J. C. “Dissipative dynamical systems part I: general theory”. Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 45, 1972. [13] Willems J. C. “Controllability, observability, pole allocation and state reconstruction”. IEEE. Transactions on Automatic Control. December 1971. Vol. AC-16, No 6. [14] Canales R., Barrera R. “Análisis de sistemas dinámicos y control automático”. Editorial LIMUSA. México. 1980. [15] Fukumoto S., Miyajima H., Kishida K., Nagasawa Y. “A destructive method of fuzzy inference rules”. IEEE 1995. Pag. 687-694. [16] Bautista Q. R. “Manual de practicas de programación en lenguaje C para el control del robot scara”. CNAD. [17] Spong M., Vidyasagar M. “Robot dynamics and control”. Editorial John Wiley & Sons. 1989. [18] Barrientos A., Peñin L., Balaguer C., Aracil R. “Fundamentos de robótica”. Editorial Mc Graw Hill. 1999. [19] Microchip Technology inc., “PIC16F84A” data sheet. Agosto 2001, 88 p. [20] Philips Semiconductors, “74HC541 octal buffer/line driver, 3-state, inverting” data sheet, Diciembre 1990, 7 p. [21] National Semiconductor, “SG3524 regulating pulse width modulator” data sheet, Julio 2000, 10 p. [22] Fairchild Semiconductors, “74LCX14 low voltage hex inverter with 5V tolerant Schmitt trigger inputs” data sheet, Enero 2001, 8 p. [23] National Semiconductor, “LMD18200 H-Bridge” data sheet, Diciembre 1999, 13 p.



Anexo A

Manual de usuario El presente manual de usuario se desarrolla con base en la programación que se realizó en [4] para realizar la sintonización de datos de entrenamiento obtenidos de una planta al usar lógica difusa. La herramienta de sintonización se basa en el método de gradiente descendente propuesta en [3] e implementada en la herramienta computacional Matlab ®. En el presente trabajo se mejoró esta herramienta de sintonización al hacer que las constantes de aprendizaje (Ka, Kb y Kw) se ajustaran durante el proceso. A continuación se muestran los pasos a seguir para una correcta sintonización de los parámetros difusos al usar la herramienta propuesta en [4].

• El programa principal se encuentra en la carpeta “NOMUGLOB” donde se tienen los subprogramas de sintonización mediante el método de gradiente descendente. El programa principal es la rutina “NOMURA” donde a través de este se mandan llamar las subrutinas “NOMUGCON”, “NOMUINI”, “NOMUFUS”, “NOMUDEFU”, entre otras.

• Para sintonizar los datos de entrenamiento se usa el programa principal

“NOMURA” y se realiza de dos maneras:



Si en la ventana de trabajo de Matlab solamente se escribe NOMURA entonces se invoca al programa principal de sintonización y este sintoniza los últimos datos de entrenamiento con el último número de conjuntos difusos que se usaron. Para la segunda forma de sintonización se deberá cargar primeramente en el “WORKSPACE” de Matlab los datos de entrenamiento que se desean sintonizar, con la extensión “*.MAT”. Una forma de crear este archivo es en “EXCEL” de la paquetería de “OFFICE” con la extensión “*.XLS” y llamarlo desde el “WORKSPACE”, de esta manera Matlab convierte de forma automática el archivo que contiene datos de entrenamiento con la extensión .xls en uno .mat. Después de tener en el “WORKSPACE” los datos de entrenamiento se escribe en la ventana de trabajo de Matlab el nombre del programa principal, entre paréntesis el nombre de los datos de entrenamiento y el número de conjuntos difusos para cada antecedente. Durante el desarrollo del manual se explicará un ejemplo donde se tienen tres antecedentes y un consecuente con una sintonización de tres conjuntos difusos para cada antecedente.

“NOMURA (DATA, [3 3 3])”, de esta manera le indico a la herramienta de sintonización que tome los datos para sintonizar de “DATA” que se encuentra en el “WORKSPACE” y “[3 3 3]” indica que en los datos de entrenamiento se usarán 3 conjuntos difusos para la primer columna, 3 conjuntos difusos para la segunda columna y 3 conjuntos difusos para la tercer columna. Las primeras tres columnas son las entradas y la cuarta es la salida que se desea obtener de la sintonización final.

En el desarrollo de la tesis los antecedentes para el control acoplado NHTE 333, es decir, las tres primeras columnas fueron error del hombro, velocidad angular del hombro, velocidad angular de la cintura y en la cuarta columna, como consecuente el voltaje. • Si el programa principal se invoca con “NOMURA (DATA, [3 3 3])”

inmediatamente éste pregunta al usuario la forma en que se desea sintonizar los datos de entrenamiento “1 ESPACIADOS LINEALMENTE” ó “2 ESPACIADOS POR CANTIDAD IGUAL DE DATOS”. Durante el desarrollo de la tesis se utilizó la primera opción.

• Después de seleccionar el modo de sintonización, el programa principal

“NOMURA” muestra el número de datos de entrenamiento utilizados, el valor de las constantes de sintonización (Ka, Kb y Kw) y pide el número de épocas que el usuario desea entrenar al conjunto difuso. Por ejemplo:



• Al darle el número de épocas, el programa “NOMURA” empieza a sintonizar los datos de entrenamiento y solamente se detendrá cuando se cumpla el número de épocas de entrenamiento o que el error cuadrático medio sea menor al de default que tiene el programa (RMS = 0.0001).

• Cuando el programa se encuentra sintonizando no se puede detener el proceso al

menos que se cumplan las condiciones anteriormente señaladas.

• Una vez que se llegó a la época de entrenamiento que se desea, para salir del programa “NOMURA” se pone -1 en la ventana de trabajo de Matlab donde se muestran los siguientes parámetros:

i= 1 RMS(n):32.60434 Hasta que época hacer PAUSA (-1 Salir) ? 6 i= 2 RMS(n):25.10279 i= 3 RMS(n):18.11835 i= 4 RMS(n):12.42355 i= 5 RMS(n):8.23360 i= 6 RMS(n):5.42122 Hasta que época hacer PAUSA (-1 Salir) ? -1 PARAMETROS DE OPERACION Ka = 3.000 Kb = 3.000 Kw = 3.000 Wini = 0.500 No.Datos Trn = 1498 Mejor época 6 RMS:5.42122 NCONJ = 3 3 3

Asignando valor por omisión en parámetros Ka = 3.000 Kb = 3.000 Kw = 3.000 Wini = 0.500 INICIALIZANDO PARAMETROS No datos trn : 1498 ----- Etapa de aprendizaje ----- i= 1 RMS(n):32.60434 Hasta que época hacer PAUSA (-1 Salir) ?



• Aquí se muestra el número de épocas, el error medio cuadrático en la última época, los parámetros finales de las constantes de sintonización, la mejor época de entrenamiento y el número de conjuntos difusos que se utilizó en la adaptación de parámetros.

• Cuando se obtiene el error de sintonización que se desea, se llama desde la ventana

de trabajo de Matlab la subrutina “INOMURA”, con la que se coloca en área de “WORKSPACE” la información que el programa “NOMURA” generó de la adaptación final de los parámetros difusos (pesos, bases y centros).

• Los archivos que se generan tienen extensión “*.mat” y son los siguientes:

1. BCONJUNTO 2. BREGLA 3. EPSILON 4. LIMITES 5. NANTEC 6. NCONJ 7. NREGLAS 8. ans

• Los archivos importantes son 1, 2 y 4. Sus contenidos se explican a continuación. • BCONJUNTO: Este archivo tiene 5 columnas y el número de filas depende

directamente del número de reglas que se tenga del sistema difuso. En la primera columna se presentan los centros (ai) del sistema difuso al ser sintonizado. En la segunda columna se presenta las bases (bj) del sistema difuso al sintonizarse. En la tercera columna se presenta el grado de pertenencia para cada uno de los datos

de entrenamiento que se tienen de las entradas a sintonizar. En la cuarta y quinta columna se presentan los incrementos totales para cada uno de

los datos de entrenamiento en los centros (ai) y bases (bj) respectivamente a partir de las ecuaciones 2.15 y 2.16. Como se muestra en la figura A.1:



Figura A.1.- Archivo generado de centros y bases para un conjunto [3 3 3].

• BREGLA: En este archivo se presenta la información del número de reglas,

combinación de reglas y pesos finales de sintonización con los datos de entrenamiento que se encuentran en el “WORKSPACE”. El número de columnas depende del número de entradas a sintonizar. Por ejemplo donde se tiene 3 entradas y 3 conjuntos difusos en cada una ([3 3 3]), se presentan en las primeras tres columnas el conjunto de reglas y en la cuarta columna se tiene el peso final de sintonización (wk) para cada regla especifica. En la quinta columna se presenta el grado de disparo de cada regla y en la sexta columna se tiene los incrementos totales que aporta cada uno de los datos de entrenamiento calculados a partir de la ecuación 2.17. Como se muestra en la figura A.2.

Figura A.2.- Archivo de pesos generado para un conjunto [3 3 3].

En la fila uno se muestra la primera regla, la combinación correspondiente de

conjuntos difusos y su respectivo peso (w1,4). Los conjuntos de la combinación (1, 4, 7) se definen en las filas correspondientes de la figura A.1, donde se muestran sus centros y bases. En la fila dos se muestra la segunda regla, la combinación correspondiente de conjuntos difusos y su respectivo peso (w2,4). Los conjuntos de la combinación (2, 4, 7)



se definen en las filas correspondientes de la figura A.1, donde se muestran sus centros y bases. Y así para todas las filas.

• LIMITES: En este archivo se presentan lo límites máximos y mínimos de los datos

de entrenamiento. En la figura A.3 se muestran los límites para un conjunto de datos con tres antecedentes y un consecuente:

Figura A.3.- Archivo generado de limites para un conjunto [3 3 3].

De la figura 3, en la primera columna se muestran los límites mínimos de los datos

de entrenamiento y en la segunda columna se muestran los límites máximos. En la primera fila se presentan los límites mínimos y máximos de la primera columna de los datos de entrenamiento y así sucesivamente. Para el ejemplo, estos límites representan el mínimo y máximo del primer antecedente. En la última fila se presenta los límites mínimos y máximos del consecuente de los datos de entrenamiento, para el ejemplo, el consecuente es el voltaje.



Anexo B

Observabilidad y controlabilidad del robot PUMA

Una de las consideraciones de la metodología NHTE al utilizarla como controlador de planta inversa es que la planta a tratar (en esta tesis un robot PUMA) sea observable y controlable. A continuación se presenta el desarrollo para demostrar que la plataforma experimental goza de estos supuestos. La ecuación dinámica del sistema robótico se puede expresar como:

D q H Cτ••

= + + (B.1)

Donde τ es la matriz columna de pares motores efectivos, D es la matriz de inercias, H es la matriz de Coriolis y C es la matriz de gravedad. Para comprobar la observabilidad y controlabilidad se pondrá el modelo dinámico en variables de estado. Las variables de sistema serán las posiciones y velocidades de cada una de las articulaciones

por lo que el vector de estado de un sistema robótico es [ ]Tq q•

[18]. Rescribiendo la ecuación anterior se tiene:



D q H C D q Nτ τ•• ••

= + + ⇒ + = ⇒

1[ ]q D Nτ••

−= − (B.2) Donde N H C= + . El vector de estado de la ecuación (B.2) se puede representar como:

0 00 0

0 00 0

q qId uIdt q q

DondeI

A BI

• •

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1( )u D Nτ−= − (B.3) La representación dada por la ecuación (B.3) corresponde a una ecuación de estado

lineal [18]. La no linealidad del sistema se trasladó a la entrada u , como se puede apreciar en el diagrama a bloques de la figura B.1. Un sistema lineal es observable si la matriz [B, AB, A2B, etc.] es de rango completo [18].

Figura B.1.- Diagrama a bloques de la dinámica de un robot en espacio de estados. Donde para el robot tipo PUMA, las matrices de estado y entrada son:

0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1

A y B

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+

+B

u∫

A

1( )D Nτ− − τ

q

q•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



Y como salida:

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

y⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Al utilizar la herramienta computacional Matlab ® para conocer la controlabilidad del robot PUMA arroja que la matriz de controlabilidad es de rango completo (rango 6). La matriz de observabilidad del sistema robótico al ser evaluado en Matlab ® es de rango completo (rango 6). Con lo que se demuestra que el robot tipo PUMA es completamente controlable y observable.

En análisis propuesto en [18] se le anexa la no linealidad de la planta anexa a la

señal de entrada. En [8] se presenta la ecuación dinámica dada por la ecuación (B.1) en forma matricial de la siguiente manera:

11 12 1311 1 2 13

21 2 2 23 21 22 23

31 3 2 3331 32 33

( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

c c

h h

cod co

C q q C q q C q qq qM q M q M q

M q M q M q q C q q C q q C q q q

M q M q M q q qC q q C q q C q q

• • ••• •

•• • • • •

•• •• • •

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( )

( )

c c

h h

cod codd

g qg qg q

τττ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(B.4) Donde:

2 2 2 2 2 2 211

2 2

( ) ( )

2 ( ) ( )c cc c h c h ch h h cod h cod h h

cod h ccod h h cod cod ccod h cod cod

M q m l I m l m l sen q I m l m l sen q

m l l senq sen q q m l sen q q I

θ= + + + + + + + +

+ + + + +

12 ( ) h codM q I I= +

13 ( ) codM q I=

21( ) h codM q I I= + 2 2 2

22 ( ) 2 cosh ch h cod h cod ccod cod h ccod cod codM q m l I m l m l m l l q I= + + + + + 2

23( ) coscod ccod ccod h ccod cod codM q m l m l l q I= + +

31( ) codM q I= 2

32 ( ) coscod ccod cod h ccod cod codM q m l m l l q I= + + 2

33 ( ) cod ccod codM q m l I= +



2 211

2

( , ) ( ) cos( ) cos cos( )

( )cos ( )cos( )

cos( )

h ch h h cod h h h cod h ccod h h cod h

cod h ccod h cod h cod ccod cod cod h cod h

cod h ccod h h cod cod cc

C q q m l sen q q m l senq q m l l senq q q q

m l l sen q q q m l sen q q q q q

m l l senq q q m l

θ θ• •

•

⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + + +⎣ ⎦

+ + + 2 ( ) cos( )od h cod h cod codsen q q q q q•

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

2 212

2

( , ) ( ) cos( ) cos cos( )

( ) cos ( ) cos( )

h ch h h cod h h h cod h ccod h h cod c

cod h ccod h cod h cod ccod h cod h cod c



θ θ• •

•

⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦2

13( , ) cos( ) ( ) cos( )cod h ccod h h cod cod ccod h cod h cod cC q q m l l senq q q m l sen q q q q q• •

⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦

2 221

2

( , ) ( ) cos( ) cos cos( )

( ) cos ( ) cos( )

h ch h h cod h h h cod h ccod h h cod c

cod h ccod h cod h cod ccod h cod h cod c



θ θ• •

•

⎡ ⎤= − + + + + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− + + + +⎣ ⎦

[ ]22 ( , ) cod h ccod cod codC q q m l l senq q• •

= −

[ ]23 ( , ) ( )cod h ccod cod h codC q q m l l senq q q• • •

= − +

231( , ) cos( ) ( )cos( )cod h ccod h h cod cod ccod h cod h cod cC q q m l l senq q q m l sen q q q q q

• •⎡ ⎤= − + + + +⎣ ⎦

[ ]32 ( , ) cod h ccod cod hC q q m l l senq q• •

=

33( , ) 0C q q•

=

1( ) 0g q =

2 ( ) ( ) ( )h ch h cod h h cod ccod h codg q m l gsen q m l gsenq m l gsen q qθ= − + + + +

3 ( ) ( )cod ccod h codg q m l gsen q q= + De las ecuaciones (B.1) y (B.4) se tiene:

11 1 2 13

21 2 2 23

31 3 2 33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

M q M q M q

D M q M q M q

M q M q M q

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( , ) ( , ) ( , )( )

( , ) ( , ) ( , ) ( )( )

( , ) ( , ) ( , )

cc

hh

codcod

C q q C q q C q q q g qN C q q C q q C q q q g q

g qqC q q C q q C q q

• • • •

• • • •

•• • •

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦



Con las matrices anteriores se puede calcular la señal de control u con base en la ecuación

(B.3). Tomando como vector de estado para el sistema robótico T

c h cod c h codq q q q q q• • •⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦la

ecuación de estados tomará la forma:

c c

hh

cod ccod

hc

c cod

hh

codcod

q qqqq u

qA B uq

q uq

qq

q

•

•

•

•••

•••

•••

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

⎣ ⎦

La no linealidad de las señales de control para cada articulación se obtuvieron al resolver la ecuación (B.3) con la herramienta computacional Matlab ® al utilizar el comando para la operación de simbólicos (syms). syms m1 m2 m3 I1 I2 I3 l2 l3 lc1 lc2 lc3 t1 t2 tao1 tao2 tao3 real syms q1 q2 q3 q1_p q2_p q3_p q1_pp q2_pp q3_pp teta g real Esta declaración permite definir todas las matrices y vectores de la ecuación B.4, así como la ecuación B.3. Los últimos pasos son: D = inv(M); H = tao-N; u = D*H; j = simple(u); El resultado para cada articulación se muestra a continuación, donde se han sustituido los identificadores de variables aceptables por Matlab, por la tipografía empleada en el resto de este trabajo:



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h ch cod ccod h ch cod h cod ccod h cod cod h ccod cod h cod cod h ccod cod

2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod ccod h cod h ch h h ch cod ccod cod h ch cod ccod c cc cod h ccod

(m l m l +m l I +I m l +I I +m l l +m l I -m l l cos (q ))/

(m l sin (q +q )m l +I m l m l +I m l m l m l m l l cosc

u =

cod2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2

c cc h cod h c ch cod h c h cod cod h h ccod cod h h cod cod h h ccod cod h h cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4h h ch cod h cod h ccod h cod h cod cod h cod ccod cod cod h ccod h ch

(q )

+m l I I +m t l I +m t I I +m t I l +m t I I +m t l l +m t l I +

I m l I +I m l l +I m l I +I I m l +I m l l +m l sin2c cod

3 4 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2cod h h ccod cod h h cod cod ccod h cod h cod ccod h cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h c cc h ch cod ccod c cc h ch cod c cc h cod ccod c cc cod h ccod c cc co

(q + )I

+m l sin (q )l +m l sin (q )I +m l sin (q +q )I +m l sin (q +q )

l +m l m l m l +m l m l I +m l I m l +m l m l l +m l m

θ

2 2d h cod h

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c cc cod ccod h c h cod ccod h c cod h ccod h c cod h cod cod h h ch ccod cod h h ch

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2cod h c cod h ccod cod h ch c cod ccod h ch c h cod

l I +m

t l m l +m t I m l +m t m l l +m t m l I +m t m l l +m t m lI -m t m l l cos (q )+m l sin (q + )m l +m l sin (q + )I m lθ θ 2 2

ccod h ch2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c h cod h ch c cod h ccod h ch c cod h cod h ch c2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h ccod cod cod h h ccod cod cod h h h ch ccod cod

+m l

sin (q + )I I +m l sin (q + )m l l +m l sin (q + )m l I -m l sin (q + )

m l l cos (q )-m t l l cos (q )+m l sin (q )m l l +m

θ θ θ θ2 2 2h h h ch

2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 2 2 3cod cod h h h ccod cod h h h cod cod h h ccod cod cod h ccod

2 2 2 3h h cod h ch cod h ccod h h cod h ch cod cod h ccod

l sin (q )m l

I +m l sin (q )I l +m l sin (q )I I -m l sin (q )l cos (q )+2m l l

sin(q )sin(q +q )m l +2m l l sin(q )sin(q +q )m l I +2m l l hsin(q )3 3 3

h cod h cod h ccod h h cod h cod cod h ccod h h cod

2 3 3 3 3 2 2cod h ccod h h cod cod cod h ccod h h cod cod cod ccod

sin(q +q )I +2m l l sin(q )sin(q +q )I I +2m l l sin(q )sin(q +q )+2

m l l sin(q )sin(q +q )I -2m l l sin(q )sin(q +q )cos (q )+m l

2 2 2 2 2 2 2 2 3 4h cod h ch cod cod ccod h cod h cod cod ccod h cod h cod cod ccod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h cod h cod h cod h ccod cod cod cod h ccod cod h cod

sin (q +q )m l I +m l sin (q +q )I I +m l sin (q +q )l I -m l

sin (q +q )l cos (q )-I m l l cos (q )-I m l l cos (q )+2I m h ccod2 2

cod cod c h ch h h cod h h h cod h ccod h

2h cod cod h ccod h cod h cod ccod h cod h cpdh h

l l

cos(q )I )( -((m l sin(q + )cos(q + )+m l sin(q )cos(q )+m l l sin(q )

cos(q +q ))q +(m l l sin(q +q )cos(q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q +

τ θ θ• •

2 2cod h ccod h h cod cod ccod h cod h cod h chcod c

2h h cod h h h cod h ccod h h cod cod hc

ccod h

(m l l sin(q )cos(q +q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q )q -((m l

sin(q + )cos(q + )+m l sin(q )cos(q )+m l l sin(q )cos(q +q ))q +(m l

l sin(q +

θ θ

• •

•

2cod h cod ccod h cod h cod cod h ccod hc h

2 2h cod cod ccod h cod h cod h cod ccod h cod cod h ccodc cod

cod cod co

q )cos(q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q )q -(m l l sin(q )

cos(q +q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q q )-(I m l +I I -m l l

cos(q )I )/(m

• •

• •

2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2d ccod h cod h ch h h ch cod ccod cod h ch cod ccod c cc cod hl sin (q +q )m l +I m l m l +I m l m l -m l m l

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2ccod cod c cc h cod h c ch cod h c h cod cod h h ccod cod h h cod cod h h ccod

2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h h cod h h ch cod h cod h ccod h cod h cod cod h cod ccod co

l cos (q )+m l I I +m t l I +m t I I +m t I l +m t I I +m t l l +

m t l I +I m l I +I m l l +I m l I +I I m l +I 2 2 2 2 4d cod h ccod h ch

2 3 4 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4c cod cod h h ccod cod h h cod cod ccod h cod h cod ccod

2 2 2 2 2 2 2 2h cod h c cc h cc cod ccod c cc h cc cod c cc

m l l +m l

sin (q + )I +m l sin (q )l +m l sin (q )I +m l sin (q +q )I +m l

sin (q +q )l +m l m l m l +m l m l I +m l I

θ2 2 2 2 2 2

h cod ccod c cc cod h ccod c cc

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h cod h c ch cod ccod h c h cod ccod h c cod h ccod h c cod h cod cod h h ch

2 2 2 2 2 2 2ch cod h h ch cod h c cod h ccod

m l +m l m l l +m l

m l I +m t l m l +m t I m l +m t m l l +m t m l I +m t m l

l +m t m l I -m t m l l cos (q 2 4 2 2 2 2cod h ch c cod ccod h ch c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h cod ccod h ch c h cod h ch c cod h ccod h ch c cod h cod

)+m l sin (q + )m l +m l sin (q + )

I m l +m l sin (q + )I I +m l sin (q + )m l l +m l sin (q + )m l I

θ θ

θ θ θ



2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

h ch c cod h ccod cod cod h h ch cod cod h h h ch ccod cod2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2h h h ch cod cod h h h ccod cod h h h cod cod h

-m l sin (q + )m l l cos (q )-m t l l cos (q )+m l sin (q )m l l +m

l sin (q )m l I +m l sin (q )I l +m l sin (q )I I -m l sin (q

θ2

h ccod

2 2 3 2 2cod cod h ccod h h cod h ch cod h ccod h h cod h ch cod

2 3 3 3cod h ccod h h cod h cod h ccod h h cod h cod cod h

)l

cos (q )+2m l l sin(q )sin(q +q )m l +2m l l sin(q )sin(q +q )m l I

+2m l l sin(q )sin(q +q )I +2m l l sin(q )sin(q +q )I I +2m l 3ccod

2 3 3 3 3h h cod cod h ccod h h cod cod cod h ccod h h cod

2 2 2 2 2 2 2 2cod cod ccod h cod h ch cod cod ccod h cod h cod cod ccod

l

sin(q )sin(q +q )+2m l l sin(q )sin(q +q )I -2m l l sin(q )sin(q +q )

cos (q )+m l sin (q +q )m l I +m l sin (q +q )I I +m l2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2

h cod h cod cod ccod h cod h cod h cod h ccod cod cod cod

2 2 2h ccod cod h cod h ccod cod cod cod cod h ccod h h cod

sin (q +q )l I -m l sin (q +q )l cos (q )-I m l l cos (q )-I m

l l cos (q )+2I m l l cos(q )I )( -(-m l l sin(q )cos(q +q )-mτ cod2 2

2ccod h cod h cod cod h ccod cod cod ccod h codc h l sin(q +q )cos(q +q ))q -m l l sin(q )q -m l gsin(q +q )).

• •

2 2 4 2 2 2 2h cod ccod h cod cod h ccod cod cod cod ccod h cod h ch h h ch cod ccod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h ch cod ccod c ch cod h ccod cod h ch h cod h c ch cod h c h cod

-(I m l +I I -m l l cos(q )I )/(m l sin (q +q )m l +I m l m l

+I m l m l -m l m l l cos (q )+m l I I +m t l I +m t I I +hu =

2cod

2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h h ccod cod h h cod cod h h ccod cod h h cod h h ch cod h cod h ccod h cod h cod

2 2 2 2 2 4 2 3 4 2cod h cod ccod cod cod h ccod h ch c cod cod h h

m

t I l +m t I I +m t l l +m t l I +I m l I +I m l l +I m l I

+I I m l +I m l l +m l sin (q + )I +m l sin (q )θ 2 2 4 2ccod cod h h

2 4 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2cod cod ccod h cod h cod ccod h cod h c cc h ch cod ccod c cc h ch cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2c cc h cod ccod c cc cod h ccod c cc cod h cod h

l +m l sin (q )

I +m l sin (q +q )I +m l sin (q +q )l +m l m l m l +m l m l I

+m l I m l +m l m l l +m l m l I +m 2 2 2c ch cod ccod h c h cod ccod h c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h ccod h c cod h cod cod h h ch ccod cod h h ch cod h c cod h ccod cod

2 4 2 2 2 2h ch c cod ccod h ch c h

t l m l +m t I m l +m t

m l l +m t m l I +m t m l l +m t m l I -m t m l l cos (q )+

m l sin (q + )m l +m l sin (q + )I mθ θ 2 2 2 2cod ccod h ch c h cod h chl +m l sin (q + )I I +m lθ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c cod h ccod h ch c cod h cod h ch c cod h ccod cod

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h h ccod cod cod h h h ch ccod cod h h h ch cod cod h

sin (q + )m l l +m l sin (q + )m l I -m l sin (q + )m l l cos (q )-

m t l l cos (q )+m l sin (q )m l l +m l sin (q )m l I +m l

θ θ θ2 2

h

2 2 2 3 4 2 2 2 2 3h ccod cod h h h cod cod h h ccod cod cod h ccod h h cod

2 2 2 3h ch cod h ccod h h cod h ch cod cod h ccod h h

sin (q )

I l +m l sin (q )I I -m l sin (q )l cos (q )+2m l l sin(q )sin(q +q )

m l +2m l l sin(q )sin(q +q )m l I +2m l l sin(q )sin(q +qcod h cod

3 3 3 2 3h ccod h h cod h cod cod h ccod h h cod cod h ccod h

)I +2m

l l sin(q )sin(q +q )I I +2m l l sin(q )sin(q +q )+2m l l sin(q )

3 3 3 2 2 2 2h cod cod cod h ccod h h cod cod cod ccod h cod h ch

2 2 2 2 2 2 3 4 2cod cod ccod h cod h cod cod ccod h cod h cod cod ccod h cod h

sin(q +q )I -2m l l sin(q )sin(q +q )cos (q )+m l sin (q +q )m l

I +m l sin (q +q )I I +m l sin (q +q )l I -m l sin (q +q )l2

2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h cod h ccod cod cod cod h ccod cod h cod h ccod cod cod c

2 2h ch h c cod h h h cod h ccod h h cod h

cos (q )-I m l l cos (q )-I m l l cos (q )+2I m l l cos(q )I )( -

((m l sin(q + )cos(q + )+m l sin(q )cos(q )+m l l sin(q )cos(q +q ))q +

τ

θ θ•



2cod h ccod h cod h cod ccod h cod h cod cod h ccod hh

2 2h cod cod ccod h cod h cod h ch h hcod c

(m l l sin(q +q )cos(q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q +(m l l sin(q )

cos(q +q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q )q -((m l sin(q + )cos(q + )+

m

θ θ

•

• •

2cod h h h cod h ccod h h cod cod h ccod h cod hc

2 2cod ccod h cod h cod cod h ccod h h cod cod ccodc h

h cod

l sin(q )cos(q )+m l l sin(q )cos(q +q ))q +(m l l sin(q +q )cos(q )

+m l sin(q +q )cos(q +q ))q )q -(m l l sin(q )cos(q +q )+m l

sin(q +q )c

•

• •

2 2 2 2h cod c cc cod ccod c cc cod h c cod ccod h c cod hc cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ch c cod ccod h ch c cod h cod ccod h cod cod h ccod cod h cod

2 2 2cod h h

os(q +q ))q q )+(m l m l +m l I +m t m l +m t I +m

l sin (q + )m l +m l sin (q + )I +I m l +I I +m t l +m t I +

m l sin (q )

θ θ

• •

2 2 2 2 3ccod cod h h cod cod h ccod h h cod cod h ccod

2 4 2 2 2 2h h cod cod cod ccod h cod cod ccod h cod cod cod ccod cod

l +m l sin (q )I +2m l l sin(q )sin(q +q )+2m l l

sin(q )sin(q +q )I +m l sin (q +q )+m l sin (q +q )I +m l I )/2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod ccod h cod h ch h h ch cod ccod cod h ch cod ccod c cc cod h ccod cod

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2c cc h cod h c ch cod h c h cod cod h h ccod cod h h cod cod h h cc

(m l sin (q +q )m l +I m l m l +I m l m l -m l m l l cos (q )

+m l I I +m t l I +m t I I +m t I l +m t I I +m t l l2 2 2 2od cod h h cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2h h ch cod h cod h ccod h cod h cod cod h cod ccod cod cod h ccod h ch c cod

3 4 2 2 2 4 2 2 4 2cod h h ccod cod h h cod cod ccod h

+m t l I +

I m l I +I m l l +I m l I +I I m l +I m l l +m l sin (q + )I

+m l sin (q )l +m l sin (q )I +m l sin (q +q

θ3 4 2

cod h cod ccod h cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h c cc h ch cod ccod c cc h ch cod c cc h cod ccod c cc cod h ccod c cc cod h cod

2 2 2 2 2 2h c ch cod ccod h c h cod ccod h c cod h cco

)I +m l sin (q +q )

l +m l m l m l +m l m l I +m l I m l +m l m l l +m l m l I +

m t l m l +m t I m l +m t m l l2 2 2 2 2 2 2d h c cod h cod cod h h ch ccod cod h

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2h ch cod h c cod h ccod cod h ch c cod ccod h ch c h cod ccod

2 2 2 2h ch c h cod h ch c co

+m t m l I +m t m l l +m t

m l I -m t m l l cos (q )+m l sin (q + )m l +m l sin (q + )I m l

+m l sin (q + )I I +m l sin (q + )m

θ θ

θ θ 2 2 2 2 2 2d h ccod h ch c cod h codl l +m l sin (q + )m l I -θ

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2cc h cod h c ch cod h c h cod cod h h ccod cod h h cod cod h h ccod cod h h cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h h ch cod h cod h ccod h cod h cod cod h cod ccod cod cod h ccod h c

l I I +m t l I +m t I I +m t I l +m t I I +m t l l +m t l I

+I m l I +I m l l +I m l I +I I m l +I m l l +m l4h

2 3 4 2 2 2 4 2 2 4 2c cod cod h h ccod cod h h cod cod ccod h cod h

3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod ccod h cod h c cc h ch cod ccod c cc h ch cod c cc h cod ccod c cc

sin (q + )I +m l sin (q )l +m l sin (q )I +m l sin (q +q )I +

m l sin (q +q )l +m l m l m l +m l m l I +m l I m l +m l

θ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h ccod c cc cod h cod h c ch cod ccod h c h cod ccod h c cod h ccod h c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4cod h cod cod h h ch ccod cod h h ch cod h c cod h ccod cod h ch

2

m l l +m l m l I +m t l m l +m t I m l +m t m l l +m t

m l I +m t m l l +m t m l I -m t m l l cos (q )+m l

sin 2 2 2 2 2 2 2c cod ccod h ch c h cod ccod h ch c h cod h ch

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c cod h ccod h ch c cod h cod h ch c cod h ccod

(q + )m l +m l sin (q + )I m l +m l sin (q + )I I +m l

sin (q + )m l l +m l sin (q + )m l I -m l sin (q + )m l l

θ θ θ

θ θ θ

2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod cod h h ccod cod cod h h h ch ccod cod h h h ch cod

2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 2 2cod h h h ccod cod h h h cod cod h h ccod cod cod h

cos (q )-m t l l cos (q )+m l sin (q )m l l +m l sin (q )m l I

+m l sin (q )I l +m l sin (q )I I -m l sin (q )l cos (q )+2m l

3 2 2 2 3ccod h h cod h ch cod h ccod h h cod h ch cod cod h ccod

3 3 3h h cod h cod h ccod h h cod h cod cod h ccod h

h cod

l sin(q )sin(q +q )m l +2m l l sin(q )sin(q +q )m l I +2m l l

sin(q )sin(q +q )I +2m l l sin(q )sin(q +q )I I +2m l l sin(q )

sin(q +q )+ 2 3 3 3 3cod h ccod h h cod cod cod h ccod h h cod2m l l sin(q )sin(q +q )I -2m l l sin(q )sin(q +q )



2 2 2 2 2 2 2 2cod cod ccod h cod h ch cod cod ccod h cod h cod cod ccod

2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2h cod h cod cod ccod h cod h cod h cod h ccod cod cod

co

cos (q )+m l sin (q +q )m l I +m l sin (q +q )I I +m l

sin (q +q )l I -m l sin (q +q )l cos (q )-I m l l cos (q )-I

m2 2 2 2d h ccod cod h cod h ccod cod cod cod cod h ccod h

2 22

h cod cod ccod h cod h cod cod h ccod cod codc h

ccod h ccod

l l cos (q )+2I m l l cos(q )I )( -(-m l l sin(q )

cos(q +q )-m l sin(q +q )cos(q +q ))q -m l l sin(q )q -m l gsin(q +q )).

τ• •

2 2 2 2h cod ccod h cod h ccod cod cod h ccod cod cod h ch cod cod h cod cod

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ccod h cod h ch h h ch cod ccod cod h ch cod ccod c cc cod h ccod c

-(-I m l -I m l l cos(q )+m l l cos(q )I +m l I +m l I )/(m

l sin (q +q )m l +I m l m l +I m l m l -m l m l l cos (qcodu =

od2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2

c cc h cod h c ch cod h c h cod cod h h ccod cod h h cod cod h h ccod cod h h cod

2 2 2 2 2 2 2 2h h ch cod h cod h ccod h cod h cod cod h cod ccod cod cod h ccod

)+

m l I I +m t l I +m t I I +m t I l +m t I I +m t l l +m t l I

+I m l I +I m l l +I m l I +I I m l +I m l l2 2 4 2h ch c

3 4 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4cod cod h h ccod cod h h cod cod ccod h cod h cod ccod

2 2 2 2 2 2 2 2 2h cod h c cc h ch cod ccod c cc h ch cod c cc h cod ccod c c

+m l sin (q + )

I +m l sin (q )l +m l sin (q )I +m l sin (q +q )I +m l

sin (q +q )l +m l m l m l +m l m l I +m l I m l +m l

θ

2 2 2 2c cod h ccod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c cc cod h cod h c ch cod ccod h c h cod ccod h c cod h ccod h c cod h cod cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2h h ch ccod cod h h ch cod h c cod h ccod cod h ch

m l l +

m l m l I +m t l m l +m t I m l +m t m l l +m t m l I +m

t m l l +m t m l I -m t m l l cos (q )+m l sin 2 2c cod ccod h ch(q + )m l +m lθ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c h cod ccod h ch c h cod h ch c cod h ccod h ch

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2c cod h cod h ch c cod h ccod cod cod h h ccod cod cod

sin (q + )I m l +m l sin (q + )I I +m l sin (q + )m l l +m l

sin (q + )m l I -m l sin (q + )m l l cos (q )-m t l l cos (q )+m

θ θ θ

θ θ2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h h h ch ccod cod h h h ch cod cod h h h ccod cod h h h cod

3 4 2 2 2 2 3 2cod h h ccod cod cod h ccod h h cod h ch cod h ccod h

l sin (q )m l l +m l sin (q )m l I +m l sin (q )I l +m l sin (q )I I

-m l sin (q )l cos (q )+2m l l sin(q )sin(q +q )m l +2m l l sin(q )

2 2 3h cod h ch cod cod h ccod h h cod h cod h ccod h h cod

3 3 3 2 3 3 3 3h cod cod h ccod h h cod cod h ccod h h cod cod cod h ccod

sin(q +q )m l I +2m l l sin(q )sin(q +q )I +2m l l sin(q )sin(q +q )

I I +2m l l sin(q )sin(q +q )+2m l l sin(q )sin(q +q )I -2m l l

2 2 2 2 2 2h h cod cod cod ccod h cod h ch cod cod ccod h cod h

2 2 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2cod cod ccod h cod h cod cod ccod h cod h cod h cod h ccod

sin(q )sin(q +q )cos (q )+m l sin (q +q )m l I +m l sin (q +q )I

I +m l sin (q +q )l I -m l sin (q +q )l cos (q )-I m l l

2 2 2 2 2 2cod cod cod h ccod cod h cod h ccod cod cod c h ch h

2h cod h h h cod h ccod h h cod cod h ccodh

h cod

cos (q )-I m l l cos (q )+2I m l l cos(q )I )( -((m l sin(q + )

cos(q + )+m l sin(q )cos(q )+m l l sin(q )cos(q +q ))q +(m l l

sin(q +q

τ θ

θ•

2h cod ccod h cod h cod cod h ccod hh

2 2h cod cod ccod h cod h cod h ch h hcod c

2cod h h h cod h ccod

)cos(q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q +(m l l sin(q )

cos(q +q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q )q -((m l sin(q + )cos(q + )

+m l sin(q )cos(q )+m l l s

θ θ

•

• •

h h cod cod h ccod h codcin(q )cos(q +q ))q +(m l l sin(q +q )•



2h cod ccod h cod h cod cod h ccod h h cod codc h

2 2 2 2 2 2 4 2ccod h cod h cod cod h ccod cod ccod cod cod ccod h codc cod

cos(q )+m l sin(q +q )cos(q +q ))q )q -(m l l sin(q )cos(q +q )+m

l sin(q +q )cos(q +q ))q q )-(m t l +m l I +m l sin (q +q )+

• •

• •

2 2 3 2 2 3c cc cod cod h ccod h h cod cod h ccod cod cod h cod ccod cod h

2 2 2 2h ccod cod h c cod cod h cod h cod h ccod cod c cc cod ccod h c cod

m l I +2m l l sin(q )sin(q +q )+m l l cos(q )I +I m l +m l

sin (q )l cos(q )+m t I +m t I +I m l l cos(q )+m l m l +m t m

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ccod h ch c cod cod h h ccod cod h h cod cod ccod h cod

2 2 2 2cod h ch c cod ccod cod h ccod h h cod cod c cc cod h ccod

l +m l sin (q + )I +m l sin (q )l +m l sin (q )I +m l sin (q +q )

I +m l sin (q + )m l +2m l l sin(q )sin(q +q )I +m l m l l

cos(q

θ

θ2 2 2 2

cod h c cod h ccod cod h ch c cod h ccod ccod cod h h ccod)+m t m l l cos(q )+m l sin (q + )m l l cos(q )+m t l lθ2 2 2 2 3 2

cod cod h ccod h h cod cod cod ccod h cod h cod

2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod ccod h cod h ch h h ch cod ccod cod h ch cod ccod c cc cod h ccod

cos(q )+2m l l sin(q )sin(q +q )cos(q )+m l sin (q +q )l cos(q ))/

(m l sin (q +q )m l +I m l m l +I m l m l -m l m l l cos2cod

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2c cc h cod h c ch cod h c h cod cod h h ccod cod h h cod cod h h ccod cod h h cod

2 2 2 2 2 2 2 2h h ch cod h cod h ccod h cod h cod cod h cod ccod cod cod h c

(q )

+m l I I +m t l I +m t I I +m t I l +m t I I +m t l l +m t l I +

I m l I +I m l l +I m l I +I I m l +I m l l2 2 4 2cod h ch c cod

3 4 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2cod h h ccod cod h h cod cod ccod h cod h cod ccod h cod

+m l sin (q + )I

+m l sin (q )l +m l sin (q )I +m l sin (q +q )I +m l sin (q +q )

θ

2h h cod h ccod cod cod h ccod cod h ch hcod h h cod cod

2 2 2 2 2 2 2cod h h cod ccod h cod h c ch cod h cod h cod h cod h ccod cod

l +m l+m l l sin(q )q q +m l l sin(q )(q + q )q +m l gsin(q + )

-m l gsin(q )-m l gsin(q +q ))+(m t l +m l I +I m l +m t l +m

l

θ• • • • •

2 2 4 2 2 2 3 2ccod cod cod ccod h cod c cc cod cod h ccod h h cod cod ccod

2 2 2 2 2 4 2 2h cod h ch cod h ccod cod cod h ch cod h cod ccod cod h h cod

3h

I +m l sin (q +q )+m l I +2m l l sin(q )sin(q +q )+m l

sin (q +q )m l +2m l l cos(q )I +m l I +I m l +m l sin (q )+2m

l si 2 2 2 2h ccod cod h c cod cod h cod h cod h ccod cod c cc cod ccod h c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod ccod h ch c cod cod h h ccod cod h h cod cod ccod

n (q )l cos(q )+m t I +m t I +2I ml l l cos(q )+m l m l +m t

m l +m l sin (q + )I +m l sin (q )l +m l sin (q )I +m lθ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h cod cod c cc h ch c cc cod h h c cod h cod h h ch h ch c

2 2 2 2 2 2 2cod ccod cod h ccod h h cod cod cod h h c cc h h c h h h ch cod h h

sin (q +q )I +m l m l +m l m l +m t m l +m t m l +m l sin (q + )

m l +2m l l sin(q )sin(q +q )I +m t l +m l I +m t I +I m l +m t I

+m

θ

2 4 2 2 2 2h ch c c cc cod h ccod cod h c cod h ccod cod h ch c

2 2 2 2 2 2cod h ccod cod cod h h ccod cod cod h ccod h h cod cod cod

cc

l sin (q + )+2m l m l l cos(q )+2m t m l l cos(q )+2m l sin (q + )

m l l cos(q )+2m t l l cos(q )+4m l l sin(q )sin(q +q )cos(q )+2m

l

θ θ

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2od h cod h cod cod ccod h cod h h ch c h cod h h

2 2 2 2 2 2 2 2h cod ccod h cod h h ch c cod h cod h h h ch cod h ccod

h

sin (q +q )l cos(q )+m l sin (q +q )l +m l sin (q + )I +m l sin (q )

I +m l sin (q +q )I +m l sin (q + )m l +m l sin (q )m l +2m l l

sin(q )sin(

θ

θ2 2 3

h cod h ch cod h ccod h h cod cod h ccod h h codq +q )m l +2m l l sin(q )sin(q +q )+2m l l sin(q )sin(q +q )2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

h cod ccod h cod h ch h h ch cod ccod cod h ch cod ccod c cc cod h ccod

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2cod c cc h cod h c ch cod h c h cod cod h h ccod cod h h cod cod h h

I )/(m l sin (q +q )m l +I m l m l +I m l m l -m l m l l

cos (q )+m l I I +m t l I +m t I I +m t I l +m t I I +m t l l2 2ccod cod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2h h cod h h ch cod h cod h ccod h cod h cod cod h cod ccod cod cod h ccod h ch c

3 4 2 2 2 4 2 2 4 2cod cod h h ccod cod h h cod cod ccod h

+m

t l I +I m l I +I m l l +I m l I +I I m l +I m l l +m l sin (q +

)I +m l sin (q )l +m l sin (q )I +m l sin (q +qθ 3 4 2cod h cod ccod h

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod h c cc h ch cod ccod c cc h ch cod c cc h cod ccod c cc cod h ccod c cc cod h cod

)I +m l sin (q +

q )l +m l m l m l +m l m l I +m l I m l +m l m l l +m l m l I



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h c ch cod ccod h c h cod ccod h c cod h ccod h c cod h cod cod h h ch ccod cod h2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2

h ch cod h c cod h ccod cod h ch c cod ccod h ch c h

+m t l m l +m t I m l +m t m l l +m t m l I +m t m l l +m t

m l I -m t m l l cos (q )+m l sin (q + )m l +m l sin (q + )I mθ θ 2cod ccod

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h ch c h cod h ch c cod h ccod h ch c cod h cod h ch

2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2c cod h ccod cod cod h h ccod cod cod h h h ch ccod

l +

m l sin (q + )I I +m l sin(q + )m l l +m l sin (q + )m l I -m l

sin (q + )m l l cos (q )-m t l l cos (q )+m l sin (q )m l l

θ θ θ

θ 2cod h

2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 2h h ch cod cod h h h ccod cod h h h cod cod h h ccod cod

2 3 2 2cod h ccod h h cod h ch cod h ccod h h cod h ch cod

+m l

sin (q )m l I +m l sin (q )I l +m l sin (q )I I -m l sin (q )l cos (q )+

2m l l sin(q )sin(q +q )m l +2m l l sin(q )sin(q +q )m l I 2 3cod h ccod

3 3 3h h cod h cod h ccod h h cod h cod cod h ccod h

2 3 3 3 3 2h cod cod h ccod h h cod cod cod h ccod h h cod

+2m l l

sin(q )sin(q +q )I +2m l l sin(q )sin(q +q )I I +2m l l sin(q )

sin(q +q )+2m l l sin(q )sin(q +q )I -2m l l sin(q )sin(q +q )cos (qcod )2 2 2 2 2 2 2 2 2

cod ccod h cod h ch cod cod ccod h cod h cod cod ccod h cod h cod3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cod ccod h cod h cod h cod h ccod cod cod cod h ccod c

+m l sin (q +q )m l I +m l sin (q +q )I I +m l sin (q +q )l I -

m l sin (q +q )l cos (q )-I m l l cos (q )-I m l l cos (q od h cod

2h ccod cod cod cod cod h ccod h h cod cod ccod h cod h cod

2 2

cod h ccod cod cod ccod h codc h

)+2I m

l l cos(q )I )( -(-m l l sin(q )cos(q +q )-m l sin(q +q )cos(q +q ))

q -m l l sin(q )q -m l gsin(q +q )).

τ• •

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico · 2014-02-14 · cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Coordinación de Mecatrónica TESIS