Chuyên Đề BDHSG Môn Toán 7 - Các Bài Toán Về Tỷ Lệ Thức - Dẫy Tỷ Số Bằng Nhau.doc

8/16/2019 Chuyên Đề BDHSG Môn Toán 7 - Các Bài Toán Về Tỷ Lệ Thức - Dẫy Tỷ Số Bằng Nhau.doc

1/22


2/22

2

Cụ thể: Từ (a,b,c,d≠0)

II. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức suy ra

(b≠±d)

2) Tính chất 2: ta suy ra

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

* Nâng cao.

1. Nếu =k thì

2. Từ => +)

43

Bài 15.

Quãng đường AB dài 76m, người thứ nhất đi từ A đến Bvà người thứ hai đi từ B đến A. Vận tốc của người thứ nhất chỉ

bằng 4

5

vận tốc của người thứ hai (đến lúc gặp nhau). Thời gian

của người thứ nhất chỉ bằng 1011

thời gian của người thứ hai. Tính

quãng đường mỗi người đi được ?


3/22


4/22

4

b)

Giải

a)

Từ => 7(x-3) = 5(x+5). Giải ra x = 23

b) Cách 1. Từ => (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2)

(x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2

- x + 3x – 3 = + 2x – 2x – 4

Đưa về 2x = -1 => x =

Cách 2:21

x

x +1=32

x

x +1

2

12

x

x =3

12

x

x

2x+1=0 x= -2

1 (Do x+2 x+3)

Bài 2: Tìm x, y, z biết: và x – 3y + 4z = 62

Giải

Cách 1 (Đặt giá trị chung)

Đặt =>

Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62

41

Bài 6.

Cho dãy tỉ số bằng nhau : 3 20141 22 3 4 2015

a aa a

a a a a Cmr ta có

đẳng thức

2014

1 2 3 20141

2015 2 3 4 2015

a a a aa

a a a a a

Bài 7.

Cho a cb d

các số , , , x y z t thỏa mãn ax 0 yb và 0 zc td

Cmr : xa yb xc yd

za tb zc td

Bài 8.

Cho tỉ lệ thức 2 13 2 133 7 3 7

a b c d

a b c d

Cmr : a c

b d

Bài 9.

Cho 3 11 22 3 4 1

n n

n

a a aa a

a a a a a

( 1 2 0na a a )

Tính : 1)

2 2 21 2

2

1 2

n

n

a a a A

a a a

2)

9 9 91 2

9

1 2

n

n

a a a B

a a a


5/22

40

a. 32

x

y ; 5

7

y

z và 2 3 5 1 x y z b,

1 4 1 6 1 8

13 19 5

y y y

x

c. 2 1 2 2 3 15 7 6 x y x y x

d,1 2 3 1 y z x z y x

x y z x y z

Bài 4.

Cho tỉ lệ thức a cb d

. Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau

( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )

a. 2 7 2 73 4 3 4

a b c d

a b c d

b,

2015 2016 2015 2016

2016 2017 2016 2017

a b c d

c d a b

c.2 2 2

2 2

a b a b

c d c d

d,

22 3

2 3

ab a b

cd c d

e,

2 2

2 2

7 5 7 5

7 5 7 5

a ac b bd

a ac b bd

Bài 5.

Cho 2a c b và 2bd c b d ; , 0b d CMR :a c

b d

5

4k – 9k + 36k = 62

31k = 62 => k = 2 Do đó

Vậy x = 8; y= 6; z = 18

Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=>

Cách 3 (Phương pháp thế)

Từ => x=

=> y=

Mà x – 3y + 4z = 62 => đua về 31z =

558 => z = 18

Do đó x = ; y=

Vậy x = 8; y = 6 v à z =18


6/22

6

Bài 3: Tìm x, y, z biết:

a) và 2x + 3y – z = 186

b)

2x = 3y = 5z và =95

Giải

a) Cách 1: Từ => =>

Và => =>

=> = (*)

Ta có: =

=>

Vậy x=45; y=60 và z=84

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt = =k

(Sau đó giải như cách 1 của bài 2)

Cách 3: Sau khi làm đến (*) dùng phương pháp thế giải như

cách 3 của bài 2.

39

b.10 6 21

x y z và 5 2 28 x y z

c. 4 3 x y ; 7 5 y z và 2 3 6 x y z

d. : : 12 : 9 : 5 x y z và 20 xyz

e. 10 6 145 9 21 x y z

và 6720 xyz

f. 16 25 99 16 25

x y z và 32 1 15 x

Bài 2.

Tìm các số x,y,z biết rằng

a. : : 3 : 4 : 5 x y z và 2 2 25 3 2 594 z x y

b. 3 1 2 2 x y ; 4 2 3 3 y z và 2 3 50 x y z

c. 12 15 20 12 15 207 9 11

x y z y y z và 48 x y z

d. 2 3 43 4 5

x y z và 49 x y z

Bài 3.

Tìm các số x,y,z biết :


7/22

38

6d+a+b+c

d d d c

d a b a b c d

Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì

được:

1 2a b c d

a b c b c d c d a d a b

Bài 2. Cho a cb d

và ; 0b d CMR:2 2

a ab cd c

b b d d

Giải:

Ta có a cb d

và ; 0b d nên 2 2. .

. d.d

a b c d ab cd

b b b d

Theo tính chất (2) ta có:2 2 2 2 2 2

ab ab cd cd a ab cd c

b b d d b b d d

C. BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 1.

Tìm các số x,y,z biết rằng

a. 2 41 7

x x

x x

7

b) Vì 2x = 3y = 5z => = => =

Mà

95

95

z y x

z y x

+) Nếu x+y-z= 95

Ta có = =>

+) Nếu x + y – z = - 95

Ta có = =>

Vậy:


a) và – x + z = -196

b)

và 5z – 3x – 4y = 50

c) z y x z y x 34

2

42

3

23

4

và x + y – z = - 10

Giải

a) Vì


8/22

8

=>

=>

=> =

Ta có = = =>

Vậy x = 231; y = 28 và z = 35

b) Ta có

=

Vậy x = 5; y = 5 và z = 17

c) Vì z y x z y x 34

2

42

3

23

4

=

37

a. Nếu th ì

b. Nếu thì

Bài 1. Cho a; b; c; d > 0.

CMR: 1 2a b c d a b c b c d c d a d a b

Giải:

+ Từ 1aa b c

theo tính chất (3) ta có:

1a d aa b c d a b c

(do d>0)

Mặt khác: 2a a

a b c a b c d

+ Từ (1) và (2) ta có: 3a a a d

a b c d a b c a b c d

Tương tự ta có:

4b b b a

a b c d b c d a b c d

5c c c b

a b c d c d a c d a b


9/22

36

+ Có:ad bc

0; 0 bd db

ad bc a c

b d b d

Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ a c a a c cb d b b d d

(Bài

5/33 SGK Đ7)

Giải:

+ (1)0; 0

a c

ad bcb d

b d

thêm vào 2 vế của (1) với ab ta

có:

2

ad ab bc ab

a a ca b d b c a

b b d

+ Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:

1

3

ad dc bc dc

d a c c b d

a c c

b d d

+ Từ (2) và (3) ta có:

Từ a c a a c cb d b b d d

(đpcm)

Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên

9

=> =>

Từ

101

10

432432

z y x z y x

=> Vậy x = - 20; y = -30 và z = -40

Bài 5: Tìm x. y, z biết:

a) x: y: z = 2: 3: 5 và xyz = 810

b) = và + = - 650

Giải

a) Vì x: y: z = 2: 3: 5 => =

Cách 1 (Đặt giá trị chung)

Đặt = =>


10/22

10

Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30 =810 => =27 => k

= 3

=> Vậy x = 6; y = 9 và z = 15

Cách 2: Từ = => =

=> x = 6 thay vào đề bài tìm ra y = 9 ; z = 15

Vậy x = 6; y = 9 và z = 15Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách 3 của bài 2

b) Từ = => => =

Cách 1: (Đặt giá trị chung)

Đặt = = k =>

Mà + 2 – 3 = - 650 => 4 + 2.9

=>-26

Nếu k = 5=>

35

=> 2 2 212 9 10

x y z

=>186

612 9 10 12 9 10 31

x y z x y z

=> 725460

x y

z

( Thỏa mãn điều kiện )

Vậy trong ngày đó cửa hàng đã bán số mét vải ở cuộn thứ

nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là : 24; 36; 24 (mét).

Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨCÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ ab

và cd

với

b> 0; d >0.

CM: a c ad bcb d

Giải:

+ Có cb bd db

0; 0

a cad

ad bcb d

b d


11/22

34

thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong

ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải mỗi cuộn.

Lời giải

Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là

x, y, z (m)

ĐK: 0< x, y, z < 186

+) Tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m => x + y + z =

186

+ Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ

nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba

=> Trong ngày đó cửa hàng đã bán được số mét vải ở cuộn

thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 2 2, ,3 3 5

x y z (mét)

+) Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần

lượt tỉ lệ với 2; 3; 2 và giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn như

nhau.

=> Số mét vài bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba

lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2

=>2 2

: : 2 :3 : 23 3 5 x y z

11

Nếu k = -5 =>

Vậy

Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Vì = =>

=>

Theo đề bài suy ra x,y,z cùng dấu

Vậy

20;15;10

20;15;10

z y x

z y x

Cách 3 (Phương pháp thế)


(1)

Giải:

* Nếu 0


12/22

12

Ta c ó

(2)

Từ (1) và (2) ta có x + y + z =

=> thay vào đề bài ta được:

Hay =

+) => 2x = => 3x = => x =

+) => 2y = => 3y = => y =

+) Có x + y + z = , mà x = và y =

33

Gọi vận tốc dự định là x, vận tốc mới tăng là y ( x,y > 0)

Ta có 120100

y x => 65

y

x

Gọi C là trung điểm của AB. Ô tô đến B sớm hơn dự định

10 phút là nhờ tăng vận tốc từ điểm C. Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc x mất thời gian là

Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc y mất thời gian là

Thì x. = y. =>2

1t y

x t mà

6

5

y

x

=>2

1 6

5

t

t

=> 1 2

6 5

t t 1 2 10

6 5

t t

=> 1

2

60

50

t

t

=>Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc đã tăng hết

50 phút

Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60

phút.

Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 60 + 50 = 110 (phút)

Bài 7: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba

cuộn vải đó là 186m, giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn là như

nhau. Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ

nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn


13/22


14/22

14

Đưa về 24y = 6 => y = thay vào đề bài ta có

=> = 18. => 18x = 90 => x = 5

Ta có

=>1+3y = -12y => 15y = -1 => y = thay vào

Ta được => 5x . => => x = 2

Vậy x = 2 và y =

Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

12

31 y

31

Lời giải

Gọi ba phân số cần tìm là với, , , , ,

, , 0

a b c d e g Z

b d g

Theo đầu bài ta có

a : c : e = 3:4 :5, b : d : g =5:1:2 và 3370

a c e

b d g

+) a:c:e= 3 :4 :5 =>3 4 5

a c ek với k Z

a=3k ,c =4k , e =5k

+) b : d : g = 5 : 1 : 2 =>5 1 2b d g

t với ,t Z t o

b=5t, d=t, g=2t

+)3

370

a c e

b d g => 3 4 5 213

5 2 70k k k

t t t

71 213

.10 70

k

t

=> 3

7

k

t

9

35

a

b

, 12

7

c

d

, 15

14

e

g

Vậy ba phân số cần tìm là 935 , 12

7 , 15

14

Bài 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba

chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?

Lời giải


15/22

30

Lời giải

Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là

x, y, z.(học sinh)

ĐK: *, , , , , 52 x y z N x y z

+) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52

+) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ

ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ

nghịch với 3; 4; 2

Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)

3 – 1 4 –

12 12

2 2 z

12

3 x y

– 1 – 2

4 3 6

z 3 x y

1 3 524

4 3 6 13 13 y-2 x z x y z

1 16 17

2 12 14

3 24 21

x x

y y

z z

(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là

17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh.

Bài 4: Tìm ba phân số có tổng bằng . Biết tử của

chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 còn mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.

15

Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng một số

phương pháp sau:

•) Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C

•) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có cùng giá trị

•) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

* Một số kiến thức cần chú ý

•) (n 0)

•) => = (n N*)

Sau đây là một số bài tập minh họa ( giả thiết các tỉ số đã chođều có nghĩa)

Bài 1: Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng

GIẢI

Cách 1 (pp1):


16/22

16

Ta có:

(a+b).(c-d) = (a – b).(c+d)

Cách 2 (pp2):

Đặt = k =>

=

Cách 3 (pp3):

Từ

Ta có:

=

29

ĐK: *, , , , , 144 x y z N x y z

+) Ba lớp 7A,7B,7C có tất cả 144 học sinh

=> 144 x y z

+) Nếu rút ở lớp 7A đi1

4 học sinh, rút ở lớp 7B đi1

7 học

sinh, rút ở lớp 7C đi 13

học sinh thì số học sinh còn lại của

3 lớp bằng nhau.

Nên ta có3 6 2

4 7 3 x y z

3 6 2 144 624 42 18 8 7 9 8 7 9 24

x y z x y z x y z

48

42

54

x

y

z

(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh lúc đầu của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là

48 học sinh, 42 học sinh, 54 học sinh.

Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ. Nếu tổ

một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm

vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một , hai, ba tỉ lệ nghịch

với 3; 4; 2. Tìm số học sinh mỗi tổ.


17/22

28

+) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; 2 =>1 3 2 6

a b c a b c

=>a + b + c ⋮ 6

Lại có ⋮ 9 a + b + c ⋮ 9

Mà 1 27a b c

Nên a + b + c = 18

=> 31 3 2a b c

=> (Thỏa mãn điều

kiện)

Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; 2 => (Thỏa mãn

điiều kiện)

Vậy số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 396; 936.

Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh. Nếu rút ở

lớp 7A đi 14

số học sinh, rút ở lớp 7B đi 17

số học sinh, rút

ở lớp 7C đi 13 học sinh thì số học sinh còn lại của cả 3 lớp

bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp ban đầu.

Lời giải

Gọi số học sinh ban đầu của lớp 7A,7B.7C lần lượt là x,y,

z (học sinh)

17

Cách 4: Từ =>

=> =

Bài 2: Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng

(1)

GIẢI

Cách 1:

Cách 2:


18/22

18

= k => thay vào 2 vế của (1) chứng minh 2

vế có cùng giá trị

Cách 3:

Vì =>

= = =

B ài 3: chứng minh rằng nếu thì

a)

b)

=

GIẢI

a) Từ

=>

b) Từ

27

Với , , 0a b c ta có : ab bc caa b b c c a

1 1 1 1 1 1a b b c c a

ab bc ca b a c b a c

1 1 1 1a b c P a b c

Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC,

DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA

TỈ LỆ

Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia

hết cho 18 và các chữ số của nó chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3.

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là , ( ĐK

: *, , ,1 9,0 , 9a b c N a b c )

=>1 27a b c

+) ⋮ 18 ( do 18=2.9 và

ƯCLN(2;9)=1 )

+) Các chữ số của số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; 3

Mà ⋮ 2 => c ⋮ 2

=>a, b, c tỉ lệ với 1;3; 2 hoặc a; b; c tỉ lệ với 3; 1; 2


19/22

26

Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãna b b c c a

c a b

Tính giá trị của biểu thức 1 1 1a b c

P b c a

Bài giải:

Từ a b b c c ac a b

1 1 1a b b c c a

c a b

a b c a b c a b c

c a b

(*)

+) Xét 0 ; ;a b c a b c a c b b c a

1a b b c a c c a b abc

P b c a b c a abc

+) Xét 0a b c Từ (*) ta có :

8a b c P

Bài 5 :

Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn ab bc caa b b c c a

Tính giá trị của biểu thức2 2 2

3 3 3

ab bc ca P

a b c

Bài giải:

19

=> =

=

=

=>

=

Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd. Chứng minh rằng:

1)

2)

GIẢI

1) Vì


20/22

20

Vậy

2) Có:

Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn

Chứng minh: 4(a-b)(b-c) =

GIẢI

Từ

Bài 6: Biết và

CMR: abc + = 0

25

a b c d

b c d a c d a b d b c a

Tính giá trị của biểu thức

a b b c c d d a M

c d a d a b b c

Bài giải:

Từ a b c d b c d a c d a b d b c a

1 1 1 1a b c d


a b c d a b c d a b c d a b c d


(*)

+) Xét 0 ( ); ( )a b c d a b c d b c a d

4 M

+) Xét 0a b c d Từ (*) ta có :


4a b c d M

Bài 4:


21/22

24

Từ 3 34

x y

x y

31

3

41

x

y

x

y

Đặt x y

= a 3 11

a

a

= 3

4

Bài 2:

Cho2 3 4

x y z . Tính giá trị của biểu thức P = y z x

x y z

Cách 1:

Đặt2 3 4

x y z = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k 0)

P =

3 4 2 5 5

2 3 4 3 3

k k k k

k k k k

Vậy P = 53

Cách 2 :

Có2 3 4

x y z =

3 4 2 5 2 3 4 3

y z x y z x x y z x y z

55 3 3

y z x x y z y z x x y z

Vậy P = 53

Bài 3 :

Cho dãy tỉ số bằng nhau21

GIẢI

Từ => ab + (1)

Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc +

(2)

Ta c ó : => bc +

(3)

Nhân cả hai vế của (3) với ta có:

(4)

Cộng cả hai vế của (2) và (4) ta có:

abc + + =

abc + = 0

Bài 7: Cho (1)

CMR:

GIẢI

Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c

Từ (1) ta có:


22/22

22

=

= 0

Bài 8: CMR: Nếu a(y+z) = b(z+x) = c(x+y)(1)

Trong đó a,b,c là các số khác nhau và khác 0 thì:

GIẢI

Vì a,b,c ≠ 0 nên chia các số của (1) cho abc ta được:

=

23

Dạng 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Bài 1 :

Cho tỉ lệ thức 3 3

4

x y

x y

. Tính giá trị của tỉ số

x

y

Bài giải:

Cách 1 :

Từ3 3

4

x y

x y

4(3x – y) = 3(x+y) 12x – 4y = 3x + 3y

12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y

Vậy x y

= 79

Cách 2:

Documents

Chuyên Đề BDHSG Môn Toán 7 - Các Bài Toán Về Tỷ Lệ Thức - Dẫy Tỷ Số Bằng Nhau.doc