CHUYÊN ĐỀ : TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

I. Kiến thức 1) Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thứca) Định nghĩa:Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và c gọi là trung tỉ.b) Tính chất

+ Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu thì ad = bc

+ Tính chất 2( tính chất hoán vị)Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:+ Từ tỉ lệ thức ta suy ra

+ Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau

ta suy ra ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

3) Chú ý:+ Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5.+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức

suy ra

từ suy ra

II. Một số dạng bài tập và cách giải

Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết

1.Tìm một số hạng chưa biếta) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

Nếu . . .. . ; ;a c b c a d a da d b c a b c

b d d c b

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

1

b) Bài tập:

Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b) - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

. 9,36 0.52.16,38

0,52.16,38 0,919,36

x

x

* Lưu ý: Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau :

a)1 2 3 2: 1 :3 3 4 5

x

b) 1 20,2 :1 : 6 75 3

x

Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13)60

15x

x

Giải : 2

2 2

6015

. 15 . 6090030

xx

x xxx

Suy ra x = 30 hoặc x =-30* Lưu ý: Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức

1 6015 1

xx

;

1 97 1

xx

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức 3 5

5 7x

x

Cách 1: ta có:

3 5 3 .7 5 .5 7 21 25 5

5 7

512 46 36

x x x x xx

x x

Cách 2: từ 3 5 3 5

5 7 5 7x x x

x

Áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

3 5 3 5 2 15 7 5 7 12 6

3 1 6 3 55 6

5 53 36 6

x x x x

x x

x x

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

2

2 2

2 41 7

2 7 4 17 2 14 4 4

5 14 3 45 3 4 14 2 10 5

x xx x

x x x xx x x x x xx xx x x x

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

2.Tìm nhiều số hạng chưa biết a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:Tìm các số x, y, z thoả mãnx y za b c

(1) và x +y + z =d (2)

( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trước)

Cách giải:

- Cách 1: đặt . ; . ; .

x y z ka b c

x k a y k b z k c

thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d

dk a b c d ka b c

Từ đó tìm được . ; ;a d bd cdx y z

a b c a b c a b c

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

. . .; ;

x y z x y z da b c a b c a b c

a d b d c dx y za b c a b c a b c

b)Khai thác.

+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:* 1 2 3k x k y k z e

* 2 2 21 2 3k x k y k z f

*x.y.z = g +Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:

1 2 3 4

;x y y za a a a

2 1 4 3;a x a y a y a z

1 2 3b x b y b z

1 3 3 22 1b x b z b z b yb y b xa b c

3

3 31 2 2

1 2 3

z bx b y ba a a

+Thay đổi cả hai điều kiện

c)Bài tập

Bài tập 1 : Tìm hai số x và y biết và x + y = 20.

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Đặt , suy ra: x = 2k, y = 3k

Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4 Do đó: x = 8 và y = 12 Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Do đó: x = 8 và y = 12 Cách 3: Phương pháp thế

mà x + y = 20 suy ra 5y/3 = 20 nên y = 12 Do đó: x = 8

Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4x y z

và x +y + z = 27

Giải: - Cách 1.

Đặt 2 , 3 , 42 3 4x y z k x k y k z k

Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2 3 4 27 9 27 3k k k k k Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12. - Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

27 3

2 3 4 2 3 4 92.3 6; 3.3 9; 4.3 12

x y z x y z

x y z

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

Bài tập 3: Tìm 3 số x,y,z biết 2 3 4x y z

và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: - Cách 1: Đặt 2 3 4x y z

=k

- Cách 2: Từ 2 3 4x y z

suy ra 2 3 54 9 20x y z

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 3 5 2 3 5 21 34 9 20 4 9 20 7

6; 9; 12

x y z x y z

x y z

Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4x y z

và 2 2 22 3 5 405x y z

4

Giải: - Cách 1: Đặt 2 3 4x y z

=k

- Cách 2: từ 2 3 4x y z

suy ra

2 2 2

2 2 24 9 16

2 3 58 27 90

x y z

x y z

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2 2 22 3 5 2 3 5 405 9

8 27 90 8 27 90 45x y z x y z

Suy ra

22

22

22

9 36 64

9 81 99

9 144 1216

x x x

y y y

z z z

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.

Bài tập 5: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4x y z

và x.y.z = 648

Giải:

- Cách 1: Đặt 2 3 4x y z

= k

- Cách 2: Từ 2 3 4x y z

3

33

648 272 2 3 4 24 24

27 216 68

x x y z xyz

x x x

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.

Bài tập 6. Tìm x,y, z biết ;6 9 2x y zx và x +y +z = 27

Giải: từ 6 9 2 3x y x y

Từ 2 2 4z x zx suy ra

2 3 4x y z

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 2.

Bài tập 7. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27

Giải: Từ 3 22 3x yx y

Từ 4 22 4x zx z

5

Suy ra 2 3 4x y z

sau đó giải như bài tập 2

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: từ 6x = 4y = 3z 6 4 312 12 12 2 3 4

x y z x y z

Sau đó giải tiếp như bài tập 3

Bài tập 9: Tìm x, y, z biết 6 3 4 6 3 4

5 7 9x z y x z y

và 2x +3y -5z = -21

Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có6 3 4 3 3 6 6 3 4 3 3 6 0

5 7 9 5 7 9

6 3 ;4 3 ;3 6

x z y z z x x z y z z x

x z y z z x

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 8

Bài tập 10: Tìm x,y,z biết4 6 8

2 3 4x y z

và x +y +z =27

Giải:

- Cách 1: Đặt 4 6 8

2 3 4x y z

=k

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có4 6 8

2 3 4x y z

4 6 8 18 27 18 12 3 4 9 9

4 1 62

6 1 93

8 1 124

x y z x y z

x xy yz z

Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau

1)Các phương pháp:

Để chứng minh tỷ lệ thức :a cb d

Ta có các phương pháp sau :

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng: ad= bc .

Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số ;a cb d

có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho

trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.

6

Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.

Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.

2) Bài tập:Bài tập 1

(Bài 73/SGK-T14) Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:a cb d

hãy suy ra tỷ lệ thức:a b c d

a c

.

Giải:

- Cách 1: Xét tích

(1)(2)

a b c ac bca c d ac ad

Từ (3)a c ad bcb d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d

a c

- Cách 2: Đặt ,a c k a bk c dkb d

Ta có:

1 1(1), ( 0)

1 1(2), ( 0)

b ka b bk b k ba bk bk k

d kc d dk d k dc dk dk k

Từ (1) và (2) suy ra: a b c d

a c

- Cách 3: từ a c b db d a c

Ta có: 1 1a b a b b d c da a a a c c

Do đó: a b c d

a c

- Cách 4: Từ

a c a b a bb d c d c d

a a b a b c dc c d a c

- Cách 5: từ

1 1a c b d b db d a c a c

a b c d

a c

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức a cb d

ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:

;a b c d a b c db d a c

(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu 2a bc thì

7

a) 2 2

2 2; ) , ( 0)a b c a a c cb ba b c a b a b

(với a , )b a c Lời giải: a) - Cách 1: Xét tích chéo

- Cách 2: từ 2 a ca bcb a

Đặt ,a c k a bk c akb a

Ta có: 1 1, 0 (1)

1 1b ka b bk b k b

a b bk b b k k

1 1 0 , (2)

1 1a kc a ak a k a

c a ak a a k k

Từ (1) và (2) suy ra: a b c aa b c a

- Cách 3: Ta có

22

2 ,

, 0

a a ba b a ab bc ab do a bca b a a b a ab bc ab

b c a c a a bb c a c a

Do đó: a b c aa b c b

Ngược lại từ a b c aa b c b

ta cũng suy ra được a2 = bc

Từ đó ta có bài toán cho a b c aa b c b

chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì

từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .- Cách 4: Từ a2 = bc

a c a b a b a bb a c a c a c a

a b c aa b c a

b) - Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c) = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)

Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c 2 2

2 2

a c cb a b

- Cách 2: Từ a2 = bc a cb a

Đặt a c kb a

suy ra a = bk, c = ak = bk2

Ta có:

2 2 22 2 2 2 2 42

2 2 2 2 2 2 2

1, 0

1

b k ka c b k b k k bb a b b k b k

22c k b k

b b

8

Do đó: 2 2

2 2

a c cb a b

- Cách 3: từ a2 = bc a cb a

2 2 2 2

2 2 2 2 (1)a c a cb a b a

Từ 2

2 (2), ( 0)a c a a c c ab a b b a b

Từ (1) và (2) suy ra: 2 2

2 2

a c cb a b

- Cách 4: Ta có

2 2 2

2 2 2 , 0c b ca c bc c c b c

b a b bc b b c b

Do đó: 2 2

2 2

a c cb a b

Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là 1 2 3 4, , ,a a a a thoả mãn 2 32 1 3 3 2 4;a a a a a a chứng tỏ

3 3 31 2 3 1

3 3 32 3 4 4

a a a aa a a a

Giải: Từ 2 1 2

2 1 32 3

3 323 2 4

3 4

(1)

(2)

a aa a aa a

aaa a aa a

Từ (1) và (2) suy ra 33 3

3 3 31 2 1 2 1 2 13 3 3

2 3 4 2 3 4 2 3 4 4

(3)a a aa a a a a a aa a a a a a a a a a

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3 3 3 33 3

3 1 2 31 23 3 3 3 3 3

2 3 4 2 3 4

(4)a a a aa aa a a a a a

Từ (3) và (4) suy ra: 3 3 31 2 3 1

3 3 32 3 4 4

a a a aa a a a

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:

Cho 1 2 4

2 3 4

a a aa a a

chứng minh rằng 3

1 2 3 1

2 3 4 4

a a a aa a a a

Bài tập 4: Biết bz cy cx az ay bx

a b c

Chứng minh rằng x y za b c

Giải: Ta có 2 2 2

bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbxa b c a b c

2 2 2 0abz acy bcx bay cay cbxa b c

2 0 (1)abz acy y zabz acy bz cya b c

9

2 0 (2)bcx baz z xbcx baz cx azb c a

Từ (1) và (2) suy ra: x y za b c

Bài tập 5: Cho cba

zcba

ycba

x

4422

. Chứng minh rằng

zyxc

zyxb

zyxa

4422 (với 0abc và các mẫu đều khác 0)

Lời giải:Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

)1(92

2244422

2242

4422 azyx

cbacbacbazyx

cbay

cbaz

cbay

cbax

)2(9

2)44(242

242

24422 b

zyxcbacbacba

byxcba

xcba

zcba

ycba

x

)3(944

44)448(48444

4484

4844

4422

czyx

cbacbacbazyx

cbay

cbax

cbaz

cbay

cbax

Từ (1),(2),(3) suy ra c

byxb

zyxa

zyx944

92

92

suy ra

zyxc

zyxb

zyxa

4422

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ1. Phương pháp giải

Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biếtBước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiệnBước 3:Tìm các số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận.

2. Bài tậpBài tập 1. (Bài 76 SBT-T14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5

Lời giải:Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c 0 )Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có 542cba

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :

21122

542542

cbacba

Suy ra

42

4

422

bb

aa

1025

cc

10

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãnVậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cmCó thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được: c-a=3

Bài tập 2:Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được

tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được.Lời giải:Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)

Theo bài ra ta có 717119

516642

5164

62

542

cbacbacba

Suy ra

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãnVậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35câyBài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và

số thứ hai là 32

,giữa số thứ hai và số thứ 3 là 94

.Tìm ba số đó.

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c

Theo bài ra ta có 2 4;3 9

a ab c

và 3 3 3 1009a b c

Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1

5 số thóc ở kho I, 1

6

số thóc ở kho II và 111 số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi

lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc Lời giải:Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)

Số thóc của kho I sau khi chuyển là 1 45 5

a a a

Số thóc của kho II sau khi chuyển là 1 56 6

b b b

Số thóc của kho III sau khi chuyển là 1 1011 11

c c c

theo bài ra ta có 4 5 105 6 11

a b c và a+b+c=710

từ 4 5 10 4 5 105 6 11 5.20 6.20 11.20

a b c a bc

710 1025 24 22 25 24 22 71a b c a b c

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

11

Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 3m đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 3 3 31,2 ;1,4 ;1,6m m mSố học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh của mỗi khối.Lời giải:

Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương)Số đất khối 7 chuyển được là 1,2aSố đất khối 8 chuyển được là 1,4bSố đất khối 9 chuyển được là 1,6c

Theo bài rat a có ;1 3 4 5a b b c

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãnVậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 h/s,240h/s,300h/s

Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau1) Sai lầm khi áp dụng tương tự

H/s áp dụng ..

x y x ya b a b

hay . .. .

x y z x y za b c a b c

Bài tập 1: (Bài 62 - SGK/T31) tìm 2 số x,y biết rằng 2 5x y

và x.y=10

H/s sai lầm như sau : . 10 1

2 5 2.5 10x y x y

suy ra x=2,y=5

Bài làm đúng như sau:

Từ 2

2. . 10 4 22 5 2 5 2 5x y x x x y x x x từ đó suy ra 5y

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5

hoặc từ 2 2

2 210. 1 4 22 5 4 2 5 4 10x y x x y x x x

hoặc đặt 2 , 52 5x y x x x y x vì xy=10 nên 2x.5x=10 2 1 1x x

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng

2 3 4x y z

và x.y.z= 648

H/s sai lầm như sau. . 648 27

2 3 4 2.3.4 24x y z x y z

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 12)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0

Khi rút gọn HS thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c

b c c a a b

.

12

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó

Cách 1:Ta có a b c

b c c a a b

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

2a b c a b c a b c

b c c a a b b c c a a b a b c

h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng 12

ta phải làm như sau

+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c

nên mỗi tỉ số ; ;a b cb c c a a b

đều bằng -1

+ Nếu a+b+c 0 khi đó 1

2 2a b c a b c

b c c a a b a b c

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

Bài tập 4: Cho biểu thức x y y z z t t xPz t t x x y z y

Tính giá trị của P biết rằng (1)x y z ty z t z t x t x y x y z

Lời giải:Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có

3( )x y z t x y z t

y z t z t x t x y x y z x y z t

Cách 2:Từ (1) suy ra 1 1 1 1x y z tx z t z t x t x y x y z

x y z t x y z t x y z t x y z ty z t z t x x y t x y z

Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+zPhải làm đúng như sau :Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4 nên dùng cách 2

Bài tập tương tự :

1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiệna b c b c a c a b

c a b

.Hãy tính giá trị của biểu thức 1 1 1b a cBa c b

2)Cho dãy tỉ số bằng nhau : 2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

Tìm giá trị của biểu thức M biết : a b b c c d d aMc d d a a b b c

13

Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau.

Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải

bài toán “ Tìm x.ybiết: 2 1 3 2 2 3 1

5 7 6x y x y

x

” như sau:

Ta có:2 1 3 2 2 3 1

5 7 6x y x y

x

(1)

Từ hai tỷ số đầu ta có:2 1 3 2 2 3 1

5 7 12x y x y

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra 2 3 1

6x y

x 2 3 1

12x y

(3) 6x = 12 x = 2Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìmLời giải :Học sinh trên sai như sau

Từ (3) phải xét hai trường hợpTH 1 : 2x+3y-1 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trênTH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có1 3 1 1 3 1 3 2 0

5 5 7y y y

Suy ra 2-3y =3y-2 =023

y . Từ đó tìm tiếp 12

x

Bài tập 6: Tìm x,y biết : 1 2 1 4 1 6 (1)

18 24 6y y y

x

Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn Học sinh thường sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B

Bài tập 7:Tìm x biết 1 60

15 1x

x

Giải: 1 6015 1

xx

2 21 15 . 60 1 900x x

h/s thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng :

2 3 4x y z

và 2 2 22 3 5 405x y z

Lời giải:

Đặt 2 3 4x y z

=k suy ra x=2k, y=3k, z=4k

Từ 2 2 22 3 5 405x y z suy ra 2 2 22. 2 3 3 5 4 405k k k 2 2 2

2

2

8 27 80 405

45 405

9

k k k

k

k

Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra 3k

14