MATEMÁTICA BÁSICA PARA ARQUITECTURA (MA101)CLASE INTEGRAL 13.2

CICLO 2009-II

Profesores: Pilar Alvarado, Alberto Mejía (Coordinador) y Héctor E. Viale Tudela

1. Si determine (regla de correspondencia y dominio) y grafique f y su función inversa en un mismo plano.

2. Determine el dominio de la función f, cuya regla de correspondencia es:

a. d.

b. e.

c. f.

3. Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.a. Las funciones y con reglas de correspondencia y

, son iguales.

b. El dominio de la función , definida por , está dado por

c. Si entonces .

d. Si entonces

e. Si entonces f es inyectiva.

f.

g. Si , entonces (f o g)(1) = 0

h. Si f y g son funciones con reglas de correspondencia y

, ¿podemos afirmar que f y g son iguales?

i. Si entonces

j. Si entonces

4. Encuentre las funciones de la forma cuyas gráficas son las siguientes

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-3 30

(2 ,1 2 )

5

-3 30

( -1 ,1 5 )

y

x

y

x

5. Para la función , con regla de correspondencia: :

a. Trace la gráfica, indicando sus intersecciones con los ejes coordenados.

b. Determine el dominio y rango de .

c. Determine la regla de correspondencia y dominio de .

6. Dada la función con regla de correspondencia donde , determine la regla de correspondencia (y el dominio) de la función inversa. Además trace la grafica de y en un mismo sistema de coordenadas usando la propiedad de reflexión.

7. En cada uno de los casos Determine , e indique su dominio:

a. ;

b. ;

8. Si , determine (regla de correspondencia y dominio).

9. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a. h.

b. i.

c. j.

d. k.

e.

f.

10.Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Si el perímetro de la ventana es de 6 m, ¿cuáles son las dimensiones que dejan entrar la mayor cantidad de luz?

11.La producción diaria (en unidades por día) de un trabajador que ha estado en el trabajo t (en semanas) se puede calcular con una expresión de la forma

. Cuando el trabajador ingresa a la empresas puede producir 20

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unidades por día, y después de una semana puede producir 30 unidades por día. ¿Cuántas unidades por día producirá el trabajador luego de tres semanas de haber ingresado a la empresa?

12.Con base en la información actual de nacimientos y muertes, la población de Kenya aumenta exponencialmente con una tasa de crecimiento de 4,1%. Si en 1995 la población fue de 20,2 millones ¿Cuántos años pasarán para que se duplique la población?

13.En la gráfica de la derecha se muestra la grafica que representa la población de venados en un condado de Pennsylvania entre 1996 y 2000. Suponga que la población crece de forma exponencial.

a. ¿Cuál fue la población de venados en 1996?

b. Encuentre una función que permita calcular la población de venados en función de t, donde t son los años transcurridos luego de 1996.

c. ¿Cuál es la población de venados proyectada en 2004? d. ¿En qué año la población de venados llegará a 100 000?

14.Población de peces: El número de cierta especie de peces se modela mediante la función , donde t se mide en años y n(t) se mide en millones.

a. ¿Cuál será la población de peces después de cinco años?b. ¿Después de cuántos años la cantidad de peces llega a 30 millones?c. Trace una gráfica de la función de población de peces n(t).

15.Dada la función f, tal que:

a. Determine la regla de correspondencia y dominio de .

b. Trace la gráfica de f y en un mismo sistema coordenado. Indique los puntos de intersección de ambas gráficas con los ejes coordenados.

16.Dada la función f , cuya regla de correspondencia es: ; 4 x 12

a. Compruebe que f es una función inyectiva y determine su dominio y la regla de correspondencia de .

b. Grafique y en un mismo sistema de coordenadas. Use una escala adecuada.

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17.Dada la función , cuya regla de correspondencia se indica:

a. Trace su gráfica indicando las coordenadas de los puntos de corte con los ejes. (use una escala adecuada)

b. Determine su rango e indique el valor de y .

18.Trace la gráfica de la función f tal que ; luego evalúe f(1,5) y finalmente determine el dominio y rango de f.

19.La figura muestra la vista en planta de un parque que se piensa construir. Dicho parque se construirá a partir de un área rectangular al cual se le eliminaran dos semicírculos de radio tal como lo muestra la figura. Sabiendo que el perímetro del parque es de 20 metros. determine:

a. El área del parque en función de .b. El dominio de la función área

20.Una constructora desea delimitar el perímetro en el cual construirá una nueva urbanización y dispone de 4 000 metros de cerca para este fin. El terreno a delimitar debe tener la forma y cumplir las condiciones que se muestran en la figura adjunta de la derecha.

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r

r

x

Parque(Área sombreada)

1 2 3 4 5-1-2-3-4-6-7

2

x

y

3

-1

21.Halle el dominio de la función f, cuya regla de correspondencia es:

22.Dada la función f, tal que:

a. Determine la regla de correspondencia y dominio de f -1

b. Trace la gráfica de f y f -1 en un mismo sistema coordenado. Indique los puntos de intersección de ambas gráficas con los ejes coordenados.

23.Para la función f, cuyo gráfico se muestra, determine: dominio, rango, los intervalos donde la función es positiva o negativa y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determine la regla de correspondencia.

24.Determine la función inversa de f si su regla de correspondencia es . Grafique ambas funciones en un mismo plano cartesiano.

25.Un arquitecto desea proteger un terreno rectangular en el cual construirá un complejo habitacional. Si el arquitecto tiene en el almacén 4 000 m disponibles de cerca, determine las dimensiones del terreno, de tal manera que el área total protegida sea máxima.

26. Se muestra el gráfico de la función f (que es parte de una parábola con vértice en (-4;3), determine:

a. Regla de correspondencia de la función f.

b. Regla de correspondencia de la función inversa de f, indicando el dominio de la misma.

c. La gráfica de la función inversa.

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x

y

V(-4;3)

(-3;0)

(-2;-9)

Parábola

27.Un canalón para captar agua de lluvia es fabricado con hojas de aluminio de 32cm de ancho, doblando los lados 90° hacia arriba. ¿Qué profundidad proporciona la mayor área de sección transversal y con ello permite el mayor flujo de agua?

28.Un campo deportivo está formado por un rectángulo y un semicírculo en cada extremo del rectángulo. El perímetro del campo deportivo, así formado, es de 1 500 metros.

a. Determine la función área del radio x de la parte semicircular e indique su dominio.

b. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del campo rectangular de modo que su área sea máxima?

29.Se tiene un terreno en forma de elipse, con eje mayor de 200 metros y eje menor de 100 metros. Un conocido club deportivo, desea construir un campo de fútbol y para este fin, inscribe en el terreno elíptico un campo rectangular (tal como se muestra en la figura). Determine la función área del campo de fútbol.

30.Un rectángulo está inscrito en un triángulo equilátero con un perímetro de 30 cm como se observa en la figura.

a. Exprese el área A del rectángulo como una función de la longitud x mostrada en la figura.

b. Determine las dimensiones del rectángulo que tenga el área más grande.

31.La figura muestra la elevación frontal de una iglesia, la cual es simétrica respecto a un eje vertical central y tiene un arco semielíptico en donde se inscribe la puerta de dos hojas que abre hacia adentro.

a. Determine la regla de correspondencia de la función área de la puerta A(x) en términos de x.

b. Determine el dominio de la función A.

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X

Y

x

x

3x

32.La figura muestra la vista en planta de una piscina, la cual tiene 30 m de perímetro interior (desprecie el borde de la piscina). Determine:

a. La función área del espejo de agua A(x), indicando su dominio respectivo

b. Las dimensiones de la piscina para las cuales se consiguen el área máxima del espejo de agua.

33.Una constructora desea delimitar el perímetro de un terreno en el que construirá una nueva urbanización. Dispone con 14 000 metros de cerca para este fin. El terreno, formado por un rectángulo y un semicírculo, se muestra en la figura adjunta. ( )

a. Determine la regla de correspondencia y el dominio de la función A, que permite calcular el área del terreno encerrado, en función de x.

b. Determine las dimensiones del terreno de manera de conseguir el área máxima.

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Arco semielíptico

Y

X

y4m

6m

x

x

R

2.00

3.00

34.Carlos dispone de un terreno rectangular para construir su casa, tal como se muestra en la figura. El ha decidido que la parte construida de la casa esté en la zona triangular mientras que la cochera corresponderá a la zona con forma de cuarto de círculo, La zona que quede entre ambas construcciones será destinada a un jardín, el cual tiene un perímetro de 200m. Determine:

a. La función área del jardín en función de r e indique su dominio. Considere

b. Los valores de x y r para que el jardín tenga la máxima área.

35.En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función , determine:

a. El dominio y rango de .b. Los intervalos donde la función

es positiva ( ), donde la función es negativa ( , donde la función es cero (

.c. Los intervalos donde la función

es creciente, donde la función es decreciente.

d. Basado en la información gráfica indique el valor de y

.e. Determine la regla de

correspondencia.

Monterrico, noviembre de 2009

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JARDIN

COCHERA

40m

CASA

r

r

3r

x

60m

3r

X