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Coleccion De Problemas Resueltos Matematicas Aplicadas A La Ingenieria

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Coleccin de Problemas Resueltos.Volumen I.Fundamentos Matemticos de la Ingeniera.Ingeniera Tcnica Industrial. Especialidad Mecnica.Curso 2004-05.ndice GeneralI Boletines Resueltos de los Bloques Temticos lgebra Lineal y Clculo Difer-encial e Integral de Funciones de una Variable. 2Boletn 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices. 3Boletn 2. El Espacio Vectorial Rn. Ortogonalidad y Mnimos Cuadrados 27Boletn 3. Diagonalizacin de Matrices 60Boletn 4. Funciones de una Variable. Diferenciacin y Aplicaciones 78Boletn 5. Integral de Riemann. Aplicaciones 93II Exmenes Resueltos de Cursos Anteriores 111Primer Parcial. Curso 2002-03 112Segundo Parcial. Curso 2002-03 123Examen de Junio. Curso 2002-03 132Examen de Septiembre. Curso 2002-03 141Examen de Diciembre de 2003 151Primer Parcial. Curso 2003-04 160Segundo Parcial. Curso 2003-04 170Examen de Junio. Curso 2003-04 179Examen de Septiembre. Curso 2003-04 1911Parte IBoletines Resueltos de los BloquesTemticos lgebra Lineal y ClculoDiferencial e Integral de Funciones deuna Variable.2Boletn 1. Sistemas de EcuacionesLineales y Matrices.1. Resolver los siguientes sistemas por el mtodo de Gauss-Jordan y por el mtodo de Gauss.a)

x1 +x2 + 2x3 = 8x12x2 + 3x3 = 13x17x2 + 4x3 = 10b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 02x1 + 5x2 + 2x3 = 18x1 +x2 + 4x3 = 1c)

x y + 2z w = 12x +y 2z 2w = 2x + 2y 4z +w = 13x 3w = 3d)

2b + 3c = 13a + 6b 3c = 26a + 6b + 3c = 5e)

2x13x2 = 22x1 +x2 = 13x1 + 2x2 = 1f)

4x18x2 = 123x16x2 = 92x1 + 4x2 = 6g) 5x12x2 + 6x3 = 02x1 +x2 + 3x3 = 1h) x12x2 + 3x3 = 02x1 + 4x26x3 = 1Solucin:En todos los apartados aplicaremos primeramente el mtodo de Gauss y a continuacin el mtodode GaussJordan.(a)

1 1 2 81 2 3 13 7 4 10

F21(1)F31(3)

1 1 2 80 1 5 90 10 2 14

F2(1)

1 1 2 80 1 5 90 10 2 14

F32(10)

1 1 2 80 1 5 90 0 52 104

F3(1/52)

1 1 2 80 1 5 90 0 1 2

.Por consiguiente, el sistema inicial es equivalente al sistema triangular superior

x1 +x2 + 2x3 = 8x25x3 = 9x3 = 2As, el sistema dado es compatible determinado (C.D.) y usando el mtodo de subida sunica solucin es x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2.Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la ltima matriz ampliada(forma escalonada).

1 1 2 80 1 5 90 0 1 2

F23(5)F13(2)

1 1 0 40 1 0 10 0 1 2

F12(1)

1 0 0 30 1 0 10 0 1 2

.3Boletn 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 4Luego, el sistema inicial es equivalente a

x1 = 3x2 = 1x3 = 2y su solucin ya est dada.(b)

2 2 2 02 5 2 18 1 4 1

F2(1/2)

1 1 1 02 5 2 18 1 4 1

F21(2)F31(8)

1 1 1 00 7 4 10 7 4 1

F2(1/7)

1 1 1 00 1 4/7 1/70 7 4 1

F23(7)

1 1 1 00 1 4/7 1/70 0 0 0

.En consecuencia, el sistema es compatible indeterminado (C.I.), ya que la matriz escalonadaposee dos unos principales y aparece, por tanto, x3 como variable libre. El sistema inicial esequivalente al sistema x1 +x2 +x3 = 0x2 + 4x3/7 = 1/7y el conjunto de sus soluciones puede escribirseen la forma

x1 = 1/7 3t/7x2 = 1/7 4t/7x3 = tcon t R.Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la ltima matriz ampliada(forma escalonada).

1 1 1 00 1 4/7 1/70 0 0 0

F12(1)

1 0 3/7 1/70 1 4/7 1/70 0 0 0

.Por tanto, el sistema inicial equivale a x13x3/7 = 1/7x2 + 4x3/7 = 1/7y el conjunto de solucionestambin puede expresarse en la forma

x1 = 1/7 3sx2 = 1/7 4sx3 = 7scon s R.(c)

1 1 2 1 12 1 2 2 21 2 4 1 13 0 0 3 3

F21(2)F31(1)F41(3)

1 1 2 1 10 3 6 0 00 1 2 0 00 3 6 0 0

F2(1/3)

1 1 2 1 10 1 2 0 00 1 2 0 00 3 6 0 0

F32(1)F42(3)

1 1 2 1 10 1 2 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

.En consecuencia, el sistema inicial es quivalente al sistema x y + 2z w = 1y 2z = 0Aparecen dos unos principales en la matriz escalonada y el sistema tiene a las incgnitas zy w como variables libres.El sistema es, por tanto, C.I. y sus innitas soluciones puedenescribirse en la forma

x = 1 +y = 2z = w = con , R.Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la ltima matriz ampliadaBoletn 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 5(forma escalonada).

1 1 2 1 10 1 2 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

F12(1)

1 0 0 1 10 1 2 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

.Por tanto, el sistema inicial es equivalente a x w = 1y 2z = 0y es sencillo escribir x e y enfuncin de las variables libres z y w.(d)

0 2 3 13 6 3 26 6 3 5

P12

3 6 3 10 2 3 16 6 3 5

F1(1/3)

1 2 1 1/30 2 3 16 6 3 5

F31(6)

1 2 1 1/30 2 3 10 6 9 3

F2(1/2)

1 2 1 1/30 1 3/2 1/20 6 9 3

F32(6)

1 2 1 1/30 1 3/2 1/20 0 0 0

.Por consiguiente, el sistema es equivalente al sistema a + 2b c = 1/3b 3c/2 = 1/2y es C.I. Lasinnitas soluciones pueden escribirse en la forma

a = 4/3 2b = 1/2 + 3/2c = con R.Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la ltima matriz ampliada(forma escalonada).

1 2 1 1/30 1 3/2 1/20 0 0 0

F12(2)

1 0 2 4/30 1 3/2 1/20 0 0 0

.El sistema dado es equivalente a a + 2c = 4/3,b 3c/2 = 1/2,la variable c es libre y las innitassoluciones se pueden expresar en la forma

a = 4/3 2b = 1/2 + 3/2c = con R.(e)

2 3 22 1 13 2 1

F1(1/2)

1 3/2 12 1 13 2 1

F12(2)F31(3)

1 3/2 10 4 30 13/2 4

F2(1/4)

1 3/2 10 1 3/40 13/2 4

F32(13/2)

1 3/2 10 1 3/40 0 7/8

. El sistema es equivalente a

x13x2/2 = 1x2 = 3/40 = 7/8y por tanto, incompatible.Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la ltima matriz ampliada(forma escalonada).

1 3/2 10 1 3/40 0 7/8

F12(3/2)

1 0 17/80 1 3/40 0 7/8

Boletn 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 6El sistema es equivalente a

x1 = 17/8x2 = 3/40 = 7/8y de nuevo vemos que es incompatible.(f)

4 8 123 6 92 4 6

F1(1/4)

1 2 23 6 92 4 6

F21(3)F31(2)

1 2 20 0 00 0 0

.El sistema inicial es C.I. y equivalente al sistema con una ecuacin y dos incgnitasx12x2 = 3. Por tanto, las innitas soluciones pueden escribirse en la forma x1 = 3 + 2tx2 = tcon t R.En este caso, la matriz escalonada anterior es tambin escalonada reducida por lo que losmtodos de Gauss y GaussJordan coinciden.(g) 5 2 6 02 1 3 1 F1(1/5) 1 2/5 6/5 02 1 3 1 F21(2) 1 2/5 6/5 00 1/5 3/5 1 F2(5) 1 2/5 6/5 00 1 3 5.El sistema inicial es C.I. y equivalente al sistema x12x2/5 + 6x3/5 = 0,x2 + 3x3 = 5.As, el conjunto de soluciones adquiere la forma

x1 = 2 125 tx2 = 5 3tx3 = tcon t R.Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la ltima matriz ampliada(forma escalonada). 1 2/5 6/5 00 1 3 5 F12(2/5) 1 0 12/5 20 1 3 5. Observamos que el sistema iniciales equivalente a x1 + 12x3/5 = 0,x2 + 3x3 = 5.(h) 1 2 3 02 4 6 1 F21(2) 1 2 3 00 0 0 1. El sistema es incompatible y la formaescalonada anterior es escalonada reducida.2. Sin usar lpiz y papel, determinar cules de los siguientes sistemas homogneos tienen solucionesno triviales.a)

2x13x2 + 4x3x4 = 07x1 +x28x3 +x4 = 02x1 + 8x2 +x3x4 = 0b)

x1 + 3x2x3 = 0x28x3 = 04x3 = 0c) 3x 2y = 06x 4y = 0Solucin:(a) En este caso, el sistema es C.I. pues se trata de un sistema homogneo con ms incgnitasque ecuaciones. Es decir, el sistema posee soluciones no triviales.(b) El sistema es C.D., ya que es claro que el mtodo de subida nos proporcinara como nicasolucin del sistema, la solucin trivial.(c) La segunda ecuacin es proporcional a la primera y el sistema es, por tanto, C.I., es decir,tiene soluciones no triviales.Boletn 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 73. Resolver los siguientes sistemas homogneos, por cualquier mtodoa)

2x y 3z = 0x + 2y 3z = 0x +y + 4z = 0b)

v + 3w 2x = 02u +v 4w + 3x = 02u + 3v + 2w x = 04u 3v + 5w 4x = 0Solucin:En ambos casos utilizaremos el mtodo de Gauss.(a)

2 1 3 01 2 3 01 1 4 0

F1(1/2)

1 1/2 3/2 01 2 3 01 1 4 0

F21(1)F31(1)

1 1/2 3/2 00 3/2 9/2 00 3/2 11/2 0

F2(2/3)

1 1/2 3/2 00 1 3 00 3/2 11/2 0

F32(3/2)

1 1/2 3/2 00 1 3 00 0 10 0

F3(1/10)

1 1/2 3/2 00 1 3 00 0 1 0

.Puesto que la matriz escolonada posee tres unos principales, el mismo nmero que incg-nitas, el sistema es C.D. y la nica solucin del mismo es la trivial (x = y = z = 0).(b)

0 1 3 2 02 1 4 3 02 3 2 1 04 3 5 4 0

P21

2 1 4 3 00 1 3 2 02 3 2 1 04 3 5 4 0

F1(1/2)

1 1/2 2 3/2 00 1 3 2 02 3 2 1 04 3 5 4 0

F31(2)F41(4)

1 1/2 2 3/2 00 1 3 2 00 2 6 4 00 1 3 2 0

F32(2)F41(1)

1 1/2 2 3/2 00 1 3 2 00 0 0 0 00 0 0 0 0

.El sistema inicial es equivalente a u v/2 2w + 3x/2 = 0,v + 3w 2x = 0,es C.I. y tomamos w y xcomo variables libres. As, el conjunto de soluciones puede escribirse, despus de aplicar elmtodo de subida, en la forma

u = t/2 s/2v = 3t + 2sw = tx = scon t, s R.4. Resolver los siguientes sistemas, donde a, b y c son constantes.a) 2x +y = a3x + 6y = bb)

x1 +x2 +x3 = a2x1 + 2x3 = b3x2 + 3x3 = cSolucin:Aplicaremos en ambos casos el mtdo de Gauss.(a) 2 1 a3 6 b F1(1/2) 1 1/2 a/23 6 b F21(3) 1 1/2 a/20 9/2 b 32a F2(2/9)Boletn 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 8 1 1/2 a/20 129b 13a. El sistema inicial es C.D y equivalente a x + 12y = 12ay = 29b 13ayaplicando el mtodo de subida la nica solucin esy = 29b 13a, x = 12a 12y = 12a 1229b 13a = 23a 19b.(b)

1 1 1 a2 0 2 b0 3 3 c

F21(2)

1 1 1 a0 2 0 b 2a0 3 3 c

F2(1/2)

1 1 1 a0 1 0 a 12b0 3 3 c

F32(3)

1 1 1 a0 1 0 a 12b0 0 3 c 3a + 32b

F3(1/3)

1 1 1 a0 1 0 a 12b0 0 113c a + 12b

.El sistema inicial es C.D., equivalente a