com Cac Chuyen de Toan 9 Hay

Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012PHN I: I SCH 1: CN THC BIN I CN THC.Dng 1: Tm iu kin biu thc c cha cn thc c ngha.Bi 1: Tm x cc biu thc sau c ngha.( Tm KX ca cc biu thc sau).3 x 1 6x 14)x 2x1 ) 7x 53x3 x1 13)x 73 x 6)6 5x x1 12)2 7xx 35)3 5x 2x 11)1 2x 4)7 3x x 10) 14 7x1 3)2 x 9)2x 5 2)3 x 8) 1 3x 1)222222+ + +++ ++ + + Dng 2: Bin i n gin cn thc.Bi 1: a mt tha s vo trong du cn.2 2x7xe) ;x 25x5) (x d) ;52xc) 0); x (vix2x b) ;3553 a) >Bi 2: Thc hin php tnh.3 33;33 33 15 26 3 15 26 h) ; 2 14 20 2 14 20g)7 2 5 7 2 5 f); 10 : ) 450 3 200 5 50 (15 c)2 6 11 2 6 11 e); 0,4) 3 2 )( 10 2 3 8 (b); 5 2 6 5 2 6d) ; 8 7 7 ) 7 14 2 28 (a) + + + + + + + + + + + Bi 3: Thc hin php tnh.10 2 715 2 8 6 2 5 c) 5 71: )3 15 152 17 14b) 61)32162 86 3 2( a)+ + + Bi 4: Thc hin php tnh.6 2 12 6,5 12 6,5e)7 7 4 7 4 d)2 5 3 5 3 c)5 3 5) (3 5 3 5) (3 b) 15 4 6) 10 )( 15 (4)+ + ++ + + + + + + aBi 5: Rt gn cc biu thc sau:www.vnmath.com1Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-20125 35 35 35 3 d)6 56 2 56 56 2 5 c)1 1 331 1 33b)1 24 711 24 71a)+++++++ + + ++ Bi 6: Rt gn biu thc:100 991...4 313 212 11c) 3 4 7 10 48 5 3 5 4 b) 48 13 5 2 6 a)++ +++++++ + + + +Bi 7: Rt gn biu thc sau:43y 6xy 3xy x2 e)) 4a 4a (1 5a1 2a1 d);4 aa 4 2a 8 a a c)1. av0 avi ,1 aa a11 aa a1 b)b. a v 0 b 0, avi ,b a1:aba b b a a)2 22 22 4+ ++ + >

,_

,_

+++ > >+Bi 8: Tnh gi tr ca biu thc( )( )a. ) y )(1 x (1 xy bit, x 1 y y 1 x E e)1. x 2x 9 x 2x 16 bit , x 2x 9 x 2x 16 D d)3; 3 y y 3 x x bit, y x C c); 1) 5 4( 1) 5 4( xvi 8 12x x B b)5 4 91y ;2 51x khi 2y, y 3x x A a)2 2 2 22 2 2 22 23 3 32 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Dng 3: Bi ton tng hp kin thc v k nng tnh ton.Bi 1: Cho biu thc 2 1 x3 xP a) Rt gn P.b) Tnh gi tr ca P nu x = 4(2 -3 ).c) Tnh gi tr nh nht ca P.Bi 2: Xt biu thc1.aa 2a1 a aa aA2+++ +a) Rt gn A.www.vnmath.com2Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012b) Bit a > 1, hy so snh A vi A.c) Tm a A = 2.d) Tm gi tr nh nht ca A.Bi 3: Cho biu thc x 1x2 x 212 x 21C++a) Rt gn biu thc C.b) Tnh gi tr ca C vi 94x .c) Tnh gi tr ca x .31C Bi 4: Cho biu thc 2 2 2 2 2 2b a ab:b aa1b aaM

,_

+ a) Rt gn M.b) Tnh gi tr M nu .23bac) Tm iu kin ca a, b M < 1.Bi 5: Xt biu thc .2x) (11 x 2 x2 x1 x2 xP2

,_

+ ++a) Rt gn P.b) Chng minh rng nu 0 < x < 1 th P > 0.c) Tm gi tr ln nht ca P.Bi 6: Xt biu thc.x 31 x 22 x3 x6 x 5 x9 x 2Q+++ a) Rt gn Q.b) Tm cc gi tr ca x Q < 1.c) Tm cc gi tr nguyn ca x gi tr tng ng ca Q cng l s nguyn.Bi 7: Xt biu thc ( )y xxy y x:y xy xy xy xH23 3++

,_

a) Rt gn H.b) Chng minh H 0.c) So snh H viH .Bi 8: Xt biu thc .1 a a a aa 21 a1:1 aa1 A

,_

+

,_

++ a) Rt gn A.b) Tm cc gi tr ca a sao cho A > 1.c) Tnh cc gi tr ca A nu 2006 2 2007 a .Bi 9: Xt biu thc.x 12 x2 x1 x2 x x3 9x 3xM+++ + +a) Rt gn M.b) Tm cc gi tr nguyn ca x gi tr tng ng ca M cng l s nguyn.www.vnmath.com3Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Bi 10: Xt biu thc.3 x3 x 2x 12 x 33 x 2 x11 x 15P+++ +a) Rt gn P.b) Tm cc gi tr ca x sao cho .21P c) So snh P vi 32.Ch 2: PHNG TRNH BC HAI NH L VI-T.Dng 1: Gii phng trnh bc hai.Bi 1: Gii cc phng trnh1) x2 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 8x + 3 = 0 ;3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x 7,5 = 0 ;5) x2 4x + 2 = 0 ; 6) x2 2x 2 = 0 ;7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x +2 ) ;8) 2 3 x2 + x + 1 =3 (x + 1) ;9) x2 2( 3- 1)x - 2 3= 0.Bi 2: Gii cc phng trnh sau bng cch nhm nghim:1) 3x2 11x + 8 = 0 ;2) 5x2 17x + 12 = 0 ;3) x2 (1 +3 )x +3= 0 ; 4) (1 -2 )x2 2(1 +2 )x + 1 + 3 2= 0 ;5) 3x2 19x 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;7) ( 3+ 1)x2 + 2 3 x +3- 1 = 0 ; 8) x2 11x + 30 = 0 ;9) x2 12x + 27 = 0 ; 10) x2 10x + 21 = 0.Dng 2: Chng minh phng trnh c nghim, v nghim.Bi 1: Chng minh rng cc phng trnh sau lun c nghim.1) x2 2(m - 1)x 3 m = 0 ;2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;3) x2 (2m 3)x + m2 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x 4m 12 = 0 ;5) x2 (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 2x (m 1)(m 3) = 0 ;7) x2 2mx m2 1 = 0 ;8) (m + 1)x2 2(2m 1)x 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.Bi 2: a) Chng minh rng vi a, b , c l cc s thc th phng trnh sau lun c nghim:(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0b) Chng minh rng vi ba s thc a, b , c phn bit th phng trnh sau c hai nghim phn bit: x) (n0c x1b x1a x1++c) Chng minh rng phng trnh: c2x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = 0 v nghim vi a, b, c l di ba cnh ca mt tam gic.d) Chng minh rng phng trnh bc hai: (a + b)2x2 (a b)(a2 b2)x 2ab(a2 + b2) = 0 lun c hai nghim phn bit.Bi 3: a) Chng minhrng t nht mt trong cc phng trnh bc hai sau y c nghim:ax2 + 2bx + c = 0 (1)bx2 + 2cx + a = 0 (2)cx2 + 2ax + b = 0 (3)www.vnmath.com4Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012b) Cho bn phng trnh (n x) sau:x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)x2 - 2bx + 4a2 = 0(2)x2 - 4ax + b2 = 0(3)x2 + 4bx + a2 = 0 (4)Chng minh rng trong cc phng trnh trn c t nht 2 phng trnh c nghim.c) Cho 3 phng trnh (n x sau):(3)0c b1xb ab a 2acx(2)0b a1xa ca c 2cbx(1)0a c1xc bc b 2bax222++++++++++++vi a, b, c l cc s dng cho trc.Chng minh rng trong cc phng trnh trn c t nht mt phng trnh c nghim.Bi 4: a) Cho phng trnh ax2 + bx + c = 0.Bit a 0 v 5a + 4b + 6c = 0, chng minh rng phng trnh cho c hai nghim.b) Chng minh rng phng trnh ax2 + bx + c = 0( a 0) c hai nghim nu mt trong hai iu kin sau c tho mn:a(a + 2b + 4c) < 0 ;5a + 3b + 2c = 0. Dng 3: Tnh gi tr ca biu thc i xng, lp phng trnh bc hai nh nghim ca phng trnh bc hai cho trc.Bi 1: Gi x1 ; x2 l cc nghim ca phng trnh: x2 3x 7 = 0.Tnh:( ) ( )424132311 2 2 12 12 12221x x F; x x E; x 3x x 3x D ;1 x11 x1C; x x B; x x A+ + + + + + Lp phng trnh bc hai c cc nghim l 1 x1v1 x12 1 .Bi 2: Gi x1 ; x2 l hai nghim ca phng trnh: 5x2 3x 1 = 0. Khng gii phng trnh, tnh gi tr ca cc biu thc sau:.x 4x x 4x3x x 5x 3xC;x1x11 xxxx1 xxxxB; x 3x 2x x 3x 2x A22122 122 2 12122 1 1212212122 132 22131++ +

,_

++ +++ + Bi 3:www.vnmath.com5Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012a) Gi p v q l nghim ca phng trnh bc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Khng gii phng trnh hy thnh lp phng trnh bc hai vi h s bng s m cc nghim ca n l 1 pqv1 qp .b) Lp phng trnh bc hai c 2 nghim l 2 6 101v 72 101+ .Bi 4: Cho phng trnh x2 2(m -1)x m = 0.a) Chng minh rng phng trnh lun lun c hai nghim x1 ; x2 vi mi m.b) Vi m 0, lp phng trnh n y tho mn 12 221 1x1x yvx1x y + + .Bi 5: Khng gii phng trnh 3x2 + 5x 6 = 0. Hy tnh gi tr cc biu thc sau:( ) ( )22112 112211 2 2 1x2 xx2 xD ; x x C;1 xx1 xxB ; 2x 3x 2x 3x A+++ + Bi 6: Cho phng trnh 2x2 4x 10 = 0 c hai nghim x1 ; x2. Khng gii phng trnh hy thit lp phng trnh n y c hai nghim y1 ; y2 tho mn: y1 = 2x1 x2 ; y2 = 2x2 x1Bi 7: Cho phng trnh 2x2 3x 1 = 0 c hai nghim x1 ; x2. Hy thit lp phng trnh n y c hai nghim y1 ; y2 tho mn:''+ + 122222112 21 1xxyxxy b)2 x y2 x y a)Bi 8: Cho phng trnh x2 + x 1 = 0 c hai nghim x1 ; x2. Hy thit lp phng trnh n y c hai nghim y1 ; y2 tho mn:' + + ++ +'+ ++ +0. 5x 5x y yx x y y b);3x 3xyyyyxxxxy y a)2 122212221 2 12 1122112212 1Bi 9: Cho phng trnh 2x2 + 4ax a = 0(a tham s, a 0) c hai nghim x1 ; x2. Hy lp phng trnh n y c hai nghim y1 ; y2 tho mn:2 12 1 2 12 1x xy1y1v x1x1y y + + + +Dng 4: Tm iu kin ca tham s phng trnh c nghim c nghim kp,v nghim.Bi 1: a) Cho phng trnh (m 1)x2 + 2(m 1)x m = 0(n x).Xc nh m phng trnh c nghim kp. Tnh nghim kp ny.b) Cho phng trnh (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tm m phng trnh c nghim.www.vnmath.com6Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012a) Cho phng trnh: (m 1)x2 2mx + m 4 = 0.- Tm iu kin ca m phng trnh c nghim.- Tm iu kin ca m phng trnh c nghim kp. Tnh nghim kp .b) Cho phng trnh: (a 3)x2 2(a 1)x + a 5 = 0.Tm a phng trnh c hai nghim phn bit.Bi 2:a) Cho phng trnh: ( )0 6 m m1 xx 1 2m 21 2x x4x22 2 42 +++ +. Xc nh m phng trnh c t nht mt nghim.b) Cho phng trnh: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xc nh m phng trnh c t nht mt nghim.Dng 5: Xc nh tham s cc nghim ca phng trnh ax2 + bx + c = 0 tho mn iu kin cho trc.Bi 1: Cho phng trnh: x2 2(m + 1)x + 4m = 01) Xc nh m phng trnh c nghim kp. Tm nghim kp .2) Xc nh m phng trnh c mt nghim bng 4. Tnh nghim cn li.3) Vi iu kin no ca m th phng trnh c hai nghim cng du (tri du)4) Vi iu kin no ca m th phng trnh c hai nghim cng dng (cng m).5) nh m phng trnh c hai nghim sao cho nghim ny gp i nghim kia.6) nh m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 tho mn 2x1 x2 = - 2.7) nh m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhn gi tr nh nht.Bi 2: nh m phng trnh c nghim tho mn h thc ch ra:a) (m + 1)x2 2(m + 1)x + m 3 = 0; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18b) mx2 (m 4)x + 2m = 0; 2(x12 + x22) = 5x1x2c) (m 1)x2 2mx + m + 1 = 0; 4(x12 + x22) = 5x12x22d) x2 (2m + 1)x + m2 + 2 = 0; 3x1x2 5(x1 + x2) + 7 = 0.Bi 3: nh m phng trnh c nghim tho mn h thc ch ra:a) x2 + 2mx 3m 2 = 0; 2x1 3x2 = 1b) x2 4mx + 4m2 m = 0;x1 = 3x2c) mx2 + 2mx + m 4 = 0;2x1 + x2 + 1 = 0d) x2 (3m 1)x + 2m2 m = 0 ; x1 = x22e) x2 + (2m 8)x + 8m3 = 0; x1 = x22f) x2 4x + m2 + 3m = 0;x12 + x2 = 6.Bi 4: a) Cho phnmg trnh: (m + 2)x2 (2m 1)x 3 + m = 0. Tm iu kin ca m phng trnh c hai nghim phn bit x1 ; x2 sao cho nghim ny gp i nghim kia.b) Ch phng trnh bc hai: x2 mx + m 1 = 0. Tm m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 sao cho biu thc ) x x 2(1 x x3 x 2xR2 122212 1+ + ++ t gi tr ln nht. Tm gi tr ln nht .c) nh m hiu hai nghim ca phng trnh sau y bng 2.mx2 (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bi 5: Cho phng trnh: ax2 + bx + c = 0(a 0).www.vnmath.com7Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Chng minh rng iukincn v phngtrnh chainghim m nghimnygp i nghim kia l 9ac = 2b2.Bi 6: Cho phng trnh bc hai: ax2 + bx + c = 0(a 0). Chng minh rng iu kin cn v phng trnh c hai nghim m nghim ny gp k ln nghim kia (k > 0) l :kb2 = (k + 1)2.acDng 6: So snh nghim ca phng trnh bc hai vi mt s.Bi 1:a) Cho phng trnh x2 (2m 3)x + m2 3m = 0. Xc nh m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 tho mn 1 < x1 < x2 < 6.b) Cho phng trnh 2x2 + (2m 1)x + m 1 = 0. Xc nh m phng trnh c hai nghim phn bit x1 ; x2 tho mn: - 1 < x1 < x2 < 1.Bi 2: Cho f(x) = x2 2(m + 2)x + 6m + 1.a) Chng minh rng phng trnh f(x) = 0 c nghim vi mi m.b) t x = t + 2. Tnh f(x) theo t, t tm iu kin i vi m phng trnh f(x) = 0 c hai nghim ln hn 2.Bi 3: Cho phng trnh bc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.a) Vi gi tr no ca tham s a, phng trnh c nghim kp. Tnh cc nghim kp.b) Xc nh a phng trnh c hai nghim phn bit ln hn 1.Bi 4: Cho phng trnh: x2 + 2(m 1)x (m + 1) = 0.a) Tm gi tr ca m phng trnh c mt nghim nh hn 1 v mt nghim ln hn 1.b) Tm gi tr ca m phng trnh c hai nghim nh hn 2.Bi 5: Tm m phng trnh: x2 mx + m = 0 c nghim tho mn x1 - 2 x2. Dng 7: Tm h thc lin h gia hai nghim ca phng trnh bc hai khng ph thuc tham s.Bi 1: a) Cho phng trnh: x2 mx + 2m 3 = 0. Tm h thc lin h gia hai nghim ca phng trnh khng ph thuc vo tham s m.b) Cho phng trnh bc hai: (m 2)x2 2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phng trnh c nghim, hy tm mt h thc gia cc nghim khng ph thuc vo tham s m.c) Cho phng trnh: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = 0. nh m phng trnh c hai nghim x1 ; x2. Tm h thc gia hai nghim c lp vi m, suy ra v tr ca cc nghim i vi hai s 1 v 1.Bi 2: Cho phng trnh bc hai: (m 1)2x2 (m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phng trnh c nghim, hy tm mt h thc gia cc nghim khng ph thuc vo tham s m.Bi 3: Cho phng trnh: x2 2mx m2 1 = 0.a) Chng minh rng phng trnh lun c hai nghim x1 , x2 vi mi m.b) Tm biu thc lin h gia x1 ; x2 khng ph thuc vo m.c) Tm m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 tho mn: 25xxxx1221 +.Bi 4: Cho phng trnh: (m 1)x2 2(m + 1)x + m= 0.a) Gii v bin lun phng trnh theo m.b) Khi phng trnh c hai nghim phn bit x1 ; x2:- Tm mt h thc gia x1 ; x2 c lp vi m.- Tm m sao cho |x1 x2| 2.www.vnmath.com8Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Bi 5: Cho phng trnh (m 4)x2 2(m 2)x + m 1 = 0. Chng minh rng nu phng trnh c hai nghim x1 ; x2 th: 4x1x2 3(x1 + x2) + 2 = 0.Dng 8: Mi quan h gia cc nghim ca hai phng trnh bc hai.Kin thc cn nh:1/ nh gi tr ca tham s phng trnh ny c mt nghim bng k (k 0) ln mt nghim ca phng trnh kia:Xt hai phng trnh: ax2 + bx + c = 0 (1)ax2 + bx + c = 0(2)trong cc h s a, b, c, a, b, c ph thuc vo tham s m.nh m sao cho phng trnh (2) c mt nghim bng k (k 0) ln mt nghim ca phng trnh (1), ta c th lm nh sau:i) Gi s x0 l nghim ca phng trnh (1) th kx0 l mt nghim ca phng trnh (2), suy ra h phng trnh:(*) 0 c' kx b' x k a'0 c bx ax0202020' + + + +Gii h phng trnh trn bng phng php th hoc cng i s tm m.ii) Thay cc gi tr m va tm c vo hai phng trnh (1) v (2) kim tra li.2/ nh gi tr ca tham s m hai phng trnh bc hai tng ng vi nhau.Xt hai phng trnh: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (3)ax2 + bx + c = 0(a 0) (4)Hai phng trnh (3) v (4) tng ng vi nhau khi v ch khi hai phng trnh c cng 1 tp nghim (k c tp nghim l rng).Do , mun xc nh gi tr ca tham s hai phng trnh bc hai tng ng vi nhau ta xt hai trng hp sau: i) Trng hp c hai phng trinhg cung v nghim, tc l:'< < 00) 4 () 3 (Gii h trn ta tm c gi tr ca tham s.ii) Trng hp c hai phng trnh u c nghim, ta gii h sau:'(4) (3)(4) (3)(4)(3)P PS S0 0 Ch : Bng cch t y = x2 h phng trnh (*) c th a v h phng trnh bc nht 2 n nh sau:' + +c' y a' x b'c ay bx gii quyt tip bi ton, ta lm nh sau:- Tm iu kin h c nghim ri tnh nghim (x ; y) theo m.- Tm m tho mn y = x2.- Kim tra li kt qu.www.vnmath.com9Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012-Bi 1: Tm m hai phng trnh sau c nghim chung:2x2 (3m + 2)x + 12 = 04x2 (9m 2)x + 36 = 0Bi 2: Vi gi tr no ca m th hai phng trnh sau c nghim chung. Tm nghim chung :a) 2x2 + (3m + 1)x 9 = 0;6x2 + (7m 1)x 19 = 0.b) 2x2 + mx 1 = 0;mx2 x + 2 = 0.c) x2 mx + 2m + 1 = 0;mx2 (2m + 1)x 1 = 0.Bi 3: Xt cc phng trnh sau:ax2 + bx + c = 0 (1)cx2 + bx + a = 0 (2)Tm h thc gia a, b, c l iu kin cn v hai phng trnh trn c mt nghim chung duy nht.Bi 4: Cho hai phng trnh:x2 2mx + 4m = 0(1)x2 mx + 10m = 0(2)Tm cc gi tr ca tham s m phng trnh (2) c mt nghim bng hai ln mt nghim ca phng trnh (1).Bi 5: Cho hai phng trnh:x2 + x + a = 0x2 + ax + 1 = 0a) Tm cc gi tr ca a cho hai phng trnh trn c t nht mt nghim chung.b) Vi nhng gi tr no ca a th hai phng trnh trn tng ng.Bi 6: Cho hai phng trnh:x2 + mx + 2 = 0 (1)x2 + 2x + m= 0 (2)a) nh m hai phng trnh c t nht mt nghim chung.b) nh m hai phng trnh tng ng.c) Xc nh m phng trnh (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m)= 0 c 4 nghim phn bitBi 7: Cho cc phng trnh: x2 5x + k = 0 (1)x2 7x + 2k = 0 (2)Xc nh k mt trong cc nghim ca phng trnh (2) ln gp 2 ln mt trong cc nghim ca phng trnh (1).www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com10Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Ch 3: H PHNG TRNHA - H hai phng trnh bc nht hai n:Dng 1: Gii h phng trnh c bn v a c v dng c bnBi 1: Gii cc h phng trnh' ' +' + + ' + +' ' + 18 15y 10x9 6y 4x 6);14 2y 3x3 5y 2x 5);14 2y 5x0 2 4y 3x 4)10 6y 4x5 3y 2x 3);5 3y 6x3 2y 4x 2) ;5 y 2x4 2y 3x 1)Bi 2: Gii cc h phng trnh sau:( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )'++ ++' +++ +' + ++ +' + +56y 5x10 3y - 6x83y x2 - 5y 7x 4) ;75x 6yy31 x2x427 y535x - 2y 3);12 1 x 3y 3 3y 1 x54 3 y 4x 4 2y 3 - 2x 2) ;4xy 5 y 5 4x6xy 3 2y 2 3x 1)Dng 2: Gii h bng phng php t n phGii cc h phng trnh sau( )( ) ' + + + + + ' + + + + '++++'++++'+++++13. 4 4y y 5 4 8x 4x 27 2 y 3 1 x 5 5) ;0 7 1 y 2 2x x 30 1 y 2x x 2 4);42 y51 x272 y3y1 x1 x 3) ;94 y51 x2x44 y21 x3x 2) ;12x y32y x432x y12y x2 1)2 2 22Dng 3: Xc nh gi tr ca tham s h c nghim tho mn iu kin cho trcBi 1: a) nh m v n h phng trnh sau c nghim l (2 ; - 1).( )( )' + + + 3 2m 3ny x 2 mn m y 1 n 2mxb) nh a v b bit phng trnh: ax2 - 2bx + 3 = 0 c hai nghim l x = 1 v x = -2.Bi 2: nh m 3 ng thng sau ng quy:a) 2x y = m ;x = y = 2m ;mx (m 1)y = 2m 1b) mx + y = m2 + 1 ;(m + 2)x (3m + 5)y = m 5 ; (2 - m)x 2y = - m2 + 2m 2.Bi 3: Cho h phng trnh www.vnmath.com11Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012s) tham l(m4 my xm 10 4y mx' + +a) Gii h phng trnh khi m =2 .b) Gii v bin lun h theo m.c) Xc nh cc gi tri nguyn ca m h c nghim duy nht (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.d) Vi gi tr nguyn no ca m th h c nghim (x ; y) vi x, y l cc s nguyn dng.e) nh m h c nghim duy nht (x ; y) sao cho S = x2 y2 t gi tr nh nht. (cu hi tng t vi S = xy).f) Chng minh rng khi h c nghim duy nht (x ; y) th im M(x ; y) lun nm trn mt ng thng c nh khi m nhn cc gi tr khc nhau.Bi 4: Cho h phng trnh: ( )'+ 5 m y 2x1 3m my x 1 ma) Gii v bin lun h theo m.b) Vi cc gi tr nguyn no ca m th h c nghim duy nht (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.c) nh m h c nghim duy nht (x ; y) m P = x2 + y2 t gi tr nh nht.d) Xc nh m h c nghim duy nht (x ; y) tho mn x2 + 2y = 0. (Hoc: sao cho M (x ; y) nm trn parabol y = - 0,5x2).e) Chng minh rng khi h c nghim duy nht (x ; y) th im D(x ; y) lun lun nm trn mt ng thng c nh khi m nhn cc gi tr khc nhau.Bi 5: Cho h phng trnh: ' +1 2y mx2 my xa) Gii h phng trnh trn khi m = 2.b) Tm cc s nguyn m h c nghim duy nht (x ; y) m x > 0 v y < 0.c) Tm cc s nguyn m h c nghim duy nht (x ; y) m x, y l cc s nguyn.d) Tm m h c nghim duy nht (x ; y) m S = x y t gi tr ln nht.B - Mt s h bc hai n gin:Dng 1: H i xng loi IV d: Gii h phng trnh ( )' + + + + +28 y x 3 y x11 xy y x2 2Bi tp tng t:Gii cc h phng trnh sau:www.vnmath.com12Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ' + +' + ' + + +' ++ + +' + + +' + + + + + +' + + ' + + +' + + + +' + + + + +35 y y x x30 x y y x 10) 5xy y x 56 y x y x 9)y x 7 y xy xy x 19 y xy x 8)6 y x2 3 2 y xy x 7)3 1 xy y x10 1 y 1 x 6) 17 xy 1 y y 1 x x8 1 y 1 x 5)13 3y xy 3x1 y 3xy x 4)84 xy y x19 y x xy 3)2 y xy x4 y xy x 2)7 xy y x8 y x y x 1)2 222 22 2 22 22 22 22 22 22 22 22 2Dng 2: H i xng loi IIV d: Gii h phng trnh ' + +x 2 1 y2y 1 x33Bi tp tng t:Gii cc h phng trnh sau:'+ + ' + +' '+ + ' + + + +'+ + ' + +' + +8x 3y y8y 3x x 8)y3x12yx3y12x 7)yx4 3x yxy4 3y x 6)x 2y 2x yy 2x 2y x 5)1 y xy x1 y xy x 4)x 2y yy 2x x 3)x 2 xyy 2 y x 2)3x 1 y3y 1 x 1)332 22 222332 22 222'+ + ' 3x 7y y3y 7x x 10)x 3y yy 3x x 9)3322Dng 3: H bc hai gii bng phng php th hoc cng i sGii cc h phng trnh sau:www.vnmath.com13Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )' + + + + ' + + + +' + +' + +' +' ' + +' + ' + ' + + ' + +' + + +' + + ' + ' + + +14 1 y 5y 8 x 2x6 1 y 3y 8 x x 15)0 8 4y 4x y x0 8 4y 4x y x 14)5 y 3x xy1 y x xy 13)0 2y 3x xy0 2 y 2x xy 12) 18 3 y 2 x36 2y 3x 11)40 y x5 3y 2x 10)0 2 2 21 2 9)0 20 8) 0 20 2 2 7)12 3 28 3 5 6)0 50 5 3 2 5)40 11 2 2 4)4 5 24 4 2 3)812 2) 0 30 1 1)2 22 22 2 2 22 2222 2222 22 22y xy y xxy y xy xy xx yy xy xy x y xy xy x y xx y xyxy y xx y xy xx x xyy x xyy xy xxy xy xCh 4: HM S TH.Dng 1: V th hm sBi 1: V th cc hm s sau:a) y = 2x 5 ;b) y = - 0,5x + 3Bi 2: V th hm s y = ax2 khi:a) a = 2 ;b) a = - 1.Dng 2: Vit phng trnh ng thngBa 1: Vit phng trnh ng thng (d) bit:a) (d) i qua A(1 ; 2) v B(- 2 ; - 5)b) (d) i qua M(3 ; 2) v song song vi ng thng ( ) : y = 2x 1/5.c) (d) i qua N(1 ; - 5) v vung gc vi ng thng (d): y = -1/2x + 3.d) (d) i qua D(1 ; 3) v to vi chiu dng trc Ox mt gc 300.e) (d) i qua E(0 ; 4) v ng quy vi hai ng thng f) ( ): y = 2x 3; ( ): y = 7 3x ti mt im.g) (d) i qua K(6 ; - 4) v cch gc O mt khong bng 12/5 (n v di).Bi 2: Gi (d) l ng thng y = (2k 1)x + k 2 vi k l tham s.a) nh k (d) i qua im (1 ; 6).b) nh k (d) song song vi ng thng 2x + 3y 5 = 0.c) nh k (d) vung gc vi ng thng x + 2y = 0.www.vnmath.com14Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012d) Chng minh rng khng c ng thng (d) no i qua im A(-1/2 ; 1).e) Chng minh rng khi k thay i, ng thng (d) lun i qua mt im c nh.Dng 3: V tr tng i gia ng thng v parabolBi 1: a) Bit th hm s y = ax2 i qua im (- 2 ; -1). Hy tm a v v th (P) .b) Gi A v B l hai im ln lt trn (P) c honh ln lt l 2 v- 4. Tm to A v B t suy ra phng trnh ng thng AB.Bi 2: Cho hm s 2x21y a) Kho st v v th (P) ca hm s trn.b) Lp phng trnh ng thng (d) qua A(- 2; - 2) v tip xc vi (P).Bi 3: Trong cng h trc vung gc, cho parabol (P): 2x41y v ng thng (D): y = mx - 2m - 1.a) V th (P).b) Tm m sao cho (D) tip xc vi (P).c) Chng t rng (D) lun i qua mt im c nh A thuc (P).Bi 4: Cho hm s 2x21y a) V th (P) ca hm s trn.b) Trn (P) ly hai im M v N ln lt c honh l - 2; 1. Vit phng trnh ng thng MN.c) Xc nh hm s y = ax + b bit rng th (D) ca n song song vi ng thng MN v ch ct (P) ti mt im.Bi 5: Trong cng h trc to , cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) v ng thng (D): y = kx + b.1) Tm k v b cho bit (D) i qua hai im A(1; 0) v B(0; - 1).2) Tm a bit rng (P) tip xc vi (D) va tm c cu 1).3)V (D) v (P) va tm c cu 1) v cu 2).4) Gi (d) l ng thng i qua im,_

1 ;23C v c h s gc ma) Vit phng trnh ca (d).b) Chng t rng qua im C c hai ng thng (d) tip xc vi (P) ( cu 2) v vung gc vi nhau.Ch 5: GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRNH H PHNG TRNHA. Cc bc gii bi ton bng cch lp h phng trnh:Bc 1:Lp h phng trnh(phng trnh)1) Chn n v tm iu kin ca n (thng thng n l i lng m bi ton yu cu tm).2) Biu th cc i lng cha bit theo n v cc i lng bit.3) Lp h phng trnh, (phng trnh)biu th mi quan h gia cc lng.Bc 2:Gii h phng trnh, (phng trnh)Bc 3:Kt lun bi ton. Dng 1: Chuyn ng (trn ng b, trn ng sng c tnh n dng nc chy)www.vnmath.com15Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Bi 1: Mt t i t A n B trong mt thi gian nht nh. Nu xe chy vi vn tc 35 km/h th n chm mt 2 gi. Nu xe chy vi vn tc 50 km/h th n sm hn 1 gi. Tnh qung ng AB v thi gian d nh i lc u.Bi 2: Mt ngi i xe my t A n B cch nhau 120 km vi vn tc d nh trc. Sau khi c 31 qung ng AB ngi tng vn tc thm 10 km/h trn qung ng cn li. Tm vn tc d nh v thi gian xe ln bnh trn ng, bit rng ngi n B sm hn d nh 24 pht.Bi 3: Mt can xui t bn sng A n bn sng B vi vn tc 30 km/h, sau li ngc t B tr v A.Thi gian xui t hn thi gian i ngc 1 gi 20 pht. Tnh khong cch gia hai bn A v B. Bit rng vn tc dng nc l 5 km/h v vn tc ring ca can lc xui v lc ngc bng nhau.Bi 4: Mt can xui mt khc sng di 90 km ri ngc v 36 km. Bit thi gian xui dng sng nhiu hn thi gian ngc dng l 2 gi v vn tc khi xui dng hn vn tc khi ngc dng l 6 km/h. Hi vn tc can lc xui v lc ngc dng.Dng 2: Ton lm chung lm ring (ton vi nc)Bi tp 1:Hai vi nc cng chy y mt b khng c nc trong 3h 45ph . Nu chy ring r , mi vi phi chy trong bao lu mi y b ? bit rng vi chy sau lu hn vi trc 4 h .Gii Gi thi gian vi u chy chy mt mnh y b l x ( x > 0 , x tnh bng gi )Gi thi gian viau chy chy mt mnh y b ly ( y > 4 , y tnh bng gi )1 gi vi u chy c x1( b ) 1 gi vi sau chy c y1( b ) 1 gi hai vichy c x1 + y1( b ) (1)Hai vi cng chy th y b trong 3h 45ph = 415hVy 1 gi c hai vi chy c 1: 415= 154( b )( 2)T (1) v (2) ta c h phng trnh x1 + y1= 154Mt khc ta bit nu chy mt mnh th vi sau chy lu hn vi trc 4 gi tc l y x = 4Vy ta c h phng trnh x1 + y1= 154 y x = 4www.vnmath.com16Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012

' ''+

'+ '+ '+ ++) (5 , 15 , 2) (10645 , 2640 30 7 240 60 14 445441 12 2byxayxx yxxx yx xx yx xx yx xH (a) tho mn k ca n H (b) b loi v x < 0 Vy Vi u chy mt mnh y b trong 6 h Vi sau chy mt mnh y b trong 10 h Bi tp 2:Hai ngi th cng lm mt cng vic . Nu lm ring r , mi ngi na vic th tng s gi lm vic l 12h 30ph . Nu hai ngi cng lm th hai ngi ch lm vic trong 6 gi. Nh vy , lm vic ring r c cng vic mi ngi mt bao nhiu thi gian ?Gii Gi thi gian ngi th nht lm ring r xong na cng vic l x ( x > 0 ) Gi thi gian ngi th hai lm ring r xong na cng vic l y ( y > 0 ) Ta c pt : x + y = 1221 ( 1 ) thi gian ngi th nht lm ring r xongcng vic l 2x => 1 gi ngi th nht lm c x 21cng vic Gi thi gian ngi th hai lm ring r xongcng vic l 2y => 1 gi ngi th hai lm c y 21cng vic 1 gi c hai ngilm c 61cng vic nn ta c pt : x 21+ y 21= 61 (2) T (1) v (2) ta c h pt :''' + +521521556121212112yxyxy xy xVy nu lm vic ring r c cng vic mt ngi lm trong 10 gi cn ngi kia lm trong 5 gi Bi tp 3:Hai t thanh nin tnh nguyn cng sa mt con ng vo bn trong 4 gi th xong . Nu lm ring th t 1 lm nhanh hn t 2 6 gi . Hi mi i lm mt mnh th bao lu s xong vic ?Gii Gi thi gian mt mnh t 1saxong con ngl x( gi ) ( x 4 ) Thi gian mt mnh t 2 sa xong con ng l x + 6 ( gi )Trong 1 gi t 1 sa c x1( con ng )Trong 1 gi t 2 sa c61+ x(con ng )Trong 1 gi c hai t sa c 41(con ng )Vy ta c pt: x1+ 61+ x =41 + + + 0 24 2 ) 6 ( 4 ) 6 ( 42x x x x x x x1= 6; x2 = -4www.vnmath.com17Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012X2 = - 4 < 4 , khng tho mn iu kin ca nVy mt mnh t 1 sa xong con ng ht 6 ngy mt mnh t 2 sa xong con ng ht 12 ngy Bi tp 4:Hai i cng nhn lm mt on ng . i 1 lm xong mt na on ng th i 2 n lm tip na cn li vi thi gian di hn thi gian i 1 lm l 30 ngy . Nu hai i cng lm th trong 72 ngy xong c on ng .Hi mi i lm bao nhiu ngy trn on ng ny ?Gii Gi thi gian i 1 lm l x ngy ( x > 0 ) th thi gian i 2 lm vic l x + 30 ( ngy ) Mi ngy i 1 lm c x 21( on ng )Mi ngy i 2 lm c ) 30 ( 21+ x( on ng )Mi ngy c haii lm c 721( on ng )Vy ta c pt : x 21+ ) 30 ( 21+ x= 721Hayx2 -42x 1080 = 0

/ = 212 + 1080 = 1521 => / = 39 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 khng tho mn k ca n Vy i 1 lm trong 60 ngy , i 2 lm trong 90 ngy .Bi 5:Hai i cng nhn trng rng phi hon thnh k hoch trong cng mt thi gian . i 1 phi trng 40 ha , i 2 phi trng 90 ha . i 1 hon thnh cng vic sm hn 2 ngy so vi k hoch .i 2 hon thnh mun hn 2 ngy so vi k hoch . Nu i 1 lm cng vic trong mt thi gian bng thi gian i 2 lm v i 2 lm trng thi gian bng i 1 lm th din tch trng c ca hai i bng nhau . Tnh thi gian mi i phi lm theo k hoch ?Gii Gi thi gian mi i phi lm theo k hoch l x ( ngy ) , x > 0Thi gian i 1 lm l x 2 ( ngy ) Thi gian i 2 lm l x + 2 ( ngy ) Mi ngy i 1 trng c 240 x (ha)Mi ngy i 2 trng c 290+ x (ha)Nu i 1 lm trong x + 2 ngy th trng c 240 x(x + 2) (ha)Nu i 2 lm trong x - 2 ngy th trng c 290+ x(x - 2) (ha)Theo u bi din tch rng trng dc ca hai i trong trng ny l bng nhau nn ta c pt:

240 x(x + 2) = 290+ x(x - 2)Hay 5x2 52x + 20 = 0www.vnmath.com18Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012

/ = 262 5.20 = 576, / = 24x1 = 524 26 += 10 ; x2 = 52524 26x2 < 2 , khng tho mn k ca n Vy theo k hoch mi i phi lm vic 10 ngy .Bi 6:(197/24 500 BT chn lc )Hai ngi th cng lm mt cng vic trong 16 gi th xong . Nu ngi th nht lm trong 3 gi v ngi th hai lm trong 6 gi th h lm c 25% cng vic . Hi mi ngi lm cng vic trong my gi th xong .Gii:Gi x , y ln lt l s gi ngi th nht ngi th hai mt mnh lm xong cng vic ( x > 0 , y > 0 ) Ta c h pt '' + +282441 6 3161 1 1yxy xy xBi 7 : ( 198/24 500 BT chn lc ) Hai vi nc cng chy vo mt b khng cha nc th sau 6 gi y b . Nu vi th nht chy trong 2 gi , vi th 2 chy trong 3 gi th c 52b . Hi mi vi chy mt mnh trong bao lu th y b ?Gii :Gi x , y ln lt l s gi vi th nht , vi th hai chy y b mt mnh( x > 0 , y > 0 ) Ta c h pt '' + +' + +151052 3 221 3 352 3 261 1 1yxy xy xy xy xx = 10 , y = 15 tho mn k ca n . Vy vi th nht chy mt mnh mt 10 gi , vi th hai chy mt mnh mt 15 gi .Bi tp 8 ( 199/24 -500 BT chn lc )Hai ngi d nh lm mt cng vic trong 12 gi th xong . H lm vi nhau c 8 gi th ngi th nht ngh , cn ngi th hai vn tip tc lm . Do c gng tng nng sut gp i , nn ngi th hai lm xong cng vic cn li trong 3gi 20pht . Hi nu mi ngi th lm mt mnh vi nng sut d nh ban u th mt bao lu mi xong cng vic ni trn ? ( thi chuyn ton vng 1 tnh Khnh ho nm 2000 2001 )Gii:Gi x , y ln lt l thi gian ngi th th nht v ngi th th hai lm xong cng vic vi nng sut d nh ban u .Mt gi ngi th nht lm c x1(cng vic )Mt gi ngi th hailm c y1(cng vic )Mt gi c hai ngilm c 121(cng vic )www.vnmath.com19Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Nn ta c pt : x1 + y1= 121(1)trong 8 gi hai ngi lm c 8. 121= 32(cng vic )Cng vic cn li l 1 - 32= 31( cng vic )Nng sut ca ngi th hai khi lm mt mnh l 2.y1=y2 (Cng vic )M thi gian ngi th hai hon thnh cng vic cn li l 310(gi) nn ta c pt 31: y2= 310 hay 6y= 310 (2)T (1) v (2) ta c h pt : Vytheo d nh ngi th nht lm xong cng vic ht 30gi v ngi th hai ht 20 gi .Bi tp 9: ( 400 bai tp ton 9 )Hai ngi A vB lm xong cng vic trng 72 gi , cn ngi A v C lm xong cng vic trong trong 63 gi v ngo B v C lm xong cng vic y trong 56 gi . Hi nu mi ngi lm mt mnh th trong bao lu th trong bao lu s lm xong cng vic >Nu ba ngi cng lm s hon thnh cng vic trong my gi ?Gii :Gi ngi A mt mnh lm xong cng vic trong x (gi ), x > 0 th mi gi lm c x1( cng vic).Ngi B mt mnh lm xong cng vic trong y (gi ), y > 0 th mi gi lm c y1( cng vic)Ngi C mt mnh lm xong cng vic trong z (gi ), z > 0 th mi gi lm c z1( cng vic)Ta c hpt : ' ' + + +45100550412645041683504561 1 1631 1 1721 1 1zyxz yz xy xNu c ba ngi cng lm yh mi gi lm c x1+ y1+ z1= 50412( cng vic )Vy c ba ngi cng lm s hon thnh cong vic trong 4212504(gi )Bi tp 10: ( 258 /96 nng cao v chuyn )Hai i cng nhn cng lm chung mt cng vic . Thi gian i I lm mt mnh xong cng vic t hn thi gian i II lm mt mnh xong cng vic l 4 gi . Tng thi gian ny gp 4,5 ln thi gian hai i cng lm chung xong cng vic . Hi mi i lm mt mnh th phi bao lu mi xong .Gii :Gi thi gian i I lm mt mnh xong cng vic l x gi ( x > 0 ) www.vnmath.com20Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Suy ra thi gian i II lm mt mnh xong cng vic l x + 4 gi Trong 1 gi hai i lm chung c : ) 4 (4 241 1++++x xxx x( cng vic )Thi gian hai i lm chung xong cng vic l 4 2) 4 (++xx x(gi)Vy ta c pt : 2x + 4 = 4,5 . 4 2) 4 (++xx x hay x2 + 4x 32 = 0 x1 = - 8 ( loi ) x2 = 4 ( tho mn iu kin ca n ).Vy i I lm mt mnh xong cng vic ht 4 gi , i hai ht 8 gi .Bi 1: Hai ngi th cng lm chung mt cng vic trong 7 gi 12 pht th xong. Nu ngi th nht lm trong 5 gi v ngi th hai lm trong 6 gi th c hai ngi ch lm c 43 cng vic. Hi mt ngi lm cng vic trong my gi th xong?Bi 2:Nu vi A chy 2 gi v vi B chy trong 3 gi th c 54 h. Nu vi A chy trong 3 gi v vi B chy trong 1 gi 30 pht th c 21 h. Hi nu chy mt mnh mI vi chy trong bao lu mi y h.Bi 3: Hai vi nc cng chy vo mt b th sau 6 gi y b. Nu mi vi chy mt mnh cho y b th vi II cn nhiu thi gian hn vi I l 5 gi. Tnh thi gian mi vi chy mt mnh y b?Dng 3: Ton lin quan n t l phn trm.Bi 1: Trong thng ging hai t sn xut c 720 chi tit my. Trong thng hai, t I vt mc 15%, t II vt mc 12% nn sn xut c 819 chi tit my. Tnh xem trong thng ging mi t sn xut c bao nhiu chi tit my?.Bi 2: Nm ngoi tng s dn ca hai tnh A v B l 4 triu ngi. Dn s tnh A nm nay tng 1,2%, cn tnh B tng 1,1%. Tng s dn ca c hai tnh nm nay l 4 045 000 ngi. Tnh s dn ca mi tnh nm ngoi v nm nay?Dng 4: Ton c ni dung hnh hc.Bi 1: Mt khu vn hnh ch nht c chu vi l 280 m. Ngi ta lm li i xung quanh vn (thuc t trong vn) rng 2 m. Tnh kch thc ca vn, bit rng t cn li trong vn trng trt l 4256 m2.Bi 2: Cho mt hnh ch nht. Nu tng chiu di ln 10 m, tng chiu rng ln 5 m th din tch tng 500 m2. Nu gim chiu di 15 m v gim chiu rng 9 m th din tch gim 600 m2. Tnh chiu di, chiu rng ban u.Bi 3:Cho mt tam gic vung. Nu tng cc cnh gc vung ln 2 cm v 3 cm th din tch tam gic tng 50 cm2. Nu gim c hai cnh i 2 cm th din tch s gim i 32 cm2. Tnh hai cnh gc vung.Dng 5: Ton v tm s.Bi 1: www.vnmath.com21Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Tm mt s t nhin c hai ch s, tng cc ch s bng 11, nu i ch hai ch s hng chc v hng n v cho nhau th s tng thm 27 n v.Bi 2: Tm mt s c hai ch s, bit rng s gp 7 ln ch s hng n v ca n v nu s cn tm chia cho tng cc ch s ca n th c thng l 4 v s d l 3.Bi 3: Nu t s ca mt phn s c tng gp i v mu s thm 8 th gi tr ca phn s bng 41. Nu t s thm 7 v mu s tng gp 3 th gi tr phn s bng 245. Tm phn s .Bi 4:Nu thm 4 vo t v mu ca mt phn s th gi tr ca phn s gim 1. Nu bt 1 vo c t v mu, phn s tng 23. Tm phn s .Ch 6: PHNG TRNH QUY V PHNG TRNH BC HAI.Dng 1: Phng trnh c n s mu.Gii cc phng trnh sau:1 t5t 2tt1 tt c)1 2x3 x3x1 2x b)61 x3 x2 xx a)2 2++ ++ +++Dng 2: Phng trnh cha cn thc.' ' 2B A0 BB A LoiB A0) (hayB0 AB A LoiGii cc phng trnh sau:( )( ) ( )( ) 3x x 1 x e)9 x 3 2x 1 x d) 1 x 5 3x 2x c)14 5x 3x 2 x b)1 x 11 3x 2x a)222 2 2 2 + ++ + Dng 3: Phng trnh cha du gi tr tuyt i.Gii cc phng trnh sau:3x 4 4x x 1 x d)4x x x x 2 2x x c)3 2x x 1 2x 2 x b)3 x x 1 x a)2 2 4 2 2 42 2 + + + + + ++ + + + + + Dng 4: Phng trnh trng phng.Gii cc phng trnh sau:www.vnmath.com22Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012a) 4x4 + 7x2 2 = 0 ; b) x4 13x2 + 36 = 0;c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ; d) (2x + 1)4 8(2x + 1)2 9 = 0.Dng 5: Phng trnh bc cao.Gii cc phng trnh sau bng cch a v dng tch hoc t n ph a v phng trnh bc hai:Bi 1: a) 2x3 7x2 + 5x = 0 ;b) 2x3 x2 6x + 3 = 0 ;c) x4 + x3 2x2 x + 1 = 0 ; d) x4 = (2x2 4x + 1)2.Bi 2: a) (x2 2x)2 2(x2 2x) 3 = 0c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0( ) ( )7. 3x x 5 3x x k)63 x 2x13x3 5x 2x2x i)0x43x10x483xh)0 24 3 3x 2x 5 1 3x 2x 3 g)0 6 4x x10 4x x21f)0 45 x x3xx5 x x e)0 23x1x 16x1x 4 d) 0 3 x x 2 xx c)2 22 22222222 2222 2 2+ + + + +++ ,_

+ + + + + + + ++ + + ,_

+ ,_

+ + + Bi 3:a) 6x5 29x4 + 27x3 + 27x2 29x +6 = 0b) 10x4 77x3 + 105x2 77x + 10 =0c) (x 4,5)4 + (x 5,5)4 = 1d) (x2 x +1)4 10x2(x2 x + 1)2 + 9x4 = 0Bi tp v nh:Gii cc phng trnh sau:( )82 3x x2 2x9 x3 2x xd)4 x2 xx42 2xc) 6x3 x1 x4xb)411 x31 x 21a)1.22222+ + + +++++2.a) x4 34x2 + 225 = 0 b) x4 7x2 144 = 0c) 9x4 + 8x2 1 = 0 d) 9x4 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0e) a2x4 (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0(a 0)3. a) (2x2 5x + 1)2 (x2 5x + 6)2 = 0b) (4x 7)(x2 5x + 4)(2x2 7x + 3) = 0c) (x3 4x2 + 5)2 = (x3 6x2 + 12x 5)2d) (x2 + x 2)2 + (x 1)4 = 0e) (2x2 x 1)2 + (x2 3x + 2)2 = 04. a) x4 4x3 9(x2 4x) = 0 b) x4 6x3 + 9x2 100 = 0c) x4 10x3 + 25x2 36 = 0 d) x4 25x2 + 60x 36 = 05.a) x3 x2 4x + 4 = 0 b) 2x3 5x2 + 5x 2 = 0www.vnmath.com23Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012c) x3 x2 + 2x 8 = 0 d) x3 + 2x2 + 3x 6 = 0e) x3 2x2 4x 3 = 06.a) (x2 x)2 8(x2 x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) 4(x2 + 2) 77 = 0c) x2 4x 10 - 3 ( ) ( ) 6 x 2 x += 0 d)0 32 x1 2x42 x1 2x2 + ,_

+ ,_

+e)( ) 5 x 5 x x 5 x + +7.a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5c) 0 26x1x 16x1x 322 + ,_

+ ,_

+d) 0 2x1x 7x1x 222 + ,_

,_

+8.1 x x 1 x x f)3 x 2 x 1 4x 4x e)2 x 4 3x x d) 2 x 1 6x 2x c)1 x 9 x 2x b)14 x 4x x a)3 2 3 2 23 22 2+ + + + + + + + + + + + 9. nh a cc phng trnh sau c 4 nghima) x4 4x2 + a = 0b) 4y4 2y2 + 1 2a = 0c) 2t4 2at2 + a2 4 = 0.www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com Phn II: HNH HCPHN HNH HC H THNG L THUYT H THNG BI TP1.H THC LNG TRONG TAM GIC VUNGT S LNG GIC CA GC NHNwww.vnmath.com24Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012A.KIN THC C BN1.nh l PitagoABC vung ti A 2 2 2AB AC BC + 2.H thc lng trong tam gic vungBHCA1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC2) AB.AC = AH.BC3) AH2 = BH.HC4) 2 2 21 1 1AH AB AC +Kt qu:-Vi tam gic u cnh l a, ta c: 2a 3 a 3h ; S2 4 3.T s lng gic ca gc nhnt ACB ; ABC khi :AB AH AC HC AB AH AC HCsin ; cos ; tg ; cot gBC AC BC AC AC HC AB AH b asinB acosC ctgB ccot gCc acosB asinC bctgB btgC Kt qu suy ra:1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cot g tg sin cos2) 0 sin 1; 0 cos CEH + CDH = 1800 H ( ( 2 - - 2 1 1 1 P N F E M D C B A O M CEHv CDH l hai gc i ca t gic CEHD , Do CEHD l t gic ni tip 2. Theo gi thit: BE l ng cao => BE AC => BEC = 900.CF l ng cao => CF AB => BFC = 900.Nh vy E v F cng nhn BC di mt gc 900 => E v F cng nm trn ng trnng knh BC.Vy bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn.3. Xt hai tam gicAEH v ADC ta c: AEH = ADC = 900 ; l gc chung => AEH ADC => ACAHADAE => AE.AC = AH.AD.* Xt hai tam gicBEC v ADC ta c: BEC = ADC = 900 ; C l gc chung => BEC ADC => ACBCADBE => AD.BC = BE.AC.4. Ta c C1 = A1 ( v cng ph vi gc ABC) C2 = A1 ( v l hai gc ni tip cng chn cung BM)=> C1 = C2 => CB l tia phn gic ca gc HCM; li c CB HM => CHM cn ti C => CB cng l ng trung trc ca HMvy H v M i xng nhau qua BC.5. Theo chng minh trn bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn => C1 = E1 ( v l hai gc ni tip cng chn cung BF)Cng theo chng minh trn CEHD l t gic ni tip C1 = E2 ( v l hai gc ni tip cng chn cung HD) E1 = E2 => EB l tia phn gic ca gc FED.Chng minh tng t ta cng c FC l tia phn gic ca gc DFE m BE v CF ct nhau ti H do H l tm ng trnni tip tam gicDEF.Bi 2. Cho tam gic cn ABC (AB = AC), cc ng cao AD, BE, ct nhau ti H. Gi O l tm ng trn ngoi tip tam gic AHE.1. Chng minh t gic CEHD ni tip .2. Bn im A, E, D, B cng nm trn mt ng trn.3. Chng minh ED = 21BC.4. Chng minh DE l tip tuyn ca ng trn (O).5. Tnh di DE bit DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.Li gii:1. Xt t gic CEHD ta c:CEH = 900 ( V BE l ng cao)www.vnmath.com28Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012

H 1 3 2 1 1 O E D C B A CDH = 900 ( V AD l ng cao) => CEH + CDH = 1800M CEHv CDH l hai gc i ca t gic CEHD , Do CEHD l t gic ni tip 2. Theo gi thit:BE l ng cao => BE AC => BEA = 900.AD l ng cao => AD BC => BDA = 900.Nh vy E v D cng nhn AB di mt gc 900=> E v D cng nm trn ng trn ng knh AB.Vy bn im A, E, D, B cng nm trn mt ng trn.3. Theo gi thit tam gicABC cn ti A c AD l ng cao nn cng l ng trung tuyn => D l trung im ca BC. Theo trnta c BEC = 900 .Vy tam gicBEC vung ti E c ED l trung tuyn => DE = 21BC.4. V O l tm ng trn ngoi tip tam gic AHE nn O l trung im ca AH => OA = OE => tam gicAOE cn ti O => E1 = A1 (1).Theo trn DE = 21BC => tam gicDBE cn ti D => E3 = B1 (2)M B1 = A1 ( v cng ph vi gc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 M E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE ti E.Vy DE l tip tuyn ca ng trn(O) ti E.5. Theo gi thit AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. p dng nh lPitago cho tam gicOEDvung ti E ta c ED2 = OD2 OE2 ED2 = 52 32 ED = 4cmBi 3Chona ng trnng knh AB = 2R. T A v B k hai tip tuyn Ax, By. Qua im M thuc na ng trnk tip tuyn th ba ct cc tip tuyn Ax , By ln lt C v D. Cc ng thng AD v BC ct nhau ti N.1. Chng minh AC + BD = CD. 2. Chng minh COD = 900.3.Chng minh AC. BD = 42AB.4.Chng minh OC // BM5.Chng minh ABl tip tuyn ca ng trnng knh CD.5.Chng minh MN AB.6.Xc nh v tr ca M chu vi tgicACDBt gitr nh nht.Li gii:www.vnmath.com29Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012 / / y x N C D I M B O A 1. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.M CM + DM = CD => AC + BD = CD2. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: OC l tia phn gic ca gc AOM; OD l tia phn gic ca gc BOM, m AOM v BOM l hai gc k b => COD = 900.3. Theo trn COD = 900 nn tam gicCOD vung ti O c OM CD ( OM l tip tuyn ).p dng h thc gia cnh v ng cao trong tam gic vung ta c OM2 = CM. DM,M OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = 42AB.4. Theo trn COD = 900 nn OC OD .(1)Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: DB = DM; li c OM = OB =R => OD l trung trc ca BM => BM OD .(2). T (1) V (2) => OC // BM ( V cng vung gc vi OD).5.Gi I l trung im ca CD ta c I l tm ng trnngoi tip tam gicCOD ng knh CD c IO l bn knh.Theo tnh cht tip tuyn ta c AC AB; BD AB => AC // BD => t gic ACDB l hnh thang. Li c I l trung im ca CD; O l trung im ca AB => IO l ng trung bnh ca hnh thang ACDB IO // AC , m AC AB => IO AB ti O => AB l tip tuyn ti O ca ng trnng knh CD 6. Theo trn AC // BD => BDACBNCN, m CA = CM; DB = DM nn suy ra DMCMBNCN=> MN // BD m BD AB => MN AB.7. ( HD): Ta c chu vi t gic ACDB = AB + AC + CD + BD m AC + BD = CD nn suy ra chu vi t gic ACDB = AB + 2CD m AB khng i nn chu vi t gic ACDB nh nht khi CD nh nht , m CD nh nht khi CD l khong cch gi Ax v By tc l CD vung gc vi Ax v By. Khi CD // AB => M phi l trung im ca cung AB.Bi 4Cho tam gic cn ABC (AB = AC), I l tm ng trnni tip, K l tm ng trnbng tip gc A , O l trung im ca IK.1. Chng minh B, C, I, K cng nm trn mt ng trn.2. Chng minh AC l tip tuyn ca ng trn(O).3. Tnh bn knh ng trn(O) Bit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.Li gii:(HD)1.V I l tm ng trnni tip, K l tm ng trnbng tip gc A nn BI v BK l hai tia phn gic ca hai gc k b nh B Do BI BK hay IBK = 900 . Tng t ta cng c ICK = 900 nh vy B v C cng nm trn ng trnng knh IK do B, C, I, K cng nm trn mt ng trn.2. Ta c C1 = C2 (1) ( v CI l phn gic ca gc ACH.www.vnmath.com30Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012 C2 + I1 = 900 (2) ( v IHC = 900 ).

o 1 2 1 H I C A B K I1 = ICO (3) ( v tam gicOIC cn ti O) T (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC. Vy AC l tip tuyn ca ng trn(O).3. T gi thitAB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.AH2 = AC2 HC2 => AH = 2 212 20 = 16 ( cm)CH2 = AH.OH => OH = 16122 2AHCH = 9 (cm)OC =225 12 92 2 2 2 + + HC OH= 15 (cm)Bi 5 Cho ng trn(O; R), t mt im A trn (O) k tip tuyn d vi (O). Trn ng thng d ly im M bt k ( M khc A) k ct tuyn MNP v gi K l trung im ca NP, k tip tuyn MB (B l tip im). K AC MB, BD MA,gi H l giao im ca AC v BD, I l giao im ca OM v AB.1. Chng minh t gic AMBO ni tip.2. Chng minh nm im O, K, A, M, B cng nm trn mt ng trn .3. Chng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.4. Chng minh OAHB l hnh thoi.5. Chng minh ba im O, H, M thng hng.6. Tm qu tch ca im H khi M di chuyn trn ng thng dLi gii:1. (HS t lm).2. V K l trung im NP nn OK NP ( quan h ng knh d H I K N P M D C B A O V dy cung) => OKM = 900. Theo tnh cht tip tuyn ta c OAM = 900; OBM = 900. nh vy K, A, B cng nhn OM di mt gc900 nn cng nm trn ng trnng knh OM. Vy nm im O, K, A, M, B cng nm trn mt ng trn. 3.Ta c MA = MB ( t/c hai tip tuyn ct nhau); OA = OB = R => OM l trung trc ca AB => OM AB ti I .Theo tnh cht tip tuyn ta c OAM = 900nn tam gic OAM vung ti A c AI l ng cao.p dng h thc gia cnh v ng cao => OI.OM = OA2hay OI.OM = R2; v OI. IM = IA2.4. Ta c OB MB (tnh cht tip tuyn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.OA MA (tnh cht tip tuyn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.www.vnmath.com31Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012=> T gic OAHB l hnh bnh hnh; li c OA = OB (=R) => OAHB l hnh thoi.5.TheotrnOAHB l hnh thoi.=>OH AB; cngtheo trnOM AB=>O,H, M thng hng( V qua O ch c mt ng thngvung gc vi AB).6. (HD) Theo trn OAHB l hnh thoi. => AH = AO = R. Vy khi M di ng trn d th H cng di ng nhng lun cch A c nh mt khong bng R. Do qu tch ca im H khi M di chuyn trn ng thng d l na ng trntm A bn knh AH = RBi 6Cho tam gicABC vung A, ng cao AH. V ng trntm A bn knh AH. Gi HD lng knh ca ng trn(A; AH). Tip tuyn ca ng trnti D ct CA E.1. Chng minh tam gicBEC cn.2. Gi I l hnh chiu ca A trn BE, Chng minh rng AI = AH.3. Chng minh rng BE l tip tuynca ng trn(A; AH).4. Chng minh BE = BH + DE.Li gii:(HD)1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) v AE = AC (2).V AB CE (gt), do AB va l ng cao va l ng trung tuyn ca BEC => BEC l tam giccn.=> B1 = B2 2 1 I E H D C A B 2. Hai tam gicvung ABI v ABH c cnh huyn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH.3. AI = AH v BE AI ti I => BE l tip tuyn ca (A; AH) ti I.4. DE = IE v BI = BH => BE = BI+IE = BH + EDBi 7Cho ng trn(O; R) ng knh AB. K tip tuyn Ax v ly trn tip tuyn mt im P sao cho AP > R, t P k tip tuyn tip xc vi (O) ti M.1.Chng minh rng t gic APMO ni tip c mt ng trn.2. Chng minh BM // OP.3. ng thng vung gc vi AB O ct tia BM ti N. Chng minh t gic OBNP l hnh bnh hnh.4. Bit AN ct OP ti K, PM ct ON ti I; PN v OM ko di ct nhau ti J. Chng minh I, J, K thng hng.Li gii:1. (HS t lm).2.Ta c ABM ni tip chncung AM;AOM l gc tmchn cung AM => ABM = 2AOM (1) OP l tia phn gic AOM ( t/c hai tip tuyn ct nhau ) => AOP = 2AOM (2)T (1) v (2) => ABM = AOP (3) X (( 2 1 11 K I J M N P A B O M ABM v AOPl hai gc ng v nn suy raBM // OP. (4)3.Xt hai tam gic AOP v OBN ta c : PAO=900 (v PA l tip tuyn ); NOB = 900 (gt NOAB).=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN(theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5)T(4) v (5) => OBNP l hnh bnh hnh ( v c hai cnh i song song v bng nhau).4. T gic OBNP l hnh bnh hnh => PN // OB hay PJ // AB, m ON AB => ON PJ www.vnmath.com32Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Tacng c PM OJ ( PM l tip tuyn ), m ON v PM ct nhau ti I nn I l trc tm tam gic POJ. (6)D thy t gic AONP l hnh ch nht v c PAO = AON = ONP = 900 => K l trung im ca PO( t/c ng cho hnh ch nht). (6) AONP l hnh ch nht => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tip tuyn ct nhau Ta c PO l tia phn gic APM => APO = MPO (8).T(7) v (8) => IPO cn ti I c IK l trung tuyn ng thi l ng cao => IK PO. (9)T(6) v (9) => I, J, K thng hng.Bi 8 Cho na ng trn tm O ng knh AB vim M bt k trn na ng trn ( M khc A,B). Trn na mt phng b AB cha na ng trn k tip tuyn Ax. Tia BMct Ax ti I; tia phn gic ca gc IAM ct na ng trn ti E; ct tia BM ti F tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K.1) Chng minh rng: EFMK l t gic ni tip.2) Chng minh rng: AI2 = IM . IB.3)Chng minh BAF l tam gic cn.4) Chng minh rng : T gicAKFH l hnh thoi.5) Xc nh v trM t gic AKFI ni tip c mt ng trn.Li gii:1. Ta c : AMB = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => KMF = 900 (v l hai gc k b). AEB = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => KEF = 900 (v l hai gc k b).=> KMF + KEF = 1800 . M KMF v KEF l hai gc i ca t gic EFMK do EFMK l t gic ni tip. X 2 1 2 1 E K I H F M B OA 2. Ta c IAB = 900 ( v AI l tip tuyn ) => AIB vung ti A c AM IB ( theo trn). p dng h thc gia cnh v ng cao => AI2 = IM . IB.3. Theo gi thit AE l tia phn gic gc IAM => IAE = MAE => AE=ME(l do )=> ABE = MBE ( hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) => BE l tia phn gic gc ABF. (1)Theo trn ta c AEB = 900 => BE AF hay BE l ng cao ca tam gicABF (2).T(1) v (2) => BAF l tam gic cn. ti B .4. BAF l tam gic cn. ti B c BE l ng cao nn ng thi l ng trung tuyn => E l trung im ca AF. (3)T BE AF => AF HK (4), theo trn AE l tia phn gic gc IAM hay AE l tia phn gic HAK(5) T(4) v (5) => HAK l tam gic cn. ti A c AE l ng cao nn ng thi l ng trung tuyn => E l trung im ca HK. (6).T(3) , (4) v (6) => AKFH l hnh thoi ( v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca mi ng).5. (HD). Theo trn AKFH l hnh thoi => HA // FK hay IA // FK =>t gic AKFI l hnh thang. t gic AKFI ni tip c mt ng trnth AKFI phi l hnh thang cn. AKFIl hnh thang cn khi M l trung im ca cung AB. Tht vy: M l trung im ca cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gc ni tip ). (7)Tam gicABI vung ti A c ABI = 450 => AIB = 450 .(8)www.vnmath.com33Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012T(7) v (8) => IAK = AIF = 450 => AKFIl hnh thang cn (hnh thang c hai gc y bng nhau).Vy khi M l trung im ca cung AB th t gic AKFI ni tip c mt ng trn.Bi 9 Cho na ng trn (O; R) ng knh AB. K tip tuynBx v ly hai im C v D thuc na ng trn. Cc tia AC v AD ct Bx ln lt E, F (F gia B v E).1. Chng minh AC. AE khng i.2. Chng minhABD = DFB.3. Chng minh rng CEFD l t gic ni tip.Li gii:1. C thuc na ng trnnn ACB = 900 ( ni tip chn na ng trn) => BC AE. ABE = 900 ( Bx l tip tuyn ) => tam gicABE vung ti B c BC l ng cao => AC. AE = AB2 (h thc gia cnh v ng cao ), m AB l ng knh nn AB = 2R khng i do AC. AE khng i.2. ADB c ADB = 900 ( ni tip chn na ng trn).=> ABD + BAD = 900 (v tng ba gc ca mt tam gicbng 1800)(1)ABF c ABF = 900 ( BF l tip tuyn ).=> AFB + BAF = 900 (v tng ba gc ca mt tam gicbng 1800) (2)T(1) v (2) => ABD = DFB ( cng ph vi BAD) D C A O B F E X 3. T gic ACDB ni tip (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V l hai gc k b) => ECD = ABD ( cng b vi ACD).Theo trn ABD = DFB => ECD = DFB. M EFD + DFB = 1800 ( V l hai gc k b) nn suy ra ECD + EFD = 1800, mt khc ECD v EFD l hai gc i ca t gic CDFE do t gic CEFD l t gic ni tip.Bi 10Chong trn tm O ng knh ABvim M bt k trn na ng trn sao cho AM < MB. Gi M l im i xng ca M qua AB v S l giao im ca hai tia BM, MA. Gi P l chn ng vung gc t S n AB.1.Gi S l giao im ca MA v SP. Chng minh rng PSM cn. 2.Chng minh PM l tip tuyn ca ng trn.Li gii: 1. Ta c SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( ni tip chn na ng trn) => AMS = 900 . Nh vy P v M cng nhn AS di mt gc bng900 nn cng nm trn ng trn ng knh AS.Vy bn im A, M, S, P cng nm trn mt ng trn. 2. V Mi xng M qua AB m M nm trn ng trnnn M cng nm trn ng trn=> hai cung AM v AM c s o bng nhau 3 ( ) 4 3 1 1 ) ( 1 2 2 1 1 HO S' M' M A B S P => AMM = AMM ( Hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) (1)Cng v Mi xng M qua AB nn MM AB ti H => MM// SS ( cng vung gc vi AB)www.vnmath.com34Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012 => AMM = ASS; AMM = ASS (v so le trong) (2).=> T (1) v (2) => ASS = ASS. Theo trn bn im A, M, S, P cng nm trn mt / trn => ASP= AMP (ni tip cng chnAP)=> ASP = AMP => tam gicPMS cn ti P.3.Tam gicSPB vung ti P; tam gicSMS vung ti M => B1 = S1 (cng ph vi S). (3)Tam gicPMS cn ti P => S1 = M1 (4)Tam gicOBM cn ti O ( v c OM = OB =R) => B1 = M3 (5).T (3), (4) v (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 m M3 + M2 = AMB = 900nn suy ra M1+ M2= PMO = 900=> PM OM ti M => PM l tip tuyn ca ng trnti MBi 11.Cho tam gicABC (AB = AC). Cnh AB, BC, CA tip xc ving trn(O)ti cc im D, E, F . BF ct (O) ti I , DI ct BC ti M. Chng minh :1. Tam gicDEF c ba gc nhn.2. DF // BC. 3.T gic BDFC ni tip.4.CFBMCBBD Li gii: 1. (HD) Theo t/c hai tip tuyn ct nhau ta c AD = AF => tam gicADF cn ti A => ADF = AFD < 900 => s cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v gc DEF ni tip chn cung DE). Chng minh tng t ta c DFE < 900; EDF < 900. Nh vy tam gic DEF c ba gc nhn.2. Ta c AB = AC (gt); AD = AF (theo trn) => AD AFAB AC => DF // BC. 3. DF // BC => BDFC l hnh thang li c B = C (v tam gic ABC cn) => BDFC l hnh thang cn do BDFC ni tip c mt ng trn. M I O F E D C B A 4. Xt hai tam gicBDM v CBF Ta c DBM = BCF ( hai gc y ca tam giccn). BDM = BFD (ni tip cng chn cung DI); CBF = BFD (v so le) => BDM = CBF .=> BDM CBF => CFBMCBBDBi 12Cho ng trn(O) bn knh R c hai ng knh AB v CD vung gc vi nhau. Trn on thng AB ly im M (M khc O). CM ct (O) ti N. ng thng vung gc vi AB ti M ct tip tuyn ti N ca ng trn P. Chng minh :1. T gic OMNP ni tip.2. T gic CMPO l hnh bnh hnh.3. CM. CN khng ph thuc vo v tr ca im M.4. Khi M di chuyn trn on thng AB th P chy trn on thng c nh no.Li gii:1. Ta c OMP = 900 ( v PM AB ); ONP = 900 (v NP l tip tuyn ).Nh vy M v N cng nhn OP di mt gc bng 900 => M v N cng nm trn ng trnng knh OP => T gic OMNP ni tip.2. T gic OMNP ni tip => OPM = ONM (ni www.vnmath.com35Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012tip chn cung OM)Tam gicONC cn ti O v c ON = OC = R => ONC = OCN B' A' O P N M D B A C => OPM = OCM.Xt hai tam gicOMC v MOP ta c MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM li c MO l cnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1)Theo gi thit Ta c CD AB; PM AB => CO//PM (2).T (1) v (2) => T gic CMPO l hnh bnh hnh.3. Xt hai tam gic OMC v NDC ta c MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (ni tip chn na ng trn ) => MOC = DNC = 900 li c C l gc chung => OMC NDC => CM COCD CN => CM. CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nn CO.CD = 2R2 khng i => CM.CN =2R2 khng i hay tch CM. CN khng ph thuc vo v tr ca im M.4. ( HD) D thy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chy trn ng thngc nh vung gc vi CD ti D. V M ch chy trn on thng AB nn P ch chy trn don thng A B song song v bng AB.Bi 13 Cho tam gicABC vung A (AB > AC), ng cao AH. Trn na mt phng b BC cha in A , V na ng trnng knh BH ct AB ti E, Na ng trnng knh HC ct AC ti F.1. Chng minh AFHE l hnh ch nht.2. BEFC l t gic ni tip.3. AE. AB = AF. AC.4. Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trn.Li gii: 1. Ta c : BEH = 900 ( ni tip chn nc ng trn ) => AEH = 900 (v l hai gc k b). (1) CFH = 900 ( ni tip chn nc ng trn ) => AFH = 900 (v l hai gc k b).(2) EAF = 900 ( V tam gicABC vung ti A) (3) ( ) 1 2 2 1 1 I F E O 2 O 1 HCB A 1 T (1), (2), (3) => t gic AFHE l hnh ch nht ( v c ba gc vung).2.T gic AFHE l hnh ch nht nn ni tip c mt ng trn => F1= H1 (ni tip chn cung AE) . Theo gi thit AH BC nn AH l tip tuyn chung ca hai na ng trn (O1) v (O2) => B1 = H1 (hai gc ni tip cng chn cung HE) => B1= F1 => EBC+ EFC = AFE + EFC m AFE + EFC = 1800 (v l hai gc k b) => EBC+ EFC = 1800 mt khc EBC v EFC l hai gc i ca t gic BEFC do BEFC l t gic ni tip.3. Xt hai tam gicAEF v ACB ta c A = 900 l gc chung; AFE = ABC ( theo Chng minh trn) www.vnmath.com36Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012=> AEF ACB => AE AFAC AB => AE. AB = AF. AC.* HD cch 2: Tam gicAHB vung ti H c HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gicAHC vung ti H c HF AC => AH2 = AF.AC (**) T (*) v (**) => AE. AB = AF. AC4. T gic AFHE l hnh ch nht => IE = EH => IEH cn ti I => E1 = H1 . O1EH cn ti O1 (v c O1E vO1H cng l bn knh) => E2 = H2.=> E1 + E2 = H1 + H2 m H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF . Chng minh tng t ta cng c O2F EF. Vy EF l tip tuyn chung ca hai na ng trn.Bi 14Cho im C thuc on thng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. V v mt pha ca AB cc na ng trnc ng knh theo th t l AB, AC, CB v c tm theo th t l O, I, K.ng vung gc vi AB ti C ct na ng trn(O) ti E. Gi M. N theo th t l giao im ca EA, EB vi cc na ng trn(I), (K).1.Chng minh EC = MN.2.Ch/minh MN l tip tuyn chung ca cc na /trn(I), (K).3.Tnh MN.4.Tnh din tch hnh c gii hn bi ba na ng trnLi gii:1. Ta c: BNC= 900( ni tip chn na ng trn tm K) 1 H 1 N M C IO KB E A 3 2 2 1 1 => ENC = 900 (v l hai gc k b). (1) AMC = 900 ( ni tip chn nc ng trn tm I) => EMC = 900 (v l hai gc k b).(2) AEB = 900 (ni tip chn na ng trn tm O) hay MEN = 900 (3)T (1), (2), (3) => t gic CMEN l hnh ch nht=> EC = MN (tnh cht ng cho hnh ch nht )2. Theo gi thit EC AB ti C nn EC l tip tuyn chung ca hai na ng trn(I) v (K) => B1 = C1 (hai gc ni tip cng chn cung CN). T gic CMEN l hnh ch nht nn => C1= N3 => B1 = N3.(4) Li c KB = KN (cng lbn knh) => tam gicKBN cn ti K => B1 = N1 (5) T (4) v (5) => N1 = N3 m N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN ti N => MN l tip tuyn ca (K) ti N.Chng minh tng t ta cng c MN l tip tuyn ca (I) ti M, Vy MN l tip tuyn chung ca cc na ng trn(I), (K).3. Ta c AEB = 900 (ni tip chn nc ng trn tm O) => AEB vung ti A c EC AB (gt) => EC2 = AC. BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trn EC = MN => MN = 20 cm.4.Theo gi thit AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cmTa c S(o) = .OA2 = 252 = 625; S(I) = . IA2 = .52 = 25; S(k) = .KB2 = . 202 = 400.Ta c din tch phn hnh c gii hn bi ba na ng trn lS = 12 ( S(o) - S(I) - S(k))www.vnmath.com37Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012S = 12( 625- 25- 400) = 12.200 = 100 314 (cm2)Bi 15Cho tam gicABC vung A. Trn cnh AC ly im M, dng ng trn(O) c ng knh MC. ng thngBM ct ng trn(O) ti D. ng thngAD ct ng trn (O) ti S.1. Chng minh ABCD l t gic ni tip .2. Chng minh CA l tia phn gic ca gc SCB.3. Gi E l giao im ca BC vi ng trn(O). Chng minh rng cc ng thngBA, EM, CD ng quy.4. Chng minh DM l tia phn gic ca gc ADE.5. Chng minh im M l tm ng trnni tip tam gicADE.Li gii: 32 3 3 22 2 1 1 1 1 F O M S D E B A C Hnh a

F 1 2 C A B E D S M O 1 1 1 1 2 2 2 3 2 Hnh b 1. Ta c CAB = 900 ( v tam gicABC vung ti A); MDC = 900 ( gc ni tip chn na ng trn ) => CDB = 900 nh vy D v A cng nhn BC di mt gc bng 900 nn A v D cng nm trn ng trnng knh BC => ABCD l t gic ni tip.2. ABCD l t gic ni tip => D1= C3( ni tip cng chn cung AB). D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai gc ni tip ng trn(O) chn hai cung bng nhau) => CA l tia phn gic ca gc SCB.3. Xt CMB Ta c BACM; CD BM; ME BC nh vy BA, EM, CD l ba ng cao ca tam gicCMB nn BA, EM, CD ng quy.4. Theo trn Ta c SM EM => D1= D2 => DM l tia phn gic ca gc ADE.(1)5. Ta c MEC = 900 (ni tip chn na ng trn (O)) => MEB = 900. T gic AMEB c MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 m y l hai gc i nn t gic AMEB ni tip mt ng trn=> A2 = B2 .T gic ABCD l t gic ni tip => A1= B2( ni tip cng chn cung CD) => A1= A2 => AM l tia phn gic ca gc DAE (2)T (1) v (2) Ta c M l tm ng trnni tip tam gicADETH2 (Hnh b) Cu 2 : ABC = CME (cng ph ACB); ABC = CDS (cng b ADC) => CME = CDS => CE CS SM EM > => SCM = ECM => CA l tia phn gic ca gc SCB.www.vnmath.com38Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012Bi 16Cho tam gicABC vung A.v mt im D nm gia A v B. ng trnng knh BD ct BC ti E. Cc ng thngCD, AE ln lt ct ng trnti F, G.Chng minh :1. Tam gicABC ng dng vi tam gicEBD.2. T gic ADEC v AFBC ni tip .3. AC // FG.4. Cc ng thngAC, DE, FB ng quy.Li gii:1. Xt hai tam gicABC v EDB Ta c BAC = 900 ( v tam gicABC vung ti A); DEB = 900 ( gc ni tip chn na ng trn ) => DEB = BAC = 900 ; li c ABC l gc chung => DEB CAB 2.Theo trn DEB = 900 => DEC = 900 (v hai gc k b); BAC = 900 ( v ABC vung ti A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 0 m y l hai gc i nn ADEC l t gic ni tip . G 1 1 O S D E B AC 1 F * BAC = 900 ( v tam gicABC vung ti A); DFB = 900 ( gc ni tip chn na ng trn ) hay BFC = 900nh vy F v A cng nhn BC di mt gc bng 900 nn A v F cng nm trn ng trnng knh BC => AFBC l t gic ni tip.3. Theo trn ADEC l t gic ni tip => E1 = C1 li c E1 = F1 => F1 = C1 m y l hai gc so le trong nn suy ra AC // FG.4. (HD) D thy CA, DE, BF l ba ng cao ca tam gicDBC nn CA, DE, BF ng quy ti S.Bi 17. Cho tam gic u ABC c ng cao l AH. Trn cnh BC ly im M bt k ( M khng trng B. C, H ) ; t M k MP, MQ vung gc vi cc cnh AB. AC.1. Chng minh APMQ l t gic ni tip v hy xc nh tm O ca ng trnngoi tip t gic .2. Chng minh rng MP + MQ = AH.3. Chng minh OH PQ.Li gii:1. Ta c MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 nh vy P v Q cng nhn BC di mt gc bng 900 nn P v Q cng nm trn ng trnng knh AM => APMQ l t gic ni tip.* V AM l ng knh ca ng trnngoi tip t gic APMQ tm O ca ng trnngoi tip t gic APMQ l trung im ca AM.2. Tam gicABC c AH l ng cao => SABC = 12BC.AH.Tam gicABM c MP l ng cao => SABM = 12AB.MPTam gicACM c MQ l ng cao => SACM = 12AC.MQ O M Q P HCB A 2 1 Ta c SABM + SACM = SABC => 12AB.MP + 12AC.MQ = 12BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH M AB = BC = CA (vtam gicABC u) => MP + MQ = AH.3. Tam gicABC c AH l ng cao nn cng l ng phn gic => HAP = HAQ => HP HQ ( tnh cht gc ni tip ) => HOP = HOQ (t/c gc tm) => OH l tia phn gic gc www.vnmath.com39Trng THCS Hp Minhwww.vnmath.com Nm hc 2011-2012POQ. M tam gicPOQ cn ti O ( v OP v OQ cng l bn knh) nn suy ra OH cng l ng cao => OH PQBi 18Cho ng trn(O) ng knh AB. Trn on thng OB ly im H bt k ( H khng trng O, B); trn ng thngvung gc vi OB ti H, ly mt im M ngoi ng trn; MA v MB th t ct ng trn(O) ti C v D. Gi I l giao im ca AD v BC.1. Chng minh MCID l t gic ni tip .2. Chng minh cc ng thngAD, BC, MH ng quy ti I.3. Gi K l tm ng trnngoi tip t gic MCID, Chng minh KCOH l t gic ni Li gii:1. BIC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => BID = 900 (v l hai gc k b);DE AB ti M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 m y l hai gc i ca t gic MBID nn MBID l t gic ni tip. 2. Theo gi thit M l trung im ca AB; DE AB ti M nn M cng l trung im ca DE (quan h ng knh v dy cung) www.vnmath.com40 2 11 // 1 O' E 3 2 1 I O D C M A B => T gic ADBE l hnh thoi v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca mi ng . 3. ADC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => AD DC; theo trn BI DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi thit ADBE l hnh thoi => EB // AD (2).T (1) v (2) => I, B, E thng hng (v qua B ch c mt ng thng song song vi AD m thi.) 5. I, B, E thng hng nn tam gicIDE vung ti I => IM l trung tuyn ( v M l trung im ca DE) =>MI = ME => MIE cn ti M => I1 = E1 ; OIC cn ti O ( v OC v OI cng l bn knh )=> I3 = C1 m C1 = E1 ( Cng ph vi gc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . M I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO hay MI OI ti I => MI l tip tuyn ca (O)Ch 1: Nhn bit hnh, tm iu kin ca mt hnh.Bi 1:Cho tam gic u ABC ni tip ng trn tm O. D v E ln lt l im chnh gia ca cc cung AB v AC. DE ct AB I v ct AC L.a) Chng minh DI = IL = LE.b) Chng minh t gic BCED l hnh ch nht.c) Chng minh t gic ADOE l hnh thoi v tnh cc gc ca hnh ny.Bi 2:Cho t gic ABCD ni tip ng trn c cc ng cho vung gc vi nhau ti I.a) Chng minh rng nu t I ta h ng vung gc xung mt cnh ca t gic th ng vung gc ny qua trung im ca cnh i din ca cnh .b) Gi M, N, R, S l trung im ca cc cnh ca t gic cho. Chng minh MNRS l hnh ch nht.c) Chng minh ng trn ngoi tip hnh ch nht ny i qua chn cc ng vung gc h t I xung cc cnh ca t gic.Bi 3:Cho tam gic vung ABC ( A = 1v) c AH l ng cao. Hai ng trn ng knh AB v AC c tm l O1 v O2. Mt ct tuyn bin i i qua A ct ng trn (O1) v (O2) ln lt ti M v N.a) Chng minh tam gic MHN l tam gic vung.b) T gic MBCN l hnh g?c) Gi F, E, G ln lt l trung im ca O1O2, MN, BC. Chng minh F cch u 4 im E, G, A, H.d) Khi ct tuyn MAN quay xung quanh im A th E vch mt ng nh th no?Bi 4:Cho hnh vung ABCD. Ly B lm tm, bn knh AB, v 1/4 ng trn pha trong hnh vung.Ly AB lm ng knh , v 1/2 ng trn pha trong hnh vung. Gi P l im tu trn cung AC ( khng trng vi A v C). H v K ln lt l hnh chiu ca P trn AB v AD, PA v PB ct na ng trn ln lt I v M.a) Chng minh I l trung im ca AP. b) Chng minh PH, BI, AM ng qui.c) Chng minh PM = PK = AHd) Chng minh t gic APMH l hnh thang cn.) Tm v tr im P trn cung AC tam gic APB l u.Ch 2: Chng minh t gic ni tip, chng minh nhiu im cng nm trn mt ng trn.Bi 1:Cho hai ng trn (O), (O') ct nhau ti A, B. Cc tip tuyn ti A ca (O), (O') ct (O'), (O) ln lt ti cc im E, F. Gi I l tm ng trn ngoi tip tam gic EAF.a) Chng minh t gic OAO'I l hnh bnh hnh v OO'//BI.b) Chng minh bn im O, B, I, O' cng thuc mt ng trn.c) Ko di AB v pha B mt on CB = AB. Chng minh t gic AECF ni tip.Bi 2:Cho tam gic ABC. Hai ng cao BE v CF ct nhau ti H.Gi D l im i xng ca H qua trung im M ca BC.a) Chng minh t gic ABDC ni tip c trong mt ng trn.Xc nh tm O ca ng trn .b) ng thng DH ct ng trn (O) ti im th 2 l I. Chng minh rng 5 im A, I, F, H, E cng nm trn mt ng trn.Bi 3:Cho hai ng trn (O) v (O') ct nhau ti A v B. Tia OA ct ng trn (O') ti C, tia O'A ct ng trn (O) ti D. Chng minh rng:a) T gic OO'CD ni tip.b) T gic OBO'C ni tip, t suy ra nm im O, O', B, C, D cng nm trn mt ng trn.Bi 4:Cho t gic ABCD ni tip na ng trn ng knh AD. Hai ng cho AC v BD ct nhau ti E. V EF vung gc AD. Gi M l trung im ca DE. Chng minh rng:a) Cc t gic ABEF, DCEF ni tip c.b) Tia CA l tia phn gic ca gc BCF.c)* T gic BCMF ni tip c.Bi 5:T mt im M bn ngoi ng trn (O) ta v hai tip tuyn MA, MB vi ng trn. Trn cung nh AB ly mt im C. V CD AB, CE MA, CF MB.Gi I l giao im ca AC v DE, K l giao im ca BC v DF. Chng minh rng:a) Cc t gic AECD, BFCD ni tip c.b) CD2 = CE. CFc)* IK // ABBi 6:Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O). T A v tip tuyn xy vi ng trn. V hai ng cao BD v CE.a) Chng minh rng bn im B, C, D, E cng nm trn mt ng trn.b) Chng minh rng xy// DE, t suy ra OA DE.Bi 7:Cho tam gic u ABC ni tip ng trn (O). Trn cung nh AB ly mt im M. ng thng qua A song song vi BM ct CM ti N.a) Chng minh rng tam gic AMN l tam gic u.b) Chng minh rng MA + MB = MC.c)* Gi D l giao im ca AB v CM. Chng minh rng: MD1MB1AM1 +Bi 8:Cho ba im A, B, C c nh vi B nm gia A v C. Mt ng trn (O) thay i i qua B v C. V ng knh MN vung gc vi BC ti D ( M nm trn cung nh BC).Tia AN ct ng trn (O) Ti mt im th hai l F. Hai dy BC v MF ct nhau ti E. Chng minh rng:a) T gic DEFN ni tip c.b) AD. AE = AF. ANc) ng thng MF i qua mt im c nh.Bi 9:T mt im A bn ngoi ng trn ( O; R) v hai tip tuyn AB, AC vi ng trn. Gi M l trung im ca AB. Tia CM ct ng trn ti im N. Tia AN ct ng trn ti im D. a) Chng minh rng MB2 = MC. MNb) Chng minh rng AB// CDc) Tm iu kin ca im A cho t gic ABDC l hnh thoi. Tnh din tch c hnh thoi .Bi 10:Cho ng trn (O) v mt dy AB. Gi M l im chnh gia ca cung nh AB. V ng knh MN Ct AB ti I. Gi D l mt im thuc dy AB. Tia MD ct ng trn (O) ti C.a) Chng minh rng t gic CDIN ni tip cb) Chng minh rng tch MC. MD c gi tr khng i khi D di ng trn dy AB.c) Gi O' l tm ca ng trn ngoi tip tam gic ACD.Chng minh rng MAB = 21AO'D.d) Chng minh rng ba im A, O', N thng hng v MA l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic ACD.Bi 11:Cho tam gic ABC vung A ( AB < AC), ng cao AH. Trn on thng HC ly D sao cho HD = HB. V CE vung gc vi AD ( E AD).a) Chng minh rng AHEC l t gic ni tip.b) Chng minh AB l tip tuyn ca ng trn ngoi tip t gic AHEC.c) Chng minh rng CH l tia phn gic ca gc ACE.d) Tnh din tch hnh gii hn bi cc on thng CA. CH v cung nh AH ca ng trn ni trn bit AC= 6cm, ACB = 300.Bi 12:Cho ng trn tm O c ng knh BC. Gi A l Mt im thuc cung BC ( AB < AC), D l im thuc bn knh OC. ng vung gc vi BC ti D ct AC E, ct tia BA F.a) Chng minh rng ADCF l t gic ni tip.b) Gi M l trung im ca EF. Chng minh rng AME = 2 ACB.c) Chng minh rng AM l tip tuyn ca ng trn (O).d) Tnh din tch hnh gii hn bi cc on thng BC, BA v cung nh AC ca ng trn (O) bit BC= 8cm, ABC = 600.Bi 13:Cho na ng trn tm O, ng knhAB = 2R. im M thuc na ng trn. V ng trn tm M tip xc vi AB ( H l tip im). K cc tip tuyn AC, BD vi ng trn (M) ( C, D l tip im).a) Chng minh rng C, M, D thng hngb) Chng minh rng CD l tip tuyn ca ng trn (O).c) Tnh tng AC + BD theo R.d) Tnh din tch t gic ABDC bit AOM = 600.Bi 14:Cho tam gic vung cn ABC ( A = 900), trung im I ca cnh BC. Xt mt im D trn tia AC. V ng trn (O) tip xc vi cc cnh AB, BD, DA ti cc im tng ng M, N, P.a) Chng minh rng 5 im B, M, O, I, N nm trn mt ng trn.b) Chng minh rng ba im N, I, P thng hng.c) Gi giao im ca tia BO vi MN, NP ln lt l H, K. Tam gic HNK l tam gic g, ti sao?d) Tm tp hp im K khi im D thay i v tr trn tia AC.Ch 3: Chng minh cc im thng hng, cc ng thng ng quy.Bi 1:Cho hai ng trn (O) v (O') ct nhau ti hai im A v B. ng thng AO ct ng trn (O) v (O') ln lt ti C v C'. ng thng AO'ct ng trn (O) v (O') ln lt ti D v D'.a) Chng minh C, B, D' thng hngb) Chng minh t gic ODC'O' ni tipc) ng thng CD v ng thng D'C' ct nhau ti M. Chng minh t gic MCBC' ni tip.Bi 2:T mt im C ngoi ng trn ( O) k ct tuyn CBA. Gi IJ l ng knh vung gc vi AB. Cc ng thng CI, CJ theo th t ct ng trn (O) ti M, N. a) Chng minh rng IN, JM v AB ng quy ti mt im D.b) Chng minh rng cc tip tuyn ca ng trn (O) ti M, N i qua trung im E ca CD.Bi 3:Cho hai ng trn ( O; R) v ( O'; R' ) tip xc ngoi ti A ( R> R' ). ng ni tm OO' ct ng trn (O) v (O') theo th t ti B v C ( B v C khc A). EF l dy cung ca ng trn (O) vung gc vi BC ti trung im I ca BC, EC ct ng trn (O') ti D.a) T gic BEFC l hnh gi?b) Chng minh ba im A, D, F thng hng.c) CF ct ng trn (O) ti G. Chng minh ba ng EG, DF v CI ng quy.d) Chng minh ID tip xc vi ng trn (O).Bi 4:Cho ng trn (O) v (O) tip xc ngoi ti C. AC v BC l ng knh ca (O) v (O), DE l tip tuyn chung ngoi (D (O), E (O)). AD ct BE ti M.a) Tam gic MAB l tam gic g?b) Chng minh MC l tip tuyn chung ca (O) v (O).c) K Ex, By vung gc vi AE, AB. Ex ct By ti N. Chng minh D, N, C thng hng.d) V cng pha ca na mt phng b AB, v na ng trn ng knh AB v OO. ng thng qua C ct hai na ng tn trn ti I, K. Chng minh OI // AK.Ch 4: Chng minh im c nh.Bi 1:Cho ng trn (O ; R). ng thng d ct (O) ti A, B. C thuc d ngoi (O). T im chnh gia P ca cung ln AB k ng knh PQ ct AB ti D. CP ct (O) ti im th hai I, AB ct IQ ti K.a) Chng minh t gic PDKI ni tip.b) Chng minh: CI.CP = CK.CD.c) Chng minh IC l phn gic ngoi ca tam gic AIB.d) A, B, C c nh, (O) thay i nhng vn lun qua A, B. Chng minh rng IQ lun i qua im c nh.Bi 2:Cho tam gic u ABC ni tip (O ; R). M di ng trn AB. N di ng trn tia i ca tia CA sao cho BM = CN.a) ng trn ngoi tip tam gic AMN ct (O) ti A v D. Chng minh rng D c nh.b) Tnh gc MDN.c) MN ct BC ti K. Chng minh DK vung gc vi MN.d) t AM = x. Tnh x din tch tam gic AMN l ln nht.Bi 3:Cho (O ; R). im M c nh ngoi (O). Ct tuyn qua M ct (O) ti A v B. Tip tuyn ca (O) ti A v B ct nhau ti C.a) Chng minh t gic OACB ni tip ng trn tm K.b) Chng minh: (K) qua hai im c nh l O v H khi ct tuyn quay quanh M.c) CH ct AB ti N, I l trung im AB. Chng minh MA.MB = MI.MN.d) Chng minh: IM.IN = IA2.Bi 4:Cho na ng trn ng knh AB tm O. C l im chnh gia cung AB. M di ng trn cung nh AC. Ly N thuc BM sao cho AM = BN.a) So snh tam gic AMC v BCN.b) Tam gic CMN l tam gic g?c) K dy AE//MC. Chng minh t gic BECN l hnh bnh hnh.d) ng thng d i qua N v vung gc vi BM. Chng minh d lun i qua im c nh.Bi 5:Cho ng trn (O ; R), ng thng d ct (O) ti hai im C v D. im M tu trn d, k tip tuyn MA, MB. I l trung im ca CD.a) Chng minh 5 im M, A, I, O, B cng thuc mt ng trn.b) Gi H l trc tm ca tam gic MAB, t gic OAHB l hnh g?c) Khi M di ng trn d. Chng minh rng AB lun qua im c nh.d) ng thng qua C vung gc vi OA ct AB, AD ln lt ti E v K. Chng minh EC = EK. Ch 5: Chng minh hai tam gic ng dng v chng minh ng thc hnh hc.Bi 1:Cho ng trn (O) v dy AB. M l im chnh gia cung AB. C thuc AB, dy MD qua C.a) Chng minh MA2 = MC.MD.b) Chng minh MB.BD = BC.MD.c) Chng minh ng trn ngoi tip tam gic BCD tip xc vi MB ti B.d) Gi R1, R2 l bn knh cc ng trn ngoi tip tam gic BCD v ACD. Chng minh R1 + R2 khng i khi C di ng trn AB.Bi 2:Cho na ng trn tm O, ng knh AB = 2R v mt im M trn na ng trn (M khc A, B). Tip tuyn ti M ca na ng trn ct cc tip tuyn ti A, Bln lt C v E.a) Chng minh rng CE = AC + BE.b) Chng minh AC.BE = R2.c) Chng minh tam gic AMB ng dng vi tam gic COE.d) Xt trng hp hai ng thng AB v CE ct nhau ti F. Gi H l hnh chiu vung gc ca M trn AB.+ Chng minh rng: FBFAHBHA.+ Chng minh tch OH.OF khng i khi M di ng trn na ng trn.Bi 3:Trn cung BC ca ng trn ngoi tip tam gic u ABC ly mt im P bt k. Cc ng thng AP vBC ct nhau ti Q. Chng minh rng: PC1PB1PQ1+ .Bi 4:Cho gc vung xOy. Trn tia Ox t on OA = a. Dng ng trn (I ; R) tip xc vi Ox ti A v ct Oy ti hai im B, C. Chng minh cc h thc:a) 2 2 2a1AC1AB1 +.b) AB2 + AC2 = 4R2.Ch 6: Cc bi ton v tnh s o gc v s o din tch.Bi 1:Cho hai ng trn (O; 3cm) v (O;1 cm) tip xc ngoi ti A. V tip tuyn chung ngoi BC (B (O); C (O)).a) Chng minh rng gc OOB bng 600.b) Tnh di BC.c)Tnh din tch hnh gii hn bi tip tuyn BC v cc cung AB, AC ca hai ng trn.Bi 2:Cho im C thuc on thng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. V v mt pha ca AB cc na ng trn c ng knh theo th t l AB, AC, CB v c tm theo th t l O, I, K. ng vung gc vi AB ti C ct na ng trn (O) E. Gi M, N theo th t l giao im ca EA, EB vi cc na ng trn (I), (K).a) Chng ming rng EC = MN.b) Chng minh rng MN l tip tuyn chung ca cc na ng trn (I), (K).c) Tnh di MN.d) Tnh din tch hnh c gii hn bi ba na ng trn.Bi 3:T mt im A bn ngoi ng trn (O), k hai tip tuyn AB v AC vi ng trn. Tmt im M trn cung nh BC k mt tip tuyn th ba ct hai tip tuyn kia ti P v Q.a) Chng minh rng: Khi im M chuyn ng trn cung BC nh th chu vi tam gic APQ c gi tr khng i.b) Cho bit BAC = 600 v bn knh ca ng trn (O) bng 6 cm. Tnh di ca tip tuyn AB v din tch phn mt phng c gii hn bi hai tip tuyn AB, AC v cung nh BC.Bi 4:Cho tam gic cn ABC (AB = AC), I l tm ng trn ni tip , K l tm ng trn bng tipgc A, O l trung im ca IK. a) Chng minh rng: 4 im B, I, C, K cng thuc mt ng trn.b) Chng minh rng: AC l tip tuyn ca ng trn (O).c) Tnh bn knh ca ng trn (O) bit AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.Bi 5:Cho ng trn tm O ng knh AB = 2R. E l mt im trn ng trn m AE > EB. M l mt im trn on AE sao cho AM.AE = AO.AB.a) Chng minh AOM vung ti O.b) OM ct ng trn C v D. im C v im E cng mt pha i vi AB. Chng minh ACM ng dng vi AEC.c) Chng minh AC l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic CEM.d) Gi s t s din tch hai tam gic Acm v AEC l 32. Tnh AC, AE, AM, CM theo R.Ch 7: Ton qu tch.Bi 1:Cho tam gic ABC cn (AB = AC) ni tip trong ng trn (O) v M l im di ng trn ng trn . Gi D l hnh chiu ca B trn AM v P l giao im ca BD vi CM.a) Chng minh BPM cn.b) Tm qu tch ca im D khi M di chuyn trn ng trn (O).Bi 2:ng trn (O ; R) ct mt ng thng d ti hai im A, B. T mt im M trn d v ngoi ng trn (O) k cc tip tuyn MP, MQ.a) Chng minh rng gc QMO bng gc QPO v ng trn ngoi tip tam gic MPQ i qua hai im c nh khi M di ng trn d.b) Xc nh v tr ca M MQOP l hnh vung?c) Tm qu tch tm cc ng trn ni tip tam gic MPQ khi M di ng trn d.Bi 3:Hai ng trn tm O v tm I ct nhau ti hai im A v B. ng thng d i qua A ct cc ng trn (O) v (I) ln lt ti P, Q. Gi C l giao im ca hai ng thng PO v QI.a) Chng minh rng cc t gic BCQP, OBCI ni tip.b) Gi E, F ln lt l trung im ca AP, AQ, K l trung im ca EF. Khi ng thng d quay quanh A th K chuyn ng trn ng no?c) Tm v tr ca d tam gic PQB c chu vi ln nht.Ch 8: Mt s bi ton m u v hnh hc khng gian.Bi 1:Cho hnh hp ch nht ABCDABCD. Bit AB = 4 cm; AC = 5 cm v AC = 13 cm. Tnh th tch v din tch xung quanh ca hnh hp ch nht .Bi 2:Cho hnh lp phng ABCDABCD c din tch mt cho ACCA bng 25 2cm2. Tnh th tch v din tch ton phn ca hnh lp phng .Bi 3:Cho hnh hp ch nht ABCDABCD. Bit AB = 15 cm, AC = 20 cm v gc AAC bng 600. Tnh th tch v din tch ton phn ca hnh hp ch nht .Bi 4:Cho lng tr ng tam gic u ABCABC. Tnh din tch xung quanh v th tch ca n bit cnh y di 6 cm v gc AAB bng 300.Bi 5: Cho tam gic ABC u cnh a. ng thng d vung gc vi mt phng (ABC) ti trng tm G ca tam gic ABC. Trn ng thng d ly mt im S. Ni SA, SB, SC.a) Chng minh rng SA = SB = SC.b) Tnh din tch ton phn v th tch ca hnh chp S.ABC, cho bit SG = 2a.Bi 6:Cho hnh chp t gic u S.ABCD c cnh y l a v ng cao l 22 a.a) Chng minh cc mt bn ca hnh chp l cc tam gic u.b) Tnh th tch v din tch xung quanh ca hnh chp.Bi 7:Cho hnh chp tam gic u S.ABC c cnh y v cnh bn u bng a.a) Tnh din tch ton phn ca hnh chp.b) Tnh th tch ca hnh chp.Bi 8:Cho hnh chp t gic u S.ABCD c chiu cao 15 cm v th tch l 1280 cm3. a) Tnh di cnh y.b) Tnh din tch xung quanh ca hnh chp.Bi 9:Mt hnh chp ct din tch y nh l 75 cm2, din tch y ln gp 4 ln din tch y nh v chiu cao l 6 cm. Tnh th tch ca hnh chp ct .Bi 10:Cho hnh chp t gic S.ABCD c y ABCD l hnh vung cnh a, SA = a v SA vung gc vi mt phng y (ABCD).a) Tnh th tch hnh chp.b) Chng minh rng bn mt bn l nhng tam gic vung.a) Tnh din tch xung quanh ca hnh chp.Bi 11:Mt hnh tr c ng cao bng ng knh y. Bit th tch hnh tr l 128 cm3, tnh din tch xung quanh ca n.Bi 12:Mt hnh nn c bn knh y bng 5 cm v din tch xung quanh bng 65cm2. Tnh th tch ca hnh nn .Bi 13:Cho hnh nn ct, bn knh y ln bng 8 cm, ng cao bng 12 cm v ng sinh bng 13 cm.a) Tnh bn knh y nh.b) Tnh din tch xung quanh v th tch ca hnh nn ct .Bi 14:Mt hnh cu c din tch b mt l 36cm2. Tnh th tch ca hnh cu .

Documents

com Cac Chuyen de Toan 9 Hay