CONTENIDO Métodos Numéricos para Ingenieros Químicos€¦ · Métodos Numéricos para Ingenieros Químicos Abbud Jesús Batch CONTENIDO Tema 1 Ecuaciones Trascendentes (2) Métodos

Clase 4 - Lámina 1

Métodos Numéricos

para Ingenieros Químicos

Abbud Jesús Batch

CONTENIDO

Tema 1 Ecuaciones Trascendentes (2)

Métodos abiertos

Iterativo

Newton-

Raphson

AGENDA

Clase 4 - Lámina 2

Métodos abiertos

Iterativo

Newton-

Raphson

Basados en fórmulas que requieren de un solo

valor de x para iniciar los cálculos.

Algunas veces divergen, o se alejan de la raíz a

medida que crece el número de iteraciones. Sin

embargo, en general, cuando los métodos abiertos

convergen lo hacen mucho más rápido que los

métodos cerrados.

Métodos:

Iterativo

Newton - Raphson

ECUACIONES TRASCENDENTES

Clase 4 - Lámina 3

Descompone la función original f(x) = 0 en la

suma (o resta) de dos funciones.

Si la raíz de f(x) es , entonces se cumple que:


0

21

xgx

xfxfxf

g

Si se proporciona una aproximación inicial x0 de

la raíz , se puede definir una secuencia x1, x2,

x3,... por la relación recursiva:

ii xgx 1

El valor de la raíz puede determinarse gráfica y

numéricamente, tomando como base el hecho de

que la raíz es la intersección de las curvas x y g(x)

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Raphson

Clase 4 - Lámina 4


EJEMPLO GRÁFICO

x1 x2

Raíz Exacta

f(x)

x x0

x

g(x) Métodos abiertos

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Newton-

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Clase 4 - Lámina 5


CONVERGENCIA

A partir de: ii xgx 1

y suponiendo que la solución verdadera es:

rr xgx

al restar estas dos expresiones se tiene:

irir xgxgxx 1

El teorema del valor medio de la derivada establece

que si una función g(x) y su primera derivada g’(x)

son continuas en un intervalo a < x < b, entonces

existe al menos un valor de x = dentro del

intervalo que:

ab

agbgg

'

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Clase 4 - Lámina 6


Pendiente de la recta

que une a g(a) y g(b).

El teorema del valor medio establece que existe al

menos un punto entre a y b que tiene una pendiente,

denotada por g’(x), que es paralela a la línea que une

g(a) con g(b).

Haciendo a = xi y b = xr, queda:

'gxxxgxg irir

donde se encuentra en alguna parte entre xi y xr.

ab

agbgg

'

Si:

'1 gxxxx irir queda:

irir xgxgxx 1

CONVERGENCIA

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ir

ir

xx

xxg

1'

i

i

E

Eg 1'

CONVERGENCIA

Si | g’(x) | < 1, entonces los errores disminuyen

con cada iteración (convergencia).

Si | g’(x) | > 1, entonces los errores aumentan con

cada iteración (divergencia).

Si g’(x) > 0, entonces las iteraciones serán

monótonas.

Si g’(x) < 0, entonces las iteraciones serán

oscilatorias.

Si | g’(x) | 1, entonces la convergencia es más

lenta.

Si | g’(x) | 0, entonces la convergencia es más

rápida.

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i

i

E

Eg 1'

CONVERGENCIA

ir

ir

xx

xxg

1'

Cuando el método converge, el

error es proporcional y menor que

el error en la iteración anterior.

Por tal razón se dice que la

iteración simple de punto fijo es

linealmente convergente.

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Clase 4 - Lámina 9


En un intervalo [a, b] se verifica el cambio de

signo de la función del tipo f(x) = 0, esto es:

Se descompone la función del tipo f(x) = 0 en:

Con un valor inicial x0 dentro del intervalo [a, b]

se evalúa el criterio de convergencia de la función

g(x) seleccionada, esto es:

ALGORITMO

0bfaf

xgxxf

De no cumplirse el criterio de convergencia, se

selecciona otro punto inicial x0 dentro del

intervalo [a, b].

1' xg

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Clase 4 - Lámina 10


Se determina un nuevo valor de x:

ALGORITMO

ii xgx 1

Se repiten las iteraciones con xi hasta que se

cumpla que:

y/o 1 ii xxxf

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EJEMPLO NUMÉRICO

xexf x

xxf 1

xgexf x

2

Intervalo [0,1]

0bfaf

xexg '

Convergencia

x0 = 0,5

161,05,0' g

i xi g(xi)

0 0,500 0,607

1 0,607 0,5452 0,545 0,580

3 0,580 0,560

ix

i ex

1

4 0,560 0,571

5 0,571 0,565

6 0,565 0,568

7 0,568 0,566

8 0,566 0,568

9 0,568 0,567

10 0,567 0,567

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Raphson



De los métodos para calcular raíces, el método de

Newton-Raphson es el más popular.

Geométricamente se basa en localizar la raíz a

partir de la tangente de la función f(x) en el

punto xi.

La pendiente de dicha tangente en xi es

equivalente a la primera derivada de f(xi), es

decir:

1

1'

ii

ii

ixx

xfxfxf

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1

1'

ii

ii

ixx

xfxfxf

0,0

1,0

0 xi 1

x

f(x)

xi+1

xi+1-xi

f(xi)

f’(xi)

0

1

1' xf

xfxx i

ii

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Truncando la primera derivada se obtiene una

versión aproximada:

En la intersección con el eje x, f(xi+1) debe ser

igual a cero, entonces rearreglando queda:

Además de la derivación geométrica, también se

puede derivar a partir de la serie de Taylor.

donde se encuentra en alguna parte del intervalo

entre xi y xi+1.

...!2

''!1

'

2

11

1

iiii

iii

xxf

xxxfxfxf

iiiii xxxfxfxf 11 '

1

1' xf

xfxx i

ii

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Newton-

Raphson



CONVERGENCIA

A partir de la serie de Taylor:

suponiendo que la solución verdadera xr = xi+1, y

que f(xi+1) = f(xr) = 0, se tiene:

Truncando la serie original, con f(xi+1) = 0, se tiene :

Y restando las dos expresiones anteriores, queda:

2

11

1!2

''!1

' iiii

iii

xxf

xxxfxfxf

2

2'''0 ir

irii

xxfxxxfxf

iiii xxxfxf 1'0

2

12

'''0 ir

iri

xxfxxxf

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Iterativo

Newton-

Raphson



CONVERGENCIA

2

12

'''0 ir

iri

xxfxxxf

Si hay convergencia, entonces xi y se deberían

aproximar a la raíz xr, por lo que queda:

r

r

i

i

xf

xf

E

E

'2

''2

1

Cuando el método converge, el error es proporcional

al cuadrado del error anterior. Esto significa que el

número correcto de cifras decimales se duplica

aproximadamente en cada iteración. A este

comportamiento se le llama convergencia cuadrática.

Métodos abiertos

Iterativo

Newton-

Raphson

2

12

'''0 i

ii

EfExf



CONVERGENCIA

Comparando los algoritmos del método iterativo

general y el método de Newton-Raphson, se puede

deducir el criterio de convergencia de éste último:

Se estableció que la convergencia ocurre cuando

| g’(x) | < 1, por lo que g’(x) es:

ii xgx 1

'

1

i

i

iixf

xfxx

i

i

iixf

xfxxg

'

22

2

'

''

'

'''1'

i

ii

i

iii

ixf

xfxf

xf

xfxfxfxg

1

'

''2

i

ii

xf

xfxf

Métodos abiertos

Iterativo

Newton-

Raphson



Aunque en general el método es muy eficiente,

hay situaciones en las que converge lentamente

como consecuencia de la naturaleza de la función.

DESVENTAJAS

Cuando hay un punto de inflexión en la vecindad

de la raíz.

Cuando hay un mínimo o máximo local, en cuyo

caso el método oscila alrededor de dicho punto.

Cuando hay raíces múltiples.

Métodos abiertos

Iterativo

Newton-

Raphson



En un intervalo [a, b] se verifica el cambio de

signo de la función del tipo f(x) = 0, esto es:

Con un valor inicial x0 dentro del intervalo [a, b]

se evalúa el criterio de convergencia:

ALGORITMO

0bfaf

De no cumplirse el criterio de convergencia, se

selecciona otro punto inicial x0 dentro del

intervalo [a, b].

1

'

''2

i

ii

xf

xfxf

Métodos abiertos

Iterativo

Newton-

Raphson



Se determina un nuevo valor de x:

ALGORITMO

Se repiten las iteraciones con xi hasta que se

cumpla que:

y/o 1 ii xxxf

'

1

i

i

iixf

xfxx

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1025,0

5,0'

5,0''5,02

f

ff


EJEMPLO NUMÉRICO

xexf x

Intervalo [0,1]

0bfaf

Convergencia

x0 = 0,5

1' xexf

xexf ''

i xi f(xi) f'(xi) xi+1

0 0,500 0,107 -1,607 0,566

1 0,566 0,001 -1,568 0,567

2 0,567 0,000 -1,567 0,567

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AGENDA

ASIGNACIÓN 2

Para:

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Iterativo

Newton-

Raphson

23xexf x

utilice métodos cerrados y abiertos que resuelvan

dicha ecuación trascendental dentro del intervalo

[-1,1] y con una tolerancia de 10-4 sobre el valor

de x.

Detallar todas las consideraciones, decisiones y

pasos para la resolución de la función planteada

con cada método aplicado, y discutir los

resultados obtenidos en base a la experiencia

de sus aplicaciones.

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