ADRIAN STAN

Dreptul de copyright: Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt

site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului

2

Refereni tiinifici: Prof. gr. I Mnzal Iorgu - inspector de matematic Inspectoratul colar Judeean Buzu Prof. gr. I Stanciu Neculai director Grupul colar Tehnic

Sf. Mc. SAVA, Berca

3

BREVIAR TEORETIC

DIVIZIBILITATE Relaia de divizibilitate: a # b (sau ba)

ZrespectivNc astfel nct a=bc. (a se divide cu b) sau (a este divizibil cu b) sau ( b divide pe a) Proprieti: 1. aa , *Za 2. 1a, Za 3. ab, bc ac, *, Zba 4. da,db da+b sau da-b 5. ab, ba a=b , *, Zba 6. da dabc 7. ad, bd abd, dac a i b sunt prime ntre ele. Descompunerea n factori primi:

Nppppn kakaaa = .........321 321

Numrul divizorilor lui n N este: N= ( )( ) ( )1........11 21 +++ kaaa . Numrul divizorilor lui n Z este: N=2N Numere prime Numim numr prim orice numr natural mai mare dect 1, care are numai divizori improprii-adic pe 1 i pe el nsui. Criterii de divizibilitate:

4

Criteriul de divizibilitate cu 2 Un numr este divizibil cu 2 dac ultima sa cifr este par. Numerele care sunt divizibile cu 2 se numesc numere pare. Criteriul de divizibilitate cu 5 Un numr este divizibil cu 5 dac ultima sa cifr este 0 sau 5. Criteriul de divizibilitate cu 4 Un numr este divizibil cu 4, dac numrul format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4. Criteriul de divizibilitate cu 8 Un numr este divizibil cu 8, atunci cnd n umrul format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8. Criteriul de divizibilitate cu 25 Un numr este divizibil cu 25, dac numrul format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25, adic dac ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75. Criteriul de divizibilitate cu 125 Un numr este divizibil cu 125, dac numrul format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125. Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10 Un numr este divizibil cu o putere a lui 10, dac ultimele sale n cifre sunt zerouri. Criteriul de divizibilitate cu 3 Un nr.este divizibil cu 3, dac suma cifrelor sale este un numr divizibil cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 9 Un numr este divizibil cu 9, daca suma cifrelor sale este divizibil cu 9. Criteriul de divizibilitate cu 6 Un numr este divizibil cu 6, dac este divizibil cu 2 i cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 15 Un numr este divizibil cu 15, dac este divizibil cu 5 si cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 11 Un numr este divizibil cu 11, dac diferena dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un numr divizibil cu 11. Teorema mpririi cu rest n N.

5

Fie a, b 0,.0,, += brqbaabrNrqN Cel mai mare divizor comun al numerelor a i b (c.m.m.d.c) sau (a,b) este cel mai mare numr la care se mpart exact si a si b i este dat de produsul factorilor comuni, luai la puterea cea mai mic. 1) (a;b)=d a=dxa', b=dxb', (a';b')=1 2) (a;b)=d d/a si d/b, oricare ar fi d' a.. d'/a si d'/b=> d'/d Cel mai mic multiplu comun al numerelor a si b (c.m.m.m.c.) sau [a,b] este cel mai mic numr care se mparte exact i la a i la b i este dat de produsul factorilor comuni i necomuni luai la puterea cea mai mare. 1)[a;b]=m m=axm' , m=bxm' 2)[a;b]=m a/m si b/m, oricare ar fi m', a.i. a/m' si b/m'=>m'/m Relaia dintre c.m.m.m.c i c.m.m.d.c [a,b](a,b)=ab

Dac p i q sunt prime atunci mn qsip sunt prime.

MULIMI. OPERAII CU MULIMI

{ },........,.........3,2,1,0 nN = { }0\* NN = { },.......,,.........3,2,1,0,1,2,3,.......... nnZ = { }0\* ZZ =

= 0,, bZbabaQ { }0\* QQ =

= perfectpatratestenunnQR 0\

),()\( +== QRQR . Fie A i B dou mulimi. Atunci:

6

= BxsauAxxBA . Reuniunea mulimilor.

= BxsiAxxBA . Intersecia mulimilor.

= BxsiAxxBA \ . Diferena mulimilor.

= BysiAxyxAxB ),( . Produsul cartezian.

Definiie: Se numete cardinal al unei mulimi finite , numrul de elemente pe care-l are aceasta. Principiul includerii i excluderii: card(AB) =card (A) +card(B) card (AB). Definiie: Se numete submulime al unei mulimi A, orice mulime format cu elementele lui A. Numrul tuturor submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n.

FRACII

Fracie: Se numete fracie, o expresie de forma 0, bba

unde a se

numete numrtor iar b se numete numitor.

Fracie subunitar: Fracia 0, bba

se numete fracie subunitar

dac a

7

Fracie supraunitar: Fracia 0, bba

se numete fracie

supraunitar dac a>b sau 1ba

.

Fracii echivalente: Dou fracii dcsi

ba

se numesc echivalente i

scriem dc

ba = dac cbda = .

A amplifica o fracie cu un numr natural, diferit de 0, nseamn a nmuli att numrtorul ct i numitorul, cu acel numr.

.0,0, = mbmbma

ba

A simplifica o fracie cu un numr natural, diferit de 0, nseamn a mpri att numrtorul, ct i numitorul la acel numr.

.0,0,:: = mbmbma

ba

Fracie ireductibil: Fracia 0, bba

se numete ireductibil,

dac nu se mai poate simplifica adic c.m.m.d.c(a,b)=1. Compararea fraciilor:

cabc

ba cb

ca

ba cbda

dc

ba

Numr raional :

Se numete numr raional , numrul reprezentat prin fracia ba

i

toate fraciile echivalente cu aceasta.; Operaii cu numere fracionare: Pentru a aduna sau scdea numere fracionare reprezentate prin numitori diferii se aduc fraciile la

8

acelai numitor prin amplificarea fiecrei fracii cu ctul dintre c.m.m.m.c al numitorilor i numitorul fraciei respective.

bca

bc

ba +=+ ;

dbca

dc

ba

= ;

cd

ba

dc

ba =: ;

10

=

ba

; nmnm

ba

ba

ba +

=

;

nmnm

ba

ba

ba

=

: ;

nmnm

ba

ba

=

;

ab

ba =

1

Introducerea unui ntreg n fracie: c

bcacba += ;

Fracii zecimale: - Fracii zecimale: finite: { };......12345,0;5,2;45,1;5,0 Transformarea fraciilor zecimale n fracii ordinare:

;100

,;10

, abcbcaabba == - fracii zecimale -periodice: { })......4(3,2);5(3,21);3(,1

Transformarea fraciilor zecimale periodice n fracii ordinare:

;99

)(,;9

)(, aabcbcaaabba ==

;990

)(,;90

)(, ababcdcdbaababccba == Scrierea n baza zece:

dcbaabcd +++= 101010 23 a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;

001.001.01.01010101010, 321

+++==+++=

gfeagfeaefga

a-cifra unitilor, e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.

9

Aflarea unei fracii dintr-un numr :

ba

din x = xba ;

ba

din dbca

dc

ba

dc

== ;

Procente: Un raport n care numitorul este 100, se numete raport procentual si se noteaz de forma

00

100pp = ; (sau

1001p ) 00p din x = xp 100 ; 0

0p din

bap

ba =

100 sau

bap

1001

Operaii cu fracii zecimale: La adunarea sau scderea fraciilor zecimale finite, numerele trebuie aezate astfel nct virgula s fie sub virgul. La nmulirea cu 10, 100, 1000 a unei fracii zecimale finite se deplaseaz virgula spre dreapta cu 1,2,3 cifre. La mprirea cu 10,100,1000, a unei fracii zecimale finite se deplaseaz virgula spre stnga cu 1,2,3 cifre. La nmulirea fraciilor zecimale finite, efectum nmulirea obinuit dup care punem virgula de la dreapta spre stnga dup un numr de zecimale egal cu numrul de cifre zecimale ale celor dou numere; La mprirea fraciilor zecimale finite se vor nmulii ambele numere cu puteri ale lui 10 astfel nct s mprim numere fr virgul.

10

Ultima cifr a unui numr

Proporii: Egalitatea a dou rapoarte se numete proporie:

Proprietatea fundamental a proporiilor: cbdadc

ba ==

Proporii derivate:

dc

ba =

db

ca =

ddc

bba

bdb

aba == ,

2

2

2

2

dc

ba =

mdc

mba

::=

cbca

ba

++=

dmc

bma =

mdc

mba

::=

cbca

ba

++=

dmc

bma =

bdac

ba

= md

cmba

::=

U(cn)

n=4k+1

n=4k+2

n=4k+3

n=4k

1n 1 1 1 1 2n 2 4 8 6 3n 3 9 7 1 4n 4 6 4 6 5n 5 5 5 5 6n 6 6 6 6 7n 7 9 3 1 8n 8 4 2 6 9n 9 1 9 1

)()( nn

cUabcU =

11

Sir de rapoarte egale: Mrimile (a1,a2,a3,......, an ) i ( b1,b2,....,bn ) sunt direct proporionale

n

n

ba

ba

ba .......

2

2

1

1 == Mrimile (a1,a2,a3,......, an ) i (b1,b2,....,bn ) sunt invers proporionale nn bababa == .....2211 Probabiliti Probabilitatea realizrii unui eveniment este dat de raportul dintre numrul cazurilor favorabile realizrii evenimentului i numrul cazurilor egal posibile. Modulul numerelor reale Proprieti:

=

0,

0,0

0,

aa

a

aa

defa

1. Raa ,0 ; 2. 0,0 == aa ; 3. Raaa = , ; 4. baba == , ; 5. baba = ; 6.

ba

ba = ; 0b

7. xxnn = , Rx , Nn

8. baba + , Rba , 9. bababa + ; Rba ,

12

10. 0,, == aaxax ; 11. 0],,[, aaaxax ; 12. max =),( ba

2baba ++

, Rba , ;

min =),( ba2

baba +

13. 0],,[],[, + aaaxax ; 14. nn aaaaa ++ ...... 121 , in R . Puteri cu exponent ntreg Fie ZnRa ,

factorin

n aaaadefa ......

Fie *,,0,,, ZnmbaRba

9.

=

imparn

parn

,1

,1 (-1)n 10.

nn

ab

ba

=

..8;.4

.7)(.3

1.6.2

)(.5;00;;1.1 1

nmaaaaa

ba

bababa

aaaaa

aaaaa

nmnmn

m

n

nnnnn

nnnmnm

nmnmno

===

=

=

======

+

13

Proprietile radicalilor

+ RbaFie , 1. ,02 = aa 2. baba = 3.

ba

ba = , 0b

4. 2)(n

nn aaa ==

5. 22

22 baabaaba += unde a-b=k . (formula radicalilor dubli) 6. Dac 2kaNa = 7. baba 2= 8. baba =2 9. abxybyax = 10. ayxayax )( = 11. 0,, = by

ba

yx

byax

12. ( ) nnn axax = 13. Fie QRa \ . Atunci 0=== nmQ

nma

14. Dac Qnm , i a nu e ptrat perfect i 00 ===+ nmanm

15. Dac a, b N i NbNaQba + , 16. Dac a i b nu sunt ptrate perfecte Qba +

14

17. Dac +Qba, i Q , a..

++ + QbQaba Q ,

18. Dac +Qba, a.. QRbaQRb \\ i

QRba \ 19. Dac Qa i QRb \ QRba \+ i QRba \ Raionalizri

babax

bax

babax

bax

abbx

bax

aax

ax

+=

=+

==

22

)(,)(

,

Medii

Media aritmetic 2yxma

+= Media geometric yxmg = , + *, Ryx Media ponderat ponderileNqp

qpyqxpmp ++= *,;

Media armonic yx

xy

yx

m h +=+= 2

112 , *, Ryx

15

ECUAII

abxbxabxa ===+ 0 , .0a

.0,2 == aaxax ;

aacbbxcxbxa

240

2

2,12 ==++

04.0 2 acba .0, axaax ==

[ ] )1,[1 ++= aaxaxaax . 16. PROCENTE

p % din N = Np 100

Raportul 100p se numete raport procentual iar p se numete

procent. Aflarea unui numr cnd cunoatem p% din el.

100p din x =a

pax 100= .

Aflarea raportului procentual: Ct la sut reprezint numrul a din N ?

p % din N =a N

ap 100= .

D =12100 npS

. Dobnda obinut prin depunerea la banc a unei

sume S de bani pe o perioad de n luni cu procentul p al dobndei anuale acordate de banc .

16

CALCUL ALGEBRIC Reguli de calcul n R 1. ( ) ;2 222 bababa ++=+ 2. ( ) ;2 222 bababa += 3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ; 4. ( ) cabcabcbacba 2222222 +++++=++ 5*. ( ) 32233 33 babbaaba +++=+ ; 6*. ( ) 32233 33 babbaaba += ; 7*. ))(( 2233 babababa ++= ; 8*. ))(( 2233 babababa ++=+ . Descompuneri n factori 1. Metoda factorului comun ab+ac-ad=a(b+c-d) ax+ay+by+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) 2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a2-b2=(a-b)(a+b) Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere

Amplificarea 0,, = cbcbca

ba

Simplificarea 0,,:: = cbcbca

ba

17

Adunarea sau scderea 0, = bbca

bc

ba

nmulirea 0,, = dbdbca

dc

ba

mprirea 0,,: = dcbcd

ba

dc

ba

Puterea cu exponent natural *,0,)( Nnbba

ba

n

nn =

Puterea cu exponent ntreg negativ

*,0,, Nnbaab

ba nn

=

.

18

FUNCII

Sistem de axe ortogonale

Definiie: Se numete funcie, un triplet de forma (A,B,f), unde A se numete domeniu de definiie (mulimea de unde funcia ia valori), B se numete codomeniu (mulimea valorilor funciei), iar f se numete lege de coresponden(face ca fiecrui element din A s-i corespund un unic element din B). Notaie: f:AB Imaginea funciei este mulimea Im f={ }AxxfyBy = ),(

19

Exemplu: f(x)=x2

Graficul unei funcii f:AB este mulimea ( ){ } BAAxxfxGf = )(, . Condiia ca un punct M(a,b) s aparin graficului lui f.

bafGbaM f = )(),( . Reprezentarea grafic: f: RR , f(x)=ax+b graficul este o dreapt;

ynotxf )( y=ax+b

),0(0:

)0,(0:

bBbyxOY

abA

abxyOX

==

==

20

f: IR, unde I este un interval; dac I este mrginit, atunci graficul este un segment iar dac I este nemrginit la un capt i mrginit la cellalt atunci graficul este o semidreapt. f:AR, unde A este o mulime finit de puncte atunci graficul lui f este tot o mulime finit de puncte. Condiia ca trei puncte A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fie coliniare:

- se determin funcia f(x)=ax+b, al crui grafic este determinat de dou puncte i se verific dac i cel de-al treilea punct aparine graficului lui f;

- cu ajutorul lungimilor distanelor dintre puncte , se verific dac lungimea segmentului cel mai mare este egal cu suma lungimilor celorlalte dou segmente.

UNITI DE MSUR Multiplii i submultiplii metrului- uniti de msur pentru lungime

Multiplii i submultiplii m2- uniti de lungime pentru arie km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Multiplii metrului ptrat

Submultiplii metrului 2

1 ha =1 hm2=10000m2 1 ar = 100m2

km hm dam m dm cm mm Multiplii metrului

Submultiplii metrului

21

Multiplii i submultiplii m3-uniti de msur pentru volum km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Multiplii metrului cub

Submultiplii metrului3

Multiplii i submultiplii litrului- uniti de msur pentru capacitate kl hl dal l dl cl ml Multiplii litrului

Submultiplii litrului

1 dm3=1 l Multiplii i submultiplii gramului- uniti de msur pentru mas

1 q=100kg 1 t = 1000kg Uniti de msur pentru timp 1 min=60 s 1 h =60 min=3600s 1 zi =24 h 1 an =365 zile sau 366 zile(an bisect) 1 deceniu = 10 ani; 1 secol =100 ani; 1 mileniu = 1000 ani.

kg hg dag g dg cg mg Multiplii gramului

Submultiplii gramului

22

UNGHIURI Def 1. Dou unghiuri proprii se numesc opuse la vrf dac laturile lor formeaz dou perechi de semidrepte opuse. Def 2. Dou unghiuri se numesc complementare dac suma msurilor lor este de 90 i se numesc suplementare dac suma msurilor lor este de 180. Def 3. Dou drepte din acelai plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele. Postulatul lui Euclid: Printr-un punct exterior unei drepte trece o singur dreapt paralel la dreapta dat. Def 4. Dou drepte concurente sunt perpendiculare dac unul din unghiurile care se formeaz n jurul punctului lor comun este de 90. Def 5. Dou drepte paralele intersectate de o secant formeaz :

- unghiuri alterne interne congruente: 4 cu 6, 3 cu 5; - unghiuri alterne externe congruente: 1 cu 7, 2 cu 8; - unghiuri corespondente congruente: 4 cu 8, 3 cu 7, 2 cu 6, 1

cu 5; - unghiuri interne sau externe de aceeai parte a secantei

suplementare: 1 cu 4, 1 cu 8, 4 cu 5, 5 cu 8.

23

Def 6. Se numete unghi ascuit, unghiul a crui msur este mai mic de 90 . Def 7. Se numete unghi obtuz, unghiul a crui msur este mai mare de 90 . Def 8. Se numete unghi nul, unghiul a crui msur este de 0 . Def 9. Se numete unghi alungit , unghiul cu semidreptele n prelungire i cu msura de 180. Teorema 1. Suma msurilor unghiurilor n jurul unui punct din plan este de 360. Teorema 2. Suma msurilor unghiurilor n jurul unui punct pe o dreapt este de 180. Def 10. Dou unghiuri se numesc congruente dac au aceeai msur. Def 11. Dou unghiuri se numesc adiacente dac au vrful comun i o latur comun situat n interiorul unghiului format de celelalte dou laturi ale unghiurilor.

24

Triunghiul. Linii importante n triunghi. Aria triunghiului:

2ADBCAABC=

))()(( cpbpappAABC = unde

2BCACABp ++= (semiperimetru)

2

sin AACABAABC=

nlimea este segmentul de dreapt ce unete vrful triunghiului cu piciorul perpendicularei dus din vrf pe latura opus; Intersecia nlimilor este un punct ce se numete ortocentru. Mediana este segmentul de dreapt ce unete vrful triunghiului cu mijlocul laturii opuse; intersecia medianelor este un punct ce se numete centru de greutate care se afl la o treime fa de baz i dou treimi fa de vrf.

25

Lungimea medianei n funcie de laturi:

4)(2 2222 BCACABAM += .

Mediana mparte un triunghi n dou triunghiuri echivalente, care au aceeai arie: AABM=AAMC Bisectoarea este segmentul de dreapt ce mparte unghiul triunghiului n dou unghiuri congruente. Intersecia nlimilor se noteaz cu I i se numete centrul cercului nscris n triunghi. Orice punct aflat pe bisectoarea unghiului se afl la egal distan de laturile unghiului. Mediatoarea laturii unui triunghi este dreapta perpendicular pe latura triunghiului exact prin mijlocul ei. Intersecia mediatoarelor se noteaz cu O i se numete centul cercului circumscris triunghiului. Orice punct aflat pe mediatoarea laturii unui triunghi se afl la egal distan de capetele segmentului. Linia mijlocie n triunghi este segmentul de dreapt ce unete mijloacele a dou laturi ale triunghiului; Linia mijlocie este paralel cu baza i jumtate din ea.

Teorema liniei mijlocii:

MN-linie mijlocie BCMNBCMN21, =

26

Teorema reciproc asupra liniei mijlocii:

Dac AM MB i BCMN BCMNNCAN21, =

Dac MN este linie mijlocie n triunghi atunci mijloacele nlimii, bisectoarei i medianei aparin liniei mijlocii; Metoda triunghiurilor congruente: Pentru a arta c dou segmente sau dou unghiuri sunt congruente trebuie artat c triunghiurile din care fac parte sunt congruente. Cazurile de congruen ale triunghiurilor oarecare: I. L.U.L. II. U.L.U III. L.L.L. IV. L.U.U Cazurile de congruen ale triunghiurilor dreptunghice: I. catet-catet II. catet-ipotenuz III. ipotenuz-unghi ascuit IV. catet-unghi ascuit

27

ASEMNAREA TRIUNGHIURILIR Definiie: Trei sau mai multe drepte paralele se numesc echidistante dac sunt situate la distane egale. Teorema paralelelor echidistante: Dac mai multe drepte paralele determin pe o secant segmente congruente, atunci ele determin pe orice alt secant segmente congruente. d1|| d2 || d3 ||.......|| dn i A1A2A2A3A3A4..............An-1An B1B2B2B3B3B4................Bn-1Bn

Definiie: Prin raportul a dou segmente, se nelege raportul lungimilor lor, exprimate cu aceeai unitate de msur. Definiie: Segmentele AB, BC, AC sunt proporionale cu segmentele AB, BC, AC dac ntre lungimile lor exist o relaie de

proporionalitate de forma: '''''' CA

ACCB

BCBA

AB == . Teorema lui Thales: O paralel dus la una din laturile unui triunghi determin pe celelalte dou laturi sau pe prelungirile lor segmente proporionale.

ACNC

ABMBsau

NCAN

MBAMsau

ACAN

ABAMBCMN === ( * )

A1 A2

A3 An

B1 B2 B3 Bn

28

Teorema paralelelor neechidistante: Mai multe drepte paralele determin pe dou secante segmente proporionale.

Teorema bisectoarei: ACAB

DCBDCADDAB = .

Dac BC= a, AC=b, AB=c, atunci cbbaCD

cbcaBD +

=+= , ,

])[()(

222 acbcb

cbAD ++= - lungimea bisectoarei

Teorema reciproc a lui Thales: Dac o dreapt determin pe laturile unui triunghi segmente proporionale, atunci ea este paralel cu cea de a treia latur a triunghiului.

Dac ACNC

ABMBsau

NCAN

MBAMsau

ACAN

ABAM === atunci

BCMN . Definiie: Dou triunghiuri se numesc asemenea dac au toate laturile proporionale i unghiurile congruente .

29

ABC ~

==

NPBC

MPAC

MNAB

PCNBMAMNP

,,

Teorema fundamental a asemnrii: O paralel la una din laturile unui triunghi formeaz cu celelalte laturi sau cu prelungirile lor un triunghi asemenea cu cel dat.

BCMN AMN ~ ABC . Criteriile de asemnare a triunghiurilor.

NBsiMA ABC ~ MNP (u.u) MAsi

MPAC

MNAB = ABC ~ MNP (l.u.l)

NPBC

MPAC

MNAB == ABC ~ MNP (l.l.l)

Proprieti ale asemnrii triunghiurilor: 1. ABC ~ ABC .(Reflexivitatea relaiei de asemnare) 2. ABC ~ AMN AMN ~ ABC .(Simetria) 3. ABC ~ AMN , AMN ~ ABCPQR ~ PQR .(Tranzitivitatea)

A

B C

M

N P

30

4. Dou triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de unghiuri congruente; 5. Dou triunghiuri echilaterale sunt asemenea ntodeauna; 6. Dou triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche de unghiuri ascuite congruente; 7. Dou triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea; 8. Dou triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt asmenea; 9. Dac dou triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de asemnare al laturilor este egal cu: - raportul medianelor; - raportul bisectoarelor; - raportul nlimilor; - raportul razelor cercurilor nscrise; - raportul razelor cercurilor circumscrise; 10. Raportul ariilor a dou triunghiuri asemenea este egal cu ptratul raportului de asemnare al laturilor.

31

RELAII METRICE

N TRIUNGIUL DREPTUNGHIC

Formula distanei dintre punctele A(x1,y1), B(x2,y2):

AB= 2122

12 )()( yyxx + Teorema lui Pitagora. ntr-un triunghi dreptunghic, suma ptratelor catetelor este egal cu ptratul ipotenuzei. BC2=AB2+AC2; Teorema reciproc a lui Pitagora: Dac ntr-un triunghi, suma ptratelor a dou laturi este egal cu ptratul celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic. Dac BC2=AB2+AC2 090)( = Am

32

Teorema nlimii: nlimea corespunztoare ipotenuzei este media geometric a proieciilor catetelor pe ipotenuz.

DCBDAD =2 Teorema a II-a a nlimii: BC

ACABAD = . Teorema catetei: Cateta este media geometric dintre ipotenuz i proiecia catetei pe ipotenuz.

BDBCAB =2 ; CDBCAC =2 Teorema unghiului de 300: Cateta opus unghiului de 300 este jumtate din ipotenuz. Dac

230)( 0 BCABCm == ;

Teorema unghiului de 150: nlimea corespunzroare ipotenuzei ntr-un triunghi dreptungic cu un unghi de 150 este un sfert din ipotenuz.

Dac 4

15)( 0 BCADCm == Teorema medianei ntr-un triunghi dreptunghic: Mediana ntr-un triunghi dreptunghic este jumtate din ipotenuz;

AM median 2BC

AM = . n orice triunghi dreptunghic are loc relaia: sin2 +cos2=1 Aria triunghiului dreptunghic:

AABC= 22ACABsauADBC

33

Rapoarte constante n triunghiul dreptunghic:

Teorema cosinusului: a2=b2+c2-2bccosA

300 450 600

BCABC =sin

21

22

23

BCACC =cos 2

3

22

21

ACABCtg = 3

3

1

3

ABACCctg =

3

1

33

34

Teorema lui Pitagora generalizat: AB2=BC2+AC2-2BC.DC 090)( Cm AB2=BC2+AC2+2BC.DC 090)( Cm AC2=AB2+BC2-2BC.BD 090)( Bm AC2=AB2+BC2+2BC.BD 090)( Bm

Distana de la un punct M(x0,y0) la o dreapt de ecuaie: ax+by+c=0;

22

00),(ba

cybxadMd

+++=

35

PATRULATERE DEFINIIE. Se numete patrulater convex patrulaterul n care segmentul determinat de oricare dou puncte ale lui este interior patulaterului. PARALELOGRAMUL Definiie: Se numete paralelogram, patulaterul convex care are laturile opuse paralele. Teoreme: 1. Un patrulater este paralelogram dac i numai dac laturile opuse sunt congruente dou cte dou. 2. Un patrulater este paralelogram dac i numai oricare dou unghiuri opuse sunt congruente i oricare dou unghiuri consecutive sunt suplementare. 3. Un patrulater este paralelogram dac i numai dac diagonalele se njumtesc. 4. Un patrulater este paralelogram dac i numai dac dou laturi opuse sunt paralele i congruente. 5. Un patrulater este paralelogram dac i numai dac oricare dou unghiuri consecutive sunt suplementare.

36

Aria paralelogramului: AABCD= AEBC

AABCD= 2

sinBDAC

AABCD= )sin( CBABCAB DREPTUNGHIUL Definiie: Se numete dreptunghi, paralelogramul cu un unghi drept. Proprieti: ntr-un dreptunghi, toate unghiurile sunt de 900. ntr-un dreptunghi, diagonalele sunt congruente. Teorem: Dac un paralelogram are diagonalele congruente, atunci el este dreptunghi.

Aria dreptunghiului: AABCD= BCAB

37

ROMBUL Definiie: Se numete romb, paralelogramul care are dou laturi consecutive congruente. Teorem: 1. Un patrulater este romb dac i numai dac are toate laturile congruente. 2. Un paralelogram se numete romb dac i numai dac are diagonalele perpendiculare. 3. Un paralelogram se numete romb dac i numai dac o diagonal este bisectoarea unui unghi.

Aria rombului:

AABCD= 2dD

, unde D este diagonala mare iar d este diagonala

mic.

38

PTRATUL Definiie: Se numete ptrat, paralelogramul care este i romb i dreptunghi. Proprieti: 1. Toate unghiurile ptratului sunt drepte. 2. Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor ptatului. 3. Diagonalele sunt perpendiculare i congruente.

Aria ptratului: AABCD=l2 TRAPEZUL Definiie: Se numete trapez, patrulaterul care are dou laturi opuse paralele, iar celelalte laturi neparalele. Proprieti. 1. Patrulaterul ABCD este trapez isoscel dac i numai dac

CBsiDA . 2. Patrulaterul ABCD este trapez isoscel dac i numai dac diagonalele sunt congruente.

39

Aria trapezului:

AABCD=2

)( hbB +, unde B este baza mare, b este baza mic, iar h

este nlimea trapezului.

Linia mijlocie: MN=2bB +

;

PQ=2bB

40

CERCUL

1. Elemente n cerc Definiii: Se numete cerc de centru O i raz r i scriem C(O,r) mulimea tuturor punctelor din plan situate la distana r fa de punctul O.

{ }+== RrrOMMrOC ,),( Segmentul care unete dou puncte de pe cerc se numete coard; Coarda care trece prin centrul cercului se numete diametru, iar capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse. Poriunea dintr-un cerc determinat de dou puncte distincte ale cercului se numete arc de cerc. Dac extremitile unui arc sunt diametral opuse, atunci arcul se numete semicerc. Se numete interiorul cercului, mulimea punctelor aflate fa de centru la distane mai mici dect raza cercului, iar exteriorul cercului reprezint mulimea punctelor situate fa de centru la distane mai mari dect raza cercului. Mulimea punctelor cercului C(O,r) reunit cu interiorul cercului se numete disc de centru O i raz r: D(o,r). Se numete unghi la centru, unghiul cu vrful n centrul unui cerc.

Msura n grade a unui arc este egal cu msura unghiului la centru corespunztor.

41

)()( BOAmBDAm = Msura n grade a unui semicerc este de 1800, iar a unui cerc este de 3600.

1800.................. rad x0.....................y rad y= 0

0

180x

Se numete sector de cerc, o poriune dintr-un cerc cuprins ntre dou raze ale sale i arcul pe care l subntind. Se numesc arce congruente , arcele care au aceeai msur. Teoreme: 1. ntr-un cerc, arcelor congruente le corespund coarde congruente i reciproc.

][][ CDABDCBA

2. ntr-un cerc, diametrul perpendicular pe o coard trece prin mijlocul arcului subntins de coard. 3. Dou coarde ale unui cerc sunt congruente dac i numai dac sunt egal deprtate de centru. [ ] [ ] ),(),( CDOdABOdCDAB = . 4. Dac dou coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse ntre ele sunt congruente.

42

2. Poziiile relative ale unei drepte fa de un cerc.

a) h dreapt secant rhOd ),( b) h dreapt tangent rhOd =),( c) h dreapt exterioar rhOd ),( Tangente dintr-un punct exterior la un cerc

1. Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce dou tangente i numai dou la cerc; 2. 'PTPT ; 3. PO este bisectoarea unghiului TPT; 4. PO este mediatoarea segmentului TT 5. Msura unui unghi cu vrful pe cerc, care are una din laturi

secant i cealalt tangent la cerc, este jumtate din msura arcului cuprins ntre laturile sale.

43

Unghiul nscris n cerc Se numete unghi nscris n cerc, unghiul cu vrful pe cerc ale crui laturi includ dou coarde ale cercului.

)()(

;2

)()(

CBmCOBm

CBmCABm

==

2)()()( CAmDBmDPBm

=

2)()()( DBmCAmCPAm

+=

44

3. Poziiile relative ale dou cercuri

a) cercuri secante r-rr c) cercuri exterioare OO>r+r d) cercuri tangente exterioare OO=r+r e) cercuri concentrice au acelai centru f) cercuri interioare OOr 4.Triunghi nscris n cerc. Patrulater nscris n cerc Definiii: Cercul care conine cele trei vrfuri ale unui triunghi se numete cercul circumscris triunghiului. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecie a mediatoarelor triunghiului.

45

Patrulaterul cu vrfurile pe cerc se numete patrulater nscris n cerc(patrulater inscriptibil). Teorem: 1. ntr-un patrulater nscris n cerc, diagonalele formeaz cu laturile opuse perechi de unghiuri congruente. 2. Unghiurile opuse ale unui patrulater nscris n cerc sunt suplementare. Raza cercului circumscris unui triunghi n funcie de aria triunghiului i de laturile sale este:

SabcR4

= 5. Poligoane regulate nscrise n cerc. Definiie: Un poligon se numete regulat dac este convex, are toate laturile congruente i toate unghiurile congruente. Distana de la centrul poligonului regulat la oricare dintre laturile sale se numete apotema poligonului (a).

46

Perimetrul poligonului regulat cu n laturi este lnP = unde l este latura poligonului;

Aria poligonului regulat cu n laturi este 2PaA = , unde a este

apotema ;

Msura unui unghi este 2180)2( 0= nun

Triunghiul echilateral

33 Rl = 23Ra = sau

ha31

3 =

Aria triunghiului. A3= 432l

Ptratul

l 4= 2R ; 222

4LRa ==

47

Hexagonul regulat

436

23

;

23

6

6

lA

Ra

Rl

=

==

Un patrulater ABCD este inscriptibil dac unghiul dintre o diagonal a sa i o latur este egal cu unghiul dintre cealalt diagonal i latura opus, sau dac dou unghiuri opuse fac 1800. Un triunghi este circumscris unui cerc sau un cerc este nscris n triunghi dac distanele de la centrul cercului la toate cele trei laturi sunt egale. Raza cercului nscris ntr-un triunghi n funcie de aria triunghiului i de semiperimetrul triunghiului.

2cbapunde

pSr ++== , a,b,c sunt laturile triunghiului.

48

6. Lungimea cercului. Aria cercului Lungimea cercului: Rl c 2= Aria cercului: A= 2R

Lungimea arcului de cerc AMB: uRRul AMB == 0180

Aria sector de cerc AOB: 2360

2

0

2 uRRuAAOB ==

49

Elemente de geometrie n spaiu

Cap I. PUNCTE, DREPTE, PLANE

1. RELAII NTRE PUNCTE, DREPTE I PLANE

Noiunile fundamentale ale geometriei sunt:punctul,dreapta, planul, distana i msura unghiurilor. Definiie: Se numete axiom un adevr simplu matematic care nu se demonstreaz deoarece se verific n natur. Axiome: 1.Spaiul este o mulime infinit de puncte. 2. Dreptele i planele sunt submulimi ale spaiului. 3. Orice plan conine cel puin trei puncte necoliniare (nu sunt situate pe aceeai dreapt) 4. Exist patru puncte care nu aparin aceluiai plan (necoplanare). 5. Prin orice dou puncte distincte trece o singur dreapt. 6. Prin orice trei puncte necoliniare trece un singur plan. Definiie: O dreapt este inclus ntr-un plan dac orice punct al dreptei aparine planului. Teorema 1.1 Dac dou puncte distincte ale unei drepte aparin unui plan atunci dreapta este inclus n acel plan. Teorema 1.2 Dac dou plane au un punct comun atunci ele au o dreapt comun. 2. DETERMINAREA PLANULUI Conform axiomei 6 trei puncte necoliniare determin un plan , n plus urmtoarele teoreme ne indic alte situaii de determinare a planului. Teorema 2.1 O dreapt i un punct exterior ei determin un plan. Teorema 2.2 Dou drepte paralele determin un plan. Teorema 2.3 Dou drepte concurente determin un plan.

50

fig 1 fig 2 fig 3 3. CORPURI GEOMETRICE

Definiie: Corpurile geometrice se definesc ca fiind mulimea tuturor punctelor, dreptelor i planelor din spaiul cu trei dimensiuni care se gsete n interiorul unei suprafee nchise, inclusiv punctele , dreptele i poriunile de plan care se gsesc pe aceast suprafa. Mulimea tuturor punctelor din spaiu care se gsesc n interiorul suprafeei corpului se numete volumul corpului.

POLIEDRE

Definiie: Corpurile mrginite numai de suprafee plane se numesc poliedre. Poligoanele plane care mrginesc poliedrul se numesc fee(laterale), segmentele comune feelor se numesc muchii i capetele acestor segmente , vrfuri.

4. POZIIILE RELATIVE A DOU DREPTE N SPAIU Definiie: Se numesc drepte coplanare , dreptele care sunt situate n acelai plan. n caz contrar se numesc drepte necoplanare. Dou drepte coplanare pot fi: 1. paralele (nu au nici un punct n comun). 2. concurente au un singur punct n comun). 3. identice (mulimea punctelor lor coincid)

A*

51

Axioma paralelelor: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce cel mult o paralel la dreapta dat. Teorema 4.1: Dou drepte distincte din spaiu, paralele cu o a treia sunt paralele ntre ele. 5. POZIIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FA DE UN PLAN Definiie: O dreapt este paralel cu un plan dac dreapta i planul nu au puncte comune. Definiie: O dreapt este secant unui plan dac dreapta are un singur punct comun cu planul. Definiie: O dreapt este inclus n plan dac orice punct al ei aparine planului.

Teorema 5.1: O dreapt paralel cu o dreapt din plan este paralel cu planul sau coninut n el.

52

6. POZIIILE RELATIVE A DOU PLANE Planele pot fi de trei feluri: paralele (adic nu au nici un punct comun) , secante( adic au n comun o dreapt dup care se intersecteaz) sau identice( mulimea punctelor lor coincid). OBSERVATII: 1. O dreapt paralel cu un plan nu este neaprat paralel cu orice dreapt din plan. 2. Dou drepte paralele cu un plan nu sunt neaprat paralele ntre ele. 3. Dou drepte situate n plane paralele nu sunt neaprat paralele. 4. Dou plane, paralele cu o dreapt, nu sunt neaprat paralele ntre ele. 7. TEOREME DE PARALELISM Teorema 7.1 Dac o dreapt d este paralel cu un plan i coninut ntr-un plan care se intersecteaz dup o dreapt g, atunci d i g sunt paralele. Teorema 7.2 Dndu-se dou plane paralele, orice dreapt dintr-un plan este paralel cu al doilea plan. Teorema 7.3 Dac dou plane paralele sunt tiate de un al treilea plan atunci dreptele de intersecie sunt paralele. Urmtoarea teorem stabilete cnd dou plane sunt paralele.

53

Unghiuri congruente respectiv suplementare n acelai plan

Unghiuri congruente respectiv suplementare n plane diferite

Teorema 7.4 Dac un plan conine dou drepte concurente paralele cu un alt plan atunci cele dou plane sunt paralele. Teorema 7.5 ( Tranzitivitatea relaiei de paralelism mtre plane). Dou plane distincte paralele cu un al treilea plan sunt paralele ntre ele. Teorema 7.6 Dou plane paralele determin pe dou segmente paralele pe care le intersecteaz segmente congruente. Teorema 7.7 (Teorema lui Thales n spaiu) Mai multe plane paralele determin pe dou drepte oarecare pa care le intersecteaz segmente respectiv proporionale. 8. UNGHIUL A DOU DREPTE N SPAIU Definiie: Dou unghiuri se numesc suplementare dac suma msurilor lor este de 180 i se numesc complementare dac suma msurilor lor este de 90. Teorema 8.1 Dou unghiuri din acelai plan sau din plane diferite cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau suplementare.

54

Definiie: Prin unghiul a dou drepte n spaiu se nelege unghiul de msur mai mic sau cel mult egal cu 90 cu vrful n orice punct al spaiului format prin ducerea de paralele la dreptele date prin acel punct.

Observaii: 1. De obicei, vrful unghiului a dou drepte din spaiu se ia pe una din drepte. 2. Dac dreptele sunt paralele, atunci ele formeaz un unghi de 0. 3. Dac dreptele sunt concurente atunci ele formeaz un unghi plan 9. DREAPTA PERPENDICULAR PE UN PLAN Definiie: Dou drepte din spaiu( concurente sau necoplanare) care formeaz ntre ele un unghi drept se numesc drepte perpendiculare.

a b

55

Definiie: Se numete dreapt perpendicular pe un plan , dreapta care este perpendicular pe orice dreapt din plan. Teorema 9.1 (Criteriul de perpendicularitate.) Dac o dreapt este perpendicular pe dou drepte concurente dintr-un plan atunci ea este perpendicular pe plan. Teorema 9.2 Dintr-un punct exterior se poate duce pe un plan o perpendicular i numai una. Teorema 9.3 Dou drepte distincte perpendiculare pe un acelai plan sunt paralele ntre ele. Teorema 9.4 Printr-un punct se poate duce un plan i numai unul perpendicular pe o dreapt dat. Definiie: Prin distana dintre dou puncte din spaiu se nelege lungimea segmentului determinat de cele dou puncte.

Lungimea diagonalei cubului: D= 3a Lungimea diagonalei paralelipipedului dreptunghic

D = cba 222 ++ Definiie: Distana dintre un punct i un plan este lungimea segmentului determinat de punct i de plan pe perpendiculara dus din acel punct pe plan. A

B

56

Definiie: Distana dintre dou plane paralele este lungimea segmentului determinat de cele dou plane pe o perpendicular comun. 10. SECIUNI PARALELE CU BAZA N POLIEDRE Definiie: A seciona o prism cu un plan paralel cu baza nseamn a intersecta feele laterale cu un plan paralel cu baza. Seciunea rezultat este un poligon asemenea cu cel de la baz chiar mai mult este congruent cu acesta. n urma secionrii se formeaz dou prisme de acelai tip cu prisma iniial. Definiie: Se numete trunchi de piramid corpul geometric obinut prin secionarea unei piramide cu un plan paralel cu baza, situat ntre baz i planul de seciune. Observaie:Clasificarea trunchiurilor de piramid se face dup numrul de laturi ale poligonului de la baz (triunghiulare, patrulatere,hexagonale), dup natura poligonului de la baz(regulat, neregulat) i dup felul cum sunt feele laterale(trapeze isoscele sau nu trunchi drept sau oblic).

A

B

57

Definiie: Distana dintre bazele trunchiului se numete nlimea trunchiului. Ea poate fi calculat ca diferena dintre nlimea piramidei din care provine trunchiul i nlimea piramidei noi formate. CORPURI ASEMENEA. RAPORTUL DE ASEMNARE. n urma secionrii unei piramide cu un plan paralel cu baza se obine o piramid de acelai vrf cu baza n planul de seciune asemenea cu piramida iniial. Definiie: Raportul a dou segmente omoloage corespunztor unei perechi de corpuri asemenea se numete raportul de asemnare . Definiie: Raportul ariilor a dou suprafee omoloage corespunztor unei perechi de piramide asemenea este egal cu ptratul raportului de asemnare. 11. SECIUNI AXIALE N CORPURILE CARE ADMIT AX DE SIMETRIE Definiie: Dou puncte Ai B sunt simetrice fa de un punct O, dac O este mijlocul segmentului AB. Definiie: Un punct O este centru de simetrie al unei figuri plane dac orice punct al figurii are simetric fa de O tot un punct al figurii. Definiie: O figur geometric plan admite o ax de simetrie d dac orice punct al figurii are simetric fa de dreapta d tot un punct al figurii. Axa de simetrie a unui corp este dreapta fa de care punctele unui corp sunt simetrice. Axa de simetrie a unei piramide regulate este dreapta ce trece prin vrful piramidei i centrul bazei.

58

Axa de simetrie a unei prisme drepte i a unui trunchi este dreapta ce trece prin centrele bazelor. Definiie: Se numete seciune axial a unui corp, poligonul obinut prin secionarea printr-un plan care conine axa de simetrie a corpului. Observaie: Seciunile axiale n poliedre sunt variabile ca form, iar n corpurile de rotaie sunt congruente. La prisme , planele care conin diagonalele se numesc seciuni diagonale( sau plan diagonal).

Cap II PERPENDICULARITATE N SPAIU 12. Proiecii de puncte, drepte i segmente pe un plan

Definiie. Se numete proiecie a unui punct pe un plan, piciorul perpendicularei duse din acel punct pe un plan. Definiie: Se numete proiecie a unei figuri geometrice pe un plan mulimea proieciilor punctelor acelei figuri pe plan.

Teorema 12.1 Proiecia unei drepte pe un plan este o dreapta sau un punct.

59

Teorema12.2 Proiecia unui segment pe un plan este un segment sau un punct.

Teorema 12.3. Proiecia mijlocului unui segment pe un plan sau dreapt este mijlocul proieciei acelui segment pe planul dat sau pe dreapta dat. 13. Unghiul unei drepte cu un plan Definiie: Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul fcut de dreapt cu proiecia ei pe plan.

60

Teorema13.1. Unghiul unei drepte cu un plan este cel mai mic dintre unghiurile formate de acea dreapt cu o dreapt oarecare a planului. Teorema 13.2. Lungimea proieciei unui segment pe un plan este egal cu lungimea segmentului nmulit cu cosinusul unghiului format de dreapta suport a segmentului cu planul. AB= AB.cos u Teorema 13.3. Aria proieciei unei figuri pe un plan este egal cu aria figurii date nmulit cu cosinusul unghiului fcut de figur cu planul. Aria ABC = Aria ABC cos u 14. Diedru. Unghi plan corespunztor unui diedru. Definiie: Se numete diedru reuniunea a dou semiplane care au aceeai frontier. Definiie: Se numete unghi plan corespunztor unghiului diedru, unghiul format de dou semidrepte coninute n feele diedrului, i perpendiculare pe muchia diedrului n acelai punct. Teorema 14.1. Orice dou unghiuri plane corespunztoare diedrului au aceeai msur.

61

Definiie: Msura unui diedru este msura unui unghi plan corespunztor diedrului. Definiie: Msura unghiului dintre dou plane secante este cea mai mic dintre msurile diedrelor formate de aceste plane i este egal cu msura unghiului format de dou drepte perpendiculare respectiv pe planele date. 15. Plane perpendiculare Definiie: Dou plane se numesc perpendiculare dac unul dintre diedrele determinate de ele are msura de 90. Teorema15.1 Dou plane secante sunt perpendiculare dac i numai dac unul dintre plane conine o dreapt perpendicular pe cellalt plan. Teorema15.2 Dac dou plane sunt perpendiculare, proiecia pe unul dintre plane a oricrui punct din cellalt plan aparine dreptei de intersecie a planelor. 16. Teorema celor trei perpendiculare. Teorema celor trei perpendiculare: Dac o dreapt d este perpendicular pe un plan i prin piciorul ei ducem o perpendicular f pe o dreapt g din acel plan, atunci dreapta determinat de un punct de pe d i de intersecia celor dou drepte din plan, este perpendicular pe dreapta g. Prima reciproc a T. C.3. P: Dac dintr-un punct exterior unui plan ducem perpendiculara pe un plan i perpendiculara pe o dreapt din plan, atunci dreapta ce unete picioarele celor dou perpendiculare este perpendicular pe dreapta dat din plan.

62

A doua reciproc a T.C.3:P: Dac ntr-un punct al unei drepte dintr-un plan se duc dou drepte perpendiculare pe ea, prima exterioar planului i a doua coninut n plan atunci perpendiculara dintr-un punct al primei drepte pe cea de-a doua este perpendicular pe plan. POLIEDRE I CORPURI ROTUNDE PRISMA TRIUNGHIULAR REGULAT

hAVAAA

hPA

b

blt

bl

=+==

2

PRISMA PATRULATER REGULAT

63

hAV

AAAhPA

b

blt

bl

=+==

2

CUBUL

a= muchia cubului

3

2

2

6

43

aVaAaA

aD

t

l

====

PARALELIPIPEDUL DREPTUNGHIC a,b,c = dimensiunile paralelipipedului

cbaVcabcabA

bcacAcbaD

t

l

=++=

+=++=

22222

222

64

TETRAEDRUL REGULAT

l =latura tetraedrului

1224

344

3336

3

2

2

lV

lA

lA

lh

t

l

=

=

=

=

PIRAMIDA REGULAT

3

2

hAV

AAA

aPA

b

blt

pbl

=+=

=

65

TRUNCHIUL DE PIRAMID REGULAT

)(3

2)(

bBbB

bBlt

tbBl

AAAAhV

AAAA

aPPA

++=++=

+=

CORPURI ROTUNDE CILINDRUL CIRCULAR DREPT

HRVRGRGA

RGA

t

l

=+=

=

2

)(22

66

CONUL CIRCULAR DREPT

222

2

3

)(

RHG

HRV

RGRARGA

t

l

+=

=+=

=

TRUNCHIUL DE CON CIRCULAR DREPT

222

22

22

)(

)(3

)(

)(

rRhG

rRrRhV

rRrRGArRGA

t

l

+=++=+++=

+=

67

SFERA

344

3

2

RV

RA

==

68

PROBLEME ENUNTURI SI REZOLVARI

CLASA A V A

1. O veveri aduce alune la vizuin n 14 minute, tiind c ea fuge fr alune cu 3m/s i cu alune cu 2m/s, aflai distana de la alun la vizuin. Rezolvare: Timpul ct fuge veveria este dat de raportul dintre lungimea drumului i viteza cu care fuge: Aadar, fie d distana de la alun la vizuin; Atunci

mdddd 10088406

5601423

===+ .

2. S se determine a 2007-a zecimal a fraciei 117 .

Rezolvare: 117 =0,(63); Rezult c a 2007-a zecimal este 6.

3. S se afle n N din egalitatea:

n22 -4=3(4+4+.42007) Rezolvare : n22 =4+ 20072 43...4343 +++ . Din aproape n aproape ,rezult 22n=42008 22n=24016 , rezult n=2008. 4. S se determine n ; n 9n + 4 2n 1

69

5. S se arate c N=44n+2 .53n+3 .34n + 28n+1 .53n .34n+1 este divizibil cu 2006 nN* Rezolvare: N=(44)n 42 (34)n (53)n 53 + (28)n 2 (53)n (34)n 3 = =28n 34n 53n (24 53+2 3)=

=28n 34n53n

2006

3 )310(2=

+2006#

6. S se arate c numrul N=2005 2007 +2006 2008 +2007 2005 +2008 2006 nu e ptrat perfect. Rezolvare : Evident u (2005 2007 ) = 5 u (2006 2008 ) = 6 u (2007 2005 ) = u (7 1501*4 + ) = u (71) = 7 u (2008 2006 ) = u (8 2006 ) = 4 u (N) = u (5+6+7+4) = 2 N nu e ptrat perfect. 7. S se afle ultima cifr a numrului N = 1 2006 +2 2006 +3 2006 ++2005 2006 +2006 2006 Rezolvare : u (1 2006 ) = 1 u (2 2006 ) = 4 u (3 2006 ) = 9 u (4 2006 ) = 6 u (5 2006 ) = 5 u (6 2006 ) = 6 u (7 2006 ) = 9 u (8 2006 ) = 4 u (9 2006 ) = 1 u (10 2006 ) = 0 Ultima cifr a primelor zece numere este 5 u (N) = 5 * 400 + 656941 +++++

70

= 0 + 31 u (N) = 1. 8. Sa se determine numrul natural a, pentru care: 177293927

23 = aaa Rezolvare: Relaia data este echivalenta cu: 17623 )3(333

23 = aaa 1022333 2310223

23 =++=++ aaaaaa Pentru a = 3 327 + 29 + 3 = 102 9. Sa se arate ca numarul: N = 2007 + 2008 ( 1+2+3+.+2006 ) 2 este cubul unui numr natural. Rezolvare: N = 2007 + 2008 ( 2006 2007 ) : 2 2 = = 2007 + 2008 2006 2007 = = 2007 [ 1 + ( 2007+1 ) ( 2007-1 )] = = 2007 ( 1 +20072 1 ) = 20073 10. Sa se compare numerele:

A=20062007+20072006 si B=20062006+20072007 Rezolvare: 2006=2005+1 , 2007=2006+1

A=200620062006+20072006=20062006+200520062006+20072006 B=20062006+200720072006=20062006+200620072006+20072006 Cum 2005

71

11. Se considera numerele a1=4, a2=3a1=4, a3=3a2+42,........ a100=3a99+499,..... a)Sa se determine a2007. b)Sa se compare numerele a100 cu 3150 Rezolvare: Se observa ca pentru orice numr natural n, avem an=3an-1+4n-1=4 => a) a2007=42007 b)a100=4100=2200=(24)50 3150=(33)50 cum 24a100 9x-2007 223=9223=> 9x-2007=91=> x-2007=1=>x=2008 13. Calculai ctul i restul mparirii numrului 972007 la 272005 Rezolvare : D=IC+R R =>972007 = (171+49)272005 +72005 Ctul este 220 2005 Restul este 7.

72

14. Gsii toate numerele naturale ptrate perfecte mai mici dect 2007 care la mprirea cu 45 dau restul 36. Rezolvare : Fie n un numr natural. Rezult (conform T impartiri cu rest) c n=45c+36 , n9(5c+4)5c+4 223 5c+4 trebuie sa fie patrat perfect =>5c+4 {2 ;3 ;7 ;8 ;12 ;13 ;}cum n=3(5c+4)=>n{6 ;9 ;21 ;24 ;36 ;39} 15. mprind numrul 185 la un numar natural se obine restul 15.Aflai mpritorul. Rezolvare: D=IC+R R185-15=XC cum170=2517 si R15 =>X poate fi 17 sau 217=34 sau 517=85 sau 2517=170 Aadar mpritorul aparine mulimi{17,34,85,170}. 16. Sa se arate c nu exist nici un numr natural n astfel nct 20072007 = 7n +2007 Rezolvare : 20072007-2007=7n nu poate fi adevrat pentru nici un numr natural n deoarece ultima cifr a lui (20072007 - 2007)este U(20072007 ) -7=6 ; U(72007)=3 ; 13-7=6, n timp ce U(7n ) poate fi 7,9,3,sau 1,n nici un caz 6. 17. Dac acbcab ++ =264, unde a,b,c sunt cifre n baza 10 atunci suma a+b+c este egal cu .; Rezolvare:

acbcab ++ =264 11(a+b+c)=1124 a+b+c=24.

73

18. Aflai numrul natural n pentru care 4n+4n+4n+4n=256 Rezolvare : Este evident ca 4n+4n+4n+4n=4. 4n=4n+1=22n+2=256=28. Deci se obtine ca 2n+2=8, adica n=3. 19. Dac 2007786 =++ ababab atunci ab #17. Rezolvare: 100a+10b+6+100b+80+a+700+10a+b=2007, rezult 111a+111b+786=2007 111(a+b)=1221, a+b=11 Pentru a=3 i b=8 se verific relaia dat. 20. S se arate c numrul n= (20072007-2007)(20062006-2006)(20052005-2005) este divizibil cu 200. Rezolvare: Ultima cifr a numrului din prima parantez este 6, a celui din a doua parantez este 0, i a celui din a treia parantez este 0, rezult produsul n are ultimele dou cifre 00 i cum 20072007-2007 este divizibil cu 2 rezult c n este divizibil cu 200. 21. S se arate c numrul 1+3+5+7+......+2005+2007 este ptrat perfect. Rezolvare: Notm cu s suma 1+3+5+7+..............+2005+2007 =S i tot cu s suma 2007+2005+2003+.............+3+1=S, dup ce adunm sumele rezult ca 2008+2008+...................+2008 = 2S rezult S=2008.1004:2=10042. 22. S se arate c numrul N= 242521 25254 ++++ + nnnn e ptrat perfect, oricare ar fi n natural. Rezolvare: N= =+ ++++ 42425222 5252 nnnn

74

22214222 3)52()45(52 =+ ++++ nnnn ceea ce nseamn c este ptrat perfect. 23. S se determine valoarea numrului natural a astfel nct numrul N=4a2+2a.a+2a+1 s fie ptrat perfect. Rezolvare: Pentru a= 5 se obine N= 324=182. 24. O persoan mplinete n anul 2007 o vrst egal cu dublul sumei cifrelor anului de natere. Aflai vrsta persoanei i anul cnd s-a nscut. Rezolvare: 19xy+2(1+9+x+y)=2007

1965+2(1+9+6+5)=2007. Aadar x=6 i y=5.

25. S se determine numerele de forma ab tiind c 111:7 +=+ abbabaab .

Rezolvare:

7(10a+b)+10b+a=(1001a+110b):11+1

71a+17b=91a+10b+1 20a+1=7b a=1; b=3. 26. Suma a patruzeci i dou de numere naturale nenule este 900. Artai c exist printre aceste numere cel puin dou egale. Rezolvare: Dac considerm primele 42 de numere naturale consecutive atunci 1+2+3+4+....42= (42.43):2=903, aadar putem avea n loc de 4 pe 1.

75

27. ntr-o ncpere sunt 11 scaune cu trei respectiv patru picioare. tiind c s-au folosit 40 de picioare metalice pentru scaune, s se spun cte scaune cu trei respectiv patru picioare s-au fcut. Rezolvare: Presupunem c la scaunele care au cte patru picioare le rupem un picior n aa fel nct s avem numai scaune cu trei picioare, n total un numr de 33 de picioare. Aadar din 40 scdem 33 i obinem 7 adic cele 7 picioare rupte provin tot de la attea scaune cu patru picioare. n rest scaunele cu trei picioare sunt n numr de 11-7=4. 28. a) S se arate c numrul N=6+62+63+64+.....+6100 este divizibil cu 7; b) S se afle ultima cifr a lui N20052007 . Rezolvare: a) N=6(1+6)+63(1+6)+........+699(1+6) este divizibil cu 7; b) u(N)=u(20072005)u(N)=u(72005)u(N)=0. 29. Determinai numrul natural x din egalitatea: a) ( ) ( )[ ] .3:9381:33 25432510 =+ x b) [ ] 1000....3020105)5(:1255 3726 +++=+ x Rezolvare: a) ( ) ( ) .43:433:43 25252525 === xxx b)

2:)101100(10505)100....4321(10505 =+++++= xx Rezult: x=100.

30. S se determine numrul natural n astfel nct 2007

1

1

2232

44 =++

++

nn

nn

.

Rezolvare:

76

200722225252

232222 2007200722007222 ===

=+++ nnn

n

nn

nn

31. S se arate c pentru m, n N, fracia 887232

1

1

++

++nn

mm

se

simplific cu 10. Rezolvare:

8756236

887232

1

1

++=+

++

+n

m

nn

mm

. Cum ultima cifr a numrtorului i

a numitorului este 0, rezult c fracia se simplific cu 10. 32. S se determine numerele naturale n astfel nct fracia

53

23

2

+++nn

n s se simplifice cu 5.

Rezolvare: Fie 5| n+3 si 5| n+ n+5 => 5| (n+ n+5)-(n+3) =>5| n+3 Atunci n poate fi de forma 5K, 5K+1, 5K+2,5K+3, 5K+4 Se observ c numai pentru n = 5k+2 se obine c fracia dat se poate simplifica cu 5 deoarece: (5K+2) +2 = M5+8+2 #5. 33. S se determine numrul natural n astfel nct fracia

.352 N

nn

Rezolvare:

{ }.7,5,4433

43352 ++=

nnNn

nnn

77

34. ntr-o urn sunt 6 bile albe, 8 bile roii i 12 bile negre. Care este cel mai mic numr de extrageri pe care-l putem face astfel nct s fim siguri c am extras cel puin 5 bile de aceeai culoare. Rezolvare: Presupunand ca extragerile se fac n aa mod nct de fiecare dat extragem o bil de culoare diferit de cea extras anterior(ex. alb, roie, neagr), dup 3 astfel de cicluri de cte 4 bile de culori diferite, deci dup 12 extrageri, cea de-a zecea extragere ne va aduce 5 bile care vor avea aceeai culoare. Deci numrul minim este 13. 35. S se arate c numrul n= 11112222 n baza zece se poate scrie ca un produs de dou numere naturale consecutive. Rezolvare: n=1111*104+2222=1111(104+2)=1111(104-1+3)=1111(9999+3)=1111(3.3333+3)=3333(3333+1) =3333*3334 36. S se arate c numrul :

N=2007

16057 +21

1 + 32

1 ++ 20072006

1 este ptrat

perfect. Rezolvare :

78

21

1 + 32

1 ++ 20072006

1 =1

1-21 +

21 -

=++2007

12006

1...31

=20072006

200712007

200711 ==

2392007

180632007

200616057 ===+ N= 23 37. S se rezolve ecuaia : xy + x - 4y = 2007 Rezolvare : Ecuaia dat este echivalent cu (x-4) (y+1) = 2003 x-4=1 i y+1=2003 x=5, y=2002 sau x-4=2003 i y+1=1 x=2007, y=0 sau x-4= -1 i y+1= -2003 x=3, y= -2004 sau x-4= -2003 i y+1= -1 x- -1999, y= -2

79

CLASA A VI A ALGEBRA 1. Numerele a,b,c verific simultan condiiile:

a) media aritmetic a numerelor a,b,c este )1(4,031 1

b) a,b,c sunt direct proporionale cu 0,(3), 0,0(3), 0,00(3). S se afle a,b,c. Rezolvare:

a+b+c=30

111903733 =

=++++=== 10

9003

903

93)3(00,0)3(0,0)3(,0

cbacba

a=30; b=300; c=3000.

2. S se determine restul mpririi lui n64 la 33.

Rezolvare: 4)11023(410244)4(444 5)15()15(6 +===== ++ kkkknn

Rezult c restul mpririi este 4. Observaie: ntodeauna, un numr de forma (a+1)n va fi un multiplu de a la care se adaug 1.

3. Aflai xQ din proporia: 5,04

21004

2007 x= . Rezolvare: Se rescrie 41004 ca putere a lui 2, se fac simplificarile si rezulta x=1. 4. S se determine numerele ntregi x,y dac x2+xy-2x-2y=3. Rezolvare:

80

Ecuaia dat este echivalent cu (x+y)(x-2)=3 x+y=1 i x-2=3 x=5, y=-4; x+y=3 i x-2=1 x=3, y=-2; x+y=-1 i x-2=-3x=-1,y=0; x+y=-3 i x-2=-1x=1,y=-4. 5. S se rezolve n numere naturale, ecuaia: xy-5=3x+2y-13. Rezolvare: xy-5=3x+2y-13 xy-3x=2y-13+5 x(y-3)=2y-8 =

== 3,

322

32)3(2

382 yN

yyy

yyx

23 Dy y-3=1y=4; x=0; y-3=-1y=2; x=4; y-3=2y=5; x=1; y-3=-2y=1; x=3.

6. S se determine aZ astfel nct Za

aa ++

2322 .

Rezolvare:

{ }=++++

=+++++=+

++=+++=+

+

11,1,1,112

1122

114

238)2(4

234

234)2(

232

11

2

Da

aZa

a

aaa

aaa

aaaa

aaa

a+2=-11 => a=-13 a+2=-1 => a=-3 a+2=1 => a=-1

81

a+2=-11 => a=9.

7. S se rezolve n Z ecuaia: .233

=y

x

Rezolvare: === 9)6(69233

yxyxyy

x

x-6=1 i y=9 x=7,y=9 x-6=-1 i y=-9 x=5,y=-9 x-6=9 i y=1 x=15,y=1 x-6=-9 i y=-1 x=-3,y=-1 x-6=3 i y=3 x=9,y=3 x-6=-3 i y=-3 x=3,y=-3 8. Sa se calculeze :

200720061...

431

321

211

++++ Rezolvare : Suma dat este egal cu

=++++2007

12006

1...41

31

31

21

21

11

=20072006

200711 =

S-a folosit formula :

111

)1(1

)1(1

+=++=+ nnnnnn

nn.

9. S se determine numerele ntregi pozitive a si b care satisfac condiiile a+b=165 si ctul mpririi lui a la b este 10. Rezolvare:

82

a=10b+r , 0 r < b a+b=165=> 10b+r+b=165 => 11b+r= 1511 => r este divizibil cu 11=> r=11x=> 11(b+x)= 1511 => b+x=15=> x=1, deoarece r=11x r=11 => b=14 => a=151 .

10. S se determine mulimea

= ZxxxA

342

Rezolvare :

{ }=+= 2,1,1,2323

322

342

2DxxZxxx

123 == xx

213 == xx

413 == xx

523 == xx . 11. S se rezolve n N ecuaia: 1926484 =++ zyx Rezolvare:

Cum

32222:32222 66636266632 =++=++ zyxzyx

10662063

3062166

====

==

83

12. S se rezolve n numere ntregi pozitive ecuaia : 3x+5y2=189. Rezolvare: Cum 3x i 189 se divid cu 3 => 5y2 e divizibil cu 3 => y=3a => 3x+5*9a2=189 :3 => x+15 a2=63 => x=3 b => 3 b+15 a2=63 :3 => b+5 a2=21 => b=21, a=0 => x=63, y=0 b=1 , a=2 => x=3, y=6. 13. S se determine numerele ntregi pozitive a si b care satisfac condiiile a+b=165 si ctul mpririi lui a la b este 10. Rezolvare: a=10b+r , 0 r < b a+b=165=> 10b+r+b=165 => 11b+r= 1511 => r este divizibil cu 11=> r=11x=> 11(b+x)= 1511 => b+x=15=> x=1, deoarece r=11x r=11 => b=14 => a=151 . 14. a) S se calculeze suma A=1+11+111++

2007

111...111

b) S se arate c A este divizibil cu 9 c) S se calculeze B=3+33+333++

2007

33...33

Rezolvare :

a) A=91 (9+99+999++999)

A=9

110...9

1109

1109

110 200732 ++++

84

=)0910311...111(

91

)20070111...111(91)200710...1010(

91

2003

2007

20072

=

==+++

b) Cum suma cifrelor din care este compus A este 2003 1 +0+9+1+0+3=2016 care este divizibil cu 9 A#9 c) B=3A=

31 (

2008

11091033...111 )

GEOMETRIE 1. Msura unui unghi al unui triunghi isoscel este de 1100. a) Msurile celorlalte dou unghiuri sunt de ; b) Suma msurilor tuturor unghiurilor exterioare triunghiului este de ..; c) Msura unghiului format de bisectoarea unghiului de 1100 cu latura opus este de .; Rezolvare: a) Celelalte dou unghiuri sunt obligatoriu de 350; b) Pentru fiecare unghi al triunghiului exist dou unghiuri exterioare congruente prin urmare suma msurilor tuturor unghiurilor exterioare triunghiului este de 36002= 7200. c) 1800-(550+350)=900.

85

2. n dreptunghiul ABCD cu AB=10 cm i BC =18 cm se ia un punct M pe AB i N pe BC astfel nct AM este de trei ori mai mic dect NC i NC este de dou ori mai mare dect BN. S se afle aria triunghiului MND. Rezolvare: Din datele problemei, rezult NC=3AM i NC=2BN Cum BC=18, rezult NC=12 i AM=4. Aadar AMND=AABCD-AMBD-ANCD-AAMD=216-24-72-36=84. 3. n triunghiul ABC se ia D un punct pe latura BC astfel nct AD este congruent cu DC. Dac perimetrul lui ABC este de 46 cm i al lui ABD este de 30 cm se cere lungimea lui AC. Rezolvare: AC= PABC-PABD=46-30=16 cm. 4. n paralelogramul ABCD se ia pe diagonala AC punctele E i F astfel nct AE=EF=FC. S se arate c patrulaterul BEDF este paralelogram i c AABCD=3ABEDF. Rezolvare.

86

Din congruena triunghiurilor ABE i DFC (L.U.L), rezult BE i DF sunt paralele i congruente, rezult BEDF paralelogram. AABCD=6ABEF=3ABEDF 5. Fie ABCD un trapez avnd bazele AD, i BC, cu BC>AD i AD=10cm. Paralela prin A la CD intersecteaz BC n E. tiind c perimetrul triunghiului ABE este 24 s se afle perimetrul trapezului. Rezolvare:

Cum AE este congruent cu DC, rezult c perimetrul trapezului este PABCD= PABE+2AD=24+20=44 cm. 6. Fie ABCD un paralelogram cu AB=8 cm i cu

m( B )=1500. Se cere msura unghiului A i distana de la B la AD. Dac AD=12 cm, aflai aria paralelogramului.= Rezolvare:

87

Cum m( B )=1500, rezult c unghiul A are 300 iar BE, unde E este piciorul perpendicularei dus din B pe AD este jumtate din AB. Rezult BE este de 4 cm. AABCD=AD*BE=12*4=48cm2. 7. n rombul ABCD se duc DPAB i BQCD. tiind c msura unghiului A este de 600 s se arate c: a) triunghiul ABD este echilateral; b) patrulaterul BPDQ este dreptunghi; c) s se afle ct la sut reprezint aria patrulaterului BPDQ din aria lui ABCD. Rezolvare: Triunghiul ABD este isoscel cu un unghi de 600, rezult c triunghiul ABD este echilateral. Patrulaterul BPDQ este dreptunghi deoarece are dou laturi opuse paralele i congruente. Cum msura unghiului A este de 600, atunci msura unghiului ADP este de 300 ceeace nseamn c AP este jumtate din AD. Cum AB este congruent cu AD i DPAB chiar n mijlocul lui AB, rezult AABCD=4AAPD. Rezult, ABPDQ=50%AABCD. 8) n patrulaterul ABCD, AC este perpendicular cu BD ca n figura alturat. Dac AC=13cm i BD=8cm s se afle aria lui ABCD.

C

88

Rezolvare: Cum DB i AC sunt perpendiculare, rezult

AABCD=AABD+ACBD= 522

1042

== ACBD cm2 9. n figura alturat se dau AC=6,BD=8cm, AE=18,CB=12 cm i A,C,B puncte coliniare. Dac EAAC, BDBC s se afle aria triunghiului ECD.

D

C

A

B

89

Rezolvare: AECD=AABDE-AAEC-ADBC=234-54-48=132cm2. 11. Fie ABC un triunghi oarecare. Prin mijlocul lui M al laturii AB se duce paralela la AC care intersecteaz pe BC n N. Prin B se duce paralela la AC care intersecteaz pe AN n D. a) Aflai natura patrulaterului ABDC. b) Dac aria triunghiului AMN=12 cm2 aflai aria patrulaterului ABDC. Rezolvare: MN este linie mijlocie n triunghiul ABD respectiv n BAC, atunci N este mijlocul lui AD i al lui BC, rezult c patrulaterul ABCD este paralelogram. n triunghiul ANM, NM este median, atunci AANM=ANBM, n triunghiul ABD, BN este median, atunci AABN=ABND , n triunghiul ABC, AN este median iar n triunghiul BDC, DN este median, rezult AABDC=4AABN=4*24=96cm2.

A

E

C

D

B

90

CLASA A VII A

ALGEBRA 1. S se rezolve ecuaia n .

82)3( 22 =+ yyx Rezolvare: x-3 + y(y-2) =8 => y{0,1,2,3,4} y=0 => x=1; y=1 => x=10; y=2 => x=11; y=3 => x=8; y=4 => x=3. 2. S se determine cifrele consecutive a i b astfel nct

.883322 =+ bbaabbaa

Rezolvare: Relaia dat este echivalent cu bbaabbaa = 8833)( 2 Cum a i b sunt cifre consecutive, rezult:

)10)(10(883312111)( 22 bbaabbaa ++== 72121:87121112188331111 2 == bababa

a=9, b=8 sau a=8, =9. 3. S se determine numerele ntregi n astfel nct

Znn

332

Rezolvare:

Zn

nnn

nnnnn +++=

+++=

32493

324)93()3(

33 222

n-3 24 n-3 ={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

91

=> n={-21,-9,-5,-3,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,15,27} . 4. S se rezolve ecuaia n N: xy-3x+3y=2016. Rezolvare: Ecuaia dat este echivalent cu (x+3)(y-3)=2007; Cum 2007=32.223 rezult urmtoarele situaii: x+3=9 i y-3=223 rezult: x=6, y=226; x+3=227 i y-3=9 rezult: x=220, y=12; x+3=3 i y-3=669 rezult: x=0, y=672; x+3=669 i y-3=3 rezult: x=666, y=6; x+3=2007 i y-3=1 rezult: x=2004, y=4.

5. S se arate c 200720071....

31

211 ++++ .

Rezolvare: Cum

20071

20061,........,

20071

21,

200711

20071....

20071

20021

20071

20071....

31

211

++++

+++++

20072007

2007 == . 6. S se determine numerele ntregi a i b astfel nct

;321464 ba +=+ Rezolvare:

92

Ridicm la puterea a doua expresia dat: ;36221464 22 baba ++=+

Din egalarea termenilor asemenea ntre ei rezult : ab=2 i 2a2+3b2=14 rezult: a=1 i b=2. 7. Care numr este mai mare

13181516 == sauBA ? Rezolvare: Prin ridicare la puterea a doua se obine: 0

93

( )5052

10551825

======

=++

xxyxxy

yyx

11. S se rezolve n mulimea numerelor ntregi ecuaia

400565 22 =++ yxyx Rezolvare: Ecuaia dat este echivalent cu 4(x+y)2 +(x-y)2=400. Notm ayx =+ si

254410044004444004

12

12

1122

21

221

22

=+==+=+==+=

baaabababbbabyx

1b este impar { }5,3,11 b 23 11 == ab ( )1

si 05 11 == ab ( )2

( )1 210128

=====

yxyxyx

( )2 10

10200

==

==+

yx

yxyx

12. Aflai X din

X.3 2008 = (3 2008 1) : (1+ 20072 31.......

31

31 +++ )

Rezolvare: , dup formula

2008

2008

2007 313

23

31........

31

311 =++++

11.........1

1

=++++

+

XXXXX

nn

94

2272

3112

3117411 ==+= a

166346223

)23)(322(

23

322 +=+=+=

( )( )( )( )

13

3343

3343

3433

123631015

129323325

323325

1132311323

1131131,1313

=

==

+=

=+=+

+=

=+++++=+

++=+=+= baba

13. S se calculeze: a

a

332 unde 74117 =a

Rezolvare:

14. tiind ca: 13 =ba s se calculeze partea ntreag a

numrului

baba

+

Rezolvare:

32

133

32]13[3 2008

200820082008 == XX

95

101

66066

9322366

92232007662007 ==== bbbba

( ) ( )4251515151

5151

==+=+==+

x

15. Se d numarul x = 526526 + a) S se arate ca x = 4 b) S se calculeze (X+2)2007 Rezolvare: a. X=

b. x = ( )2022 +=+ xx 2007 = 0.

16. Daca 2007=ba , s se calculeze

bab

922366

. Rezolvare: 17. S se calculeze suma S = 200732 2..........222 ++++ .

Rezolvare:

S

( )( )

( )( )( ) ( ) .112]12[ 1122.............221

112.............2222............2212

2............22

2............222

1004

10032

100332

10032

200642

200753

+==+++++=

=+++++++++++=

=

+++++++++=

96

Am adugat i am sczut 1. 18. Calculai: ( ) 50685168 3:232347324 ++++=E Rezolvare:

( ) ( )( )

.6333:333:2323213

032

322

172

17347

132

242

24324

5051

50685168

173174

=+=+==+++++=

97

20. Dac xyyx 1222 =+ , x,yR, x,y>0 S se calculeze : )

yxyxa

+

)yxb

)c partea ntreag a numrului .yx

Rezolvare : a) xyxyyxyx 142)( 222 =++=+ xyxyyxyx 102)( 222 =+=

535

57

1014 ===

+yxyx

b) =+ yxyx 353555 )355()535( += yx

535355

+=yx

c) =+=

2535)355( 2

yx =++

1035103525 =+

10351060

= 356 + 1156 =+=

yx

21. Sa se arate ca a= Q+++ 2007...531 b=

2007.....7531

tiind ca: 1+3+5++2007= 10042 , => a

98

Cum 2003 135..2007 iar 20032 , nu apartine produsului=> b .

22 Determinai Zx pentru care fracia Zxx +

+212

Rezolvare:

{ }=++++=+

+++=++

5,12522

522

5)2(2)2(21

5

2

Dxx

Zx

xx

xxxxx

x+2=-1 x=-3 x+2=-5 x=-7 x+2=1 x=-1 x+2=5 x=3 .

23. Dac %15=yx

atunci ....%..........12312 =++

+yxyx

.

Rezolvare:

%5010050

5025

12023312032

12312

20;3203

10015%15

===+++=++

+=====

yxyx

yxyx

24. S se rezolve n Z ecuaia: .233

=y

x

Rezolvare: === 9)6(69233

yxyxyy

x

x-6=1 i y=9 x=7,y=9 x-6=-1 i y=-9 x=5,y=-9 x-6=9 i y=1 x=15,y=1

99

x-6=-9 i y=-1 x=-3,y=-1 x-6=3 i y=3 x=9,y=3 x-6=-3 i y=-3 x=3,y=-3. 25. S se determine numerele ntregi x,y dac x2+xy-2x-2y=3. Rezolvare: Ecuaia dat este echivalent cu (x+y)(x-2)=3 x+y=1 i x-2=3 x=5, y=-4; x+y=3 i x-2=1 x=3, y=-2; x+y=-1 i x-2=-3x=-1,y=0; x+y=-3 i x-2=-1x=1,y=-4. 26. S se rezolve n numere naturale, ecuaia: xy-5=3x+2y-13. Rezolvare: xy-5=3x+2y-13 xy-3x=2y-13+5 x(y-3)=2y-8 =

== 3,

322

32)3(2

382 yN

yyy

yyx

23 Dy y-3=1y=4; x=0; y-3=-1y=2; x=4; y-3=2y=5; x=1; y-3=-2y=1; x=3. 27. Se dau numerele x,y,z, astfel nct x este 20% din y, iar y este 30% din z. Se cere:

a) S se calculeze suma xz

zy

yx ++ ;

b) Dac 50x+10y+z=350 atunci s se afle x, y, z. Rezolvare:

a) 51

10020 ==

yx ;

103

10030 ==

zy ;

6100=

xz

6

1036

100103

51 =++=++

xz

zy

yx .

100

b) Cum zzyx503

103

51

5=== i zy

103= 50x+10y+z=350

3z+3z+z=350 7z=350 z=50 x=3 i y=15. 28. Numerele naturale a i b sunt direct proporionale cu 4 i 10. a) Ce procent din numrul a reprezint numrul b? b) Media aritmetic a numerelor a i b este 28. Aflai numerele a i b. Rezolvare:

a) 104ba = adinbaab %250

100250

410 === ;

b) 4728

1456

1045628

2=====+=+ bababa .

29. Fie n , s se afle restul mpririi lui N= 585 +n la 25. Rezolvare:

524524 5]11)5[(5)5( +== nnN = = 544 5]1)15)(15[( ++ nn = = 5422 5]1)15)(15)(15[( +++ nnn Cum (5n-1) 4, (5n+1) 2, (52n+1) 2,(54n+1) 2, rezult c restul mpririi lui N la 25 este restul mpririi lui 55 la 25 care este 21.

101

GEOMETRIE 1. Fie triunghiul ABC cu DAB, EBC astfel nct AADF=8, AAFC=20, ACEF=15. Se cere aria patrulaterului BDFE. Rezolvare: Se tie c n orice triunghi ABC cu EBC exist egalitatea :

ECBE

AA

AEC

ABE = , atunci vom nota pentru simplitate cu A1=AADF, A2=AAFC, A3=ACEF, A4=ADFE, A5=ABDE;

,681520

444

1

3

2 ==== AAA

AFEAF

AA De asemenea

,2115668

15205

555

34

541

32 =+=++++==++

+A

AAAAA

BEEC

AAAAA

ABDFE=A4+A5=6+21=27. 2. Un trapez isoscel are lungimea diagonalelor de 5 cm i suma lungimilor bazelor de 6 cm. S se afle aria trapezului.

102

Rezolvare: Fie BM ||AC, M(DC , CM AB, DM=DC+AB=6 i BM AC=5 BDM isoscel cu BEDM, BE nlime BE2=BM2-EM2 BE=

22

25

DM =4

AABCD = 12246

22)( ====+ DMBADEDMDECDAB .

3. n triunghiul dreptunghic ABC, m( A )=900, se ia pe latura BC punctual F la 2 cm de vrful C i pe AC se ia punctual E astfel nct

.31==

BCCA

CECF

S se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

Rezolvare:

Cum FC =2 cm, rezult din relaia dat c CE=32=6 cm, relaie care mai poate fi scris i sub forma :

BCCE

CACF = i cum unghiul C este comun, rezult c triunghiul CFE este asemenea cu triunghiul CAB(cazul L.U.L.) CFE este dreptunghic n F. Din Teorema lui Pitagora aplicat n

103

triunghiul CFE FE2=CE2-FC2 FE= 2432436 == . Din CFE ~CAB 2123

31 ==== FEAB

ABFE

BCCA cm i BC=3CA

Din triunghiul ABC dreptunghic, rezult: BC2=AB2+AC2 (3AC)2=( 212 )2+AC2 AC=6 cm i BC= 18 cm PABC=AB+AC+BC= 212 +18+6=12( 2 +2) cm. 4. n trapezul dreptunghic ABCD, AB||CD, AB=12 cm, CD=6 cm,

AD=8 cm se ia pe diagonala AC punctul E astfel nct 41=

CACE

. Din E

se duce o perpendicular pe AC astfel nct ea intersecteaz pe CD n F. Se cere: a) perimetrul trapezului ABCD; b) s se arate c CEF ~CDA i s se calculeze lungimea segmentului EF; c) s se calculeze distana de la E la AB. Rezolvare:

104

Prin punctul E se duce o perpendicular pe bazele trapezului pe care le intersecteaz n MAB i NCD. Cum CD=6 i AB=12 rezult c triunghiul CAB este isoscel (nlimea din C cade chiar la mijlocul lui AB). Din T. lui Pitagora aplicat n ADC CBAC=10. Atunci PABCD= AB+BC+CD+AD=6+8+12+10=36. b) CEF ~CDA deoarece sunt triunghiuri dreptunghice cu unghiul C comun, (*)

DCCE

DAEF =

Cum 25

441 === CACE

CACE

Din (*) EF=3

10 .

c) Din NE|| AD 41

8== NE

CACE

ADNE

d(E,AB)=EM=MN-NE=8-2=6 . 5. n triunghiul dreptunghic ABC, m( A )=900, iar AC=12 cm, BC=13 cm. Se cere lungimea bisectoarei BD. Rezolvare:

A B

C D

E

F

M

N

105

Aplicnd teorema lui Pitagora n triunghiul ABC, obinem AB=5 cm. Din Teorema bisectoarei, rezult:

310

18125

185

12

1355

135

===

+=+==

ADADDCAD

ADBCAB

DCAD

13355)

310( 22 =+= BD .

6. n ABC, DAB, FAD, EAC astfel nct DBAD

=41

i AF=2cm,

DE BC, FE DC. Se cere lungimea lui AB. Rezolvare:

Aplicnd de mai multe ori teorema lui Thales,

41 =

DBAD =

ECAE =

FDAF =

FD2 FD=8 AD=10

DB10 =

41 DB=40 AB

=AD+DB=50cm.

106

7. n trapezul ABCD, cu BCAD, BC=12 se duce o paralel EF la bazele trapezului, care trece prin intersecia diagonalelor O, astfel nct

31=

ABAE

. Se cere AOD

AEO

AA

.

Rezolvare:

EOBC Din Teorema fundamental a asemnrii

4123

1 === EOEOBCEO

ABAE

21

21 == EB

AEAEAB

AE

OAD ~ ==== 621

12ADAD

EBEA

OBOD

BCADOBC

AOD

AEO

AA

=ADEO =

64 =

32 .

8. Fie ABC un triunghi i fie AD o bisectoare astfel nct la o treime fa de vrf, prin punctul P de pe bisectoare se duce o paralel MN la BC.

Din N AC se duce o paralel la AB care intersecteaz pe AD in Q si pe BC in R.

Dac AB=18, BC=16 si AC=6, aflai perimetrul triunghiului QDR. Rezolvare:

A

B C

D

12

O

E F

107

.1224

1618 ==+=ACABBCABBD Analog DC=4 Cum MN||BC,

rezult:

34,4

41231

31 ======= PNMPPNMP

DCPN

BDMP

ADAP .

MN=MP+PN =

320

31612

316

316

344 ======+ BRBDRDMNBR

Cum PN||RD atunci triunghiurile PQN i DQR sun asemenea:

2420

2024

20204

204

BMQRQRBM

QRQRQN

RDPN

QRQN

==

+=+==

.10126;31 ===== QRBMAM

ADAP

ABAM

Din formula lungimii bisectoarei,

])[()(

222

2 acbcbcbAD ++= = 222 16)618[()618(

618 ++ =

108

60. AD= 15260 =

3154

3152152

3152

31 ==== PDAP

ADAP

91510

631545

56

56

51

204

==

==+===

QD

QDPD

QDQDPQ

QDPQ

QRQN

PQRD=QR+QD+RD= 10+ 91510 +

91510150

320 += .

9. S se afle aria triunghiului ABC, dac se cunosc AC=2 cm i m( B )=0,1(6) )(Am i m( )()3(8,0) AmC = ). Rezolvare:

0,1(6)=61

9015 = i 0,8(3)=

65

9075 = . Cum =++ 0180)()()( CmBmAm

=++ 0180)(65)(

61)( AmAmAm

000 75)(,15)(90)( === CmBmAm Aadar, triunghiul ABC este dreptunghic n A . Cum AC se opune unui unghi de 150,rezult: BC=4AC=8 i AB= .15260464 == AABC= 21522

cmACAB = . 10. n triunghiul dreptunghic ABC, cu 090)( =Am , AB=6 cm, CD=9 cm unde AD este perpendicular pe BC, se duce prin mijlocul M al lui AC o perpendicular pe AC care intersecteaz pe BC n P, iar

AD PM={ }N . Se cere lungimea segmentelor BD, AC, AN, AD.

109

Rezolvare:

Din Teorema nlimii n triunghiul ABC rezult: ,92 BDDCBDAD == Din Teorema lui Pitagora n triunghiul ABD rezult:

BDBDBDADAB 936 2222 +=+= = cmBD 3 36222 == ACABBCAC .

Cum ABC ~33,3612

936

336 ====

==

ADANAN

ANBC

MNAC

AMABMAN

ABMP

MCAM P este mijlocul lui BC. Aadar: BP=PC=6,

DP=6-3=3.

110

DBA ~

9,3,6,336333 ======

MNMPNPDNNPDNDP

DPN

.

11. Fie ABCD un paralelogram cu baza BC=15 cm n care diagonalele BD=18 cm formeaz un unghi de 300 cu AC=10 cm; S se calculeze perimetrul paralelogramului. Rezolvare: Fie AE nlimea paralelogramului dus din A pe BC;

==22

30sin 0 AEBCBDACAABCD

== ;61521018 AEAE

Aplicm T. lui Pitagora n triunghiul dreptunghic AEC; ==== ;8643610022 AEACEC BE=15-8=7;

Aplicm t. lui Pitagora n triunghiul dreptunghic ABE: =+= 854936AB

cmP )85230( += .

12. Pe ptratul ABCD de latur 12cm se ia punctual M pe BC astfel nct BM =3cm si N pe CD astfel nct DN=1cm. Se cere sinusul unghiului MAN. Rezolvare: Aplicm Teorema lui Pitagora n triunghiurile dreptunghice ABM si AND . AM= . AN= . AABM=18, AMCN=18, AADN=48=>AAMN= AABCD-18-18-48=> AAMN=144-84=60.

111

Pe de alt parte ,AAMN= 2 ) MANsin(ANAM

22122110sin =NAM

13. Fie ABCD un trapez oarecare cu bazele AB, CD si O intersectia diagonalelor AC si BD. Paralela prin O la baze taie laturile neparalele in M si N. Demonstrati ca : a) OM = ON; b) Daca PQ este linia mijlocie a trapezului, atunci MN . PQ = AB . CD Rezolvare: a)Deoarece MO AB rezulta ca triunghiurile DOM si DBA sunt asemenea ceea ce conduce la : MO / AB = DO / DB. In mod analog vom avea egalitatea ON / AB = CO / AC. Folosind faptul ca ABCD este trapez, deci triunghiurile AOB si COD sunt asemenea, adica DO / DB = CO / AC, va rezulta ca MO / AB = NO / AB.Deci MO = NO. b)Aceleasi asemanari de triunghiuri ne dau urmatoarele egalitati, in care am folosit faptul ca OM = ON:

MN / AB = 2 MO/ AB = 2 DO / BD si MN / CD = 2 NO / CD = 2 BO / CD, relatii care prin adunare ne dau MN / AB + MN / CD = 2( DO / BD + BO / BD) = 2 BD / BD = 2.

112

Prin impartire la 2 si aducere la numitor comun in relatia de mai sus se obtine MN(AB + CD) / 2 = AB . CD, adica exact ceea ce trebuia demonstrat, pentru ca linia mijlocie PQ este exact semi-suma bazelor. 14. n triunghiul oarecare ABC se tie:

AB=10 BC=14 AC=12. Se cere: a) Aria triungiului b) nlimea AD

Rezolvare: a) A ABC = ))()(( cpbpapp unde

P=2

121410 ++ =18 A= )1218)(1418)(1018(18 =24 6

b) A ABC = 2hBC

24 6 = 2

14 h h=7

624

15. n figura alturat , AOB este un sfert de cerc cu raza de 8 cm i perimetrul suprafeei MPNO este de 20 cm. Dac MP este paralel cu OB i PN paralel cu OA se cere s se afle perimetrul figurii AMNBPA.

113

Rezolvare: Patrulaterul OMPN este dreptunghi, rezult 2(OM+ON)=20, aadar OM+ON=10. Pe de alt parte diagonalele dreptunghiului sunt congruente, rezult MN=OP=8 cm.(OP este raz). Rezult, AM+BN=AO+OB-(OM+ON)=8+8-10=6. Cum lungimea arcului AB este

=== 44

824

2 Rl BA PAMNBPA= AM+MN+NB+lAB=

6+8+4=14+4.

114

CLASA A VIII -A

ALGEBRA

1. Fie RNf : , ( )nn

nf ++= 11

S se calculeze: ( ) ( ) ( ) ( )2007...321 ffff ++++ Rezolvare:

( ) ( ) ( )120072006200720052006...

3423122007...21

111

11

=++++++=+++

+=++=++

fff

nnnnnn

nn

2. S se determine x i y din: Rezolvare: Relatia data este echivalenta cu :

x+1=0 x+y-3=0 => x=-1; y=4 3. Sa se simplifice fractia:

E(x)=xxxxxxxx22

4832234

234

++

115

Rezolvare :

E(x)= =+++++

)2()2(4433

3

2334

xxxxxxxxxxx

)1)(2()1(4)1(3)1()1(

2

23

++

xxxxxxxxxx

=+++

)1)(2()43)1()(1(

2

3

xxxxxxxx =++

+)1)(1)(2(

)44)(1( 23

xxxxxxxx

= =++)1)(2(

)1(4)1(2

xxxxxx =++

+)1)(2(

)2)(2)(1(xxxxxx

=)1(

)2)(1(+

xxxx .

4. Fie f: AR, f(x)=x-3; a) S se reprezinte graficul funciei f cnd A=R, A=[0;); A=(-3;2] . b) S se determine mulimea A={nN | n 20, f(n) e ptrat perfect};

c) Artai c fracia )1()2(

++

nfnf e o fracie ireductibil,

Nn ; d) S se rezolve n R inecuaia : f(7-2x) f(3x+2); e) S se determine cel mai mic numr natural x pentru care exist nN astfel nct f(3x+4)=7n; f) S se rezolve ecuaia: .1)5(

342 =++

xfxf g) Aflai numerele reale a i b cu proprietatea 2a-3b=4 i c punctual A(a,b) aparine graficului lui f; h) tiind c A(m,n) este punctul de intersecie al graficului lui f cu graficul funciei g:RR, s se determine m i n.

116

i) S se calculeze aria triunghiului determinat de axele de coordonate i graficul lui f. Rezolvare: a)

b) f(n) e ptrat perfect n-3 = k2 n{3,4,7,12,19}. c) Presupunem prin absurd c fracia

21

)1()2(

=+

+nn

nfnf este

reductibil adic exist un divizor comun diferit de 1

)2,1( = nnd , 11212,11 =+ ddnndndndd .

Contradicie; rezult c f este ireductibil. d) f(7-2x) f(3x+2) 7-2x-3 3x+2-3 5x 5 [ );11 + xx . e) f(3x+4)=7n 3x+4-3=7n 3x+1=7n ; Pentru n=3 x=114 este cel mai mic numr natural pentru care este adevrat relaia dat;

117

f)

.1)5(3

42 =++

xfxf

2634213533

42 ==+=++ xxxxx ; g) A(a,b) Gf f(a)=b a-3=b 5;2

432

)2(3 ==

== ab

ba

ba ;

h) 4;7182

3 ==

+==

yxxy

xy; A(7,4).

i) Triunghiul format de axele de coordonate i graficul lui f este

dreptunghic A= 5,429

233 == .

5. a) S se determine funcia f:RR, f(x)=ax+b, a,bR cu proprietatea f(x-2)=3x-2f(2)+3; b) S se reprezinte graficul lui f, c) S se rezolve ecuaia: 3f(x-1) -2f(x)=x+7. Rezolvare: a) Din f(x-2)=3x-2f(2)+3 a(x-2)+b=3x-2(2a+b) +3 (a-3)x+2a+3b-3=0 a=3 i b=-1; f(x)=3x-1.

118

b)

c) 3[3(x-1)-1]-1-2(3x-1)=x+7x=2. 6. Fie f:RR , g:RR, f(x)= 323 x , g(x)= 223 +x . a) S se calculeze: