Digitalni sistemi upravqawa

Diskretizacija kontinualnih signala

- Diskretizacija (odabirawe) zna~i proces uzimawa uzoraka (odbiraka) na takav na~in da se vremenski kontinualan signal zamijeni sa nizom (sekvencom) brojeva koji predstavqaju vrijednosti signala pri odre|enim vremenskim trenutcima.

- Ovu operaciju izvr{ava analogno-digitalni konvertor - Dobijeni niz brojeva se obra|uje u digitalnom procesoru i tako dobija novi niz

brojeva - Ovaj niz se transformi{e u kontinualni signal pomo}u digitalno-analognog

konvertora, {to predstavqa takozvanu rekonstrukciju signala Proces diskretizacije u vremenu se mo`e opisati zamjenom kontinulne funkcije vremena (kontinualnog signala) f(t) sa nizom { }Zktf k :)( Trenutci diskretizacije se naj~e{}e periodi~no ponavqaju sa periodom T, pa je otuda tk=kT a frekvencija odabirawa je fS=1/T[Hz] Postoje i sistemi sa vi{e brzina diskretizacije, naprimjer, u vi{e- procesorkim sistemima. Tako|e, mnogi softverski paketi su razvijeni za konkurentne procese pa otuda imamo razli~ite procese koji funkcioni{u asinhrono. Postoje i tehni~ka opravdawa da se razli~ite fizi~ke promjenqive diskretizuju razli~itim brzinama. Teorema odabirawa Kontinualni signal ~ija je Furijeova transformacija jednaka nuli izvan intervala

),( 00 je odre|en na jedinstven na~in svojim vrijednostima u ekvidistantnim ta~kama ako je frekvencija odabirawa ve}a od 2 0 . Kontinualni signal se mo`e izra~unati na bazi vremenski diskretnih vrijednosti pomo}u interpolacione formule

=

=k S

S

kTtkTtkTftf

2/)(2/)(sin)()(

(2.1)

gdje je S kru`na frekvencija odabirawa [rad/sek]. # Dokaz se lako izvodi polaze}i od para

= dttfejF tj )()( (2.2)

= djFetf tj )(

21)( (2.3)

i ~iwenice da se vrijednosti f(kT) mogu posmatrati kao koeficijenti Furijeovog reda periodi~ne funkcije date sa

=

+=k

SS jkjFTjF )(1)( (2.4)

Furijeov niz za FS je dat sa jkT

kks eCjF

==)( (2.5)

gdje su koeficijenti

djFeC SjkT

Sk

S

)(1

0=

Na osnovu prethodnih jedna~ina nije te{ko pokazati da vrijedi

1

Digitalni sistemi upravqawa

)(kTfCk = (2.6) Ovo zna~i da vremenski diskretan signal {f(kT), k=...,-1,0,1,2,..} u potpunosti odre|uje funkciju FS. Ali kako je prema pretpostavci u teoremi funkcija F jednaka nuli izvan intervala ( ), 00 imamo da je

2/0

2/),()(

S

SS jTFjF

>==

(2.7)

Iz (2.3) i (2.7) slijedi

=

=

=

=

2/

2/

2/

2/

)(2

)(2

)(21)(

S

S

S

S

dkTfeeT

djFeT

djFetf

k

jkTtj

Stj

tj

Mijewaju}i redoslijed sumacije i integracije na kraju dobijamo formulu (2.1 # Kru`na frekvenija 2/SN = se naziva Nikvistovom. Po{to se u jedna~ini (2.4) ispred znaka sume nalazi faktor 1/T , operacija diskretizacije u vremenu ima poja~awe jednako 1/T. Rekonstrukcija signala Konverzija niza brojeva {f(kT), k=...,-1,0,1,2,..} u kontinualnu funkciju vremena f(t) se naziva rekonstrukcijom. Formulom (2.1) je data tako zvana [enonova rekonstrukcija koja nije kauzalna po{to se zahtijevaju i budu}e vrijednosti odbiraka u odnosu na teku}i trenutak vremena t. Rekonstrukcija tako|e unosi vremensko ka{wewe. Ponderi{u}i faktor za odmjerke razmaknute u vremenu za 3T je oko 10%, a za one razmaknute za vi{e od 6T je mawa od 5% . Zbog uno{ewa ka{wena ova operacija se ne koristi u digitalnim sistemima upravqawa, za razliku od primjena u komunikacijama i drugim obradama signala (kao naprimjer, reprodukcija zvuka sa CD-ova). Kolo zadr{ke nultog reda Rekonstrukcija signala je data relacijom

1),()( +

Digitalni sistemi upravqawa

Kod periodi~ne diskretizacije, za funkcije sa neprekidnom drugom derivacijom, gre{ka rekonstrukcije ne prelazi granicu

)(max ""21 tfTeKZ (2.10) Frekvencijsko preklapawe (aliasing) Vrijednosti vremenski diskretne funkcije {f(kT), k=...,-1,0,1,2,..} predstavqaju koeficijente Furijeovog reda za FS (2.4). Ova funcija FS se mo`e interpretirati kao Furijeova transformacija vremenski diskretnog signala. Funkcija (2.4) je periodi~na sa

periodom S . Frekvencija se mo`e posmatrati kao alias od Sn + . Uobi~ajeno je da se posmatraju samo pozitivne frekvencije pa su za aliasi

,...,2,2,, + SSS +S gdje je 2/0 S je dat sa 2/)mod()2/( 1 SSS += (2.11)

Treba primijetiti da je diskretizacija po vremenu linearna operacija, ali koja nije vremenski invarijantna. U ciqu ilustracije efekta preklapawa na Sl. 2.1 su prikazane dvije komponente sa razli~itim frekvencijama ali sa istim vrijednostima u vremenskim trenutcima koji se ponavqaju sa periodom odabirawa T=1[sek]. Dakle, ovdje je komponenta

]/[9.0*2 sekrad =/)[1.0*2( sekradS

iste frekvencije kao alias

]/[9.0*2] sekrad = ~ije se vremenski diskretne vrijednosti ne mogu razlikovati od vremeski diskretnih vrijednosti komponente sa frekvencijom 0.1[Hz].

Sl. 2.1 Vremenski diskretne vrijednosti signala sa frekvencijama 0.1[Hz] i 0.9[Hz] su jednake ako je perioda odabirawa T=1[sek]

3

Digitalni sistemi upravqawa

Predfiltri (antialiasing filtri) U realnim situacijama se pojavquju problemi zbog toga {to signali koji se koriste u digitalnoj obradi ~esto imaju spektar koji nije jednak nuli za frekvencije koje su ve}e od Nikvistove frekvencije, odnosno za koje nisu zadovoqeni uslovi iz teoreme odabirawa. Problem je te`i u slu~ajevima kada se u mjernom signalu pojavquju komponente smetwi VF karaktera. Zbog toga se u najve}em broju slu~ajeva mora koristiti filtrirawe signala prije wegove A/D konverzije. Iako se mnogi senzori realizuju sa ugra|enim filtrima, wihove karakteristike naj~e{}e ne garantuju naprijed navedene uslove. Iz tih razloga se kao predfiltri naj~e{}e koriste analogni filtri tipa propusnika NF i reda koji se bira u skladu sa zahtijevanim slabqewem na Nikvistovoj frekvenciji i dozvoqenim transpornim ka{wewem koje ovakav filtar unosi u sistem upravqawa. Propusni opseg

filtra P se bira da bude nekoliko puta mawi od Nikvistove frekvencije. Pri tome ako je presje~na frekvencija poja~awa sistema ve}a od P /10 tada se u sintezi regulatora mora uzeti u obzir i dinamika predfiltra. Po{to je izlaz D/A konvertora po dijelovima konstantna funkcija vremena, u sistemima koji imaju slabo prigu{ene oscilatorne modove, mogu}a je pojava slabo prigu{enih oscilacija. Iz tih razloga se ~esto u sistem poslije D/A konvertora tako|e ume}e odgovaraju}i analogni postfiltar. Analiza pomo}u vremenski diskretnih modela

Poznato je da, za kontinualni sistem dat jedna~inama stawa i izlaza

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxdt

tdx

+=+=

(2.12)

u slu~aju ulaza koji je dat sa ,),()( TkTtkTkTutu +

Digitalni sistemi upravqawa

Vremenski diskretni modeli za sisteme sa transportnim ka{wewem Za razliku od kontinualnih sistema sa trasportnim ka{wewem za koje su modeli u prostoru stawa neograni~enih dimenzija, odgovaraju}i vremenski diskretni modeli imaju kona~an broj promjenqivih stawa. Pretpostavimo da je model kontinualnog sistema sa trasportnim ka{wewem dat sa

)()( += tButAxdtdx

(2.16)

i da je za po~etak transportno ka{wewe mawe od jedne periode odabirawa T. Ako je dato stawe sistema x(kT) u trenutku t=kT tada je

+ + +=+ TkTkT

tTkTAAT dttBuekTxeTktx )()()( )( (2.17) Kada se u(t) dobija na izlazu kola zadr{ke nultog reda (to jest

) tada je i zaka{weni izlaz po dijelovima konstantne vrijednosti. Integral u (2.17) se mo`e podijeliti na dva dijela kako slijedi

,),()( TkTtkTkTutu +

Digitalni sistemi upravqawa

i da zbog potrebnih izra~unavawa zakona upravqawa postoji ka{wewe od jedne periode odabirawa T. U op{tem slu~aju kada postoji trasportno ka{wewe vrijednosti d perioda odabirawa sistem se mo`e predstaviti blok dijagramom kao na Sl 2. 2.

Sl. 2. 2

u(n)

xk+d xk+2 xk+1 (z)

y(n) (n)z-1z-1z-1

Dio sistema dat blokom (z) (Sl. 2.2) se mo`e predstaviti modelom u prostoru stawa

)()()1( nuFnExnx (+=+ (2.24) pri ~emu vektor stawa ima k komponenti. Uvode}i nove promjenqive stawa kao izlaze blokova z-1 (ka{wewe za jednu peridu T ), kako je nazna~eno na Sl. 2. 2,

)()1(

)()1()()1(

32

1

nunx

nxnxnunx

dk

kk

k

=+

=+=+

+

++

+

L

(

(2.25)

model kompletnog sistema na Sl. 2. 2 se mo`e napisati u obliku

)()()1( nuFnxEnx +=+ (2.26) gdje su vektori i matrica u (2. 26) dati sa

[ ]Tdkkk xxxxx ++= LL 11

=

=dd

OF

OFE

E i pri ~emu su

=

=

1

00

,,

0000

01000010

ML

LLL

dd

Ako je par [ potpuno kontrolabilan, tada je i par ]FE, [ ]FE , tako|e potpuno kontrolabilan. U razmatranom primjeru, modelu (2.23) odgovara vremenski diskretan model

[ ] )(01)(),(2/)(10

1)1(

2

nxnynuT

Tnx

Tnx =

+

=+ ( (2.27)

pa kada se uzme u obzir ka{wewe od jedne periode odabirawa T, dobija se model (2.21) u kome su

#

=

=

100

,000

102/1 2

FTTT

E

Odziv izm trenutaka odabirawa Na bazi vrijednosodabirawbazi rje{

e|u vremenski diskretnih modela za kontinualnti promjenqivih stawa i izlaza u vremenskia. Pona{awe odziva izme|u trenutaka odabirawewa za vektor stawa za teku}i interval vremeni sistem, mogu}m razmacima od a je tako|e mogu}

a. Naime, pretposte je odrediti jedne periode e odrediti na avqaju}i da je

6

Digitalni sistemi upravqawa

stawe kontinualnog sistema u trenutku t=kT bilo x(kT) i da je ulaz u sistem definisan prema

,),()( TkTtkTkTutu +

Digitalni sistemi upravqawa

gdje kontura integracije obuhvata sve singularitete od Y(z). U slu~aju kada je u jedna~ini izlaza u (2.32) D =0, tada je jedini~ni impulsni odziv (za impuls jedini~ne amplitude u t=0 i trajawa jedne periode odabirawa) na izlazu dat sa