Dinámica de la ondículasEcuación de Schrödinger

Física 3 -2018Facultad de Ingeniería UNMDP

• Tal como hemos encontrado en la diapositiva anterior los anchos espaciales y espectrales de las variables conjugadas son tales que.

2

1 kx

2

1 t

Posición / vector de onda k y frecuencia /tiempo se conocen con el nombre de variables conjugadas

De la segunda de ellas podemos ahora enterder porque debemos pagar mas dinero para poder navegar, descargar informaciòn y videos de internet ràpido.

•Navegar/descargar màs ràpido significa que por unidad de tiempo (ej x seg) debemos recibir mas bits en nuestra PC. Esto implica que cada bit (pensado ahora como un pulso regctangular ) debe ser mas angosto esto es su ancho Dt debe ser menor por ende Dw debe ser mayor ( debemos entonces contratar mayor ancho de banda!!)

Ancho spectral (REPASO CLASE ANTERIOR)Curiosidades

• Las desigualdades de Heisenberg son una consecuencia importante de la dualidad onda-partícula de la materia y la radiación y es inherente a su naturaleza cuántica. Una de las desigualdades postula, que la posición y el momento de un objeto no están definidos con exactitud simultáneamente.

2

hpx x

2

htE

Posición / momento Energía / tiempo

Posición / momento y Energía /tiempo se conocen con el nombre de variables conjugadas

Dos consecuencias importantes de las desigualdades de Heisenberg son:

•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico•La incerteza es inherente al dominio cuántico y nada tiene que ver con la interacción con los instrumentos de medición o la intervención del observador

Desigualdades de Heisenberg (REPASO)Conocido como principio de incertidumbre

• Aplicando la hipòtesis de De Broglie a las desigualdades planteadas en la filmina anterior obtenemos las llamada DESIGUALDADES DE HEISENBERG conocidas tambièn como principio de incertidumbre de Heisenberg

Debemos buscar una ecuación para modelar la dinámica de las ondículas

F=macomo consecuencia de las desigualdades de Heisenberg

•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico

2

2

2

2 ),(),(

t

txE

x

txEoo

2

p

f

V

kV

Pues

¿Entonces?

Ecuación de onda clásica

2

2

2

2 ),(),(

t

txE

x

txEoo

Ecuación de Onda Simetrías

2

2

)()( xxx

x -x

Inversión espacial (reflexión)

t -t 2

2

)()( ttt

Inversión temporal

Soluciones

)(),(

)(),(

)(),(

tkxietxE

tkxCostxE

tkxSentxE

kck )(

Relacion de dispersión

)(2

2

xVm

PE

Energía de una partícula en 1D

Ecuación de Schödinger dependiente del tiempo

)(2

22

xVm

k

)(exp),( tkxitx ti

2

22

x

Solución

)(

2 2

22

xVxmt

i

Ecuación de Schrödinger en 1D

EPlanck

khp De Broglie

),( tx Función de onda compleja de variable real

que representa el estado de la ondícula

La ecuación de Schrödinger dependiente de tAlgunos comentarios

• La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo describe la dinámica de una ondícula, no relativista (esto es con masa en reposo no nula y velocidad mucho menor que c)

• La ec. de Schrödinger dependiente del tiempo es una ecuación diferencial a derivadas parciales en x y t . A diferencia de la ecuación de onda clásica, es de primer orden en el tiempo. En este sentido se corresponde con la forma de una ecuación del tipo de difusión que modela un proceso irreversible.

• Sus soluciones son funciones complejas de variable real y de cuadrado integrable a diferencia de las correspondientes a la ecuación de onda clásica donde la parte real e imaginaria son soluciones.

Ahora conocemos la ecuación que describe la dinámica de una partícula

en 1D pero el precio que debemos pagar es que sus soluciones (estado

de la ondícula) son funciones complejas de variable real (no las

podemos medir directamente).

Solución

Postulado (Interpretación de Born): La densidad de probabilidad de

encontar una partícula en un pequeño intervalo de longitud δx entorno del

un punto x en un tiempo t es igual a

2 2

0( , ) ( , ) d

bb

xx a a

x t x x t x

2( , )x t x

Dado que Ψ(x,t) es una función compleja de variable real. Cómo

se corresponde con una medida fisica sobre el sistema?

Recordemos que en las OEM: el número de fotones por unidad de volumen es proporcional a la energía electromagnética por unidad de volúmen, por lo tanto, a cuadrado de la intensidad del campo electromagnético.

Así la probabilidad total de encontrar a la

partícula entre dos posiciones a y b es

a b

|Ψ|2

x

δx

Max Born

Interpretación de la función de ondaInterpretación de Born

2 *

Conservación del flujo de probabilidadOtras propiedades interesantes

)(

2 2

22

xVxmt

i

*

2

*22*

)(2

xVxmt

i

tJ

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo admite, por ser de

segundo orden, dos soluciones linealmente independientes. Dado que

éstas son complejas entonces:

Si es solución, , su conjugada compleja, también lo es.),( tx ),(* tx

(1) (2)

Notemos que es posible a partir de (1) y (2) construir una ecuación para el |(x,t)|2,

simplemente multiplicando miembro a miembro (1) por * y (2) por .

2|),(| tx

xxm

iJ

**

2

Pantalla

detectora

Flujo incidente de partículas coherentes, o luz

sind

D

θ

y

1

2

1 2

1 2

2 2 2 * *

1 2 2 1

Término correspondiente a las “partículas” usuales

Término de interferencia

Reintrerpretando la interferencia de

doble rendija

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación

Si el potencial es independiente del tiempo

2 2

2i ( )

2V x

t m x

h

h

El lado izquierdo de la ecuación sólo involucra la variación Ψ con t.

El lado derecho sólo involucra la

variación de Ψ con x.

Proponemos asi una solución donde x y t

son independientes( , ) ( ) ( )x t x T t

Sustituyendo:

, ( )V x t V x

2 2

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2x T t V x x T t i x T t

m x t

h

h

2 2

2 2( ) ( ) ( )

dx T t T t

x dx

2 2

2( )

2

d dTT V x T i

m dx dt

hh

Las ecuaciones son a derivadas totales

2 2

2

1 1( )

2

d dTV x i

m dx T dt

h

h

Dividiendo ambos miembros por ψT

Note que el lado izquierdo de la Ec(3) depende sólo de x, mientras que el derecho sólo depende de t.Dado que esto es cierto para todo x y t ambos miembros debe ser iguales a una constante A. Así

2 2

2( )

2

d dTT V x T i

m dx dt

hh

1 dTi A

T dth

2 2

2

1( )

2

dV x A

m dx

h

(3)

Da cuenta de la evolución temporal

Determina la dependencia espacial

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoContinuación

/( ) iEtT t ae h

1 dTi A

T dth

dT iAT

dt

h

/( ) iAtT t ae h

1 dTi A

T dth

2 2

2

1( )

2

dV x A

m dx

h

• Esto nos dice que la energía controla la evolución temporal del sistema.• Note que T(t) no depende explícitamente de V(x). Sí depende implícitamente dadoque el potencial como muestra (3) determina los valores posible de E.

(4) (5)

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoEvolución temporal

2 2

2

d( )

2 dV x E

m x

h

Usando que A = E en la Ec(5):

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT)

Note que la densidad de

probabilidad no depende

del tiempo

2 * / /

2*

, , ( ) ( )

( ) ( ) ( )

iEt iEtP x t x t x e x e

x x x

h h

/( , ) ( ) ( ) ( ) iEtx t x T t x e hLa solución de la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como:

Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

ExVm

P

)(

2

2

EH

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoSoluciones de la ESIT en potenciales constantes por partes

2 2

2

d( )

2 dV x E

m x

h

02'' k )]([2

xVEm

k

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Puede ser reescrita como

(6) donde

Notemos que (6)es una ecuación diferencial de 2do orden. Para el caso en que V(x) sea constante podemos usar la función de prueba =exp(-ax) y así hallar su polinomio

característico

022 ka siendo las raices características ika Encontramos que (6) tiene dos posibles soluciones según sus raices caracteristicas

sean reales o imaginarias

)exp()exp()( ikxBikxAx (7)

(6)

)exp()exp()( xDxCx

VEVEm

k ;][2

EVEVm

;][2

Note que estas soluciones son la prolongación analítica una de la otra para k=+/- i

V(x)

X

Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0

Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)

E

X1 X2 X3 X4 X5 X6

E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)

Movimiento de una partícula clásica en un potencial 1DZonas clásicamente permitidas y prohibidas en un potencial de forma arbitraria

Notemos que una partícula clásica en este caso se encuentra confinada a moverse entre los puntos de retorno xi sólo en la regiones donde E>=V(x), esto es donde tiene Ec>=0.

No existen soluciones para las regiones donde V(x) >E, por lo tanto son inaccesibles

Note que para que la partícula pase de la región [x1,x2] a la [x3,x4] debe ganar una energía extra mayor a Vmax[x2,x3] - E

V(x)

x

E

Ondícula en un potencial 1D Escribimos las soluciones de la ESIT para un potencial constante por partes

Notemos que la solución de la ESIT(6) para las ZCP (k >=0), se escriben como una combinación lineal de exponenciales imaginarias

SORPRESA!! Existe solución de la ESIT(6) para las ZCX. Estas presentan valores de k imaginarios y se escriben como una combinación lineal de exponenciales reales

)exp()exp()( xikBxikAx jjjjj )exp()exp()( xDxCx lllll

][2

2EV

mll

ZCP ZCP

ZCX ZCX ZCX

Solución general para cada ZCXSolución general para cada ZCP

dónde][2

2 jj VEm

k

dónde

Debemos escribir la ESIT para cada zona

122

1

2 2

EV

m

dx

dj

jj

jEV

m

dx

d

22

22

V(x)

x

E

Interpretando las soluciones de la ESIT para las ZCPFlujos

)exp()exp()( xikBxikAx jjjjj ZCP ZCP

ZCX ZCX ZCX

Solución general para cada ZCP

][2

2 jj VEm

k

dónde

Recordemos que de la ESDT pudimos derivar la conservación del flujo de probabilidad. t

J 2|),(| tx

xxm

iJ

**

2

dónde y

Dado que trabajamos con soluciones de estado estacionario tenemos que

)exp()(),( Eti

xtx

Por lo tanto 22 |)(||),(| xtx 0 Jy

Esto es, el flujo de partículas se conserva para todo x.

izq

l

der

lll

ll

lll

l jjBm

kA

m

kBA

m

kj 2222 ||||||||

Así podemos calcular le expresión para el flujo para la ZCPl

y obtenemos

Condiciones de continuidad de la función de onda en las discontinuidades de potencial

02'' k )(2

2

'' VEm

Note que el comportamiento de la derivada 2da queda determinado por la diferencia (E-V) . De modo que en las discontinuidades del potencial pueden presentarse los siguientes casos:

'' '

’’ discontinua de 1er orden

)('' 0

x)('' 0

x)(' 0

x)(' 0

x

’ continua

continua

)('' 0

x)('' 0

x )(' 0

x)(' 0

x

continua’’ discontinua de 2do orden ’ discontinua de 1er orden

)('' 0

x

)('' 0

x

V(x)

X=0

E

Escalón de PotencialAplicaciones de la ESIT

ZCP ZCP

x

Procedimiento metodológico para encontrar la/s solucione/s de la ESIT

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialUbicar los puntos de discontinuidad. Enumerar las zonas. Tenemos así tantas Zonas como discontinuidades +1. Tendremos así tantas ESIT y soluciones como zonas hayamos contado.

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaVemos como es la energia E respecto al potencial para cada zona, determinando si se trata de una ZCP(E>V) [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos)] o una ZCX [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales reales].

3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Evaluamos el cambio que experimenta la energía respecto del potencial en cada punto de discontinuidad y según corresponda aplicamos las condiciones de continuidad correspondiente.

V=V0

Modelo

V(x)

X=0

E

Escalón de PotencialCálculo para E>V0

ZCP ZCP

x

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.

V=V0

P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?

R:Que las partículas experimenten un cambio en la Ec (y por lo tanto en su velocidad). Disminuye en caso que las partículas viajen de izquierda a derecha o aumente en caso que lo hagan en sentido contrario.

Veamos ahora que ocurre con las ondículasSiguimos el procedimiento que propusimos anteriormente

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V para todo x, entonces las zonas 1 y 2 son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas en la zona 1 y 2 son distintas mkmPEc ii 22

222

)(2

,0 022 VEm

kx

)exp()exp()( 222 xikDxikCx donde

)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em

kx21

2,0

donde

El análisis efectuado hasta el momento ha sido suficientemente general al punto que aún no hemos definido desde donde inciden las ondículas. Nótese que si inciden de la izquierda en esta caso representa en flujo de incidente. En este caso no tiene sentido físico el flujo . Por lo tanto podemos reescribir las CC.

Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación)

V(x)

X=0

EZCP ZCP

x

V=V0

3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua.

2

1 ||)( Amk

CkkAk )(2 211

)0()0( 21 )0(')0(' 21 y

DCBA )()( 21 DCikBAik y

Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene

BkkAkk )()( 2121

2

2 ||)( Dmk

Donde R se conoce con el nombre de coeficiente de reflexión y T se conoce como coeficiente de transmision. R+T=1 expresa la conservación del flujo de probabilidad.

Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación 2)

V(x)

X=0

E

A C

x

V=V0

oTransmitidreflejadoincidente JJJ

TRAk

Ck

A

B

J

J

J

J

incidente

trasmitido

incidente

reflejado 1;||

||

||

||1;1

2

1

2

2

2

2

Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que

)0()0( 21 JJ 2

2

2

1

2

1 ||)(||)(||)( CmkBmkAmk B

Ondículas incidentes

Ondículas Transmitidas

Ondículas reflejadas

Sorpresa!!. No teniamos esto en el caso clásico

Dado que se conoce el flujo incidente dividiendo miembro a miembro por este se obtiene

Piense acerca de este razonamiento y trate de sacar conclusiones.

Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de reflexión y transmisión

V(x)

X=0

E

A C

x

V=V0

Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión

B

MUY INTERESANTE: Note que tanto R(E) como T(E) no dependen ni de m (la masa de la partícula) ni de h la constante de Planck. Es decir que este resultado debería ser aplicable a un electrón, un protón, un mosquito, un tren... Y por supuesto también Ud!!

2

0

2

0

2

12

2

12

2

2

)(

)(

)(

)(

||

||

EVE

EVE

kk

kk

A

BR

T k2 | C |2

k1 | A |2

4k1k2

(k2 k1)2

4 E(E V0)

( E V0 E )2

Note que a diferencia de lo que se espera clásicamente T=1 solo si E>>V0

CURIOSIDAD: Note que tanto R(E) como T(E) son simétricos frente ante un cambio de x -> -x, esto es, permutar k1 con k2. Por lo tanto las ondículas experimentan el mismo cambio tanto al subir como al bajar el escalón.

V(x)

X=0

E

Escalón de PotencialCálculo para E<V0

ZCP ZCX

x

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.

V=V0

P:Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?

R:Que las partículas reboten todas en x=0 y regresen hacia la izquierda.x=0 es un punto de retorno clásico

Veamos ahora que ocurre con las ondículasSiguimos el procedimiento que efectuado anteriormente

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaE es mayor que V para x<0 entonces la zona 1 corresponde a una ZCP. La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). En el caso de la zona 2 E<V (ZCX) La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales reales.

)(2

,0 02EV

mx

)exp()exp()(2 xDxCx donde

)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em

kx21

2,0

donde

En este caso no cabe duda que que las ondículas deben incidir desde la izquierda. Nótese que si inciden de la izquierda, nuevamente que representa el flujo incidente.

Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación)

V(x)

X=0

E

ZCP ZCX

x

V=V0

3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto la derivada 1era es continua y la función

)0()0( 21 )0(')0(' 21 y

DBA DBAik )(1y

Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene

)exp()exp()(2 xDxCx Notemos que |2 (x) |2 representa la probabilidad de encontrar a la partícula para x>0 y se debe cumplir que

0

2

2 |)(| dxx )exp()exp()(2 xDxCx debe ser finita, entoncesC=0

2

1 ||)( Amk

Escalón de Potencial (E<V)Cálculando el coeficiente de reflexión y transmisión

V(x)

X=0

E

A

x

V=V0

Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión

B

1||

||

||

||2

1

2

1

2

2

ik

ik

A

BR

T J2

J1

0

Note que obtenemos lo que se espera clásicamente R=1 y T=0

Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que

)0()0( 21 JJ 2

1

2

11 ||)(||)( BmkAmkJ

xxm

iJ

*

22

2*

222

Dado que 2 es real J2=0

Longitud de penetración

De las desigualdades de Heisenberg

oE E V ;

Escalón de Potencial (E<V)Interpretando la solución en la ZCX

2***

22 ))1(exp()2exp(),(),( DDxDDtxtx

para )(2

//1 02EV

mx

Una ondícula en el Escalón de Potencial (E<V)Reflexión de la ondícula.

Ecuación de SchrödingerBarrera de potencial y Efecto tunel

X=0

Barrera de PotencialCálculo para E>V0

x

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres so,cuines de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .

P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?

R:Que las partículas experimenten una disminución de la Ec (y por lo tanto en su velocidad) en el intervalo[0,a]. Y que vuelva a aumentar la Ec nuevamente. Esperaríamos que todas las partículas atraviesen esta región del potencial.

Veamos ahora que ocurre con las ondículasSi seguimos el procedimiento que propusimos anteriormente

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V para todo x, entonces todas las zonas son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas en la zona 1,3 y 2 son distintas mkmPEc ii 22

222

)(2

,0 022 VEm

kax )exp()exp()( 222 xikDxikCx donde

)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em

kx21

2,0

donde

X=a

V(x) E

ZCP1ZCP2

V=V0

ZCP3

)exp()exp()( 113 xikFxikEx Em

kx21

2,0

donde

Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E>V0 (Continuación)

3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0,x=a) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua.

)0(')0('

)0()0(

21

21

)(')('

)()(

32

32

aa

aa

y

)()( 21 DCikBAik

DCBA

Especializando en x=0 ,obtenemos

DkkCkkAk )()(2 21211

V(x) E

ZCP1 ZCP2

V=V0

ZCP3

))exp()exp(())exp()exp((

)exp()exp()exp()exp(

112222

1122

aikGaikFikaikDaikCik

aikGaikFikDikC

Especializando en x=a ,obtenemos

[1]

[2]

[3]

[4]

k1[1] +[2]

DkkCkkBk )()(2 21211 k1[1] - [2]

)exp()()exp()()exp(2

)exp()()exp()()exp(2

12112122

12112122

aikGkkaikFkkaikDk

aikGkkaikFkkaikCk

k2[3] +[4]

k2[3] - [4]

Análogamente repitiendo la operación en x=a , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 2 y el correspondiente en la zona 3:

Operando con las CC en x=0 , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 1 y el correspondiente en la zona 2:

[5]

[6]

Barrera de PotencialConservación del Flujo de probabilidad

Si determinamos que las ondículas inciden de la izquierda en esta caso entonces. El flujo no tiene sentido físico . Operando adecuadamente con éstas ecuaciones obtenemos .

2

2 ||)( Gmk

V(x) E

V=V0

A

B

AA C F

D G

V(x) E

V=V0

AB

AA C FD G A

B

F

21 ||)( Am

kJ inc

21 ||)( Bm

kJ ref

21 ||)( Fm

kJ trans

V(x)

)0()0( 21 JJ 2

2

2

2

2

1

2

1 ||)(||)(||)(||)( DmkCmkBmkAmk

)()( 32 aJaJ 2

1

2

1

2

2

2

2 ||)(||)(||)(||)( GmkFmkDmkCmk

V(x) E

V=V0

AB

AA C FD G

Si calculamos el flujo de probabilidad en cada uno de los puntos de discontinuidad del potencial obtenemos:

Notemos que los flujos de la zona 2 conectan a los de la zona 1 y 3 respectivamente .

2

2

||

||

A

B

J

JR

incidente

reflejado 2

1

2

2

||

||

Ak

Fk

J

JT

incidente

otransmitid

El coeficiente de reflexión R y el de transmisión T, resultan en este caso.

Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E>V0

A partir de las ecuaciones [5],[6] podemos obtener una relación entre A y F de modo de calcular el coeficiente de transmisión T. Despejando C y D de [6] y reemplazándo en [5] se obtiene

22

221221

22

2

2

1 |||2)(2|||16 FaSenkkikaCoskkkAkk

De esta expresión puede calcularse de manera directa T y se obtiene:

akSenkk

kkA

FT

2

2

2

21

2

1

2

2

2

2

21

1

||

||

Note en este caso que al igual que en el escalón de potencialT(E)=1 si E >>V0, esto es cuando k1 >>k2. CURIOSIDAD:Note que tambien T(E) =1 si

nak 2 22 na 0

2

2

2 2 VmkEn nak 2 22 na

[7]

Barrera de PotencialCálculo para E<V0

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .

P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?

R:Si las partículas inciden de izquierda a derecha esperamos que el punto x=0 sea un punto de retorno clasíco donde las partículas rebota y vuelven al mismo medio.

Veamos ahora que ocurre con las ondículasSeguimos el procedimiento usual para resolver el problema

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V en las zonas 1 y 3, estas serán ZCP y La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Note que en este caso la Ec de las zonas 1 y 3 son las mismas y por ende los k1=k3.En el caso de la zona 2 como el potencial es mayor que la E se trata de una ZCX

202)(

2,0 ikEV

max

)exp()exp()(2 xDxCx donde

)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em

kx21

2,0

donde

)exp()exp()( 113 xikFxikEx Em

kx21

2,0

donde

X=0 xX=a

V(x)

E

ZCP1ZCX

V=V0

ZCP3

NOTE!! Que en este caso dado que la ZCX (zona 2) es de dimensión finita a, los coeficientes

C y D en 2 pueden ser ambos distintos de cero manteniendo finita

0

2

2 |)(| dxx

Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E>V0 (Continuación)

3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0,x=a) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua como ocurrió en el caso en que E>V

)0(')0('

)0()0(

21

21

)(')('

)()(

32

32

aa

aa

y

)()(1 DCBAik

DCBA

Especializando en x=0 ,obtenemos

DikCikAk )()(2 111

))exp()exp(())exp()exp((

)exp()exp()exp()exp(

112

11

aikGaikFikaDaC

aikFaikFaDaC

Especializando en x=a ,obtenemos

[8]

[9]

[10]

[11]

k1[8] +[9]

DikCikBk )()(2 111 k1[8] - [9]

)exp()()exp()()exp(2

)exp()()exp()()exp(2

1111

1111

aikGikaikFikaD

aikGikaikFikaC

k2[10] +[11]

k2[10] - [11]

Análogamente repitiendo la operación en x=a , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 2 y el correspondiente en la zona 3:

Operando con las CC en x=0 , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 1 y las soluciones en la zona 2:

[12]

[13]

X=0 xX=a

V(x)

E

ZCP1 ZCX

V=V0

ZCP3

Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E>V0

A partir de las ecuaciones [12],[13] y suponiendo que las ondículas inciden por la izquierda(G=0) podemos obtener una relación entre A y F de modo de calcular el coeficiente de transmisión T. Despejando C y D de [11] y reemplazándo en [10] se obtiene:

22

1

22

1

22

1

2 |||4)(2|||16 FaChkiaShkAk De esta expresión puede calcularse de manera directa T .

aShk

kA

FT

2

2

1

2

1

22

2

21

1

||

||

Note que en el caso en que si E >>V0 o a >>1 (esto es el potencial de la barrera es grande repecto de la energía o la barrera es ancha) Entonces a>>1 el coeficiente de transmisión tiene una forma exponencial decreciente.

)2exp(2

||

||2

2

1

2

1

2

2

ak

k

A

FT

22 ||)2exp(|| AaF

A

B F

SORPRESA!! Las ondículas tienen una probabilidad finita de transmitirse a través

de la barrerra. Este fenómeno se conoce como EFECTO TUNEL

NOTA: Es posible obtener [14] a partir de [7] simplemente reemplazando k2 =i. Por qué?

[14]

aeV

E

V

ET 2

00

116

Efecto tunel con fotones. Analogía con OEM

• Si se hace pasar luz através de un prisma como el

que se muestra en la figura con un ángulo mayor al

ángulo crítico la luz se refleja en la superficie interna

ocurriendo el fenómeno conocido como reflexión total

interna frustrada. Sin embargo, el campo

electromagnético en la proximidad de la superficie

reflectorano es exactamente cero. Si se coloca otro

prisma muy cerca del primero se encuentra que una

OEM (luz) aparece en el segundo prisma. Se conoce

a la solución de la ecuación en la proximidad de la

superfice del primer prisma con el nombre de onda

evanescente.Se encuentra que la intensidad de la

OEM que se propaga en el segundo prisma decrece

exponencialmente con la distancia entre ambos

prismas (Efecto tunel de fotones!!)

Aplicaciones y evidencias del efecto tunel (EF) Decaimiento alfa,fusión nuclear, microscopía de efecto tunel STM

El efecto tunes ha tenido muchas aplicaciones tecnológicas especialemente

en la electrónica, por ejemplo, el diodo tunel en el cual se produce un flujo de

electrones por efecto tunel controlando la altura de la barrera mediante ;a

aplicación de un potencial externo

• En 1973 el premio Nobel de física se le otorgó al el físico japonés Leo Esaki

(por la aplicación de la teoria de ET a heteoestructuras semiconductoras),

Ivar Giaever (por la aplicación a superconductores) y Brian Josephson (la

aplicación a la juntura Josephson, que describe un artefactu de conmutación

rápida basado en EF)

• En 1986 Gerd Binning y Heinrich Rohrer ganaron el premio Nobel por el

desarrollo del microscopio de efecto tunel STM

• Pero el debut de la tería de efecto tunel fué en el dominio de la físca nuclear

en la explicación del decaimiento alfa (Georg Gamow, Ronald Gurnay, Sir

Edward U. Condon).

Microscopía de efecto tunel STM

Se utilizan tres barras de cuarzo para regsitrar la topografía de una superficie semi/condutora por medio de una sonda muy

fina (un átomo)Se estable una diferencia de potencialentre el material y una fina punta detungsteno. Cuando la distancia entre lapunta y la superficie conductora ES pequeña, se entablece una corriente entre lasuperficie y la punta por ET. El nro deelectrones que fluyen desde la superficiepor unidad de tiempo (corriente tunel) esmuy sensible a la distancia entre la puntay el material.

Principio de operación

Las barras de cuarzo forma un un soporte piezoeléctrico, dado que suspropiedades elásticas dependen de la tensión aplicada. Un circuitoelectrónico sensa la corriente La magnitud de la corriente y con estomantiene constante la distancia entre la punta y la superficie y lapunta. Asi la punta se mueve hacia arriba y hacia abajo siguiendo elcontorno de la superficie generando un mapa topográfico de lasuperfice a escala atómica.

Si(111) reconstrucción (7x7) Si(110) reconstrucción (2x1).

Terrazas, islas y huecos

Microscopía de efecto tunel STMObservando y manipulando el paisaje a escala atómica

Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E=V0

X=a

V(x)

EZCP1 ZCX

V=V0

ZCP3

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .

Veamos ahora que ocurre con las ondículas en este caso

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V en las zonas 1 y 3, estas serán ZCP y La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Note que en este caso la Ec de las zonas 1 y 3 son las mismas y por ende los k1=k3.En el caso de la zona 2 como el potencial es igual a E se trata de una ZCX

ax 0DCxx )(2 dado que

)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em

kx21

2,0

donde

)exp()exp()( 113 xikFxikEx Em

kx21

2,0

donde

NOTE!! Que en este caso dado que la ZCX (zona 2) es de dimensión finita a, los coeficientes

C y D en 2 pueden ser ambos distintos de cero

0)(22

2

xdx

d

Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E=V0

Nuevamente suponiendo que las ondículas inciden por la izquierda (G=0) podemos obteneruna relación entre A y F. Notemos que en este caso no es necesario repetir todo el procedimiento dado que las solución en el caso de E<Vo es la prolongación analítica de lascorrepondiente a E>V0 . Por lo tanto la solución en el caso E=Vo puede obtenerse en el límitede cualquiera de éstas evaluando:

0)(2

limlim 0200 EV

mVEVE

2

12

2

1

2

1

202

2

0

21

1

21

1lim

||

||lim)(

0

ak

aShk

kA

FVET VE

Note que en el caso podemos obtener T(E) a partir de [14] tomando el límite arriba propuesto.

DCxxQxPxQxPx )1()1()exp()exp()(02

Qué ocurre si a>>1 es decir que transforma la barrera en un escalón?

Potencial delta de DiracLa función Delta de Dirac es una distribución o función generailzada, que se define como"límite distribucional" de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones fn(x) converge distribucionalmente cuando:

0

0

00

)(xx

xxsixx

Ecuación de Shrodinger con un potencial tipo delta de Dirac.

1)( 0

dxxx

)()()( 00 xFdxxxxF

)()()()(2 2

22

xExxPxdx

d

m

)(lim)]()()(2

[lim

0

0

02

220

0

0 xExxPxdx

d

m

)]()()([2

lim)]0()0([lim

0

0

0

0

20

''

0 xEdxxxPm

)0(2

)0()0( 2,12

'

1

'

2 mP

Definición:

Propiedad importante que utilizaremos en nuestros cáculos:

Condiciones de continuidad de derivada para la delta de Dirac:

Barrera de potencial tipo delta de Dirac

x

P(x)En este caso tenemos una potencial tipo delta de Dirac. Notemos que en este caso el problema admite soluciones para E> 0 y son

E>0

Operando algebraicamente 3 y 4 podemos expresar fácilmente A y B en función de C y D

Em

kxikxBikxAx21

2,0),exp()exp()(

Em

kxikxDikxCx22

2,0),exp()exp()(

Soluciones de la ESIT

)0()0( 21

)0(2

)0(')0(' 2,1212 mP

[1]

[2]

)(2

)()(2

DCmP

BAikDCik

DCBA

[3]

Aplicamos las condiciones de contorno en x=0 que es la única discontinuidad

[4]

1 2

k

mPQ

D

C

iQiQ

iQiQ

B

A21

1

Pozo de potencial tipo delta de DiracCálculo del coficiente de transmisión y reflexión

Para el caso en que las ondículas inciden de izquierda a derecha

Asi concluimos que el potencial tipo delta de Dirac divide al espacio en dos mitades y el coeficiente de transmisión y reflexión son distintos de 1 y 0 respectivamente

2

22

2

2

22

2

21

1

||

||

21

1

||

||

mP

EA

BRy

E

mPA

CT

Ondas de MateriaEstados ligados

Pozo de potencial de paredes infinitas

Consideremos una partícula confinada en una región de tamaño

finito –a<x<a por dos barreras de potencial infinito

x

Dado que e potencial es infinito en las zonas 1 y 3 la solución en

la de la ESIT es cero indicando que la ondícula esta confinada a

la región [0,a]

V V V(x)

0 a

0V

Solución general:

ZCX 1 ZCX 3ZCX 2

0,0)(1 xxE

mkaxikxBikxAx

22

2,0),exp()exp()(

axx ,0)(3

En este caso la solución en la ZCP2 debe conectarse a las soluciones reales en la ZCX1,3. Dado que no hay flujo en la ZCX1,3 resulta que el flujo en la ZCP2 J2=0.

)exp(0)|||(| 22

2 iBABAm

kJ

Continuidad de ψ en x = 0:

Continuidad de ψ en x = a:

Dado que la discontuidad del potencial es infinita en x=0 y

x=a la derivada primera es discontinua en dichos puntos

Pozo de potencial de paredes infinitas

0)exp()exp( ikaBikaA

)0()0( 21

)()( 32 aa

0 BA

nkakaASen 0)(

2

2222

82 ma

nhE

m

kE n

)()( x

a

nASenxn

[1]

Usando [1] tenemos que A= -B resulta que

Dado que la ondícula tiene solo energía cinética en la ZCP resulta que

Sorpresa la energía no puede tomar cualquier valor. ES DISCRETA!!

Pozo de potencial de paredes infinitasPor qué el espectro de energía es discreto?

)(2

)("2

VEm

x

nkakaASen 0)(

2

2222

82 ma

nhE

m

kE n

)()( x

a

nASenxn

Para comprender la naturaleza discreta del espectro de energía de la ondícula confinada entre dos zonas clásicamente prohibidas, note que la energía cinética de la

ondícula

está relacionada con la curvatura (derivada segunda) de la función de onda. Dado que la solución debe ser continua en los puntos de discontinuidad entonces no cualquier

curvatura de la función puede ajustar a las soluciones en las ZCX de modo continuo y por lo tanto no cualquier energía es posible para la ondícula con lo que el espectro de

energía es de naturaleza discreta

Dado que la partícula se haya confinada en la región [0,a]. Así la probabilidad de encontrarla en dicho intervalo es igual a uno

axxa

nASenxn 0),()(

1)(|||)(|1|)(|0

22

0

2

2

2

dxxa

nSenAdxxdxx

aa

aA

2

Pozo de potencial de paredes infinitasNormalización de la solución

1|)(|)( 2

dxxxP

Usando las soluciones obtenidas en el paso anterior y reemplazando en la integral podemos calcular el valor de A (constante de normalización)

Reemplazando obtenemos

)(2

)( xa

nSen

axn

Soluciones de la ESIT Densidad de probabilidad

Note que la probabilidad para el estado fundamental |1| es máxima en el centro, mientras que para |2| es cero en el centro. Significa esto que la partícula nunca pasa por el centro?

( )x2

( )x

)(2

)(1 xa

Sena

x

)2

(2

)(2 xa

Sena

x

)3

(2

)(3 xa

Sena

x

2

2

18ma

hE

12 4EE

13 9EE

Pozo de potencial de paredes infinitasGraficamos las soluciones

2

3 |)(| x

2

2 |)(| x

2

1 |)(| x

Es interesante verificar que la densidad de probabilidad: xa

nSen

axn

22 2

|)(|

en el límite en que n y teniendo en cuenta que el valor medio de 2

12 xSen

Se recupera la probabilidad clásicaa

xPcl1)( Principio de correspondencia

• El espectro de energía es discreto. Se dice que la energía está cuantificada. Esta es una caracteristica general de los problemas con estados ligados, esto es donde la ondícula está confinada a una región finita del espacio.

• Los niveles de energia están asociados con un número cuántico n (entero) y está relacionado con el número de nodos (n-1) de la función de onda y la energia de la ondicula en dicho estado con la curvatura de la función de onda.

• El nivel mas bajo de energia del sistema se conoce con el nombre de estado fundamental y esta próximo al límite establecido por las desigualdades de Heisenberg

Pozo de potencial de paredes infinitasResumen

Se reduce la barrera de potencial a una altura finita V0

V(x)

x

-a a

V0

1 2 3

Zona 1 Zona 2 Zona 3

Pozo de potencial de de paredes finitasSoluciones de la ESIT

)exp()exp()(3 qxGqxFx )exp()exp()(1 qxBqxAx )exp()exp()(2 ikxDikxCx 0 0

ZCPZCX ZCX

)exp()(1 qxAx )exp()(3 qxGx

))(()())(()( imparxxparxx

)()( xVxVNotemos que como La ESIT es invariante ante una reflexión espacial

esto es xx de modo que las soluciones

)(2

02

2 EVm

q

)(2

02

2 EVm

q

Em

k2

2 2

01 J 03 J ,0),exp(||||0 22

2 iDCDCJ

Soluciones pares Soluciones impares

Pozo de potencial de de paredes finitasSoluciones pares e impares

)()( 31 xx

|)|exp()(|| xqAxax

Notemos que usando los argumentos de paridad reducimos el número de coeficientes

de cuatro a dos. Por lo tanto cuando planteamos las condiciones de contorno y dada lasimetría del potencial solo será necesario hacerlo en uno de los dos puntos de

discontinuidad x=-a o x=a, simplificando así el problema de resolver un sistema de 4x4 a dos simples sistemas dos 2x2 uno para las soluciones pares y otro para las impares

)()( xx )()( 22 xx

GA DC

)()(|| kxCCosxax

)()( 31 xx

|)|exp()sgn()(|| xqAxxax

)()( xx )()( 22 xx

GA DC

)()(|| kxCSenxax

x a x a )()( 21 aa

Pozo de potencial de de paredes finitasCondiciones de contorno

)(')(' 21 aa )()( 32 aa

)(')(' 32 aa Tal como adelantamos usando los argumentos de paridad y utlizando las soluciones

pares e impares , solo es necesario evaluar las condiciones de contorno en una de las discontinuidades. Hagámoslo por ejemplo en x=a [2]

Soluciones pares Soluciones impares

[1] [2]

CCoskaqaA )exp(

kCSenkaqaqA )exp(

CSenkaqaA )exp(

kCCoskaqaqA )exp(

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos

Energías para las soluciones pares

tanq k ka cotq k ka

Energías para las soluciones impares

Los valores de las energías pueden obtenerse resolviendo numéricamente estas ecuaciones o bien en forma gráfica. Presentamos a continuación esta forma de solución

Las energías de soluciones pares corresponden a las intersecciones de las curvas azul y roja(siempre existe al menos una)

Las energias de las soluciones impares corresponden a las intersecciones de las curvas azul y verde

Pozo de potencial de paredes infinitasEspectro de energia

Espectro continuo q imaginario

Espectro discreto q>0q=0

•Todos los estados de energía tienen una curvatura menor que los correpondientes

al pozo de paredes infinitas dado que la ondícula puede penetrar en las zonas

clásicamente prohibidas conforme V0 – E disminuye.

•El número de estado ligados depende de la profundidad del pozo,

sin embargo encontramos que siempre existe aún cuando el potencial

sea muy pequeño

•En el límite V0→∞:

Recuperamos los energias correspondientesal pozo de paredes infinitas

•El espectro de energía es discreto para E<Vo y continuo para E>V0

20

nkasolucionesk

Pozo de potencial de paredes infinitasResumen

Pozo de potencial tipo delta de Dirac

)0()0( 21

)0(2

)0(')0(' 2,1212 mP

[1]

[2]

Condiciones de contorno y cálculo de la energía

Note que de [1] surge que A=D. Usando esto en [2] obtenemos que

2

2

2 2

22

mP

EmP

[3]

La ec [3] nos dice que el pozo tipo delta de Dirac tiene solo un estado ligado cuya energía depende de la magnitud del potencial P (peso de la delta) y de la masa de la

ondícula. Esto es a mayor |P| mayor es la curvatura de la función de onda y más localizada se encuentra

Curiosidad!!. Note que el valor de la energía calculado en la ec [3] coincide con el polo del coeficiente de transmisión calculado en la transparencia anterior.

Note también que la discontinuidad en la derivada según [3] crece con |P|

Aplicamos las condiciones de contorno en x=0 que es la única discontinuidad

Potencial doble delta de Dirac

0,)(2

,),exp()(21 EconEm

axxAx

0,)(2

,),exp()(23 EconEm

axxEx

dxx |)(| 3,1

Un módelo simple de molécula diatómica homopolar

Note que podemos explotar la simetría del potencial para evitar tener que plantear las condiciones de contorno en x=-a y x=a respectivamente. Recordemos que por ser de

simetría par el potencial (x)=(-x) y (x) =-(-x) son soluciones de la ESIT Así obtenemos.

Aplicamos las condiciones de contorno en x=a que es la única discontinuidad

xZCX 1 ZCX2

-P(x+a)

E>0

E<0 xZCX3

-P(x-a)

Nuevamente hemos aplicado la condición de

normalización a las soluciones de la ZCX1 y 3

)(2

,||),exp()exp()(22 Em

axxDxCx

Solución par

|x|<=a|x|>=a

|)|exp()( xAxout xDChxin )(

Solución impar |)|exp()sgn()( xAxxout xDShxin )(

Potencial doble delta de Dirac

0,)(2

,),exp()(21 EconEm

axxAx

0,)(2

,),exp()(23 EconEm

axxEx

dxx |)(| 3,1

Condiciones de contorno y cálculo de la energía

Note que podemos explotar la simetría del potencial para evitar tener que plantear las condiciones de contorno en x=-a y x=a respectivamente. Recordemos que por ser de

simetría par el potencial (x)=(-x) y (x) =-(-x) son soluciones de la ESIT Así obtenemos.

Aplicamos las condiciones de contorno en x=a que es la única discontinuidad

xZCX 1 ZCX2

-P(x+a)

E>0

E<0 xZCX3

-P(x-a)

Nuevamente hemos aplicado la condición de

normalización a las soluciones de la ZCX1 y 3

)(2

,||),exp()exp()(22 Em

axxDxCx

Solución par

|x|<=a|x|>=a

|)|exp()( xAxout xDChxin )(

Solución impar |)|exp()sgn()( xAxxout xDShxin )(

Potencial doble delta de DiracSoluciones, probabilidad y enlace covalente

Manipulando algebraicamente [1,2] es posible calcular la energía

xZCX

1ZCX2

-P(x+a)x

ZCX3

-P(x-a)

Función de onda (Orbital enlazante) correspondiente a la solución par. Su energía es

menor que la de cada orbital por separado yNote que tiene un probabilidad no nula en el centro

(enlace covalente)

Condición de contorno para la solución par en x=a

)()( aa inout aAeaDCh

)(2

)(')(' ,2a

mPaa outininout

aa AemP

aDChAe

2

2

2

2

2)1

2()1

2(

mPa

QyaxconQ

xe

a

mPaath x

[1]

[2]

2x/Q-1

2x

x

Valor de la energía correspondiente al estado par(Fundamental) dado que tiene la menor curvatura

Potencial doble delta de DiracSoluciones, probabilidad y enlace covalente. Cont

Manipulando algebraicamente [3,4] es posible calcular la energía

xZCX

1ZCX2

-P(x+a)x

ZCX3

-P(x-a)Condición de contorno para la solución impar x=a

)()( aa inout

)(2

)(')(' ,2a

mPaa outininout

aAeaDCh aa Ae

mPaDChAe

2

2

2

2

2)

21()1

2(

mPa

QyaxnuevamenteQ

xe

a

mPaacth x

[3]

[4]

Función de onda (Orbital antienlazante) correspondiente a la solución impar. Note que tiene

probabilidad nula en el centro

1-2x/Q

Valor de la energía correspondiente al orbital antielazante. Note que es módulo menor (menos negativa)que la correspondiente al

orbital ligantedado que tiene mayorcurvatura