초등수학 하탐구차례6-1( ) - m1239.com%C7%CF)%C5%BD%B1%B8-%B8%C… · 생활속의수학생활속의수학 읽을거리 읽을거리 제 강제5강555 11..1.구부러진복도를지날수있는

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초등수학 하 탐구 차례초등수학 하 탐구 차례초등수학 하 탐구 차례초등수학 하 탐구 차례6-1( )6-1( )6-1( )6-1( )

제 강제 강제 강제 강5555 원주율과 원의 넓이원주율과 원의 넓이원주율과 원의 넓이원주율과 원의 넓이 3333

제 강제 강제 강제 강6666 비율그래프비율그래프비율그래프비율그래프 25252525

제 강제 강제 강제 강7777 비례식비례식비례식비례식 41414141

제 강제 강제 강제 강8888 연비와 비례배분연비와 비례배분연비와 비례배분연비와 비례배분 63636363

생활 속의 수학생활 속의 수학생활 속의 수학생활 속의 수학 읽을거리읽을거리읽을거리읽을거리

제 강제 강제 강제 강5555구부러진 복도를 지날 수 있는구부러진 복도를 지날 수 있는구부러진 복도를 지날 수 있는구부러진 복도를 지날 수 있는1.1.1.1.

가장 큰 식탁의 모양과 넓이가장 큰 식탁의 모양과 넓이가장 큰 식탁의 모양과 넓이가장 큰 식탁의 모양과 넓이원주율 구하기원주율 구하기원주율 구하기원주율 구하기1.1.1.1.

제 강제 강제 강제 강6666짧은 시간에 어떻게 그 많은 사짧은 시간에 어떻게 그 많은 사짧은 시간에 어떻게 그 많은 사짧은 시간에 어떻게 그 많은 사1.1.1.1.

탕을 다 세었을까탕을 다 세었을까탕을 다 세었을까탕을 다 세었을까????그래프를 사용하는 이유그래프를 사용하는 이유그래프를 사용하는 이유그래프를 사용하는 이유1.1.1.1.

제 강제 강제 강제 강7777시계의 일부분만으로 시각 알아시계의 일부분만으로 시각 알아시계의 일부분만으로 시각 알아시계의 일부분만으로 시각 알아1.1.1.1.

내기내기내기내기비례식과 과학적인 근거비례식과 과학적인 근거비례식과 과학적인 근거비례식과 과학적인 근거1.1.1.1.

제 강제 강제 강제 강8888최대 몇 개월 동안 새 신발을최대 몇 개월 동안 새 신발을최대 몇 개월 동안 새 신발을최대 몇 개월 동안 새 신발을1.1.1.1.

신을 수 있겠는가신을 수 있겠는가신을 수 있겠는가신을 수 있겠는가????

우리나라 국회의원의 비례대표 의석수우리나라 국회의원의 비례대표 의석수우리나라 국회의원의 비례대표 의석수우리나라 국회의원의 비례대표 의석수1.1.1.1.

와 비례배분와 비례배분와 비례배분와 비례배분

수학에 대한 생각이 바뀝니다. 수학 원리탐구수학 원리탐구수학 원리탐구수학 원리탐구 www.m1239.co.kr4

초등수학 하 탐구초등수학 하 탐구초등수학 하 탐구초등수학 하 탐구6-1( )6-1( )6-1( )6-1( )

제 강 원주율과 원의 넓이제 강 원주율과 원의 넓이제 강 원주율과 원의 넓이제 강 원주율과 원의 넓이5555 5

제 강 원주율과 원의 넓이제 강 원주율과 원의 넓이제 강 원주율과 원의 넓이제 강 원주율과 원의 넓이5555


원주와 원주율원주와 원주율원주와 원주율원주와 원주율1.1.1.1.

원주 원의 둘레의 길이(1) :

원주율 원의 지름의 길이에 대한 원주의 비율(2) :

원주율을 정확하게 계산하면 ⋯와 같이 끝없는 소수로 나타난다.

이것을 간단히 나타내기 위하여 소수 셋째 자리에서 반올림하여 를 사용한다 중학교.

단계가 되면 간단히 파이 를 사용한다( ) .

원주 구하기원주 구하기원주 구하기원주 구하기2.2.2.2.

원주(1) ( ) 지름( )× × 반지름( )×

원 모양이 한 바퀴 굴러간 거리는 원의 원주와 같다.

원 모양의 물체를 굴렸을 때 움직인 거리( ) 물체가( 바퀴 움직인 거리)× 바퀴 수( )

물체의 원주( )× 바퀴 수( )

원의 넓이 구하기원의 넓이 구하기원의 넓이 구하기원의 넓이 구하기3.3.3.3.

원을 한없이 잘라 서로 엇갈리게 붙이면 원의 넓이는 그림과 같이 직사각형 또는 평(1) (

행사변형 의 넓이와 같다) .

원의 넓이(2) ( ) 원주의( )× 반지름( )

지름( )× 원주율( )× × 반지름( )

반지름( )× 반지름( )× 원주율( ) 반지름( )× 반지름( )×

원의 넓이를 이용하여 원의 반지름을 구할 수 있고 원주를 이용하여 원의 넓이를 구(3) ,

할 수 있다.



부채꼴의 호의 길이와 넓이부채꼴의 호의 길이와 넓이부채꼴의 호의 길이와 넓이부채꼴의 호의 길이와 넓이4.4.4.4.

부채꼴의 호의 길이(1)

원의 일부분을 자른 모양인 부채꼴의 호의 길이를 구하려면 부채꼴의 중심각을 알아야

한다 부채꼴의 중심각과 부채꼴의 호의 길이 사이에는 비례 관계가 있다. .

즉 원주( ) : 부채꼴의 호의 길이 부채꼴의 중심각 이므로( ) : ( )

부채꼴의 호의 길이( ) 원주( )×부채꼴의중심각

부채꼴의 넓이(2)

원의 일부분을 자른 모양인 부채꼴의 넓이를 구할 때에는 원의 넓이를 이용한다.

부채꼴의 중심각과 부채꼴의 넓이 사이에는 비례 관계가 있다.

즉 원의 넓이, ( ) : 부채꼴의 넓이 부채꼴의 중심각 이므로( ): ( )

부채꼴의 넓이( ) 원의 넓이( )×부채꼴의중심각


1111 탐구예제탐구예제탐구예제탐구예제

반지름의 길이가 인 굴렁쇠를 운동장에서 바퀴 굴렸다면 굴렁쇠가 굴러간 거,

리는 몇 인지 구하여라.

답:

굴렁쇠가 바퀴 굴러간 거리는 굴렁쇠의 둘레의 길이와 같다.

그러므로 굴렁쇠 둘레의 길이 굴렁쇠의 지름( )=( )× ××

굴렁쇠가 운동장을 바퀴 굴러갔으므로 그 거리는, ×

유제유제유제유제 1111

지름이 인 바퀴와 전체 길이가 인 벨트가 그림과 같이 연결되어 돌고 있다 바.

퀴가 바퀴 돌면 벨트는 몇 바퀴 돌겠는가, ?




수돌이네 가족은 지름이 인 원 모양의 피자를 한 판 시켜서 똑같은 크기로

조각을 내었다 피자 한 조각의 둘레의 길이를 구하여라. .

답:

피자 한 판의 둘레의 길이는 지름이 인 원의 원주와 같으므로 × 피자를

똑같은 크기로 조각을 냈으므로 원주도 조각의 수만큼 나누어지게 된다, .

따라서 피자 한 조각의 둘레의 길이는 ÷ 이다.


원짜리 동전이 바퀴 굴러간 거리를 원짜리 동전은 바퀴 반을 굴러가야 한다

고 한다. 원짜리 동전의 반지름의 길이가 라고 할 때, 원짜리 동전의 반지

름을 구하여라.



반지름이 인 원에 길이가 인 실을 연결하여 원을 한 바퀴 돌리면 다음 색칠

한 부분과 같은 도형이 그려진다 색칠한 부분의 넓이를 구하여라 단 원과 실은 겹치. .( ,

는 부분이 없다고 한다.)

답:

해 색칠한 부분의 넓이를 구하는 것이므로 가장 바깥쪽 원의 넓이에서 안쪽 원의 넓이를 빼면( 1) ,

된다 이 때 안쪽 원의 반지름은. , 이며 바깥쪽 원의 반지름은 실의 길이 원의 지름, ( )+( )=

× 가 된다.

반지름( 인 원의 넓이)=××

반지름( 인 원의 넓이)=××

따라서 색칠한 부분의 넓이( )= 이다.

해 색칠한 부분의 넓이는 색칠한 부분의 중앙의 원둘레에 색칠한 부분의 폭을 곱하는 것과 같( 2)

다 따라서. × ×× 이다.


다음 도형에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.




그림에서 네 원의 반지름은 모두 이고 사각형의 네 꼭짓점은 각각 네 원의 중심일,

때 색칠한 부분의 넓이의 합은 얼마인지 구하여라, .

답:

사각형의 네 각의 크기의 합은 이므로 원의 색칠하지 않은 부분의 합은 원 하나의 넓이와

같다 따라서 네 원의 넓이의 합에서 한 원의 넓이를 빼는 것과 같으므로 세원의 넓이의 합을 구.

하면 된다 색칠한 부분의 넓이의 합은. ××× 이다.


그림에서 색칠된 부채꼴의 반지름은 모두 이다 각. 의 크기가 일 때 세,

부채꼴의 넓이의 합은 몇 인가?



다음 정사각형에서 색칠한 부분의 넓이는 몇 인지 구하여라.

답:

해( 1) 부분의 넓이는 기존의 정사각형을 등분하여 의 넓이에서 반지름이

인

원을 제외한 부분이 개이므로 다음과 같다.

× ××× ×

해 정사각형의 넓이에서 반지름이( 2) 인 원의 넓이를 제외한 부분이 배

이므로 다음과 같다.

× ×××


직사각형에서 색칠한 부분의 넓이는 몇 인지 구하여라.




탐구마트에서 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥 모양의 음료수 캔을 다음과 같이

두 가지 방법으로 개씩 테이프로 묶어서 판매를 하려고 할 때 다음 물음에 답하여라, .

방법 과 방법 의 테이프의 길이를 각각 구하여라(1) ( 1) ( 2) .

방법 과 방법 중에서 어느(2) ( 1) ( 2)

방법으로 묶는 것이 몇 를 절약할

수 있는지 구하여라.

방법 방법( 1) ( 2)

답 방법: (1) ( 1): 방법( 2): 방법 가(2) ( 2) 절약

방법 캔의 원기둥 한 바퀴와 반지름(1) ( 1) 개의 길이의 배이므로 길이는 다음과 같다.

×× ×

방법 캔의 원기둥 한 바퀴와 반지름( 2) 개의 길이이므로 길이는 다음과 같다.

×× ×

따라서 방법 가(2) ( 2) 절약된다.


그림과 같이 밑면의 반지름이 인 원통 개를 끈으로 묶는다면 필요한 끈의 길이를,

구하여라 단 끈을 묶는 데 사용한 매듭의 길이는.( , 이다.)



지름이 인 원이 있다 이 원이 한 변이. 인 정삼각형의 둘레를 한 바퀴 돌 때,

원이 지나간 자리의 넓이를 구하여라.

답:

이므로 삼각형의 꼭짓점에 있는 도형은 원의

이고,

각 꼭짓점에 있는 개를 합치면 반지름이 인 원이다.

반지름이 인 원과 가로가 세로가, 인 직사각형

개의 넓이의 합이다.

원이 지나간 자리의 넓이( ) ×× ×× 이다.


반지름이 인 원이 있다 이 원이 한 변이. 인 정사각형의 둘레를 한 바퀴 돌 때,

원이 지나간 자리의 넓이를 구하여라.



종합문제종합문제종합문제종합문제>>>>>>>>

1.1.1.1. 유리구슬을 바퀴 굴렸더니 굴러간 거리가 다음과 같았다 이 유리구슬을 회전축을.

포함한 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이를 구하여라.

2.2.2.2. 다음 도형에서 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.

3.3.3.3. 수돌이네 학교에 있는 대형 시계의 시침의 길이는 이고 분침의 길이는, 이

다 분침이 시계를 한 바퀴 도는 동안 시침이 움직인 넓이와 분침이 움직인 넓이의 차를. ,

구하여라.


4.4.4.4. 밑면의 둘레의 길이가 인 왼쪽 원뿔을 회전축을 품은 평면으로 잘랐을 때 생

기는 단면의 넓이는 얼마인가?

5.5.5.5. 원 모양의 호수 둘레에 간격으로 말뚝을 세웠더니 모두 개가 되었다 호수.

의 넓이는 얼마인지 구하여라 단 호수의 말뚝 사이의 간격은 없는 것으로 생각한다. ( , .)

6.6.6.6. 그림에서 반지름 인 원과 직사각형 의 넓이가 같을 때 색칠한 부분의 넓,

이를 구하여라.



7.7.7.7. 다음 그림과 같이 직사각형과 원이 겹쳐져 있다 겹쳐진 부분의 넓이가 직사각형의 넓.

이의

이고 원의 넓이의,

일 때 원의 지름의 길이를 구하여라, .

8.8.8.8. 다음은 가로 세로가 각각, 인 직사각형 안에 반지름이 인 원의 일부를

그린 것이다 색칠된 부분의 넓이는 몇. 인가?

9.9.9.9. 수돌이네 학교 운동장에는 폭이 인 트랙이 그림과 같이 그려져 있다 이 트랙의.

둘레의 길이를 구하여라.


10.10.10.10. 다음은 밑면의 둘레의 길이가 인 원기둥 모양의 유리병을 상자에 담은 후 위

에서 본 모양대로 그린 것이다 색칠되지 않은 부분의 넓이를 구하여라 단 유리병의 두. . ( ,

께는 생각하지 않는다.)

11.11.11.11. 다음 그림은 직사각형의 한 변이 원의 중심을 지나도록 직사각형과 원을 겹쳐 놓은

것이다 다음 물음에 답하여라. .

(1) 의 둘레의 길이는 몇 인지 구하여라.

(2) 의 넓이는 의 넓이의 배이다 이때. 는 몇

인지 구하여라.

12.12.12.12. 다음 그림은 반지름이 인 원 위에 꼭짓점이 놓이도록 정사각형을 그리고 그,

정사각형의 각 변의 중점을 연결하여 정사각형을 그린 것이다 그림에서 색칠된 부분의.

넓이는 몇 인지 구하여라.



13.13.13.13. 그림과 같이 지름이 인 원 안에 개의 크기가 같고 서로 꼭 맞닿아 있는 모양의

작은 원을 그렸다 색칠되지 않은 부분의 넓이를 구하여라. .

14.14.14.14. 다음 그림의 나팔꽃 무늬에서 원 의 반지름의 길이는 이고 점, 는

원주를 네 등분하는 점일 때 어두운 부분에 대하여 다음 물음에 답하여라, .

어두운 부분의 둘레의 길이를 구하여라(1) .

어두운 부분의 넓이를 구하여라(2) .

15.15.15.15. 그림은 한 변이 인 정사각형의 둘레에 원의 일부분을 이어 만든 것이다 색칠한.

부분의 둘레의 길이를 구하여라.


16.16.16.16. 다음 그림에서 삼각형 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이고 선분, 의

길이는 선분 의 길이와 같다 점. 는 선분의 한가운데 점일 때, 의 둘레의 길이

와 의 둘레의 길이의 차를 구하여라.

17.17.17.17. 반지름이 인 원이 있다 이 원이 직선 위에서. 바퀴 굴러 이동하였다 이 때 원. ,

이 지나간 자리의 넓이를 구하여라.



탐구문제탐구문제탐구문제탐구문제>>>>>>>>>>>>

1.1.1.1. 다음 그림과 같이 직선 위의 선분 를 지름으로 하는 반원을 회전 시켜 처음과

같은 모양이 될 때 점, 가 움직인 선을 그리고 그 길이를 구하여라 단 반원. ( , 의 반

지름의 길이는 이다)

2.2.2.2. 반지름이 인 큰 원 안에 세 개의 원이 있다. 세 원의 반지름의

길이의 비가 이고 색칠한 부분의 넓이가, 일 때 원, 의 넓이를 구하여

라.


3.3.3.3. 그림은 직각삼각형 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 그린 것이다 색칠한 부분.

의 넓이를 구하여라.

4.4.4.4. 다음 그림과 같이 평면 위에 한 변이 인 정사각형 개와 반지름이 인 색칠

된 원이 있다 색칠된 원이 정사각형의 변에 닿으면서 점. 에서 점 까지 갈 때 원이,

지나간 부분의 넓이는 몇 인지 구하여라.



사고력 퀴즈와 퍼즐사고력 퀴즈와 퍼즐사고력 퀴즈와 퍼즐사고력 퀴즈와 퍼즐[ ][ ][ ][ ]

아리스토텔레스와 원둘레 길이아리스토텔레스와 원둘레 길이아리스토텔레스와 원둘레 길이아리스토텔레스와 원둘레 길이1.1.1.1.

아리스토텔레스는 다음과 같이 원의 둘레 길이는 모두 같다고 하였다.

그림과 같이 큰 수레바퀴 안에 작은 원이 있다 이“ .

수레바퀴를 한 바퀴 굴려보면 에서 까지 움직인

다 또한 안쪽에 있는 작은 원도 한번 돌면서. 에서

까지 움직이므로 원의 둘레 길이는 모두 같다.”

이 주장에 무엇이 잘못되었을 지를 다음 그림의 큰

정사각형 안에 작은 정사각형 가 있는

정사각형을 한 바퀴 굴린 그림을 통해서 건너뛴 부분을 구하는 과정을 기호로 나타내어

라.

작은 정사각형(1) 가 에서 까지 가는 동안 건너뛴 거리

작은 정사각형(2) 가 에서 까지 가는 동안 실제로 구른 거리

수레와 같은 원에서는 왜 거리가 같아 보이는가(3) ?

수레가 한 바퀴 돈거리[ ]

정사각형이 한 바퀴 돈거리[ ]


생활 속의 수학생활 속의 수학생활 속의 수학생활 속의 수학[ ][ ][ ][ ]

구부러진 복도를 지날 수 있는 가장 큰 식탁의 모양과 넓이구부러진 복도를 지날 수 있는 가장 큰 식탁의 모양과 넓이구부러진 복도를 지날 수 있는 가장 큰 식탁의 모양과 넓이구부러진 복도를 지날 수 있는 가장 큰 식탁의 모양과 넓이1.1.1.1.

한 잉꼬부부는 새로 생긴 주택가의 멋진 아파트로 이사를 하게 되었다 그런데 이사를.

하던 날 그들은 새 집으로 들어가는 길이 그림과 같이 직각으로 구부러진 긴 복도를 지

난 것 밖에 없다는 것을 알고 당황했다 그들이 가장 귀중히 여기는 아름답고 고풍스러.

운 대리석 식탁이 복도를 통과할 수 없었기 때문이다 그러나 마침내 가구전문 이삿짐센.

터의 일꾼은 그 식탁을 똑같은 모양의 두 부분으로 분해하였다 이 구부러진 복도를 지.

날 수 있는 가장 큰 식탁의 모양과 넓이는 어떤 것이었을지 설명해 보아라.



읽을거리읽을거리읽을거리읽을거리[ ][ ][ ][ ]

원주율 구하기원주율 구하기원주율 구하기원주율 구하기1.1.1.1.

원은 어떤 반지름의 원을 그려도 언제나 같은 모양이다 따라서 원의 둘레의 길이와 지.

름의 길이와의 비는 원의 크기에 관계없이 항상 같게 되는데 이 비의 값이 바로 원주율,

이다 즉 원주가 지름의 길이의 몇 배가 되는지를 나타내는 것이다. , .

아래 그림과 같은 방법으로 원주율을 구해보자 원에 외접하는 정사각형을 그리면 그 둘.

레는 원의 지름의 배가 되고 내접하는 정육각형을 그리면 그 둘레는 원의 지름의, 배

가 된다 원의 둘레는 정육각형의 둘레보다 크고.

정사각형의 둘레보다 작으므로 지름의 배보다 크

고 배보다 작다 즉 원주율이. , 보다 크고 보다

작다는 것을 알 수 있다.

역사상 처음으로 원주율을 소수 둘째 자리까지 정확하게 구한 사람은 그리스의 수학자

아르키메데스였다 그는 그의 저서 원의 측정에 관해에서 원주율의 범위를. ‘ ’

보다 크

고

보다 작다는 것을 밝혔는데 이들은 소수로 고치면 두 수는 소수 둘째 자리까지,

일치하며 가 된다.

원주율은 파이 라고도 쓰는데( ) 는 그리스어의 원주라는 단어의 머리글자이며, 를 처

음 사용한 사람은 스위스의 수학자이자 물리학자인 오일러(~ 다) .

년 월 일에 일본 도쿄대학교의 가네다 교수는 컴( , Yasumasa Kanada)金康

퓨터를 시간 분 사용하여 소수점 조 억의 자릿값까지 구하였고, 년 일본

쓰크바 대학의 계산과학연구 센터에서 슈퍼컴퓨터에 의한 원주율 계산에서 조 억

만 자릿값까지 구하였다.

원주율은 ⋯처럼 소수점 아래 수가 반복되지 않고 끊임없이 이어지는 소수

다 앞으로도 계속해서 더 많은 원주율의 소수점 아래 수를 찾기 위한 도전은 계속될 것.

으로 보이나 그 용도는 아직까지는 무의미하나 앞으로 어디에 쓰일지 궁금하다.

원주율( ) 원주( )÷ 지름( )

원주( ) 지름( )× 원주율( )


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