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《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
1
长 安 大 学 教 案 第 7 次课 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□
主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）：
§2-7 信号流程图
一、信号流图及其术语
二、信号代数运算法则
三、根据微分方程绘制信号流图
四、根据方框图绘制信号流图
五、信号流图梅逊公式
§2-8、控制系统的传递函数
一、系统传递函数
二、系统误差传递函数
§2-9 用 Matlab 处理控制系统的数学模型
一、概述
二、用 Matlab 处理系统的数学模型
三、传递函数模型
四、建立零极点形式的传递函数模型
五、框图的串联、并联和反馈连接
教学目的要求：
一、掌握信号流图的组成与建立方法；
二、熟练运用梅逊公式求取系统的传递函数；
三、掌握闭环系统的各种传递函数概念及求取方法；
教学方法和教学手段：
教学方法：讲授
教学手段：板书与多媒体相结合
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
2
讨论、思考题、作业：
习题 2-11，2-12，2-13
参考资料：
① 胡寿松. 自动控制原理: 第 5 版. 北京：科学出版社，2007
② 邹伯敏 .自动控制理论 : 第 3 版. 北京：机械工业出版社，2007
③ (美)R. C. Dorf, (美)R. H. Bishop. Modern Control Systems: Tenth Edition. 英
文影印版. 北京：科学出版社, 2005
④ 胡寿松. 自动控制原理习题集: 第 2 版. 北京：科学出版社，2003
注：教师讲稿附后
§2-7 信号流程图
前面所讲的方框图对于数学模型表示和分析很有用处，但对于比较复杂的系统时，其变
换和化简过程往往显得繁琐而费时。本节介绍信号流程图，对于信号流图，可以通过梅逊公
式直接求得系统中任意两个变量之间的关系。
一、信号流图的基本概念
信号流程图是一种将线性代数方程用图形表示的方法。设线性方程组如下：
0 1 2
0 1 2
0
0
ax x bx
cx dx x
（2-7-1）
为了绘制信号流程图，将上面的方程组改写为因果关系式
1 0 2
2 0 1
x ax bx
x cx dx
（2-7-2）
式（2-7-2）可用图 2-7-1a 所示的信号流程图表示
或式（2-7-2）还可以改写为
1 0 2
2 0 1
1
1
cx x x
d da
x x xb b
（2-7-3）
它们对应的信号流程图分别为
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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a) b)
图 2-7-1 信号流程图
在信号流程图中，用符号 表示变量，称为节点。节点之间用有向线段连接，称为支路。
支路是有权的。通常在支路上标明前后两变量之间的关系，称为传输。
二、信号流图的组成要素及其术语
信号流图由节点和支路组成，如图 7-2-2
图 7-2-2 信号流程图
节点： 表示系统中的信号或变量。其值等于所有进入该节点的信号之和。
2 1 3
3 2 4
x x ex
x ax fx
4 3
5 2 4 5
x bx
x dx cx gx
支路：起于一个节点，终止于另一个节点，而这两个节点之间不包含或经过第三个节点。
用支路增益（传递函数）表示两个变量的因果关系，支路相当于乘法器，信号在支路上沿箭
头单向传递。
y ax
出支路：离开节点的支路
入支路：指向节点的支路
源节点：只有输出的节点，代表系统的输入变量。
汇节点（阱节点） ：只有输入的节点，代表系统的输出变量
源节点
混合节点：既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，引
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
3
出信号为输出节点。
通道：又称路径，从一个节点出发，沿着支路的箭头方向相继经过多个节点的支路。
开通道：如果通道从某节点开始，终止在另一个节点上，而且通道中每个节点只经过一
次。
前向通路：从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各
支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用 kp 表示。
回路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积
称为回路增益，用 Lk 表示。
不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路
三、信号代数运算法则
信号代数运算法则如图
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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四、根据微分方程绘制信号流图
取 Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作为信号流图的节点， Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点
dttiC
tu
R
tututi
dttitiC
tu
R
tututi
A
A
Ai
22
0
2
02
211
11
1
1
sIsC
sU
R
sUsUsI
sIsIsC
sU
R
sUsUsI
A
A
Ai
22
0
2
02
211
11
1
1
1
1 R
sUsUsI Ai
2
02 R
sUsUsI A
sIsIsC
sU A 211
1 sI
sCsU 2
20
1
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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五、根据方框图绘制信号流图
转换规则：
1、用支路代替方框中的环节，支路增益为环节的传递函数。
2、方框图中的信号用节点表示
3、综合点的符号在支路增益中体现
方块图转换为信号流图示例 1
方块图转换为信号流图示例 2
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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六、 信号流图梅逊公式
G —系统总传递函数
n
kkkPsG
1
1)(
Pk—第 k 条前向通路的传递函数（通路增益）
∆ —流图特征式 )()3()2()1()1(...1 m
m LLLL
)1(L —所有不同回路的传递函数之和
)2(L—每两个互不接触回路传递函数乘积之和
)3(L —每三个互不接触回路传递函数乘积之和
)(mL —任何 m 个互不接触回路传递函数乘积之和
∆k —第 k ∆条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式 ，将与第 k 条前向通路相接触的回
∆ ∆路传递函数代以零值，余下的 即为 k。
例 2-7-1 将图 2-7-4a 所示的系统框图化为信号流程图，并求系统闭环传递函数
一个前向通道的情况
a）
b）
图 2-7-4 例 2-7-1 中的系统图
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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一个前向通路 k=1
3211 GGGPRabcdC
三个单独回路
3213
1322
1211
GGGLabcdC
HGGLcdC
HGGLbcd
三个回路具有一条公共支路，相互接触
321232121321 11 GGGHGGHGGLLL
前向通路 1P，特征式的余因子 111
121232121
32111
1 GGGHGGHGG
GGGPG
sR
sC
只有一条前向通路
sCRsCRsCRsCRsCR
LLLLL
2211122211
21321
111111
1
11
1
1
11
2122112
2121
11
sCRCRCRsCCRR
PPPk
kk
多个前向通道的情况
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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三条前向通路 四个回路
7213
54612
543211
GGGPabcf
GGGGPabdef
GGGGGPabcdef
554324
25463
2722
141
HGGGGLbcdef
HGGGLbdef
HGGLbcf
HGLe
13
2
1
214321
1
1
1
1
L
LLLLLL
2721425432254627214
14721546154321
332211
1
)1(
)(1
)(
)(
HGGHGHGGGGHGGGHGGHG
HGGGGGGGGGGGGG
PPPGSR
sC
应用梅逊增益公式求传递函数的一般步骤：
（1）、确定前向通道数 n=？
（2）、计算各前向通道的增益 P1,P2,P3….
（3）、确定回路数，并计算
（4）、计算特征式∆
（5）、计算余子式∆k
（6）、计算传递函数
§2-8 控制系统的传递函数
一、系统的传递函数
系统传递函数方框图如图 2-8-1
图 2-8-1 控制系统方框图
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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反馈通道：C(s)到 B(s)的信号传递通路
前向通道：R(s)到 C(s)的信号传递通路
系统闭环传递函数：反馈回路接通后， 输出量与输入量的比值。
系统对控制量 R(s)的闭环传递函数 单独处理
系统对扰动量 N(s)的闭环传递函数 线性叠加
系统的开环传递数函数 ，系统工作在开环状态，反馈通路断开。如下图所示
系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积。
)()()()(
)()( 21 sHsGsG
sE
sBsGk
(反馈信号 B(s)和偏差信号 (s)之间的传递函数)
控制量 R(S)作用
假设扰动量 N(s)=0
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
sHsGsG
sGsG
sR
sCR
时1|)()()(| 21 sHsGsG )(
1
)(
)(
sHsR
sCR
时1)( sH )()(1
)()(
)(
)(
21
21
sGsG
sGsG
sR
sCR
扰动量 N(S)作用
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假设 R(s)=0
)()()(1
)(
)(
)(
21
2
sHsGsG
sG
sN
sCN
0)(
)(
1|)()(|
1|)()()(|
1
21
sN
sC
sHsG
sHsGsG
N
扰动的影响将被抑制!!!
控制量与扰动量同时作用
)]()()([)()()(1
)(
)()()()(1
)()(
)()()(1
)()(
)()()(
121
2
21
2
21
21
sNsRsGsHsGsG
sG
sNsHsGsG
sGsR
sHsGsG
sGsG
sCsCsC NR
二、系统误差传递函数
以误差信号 E(s)为输出量，以控制量 R(s)或扰动量 R(s)为输入量的闭环传递函数。如图
2-8-2 所示。
图 2-8-2 控制系统传递函数方框图
假设扰动量 N(s)=0
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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)()()(1
1
)()()(1
)()()(1
)(
)()(1
)(
)()()(
)(
)(
21
21
21
sHsGsG
sHsGsG
sHsGsG
sR
sHsC
sR
sHsCsR
sR
sER
扰动量 N(S)作用
假设 R(s)=0
)()()(1
)()(
)(
)(
21
2
sHsGsG
sHsG
sN
sEN
控制量与扰动量同时作用
)()()()(1
)()()(
)()()(1
1)(
21
2
21
sNsHsGsG
sHsGsR
sHsGsGsE
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
sHsGsG
sGsG
sR
sCR
)()()(1
1
)(
)(
21 sHsGsGsR
sER
)()()(1
)(
)(
)(
21
2
sHsGsG
sG
sN
sCN
)()()(1
)()(
)(
)(
21
2
sHsGsG
sHsG
sN
sEN
系统的闭环传递函数具有相同的特征多项式
sHsGsG 211
G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。
同一系统闭环传递函数的极点相同。
系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。
§2-9 用 Matlab 处理控制系统的数学模型
一、概述
Matlab 是 Matrix Laboratory 的缩写，它是由美国 Math Works 软件公司于 1984 年开发
的高级编程语言，经过不断地研究与改进，2002 年该公司又推出了功能更为完善的
Matlab6.5/Simulink5.0 版。与一般的高级编程语言相比，它具有编程方便、操作简单、图文
处理灵活等优点，是目前国际上应用 广泛的自动控制系统设计的软件工具之一。
Matlab 是一种交互式语言，可随时输入指令，即时给出运算结果。每一条指令输入后，
都必须按回车键，指令才会执行。用于控制系统分析的工具箱 Control Box 和对系统进行动
态仿真的软件包 Simulink 已被广泛应用于控制系统的分析与设计，它支持连续、离散及杂的
系统时，其简化和变换过程往往显得烦琐，还得分清比较点和引出点，一般二者不交换。因
此可采用信号流图，简单易绘制。两者混合的线性和非线性控制系统，并为用户提供了用框图进行
建模的图形接口，采用这种两种方法画系统的模型就像用笔和纸画图一样方便。
二、用 Matlab 处理系统的数学模型
控制系统的数学模型是对系统进行分析与设计的主要依据。用 Mablab 分析和设计控制
系统，必须掌握在 Matlab 中如何表示系统的数学模型。控制系统的 Matlab 表示主要有 4 种
形式：
（1）传递函数模型（tf 对象）
（2）零极点增益模型 ZPK 对象
（3）状态空间模型（SS 对象）---下学期讲授
（4）动态框图
三、传递函数模型
令系统的传递函数为
10 1 1
10 1 1
num( )( ) ,
den( )
m mm m
n nn n
b s b s b s bsG s n m
s a s a s a s a
在用 Matlab 建立传递函数时，需将分子与分母多项式的系数写成两个矢量形式，用 tf()函数给出，
即
Sys = tf(num, den)
例 2-9-1 试用 Matlab 表示下列传递函数
2
2( )
2 1
sG s
s s
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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解：键入 num=[1, 2]; % 分子多项式
den=[1, 2, 1]; % 分母多项式
sys=tf(num, den) % 求传递函数表达式。
四、建立零极点形式的传递函数模型
为了分析和设计上的需要，有时常把传递函数写成零极点的形式，即
1 2
1 2
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )m
m
K s z s z s zG s
s p s p s p
在 Matlab 中采用 ZPK(Z, P, K)函数给出相应零极点形式的传递函数。其中：
1 2[ , , , ]mZ z z z
1 2[ , , , ]mP p p p
[ ]K K
例 2-9-2 已知
2( )
( 1)( 3)
sG s
s s
试用 Matlab 建立系统的传递函数。
解：在命令窗口键入如下命令：
Z=[-2]; % 零点
P=[-1, -3]; % 极点
K=[1]; % 增益
sys=ZPK(Z, P, K]; %求零极点形式的表达式
运行结果为
Zero/pole/gain
2
( 1)( 3)
s
s s
如果需要将零极点形式的传递函数转换为一般的传递函数形式，只需再输入下面的两条
指令 [num, den]= ZP2tf(Z, P, K); % 将零极点形式的模型转化为传递函数模型。
sys=tf(num, den); % 求传递函数表达式。
结果为
Transfer function
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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^
2( )
2 4 3
sG s
s s
五、框图的串联、并联和反馈连接
（1）串联、并联连接
串联连接：sys=Series（G1*G2）
并联连接： sys=Parallel（G1，G2）
（2）反馈连接
反馈连接：sys=feedback（G1, G2, Sign）
例 2-9-3 已知
1 2
1( ) ,
( 1)G s
s
2
1( )
2G s
s
试用 Matlab 建立系统串联、并联和反馈连接的传递函数。
解： （1） 串联连接的传递函数
G1=tf(1, [1, 2, 1])
G2= tf(1, [1, 2])
sys=Series(G1*G2)
Transfer function
^ ^
1( )
3 4 2 5 2G s
s s s
（2） 并联连接的传递函数
G1=tf(1, [1, 2, 1])
G2= tf(1, [1, 2])
sys=Parallel(G1，G2)
Transfer function
《自动控制理论》 第二章 控制系统的数学模型
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^
^ ^
2 3 3( )
3 4 2 5 2
s sG s
s s s
（3） 反馈连接的传递函数
G1=tf(1, [1, 2, 1])
G2= tf(1, [1, 2])
sys=feedback(G1，G2)
Transfer function
^ ^
1( )
3 3 2 3 2
sG s
s s s
