Papp Ferenc

Ph.D., Dr.habil

Elmozdulás-módszer a mérnöki gyakorlatban

Tartószerkezetek statikája I.

tantárgy előadásait kiegészítő anyag különleges érdeklődésű hallgatók

számára

Győr 2014

1. A nyomott rúdelem merevsége 1.1 A mereven befogott rúdelem 1.1.1 Az elfordítási merevség Határozzuk meg a 1a ábrán látható mereven befogott nyomott-hajlított rugalmas rúdelem elfordítási merevségét, ha a rúdelem keresztmetszete (A, EI) és a rúdelemre ható P nyomóerő állandó. A rúdelem két végét jelöljük j és k betűkkel. Legyen a rúd j végének elfordítása (befogással együtt) θj. Az elfordításhoz az állandó P nyomóerő mellett Mj és Mk rúdvégi nyomaték és V nyíróerő tartozik. Határozzuk meg a θj rúdvégi elfordításhoz tartozó Mj és Mk nyomatékokat és a V nyíróerőt!

1. ábra. A nyomott-hajlított rúdelem elfordítási merevségének meghatározása:

a) modell; b) egyensúlyi feltétel.

A feladat megoldása érdekében helyezzük a rúdelemet az (x;z) koordináta rendszerbe. Legyen w=w(x) a meggörbült rúd z irányú elmozdulását (görbe alakját) leíró függvény. Írjuk fel a rúdelem egyensúlyi egyenletét az x koordináta által meghatározott pontra (1b ábra):

0xVMwP''wEI j =⋅−+⋅+⋅ (1)

A (1) egyenletben EI⋅w” a rúd görbületéből származó belső nyomaték. A V nyíróerő ismert, mert kifejezhető a külső nyomatéki egyensúlyi feltételből:

L

MMV kj +

= (2)

Osszuk el EI-vel a (1) egyenletet, használjuk fel a (2) kifejezést, és vezessük be a EI

P2 =κ

paramétert:

EI

Mx

L

MM

EI

1w''w jkj2 −⋅

+⋅=⋅+κ (3)

A (3) hiányos inhomogén differenciálegyenlet megoldása ismert:

k θj

Mj

Mk

L

EI

P P x

j z

b)

x

z

a)

x

w

Mj EI⋅w”

V V

V

( ) ( )P

Mx

L

MM

P

1xcosBxsinAw ABBAAB −⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅= κκ (4)

A (4) egyenletben az A és B állandók, valamint az Mj és Mk rúdvégi nyomatékok az ismeretlenek. A négy ismeretlen a következő négy független peremfeltételből meghatározható:

a) x=0 → w(0)=0

Behelyettesítés és rendezés után:

P

MB j= (5a)

b) x=L → w(L)=0

Behelyettesítés és rendezés után:

( ) ( )( )( ) ( )Lsin

1

P

M

Lsin

Lcos

P

MA

MP

1Lcos

P

MLsinA0

kk

kj

⋅⋅−

⋅⋅⋅−=

⋅+⋅+⋅⋅=

κκκ

κκ (5b)

c) x=L → w’(L)=0 (zérus rúdvégi lefordulás)

Behelyettesítés és rendezés után:

( ) ( ) 0L

MM

P

1LsinBLcosA)L('w kj =

+⋅+⋅⋅−⋅⋅= κκκκ

Az A és B állandó a (5a) és (5b) alapján ismert. Legyen c a rúdvégi nyomatékok aránya:

( )

( ) ( )ααααα

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅==

2cos22sin

2sin2

M

Mc

j

k (5c)

ahol

2

2

E

E

L

EIP

P

P22

L

⋅=

=

⋅=⋅=

π

ρ

ρπκα

d) x=0 → w’(0)=θj (ismert rúdvégi lefordulás)

Behelyettesítés és rendezés után:

jkj

L

MM

P

1A)0('w θκ =

+⋅+⋅=

Fejezzük ki az Mj rúdvégi nyomatékot a rúdvégi elfordítás függvényében:

jj ksM θ⋅⋅=

ahol ( )( )

ααααα

θ −⋅⋅⋅−⋅=

⋅=

tan

2cot21

k

Ms

j

j (5d)

L

EIk =

A (5a-d) képletek alapján a következő megállapításokat tehetjük:

� A mereven befogott rúdelem j végének θj elfordításához állandó P nyomóerő

mellett az alábbi rúdvégi nyomatékra van szükség (1a ábra):

jj ksM θ⋅⋅=

A kifejezésben s az elfordítási stabilitási függvény:

( )( )

ααααα

−⋅⋅⋅−⋅=

tan

2cot21s

Az α paraméter kifejezhető a ρ fajlagos nyomóerővel:

2

2

E

E

L

EIP

P

P2

⋅=

=

⋅=

π

ρ

ρπα

Továbbá: L

EIk =

� A rúd befogott végén az alábbi rúdvégi nyomaték keletkezik:

jk kcsM θ⋅⋅⋅=

A kifejezésben c a nyomaték átviteli stabilitási függvény:

( )

( ) ( )ααααα

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=

2cos22sin

2sin2c

A fenti összefüggések megértését az alábbi észrevételek alapos átgondolása nagymértékben megkönnyítheti:

� Ha P=0, akkor s=4 és c=0,5, ami az elemi statika (elsőrendű elmélet) ismert összefüggéseire vezet:

j2

jk

jj

L

EI6V

L

EI2M

L

EI4M

θ

θ

θ

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

� Ha ρ=2,042, akkor s=0 és c→∞, azaz a rúdelem kritikus állapotban van, ahol a kritikus erő:

2

2

Ecr L

EIPP

⋅⋅=⋅= πρρ

� A ρ fajlagos nyomóerő és a υ kihajlási hossz között az alábbi kapcsolat áll fenn:

ρ

υ 1=

Ha ρ=2,042 (lásd az előző pontot), akkor υ=0,7, ami az egyik végén mereven befogott, a másik végén szabadon elforduló rúdelem ismert kihajlási hossza.

Amennyiben a P erő húzóerő, a fenti gondolatmenethez hasonlóan levezethetjük az s és c stabilitási függvények megfelelő képleteit, amelyekben az α paraméter hiperbolikus függvényei szerepelnek (HORN M.R. - MERCHANT W. 1965). A mérnöki szemlélet oldaláról elemezve az eredményeket kimondhatjuk, hogy a rúdelemre működő nyomóerő csökkenti, a húzóerő pedig növeli a rúdvégi elfordítási merevséget.

1 Példa Határozzuk meg az alábbi ábrán vázolt rúdszerkezet Pcr kritikus terhét! A rúdelemek végei befogottak, a szerkezet sarokpontjában a rúdvégek mereven kapcsolódnak egymáshoz (merev keretsarok).

Használjuk a mereven befogott rúdelem előzőekben meghatározott elfordítási merevségét! Tételezzük fel, hogy a rudak összenyomódása elhanyagolható, és így a keretsarok csak elfordulni tud. A két rúd elfordítási merevsége a keretsarokban összegződik, így a keretsarok elfordításához szükséges Mext külső nyomaték az alábbi formában írható fel: θ⋅⋅+=+= k)ss(MMM 212,j1,jext

Kritikus állapotban a keretsarok elfordításához Mext→ 0 nyomatékra van szükség, ezért

0k)ss( 21 =⋅⋅+ θ

Mivel a modell kihajlott állapotában θ ≠0, ezért

0ss 21 =+

Az 1 jelű rúdban a kihajlás pillanatában nem ébred normálerő, ezért s1=4, és így a kritikus állapot feltétele:

4s2 −=

A 2 jelű rúdban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erővel, ezért keressük a P erő azon értékét, amelynél a (2-5d) szerinti s stabilitásfüggvény -4 értéket vesz fel: ρcr=2,877 → s=-4

A 2 jelű rúd Euler-féle kritikus ereje:

kN2135L

IEP

m10708,3I ;m

kN101,2E ; m6L

2

2

E

452

8

=⋅⋅=

⋅=⋅== −

π

A kritikus erő: kN6142PP Ecrcr =⋅= ρ

Az ábra a szerkezet kihajlott alakját mutatja.

L

L

Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminősség: S235 Rúdhossz: L=6,0 m

Pcr=?

1

2

1.1.2 Eltolási merevség Határozzuk meg a 2a ábrán látható mereven befogott nyomott-hajlított rugalmas rúdelem eltolási (kilengési) merevégét. Jelölje δ a j rúdvég z irányú elmozdulását, miközben a rúdvég nem fordul el. A feladat megoldásához nem szükséges felírni az egyensúlyi differenciálegyenletet, mert viszonylag kis elmozdulásokat feltételezve (sinα≅α; cosα≅1) a probléma visszavezethető a már ismert elfordulási merevségre (ld. a 1.1.1 szakaszt). A 2b ábra szerint az eltolt végű rúdelem úgy tekinthető, mint a két végén ϕ=δ/L szöggel elfordított rúdelem, ahol a rúdvégi erők megváltozását elhanyagoljuk.

2. ábra. A nyomott-hajlított rúdelem kilengési merevségének meghatározása:

a) modell; b) közelítő feltevés.

A megoldás érdekében írjuk fel a globális nyomatéki egyensúlyi egyenletet a j rúdvégre:

0PLVMM kj =⋅−⋅−+ δ (6)

Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat a 2-2b ábra és a 2.1.1.1 szakasz alapján:

jk

kjj

MM

kcsksM

=

⋅⋅⋅+⋅⋅= θθ (7)

Mivel θj=θk=δ/L, ezért

( ) δ⋅⋅+⋅==L

kc1sMM kj (8)

A V nyíróerőt fejezzük ki a (6) egyensúlyi egyenletből:

LP

L

MMV kj δ−

+= (9)

Használjuk fel, hogy

2

2

E L

EIPP

⋅⋅=⋅= πρρ (10)

és így a (9) az alábbi alakban írható:

( )[ ] δρπ ⋅⋅⋅−+⋅⋅= 22

L

kc1s2V (11)

k ϕ =δ/L

Mj

Mk

L

EI

P

P x

j z

b)

a)

V

V

δ

θj=ϕ

θk=ϕ

P P

Mj Mk V

V

Vezessük be az alábbi stabilitási függvényt: ( )

( ) ρπ ⋅−+⋅⋅+⋅⋅=

2c1s2

c1s2m (12)

Fejezzük ki a V nyíróerőt a (12) függvény segítségével:

( ) δ⋅⋅+⋅⋅= 2L

k

m

c1s2V (13)

A (8) és (13) képletek alapján a következő megállapításokat tehetjük:

� A mereven befogott rúdelem végének δ eltolásához állandó P nyomóerő mellett az alábbi rúdvégi nyomatékok tartoznak (2a ábra):

( ) δ⋅⋅+⋅==L

kc1sMM kj (14)

A kifejezésben s és c függvények megfelelnek a 1a ábra szerinti feladatnak.

� A rúdvég δ eltolásához az alábbi V nyíróerő tarozik:

( ) δ⋅⋅+⋅⋅= 2L

k

m

c1s2V (15)

A kifejezésben m stabilitási függvény az alábbi alakban írható: ( )

( ) ρπ ⋅−+⋅⋅+⋅⋅=

2c1s2

c1s2m (16)

A fenti összefüggések megértését az alábbi észrevételek alapos átgondolása nagymértékben megkönnyítheti: � Ha P=0, akkor s=4, c=0.5 és m=1, ami az elemi statika (elsőrendű elmélet) ismert

összefüggéseire vezet:

δ

δ

⋅⋅=

⋅⋅==

3

2kj

L

EI12V

L

EI6MM

� Ha ρ=1,0, akkor s=2,467, c=1, m→∞ és a fajlagos eltolási merevség zérussá válik, ami a rúdelem kritikus állapotát jelenti. A kritikus nyomóerő:

( )

0m

c1s →+⋅ és 2

2

cr L

EIP

⋅= π

� A ρ fajlagos nyomóerő és a υ kihajlási hossz közötti ismert összefüggés alapján a mereven befogott kilengő rúdelem kihajlási hossza:

0,11 ==ρ

υ

2 Példa Határozzuk meg az alábbi ábrán vázolt rúdszerkezet Pcr kritikus terhét! A függőleges oszlopok alsó végei befogottak, a felső végeket végtelen merev gerenda köti össze. Az oszlopok mereven kötnek be a gerendába.

Mivel a két befogott oszlopot a gerenda mereven köti össze, a két oszlop vízszintes irányban együtt tolódik el. Tételezzük fel, hogy az oszlopok összenyomódása elhanyagolható. Használjuk fel a rúdelem előzőekben meghatározott eltolási merevségét. A gerenda vízszintes δ eltolásához az alábbi Hext külső erőre van szükség:

( ) ( ) δ⋅

⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=+= 2

3

3

3

3322

2

2

2232ext L

k

m

c1s2

L

k

m

c1s2VVH

Kritikus állapotban az eltoláshoz Hext→ 0 erőre van szükség, így

( ) ( )

⋅+⋅++⋅8

m

c1s

m

c1s

3

33

2

22 =0

A 2 jelű oszlopban a kihajlás pillanatában nem ébred nyomóerő, ezért s2=4, c2=0,5 és m2=1, és így a kritikus állapot feltétele:

( )

75,0m

c1s

3

33 −=+⋅

Mivel a 3 jelű oszlopban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erővel, ezért keressük a P erő azon értékét, amelynél teljesül a fenti egyenlet. A megoldás:

ρcr=1,123

A 3 jelű oszlop Euler-féle kritikus ereje:

kN540.8L

IEP

m10708,3I ;m

kN101,2E ; m3L

2

2

E

452

8

=⋅⋅=

⋅=⋅== −

π

A kritikus erő: kN590.9PP Ecrcr =⋅= ρ

Az ábra a szerkezet kihajlott alakját mutatja.

L

L

Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminősség: S235 Rúdhossz: L=6,0 m

Pcr=?

1

2

L/2 3

2. Különleges kialakítású rúdelemek merevsége A 1. szakaszban mereven befogott rúdelemek merevségét határoztuk meg másodrendű elmélet alapján. Az irodalomból számos olyan eredmény ismert, amely a stabilitásfüggvényeket különleges peremfeltételekre, terhekre és rúdmentén változó keresztmetszetre terjeszti ki. Ebben a szakaszban ezekből a különleges esetekből mutatunk be néhányat. Hangsúlyozzuk, hogy a modern számítógépek és végeselemes analízis programok elterjedésével ezen ismeretek gyakorlati jelentősége nagyban csökkent, de didaktikai szempontból fontosnak tartjuk a rövid ismertetésüket. Az itt megismert gondolatok, módszertani meggondolások jelentősen segíthetik a mérnöki gondolkodás és a statikusi készség fejlődését. 2.1 A csuklós végű rúdelem merevsége Először határozzuk meg a 3 ábrán látható csuklós végű nyomott-hajlított rugalmas rúdelem elfordítási merevségét, ha a rúdelem keresztmetszete (A, EI) és a rúdelemre ható P nyomóerő állandó. Fordítsuk el a rúd j végét (befogással együtt) θj -vel. Az elfordításhoz állandó P nyomóerő mellett Mj rúdvégi nyomaték és V nyíróerő tartozik. Határozzuk meg a θj

rúdvégi elfordításhoz tatozó Mj nyomatékot és V nyíróerőt!

3. ábra. A csuklós végű nyomott-hajlított rúdelem elfordítási merevségének meghatározása.

A feladat megoldásához nem szükséges a 3 ábrán vázolt modellre felírni az egyensúlyi differenciálegyenletet, ahogy azt a 1a ábrán vázolt esetben tettük. Elegendő felhasználni az eddig levezetett stabilitási függvényeket. Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat az eddigi ismereteink alapján:

kjj kcsksM θθ ⋅⋅⋅+⋅⋅= (17)

0kskcsM kjk =⋅⋅+⋅⋅⋅= θθ (18)

A (18) egyenletből az alábbi összefüggést kapjuk:

jk c θθ ⋅−= (19)

A (19) kifejezést használjuk fel a (17) egyenletben:

( ) jj2

j2

jj k"skc1skcsksM θθθθ ⋅⋅=⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅= (20)

A (20) alapján a csuklós végű rúdelem elfordítási merevségének fajlagos értékét megadó stabilitásfüggvényhez jutunk:

( )2c1s"s −⋅= (21) A V nyíróerő a globális egyensúlyi feltételből adódik:

k

θj Mj

L

EI P P x

j z

V V

θk

jj

L

k"s

L

MV θ⋅⋅== (22)

Most határozzuk meg a csuklós végű rúdelem eltolási merevségét (4 ábra).

4. ábra. A csuklós végű nyomott-hajlított rúdelem eltolási merevségének meghatározása.

Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat az eddigi ismereteink alapján:

δϕ ⋅⋅=⋅⋅=

=

2j

k

L

EI''sk''sM

0M (23)

A V nyíróerő a rúdelem globális nyomatéki egyensúlyából kifejezhető:

0PLVM j =⋅−⋅− δ

L

1)PM(V j ⋅⋅−= δ (24)

Mivel 2

2

E L

EIPP

⋅⋅=⋅= πρρ , ezért

( ) δρπδπρδ ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅= 22

3

2

3 L

k''s

L

EI

L

EI"sV (25)

2.2 Egyéb különleges esetek Vizsgáljuk az 5 ábrán látható rugalmasan befogott nyomott-hajlított rugalmas rúdelem merevségét. A rúdelem végein képzeljünk el egy-egy lineárisan rugalmas nyomatéki csuklót. A csuklók a rúdelem részei, a rúdelem csomópontjai a „csuklókon túl” helyezkednek el.

5. ábra. A rugalmasan befogott nyomott-hajlított rúdelem merevségének meghatározása.

θj’

θk’ P P

Mj Mk V

V

θj

θk

j k

Cj

Ck

k Mj

L

EI

P

P x

j z

V

V δ

ϕ=δ/L

Legyen θj és θk a j és a k rúdvégek elfordítása. A rugalmas csuklókban létrejövő relatív elfordulás miatt a csuklók mögötti rúdvégek elfordulása θj’ és θk’. A csuklók mögötti rúdvégek nyomatékai felírhatóak az eddig megismert stabilitási függvényekkel és merevségi kifejezésekkel:

'k

'jj kcsksM θθ ⋅⋅⋅+⋅⋅= (26)

'k

'jk kskcsM θθ ⋅⋅+⋅⋅⋅= (27)

A (26) és (27) rúdvégi nyomatékok felírhatóak a csuklók rugalmas karakterisztikájával is:

( )'jjjj kcM θθ −⋅⋅= (28)

( )'kkkk kcM θθ −⋅⋅= (29)

A (28) és (29) kifejezésekben cj=Cj/k és ck=Ck/k, ahol Cj és Ck a [kNm/rad] dimenziójú rugóállandók. Az (26)-(29) egyenletrendszerből a rúdvégi nyomatékok kifejezhetőek:

k'

j'jj k)cs(ksM θθ ⋅⋅⋅+⋅⋅= (30)

k'kj

'k ksk)cs(M θθ ⋅⋅+⋅⋅⋅= (31)

A (30) és (31) kifejezésekben a vesszővel jelzett módosított stabilitásfüggvények a levezetés mellőzésével a következők:

( )

−⋅+⋅=k

22'j c

c1sss β (32)

( )

−⋅+⋅=j

22'k c

c1sss β (33)

( ) ( )cscs ' ⋅⋅=⋅ β (34)

A fenti kifejezésekben a β paraméter a következő:

( )kj

22

kj cc

c1s

c

1

c

1s1

1

⋅−⋅+

+⋅+

=β (35)

A szakirodalomból további különleges esetekre vonatkozó megoldások is ismertek. Eredeti angol nyelvű szakirodalomnak tekinthető Horn és Merchant szerzőpáros híres könyve (HORN M.R. – MERCHANT W. 1965). Több magyar nyelvű szakirodalom is összefoglalja az ismert eseteket (pl. IVÁNYI M. 1995; HALÁSZ O. - IVÁNYI M. 2001). A legfontosabb különleges esetek a következők:

� Merev végű rúdelem: a modell figyelembe veszi a rúdelem gj és gk hosszú végeinek

tökéletes merevségét, ami például csomólemez vagy kiékelés modellezését teszi lehetővé.

� Képlékeny csomópontú rúdelem: a modell figyelembe veszi a rúdelem végein

esetlegesen kialakuló merev-képlékeny csuklót; a modellnek a képlékeny alapú tervezésnél alkalmazott eljárásoknál lehet jelentősége (például ilyen a földrengésvizsgálatnál alkalmazott „push-over” eljárás).

gj gk L

� Keresztirányú megoszló teherrel terhelt rúdelem: a modellre levezetett

stabilitásfüggvények alkalmazása esetén nem kell a rúdelemet részekre bontani, és így nem növekszik az ismeretlenek (szabadságfokok) száma.

� Változó keresztmetszetű rúdelem: a hajlító nyomaték változását követő változó

gerincmagasságú rúdelem alkalmazásával elkerülhető a részekre (pl. állandó magasságú szegmensekre) bontás, ami jelentősen csökkenti a modell szabadságfokát.

A különleges esetekre levezetett megoldások elsősorban a kézi számítás pontosságának növelését, illetve a kézi és gépi számítás kapacitás igényének minimalizálását szolgálták. A különleges esetek alkalmazásával a szerkezeti modellek szabadságfoka (ismeretlen elmozdulások száma) jelentősen csökkenthető volt. A mai korszerű számítógépek és programok alkalmazásával a szabadságfokok számának kényszerű csökkentése már nem mérvadó. Ugyanakkor, a fenti modelleknek a kézi ellenőrző számításokban továbbra is jelentős szerepe lehet.

3 Példa Határozzuk meg a 1 példában látható modell Pcr kritikus terhét, ha a rúdelemek végei rugalmasan befogottak!

A két rúd elfordítási merevsége a keretsarokban összegződik, így a keretsarok elfordításához szükséges Mext külső nyomaték az alábbi formában írható fel:

θ⋅⋅+=+= k)ss(MMM '2

'12,j1,jext

Kritikus állapotban a keretsarok elfordításához Mext→ 0 nyomatékra van szükség, ezért

0k)ss( '2

'1 =⋅⋅+ θ

L

L

Pcr=?

1

2

C

C

gj gk L

Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminősség: S235 Rúdhossz: L=6,0 m Rugalmas befogás: C=5000 kN⋅m/rad

A modell kihajlott állapotában θ ≠0, ezért

0ss '2

'1 =+

Az 1 jelű rúdban a kihajlás pillanatában nem ébred normálerő, ezért s=4 és c=0,5. A keretsarokba a rúdvég mereven köt be, ezért C=∞ . A (2-29) szerint s’1=3,491, így a kritikus állapot feltétele:

491,3s'2 −=

A 2 jelű rúdban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erővel, ezért keressük a P erő azon értékét, amelynél a (29) szerinti s’ stabilitásfüggvény -3,491 értéket vesz fel:

ρcr=2,059 → s’=-3,491

A 2 jelű rúd Euler-féle kritikus ereje:

kN2135L

IEP

m10708,3I ;m

kN101,2E ; m6L

2

2

E

452

8

=⋅⋅=

⋅=⋅== −

π

A kritikus erő: kN4396PP Ecrcr =⋅= ρ

Az ábra a szerkezet kihajlott alakját mutatja.

A kihajlási alakot érdemes összevetni a 1 Példa esetén kapott alakkal, ahol a rudak mereven befogottak voltak. 3. Az összetett szerkezetek stabilitásvizsgálata A stabilitásfüggvényekkel összetett szerkezetek is vizsgálhatóak. Ehhez célszerű az elmozdulás-módszernek nevezett mechanikai módszer és a mátrix-módszernek nevezett matematikai módszer kombinációjából álló eljárás alkalmazása. Az eljárásra a továbbiakban az elmozdulás-módszer megnevezést alkalmazzuk. Az elmozdulás-módszer alkalmazásának lényege, hogy a szerkezetet rúdelemekre bontjuk, ahol az egyes rúdelemek merevsége ismert. Például síkbeli szerkezeti modellek esetében alkalmazhatjuk a 1. és 2. szakaszokban meghatározott stabilitásfüggvényeket, de alkalmazhatunk más elven alapuló síkbeli vagy térbeli rúd végeselemeket is. A továbbiakban a stabilitásfüggvényekkel leírt rúdelemek alkalmazására szorítkozunk. 2.3.1 A szabadságfokok meghatározása Amennyiben a rúdelemekre osztott szerkezet minden egyes rúdelme megfelel egy olyan rúdelemnek, amelynek merevsége ismert, akkor meghatározhatjuk a modell szabadságfokát (azaz az ismeretlen elmozdulásokat). Az elmozdulások meghatározásánál alapvetően két módszert követhetünk:

� „gépi” módszer; � „kézi” módszer.

A továbbiakban csak a „kézi” módszerrel foglalkozunk, mert vizsgálatainkat csak egyszerű, kézzel is végrehajtható számításokra kívánjuk korlátozni. Induljunk ki abból, hogy a szerkezeti modell i jelű pontjának a globális (X;Z) síkban bekövetkező elmozdulását a 6 ábra szerint három független elmozdulás komponens (szabadságfok; angolul: „degrees of freedom”, a továbbiakban DOF) írja le. Ezek rendre az ui és wi globális irányú elmozdulások, és a θi elfordulás (DOF=3). Amennyiben a modell csomópontjainak száma n, akkor a modell

szabadságfokainak száma ∑DOF=3⋅n. Ez azt jelenti, hogy még a legegyszerűbb modellek esetén is jelentős számú szabadságfokkal kellene dolgoznunk. A szabadságfokok száma általában jelentősen csökkenthető, ha élünk az alábbi lehetőségekkel:

� a rúdelemek összenyomódásának elhanyagolásából következően a megfelelő szabadságfokok összevonása;

� zérus elmozdulású szabadságfokok kizárása; � szimmetriából következően a megfelelő szabadságfokok összevonása.

6. ábra. Csomópont szabadságfokai (DOF=3).

A 2-7 ábra néhány szerkezeti modell „kézi” számításhoz felvehető szabadságfokait mutatja. A szabadságfokok meghatározásánál éltünk a fent felsorolt egyszerűsítési lehetőségekkel.

6. ábra. Példák a „kézi” számításhoz felvehető szabadságfokok meghatározására.

X

Z

ui

i

wi

θi

θ

DOF=1 DOF=1 DOF=2 DOF=3

θ θ u 1 2

θ1 θ2 u

1 2 θ1 θ2 u

DOF=3 DOF=6 DOF=4

1 2 θ1 θ2 u12

3 4 θ1 θ2 u34

1 2 3 θ1 θ2 u12 θ3

3.2 A globális egyensúlyi egyenletrendszer összeállítása Az elmozdulás-módszer alkalmazása általánosságban az alábbi alakú globális egyensúlyi mátrixegyenletre vezet:

FUK =× (36)

A (36) egyenletben U az ismeretlen elmozdulások vektora, amelynek mérete megegyezik a modell szabadságfokainak számával (∑DOF), F a tehervektor, amelynek mérete azonos az U vektor méretével, továbbá K a merevségi mátrix. A merevségi mátrix négyzetes, és mérete szintén megegyezik a szabadságfokok számával. A merevségi mátrix elemeit a megfelelő rúdelemek merevségeiből állítjuk össze. A (33) mátrixegyenlet minden sora egy egyensúlyi egyenletet jelent, ahol az adott egyenlet mechanikai tartalmát az U elmozdulás vektor megfelelő elemének mechanikai tartalma határozza meg. Amennyiben az elmozdulás eltolódás (u), akkor az egyenlet erőegyensúlyi egyenlet, amennyiben az elmozdulás elfordulás, akkor az egyenlet nyomatéki egyensúlyi egyenlet. A (36) egyensúlyi mátrixegyenlet felírását egy konkrét példán keresztül mutatjuk be. Tekintsük a 7 ábrán látható szerkezeti modellt, ahol feltüntettük a 3.1 szakasz alapján felvett szabadságfokokat.

7. ábra. A három szabadságfokú rúdszerkezeti modell.

Először állítsuk össze az U elmozdulás vektort. Ehhez rendezzük sorba a három szabadságfokoknak megfelelő ismeretlen elmozdulás komponenst (a sorrend tetszőleges):

U=

u2

1

θθ

(37)

A (37) elmozdulás vektornak megfelelő tehervektor:

F=

===

HF

0M

0M

u

2

1

(38)

A (38) tehervektorban M1 és M2 az 1 és a 2 jelű csomópontokban ható (jelen esetben zérus értékű) külső nyomatékok, Fu az u elmozdulás komponens irányában ható külső erő, jelen esetben H. Mivel a modell szabadságfokai között nem szerepelnek a csomópontok függőleges elmozdulásai (az oszlopok összenyomódás elhanyagolható), a P1 és P2 erők nem szerepelnek a tehervektorban.

θ1 θ2 u

1

2 3

DOF=3

1 2

P1 P2=α⋅P1

H

A K merevségi mátrix felírása már nagyobb rutint igényel. Az eljárás megértése érdekében, első lépésben, írjuk fel a három egyensúlyi egyenletet:

1. egyenlet: nyomatéki egyensúlyi egyenlet az 1 jelű csomóponton:

0uKKK 13212111 =⋅+⋅+⋅ θθ

ahol a K merevségi elemek fizikai tartalma rendre a következő:

K11 - a θθθθ1=1 és θ2=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi belső nyomatékok összege a 1 jelű csomóponton, az adott példa esetén (8a ábra) :

22112,1,11,1,111 ksksMMK ⋅+⋅=+=

K12 - a θθθθ2=1 és θ1=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi nyomaték az 1 jelű csomóponton, az adott példa esetén (8b ábra):

1111,2,112 kcsMK ⋅⋅==

K13 - az u=1 és θ1=θ2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi nyomatékok összege az 1 jelű csomóponton, az adott példa esetén (8c ábra):

2

2222,3,113 L

k)c1(sMK ⋅+⋅==

2. egyenlet: nyomatéki egyensúlyi egyenlet a 2 jelű csomóponton:

0uKKK 23222121 =⋅+⋅+⋅ θθ

ahol a K merevségi elemek fizikai tartalma rendre a következő:

K21 = K12

K22 - a θθθθ2=1 és θ1=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi belső nyomatékok összege a 2 jelű csomóponton, az adott példa esetén (2-8d ábra) :

3"3113,2,21,2,222 ksksMMK ⋅+⋅=+=

K23 - az u=1 és θ1=θ2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi nyomaték a 2 jelű csomóponton, az adott példa esetén (8e ábra):

3

3"33,3,223 L

ksMK ⋅==

3. egyenlet: erőegyensúlyi egyenlet az „összevont” 1-2 jelű csomópontokon:

HuKKK 33232131 =⋅+⋅+⋅ θθ

ahol a K merevségi elemek fizikai tartalma rendre a következő:

K31 = K13 K32 = K23 K33 - az u=1 és θ1=θ2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi nyíróerők összege az 1 és 2 jelű csomópontokon, az adott példa esetén (8f ábra):

( ) ( )

23

32"22

2

2

223,3,32,3,333 L

ks

L

k

m

c1s2VVK ⋅⋅−+⋅+⋅⋅=+= ρπ

A fenti kifejezésekben és a 8 ábrán a belső M és V erők indexelése a következő szabályt követi: első index az igénybevétel helyét, második index az igénybevételt kiváltó elmozdulást, harmadik index a rúdelemet jelöli. A fentiek alapján felírhatjuk a (36) egyensúlyi egyenlet mátrix alakját:

( )

( ) ( ) ( )

=

⋅

⋅⋅−+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅

H

0

0

u

L

ks

L

k

m

c1s2

L

ks

L

kc1s

L

kskskskcs

L

kc1skcsksks

2

1

23

32"22

2

2

22

3

3"3

2

222

3

3"33

"311111

2

2221112211

θθ

ρπ

(39)

A (39) egyensúlyi egyenletrendszer megoldásával a következő szakaszban foglalkozunk.

8. ábra. A belső nyomatékok és nyíróerők egységnyi elmozdulásokból. 3.3 Egyensúlyi egyenletrendszer megoldása A (39) egyensúlyi egyenletrendszer szimmetrikus és nemlineáris, ugyanis a K merevségi mátrix elemei a rudakban ébredő normálerőktől függenek. Amennyiben a jobb

M1,1,2=s2⋅k2

θ1=1

M1,1,1=s1⋅k1 M1,2,1=s1⋅c1⋅k1

θ2=1

M1,3,2=s2⋅(1+c2)⋅k2/L2

u=1

M2,2,3=s” 3⋅k3

M2,2,1=s1⋅k1

M2,3,3=s” 3⋅k3/L3

a) b) c)

d) e)

Mx

( )2

2

2

2

222,3,3 L

k

m

c1s2V ⋅+⋅⋅= ( )

2

3

32

3,3,3 L

k"sV ⋅⋅−= ρπ

oldalon az F tehervektor nem zérus, akkor a teherparaméter növelésével a modell elmozdulása (deformációja) is növekszik, ami a normálerők eloszlásának változásával jár. Ebben az esetben a modell viselkedése a 5 ábrán vázolt határpontos viselkedéshez hasonlít. Mivel az egyensúlyi egyenletrendszert a kis elmozdulások elve alapján írtuk fel, az egyensúlyi útvonal végtelenhez tartó elmozdulásnál tart az Fmax tehermaximumhoz (9 ábra). A modellek ilyen típusú nemlineáris vizsgálatával a továbbiakban nem foglalkozunk.

9. ábra. A rúdszerkezeti modell nemlineáris viselkedése és a kritikus terhe.

Amennyiben a (39) egyensúlyi egyenletrendszer jobb oldalán a tehervektor zérus, azaz a példánk esetében H→ 0, akkor a

0UK =⋅ (40)

mátrixegyenlet nem triviális (U≠0) megoldása a

0)det( =K (41)

feltételre vezet. Amennyiben az egyparaméteres teherrendszer teljesíti a (42) feltételt, akkor a teher megfelel a szimmetrikus stabilis elágazáshoz tartózó kritikus tehernek. A rugalmas stabilitásvizsgálat (41) szerint történő végrehajtása során feltételezhetjük, hogy kritikus állapotban a rudakban ébredő normálerők megegyeznek a kezdeti (elsőrendű) normálerőkkel. A számítás néhány (legfeljebb három) szabadságfokig kézzel is könnyen végrehajtható (4 Példa).

Fcr

u

Fmax

F

„harmadrendű” megoldás

„másodrendű” megoldás

Lineáris stabilitásvizsgálat eredménye

4 Példa

Határozzuk meg az ábrán vázolt szerkezeti modell kritikus terhét!

A modell viselkedése (kihajlása) az alábbi két független elmozdulással (szabadságfokkal) írható le, ahol θ a sarokcsomópont elfordulása és u a gerenda csomópontjainak összevont eltolódása:

A modell merevségi mátrixa a 2.1 szakasz alapján az alábbi ábra segítségével állatható össze:

Kezdetben az 1 jelű rúdban nem ébred normálerő, ezért

3s"1 =

A két rúd azonos keresztmetszetű és hosszú, ezért

LLL

kkk

21

21

====

A merevségi mátrix a 2-es index elhagyásával az alábbi formában írható:

L

L

Pcr=?

1

2 Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminősség: S235 Rúdhossz: L=6,0 m

θ u

=

u

θU

u=1 ; θ =0

s” 1⋅k1

s” 2⋅k2 s” 2⋅k2/L2 (s”2-π2⋅ρ2)k2/L2

2

θ =1 ; u=0

( )

⋅⋅−⋅

⋅⋅+⋅=

22

22

2"2

2

2"2

2

2"22

"21

"1

L

ks

L

ks

L

ksksks

ρπK

A kritikus állapot feltétele, hogy a merevségi mátrix determinánsa zérus értéket vegyen fel:

( ) ( )[ ] 0L

kss3s)det( 2

22"

cr2"" =⋅−⋅−⋅+= ρπK

Tehát keressük a ρcr értékét, ahol a kapcsos zárójelben lévő kifejezés zérus értéket vesz fel. A számítás például próbálgatással (try & error) is elvégezhető:

ρ s c s” π2⋅ρ det(K)

0,120 3,840 0,532 2,755 1,184 1,448 0,130 3,826 0,534 2,733 1,283 0,844 0,140 3,812 0,537 2,712 1,382 0,244 0,150 3,799 0,540 2,691 1,480 -0,353 0,144 3,807 0,538 2,703 1,421 0,004

A számítás szerint a ρcr=0,144 értéknél a merevségi mátrix determinánsa közelítőleg zérus értéket vesz fel, azaz a modell kritikus állapotba kerül. A kritikus erő:

==

=⋅=

=⋅⋅=

635,21

kN307PP

kN2135L

IEP

cr

Ecrcr

2

2

E

ρυ

ρ

π

A kihajlás alakját az ábra mutatja. 4. Összefoglalás A fejezetben nyomóerővel terhelt és síkban elmozduló rúdelemek merevségét határoztuk meg egyensúlyi differenciálegyenlet segítségével, a másodrendű elmélet közelítő feltevései alapján. A fajlagos merevségeket a normálerőtől függő stabilitásfüggvényekkel fejeztük ki. Az így meghatározott merevségek a másodrendű elmélet keretein belül érvényesek. Amennyiben a normálerőt zérusnak választjuk, akkor a stabilitásfüggvények értékei az elsőrendű elmélet szerinti merevségi konstansokat adják meg. A másodrendű merevségeket befogott és csuklós végű rúdelemre is meghatároztuk. Bemutattuk, hogy a másodrendű merevségek számos különleges esetre is meghatározhatóak, és a megfelelő kifejezések a szakirodalomban megtalálhatóak. Megállapítottuk, hogy az egyre összetettebb megoldásokat a számítás kapacitásigényének minimalizálása, azaz az ismeretlenek számának csökkentése kényszeríttette ki. Kimondtuk, hogy a mai számítási kapacitás mellett a stabilitásfüggvényes megoldások gyakorlati jelentősége jelentősen csökkent. Ugyanakkor azt is megállapítottuk, hogy a mérnökképzésben didaktikai szempontból fontosnak tartjuk az alapesetek ismeretét és kézi számításban történő alkalmazását. Bemutattuk az összetett rúdszerkezeti modellek vizsgálatának általános módszertanát „kézi” számítás esetére. Az eljárást a matematikából ismert mátrix-módszer és a mechanikából ismert elmozdulás-módszer kombinációjára alapoztuk. Bemutattuk, hogy az eljárás két alapfeladatra vezet. Amennyiben a tehervektor nem zérus, akkor határpontos

( )

⋅⋅−⋅

⋅⋅+=

22""

""

L

ks

L

ks

L

ksk)3s(

ρπK

elágazási feladatra jutunk, amely nemlineáris egyenletrendszer megoldására vezet. Amennyiben a tehervektor zérus, akkor a tökéletes modell kritikus elágazásának feladatára jutunk, ami a merevségi mátrix determinánsa első gyökének meghatározását jelenti. A módszer alkalmazását számpéldával illusztráltuk.