Franka Miriam Bruckler - pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat07-2017.pdf · prvi put u Europi pojavljuje i Pascalov trokut, a koriste se i znakovi +, , p. U tom je djelu

Razvoj matematicke notacije Razvoj algebre u renesansi Matematika i likovna umjetnost Primijenjeni matematicari u renesansi

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Svibanj 2019.

Matematika u doba renesanse

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Trigonometrija: Regiomontanus (1436.–1476.)

Regiomontanus je roden kao Johann Muller u u Konigsbergu.Od 1468. je bio je dvorski astronom kralja Matijasa Korvina.Godine 1472. zabiljezio je pojavu kometa (Halleyevog). KopijuRegiomontanusovih astronomskih tablica na svoje cetvrtoputovanje ponio je Kolumbo. Pisao je o reformi kalendara te ga jepapa Siksto IV. 1475. pozvao u Rim. Imenovao ga je i za biskupaRegensburga, ali je Regiomontanus umro prije nego je preuzeoduznost.Njegovi najznacajniji doprinosi su u trigonometriji i astronomiji: Natemelju arapskih izvora postavio je temelje moderne trigonometrije(De triangulis omnimodis, napisano 1464., objavljeno 1533.).

Godine 1471. je postavio poznati Regiomontanusov problem .Kao i mnogi suvremenici, nepoznanicu oznacava rijecju res, akvadrat nepoznanice sa census.


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/PictDisplay/Regiomontanus.html

https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/historical-activities-for-calculus-module-3-optimization-regiomontanus-hanging-picture-problem


Razvoj matematicke notacije

Velik problem matematike u starih naroda, pa cak i Arapa i ueuropskom srednjem vijeku: nedostatak sustavne notacije.Problemi i rjesenja izlagani su rijecima, bez standardiziranognazivlja. Bila je to jedna od najvecih zapreka brzog daljeg razvoja.

Tijekom srednjeg vijeka uvedene su neke standardne oznake –postepeno se uvode arapske brojke, koje su do renesanse ustalile ioblik; razlomacka crta; za nepoznanice se koriste odredenestandardizirane rijeci (res, radix ; census; cubus); za zbrajanje sevrlo cesto koristi et (ili plus).


Povijest matematike


Razvoj matematicke notacije

Velik problem matematike u starih naroda, pa cak i Arapa i ueuropskom srednjem vijeku: nedostatak sustavne notacije.Problemi i rjesenja izlagani su rijecima, bez standardiziranognazivlja. Bila je to jedna od najvecih zapreka brzog daljeg razvoja.Tijekom srednjeg vijeka uvedene su neke standardne oznake –postepeno se uvode arapske brojke, koje su do renesanse ustalile ioblik; razlomacka crta; za nepoznanice se koriste odredenestandardizirane rijeci (res, radix ; census; cubus); za zbrajanje sevrlo cesto koristi et (ili plus).


Povijest matematike


+, −, =

Tijekom europskog srednjeg vijeka zbrajanje se obicno iskazivalolatinskim veznikom et. Kod d’Oresmea (ili nekog njegovogprepisivaca) mogu se naci zapisi koji podsjecaju na +, vjerojatnopokrate za et. Smatra se da se znak + pojavio i ustalio tijekom 15.stoljeca. Tocno porijeklo oznake − nije poznato.

Prvi put su se u tisku znakovi + i − pojavili 1489. u knjizi oaritmetici za trgovce Behende und hupsche Rechenung auff allenKauffmanschafft ceskog Nijemca Johannesa Widmanna . Ipak,smatra se da je Widmann te simbole, i to upravo kao oznake zaoperacije, vidio i preuzeo od nekog drugog autora. Ovisno oautoru, prva osoba koja je znakove + i − koristila u algebarskimizrazima je Giel Vander Hoecke u knjizi objavljenoj u Antwerpenu1514., ili pak Heinrich Schreiber (Heinrich Grammateus) 1518.


Povijest matematike

https://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Widmann#/media/File:Johannes_Widmann-Mercantile_Arithmetic_1489.jpg


+, −, =

Tijekom europskog srednjeg vijeka zbrajanje se obicno iskazivalolatinskim veznikom et. Kod d’Oresmea (ili nekog njegovogprepisivaca) mogu se naci zapisi koji podsjecaju na +, vjerojatnopokrate za et. Smatra se da se znak + pojavio i ustalio tijekom 15.stoljeca. Tocno porijeklo oznake − nije poznato.Prvi put su se u tisku znakovi + i − pojavili 1489. u knjizi oaritmetici za trgovce Behende und hupsche Rechenung auff allenKauffmanschafft ceskog Nijemca Johannesa Widmanna . Ipak,smatra se da je Widmann te simbole, i to upravo kao oznake zaoperacije, vidio i preuzeo od nekog drugog autora. Ovisno oautoru, prva osoba koja je znakove + i − koristila u algebarskimizrazima je Giel Vander Hoecke u knjizi objavljenoj u Antwerpenu1514., ili pak Heinrich Schreiber (Heinrich Grammateus) 1518.


Povijest matematike

https://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Widmann#/media/File:Johannes_Widmann-Mercantile_Arithmetic_1489.jpg


Tijekom renesanse su se koristili i drugi simboli za zbrajanje ioduzimanje (cesto: P i M, sa ili bez tocke iza, ponekad s tildomiznad). Sigurno je da se tijekom 16. st. simboli + i − pocinjuredovno upotrebljavati u danasnjem znacenju.

U Englesku je znakove + i − u upotrebu uveo Robert Recorde(1510.–1558.), a on je prva osoba koja 1557. koristi znak =.Recorde je bio na raznim funkcijama u doba kralja Edwarda VI, aumro je u zatvoru u koji je dospio zbog duga vezanog za politickanadmetanja, a vjerojatno i tezih zlocina. Znak = se nije ponovnopojavio u tisku do 1618., a uporaba tog znaka se prosirila tektijekom 17. stoljeca (u 16. i 17. st. mnogi su autori za jednakostkoristili ||, a neki [, |, ae, oe, . . . ).


Povijest matematike


Tijekom renesanse su se koristili i drugi simboli za zbrajanje ioduzimanje (cesto: P i M, sa ili bez tocke iza, ponekad s tildomiznad). Sigurno je da se tijekom 16. st. simboli + i − pocinjuredovno upotrebljavati u danasnjem znacenju.U Englesku je znakove + i − u upotrebu uveo Robert Recorde(1510.–1558.), a on je prva osoba koja 1557. koristi znak =.Recorde je bio na raznim funkcijama u doba kralja Edwarda VI, aumro je u zatvoru u koji je dospio zbog duga vezanog za politickanadmetanja, a vjerojatno i tezih zlocina.

Znak = se nije ponovnopojavio u tisku do 1618., a uporaba tog znaka se prosirila tektijekom 17. stoljeca (u 16. i 17. st. mnogi su autori za jednakostkoristili ||, a neki [, |, ae, oe, . . . ).


Povijest matematike


Tijekom renesanse su se koristili i drugi simboli za zbrajanje ioduzimanje (cesto: P i M, sa ili bez tocke iza, ponekad s tildomiznad). Sigurno je da se tijekom 16. st. simboli + i − pocinjuredovno upotrebljavati u danasnjem znacenju.U Englesku je znakove + i − u upotrebu uveo Robert Recorde(1510.–1558.), a on je prva osoba koja 1557. koristi znak =.Recorde je bio na raznim funkcijama u doba kralja Edwarda VI, aumro je u zatvoru u koji je dospio zbog duga vezanog za politickanadmetanja, a vjerojatno i tezih zlocina. Znak = se nije ponovnopojavio u tisku do 1618., a uporaba tog znaka se prosirila tektijekom 17. stoljeca (u 16. i 17. st. mnogi su autori za jednakostkoristili ||, a neki [, |, ae, oe, . . . ).


Povijest matematike


Mnozenje i dijeljenje, manje i vece

tijekom renesanse mnozenje se cesto oznacavalo s M (ilijednostavno nadopisivanjem), a dijeljenje s D (ili razlomackomcrtom)

Viete je za mnozenje koristio in

Michael Stifel (1487.–1567.) za nase 24 : 8 pise 8)24 (amnozenje oznacava nadopisivanjem)

znakovi × i · te : i ÷ pojavili su se tek u 17. st.

engleski matematicar, istrazivac i astronom Thomas Harriot(1560.–1621.) je prvi koristio znakove < i >:

”Signum

majoritatis ut a > b significet a majorem quam b”,”Signum

minoritatis ut a < b significet a minorem quam b.”.


Povijest matematike

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Harriot.html


Mnozenje i dijeljenje, manje i vece

tijekom renesanse mnozenje se cesto oznacavalo s M (ilijednostavno nadopisivanjem), a dijeljenje s D (ili razlomackomcrtom)

Viete je za mnozenje koristio in

Michael Stifel (1487.–1567.) za nase 24 : 8 pise 8)24 (amnozenje oznacava nadopisivanjem)

znakovi × i · te : i ÷ pojavili su se tek u 17. st.

engleski matematicar, istrazivac i astronom Thomas Harriot(1560.–1621.) je prvi koristio znakove < i >:

”Signum

majoritatis ut a > b significet a majorem quam b”,”Signum

minoritatis ut a < b significet a minorem quam b.”.


Povijest matematike

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Harriot.html


Michael Stifel (1487.–1567.)

Bio je njemacki redovnik, jedan od ranih Lutherovih sljedbenika. Nekovrijeme je cak zivio kod Luthera, koji mu je nasao mjesto pastora koje jeStifel izgubio nakon krivog predskazivanja kraja svijeta za 18. listopada1533. U kasnijem razdoblju je stjecajem okolnosti vise puta moraomijenjati mjesto sluzbe.Kod njega susrecemo spominjanje iracionalnosti kao brojeva, iako mu serazmatranje temelji na EEX. Stifel kaze da iracionalni broj ne moze bitiracionalan, ali moze biti izmedu dva racionalna.Promatra samo pozitivne brojeve, a negativne smatra besmislenim (ali ihipak proglasava manjima od nule: kaze da je nula izmedu pozitivnih inegativnih brojeva).Najznacajnije djelo mu je Arithmetica integra (1544.). U tom se djelu poprvi put u Europi pojavljuje i Pascalov trokut, a koriste se i znakovi +, −,√

. U tom je djelu uocio i: Zbrajanje u aritmetickom nizu odgovaramnozenju u geometrijskom nizu, a isto tako oduzimanje u prvomodgovara dijeljenju u drugom. dijeljenju u potonjem (→ logaritmi!).


Povijest matematike


Korjenovanje

najcesca renesansna oznaka drugog korijena bila je R (odlatinske rijeci radix), cesto s prekrizenom

”nogicom”

znak za kvadratni korijen je vjerojatno pokrata od r

prva pojava: 1525. u prvoj njemackoj knjizi o algebri Die Cosspoljskog Nijemca Christoffa Rudolffa (1499.–1545.)

njemacki renesansni algebraicari = kosisti

Nicolas Chuquet (ca. 1445.–1487.)

Prvi koji je koristio zapis eksponenta kao superskripta (njegovih123 je nas 12x3):

R242p41p21p1

bismo danas pisali√

4x2 + 4x + 2x + 1.


Povijest matematike


Nepoznanice i njihove potencije

Chuquet je prvi matematicar koji koristi 0 kao eksponent (npr. pise120 za 12) i negativne eksponente (121m mu predstavlja 12x−1).Chuquet je za zivot zaradivao kao prepisivac, a njegova Triparty enla science des nombres je prva francuska knjiga o algebri (1484.).Ipak, ta je knjiga imala mali utjecaj jer je stampana tek 1880.godine. Kod Chuqueta s usrecemo i izraze milijun, bilijun i trilijun.

nas x u renesansi je obicno res ili cosa, a x2 je najcesce censusFrancois Viete (Vieta, 1540.–1603.) je prvi koji je predloziokoristenje slova za konstante i nepoznanice (suglasnike zakonstante, samoglasnike za nepoznanice); osnovne 4 operacijeoznacavao je s +, −, in, razlomackom crtom, a = s aequibiturza potencije nepoznanica razni autori su imali razlicite oznake:Harriot: a, aa, aaa, . . . za a, a2, a3, . . .Stifel: nas A pise 1A, nas A2 pise 1AA, nas A3 pise 1AAA, . . .


Povijest matematike


Nepoznanice i njihove potencije

Chuquet je prvi matematicar koji koristi 0 kao eksponent (npr. pise120 za 12) i negativne eksponente (121m mu predstavlja 12x−1).Chuquet je za zivot zaradivao kao prepisivac, a njegova Triparty enla science des nombres je prva francuska knjiga o algebri (1484.).Ipak, ta je knjiga imala mali utjecaj jer je stampana tek 1880.godine. Kod Chuqueta s usrecemo i izraze milijun, bilijun i trilijun.

nas x u renesansi je obicno res ili cosa, a x2 je najcesce censusFrancois Viete (Vieta, 1540.–1603.) je prvi koji je predloziokoristenje slova za konstante i nepoznanice (suglasnike zakonstante, samoglasnike za nepoznanice); osnovne 4 operacijeoznacavao je s +, −, in, razlomackom crtom, a = s aequibiturza potencije nepoznanica razni autori su imali razlicite oznake:Harriot: a, aa, aaa, . . . za a, a2, a3, . . .Stifel: nas A pise 1A, nas A2 pise 1AA, nas A3 pise 1AAA, . . .


Povijest matematike


Fra Luca Pacioli (1445.–1517.)

1494. je objavio djelo Summa de arithmetica, geometria,proportioni et proportionalita (Summa), pregled tada poznatematematike koji je postao vazna osnova daljnjeg napretka. Paciolije svoje znanje matematike usavrsio u sluzbi bogatog venecijanskogtrgovca, a 1470-ih godina studirao je teologiju i postao franjevac.Mnogo je putovao i poducavao matematiku na raznimsveucilistima, medu inim i u Zadru, koji je u to doba bio dioMletacke republike.Pacioli koristi res-census terminologiju i ima vrlo pregledan nacinoznacavanja: za + koristi p., za − koristi m., za

√koristi R..

Rafael Bombelli (1526.–1572.)

R b 7 p. R 14 cDesifrirajte str. 125 !


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Diagrams/Bombelli.gif

https://books.google.hr/books?id=gxrO8ZnMK_YC&printsec=frontcover&hl=de&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false




√koristi R..


R b 7 p. R 14 c

Desifrirajte str. 125 !


Povijest matematike






√koristi R..


R b 7 p. R 14 cDesifrirajte str. 125 !


Povijest matematike




Renesansna algebra

Tijekom renesanse ce algebra postati potpuno samostalnamatematicka disciplina koja se bavi simbolickim rjesavanjempolinomijalnih jednadzbi. Glavnu ulogu u tome igrali sumatematicari talijanske renesanse i Francois Viete.Posebno, tijekom renesanse je odgovoreno na pitanje rjesivostijednadzbi 3. i 4. stupnja u radikalima.

Prvo znacajno algebarsko djelo u renesansi: Paciolijeva Summa(1494.). Radi se o izuzetno utjecajnom djelu, ne samo jer jepregled matematike tog vremena, nego i jer je pisano na narodnomtalijanskom jeziku itiskano. Dio Summe je posvecen rjesavanjuonih jednadzbi 4. stupnja koje se mogu rijesiti supstitucijom.


Povijest matematike


Renesansna algebra

Tijekom renesanse ce algebra postati potpuno samostalnamatematicka disciplina koja se bavi simbolickim rjesavanjempolinomijalnih jednadzbi. Glavnu ulogu u tome igrali sumatematicari talijanske renesanse i Francois Viete.Posebno, tijekom renesanse je odgovoreno na pitanje rjesivostijednadzbi 3. i 4. stupnja u radikalima.Prvo znacajno algebarsko djelo u renesansi: Paciolijeva Summa(1494.). Radi se o izuzetno utjecajnom djelu, ne samo jer jepregled matematike tog vremena, nego i jer je pisano na narodnomtalijanskom jeziku itiskano. Dio Summe je posvecen rjesavanjuonih jednadzbi 4. stupnja koje se mogu rijesiti supstitucijom.


Povijest matematike


Redukcija kubne jednadzbe

Talijanski matematicari 16. stoljeca bavili su se problemomrjesivosti kubnih jednadzbi bez kvadratnog clana (2., 3. i 4. tip uKhayyamovoj klasifikaciji). Naime, supstitucijom x = y − a

3 senormirana kubna jednadzba svodi na takvu:

Primjer

x3 + 3x2 = 12x + 18

x = y − 1

y3 = 15y + 4


Povijest matematike


Tri tipa reducirane kubne jednadzbe

x3 + bx = c (1)

x3 = bx + c , (2)

x3 + c = bx . (3)

Koeficijenti su b = A2 > 0 i c = B3 > 0, uz uzimanje u obzirtzv. principa homogenosti (duljine se mogu zbrajati samo sduljinama, povrsine s povrsinama, volumeni s volumenima). Tajprincip ce jos dugo ostati standard, cak i Viete ce ga se jos drzati.


Povijest matematike


Scipione del Ferro (1463.?–1526.)

Profesor matematike u Bologni.Oko 1515. nasao je algebarsku metodu za rjesavanje kubnihjednadzbi tipa x3 + bx = c .Svoje je rezultate cuvao tajnim (u to doba u Italiji moglo se dobrozaraditi rjesavajuci jednadzbe onima koji su ih trebali).Pred smrt je svoju metodu priopcio svom studentu Antoniu Fioru,a njegove je biljeske naslijedio zet mu Hanninal Nave.Ubrzo nakon del Ferrove smrti se proculo da je rijesen prvi tipkubne jednadzbe. U to se doba tim pitanjima bavio i:


Povijest matematike


Niccolo Tartaglia (1500.?–1557.)

Samouki matematicar iz Brescie.Tartaglia mu je zapravo nadimak (

”mucavac”), kojeg je dobio

zbog govorne mane koja je bila posljedica ozljede u djetinjstvu:Kad su Francuzi 1512. osvojili njegovu rodnu Bresciu, jedan mu jevojnik macem rasjekao celjust. Majka mu je uspjela spasiti zivot,ali ostala mu je govorna mana i velik oziljak kojeg je kao odrastaoskrivao bujnom bradom.Kad je imao 16 godina trebao je nauciti abecedu, no novaca je bilosamo do slova K. Tartaglia je ukrao udzbenik i sam naucio dalje nesamo abecedu, vec i latinski i kasnije matematik. Taj mu je talentdonio mjesta predavaca matematike prvo u Veroni, a u doba naseprice u Veneciji.Osim po doprinosu rjesenju kubne jednadzbe, poznat je po uviduda projektil ima najveci domet ako se ispali pod kutom od 45◦).


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Tartaglia.html


Tartaglia i kubna jednadzba

1530-ih godina je Tartaglia otkrio metodu za rjesavanje kubnejednadzbe oblika x3 + px2 = q3 i svoje otkrice nije tajio.Fior, uvjeren da samo on zna rijesiti tip x3 + bx = c , izazvao jeTartagliu na javno natjecanje (1535.) na kojem je svaki trebaozadati drugome po 30 zadataka. Tartaglia je ocekivao taj tip iuspio osmisliti vlastitu, u osnovi ponovno del Ferrovu metodu, zarjesenje takvih zadataka. Tako je on rijesio sve Fiorove zadatke, aliFior nije znao rijesiti sve njegove te je izgubio, a Tartaglia stekaoslavu.

Primjer

Primjer Fiorovog zadatka: Nadi mi broj koji zbrojen sa svojimkubom daje 6 (x3 + x = 6).

Za Tartaglia-inu pobjedu cuo je:Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Girolamo Cardano (1501.–1576.)

Milanski lijecnik i matematicar.Roden u Paviji kao izvanbracno dijete milanskog pravnika i mladeudovice.Cardano je studirao medicinu i postao medunarodno poznatlijecnik, cak je 1552. na zahtjev nadbiskupa Johna Hamiltona izEdinburgha putovao u Skotsku da ga izlijeci od astme.

Paralelno sa svojom lijecnickom praksom bavio se matematikom,ali i kockanjem i astrologijom.Osim o matematici, objavio je djela io astrologiji, fizici, sahu, kockanju, utjehi, cudesnim lijekovima,otrovima, zraku, vodi, snovima, urinu, zubima, kugi, mudrosti,moralu i glazbi. Njegovo je djelo o utjesi navodno je izvor zaHamletove komentare o snu i smrti.Stric mu je otrovan, a i samog Cardana i oca pokusavali suotrovati. Zena mu je umrla 1546. Imao je dva sina i jednu kcer.


Povijest matematike



Milanski lijecnik i matematicar.Roden u Paviji kao izvanbracno dijete milanskog pravnika i mladeudovice.Cardano je studirao medicinu i postao medunarodno poznatlijecnik, cak je 1552. na zahtjev nadbiskupa Johna Hamiltona izEdinburgha putovao u Skotsku da ga izlijeci od astme.Paralelno sa svojom lijecnickom praksom bavio se matematikom,ali i kockanjem i astrologijom.Osim o matematici, objavio je djela io astrologiji, fizici, sahu, kockanju, utjehi, cudesnim lijekovima,otrovima, zraku, vodi, snovima, urinu, zubima, kugi, mudrosti,moralu i glazbi. Njegovo je djelo o utjesi navodno je izvor zaHamletove komentare o snu i smrti.

Stric mu je otrovan, a i samog Cardana i oca pokusavali suotrovati. Zena mu je umrla 1546. Imao je dva sina i jednu kcer.


Povijest matematike



Milanski lijecnik i matematicar.Roden u Paviji kao izvanbracno dijete milanskog pravnika i mladeudovice.Cardano je studirao medicinu i postao medunarodno poznatlijecnik, cak je 1552. na zahtjev nadbiskupa Johna Hamiltona izEdinburgha putovao u Skotsku da ga izlijeci od astme.Paralelno sa svojom lijecnickom praksom bavio se matematikom,ali i kockanjem i astrologijom.Osim o matematici, objavio je djela io astrologiji, fizici, sahu, kockanju, utjehi, cudesnim lijekovima,otrovima, zraku, vodi, snovima, urinu, zubima, kugi, mudrosti,moralu i glazbi. Njegovo je djelo o utjesi navodno je izvor zaHamletove komentare o snu i smrti.Stric mu je otrovan, a i samog Cardana i oca pokusavali suotrovati. Zena mu je umrla 1546. Imao je dva sina i jednu kcer.


Povijest matematike


Starijem je sinu 1560. odrubljena glava jer je arsenom u kolacuotrovao zenu (koju je Cardano opisao kao bezvrijednu i besramnu,a koja se vlastitom muzu javno rugala da nije otac njihovo trojedjece).

Mladi sin je kao i otac bio ovisnik o kocki. Okrao jevlastito g oca koji ga je istjerao iz Bologne, a navodno da mu jeCardano u napadu bijesa i odrezao uho. Kcer je umrla od sifilisa.Skandali oko Cardana se gomilaju te ga sveuciliste pokusavaizbaciti, no Cardano tih godina ima jaku zastitu pape Grgura XIII.Godine 1570. uhapsen je kao heretik zbog objave horoskopa IsusaKrista, ali ga inkvizicija nije mucila. Po izlasku iz zatvora gubiposao i dobiva zabranu objavljivanja radova. Kraj zivota je proveou Rimu, uz malu mirovinu koju mu je osigurao papa. Premalegendi, izradio je horoskop po kojem je trebao umrijeti odredenogdana te se ubio kako bi odrzao reputaciju tocne izrade horoskopa.Dva najpoznatija njegova djela su Ars Magna (1545.) i Liber deLudo Aleae (objavljeno tek 1663.).


Povijest matematike


Starijem je sinu 1560. odrubljena glava jer je arsenom u kolacuotrovao zenu (koju je Cardano opisao kao bezvrijednu i besramnu,a koja se vlastitom muzu javno rugala da nije otac njihovo trojedjece). Mladi sin je kao i otac bio ovisnik o kocki. Okrao jevlastito g oca koji ga je istjerao iz Bologne, a navodno da mu jeCardano u napadu bijesa i odrezao uho. Kcer je umrla od sifilisa.

Skandali oko Cardana se gomilaju te ga sveuciliste pokusavaizbaciti, no Cardano tih godina ima jaku zastitu pape Grgura XIII.Godine 1570. uhapsen je kao heretik zbog objave horoskopa IsusaKrista, ali ga inkvizicija nije mucila. Po izlasku iz zatvora gubiposao i dobiva zabranu objavljivanja radova. Kraj zivota je proveou Rimu, uz malu mirovinu koju mu je osigurao papa. Premalegendi, izradio je horoskop po kojem je trebao umrijeti odredenogdana te se ubio kako bi odrzao reputaciju tocne izrade horoskopa.Dva najpoznatija njegova djela su Ars Magna (1545.) i Liber deLudo Aleae (objavljeno tek 1663.).


Povijest matematike


Starijem je sinu 1560. odrubljena glava jer je arsenom u kolacuotrovao zenu (koju je Cardano opisao kao bezvrijednu i besramnu,a koja se vlastitom muzu javno rugala da nije otac njihovo trojedjece). Mladi sin je kao i otac bio ovisnik o kocki. Okrao jevlastito g oca koji ga je istjerao iz Bologne, a navodno da mu jeCardano u napadu bijesa i odrezao uho. Kcer je umrla od sifilisa.Skandali oko Cardana se gomilaju te ga sveuciliste pokusavaizbaciti, no Cardano tih godina ima jaku zastitu pape Grgura XIII.Godine 1570. uhapsen je kao heretik zbog objave horoskopa IsusaKrista, ali ga inkvizicija nije mucila. Po izlasku iz zatvora gubiposao i dobiva zabranu objavljivanja radova.

Kraj zivota je proveou Rimu, uz malu mirovinu koju mu je osigurao papa. Premalegendi, izradio je horoskop po kojem je trebao umrijeti odredenogdana te se ubio kako bi odrzao reputaciju tocne izrade horoskopa.Dva najpoznatija njegova djela su Ars Magna (1545.) i Liber deLudo Aleae (objavljeno tek 1663.).


Povijest matematike


Starijem je sinu 1560. odrubljena glava jer je arsenom u kolacuotrovao zenu (koju je Cardano opisao kao bezvrijednu i besramnu,a koja se vlastitom muzu javno rugala da nije otac njihovo trojedjece). Mladi sin je kao i otac bio ovisnik o kocki. Okrao jevlastito g oca koji ga je istjerao iz Bologne, a navodno da mu jeCardano u napadu bijesa i odrezao uho. Kcer je umrla od sifilisa.Skandali oko Cardana se gomilaju te ga sveuciliste pokusavaizbaciti, no Cardano tih godina ima jaku zastitu pape Grgura XIII.Godine 1570. uhapsen je kao heretik zbog objave horoskopa IsusaKrista, ali ga inkvizicija nije mucila. Po izlasku iz zatvora gubiposao i dobiva zabranu objavljivanja radova. Kraj zivota je proveou Rimu, uz malu mirovinu koju mu je osigurao papa. Premalegendi, izradio je horoskop po kojem je trebao umrijeti odredenogdana te se ubio kako bi odrzao reputaciju tocne izrade horoskopa.Dva najpoznatija njegova djela su Ars Magna (1545.) i Liber deLudo Aleae (objavljeno tek 1663.).


Povijest matematike


U doba Tartagliaine pobjede Cardano se upravo spremao objavitidjelo Practica arithmeticae. Cardano je pozvao Tartaglia-u uMilano da ga pokusa nagovoriti da mu oda svoju metodu. Napisaomu je da ju zeli objaviti u svojoj knjizi, ali Tartaglia je odgovorioda ce ju sam objaviti.Na to je Cardano molio da mu metodu oda

”u povjerenju”. no i to

je Tartaglia isprva odbio. Cardano mu je pak zatim napisao da je onjemu razgovarao s milanskim guvernerom, te je Tartaglia, zelecipoboljsati svoju zaradu, pristao doci u Milano. Cardano ga jeugostio, ali guvernera nije bilo u gradu.Nakon puno nagovaranja Tartaglia je pristao odati metodu, uzuvjet da se Cardano zakune da ju nece objaviti prije nego ju samTartaglia objavi.


Povijest matematike


Cardano je zakletvu prekrsio objavom djela Ars Magna (1545.), ukojem navodi Tartagliau kao autora metode, a uz nju objavljuje isvoje prosirenje metode1 te rezultate svog studenta Ferrarija orjesenju jednadzbe cetvrtog stupnja.U Cardanovu obranu moze se reci da je Tartaglia dugo izbjegavaoobjaviti svoju metodu, a da je njena modifikacija do opceg rjesenjakubne jednadzbe Cardanov rezultat.Za Tartagliau ova je objava bila katastrofa, jer je njome izgubioprednost na natjecanjima (koja su mu osiguravala odredenufinancijsku dobit) te je optuzio Cardana za izdaju i izazvao ga nanatjecanje. Na to natjecanje (1548.) Cardano salje Ferrarija kojipobjeduje Tartagliau i Tartaglia je bio prisiljen otici s natjecanja, teTartaglia gubi i prestiz i dohodak te je zivot zavrsio kako ga je izapoceo: siromasan.

123 slucaja!Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Rjesenje reducirane kubne jednadzbe

x3−3px−2q = 0 :

x = u+v ⇒ u3 +v3 +3(uv−p)(u+v)−2q = 0

uv = p ⇒ u3 + v3 = 2q

Stoga umjesto polazne jednadzbe rjesavamo sustav

u3 + v3 = 2q, u3v3 = p3.

Dobije se

x = u + v =3

√q +

√q2 − p3 +

3

√q −

√q2 − p3.

Broj D = q2 − p3 zove se diskriminantom kubne jednadzbe. Ako jeD = 0, sva rjesenja su realna (i jedno je bar dvostruko). Ako jeD > 0, samo jedno rjesenje je realno. Ako je D < 0, u i v sukompleksni, no kubna jednadzba ima tri razlicita realna rjesenja.


Povijest matematike



x3−3px−2q = 0 :x = u+v ⇒ u3 +v3 +3(uv−p)(u+v)−2q = 0

uv = p ⇒ u3 + v3 = 2q


u3 + v3 = 2q, u3v3 = p3.

Dobije se

x = u + v =3

√q +

√q2 − p3 +

3

√q −

√q2 − p3.



Povijest matematike




uv = p ⇒ u3 + v3 = 2q


u3 + v3 = 2q, u3v3 = p3.

Dobije se

x = u + v =3

√q +

√q2 − p3 +

3

√q −

√q2 − p3.



Povijest matematike




uv = p ⇒ u3 + v3 = 2q


u3 + v3 = 2q, u3v3 = p3.

Dobije se

x = u + v =3

√q +

√q2 − p3 +

3

√q −

√q2 − p3.



Povijest matematike


Cardano je tu metodu ilustrirao i geometrijski, slicnogeometrijskom svodenju na potpun kvadrat.

x3 + a2x = b3

x −v

u


Povijest matematike


Primjer: x3 = 15x + 4

u3 + v3 = 4, u3v3 =

(15

3

)3

= 125⇒

u6 − 4u3 + 125 = 0,

(u3 − 2)2 + 121 = 0,

u3 − 2 = ±√−121

(!!!!! prva pojava kompleksnih brojeva u povijesti !!!!!). Kako jeCardano znao da x3 = 15x + 4 ima rjesenje x = 4, zapisao jeu3 = 2 +

√−121 i iz toga izracunao v3 = 4− u3 = 2−

√−121 i

stoga

x = u + v =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121.

Ali, x = 4?! To je kasnije pokazao Rafael Bombelli.


Povijest matematike


Primjer: x3 = 15x + 4

u3 + v3 = 4, u3v3 =

(15

3

)3

= 125⇒

u6 − 4u3 + 125 = 0,

(u3 − 2)2 + 121 = 0,

u3 − 2 = ±√−121

(!!!!! prva pojava kompleksnih brojeva u povijesti !!!!!). Kako jeCardano znao da x3 = 15x + 4 ima rjesenje x = 4, zapisao jeu3 = 2 +

√−121 i iz toga izracunao v3 = 4− u3 = 2−

√−121 i

stoga

x = u + v =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121.

Ali, x = 4?! To je kasnije pokazao Rafael Bombelli.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Lodovico Ferrari (1522.–1565.)

Nakon sto mu je otac poginuo, zivio je kod strica, ciji sin je pobjegao odkuce i zaposlio se kao sluga kod Cardana, no ubrzo je shvatio da mu jekod kuce bilo bolje te je bez obavijesti napustio Cardana i vratio se kuci.Kad je Cardano kontaktirao njegova oca, on je Cardanu umjesto sinaposlao tad 14-godisnjeg Lodovica.Lodovico je znao citati i pisati pa ga je zaposlio kao tajnika, a kako jebrzo uocio i njegov matematicki talent, Cardano ga je poducio imatematici. Ferrari je brzo napredovao i metodu za kubnu jednadzbudopunio do metode za rjesavanje jednadzbe cetvrtog stupnja.Nakon natjecanja s Tartagliom, Ferrari je trazio bolje placen posao.Obogatio se u sluzbi milanskog upravitelja, don Ferranda di Gonzage, aliga je sklonost uzicima kostala zdravlja. Otisao je zivjeti sa sestrom,udovicom, u Bolognu, gdje je dobio i profesuru matematike na sveucilistu,no godinu kasnije je umro. Smatra se da ga je otrovala sestra, koja jeodbila tugovati na pogrebu i dva tjedna nakon sto je naslijedila njegovobogatstvo ponovno se udala (no, kad je sve svoje vlasnistvo prepisalamuzu, on ju je odmah ostavio te je umrla u siromastvu).Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Rjesavanje jednadzbe 4. stupnja

Primjer

Rijesimox4 + 4x3 − 17x2 − 24x + 36 = 0.

Ferrarijevom metodom.

Supstitucija x = y − 1 (x je y minus 14 koeficijenta uz x3)

eliminira kvadratni clan, a ostatak jednadzbe pisemo tako dalijevo ostanu clanovi 2. i 4. stupnja: y4 − 23y2 = −18y − 40.

Svodimo lijevu stranu na potpun kvadrat: Pribrojimo 232

4 i

dobijemo 4(y2 − 23

2

)2= 369

4 − 18y .Uvodimo dodatnu nepoznanicu t pribrajanjemt2 + 2t(y2 − 23/2) (dakle, t2 + 2t

(x2 + A

), gdje je lijeva

strana prethodne jednadzbe (y2 + A)2):


Povijest matematike



Primjer

Rijesimox4 + 4x3 − 17x2 − 24x + 36 = 0.



eliminira kvadratni clan, a ostatak jednadzbe pisemo tako dalijevo ostanu clanovi 2. i 4. stupnja: y4 − 23y2 = −18y − 40.Svodimo lijevu stranu na potpun kvadrat: Pribrojimo 232

4 i


2

)2= 369

4 − 18y .

Uvodimo dodatnu nepoznanicu t pribrajanjemt2 + 2t(y2 − 23/2) (dakle, t2 + 2t

(x2 + A

), gdje je lijeva



Povijest matematike



Primjer

Rijesimox4 + 4x3 − 17x2 − 24x + 36 = 0.



eliminira kvadratni clan, a ostatak jednadzbe pisemo tako dalijevo ostanu clanovi 2. i 4. stupnja: y4 − 23y2 = −18y − 40.Svodimo lijevu stranu na potpun kvadrat: Pribrojimo 232

4 i


2

)2= 369

4 − 18y .Uvodimo dodatnu nepoznanicu t pribrajanjemt2 + 2t(y2 − 23/2) (dakle, t2 + 2t

(x2 + A

), gdje je lijeva



Povijest matematike


(y2 − 23

2 + t)2

= 2ty2 − 18y + t2 − 23t + 3694 .

Biramo jedan t za koji je diskriminanta desne strane s obziromna x jednaka 0, npr. t = 1

2 .

Onda preostaje(y2 − 11

)2= y2 − 18y + 81 = (y − 9)2.

y2 − 11 = ±(y − 9)⇒ y1,2,3,4 = −5;−1; 2, 4⇒ x1,2,3,4 =−6;−2; 1, 3.

Napomena

U to doba jos ne postoji svijest o vezi broja rjesenja i stupnjajednadzbe. O tom potom.


Povijest matematike


(y2 − 23

2 + t)2

= 2ty2 − 18y + t2 − 23t + 3694 .


2 .


)2= y2 − 18y + 81 = (y − 9)2.

y2 − 11 = ±(y − 9)⇒ y1,2,3,4 = −5;−1; 2, 4⇒ x1,2,3,4 =−6;−2; 1, 3.

Napomena



Povijest matematike


(y2 − 23

2 + t)2

= 2ty2 − 18y + t2 − 23t + 3694 .


2 .


)2= y2 − 18y + 81 = (y − 9)2.

y2 − 11 = ±(y − 9)⇒ y1,2,3,4 = −5;−1; 2, 4⇒ x1,2,3,4 =−6;−2; 1, 3.

Napomena



Povijest matematike



Primjer

Bombelli je prvi pokazao da je Cardanovo rjesenjex = 3

√2 +√−121 + 3

√2−√−121 jednako 4. Uocio je prvo da

ako to uopce jest smisleno, onda je 3√

2±√−121 = a± b

√−1.

D

3

√2 +√−121 = a + b

√−1,

2 +√−121 = a(a2 − 3b2) + b(3a2 − b2)

√−1,

2 = a(a2 − 3b2), 11 = b(3a2 − b2).

Za a = 2 i b = 1 je to OK, dakle je3√

2 +√−121 = 2 +

√−1 = 2 +

√−1 + 2−

√−1 = 4.


Povijest matematike



Primjer

Bombelli je prvi pokazao da je Cardanovo rjesenjex = 3

√2 +√−121 + 3

√2−√−121 jednako 4. Uocio je prvo da

ako to uopce jest smisleno, onda je 3√

2±√−121 = a± b

√−1. D

3

√2 +√−121 = a + b

√−1,

2 +√−121 = a(a2 − 3b2) + b(3a2 − b2)

√−1,

2 = a(a2 − 3b2), 11 = b(3a2 − b2).

Za a = 2 i b = 1 je to OK, dakle je3√

2 +√−121 = 2 +

√−1 = 2 +

√−1 + 2−

√−1 = 4.


Povijest matematike


Time je Bombelli prva osoba u povijesti koja je kao smisleneprihvatila kompleksne brojeve, a opisao je i pravila racuna s njima.Bombelli imaginarne brojeve zapisuje kao kvadratne korijenenegativnih brojeva te daje pravila za njihovo zbrajanje, oduzimanjei mnozenje, npr.

”plus od minusa puta plus od minusa je minus”2

(+√−n · +

√−n = −n). Dokazao je i da ireducibilni slucaj kubnejednadzbe ima tri realna rjesenja. Kod Bombellija se moze naci igeometrijska definicija realnih brojeva: ako se odabere jedinicnaduljina, onda se brojevi mogu predstaviti kao duljine.

2Primjer oznake: p.d.m.11 je nas +√−121.


Povijest matematike


Bombelli je bio arhitekt iz Bologne. Obrazovao ga je arhitektClementi te i sam Bombelli, uz podrsku rimskog plemicaAlessandra Ruffinija, postaje arhitekt. Godine 1555. dolazi doprekida projekta isusivanja mocvara koji je radio za Ruffinija te utoj pauzi Bombelli odlucuje napisati knjigu iz algebre, smatrajucida su sukobi oko rezultata posljedica njihova nedovoljno pazljivaizlaganja, koje je uz to cesto bilo nepristupacno nematematicarima.Bombelli je za cilj imao napisati opci i lakse razumljiv prikazalgebre. Ipak, spomenuti projekt se ubrzo nastavlja, a Bombellinastavlja svoju uspjesnu arhitektonsku karijeru prije zavrsetkaknjige. Prve tri knjige Bombellijeve Algebre objavljene su 1572., adruge dvije su ostale nedovrsene i izdane posthumno. NjegovaAlgebra daje potpun prikaz tada poznate algebre, ukljucivsi pravilaaritmetike s pozitivnim i negativnim brojevima, dokaz da jeproblem trisekcije kuta ekvivalentan rjesavanju kubne jednadzbe tedetaljnu diskusiju kompleksnih brojeva.


Povijest matematike


Franois Viete (1540.–1603.)

Viete je bio francuski pravnik i zastupnik u parlamentu, amatematikom se bavio u slobodno vrijeme. Godine 1591. objavioje In artem analyticem isagoge u kojoj opisuje primjenu algebre nageometriju. Nakon Viete algebra postaje opca znanost oalgebarskim jednadzbama oslonjena na simbolicke oznake. On je iprvi koji je dao primjere jednadzbi koje imaju onoliko rjesenja kolikiim je stupanj. Viete u svom djelu prikazuje (vec prije poznate, ali isvoje nove) metode za rjesavanje jednadzbi do stupnja 4 i dajevezu (Vieteove formule) izmedu koeficijenata3 i rjesenja jednadzbe.

x2 + ax + b = 0 : x1x2 = b, x1 + x2 = −a.x3 + ax2 + bx + c = 0 :

x1x2x3 = −c , x1x2 + x1x3 + x2x3 = b, x1 + x2 + x3 = −a.3Sam pojam

”koeficijent” je uveo upravo Viete.


Povijest matematike


Viete kriptolog

U to doba jedna je od najvecih svjetskih sila Spanjolska, a njeni agentikomunicirali su koristeci sifre s oko 500 znakova. Spanjolski kralj Filip II,poznati borac protiv reformacije, zagovornik inkvizicije i pokretac armadeprotiv Engleske, 1590. je godine postavio zahtjev za francuskimprijestoljem na osnovi rodbinskih veza. Francuski kralj Henrik IV,protestant, odbio je te zahtjeve te je doslo do rata. Francuzi su presrelijednu spanjolsku poruku te ju je kralj dao Vieteu da ju desifrira, sto muje uspjelo: 15. ozujka 1590. kralju je predao desifriranu poruku, a poslijeje desifrirao i jos neke druge poruke. Spanjolci su to shvatili tek jednodvije godine kasnije. Filip II je tuzio Francusku papi da se koristi crnommagijom: trazilo se da se Vieteu sudi kao carobnjaku i nekromantu upaktu s vragom. Papa (vj. Klement VIII) u to nije povjerovao, a cini seda ga je cijela situacija zabavljala, iako je pokrenuta istraga koja do danadanasnjeg nikad nije sluzbeno zakljucena.


Povijest matematike


I jos malo politike

Godine 1593. belgijski matematicar Adrian van Roomen postavio jezadatak

x45 − 45x43 + 945x41 − 12300x39 + 111150x37 − 740459x35 +

3764565x33 − 14945040x31 + 469557800x29 − 117679100x27 +

236030652x25 − 378658800x23 + 483841800x21 − 488484125x19 +

384942375x17 − 232676280x15 + 105306075x13 − 34512074x11 + 7811375x9 −

1138500x7 + 95634x5 − 3795x3 + 45x =

√√√√7

4−√

5

16−

√15

8−√

45

64.

te je nizozemski ambasador u Francuskoj kralju komentirao da sufrancuski matematicari preslabi da ijedan od njih rijesi Roomenovproblem. Kralj Henrik IV je problem dao Vieteu, koji ga je brzo rijesiouocivsi da je u pozadini jednadzbe relacija izvediva iz pretpostavki√

74 −

√5

16 −√

158 −

√4564 = 2 sin 12◦ i x = 2 sin(12◦/45).


Povijest matematike


Matematika i likovna umjetnost

Do renesanse ne postoji dokaz da je itko od ranijih umjetnikarazumio ili razradio matematicke zakone pravilnog perspektivnogcrtanja i slikanja.Oko 1420. Filippo Brunelleschi (1377.–1446.) izrice glavno pravilolinearne perspektive: Svi pravci danog smjera u nekoj ravnini (kojanije ravnina slike)

”konvergiraju” istoj izbjeznoj tocki.

Brunelleschi je razvio i precizna pravila za odredivanje velicineobjekta na slici ovisno o njegovoj udaljenosti od slike. Ipak,Brunelleschi nikad nije zapisao objasnjenje pravila linearneperspektive; to ce prvi uciniti Leone Alberti (1404.–1472.) u svojadva djela De pictura (na latinskom, 1435.) i Della pittura (na

talijanskom, 1436.). link


Povijest matematike

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-alberti2


Pierro della Francesca (1412.–1492.)

Della Francesca je bio ne samo umjetnik, nego i matematicar, a udjelo o perspektivi je ukljucio i dijelove o aritmetici i algebri te dugdio o geometriji, i to ne samo prikaz poznatih rezultata, vec i svojeoriginalne doprinose.U detaljnom prikazu Arhimedovih tijela ukljucuje i njihove pravilneperspektivne slike. Matematicke principe perspektive Pierro dellaFrancesca opisuje u djelu De prospectiva pingendi (oko 1470.).


Povijest matematike

https://en.wikipedia.org/wiki/De_Prospectiva_Pingendi


Jedan od najznacajnijih matematicara talijanske renesanse, fraLuca Pacioli (1445.–1517.) na osnovi della Francescinih djelanapisao je svoj prikaz pravila perspektive u svom djelu De divinaproportione (1509.). To je djelo napisao u Milanu, kamo je oko1496. na poziv vojvode Ludovica Sforze dosao poducavatimatematiku na njegovu dvoru. Tu je upoznao Leonarda da Vincija(1452.–1519.) i s njime se sprijateljio. Knjigu

De divina proportione je ilustrirao da Vinci.Da Vinci je i sam imao mnogo interesa za geometriju i dao vlastiteprikaze i objasnjenja perspektivnih pravila i konstrukcija, a bavio sei inverznim problemom4 perspektive: kako za danu sliku odreditigdje se nalazi oko promatraca ako je prikaz perspektivno korektan.

4Inverznom perspektivom bavio se i Simon Stevin.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

http://www.graphicine.com/a-picture-is-worth/


Albrecht Durer (1471.–1528.)

Nijemac madarskog porijekla, unuk zlatara, trece od 18 djece uobitelji. Vec s trinaest godina se istakao kao slikar.Na putu u Italiju 1494. saznaje za Paciolijeva djela i vaznostmatematike u slikarstvu te po povratku u Nurnberg pocinjeproucavati matematicka djela.Od oko 1500. se u Durerovim djelima moze otkriti matematickiutjecaj. Osobito su poznati njegovi bakrorezi koji prikazuju vezuslike i originala po perspektivnim pravilima. Kako bi produbioznanje matematike, 1505.–1507. ponovno putuje po Italiji te popovratku skuplja materijal za pisanje djela o primjeni matematike uumjetnosti. To djelo nikad nije zavrsio.


Povijest matematike


Najpoznatija Durerova”matematicka” slika Melencolia I (1514.,

slika ?? desno) donosi prvi magicni kvadrat viden u Europi, kojemje godina nastanka unesena kao brojevi 15 i 14 u donjem redu.Durer 1525. objavljuje svoje znamenito djeloUnderweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen .

Taj je tekst detaljan prikaz teorije sjena i perspektive, a ujedno seradi o prvoj matematickoj knjizi na njemackom jeziku koja donosinove rezultate.


Povijest matematike

http://www.albrecht-duerer-apokalypse.de/images/hochaufgeloeste-bilder/albrecht-duerer-melencolia-1-high.jpg

http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-albrecht-durers-treatise-on-mensuration


Primijenjeni matematicari u renesansi

u 15. st. astronomija se jos temeljila na PtolemejevomAlmagestu

Kopernik prvi predlaze heliocentricni sustav (DeRevolutionibus Orbium Coelestium, 1543.)

problem: pretpostavlja da su putanje kruzne

Galileo Galilei (1564.–1642.) je prvi pokazao mogucnostkretanja planeta oko Sunca, no za matematiku je vazniji po tridoprinosa:

prva eksplicitna pjava beskonacnih skupova: prirodnih brojevaima jednako mnogo kao njihovih kvadrata

objasnio je zasto pri bacanju tri kockice nisu svi zbrojevijednako vjerojatni i

postavio je temelje racuna pogreske


Povijest matematike

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Galileo.arp.300pix.jpg











Povijest matematike












Povijest matematike



Galileove temeljne postavke racuna pogreske

Galileo je svijestan da svako mjerenje nosi gresku. U Dialogo opra idue Massimi Sistemi del Mondo Tolemaico e Copernicano (1632)tvrdi, da cemo dobiti pouzdanije podatke ako provedemo sto visemjerenja, a pritom vrijedi

Samo je jedna stvarna vrijednost fizikalne velicine(npr. udaljenost sredista Zemlje do neke zvijezde).

Mjerenja nose gresku uslijed nesavrsenosti promatraca imjernog instrumenta.

Greske se rasporeduju simetricno s obzirom na 0.

Manje gresek su vjerojatnije od velikih.

Nazalost, Galileo jos nije dao prijedlog kako iz rezultata mjerenja(podataka) dobiti procjenu stvarne vrijednosti.


Povijest matematike


Johannes Kepler (1571.–1630.)

Kepler je medu velikim renesansnim astronomima najvisematematicar.

Keplerov prvi model Suncevog sustava (Mysterium

cosmographicum, 1596.).1599. je postao asistent danskog astronoma Tycho Brahea(1546.–1601.) u Pragu. Koristeci Braheove podatke, Kepler jeformulirao svoja tri znamenita zakona gibanja planeta(1609. odnosno 1619.).

1 Planeti se oko Sunca krecu po elipsama, u cijem jednomzaristu je Sunce.

2 Radij-vektori planeta (spojnice planeta sa Suncem) ujednakim vremenskim razmacima prelaze jednake povrsine.

3 Kvadrat godine (vremena obilaska) planeta je razmjeran kubuvelike osi pripadne orbite.


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Kepler.html

https://www.independent.co.uk/news/science/rhodri-marsdens-interesting-objects-keplers-model-of-the-universe-9279045.html



Kepler je medu velikim renesansnim astronomima najvisematematicar.Keplerov prvi model Suncevog sustava (Mysterium

cosmographicum, 1596.).

1599. je postao asistent danskog astronoma Tycho Brahea(1546.–1601.) u Pragu. Koristeci Braheove podatke, Kepler jeformulirao svoja tri znamenita zakona gibanja planeta(1609. odnosno 1619.).





Povijest matematike






cosmographicum, 1596.).1599. je postao asistent danskog astronoma Tycho Brahea(1546.–1601.) u Pragu.

Koristeci Braheove podatke, Kepler jeformulirao svoja tri znamenita zakona gibanja planeta(1609. odnosno 1619.).





Povijest matematike






cosmographicum, 1596.).1599. je postao asistent danskog astronoma Tycho Brahea(1546.–1601.) u Pragu. Koristeci Braheove podatke, Kepler jeformulirao svoja tri znamenita zakona gibanja planeta(1609. odnosno 1619.).





Povijest matematike




Kepler se bavio i poliedrima . Prvi im je pristupio sustavno iponovno je otkrio Arhimedova tijela. Otkrio je novu klasupoliedara (antiprizme) i neke nove poliedre ( rompski dodekaedar i

rompski triakontaedar ). Prvi se bavio i zvjezdastim poliedrima.

Keplerova hipoteza, 1611.:


Povijest matematike

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_dodecahedron

https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_triacontahedron


Kepler se bavio i poliedrima . Prvi im je pristupio sustavno iponovno je otkrio Arhimedova tijela. Otkrio je novu klasupoliedara (antiprizme) i neke nove poliedre ( rompski dodekaedar i

rompski triakontaedar ). Prvi se bavio i zvjezdastim poliedrima.

Keplerova hipoteza, 1611.:


Povijest matematike

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_dodecahedron

https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_triacontahedron


Simon Stevin (1548.–1620.)

Stevin je objavio nekoliko znacajnih fizikalnih djela. Osobito jevazno njegovo djelo De Beghinselen der Weegconst iz 1586. ukojem se bavi tzv. trokutom sila (sto mozemo smatrati pocetkomvektorskog racuna), pitanjima ravnoteze i tlakom. Stevin tim i josnekim djelima ostvaruje prvi napredak na podrucju statike ihidrostatike nakon Arhimeda.

Za matematiku je osobito znacajna njegova knjizica De Thiende(Desetina) iz 1585. u kojoj daje prvo europsko izlaganje teorijedecimalnih razlomaka i decimalnog mjernog sustava. No, trebat cejos ca. 200 godina dok decimalni brojevi budu u siroj uporabi.

Primjer

Nas 27,847 kod Stevina izgleda: 27 0© 8 1© 4 2© 7 3©.


Povijest matematike

http://www.alamy.com/stock-photo-a-diagram-of-the-balance-of-forces-on-an-inclined-plane-by-simon-stevin-104003474.html

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Stevin-Thiende-page13.jpg/598px-Stevin-Thiende-page13.jpg


Simon Stevin (1548.–1620.)

Stevin je objavio nekoliko znacajnih fizikalnih djela. Osobito jevazno njegovo djelo De Beghinselen der Weegconst iz 1586. ukojem se bavi tzv. trokutom sila (sto mozemo smatrati pocetkomvektorskog racuna), pitanjima ravnoteze i tlakom. Stevin tim i josnekim djelima ostvaruje prvi napredak na podrucju statike ihidrostatike nakon Arhimeda.Za matematiku je osobito znacajna njegova knjizica De Thiende(Desetina) iz 1585. u kojoj daje prvo europsko izlaganje teorijedecimalnih razlomaka i decimalnog mjernog sustava. No, trebat cejos ca. 200 godina dok decimalni brojevi budu u siroj uporabi.

Primjer

Nas 27,847 kod Stevina izgleda: 27 0© 8 1© 4 2© 7 3©.


Povijest matematike

http://www.alamy.com/stock-photo-a-diagram-of-the-balance-of-forces-on-an-inclined-plane-by-simon-stevin-104003474.html

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Stevin-Thiende-page13.jpg/598px-Stevin-Thiende-page13.jpg

Documents

Franka Miriam Bruckler - pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat07-2017.pdf · prvi put u Europi pojavljuje i Pascalov trokut, a koriste se i znakovi +, , p. U tom je djelu