Föreläsning 4:Aritmetik, forts.Tal i bråkformTal i decimalformSambandet mellan tal i bråkform och decimalformProcentbegreppet och ProcenträkningAlgebraLäroplanen om algebra och algebraiskt tänkandePre-algebra och övergången aritmetik-algebraProportionalitet och diagram

Laborativa modeller

Skrivna symboler

Omvärlds-situationer

Talade symboler

Bilder

BEGREPPSBILDNING – transformationer mellan representationsformer

Representationsformer för bråk (rationella tal):

1. Som del av en helhet

2. Som del av ett antal

3. Som andel

4. Som förhållande

5. Som ett tal

1. Som del av en helhet

52

51

51

=+ av kakan

Delens storlek beroende av det helas storlek

2. Som del av ett antal

52

av 10 knappar

Antalet enheter i delen är beroende av antalet enheter i det hela

3. Som relativ andel av något

.....104 % 40

52

===

Två femtedelar av barnen i klassen

40% av alla barn i landet

Fyra av tio barn i Finland har haft vattkoppor

4. Som förhållande

Ett kilo äpplen kostar 2 euro och 50 cent. Kilopriset är 2,50.

Summan vi betalar för äpplena är proportionell mot antalet kilogram vi köper.

För 5 euro får vi 2 kg äpplen

För 1 euro får vi 2/5 kg äpplen

Förhållandet mellan vikt och pris 2:5

Förhållandet mellan pris och vikt 5:2

52

25

5. Som ett tal

4,0....3514

156

104

52

=====

Ett bråktal kan uttryckas på olika sätt

Bråket har en plats på tallinjen

Räknereglerna gäller

Tal i decimalform = tal skrivna i decimalsystemet (tio-systemet)

340 340,97 3,666 ...

heltalsdel decimaler2 3 , 4 5 6 7

Tiotusendel

Tusendel

Hundradel

Tiondel

Decimaltecken eller decimalkomma

Utläses: ”tjugotre komma fyra fem sex sju” eller

”tjugotre hela fyratusenfemhundrasextiosju tiotusendelar”

Inte:

”Tjugotre hela (komma) fyratusenfemhundrasextiosju”

Vad är ett decimaltal?

Alla bråk (rationella tal) har en sk periodisk decimalutveckling, dvs. en viss grupp siffror upprepar sig då bråket skrivs i decimalform:

1/5 = 0,20(0) 5/8 = 0,6250(0) 3 =3/1= 3,0(0)

2/3 = 0,6(6) ... 5/11 = 0,45(45)... 3/7 = 0,428571 (428571) ...

5/11 = 0,4545 ... ≈ 45/100 = 45%

Ett decimaltal är ett bråk som har en periodisk decimalutveckling bestående av enbart nollor.

Således är sådana bråk som inte kan skrivas med ett ändligt antal siffror i decimalform, inte decimaltal.

Viktigt inom procenträkning

Vad är procent %? 1% = en hundradel

Sambandet mellan bråkform, decimalform och procentform

½ = 0,5 = 5/10= 50/100 = 50%

¼ = 0,25 = 25/100 = 25%

Uttrycka jämförelser, minskningar, ökningar i %

Begreppen brutto, netto, ränta

Avläsa procentuella andelar ur bilder

Beräkna procentuella andelar

Uttrycka procentuella andelar i form av cirkeldiagram

Läroplanen om algebra

Åk 1-2 Lära sig hitta likheter och olikheter, lagbundenheter och beroendeförhållanden

Bilder tolkas

Enkla talföljder tolkas och bildas

Presentera information i diagram, stapeldiagram

Läroplanen om algebra, forts.:

Åk 3-5: Begreppet uttryckAtt tolka och skriva talföljder, regelbundenheter, förhållanden och beroenden Söka lösningar till ekvationer och olikheter genom slutledning

Texter, bilder och händelser tolkas. Göra upp planer för lösningar Tolka färdiga talföljder, göra upp egna talföljderTolka och presentera beroendeförhållanden

Läroplanen om algebra, forts.:

Åk 6: (ingår i läroplanen för åk 6-9)

I läroboksserien Tänk och räkna behandlas:

Talföljder och talmönsterUttryck, variabler och formler Obekanta tal, ekvationer Beroendeförhållanden med ”funktionsmaskin”, värdetabellerBeroendeförhållanden som värdetabeller och linjediagram

Fortsätt 20 25 30 35 __ __ __

Skriv tal som fattas 68 66 __ __ 60 __ __

Fortsätt mönstret ....

Minska med ...

Vädret under en månad registreras i stapeldiagram

Öka med, minska med..

Bygg talen 1, 3, 6, 10, 15. Vad kan du se? Vilket är följande tal?

Fyra barn står i kö. På vilka olika platser kan barnen stå i kö?

Morfar delar 1500 euro mellan Oliver, Hanna och Linda. Linda får 300 euro. Oliver får lika mycket som Hanna. Hur mycket får Oliver?

Du har ett tal. När du multiplicerar talet med 3 och lägger till 2 får du 20. Vilket är talet?

Gör upp en tabell som visar hur vikten på olika djur varierar.

Algebra”Algebra” och ”algoritm” från den arabiske matematikern al-Khwarizmi

Har utvecklats ur generella lösningsmetoder till svåra problem i aritmetik (symbolisk algebra) och geometri (geometrisk algebra)

I skolan föregås algebra och introduktion av det algebraiska symbolspråket av sk. pre-algebra, dvs. att man:

*arbetar med likhetstecknet på ett strukturellt sätt (t.ex.5 + 7 = 8 + ); *resonerar fram lösningar;*arbetar med mönster och generaliseringar i form av bilder, talföljder; *tolkar och gör tabeller och kurvor som visar beroendeförhållanden, t. ex. hur temperaturen varierar med tiden

Steget från pre-algebra till algebra innebär bl.a.:introduktion av bokstavssymboler för okända eller godtyckliga tal, formulering av uttryck, formulering och lösning av likheter(ekvationer) och olikheter

Bokstavssymboler används:

•För bestämda, men okända talT ex. i ekvationen 2x + 3 = 7

För okända tal som kan variera (variabel, parameter)T. ex. i funktionen y = 2x + 1 ; i funktionen y = 5·t2 (anger relationen fallsträcka i m på t s.)i uttrycket för ett triangeltal: n(n+1)/2i uttrycket för ett udda tal: 2n+1

För godtyckliga, men konstanta tal T. ex. i uttrycket ax + b

Aritmetiska tillvägagångssätt:

-Talen, räknesätten och svaret i fokus.

2 + 3 = ?

1 + 4 = ?

9·7 + 9 = ?

”9·7 blir 63 och 63+9 blir 72”

En god taluppfattning (number sense) är grund för det algebraiska tänkandet och känslan för symbolers betydelse (symbol sense).

Algebraiska tillvägagångssätt

-Även operationerna på talen och strukturen i fokus

a + b = b + a

a + b = (a - 1) + (b + 1)

ab + a = a(b+1)

Klassen samlar saker till en försäljning. Om vi i medeltal samlar 10 saker per skoldag, hur många veckor kommer det att ta för oss att få ihop 500 saker?

Möjliga aritmetiska tillvägagångssätt: upprepad addition, upprepad subtraktion, pröva sig fram med multiplikation eller division

DT

5

Algebraiskt tillvägagångssätt: division

T = totala antalet saker; D = antalet insamlade saker per dag5D = antalet insamlade saker per vecka

Den algebraiska cykeln

Översättning Algebraiskt uttryck

Omskrivningar, förenkling,

Algebraiskt uttryck

Händelse, situation

Tolkning

Diagram: ett sätt att ordna upp och kommunicera insamlade data

- ”Diagram” från grekiskans ord för ”rita”

- att kunna tolka, samla in och kommunicera uppgifter och numeriska data i form av bilder och grafiska representationer (tabeller, diagram, kartor, ritningar..) är en viktig medborgarfärdighet

- djup förståelse av diagram och tabeller eftersträvas:tolkning mer än att kunna avläsa eller presentera (se Åberg-Bengtssons artikel i B-kompendiet!)

Avs

tånd

Tid

Avs

tånd

Tid

- vanlig feltolkning: uppförsbacke (ikonisk tolkning)

- svårt att skilja mellan absoluta och relativa värden

Diagramtyper:

-Stapeldiagram, stolpdiagram

-Linjediagram

-Cirkeldiagram

Stapeldiagram- rektanglar med samma bas och med höjder som visar variabelns värde. Höjden är proportionell mot frekvensen för de olika observationerna. Mellanrum mellan rektanglarna.

Exempel: 20 personer har grundskola som högsta utbildning, 50 har gymnasium och 10 högskola.

Stolpdiagram

Då det statistiska materialet består av tal. Höjden på stolparna visar variabelns värde

Cirkeldiagram

Cirkelsektorerna visar relativa andelar av en helhet

Linjediagram (eller kurvdiagram) -består av en sammanhängande följd av sträckor som visar en (tidsmässig) utveckling av något, ”växtkurva”.

Exempel: Prisutvecklingen på en vara.

29 barn i klassen har sagt vilken mat de tycker bäst om:

Maträtt Antal

Köttbullar 7

Köttsoppa 10

Gröt 5

Hamburgare 7

7/29 = 21/87= 28/116

≈ 24/100 ≈ 24%

Eller med hjälp av 100 cm måttband som läggs ut i en cirkel runt kulorna.

Exempel: Att arbeta med cirkeldiagram

Exempel: Tolkning av linjediagram

Herman, Inger, Kalle och Maria cyklar vanligen till skolan. Här kan du se fyra bilder och de historier som Herman, Inger och Kalle en dag berättade åt sin lärare. Kombinera varje berättelse med en bild. Vad kan Maria ha berättat?

Herman: Jag hade just farit hemifrån då jag insåg att jag har jumpa idag. Jag måste cykla hem igen för att hämta jumpa-väskan och sedan skyndade jag till skolan.

Inger: Jag tar det alltid lugnt i början, men sedan måste jag cykla snabbt så jag inte kommer för sent.

Kalle: Jag fick ta mopeden idag, gasade på. Men bensinen tog slut, jag måste gå sista biten och hann knappt i tid!

Tid

Avs

tånd

Avs

tånd

Avs

tånd

TidTid

A B C D

Avs

tånd

Avs

tånd

Avs

tånd

TidTid

A B C D

Tid

Avs

tånd

Tid

Avs

tånd

Tid