Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerekKvantitatív módszerek

8. Hipotézisvizsgálatok I.Nemparaméteres próbák

Dr. Kövesi JánosDr. Kövesi János

Készítette: Erdei JánosKészítette: Erdei János

Általános menet - 1

szakmai megfontolások alapján felállítjuk szakmai megfontolások alapján felállítjuk az igazolandó hipotézistaz igazolandó hipotézist

statisztikai próba kiválasztásastatisztikai próba kiválasztása felállítjuk a nullhipotézistfelállítjuk a nullhipotézist meghatározzuk a szignifikancia szintet, meghatározzuk a szignifikancia szintet,

mintanagyságot, mintavételmintanagyságot, mintavétel elfogadási és elutasítási tartomány elfogadási és elutasítási tartomány

meghatározásameghatározása


Általános menet-2

számított érték meghatározása, a minta számított érték meghatározása, a minta adataibóladataiból

számított érték és az elfogadási ill. kritikus számított érték és az elfogadási ill. kritikus tartomány összehasonlításatartomány összehasonlítása

döntés a nullhipotézisrőldöntés a nullhipotézisről értelmezzük az előző pont eredményét a értelmezzük az előző pont eredményét a

szakmai hipotézisreszakmai hipotézisre


Statisztikai próbák elve

f(2)

2

DF (szabadsági fok)

2 krit2 krit

2 szám 2

szám

=1-

P(2szám< 2

krit()|H0 igaz) = 1- = P(2szám< 2

krit()|H0 igaz) = 1- =


Feladat

Feladat: Egy dobókockáról szeretnénk megtudni, hogy szabályos-e, azaz minden szám előfordulásának valószínűsége egyforma. Hogyan döntsük el?Hogyan döntsük el?


Kockadobás

dobottszám

1 2 3 4 5 6

gyakori-ság [db]

98 109 90 102 103 98

összesen 600 dobás


2-számított érték

DF = r-1-lDF = r-1-lfk = tapasztalati gyakoriságFk = elméleti gyakoriság

r = kategóriák, osztályok számaSzabadsági

fok


Feladat (megoldás)

dobottszám

1 2 3 4 5 6

gyakori-ság [db]

98 109 90 102 103 98

02,24941008110098100

1 22 számösszesen 600 dobás


Feladat (megoldás)

DF = 6 - 1 = 5 = 0,05

2 krit= 11,12 krit= 11,1

2 szám= 2,02

2 szám << 2

krit

H0-t elfogadjuk, azaz a kocka szabályos.

H0-t elfogadjuk, azaz a kocka szabályos.


Feladat

A Tiszán adott időszakban levonuló árhullámok számát vizsgálva az elmúlt 68 év során, az alábbi eredményeket kapták: 30 év volt, amikor nem volt árhullám, 25 olyan év volt , amikor 1 árhullám vonult le az adott időszakban, 9 év volt amikor 2 és 4 olyan év volt, amikor 3 vagy annál több árhullám következett be.Feltehető-e, hogy a folyón levonuló árhullámok száma Poisson-eloszlással modellezhető?


Feladatárhullámok

száma0 1 2 3-

gyakoriság 30 25 9 4

H0: Poisson-eloszlás = ? = ?

x̂Emlékeztető: becslés elméletEmlékeztető: becslés elmélet

81,068

3429125030 x

0,8 0,8

DF = r-1-l = 4-1-1 = 2 = 0.05 2

krit= 5,992 krit= 5,99


2 krit= 5,992 krit= 5,99

Feladat

k fk Fkpk

0 30 1 25

2 9

3- 4

0,8 0,8

0,44930,3595

0,1438

0,0474

30,5524,45

9,78

3,22

189,0062,0012,0

55,3055,3030 2

2sz 0,273

H0-t elfogadjuk, az árhullámok száma 0,8

paraméterű Poisson-eloszlással leírható.

H0-t elfogadjuk, az árhullámok száma 0,8

paraméterű Poisson-eloszlással leírható.

??


Feladat

Halogénlámpa gyártásánál n=60 elemű minta alapján a betöltött gáztérfogat (cm3) az alábbiak szerint alakult:

Leírható-e a gáztérfogat normális eloszlással ?

Osztályok fk

3,01 – 3,10 1

3,11 – 3,20 4

3,21 – 3,30 15

3,31 – 3,40 27

3,41 – 3,50 10

3,51 – 3,60 3

60


3* 083,0 cms

Feladat

3326,3 cmx

H0: normális eloszlás, =3,326; =0,083

DF = 6-1-2= 3

Osztályok fk

3,01 – 3,10 1

3,11 – 3,20 4

3,21 – 3,30 15

3,31 – 3,40 27

3,41 – 3,50 10

3,51 – 3,60 3

60

FkP(xA <xF)

0,20

3,58

?

23,32

8,27

6,79

60

0,0033

0,0596

?

0,3886

0,1379

0,1131

1,0000

k

2kk

FFf

3,25

0,05

?

0,58

0,36

2,11

6,8

Pl.: P3(3,21 <3,30) = F(3,30) - F(3,21) =

083,0326,321,3

083,0326,330,3

2975,040,131,0

F3= n·P3= 60·0,2975= 17,85


Feladat

Pl.: P1(3,01 <3,10) = P1(<3,10) = 0,0033

F1= n·P1= 60·0,0033 = 0,198

22 szám szám= 6,8= 6,8

= 5%

= 10%

2 krit= 7,812 krit= 7,81

2 krit= 6,252 krit= 6,25

HH00-t elfogadjuk-t elfogadjuk

HH00-t elutasítjuk-t elutasítjuk

Osztályok fk

3,01 – 3,10 1

3,11 – 3,20 4

3,21 – 3,30 15

3,31 – 3,40 27

3,41 – 3,50 10

3,51 – 3,60 3

60

FkP(xA <xF)

0,20

3,58

17,85

23,32

8,27

6,79

60

0,0033

0,0596

0,2975

0,3886

0,1379

0,1131

1,0000

k

kk

FFf 2

3,25

0,05

0,45

0,58

0,36

2,11

6,86,8


Feladat

98 vállalatnál a halálos balesetek száma 1998-ban a következőképpen alakult:

Balesetekszáma

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vállalatokszáma

3 17 26 16 18 9 3 5 0 1 98

Leírható-e a balesetek száma Poisson-Leírható-e a balesetek száma Poisson-eloszlással?eloszlással?


0 3 5 1 17 15 2 26 22 3 16 22 4 18 17 5 9 10 6 3 5 7 5 2 8 0 0,8 9 1 0,2 98 98

Pl.: F3 = n·p3 = 98·0,224 = 21,95 22

Feladat

H0: Poisson-eloszlás

3ˆ

k

k

f

fkx

=3DF = 10-1-1 = 8

k fk Fk

= 10% = 30%

2 krit= 13,42 krit= 13,4 2

krit= 9,522 krit= 9,52

2 szám= 13,1

HH00-t -t elfogadjukelfogadjuk

HH00-t -t elutasítjukelutasítjuk

3 ? ?


9. Hipotézisvizsgálatok II.Szórások összehasonlítása



F-próba

Két függetlenKét független, ismeretlen várható értékű és szórású normálisnormális eloszlást követő valószínűségi változó varianciáinak azonosságára vonatkozó hipotézisünket az ún. F-próbávalF-próbával ellenőrizhetjük.

2*2

2*1

s

sFsz

*22

*21 ssahol

számláló: DF1 = n1 -1nevező: DF2 = n2 -1


Példa

„A” „B”

n 11 10

Átlag 16,4 mg 15,6 mg

s* 1,2 mg 1,1 mg

H0: 1 = 2

H1: 1 > 2

= 0,05 DF1 = 10 DF2 = 9

F0,05 = 3,14

19,11,12,1

2

2

szF


Több szórás összehasonlítása

Kettőnél több,Kettőnél több, normálisnormális eloszlást követő valószí-nűségi változó szórásainak összehasonlítására a Cochran- v. a Bartlett - próbátCochran- v. a Bartlett - próbát alkalmazhatjuk.

Ha a minták elemszáma minden mintában azonos, akkor Cochran-próbát

alkalmazhatunk.

n1= n2= n3=…..= nr= n


Feladat

Műselyem szakítóerő vizsgálatánál ….n = 10 r = 20 i si

2 i si2

1 24,9 11 12,52 8,4 12 11,43 21,2 13 4,84 8,0 14 22,25 8,4 15 22,66 6,0 16 16,17 26,3 17 10,98 26,7 18 9,69 6,8 19 60,510 12,5 20 10,9

2*2*2

2*1

2*max

... rsz sss

sg

183,07,330

5,60szg


gsz = 0,183gsz = 0,183

g95=0,136g99=0,157

A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az i=19-es szórás (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan eltér a többitől.

A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az i=19-es szórás (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan eltér a többitől.

= 5%

= 1%

Feladat

n = 10 r = 20

DF (f) = n-1= 10-1=9

f = n-1

g95

r

9

20

0,136


Feladat

A 19. mintát kivéve, ismételjük meg a próbát!n = 10 r = 19r = 19 i si

2 i si2

1 24,9 11 12,52 8,4 12 11,43 21,2 13 4,84 8,0 14 22,25 8,4 15 22,66 6,0 16 16,17 26,3 17 10,98 26,7 18 9,69 6,8 19 60,510 12,5 20 10,9

099,02,270

7,26szg

DF(f) = n-1= 10-1= 9 = 5%

= 1%

g95=0,140g99=0,160

A H0 nullhipotézist elfogadjuk, az i=8-as minta

szórása (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan nem

tér el a többi szórástól.

A H0 nullhipotézist elfogadjuk, az i=8-as minta

szórása (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan nem

tér el a többi szórástól.



10. Hipotézisvizsgálatok III.Középértékre vonatkozó próbák



Átlagok próbái

ismert nem ismert ismert nem ismert

HH00: : = m = m egymintásegymintás egymintás egymintás u-próbau-próba t-próba t-próba

HH00: : 11 = = 22 kétmintás kétmintás u-próba t-próba


BUX

F-próba: HF-próba: H00: : 11 = = 22

= 5%

DFsz = n2-1= 12-1= 11DFn = n1-1= 65-1= 64

FFkritkrit = 1,9 = 1,9

698,12,145

5,246

05,12

7,152

2

szF

<

kétmintás t-próba Szórások megegyeznek?Szórások megegyeznek?


BUX

H0: 1 = 2

Középértékek összehasonlítása:

kétmintás t-próba kétmintás t-próba

H1: 1 2 kétoldali

= 5%DF = n1 + n2 -2=65+12-2 =75 ttkritkrit = = 1,991,99

705,096,3

79,2

96,3Ds 96,3DsH0-t elfogadjuk, a két minta

középértéke ( = 5%-os szinten) szignifikánsan nem különbözik.

H0-t elfogadjuk, a két minta középértéke ( = 5%-os szinten) szignifikánsan nem különbözik.


Feladat

Egy szabályozott folyamatban 0=100;0=0,5. Származhat-e egy n=15 elemű minta ( x = 99 ) ebből a folyamatból?

= 5%Legyen a próba kétoldali Legyen a próba kétoldali (az alsó és a felső eltérés (az alsó és a felső eltérés

is veszélyes lehet)!is veszélyes lehet)!

-1,96 1,96

A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az átlag eltérése

a 0-tól (5%-os szinten) szignifikáns.



HH00:: 0= x


Feladat

Egy szabályozott folyamatban 0=100. Származhat-e egy n=15 elemű minta ( x = 99; = 0,5) ebből a folyamatból?*s

= 5% Legyen a próba kétoldali!Legyen a próba kétoldali!

DF = n-1 = 14DF = n-1 = 14tkrit= 2,14





HH00:: 0= x


Feladat

Szeretnénk eldönteni, hogy - a megkötött bizto-sítások számát tekintve - két ügyfélszolgálati iroda között van-e különbség. A két iroda adatai az alábbiak:

Minta-szám

Átlag Szórás

I. iroda 11 19,15 12,45

II. iroda 13 22,49 15,36


Feladat

kétmintás t-próba

Két minta középértékének összehasonlítása, az elméleti szórás nem ismert.

Szórások megegyeznek?Szórások megegyeznek?F-próba: HF-próba: H00: : II = = IIII

= 5%

DFsz = nII-1= 13-1= 12DFn = nI-1= 11-1= 10

FFkritkrit = 2,91 = 2,91

522,100,15593,235

45,1236,15

2

2

szF

<


Feladat

H0: I = II

Középértékek összehasonlítása:

kétmintás t-próba kétmintás t-próba

= 5%DF = nI + nII -2=11+13-2 =22 ttkritkrit = = 2,072,07

H1: I II kétoldali

588,0678,5

49,2215,19 678,5

13

36,15

11

45,12 222*2*

II

II

I

ID n

s

n

ss 678,5

13

36,15

11

45,12 222*2*

II

II

I

ID n

s

n

ss




Documents

Kvantitatív módszerek