Upload
tranque
View
867
Download
61
Embed Size (px)
Citation preview
MAKALAH
GEOMETRI ANALITIK RUANG
“PERSAMAAN GARIS LURUS“
Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang
Dosen Pengampu :
NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd
Disusun Oleh
Yani Novita Murni 15.05.0.002
Aizyah Alifia Supardi 15.05.0.019
Ani Nofianti 15.05.0.021
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN
BATAM
2017
1
GARIS LURUS
1. Persamaan Garis Lurus
Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar.
Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah
garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0.
Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari
persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.
Gambar 1
Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan
memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q atau
dapat ditulis : x = mz + p
y = nz + q
Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka bidang-
bidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g persamaannya
g : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
2
Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan
mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis
g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g
diatas.
Jadi jika y kita eliminir, diperoleh :
(A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0
Jadi jika x kita eliminir, diperoleh :
(A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0
Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :
x = B1C2− B2 C1
A1B2 − A2B1Z +
B1D2− B2D1
A1B2 − A2B1
y = A2C1 − A1C2
A1B2 − A2B1Z +
A2D1 − A1D2
A1B2 − A2B1
Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :
m = |B1 C1
B2 C2|
|A1 B1
A2 B2| p =
|B1 D1
B2 D2|
|A1 B1
A2 B2|
n = |C1 A1
C2 A2|
|A1 B1
A2 B2| q =
|D1 A1
D2 A2|
|A1 B1
A2 B2|
Gambar 2
3
Contoh soal:
Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y +
4z = 28 !
Jawab :
x = B1C2− B2 C1
A1B2 − A2B1Z +
B1D2− B2D1
A1B2 − A2B1
= −4+25
10+4Z +
28−70
10+4
= 21
14𝑧 +
(−42)
14
= 3
2𝑧 − 3
y = A2C1 − A1C2
A1B2 − A2B1Z +
A2D1 − A1D2
A1B2 − A2B1
= −20−8
10+4Z +
56+56
10+4
= −28
14𝑧 +
112
14
= −2𝑧 + 8
2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus
a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik
Pada gambar dibawah ini 𝑙 adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan
vektor posisi 𝑟𝑜 dan sejajar dengan vektor 𝑣 = a𝑖 + b𝑗 + c𝑘. Untuk menentukan
persamaan garis 𝑙, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis 𝑙, maka 𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ // 𝑣 dan
𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑣 dengan 𝜆 bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O
adalah 𝑟𝑜 = (𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ) dan 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ maka 𝑃𝑜𝑃 = 𝑟 − 𝑟𝑜 dan karena 𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑣
maka :
𝑟 − 𝑟𝑜 = 𝜆𝑣
𝑟 = 𝑟𝑜 + 𝜆𝑣
4
Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis 𝑙 dan memenuhi
persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut.
Dengan kata lain, persamaan garis 𝑙 yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan
vektor 𝑣 = ⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ adalah 𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗. Atau,
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ⟩ + 𝜆⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 , 𝑦𝑜+𝜆𝑏 , 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐⟩
Maka diperoleh :
Jika kita eliminir parameter 𝜆 , yaitu 𝜆 = 𝑥−𝑥𝑜
𝑎; 𝜆 =
𝑦−𝑦𝑜
𝑏; 𝜆 =
𝑧−𝑧𝑜
𝑐
Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan bilangan
vektor arah 𝑣 = ⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ adalah :
Gambar 3
𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝝀𝒂
𝒚 = 𝒚𝒐 + 𝝀𝒃
𝒛 = 𝒛𝒐 + 𝝀𝒄
𝒙−𝒙𝒐
𝒂 =
𝒚−𝒚𝒐
𝒃=
𝒛−𝒛𝒐
𝒄 dengan syarat a,b,c ≠
0
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗
5
Contoh soal
Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) !
Penyelesaian :
t = p + λa
Pers. vektor garis g:
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ⟩ + 𝜆⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨1, 2, 3⟩ + 𝜆⟨−1, 1, 4⟩
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = (1 -𝜆, 2 + 𝜆, 3 + 4𝜆)
Persamaan parameter garis g:
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 = 1 -𝜆
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝜆𝑏 = 2 + 𝜆
𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐 = 3 + 4𝜆
Persamaan simetrik garis g:
𝑥−𝑥𝑜
𝑎 =
𝑦−𝑦𝑜
𝑏=
𝑧−𝑧𝑜
𝑐
𝑥 − 1
−1 =
𝑦 − 2
1=
𝑧 − 3
4
b. Persamaan vektor pada dua titik
Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1) dengan
vektor letak 𝑎 dan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak 𝑏, kita dapat mengambil sebarang
titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩. Dari
kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut :
𝑟 = 𝑎 + 𝜆 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ dengan λ bilangan real
𝑟 = 𝑎 + 𝜆 (𝑏 − 𝑎)
(𝑥𝑦𝑧) = (
𝑥1
𝑦1
𝑧1
) + 𝜆 (
𝑥2 −𝑦2 −𝑧2 −
𝑥1
𝑦1
𝑧1
)
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥1 ,𝑦1 ,𝑧1 ⟩ + 𝜆⟨𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1⟩
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
6
Diperoleh
Dengan mengeliminir λ dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan
simetrik dari garis AB sebagai berikut:
Contoh soal)
Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) !
Penyelesaian:
𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, 5, 4) − (1, 2, 3)
= (2, 3, 1)
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2, 3) + 𝜆(2, 3, 1)
Jadi persamaan vektornya adalah
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝜆 + 1; 3𝜆 + 2; 𝜆 + 3)
Persamaan parameternya adalah
𝑥 = 2𝜆 + 1; 𝑦 = 3𝜆 + 2; 𝑧 = 𝜆 + 3)
Persamaan simetriknya adalah :
𝑥 −1
2 =
𝑦 −2
3=
𝑧−3
1
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆(𝑥2−𝑥1)
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆(𝑦2−𝑦1) .
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆(𝑧2−𝑧1)
𝑥 −𝑥1
𝑥2−𝑥1 =
𝑦 −𝑦1
𝑦2−𝑦1=
𝑧−𝑧1
𝑧2−𝑧1
7
3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata
Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai
perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu
garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus
tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah perpotongan bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z
+ D1 = 0 dan bidang V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Untuk menentukan vektor arah dari
garis lurus perpotongan dua buah bidang rata,
kita perhatikan gambar disamping. Maka n1=
[A1, B1, C1], n2 = [A2, B2, C2], jelas bahwa
n1 x n2 = a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan
vektor arah dari garis g.
Jadi a = n1 x n2
a = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴1 𝐵1 𝐶1
𝐴2 𝐵2 𝐶2
|
a = [|𝐵1 𝐶1
𝐵2 𝐶2| |
𝐶1 𝐴1
𝐶2 𝐴2| |
𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2|]
Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk 𝑥−𝑥1
𝑎 =
𝑦−𝑦1
𝑏=
𝑧−𝑧1
𝑐 ,
kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1).
8
Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan
bidang berkoordinat, misalnya, XOY z = 0, diperoleh
A1x + B1y + D1 = 0
A2x + B2y + D2 = 0
Yang bila diselesaikan diperoleh:
𝑥 = |−𝐷1 𝐵1
−𝐷2 𝐵2|
|𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2|
𝑦 = |𝐴1 −𝐷1
𝐴2 −𝐷2|
|𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2|
Contoh Soal
Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 !
Jawab :
a = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴1 𝐵1 𝐶1
𝐴2 𝐵2 𝐶2
|
a = [|𝐵1 𝐶1
𝐵2 𝐶2| |
𝐶1 𝐴1
𝐶2 𝐴2| |
𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2|]
a = [|−2 1−1 5
| |1 15 3
| |1 −23 −1
|]
Dimana a = |−2 1−1 5
| = -9 , b = |1 15 3
| = -2 , c = |1 −23 −1
| = 5
atau [a, b, c] = [-9, -2,5]
Ambil z = 0 x = |1 −28 −1
|
|1 −23 −1
| =
15
5 = 3
y = |1 13 8
|
5 = 1
Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1 dan
V2 adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis:
[ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + λ [ -9. -2, 5 ]
9
4. Kedudukan Dua Garis Lurus
Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit,
berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus:
Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a1, b1,c1]
Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + λ [a2, b2,c2]
Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 :
1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] ; μ bilangan ≠ 0 atau
𝑎1
𝑎2=
𝑏1
𝑏2=
𝑐1
𝑐2
2. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika :
a. [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2]
b. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = μ [a2, b2,c2]
3. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka
g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0, z0]
berarti ada λ1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1] dan ada λ2 sehingga
[x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2].
Berarti [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. atau
a1 λ1 + a2 λ2 = x2 – x1
b1 λ1 + b2 λ2 = y2 – y1
c1 λ1 + c2 λ2 = z2 – z1
berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada determinan :
|
𝑎1 𝑎2 𝑥2 – 𝑥1
𝑏1 𝑏2 𝑦2 – 𝑦1
𝑐1 𝑐2 𝑧2 – 𝑧1
|= 0
merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan persamaan
bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut :
|
𝑎1 𝑎2 x – 𝑥1
𝑏1 𝑏2 𝑦– 𝑦1
𝑐1 𝑐2 𝑧 – 𝑧1
|= 0
Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut
bersilang.
10
Contoh Soal
Tunjukkan bahwa g1 : ( x – 4 ) = 𝑦+3
−4 =
𝑧+1
7 berpotongan dengan g2 :
𝑥−1
2=
𝑦+1
−3=
𝑍+10
8 tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2 tersebut .
Jawab:
g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + λ [1, -4, 7]
g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + λ [2, -3, 8]
|1 2 1 − 4−4 −3 −1 + 37 8 −10 + 1
| = |1 2 −3−4 −3 27 8 −9
|= 0
Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan:
λ1 + 2 λ2 = -3
-4 λ1 – 3λ2 = 2
7 λ1 + 8 λ2 = -9
cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh λ1 = 1, λ2 = -2. titik potong diperoleh
dengan memasukkan λ = λ1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -1] + 1 [1,
-4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan memasukkan λ =
λ2 = 2 persamaan g2).
bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8]
serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + λ [1,
-4, 7] + μ [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) :
|1 2 𝑥 − 4−4 −3 𝑦 + 37 8 𝑧 + 1
| = 0 11x - 6y - 5z – 67 = 0
11
5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata
Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan
vektor normal n = [A, B, C] maka :
1. garis lurus g sejajajr bidang rata V ↔ vektor arah garis tegak lurus normal
bidang atau a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0
2. garis lurus g tegak lurus bidang rata V ↔ vektor arah garis lurus = vektor normal
bidang rata (atau kelipatannya) atau ↔ 𝑎
𝐴=
𝑏
𝐵=
𝑐
𝐶
3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a┴n atau a.n = 0
atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada
bidang V.
12
Latihan :
1. Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x – y – z = 1 dan 3x – 3y +7z = 9 !
2. Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3)
dan (4, 5, 6)!
3. Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang
melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!
4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 =
x +2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8
5. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V
= x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y – z = 3, 2y – 3y +5z =1
13
Daftar Pustaka
Suryadi H.S, D. 1984. Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR
ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia.
Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas
Terbuka.