Giáo trình Cơ học kết cấu 1 Tác giả: ThS. Nguyễn Thế Sơn

8/12/2019 Giáo trình Cơ học kết cấu 1 Tác giả: ThS. Nguyễn Thế Sơn

http://slidepdf.com/reader/full/giao-trinh-co-hoc-ket-cau-1-tac-gia-ths-nguyen-the-son 1/129



Cơ học kết cấu 1 M ục lục

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .............................. ......................... ............................................ ................. 4A. ĐỐI TƯỢNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA MÔN CƠ HỌC K ẾT CẤU 4

1. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu .............................................. .... 42. Nhiệm vụ của môn học .................................................................................... 4

3. Các bài toán môn học giải quyết ................................................................ ...... 44. Vị trí của môn học ........................................................................................... 5B. SƠ ĐỒ TÍNH ................................................................... ............................. ....... 5

1. Khái niệm ........................................................................................................ 52. Các yếu tố ảnh hưởng đến việc chọn sơ đồ tính................................................ 53. Các bước đưa công tr ình thực về sơ đồ tính .............................. ....................... 5

C. PHÂN LOẠI CÔNG TRÌNH ............................................................................... 61. Phân loại theo sơ đồ tính ................................................................. ................. 63. Phân loại theo kích thước tương đối của các cấu kiện ...................................... 74. Phân loại theo khả năng thay đổi hình dạng ..................................................... 8

D. CÁC NGUYÊN NHÂN GÂY RA NỘI LỰC, BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ .... 8

1. Tải trọng .......................................................................................................... 82. Phân loại tải trọng ............................................................................................ 83. Sự thay đổi nhiệt độ .................................................................. ....................... 8

E. CÁC GIẢ THIẾT, NGUYÊN LÝ CỘNG TÁC DỤNG ........................................ 81. Các giả thiết tính toán ...................................................................................... 82. Nguyên lý cộng tác dụng ................................................................................. 9

CHƯƠNG 1: PHÂN TÍCH CẤU TẠO HÌNH HỌC CỦA HỆ PHẲNG ..................... 10 1.1. CÁC KHÁI NIỆM .......................... ................................................................. 10

1.1.1. Hệ bất biến hình (BBH) ........................................................................... 101.1.2. Hệ biến hình (BH) .................................................. .................................. 101.1.3. Hệ biến hình tức thời (BHTT) ................................................................ .. 10

1.1.4. Bậc tự do.................................................................................................. 111.2. CÁC LOẠI LIÊN K ẾT .................................................. .................................. 11

1.2.1. Liên k ết đơn giản:. ................................................................................... 111.2.2. Liên k ết phức tạp ..................................................................................... 13

1.3. CÁCH NỐI CÁC MIẾNG CỨNG THÀNH HỆ BẤT BIẾN HÌNH ................ .. 131.3.1. Nối một điểm (mắt) vào một miếng cứng .............................................. ... 131.3.2. Cách nối hai miếng cứng ................................................................. ......... 141.3.3. Cách nối ba miếng cứng ................................................ ........................... 151.3.4. Cách nối nhiều miếng cứng .............................. ......................... ............... 16

CHƯƠNG 2: XÁC ĐỊNH NỘI LỰC TRONG HỆ PHẲNG TĨNH ĐỊNH CHỊU TẢITR ỌNG BẤT ĐỘNG ................................................................................................ 20

2.1. CÁC KHÁI NIỆM ............................................. .............................................. 202.1.1. Nội lực ................................................ ................................................ ..... 202.1.2. Bước nhảy ............................... ............................................ ..................... 222.1.3. Dạng của biểu đồ ..................................................................................... 232.1.4. Biểu đồ nội lực ......................................................................................... 26

2.2. HỆ ĐƠN GIẢN ............................................................................................... 272.2.1. Dầm đơn giản .......................................................................................... 272.2.2. Khung đơn giản ....................................................................................... 28

2.3. HỆ BA KHỚP ................................................................................................. 32

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON Email: [email protected]

DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




2

2.3.1. Phân tích cấu tạo hệ ................................................................................. 322.3.2. Xác định phản lực .................................................................................... 322.3.3. Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực ..................................................... 342.3.4. Tr ục hợp lý của vòm ba khớp ........................... ........................................ 39

2.4. HỆ GHÉP TĨNH ĐỊNH ................................................................................... 412.4.1. Khái niệm ................................................................................................ 412.4.2. Phân tích hệ ghép ................................................................ ..................... 412.4.3. Tính chất truyền lực của hệ ghép .............................................................. 422.4.4. Tính toán hệ ghép .................................................................................... 42

2.5. HỆ CÓ HỆ THỐNG TRUYỀN LỰC ............................................................... 442.5.1. Phân tích cấu tạo hệ ................................................................................. 442.5.2. Tính hệ có hệ thống truyền lực ................................................................. 44

2.6. HỆ DÀN ......................................................................................................... 472.6.1. Phân tích hệ ............................................................................................. 472.6.2. Xác định nội lực trong các thanh dàn .................................. ..................... 47

CHƯƠNG 3: XÁC ĐỊNH NỘI LỰC TRO NG HỆ PHẲNG TĨNH ĐỊNH CHỊU TẢITR ỌNG DI ĐỘNG ................................................ ................................................ .... 52

3.1. CÁC

KHÁI

NIỆM .......................... ................................................................. 523.1.1. Tải trọng di động và nguyên tắc tính hệ chịu tải trọng di động .............. ... 52

3.1.2. Đường ảnh hưởng .................................................................................... 543.1.3. Ý ngh ĩa và thứ nguyên của tung độ đường ảnh hưởng .............................. 55 3.1.4. Dạng đường ảnh hưởng .............................. ........................................... ... 563.2.2. Đường ảnh hưởng trong hệ khung đơn giản ............................................. 60

3.3.ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG TRONG HỆ BA KHỚP ............................................. 643.3.1. Đường ảnh hưởng phản lực ..................................................................... 643.3.2. Đường ảnh hưởng nội lực ........................................................................ 64

3.4. ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG TRONG HỆ GHÉP TĨNH ĐỊNH .............................. 683.4.1. Nguyên tắc chung .................................................................................... 68

3.4.2. Cách vẽ đường ảnh hưởng........................................................................ 683.5. ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG TRONG HỆ CÓ HỆ THỐNG TRUYỀN LỰC .......... 693.6. ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG TRONG HỆ DÀN .................................................................. 71

3.6.1. Đường ảnh hưởng phản lực .............................. ........................................ 713.6.2. Đường ảnh hưởng nội lực ........................................................................ 71

3.7. XÁC ĐỊNH GIÁ TR Ị CỦA ĐẠI LƯỢNG NGHIÊN CỨU ỨNG VỚI CÁC

DẠNG TẢI TR ỌNG KHÁC NHAU BẰNG ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG CỦA NÓ. ... 763.7.1. Tải trọng tập trung ................................................................................... 763.7.2. Tải trọng phân bố ................................................................ ..................... 763.7.3. Mômen tập trung ...................................................................................... 77

3.8. XÁC ĐỊNH GIÁ TR Ị NGUY HIỂM NHẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGHIÊN CỨU

KHI CHỊU TẢI TR ỌNG DI ĐỘNG BẰNG ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG .................... 793.8.1. Đường ảnh hưởng có dạng đường cong trơn một dấu .............................. 793.8.2. Tải tr ọng tập trung trên đường ảnh hưởng có dạng đa giác một dấu ......... 793.8.3. Tải trọng tập trung trên đường ảnh hưởng có dạng tam giác ..................... 813.8.4. Tải trọng phân bố đều trên đường ảnh hưởng đơn trị bất kỳ ..................... 823.8.5. Khái niệm về tải trọng tương đương ......................................................... 83

CHƯƠNG 4: XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH PHẲNG ĐÀN HỒITUYẾN TÍNH ........................................................................................................... 85

4.1. KHÁI NIỆM VỀ BIẾN DẠNG & CHUYỂN VỊ ............................... ............... 85



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




3

4.1.1. Biến dạng ................................................................ ................................. 854.1.2. Chuyển vị ................................................................................................ 85

4.2. CÔNG CỦA NGOẠI LỰC & BIỂU THỨC CÔNG ................................ ......... 864.2.1. Nguyên lý bảo toàn năng lượng................................................................ 864.2.2. Công của ngoại lực (T) ............................................................................ 87

4.3. CÔNG CỦA NỘI LỰC - THẾ NĂNG CỦA HỆ THANH ................................ 884.3.1. Công của nội lực (A*) .................................................. ............................ 884.3.2. Xác định các thành phần biến dạng .......................................................... 884.3.3. Biểu thức công của nội lực ............................... ........................................ 894.3.4. Thế năng của hệ thanh ............................................................................. 89

4.4. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG..................................... 894.4.1. Cách tích tr ực tiếp từ biểu thức thế năng ................................... ............... 894.4.2. Cách xác định chuyển vị theo định lý Castigliano .................................... 90

4.5. CÔNG KHẢ DĨ (CÔNG ẢO) CỦA NỘI LỰC VÀ NGOẠI LỰC - CÁC BIỂU

THỨC CÔNG KHẢ DĨ .......................................................................................... 904.5.1. Công khả dĩ (công ảo) ................................ .............................................. 904.5.2. Công khả dĩ của ngoại lực (Tkm) ............................................................... 91

4.5.3. Công khả dĩ của nội lực (

*

km A ) .......................... ........................................ 914.5.4. Nguyên lý công khả dĩ áp dụng cho hệ đàn hồi (S. D. Poisson) ................ 934.6. CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ TRONG HỆ ĐÀN HỒI ...................................... 93

4.6.1. Định lý tương hỗ về công khả dĩ của ngoại lực (Định lý E.Betti) .... ......... 934.6.2. Định lý tương hỗ về các chuyển vị đơn vị (Định lý J. Maxwel) ................ 944.6.3. Định lý tương hỗ về các phản lực đơn vị (Định lý L. Rayleigh) ............... 944.6.4. Định lý tương hỗ về chuyển vị đơn vị và phản lực đơn vị (Định lý A. A.

Gvozdiev) .................................................................................................................. 954.7. CÔNG THỨC TỔNG QUÁT XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH

(CÔNG THứC MAXWELL - MORH - 1874) ................................................................. 964.7.1. Thiết lập công thức .................................................................................. 96

4.7.2. Các chú ý ................................................................................................. 964.8. VẬN DỤNG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ ...................................................... 974.8.1. Hệ dầm và khung chịu tải trọng................................................................ 974.8.2. Hệ dàn chịu tải trọng ................................................................. ............... 984.8.3. Hệ tĩnh định bất kỳ chịu chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa ................. 1004.8.4. Hệ tổng quát chịu biến thiên nhiệt độ ..................................................... 1004.8.5. Hệ dàn t ĩnh định có chiều dài các thanh chế tạo không chính xác ........... 101

4.9. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN TRONG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ BẰNG PHÉP

“NHÂN BIỂU ĐỒ VÊRÊXAGHIN” ................................................................... 1024.9.1. Thiết lập công thức ................................................................................ 1024.9.2. Các chú ý khi nhân biểu đồ .................................................................... 102

4.10. CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI TIẾT DIỆN CỦA HỆ ............................................................................................................................ 105

4.10.1. Nguyên tắc tính toán ............................................................................ 1054.10.2. Các ví dụ ............................... ............................................ ................... 105

PHẦN BÀI TẬP ................................................................ ...................................... 106 5.1. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ................................................................ ................... 1065.2. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ................................................................ ................... 109

5.2.1. Hệ đơn giản ........................................................................................... 1095.2.2. Hệ ba khớp............................................................................................. 111



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




4

5.2.3. Hệ dàn ................................................................................................... 1135.2.4. Hệ ghép.................................................................................................. 1145.2.5. Hệ có hệ thống truyền lực ...................................................................... 115

5.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ................................................................ ................... 116TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 126



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN



Cơ học kết cấu 1 Chương mở đầu

4

MỞ ĐẦU

A. ĐỐI TƯỢNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA MÔN CƠ

HỌC KẾT CẤU

1. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

a. Đối tượng nghiên cứu: là vật rắn biến dạng đàn hồi ở dạng thanh hoặc hệthanh, tức là vật thể có thể bị thay đổi hình dạng dưới tác dụng của các nguyên nhân

bên ngoài như tải trọng, thay đổi nhiệt độ và chuyển vị lệch của các gối tựa và do chếtạo lắp ráp không chính xác...

b. Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu toàn bộ công tr ình gồm nhiều cấu kiện riêng lẻ liên k ết lại với nhau

tạo thành một hệ kết cấu có khả năng chịu được lực. - Nghiên cứu phương pháp tính toán của kết cấu đó. So sánh với nội dung nghiên cứu môn Sức bền vật liệu đã học, hai môn học này

có cùng nội dung nghiên cứu nhưng đối tượng nghiên cứu có khác nhau, Sức bền vậtliệu nghiên cứu về khả năng chịu lực và phương pháp tính toán của từng cấu kiện riêng

lẻ.2. Nhiệm vụ của môn học

Nhiệm vụ chủ yếu của môn Cơ học kết cấu là đi xác định nội lực (ứng lực) vàchuyển vị trong công tr ình nhằm xây dựng công tr ình thỏa mãn:

a. Điều kiện về độ bền: Đảm bảo cho công tr ình không bị phá hoại dưới tác dụngcủa các nguyên nhân bên ngoài.

b. Điều kiện về độ cứng: Đảm bảo cho công tr ình không có chuyển vị và biếndạng vượt quá giới hạn cho phép nhằm đảm bảo sự làm việc bình thường của côngtrình.

c. Điều kiện về ổn định: Đảm bảo cho công tr ình có khả năng bảo toàn vị trí vàhình dạng ban đầu của nó dưới dạng cân bằng trong trạng thái biến dạng.

Với yêu cầu về độ bền, cần đi xác định nội lực; với yêu cầu về độ cứng, cần đi xácđịnh chuyển vị; với yêu cầu về ổn định, cần đi xác định lực tới hạn mà k ết cấu có thểchịu được. 3. Các bài toán môn học giải quyết

a. Bài toán kiểm tra: Ở bài toán này, khi đã có một công tr ình có sẵn, như vậy tađã biết trước hình dạng, kích thước cụ thể của các cấu kiện trong công tr ình và cácnguyên nhân tác động bên ngoài.

Yêu cầu: kiểm tra, phán đoán công tr ình theo ba điều kiện trên (độ bền, độ cứng& ổn định) có đảm bảo hay không? Và ngoài ra còn kiểm tra công tr ình thiết kế có tiếtkiệm nguyên vật liệu hay không?

b. Bài toán thiết kế: Ở bài toán này, cần thiết kế một công tr ình, ta mới chỉ biếtnguyên nhân tác động bên ngoài.Yêu cầu: Xác định hình dạng, kích thướ c của các cấu kiện trong công tr ình một

cách hợp lý mà vẫn đảm bảo ba điều kiện tr ên.Để giải quyết bài toán này, thông thường, dựa vào kinh nghiệm hoặc dùng

phương pháp thiết kế sơ bộ để giả thiết trước hình dạng, kích thước của các cấu kiện.Sau đó tiến hành giải bài toán kiểm tra như đã nói ở trên. Và trên cơ sở đó người thiếtk ế điều chỉnh lại giả thiết ban đầu của mình, tức là đi giải bài toán lặp.



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




5

4. Vị trí của môn học Là môn học kỹ thuật cơ sở làm nền tảng cho các môn học chuyên ngành như: kết

cấu bê tông, k ết cấu thép & gỗ, kỹ thuật thi công... Trang bị cho người làm công tác xây dựng những kiến thức hữu ích. Đối với

người làm công tác thiết kế, việc xác định phân bố nội lực, biến dạng của công tr ình sẽảnh hưởng đến việc xác định được hình dáng hợp lý công trình...

B. SƠ ĐỒ TÍNH 1. Khái niệm

Sơ đồ tính là hình ảnh đơn giản hóa mà vẫn đảm bảo phản ảnh được sát sự làmviệc thực tế của công tr ình và phải dùng để tính toán được. 2. Các yếu tố ảnh hưởng đến việc chọn sơ đồ tính

- Hình dạng, kích thước của công tr ình.- Tỷ lệ độ cứng của các cấu kiện. - Tầm quan trọng của công tr ình.- Khả năng tính toán của người thiết kế. - Tải trọng và tính chất tác dụng của tải trọng.

- v.v.v3. Các bước đưa công tr ình thực về sơ đồ tính

a. Bước 1: Đưa công tr ình thực về sơ đồ công trình bằng cách : - Thay các thanh bằng đường trục thanh. - Thay các bản và vỏ bằng các mặt trung gian. - Thay tiết diện, vật liệu bằng các đại lượng đặc trưng: diện tích (F), momen quán

tính (J), modul đàn hồi (E), hệ số giãn nở vì nhiệt () ...- Thay thiết bị tựa bằng các liên k ết tựa lý tưởng . - Đưa tải trọng tác dụng lên mặt cấu kiện về trục cấu kiện. Ví dụ 1:

b. Bước 2: Đưa sơ đồ công tr ình về sơ đồ tính: Lựa chọn sơ đồ tính cần phản ánh tốt sự làm việc của công tr ình thật và phù hợp

vớ i khả năng tính toán. Ví dụ 2:

E, J, F, h…..

H.1a

Bước 1

Bướ c 2

H.1b



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




6

C. PHÂN LOẠI CÔNG TR ÌNH

1. Phân loại theo sơ đồ tính

a. Hệ phẳng: khi tất cả các trục cấu kiện và tất cả các tải trọng tác dụng đều nằmtrong cùng một mặt phẳng

Các loại hệ phẳng:

Dầm

Vòm

Khung

Dàn

Hệ liênhợp

b. Hệ không gian: khi các tr ục cấu kiện không cùng nằm trong một mặt phẳng,hoặc các trục cùng nằm trong một mặt phẳng nhưng tải trọng tác dụng ra ngo ài mặt

phẳng đó. Các loại hệ không gian: - Hệ dầm trực giao: Dầm sàn nhà, dầm cầu…H.2b - Khung không gian: Khung nhà...H.2c

- Dàn không gian: Tháp ăng ten, tháp nước...H.2d - Bản: sàn nhà, ...H.2e- Vỏ: Đường ống nước, bể nước....H.2f

H.2a

H.2b



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




7

2. Phân loại theo phương pháp tính Khi tính toán hệ sẽ sử dụng các điều kiện: Điều kiện cân bằng tĩnh học Điều kiện hình học và động học Điều kiện vật lý a. Phân loại theo sự cần thiết hoặc không cần thiết phải sử dụng điều kiện

động học khi xác định nội lực trong hệ Theo cách này có hai loại hệ: + Hệ tĩnh định là hệ chỉ cần sử dụng các điều kiện cân bằng tĩnh học để xác định

nội lực trong hệ. + Hệ siêu t ĩnh là hệ ngoài những điều kiện cân bằng tĩnh học còn phải sử dụngthêm điều kiện động học và điều kiện vật lý để xác đinh nội lực trong hệ.

b. Phân loại theo sự cần thiết hoặc không cần thiết phải sử dụng điều kiệncân bằng khi xác định biến dạng của hệ

+ Hệ xác định động là những hệ khi chịu chuyển vị cưỡng bức, ta có thể xác địnhđược biến dạng của hệ chỉ bằng các điều kiện động học.

Ví dụ: Xét hệ tr ên hình (H.3a) khi C chịu chuyển vị cưỡng bức, bằng điều kiệnđộng học (hình học) có thể xác định chuyển vị thẳng tại B và C (chuyển vị ngang bằng∆, chuyển vị đứng bằng 0). Vậy hệ đã cho là hệ xác định động.

+ Hệ siêu động là những hệ khi chịu chuyển vị cưỡng bức, để xác định biến dạng

của hệ, ngoài những điều kiện động học còn phải sử dụng thêm điều kiện cân bằngt ĩnh học.Ví dụ: Xét hệ tr ên hình (H.3b), khi liên k ết thanh tại C có chuyển vị bằng ∆.

Tương tự bằng các điều kiện động học có thể xác định chuyển vị thẳng tại B v à C(chuyển vị ngang bằng ∆, chuyển vị đứng bằng 0). Tuy nhiên, chưa xác định được gócxoay (φB , φC). Vậy hệ đã cho là hệ siêu động.

3. Phân loại theo kích thước tương đối của các cấu kiện - Thanh: nếu kích thước một phương khá lớn hơn hai phương còn lại: cột, dầm,

(H.4a).- Bản: nếu kích thước của hai phương khá lớn hơn phương còn lại: sàn, tấm

panel... (H.4b).- Khối: nếu kích thước của ba phương gần bằng nhau: Móng, bể nước... (H.4c)

H.2cH.2d

H.2fH.2e

φC

H.3bH.3a

φB



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




8

4. Phân loại theo khả năng thay đổi hình dạng: ( sẽ nghiên cứu trong chương 1)- Hệ bất biến hình.- Hệ biến hình.- Hệ biến hình tức thời.

D. CÁC NGUYÊN NHÂN GÂY RA NỘI LỰC, BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ

1. Tải trọng

Tải trọng gây ra nội lực, biến dạng và chuyển vị trong tất cả các loại hệ. 2. Phân loại tải trọng

a. Theo thời gian tác dụng - Tải trọng lâu dài (t ĩnh tải): Tải trọng tác dụng trong suốt quá tr ình làm việc của

công trình, ví dụ: tr ọng lượng bản thân công tr ình, áp lực đất...- Tải trọng tạm thời (hoạt tải): Tải trọng tác dụng lên công trình trong thời gian

ngắn so với toàn bộ thời gian làm việc của công tr ình, ví dụ như: tải trọng do gió, docon người đi lại khi sử dụng...

b. Theo sự thay đổi vị trí tác dụng - Tải trọng bất động: Tải trọng có vị trí không thay đổi trong quá tr ình làm việc

của công tr ình, ví dụ trọng lượng bản thân của dầm, cột, sàn, tường... cấu tạo nên côngtrình; trang thiết bị bố trí cố định trong công tr ình...

- Tải trọng di động: Tải trọng có vị trí thay đổi tr ên công trình, ví dụ xe chạy quacầu; người đi lại trên sàn, tầng trong nhà...

c. Theo tính chất tác dụng - Tải trọng tác dụng tĩnh: Tải tác dụng nhịp nhàng, từ từ tăng dần đến giá trị cuối

cùng của nó, không gây ra lực quán tính .- Tải trọng tác dụng động: Tải tác dụng gây ra lực quán tính, ví dụ: tải va chạm

búa lên đầu cọc khi đóng cọc,... Ngoài ra, còn phân loại tải trọng theo hình thức tác dụng của tải trọng: tải trọng

tập trung, tải trọng phân bố... 3. Sự thay đổi nhiệt độ

Sự thay đổi nhiệt độ chính là sự chênh lệch nhiệt độ tác dụng lên công trình khilàm việc so với lúc chế tạo ra nó.

Đối với hệ tĩnh định, tác nhân này chỉ gây ra biến dạng và chuyển vị, không gâyra nội lực, còn đối với hệ siêu t ĩnh thì gây ra đồng thời cả ba yếu tố tr ên.

4. Chuyển vị lệch của các gối tựa và do chế tạo lắp ráp không chính xácĐối với hệ tĩnh định, tác nhân này chỉ gây ra chuyển vị, không gây ra biến dạng

và nội lực; còn đối với hệ siêu t ĩnh thì gây ra đồng thời cả ba yếu tố tr ên.

E. CÁC GIẢ THIẾT, NGUYÊN LÝ CỘNG TÁC DỤNG

1. Các giả thiết tính toán

a. Điều kiện vật lý của bài toán

H.4b H.4cH.4a



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




9

Giả thiết rằng vật liệu là đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke, nghĩa là

quan hệ giữa nội lực và biến dạng là quan hệ tuyến tính ( E

) (H.5a).

* Chú ý: Nếu chấp nhận giả thiết này thì bài toán gọi là đàn hồi tuyến tính (tuyếntính vật lý). Nếu không chấp nhận giả thiết này thì bài toán gọi là đàn hồi phi tuyến(phi tuyến vật lý).

Đồ thị ứng suất và biến dạng Sơ đồ biến dạng của hệ khi chịu lực b. Điều kiện h ình học của bài toánChuyển vị và biến dạng được xem như là những đại lượng vô cùng bé. Do vậy khi

tính toán, xem công trình là không có biến dạng. (H.5 b)* Chú ý: Nếu chấp nhận giả thiết này thì bài toán gọi là tuyến tính hình học. Nếu

không chấp nhận giả thiết này thì bài toán gọi là phi tuyến hình học. Vì vậy, khi chịu tác dụng của tải trọng, thực tế công tr ình bị biến dạng, nhưng khi

tính nội lực, ta có thể thực hiện theo sơ đồ không biến dạng của công tr ình.2. Nguyên lý cộng tác dụng

a. Phát biểu: Một đại lượng nghiên cứu S (nội lực, phản lực, chuyển vị...) do mộtsố các nguyên nhân đồng thời tác dụng gây ra sẽ bằng tổng đại số hay tổng hình họccủa đại lượng S do từng nguyên nhân tác dụng riêng r ẽ gây ra.

Lấy tổng đại số khi đại lượng S là đại lượngvô hướng, lấy tổng hình học khi đại lượng S là đạilượng véc tơ.

* Ví dụ: Xét dầm chịu tác dụng của 2 lực P1 & P2 và đại lượng nghiên cứu S là phản lực VA trên hình (H.6a)

Xét chính dầm đó nhưng chịu tác dụng riêngr ẽ của 2 lực P1, P2 trên hình (H.6b) & (H.6c).

Theo nguyên lý cộng tác dụng:

21 A A A V V V .Và nếu xét toàn diện, thì hệ (H.6a) bằng tổng

của hai hệ (H.6b) & (H.6c). b. Biểu thức giải tích của nguyên lý cộng

tác dụng

S(P1, P2,..... Pn) = S(P1) + S(P2) +.....+ S(Pn) - S(P1, P2,..... Pn): là đại lượng S do các nguyên nhân P1, P2,..... Pn ( có thể kể đến

nguyên nhân do sự thay đổi nhiệt độ hoặc các nguyên nhân khác) đồng thời tác dụnglên hệ gây ra

- S(Pk ): là đại lượng S do riêng Pk tác dụng lên hệ gây ra.Gọi k S là đại lượng S do riêng Pk = 1 gây ra. Tức là S(Pk ) = k S .Pk

Vậy S(P1, P2,..... Pn) =nn PS PS PS ........ 2211

* Chú ý: Nguyên lý cộng tác dụng chỉ áp dụng cho hệ tuyến tính vật lý và tuyếntính hình học.

VA

VA1

P1

VA2

AP2

B

BA

A BP1 P2

(H.5a) (H.5b)

(H.6a)

(H.6b)

(H.6c)



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN



Cơ học kết cấu 1 Chương 1

10

CHƯƠNG 1

PHÂN TÍCH CẤU TẠO HÌNH HỌC CỦA HỆ PHẲNG

1.1. CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1. Hệ bất biến h ình (BBH)

Là hệ không thay đổi hình dạng hình học ban đầu khi chịu tác dụng của tải trọngnếu xem các cấu kiện của hệ là tuyệt đối cứng. Ví dụ: Phân tích hệ như hình vẽ (H.1.1a)

Nếu quan niệm AB, AC, BC, trái đất là tuyệt đối cứng(chiều dài của chúng không đổi ) thì tam giác ABC là duy nhất,nên hệ đã cho là hệ BBH.

- Một hệ phẳng bất kỳ BBH một cách r õ r ệt gọi chung làmiếng cứng.

Ký hiệu miếng cứng: (H.1.1b)

Nhận xét: Khái niệm về miếng cứng chỉ mangtính chất tương đối.

Xét ví dụ như H.1.1c, ta sẽ có 3 miếng cứngABC, AD, CD. Ba miếng cứng này tạo thành 1 hệBBH, xem là 1 miếng cứng ABCD.

- Ý ngh ĩa miếng cứng: Giúp khảo sát tính chất hình học của hệ phẳng dễ dàng hơn(vì chỉ quan tâm đến tính chất cứng, không quan tâm đến cấu tạo chi tiết).

* Chú ý: Do hệ BBH có khả năng chịu lực tác dụng nên nó được sử dụng làm cáck ết cấu xây dựng và thực tế chủ yếu chỉ sử dụng loại hệ này.1.1.2. Hệ biến h ình (BH)

Là hệ có sự thay đổi hình dạng hình học ban đầu một lượng hữu hạn khi chịu tácdụng của tải trọng dù ta xem các cấu kiện của hệ là tuyệt đối cứng.

Ví dụ: Hệ ABCD cho tr ên hình (H.1.2a) có thể đổthành hệ AB'C'D, dù ta xem các thanh AB, BC, CD làtuyệt đối cứng, nên hệ đã cho là hệ BH.

* Chú ý: Do Hệ BH không chịu được tải trọng nên

trong các công trình xây dựng không được sử dụng.Trong thực tế, hệ BH cho phép sử dụng khi tải trọng tácdụng làm cho hệ nằm trong tr ạng thái cân bằng (H.1.2b).1.1.3. Hệ biến h ình tức thời (BHTT)

Là hệ có sự thay đổi hình dạng hình học một lượngvô cùng bé khi chịu tác dụng của tải trọng dù xem các cấukiện của hệ là tuyệt đối cứng. Sau khi thay đổi hình dạnghình học một lượng vô cùng bé hệ lại trở nên BBH.

Hệ BBH

Miếng cứng

H.1.2b

H.1.1b

H.1.1c

H.1.2a

H.1.1a



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




11

Ví dụ: Hệ ABC có cấu tạo như trên hình (H.1.3),dưới tác dụng của tải trọng khớp C có thể đi xuống mộtđoạn vô cùng bé CC' = , nên hệ đã cho là hệ BHTT. Lúcnày C' không thể dời chuyển được nữa nên hệ ABC' tr ởthành hệ BBH.

* Chú ý: Các k ết cấu xây dựng không sử dụng hệ BHTT vì nội lực trong hệ này

r ất lớn. 1.1.4. Bậc tự do

Bậc tự do là số các thông số độc lập đủ để xác định vị trí của một hệ so với một hệcố định khác.

Trong hệ phẳng, một chất điểm có bậc tự do bằng 2 (H.1.4a); một miếngcứng có bậc tự do bằng 3 (H.1.4b);như vậy một hệ có D miếng cứng sẽcó 3D bậc tự do.

Nhận xét: Nếu muốn một điểm hay một miếng cứng nào đó bất động (so với mộthệ khác) thì ta phải khử hết các bậc tự do của nó bằng cách dùng các liên k ết, nối điểmhay miếng cứng đó với hệ cố định kia.

Sau đây ta sẽ nghiên cứu các loại liên k ết thường dùng và cách dùng các liên k ếtđó để nối các miếng cứng thành hệ bất biến hình.

1.2. CÁC LOẠI LIÊN KẾT Liên k ết được chia thành 2 loại: Liên k ết đơn giản và liên k ết phức tạp

1.2.1. Liên kết đơn giản: Dùng để nối hai miếng cứng với nhau.

1. Liên kết loại 1: (liên kết thanh)

a. Cấu tạo: Gồm một thanh thẳng có hai đầu khớp lý tưởng nối với 2 m iếng cứng (H.1.5a).

b. Tính chất+ Về mặt động học: xét 1 miếng cứng là cố định, liên k ết thanh ngăn cản không

cho miếng cứng còn lại di chuyển theo phương dọc trục thanh, tức là khử được một bậc tự do.

+ Về mặt tĩnh học: tại liên k ết xuất hiện một phản lực theo phương dọc trục thanh.

Phản lực xuất hiện theo phương ngăn cản chuyển vị (H.1.5 b). Trường hợp đặc biệt + Một miếng cứng có hai đầu khớp nối vào 2 miếng cứng và không chịu tải trọng

thì có thể xem như một liên k ết thanh, có trục thanh là đường nối hai khớp (H.1.5c).

H.1.4a H.1.4b

H.1.5a H.1.5b

H.1.3

H.1.5c



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




12

+ Khi liên k ết thanh nối miếng cứng với trái đất thì gọi là gối tựa di động.(H.1.5d)

2. Liên kết loại 2: (liên kết khớp) a. Cấu tạo: Gồm hai miếng cứng nối với nhau bằng một khớp lý tưởng (H.1.6a).

b. Tính chất + Về mặt động học: xét 1 miếng cứng là cố định, liên k ết khớp ngăn cản không

cho miếng cứng còn lại chuyển động tịnh tiến (nhưng có thể xoay), tức là khử đượchai bậc tự do. + Về mặt tĩnh học: tại liên k ết có thể phát sinh một phản lực có phương bất kỳ và

điểm đặt tại khớp. Phản lực này thường được phân tích thành hai thành phần theo hai phương xác định (H.1.6b).

Tóm lại: Phản lực trong liên k ết khớp có 2 cách quan niệm: + Một lực có phương bất kỳ có điểm đặt tại liên k ết khớp. + Hai thành phần lực có phương xác định thường là ( ,V H ).

Trường hợp đặc biệt + Hai liên k ết thanh cùng nối hai miếng cứng với nhau có thể xem là một liên k ết

khớp (khớp giả tạo), nằm tại giao điểm đường nối hai trục thanh (H.1.6c).

+ Khi liên k ết khớp nối miếng cứng với trái đất thì ta gọi là gối cố định (H.1.6d)

3. Liên kết loại 3: (liên kết hàn)a. Cấu tạo: Gồm hai miếng cứng nối với nhau bằng một mối hàn (H.1.7a).b. Tính chất + Về mặt động học: xét 1 miếng cứng là cố định, liên k ết hàn ngăn cản không cho

miếng cứng còn lại có chuyển động tịnh tiến và xoay, tức là khử được 3 bậc tự do.

H.1.6bH.1.6a

H.1.6c Khớp giả tạo

H.1.7b H.1.7cH.1.7a

H.1.5d

H.1.6d



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




13

+ Về mặt tĩnh học: liên k ết có thể làm phát sinh một phản lực có phương và điểmđặt bất k ì. Thường đưa phản lực này về tại vị trí liên k ết và phân tích thành ba thành

phần ( , , M V H ) (H.1.7b).

Trường hợp đặc biệt- Liên k ết hàn tương đương với ba liên k ết thanh hoặc một liên k ết thanh và một

liên k ết khớp được sắp xếp một cách hợp lý.

- Liên k ết hàn nối miếng cứng với trái đất gọi là ngàm. (H.1.7c).1.2.2. Liên kết phức tạp

Liên k ết phức tạp là liên k ết nối từ ba miếng cứng trở lên.Trong thực tế ta có thể gặp liên k ết khớp phức tạp (H.1.8a) và hàn phức tạp

(H.1.8b).

Để tiện cho việc nghiên cứu, người ta thường qui đổi các liên k ết phức tạp thànhcác liên k ết đơn giản cùng loại tương đương bằng khái niệm độ phức tạp của liên k ết.

Độ phức tạp của liên kết : Số liên k ết đơn giản cùng loại, tương đương với liênk ết phức tạp đã cho. Ký hiệu p.

Công thức xác định độ phức tạp: (1 - 1)D: số miếng cứng quy tụ vào liên k ết. Ví dụ: Xác định độ phức tạp tại các vị trí liên k ết

trên hình (H.1.8c).(4), (6): p = 2 - 1 = 1. 1 LKH đơn giản (1), (3), (5): p = 3 - 1 = 2. LKH phức tạp có

độ phức tạp là 2 ( tương đương 2 LKH đơn giản). (2): p = 4 - 1 = 3. LKH phức tạp có độ phức

tạp là 3 ( tương đương 3 LKH đơn giản).

1.3. CÁCH NỐI CÁC MIẾNG CỨNG THÀNH HỆ BẤT BIẾN HÌNH

1.3.1. Nối một điểm (mắt) vào một miếng cứng

1. Điều kiện cần: một điểm trong hệ phẳng có hai bậc tự do, để khử hai bậc tự dođó, cần dùng ít nhất hai liên k ết thanh (H.1.9a).

2. Điều kiện đủ: hai liên k ết thanh không được thẳng hàng (H1.9b).

K ết luận: để nối một điểm (mắt) vào một miếng cứng thành một hệ bất biến hìnhlà phải dùng hai thanh không thẳng hàng. Gọi hệ hai thanh này là bộ đôi.

H.1.8c

p = D - 1

H.1.8bH.1.8a

Bộ đôi

H.1.9a H.1.9bHệ BHTT



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




14

Tính chất của bộ đôi: khi thêm hay bớt lần lượt các bộ đôi thì tính chất động họccủa hệ ( hệ là BH, BBH hoặc BHTT) không thay đổi. Tính chất này được sử dụng để

phân tích cấu tạo hình học của hệ, và phân tích theo hai hướng sau: + Phương pháp thu hẹp miếng cứng: từ hệ ban đầu, lần lượt loại bỏ dần các bộ

đôi để đưa về hệ đơn giản cuối cùng. Nếu hệ thu được là BBH hay BH thì hệ ban đầucũng BBH hay BH. Ví dụ hệ tr ên hình (H.1.9c).

+ Phương pháp phát triển miếng cứng: từ miếng cứng ban đầu, thêm lần lượt các bộ đôi thì cuối cùng thu được miếng cứng. Ví dụ hệ tr ên hình (H.1.9d)

1.3.2. Cách nối hai miếng cứng

1. Điều kiện cần

Xem một miếng cứng là cố định. Để nối miếng cứng còn lại vào miếng cứng cốđịnh cần khử ba bậc tự do của nó, nghĩa là cần sử dụng tổ hợp các liên k ết:

+ Ba liên k ết thanh (H.1.10a).+ Một liên k ết thanh cộng một liên k ết k hớp (H.1.10 b).+ Một liên k ết hàn (H.1.10c).

2. Điều kiện đủ+ Nếu sử dụng một liên kết thanh cộng một liên kết khớp: yêu cầu khớp không

được nằm trên đường trục thanh (H.1.10g).

+ Nếu sử dụng ba liên kết thanh: yêu cầu ba thanh không được đồng quy hoặcsong song (H.1.10d, H.1.10e & H.1.10f).

+ Nếu sử dụng liên kết hàn: thì đó cũng là điều kiện đủ.

Loại bỏ bộ đôi

Hệ BBH Hệ BBH

H.1.9c

H.1.10a H.1.10b H.1.10c(A)

(B)(A)(A)

Hệ BBH Hệ BBH

H.1.9d

(B)

(B)

Hệ BBH Hệ BHTT

Thêm các bộ đôi

H.1.10g



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




15

1.3.3. Cách nối ba miếng cứng

a. Điều kiện cần : xem một miếng cứng là cố định. Để nối hai miếng cứng còn lạivào miếng cứng cố định cần phải khử sáu bậc tự do, nghĩa là cần phải sử dụng tổ hợpcác liên k ết:

+ Sáu liên k ết thanh (H.1.11a,b).+ Ba liên k ết khớp (H.1.11c)

+ Bốn liên k ết thanh cộng một liên k ết khớp (H.1.11d).+ Hai liên k ết hàn (H.1.11e).+ Một liên k ết hàn cộng một liên k ết thanh cộng một liên k ết khớp (H.1.11f)......................vv..............

b. Điều kiện đủ+ Nếu các miếng cứng nối lần lượt với nhau: trở về lại bài

toán nối hai miếng cứng. Ví dụ (H.1.11a,e,f).+ Nếu các miếng cứng nối đồng thời với nhau (nếu loại bỏmột miếng cứng bất kỳ, hệ còn lại bị biến hình): lúc này hệ cầnsử dụng ba liên k ết khớp (thực hoặc giả tạo) tương hỗ(H.1.11b,c,d). Và yêu cầu các liên k ết khớp không cùng nằmtrên một đường thẳng (H.1.11g).

H.1.11a H.1.11b H.1.11c

Hệ BHTT Hệ BH H.1.10f

H.1.11d H.1.11e

H.1.11g

(B)

(C)

(A)

Hệ BHTT

H.1.10e

H.1.10dHệ BHTT Hệ BBH

H.1.11f



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




16

1.3.4. Cách nối nhiều miếng cứng: ( Số miếng cứng là D)

1. Trường hợp hệ bất kỳ không nối đất Xét một hệ không nối đất gồm D miếng cứng. Các liên k ết giữa các miếng cứng

là: T liên k ết thanh, K liên k ết khớp đã quy về khớp đơn giản và H liên k ết hàn đã quyvề hàn đơn giản.

Về khả năng: T, K, H khử được T + 2.K + 3.H bậc tự do.

Về yêu cầu: Xem một miếng cứng là cố định. Nối (D - 1) miếng cứng còn lại vàomiếng cứng cố định, nghĩa là cần phải khử 3.(D-1) bậc tự do. Như vậy, điều kiện cần để hệ BBH là: T + 2.K + 3.H 3.(D -1)Gọi n: hiệu số giữa bậc tự do có thể khử được ( khả năng ) với số bậc tự do cần

khử ( yêu cầu): (1 - 2)

Các trường hợp của n: - n = 0: khả năng đáp ứng đúng yêu cầu, hệ đã cho có khả năng là hệ BBH, và

nếu là hệ BBH thì hệ là hệ tĩnh định. - n > 0: khả năng lớn hơn yêu cầu, hệ đã cho có khả năng là hệ BBH, và nếu là hệ

BBH thì hệ là hệ siêu t ĩnh. - n < 0: khả năng thấp hơn yêu cầu, thì hệ đã cho là hệ BH.

2. Trường hợp hệ bất kỳ có nối đất Xét một hệ nối đất gồm D miếng cứng. Các liên k ết giữa các miếng cứng là:

T liên k ết thanh, K liên k ết khớp đã quy về khớp đơn giản và H liên k ết hàn đã quy vềhàn đơn giản. Liên k ết giữa hệ và trái đất gồm C liên k ết đã quy về liên k ết loại một.

* Các loại liên k ết nối đất:

Tên gối tựa Sơ đồ biểu diễn Số liên k ết thanh

tương đương (C)

Gối di động 1

Gối cố định 2

Ngàm cứng 3

Ngàm trượt 2

Về khả năng: T, K, H, C khử được T + 2.K + 3.H + C bậc tự do.

Về yêu cầu: Xem trái đất là cố định. Nối D miếng cứng còn lại vào trái đất, nghĩalà phải khử 3.D bậc tự do.Vậy điều kiện cần để hệ BBH là: T + 2.K + 3.H + C 3.D

- Các trường hợp của n: tương tự như cho công thức (1-2)

n = T + 2.K + 3.H + C - 3.D 0

n = T + 2.K + 3.H - 3.(D -1) 0

(1-3)



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




17

3. Trường hợp đặc biệt: Hệ dànHệ dàn là hệ gồm những thanh thẳng liên k ết với nhau chỉ bằng các khớp ở hai

đầu mỗi thanh. (H.1.12a).Giao điểm các thanh gọi là mắt. Đối với hệ dàn cũng cho phép áp dụng công thức (1 - 2) hoặc (1 - 3) để khảo sát

điều kiện cần. Tuy nhiên, trong hệ dàn, các liên k ết khớp thường là khớp phức tạp cần

quy đổi về khớp đơn giản. Cách làm như vậy thường dễ nhầm lẫn.Dưới đây sẽ tr ình bày một cách khác thuận lợi hơn mà không phải quan tâm đếnđộ phức tạp của các liên k ết khớp.

a. Trường hợp hệ dàn không nối đất

Xét hệ dàn không nối đất gồm D thanh dàn và M mắt.Về khả năng: Xem một thanh dàn là miếng cứng cố định, (D -1) thanh còn lại cókhả năng khử (D - 1) bậc tự do.

Về yêu cầu: Nối (M - 2) mắt còn lại vào miếng cứng cố định, nghĩa là cần phảikhử 2.(M - 2).

Vậy điều kiện cần để hệ BBH là: (D - 1) 2.(M - 2)

b. Trường hợp hệ dàn nối đất Xét hệ dàn gồm D thanh dàn và M mắt. Ngoài ra hệ dàn còn nối đất bằng số liên

k ết tương đương C liên kết loại một.Về khả năng: Xem các thanh dàn là các liên k ết thanh. Như vậy, D thanh dàn cókhả năng khử được D bậc tự do. Ngoài ra các liên k ết nối đất khử được C bậc tự do.

Về yêu cầu: Nối M mắt vào miếng cứng cố định. Nghĩa là cần khử 2.M bậc tự do. Vậy điều kiện cần để hệ BBH là: D + C 2.M

- Các trường hợp của n tương tự như cho công thức (1-2)4. Điều kiện đủKhi phân tích hệ nhiều miếng cứng, tìm cách đưa hệ về còn lại 2 miếng cứng hoặc

3 miếng cứng để xét. Cách làm như sau: - Vận dụng tính chất bộ đôi để thu hẹp các miếng cứng (các thanh tạo th ành các

tam giác liên tiếp nhau tạo thành 1 miếng cứng). - Xem một số miếng cứng không chịu lực có 2 đầu là liên k ết khớp thành liên k ết

thanh. Nếu kết quả thu được: - Một miếng cứng: hệ đã cho là BBH.

Mắt dàn

Thanh dàn

Hệ dàn Không phải hệ dànH.1.12a

n = (D - 1) - 2.(M - 2) = D - 2.M + 3 0 (1 - 4)

n = D - 2M + C 0 (1 - 5)



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




18

- Hai hoặc ba miếng cứng: sử dụng điều kiện đủ của bài toán nối hai, ba miếngcứng đã biết để phân tích tiếp

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Khảo sát cấu tạo hình học của hệ cho tr ên hình (H.1.13a)

Lúc này, D = 6, T = 0, K = 1, H = 4, C = 4. Thay vào (1-3)n = T + 2.K + 3.H + C - 3.D

= 0 + 2.1 + 3.4 + 4 - 3.6 = 0 Hệ có khả năng BBH

b. Quan niệm mỗi thanh gãy khúc là một miếng cứng (Theo số miếng cứng

tối thiểu): Lúc này, D = 2, T = 0, K = 1, H = 0, C = 4. Thay vào (1-3)n = T + 2.K + 3.H + C - 3.D = 0 + 2.1 + 3.0 + 4 - 3.2 = 0 Hệ có khả năng BBH

c. Quan niệm trái đất là một miếng cứng: Lúc này, D = 3, T = 2, K = 2, H = 0. Thay vào (1-2)

n = T + 2.K + 3.H + C - 3.(D - 1) = 2 + 2.2 + 3.0 - 3.(3 - 1) = 0 Hệ có khả năng BBH

* Nhận xét:- Có nhiều cách quan niệm miếng cứng khác nhau và có ảnh hưởng đến số lượng

miếng cứng và các liên k ết.

- Thường quan niệm theo số miếng cứng tối thiểu vì số lượng D, T, K, H là ítnhất. 2. Điều kiện đủ

a. Đưa hệ về bài toán nối ba miếng cứng (H.1.13c): Trái đất (I), acdeg (II) vàghk (III). Ba miếng cứng này nối với nhau bằng ba khớp (1,2); (1,3); (2,3). Ba khớpnày không thẳng hàng nên hệ đã cho BBH.

b. Đưa hệ về bài toán nối hai miếng cứng (H.1.13b): Trái đất (I) và acdeg (II).Hai miếng cứng này nối với nhau bằng ba thanh ab, ef, gk. Ba thanh này không đồngqui hoặc song song nên hệ đã cho BBH.

a ke b

d

b(1,2)

kefa

c d

a b

c d

ef

g

k

c

d

f

g h

H.1.13a

1. Điều kiện cần: Hệ đã cho thuộc hệ bất kỳnối đất nên điều kiện cần sử dụng biểu thức (1 - 3).Có thể giải bài toán theo nhiều cách quan niệm

a. Quan niệm mỗi đoạn thanh thẳng là mộtmiếng cứng:

g

(I)

(II)

(1,3)

(2,3)

(I)

(II) (III)

H.1.13b H.1.13c

h h



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




19

Ví dụ 2: Khảo sát cấu tạo hình học của hệ cho tr ên hình (H.1.13d)1. Điều kiện cần: Hệ đã cho thuộc hệ dàn không nối đất nên điều kiện cần sử

dụng biểu thức (1 - 4).n = D - 2.M + 3 = 13 - 2.8 + 3 = 0 Hệ có khả năng BBH

2. Điều kiện đủ: Xem các tam giác khớp: (1,3,5); (2,4,7); (5,7,8) lần lượt là các miếng cứng

(I), (II), (III). Ba miếng cứng này nối với nhau bằng ba khớp K 1, K 2, K 3 (ở xa vô cùng).Ba khớp này thẳng hàng. (H.1.13e).Vậy hệ đã cho là BHTT

Ví dụ 3: Khảo sát cấu tạo hình học của hệ cho tr ên hình (H.1.13f)

1.Điều kiện cần: Hệ đã cho thuộc hệ bất kỳ nối đất nên điều kiện cần sử dụng biểu

thức (1 - 3). Quan niệm hệ gồm các miếng cứng (ab), (bcd), (def), (fg),(gh).Vậy D = 5, T = 0, K = 4, H = 0, C= 7. Thay vào (1-3)n = T + 2.K + 3.H + C - 3.D = 0 + 2.4 + 3.0 + 7 - 3.5 = 0 Hệ có khả năng BBH

2. Điều kiện đủ:Dùng phương pháp phát triển miếng cứng:

(bcd) + (def) + Trái đất BBH + (ab) BBH + (gh)

BBH

K 3

H.1.13d H.1.13e

3 khớp c,d,e Thanh a

khớp b thanh fg

khớp h

K 1 K 2(III)

(I) (II)

H.1.13f



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




20

CHƯƠNG 2

XÁC ĐỊNH NỘI LỰC TRONG HỆ PHẲNG TĨNH ĐỊNH CHỊU TẢITRỌNG BẤT ĐỘNG

2.1. CÁC KHÁI NIỆM

2.1.1. Phương tr ình cân bằng lực 2.1.1. Nội lực

1. Khái niệm: Nội lực là độ biến thiên lực liên k ết của các phần tử bên trong cấukiện khi cấu kiện chịu tác dụng của ngoại lực và các nguyên nhân khác.

* Chú ý: Khái niệm về nội lực và phản lực tại một tiết diện k nào đó của hệ là cóthể đồng nhất với nhau nếu quan niệm tiết diện là một liên k ết hàn hoặc liên k ết tươngđương nối hai miếng cứng ở hai bên tiết diện k. Vì vậy, sau này ta có thể đồng nhấtviệc xác định nội lực với việc xác định phản lực trong các liên k ết.

2. Các thành phần nội lực: Môn Cơ học kết cấu chủ yếu xác định 3 thành phầnnội lực:

- Momen uốn: Mô men xoay quanh một vị trí nào đó, K ý hiệu M. - Lực cắt: Lực vuông góc trục thanh, Ký hiệu Q. - Lực dọc: Lực dọc trục thanh, Ký hiệu N. 3. Quy ước dấu các thành phần nội lực- Momen uốn M quy ước xem là dương khi nó làm căng thớ dưới và ngược lại

(H.2.1a).- Lực cắt Q quy ước xem là dương khi nó làm cho phần hệ có lực cắt đó xoay

thuận chiều kim đồng hồ và ngược lại (H.2.1b). - Lực dọc N quy ước xem là dương khi có khuynh hướng gây kéo và ngược lại

(H.2.1c).

- Vị trí người đứng quan sát có hướng nhìn từ dưới lên đối với thanh ngang; từ phải sang trái đối với thanh đứng và thanh xiên khi xét dấu nội lực (H.2.1d).

Ví dụ 1: Xét dấu M, Q, N tại tiết diện k. Chiều như trong hình (H.2.2) là theochiều dương quy ước. Nếu chiều mũi tên ngược lại là chiều âm.

4. Cách xác định nội lực (phản lực) a. Cách 1 (cách lý thuyết)

H.2.1a H.2.1bMk < 0 Mk > 0 Qk < 0 Qk > 0

Nk < 0 Nk > 0

k k

Mk Nk

Mk Nk

H.2.2Qk Qk

H.2.1dH.2.1c

kk k k



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




21

Nội lực (phản lực) được xác định bằng phương pháp mặt cắt. Các bước tiến hànhnhư sau:

- Bước 1: Thực hiện một mặt cắt qua tiết diện cần xác định nội lực (qua liên k ếtcần xác định phản lực). Mặt cắt phải chia hệ thành hai phần độc lập. Xét cân bằng một

phần hệ. - Bước 2: Thay thế tác dụng của phần hệ bị loại bỏ bằng các thành phần nội lực

(phản lực) tương ứng. Các thành phần này có chiều chưa biết, có thể giả thiết có chiềudương, và chúng cũng là các đại lượng cần tìm.- Bước 3: Thiết lập các phương tr ình cân bằng tĩnh học cho phần hệ đang xét. - Nội lực ( phản lực) phụ thuộc vào liên k ết, bao gồm: + Nội liên k ết là liên k ết nối giữa các miếng cứng với nhau (T, K, H). + Ngoại liên k ết là liên k ết nối miếng cứng với trái đất (C). Toàn hệ : T + 2K + 3H + C thành phần nội lực ( phản lực). Về nguyên tắc: Khi xét cân bằng mỗi miếng cứng ta sẽ thiết lập được 3 phương

trình cân bằng tĩnh học. Trong hệ có D miếng cứng ta sẽ thiết lập được 3D phươngtrình cân bằng. Như vậy T + 2K + 3H + C sẽ được giải bằng 3D phương tr ình.

Tuy nhiên khi xét cân bằng, chỉ có 3 phương tr ình độc lập tuyến tính với nhau,

các phương tr ình cân bằng còn lại là phụ thuộc tuyến tính. Do vậy ta sử dụng 3 phương tr ình để xét cân bằng toàn hệ, chẳng hạn: + Dạng I: X = 0; Y = 0; MA = 0 (Tr ục X không được song song với trục Y) + Dạng II : X = 0; MA = 0; MB = 0 (Tr ục X không được vuông góc với AB) + Dạng III: MA = 0; MB = 0; MC = 0 (A, B, C không được thẳng hàng)- Bước 4: Giải hệ phương tr ình các điều kiện cân bằng sẽ xác định được các thành

phần nội lực (phản lực). Nếu kết quả mang dấu dương th ì chiều của nội lực (phản lực)đúng chiều đã giả định và ngược lại.

Ví dụ 2: Xác định nội lực (M,Q,N) tại điểm K trong hình (H.2.3)

* Nhận xét: Cắt mặt cắt qua k cần xác định nội lực, nếu ta giữ lại phần bên phảikhi xét cân bằng hệ tr ên thì không cần tính toán phản lực tại A.

X = 0 Nk = 0Y = 0 Qk - q.2= 0 Qk = q.2 = 10.2 = 20 kNMk = 0 Mk + q.2.1= 0 Mk = - q.2.1 = 10.2.1 = - 20 kN.m

b. Cách 2 ( cách thực hành)Bỏ qua bước viết các phương tr ình cân bằng, xác định ngay được các thành phần

nội lực:

+ Mômen uốn tại tiết diện k (Mk ): có giá tr ị được xác định bằng tổng mômen củatải trọng tác dụng lên phần hệ giữ lại lấy đối với trọng tâm tiết diện k.

+ Lực cắt tại tiết diện k (Qk ): có giá tr ị được xác định bằng tổng hình chiếu củacác tải trọng tác dụng lên phần hệ được giữ lại lên phương vuông góc với tiếp tuyếntr ục thanh tại tiết diện k (phương của Qk ).

+ Lực dọc tại tiết diện k (Nk ): có giá tr ị được xác định bằng tổng hình chiếu củacác tải trọng tác dụng lên phần hệ được giữ lại lên phương tiếp tuyến với trục thanh tại tiết diện k (phương của Nk ).

H.2.3 Qk



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN








24

2. Trường hợp trên đoạn thanh chịu tải phân bố đều (H.2.5c) Tức là q = const ( q n = q.cos ; q t = q.sin ) (Q), (N) có dạng bậc nhất; (M) có

dạng bậc hai. Như vậy, (Q) & (N) trên đoạn này sẽ là đoạn đường thẳng được vẽ qua hai điểm;

(M) sẽ là đường parabol được vẽ qua ba điểm. 2.

8n

m

q l f (gọi là tung độ tr eo); f treo vuông góc với đường chuẩn và theo chiều qn.

Mối quan hệ giữa mômen và lực cắt tại hai đầu thanh:

1 1. . ; . .2 2

ph tr ph tr tr ph

n n

M M M M Q q l Q q l

l l

3. Trường hợp trên đoạn thanh chịu tải trọng phân bố h ình tam giác

Tức là q có dạng bậc nhất ( qn = q.cos ; q t = q.sin ) (Q), (N) có dạng bậchai; (M) có dạng bậc ba.

Như vậy, (Q) & (N) trên đoạn này sẽ là đoạn đường parabol được vẽ qua ba điểm;(M) sẽ là đường bậc ba, cho phép vẽ qua ba điểm.

-2.

16n

M

q l f ; f M treo vuông góc với đường chuẩn và treo theo chiều q.

-

.

8

n

Q

q l

f , f Q treo vuông góc với đường chuẩn và có chiều sao cho tại vị trí q = 0,tiếp tuyến với đường biểu đồ song song với đường chuẩn.

-.

8t

N

q l f , f N treo vuông góc với đường chuẩn và có chiều sao cho tại vị trí q = 0,

tiếp tuyến với đường biểu đồ song song với đường chuẩn.

H.2.5b H.2.5c



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




25

Mối quan hệ giữa mômen và lực cắt tại hai đầu thanh: - Khi tải phân bố tam giác có đáy bên phải (H.2.5d):

1 1. ; .

6 3

ph tr ph tr tr ph

n n

M M M M Q q l Q q l

l l

- Khi tải phân bố tam giác có đáy bên trái (H.2.5e):1 1. ; .

3 6

ph tr ph tr tr ph

n n

M M M M Q q l Q q l

l l

* Tổng quát:

1. 2. ; . . ph tr ph tr

tr ph

n n

M M M M Q k q l Q k q l

l l

+ Khi q = 0 k 1 = k 2 = 0

+ Khi q = const k 1 = k 2 =1

2

k 1 =1

6; k 2 =

1

3

k 1 =13

; k 2 =16

* Chú ý:

H.2.5d H.2.5e

lcos

q tđ.lq tđ

q tđ = q.cos

q.lcos

+ Khi q dạng tam giác

l

q

l



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




26

2.1.4. Biểu đồ nội lực

1. Khái niệm: Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn quy luật biến thiên của nội lựcdọc theo chiều dài cấu kiện.

2. Các thành phần của biểu đồ nội lực - Đường chuẩn: là hệ trục dùng để dựng các tung độ, thường chọn đường chuẩn là

đường trục thanh.

- Tung độ: tung độ của biểu đồ nội lực tại một vị trí nào đó là biểu thị cho nội lựctại tiết diện tương ứng, tung độ dựng vuông góc với đường chuẩn

- Đường biểu đồ: là đường nối các tung độ.

3. Các quy ước khi vẽ biểu đồ nội lực ,- Biểu đồ mômen M: tung độ âm dựng lên trên đường chuẩn. Điều này có ngh ĩa là

tung độ dựng về phía thớ căng. - Biểu đồ lực cắt Q, lực dọc N: tung độ dương dựng lên trên đường chuẩn và

ngược lại. - Ghi ký hiệu , ( ) vào miền dương (âm) của biểu đồ lực cắt và lực dọc.- Ghi tên và đơn vị tr ên các biểu đồ đã vẽ được. 4. Cách vẽ biểu đồ nội lực Theo môn Cơ học kết cấu, vẽ biểu đồ nội lực tiến hành theo các bước sau: - Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần). - Bước 2: Xác định nội lực tại các tiết diện đặc trưng. + Tiết diện đặc trưng: là những tiết diện chia hệ thành những đoạn thanh thẳng

sao cho trên đoạn thanh đó hoặc là không chịu tải trọng hoặc là chỉ chịu tải trọng phân

bố liên tục. Vị trí các tiết diện đặc trưng thường là: ở nút (nơ i giao nhau các thanh), ởvị trí lực tập trung, ở hai đầu tải trọng phân bố, tại vị trí các gối tựa.... - Bước 3: Vẽ biểu đồ nội lực. Sử dụng các liên hệ vi phân để vẽ.- Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. + Kiểm tra bước nhảy.+ Kiểm tra mối liên hệ vi phân của lực cắt và mômen.

đường biểu đồ

H.2.3

đường chuẩn

Tungđộ



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




27

2.2. HỆ ĐƠN GIẢN

2.2.1. Dầm đơn giản

1. Phân tích cấu tạo hệ a. Định nghĩa: Hệ đơn giản là hệ gồm một miếng cứng nối với trái đất bằng số

liên k ết tương đương với ba liên k ết loại một để tạo thành hệ BBH.

b. Phân loại - Dầm đơn giản hai đầu khớp. (H.2.6a) - Dầm đơn giản có đầu thừa. (H.2.6b) - Dầm console. (H.2.6c)

2. Xác định các thành phần phản lựcTrong hệ dầm đơn giản, tồn tại ba thành phần phản lực. Cách xác định đã được

trình bày trong phần xác định phản lực. Tuy nhiên để tránh việc giải hệ phương tr ìnhtoán học, nên thiết lập sao cho trong mỗi phương tr ình chỉ có một ẩn số. Cách thựchiện như sau:

- Nếu hai ẩn còn lại đồng quy tại một điểm I, phương tr ình cần thiết lập là tổngmômen toàn hệ đối với điểm I bằng không. (MI = 0)

- Nếu hai ẩn còn lại song song nhau, phương tr ình cần thiết lập là tổng hình chiếutoàn hệ lên phương vuông góc phương hai ẩn song song bằng không. (Z = 0, Z có phương vuông góc với phương hai ẩn song song)

- Nếu hai ẩn còn lại là một lực và một mômen, phương tr ình cần thiết lập là tổnghình chiếu lên phương vuông góc của ẩn lực bằng không. (Z = 0, Z có phương vuônggóc với phương ẩn lực).

Ví dụ : 1. Xác định phản lực của hệ cho tr ên hình (H.2.7a):Các thành phần phản lực gồm B A A V H V ,,

- HA: X = 0 f 1(HA) = 0 HA.- VA :MI = 0 f 2(VA) = 0 VA.- VB :MA = 0 f 3(VB) = 0 VB.2. Xác định phản lực của hệ cho tr ên hình (H.2.7b): Các thành phần phản lực gồm A A A M H V ,,

- HA: X = 0 f 4(HA) = 0 HA.- MA :MA = 0 f 5(MA) = 0 MA.- VA :Y = 0 f 6(VA) = 0 VA. 3. Xác định nội lực và vẽ biểu đồ

- Vẽ biểu đồ lực dọc N :+ Chia hệ ra làm các đoạn tại điểm gián đoạn ( N).+ Xác định lực dọc N trong các đoạn và vẽ biểu đồ N - Vẽ biểu đồ lực cắt Q : Dùng qui tắc bút chì- Vẽ biểu đồ mômen M :+ Xác định mômen tại các vị trí đặc trưng trên các đoạn.

y

x

H.2.7a

P

A

B

HA

VA

VB

x

y

P

VA

A

BHA

MA

H.2.7b

H.2.6a H.2.6b H.2.6c

I



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




28

+ Tại vị trí có bước nhảy thì phải xác định Mtr & M ph.4. Kiểm tra lại biểu đồ nội lực

2.2.2. Khung đơn giản

1. Định nghĩa: Khung đơn giản là hệ gồm một thanh gãy khúc nối với trái đất bằng các liên k ết tương đương ba liên kết loại một tạo thành hệ BBH.

2. Xác định các thành phần phản lực: Gồm ba thành phần và được xác định nhưtrường hợp dầm đơn giản.

3. Xác định và vẽ các biểu đồ nội lực Tương tự trường hợp dầm đơn giản. 4. Kiểm tra lại các biểu đồ nội lực. (đã trình bày) * Chú ý:

Nút khung có tính chất: tổng mômen ngoại lực và nội lực tại các đầu thanh quy tụvào nút khung bằng không (cân bằng mômen nút). Thường sử dụng tính chất này đểkiểm tra sự cân bằng mômen nút cho kết quả tính toán.

Trường hợp đặc biệt: một nút có hai đầu thanh quy tụ vàkhông chịu mômen ngoại lực, mômen nội lực tại hai đầu thanh

đó bằng nhau về giá trị và cùng làm căng thớ bên trong hay bên ngoài.

M

M M

M



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




29

CÁC VÍ DỤ VỀ HỆ ĐƠN GIẢN

1. Xác định các thành phần phản lực : Xét cân bằng toàn hệ

- X = 0 HA = 0- MD = 0 VA.6 + 24 - 32.2 - 2.16.1 = 0 VA = 12 kN (>0)- MA = 0 24 + 32.4 + 2.16.5 - VD.6 = 0 VD = 52 kN (>0)- Chiều các thành phần phản lực đúng chiều giả thiết.

Kiểm tra: Y = 0 VA + VD - P - 2.q = 12 + 52- 32 - 2.16 = 0 (đúng) 2. Xác định nội lực tại các tiết diện đặc trưng: - Lực dọc N: Tải trọng tác dụng vuông góc với trục dầm nên lực dọc tại mọi tiết

diện tr ên dầm đều bằng không. - Lực cắt Q:+ Đoạn AB: Biểu đồ có dạng song song với đường chuẩn: QAB = VA = 12 kN

+ Đoạn BC: Biểu đồ có dạng song song với đường chuẩn: QBC = VA = 12 kN+ Đoạn CD: Biểu đồ có dạng bậc nhất:QCD = 2.q - VB = 2.16 - 52 = - 20 kN; QDC = - VB = - 52 kN

* Chú ý : Có thể sử dụng qui tắc bút ch ì để vẽ nhanh biểu đồ lực cắt. - Momen M :+ Đoạn AB: Biểu đồ có dạng bậc nhất

MAB = 0 ; MBA = VA . 2 = 12.2 = 24 kN.m+ Đoạn BC: Biểu đồ có dạng bậc nhất

H.2.8a

Ví d ụ 1: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ dầm cho tr ên hình (H.2.8a).



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




30

MBC = VA.2 + M = 12.2 + 24 = 48 kN.m;MCB = VA.4 + M = 12.4 + 24 = 72 kN.m

+ Đoạn CD: Biểu đồ có dạng bậc haiMCD = MCB = 72 kN.m ; MDC = 0

Tung độ treo : f m =2.

8

q l =

216.2

8 = 8 kN.m

3. Vẽ biểu đồ nội lực:(H.2.8a)4. Kiểm tra biểu đồ:

- Biểu đồ lực cắt: QCB - QCD = 12 - (-20) = 32 k N = P (đúng)

- QCD =1

. .2

DC CD M M

q ll

=

0 72 1.16.2

2 2

= - 20 kN (đúng).

- QDC = 1. .

2 DC CD M M

q ll

= 0 72 1

.16.22 2

= - 52 kN (đúng)…

Ví dụ 2: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ dầm cho tr ên hình (H.2.8 b)

1. Xác định các thành phần phảnlực:

Xét cân bằng toàn hệ- X = 0 HA - P2 = 0 HA - 15 = 0 HA = 15 kN (>0)- Y = 0 VA - q.2 - P1 = 0

VA - 20.2 - 15 = 0 VA = 55 kN (>0)

- MC = 0MA + VA.3 - q.2.2 = 0MA + 55.3 - 20.2.2 = 0 MA = - 85 kN.m (< 0)

- Vẽ lại chiều các thành phần phản lực Kiểm tra: Y = 0 VA + VD - P - 2.q= 12 + 52 - 32 - 2.16 = 0 (đúng)

2. Xác định nội lực tại các tiết diệnđặc trưng:

- Lực dọc N: Biểu đồ có dạng songsong với đường chuẩn.

NAC = - P2 = -15 kN - Lực cắt Q: Được vẽ theo qui tắc bút chì.- Momen M:

+ Đoạn AB: Biểu đồ có dạng bậc haiMAB = - MA= - 85 kN.m; MBA = - P1.1 = - 15.1 = - 15 kN.m

Tung độ treo : f m =2.

8

q l =

220.2

8 = 10 kN.m

+ Đoạn BC: Biểu đồ M có dạng bậc nhấtMBC = MBA = -15 kN.m; MCB = 0

3. Vẽ biểu đồ nội lực: (H.2.8b) 4. Kiểm tra biểu đồ:

H.2.8b



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




31

QAB =1

. .2

BA AB M M q l

l

=

15 ( 85) 1.20.2

2 2

= -55 (đúng).

QBA =1

. .2

BA AB M M q l

l

=

15 ( 85) 1.20.2

2 2

= 15 (đúng).

Ví dụ 3: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ khung cho tr ên hình ( H.2.8c).

1. Xác định các thành phần phản lực : Xét cân bằng toàn hệ - X = 0 HA = - P2 = - 12 kN (<0)- ME = 0 VA.4 + P2.3 - P1.5 - 4..2 =0

VA.4 + 12.3 - 24.5 - 4.10.2 = 0 VA = 41 kN (>0)

- MA = 0 P2.3 - P1.1 + 4.q.2 - VB.4 = 0 12.3 - 24.1 + 4.10.2 - VB.4 VB = 23 kN (>0)

- Vẽ lại chiều các thành phần phản lực. Kiểm tra: Y = 0 VA + VB - P1 - 4.q

23 + 41 - 24 - 4.10 = 0 (đúng) 2. Xác định nội lực tại các tiết diện đặc trưng: - Đoạn AD: NAD = -VA = - 41 kN;

QAD = HA = 12 kNMAD = 0; MDA = HA . 3 = 12.3 = 36 kN.m

- Đoạn CD: NCD = - P2 = -12 kN; QCD = - P1 = - 24 kN MCD = 0; MDC = - P1.1 = - 24.1 = - 24 kN.m

- Đoạn DE : NDE = 0;QDE = VA - P1 = 41 - 24 = 17 kN;QED = - VB = - 23 kNMDE = - P1.1 + HA.3

= - 24.1 + 12.3 = 12 kN.m; MED = 0Tung độ treo : f m =

2.

8

q l =

210.4

8 = 20 kN.m

- Đoạn BE: NBE = - VB = - 23 kN; QBE = 0; MBE = MEB = 0 .3. Vẽ biểu đồ nội lực: (H.2.8d) 4. Kiểm tra biểu đồ:

H.2.8c

H.2.8d



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




32

2.3. HỆ BA KHỚP

2.3.1. Phân tích cấu tạo hệ

1. Định nghĩa: Hệ ba khớp là hệ gồm hai miếng cứng nối với nhau bằng mộtkhớp và liên k ết với trái đất bằng hai khớp (gối cố định) để tạo thành hệ BBH.

2. Tính chất của hệ ba khớp

- Trong hệ luôn tồn tại thành phần phản lực nằm ngang ngay cả khi tải trọng chỉtác dụng theo phương thẳng đứng. - Nội lực trong hệ ba khớp (mômen uốn và lực cắt) nói chung là nhỏ hơn trong hệ

đơn giản cùng nhịp, cùng chịu tải trọng. 3. Phân loại hệ ba khớp a. Vòm ba khớp: Khi các miếng cứng của hệ là những thanh cong (H.2.9a).b. Khung ba khớp: Khi các miếng cứng của hệ là các thanh gãy khúc (H.2.9b).c. Dàn ba khớp: Khi các miếng cứng của hệ là những dàn phẳng tĩnh định

(H.2.9c ).

c. Hệ ba khớp có thanh căng: Hệ gồm hai miếng cứng nối với nhau bằng mộtkhớp và một thanh căng, tiếp đó nối với trái đất bằng một gối cố định và một gối diđộng để tạo thành hệ BBH (H.2.9d). Thanh căng có tác dụng tiếp nhận lực xô ngang.

4. Ưu, nhược điểm của hệ ba khớp a. Ưu điểm - Tiết kiệm vật liệu. - Có thể vượt qua được những nhịp lớn. - Hình dáng kiến trúc đẹp. b. Nhược điểm - Khó thi công. - Trong hệ luôn tồn tại thành phần lực xô ngang nên k ết cấu móng phức tạp. Để

khắc phục điều này, có thể sử dụng hệ ba khớp có thanh căng.

2.3.2. Xác định phản lực

Xét hệ vòm ba khớp như trên hình vẽ (H.2.10a). Gọi B A R R , là phản lực tại gối

tựa A, B. B A R R

, có phương chưa biết nên có thể phân tích chúng thành hai thành phầntheo hai phương xác định.

H.2.9cH.2.9a

H.2.9d

H.2.9b



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




33

1. Phân tích theo phương AB và phương thẳng đứng

d

A A A V Z R & ;

d

B B B V Z R &

a. Xác định

d

B

d

AV V & : Vận dụng phương tr ình cân bằng mô men đối với gối A, B

- MB = 0 f 1(VA ) = 0 VAd.

- MA = 0 f 2(VB ) = 0 VBd.

Trong trường hợp tải trọng chỉ tác dụng theo phương thẳng đứng, dễ thấy rằngcách tìm phản lực các thành phần d

B

d

A V V , giống như cách tìm các phản lực trong dầmđơn giản tương ứng. Vì vậy các phản lực này gọi là phản lực dầm và được ký hiệu nhưở tr ên.

b. Xác định B A Z Z

, : Xác định theo điều kiện mô men uốn tại khớp C = 0 Cắt qua C, giữ lại phần bên trái và viết phương tr ình cân bằng mômen đối với C.

MC = 0 -ZA.h + tr

C M = 0 ZA =

h

M tr C .

Trong đó :- MC

tr là tông mô men của các lực tác dụng lên phần hệ bên trái đối với điểm C (không k ể ZA. . Trong biểu thức xác định MC

tr , ngoại lực làm cho phần hệ bên trái xoaythuận kim đồng hồ quanh C lấy dấu dương.

- h : Khoảng cách từ khớp C đến đường nối AB. Tương tự, xét cân bằng mômen cho phần hệ bên phải C

ZB =h

M ph

C

Với :- ph

C M là tổng mômen của các lực tác dụng lên phần hệ bên phải C (không kể ZB).

Trong biểu thức xác định ph

C M , các ngoại lực làm cho phần hệ xoay ngược chiều kim

đồng hồ quanh C, lấy dấu dương.

- Các thành phần B A Z Z

, thường chỉ tồn tại trong vòm 3 khớp nên còn gọi là phảnlực vòm.

b

P1

P2 P3

h

A

C

B

d

BV

A B

P1 P2 P3

C

R A

HA ZA

VA

d

AV

VB R B

ZB HB

d

BV

d

AV H.2.10a



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




34

2. Phân tích theo phương thẳng đứng và phương ngang

A A A H V R & ;

B B B H V R &

a. Xác định

B A H H ,

Từ quan hệ hình học tr ên hình vẽ. HA = ZA.cos; HB = ZB.cos.

- HA, HB gọi là các lực xô. - Trong trường hợp tải trọng tác dụng theo phương đứng, viết phương tr ình điềukiện cân bằng hình chiếu của các lực lên tr ục nằm ngang, ta có:

H A = HB = H, nên ZA = Z B = Z.

b. Xác định

B AV V ,

Từ quan hệ hình học tr ên hình vẽ. VA = d

AV + ZA.sin; VB = d

BV - ZB.sin.

Hay VA = d

AV + HA.tg; VB = d

BV - HB.tg.

3. Xác định các phản lực toàn phần B A R R

; :

Phản lực toàn phần là tổng hình học của các thành phần phản lực tương ứng : A A A

d

A A H V Z V R

B B Bd

B B H V Z V R

Về giá trị (độ lớn): 22 A A A H V R ; 22

B B B H V R * Chú ý:- > 0 nếu gối B cao hơn gối A và ngược lại.

- Có thể xác định được

B B A A H V H V &,, thông qua giải hệ phương tr ình:

+ Viết phương tr ình cân bằng mômen toàn hệ đối với gối B:

MB = 0 f 1(VA, HA) = 0 (a)+ Tách qua C, viết phương tr ình cân bằng mômen của nữa hệ bên trái đối với C: tr

C M = 0 f 2(VA, HA) = 0 (b)

Giải hệ phương tr ình (a), (b) sẽ được A A H V , + Tương tựMA = 0 f 3(VB, HB) = 0 (c) ph

C M = 0 f 4(VB, HB) = 0 (d)

Giải hệ phương tr ình (c), (d) sẽ được B B H V ,

2.3.3. Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




35

Mk (zk )=d

k M - H.yk .

Ở đây tr ình bày tính cho hệ vòm và khung ba khớp.

1. Biểu thức mômen uốn (Mk)Giả sử cần xác định mômen uốn tại tiết diện k của vòm ba khớp chịu tải trọng tác

dụng thẳng đứng, có hoành độ zk như trên hình vẽ. (H.2.10b) Dùng mặt cắt qua k, giữ lại và xét cân bằng phần bên trái.

Mk (zk ) =d

AV .zk - P1.a - ZA.hk (a)

Đối chiếu với dầm đơn giản tương ứng, có nhịp bằng nhịp của v òm, chịu tải trọngtác dụng như trên vòm (H.2.10c), lấy mô men tại điểm k, ta có:

Mdk = d

AV .zk - P1.a (b)

Với: d

k M là mômen uốn tại tiết diện k tr ên dầm đơn giản cùng nhịp, cùng chịu tải

tr ọng.

Thay (b) vào (a): Mk (zk ) = d k

M - ZA.hk

Ta biết: ZA = coscoscos

H H H B A ; mà yk =

cosk

h

Suy ra ZA.hk = H.yk (c)Từ (a), (b), (c) suy ra:Trong đó: - Mk (zk ): mô men uốn tại tiết diện k bất kỳ có hoành độ z tr ên vòm chịu tác dung

của tải trọng thẳng đứng. - Mk

d : mô men uốn tại tiết diện k tương ứng trong dầm đơn giản có cùng nhịp và

cùng chịu tải trọng tác dung như trên vòm.- H: Lực xô của vòm.- yk : khoảng cách theo phương thẳng đứng từ tiết diện k đến đường thẳng AB

nối 2 gối của vòm. Biểu thức chứng tỏ tính ưu việt của kết cấu vòm so với kết cấu dầm: mômen

uốn tại một tiết diện bất kỳ của vòm bằng mô men uốn tương ứng trong dầm có cùngnhịp và cùng tải trọng trừ đi tích số H.yk . Tích số làm cho mô men uốn trong vòm nhỏhơn mô men uốn trong dầm. Và nếu khéo chọn hình dạng của vòm (yk ) sao cho

a

A

AZA

P1

P1

Bh

P2

b

P3

B

P2 C

P3

d

AV

d

BV

ZB

y

x

f

k

k

a

yk hk

b

ak

d

AV

d

BV

k

A

A

ZA

P1

d

AV

d

AV

b

hk yk

P1 k

b x

ak

y

d

k M

d

k Q

Mk

Qk Nk

zkzk

d

k N H.2.10b

H.2.10c



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




36

Qk =d

k Q .cosk - H.(sink - tg.cosk )

d

k M = H.yk thì mômen uốn tại mọi tiết diện đều bằng không. Lúc này trong vòm chỉtồn tại lực dọc nên tiết kiệm vật liệu, và có thể sử dung được những vật liệu chịu nénnhư gạch, đá...

2. Biểu thức lực cắt (Qk)Thiết lập biểu thức lực cắt Qk tại tiết diện bất kỳ k, có hoành độ z tr ên vòm 3 khớp

chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng: Qk = VA

d.cosk - P1.cosk + ZA.sin.cosk - ZA.cos.sink

ZA = cos

A H

; thay vào biểu thức tr ên, ta có :

Qk = (VAd - P1). cosk + HA.tg.cosk - HA.sink

Đối chiếu với dầm đơn giản có cùng nhịp, cùng tải trọng, ta thấy Qk d = VA

d - P1,chính là lực cắt trong dầm tại tiết diện k tương ứng có hoành độ z.

Do tải trọng tác dụng thẳng đứng, nên HA = HB = H; thay vào công thức tr ên, tacó :

Trong đó - d

k Q : lực cắt tại tiết diện k trong dầm đơn giản tương ứng cùng nhịp, cùng chịu

tải trọng thẳng đứng như trong vòm.- Qk : lực cắt trong vòm tại tiết diện k. - k : góc hợp bởi tiếp tuyến với trục vòm tại tiết diện k với phương ngang. - : góc hợp bởi phương nằm ngang với phương AB nối liền 2 gối. - H: lực xô của vòm.

3. Biểu thức lực dọc (Nk)Tương tự như xác định lực cắt nhưng đi thiết lập phương tr ình hình chiếu lên

phương Nk (phương của tiếp tuyến trục vòm tại tiết diện k).

Nk = -d

k Q .sink - H.(cosk +tg.sink )

* Chú ý:- > 0 khi gối B cao hơn gối A và ngược lại. - k > 0 khi y'(zk ) > 0 và ngược lại. - yk = y(zk ) - zk .tg.- Khi = 0 (gối A & B cùng cao độ)

Mk =Mk = d

k M -

H.yk .Qk = d

k Q .cosk -

H.sink . Nk = - d

k Q .sink -

H.cosk - Các biểu thức trên được thiết lập cho tải trọng tác dụng theo phương thẳng đứng. 3. Vẽ các biểu đồ nội lực cuối cùng- Đối với khung ba khớp: Tiến hành giống hệ dầm, khung đơn giản.



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




37

- Đối với vòm ba khớp: Sau khi chọn và xác định nội lực tại các tiết diện tr ên k ếtcấu. Các tiết diện thường chọn là các tiết diện đặc trưng và một số tiết diện trung gianđể tăng tính chính xác. Biểu đồ nội lực được vẽ gần đúng bằng cách nối các tung độliên tiếp bằng các đoạn thẳng.

Quá trình tính toán có thể lập thành bảng sau: (Bảng tham khảo)

Tiếtdiện zk yk tgk = y'

(zk ) sink coskd

k M d

k Q Mk Qk Nk

- - - - - - - - - - -

Bảng phân tích nội lực trong vòm ba khớp

* Chú ý: Có thể chọn đường chuẩn là đường nằm ngang khi vẽ biểi đồ nội lực. * Chú thích: Đối với hệ dàn vòm ba khớp, cách tính được thực hiện như sau: - Xác định phản lực tại các gối tựa theo cách đã trình bày ở tr ên.- Nội lực trong các thanh dàn chỉ là lực dọc. Xem cách xác định trong bài hệ dàn

CÁC VÍ DỤ VỀ HỆ BA KHỚP

Ví dụ 1: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ tr ên hình(H.2.10d).1. Xác định các thành phần phản

lực: , , , A A E E

V H V H

- ME = 0 VA.7 + M - 4.P - 4.q.2 = 0 VA.7 = 4.15.2 + 4.36 - 26 VA = 34 kN (>0)

- MCtr = 0 VA.3 - 5.HA+ M = 0

5.HA = 34.3 + 26 HA = 25,6 kN (>0)

- MA = 0 - VE.7 + 4.q.5 + 3.P + M = 0 VE.7 = 4.15.5 + 3.36 + 26 VE = 62 kN (>0)

- MC ph = 0 - VE.4 + 5.HE + 4.q.2 = 0

5.HE = 4.62 - 4.15.2 HE = 25,6 kN (>0)

Kiểm tra :-X = 0 HA - HE = 25,6 - 25,6 = 0 (đúng) -Y = 0 VA + VE - P - 4.q = 34 + 62 - 36 - 4.15 = 0 (đúng)

2. Xác định nội lực tại các tiết diện đặc trưng:

- Đoạn AB : NAB = -VA = - 34 kN; QAB = - HA = - 25,6 kN;MAB = 0; MBA = - 5.HA = - 5.25,6 = - 128 kN.m- Đoạn BC : NBC = - HA = - 25,6 kN; QBC = VA = 34 kN;

MBC = - 5.HA + M = - 128 + 26 = - 102 kN.m; MCB = 0- Đoạn CD: NCD = - HE = - 25,6 kN;

QCD = 4.q - VE = 4.15 - 62 = - 2 kN; QDC= - VE = - 62 kNMCD= 0; MDC = - 5.HE = - 5.25,6 = - 128 kN.m

H.2.10d



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




38

f m =2.

8

q l =

215.4

8 = 30 kN.m

- Đoạn DE : NDE = -VE = - 62 kN; QDE = HE = 25,6 kN;MDE= 5.HE = 5.25,6 = 128 kN.m; MED = 0

3. Vẽ các biểu đồ nội lực cuối cùng: (H.2.10e)

4. Kiểm tra biểu đồ - Kiểm tra cân bằng nút B : M + MBC - MBA = 26 + 102 - 128 = 0 (đúng) - Biểu đồ lực cắt tại C: QBC + QCD = 34 + 2 = 36 = P (đúng)

Ví dụ 2: Cho vòm có tr ục biến thiên theo phương tr ình y =1

(8 )

4

z z và chịu

tải trọng như hình vẽ (H.2.10f). Xác định nội lực tại tiết diện k của vòm ba khớp.

1. Xác định các thông số: - zk =2m; yk = y(2) = 3m.

- tgk = y'(zk ) = y'(2)= 2

1(8 2. )

4 Z z = 1 sink = cos k =2

2= 0,707

H.2.10e

H.2.10f



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




39

2. Xác định các thành phần phản lực liên kết: B B A A B

d

B A Z H Z H V V V ;;;;;;;VdA

- Vì 2 gối A,B cùng độ cao nên = 0, do đó: ,d d

A A B BV V V V

a. Xác định VA, HA: - MB = 0 10.VA - 5.q.7,5 - P.sin45o.2 - P.cos45o.3 = 0

10.VA = 5.1.7,5 + 5.0,707.2 + 5.0,707.3 V

A = 5,518 kN (> 0).

- MCtr = 0 5.VA - 4.HA - q.5.2,5 = 0 4.HA = 5.5,518 - 1.5.2,5

HA = 3,773 kN (>0)- MB = 0 -10.VB - P.cos45o.3 + P.sin45o.8 + 5.q.2,5 = 0

10.VB = - 5.0,707.3 + 5.0,707.8 + 5.1.2,5 VB = 3,018 kN (>0)

- MC ph = 0 -5.VB + 4.HB + P.cos45o.1 + P.sin45o.3 = 0

4.HB = 5.3,018 - 5.0,707.1 - 5.0,707.3 HB = 0,238 kN (>0)

Kiểm tra: X = 0 HA - HB- Pcos45o = 0 3,773 - 0,238 - 5.0,707= 0 (đúng) Y = 0 VA + VB - P.sin45o - 5.q = 0

5,518 + 3,018 - 5.0,707 - 5.1 = 0 (đúng) K ết luận: 5,518d

A AV V KN ; 3,018d

B BV V kN

ZA = HA= 3,773 KN; ZB = HB= 0,238 kN3. Xác định nội lực tại tiết diện k: Vì có tải trọng tác dụng không theo phương thẳng đứng nên không sử dụng các

biểu thức lập sẵn. Ở đây phải đi thiết lập các phương tr ình cân bằng như trong trườnghợp tổng quát xác định nội lực.

- Xét cân bằng nhánh trái tại k: + Mk = VA.2 - HA.3 - 2.q.1 = 5,518.2 - 3,773.3 - 2.1.1 = - 2,283 kN.m+ Qk = VA.cosk - HA.sink - 2.q.cosk = (5,518- 3,773- 2.1).0,707 = - 0,18 kN

+ Nk =-VA.sink - HA.cosk + 2.q.sink = (- 5,518- 3,773+ 2.1).0,707= - 5,155 kN2.3.4. Trục hợp lý của vòm ba khớp

1. Định nghĩa trục hợp lý của vòm

a. Đặt vấn đề Mômen uốn tại tiết diện k trong vòm ba khớp được xác định bằng biểu thức:

Mk (z) = d

k M - H.yk .

Nếu ta khéo chọn hình dạng của vòm (yk ) sao cho H.yk =d

k M thì Mk (z) = 0. Và

Qk (z) = 0 vì Qk (z) = 0)(

dz

zdM k .

Lúc này trong vòm chỉ tồn tại lực dọc Nk nên tiết kiệm vật liệu chế tạo vòm. Vìvậy, vấn đề đặt ra là chọn trục vòm sao cho hợp lý và tr ục vòm thế nào là hợp lý? b. Định nghĩa trục hợp lý của trục vòm: là tr ục chọn sao cho thể tích vòm có

giá tr ị nhỏ nhất mà vẫn đảm bảo được điều kiện bền. Đơn giản hóa bài toán, dựa vào bài toán thực tế: với vòm có kích thước thông

thường, khi biến đổi trục mà vẫn giữ nguyên nhịp và đường tên võng thì chiều dài tr ụcvòm và lực dọc biến đổi ít, còn mômen uốn và lực cắt biến đổi nhiều. Từ đó, có thểxem gần đúng thể tích vòm do mômen uốn và lực cắt quyết định. Do đó thể tích vòm



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






41

Mo = 0 N. - (N + dN). = 0 dN = 0 N = const.

Lấy tổng hình chiếu lên phương U:

U = 0 0.2

sin.2

sin. dsqd

N d

N

Do d là VCB nên22

sin d d N.d - q.ds = 0.

Mặc khác: ds = .d. Nênq

N .

Trường hợp q = const (phân bố đều) = const (cung tròn)K ết luận: Tr ục hợp lý của vòm 3 khớp chịu tải trọng phân bố đều vuông góc với

tr ục vòm là đường tr òn.

2.4. HỆ GHÉP TĨNH ĐỊNH

2.4.1. Khái niệm

Hệ ghép là hệ gồm nhiều miếng cứng nối với nhau bằng các liên k ết khớp hoặcthanh r ồi nối với trái đất bằng các gối tựa để tạo thành hệ BBH theo luật phát triểnmiếng cứng.

Ví dụ 1:

(DEF) + Trái đất BBH + (BCD) BBH + (AB)

BBH

Ví dụ 2 :

+ (AB) BBH

(BCDE) + Trái đất BBH

+ (EFG) BBH + (GH)

2.4.2. Phân tích hệ ghép

- Hệ chính: là hệ mà nếu loại bỏ những hệ lân cận nó vẫn BBH.- Hệ phụ: là hệ mà nếu loại bỏ các hệ lân cận thì nó bị BH. - Hệ trung gian: là hệ phụ nhưng là hệ chính của hệ khác.

Nhận xét: Theo qui luật phát triển miếng cứng:- Hệ chính sẽ là những MC đầu tiên được nối với trái đất để tạo thành hệ BBH

khớp C

thanh D

thanh A

3 Liên k ết thanh

khớp H

Thanh GBBH

khớp E thanh F

khớp D

thanh Ckhớp B

thanh A

H.2.12a

H.2.12b

khớp B

H.2.11d



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






43

+ Biểu đồ mômen: tung độ treo : f m =2.

8

q l =

224.3

8 = 27 kN.m

b. Hệ phụ BCDE:

- Xác định phản lực VB, HB, VD: ( chú ý có lực truyền từ hệ phụ EF, cùng độ lớnnhưng ngược chiều VE)+ X = 0 HB = 0.+ MD = 0 VB.4 - 36.2 + VE.2 VB.4 = 36.2 - 36.2 VB = 0+ MB = 0 VE.6 - VD.4 + P.2 VD.4 = 36.6 + 36.2 VD = 72 kN

Kiểm tra: Y = VB + VD - P = 0 + 72 - 36.2 = 0 (đúng) - Xác định nội lực tại các tiết diện đặc trưng:

+ Lực dọc : NBD = 0

H.2.12c



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN








46

Ví dụ : Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ có hệ thống truyền lực (H.2.13b). - Bước 1 : Tính các dầm dọc phụ: là những dầm đơn giản, tính được dễ dàng. Ở

đây chỉ xác định phản lực của nó.

- Bước 2 : Tính k ết cấu chịu lực chính: là dầm đơn giản chịu tải trọng là áp lực từcác dầm dọc phụ truyền vào. Tính toán tương tự như hệ dầm.

H.2.13c



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




47

2.6. HỆ DÀN

2.6.1. Phân tích hệ

1. Định nghĩa: là hệ gồm các thanh thẳng liên k ết với nhau chỉ bằng các khớp lýtưởng ở hai đầu mỗi thanh để tạo thành hệ BBH.

2. Cấu tạo của dàn - Khoảng cách giữa hai gối tựa gọi là nhịp dàn.- Các khớp của dàn gọi là các mắt dàn.- Các thanh dàn nằm trên đường biên dàn gọi là các thanh biên (gồm biên trên và

biên dưới). - Các thanh dàn nằm bên trong biên gọi là các thanh bụng (gồm thanh đứng và

thanh xiên).- Khoảng cách giữa hai mắt dàn thuộc cùng một đường biên gọi là đốt.

3. Các giả thiết để tính dàn- Các tr ục của thanh dàn phải đồng qui tại một điểm ( mắt dàn). Mắt dàn là một

khớp lý tưởng (không ma sát). - Bỏ qua trọng lượng bản thân của các thanh dàn.

- Tải trọng chỉ tác dụng lên mắt dàn.Vậy các thanh dàn, chỉ tồn tại lực dọc. 4. Tính chất của hệ dàn - Chịu lực tốt, có thể vượt qua được những nhịp lớn. - Tiết kiệm vật liệu. - Tr ọng lượng bản thân bé. - Khó thi công, lắp dựng.

2.6.2. Xác định nội lực trong các thanh dàn

Có nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây chỉ tr ình bày phương pháp giải tích. 1. Phương pháp tách mắt : Nội dung của phương pháp là đi khảo sát sự cân

bằng của từng mắt được tách ra khỏi dàn. Đây là trường hợp đặc biệt của phương phápmặt cắt với hệ lực khảo sát là hệ lực đồng quy.

Các bước tiến hành như sau: - Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần). - Bước 2: Lần lượt tách các mắt ra khỏi dàn bằng các mặt cắt quanh mắt. - Bước 3: Thay thế tác dụng của thanh dàn bị cắt bằng lực dọc trong thanh đó. Lúc

đầu, các lực dọc chưa biết, giả thiết lực dọc có chiều dương (vẽ hướng ra ngoài mắtđang xét). Sau khi thay thế, tại mỗi mắt ta có hệ lực đồng quy.

nhịp dàn

đốt

Mắt Biên trên

Thanh xiên

H.2.14aBiên dưới

Thanh đứng



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN








50

Phương pháp mặt cắt đơn giản được áp dụng khi chỉ dùng 1 mặt cắt là có thể xácđịnh được nội lực tr ong thanh cần tìm. Tr ường hợp này xảy ra khi mặt cắt qua khôngquá 3 thanh chưa biết nội lực (mặt cắt này gọi là “mặt cắt đơn giản”).

Các bước tiến hành như sau: - Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần) - Bước 2: Thực hiện "mặt cắt đơn giản" qua thanh dàn cần xác định lực dọc. Yêu

cầu: mặt cắt phải chia dàn ra làm hai phần độc lập. Giữ lại và xét cân bằng một phần bất kỳ. - Bước 3: Thay thế tác dụng của thanh dàn bị cắt bằng lực dọc tương ứng trong

thanh đó. Lúc đầu, các lực dọc chưa biết, giả thiết có chiều dương ( hướng ra ngoàimặt cắt đang xét)

- Bước 4: Thiết lập các điều kiện cân bằng: Lúc này, ta có thể thiết lập ba phươngtrình cân bằng. Giải hệ thống ba phương tr ình, sẽ xác định được lực dọc cần tìm. K ếtquả về dấu của nội lực, tương tự phương pháp tách mắt.

b. Minh họa:- Mặt cắt a-a trên hình (H.2.14e) là "mặt cắt đơn giản". Các thành phần lực dọc

cần xác định thuộc mặt cắt là N6-7, N6-3, N2-3.- Mặt cắt b-b trên hình (H.2.14e) cắt qua bốn thanh chưa biết lực dọc N8-7, N8-3,

N8-4, N5-4, nên không phải là "mặt cắt đơn giản". Để tránh phải giải hệ các phương tr ình, cần thiết lập sao cho trong mỗi phương

trình chỉ có một ẩn số. Cách thực hiện như sau: - Trường hợp 3 thanh chưa biết cắt nhau từng đôi một, để tìm nội lực trong thanh

thứ nhất, nên sử dụng phương tr ình cân bằng dưới dạng tổng mô men của các lực đốivới giao điểm của 2 thanh còn lại.

- Trường hợp trong số ba thanh chưa biết nội lực, có 2 thanh song song, để t ìm nộilực trong thanh không song song, ta sử dụng phương tr ình cân bằng dưới dạng tổnghình chiếu của các lực lên phương vuông góc với hai thanh không song song.

Ví dụ 4: Xác định nội lực trong thanh dàn (6-7), (6-3) trên hình (H.2.14e) bằng phương pháp mặt cắt đơn giản.

- Xác định phản lực HA ; VA; VB

X = 0 HA = 0MA = 0 VB.4a - P.a - P.2a - P.3a = 0 VB = 1,5PMB = 0 VA.4a - P.a - P.2a - P.3a = 0 VA = 1,5P

Dùng mặt cắt a-a cắt qua các thanh cần xác định nội lực, mặt cắt chia hệ thành 2thành phần độc lập, xét cân bằng bên trái.

- Xác định N6-7: Viết phương tr ình cân bằng tổng mômen xoay quanh nút 3 tr M 3 = 0 VA.2a - P.a + N6-7.a= 0 N6-7 = - 2.1,5P + P = - 2P (< 0).

H.2.14e



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




51

- Xác định N6-3: Viết phương tr ình cân bằng tổng hình chiếu theo phương Y Y = 0 VA - P - N6-3.cos45o = 0

N6-3 =0

1,5.2 2

cos45 22 A

V P P P P

(>0)



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






53

+ z = 4 Mk = 36 kN.m+ z = 6 Mk = 42 kN.m- TH4 (H.3.1e): ( 6 8 z )

0 A M - VB.8 + 10z + 16(z – 2) = 0 VB = 3,25z - 4

Mk = VB.4 – 10.(z – 4) – 16.(z – 4 – 2)= (3,25z – 4).4 – 10.(z - 4) – 16.(z – 6) = -13z + 120

+ z = 6 Mk = 42 kN.m+ z = 8 Mk = 16 kN.m- TH5 (H.3.1f) : (8 10 z )

0 A M - VB.8 + 16.(z – 2) = 0 VB = 2z - 4

Mk = VB.4 – 16.(z – 4 – 2) = (2z – 4).4 - 16.(z – 6 )= - 8z + 80+ z = 8 Mk = 16 kN.m+ z = 10 Mk = 0

- Vẽ đồ thị hàm số Mk (z). (H.3.1g)Theo đồ thị :Mkmax = 42 kN.m tại z = 6. Đây là vị

trí bất lợi nhất đối với Mk (z). Nhận xét :- Dùng phương pháp khảo sát hàm

số để xác định giá trị nội lực lớn nhất tại

một giá tr ị nào đó rất phức tạp.

- Đối với những hệ thanh được phép áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta có thể giải quyết vấn đề một cách đơn giản hơn bằng phương pháp đường ảnh hưởng (nếu hệthanh là hệ phẳng ) hoặc mặt ảnh hưởng ( nếu hệ thanh là hệ không gian).

3.1.2. Đường ảnh hưởng

H.3.1c

H.3.1b

H.3.1a

H.3.1e

H.3.1f

H.3.1d

H.3.1g



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




54

1. Định nghĩa: Đường ảnh hưởng của đại lượng nghiên cứu S xuất hiện tại một vị

trí k xác định tr ên công trình (viết tắt là đ.a.h.Sk ) là đồ thị biểu diễn quy luật biến thiên

của đại lượ ng Sk do một lực tập trung bằng một đơn vị có phương và chiều không đổi

di động tr ên công trình.

2. Các quy ước khi vẽ đường ảnh hưởng

- Đường chuẩn thường chọn có phương vuông góc với lực P =1 di động.- Các tung độ dựng vuông góc với đường chuẩn. - Các tung độ dương dựng theo chiều của tải trọng di động và ngược lại. - Ghi các ký hiệu (), () vào miền dương, âm của đ.a.h.S. 3. Nguyên tắc vẽ đường ảnh hưởng - Bước 1: Cho một lực P = 1 di động tới vị trí k cách gốc hệ trục tọa độ chọn tuỳ ý

một đoạn z. (Gốc tọa độ đã chọn trước) - Bước2: Coi P =1 cố định tại vị trí k, có tọa độ z, tính đại lượng S k theo z: Sk (z)- Bước 3: Cho z biến thiên (tức là cho P = 1 di động tr ên công trình). Vẽ đồ thị

của hàm số Sk (z) sẽ được đ.a.h.Sk cần tìm. * Chú ý:

Nếu đại lượng S không phải là một hàm duy nhất liên tục theo tọa độ z, thìĐ.a.h.S bao gồm nhiều đoạn với các quy luật biến thiên khác nhau. Trong trường hợpnày, ta cần lần lượt đặt P tr ên từng đoạn một để xác định hàm số S(z).

Ví dụ 2: Vẽ đường ảnh hưởng của momen uốn tại tiết diện K (H.3.2a) Cho tải trọng P=1 di chuyển tr ên tr ục dầm, dùng phương pháp mặt cắt tính nội lực

qua điểm cần khảo sát (điểm k). Chú ý tải P=1 di chuyển bên trái và bên phải điểm k.

1. Lực P = 1 di động tr ên đoạn dầm AB, chọn gốc tọa độ tại A 2. Đại lượng cần khảo sát là momen uốn tại điểm K, xác định Mk :a. Xác định phản lực : MB = 0 VA.l - P.(l - z) = 0

( ) 10

110 10 A

l z z zV l

MA = 0 VB.l - P.z = 0

10

z

l

zV

B .

b. Xác định Mk (z) bằng phương pháp mặt cắt: - Khi P = 1 di động bên trái k (0 z 5): Giữ lại phần bên phải

P = 1

đường phải đường trái 5/2

H.3.2b

H.3.2a



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






56

Như vậy, biểu đồ nội lực cho thấy quy luật phân bố của nội lực tr ên tất cả các tiếtdiện của hệ; còn đường ảnh hưởng của đại lượng S cho thấy quy luật biến thiên của đạilượng nghiên cứu S tại một vị trí xác định nào đó do lực tập trung P = 1 di động tr êncông trình gây ra.

3. Thứ nguyên tung độ đường ảnh hưởng Thứ nguyên của S

Thứ nguyên của P Vậy, nếu thứ nguyên của lực là kN, của chiều dài là m thì tung độ đường ảnh

hưởng phản lực, lực cắt, lực dọc có thứ nguyênkN

kN (tức là hư số), mômen uốn là

mkN

mkN

. .

3.1.4. Dạng đường ảnh hưởng

Trong hệ tĩnh định, đường ảnh hưởng phản lực và nội lực là những đoạn thẳngtương ứng với mỗi miếng cứng thành phần của hệ nếu miếng cứng đó không chứa đạilượng nghiên cứu S.

Nếu miếng cứng thành phần chứa đại lượng nghiên cứu S thì đường ảnh hưởngthuộc miếng cứng này gồm hai đoạn thẳng giới hạn tại vị trí tương ứng dưới tiết diệnchứa đại lượng S. Lúc này, đoạn đường bên trái gọi là đường trái và đoạn còn lại gọi làđường phải.

Ví dụ 4: Vẽ đường ảnh hưởng của Mk khi P =1 di động tr ên dầm Ví dụ cho tr ên H.3.4, ABC là miếng cứng thành phần có chứa đại lượng S; CD là

miếng cứng thành phần không chứa đại lượng S

3.2. ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG TRONG HỆ DẦM, KHUNG ĐƠN GIẢN

3.2.1. Đường ảnh hưởng trong dầm đơn giản

1. Đường ảnh hưởng phản lực

a. Phân tích- Xác định VA, HB, VB:

MB = 0 VA.l - P.(l - z) = 0 l

zlV A

)( ( hàm bậc nhất)

MA = 0 VB.l - P.z = 0 l

zV B ( hàm bậc nhất )

X = 0 HB = 0Chọn gốc tọa độ tại A, cho z biến thiên và vẽ (H.3.5a)

z = 0 : VA = 1, VB = 0; z = l : VA= 0, VB = 1.

P = 1

Thứ nguyên của tung độ đ.a.h =

đường phải đường trái H.3.4

đường nối



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




57

b. Nhận xét và Cách vẽ nhanh

Nhận xét- Đ.a.h.VA, đ.a.h.VB là một đoạn thẳng duy nhất, có tung độ y = +1 tại gối tựachứa đại lượng nghiên cứu, tung độ y = 0 tại gối tựa còn lại.

- Đ.a.h.HA trùng đường chuẩn Cách vẽ nhanh

- Đ.a.h.VA, đ.a.h.VB:+ Dựng tung độ y = + 1 tại gối tựa chứa đại lượng vẽ đ.a.h. + Dựng tung độ y = 0 tại gối tựa còn lại. + Nối hai tung độ này bằng một đoạn đường thẳng sẽ được đ.a.h cần vẽ. - Đ.a.h.HB: vẽ trùng đường chuẩn.2. Đường ảnh hưởng nội lực

a. Trường hợp tiết diện nằm bên trong nhịp a.1. Phân tíchXác định nội lực tại tiết diện k: - Khi P = 1 di động bên trái tiết diện k (-l1 z a):

Mk = ).().( all

zalV B .

Qk =l

zV

B .

Cho z biến thiên và vẽ biểu đồ (H.3.5b) + z = 0 : Mk

= 0; Qk = 0

+ z = a : Mk = .( )

al a

l ; Q

k =

a

l

- Khi P = 1 di động bên phải tiết diện k (a z l + l2):

Mk =l

zlaaV

A

).(.

.

Qk =l

zlV A

)( .

1

l 2l 1l

zP = 1

đ.a.h.VA

đ.a.h.VB

đ.a.h.HA

H.3.5a

B A

1



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






59

+ Tại B, dựng tung độ yB = -1. Nối tung độ này với điểm không tại A ( yA = 0) bằng đường thẳng, sẽ được đường trái.

+ Qua k, dựng đường thẳng đứng cắt đường phải và đường trái, sẽ xác định được phần thích dụng của chúng.

b. Trường hợp tiết diện thuộc đầu thừa Vẽ đ.a.h mômen, lực cắt tại tiết diện đầu thừa m, n của hệ tr ên hình (H.3.5c).

b.1. Phân tích hệ - Xác định nội lực tại tiết diện m: + Khi P = 1 di động bên trái tiết

diện m; để tiện lợi, chọn gốc tọa độ ztại tiết diện m (0 z b) xét cân bằngcủa phần có ít lực:

Mm = - P.z = - zQm = - P = - 1+ z = 0 : Mm

= 0; Qm = -1+ z = b : Mm = - b; Qm

= -1+ Khi P = 1 di động bên phải tiết

diện m, xét cân bằng của phần đầuthừa (b <z< l+l2) :

Mm = 0Qm = 0

- Xác định nội lực tại tiết diệnn:

Tương tự, kết quả thể hiện tr ên hìnhvẽ.

b.2. Nhận xét và cách vẽ nhanh* Đ.a.h.Mm - Nhận xét: đ.a.h Mm có dạng hình

tam giác.+ Tại mút thừa Mm= -b (b là

khoảng cách từ mút thừa đến đến tiếtdiện m theo phương ngang).

+ Tại tiết diện m: Mm = 0+ Đ.a.h.Mm luôn mang dấu âm. + Trên đoạn từ m đến mút thừa còn lại , đ.a.h.Mm trùng với đường chuẩn. - Cách vẽ nhanh + Tại mút thừa dựng tung độ y = -b.+ Tại m dựng tung độ y = 0. + Nối hai tung độ này bằng đoạn đường thẳng sẽ được đ.a.h.Mm trên đoạn từ mút

thừa đến tiết diện m.+ Trên đoạn còn lại, đ.a.h.Mm vẽ trùng đường chuẩn. * Đ.a.h.Qm - Nhận xét: đ.a.h.Qm có dạng hình chữ nhật. + Tung độ y = +1 khi đầu thừa bên phải. + Tung độ y = -1 khi đầu thừa bên trái.+ Trên đoạn từ m đến đầu thừa còn lại, đ.a.h.Qm trùng với đường chuẩn. - Cách vẽ nhanh

b cP = 1

l l2l1

b

1

c

đ.phải đ.a.h.Mm

đ.trái

đ.phải đ.trái

đ.trái đ.phải đ.trái

đ.phải

đ.phải

đ.trái

đ.phải

đ.trái

đ.trái

đ.phải

đ.phải

đ.trái

đ.trái

đ.phải

đ.a.h.Qm

đ.a.h.Qn

đ.trái 1

đ.a.h.Mn

đ.a.h.MA

đ.a.h.QAtr

đ.a.h.QBtr

đ.a.h.MB

đ.a.h.QB ph

đ.a.h.QA p

1

1

1

1

1

đ.phải

l1

l2

z

H.3.5c

m n

A B

1



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN








62

+ z = 2 : Mk = 1; Qk = 0,4; Nk = - 0,3+ z = 4 : Mk = 0; Qk = 0; Nk = 0

Trường hợp 2: Khi P=1 có phương nằm ngang di động tr ên tất cả các thanh:- Đường ảnh hưởng phản lực:

0 . . .4 4 A B B

z z M V P đ a h V

0 . . . . . .4 4 B A A z z M V P đ a hV đ a hV B

0 . . . 1 A A X H P đ a h H

- Đường ảnh hưởng nội lực tại tiết diện k:- Khi P di chuyển bên trái k (AD, CD, Dk):

.2 . . . 2.( . . . )k B k B M V đ a h M đ a hV =2.4

z

.cos . . . cos .( . . . ) 0,8.4k B k B

zQ V đ a h Q đ a hV

sin . . . sin .( . . . ) 0,6.

4k B k B

z N V đ a h N đ a hV

Cho z biến thiên trên từng đoạn và vẽ biểu đồ (H.3.6d): + Đoạn AD: z = 0 : Mk = 0; Qk = 0; Nk = 0

z = 3 : Mk = 1,5; Qk = - 0,6 ; Nk = 0,45+ Đoạn CD: z = 3 : Mk = 1,5; Qk = - 0,6; Nk = 0,45+ Đoạn Dk: z = 3 : Mk = 1,5; Qk = - 0,6; Nk = 0,45

z = 4,5 : Mk = 2,25; Qk = - 0,9; Nk = 0,675- Khi P di chuyển bên phải k (kE, EB, EF) :

.2 .4,5 . . . 2.( . . . ) 4,5.( . . . ) ( ).2 4,54k A A k A A

z M V H đ a h M đ a hV đ a h H

.cos .sin . . . 0,8.( . . . ) 0,6.( . . . )

( ).0,8 0,64

k A A k A AQ V H đ a h Q đ a hV đ a h H

z

sin . os 0,6.( . . . ) 0,8 .0,6 0,84k A A A

z N V H c đ a h V

Cho z biến thiên trên từng đoạn và vẽ biểu đồ (H.3.6d): + Đoạn kE: z = 4,5 : Mk = 2,25; Qk = - 0,3; Nk = 1,475

z = 6 : Mk = 1,5; Qk = - 0,6 ; Nk = 1,7+ Đoạn EF: z = 6 : Mk = 1,5; Qk = - 0,6 ; Nk = 1,7+ Đoạn EB: z = 6 : Mk = 1,5; Qk = - 0,6 ; Nk = 1,7

z = 0 : Mk = 4,5; Qk = 0,6; Nk = 0,8



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






64

3.3.ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG TRONG HỆ

BA KHỚP

3.3.1. Đường ảnh hưởng phản lực (H.3.7)

1. Đường ảnh hưởng d

B

d

A V V , : là đườngảnh hưởng phản lực trong dầm đơn giảntương ứng cùng nhịp.

2. Đường ảnh hưởng của lực xô H: Xuất phát từ biểu thức:Mk (z) = k

d

k y H M .

Cho k C MC = 0

0. C

d

C y H M H =

f

M

y

M d

C

C

d

C .

Hay đ.a.h.H = f

1.đ.a.h. d

C M .

3. Đường ảnh hưởng phản lực vòmZ:

Ta có H = Z.cos Z = cos

H .

Hay đ.a.h.Z = cos

1.đ.a.h.H

4. Đường ảnh hưởng phản lực đứngVA, VB:

Ta có VA = d

AV + H.tg;

VB = d

BV - H.tg

Hay đ.a.h.VA = đ.a.h.d

AV + tg.đ.a.h.H. đ.a.h.VB = đ.a.h. d

BV - tg.đ.a.h.H

3.3.2. Đường ảnh hưở ng nội lực (H.3.8a)

1. Đường ảnh hưởng mômen uốn tại

tiết diện k

a. Phân tích Xuất phát từ biểu thức: Mk = k

d

k y H M .

đ.a.h.Mk = đ.a.h. d

k M - (đ.a.h.H).yk

b. Nhận xét và cách vẽ nhanh * Nhận xét: - Tại gối tựa, tung độ đường ảnh

hưởng bằng không. - Nếu biết được đường phải có thể vẽ

được đường ảnh hưởng Mk .- Đường phải đi qua ba điểm:

z R A

A k B

y

A

zk C k

R B B

P = 1

P = 1

zk

f l1

f l

ll

.. 21 f

l2

đ.a.h.H

D

zk f

l2

zk f

l2 d

đ.a.h.Mk

đ.a.h.Mk

đ.trái

đ.phải đ.nối

l

l2 l1

f yk

x Z

A

d

AV

H.3.7d

AV

B

d

BV

y

A

zC

Z d

BV

B

P = 1

P = 1 l

l1 l2

1

1

f

l1

f

l2

1

1

tg f l

ll

.

. 21

đ.a.h.H

đ.a.h.VA

đ.a.h.VB

f l

ll

.

. 21

f

đ.a.h.VBd

đ.a.h.VAd

đ.a.h.Mk d

H.3.8a



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




65

+ Tại A, đường phải có tung độ y = zk (zk là khoảng cách từ k đến gối A theo phương ngang).

+ Tại B, đường phải có tung độ y =k

y f

l.2 .

+ Điểm không d (là giao điểm của đường phải với đường chuẩn) là điểm ứngdưới điểm D (là giao điểm của Ak với BC).

* Cách vẽ nhanh: - Vẽ đường phải trước bằng cách xác định hai điểm thuộc đường phải. Điểm tại A

và điểm không d thườ ng sử dụng để xác định đường phải. - Sau khi xác định được phần thích dụng của đường phải, vẽ đường trái và đường

nối như sau: + Đường nối là đoạn thẳng kế tiếp tung độ bằng không tại B. + Đường trái vẽ qua tung độ bằng không tại A và điểm chung với đường phải tại k 2. Đường ảnh hưởng lực cắt tại tiết diện k (H.3.8b)

a. Phân tíchTa đã biết rằng:Qk = .cos .(sin .cos )d

k k k k Q H tg

Ta suy ra: đ.a.h.Qk = cosk .(đ.a.h. d

k Q ) - m. đ.a.h.H.

P = 1

R A b z

cosk

A B

H.3.8b

k

zk

k

A

yC

B

D

R B

P = 1

k

l

l2 l1

cosk

Qk

f l

llm

.

. 21 f

lm 1.

(m)đ.a.h.H f

lm 2.

f

lm 2. đ.a.h.Qk cosk

f

lm 2.

cosk đ.a.h.Qk đ. nối đ.phải

đ. trái

cosk .đ.a.h. d

k Q

d

yk



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




66

Với m = sink - tg.cosk b. Nhận xét và cách vẽ nhanh đường ảnh hưởng Qk * Nhận xét: - Tung độ bằng không tại các gối tựa. - Đường trái và đường phải song song nhau. - Nếu biết được đường phải, có thể vẽ được đường ảnh hưởng Qk .

- Đường phải đi qua ba điểm: + Tại A, có tung độ y = + cosk .

+ Tại B, có tung độ y = m f

l.2 .

+ Điểm không d (là giao điểm của đường phải với đường chuẩn) là điểm tươngứng dưới điểm D (là giao điểm của BC với đường thẳng qua A và song song với tiếptuyến trục vòm tại k).

* Cách vẽ nhanh: - Vẽ đường phải trước bằng cách xác định hai điểm thuộc đường phải. Điểm tại A

và điểm không d thường sử dụng để xác định đường phải. - Sau khi xác định được phần thích dụng của đường phải, vẽ đường trái và đường

nối như sau: + Đường nối là đoạn thẳng kế tiếp tung độ bằng không tại B. + Đường trái vẽ song song với đường phải và đi qua tung độ bằng không tại A.

3. Đường ảnh hưởng lực dọc tại tiết diện k (H.3.8c) a. Phân tíchTa đã biết rằng: Nk = - )sin..(cossin. k k k

d

k tg H Q . Ta suy ra

đ.a.h.Nk = -sink .(đ.a.h. d

k Q ) - n. đ.a.h.H.

Với m = cosk + tg.sink b. Nhận xét và cách vẽ nhanh đường ảnh hưởng Nk * Nhận xét: - Tung độ bằng không tại các gối tựa. - Đường trái và đường phải song song nhau. - Nếu biết được đường phải, có thể vẽ được đường ảnh hưởng Qk .- Đường phải đi qua ba điểm: + Tại A, có tung độ y = -sink .

+ Tại B, có tung độ y = n f

l.2 .

+ Điểm không d (là giao điểm của đường phải với đường chuẩn) là điểm tươngứng dưới điểm D (là giao điểm của BC với đường thẳng qua A và vuông góc với tiếptuyến trục vòm tại k).

* Cách vẽ nhanh: - Vẽ đường phải trước bằng cách xác định hai điểm thuộc đường phải. Điểm tại Avà điểm không d thường sử dụng để xác định đường phải.

- Sau khi xác định được phần thích dụng của đường phải, vẽ đường trái và đườngnối như sau:

+ Đường nối là đoạn thẳng kế tiếp tung độ bằng không tại B. + Đường trái vẽ song song với đường phải và đi qua tung độ bằng không tại A.



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN








69

K ết luận : + Hệ chính : AB+ Hệ phụ : BCD, DE (Trong đó BCD là hệ trung gian)

2. Vẽ các đường ảnh hưởng Mk, Mi

a. đ.a.h.Mk

- Khi P = 1 di động tr ên hệ phụ DE: có thể xem DE như dầm đơn giản độc lập v àdễ dàng vẽ được đ.a.h.Mk.

- Khi P = 1 di động tr ên các phần hệ còn lại: theo tính chất của hệ ghép (hệ chínhkhông gây ra áp lực lên hệ phụ), nên đ.a.h.Mk vẽ tr ùng với đường chuẩn.

b. đ.a.h.Mi

- Khi P = 1 di động tr ên hệ trung gian BCD (có chứa Mi cần vẽ) lúc này, xemBCD như dầm độc lập có đầu thừa và vẽ được đ.a.h.Mi.

- Khi P = 1 di động tr ên hệ chính AB: đ.a.h.Mi vẽ tr ùng với đường chuẩn. - Khi P = 1 di động tr ên hệ phụ DE:+ P = 1 đặt tại khớp D : yD

tr = yD ph

+ Điểm không tại EVậy đường ảnh hưởng Mi là đoạn đường thẳng vẽ qua hai điểm: Tung độ chung

với hệ BCD tại mút D và tung độ bằng không tại gối tựa E.

3.5. ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG TRONG HỆ CÓ HỆ THỐNG TRUYỀN LỰC

Các vẽ đường ảnh hưởng của phản lực và nội lực trong hệ có hệ thống truyền lựcdựa tr ên nguyên tắc vẽ là đi phân tích và so sánh sự làm việc của hệ không có hệ thốngtruyền lực với hệ có hệ thống truyền lực chịu tải trọng P = 1 di động:

- Đường ảnh hưởng gồm các đoạn đường thẳng, mỗi đoạn tương ứng với từngdầm dọc phụ. - Khi P = 1 đặt tr ên các mắt truyền lực gây ra ảnh hưởng như khi đứng trực tiếp

trên k ết cấu chịu lực chính Các bước tiến hành như sau: - Bước 1: Vẽ đ.a.h.S với giả thiết P = 1 di động trực tiếp tr ên k ết cấu chịu lực

chính.

đ.phải đ.trái

đ.tráiđ.nối

H.3.9b

H.3.9a

đ.a.h.Mk

H.3.9c đ.a.h.Mi

đ.phải

P = 1



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




70

- Bước 2: Giữ lại các tung độ của đ.a.h.S vừa vẽ tại những vị trí dướ i các mắttruyền lực. Các tung độ này cũng chính là các tung độ đ.a.h.S khi P = 1 di động tr ênhệ thống truyền lực.

- Bước 3: Lần lượt nối các tung độ vừa giữ lại ở tr ên trong phạm vi từng đốt bằngcác đoạn thẳng, sẽ được đ.a.h.S cần vẽ.

* Chú ý: Khi P = 1 đặt tại mắt tựa trên trái đất, tung độ đ.a.h.S tại vị trí này bằng

không.Ví dụ: Vẽ đ.a.h.VA; Mk ;Qm (H.3.10)- Đường ảnh hưởng phản lực A:Vẽ đ.a.h VA trên hệ chính - dầm đơn giản không

có hệ thống truyền lực. + Giữ lại các tung độ tại các mắt truyền lực.+ Bổ sung các tung độ =0 tại các vị trí mắt đặt tr ên mặt đất. + Nối các tung độ tr ên vẽ được đahA tr ên hệ có hệ thống truyền lực.- Đường ảnh hưởng mômen Mk :+ Giữ lại các tung độ tại các mắt truyền lực. Chú ý khoang chứa mặt cắt k. + Bổ sung các tung độ =0 tại các vị trí mắt đặt tr ên mặt đất. + Nối các tung độ tr ên vẽ được đ.a.h Mk , đ.a.h Qk trên hệ có hệ thống truyền lực.

- Đường ảnh hưởng lực cắt Qm:Ta cần xét 2 trường hợp khi m nằm trước và sau mắt truyền lực, tức là mặt cắt m

ở trái và phải mắt truyền lực. + Giữ lại các tung độ tại các mắt truyền lực. Chú ý giá trị các tung độ tại các mắt

truyền lực cho 2 trường hợp: + Tr

mQhađ ... : Khoang chứa mặt cắt m nằm bên trái mắt truyền lực.

+ Ph

mQhađ ... : Khoang chứa mặt cắt m nằm bên phải mắt truyền lực.

+ Bổ sung các tung độ =0 tại các vị trí mắt đặt tr ên mặt A + Nối các tung độ tr ên vẽ được Tr

mQhađ ... và Ph

mQđah. trên hệ có hệ thống truyềnlực

đ.a.h.VA

đ.a.h.Mk

đ.a.h.Qm ph

đ.a.h.Qmtr

H.3.10



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




71

3.6. ĐƯỜNG ẢNH HƯỞNG TRONG HỆ DÀN

Ở đây chỉ tr ình bày cách vẽ đường ảnh hưởng trong hệ dàn dầm.

3.6.1. Đường ảnh hưởng phản lực

Cách xác định và vẽ giống như trong hệ dầm đơn giản.3.6.2. Đường ảnh hưởng nội lực

1. Phương pháp tách mắt Dùng để vẽ đường ảnh hưởng của lực dọc trong 1 thanh, nếu tách mắt nào đó th ì

ta xác định được lực dọc trong thanh đó. Nội dung: Xét 3 trường hợp di động của lực P = 1:

- Khi P = 1 đặt ngay tại mắt bị tách. - Khi P = 1 di động trên các đốt bị cắt. - Khi P = 1 di động ngoài các đốt bị cắt.

Ví dụ 1: Vẽ đường ảnh hưởng lực dọc trong các thanh (1-8); (4-11) trên hình

(H.3.11a).- Xác định phản lực VA, VB:

MB = 0 l

zlV zlPlV

A A

)(.

MA = 0 VB..l = P.z VB = z

l

Đ.a.h.N1-8 - Tách mắt 1 và thiết lập phương tr ình đường ảnh hưởng ứng với các vị trí của lực

P = 1:+ P = 1 đặt ngay tại nút 1 (z = 0) ( H.3.11b):

Y = 0 N1-8 + VA - P = 0Lúc này, xét toàn hệ : VA = 1 N1-8 = P - VA = 0.

+ Khi P = 1 di động ngoài phạm vi các nút bị cắt ( a z 6a) (H.3.11c) :

Y = 0 N1-8 + VA = 0 N1-8 = - VA N1-8 =l z

l

; với ( l = 6a)

+ z = a N1-8 = -5

6

+ z = 6a N1-8 = 0+ Khi P = 1 di động tr ên các nút bị cắt (0 z a):đường ảnh hưởng trên các đốt

này là những đoạn đường thẳng nối liền các tung độ ứng dưới mỗi nút.



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






73

+ z = 0 N9-10 = 0

+ z = a N9-10 =2

3

+ Khi P = 1 di động bên phải mặt cắt (2a≤ z ≤ 6a): Khảo sát sự cân bằng bên phần bên trái:

M3tr = 0 N9-10.a + VA.2a = 0

N9-10 = -VA.2 N9-10 = -2. l z

l

+ z = 2a N9-10 = 4

3

+ z = 6a N9-10 = 0

+ Khi P = 1 di động trên đốt bị cắt (a≤ z ≤ 2a): đường ảnh hưởng trong đoạn nàylà đường nối các tung độ ứng dưới mỗi mắt của đốt bị cắt.

+ Khi P = 1 di động bên phải mặt cắt (5a≤ z ≤ 6a): Khảo sát sự cân bằng bên phần bên trái:Y = 0 N5-13.sin45o + VA = 0

N5-13 = - 2 .VA N5-13 = - 2 .l z

l

+ z = 5a N5-13 =2

6

+ z = 6a N5-13 = 0+ Khi P = 1 di động bên trái mặt cắt (0≤ z ≤ 4a): Khảo sát sự cân bằng bên phần

bên phải:

Y= 0 -N5-13.cos45

o

+ VB = 0 N5-13= 2 .VB N5-13= 2 .

z

l

+ z = 0 N5-13 = 0

+ z = 4a N5-13 =2. 2

3

+ Khi P = 1 di động trên đốt bị cắt (4a≤ z ≤ 5a): đường ảnh hưởng trong đoạn nàylà đường nối các tung độ ứng dưới mỗi mắt của đốt bị cắt.

- Đường ảnh hưởng N5-13: Thực hiện mặt cắt đơn giản (b-b) qua thanh 5-13 và quahai thanh còn lại là 5-6, 12-13. Thiết lập phương tr ình cân bằng đường ảnh hưởng

N5-13, ứng với các trường hợp P = 1 di động :



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN










77

tr ọng phân bố q(z) gây ra bằng đường ảnh hưởng củaS với lực P = 1 có chiều cùng chiều với q(z) đã được vẽ (H.3.13) Xét ảnh hưởng của một dải phân tố tải trọng trên chiều dài dz.Xem phân tố này như một lực tập trung với giá trị q(z).dz, và gây ảnh hưởng dS

đối với đại lượng S. Gọi y là tung độ đường ảnh hưởng tương ứng dưới phân tố tải trọng q(z).dz.

Suy ra: dS = q(z) Sa-b = b

a

dz zq z y ).().(

Trường hợp tải trọng phân bố đều (q = const):

Sa-b = b

a

b

aqdz yq ...

Với:b

a là diện tích phần biểu đồ đường ảnh hưởng bên dưới tải trọng phân bố đều tr ên

đoạn ba, .K ết luận: Giá tr ị của đại lượng S do lực phân bố đều gây ra bằng tích của cường

độ tải trọng q với diện tích phần đường ảnh hưởng ứng dưới đoạn tải trọng.

* Chú thích:- Nếu q và cùng chiều : q. > 0- Nếu q và ngược chiều : q. < 0- q có giá tr ị dương khi nó cùng chiều với lực P =1 dùng để vẽ đ.a.h.S - Dấu của b

a lấy theo dấu của đường ảnh hưởng. - Trường hợp phần đường ảnh hưởng phía dưới tải trọng gồm nhiều đoạn có dấu

khác nhau thì b

a là tổng đại số các diện tích.

3.7.3. Mômen tập trung

Giả sử tr ên công trình chịu tác dụng củamômen tập trung M và đại lượng nghiên cứu S có

đường ảnh hưởng đã biết (H.3.14a) Yêu cầu: Xác định giá trị của đại lượng S do

M gây gây ra bằng đường ảnh hưởng của nó.

Thay thế M bằng cặp ngẫu lực P =

)0(

z z

M

Theo công thức cho trường hợp tải tập trung, ta có:

S

z

z y z z y M z yP z z yP

z z

)()(lim)(.)(.lim

00M.(z)

S = M.tg.

Trường hợp tr ên công trình có nhiều mômen tập trung:M1, M2,....Mn.

S =ii

n

itg M .

1

* Chú thích:- Nếu M và cùng chiều : Mi. tg i > 0

- Nếu M và ngược chiều : Mi. tg i < 0

M

tr ph

H.3.14b

H.3.14a



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




78

: được tính bằng cách xoay đường chuẩn tr ùng với đường tiếp tuyến của đ.a.h - Nếu đường ảnh hưởng có điểm gãy tương ứng tại điểm đặt mômen M (H.3.14b),

đại lượng S sẽ có hai giá trị tương ứng bên trái và bên phải điểm gãy:Str = M.tg ph

; S ph = M.tgtr

Ví dụ: Xác định Mk , Qk bằng đường ảnh hưởng của nó. Hệ có sơ đồ cho trên hình(H.3.14d).

- Vẽ đ.a.h.Mk , Qk như trên hình (H.3.14e)

- Xác định Mk , Qk :+ Do lực tập trung:

Mk = .i iP y = 48.2

3+ 24.1 – 12.

1

3 = 52 kN.m

Qk = .i i

P y = - 48.1

6

+ 24.1

2

– 12.1

6

= 2 kN

+ Do lực phân bố đều:

Mk = q. = 18.1 4

. .42 3

= 48 kN.m

Qk = q. = 18.1 2

. .42 3

= 24 kN

+ Do momen tập trung:

Mk = .i i M tg = 36.2

3 - 12.

1

3 = 20 kN.m

Qk = .i i M tg = - 36.1

6 - 12.

1

6 = - 8 kN

Mk = 52 + 48 + 20 = 120 kN.mQk = 2 + 24 - 8 = 18 kN

- Tính bằng phương pháp phương tr ình cân bằng tĩnh định. Cắt tại k, xét cân bằng phần bên trái:

Mk = VA.2 – P.1 + M = 66.2 – 48 + 36 = 120 kN.mQk = VA – P = 66 – 48 = 18 kN

Nhận xét: Kết quả của hai cách tính là như nhau

2/3

4/3

1

1/3 1/6 1

VA = 66kN

M = 36kN.mP= 48kN P= 24kN q= 18kN/m

M= 12kN.m

P= 12kNHA = 0

H.3.14e

đ.a.h.Mk

đ.a.h.Qk

H.3.14d

2/3 1/2

1/3

VB = 90kN

1/6

1



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN








81

n

i

iitg R

1

= 25tg2 + (75 + 30 + 50)tg3

=1 4

25. (75 30 50).( ) 62,639 04 9

Như vậy, điều kiện (*) được thoả mãn. Vị trí này cho ta một cực đại. Tính Smax

Smax = 25.3 + 75.4 +20 4

30. 50. 463,899 9 2. Tính thử lần thứ 2: Đặt tải trọng P = 30(T) vào đỉnh có tung độ y = 4 (H.3.15e). + Cho đoàn tải trọng dịch chuyển về bên trái một đoạn z:

n

i

iitg R

1

= 75tg1 + 30tg2 + 50tg3

=3 1 4

75. 30. 70.( ) 23,75 04 4 9

+ Cho đoàn tải trọng dịch chuyển về bên phải một đoạn z:

n

i

iitg R1

= 25tg1 + 75tg2 + (30 + 50)tg3

=3 1 4

25. 75. 80.( ) 1,944 04 4 9

So sánh với điều kiện (*), vị trí này không tồn tại Smax Về mặt nguyên tắc, do có 4 lực và 2 đỉnh lồi nên cần thử đặt tải 8 lần. Tuy nhiên,

có thể dựa vào các nhận xét sau để loại bớt những lần thử không cần thiết: - Trong 2 lần thử tr ên thì lực tập trung 30(kN) & 75(kN) cũng đã được đặt vào

đỉnh lồi có tung độ y = 3. - Nếu tiếp tục dịch chuyển đoàn tải trong sang bên trái hay bên phải so với 2 lần

thử ở tr ên thì tải trọng sẽ vượt ra ngoài đường ảnh hưởng hoặc đi vào vùng tung độ bé

nên ảnh hưởng sẽ giảm xuống. Tóm lại vị trí bất lợi của đoàn tải trọng là trên hình (H.3.15d) và giá tr ị để tính làSmax = 463,89.

3.8.3. Tải trọng tập trung trên đường ảnh hưởng có dạng tam giác

Giả sử đường ảnh hưởng tam giác cho như trên h ình (H.3.16). Như đã biết là vị trí bất lợi của đoàn tải trọng chỉ xảy ra khi có một lực tập trung nào đó đặt tại đỉnh lồi.Gọi lực tập trung đặt tại đỉnh tam giác là Pth; hợp lực của các lực bên trái và bên phảiPth là R tr và R ph. Lần lượt cho đoàn tải trọng dịch chuyển về bên trái và bên phải 1đoạn z. Điều kiện (*) được viết lại:

Từ hình vẽ thì tg1 = c/a; tg2 = -c/b.Thay vào và biến đổi, ta được điều kiện cần và đủ để xảy ra vị trí bất lợi của đoàn

tải trọng: - Khi dịch chuyển đoàn tải trọng về bên trái thì thoả mãn điều kiện (i) - Khi dịch chuyển đoàn tải trọng về bên phải thì thoả mãn điều kiện (ii)

0.).( 21

tg RtgP R phthtr và 1 2. ( ). 0tr ph th R tg R P tg



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




82

)(ib

R

a

P R phthtr

; ( ) ph thtr R P R

iia b

Có thể tìm vị trí bất lợi của đoàn tải trọng bằng đồ giải như sau: Tại điểm B tr ên hình (H.3.16a)

lần lượt dựng các véc tơ biểu thịcho các lực P1, P2....P6 theo thứ tự từ B đến

A trên một đường thẳng bất kỳkhông trùng với đường chuẩn. GọiE là mút cuối cùng. Nối AE và từ Dk ẻ đường thẳng song song với AEcắt BE tại F. Điểm F thuộc véc tơ

biểu thị lực nào thì lực đó là Pth cầnđặt ở đỉnh tam giác để có vị trí bấtlợi.

Thật vậy, từ các quan hệ tỷ lệcủa các đoạn bị chắn tr ên hình vẽ,ta dẽ dàng thấy được điều kiện (i)và (ii).

* Chú thích:- Cách thực hiện tr ên chỉ đúng khi tất cả các tải trọng thuộc phạm vị đường ảnh

hưởng. - Nếu chiều dài đoàn tải trọng vượt ra ngoài phạm vi đường ảnh hưởng thì cần

phải tính thử nhiều lần với các lực Pth khác nhau. Lúc này có thể tồn tại nhiều Pth nêncũng có thể có nhiều Smax. Giá tr ị để tính là maxSmax.

- Khi sử dụng phương pháp đồ giải, nếu điểm F thuộc ranh giới của hai lực th ì cả

hai lực đó đều có thể là Pth.3.8.4. Tải trọng phân bố đều trên đường ảnh hưởng đơn trị bất kỳ

1. Chiều dài tải trọng lớn hơn chiều dài đường ảnh hưởng (H.3.17a)

Smax = q.; là diện tích toàn bộ đường ảnh hưởng.

2. Chiều dài tải trọng bé hơn chiều dài đường ảnh hưởng (H.3.17b) Trong trường hợp này, vị trí bất lợi nhất của đoàn tải trọng chỉ xảy ra khi tung độ

đường ảnh hưởng tại đầu trái và đầu phải của đoàn tải trọng bằng nhau. Cm: Đại lượng S tương ứng với vị trí z của đoàn tải trọng:

S = q. z

c z

q

đ.a.h.S

q

c

z

dz dz

y phytr

đ.a.h.S H.3.17a

H.3.16

2

a1

P1 P2 P6

a2

b a

P3 P4

R tr R ph

c A

C

D B P6

Pth

đ.a.h.S P5 P4

P3 P2

P1

F

E

P5

H.3.17b



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




83

Để S đạt cực trị thì 0. dz

d q

dz

dS , tức là 0

dz

d .

Theo hình vẽ (H.3.8h) thì d = y ph.dz - ytr .dz = dz.(y ph - ytr )

Để d = 0 thì y ph = ytr (đpcm). * Chú ý:

Nếu đường ảnh hưởng có 2 dấu thì phải đặt riêng cho từng phần có đấu dương

hoặc dấu âm để tính Smax, Smin.Ví dụ 2: Tìm Mmax, Mmin tại mặt cắt k của dầm có mút thừa tr ên hình (H.3.17c).

Biết tải trọng di động phân bố đều có chiều dài d = 1,6m và cường độ q = 12(kN/m). - Vẽ đ.a.h.Mk a. Tìm Mmin: cần đặt q vào miền đ.a.h.Mk mang dấu âm. Dễ thấy miền bên trái cho

Mmin và vị trí bất lợi nhất khi q ở sát mút thừa.

Mmin = q. 6,1o =

1, 25 0, 2512.( .1,6) 14, 4( . )

2kN m

b. Tìm Mmax:Đặt q vào miền đ.a.h.Mk mang dấu dương.Cần xác định z để ytr = y ph

Từ các tam giác đồng dạng, ta có:

5,2

4

9375,0;

5,19375,0

d z y z y phtr

Thay ytr = y ph vào, suy ra:4z = 1,5(4 - d) 4z = 1,5(4 – 1,6)

Giải ra z = 0,9. Suy ra:

ytr = y ph = 0,9375. 5,1

z0,5625.

Từ đây tính được:

Mmax = q. 5,2 9,0 0,5625 0,9375

12. ( ).0, 62

0,5625 0,9375( )

2

= 14,4 (kN.m)

3.8.5. Khái niệm về tải trọng tương đương

Khi thiết kế kết cấu chịu tải trọng di động, ta thường lặp lại nhiều lần việc t ìm vịtrí bất lợi và giá tr ị để tính của một đoàn tải trọng tiêu chuẩn nào đó trên một số dạngđường ảnh hưởng có hình dạng giống nhau song chỉ khác về độ lớn. Để cho việc tínhtoán được thuận lợi người ta tìm cách thay thế các đoàn tải trọng tiêu chuẩn bằng tảitr ọng phân bố đều có chiều dài phủ kín đường ảnh hưởng, có cường độ qtđ để sao cho

đại lượng S do qtd gây ra đúng bằng giá trị để tính của đại lượng S do tải trọng ti êuchuẩn đặt ở vị trí bất lợi nhất. Tải trọng phân bố đều như vây gọi l à tải trọng tươngđương.

Vậy tải trọng tương đương là tải trọng phân bố đều phủ kín chiều dài đặt tải củađường ảnh hưởng và sinh ra giá tr ị của đại lượng S chính là giá tr ị để tính của đạilượng S do đoàn tải trọng tiêu chuẩn được thay thế đặt ở vị trí bất lợi nhất gây ra.

Từ đây suy ra Stính = .q tđ.

0,9375ytr

y ph

z

1,25

0,25

2m 1,5m 2,5m 2m

12 kN/m

q

1,6m

d d

q

1,5

A

k

đ.a.h.Mk

B

H.3.17c



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




84

Mặc khác, khi phân tích người ta nhận thấy, tải trọng tương đương chỉ phụ thuộcvào chiều dài, hình dạng của đường ảnh hưởng mà không phụ thuộc vào độ lớn tungđộ đường ảnh hưởng.

Do vậy, với mỗi loại tải trọng tiêu chuẩn, với mỗi chiều dài và dạng đường ảnh

hưởng, người ta đã tìm ra được một Stính, tiếp đó tính được qtđ =

tinhS

, và tập hợp sẵn

các q tđ vào trong một bảng tra. Khi tính toán ta chỉ cần thực hiện: - Căn cứ vào tải trọng và dạng đường ảnh hưởng đang xét, tìm bảng tải trọng

tương đương tương ứng. - Căn cứ vào chiều dài đường ảnh hưởng đang xét, tra tìm q tđ.-TínhStính=.q tđ.



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




85

1 2 3P

CHƯƠNG 4

XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH PHẲNG ĐÀN HỒITUYẾN TÍNH

4.1. KHÁI NIỆM VỀ BIẾN DẠNG & CHUYỂN VỊ

4.1.1. Biến dạng 1. Khái niệm: Biến dạng là sự thay đổi hình dạng của công tr ình dưới tác dụng

của các nguyên nhân bên ngoài như tải trọng, biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bứccủa các gối tựa...

2. Các thành phần biến dạng Biến dạng của một phân tố thanh trong hệ thanh phẳng có chiều dài ds gồm 3

thành phần: - Biến dạng góc xoay ds: là biến dạng xoay giữa 2 đầu phân tố thanh (H.4.1a); là biến dạng xoay tỷ đối. - Biến dạng dọc trục ds: là khoảng co dãn giữa 2 tiết diện ở hai đầu phân tố theo

phương dọc trục thanh (H.4.1b); là biến dạng dọc trục tỷ đối.

- Biến dạng trượt ds: là độ trượt tương đối giữa 2 tiết diện ở 2 đầu phân tố(H.4.1c); là góc trượt tỷ đối.

* Chú ý: Quy ước chiều dương của biến dạng tương ứng với chiều tr ên hình vẽ.

4.1.2. Chuyển vị

1. Khái niệm

Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của tiết diện dưới tác dụng của các n guyên nhânnhư tải trọng, biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa...

Khi hệ biến dạng, hầu hết các tiết diện đều có vị trí mới. Như vậy, có thể nóichuyển vị là hệ quả của sự biến dạng.

Tại 1 tiết diện của hệ có thể có 1 trong 3 khảnăng sau:

- Có biến dạng nhưng không có chuyển vị. Ví dụtiết diện 1 tr ên hình (H.4.2a)

- Có biến dạng và chuyển vị. Ví dụ tiết diện 2trên hình (H.4.2a)

- Có chuyển vị nhưng không có biến dạng. Ví dụ tiết diện 3 tr ên hình (H.4.2a)2. Các thành phần chuyển vị

H.4.1a H.4.1b H.4.1c

H.4.2a



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




86

Tại một tiết diện bất kỳ có thể có 3 thành phần chuyển vị: 2 chuyển vị thẳng theohai phương khác nhau và một chuyển vịgóc xoay.

Thật vậy, trong hệ trục Oxy, xét 1tiết diện k (H.4.2b) được xác định bởi cáctọa độ.

Như vậy chuyển vị tại tiết diện kgồm ba thành phần: - Chuyển vị thẳng theo phương x:x = k k x x ' - Chuyển vị thẳng theo phương y:y =

k k y y '

- Chuyển vị góc xoay: = k k '

3. Ký hiệu chuyển vị Thường được ký hiệu bằng chữ và kèm theo hai chỉ số: chỉ số thứ nhất chỉ vị trí

và phương của chuyển vị; chỉ số thứ hai chỉ nguyên nhân gây ra chuyển vị.

km đọc là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương k do nguyên nhân m gây ra. Khi nguyên nhân m gây ra chuyển vị bằng đơn vị thì gọi là chuyển vị đơn vị. Khiđó được thay bằng . km đọc là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương k donguyên nhân m bằng đơn vị gây ra. 4.2. CÔNG CỦA NGOẠI LỰC & BIỂU THỨC CÔNG

4.2.1. Nguyên lý bảo toàn năng lượng

Xét 1 thanh chịu kéo đúng tâm như trên hình vẽ (H.4.3a).Kéo thanh bởi một lực tăng từ từ bằng cách thêm dần các tảitr ọng vô cùng bé dP (để không gây ra lực quán tính). Quan sát tanhận thấy:

- Thanh bị kéo dãn ra, tức là thế năng của ngoại lực UP giảmxuống. Và điểm đặt lực hạ thấp xuống theo sự tăng dần của dP,do đó biến dạng trong hệ tăng lên, tức là thế năng biến dạng đànhồi U trong thanh tăng lên.

- Quan hệ giữa lực tác dụng và biến dạng là quan hệ tuyếntính. (H.4.3b).

Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng, đồng thời bỏ quaảnh hưởng của phần năng lượng do các hiện tượng từ, nhiệt,điện... thì UP = U. Ngh ĩa là: Thế năng của ngoại lực UP chuyển hóa thành thế năng biến dạng U tích luỹ trong hệ nếusự biến dạng không làm phá vỡ sự cân bằng của hệ.

Mặt khác, năng lượng được đo bằng công của ngoại lựcT và công của nội lực A* sinh ra trong vật thể đàn hồi:

+ UP = T: công của ngoại lực được sinh ra tr ên chuyển vịcủa điểm đặt ngoại lực. Công T > 0 vì chuyển vị cùng chiều với điểm đặt lực P.

+ U = A*: công của nội lực được sinh ra tr ên những biến dạng đàn hồi trong hệ.A* < 0 vì nội lực có xu hướng ngăn cản biến dạng trong hệ.

Từ UP = U. Suy raT = -

dP

P

O

H.4.3a

H.4.3b

(4 – 1)

H.4.2b

xO

xk

x'k

a

ak

a'k k’k

y k

y ’ k



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




87

A* = U

Như vậy: về trị số, thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ bằng công T củangoại lực gây ra biến dạng hay bằng công A* của nội lực sinh ra tr ên những biến dạngđàn hồi nhưng trái dấu.

4.2.2. Công của ngoại lực (T)

Công là tích số của lực với trị số chuyển vị của điểm đặt

lực theo phương lực tác dụng.

Như đã nói ở tr ên, quan hệ giữa lực tác dụng vàchuyển vị là tuyến tính (H.4.4a). Do đó công của lực sẽ

không bằng tích số giữa trị số cuối cùng P của lực với trị số cuối cùng của chuyển vị tương ứng mà nhỏ hơn tích số đó.

Xét ở thời điểm: lực tác dụng P = X và chuyển vị = , tăng thêm tải trọng tácdụng dP làm cho chuyển vị tăng thêm một lượng d. Lực X sẽ sinh một công phân tố:

dT = X. d (dT là diện tích phần gạch chéo)

Suy ra T =

0. d X = ..21

P (chính là diện tích tam giác OAB)

Trong tr ường hợp có nhiều lực tác dụng P1, P2,..., Pn. Nếu gọi 1, 2,..., n làchuyển vị cuối cùng tương ứng theo phương P1, P2,..., Pn do các lực đó đồng thời tácdụng gây ra thì:

Như vậy: Trong hệ đàn hồi tuyến tính, công của các ngoại lực tập trung đồng thờitác dụng tĩnh bằng một nửa tổng các tích số của các ngoại lực với giá trị của chuyển vịcuối cùng tương ứng.

Ví dụ 1: Tìm công của các lực P1, P2, M tác dụng tr ên dầm (H.4.4b).

* Chú ý:- Công tổng cộng không phụ thuộc vào thứ tự tác dụng của ngoại lực. - Công của ngoại lực không tuân theo nguyên lý cộng tác dụng.

P1 P2 M

1 2 H.4.4b

T = )...(2

12211 M PP

T =

n

i

iiP

1

.2

1

H.4.4a

(4 – 2)



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






89

Với là hệ số kể đến sự phân bố không đều của ứng suất tiếp. Hệ số chỉ phụthuộc vào hình dạng của tiết diện: tiết diện hình chữ nhật ( = 1,2), tiết diện hình tròn

( = 1,18), tiết diện hình vành khăn ( = 2)...

4.3.3. Biểu thức công của nội lực

Cách này chỉ áp dụng khi tr ên hệ chỉ có một lực tập trung và cần tìm chuyển vị

tương ứng với vị trí và phương của lực đó. - Do mômen M gây ra: dTM =

J E

ds M ds M ds M

ds M

..2

.

2

..

2

..

2

..

2

1 2

- Do lực dọc N gây ra: dT N =F E

ds N ds N ds N

ds N

..2

.

2

..

2

..

2

...

2

1 2

- Do lực cắt Q gây ra: dTQ =F G

dsQdsQdsQ

dsQ tbtbtb

..2

..

2

..

2

..

2

...

2

1 2

Suy ra dT = dTM + dT N + dTQ =F G

dsQ

F E

ds N

J E

ds M

..2

..

..2

.

..2

. 222

Suy ra dA

*

= -dT = -

F G

dsQ

F E

ds N

J E

ds M

..2

.

...2

.

..2

. 222

A* =

F G

dsQ

F E

ds N

J E

ds M dA

..2

..

..2

.

..2

. 222*

Ở đây dấu là lấy tổng trên các đoạn thanh sao cho các biểu thức dưới dấu tích phân là liên tục về mặt toán học.

4.3.4. Thế năng của hệ thanh

Từ biểu thức (4 - 1), suy ra biểu thức thế năng đàn hồi của hệ thanh:

U = A* =

F G

dsQ

F E

ds N

J E

ds M

..2

....2

.

..2

. 222

(

4-3)* Các chú ý:- Thế năng của hệ luôn dương. - Biểu thức thế năng (4 - 3) chỉ áp dụng cho hệ gồm những thanh thẳng hoặc cong

với độ cong bé (5

1

r

h).

4.4. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG

4.4.1. Cách tích trực tiếp từ biểu thức thế năng

Từ U = T = ..

2

1P . Suy ra =

P

U .2

=

F G

dsQ

F E

ds N

J E

ds M

P ..2

..

..2

.

..2

..

2 222

(4-4)

Ví dụ 2:Xác định chuyển vị thẳng đứng tại k.Cho biết E.J = const. Bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt.(H.4.7) Biểu thức mômen uốn dọc trục thanh: Mk (z) = - P.z



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




90

Thay vào: = J E

lP

J E

dz zP

P

l

o..3

.

..2

.).(.

2 32

4.4.2. Cách xác định chuyển vị theo định lý Castigliano

Phát biểu định lý: Đạo hàm riêng thế năng biến dạng đàn hồi theo lực Pk nào đó sẽ bằng chuyển vị tương ứng với phương và vị trí của lực Pk đó.

k =k

P

U

Thay biểu thức (4 -3) vào:

k =2 2 2. . .

.2. . 2. . 2. .k

M ds N ds Q ds

P E J E F G F

2 2 2( ) ( ) ( )2 ; 2 ; 2

k k k k k k

M M N N Q Q M N Q

P P P P P P

Vậy:

k =

dsP

Q

F G

Qds

P

N

F E

N ds

P

M

J E

M

k k k

..

...

..

(

4-5)

Xét tr ở lại ví dụ tr ên:

k = J E

lPdz z

J E

zPds

P

M

J E

M l

k ..3

.).(

.

).(.

.

3

0

> 0

* Chú ý:- Nếu k > 0 thì chuyển vị cùng chiều với Pk và ngược lại - Nếu tải trọng tác dụng là phân bố có thể thay thể bằng nhiều lực tập trung để

tính.

- Trường hợp Pk là mômen tập trung thì chuyển vị tương ứng là góc xoay.- Nếu cần tìm chuyển vị tại vị trí và theo phương bất kỳ thì có thể đặt thêm lực Pk

tương ứng với vị trí và phương cần tìm chuyển vị. Sau khi xác định được k , choPk = 0 sẽ được kết quả cần tìm.

4.5. CÔNG KHẢ DĨ (CÔNG ẢO) CỦA NỘI LỰC VÀ NGOẠI LỰC - CÁC BIỂUTHỨC CÔNG KHẢ DĨ 4.5.1. Công khả dĩ (công ảo)

1. Định nghĩa Công khả dĩ (còn gọi là công ảo) là

công sinh ra bởi các lực tr ên những chuyển

vị và biến dạng vô cùng bé do nhữngnguyên nhân bất kỳ nào đó sinh ra.

Các chuyển vị và biến dạng vô cùng béđược gọi là chuyển vị khả dĩ và biến dạngkhả dĩ.

2. So sánh công thực và công khả dĩ

Pk

Pm

z

t1m

Ta có:

H.4.8a

t2m km

''m''

''k''

l



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




91

- Công thực: Nguyên nhân gây ra chuyển vị và biến dạng chính là các lực sinhcông gây ra.

- Công ảo: Nguyên nhân gây ra chuyển vị và biến dạng là bất kỳ và có thể là tảitr ọng hay biến thiên nhiệt độ hay chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa...

Ví dụ minh họa: Xét một hệ đàn hồi ở hai trạng thái:

- Tr ạng thái thứ nhất chịu lực Pk gọi là tr ạng thái “k” (H.4.8a).- Tr ạng thái thứ hai chịu các nguyên nhân bất kỳ gọi là tr ạng thái “m” (H.4.8b). Gọi km là chuyển vị khả dĩ tương ứng với lực Pk trên hệ ở trạng thái “m”. Theo định nghĩa thì tích số Pk . km là công khả dĩ của lực Pk trên chuyển vị khả dĩ

tương ứng ở trạng thái “m”. Ký hiệu: Tkm.Vậy Tkm = Pk .km

4.5.2. Công khả dĩ của ngoại lực (Tkm)

Từ ví dụ minh họa ở tr ên, có thể định nghĩa công khả dĩ của ngoại lực như sau:

Công khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thái “k” tr ên những chuyển vị khả dĩ ởtr ạng thái “m” bằng tổng các tích số giữa các lực tác dụng ở trạng thái “k” với những

chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng thái “m”. Tkm =

i

ikmik P .

(4-6)

4.5.3. Công khả dĩ của nội lực ( *km A )

Tách riêng một phân tố thanh của hệ ở hai tr ạng thái “k”, “m”.

- Ở trạng thái “k”: chỉ quan tâm các thanh phần Mk , Nk , Qk ở hai đầu phân tố vàxem là các ngoại lực như trong trường hợp công của nội lực (H.4.9a).

- Ở trạng thái “m”: Chỉ quan tâm các thành phần

biến dạng như sau: - Các thành phần biến dạng m, m, m docác nội lực Mm, Nm, Qm gây ra.Tương tự trường hợp công của nội lực: (H.4.9b,c,d)

m = J E

M m

.; m =

F E

N m

.; m =

F G

Qm

..

"m""m"

"m"

H.4.8b

H.4.9a

H.4.9b H.4.9c H.4.9d



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




92

Các thành phần biến dạng do sự biến thiên nhiệt độ gây ra (H.4.9e,f)

Gọi t2m, t1m là sự biến thiên nhiệt độ của thớ dưới và thớ tr ên của phân tố. Chor ằng sự biến thiên nhiệt độ dọc theo chiều cao của phân tố tuân theo quy luật đường

thẳng (bậc nhất). Biến thiên nhiệt độ dọc trục thanh (H.4.9e): tcm =

ba

bt at mm

.. 21

Nếu tiết diện là hình chữ nhật, tức là a = b =2

h thì

tcm =2

21 mm t t

Giả sử t2m > t1m > 0 và tiết diện ở đầu 1-1 của phân tố là cố định. Gọi là hệ sốdãn nở vì nhiệt. Lúc này phân tố sẽ có hai thành phần biến dạng (H.4.9f):

- Biến dạng dọc trục: tm.ds = .tcm.ds- Biến dạng góc xoay giữa hai tiết diện ở hai đầu phân tố:

tm.ds = dst t hh

dst dst mm

mm )..(....

1212

Vậy công khả dĩ của nội lực của một phân tố ds ở trạng thái “k” tr ên các biếndạng khả dĩ ở trạng thái “m”:

dTkm = ds N ds N ds M ds M mk mk mk mk

...2

1...

2

1...

2

1...

2

1

ds N ds M dsQdsQ tmk tmk tbmk tbmk .......2

1...

2

1

Hay dTkm = dsQds N ds M tbmk mk mk ......2

1 ds N ds M tmk tmk ....

Thay tất cả các biến dạng đã tính được vào:dTkm = dsQmQ

F Gds N N

F E ds M M

J E k mk mk ...

....

.

1...

.

1

dst N dst t h

M cmk mmk ...).(. 12

Suy ra *km

dA = -dTkm = dsQQF G

ds N N F E

ds M M J E

mk mk mk ...

....

.

1...

.

1[

ds

t1m

t2m

tcm b

ah

H.4.9e

1 2

1 2 t2mds

tcmds

t1mds

3

3

ytmds

H.4.9f



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




93

]...).(. 12 dst N dst t h

M cmk mmk

Suy ra: *km A = *

kmdA =

dsF G

QQds

F E

N N ds

J E

M M mk mk mk

.

.

.

.

.

.[ (4 - 7)

].)( 12 ds N t ds M t t h

k cmk mm

4.5.4. Nguyên lý công khả dĩ áp dụng cho hệ đàn hồi (S. D. Poisson)

1. Nguyên lý công khả dĩ cho vật rắn: Nếu một hệ chất điểm nào đó của vật rắncân bằng dưới tác dụng của các lực thì tổng công khả dĩ của các lực tr ên những chuyểnvị khả dĩ tương ứng bằng không

Tkm = 02. Nguyên lý công khả dĩ cho hệ đàn hồi:

Nếu một hệ biến dạng đàn hồi cô lập cân bằng dưới tác dụng của các lực th ì tổngcông khả dĩ của các ngoại lực Tkm trên những chuyển vị khả dĩ tương ứng và công khảd ĩ của nội lực *

km A trên những biến dạng đàn hồi khả dĩ tương ứng phải bằng không

Tkm + *km

A = 0

Hay

i

ikmik P .

dsF G

QQds

F E

N N ds

J E

M M mk mk mk

.

.

.

.

.

. (4 - 8)

ds N t ds M t t h

k cmk mm .)( 12

4.6. CÁC ĐỊNH LÝ TƯƠNG HỖ TRONG HỆ ĐÀN HỒI

4.6.1. Định lý tương hỗ về công khả dĩ của ngoại lực (Định lý E.Betti)

Xét một hệ đàn hồi tuyến tính ở hai trạng thái: - Tr ạng thái “m”: chịu các lực tác dụng Pim (i = 1... n)- Tr ạng thái “k”: chịu các lực tác dụng P jk (j = 1...p)Theo biểu thức (4 - 8):- Công khả dĩ của lực ở trạng thái “m” tr ên những chuyển vị khả dĩ tương ứng ở

tr ạng thái “k”:

Tmk =

n

i

imk imP

1

. dsF G

QQds

F E

N N ds

J E

M M k mk mk m

.

.

.

.

.

.

- Công khả dĩ của hệ ở trạng thái “k” tr ên những chuyển vị khả dĩ tương ứng ởtr ạng thái “m”:

Tkm =

p

j

ikmik P

1

. dsF G

QQds

F E

N N ds

J E

M M mk mk mk

.

.

.

.

.

.

Suy ra:Tkm

= Tmk

(4 - 9)



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




94

Phát biểu: Trong hệ đàn hồi tuyếntính, công khả dĩ của ngoại lực ở trạngthái “k” trên những chuyển vị khả dĩtương ứng ở trạng thái “m” tương hỗ

bằng công khả dĩ của ngoại lực ở trạngthái “m” trên những chuyển vị khả dĩ

tương ứng ở trạng thái “k”.

* Chú ý:- Hai tr ạng thái “k”, “m” phải xảy ra

trên cùng một hệ. - Chuyển vị ở trạng thái này phải có vị trí và phương tương ứng với tải trọng ở

tr ạng thái kia (H.4.10).

k k

i

imk im M PP 111

1

...

m

j

jkm jk PP 22

1

..

Theo định lý tương hỗ thì: mk k P M P 22111 ...

4.6.2. Định lý tương hỗ về các chuyển vị đơn vị (Định lý J. Maxwel)

Xét một hệ đàn hồi với hai trạng thái (H.4.11): - Tr ạng thái “m” chỉ chịu một lực tập trung Pm = 1. - Tr ạng thái “k” chỉ chịu một lực tập trung Pk = 1.- km: chuyển vị đơn vị tương ứng với phươngvà vị trí Pk do Pm = 1 gây ra.- mk : chuyển vị đơn vị tương ứng với phươngvà vị trí Pm do Pk = 1 gây ra.

Theo định lý E.betti thì . .m mk k kmP P Pm = Pk = 1Suy ra :

mk = km

(4-10)

Phát biểu: Trong hệ đàn hồi tuyến tính, chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí và phương của lực Pm do lực Pk = 1 gây ra tương hỗ bằng chuyển vị đơn vị tương ứng vớivị trí và phương của lực Pk do lực Pm = 1 gây ra.

4.6.3. Định lý tương hỗ về các phản lực đơn vị (Định lý L. Rayleigh)

Xét một hệ đàn hồi với hai trạng thái (H.4.12):

- Tr ạng thái “m” chỉ chịu một chuyển vị cưỡng bức Zm = 1 tại liên k ết m. - Tr ạng thái “k” chỉ chịu một chuyển vị cưỡng bức Zk = 1 tại liên k ết k. Gọi R km là phản lực tại liên k ết k do chuyển vị Zm = 1 gây ra và R mk là phản lực

tại liên k ết m do chuyển vị Zk = 1 gây ra.

P1

2m

M

1k 1k

P2

Pm = 1

Pk = 1

km

mk

Zm = 1

H.4.11

m

k

m

k

H.4.10



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




95

Theo định lý E.Betti thì R km.Zk = R mk .Zm

Zk = Zm = 1Suy ra :

Rkm = Rmk (4-11)

Phát biểu: Trong hệ đàn hồi tuyến tính, phản lực đơn vị tại liên k ết m do chuyểnvị cưỡng bức bằng đơn vị tại liên k ết k tương hỗ bằng phản lực đơn vị tại liên k ết k dochuyển vị cưỡng bức bằng đơn vị tại liên k ết m gây ra.

4.6.4. Định lý tương hỗ về chuyển vị đơn vị và phản lực đơn vị (Định lý A. A.Gvozdiev)

Xét một hệ đàn hồi tuyến tính với hai trạng thái (H.4.13): - Tr ạng thái “m” : Cho gối tựa m chuyển vị cưỡng bước một đoạn Zm = 1- Tr ạng thái “k” : chỉ chịu lực Pk = 1- *R mk là phản lực tại liên k ết m có chuyển vị cưỡng bực Zm = 1 do Pk = 1 gây ra

(ở trạng thái “k”) . - *km là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực Pk = 1 do Zm = 1 tại liên

k ết m gây ra (ở trạng thái “m”). Trong trường hợp này ta thấy công khả dĩ của các phản lực ở trạng thái “m” tr ên

những chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng thái “k” bằng không. Vì các chuyển vị ởtr ạng thái “k” theo phương phản lực ở trạng thái “m” bằng không. Tức là: Tmk = 0Theo định lý E.Betti thì: Tmk = Tkm Tkm = 0

Suy ra: Tkm = Pk .*km + *R mk .Zm = 0 *km = -*R mk

Phát biểu: Trong hệ đàn hồi tuyến tính, phản lực đơn vị tại liên k ết m do lực Pk bằng đơn vị gây ra tương hỗ bằng chuyển vị đơn vị tương ứng phương và vị trí lực P k do chuyển vị cưỡng bức bằng đơn vị tại liên k ết m gây ra nhưng trái dấu.

R km

Zk = 1

Pk = 1

"m"

"k"

Zm = 1

"m"

"k"

H.4.12

H.4.13(4 -12)

*km

*R mk

R mk



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




96

4.7. CÔNG THỨC TỔNG QUÁT XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH

(Công thức Maxwell - Morh - 1874)

4.7.1. Thiết lập công thức

Xét một hệ thanh đàn hồi tuyến tính chịu tác dụng của các nguyên nhân: các tảitr ọng Pm, chuyển vị cưỡng bức tại các liên k ết Zm, sự biến thiên nhiệt độ t2m & t1m. Các

tiết diện trong hệ sẽ chuyển vị. Ví dụ hệ cho tr ên hình (H.4.14a). Tr ạng thái này của hệgọi là tr ạng thái “m”.Yêu cầu: tìm chuyển vị thẳng đứng tại tiết diện k. Cách tiến hành:Tạo trạng thái khả dĩ “k” bằng cách tr ên hệ đã cho đặt lực Pk tương ứng với vị trí

và phương cần tìm chuyển vị, chiều tuỳ ý chọn (H.4.14b).

Áp dụng công thức công khả dĩ cho lực ở trạng thái “k” tr ên chuyển vị khả dĩ ởtr ạng thái “m”:

Pk .km + j

jm jk Z R . = ds

F G

QQds

F E

N N ds

J E

M M mk mk mk

.

.

.

.

.

.

ds N t ds M t t h k cmk mm .)( 12

Chia hai vế cho Pk và đồng thời ký hiệu:k

jk jk

k

k

k

k

k k

k

k k

P

R R

P

QQ

P

N N

P

M M ;;;

Nói cách khác jk k k k RQ N M ,,, chính là Mk , Nk , Qk , R k tương ứng do Pk = 1 gây ratrên hệ ở trạng thái “k”.

Thay vào ta được công thức tổng quát xác định chuyển vị trong hệ thanh đàn hồi:

km= j

jm jk Z R . + dsF G

QQds

F E

N N ds

J E

M M mk mk mk

.

.

.

.

.

.

ds N t ds M t t h

k cmk mm .)( 12

(4- 13)

4.7.2. Các chú ý- Chiều của Pk = 1 có thể chọn tùy ý. Nếu kết quả km > 0 thì chuyển vị là cùng

chiều với lực Pk đã giả định và ngược lại. - Công thức Morh chỉ áp dụng cho hệ gồm những thanh thẳng hoặc cong với độ

cong bé (5

1

r

h).

kPm

R jk

Z jm

Pk

"m"

"k"

∆km

H.4.14a

H.4.14b



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




97

- Khi tính hệ ở tr ạng thái “k” chỉ cần đạt lực Pk = 1.- Nếu cần tìm chuyển vị thẳng thì Pk là lực tập trung; nếu tìm chuyển vị góc xoay

thì Pk là mômen tập trung. - Nếu kết quả km > 0 thì chuyển vị là cùng chiều với lực Pk đã giả định và ngược

lại. - Z jm là chuyển vị tại liên k ết j của hệ ở trạng thái “m”.

- jk R là phản lực tại liên k ết j tương ứng với chuyển vị Z jm do lực Pk = 1 gây ra ởtr ạng thái “k”.

- Tích jm jk Z R . lấy dấu dương khi jk R và Z jm cùng chiều nhau.

- Mm, Nm, Qm là các biểu thức giải tích của nội lực ở trạng thái “m” -

k k k Q N M ,, là các biểu thức giải tích của nội lực ở trạng thái “k” do Pk = 1 gây

ra.

- Công thức Morh cũng áp dụng được cho hệ siêu t ĩnh, nếu biết nội lực ở trạngthái “k” và “m”

4.8. VẬN DỤNG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ

4.8.1. Hệ dầm và khung chịu tải trọng Trong hệ dầm và khung chịu, ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi dọc trục và trượtlà r ất nhỏ so với biến dạng uốn (thể hiện qua mô men uốn). Và trong tính toán thườngcho phép bỏ qua ảnh hưởng của chúng. Lúc này công thức (4 - 13) có dạng:

km = ds J E

M M mk

.

. (4-14)

Ví dụ 3: Xác định chuyển vị thẳng đứng tại B. Cho biết độ cứng của thanh dầmE.J = const.

1. Tính hệ ở trạng thái m: (H.4.15a) Mm(z) = - P.z [0 z l]

2. Tạo và tính hệ với trạng thái k: (H.4.15b))( z M k = - Pk .z = - z [0 z l]3. Xác định yB:

yB = km = ds J E

M M mk

.

.

= 0.3

.

.3

.

.

)).(.( 3

0

3

0

J E

lP

J E

zPdz

J E

z zP ll

K ết luận: Chuyển vị cùng chiều Pk (hướng xuống).

Ví dụ 4: Xác định chuyển vị trong hệ khung đơn giản.Xác dịnh chuyển vị nằm ngang tại B (H.4.15c). Cho biết độ cứng của các thanh là

như nhau và E.J = const.

"k"

l

"m"

H.4.15b

P

Pk = 1

l



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






99

1.Trạng thái “m”: (H.4.16a) Xác định

im N . K ết quả thể hiện trong Bảng 4.1

2. Trạng thái “k”: (H.4.16b)Xác định ik N . K ết quả thể hiện trong Bảng 4.1

3. Xác định y2:

y2 = km = i

i

i

imik l

F E

N N .

.

.

K ết quả tính toán đượ c thể hiện trong Bảng 4.1 Thể hiện: Bảng 4.1:- Cột (1) ghi các thanh dàn.- Cột (2) ghi chiều dài các thanh dàn.

- Cột (3) ghi giá trịF E .

1 (ở đây là như nhau cho các thanh dàn)

- Cột (4) ghi lực dọc trong các thanh dànim

N .

- Cột (5) ghi lực dọc trong các thanh dàn ik N

- Cột (6) ghi kết quải

i

imik l

F E

N N .

.

. cho từng thanh dàn.

K ết quả y2 là tổng của các hàng trong cột (6):

Thanh liF E .

1 im

N ik N i

i

imik l

F E

N N .

.

.

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1 - 2 a 1/E.F P 1/2.

2 .

P a

E F

1 - 5 a 2 1/E.F - P 2 - 2 2 2 .

.

P a

E F

1 - 4 a 1/E.F 0 0 0

3 - 2 a 1/E.F P 1/2.

2 .

P a

E F

3 - 5 a 2 1/E.F - P 2 - 2 2 2 .

.

P a

E F

3 - 6 a 1/E.F 0 0 0

5 - 2 a 1/E.F 0 1 0

5 - 4 a 1/E.F 0 0 0

5 - 6 a 1/E.F 0 0 0

2

..

.ik im

i

i i

N N y l

E F .

(1 4 2).

P a

E F

Bảng 4.1 Bảng tính chuyển vị của hệ dàn

H.4.16a H.4.16b



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




100

4.8.3. Hệ tĩnh định bất kỳ chịu chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa Nguyên nhân này không gây ra nội lực trong hệ tĩnh định nên N = M = Q = 0. Lúc

này biểu thức (4 - 13) được viết lại: km =

j

jm jk Z R . (4-16)

Các đại lượng trong biểu thức đã dược giả thích trong phần các chú ý của công

thức Morh. Ví dụ 5: Xác định chuyển vị ngang tại C trong hệ khung khi ngàm A chịu chuyểnvị cưỡng bức theo phương ngang là a, phương đứng là b, góc xoay ( thuận chiều k imđồng hồ).

1. Trạng thái “m”: (H.4.17a)2. Trạng thái “k”: (H.4.17b) Đặt Pk = 1 thep phương thẳng ngang tại C. Xác định các phản lực tại ngàm A do Pk = 1 gây ra: MA = l, HA = 1, VA = 0.3. Xác định km :

km = j

jm jk Z R .

4.8.4. Hệ tổng quát chịu biến thiên nhiệt độ Nguyên nhân này cũng không gây ra nội lực trong hệ tĩnh định nên:

kt = ds N t ds M t t h

k cmk mm .)( 12

Nếu , h, t2m, t1m = const trên từng đoạn thanh, thì:

kt = k cmk mm N t M t t h

.)( 12

Trong đó: - t2m, t1m và tcm là biến thiên nhiệt độ thớ dưới, thớ tr ên và thớ giữa của thanh. - k M là diện tích của biểu đồ k M trên từng đoạn thanh.

- k N là diện tích của biểu đồ k N trên từng đoạn thanh.

- k M , k N lấy dấu theo dấu của biểu đồ k M , k N .

Ví dụ 6: Xác định chuyển vị ngang tại A khi nhiệt độ trong khung +t và ngoàikhung là -2t. Tiết diện khung hình chữ nhật, có chiều cao h = const (H.4.18a).

"m" "k"

φ

= - ( - 1.a – 0.b + l.) = - (l. - a)

H.4.17a H.4.17b

Pk = 1

(4-7)



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




101

1. Xác định các giá trị tcm, t2m - t1m : -Nếu đặt người quan sát ở bên trong khung thì các giá tr ị này là như nhau cho tất

cả các thanh :

tcm =22

2)(

2

121

t t t t t

; t2m - t1m= t - (-2t) = 3t

2. Trạng thái “k” và vẽ biểu đồ nội lực: (H.4.18b, c,d) - Xác định chuyển vị tại B:

kt = k cmk mm N t M t t h

.)( 12

= 1 1 3 1.3 ( . ( . )) .( ).(1. ( 1. ) ( 1. )) ( )2 2 2 2

t at a a a a a a a a t h h

4.8.5. Hệ dàn t ĩnh định có chiều dài các thanh chế tạo không chính xác

Khi lắp ráp các thanh chế tạo không chính xác vào dàn, các mắt dàn sẽ chuyển vị.Bài toán có thể đưa về giải quyết tương tự như trường hợp hệ chịu sự thay đổi nhiệtđộ:

- Các thanh có chiều dài l được chế tạo dài hơn chiều dài yêu cầu là , được xemnhư biến dạng vì nhiệt là = .l.tc

- Các thanh bị chế tạo hụt có thể xem như .l.tc = -

km = i

iik i

i

ik ciik cm N l N t N t ..... (4 -18)

i > 0 khi thanh dài hơn so với yêu cầu (còn gọi là độ dôi) và ngược lại (còn gọi làđộ hụt).

Ví dụ 7: Xác định độ võng tại k của thanh dàn nếu trong khi chế tạo, chiều dàithanh 4-5, 5-6 bị hụt . (H.4.19a).

H.4.18c

H.4.18d

"k" "m"

H.4.18bH.4.18a



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






103

- Khi biểu đồ lấy diện tích là phức tạp (việc xác định diện tích và vị trí củatr ọng tâm khó khăn) thì nên chia thanh nhiều hình đơn giản để tính và sau đó cộng cáck ết quả lại với nhau.

Ví dụ 8: = 1 + 2 ( “+” : khi nhân biểu đồ sẽ xét dấu)

Ví dụ 9:

Ví dụ 10: Xác định độ võng tại B (H.4.21b).Chỉ xét biến dạng uốn. Cho biết E.J =const.

1. Trạng thái “m”: Vẽ (Mm). K ết quả tr ên hình (H.4.21b)2. Trạng thái “k”: Vẽ k M . K ết quả tr ên hình (H.4.21c)3. Xác định yB:

yB = 03...1.32.2....1)).((3

lP J E

lllP J E

M M mk

Ví dụ 11: Xác định chuyển vị thẳng đứng tại B ( H.4.21e). Chỉ xét biến dạng uốn.Cho biết E.J = const.

ac c/ 2l / 2l

/ 2l / 2l 2 / 3l

"m""k"

1 2

.a l

c b

1.

2

b l 2

.

3

f l

H.4.21b H.4.21c

P

3.

4

Pl

Pk = 1

H.4.21d

/ 3l

"m"



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




104

1. Trạng thái “m”: Vẽ (Mm). K ết quả tr ên hình (H.4.21f)2. Trạng thái “k”: Vẽ k M . K ết quả tr ên hình (H.4.21g)3. Xác định yB:

yB = )).((mk M M

Để dễ “nhân”, ta phân tích (Mm) thành tổng của (M1) với (M2) như trên hình(H.4.21f 1 & H.4.21f 2). Suy ra:

0.

.

.24

5

4

.

.2

.1

..

1

..3

2

.2

.1

..

1

)).((

2

J E

lPlPl

J E lP

l

J E M M y mk B Ví dụ 12: Xác định góc xoay tại B (H.4.22a). Chỉ xét biến dạng uốn. Cho biếtE.J = const.

1. Trạng thái “m”: Vẽ (Mm). K ết quả tr ên hình (H.4.22b)2. Trạng thái “k”: Vẽ k M . K ết quả tr ên hình (H.4.22c)3. Xác định B:

B = ( ).( )k m M M 0

..45

.1.

15

8.

16

...

3

2.

.

1 32

J E

lqlql

J E

Ví dụ 13: Xác định chuyển vị thẳng đứng tại k (H.4.23a). Chỉ xét biến dạng uốn.Cho biết E.J = const.

1. Trạng thái “m”: Vẽ (Mm). K ết quả tr ên (H.4.23b)2. Trạng thái “k”: Vẽ k M . K ết quả tr ên (H.4.23c)3. Xác định yk:

"k"

2.8

q l

2.32q l

4l

M =4

Pl

"k"Pk = 1

l 2

Pl

4

Pl

.

4

P l

"k"

H.4.21f

H.4.21f 1

H.4.21f 2

2.

16

q l

Mk = 1

H.4.22a H.4.22cH.4.22b

H.4.23a H.4.23cH.4.23b

"m"Pk = 1

H.4.21g

"m"



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN





Cơ học kết cấu 1 Bài t ập

106

PHẦN BÀI TẬP

5.1. BÀI TẬP CHƯƠ NG 1:Phân tích cấu tạo hình học các hệ sau theo các điều kiện cần và đủ:

Bài 1.1 Bài 1.2 Bài 1.3



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






108

Bài 1.16 Bài 1.17

Bài 1.18 Bài 1.19

Bài 1.20 Bài 1.21

Bài 1.15



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




109

5.2. BÀI TẬP CHƯƠ NG 2:

5.2.1. Hệ đơn giản: Xác định phản lực và vẽ các biểu đồ nội lực trong các hệ sau:

Bài 2.1 Bài 2.2

Bài 2.3 Bài 2.4

Bài 2.5 Bài 2.6

Bài 2.7 Bài 2.8

Bài 2.7 Bài 2.8

Bài 2.9 Bài 2.10



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




110

Bài 2.11 Bài 2.12

Bài 2.13 Bài 2.14

Bài 2.15 Bài 2.16

Bài 2.17 Bài 2.18



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




111

Bài 2.19 Bài 2.20

5.2.2. Hệ ba khớp: 1. Xác định phản lực trong các hệ vòm ba khớp sau:

Bài 2.21

Bài 2.22



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




112

Bài 2.23

2. Vẽ biểu đồ nội lực trong các hệ vòm ba khớp sau (phương tr ình tr ục vòm códạng parabol):

Bài 2.24 Bài 2.25

3. Xác định phản lực và vẽ biểu đồ nội lực trong các hệ khung ba khớp sau:

Bài 2.26 Bài 2.27



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




113

Bài 2.28 Bài 2.29

5.2.3. Hệ dàn:Xác định lực dọc trong các thanh được đánh dấu trong các hệ sau:

Bài 2.30 Bài 2.31

Bài 2.32 Bài 2.33

Bài 2.34 Bài 2.35



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




114

Bài 2.36 Bài 2.37

Bài 2.38 Bài 2.39

5.2.4. Hệ ghép: Phân tích cấu tạo hình học và vẽ các biểu đồ nội lực trong các hệ sau:

Bài 2.40

Bài 2.41

Bài 2.42



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




115

Bài 2.43 Bài 2.44

Bài 2.45 Bài 2.46

5.2.5. Hệ có hệ thống truyền lực: Phân tích cấu tạo hình học và vẽ các biểu đồ nội lực trong các hệ sau:

Bài 2.47 Bài 2.48

Bài 2.49



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




116

5.3. BÀI TẬP CHƯƠ NG 3:



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




117



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




118



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




119



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




120



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




121



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




122



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN






124



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




125



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




126



DIỄN Đ

ÀN TOÁN

L Í HÓA

1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN




Tài liệu tham khảo 1. Lều Thọ Tr ình, Cơ học kết cấu tập 1 (Hệ tĩnh định), Nhà xuất bản Khoa học và k ỹthuật, 2007. 2. Lều Thọ Tr ình - Nguyễn Mạnh Yên, Bài tập Cơ học kết cấu tập 1 (Hệ tĩnh định),

Nhà xuất bản Khoa học và k ỹ thuật, 2007. 4. PGS. TS. Đặng Việt Cương, Cơ học kết cấu, Nhà xuất bản Khoa học và k ỹ thuật,2005.5. R.C.Hibbeler, Structural Analysis, Pearsion Education South Asia Pte,Ltd, 2006.6. A.Drakov & Kuznetsov , Structural mechanics


1000B TR

ẦN HƯNG

ĐẠO TP .

QUY NH

ƠN

Documents

Giáo trình Cơ học kết cấu 1 Tác giả: ThS. Nguyễn Thế Sơn