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El estudio de la probabilidad será el hilo conductor de la unidad, los alumnos aprenderán a trabajar con ella y compro-barán su aplicación en la resolución de problemas.
Al inicio de esta unidad se define qué es un experimento aleatorio, los sucesos, sus operaciones y sus propiedades, y se demuestran algunas de ellas aplicando las leyes de De Morgan.
En la segunda parte de la unidad, se muestra el cálculo de la probabilidad, para ello se introduce la ley de Laplace, el con-cepto de probabilidad condicionada y el de la probabilidad total. Por último, se presenta el teorema de Bayes y se aplica a la resolución problemas.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.
Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del conocimiento de la probabilidad, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones.
La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.
Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad.
A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en
comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas.
La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema.
Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en el área de Matemáticas mediante la aceptación de otros puntos de vista en la resolución de algunos problemas. Es importante que el docente trabaje situaciones que se pueden resolver de diferentes formas, aplicando los contenidos de la unidad; para trabajar con los alumnos que distintas soluciones pueden ser igualmente válidas. El reconocimiento y valoración de las aportaciones ajenas enriquece el aprendizaje.
Temporalización
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚ Obtener el espacio muestral de distintos experimentos aleatorios.
❚ Manejar las operaciones con sucesos y sus propiedades.
❚ Aplicar la combinatoria al cálculo de probabilidades.
❚ Calcular probabilidades mediante la aplicación de la ley de Laplace.
❚ Calcular probabilidades mediante la probabilidad condicionada.
❚ Distinguir los sucesos independientes de aquellos que no lo son.
❚ Calcular probabilidades mediante la fórmula de la probabilidad total.
❚ Manejar la expresión del teorema de Bayes para calcular probabilidades.
PROBABILIDAD9
1459. Probabilidad
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave
Experimento aleatorio. Sucesos 1. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en
experimentos simples y compuestos combinando
la regla de Laplace, diferentes técnicas de
recuento y la axiomática de la probabilidad, en
contextos relacionados con el mundo real.
1.1. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos
simples y compuestos mediante las fórmulas derivadas de la
axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento y
con ayuda de medios tecnológicos.
CMCT
CL
CAA
CSC
Operaciones con sucesosUnión de sucesos
Intersección de sucesos
Propiedades de las operaciones
con sucesos
ProbabilidadLey empírica de la probabilidad.
Ley de los grandes números
Definición clásica de probabilidad.
Ley de Laplace
Definición axiomática de
probabilidad
1.2. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos
simples y compuestos mediante la regla de Laplace.
1.3. Utiliza el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos
relacionados con la probabilidad en la resolución de
problemas diversos.
Probabilidad condicionada 2. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios
condicionados y aplicar el teorema de Bayes en
situaciones de la vida cotidiana.
2.1. Calcula la probabilidad condicionada de sucesos
aleatorios.
CMCT
CD
CL
CAAIndependencia de sucesos 2.2. Calcula probabilidades a partir de los sucesos que
constituyen una partición del espacio muestral.
Probabilidad total 2.3. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la
fórmula de Bayes.
Teorema de Bayes 2.4. Utiliza el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos
relacionados con la probabilidad en la resolución de
problemas diversos.
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.
146 Estadística y Probabilidad
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDADPARA EL PROFESOR PARA EL ALUMNO
Actividades de refuerzoActividades de ampliación
Prueba de evaluación
Presentación de la unidad Repasa lo que sabes
3. Probabilidad• Ley empírica de la probabilidad. Ley de los
grandes números• Definición clásica de probabilidad. Ley de
Laplace• Definición axiomática de probabilidad
2. Operaciones con sucesos• Unión de sucesos• Intersección de sucesos• Propiedades de las operaciones con sucesos
1. Experimento aleatorio. Sucesos
4. Probabilidad condicionada
5. Independencia de sucesos
7. Teorema de Bayes
6. Probabilidad total
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
EVALUACIÓNActividades interactivas. Test de autoevaluación
Vídeo. Teorema de Bayes
Vídeo. Probabilidad total
Vídeo. Probabilidad condicionada
EJERCICIOS RESUELTOS
1479. Probabilidad
148 Estadística y Probabilidad
Repasa lo que sabes (página 223)
1. Suponiendo que los caballeros de la mesa redonda fueran 12, ¿de cuántas formas distintas se podrían sentar si el rey Arturo ocu-
para siempre el mismo sitio?
P11 � 11! � 39 916 800
Se pueden sentar de 39 916 800 formas distintas.
2. Se extraen 2 guantes de un cajón que contiene 8 pares. Calcula de cuántas maneras se pueden sacar 2 guantes de distinta mano.
Hay 8 guantes de cada mano, por tanto: C8, 1 � C8, 1 � � � � � �� 8 � 8 � 64
Se pueden sacar de 64 formas distintas.
3. ¿De cuántas formas es posible extraer cuatro cartas de una baraja de 40?
C40, 4 � � ���4! � (4
4
0
0!
� 4)!�� 91 390
Se pueden extraer de 91 390 formas distintas.
4. Desarrolla el siguiente binomio: (x �1)n
(x � 1)n � � �xn � � �xn � 1 � 1 � � �xn � 2 � 12 � … � � �1n
5. Obtén el monomio de grado 5 en el desarrollo del binomio (2x � 3)9.
El monomio de grado 5 es el siguiente: � � � (2x)5 � 34 � 326 592x594
nn
n2
n1
n0
404
81
81
Negros
Color
4 agujeros
25
25
2 agujeros
35
15
Total
60
40
1499. Probabilidad
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO
Sugerencias didácticas. Recursos TIC
Probabilidad condicionada (página 234)
En el vídeo puede verse la resolución, paso a paso, del ejercicioresuelto de esta página. Se indican los sucesos del experimento,se construye el diagrama de árbol correspondiente y se calcula laprobabilidad de extraer dos cartas de oros consecutivas.
Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejercicio deeste tipo o para que los alumnos puedan repasar el procedimien-to a realizar en estos casos más tarde.
Probabilidad total (página 236)
En el vídeo se muestra la resolución del segundo ejemplo descri-to en esta página. Tras indicar los sucesos aleatorios del experi-mento, se indica cómo calcular la probabilidad de extraer unabola blanca de una de las urnas.
Puede utilizarse para completar la explicación de esta página enla pizarra digital o para que los alumnos puedan repasar el proce-dimiento a seguir para aplicar la probabilidad total en otros ejer-cicios.
Teorema de Bayes (página 237)
En el vídeo se puede ver la resolución del ejercicio resuelto de es-ta página. En primer lugar se indican los sucesos del experimen-to, después se construye el diagrama de árbol correspondiente ypor último se aplica el teorema para calcular la probabilidad deque un alumno que haya aprobado sea de una determinada mo-dalidad de Bachillerato.
Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplocompleto de este tipo de problemas o para que los alumnos pue-dan repasar la aplicación de este teorema más tarde.
Actividades (páginas 226/238)
Indica el resultado de las siguientes uniones de con-
juntos:
a) A � A� b) A � E c) A � �
a) A � A� � E b) A � E � E c) A � � � A
Resuelve estas intersecciones:
a) A � A� b) A � E c) A � �
a) A � A� � � b) A � E � A c) A � � � �
Se lanzan tres dardos sobre una diana. Al suceso ha-
cer blanco con el primer dardo se le designa por M1; con el
segundo, M2, y con el tercero, M3. Se obtiene premio cuan-
do se hace blanco con el mínimo de dos dardos. Escribe el
suceso obtener premio en función de M1, M2 y M3.
M1 � M2, M1 � M3, M1 � M2 � M3
Se lanzan dos dados y se consideran los sucesos A,que salga suma par, y B, que salga como mínimo un 2. Es-
cribe los sucesos:
a) A y B d) A�
b) A � B e) B�
c) A � B f) A� � B
4
3
2
1
a) A � {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (1, 5), (5, 1), (4, 2), (2, 4), (3, 3),(6, 2), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (6, 6)}
B � {(2, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (2, 4), (5, 2), (2, 5),(6, 2), (2, 6)}
b) A � B � {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (1, 5), (5, 1), (4, 2), (2, 4),(3, 3), (6, 2), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (6, 6),(2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 2), (5, 2), (2, 5)}
c) A � B � {(2, 2), (4, 2), (2, 4), (6, 2), (2, 6)}
d) A� � {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 6), (6, 1), (2, 5),(5, 2), (4, 3), (3, 4), (6, 3), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}
e) B� � {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5),(3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5),(5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
f) A� � B � {(2, 1), (1, 2), (3, 2), (2, 3), (5, 2), (2, 5)}
En una ciudad se leen tres periódicos, A, B y C. El
35 % de la población lee el periódico A; el 40 %, el B, y el
43 %, el C. El 15 % lee el A y el B; el 17 %, el B y el C, y el
10 %, el A y el C. El 2 % de la población lee los tres periódi-
cos.
a) ¿Qué porcentaje de ciudadanos no lee la prensa?
b) ¿Qué porcentaje lee como mínimo 2 periódicos?
c) ¿Qué porcentaje lee el periódico A o el C?
d) ¿Qué porcentaje no lee el periódico A?
a) 22 % b) 38 % c) 68 % d) 65 %
En una caja tenemos 100 botones: 60 son negros, 50
tienen cuatro agujeros y 15 son de color y tienen dos agu-
jeros.
Si definimos los sucesos:
� A � escoger un botón negro
� B � escoger un botón con cuatro agujeros
Determina:
a) ¿Cuántos botones hay de color con dos agujeros?
b) ¿Cuántos botones hay negros o con cuatro agujeros?
c) ¿Cuántos botones hay negros con cuatro agujeros.
Leyendo detenidamente el enunciado podemos ver que hay 40 botones de color, de los cuales 15 tienen dos agujeros y 25 cuatro agujeros. De los 60 botones negros, 35 deberán tener dos agujeros (puesto que en total hay 50 con dos agujeros)y 25 cuatro agujeros.
a) 15 botones b) 85 botones c) 25 botones
6
A B
C
0,12
0,08 0,15
0,13
0,02
0,1
0,18
5
E
0,22
150 Estadística y Probabilidad
Dada una baraja de 40 cartas, al extraer una, deter-
mina la probabilidad de sacar:
a) Un oro. b) Un as. c) Una figura.
a) �1
4
0
0� � �
1
4� b) �
4
4
0� � �
1
1
0� c) �
1
4
2
0� � �
1
3
0�
Al lanzar dos dados y realizar el experimento de
sumar los puntos, determina la probabilidad de obtener:
a) 3 b) 7 c) 12
a) �3
2
6� � �
1
1
8� b) �
3
6
6� � �
1
6� c) �
3
1
6�
Determina cuál es la probabilidad de que, al lanzar
tres monedas a la vez, obtengas:
a) Tres caras.
b) Como mínimo una cara (este suceso se puede interpre-
tar como el suceso contrario de salir todo cruces).
c) Más cruces que caras.
a) 1/8 b) 7/8 c) 4/8 � 1/2
En un experimento aleatorio se dan cuatro sucesos
elementales: A, B, C y D. Sabiendo que P(A) � 0,3, P(B) � 0,1,
P(C ) � 0,4, determina la probabilidad del suceso D.
La suma de las probabilidades debe ser 1, así: P(D) � 0,2
Se ha trucado una moneda de modo que la probabi-
lidad de salir cara sea el triple que la de salir cruz. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener cruz al realizar un lanzamiento?
P(c) � 3P(�) ⇒ P(c) � P(�) � 1 ⇒ 3P(�) � P(�) � 1 ⇒ 4P(�) � 1 ⇒ P(�) � 1/4
Un dado se ha trucado para que la probabilidad de
que salga cada una de sus caras sea proporcional al núme-
ro que aparece en ellas. Calcula la probabilidad de obtener
un 4 al lanzar el dado.
P(1) � p; P(2) � 2p; P(3) � 3p; P(4) � 4p; P(5) � 5p y P(6) � 6p
P(1) � P(2) � P(3) � P(4) � P(5) � P(6) � 1 ⇒ 21p � 1
⇒ P(1) � 1/21 ⇒ P(4) � 4/21
Sean A y B dos sucesos tales que P(A) � 0,7;
P(B) � 0,5 y P(A � B) � 0,4. Calcula:
a) P(A � B) b) P(A� � B�)
a) P(A � B) � P(A) � P(B) � P(A � B) � 0,7 � 0,5 � 0,4 � 0,8
b) P(A� � B�) � P(A � B��) � 1 � 0,8 � 0,2
En un club deportivo, el 70 % de los socios practica la
natación, el 25 % juega al tenis y el 20 % practica los dos
deportes. Si escogemos al azar a uno de los socios, indica
cuál es la probabilidad de que:
a) Si juega al tenis, practique la natación.
b) Si practica la natación, juegue al tenis.
c) Practique algún deporte.
Hay un 25 % de los socios que no practica ningún deporte.
a) P(N|T) � �P(N
P(
�
T)
T)� � �
0
0
,
,
2
2
0
5� � �
4
5�
b) P(T|N) � �P(T
P(
�
N)
N)� � �
0
0
,
,
2
7
0
0� � �
2
7�
c) P(T � N) � 0,75
En una ciudad llueve 3 de cada 10 días. Los semáfo-
ros se estropean 1 de cada 10 días de lluvia. Calcula la pro-
babilidad de que mañana llueva y no funcionen los semá-
foros.
�1
3
0� � �
1
1
0� � 0,03
15
14
13
12
11
10
9
8
7 Lanzamos un dado tres veces consecutivas. Calcula
las probabilidades de los siguientes sucesos.
a) Salir tres 6.
b) No obtener ningún 6.
c) Obtener como mínimo un 6.
d) Obtener tres resultados distintos.
Realizamos el ejercicio aplicando la ley de Laplace:
a) �2
1
16� b) �
1
2
2
1
5
6� c) �
2
9
1
1
6� d) �
1
2
2
1
0
6� � �
5
9�
Se lanzan dos dados y dos monedas; calcula las pro-
babilidades de los sucesos siguientes.
a) Salir dos 6 y dos caras.
b) Salir dos 6, una cara y una cruz.
c) Salir dos parejas, tanto en los dados como en las monedas.
Al lanzar dos dados hay 36 resultados posibles y al lanzar dosmonedas, 4 resultados posibles, por tanto en el experimentoque nos ocupa hay 144 posibilidades diferentes. Realizamosel ejercicio aplicando la ley de Laplace:
a) �1
1
44� b) �
1
2
44� � �
7
1
2� c) �
1
1
4
2
4� � �
1
1
2�
Se tienen 30 dados normales y 3 cargados: la proba-
bilidad de obtener un 6 en los dados cargados es el triple
que la de no obtenerlo. Elegimos al azar un dado y lo lanza-
mos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6?
P(6) � P(cargado) � P(6|cargado) � P(normal) � P(6|normal) �
� �3
3
3� � �
3
4� � �
3
3
0
3� � �
1
6� � �
1
2
3
9
2� � 0,2197
En un polígono industrial se almacenan 30 000 latas
de refresco procedentes de las fábricas A, B y C a partes
iguales. Se sabe que en 2020 caducan 1 800 latas de la fá-
brica A, 2 400 procedentes de la B y 3 000 que proceden de
la C. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una lata al
azar caduque en 2020?
P(caduque) � P(caduque|A) � P(A) � P(caduque|B) � P(B) �� P(caduque|C) � P(C) �
� �5
9
0� � �
1
3� � �
2
6
5� � �
1
3� � �
1
3
0� � �
1
3� � �
2
6
5� � 0,24
Una empresa que fabrica latas de refrescos utiliza
4 máquinas distintas. Con la primera fabrica el 60 % de la
producción; con la segunda, el 20 %; con la tercera, el 15 %,
y con la cuarta, el 5 %. Las máquinas fabrican un porcentaje
de latas defectuosas del 1 %, 2 %, 3 % y 5 %, respectiva-
mente. Si se escoge al azar una lata, ¿cuál es la probabili-
dad de que no sea defectuosa?
No defectuosa: ND Máquina 1: M1 Máquina 2: M2Máquina 3: M3 Máquina 4: M4
P(ND) � P(M1) � P(ND|M1) � P(M2) � P(ND|M2) � P(M3) �� P(ND|M3) � P(M4) � P(ND|M4) � 0,60 � 0,99 � 0,20 � 0,98 �� 0,15 � 0,97 � 0,05 � 0,95 � 0,9830
Se tienen 4 bolsas con 5 bolas cada una. La primera
bolsa tiene 3 bolas blancas y 2 negras; la segunda bolsa, 5
negras; la tercera bolsa, 4 blancas y 1 negra, y la última y
cuarta bolsa, 2 blancas y 3 negras. Se escoge una bolsa al
azar y se extrae una bola que resulta ser negra. Determina
cuál es la probabilidad de que la bolsa escogida fuera la
tercera.
21
20
19
18
17
16
1519. Probabilidad
Sean A y B dos sucesos incompatibles con
P(A) � 1/3 y P(B) � 1/4. Calcula P(A� � B�).
Por la primera ley de Morgan A � B��� A� � B�
P(A� � B�) � P(A � B��) � 1 � P(A � B) � 1 � [P(A) � P(B)] �
� 1 � ��1
3� � �
1
4�� � �
1
5
2� � 0,4167
Sean A y B dos sucesos compatibles con P(A) � 1/3,
P(B) � 1/4 y P(A � B) � 1/5. Calcula P(A� � B�).
P(A� � B�) � P(A � B��) � 1 � P(A � B) �
� 1 � [P(A) � P(B) � P(A � B)] � 1 � ��1
3� � �
1
4� � �
1
5�� � �
3
6
7
0� �
� 0,6167
Ley de Laplace
Un grupo de seis personas se sientan alrededor de
una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de
ellas, determinadas previamente, se sienten juntas?
Casos posibles � 5! � 120
Casos favorables � 2 � 4! � 48
P(2 se sienten juntas) � �1
4
2
8
0� � �
2
5� � 0,4
Las seis personas de la actividad anterior van al tea-
tro y ocupan una misma fila de butacas. ¿Cuál es la proba-
bilidad de que las dos de antes se sienten juntas?
Casos posibles � 6! � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 720
Casos favorables � 2 � 5! � 240
P(volver a sentarse juntas) � �2
7
4
2
0
0� � �
1
3� � 0,3�
Se guardan 5 pares de guantes en un cajón. Halla la
probabilidad de que al escoger 2 guantes al azar:
a) Pertenezcan al mismo par.
b) Un guante sea de la izquierda y el otro de la derecha.
a) Casos posibles: C10, 2 � 45
Casos favorables � 5
P(mismo par) � �1
9� � 0,11
b) Casos favorables � 25
P(guante de cada mano) � �5
9� � 0,56
Con las cifras 1, 2, 3 y 4 se escriben todos los núme-
ros posibles de tres dígitos, sin repetir ninguno. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un múltiplo de 4? ¿Y uno de 3?
Terminaciones que den múltiplo de 4 ⇒ 12, 24, 32
P(4•
) ��c
c
a
a
so
so
s
s
fa
p
v
o
o
s
r
i
a
b
b
le
le
s
s���
3
V
�
4
V
,
2
3
, 1�� �
2
6
4� � �
1
4� � 0,25
Terminaciones que den múltiplo de 3 ⇒ 123 y 234 en cual-quier orden dan múltiplo de 3.
P(3•
) ��c
c
a
a
so
so
s
s
fa
p
v
o
o
s
r
i
a
b
b
le
le
s
s�� �
2
V
�
4,
P
3
3�� �
1
2� � 0,5
Halla la probabilidad de que, al levantar al azar una
ficha de dominó, se obtenga un número mayor que 5, y la
de obtener un múltiplo de 3.
Casos posibles � 28
P(mayores de 5) � �2
7
8� � �
1
4� � 0,25
P(múltiplos de 3) � �1
2
3
8� �0,46
9
8
7
6
5
4
3
N.° de extracciones
Bolas azules
Bolas amarillas
Bolas verdes
10
2
0
8
100
28
15
57
200
52
23
125
500 1 000 5 000 10 000
127 252 1 240 2 500
63 124 620 1 250
310 624 3 140 6 250
Bolsa: B Negra: N
P(3ª B|N) � P(3ª B) � P(N|3ª B)/[ P(1ª B) � P(N|1ª B) � P(2ª B) �� P(N|2ª B) � P(3ª B) � P(N|3ª B) � P(4ª B) � P(N|4ª B)] �
� � �1
1
1� � 0,091
Se tienen las mismas cuatro bolsas de la actividad
anterior con las mismas composiciones, pero ahora las bol-
sas se escogen con el siguiente procedimiento: Se lanza un
dado, si sale un 1, se escoge la bolsa 1; si sale un dos, la bol-
sa 2; si salen un 3 o un 4, la bolsa 3, y si sale un 5 o un 6, la
bolsa 4. Se extrae una bola que resulta ser negra. Determi-
na cuál es la probabilidad de que la bolsa escogida entre
las cuatro fuera la tercera.
Bolsa: B Negra: N
P(3ª B|N) � P(3ª B) � P(N|3ª B)/[P(1ª B) � P(N|1ª B)� P(2ª B) �� P(N|2ª B)� P(3ª B) � P(N|3ª B)� P(4ª B) � P(N|4ª B)] �
� � �1
2
5� � 0,1333
Un equipo de fútbol gana 4 partidos de cada 6 que
juega en casa y 2 de cada 5 que juega fuera.
a) Sin saber dónde jugará el próximo partido, calcula la
probabilidad de que gane.
b) Si el último partido del campeonato lo ganó, ¿cuál es la
probabilidad de que jugara en casa?
a) P(gane) � P(casa) � P(gane|casa) � P(fuera) � P(gane|fuera) �
� �1
2� � �
4
6� � �
1
2� � �
2
5� � �
1
8
5� � 0,533
b) P(casa|ganar) �
� �
� � �5
8� � 0,625
Ejercicios y problemas (páginas 241/244)
Experimentos aleatorios. Operaciones con sucesos
Una urna tiene 30 bolas: 15 rojas, 9 verdes y 6 blan-
cas. Extraemos una bola, anotamos su color y la devolve-
mos a la urna. Si repetimos el experimento muchas veces,
¿a qué valor se aproximará la frecuencia de cada color?
f(roja) � 0,5 f(verde) � 0,3 f(blanca) � 0,2
Una urna contiene 200 bolas de colores, pero desco-
nocemos cuántas hay de cada color. Realizamos distintas
extracciones, devolviendo la bola a la urna cada vez.
Con la información que da la siguiente tabla, ¿cuál crees
que es la composición de la urna?
f(azules) � 0,25 f(amarillo) � 0,125 f(verdes) � 0,625
N.° Bolas: azules � 50 amarillas � 25 verdes � 125
2
1
�1
2� � �
4
6�
�
�1
8
5�
P(casa) � P(ganar|casa)������P(casa) � P(ganar|casa) � P(fuera) � P(ganar|fuera)
23
�2
6� � �
1
5�
����
�1
6� � �
2
5� � �
1
6� � �
5
5� � �
2
6� � �
1
5� � �
2
6� � �
3
5�
22
�1
4� � �
1
5�
����
�1
4� � �
2
5� � �
1
4� � �
5
5� � �
1
4� � �
1
5� � �
1
4� � �
3
5�
152 Estadística y Probabilidad
Se lanzan tres dados al azar. Halla la probabilidad de
que la suma de los puntos sea impar y menor que 12.
Hay 74 casos en que se puede obtener impar menor que 12,y hay 63 resultados al lanzar tres dados. Por tanto:
P(impar y menor que 12) � �7
6
43� � 0,3426
Se extraen dos bolas de una urna con 8 bolas negras
y 3 bolas blancas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean negras?
b) ¿Y de que sean ambas de color blanco?
c) ¿Y de que sean de distinto color?
a) P(sacar dos bolas negras) � � �2
5
8
5� � 0,50909
b) P(sacar dos bolas blancas) � � �5
3
5� � 0,05455
c) P(sacar dos bolas de diferente color) � � �2
5
4
5� �
� 0,43636
¿Cuál es la probabilidad de que en un puñado de
6 cartas de una baraja española haya 2 reyes? ¿Y de que ha-
ya dos o más reyes?
Casos posibles: � � � 3 838 380
Casos favorables: � � � � � � 353 430
Aplicando la ley de Laplace:
P(2 reyes en 6 cartas) � 0,0921
P(2 o más reyes) �� P(dos reyes) � P(tres reyes) � P(cuatro reyes) �
� � 0,0997
Se lanza un dado cuatro veces consecutivas. ¿Cuál es
la probabilidad de que aparezca tres veces seguidas el 5?
Hay 64 posibilidades, de las que favorables son 11:
1 555, 2 555, 3 555, 4 555, 5 555, 6 555, 5 551, 5 552, 5 553,5 554, 5 556
Por tanto:
P(tres veces seguidas 5) � �1
6
14� � 0,00849
Probabilidad en operaciones con sucesos. Definición
axiomática de probabilidad
Considera el espacio muestral E � {a, b, c, d} en el
que los cuatro sucesos tienen la misma probabilidad.
Sean S1 � {a, b} y S2 � {a, c}
a) ¿Son S1 y S2 sucesos incompatibles?
b) Calcula P(S1 � S2) y P(S�2).
14
13
364
42
406
12
11
10 Los sucesos elementales son equiprobables.
a) P(S1 � S2) � P(a) � �1
4�, por tanto no son incompatibles.
b) P(S1 � S2) � P({a, b, c}) � �3
4� � 0,75
P(S�2) � P({b, d}) � �1
2� � 0,5
Un dado está trucado de manera que la probabili-
dad de cada cara es proporcional al número que en ella fi-
gura. Se considera el experimento que consiste en lanzar el
dado y anotar la puntuación obtenida. Halla el espacio
muestral asociado al experimento, la probabilidad de cada
resultado y la del suceso salir par.
E � {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En primer lugar debemos calcular la probabilidad de cadauna de las caras.
Si p es la probabilidad de salir la cara 1, la probabilidad de salir2 será 2p y la de la de salir 3, 3p y así sucesivamente.
La suma de todas la probabilidades debe ser 1:
p � 2p � 3p � 4p � 5p � 6p � 1 ⇒ p � 1/21
Por tanto: P(1) � �2
1
1�; P(2) � �
2
2
1�; P(3) � �
2
3
1�; P(4) � �
2
4
1�;
P(5) � �2
5
1�; P(6) � �
2
6
1�
P(cara par) � �1
2
2
1� � �
4
7�
En una gestoría el 35 % de los clientes que acuden
durante una semana es para realizar el pago de los autóno-
mos; el 28 %, para tramitar el alta de una empresa, y el
10 %, para ambas gestiones. Si se escoge un cliente al azar:
a) Determina la probabilidad de que haya acudido a la ges-
toría para resolver, al menos, alguno de estos problemas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya acudido para reali-
zar el pago de los autónomos, pero no para tramitar el
alta de una empresa?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya acudido para
ninguno de los trámites que se especifican?
P(pagar autónomos) � 0,35
P(tramitar alta empresa) � 0,28
P(pagar autónomos � tramitar alta empresa) � 0,1
a) P(pagar autónomos o tramitar alta empresa) � 1 � 0,47 � 0,53
b) P(pagar autónomos � tramitar alta empresa) � 0,25
c) P(ni pagar autónomos ni tramitar alta empresa) � 0,47
En unas elecciones compiten tres candidatos: A, B y
C. Se estima que la probabilidad de que el candidato A ga-
ne las elecciones es el triple que la de que las gane B, y la
de que gane C es el doble de que gane A.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane las elecciones el
candidato B?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane A o C?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no gane C?
17
autónomo0,25
autónomo yalta empresa
0,1
alta empresa0,18
16
15
� �� �11
1
82
� �� �11
2
32
� � � � �� �11
2
31
81
� � � � � � � � � � � � � � � � �� �40
6
362
44
363
43
364
42
1539. Probabilidad
P(A) � P(B) � P(C) � 1
P(A) � �1
3�P(A) � 2 P(A) � 1 ⇒ P(A) � �
1
3
0�
a) P(B) � 0,1
b) P(A � C) � P(A) � P(C) � �1
3
0� � �
1
6
0� � �
1
9
0� � 0,9
c) P(C�) � 1 � P(C) � 1 � �3
5� � 0,4
De las 200 personas de un congreso, 90 hablan in-
glés; 80, francés; 102, castellano; 22, castellano e inglés; 24,
francés y castellano, y 26, inglés y francés. Se eligen al azar
dos asistentes. Calcula la probabilidad de que:
a) Ninguno hable francés.
b) Hablen en castellano.
c) Hablen solo un idioma.
d) Hablen los tres idiomas.
a) P(F�, F�)��c
c
a
a
so
so
s
s
fa
p
v
o
o
s
r
i
a
b
b
le
le
s
s�� �
C
C1
2
2
0
0
0
,
,
2
2
� � �3
9
5
9
7
5� � 0,36
b) P(C , C ) ��c
c
a
a
so
so
s
s
fa
p
v
o
o
s
r
i
a
b
b
le
le
s
s�� �
C
C1
2
0
0
2
0
,
,
2
2
� ��1
5
9
1
9
5
0
1
0�� 0,26
c) P(solo 1 idioma) ��c
c
a
a
so
so
s
s
fa
p
v
o
o
s
r
i
a
b
b
le
le
s
s�� �
C
C1
2
2
0
8
0
,
,
2
2
� �
� �2
4
0
9
3
7
2
5� � 0,408
d) P(los tres idiomas) � 0
En un estante hay 5 novelas y 8 libros de poesía. Se
saca un libro, y después otro sin devolver el primero:
a) ¿Cuál es el suceso contrario al suceso A: elegir un libro denovela y un libro de poesía?
b) Calcula la probabilidad del suceso A.
c) Calcula la probabilidad del suceso A�.
a) El suceso contrario de A es «elegir dos libros de novela oelegir dos libros de poesía» (al final de la resolución secomprobará).
b) Aplicando la ley de Laplace:
De cuántas maneras se pueden sacar uno después de otrodos de distinta naturaleza:
� � � � � � 2 � 80
De cuántas maneras se pueden sacar dos libros del estante:V13, 2 � 13 � 12 � 156
P(A) � �1
8
5
0
6� � 0,5128
81
51
19
I F
C
42 26 30
22 24
56
18
c) P(A�) � P(dos libros de novela) � P(dos libros de poesía) �
� �1
5
3� � �
1
4
2� � �
1
8
3� � �
1
7
2� � 0,4872
Como se observa P(A) � P(A�) � 0,5128 � 0,4872 � 1
Un ejemplar de gorila llega a un zoo. La probabilidad
de que sobreviva 8 años es de �1
3�. En el zoo hay otro gorila
cuya probabilidad de sobrevivir 8 años es de �2
3�. Calcula la
probabilidad de que:
a) Ambos estén vivos dentro de 8 años.
b) Al menos uno esté vivo dentro de 8 años.
c) Dentro de 8 años los dos estén muertos.
d) Únicamente esté vivo el gorila que ya estaba en el zoo.
a) P(A � B) � �1
3� � �
2
3� � �
2
9� � 0,22
b) P(A � B) � P(A) � P(B) � P(A � B) � �1
3� � �
2
3� � �
2
9� �
� �7
9� � 0,78
c) P(A� � B�) � P(A�) � P(B�) � (1 � P(A)) � (1 � P(B)) �
� �1 � �1
3�� � �1 � �
2
3��� �
2
9� � 0,22
d) P(A� � B) � �1 � �1
3�� � �
2
3� � �
4
9� � 0,44
Dependencia e independencia de sucesos.
Probabilidad condicionada
La probabilidad de un cierto suceso es de 1/3 y la
probabilidad de otro, sabiendo que ocurre el primero, es
3/4. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen ambos?
P(A) � �1
3�; P(B|A) � �
3
4�
P(A � B) � P(A) � P(B|A) � �1
4� � 0,25
Sean A y B dos sucesos independientes; justifica si
los sucesos A y B� son independientes.
Si A y B son independientes entonces P(A � B) � P(A) � P(B)
Teniendo en cuenta que A � B� � A � A � B, tenemos que:
P(A � B�) � P(A) � P(A � B) � P(A) � P(A) � P(B) �� P(A) (1 � P(B)) � P(A) � P(B�)
Luego A y B� son independientes.
En la consulta de un médico hay 10 pacientes: 5 tie-
nen gripe; 3, problemas digestivos, y 2, alergia. Si se eligen
tres enfermos al azar, halla la probabilidad de que:
a) Los tres tengan enfermedades distintas.
b) Los tres tengan la misma enfermedad.
a) P(3 enfermedades distintas) � ��1
3
0� � �
5
9� � �
2
8�� � 6 � �
1
4� � 0,25
b) P(3 gripe) � �1
5
0� � �
4
9� � �
3
8�� �
1
1
2� � 0,083
P(3 p. digestivos) � �1
3
0� � �
2
9� � �
1
8� � �
1
1
20� � 0,0083
P(3 alergias) � 0
P(3 el mismo problema) � �1
1
2� � �
1
1
20� � �
1
1
2
1
0� � 0,917
23
22
21
20
154 Estadística y Probabilidad
Se lanzan simultáneamente 4 monedas. Determina
cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara.
P(al menos una cara) � 1 � P(ninguna cara) � 1 � ��1
2��
4
�
� �1
1
5
6� � 0,937
Un empleado de una floristería sale a repartir 3 plan-
tas. Durante el reparto se le extravían los albaranes, de mo-
do que conoce las direcciones pero no qué planta corres-
ponde a cada dirección. Si se efectúa el reparto al azar,
calcula la probabilidad de que al menos una de las tres
plantas llegue a su destino correcto.
P(ninguna a su destino) � �2
3� � �
2
3� � �
2
3� � �
2
8
7� � 0,296
P(alguna a su destino) � 1 � �2
8
7� � �
1
2
9
7� � 0,704
Una caja contiene 10 CD’s de ordenador: 4 están gra-
bados, y los otros, no. Introducimos cada uno de ellos en el
ordenador y comprobamos cuáles están grabados. ¿Qué
probabilidad hay de obtener uno grabado antes de intro-
ducir el cuarto CD?
P(1) � �2
5� � 0,4 P(2) � �
1
6
0� � �
4
9� � �
1
4
5� � 0,267
P(3) � �1
6
0� � �
5
9� � �
4
8� � �
1
6� � 0,167 P(antes 4.° CD) � 0,83�
Una comisión está formada por 12 diputados, de los
cuales 6 pertenecen al partido político A, 4, al partido polí-
tico B, y 2, al partido político C. Si se escogen tres al azar,
calcula la probabilidad de que los tres pertenezcan:
a) A partidos distintos.
b) Al partido A.
c) Al partido C.
a) P(A, B, C ) � �1
6
2� � �
1
4
1� � �
1
2
0� � �
5
2
5� � 0,036
P(uno de cada partido) � 6 � 0,036 � 0,22
b) P(3 del A) � �1
6
2� � �
1
5
1� � �
1
4
0� � �
1
1
1� � 0,09
c) P(3 del C ) � 0
Considera la ruleta de la figura 12.9.
P(2) � P(3) � P(4) � �1
6�
P(5) � �1
1
2�
Figura 12.9
a) Calcula P(1).
b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga par?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener rojo?
d) Sabiendo que se ha obtenido rojo, ¿cuál es la probabili-
dad de que sea impar?
a) P(1) � 1 � ��1
2� � �
1
1
2��� �
1
5
2� � 0,42
b) P(par) � �1
6� � �
1
6� � �
1
3� � 0,33
c) P(rojo) � �1
5
2� � �
1
6� � �
1
7
2� � 0,583
d) P(impar|rojo) � 1
4
2
31
5
28
27
26
25
24 Se utilizan tres máquinas para fabricar las piezas que
componen un aparato: la primera fabrica un 1% de piezas
defectuosas; la segunda, un 1,5 %, y la tercera, un 2 %. Cal-
cula la probabilidad de producir un aparato defectuoso (lo
será si al menos una de sus piezas es defectuosa).
P(ninguna defectuosa) � �1
9
0
9
0� � �
9
1
8
0
,
0
5� � �
1
9
0
8
0� � 0,96
P(defectuoso) � 1� 0,96 � 0,04
Esta tabla muestra el resultado de 100 ecografías:
Calcula la probabilidad de que:
a) Si la ecografía muestra una niña, el sexo real sea niña.
b) Si la ecografía muestra una niña, el sexo real sea niño.
c) Si la ecografía muestra un niño, el sexo real sea niña.
d) Si la ecografía muestra un niño, el sexo real sea niño.
e) Que la ecografía muestre el sexo real del feto.
a) P(�|ecografía�) ��10
4
�
1
41�� �
4
5
1
1� � 0,80
b) P(�|ecografía�) ��10
1
�
0
41�� �
1
5
0
1� � 0,20
c) P(�|ecografía�) ��38
1
�
1
11�� �
1
4
1
9� � 0,22
d) P(�|ecografía�) ��38
3
�
8
11�� �
3
4
8
9� � 0,78
e) P(acierte) ��41
1
�
00
38�� �
1
7
0
9
0� � 0,79
La tabla de longevidad de un país del tercer mundo
indica que la probabilidad de llegar a los 10 años es 0,78, y
la de llegar a los 60, 0,50. Si un niño tiene 10 años, ¿cuál es
la probabilidad de que llegue a los 60 años?
P(60 � 10) � P(60) � 0,5
P(60|10) � �0
0
,7
,5
8� � 0,64
Los motores de avión tienen una probabilidad de es-
tropearse de 0,005. Un avión puede efectuar un aterrizaje
de emergencia aun cuando solo funcione el 50 % de sus
motores. ¿Qué será más seguro, un bimotor o un cuatrimo-
tor?
P(se estropeen los dos motores) � 0,005 � 0,005 � 2,5 � 10�5
P(se estropeen los tres motores) �
� 0,005 � 0,005 � 0,005 � 1,25 � 10�7
P(se estropeen los cuatro motores) �
� 0,005 � 0,005 � 0,005 � 0,005 � 6,25 � 10�10
P(efectuar aterrizaje en bimotor) �
� 1 � (0,005)2 � 0,999975
P(efectuar aterrizaje en un cuatrimotor) �� 1 � (0,005)4 �(0,005)3 � 0,999999874
Es más seguro un cuatrimotor.
Se efectúa un sorteo entre los quince jugadores de un
equipo de fútbol, contando con los reservas, de modo que
cada uno va extrayendo una bola de una bolsa en la que hay
12 negras y 3 blancas. Calcula la probabilidad de que el ante-
penúltimo jugador obtenga la última bola negra.
33
32
31
30
29
Sexo real �
10
38
48
Sexo real �
41
11
52
Ecografía (�)
Ecografía (�)
Total
1559. Probabilidad
A � obtener 11 bolas negras en las 12 primeras extracciones.
B � la última bola negra en la extracción número 13.
Casos posibles � � �� 455
Casos favorables � � � � � �� 36
P(A) � �4
3
5
6
5� � 0,0791
Quedan en la bolsa tres bolas, dos blancas y una negra:
P(B|A) � �1
3�
P(A � B) � P(A) � P(B|A) � ��4
3
5
6
5� � �
1
3� � �
4
1
5
2
5� � 0,026
En la siguiente tabla se muestran los resultados ob-
tenidos del estudio de la dependencia del tabaco de una
población de 200 personas y de su salud coronaria.
Elegido un individuo al azar, calcula la probabilidad de
que:
a) Sea fumador. c) Siendo fumador, esté sano.
b) Esté sano. d) Siendo no fumador, esté enfermo.
a) �1
2
0
0
0
0� � 0,5 c) �
1
3
0
0
0� � 0,3
b) �1
2
2
0
0
0� � 0,6 d) �
1
1
0
0
0� � 0,1
En una prueba de resistencia participan 4 corredores
españoles y 3 franceses. Halla la probabilidad de que:
a) Los cuatro primeros sean españoles.
b) Los dos primeros sean españoles y el tercero, francés.
a) Ser español: E
P(todos españoles) � P(1.° E) � P(2.° E|1.° E) � P(3.º E|1.° y 2.° E) �� P(4.° E|1.°, 2.° y 3.° E)
P(todos españoles) � �4
7� � �
3
6� � �
2
5� � �
1
4� � 0,02857
b) P(1.° y 2.° español y 3.° francés) � �4
7� � �
3
6� � �
3
5� � 0,17143
Mediante una encuesta realizada entre los estudian-
tes de una escuela superior, se determina que el 40 % lee el
periódico y el 30 % lee alguna revista de información gene-
ral. Además, el 10 % lee revistas, pero no el periódico.
a) Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al
azar lea el periódico o revistas.
b) Halla la probabilidad de que un estudiante no lea revis-
tas, sabiendo que lee el periódico.
Sea «P» leer el periódico y sea «R» leer revistas.
Según el enunciado: P(P) � 0,4, P(R) � 0,3, P(R � P�) �0,1
Leer revistas y periódico han de ser el 20 %: P(R � P) � 0,2
Por tanto, que lean periódico y no lean revistas han de ser el20 %: P(P � R) � 0,2
36
35
34
1211
31
1512
a) P(P � R) �0,4 � 0,3 � 0,2 � 0,5
b) P(R�/P) � �P(R�
P(
�
P)
P)� �
� �0
0
,
,
2
4� � 0,5
Probabilidad total
En un armario de material deportivo hay tres cajo-
nes. Por su disposición, la probabilidad de abrirlos depen-
de de su altura: la probabilidad de abrir el cajón superior, A,es el triple que la de abrir cualquiera de los dos inferiores,
B y C. En el cajón A hay 5 pelotas de baloncesto y 3 de tenis,
en el B, 3 de baloncesto y 4 de tenis y en el C, 2 de balon-
cesto y 2 de tenis. Se elige al azar uno de los cajones y se
saca una pelota. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de
tenis?
Calculamos la probabilidad de abrir cada cajón:
P(A) � P(B) � P(C) �1; P(A) � (1/3)P(A) � (1/3)P(A) � 1 ⇒ P(A) � 3/5, P(B) � P(C) � 1/5
Se elabora un árbol y se obtienen los datos necesarios:
P(t) � P(A) � P(t|A) � P(B) � P(t|B) � P(C)� P(t|C) �
� �3
5� � �
3
8� � �
1
5� � �
4
7� � �
1
5� � �
2
4� � 0,43929
Se aplica la prueba de la tuberculosis a una pobla-
ción; 1 de cada 10 000 personas en las que el test dio nega-
tivo tenían la enfermedad, y 1 de cada 100 de las que dio
positivo también. Si de la población 1/100 dio positivo,
¿qué porcentaje padece la enfermedad?
Sea E estar enfermo, N que el resultado del test es negativo yP que el resultado del test es positivo.
P(E|N) � 1/10 000 P(E|P) � 1/100
P(E) � P(N) � P(E|N) � P(P) � P(E|P) �
� �1
9
0
9
0� ��
10
1
000�� �
1
1
00� � �
1
1
00� � �
1
1
9
0
96� � 0,0002
Luego el porcentaje es 0,02 %.
Se sabe que la probabilidad de que un conductor
tenga un accidente en un día de lluvia es de 0,085 y en uno
soleado de 0,0001. Si en 20 días ha llovido 5, ¿cuál es la
probabilidad de que sufra un accidente?
P(accidente) � P(lluvia) � P(accidente|lluvia) �
� P(sol) � P(accidente|sol) �
� (5/20) � 0,085 � (15/20) � 0,0001 � (853/40 000) � 0,021
Tenemos tres dados: uno normal, otro trucado tal
que probabilidad de obtener 6 es de 1/4, y otro que tiene
en tres caras un cinco y en tres caras un seis. Cogemos al
azar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6?
P(6) � �1
3� � �
1
6� � �
1
3� � �
1
4� � �
1
3� � �
1
2� � �
1
3
1
6� � 0,31
Tenemos dos urnas, con bolas rojas y verdes. Su
composición es la siguiente:
� Urna 1: 4 bolas rojas y 5 bolas verdes.
� Urna 2: 6 bolas rojas y 4 bolas verdes.
41
40
39
38
37
periódicoy no revista
periódicoy revista
revista y noperiódico
0,20,2
0,1
PR
Enfermedadcoronaria
70
10
80
Sano
30
90
120
Total
100
100
200
Fumadores
No fumadores
Totales
156 Estadística y Probabilidad
Extraemos una bola de la urna 1 y sin mirar de qué color es,
la colocamos en la 2. A continuación, extraemos una bola
de la 2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?
Hay dos sucesos a considerar: qué bola es la que pasamos deuna urna a otra y qué bola se extrae de la urna 2:
R
R
7/11
4/94/11 V
R5/9
6/11
V
5/11 V
Se trata de aplicar el teorema de la probabilidad total:
P(R) � �4
9� � �
1
7
1� � �
5
9� � �
1
6
1� � �
5
9
8
9� � 0,59
Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge
un comité de 3 al azar, halla la probabilidad de que:
a) Se seleccionen 3 niños.
b) Se seleccionen exactamente 2 niños y una niña.
c) Se seleccione al menos un niño.
d) Se seleccionen exactamente 2 niñas y un niño.
Es muy adecuado elaborar un diagrama en árbol.
8/14 O9/15 O
O6/14 A
9/14 O10/16 6/15 A
5/15 A
9/14 O
6/16 10/15 O
A5/14 A
10/14 O5/15 A
4/14 A
a) P(3 niños) � �1
1
0
6� � �
1
9
5� � �
1
8
4� � 0,2143
b) P(2 niños y 1 niña) � �1
1
0
6� � �
1
9
5� � �
1
6
4� � �
1
1
0
6� � �
1
6
5� � �
1
9
4� �
� �1
6
6� � �
1
1
0
5� � �
1
9
4� � 0,4821
c) P(por lo menos 1 niño) � 1 � P(ningún niño) �
� 1 � P(3 niñas) � 1� �1
6
6� � �
1
5
5� � �
1
4
4� � 0,9643
d) P(2 niñas y 1 niño) � �1
1
0
6� � �
1
6
5� � �
1
5
4� � �
1
6
6� � �
1
1
0
5� � �
1
5
4� �
� �1
6
6� � �
1
5
5� � �
1
1
0
4� � 0,2679
En una escuela de conducción avanzada hay tres
grupos de prácticas repartidos en tres turnos, A, B y C. Los
grupos representan el 40 %, el 35 % y el 25 % del alumna-
do, respectivamente. El porcentaje de éxito en la supera-
ción de las prácticas es del 97 %, 95 % y 96 %, respectiva-
mente. Halla la probabilidad de que al escoger uno al
azar:
a) Haya suspendido y sea del grupo A.
b) No haya sido suspendido ni sea del grupo A.
c) Haya suspendido.
Probabilidad de pertenecer a cada grupo:P(A) � 0,4; P(B) � 0,35; P(C) � 0,25
43
42
Probabilidad de superar las prácticas :P(a|A) � 0,97; P(a|B) � 0,95; P(a|C) � 0,96
Probabilidad de suspender las prácticas:P(s|A) � 0,03; P(s|B) � 0,05; P(s|C) � 0,04
0,97 aA
0,4 0,03 s
0,95 a0,35 B
0,05 s
0,96 a0,25 C
0,04 s
a) P(s|A) � P(A) � P(s|A) � 0,4 � 0,03 � 0,012
b) P(a � B) � P(a � C) � 0,35 � 0,95 � 0,25 � 0,96� 0,5725
c) P(s) � 0,4 � 0,03 � 0,35 � 0,05 � 0,25 � 0,04 � 0,0395
Teorema de Bayes
Si en la situación descrita en la actividad anterior,
después del examen, se escoge un alumno al azar y resulta
aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que sea del B?
Probabilidad de que un alumno haya aprobado las prácticas:
P(a) � 0,4 � 0,97 � 0,35 � 0,95 � 0,25 � 0,96 � 0,9605
Probabilidad de que un alumno apruebe siendo del grupo B:P(B) � P(a|B) �0,35 � 0,95 � 0,3325
Aplicando el teorema de Bayes: P(B|a) � �0
0
,
,
3
9
3
6
2
0
5
5�� 0,3462
Una central nuclear tiene un sistema de alarma que
se activa en el 99 % de los casos en que existe alguna ave-
ría. También, en ocasiones, se activa sin razón dando lugar
a una falsa alarma con probabilidad del 0,003. Sabiendo
que existe una probabilidad de 0,001 de tener una avería
nuclear, y habiendo detectado la alarma, ¿cuál es la probabi-
lidad de que exista una avería?
P(alarma) �� P(avería) � P(alarma|avería) � P(no avería) � P(alarma|no avería) �� 0,001 � 0,99 � 0,999 � 0,003 � 0,004
P(alarma|avería) � P(avería) � 0,99 � 0,001
P(avería|alarma) � �
� � 0,25
De una clase de 30 alumnos, 10 estudian alemán, 22
practican algún deporte y 2 ambas cosas. Calcula la proba-
bilidad de que, al escoger un alumno al azar, si estudia ale-
mán, practique algún deporte.
P(deporte|alemán) � � �1
2
0
/
/
3
3
0
0� � 0,2
En el vestíbulo de un casino hay dos máquinas traga-
perras, que permiten ganar con una probabilidad de 0,1.
Una de las dos máquinas se estropea y entonces la proba-
bilidad de ganar con ella es 0,5.
a) Si eliges una máquina al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que sea la estropeada?
b) Si juegas una vez y ganas, ¿cuál es la probabilidad de
que sea la estropeada?
c) Si juegas dos veces, aunque sea en máquinas distintas, y
ganas ambas, ¿cuál es la probabilidad de que sea la es-
tropeada?
47
P(deporte � alemán)���
P(alemán)
46
0,99 � 0,001���0,001 � 0,99 � 0,999 � 0,003
P(alarma|avería) � P(avería)���
P(alarma)
45
44
1579. Probabilidad
d) Si escoges una de las dos máquinas, pierdes y quieres
volver a jugar, ¿debes insistir con la misma o cambiar de
máquina?
a) 0,5 probabilidad a priori
b) P(E|G) ��P(E)
P
�
(G
P(
)
G|E)�� � �
0
0
,2
,3
5� � 0,83�
c) P(E|G � G) ��P(G
P
�
(G
G
�
|E)
G
�
)
P(E)��
� � 0,9615
d) Si pierdes es preferible cambiar de máquina.
Un autocar realiza un servicio diario entre dos ciuda-
des. La probabilidad de tener un accidente un día sin lluvia
es del 0,001 y la de tener un accidente un día con lluvia es
del 0,03. En un mes en que hubo 23 días sin lluvia y 7
con lluvia, se produjo un accidente. Calcula la probabilidad
de que el accidente se haya producido:
a) Un día de lluvia.
b) Un día sin lluvia.
P(día sin lluvia) � �2
3
3
0�; P(día con lluvia) � �
3
7
0�
P(ocurra accidente|día sin lluvia) � 0,001 P(ocurra accidente|día con lluvia) � 0,03
a) P(día con lluvia|ocurra un accidente) �
� � 0,9013
b) P(día sin lluvia|ocurra un accidente) �
� � 0,0987
Tenemos tres lotes navideños idénticos exterior-
mente. Dos de ellos contienen 8 barras de turrón y 2 bote-
llas de cava, y el tercer lote contiene 4 barras de turrón y 6
botellas de cava. Se elige al azar uno de los lotes, se extrae
al azar un elemento de su contenido y resulta ser una bote-
lla de cava. Halla la probabilidad de que dicha botella pro-
ceda del tercer lote.
T4/5
8T 2B1/3
1/5 B
T4/5
1/38T 2B
1/5 B
T
1/32/5
4T 6B
3/5 B
P(B) � �1
3� � ��
1
5� � �
1
5� � �
3
5�� � �
1
3�
P(3.er lote|botella) � � �3
5� � 0,6
�1
3� � �
3
5�
�
�1
3�
49
(23/30) � 0,001����(23/30) � 0,001 � (7/30) � 0,03
(7/30) � 0,03����(23/30) � 0,001 � (7/30) � 0,03
48
0,5 � 0,5 � 0,5���0,5 � 0,1 � 0,1 � 0,5 � 0,5 � 0,5
0,5 � 0,5���0,5 � 0,5 � 0,5 � 0,1
Problemas de aplicación
La probabilidad de que un ciudadano responda una
encuesta telefónica es 0,05. Si recibe 2 llamadas, ¿cuál es la
probabilidad de que responda al menos a una? ¿Y si recibe
tres?
Encuesta: E
P(1.ª E � 2.ª E) � P(1.ª E) � P(2.ª E) � P(1.ª E � 2.ª E)
Responder las encuestas son sucesos independientes, luego:
P(1.ª E � 2.ª E) � P(1.ª E) � P(2.ª E) � P(1.ª E) � P(2.ª E) �� 0,05 � 0,05 � 0,05 � 0,05 � 0,0975
Para calcular la probabilidad de que responda a las tres en-cuestas:
P(1.ª E � 2.ª E � 3.ª E)�1 � P(no responda ninguna encuesta) �� 1 � 0,95 � 0,95 � 0,95 � 0,142625
En un torneo de paddle participan tres equipos, A, By C. Se supone que la probabilidad de que A gane a B es 3/5
(A ha ganado a B en tres de cada cinco partidos en los que
se han enfrentado), la de que B gane a C es 3/4, y la de que
A gane a C es 6/7.
El torneo se realiza del siguiente modo: se sortea qué equi-
po descansa; los otros dos se enfrentan y el que gana juega
luego con el que ha descansado. El equipo que gana el se-
gundo partido es el campeón. Calcula la probabilidad que
tiene el equipo A de ganar el torneo.
3/4 B y A3/5
A
�1
3� A ⇒ B y C
1/4 C y A6/7
A
6/7 A y B3/5
A
�1
3� B ⇒ A y C
1/7 C y B
3/5 A y C6/7
A
�1
3� C ⇒ A y B
2/5 B
P(A) � �1
3� � �
3
4� � �
3
5� � �
1
3� � �
1
4� � �
6
7� � �
1
3� � �
6
7� � �
3
5� � �
1
3� � �
3
5� � �
6
7� � �
1
7
4
9
0� � 0,56
Un opositor se presenta a un examen. El temario es-
tá formado por 100 temas, pero él solo ha podido preparar
75 de ellos. El examen consiste en responder a tres temas
escogidos al azar por el tribunal y en desarrollar otro, elegi-
do por el opositor. ¿Cuál es la probabilidad de superar el
examen?
Casos posibles � � ���100
3
�
�
9
2
9
� 1
� 98�� 161 700
Casos favorables � C75, 1 � C25, 2 � C75, 2 � C25, 1 � C75, 3 � 159 400
P(superar el examen) ��1
1
5
6
9
1
4
7
0
0
0
0�� �
1
1
5
6
9
1
4
7� � 0,99
Sabiendo que la probabilidad de un bateador de
béisbol de batear al menos una vez de tres lanzamientos
consecutivos es 0,873, calcula la probabilidad de que batee
en un solo lanzamiento.
P(no batee en el 1.° � no batee en el 2.° � no batee en el 3.°) �� 1 � 0,873 � 0,127
Los tres sucesos son independientes por lo que:
P(no batear en un lanzamiento) � �3
0,127� � 0,5027
Es decir: P(batear en un lanzamiento) � 1 � 0,5027 � 0,4973
53
1003
52
51
50
158 Estadística y Probabilidad
Para elegir un candidato entre tres, se prepara una
bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Los tres van
sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien sa-
ca la bola blanca es el candidato. ¿Quién lleva más ventaja?
Es práctico realizar un diagrama con la situación:
1.° 2.° 3.°
B1/3
B2/3
1/2
N
1/2N B
1
P(saque blanca el 1.°) � �1
3�
P(saque blanca el 2.°) � �2
3� � �
1
2� � �
1
3�
P(saque blanca el 3.°) � �2
3� � �
1
2� � 1 � �
1
3�
Los tres candidatos tiene la misma probabilidad de ganar.
Juan ha perdido el paraguas. Estima que hay un
60 % de posibilidades de haberlo olvidado en unos gran-
des almacenes de 6 plantas que visitó recientemente. Ad-
mitimos como buena esta apreciación. Después de haber
comprobado que no lo ha perdido en cada una de las 5 pri-
meras plantas de estos almacenes, ¿cuál es la probabilidad
de haberlo extraviado en la planta número 6?
P(no haberlo perdido en los almacenes) � 0,4
P(haberlo perdido en los almacenes) � 0,6
No haberlo perdido en las 5 primeras plantas es un suceso in-dependiente de haberlo perdido en la planta 6, sabiendo queen las cinco anteriores no lo ha perdido. Para simplificar:
F «fuera de los almacenes»0,4
0,5No 1-5 «no en las 5 primeras plantas»
0,1P6
P(No 1 � 5) � P(P6|No 1 � 5) � P(No 1 � 5 � P6) � P(P6) � 0,1,porque haber perdido el paraguas en la planta 6 está conte-nido en no haberlo perdido en las plantas anteriores.
Entonces:
P(P6|No 1 � 5) � P(No 1 � 5 � P6)/P(No 1 � 5) � �0
0
,
,
1
5� � 0,2
Un juego consiste en sacar dos cartas de una baraja
francesa (cuatro palos de 13 cartas, tres cartas de cada pa-
lo son figuras) sin devolución. Si se obtienen dos picas o
dos figuras, se gana, y en caso contrario, se pierde. Averi-
gua la probabilidad de ganar en este juego.
Probabilidad de sacar dos picas: P(2P ) � �1
5
3
2� � �
1
5
2
1� � �
5
3
1�
Probabilidad de sacar dos figuras: P(2F) � �1
5
2
2� � �
1
5
1
1� � �
2
1
2
1
1�
La probabilidad de sacar dos picas o dos figuras es P(2P � 2F).No son incompatibles. Por tanto:
P(2P � 2F) � P(2P ) � P(2F ) � P(2P � 2F)
Dado que: P(2P � 2F) � �5
3
2� � �
5
2
1� � �
4
1
42�
P(2P � 2F) � �5
3
1� � �
2
1
2
1
1� � �
4
1
42� � 0,106335
56
55
54 En unas elecciones municipales en dos ciudades pró-
ximas se han producido los siguientes resultados:
Se escogen al azar una ciudad y una persona de esa ciudad
con derecho a voto.
a) Calcula la probabilidad de que haya votado a la Coali-
ción Verde.
b) Suponiendo que se ha abstenido, calcula la probabili-
dad de que viva en cada una de las ciudades, A y B.
Es muy práctico elaborar un diagrama en árbol:
CV0,3
A0,48
CC0,5
0,22 A
CV0,32
0,5B
0,42CC
0,26 A
a) P(vote Coalición Verde) � 0,5 � 0,3 � 0,5 � 0,32 � 0,31
b) P(abstención) � 0,5 � 0,22 � 0,5 � 0,26 � 0,24
P(A|abstención) � P(A) � P(abstención|A)/P(abstención) �
� �0,5
0
�
,2
0
4
,22� � 0,4583
P(B|abstención) � P(B) � P(abstención|B)/P(abstención) �
� �0,5
0
�
,2
0
4
,26� � 0,5417
Se extraen sucesivamente, y sin reposición, dos car-
tas de una baraja española (40 cartas).
a) Calcula la probabilidad de que la primera carta sea de
oros y la segunda, no.
b) Calcula la probabilidad de que solo una de las dos sea
de copas.
a) P(oros y no oros) � P(oros) � P(no oros|oros) �
� �1
4
0
0� � �
3
3
0
9� � 0,1293
b) P(una copa) � P(copa y no copa) � P(no copa y copa) �
� �1
4
0
0� � �
3
3
0
9� � �
3
4
0
0� � �
1
3
0
9� � 0,3846
Resuelve el problema del Caballero de Mère, que
aparece al principio de esta unidad.
P(al menos un doble seis en 24 tiradas) �
� 1 � ��3
3
5
6��
24
� 0,49
P(al menos un doble seis en 25 tiradas) �
� 1 � ��3
3
5
6��
25
� 0,51
Es ventajoso apostar doble 6 en 25 tiradas.
59
58
57
Coalición Verde
30 %
32 %
Coalicióncentrista
48 %
42 %
Abstención
22 %
26 %
Ciudad A
Ciudad B
1599. Probabilidad
Evaluación (página 245)
1. En un grupo de 40 alumnos hay 27 aprobados. Si de eligen 6 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 4 de ellos hayan
aprobado?
P(4 alumnos hayan aprobado) � � 0,3566
2. Si A y B son dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A) � �1
4�; P(B) � �
2
3�; P(A � B) � �
1
2� entonces, ¿cuál es P(A� � B�)?
P(A � B) � P(A) � P(B) � P(A � B) ⇒ �1
2� � �
1
4� � �
2
3� � P(A � B) ⇒ P(A � B) � �
1
5
2�
P(A� � B�) � P(A � B��) � 1 � P(A � B) � 1 � �1
5
2� � �
1
7
2� � 0,5833
Luego: P(A� � B�) � �1
7
2� � 0,5833
3. Un dado tiene una cara roja, dos amarillas y tres verdes. Calcula la probabilidad de que:
a) Salga, como mínimo, una cara roja o amarilla en tres tiradas.
b) No salga ninguna cara verde en cuatro tiradas.
P(salga cara roja) � �1
6� P(salga cara amarilla) � �
2
6� P(salga cara cara verde) � �
3
6�
a) P(salga como mínimo cara roja � una cara amarilla) � 1 ���3
6��
3
� �7
8� � 0,875
b) P(no salga ninguna cara verde) ���3
6��
4
� �1
1
6� � 0,0625
4. Determina la probabilidad de:
a) Obtener tres veces un 2 en cinco lanzamientos de un dado.
b) Obtener tres veces seguidas un 2 en cinco lanzamientos de un dado.
a) P(sacar tres veces un 2 en cinco lanzamientos) ���1
6��
3
���5
6��
2
� C5, 3 � �3
1
8
2
8
5
8� � 0,0322
b) P(sacar tres veces seguidas un 2 en cinco lanzamientos) ���1
6��
3
���5
6��
2
� 3 � �2
2
5
5
92� � 0,0096
5. En un centro de enseñanza hay 120 alumnos matriculados en primer curso. Su distribución por sexos y las opciones escogidas fi-
guran en la siguiente tabla de contingencia:
Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar:
a) Sea de sexo femenino.
b) No curse la opción B.
c) Curse la opción A, sabiendo que es de sexo femenino.
a) P(sea de sexo femenino) ��32
1
�
20
37�� �
2
4
3
0� � 0,575
b) P(B�) � P(A) ��32
1
�
20
26�� �
2
6
9
0� � 0,4833
c) P(curse opción A | es de sexo femenino) � �1
3
2
2
0� � �
2
4
3
0� � 0,4638
� � � � �� �40
6
132
274
Opción A
Opción B
Mujeres
32
37
Varones
26
25
160 Estadística y Probabilidad
6. La urna A contiene 3 bolas negras y 5 blancas, y la urna B, 4 negras y 6 blancas. Se escoge una bola de la urna A y se introduce en
la urna B. A continuación, se extrae una bola de la urna B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?
b) Si la bola extraída ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la urna A fuese blanca?
a) P(sea una bola blanca) � �1
6
1� � �
3
8� � �
1
7
1� � �
5
8� � �
8
3
8� � 0,6023
b) P(bola extraída de la urna A sea blanca | bola extraída es blanca) � � �3
5
5
3� � 0,6604
7. El 40 % de los empleados de una empresa son mujeres. El 30 % de las mujeres están casadas, y el 55 % de los hombres, también.
Si se elige al azar un empleado y está casado, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
P(mujer⏐casado) � �
� � �1
4
5� � 0,2667
0,3 � 0,4���0,3 � 0,4 � 0,55 � 0,6
P(casado⏐mujer) � P(mujer)���
P(casado)
P(mujer � casado)���
P(casado)
�1
7
1� � �
5
8�
�
�5
8
3
8�
