Kal ku I us danometr iAnal i t is

I

i i

Ge

] L.(D fu*' �* - s)4 , ,

L - \--l

-L J" r*Q '"L

Vz, '6 f W&

Jir id I

r 0 r1

Daft ar fsi i'l -'

, ; - - l " ' r, / - ' : . . , . ,

' i

Kata Pengantar

2

Pendahuluan

1.1 Sistem Bi langan Ri i l - /1 .2 Desimal ,Kerapatan,Kalkulator1.3 Ketaksamaan1.4 Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, Kuadrat1.5 Sistem Koordinat Persegi-panjang. .v. .1 . 6 G a r i s L u r u s ! / , . . .1.7 Grafik Persamaan r' .1.8 Soal-soal Ulangan Bab . .

Fungsi dan L imi t .

2.1 Fungsi dan Grafiknya ".2.2 Operasi Pada Fungsi2 . 3 F u n g s i T r i g o n o m e t r i H . . . .2.4 Pendahuluan Limit .r2.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit .v.2.6 Teorema Limit y2.7 Kekontinuan Fungsi ,.2.8 Soal-soal Ulangan Bab . .

Turunan3.1 Dua Masalah dengan Satu Tema3d TurunanF.3 Aturan Pencarian Turunan3.4 Turunan Sinus dan Kosinus3.5 Aturan Rantai.3.6 Notasi Leibniz3.7 Turunan Tingkat Tinggi .3.8 r.Pendiferensialan lmplisit3.9 l-aju yang Berkaitan

Diferensial dan Aproksimasi . . .3.11 Soal-soal Ulangan Bdb . .

1 3r 8253138 I

44

474854 I

62 ) ,727g8794

102 '$

10510611412213213g

/ " ,

\ t f..: *i

rr€?'

ffi.

Penggunaan Turgnan . .4 .1 Maks imum dan M in imum

q :

4 .4f i l '

i + " 9

4 :

4 $

inteqrai

Anti Turunan (lntegral Tak-tentu)Pengantar untuk Persamaan DiferensialNotasi Jumlah dan SigmaPendahuluan LuasIntegral TentuTeorema Dasar KalkulusSifat-sifat Integral Tentu Lebih t-anjutBantuan dalam Perhitungan Integral TentuSoal-soal Ulangan Bab . _

f j*nggunaan Integra!; ' . ,Luas Daerah Bidang Rata . .

! - ' :

:: ..)lt '4

: r a

5 ;

Kemonotonan dan Kecekungan . .Maksimum dan Minimum LokalLebih Banyak Masalah Maks-MinPenerapan EkonomiLimit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga . .Penggambaran Graf ik CanggihTeorema Nilai Rata-rataSoal-soal Ulangan Bab . .

Luas Permukaan Putar V. . . .K e r j a . . . L . . .Gaya Cairan (Fluida) .1. . . . .Momen, PusatMassa M . . . .

Daftar Isi

1841 8 5193201207215221228233239

':.4?

243251259266274284290299307

31" !312320328335342348354359368

372379386393399407415421428

43'!432439

\L:'?

ut::

,,, Volome Benda dalam Bidang: Lempengan, Cakram, Cincin . . . . .L Volome Benda Putar; Kulit TabungPanjang Kurva pada Bidang (Kurva Rata) y.

ir

Soal-soal Ulangan Bab

I 1 1 9 f . { r : i F l : ;

. Fungsi Logaritma Asli

:t

Ll

.]

Fungsi Invers dan TurunannyaFungsi Eksponen AsliFungsi Eksponen Umum dan Fungsi Logaritma UmumPertumbuhan dan Peluluhan EksponenFungsi Trigonometri lnversTurunan Fungsi TrigonometriFungsi Hiperbola dan InversnyaSoal-soal Ulangan Bab

ieknik P4ngm?sgrdt4tr

Pengintegralan dengan SubstitusiBeberapa Integral Trigonometri

Idfu(

r i;aftar Isi

3..1

r $ . bi

Su bstitusi yang MerasionalkanPeng integralan ParsialPengintegralan Fungsi RasionalSoalsoal Ulangan Bab . .

' )I g . / Eentuk fak-Tentu dar ln tec i r i - . ia : ' . -Warar

I 1 Bentuk Tak-Tentu Jenis 0/09.? Bentuk Tak-Tentu yang LainI 3 lntegral Tak-Wajar: Batas Tak-Terhingga9.4 lntegral Tak-Wajar: Integran Tak-Terhingga . . . .I 5 Soal-soal Ulangan Bab . .

Metrrce i\ lumerik, Aproksimasi

1n 1 Aproksimasi Taylor terhadap Fungsitt ' : ? Penaksiran Kesalahan1C.3 Pengintegra lanNumer ik1C a Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik . . .

10.5 MetodeTitik-Tetap10.3 Soal-soal Ulangan Bab . .

LAmp l l a . l . .

L i lnduksi Matematis

t. t Bukti Beberapa Teorema

! ? Tinjauan Ke Belakang

| 4 Tabel-tabel Numerik

-, a'".;; 1"rr u ntlt k -$;:a!. r r, al F,..t,-':l *:r t an ii I

Tf : , o o' t

\ i

49t49950€512

'4.71

47147i48:49(49t

52(52(534

63'l

5sz541545547Jf"

..

,ii

)iit'

f , 1. , ,' . r

i

t

/

Pendahufuanl . l S is tem Bi langan Ri i l1.2 Desimal, Kerapatan, Kalkulator1.3 Ketaksamaan1.4 Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, Kuadrat1.5 Sistem Koordinat Persegi-panjang1.6 Garis Lurus1.7 Grafik Persamaan1.8 Soal-soal Ulangan Bab

. t )eometn korrrli4stl iarh melehihi rlari spekuitsitietafisisnv*. ,nensahdikdn nanio f)eseort€s drm .ne-

*ttpakan iangkah tunggal terbesar .vang peruak di-.: tit a i,i a i tzm p e r i; e I n il (t t, g d t t. ; I mu- ilm.u e k s ak t a.

iohn ituart ilIill

Rene Descartes dikenal sebagai ahli filsafatmodern pertama yang besar. Ia juga pe-nemu biologi modem, ahli fisika, dan mate.matikawan.

Descrates lahir di Touraine, Perancis,putra dari seorang ahli hukum, yanglumayan kekayaannya. Ayahnya mengirim-i lumayan KeKayaannya. Ayahnya mengirim-

I nya ke sekolah Jesuit pada umur delapan, tahun. Karena kesehatannya yang kurang;baik, Descartes diijinkan menghabiskanr waktu paginya belajar di tempat tidur,; suatu kebiasaan yang dipandangnya ber-iguna sehingga dilanjutkannya separ{ang: hidupnya. Pada umur 20 tahun, ia men-, dapat gelar sarjana hukum (dapat anda,bayangkan seorang SH yang juga ahli: matematik?) dan selanjutnya menjalaniikehidupan s€orang tuan yang terhormat,menjalani {inas militer beberapa tahun dantinggal beberapa waktu di Paris dan ke-mudian di Belanda. Ia pergi ke Swedia di-undang untuk mengajari Ratu Christina,di mana ia meninggal karena pneumoniapada tahun 1650.

D6scartes menyelidiki zuatu metodeberpikir yang umum yang akan memberi-kan pertalian pada pengetahuan dan me-

'nuju kebenaran dalam ilmu-ilmu. Penyeli-

dikan itu mengantarnya ke matematika,yang ia simpulkan scbagai sarana pengem_bangan kebenaran di segala bidang. Karyamatematikanyt yang paling berpengaruhadalah La Geometrie, yang diterbitkantahun 1637. Di dalamnya, ia mencobasuatu penggabungan dalj geometi tua danpatut dimuliakan dengan aljobar yangmasih bayi. Bersama dengan orang perancislainnya, Pierre Fermat (1601-1665), iadiberi pujian dengan gabungan tersebutyang saat ini kita sebut geometri analitik.atau geometri koordinat. Pengembanganlengkap kalkulus tidak mungkin tercapaitanpa dia.

I

i 1

1.1 Sistem Bi langan Ri i l

Kalkulus didasarkan pada sistern bilangan riil dan sifateifatnya. Tetapi apakah bilary'

an riil itu dan apa sifat.sifatnya? Untuk menjawab, kita mulai dengrn beberapa sistem

bilangsn yang lebih sederhana.

BILANGAN-BILANGAN BULAT DAN RASIONAL Di antara sistem bilangan, yang pa'

ling sederhana adalah bilangan'bilangan adi,

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , . . .

Dengan bilangan ini kita dapat nunghitur4l: buku-buku kita, teman'teman kita' dan uang

kta. lita kita gandengkan negatifnya dengan nol, kita peroleh bilangan'bilangan bulat:

. . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . -

Bilamana kita mencoba mengukttr panjang, berat atau tegangan listrik, bilangan'

bilangan bulat tidak memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memberikan ketelitian

yarg-cukup. Kita dituntun untnk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan'

bilangan bulat (Grnrbar 1) yaitu bilangan-bilangan sePerti

3 - 7 2 t 1 9 1 6 , _ - 1 7

T , T , - , = , T , s n 1 -

I

1 34 4

/+/------

I

?3

I3

l l

GAMBAR2

GA-IUBAR 3

GAMBAR I

Perhatikan bahwa kita menyertakan f aan -f,

walaupun secara

normal kita menuliskannya sebagai I dan -17, kapna psuei dengan

arti pcmbagian yang biasa meroka sama dengan yarg belakangan'

Kita tidak menyortalcan f atau {, karena tidak mungkin membuat

pengertian dari lambang-i".U*i ini 0ihat Soal 35). Marilah kita

bersepakat untuk seterusnya rmmbuang pembagisn oleh nol dari

buku ini (Gambar 2). Bilangan'bibngsn yurg dapat ditulidcan dalam

bentnk mfn, di rnana m dan n adalah bilangantilangan bulat dengann * 0, disbut$ilurgrntitrngan nsiond.

Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua

panjang? Tidak. Fakta yang mengejutkan ini ditemukan oleh orang

Yunani kuno beberapa abad sebelum Masehi. Mereka memperlihat'

kan bahwa meskipun.u/2 merupakan panjang sisi-miring sebuah segi'

tiga siku-siku dengan sisisisi I (Gambar 3), bilangan ini tidak dapat

ditulidcan sebagai zuatu hasil bagi dari dua bilangan btrlat (lihat

Soal 43). Jadi .r/Z aaaUl suatu bilangan tak'rasionsl. Demikian juga

.fi,,{5, {,ndan sekelompok bilangan lain.

Bab I Pendahuluan

BILANGAN-BILANGAN RllL Sekumpulan bilangn (rasional dan takdapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita nametnan-bilangan riil.

Bilangan-bilangan riil dapat dipandang sebagai pengenal (label) untukpanjang sebuah garis mendatar. D sana bilangan-bilangan ini mengukur jarak kcatau ke kiri (arak berarah) dari suatu titik tetap yang disebut titik asal dan dibcri(Gambar 4). walaupun kita tidak mungkin memperlihatkan senua label itu, tiap tiftmang mempunyai sebuah label tunsgal bilangan riil. Bilangan ini disebut koordinet Itersebut. Dan garis koordinat yang dihasilkan diacu sebagai Saris riil. l

1 72 V z 3 t

l _ L l l _ l t t l t t i l | _- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 1 -

GAMBAR4

N c Z c G l c B

Di sini c adalah lambang himpunan bagian; dibaca "adalah himpunan bagian dari,,

n: Bilen$n Riil

GAMBAR 5GAMBAR 5

Hampir semua mahasiswa akan ingat bahwa sistem bilangan masih dapat diperluaslebih jauh lagi ke bilangan yang disebut bilanpn kompleks. Bilangan-bilangan ini berben-tuk a + bt/-1, di manaa dan D adalah bilangan-bilangan riil. Bilaigan-bilangan kompleksakan jarang dipakai dalam buku ini. Kenyataannya, jika kita mengatakan bilanganianpapenjelasan khuzus, anda dapat menganggap bahwa yang dimaksudkan adalah bilangan riil.Bilangan-bilangan riil merupakan ciri utama dalam kalkulus.

I

-g2

Terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali kelas.kelas bilangan yang se;auh ini ltelah dibahas' Mulai sekaranS, Nakan menyatal.<an himpunan bilangao -"rti

luit"ogun uul"t ipositif), Z (dai bahasa Jerman, Zahlen) akan menyatakan himpunan bilangan bulat,le,(hasil bagi bilangan bular)- menyatakan himpunan bilangan rasional, a* h hir"p;i;,lbilangan riil. Seperti ditunjukkan pada Gambar5,

EMPAT oPE RAS I H I TUNGAN Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambah-kan atau mengalikan keduanya untuk memperoleh dua bilangan riil barui +ydanx. y 'l(biasanya cukup dituliskan xy). penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yangtelah dikenal berikut. Selanjutnya, kita menyebutnya sifat-sifat medan.

. ', *

{clkuttrt rlnn GeometriAnalitis lilid I

Sifat*iiet Medsn :

Hukum komutatif. x * | = y.+ x da'r xy = yx.

Ilukum asosiatif. x +bt + 11 =Q + y) t z dan{(yz)=&y)z

Hukum distribusi. x(y + z) = xy + xz.Elemen-ehmen identitas. Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0 dan I

yang memenuhix + 0 = x danl' I = x.b"fit* (lnvers). Setiap bilangan x inempunyai bolikan adiril(disebut juga

sebuah negotifi, -x, y.ng memenuhi I + ('r) = 0. Juga,-setiap -bilangan x

kecuali 0 mempunyei balikan perkdlian (disebut iuga kebalikan)x-'' yang

memenuhix '.r-1 = l.

kngurangan dan pembagian dide finisikan dengan

x - y : x + ( - y )

danx . y '

Dari fakta-fakta dasar ini, banyak yans lain nnnyusul. Kenyataannya, hampir semua

aljabar pada akhirnya berpatokan pada lima sifat medan dan definisi pengurangan dan pem'

o'lii:i":i:1 UnUflN PADA GARIS BILANGAN RllL Misalkan x ( y berarti x berada di I

i sebelah kiriy pada garis bilangan riil' I

l .2 .3.4.

l s .IitII

x

v

URUTAN Bilangan-bilangan riil bukan nol secara baik dipisahkan menjadi duahimpunan

terpisah - bilangan-bilurgan riil positif dan bilangan'bilangan riil negatif. Fakta ini me-

mungkinkan kita memperkenalkan relasi ulutan < (dibaca'kurang dari") yaitu

x < y € y - x p o s i t i f

lambang dua anak panah € di sini merupakan konjungsi dari + (sehingga) 6un e (ka-

rena). Ja'di, o boleh dibaca "setara dengan" atau sebagai "jika dan hanya jika". Kita

setup Uatrwa x 1y dany) x akan berarti sama' Sehingga 3 <4,4 >3' -3 1-2'dan

_�2> _�3. Perhatikan ungkapan geometrik ( yang ditunjukkan dalam kotak di bawah ini'

-fSifat-sifat Urutan

l. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilar8an, maka pasti satu di antara

yang berikut berlaku:

. x ( Y a t a u Y = Y a t a u x ) l

2. Ketransitifan. x 1Y danY 1z + x 1z

3. Fcnambehan. x 4Y ex + z 4Y + z

4. perkalian. Bilangan e positif, x 1y e xz (yz. Bilamana z negatif, x (y e

xz) yz .

t-

,7

llTr'Jll*ii'"-:"i ffiiio buku ini biasanya diberi nama (misalnva reorema gthagorasi

sedangkan lainnya o.u"i dalam kelomfok'kelompok soal dan diperkenalkan de['d

kau nnjukkan bahwa ̂ iiiiir*o" Uinwo. Untuk membedakannya dengan aksfom

ataudefinisiyangkebenarannyatelahdianggappasti,teoremamemerlukanpembuktian.Teorema yang cap"i amyataran dal_am beltuk

"Jika P maka Q" seringkali disitlckf

dengan p + Q.rita namakan i sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan teoremF td

sebut. pembuttian yang meigandung-unsur "tunjukkanlah bahwa P harus dapat merlyati

kanQ".Para mahasiswa tingkat pertama kadang-kadang mengalami tezulilal memUedan

P + Q dengan k"b"[k;;;;'Q * p Jelasnja' kedu-a pernyataan ini tidak sama' serbag

contoh: ,,Bila John.a.uf*orlng Indian maka ia adalah orang Amerika" merupakan pt

nyataan yang benar, .k;; ;;;;;ii.f.runny. "Bila John adalah orang Amerika mlka

orang Minnesota" jelas merupakan pernyataan yang salah' Di lain pihak ' -

I + - F yat

dibaca ,,bukan o *.ny.-t"r.n bukan P;' <tinamakin kontrapooitif yang ekivalen dfngt

P + Q.Pada contoh ttdi,;;"benar bahwa "Bila John bukan orang Amerika m{ka

bukan orang Minnesota"' i-- r-:.^ ̂ ^-:. i i

Karena pernyataan dan l<ontrqositifnya adalah ekivalen' kita sering mengguhak

bentukiniuntukmembuktikansuatuteorema,dancarasePerti inidinamakanpcmbr*an dengan kontradiksi. JaJi,,r*r. membuktikan p - Q, iita dapat memisalkan

-p d

mencoba untuk menyiipuk"n -p darinya, dengan perkataan lain kita mehco

mengkontradiksi P. Di ti"iitrni berikan contoh sederhana' a

Relasiurutan((dibaca''kurangdariatausamadengan'')adalahsePuPu(. Relasi ini didefinisikan dengan

xs l <> y -x pos i t i f a tauno i

Sifat-sifat urutan 2, 3, dan 4 berlaku dengan lambang'lambang ( dan ) diganti oleh (

>/.

' ' t H a s i l p e n t i n g d a l a m m a t e m a t i k a d i s e b u t t e o t t m l ' d a n A n d a a k a n

ne mukan cukup bany at i' o" m-u dalam buku. ini' Te ore ma. yailtflT:ti ""#.*::

Teoretu: . --t ^r^r-L +,' Jumlah da;iltatu bilaqglrn rasional dan bilangan tak'rasional adalah tak'rasi*"f

.

frff."i"i dapat ditulis sebagai berikut: "Bilax = mln' dimana'n dan n adalah bilang

.bu{at, dan bila y "d"hh ;;;;;i"t'"'io""t' maka x + y adalah'takrasional"' Kita miball

*+ vrasional, dan dengan demikian x + y =plq di-manap danq adalahbilangan bu)

' MakaD p m n p - m q

u : 1 - . { - - - - : -' q q n q n

Ini berarti bahwa y adalah bilangan rasional, bertentangan dengan hipotesis' Kita beril

teorema tadi terbukti'

CaralainuntukmenunjukkanpembuktiansecarakontradiksiadalahdenganflrrlExchtded Middte y.";;;;;yi: Salah satu di antara R atau

-R, bukan kedua'duar

I

1 l

Kalkulus dan Geometri

pada teorema di atas, bila R adalah pernyataan "Jumlah suatu bilangan rasional dan

bilangan takrasional adalah tak asional'l pembuktian kita menunjukkan bahwa -R' tidak

benar, maka berartiR benar.Kadangkala, untuk melakukar, pembuktian kita memerlukan cara lain yang dikend

denganlndrrksiMatematis,y*gp"d"kesempataninit idakakandibahaskarenaterlalu,irr.i- n * tetapi, pembah"on v*g selengkapnya kami berikan pada l:mpiran A'l'

REIXJCTIO AD ABSURDTJIU .

Pembuktian dengaq koatrakdiksi dikeaal pula dengan nam a re&tctio ad abatfun\

*p"nl apa,ysn; tekh dikttals'4 obh pakar matemetika besar G'H' Hardy:

-Rcducti,oadabsurdumyansssrsatdieenangiolshEuclid,adalahmerupakan

,.ninr" paling ampuh U"gt p"t" matematikawan' Merupakan Fmbit yaag isuh

tlift "tnpuftiari gambit catur manapun; s€orang pemain catur dapat monawlr'

kan p,iorbanan tebuah bidak ataupun buab ldnnya' rkm tetapi mEt€matiks

wen nenawarkan Permainan"

SoAL-SOAL 1 .1

Anda pasti masih ingat bagaimana mema-

nipulasikan bilangan, tetapi tidak ada salah-

nya untuk mengulang kembali sejenak.

Dalam Soal-soal l'20, sederhanakan seba-

nyak mungkin. Pastikan untuk menghilang-

kan semua tanda kurung dan memudahkan

semua pecahan.

1 . 4 - 3 ( 8 _ t 2 ) _ 6

z. 213 - 2(4 - 8)l

3 . -4[3(-6 + 13) - 2(5 - e) ]

4. 5[- r( '7 + 12 - 16) + 4f + 2

* - ( i + 3 )

i - & - g )

+ t i ( i_* )+* l- i r3-+(*- in#G-+rt *+3V( r +1 )

# - +l l , 34 t r 7 _

i - i + ZtiT-

$. (J, + l3>t"h - .,f;t

16. (,n + ,rt)'n.3{(A - ..fr)t8.2{tX, +./Gt

le. (t + j)- ' �

n (h-* ) 'Sedikit latihan a[abar akan baik untuk ma-hirsiswa kalkulus. Dalam Soal-rcal 2l-34,lakukan operasi yang diminta dan seder-hanakan.

21. (2x - 3)(2x + 3)

22. Qx - 3)'

23. (3x - 9)(2x + l)

24. Gx-+ l l)(Zr - 4)

z| _ _ -

3) r - -- ' t , 5

r f z

1 J .

l 4

5 .

6 .

7 .

8 .

9 .

10 .

l l

12.

Bab I Pendahuluan

2 5 . ( 3 r 2 - r + l ) 2

26. (2t - l )3

2 7 . " - 4x - 2

, - x 2 - x - 67 X = . - - -

x - 3

; 9 . x t - 82 x - 4

2x - 2x2.tu. -.---."-..-.".------'--_

x " - 2 x ' + x

- i t . 1 8 * ! *

6

x 2 + - l x ' x x * 3

, , a ' 2 y 2 y + lq l 1 _ L

'' ' ' 6 Y - 2 ' 9 Y z - l l - 3 Y

, . x ' + x - 6 x 2 + � x - 2

x t - l x ' + 5 x + 6

x 2

. . r - l - x ' � _ � c x + 3I J

39. Buktiksn bahwa rata-ratabuah bilangan terletak di antarabilangan itu; artinya, 6uktikan bahwa

a < b : i 4 < T . u

40. Mana di antardlalu benar jka a 1b?.

( a ) a - 4 < b - 4(c) a2 < ab

yang berikut se.

(b) -a < -D(d) a3 < azb

I

i r

.'l5. Cari nilai masing-masing y4rg ber'ikut; jika tak terdefinisi, katakan demikian.

'1 L Bilangan prima adalah bilanganasli (bilangan bulat positif) yang hanyamempunyai dua bilangan asli pembagi, bilangan itu sendiri dan l. Beberapa bilanganprima yang pertama adalah 2,3, 5,7, l l ,13, 17. Menurut Teorema Dasar Hitunga4,setiap bilangan asli (selain l) dapat kita tri-lis sebagai hasil kali suatu himpunan unikbilangan prima. Misalnya, 45 = 3 . 3 . 5.Tuliskan masing-masing yang berikut seba-gai suatu hasil kali bilangan-bilangan prima.Catatan: Hasil kali tersebut adalah trivialjika bilangan itu adalah prima-yaitu, ihhanya mempunyai satu faktor.@) 2a0 (b) 310(c) l le (d) 5400

-i I Gunakan Teorema Dasar Hitungan(Soal al) untuk membuktikan bahwa kuardrat sebarang bilangan asli (selain 1) dapatkita tulis sebagai hasil kali suatu himpunartunik bilangan prima, dengan masing-masingbilangan prima ini muncul sebanyak bilang.Mgenop. Misalnya, (45)2 = 3.3.3.3.5.5.

' \,+Y. Buktikan bahwa V7 adalah tak.

rasionai. Petuniuk: Andaikan t/T = plq, trmana p dan q adaalah bilangan-bilangan 4gli(bukan I ). Maka 2 = p2 f q2 , sehifigg; 2qf=p2. Sekarang gunalian Soal 42 untuk mene-mukan suatu kontradiksi.

4-1. Buktikan bahwa V5 adalah tak-rasional (lihat Soal 43).

45. Buktikan bahwa jumlah dua bi-langan rasional adalah rasional.

5 5- + -x - l x - 3

(a ) 0 .0 p(c) 8o(e) 80 |

(a) -2 < -20( c ) - 3 < 8(e) 9<33

(b) 8Yr(d) I ^/( f ) o 'o

.16. Perlihatkan bahwa pembagianoleh 0 adalah tanpa arti sebagai berikut:Andaikan a * 0. Jika a/0 = D, makaa = 0.b = 0, yang merupakan kontradiksi.Sekarang cari alasan mengapa 0/0 juga

tanpa arti. r

j7. l{yatakanlah apakah masing-ma-sirg yang berikut benar atau salah.

(b) r > -39(d ) -4> -16(f) -+ < -f3

38. Buktikan masing-masing jika a ) 0,D > 0 .( a ) a < b + - a 2 < b 2

( b ) a < hl 1€ - ) ;a b

46. Buktikan bahwa hasilkali sebuahbilangan rasional (selain 0) dengan sebuah

t

bilangan takrasional adalah takrasional'

Petuniuk: Coba buktikan melalui kontra-

diksi.

- Mana diantara yang berikut rasio-

nal dan mana Yang takrasional?

t 'D,. . f r@ \ t + r f ;@ eJ^6{2)

Apakah jumlah dua bilangan tak'

rasional pasti takrasional? Jelaskan.

qF!}{?i{11:t;-

,3758W/ 2 4

6-564040

$ =,azs

1 , 1 8 11 1 / 13,000

/ r tT

1 19088

201 19

{ f = r , r e r e r e . . .

Tunjukkan bahwa bila bilangan

asli m bukan merupakan bentuk kuadrat

sempurna, maka tfi takrasional'

f] Twiukkan bahwa 16 +l'6 tat-

rasioYial.(b) q375(d) (l + v6)'�0 sJt

Tunjukkan116takrasional.

Tunjukkansional.

bahwa t f ; , - 16 +

bahwa log1e5 takra-

. : :+|**+:€ ' / : ' ; '

.... . ,._:*s *ittl*+ *t,-r+ ia,

*0"r.", ori'."*;;;.t dapat ditulis sebagai, suatu desimal, karena berdasarkan de'

finisi bilangan ini selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika pem-

bilang kita bagi dengan penyebut, kita peroleh suatu desimal.. Misalnya (Gambar I )'

tz: o't

1 : 0,375

l i : t , t t ts te . . .

1: o{2sstr428s7r428s7r ' "

Bilangan-bilangan takrasional dapat juga diungkapkan sebagai desimal-desimal' Sebagai

contoh.

Jz : tgt+2r3s623 ...

J3: t , ' t320508075. . .n : 3,1415926535. ..

Pemyataan desimal suatu bilangan

rasional dapat mempunyai akhir (seperti.<tahm f = 0,375) atau. akan berulang dalam

daur yang ietap selamanya (seperti dalam lf = 1,18 1818 . . .). Percobaan kecil dengan pro'

ses pembagian panjang akan menunjukkan-kepada anda mengapa demikian. (Disebabkan

hanya terJapaisuatu-bilangan berhingga sisa-sisa yang berlainan). Sebuah desimal yang

/- -

Bob I Pendohuluan

mempunyai akhir dapat dipandang sebagai suatu desimal berulang yang angka-angkanya semuanya nol. Misalnya,

: 0.375 : 0.3750000...

Jadi setiap bilangan rasional dapat ditulishan sebagai suatu desimal berulang. Adalah suatukenyataan yang penting batrwa kebalikannya juga benar. Setiap desimal yang berulang mo- Inyatakan suatu bilangan rasional. Ini jelas dalam kasrs suatu desimal berulang (misalnyd,3,137 = 3 1 37/1 000) dan mudah dibuktikan secrua umum.

qj{}uTt')H I (Desimal berulang adalah rasional). Buktikan bahwa

x = 0 , 1 3 6 1 3 6 1 3 6 . . . d a n y = 0 2 7 1 7 1 7 1 7 . . .

menyatakan bilangan-bilangan rasional.

Penyelesaian. Kita kurangkan x dari 1000x dan kemudian selesaikan untuk x.

38

J

i J

1000x

x

999x

x

: 1 3 6 , 1 3 6 1 3 6 . . .

0 ,136136. . .: 136

r36999

Demikian pula,

100Y : 27,17171717 -. .

Y : 0 , 2 7 1 7 1 7 1 7 . . .

99Y :26,9

v _26,9 _269' 99 990

Secara umum, langkah pertama adalah mengalikan suatu desimal berulangz dengan l0r'jika desimal tersebut berulang dalam nratu daur yang memuat m n$a. *?

Pernyataan desimal bilangan-bilangan takrasio-nal tidak berulang menurut suatu daur. Sebalik-hya, suatu desimal tak berulang gasti menyatakansuatu bilangan .takrasional. Sehingga, misalnya,

0,10100100010001. . .pasti nrenyatakan suatu bilangan takrasional.Diagram dalam Gambar 2 meringkaskan apayang telah disampaikan.

Di antara dua bilangan riil spbarang yang berlainan x dan y, terdapotKhuusnyr, bilangan z = (x + y)12 ad,alah bilangan pertengrbea

l0 Kalkulus dan Geometri Analitis Jitid I

antara x dan -v (Gambar 3). Karena terdapat juga sratu bilangan s antara x dan z danbilangan lain r antara z d,m y dan karena argumentasi ini dapatdiulang sampai takterhingga, kita dipaksa mengambil kesim-pulan yang menakjubkan tetapi benar bahwa di antara duabilangan riil sebarang (tidak perduli betapapun dekatnya),terdapat takterhingga banyaknya bilangan riil lain. Ini samaseka-li akan menghapus pemikiran seperti "bilangan yang sedikit

lebih besar daripada 3". Tidak terdapat bilangan yang demikian.Sebenarnya kita dapat mengatakan lebih buryak. Di antara dua bilangan riil sebarang

yang berlainan, terdapat bilangan rasional maupun bilangan takrasional - dan karenanyatakterhingga banyaknya dari tiap jenis.

CONTOII Z. Carilah suatu bilangan rasional dan bilangan takrasional di antara x dan yjika

x = O,31234158. ..y = 431234200...

Pe ny ele saian. Andaikan

z = 0.312341600000.. .w = O.3123416010010001. . .

Maka z adalah rasional (berakhir dengan pengulangan 0), sedangkan w adalah takrasional(perhatikan pola penyisipan 0 yang semakin banyak di antara angka l). Seharusnya jelasb a h w a x < z < w < y .

Satu cara bagaimana matematikawan meme-riksa situasi yang telah dibahas tersebut adalahdengan mengatakan bahwa bilangan rasional dantakrasional keduanya rapat sepanjang garis riil(Gambar 4)- &tiap bilangur.mempunyai tetanggarasional dan takrasional yang cukup dekat dengan-nya - Kedua je nis b ilangan tersebut salin g berkaitantak terpisahk an dan menggeromb ol be rsama-sama.

x x + y y

GAMBAR 3

GAMBAR 4

t

| | l l l l l

Salah satu manifestasi dari sifat kerapatanyang baru saja diuraftan adalah bahwa sebarangbilangan takrasional dapat dihampiri oleh suatubilangan rasional sedekat yang kita sukai. Contoh-nya adalah./ 2 . Barisan bilangan-bilangan rasional|; 1,4; l,4l; l ,4l4; l,4142; l,4l2l; l,414213,.. . .berbaris dan tak dapat ditawar-tawar menuju

J2 (gan,;.l,fr�u 5). Dengan berjalan cukup jauhdalam barisan ini, kita dapat berada sedekat mung-

' kin ke.ri 2 seperti yang kita inginkan.

I l/'r l1,41 |

11414

Bilangan Takrarional

hb I Pendahuluan

SOAL-SOAL 1.2

l tKALKULATOR Di masa yant laru para ilmuwan dan insinyur berkeliarur di kampus9:ngT

'sude'rsle tergantung di ikat pinggangrrya. saat ini mereica mengantongi kaftulatordi sakunya. Jika anda belum mempunyai satail satu dari ahli sihir elektronika ini, kamianjurkan anda untuk membelinya. yakinkan unbrk memperoleh model ilmiah (dengansinus, kosinus, dan logaritma) dan, jika anda m.mpu, kami rekomendasftan versi ylgdapat diprogram. Anda akan menjumpai banyak penggunaan kalkulator dalam buku ini,khunrsnya dalam sOal-soal yang ditandai dengan E.-. Satu kenyataan yang-segera jelas kelihatan adalah bahwa kita tidak dapat memasuk-kan suatu desimal tak berhingga ke dalam sebuah kalkulator. Kalkulator secara eksklusifbekSrj-a

!_engan desirhal yang panjangnya telah ditentukan sebelumnya @;r";"- ;*lr'angkd. Nyatanya, kalkulator hanya menangani bilangan-bilangan rasionat dengan uraian Idesjrnal yang berhenti secara cepat. Sehingga, kita sring harus membulatk- *"tu bilanganuntuk-memasukkannya ke kalkulator, dan jawab yang diberikan oleh kalkulator biasaiyajuga akan dibulatkan. Misalnya, kalkulatoi tidak ahan pemah memakai nilai sebenarnyadarir/2 tetapi harus puas dengan s.uatu hampiran sperti

uE x \414213562

Di sini kita telah memakai lambang e; untuk menyingkat ungkapan ,,secara hampiran samadengan".Nasehat kami adalatr ini: lakukan perhitungan yang mudab tanpa memakai karkulator,

$y.**t" jika ini dapat menghasirkan jawab yang seuenarnya. Msalnya, secara umum kitalebih menyukai lawab Tb.n.Tyl ,i112 "i*' sinus dari zr/3 dibandingkan nilai hasilkalkulatoi 0,8660254. Tetapi, dalari pr.tit*g* yang rumit kami anjurkan penggunaan

kalkulator' Anda akan lihat bahwa kunci 3awabln kami pada bagian akhir buku senng kalimemberika' jawaban yang sebenarny. *"upun hampiran desi.uiy"rrg diperoleh dari peng-gunaan kalkularor.

Dalam Soal-soal l-6, ubah tiap bilanganrasional menjadi desimal dengan melaku-kan pembagian panjang.

1 . 3 2 . +

3 . * 4 . *

s . + 6 . +Dalam Soal-soal 7-12, ubah masing-masingdesimal berulang menjadi suatu hasil bagidua bilangan bulat (lihat Contoh I ).

7. 0,r23r23t23 .. . 8. 0pr7r7r7r7 ...

g. 2,56565656 .. . lo. 3,g2g2g2 . . .

I l. q19999 . . . tZ. O,3ryggg . ..

I 3. Dari Soal-soal I 1 dan 12, Andamelihat bahwa beberapa bilangan rasionaltertentu mempunyai dua uraian desimat

yang berlainan (0,199999... . = 0,200000. dan 0,399999. . . = 0,400000).Bilangan-bilangan rasional mana yangmempunyai sifat-sifat ini?

14. Buktikan bahwa bilangan rasionalsebarang p/q, aengan faktorieasi prima dari4 seluruhnya terdiri dati 2 dan 5, memilikisuatu uraian desimal yang mempunyaiakhir.

15. Carilah eebuah bilangan rasionalpositif dro sebuah bilangan takrasionalpoeitif yang keduanya lebih kecil daripada 0,00001.

- 16. Berapa bilangan bulat positif ter-kecil? Bilangan rasbnal positif terkecil?Bilangan takrasional positif terkecil?

17. Cari bilangan takrasional antara3,14159 dan r (lihat Contoh 2 dan catatbahwa n ='31141592. . .) .

r--. ' t 2

18. Apakah( " - +) Positif' negatif,

atau nol?19. Apakah terdapat bilangan antara

0,9999 . . . dengan angka 9 yang berulang

terus dengan l?

20. Carilah bilangan rasional antara

tl aenean #-21. Apalcah 0,123456'7891011 12l3-

14. rasional atau takrasional? (Anda

seharusnya melihat suatu pola dalam

barisan angka Yang diberikan).

22. @rilah dua bilangan takrasional

Yang jumlahnYa rasionaL

@| Dalam Soal-soal 23-32, cari hampiran

desimal yang terbaik yang dapat dilakukan

oleh kalkulator anda'

zt. (J1+ D,

24. Qfr - ,fri'2s. lr,2r5 - J'iPt5

26. (3,617)- tt2

Kalkulus don Geometi Analitis Jilid i

E Sl. Gunakanlah Pemikiran Yang dk

bahas dalam Soal 33 untuk menghitungx4 - 3xt + 5x2 + 5r - l0 Pada setiaP

nilai.(a) x(c) x

= I ( b ) x = n= 1 3 , 5 3

35. Suatu bilangan D dinamakan

batas atas ilari suatu himpunan bilangan

S bila x ( D untuk setiap x di S. Sebagai

contoh 5, 6,5 dan 13 adhlah batas atas

d a r i h i m p u n a n S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . A n g k a

5 merupakan batas atas terkecil dari S.

Demikian pula 1,6, 2 dan 2,5 adalah batas

atas dari himPunan tak-terhingga

r = i t , 4 , r , 4 9 . t , 4 9 9 , 1 , 4 9 9 9 . . . j , d i

mana 1,5 aclalah mcrupakan batas atas

terkecil. Tentukan batas atas terkecil dari

setiap himPunan berikut:

(a) s = { - to, -e, -6, -4, -2}

( b ) S = { - 2 , - 2 , t , - 2 , r r , - 2 , l l t ,- 2 , 1 1 1 . . . ]

(c ) s= {z ic ,z .qq ,2 .q4 ,2.4444,. . . j

( d ) . s = { l - i , l - * ,l - i , I - i , . . . j

( e ) S = { x : . r = ( - l f + l / n , n b i l a n g a nbulat positif ]; yaitu, S adalah himpunan

scmua bilangan r Yang berbentuk x =

(-lf + l/n, dengan n adalah bilangan

bulat positif.

(f) S= {x:xz 1 2, r adalah bilangan

rasional ].

i6 Aksiomt KelengkaPan untuk

bilangan-bilangan riil menyebutkan: Se-

tiap himpunan bilangan-bilangan riil yang

memiliki batas atas, mempunyai.sebuah

batas atas terkecil berupa bilangan riil'

(a) Tunjukkan bahwa pernyataan terse-

but di atas, salah bila kata riil diganti

dengan rasional.

(b) Apakah pernyataan tersebut di atas

akan benar atau salah bila kata riil

diganti dengan asli?

Contoh: Bilangan-bilangan riil R adalah

satu-satunya himpunan bilangan-bilanganyang sekaligus memiliki sifat medan, sifat

urutan, dan sifat kelengkaPan.

" , !En- lB"" --{7--

Jt$l + Jw-\' (/i{rf - $8

.^ (6,34 x 10?)(5,23 x 106)*'' ----421;

ron

30.(0,00121)(5,23 x l0-3)

6,16 x 10-

t ; J t , f + z + t

.:. X@ - D,tic l f f Perhatikanbahwa

2 x 3 - 7 x 2 + l l x - 2 :

l ( 2 x - 7 ) x + l l l x - 2

Untuk menghitung suku di ruas kananuntuk x = 3, tekan tomboltombol berftutpada sebuah kalkulator aljabar logika.

2 E ] 3 E 7 E E 3 E n E 8 3 E l 2 E

Gunakanlah pemikiran ini untuk menghi

tung ungkapan yang diberikan dalam tiap

kasus.(s,) x = lt( c ) x = 1 1 , 1 9

(b) r = 2,15

, . ' . P r : t ! ' : ; a n , a ; ' r

Menyelesaikan suatupersamaan(misalnya,3x - 17 = 6 atau *2 -, - 6=0)merupaka{satu tugas tradisional dalam matematika; hal ini penting dalam kuliah dan kami anggapanda ingat bagaimana mengerjakannya. Tetapi hal yang hampir sama pentingrya dalamkalkulus adalah pengertian penyelesaian ketaksamaan (misalnya, 3x - l1-{-6 atau x2 - x- 6 > 0). Menyelesaikan zuatu ketaksamaan adalah mencari semua himprman bilangan riflyang membuat ketaksamaan berlaku. Berbeda dengan persamaan, di mana himpunanpemecahannya secara normal terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilanganberhingga, himpunan pemecahan suatu ketalaamaan biasanya terdiri dari. suatu keseluruhanselang bilangan atau, dalam beberapa kasrs, nratu gabungan dari selang-selang yang dem$kian.

i i

I f--""t- ,1".--l ..1.-".l ".1.." L---r-- 2 0 1 2 3 4 5 7

-1 6

( - 1 , 6 ) = l x : - 1 ( x < 6 )

. t t

I I -L.J. " l - . ,1-.1- 2 0 1 2 3 4 6 7-1 5

t - 1 , 5 1 = { x : - l - < x ( 5 )

Penulisan Himpunan

{ x : a < x < b }

{ x : a < x c o }

{ x : a c x < b }

{ x : a < x c o }

{ x : x c o }

{ x : x < o }

{ " , " > " }

{ ^ , " > r }

R

'' ,.ai i: Beberapa jenis selang akan muncul de-lam pekerjaan kita dan kami akan memperkenal-kan istilah dan cara penulisan khusus untuk selangini. Ketaksamaan ganda a < x < D memerikanselang terbd<a yang terdiri darl semua bilanganantara a dan b, tidak termasuk titk-titik ujunga dan b. Kita nyatakan dia dengan lambang (c,b)(Gambar l) Sebaliknya, ketaksamaan a < x < bmemerikan selang tertutup yang berpadanan,yang mencakup titik-titik ujung c dan D. Ini di-nyatakan oleh [a, b] (Gambar 2) Tabel I berikutmenunjukkan sejumlah besar kemungkinan danmemperkenalkan cara penulisan kita.

Penulisan Selang Grafik

b, bl

la, bJ

la, bl

la, b1

l- *, bl

l- *, bl

la, -)

la, *l

(- - , -)

a b

****4-b

b:-1-**.:.'a

"- ..4./

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid Il4

MENYELESAIKAN KETAKSAMAAN Sama halnya seperti dengan persamaan, proseduruntuk menyelesaikan ketaksamaan terdiri atas pengubahan ketaksamaan satu langkah tiapkali sampai himpunan pemecahan jelas. Alat utama adalah sifat-sifat urutan dari Pasal 1� l.Ini berarti bahwa kita dapat melaksanakan operasi-operasi tertentu pada suatu ketaksamaantanpa mengub ah himpunan peme cahannya. Khusumya :

1. kita dapat menambahkan bilangan yang tama pada kedua pihak stntu ketaksama'aN

2. kita dapat mengalikan kedua pihak suatu ketaksamaan dengan sudtu bilanganpositif;

3. kita dapat mengalikan kedua pihak dengan watu bilsrgnnegatif, tetapikemudi-an kita harus membalikkan arah tanda ketaksamaan.

CONTOH I . Selesaikanlah ketaksamaan 2x - 7 14x - 2 dan perlihatkan grafik himpunan

penyelesaiannya.

Penyelesoian.

- 3 : o - 1 o 1 2 3

G r={,, ,>=}}GAMBAR 3

Grafik tampak dalam Gambar 3.

CONTOH 2. Selesaikan -5 < 2.x + 6 <4.

2 x - 7

2x

-2x

X

< 4 x - 2

< 4x * 5 (tambahkan 7)

< 5 (tambahkan-4x)

> -Z ftalikan dengan -1)

< 2 x * 6 < 4

<2x <-2 ( tambahkan-6)

I

Penyeleuian.

I r!_!____l____.!___!___!. I I- 7 - 6 L - - 4 - 3 - 2 r - O I- 5 - 1

t i ' - )=1,, - {< '<-r} - i l

GAMBAR 4 _.7

Gambar 4 memperlihatkan grafiknya. I

Sebeium menangani ketaksamaan kuadrat, kita tunjukkan bahwa suatu faktor linear

berbentukx-aadalahposi t i funtukx-cadalahposi t i funtukx>adannegat i funtukx < .r. lni berarti bahwa hasil kali (x - a)(x - b) dapat berubah dari bernilai positif men'jadi negatif, atau rbaliknya, hanya pada a alav b. Titik-titik ini, pada mana suatu faktor

adalatr nol, disebut titik-titik pemecah. Titik-titik ini merupakan kunci untuk menentukan

himpunan pemecahan dari ketaksamaan kuadratis atau tingkat lebih tinggi.

CO\ tOH .l Selesaikanlah ketaksamaan kuadrat x2 - x (�6.

Pen.rrlc,uiatt Sebagaimana dengan persamaan kuadrat, kita memindahkan semua sukubukan nol ke salah satu ruas dan faktornva.

x 2 - x < 6

f - x - 6 < 0 (tambrtrkan- 6)

(x - 3)(x + 2\ <0 (faktorkm)

L

Bab I Pendahulwrt

Kita lihat bahwa - 2 dan 3 adalah titik-titik pemecah: titik-titik ini membagi garirllmenjadi t iga selang (-.o, -2I (-2,3), dan (3, oo). Pada tiap selangini,(x - 3Xr *bertanda tetap, yakni selalu positif atau selalu negatif. Untuk mencari tanda ini dalam tiselang, kita pakai titik-titik uji - 3, 0, dan 5 (sebarang titik pada ketiga selang terseluakan memenuhi). Hasilnya tampak di bawah.

Informasi yang telatr diperoleh diringkaskan dalam setengah bagian atas dari Gamb1r 5,Kita simpullian bahwa himpunan pemecahan untuk (x - 3Xx + 2) < 0 adalah selang(-2,3) Grafiknya diperlihatkan dalanr setengah bagian bawah deri Gambar 5. I

Titik-titik pemecah

II

{ - } I{+ )I

Ii

l - '-3

1 3II

oTitik-titik uji

III

5

-2

l-2' 3l

GAMBAR 5

CONTOH 4 Selesaikanlah 3x2 - x - 2 > O

Pen-Yelesaion Karena

3 x 2 - x - 2 : ( x - l [ 3 x + 2 ) : 3 ( x - l ) ( x + 3 ) ]titik-titik pemecahan adalah -] dan l. Titik-titik ini, bersama-sama dengan titik-titiktqii- 2, O, dan 2, memberikan informasi yang diperlihatkan dalam Gambar 6. Kita simpulkan

* bahwa himpunan pemecahan dari ketaksamaan terdiri dari titik-titik yang berada dalamselang (-.o, -3) atau (1, co). Dalam bahasa himpunan, himpunan penyelesaian adalahgabungan (dilambangkan oleh U) dari dua selang ini; yaitu, (- @, -3) u (1, co). I

{ + ) (0) ( - )

a

r -ffi*(--,4"(',-)

CAMf!AR 6

_J

15r :.:: ,\"4etri Anolitis i;li ' l

Ci)t'iToH 5. Selesaikanl.h t;]

2 g.

?ert1.deuwn. Kecenderungan untuk mengalftan kedua pihak dengan 1s +2 *'geta menim-

bulkan dilema, karena x + 2 mun8kin positif atau negatif. Haruskah kita membalikkan

tanda ketaksamaan atau membiarkannya demikian?. Ketimbang mencoba menguraikan

masalah ini (yang akan berarti memecahnya menjadi dua kasus) kita amati bahwa hasil

bag (x -l)/(x + 2) hanya dapat berubah tanda pada titik-titik pemecah dari pembilang

dan penyebut, yaitu pada I dan - 2. Titik'titik uii - 3,0, dan 2 menghasilkan informasi

yang diperagakan dalam Gambar ?. Iambang rz menunjukkan bahwa hasil bagi tak terde'

iiniti ai- 2. Kita simpulkan bahwa himpunan penyelesaian edalah (- cn, -2) u [1' oo).

Perhatikan bahwa - 2 tidak berada dalam himiunan penyelesaian karena hasil bagi tidak

terdefinisi di sana. Di lain pihak, I diftutkan karena ketaksamaan sahih di l. +

(+ ) (u ) ( - l (0 ) (+ l

( - - , -21 u [1, F)

CAMBAI{ 7.

CONTOH 6. Selesaikanlah < 1 .

Penvelesian. Tuliskan kembali ketaksamaan secara beruntun sebagai

2 x - 5x - 2

- 2

2 x - 5 'x - 2

< 0

2 x - 5 - ( x - r t-

- ' t l

x - z

x - 3 - n, - 2 3 u

Kemudian lanjutkan seperti dalam Contoh 6. Ringkasan yang diperlihatkan dalam Gam-bar 8 menglrasilkan himpunan penyelesaian (2,31 . g

{u) ( - } (0} (+}

r r , ' 1 1\ !

2 3CA"VBAR 8.

CONTOH 7. Selesaikanlah x1 - 5x2 + 4x ( 0.

Penyelevian. Persemaan tingkat fga xt - 5x2 + 4x.difaktorkan sebagai x(x - lXx - 4),

sehingga terdapat tfa titik pemecah -0,1 dan 4-yang membagi 8ari9 riil menjadi empat

Bab I Pendahaluan

sehng. Bilamana kita menguji selang-selang ini, kita peroleh informasi dalam

Himpunan penyelesaian adalah ( - co, 0] u [l' 4]

(+)( - l (o) (o) ( - ) (0) (+)I r r l l l l l l l

0 t

0 1

ANl#t\i{ ij

{+} (o) (-) (o} {-) (0} (+)l l l l l l l l

- 1 1 3

UAMBAR IO

SOAL.SOAL 1.3x - j

1I

{ 1

CONTOH 8. Selesaikanlah (x + lXx - lf (x - 3) <0'

Penyelewfun. Titik-titik pemecahan adalah -1, l, dan 3, yang membagigarisriilmenjadi

empat selang, seperti diperlihatkan dalam Gambar 10. &telah pengujian selang'selang ini,

kita dapatkan bahwa himpunan Penyelesaian adalah [-1, l] U [1,3]; yaitu' selang

I - 1 , 3 1 . I

(a) (-4, l)(c) (-4,t](e) [, oo)

(b) t-4, ll(d ) [ -4 , l )(f) (-o, -al

1. Tunjukkut masing-masing selangberikut pada garis riil

, . 4 x - 7 < 3 x * 5 ( -

4 . 2 x + 1 6 < x + 2 5

i . 7 x - . 1 ( 1 0 x + 4

r r 6 x - 1 0 > 5 x - 1 6

? . 1 0 x + l > 8 x * 5 I' - 3 x * 5 > 1 x + 1 7

|

' - 6 < 2 x 4 3 < - l

1 . . - 3 < 4 x - 9 < l l

\ i - 2 < I - 5 x 3 3 ' ' b u - \ * ' ,

1 2 . 4 < 5 - 3 x < 7 ! j : l o t l

1 3 " 2 + 3 4 < 5 x + 1 < 1 6

14. 2x - 4 < 6 - 7x < lx + 6

i 5 . 1 2 * x - 1 2 < 0

1 6 . x 2 - 5 x * 6 > 0

1 7 . 3 x 2 - l l x - 4 < 0 ,

1 8 . 2 x 2 + ? x - 1 5 > 0

n

r 3 '

2. Gwrakan cara penulisan Soal Iuntuk memerikan selang-selang berikut.

( a ) #2 t

? t t r t l l l\ v / t - 2 - t o I 2 3 4-3

<"1 4 -2

t a r #-1 3

Dalam tiap Soal 3-34, nyatakutlah hirn-punan penyelcseian dari kctaksamaan yangdiberikan dalasr cara pcnulissn dang dansketsalcan grafftnya.

/

r,,19. 2x2 + 5x - 3 > 0 'lJ

2 O . 4 x 2 - 5 x - 6 < 0

v - ! 521. -:--:--: <o

z x - |

2 2 . 2 , - 3 r o i x * ,x + l ?

z t . ! < s

z + . | < z

2*" 4-

.'aeF..

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

3 3 . x 3 - 5 x 2 - 6 x < o j

3 4 . x 3 - x 2 - x + l > 0

tt: Carilah semua nilai x yang mems-nuhi kedua ketaksamaan s&cara serentak(rimultan).

(a) 3x + 7 > ldan2x + I < 3(b) 3x + 7 >r'l dan 2x * | > -4( c ) 3 x + 7 > l d a n 2 x + l < - 4

NiqnO rmua nilai r yang meme-nuhi palhg rdfit lrtr dari dua ketak'samaan,( a ) 3 x + 7 > l s t r u 2 r + l < - 5(b) 3x+ 7< I e tan 2.x+ I < -8( c ) 3 x + 7 < l E t r u 2 x + l > - 8

3l Tcntukan x, dan nyatakan jawab-

annya dalam notasi selang (interval)'

(a) (x* fxr '12x -7) )x2 - I(b) x2 -2x2 ) I(c) (x2 + t)2 -7G2 + t) + lo < o

38. Selesaikan I *x + x2 + x3 +. . . . + x e e < 0 .

l l l l3 9 . P e r s a m a a n

f = R r * E * E

menyatakan hambatan total R dalamsuatu rangkaian listrik yang mengandungtiga hambatan Rr, Ru dan R3 dihubung-kan secara paralel. Bila l0 < Rt < 20,20 < R2 d 30, dan 30 <R2 ( 4Q tentu-kan batas harga untuk R.

Fl

x i - e

t x 4 I2 5 . _ a < 4

r / l

z e . - ! - , > zx + )

2 7 . 4 - 2 < 2x * 4

, v -_ |

28.-:-----> |x - J

29. (x + 2'y(2x - 1)(3x + 7) > 0

30. (2x + 3)(3x - lxx - 2) < 0

2( 1Zx + 3)(3x - l)'(r - 5) < o

32. (x + 5)(x + 2\2(2x - l) > 0

1.4 Ni la i Mut lak, Akar Kuadrat , Kuadrat

Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus dan pembaca perlu terampil dalam

bekerja dengannya. Nilai mutLk suatu bilangan riil r, dinyatatcan oleh lxl, didefinisikan

sebagai

l x l - x j & a x } O

t x l : - x j i k a x < 0

Misalnya, 16l : 6 , l0 l : O Aan l -51 : - ( -5) : 5 .

Definisi dua-cabang ini patut dikaji secara seksama. Perhatikan bahwa ini tidak me'

ngatakanbahwal-xl :xfcobalahx=-5untukme[hatsebabnya)'Adalahbenarba6wa

lil setatu taknegatif;adalah benar juga5ahwa | -x | : lxl'

Bab I Pendahuluan l 9

Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah sebagpi jarak (tak-\berarah). Khususnya, lxladalah jarak antarax dengan titik asal. Serupa, lx - cl adalalrjarak antara x dengan c (Gambar I ).

a

t l

t 3 - ( - 2 ) t : t - 2 - 3 t : 5

l t l l t l- 2 - 1 4 1 2 3

l x - e ; = ; 3 - r 1 .

GAMBAR tq''^nfir'

SIFAT SIFAI Nilai mutlak berperilaku manis dalamtidak begitu baik dalam penambahan dan pengurangan.

perkalian dan pembagian, tetapi

(.s.I L__l_l___l____!_! |

- 4 \ - 2 - l 0 1 2 . 4-3

l x l ( 3

-r r \ | | r I r 1:___l :- 5 - 4 t - 2 - 1 0 1 2 \ 4

KETIDAKSAMAAN YANG MENYANGKUTNILAI MUTLAK J ika h l ( 3 , maka xharus secara sekaligus lebih kecil dari 3 dan.lebih besar dari - 3; yaitu - 3 < .t < 3.Berlainan jfta lxl > 3, makax < -3ataux) 3 (Gambar 2) Ini merupakan kasus-kasuskhusus dari pernyataan-pemyataan umum ber-ikut-

- f x f < c + - a < x < a

l x l > a + x < - a a t a u x > 4

-3

l x l > 3

GAMBAR 2

1

Sifat-sifat nilai muthl .

2.

labl = lal lbll s l _h llDl tDt

k + D [ q k l + l D llo - bl> l fdl- lDl l

3.4.

(ketaksamaan segtlga)

T _|

2n KalkulusdanceometriAndt, *n'

- . ,' Kita dapat menggunakan fakta ini untuk menyelesaikan ketaks.tnlT yTg t"*Tngk.l: I

nilai mutlak, karena fakta tersebut memberikan cara untuk menghilangl(an tanda nrlar Imutrak. I

COf.ff OH t. Selesaikan ketaksamaan lx - 4l ( 1,5 dan perlihatkan himpunan penyele' I

saiannya pada garis riil. I

Penvriesaiai, Dari pernyataan kotak pertama dengan x digantikan oleh x - 4, terlihat Ibahwa

l x - 4 1 < 1 , 5 < + - 1 , 5 < x - 4 < 1 , 5

Bilamana 4 ditambahkan pada ketiga anggota ketaksamaan yang belakangan, diperoleh

2,5< x < 5,5 . Grafiknya diperhatikan dalam Gambr 3.

t r ti.t J=*.1*-I---L-o I 2 : 3 4 5 ' 6 7

l x - 4 1 < 1 r 5

(;AMBilf.

Ada cara lain untuk melihat masalah ini, dan inisama pentingnya. Iambang lx - 4l menyatakanjarak antara x dengan 4. Jadi mengatakan lx - 4r( 1,5 sama saja dengan mengatakan bahwaiarakantars x dengan 4 hrang dai 1,5. Bilangan-bilangan x yang mempunyai sifat ini adalah bi-langan-bilangan antam 2,5 dan 5,5, yaitu 2,5< x < 5 , 5 . P

Pernyataan-pernyataan dalam kotak yang diperagakan tePat sebelum Contoh I tetap

shih dengan ( dan ) masing-masing diganti oleh 5 dan 2. Dalam contoh berikutnya

diperlukan pernyataan yang kedua dalam bentuk ini'

ct{}F;oH . selesaikan ketaksamaan l3r - 5l ) I dan perlihatkan himpunan penyele-

saiannya pada garis riil.

lt*ttt,,ttr$fiutr. Ketaksamaan ini dapat ditulis secara berurutan sebagai

3x - 5 < -1 atau 3x - 5 > I

3 x S 4 a t a u 3 x > 6

4x <

, a t a u x > 2

Hirnpunan penyelesaian berupa gabungan dua selang: yaitu himpunan

yang diperlihatkan dalam Gambar 4.

( - - ,%l u[2,- ] )K

GAMBAR4

(--' ilu [z' -)

Bab I Pendahulun

Bila kita s4mpai pada definisi "epsilon, delta" dari limit dalam Bab 2, kita akan perlumembuat manipulasi seperti yang digambarkan dalam dua contoh berikut. Dalam abjadYunani, delta dan epsilon masing-masing adalah abjad yang keempat dan kelima dan se-cara tradisional digunakan untuk menggantikan bilangan-bilangan positif kecil.

Andaikan e (epsilon) adalah suatu bilangan positif. Buktikan bahwa

l x - 2 1 < l 5 x - 1 0 1 < e

,tan

2 l < L - ef

l 6 x - 1 8 1 < e

5 l r - 2 l < s

l 5 l l x - 2 1 < e

l 5 ( x - 2 ) l < e

l 5 x - l 0 l < e

(kalikan dengan 5)

( 5 1 : 5 )

( l a l l b l : l ab l )

< s ( l a b l : l a l l b l )

E.2 ftafikan denganf)

€

+

E+

5

€

€

F

,;:r!l ; Andaikan s suatu bilangan positif. Carilah bilangan positif 6 (delta) sedemi'

kian sehingga

l x - 3 1 < 6 + l 6 x - l 8 l c e

l6(x - 3) l

6 l x - 3 l

< + l x - 3 1

Karenanya, kita pilih 6 = t'|6' Secara mundur, terlihat bahwa

l x - 3 1 < 6 : + l 6 x - 1 8 1 < e

r u ? = l x l !

Hampir semua mahasisra akan ingat pada rumus kuadrat. Penyelesaian untuk ax2 + bx + c

= 0 diberikan oleh

a.... . | .f r. - .setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya, dua,

akar kuadrat dari 9 adalah -3 dan 3; dua akar dari 100 adalah -10 dan 10. untuk a > 0,

f"*U*u .;7. di*but akar kuadrqlulg4qa dari-grrang menunjukkan akar kuadrat tak-

*- . r i i i " i i a ' . Iad i , tg : 3O.nV'( -1Ot ' : y l00: 10. Dua akarkuadratdar iT adalah

;7. ioail;ilJ i.n., *.nutiskan .,/G -:

X1;cukupy46 : 4. Berikutsebuah ke-

nyataan penting yang bermanfaat untrik diingat'

r " *''tF

Kalkuhts dan Geometri

Bilangan d= b2 -4oc dinamakan di*rininmdaripersamaankuadrat y2, + bx *c=0'

Persamaan ini mempunyai a* i"*"U"n riil bila d > 0' satu jawaban riil bila d + 0' dan

tidak memiliki jawaban riil bila d ( 0'

DenganRumusru"o,.t,denganmudahkitadapatmenyelesaikanketaksamaan.ke.taksamaan kuadrat termasuk yang mudah difaktorkan'

cONToH5. Sclesaikan x2 -2x - 4 < 0'

Penyelesciari, Dria penyelesaien dari xz - ?x - 4 : 0 adalatt

- - 2 - J 4 + 1 6 : t - r f r x - r , 2 4xr: ---T-

de

X 2 : : l + \ f r x 3 , 2 4

Sehinggr

x2 - Zx - 4 : (x- xrXx - xz) :(x - 1 + /S1x - I - JSI

Titik-titik pemecatr L - ,fr den I + u[ mymbrgi garb riil tt"'1di ti$selang(Gambar 5)'

Bilamura kitr mengujinya dengan titik'titik uji - 2' O' &n 4' didapatkan bahwa himpunan

p". i l * i - ; , tk;- x lq<gadaleh[ l - ' f r ,1 +15] ' :

#- - t - 3

[ t -Js , r+ ' /6 ]CAMBAR 5

Sambil lalu kita manyebutkan bahwa jke n genaP drn c >: !' mrka lsnbrrrg 'fa

s6lu menunjuldcan aku taknegrtif te+r dari a. Bfumana n gutdil. hlnys tcrdrPrt srtu

akar riilke+deric,rlitunjr*kanolehlembang ti'UAi {* : 2.Xn = 3' dltt

tr14: -2.

KUAIIRAT Bcralih ke kuedrat, kita porhetikan bahwa

Ini berasal dari sifat lallb | : l&1.

lx l2 * x2

Apakah operasi pengkuadratan irernpertahankan ketaksantaat? Secara umum,^jawab'

nya adaluh tidal<. Misalnya, -Q < 2, ietapi (-3)t > 22. Sebalikny a,2 {3 dan22. 132 '

Jika kit4 bekerja dengan bilangln-bilangan taknegatif, maka a < b € oz . 62.'ftlahsatu varian dari'bentuk ini adalah

Bab I Pendahuluon

Dalam Soal-soal l-12, carilah himpunanpenyelesaian dari ketaksamaan yang dibe-rikan (lihat Contoh I dan 2).

- 1 l r x I9 l ; + r l < 4

Dalam Soal-soal 13-16, selesaftan ketak-samaan kuadrat yang diberikan denganmenggunakan rumus kuadrat (lihat Contohs) .

1 3 . 2 x 2 - 5 x - 4 < 0

1 4 . 3 x 2 * x - l > 0

1 5 . 4 x 2 * x - 2 > 0" / i 6 ) x 2 + 2 x - 5 < o

Dalam Soal-soal l7-2O, bukutcan bahwa

implikasi yang ditudukkan adalah benar(lihat Contoh 3).

. f 7 . l x - 3 1 < 0 , 5 + l 5 x - l 5 l < 2 J

( F . )1 , + 2 l< 0 ,3 + l4x + 8 l < l , /\_!/

Untrrk bukti fakta ini, lihat Soal29.

CONTOH6. Selesaikanketaksamaan l3x + l l< 2lx - 6l '

Penyebviotr. ietaksamaan ini lebih zukar diselesaikan dibandingkan contoh sebelumnya,

karena terdapat dua himpunan tanda nilai mutlak. Kita dapat bebas dari keduanya

dengan memakai hasil dalam kotak yang terakhir.

l 3 x + l l < 2 l x - 6 l o l 3 x + l l < l 2 x - l 2 l

<+ (3x + l)2 < (2x - l2)2

<> 9x2 + 6x + I < 4x2 -48x * lzt4

< + 5 x 2 + 5 4 x - 1 4 3 < 0

€ (5x - l l [ x + 13)< .0

i

Titik-titik pemecah untuk ketaksamaan kuadrat ini adalah - l3 dan t; titit-titit ini mem-bagi garis riil rnenjadi tiga selang (-co,- l3) (-13, $),dan ($,oo).Bilamana kita memakaititik-titik uji -14, 0, dan 3, kita hanya nrbnemukan titik-titik di dalam (-13, + ) yang me-menuhi ketaksamaan tersebut,

soA

I

af.

3.

/:

l x + l l < 4

l 3 x + 4 1 < 8

l x Il - - 2 1 < 6l r I

l 2 x - 7 1 > 3

l 4 x + 2 1 > 1 0

l x - 2 1 < 5

l 2 x - 7 1 < 3

8 . l 5 x - 6 l > I

@+t l>z

Ot:-,1'"0

t

4.

l r . l z * l l ' rI x l

lxl.< l.yl nr- x' < f

24

r S . l x - 2 1 < ; + l 6 x - l 2 l c e) E

F . l * + 4 1 < : + l 2 x + 8 1 < e

Dalam Soal-so al2l-24. carilah 6 (tergantung

pada e) sedemikian sehingga implikasi yang

iib"rikutt adalah benar (lihat Contoh 4)'

2 1 . l x - 5 1 < d + l 3 x - l 5 l c e

2 2 . ] x - 2 1 < 6 + l 4 x - 8 1 < e

2 3 . l x + 6 1 < 6 - l 6 x + 3 6 1 < e

' a 6 : 1 Y + 5 1 < 6 + l 5 x + 2 5 1 < e

Dalil- Soal-so al 25-2S,selesaikanlah ketak-

samaan-ketaksamaan tcrsebut (lihat Con-

toh 6).

t d . l x - 2 l < 3 l x + 7 l ' "

2 6 . l z , x - 5 l < I ' r + 4 l

71. z lzx - 3 l < lx + lo l

6)r* - t l < 2 lx + 6 l

29. Buktikan lrl < l-vl + x' < Y'dengan memberikan alasan untuK trap

langkah di bawah.

l x l < l Y l + l x l l ' x l < l x l l Y l+ l * l ' < l v l t

. + x 2 < y '

d a n l x l l y l < l y l l y t

SebaliknYa,

x r < y 2 + l " l t < l - v l '

- l x l t - l f ' l t < 0

+ ( l x l - l y l X l x l + l Y l ) < 0

+ l x l - l Y l < o

+ l x l < l - v l

30. Gunakanlah hasil Soal 29 untuk

membuktikan bahwa

o < a < b + . , / i . , . f r

31, Gunakan ketaksamaan segitiga un-

tuk memperlihatkan tiap ketaksamaan ber-

ikut.

( a ) l a - b l < l a l + l b l( b ) l a - b l > l a i - l b l( c ) l a + b + c l < l o l + l b l + l c i

*o^*r#ffiia'/!. Gunakan ketaksamaan segtlga

aan iakta bahwa0 < lal < lbl-l l lbt<Ulaluntuk mengembangkan rangraian ketak'

samaan berikut , .I r l l l l l l

l F * * t , t u l < ; t+ l * 14 * r= 1 * t

f/. f"ttit* bahwa (lihat Soal 32)'

l x - 2 1 l x l + zl x ' � + 9 1 - 9

3| Buktikan bahwa

l x z + 2 x + 1 1 ' , .l x l < 2 + l - - _ _ _ . - l < l )

| - \ - + 1 |

3f. Buktikan bahwa

l x l < l - l x ' + | x 3 + i x 2 + t x + * l < 2

1&. futtif* masing-masing yang ber-

ikut.(a ) x <x2untuk x <0 a tau x > I

( b ) " t < x u n t u k 0 < x < l

3 ? . B u k t i k a n a * 0 - a 2 + l l a 2 > 2 .

Petuniuk: Purdang (a - 116t2.

38iBilangan I @ + D) dinamakan

rata-rata, atau nilai ratr'rrta oritmetis

antara o dan b. Tunjukkanlah bahwa nilai

rata-rata aritmetis dari dua bilangan ada

di antara kedua bilangan itu, dengan

membuktikan bahwa

a < b + o . ! - ! . 6

3f. Bilangan tfr| dinamakan nilai

rata-rata geometris dari dua bilangan po-

sitif c dan D. Buktikan batwa

0 < a < b - o . j o b . b

40. Untuk dua bilangan Positifa dan

D, buktikan bahwa 16T ( |

(a + D)' Ini

merupakan bentuk paling sederhana dari

ketaksamaan yang sangat dikenal dengan

nama: ketaksamaan nilai rlta'rata geome-

tris - nilai rata-rats aritmetis.

41. Tunjukkan bahwa di antara

semua segi empat dengan keliling p' bujur

sangkar memiliki luas yang paling besar.

Petuniuk: Bila a dan D merupakan pan-

jang sisi-sisi suatu segi empat dengan ke-

liling p, maka lrrasnYa ab, dan untuk

bujur sangkar luasnYa adalaha2 = l(a + b)l2l 2.Sekarang l ihat Soal 40.

/ 2 6

GAMBAR4

GAIIIBAR 5

Ini disebut rumur jrak.

CI)NTOII l. Carilah jarak antara

(a) P(-2,3) den 0(4, - l)(b) PQf2,.f3) a* e(n,n)

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

RUMUS JARAK D"ngan menggunakankoordinat, kita dapat memperkenalkan sebuahrumus sederhana untuk jarak antara dua titftpada bidang. Ini didasarkan pada teoremaPythryorar, yang mentatakan jfta s dan bmerupakan ukuran dua kali zuatu segitigasku-siku dan c merupakan ukuran sisi miring-nya (Gambar 4) qraka

Sebalknya, hubungan antara tiga sisi segitigaini hanya berlaku untuk pgitfua siku.sftu.

Sekarang pandang dua titik P dan e se-barang, masing-masing dengan koordinat-koordinat (xt, yt) dart (xr, y2\ Bersama de-ngan R - titik dengan koordinat-koordinat(x* tr) - P dan Q ad,atah titik.titik sudutsebuah rgitiga siku-siku (Gambar 5). panjangPR dan Rp masing-masing lx2 - xrl danlyz - yrl. Bilamana teorcms pythagorasditerapkan dan diambil akar kuadrat utamadari kedua ruas maka diperoleh ungkapanberftut untr* d(P,o), jarak (takberarah)antaraP dan Q.

!r l

-+, 11

GAMBAR 3

lxz- xr I

Rumug tetap berlaku walaupun dua titik tcr*but tcrbtak pada garis mendatar atauf;rrb tcgd( ysng ssm& Jadi, jank mtanP (-22) dan Q(6,2) adalah

PERSAMAAN LINGKARAN Dari ruinus jarak ke per-samaan suatu lingkaran hanyalah sbuah langkah kecil.Iingkrrrn adalah himpunan titik.titik yang terletakpada suatu.jarak tetap (ari-jari) dari suatu titik tetap (pu-sat). Misalnya, pandang lingkaran dengan jari-jari 3 berpusatdi (-12) (Garnbar 6). Andaikan (xy) many*akan titik se-barang pada lingkarur ini. Menurut rumus jarak,

J6TVTC=TffiGAMBAR6

Bilemanr kodua ruas dikuadratkan, kita peroleh

(x + l)2 +'O - 2f :9

png disebut persamaan dari lingkaran ini.

secara lebih umum, lingkaran berjari-jari r dan pusat (ft,k) mempunyai persamaan

Ini disbut Frsrnrrn b*u rbu$ lhgkann.

coNfi)H 2. carilah persamaan lingkaran berjui-jari 5 dan pusat (1, -5). cari juga koor-dinat-koordinaty dari dua titik pada lingkuan ini dengan koordinat x adalah 2.

knyelcsln Pereamaan yang diinginkan adalah

(x - 1)2 + (y + 5)2 :25

untuk memenuhi tugas yang kedua, kita masukkan x = 2 ddam porsemam drn r-lesaikan untuky.

Q - D'+ Cv + 5\2 :25

0 + 512 :24

. y+5 : t J i l' / : - 5 t J n : - S t 2 \ / 6

I

f,I28 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

Jika dua kuadrat pada persamaan dalam kotak diwaikan dan konstantanya digabung'

kan, persamaan akan berbentuk

x 2 + a x + Y z + b Y - - c

Ini mengundang pertanyaan apakah setiap persamaan dari bentuk yang belakangan meruPa'

kan persamaan suatu lingkaran. Jawabnya adalah ya (dengan suatu perkecualian yang jelar),

seperti yang terlihat dalam contoh berikut.

Dalam contoh ini, diperlukan untttk melengkapi kuadrat, suatu Proses penting dalam

b:rn1r2p hal. Untuk rnelengkapi kuetlrat dari x? t ax, tambahkan (al2)' - Sehingga

x ' - l 2 x * 6 2 : ( x - 6 ) '

" 2 / r \ ' / l Vr ' * E r + l t ; : l x + ; l

J \ - / \ ) /

CONTOH 3. Buktikan bahwa persamaan

x 2 - 2 x * y ' + 6 y : - o

merupakan sebuah lingkaran, dan tentukanlah pusat serta jari-jarinya.

Penyelevian. Kita selesaikan kuadrat untuk ungkapan baik dalam x mauPun y denganmenambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan.

( x 2 - 2 x ) + ( y 2 + 6 v ) : - 6

( x2 - 2x+ l ) + (Y ' + 6Y+ 9 ) : - 6 + I + 9

( x - 1 ) ' + ( y + 3 ) ' : 4

Persamaan yang terakhir adalah dalam bentuk baku. Ini merupakan persamaan ling-karan dengan pusat (1, -3) dan jari-jari 2. Jka sebagai hasil proses ini, suatu bilangannegatif muncul di ruas kanan, persamaan tidak akan menggambarkan suatu kurvaapa pun. Jika muncul nol, persamaan akan menggambarkan titik tunggal ( I , -3). I

RUMUS TITIK TENGAH Ada dua tit ikP(xr, yt) dan Uxr' yr) di manaxl (x2, l ihat

Gambar 7: '\r + +('r2 -'rr) : ' t ' + j 'r ' - j 'x'

GAMBAR 7

: | .x, + |x2

-\ l + .x2

L̂

Ini berarti bahwa titik (xt + xz)lZ berada ditengah-tengah antaraxl dar^ x2 pada sumbux,dengan demikian titik tengah M dari potongangaris PQ memiliki absis (x 1 + x2)12 dan dengancara yang sama dapat kita buktikan bahwa

Or + lz)12 adalah merupakan koordinat dariM.Maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

II

- - - - . 1

hb I Pendahuluan

CONTOH 4. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai potongan garis dari (1,3)ke (7. I I ) sebagai garis tengahnya.

Penyeleuian. Pusat lingkaran terletak di tengah-tengah garispusat mempunyai koordinat (l + 7)12 = 4 dan (3 + ll)12 = 7peroleh dari rumus jarak sebagai berikut

tengahnya sehingga titikPanjang garis tengah, di

[ (7 - l ) '+ (a l - 3)21trz = [36 + 64l r t2 :19

berartijari-jari lingkaran itu adalah 5. Jadi persamaan lingkaran:

(x - 4)' + b, -7\2 :2s

SOAL-SOAL 1

Dalam Soal-soal 1-6, rajahlah titik-titikyartg diberikan dalam bidang koordinatdan kemudian carilah jarak antara titik-titik tersebut.

l . ( 2 , - 1 ) , ( s r 3 ) 2 . ( - 2 , 1 ) , ( 7 , 1 3 )

3 . (4 ,2 ) , (2 ,4 ) 4 . ( - r ,5 ) , (6 , 3 )

12. Carilah panjang ruas garis yanglmenghubungkan titik-titik tengah ruas-ruas AB dan CD, di mana A = (1 ,3),B = (2,6), C = (4,1 ), dsn D = (3,4).

Dalam Soal-soal 13-18, carilah persgmaanIingkaran yang memenuhi persyaratan yangdiberikan.

13. Pusat (1, -2), jar i jar i 6.

14. Pusat ( '3, 4), jar i- jar i 8.

15. Pusat (2, -l), melalui (5, 3).

16. Pusat (4,3), melalui(6,2).

17. Garis tengah AB, dengan A =( -1 ,2 ) dan I = (3 ,8 ) .

18. Pusat (3,4) dan menyinggung sum-bu x .

19. Cari koordinat y dari dua titikpada lingkaran dari Soal 13 dengan koor-dinat x adalah 3 (lihat Contoh 2).

20. Cari koordinat x dari dua titilpada lingkaran dari Soal 14 dengan koor-dinat y adalah 8.

I

(t,232:4,rs3),1",,h)

(2;t r: - 3,42), (5,16; 4,33)

7t Buktikanlah bahwa segitiga yang

titik-titik sudutnya adalah (5,3), (-2,4),

dan (10,8) adalah samakaki.

f &'\ Tunj ukkanlah bahwa segitiga yang

t\ildifi'k sudutnya adalah (2, -4), (4,0),

dan (8, -2) adalah siku-siku.

,. Tit ik-t i t ik (3, - l) dan (3,3) ada-

lah titik-titik sudut suatu bujur sangkar.

Berikan tiga pasang titik-titik sudut lainyang mungkin.

ld. Carilatr titik pada sumbu x- yang

berjarak sama dari (3,1) dan (6,4).

ll. Tentukan jarak antara 1-2,3)dengan titik tengah potongan garis yangdigabungkan (-2, -2) dan (4,3).

E s .t r 6 .

/

Dalam Soal-soal 2l-26, cari pusat danjari-jari lingkaran dengan persamaan yang

diberikan (lihat Contoh 3).

/ 1 . x 2 + y 2 + 2 x - 1 0 Y + 2 5 : 0."4\ .

( 9 , + y 2 - 6 Y : 1 6

2 3 . x 2 + Y 2 - l z x + 3 5 : 0

?A. x ' + Y2 - lOx + 10Y: o

? 5 . 4 x 2 + 4 Y z + 4 x - l 2 Y + l : 0

? . 6 . 3 x 2 + 3 Y ' - 2 x + 4 Y : l

27 . T i t i k - t i t i k (2 ,3 ) , (6 ,3 ) , (6 , -1 ) ,

dan (2, -1) adalah sudut-sudut suatu

buj ur. sangkar. Carilah persamaan-persama-

an lingkaran dalam dan luar.-,

.28. Sebuah tali secara ketat menge-

lilingi dua lingkaran dengan persamaan-persamaan (x - l)2 + (y + 2)2 = 16 dan

Q + D2 + O - l0)2 = 16. BeraPakahpanjang tali ini?

E zp. Kota-kota d'i A, B" dan c merupa-

kan titik-titik sudut sebuah segitiga siku-

siku, dengan sudut siku-siku di titik sudut

B. AB dan BC jtga meruPakan jalan,

masing-masing dengan panjang 214 dan

l?9 mil . Sebuah pesawat terbang dapat

menerbangi rute AC, yang bukan suatu

jalan. Biaya mengirim suatu barang ter:

tentu dengan truk $3,7 I tiaP mil dan

dengan pesawat terbang $4,82 tiap mil'

Putuskan apakah lebih murah mengirim

barang tersebut dari A ke C dengan truk

atau pesawat terbang dan cari biaya total

memakai metode Yang lebih murah'

E SS. Kota I berjarak 10 mil ke arah

hilir dad kota .,4 dan berscberangan dari

sungai yang lebarnya 1/z mil Mary Crane

akan lari dari kota ,4 sepanjang sungat

sejauh 6 mil, kemudian berenang secara

diagonal ke kota B. Jika ia lari dengan ke-

cepatan 8 mil f iam dan berenang dengan

kecepatan 3 milfiam, berapa lama waktu

yang ditempuhnya dari kota A ke kota B?

Anggap laju arus daPZt diabaikan'

31. Buktikan bahwa titik tengah sisi

miring ' sebarang segitiga siku-siku ber-

jarak sama dari ketiga titik-titik sudutnya'

32. C-ar\ Persamaan lingkaran Yang

melingkupi segitiga siku'siku yang titik-

titik sudutnya adalah (0,0), (8'0), dan

(0 ,6) .

Kalkulus dan Geometri Analitis lilid 1

33. Perlihatkan bahwa dua lingkaran

x 2 + , _ , _ 4 x _ 2 y - l l = 0 d a n

x 2 + y 2 + z o x - l 2 y + 7 2 : o t i d a k

berpotongan. Petuniuk: Cari jarak antara

pusat-pusatnYa.

/. Bagaimanakah hubungan antara

o, i dan c Yang harus diPenuhi bila

s2 * ax + y' * by * c= 0 meruPakan

persamaan lingkaran?

g 35. Tentukan punjang dari tal i ber-

silang pada Gambar 8 Yang diPasang

erat di sekeliling lingkaran ('_�2)' +

O_D2 = 9 dan (x_10)2 + Cy_8)z = 9 .

Catatan: Diperlukan sedikit pengertian tri-

gonometri untuk menyelesaikan soal ini'

/ N

GAMBAR 8

3.C Tunjukkan bahwa himPunan

titik-titik yang jaraknya ke (3,4) dua kali

lebih besar dari jarak ke ( l , l ) membentuk

suatu lingkaran. Tentukan pusat dan jari-

jari lingkaran tersebut.

37. Teorema PYthagoras menYebut-

kan bahwa luas :4, B dan C dari segi

empat-segi empat pada Gambar 9 meme-

nuhi ,4 * B = C. Tunjukkan bahwa sete-

ngah lingkaran dan segitiga sama sisi juga

memenuhi persamaan tersebut.

GAMBAR 9

G8. oltetatrui sebuah lingkaran C

dan sebuah titik P yang berada di luar

lingkaran tersebut. Apabila potongan

garis PT menyinggrrng C di T dan adagaris lain yang melalui P dan pusat C me-

motong C pada M dalt N. Tunjukkan

bahwa (PMXPM) = en' -

l r

Pendahuluan

1.6 Garis LurusDalam banyak hal garis lurus adalah yang paling sederhana dari semua kurva. Danglapbahwa semua pembaca memahami dengan baik mengenai konsep ini dengan melihat pdda.sebuah tali tegang atau mengamati sepanjang sisi sebuah penggaris. Dalam banyak kasus,

GAMBAR 2

marilah kita sepakati bahwa dua titik - misalnya,A(3,2) dan 8(8,a) y ang diperlihatkan dal{mGambar I - menentukan sebuah garis unik /angmelalui mereka. Dan mulai saat ifli, kita gunakbnkata garis sebagai kata lain untvk garis hrils.

Sebuah garis adalah sebuah obyek geometri.Bila ditempatkan pada suatu koordinat bidang,garis ini tentulah mempunyai persamaan, sebagai-mana halnya lingkaran. Bagaimana kita mencaripersamaan suatu garis? Untuk menjawabnya, kitamemerlukan pengertian yang mendasar tentang ke-miringant.

KEMIRINGAN GARIS pandang garis dalarnGambar l. Dari titik u{ ke titik B, terdapat suatukenaikan (perubahan tegak) 2 satuan dan suaturun (perubahan mendatar) 5 satuan. Dikatakanbahwa garis itu mempunyai tanjakan{. Umumnya(Gambar 2) untuk sebuah garis melahii A(xr. yr)d,an B(x2, y2), dengan x1 * x2, kemiringan zdari garis itu didefinisikan oleh

- * kuqik* =#

Anda tentu segera bertanya. Sebuah garismempunyai banyak titik. Apakah nilai yangdiperoleh untuk kemiringan tergantung kepaddpasangan mana yang dipakai untuk z4 dan B,!Segitiga-segitiga sebangun dalam Gambar 3memperlihatkan bahwa

! ' z - l ' t - l z - Y " tX'z - X't Xz - Xt

Jadi, titik-titik A, dan B, akan memenuhi se_bagaimana halnya A dan B. Tidak menjadi ma-salah apakah .,{ terletak di kiri atau di kananB. karena

l r - l z _ l z - ! rX t _ X z X z _ X t

')Di sini kemiringan menerjemahkan pengertian "slope"; para penulis lain menggunakan ?'tanjakan""lereng".

I lxz, yz l

8 ( x 2 , y 2 l

7,, Kalkulus dan Geometri Analitis Jitid t

Yang pokok adalah bahwa koordinat-koordinat dikurangkan dalam urutan sama di pem-bilang dan penyebut-

Kemiringan rn adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti digambarkan pada Gam-bar 4. Perhatikan bahwa garis mendatar mempunyai kemiringan nol, garis yang naik kekanan mempunyai kemiringan positif, dan garis yang jatuh ke kanan mempunyai kemiring-an negatil Semakin besar kemiringannya, semakin curam garis tersebut. Konsep kemiring.an untuk Saris teSak tidak mempunyai arti, karena akan menyangkut pembagian oleh nol.

. Karenanya, kemiringan untuk garis tegak dibiarkan tak terdefinisi.

BENTUK KEMIRINGAN'TITIK Pandang lagi garis pada awal pembicaraan kita; ini di-gambar-ulang dalam Gambar 5. Kita ketahui bahwa garis ini:

l. melalui (3, 2);2. mempunyai kemiringan {.

6

5

4

3

4 - | 3m = , - r = ,

2 ( 4 , 2 1 ( 6 , 1 )

.= r -a r=o-4 -3 -2

5 6 7 8 9

GAMBAR 4

GAMBARS

Ambillah sebarang titik pada guis itu, misalnya titik dengan koordinat (x, y). Jika kita gu-nakan titik ini dan titik-titik (1,2) untuk mengukur kemiringannya, ritapasil memperoieht - yaitu,

v - 2 2x - 3 ' 5

,f

Garisgaris clengan aneka k€miring6n

rI

hb I Petdahulwn

atau, setelah dikalikan clenganx - 3,

! _ 2: ?(x _ 3)Perhatikan bahwa persamaan yang terakhir ini dipenuhi oleh semua titik pada garis, boleh (3, 2). Lebih lanjut, tak satu pun titik yang tidak terletak pada garis tersebutmemenuhi persamaan ini.

Apa yang baru saja dilakukan dalam contoh kita, tentunya dapat dilakukan secartumurn- Garis yang melalui titik (tetap) @ r I ) dengan kemiringan m mempunyai porsa,maan

Ini disebut bentuk kemirirryan-titik dari persamaan sebuah garis.Pandang sekali lagi garis dari contoh kita. Garis itu melalui (g,4) seperti halnya (3,2).

Jika dipakai (8,4) sebagai (x, ,y r) kita peroleh persamaan

y - 4 : 3 ( x - 8 )yang kelihatannya berbeda dari

! - 2 : rz(x - 3)Namun, keduanya dapat disederhanakan menjadi Sy - Lx = 4; keduanya sama.

CONTOH l. Cari persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-l).

Penyelevion. Kemiringan m adalah (-l -2)l(6 + 4): -+.sehingga, dengan mengg*na-kan(-4,2) sebagai titik tetap, kita dapatkan persamaan

y - 2 : - r%(x + a)

I

] J

I

GAMBAR 6

BENTUK KEMIRINGAN PERFOTONGAN.Persamaan suatu garis dapat dinyatakan dalambermacam-macam bentuk. Andaikan diberikan:.kemiringan m untuk suatu garis dan D perpo-tongan sumbu y (artinya), garis memotongsrmbu y di (0, D), seperti diperlihatkan dalamGambar 6. Dengan memilih (0, D) sebagai (xu,i,, )dan menerapkan bentuk kemiringan-titik diper-oleh

y - b : r r ( x _ 0 )

yang dapat ditulis-ukuran sebagai

fffi.HYang belakangan ini disebut bentuk kemiringan perpotongan.

Apa menariknya hal ini, tanya anda? Setiap kali melihat persamaan yang dituliskanseperti ini, kita mengenalinya sebagai garis dan dengan segera dapat mengetahui kemiring-an dan perpotongan /-nya. Misalnya, lihat persamaan

3 x - 2 v + 4 : 0

Kolkulus dan Geometi Analitis Jilid I

Jika diselesaikan untuk y, diperoleh

y ' i x + 2

Ini adalah per$maan garis dengan kemiringan ] dan perpotongan-y 2.

PERSAMAAN GARIS VERTIKAL Garis-garisvertikal t idak sesuai t lalam penrbahasan di atas;garis seperti ini t idak mempunyai kerniringan.Tetapi tetap mempunyai persamaan, yang sa-ngat sederhana. Garis dalam Gambar 7 mem-punyai persanlaan x = 1, karena sebuah tit ikberada pada I,aris irka dan hanya jika metne-nuhi persamaan ini. Penamaan sebarang garistegak dapat dilukiskan dalam bentuk

GAMBAR 7

di mana k adalah suirtu konstanta. Patut dicatat bahwa persamaan suatu garisvertikal da-pat dituliskan dalam bentuky =*.

BENTUK Ax + By + C = 0 Akan sangat menarik untuk mempunyai suatu bentuk yangmeliput semua garis, termasuk garis-garis tegak. Ambillah misalnya,

y - 2 : - 4 ( x + 2 )

_ J

Ini dapat dituli*ulang (dengan memindahkan semuanya ke ruas kiri) sebagai berikut:

( l ) 4 x + y * 6 : 0

( 2 ) - 5 x * I * 3 : 0

( 3 ) x + 0 y - 5 : 0

Sernuanya berbentuk

t " , ,

t

yang disebut persamaan linear umum. Hanya memerlukan pemikiran sekejap untuk rnelihatbahwa petsamaan sebarang garis dapat dibuat dalam bentuk ini. Sebaliknya, grafik persama-an garis umum selalu berupa sebuah garis (lihat Soal 43).

GARISGARISSEJAf AR Jika dua garis mempunyai kemiringan sama,maka keduanya

seja jar . Jadi , y =2x+2dany=2x+5 merupakangar is-gar isseja jar ;keduanyamemPunyai

-Tr?

( 1 )

(2)

(3)l : 5 x

, ' - )

Bab I Pendahuluan

kemiringan 2.Garis yang kedua adalah 3 satuan di atas yang p€rtan(lihat Gambar 8).

Demikian pula, garis"garis denganan -Zx + 3y + 12 = 0 dan 4x - 6.y = 5 adalahsejajar. Untuk melLhut ini, selesaikan frersama-iu'r-perstunaan ini untuk y $aitu, r:ari bentukkemiringan-perpoton gan); and.a peroleh masin g-nrasing: y = ;x - 4 dan y = ;x --... Keduanyamempunyai kerniringan i; garis-garis ini sejajar.

Kita boleh meringkaskan dengan menyara-kan bahwa dua garis tak-vertikal aCaloh sejaiariika dan hanyu lika keduunya mentpunyai ke-miringan yang sama.

GAMBAR 8

CONTOH 2. Carilah persamaan garis yang melalui (6,8), yang sejajar dengan garis yangmempunyai persamaan 3x - Sy = 11.

Penyelcuian. Bilamanakita selesaikan 3x - 5y: ll untuk./,kita peroleh

y : * x - *

dari mana terbaca kemiringan garis adalah $. Persamaan garis yang diinginkan adalah

y - 8 : i l " - 6 )

atau, sama dengan tr - 5Y + 22 = 0.

GARISGARIS TEGAKLURUS Apakah terdapat persyaratan kemiringan yang sederhanayang mencirikan garivgaris yang tcgaklurus? Ya; dua garis tak-vertkal saling tegaklurus

iika dan hanya iika kemirtgan kdutnya vling berkebalikan negatif. Untuk melihat me-

GAMBAR9

yakni, jika dan hanya jika

ngapa ini benar, pandang dua garis tak'vertikal/, dan /2. Tanpa mengurangi generalitas, kitadapat mengangg,apnya berpotongan di titil( asalkarena jika tidak dernikian, kita dapat mengge-sernya sedemikian rrrpa sehingga tidak mengtt-bah kenriringannya. Andaikan Pr (xr, J'r ) suatut r t rk pada /1 dan P2 \xz, !z) t i t ik pada /2, se-pcrti diperlihatkan rl it lartt Gamtrar 9. lr{enurutTeorerua Pythagoras dan kebalikannya (Pasal

1.5) Pr OP2 nlerupakan sudut siku-siku jika

dan heurya jika

ld(P t, o)12 + fde 2, o)f ' : ld(P b P ))2

( x?+y?)+ (x t r

I

P2lx2, Yzl

/

36

Setelah penguraian dan penyederhanaan, persamaan

Kalkulus dan Geometri Analitis lilid I

ini menjadi ?s1 x2 + 2yr yz = 0, atau

! t

X 1

Sekarang y1/x1 adalah kemiringan dari /1, sedangkan y2lx2 zdalah kemiringan dafi 12.Sehingga Pt OPz adalah sudut siku-siku jika dan hanya jika kemiringan-kemiringanduagaris tersebut berbanding terbalik satu sama lain.

Garisgaris y : 2x dan y : -tx saling tegaklurus. Demikian 1uga2x - 3y : 5dan 3x + 2y = -4, karena setelah menyelesaikan persamaan-persamaan ini untuk y, terlihatbahwa garis yang pertama mempunyai kemiringan t dan yang kedua mempunyai ke-miringan -].

CONTOH 3. Carilah Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis dengan persama-an 3x + 4y = 8 dan 6x - lqy =7 ,yang tegak lurus dengan garis yang pertama.

Penyelesian. Untuk mencari titik potong dua garis ini, persamaan yang pertama dikalikan-2 dan hasilnya ditambahkan pada persamaan yang kedua.

- 6 x - 8 r ' : - t O

6 x - l O y : 7_ l g v : _ 9

y : +Dengan mensubstitusi y. = | dalam salah sntu pers:rmaan awal akan menghasilkanr = 2. Titik potongnya adalah (2,|).

Bilamana pers:rmaan yang pertama diselesaikan untuky (membuatnya dalam ben-tuk kemiringan-perpotongan), diperoleh y : -*x * 2. Garis yang tegaklurus pa-danya mempunyai kemiringan |. Persamaan garis yang diminta adalah

v - i : { " - 2 )

soAL-soAL 1.6

X Z

!z

I

Dalam Soal-soal l-8, cari kemiringan darigaris yang mengandung dua titik yang diberikan

J . (2 ,3 )dan (4 ,8 )

2. (4, t) dan(8,2)

3 . 1 -4 ,2 ) aan(3 ,0)

4. (2, -4) dan(Q -6) '

5. (3,0) dan(O 5)

6 . ( -6 .0 )dan (0 .6 )

LqJ 7. (-1,732:5p14) dan(4,315;E175)

E t. tn,..f) d^n(r,il2, \//t)

Dalam Soal-soal 9-16, cari sebuah persama-an untuk tiap garis. Kemudian tuliskanjawab anda dalam bentuk Ax + By + C : 0.

. 1, Melalui (2,3) dengan kemiringan4.

10. Melalui (3, -4) dengan kemiring-an -2 .

kb I Pendahuluan

ll. Dengan PerPotongan-J, 4 dan ke-miringan -2.

12. Dengan perpotongan-/ 5 dan ke-miringan -2.

13. Melalui (2,3) dan (4,8).

14. Melalui (a, l) dan (8,2).

15 . Me la lu i (2 , -3 ) dan (2 ,5 ) .

16. Melalui (-5 ,0) dan (-5 ,4).

Dalam Soal-soal 17-20, carilah kemiringandan perpotongan-y untuk tiap garis.

17 . 3Y: )Y - 4

1 8 . 2 Y : J a 4 )

19. 2x + 3Y :6

20. 4x + 5y: -20

21. Tuliskan persamaan garis melalui(3, -3) yang:(a) sejajar garis .v : 2x I 5;(b) tegaklurusgaris Y :2x * 5;(c) sejajar Eatis2x + 3Y - 6'(d) tegaklurusgaris 2r + 3y = 6'(e) sejajar garis yang melalui (-1,2) dan

(3 , - I ) ;(f) sejajar garis x : g;

lurus garis x = 8 . &

untuk mana garisri nilai k

Ii t l r

1Dalam soal-soal 27-3O, cari koordinat- 'l

koordinat titik potongnya. Kemudian tulis-kan persamaan garis yang melalui titiktersebut tegaklurus pada garis yang ditulis.kan pertama (l ihat Contoh 3).

27. ax + 3y : t- 3 x + y : 5

28. 4x - 5Y :8

2 x * Y : - 1 0

D . 3 x - � 4 Y : J2 x + 3 Y : 9

3 O . 5 x - 2 y : 52 x + 3 y : (

Dapat diperl ihatkan bahwa jarak d dari

t i t ik (xr,.yr) ke garis Ax + BY + C = 0adalah

Gunakan hasil ini untuk mencarijarak darititik yang diberikan ke garis yang diberikan

+ { < - t , 2 ) ; 3 x + 4 y : 6

32. (4, -l); 2x - 2y + 4 :

33 . ( -2 , - l ) ; 5y : . 12x * I

3 4 . ( 3 , - l ) ; y : 2 x - 5

Dalam Soal 35 dan 36, cari jarak (tegak-1lurus) antara garisgaris sejajar yang diberikan. Petunjuk.' Pertama cari sebuah titikpada salah satu garis.

fI l s . l , + 4v :6 ,3x * 4Y: 12J

--\

(-ro]sr -r t2v : 2,5x + r2v : 7\---l

37. Sebuah bulldozer bernilai $120.000dan setiap tahun mengalami depresiasi se-:best 87o dari nilai awalnya. Cari sebuahl

rumus untuk Y, yaltu nilai bulldozer se-'telah t tahun.

38. Grafik dari jawaban untuk Soal 37berupa sebuah garis lurus. Berapa kemiring-annya, dengan anggapan sumbu /- hori-sontal? Tafsirkan kemiringan tersebut.

: t

4x(a)

= 5 r

!

bmelalui t i t ik (2,1);sejajar sumbu!;sejajar garis 6x - 9y = 19;mempunyai perpotongan-x dan y sa-ma;

(e) tegaklurus pada garis y -2 = 2(.r + l) .

23. Tuliskan persamaan garis yang me-

latui (0-4) yang tegaklurus pada garis

t + 2 = - * ( " - t ) .

24. Cari nilai k sedemikian sehinggag a r i s k x - 3 y = 1 0 :

(a) sejajar garis.-v : 2x * 4;(b) tegaklurus garisY = 2x + 4;(c) tegaklurus garis 2x + 3Y = 6.

25. Apakah (3,9) terletak di atasatau

di bawah garisY = 3x - l?

26. Buktikan bahwa persamaan garis

dengan perpotongan-x adalah c * 0 danperpotongan- yadalah b * 0 adalah

! * L : ra b

3!. Pengalaman menunjukkan bahwaprodtksi telur di daerah R tumbuh secaral inear. Pada tahun 1960 sebanyak 700.000peti , dan pada tahun 1970 sebanyak820.000 peti. Tulis,kan rumus untuk try'.yaitu banyaknya peti teiur yang.diproduksiz tahun setelah 1.960 dan gunakan rumustersebut untuk meramalkan produksi telurpada tahun 2000.

40. Sebuah peralatan yang dibeli hariini seharga $80,000 akan mengalami de-presiasi secara linear sampai suatu nilaisebagai besi tua seharga $2000 setelah 20tahun. Tuliskan rumus untuk V, yaitunilaiirya setelah n tahun.

41. Andaikan bahwa iaba Pyang dire-al isasikan suatu perusahaan dalam menjualx butir suatu mata dagangan tertentu di-berikan oieh P = 450x - 2000 dolar.(a) Berapa nilai P bilamana .r = 0. Apaart inya ini?(b) Cari kemiringan dari grafik persamaan

di atas, Kemiringan ini dinamakan keun-tungan marjinal. Apa tafsiran ekonominya?

42. Biaya C untuk menghasilkan -x bu-tir suatu mata dagangan teftentu diberikanoleh C = 0,75x + 200 dolar. Tanjakan gra-fiknya dinamakan biaya marjinal. Cari tarl-jakan itu dan berikan tafsiran ekonominya.

43. Buktikan bahwa grafik dari Ax +By + C = 0 selalu berupa sebuah garis (asal-kan,4 dan B keduanya tak 0). Petunjuk:Pandang dua kasus; (1) B = 0 dan (2)B + 0 .

44. Catr persamaan garis yang melalui(2,3) yang mempunyai perpotongan-x dan

/ sama. Petunjuk: Gunakan Soai 26.

45. Perlihatkan bahwa untuk tiap nilaik, persamaan

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

menyatakan sebuah garis yang melaluiperpotongan dua garis 2x - y + 4 = 0dan, a 3! - 6 = O. Petuniuk: Tidak perlu men-cari t i t ik potong (xo,,yo)

45. Cari persamaan garis yang mem-bag i .dua ruas gar is dar i ( -2 ,1 ) ke (4 , -7 )dan yang bersudut siku-siku terhadap ruasgaris ini.

47. Pusat lingkaran luar suatu segitigaterletak pada garis pembagi dua tegaklurusdari sisi-sisi. Gunakan kenyataan ini untukmencari pusat lingkaran luar dari segitigayang titik-titik sudutnya adalah (0,4),(2 ,0 ) . dan (4 ,6 ) .

48. lndaikata (a, b) terletak padalingkaran x2 + y2 = 12. Tunjukkan bahwagaris ar * by = 12 menyinggung lingkaranpada(a, b).

49. Tentukan persamaan-persamaandari dua garis singgung terhadap lingkaran

x2 + y2 = 36 yang melalui ( 12,0). Petun-iuk: Lthat Soal 48.

50. Nyatakanlah jarak tegaklurus an-tara garis.garis selajar y = mx * D dany = mx lalam bentuk m, b dan B. petun-

iuk: Jarak yang diperlukan adalah samadengan jarak antara y = mx dengany = m x + B - b .

51. Tunjukkan bahwa garis yang me-lalui titik tengah dari dua sisi suatu segi-tiga, sejajar dengan sisi ke tiga. Petuniuk:Anda dapat memisalkan segitiganya mem-punyai titik-titik sudut (0,0), (c, 0) dan(b," c).

'-$; Tunjukkan bahwa potongangaris y/ang menghubungkan titik tengahdari sisi-sisi yang berseberangan dari suatusegr empat suatu empat per-

2 x - y * 4 + k ( x + 3 y - 6 ) : a segr panJang.

1.7 Grafik Persamaan

Penggunaan koordinat untuk titik-titik pada bidang memungkinkan kita untuk memerikansuatu kurva (obyek geometri) dengan memakai suatu persamaan (obyek aljabar). Kita me.lihat bagaimana ini dilakukan untuk lingkaran-lingkaran dan garis-garis dalam pasal sebe-lumnya. Sekarang kita ingin memandarrg proses kebalikannya: yaitu menggambarkan suatu

I

?t

I

Bab 1 Pendaha&nn

pergmaan. Crafik suatu perrrmaan dalamkoordinat-koordinat (x,y )nya memenuhigmaan yang benar.

x dan v terdiri ater titft'titlpersamaan - artinYa, membuafirYl

PROSEDUR PENGGAMBARAN GRAFIK Untuk menggambar suatu persamaan -

nya, y : 2xr - x + 19 - kita ikuti prosedur sederhana tiga langkah:

Langkalr l Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaari'

Longkdt 2 Rajah titik'titik tersebut di bidang.

t ' a n s * a h 3 H u b u n g k a n t i t i k . t i t i k t e r s e b u t d e n g a n s e b u a h k u r v a m u l u s ' l

cara terbaik untuk melakukan Langkah I adalah membuat sebuah tabel nilai'nilai. Be'

rikan nilainilai pada salah satu variabel, seperti rnisalnya x, dan tentukan nilai-nilai yapg

berpadanan dari lainnya, dengan menrJaftarkan irasil-hasil yang tersusun rlalanl tabel. i

CONTOH I Gambar grafik p3rsamaan J : x2 - 3.

Penyelcvian. Prosedur tiga langkah diperlihatkan dalam Gambar l '

Langkah 1 gngkah 2Buat 3ebuah daftar Raiah titik-titik itu

n i la i

GAMBAR I

Hubungkan titik-titikitu dengan sebuoh kurva

' mulus

I

tTentu saja anda memerlukan akal sehat dan bahkan sedikit keyakinan. Pada waktu

anda menghubungkan titik-titik yang telah anda rajah dengan sebuah kurva mulus, anda

mengasumsikan bahwa kurva berkelakuan manis diantara titik-titik yang beruntun, yang

merupakan keyakinan. Itulah sebabnya kenapa anda harus merajah titik-titik secukupnya

sehingga garis bentuk kurva kelihatan amat jelas; makin banyak titik yang anda rajah, ina-

kin sedikit keyakinan yang anda perlukan. Selain itu, anda juga harus mengenali bahwajarang sekali dapat mernperagakan keseluruhankurva. Dalam contoh kita, kurva mempunyai

lengan panjang tak terhingga, membuka dengan semakin lebar. Tetapi grafik kita sudah

memperlihatkan seglseginya yang perlu. Inilah tujuan kita dalam penggambaran gafik:

Perlihatkan grafik secukupnya sehingga segi-seginya yang perlu dapat terlihat.

KESIMETRIAN GRAFIK Kita dapat menghemat kerja dan juga menggambarkan grafik

yang lebih tepat jika kita dapat mengenali simetri tertentu dari grafik tersebut dengan me-

meriksa persamaan yang berpadanan. Lihat grafik y = x' - 3,lLW digambar di atas dan

E

y = x z - 3

x Y

-3

-2

- l

01

23

b

1-2

-3-2

1

6

'l4 Kalkulus dan GeometriAnalitis Jitid I

digambar lagi dalam Gambar 2. Jika bidangkoordinat dilipat sepanjang sumbu 7, ke-dua cabang akan berimpit. Misalnya, (3, 6)akan berimpit dengan (-3,6), (2,1) akanberimpit dengan (-2,1) dan secara lebihumum, (*, y) akan berimpit dengan(-r,y). Secara al jabar ini berpadanandengan kenyataan bahwa penggantian .xoleh -r dalam persamaan y = x2_ 3menghasilkan persamaan yang setara.

y = x ' J

GAMBAR 2 Ambil sebarang grafik. Grafik itu si-metris terhadrp sumbu _y bila (x, y) mau-pun (-r, y) terletak pada grafik itu(Gambar 2). Serupa dengan itu, makagrafik dikatakan simetris tcrhadep sumbuy bila (x, y) maupun (x, -y) berada padagrafik itu (Gambar 3). Demikian pula,suatu grafik dikatakan simctris terhadrptitik esel bila baik (x, y) maupun (-x, -y)terletak pada grafik itu (lihat Contoh 2).

GAMBAR 3

Dalam bentuk persamaan-persamaan, kita memiriki tiga pengujian sederhana.

CONTOH 2. Sketsakan grafik dari .I : -x3.

Penyelesrbn. SePerti ditunjukkan di atas, kita catat bahwa grafik akan simetri terhadaptitik asal. Sehingga kita hanya perlu memperoleh tabel nilai untuk x yang taknegatif;kita dapat mencari titik yang sebanding melalui simetri (Gambar 4). I

Dalam menggambar grafik | = x3 , kita memakai skala yang lebih kecil pacla sumbuy daripada sumbu x. Ini memungkinkan untuk memperlihatkan porsi grafik yang lebihbesar (juga mengubah bentuk grafik dengan mempergemuknya). Kami sarankan agar se-

( , , y l

( -

x . v l

F1\ /

v

0

I

2

3

4

0

1a

2764

hb I Pcndahultmn4l

GAMBAR4

belum meletakkan skala pada kedua sumbu, anda seharusnya memeriksa tabel nilai anda.Pilih skala-skala sedemikian sehingga semua atau hampir semua titik-titik anda dapat dirajah dan tetap mempertahankan grafik anda berukuran waiar.

PERFOTONGAN Titik-titik di mana grafik suatu persamaan memotong kedua sumbukoordinat memainkan peranan penting dalam banyak hal. Misalnya, pandang

! : xt _ 2x2 _ 5x * 6 : (x * 2)(x _ lXx _ 3)

Perhat ikan bahway = 0 b i lamana x = -2,1,3. Bi langan-bi langan -2, r ,dan3 d isebutperpotongan -r Serupa, x = 0 bilamanay = 6, sehingga 6 disebut perpotorgan _y.

coNToH3. sketsakan grafik dari y2 - x + y - 6= 0, dengan memperlihatkan semuaperpotongan secara jelas.

knyelesobn. Dengan rneletakkan y = o dalam persamaan yang diberikan, diperolehx = -6, seh-ingga perpotongan-x adalah - 6. Dengan meletakkan x = 0 dalam persamaan,d ipe ro leh y2 + . y - 6 =0 , a tauQt +3 ) ( y -2 )=0 ;pe rpo tongan -yada lah_ 3dan2 .Pemeriksaan kesimetrian menunjukkan bahwa grafik tidak mempunyai salah satu dari tigatipe simetri yang dibahas sebelumnya. Grafik diperagakan dalam Gambar 5. I

GAMBAR 5

2520't5

y 2 - x + y - 6 = 0

42 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilrt I

PERSAMAAN UMUM KUADRAT DAN KUBIK Oleh karena persamaan-persamaan kua-drat dan kubik akan sering digunakan sebagai contoh-contoh dalam pekerjaan selanjut-nya, pada Gambar 6 berikut kami tampilkan beberapa contoh grafiknya.

GA.IIIBAR6

Grafik-grafik persamaan kuadrat bentuknya seperti mangkok dan dinamakan parabol.Bi la persamaannya berbentuk.y = u.2 + bx *catau x=ay2 *by*c denpna#0,grafiknya akan selalu berupa parabol. Pada persamaan pertama, grafik membuka ke atasatau ke bawah sesuai dengan a ) 0 atau a ( 0. Pada persamaan kedua, grafik membuka kekanan atau ke kiri sesuai dengan c ) 0 atau c ( 0. Perlu dicatat bahwa persamaan dalamContoh 3'dapat diambil dalam bentuk a = y2 + y - 6.

PERFOTONGAN ANTAR GRAFIK Adakalanya kita perlu mengetahui titik-titik potongantara dua gafik. Titik-titik ini diperoleh dengan memecahkan kedua persamaan grafiktersebut secara bersamaan.

GRAFIK.GRAFIK DASAR KUADRAT DAN KUBIK

\ l ' / l ' \ l ' t l ^\l-l _ |

I Z]=\y = x z y = - x 2 Y = a , 2 a z + $ x + g Y = a x ' + b x + c

-rv$=axt + bx2 + cx + d y =axs+ bxz + cx + d

a ) O a ( 0

l' l' -- l'ta ta_. lat\l \ l / 1

x = y z V = J , y = y t a t ? u 7 = X i

Y = - x ?

Bab I Pendahuluan 43

CONTOH 4. Cari t it ik-tit ik perpotongan garisy :-2x*2dan paraboly =?x2 - 4x -2dan sketsakan kedua grafik tersebut pada bidang koordinat yang sama.

Penyelevian. Kita harus menyelesaikan dua persamaan itu secara serentak. Ini mudah di-lakukan dengan penggantian ungkapan untuk y dari persamaan pertama ke dalam per-samaan kedua dan kemudian menyelesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.

- 2 x I 2 : 2 x z - 4 x - 2

0 : 2 x 2 - 2 x - 4

0 : 2 ( x - 2 X x + l )

x : - 1 , x : 2

Melalui substitusi, kita temukan nilai-nilai yyang berpadanan adalah 4 dan -2; karenaitu titik-titik perpotongan adalah (-l,a) dan (2,-2\.

Dua grafik tersebut diperlihatkan dalam Gambar 7.

SOAL-SOAL 1

t

Dalam Soal-soal l-18, gambarlah sketsagrafik dari persamaan yang diberikan. Mu-lai dengan memeriksa simetri dan yakinkanuntuk mencari semua perpotongan-x dany.

l . y : - x ' + 4 2 . y : - y 2 + 4

3 . 3 x ' � + 4 y : 0 4 . y : 2 x 2 - x

5 . x 2 + f 2 : 3 6 6 . ( x - 2 ) 2 + y 2 - - 4

7. 4x2 + 9Y2 :36 E. l6x2 * v2': 16

9 . y : x ' - 3 x l 0 . y : 1 r a 1

l yl l ' Y : ; t+ l 12 ' v : v i

13. x3 - y2 :6 14. xa + fa :16

15. y: (x - 2Xx + l)(x + 3)

16.. Y: x(x - 3Xx - 5)

17. y : x21x - 27 18. lxl + lyl : a

y = 2 x 2 - 4 x - 2

TDalam Soal-soal 19-26, gambarlah sketsagrafik dari kedua persamaan pada bidangkoordinat yang sama. Yakinkan untukmencari titik' potong antara dua grafiktersebut (Iihat Contoh 4). Anda akanmemerlukan rumus kuadrat dalam Soal23-26.

1 9 . Y : - x * l

Y = x 2 + 2 x + l

2 O . Y : - x + 4

! : - x 2 + 2 x + 4

2 l . y = - 2 x + l

l : - x 2 - r + 3

22. y : -3x + 15y -- 3x:2.- 3x + 12

E zf. y: l,5x + 3,2y : x2 - 29x

@ U. y :2,1x - 6!

Y : - l / xz + 4 ,3

B x . y : 4 x + 3x 2 + Y 2 = 4

E x . y - 3 x : 1x 2 + 2 x * y 2 = 1 5

27. Carilah jarak antara dua titik

Padagraf ik-Y :3x+' - 2x* l dengankoordinat-koordinat-x adalah -l dan l.

E Zg. Carilah jarak antara titik-titikpada kurva ! = 3x2 - 2x t I Yang ber-

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

padanan terhadap x = I dan x = n, telitisampai empat posisi desimal.

29. Tentukan kesimetrian dan sketsa-

k a n g r a f i k Y - 2 ' + 2 - ' .

30. Tentukan kesimetrian dan sketsa-kan grafik J, -- 2' - 2-'.

tr rt. sketsakan grafik ,r - (l + x3tz)lx

untuk 0 < x < 16 dengan membuat sebuah

tabel nilai-nilai yang ekstensif. Peuniuk:

Hati-hati dekatx = 0.

32. Tuliskan 'kembali persamaan dariSoal 3l sebagai y : llx + Jx. Sekarangsketsakan grafiknya dengan secara ter-pbah menggambarkan grafik y = llx dan

J; pada bidang koordinat yang

sama dan kemudian menambahkan ordinat-ordinat (koordinat-y ).

33. lnformasi apakah yang dapat di-ambil mengenai grafik ! = ax2 * bx * cdari diskrimin an d = b2 - kc? Petuniuk:Gunakan rumus kuadrat dan ambil tigakeadaan iI > O. d = 0 dan d ( 0.

34. Gunakan proses Penggqmbaranpersamaan kuadrat untuk menunjukkanbahwa titik puncak (titik maksimum atau

titik minimum) dari nratu parabola

| = ax2 * Dx * c mempunyai absis -b l2a.Tentukan pula koordinat Y-nYa.

1.8 Soal-soal Ulangan Bab

KUIS BENAR.SALAH

Jawablah dengan benar atau salah masing-masing pernyataan berikut. Bersiaplah untuk

mempertahankan jawaban anda.

l. Sebarang bilangan yang dapat dituliskan sebagai suatu pecahan plq adalah rasionai'

2. Selisih dua bilangan rasional adalah rasional.3. Selisih dua bilangan takrasional adalah takrasiotal' ( .4. Di antara dua bilangan takrasional yang berlainan selalu terdapat suatu bilangan tak-

rasional lain.5. 0,999 . . . (angka 9 berulang) adalah kurang dari l.6. Operasipemangkatan (eksponen) adalah komutasi; yaitu (u^) -- (a^)^'

7. Operasi * yang didefinisikan oleh m * n = m" adalah asosiasi.

Bab I Pendahuhun 45

t. Ketaksamaan-ketaksanraan x (), y <2, dan z<x bersama-samamenunjuk-kan bahwa x: | -- z.

9. Jika .lxl < e untuk setiap bilangan positif e, makax = 0.

rl1I

Jikax dany adalah bilangan-bilangan riil, maka (x - f'X-r - x) < 0' t;

Jika a < b < 0, maka l la> l lb' v

Adalah mungkin bagi dua selalg tertutup untuk mempunyai tepat satu titik perseku-

tuan.Jika dua selang terbuka mempunyai satu titik persekutuan, maka keduanya mem-punyai takterhingga banyaknya titik persekutuan.

Jika x <0. maka .r/x2 : -x.

J ika lx l < IY I ' maka x < ) '

J ika lx l < l f l . maka xo < )o .Jikax dany keduanya negati f , maka l-x + ) ' l : l \ l + l l l '

Adalah mungkin untuk mempunyai ketaksamaan y6ng himpunan penyelesaiannya ter-

diri dari tepa.t satu bilangan.Persamaan -x2 + !-2 + 11x + y : 0 menggambarkan suatu lingkaran untuk setiap

bilangan riil c.20. Jika (a, b) terletak pada garis dengan tanjakan i, maka (a )- 4, h + 3)juga terletak pada

garis tersebut.

1 3 .

14.1 5 .16 .17 .18 .

19 .

2 t .' r1

23.

J{r.aab > 0, maka (a,b) terletak atau di kuadran pertama atau ketiga'

Jika ab : 0'.rnaka (a, b) terletak atau pada sumbu -x atau pada sumbu y'

Jika .TG, ---*, f + () ' , - y,) ' : l rz - .r ,1, maka (xr yr) dan(x2, y2)terletak pada

garis mendatar yang sama.Jarak antara (a * b, a) dan (a - b, a) adalahl2bl.Persamaan sebarang garis dapat dituliskan dalam bentuk titik-kemiringan'

Jika ada garis taktegak sejajar, keduanya mempunyai kemiringan sama.

Adalah mungkin bagi dua garis untuk mempunyai kemiringan positif dan saling tegak-

Iurus.Jika perpotongan-x dan perpotongan-/ suatu garis adalah rasional dan taknol, maka

kemiringan garis tenebut adalah resional.

Garis-garis ax+ y: c dan ax -! :c adalahtegaklurus'( 3 x _ 2 y + 4 ) + m ( 2 x + 6 y _ 2 ) : 6 m e r u p a k a n p e r s a m a a n s u a t u g a r i s l u r u s u n t u k t i a p

bilangan riil m.

SOAL-SOAL ANEKA

24.25.26.1 n

1. Hitung masing-masing nilai untukn = 1 , 2 , d a n - 2 .

( b ) ( n ' - n + 1 ) 2

&derhanakan.

x 2 - x - 2

3. Perlihatkan bahwa rata-rata duabilangan rasional adalah suatu bilanganrasional.

4. Tuliskan desimal berulang4.1282828 sebagai hasil bagi duabilangan bulat.

5. Cari bilangan takrasional antaraj dan 1;.

E e. Hitung (ifJsl-iot - $2)2P,24'

Dalam Soal-soal 1-14, cari himpunan pe-

nyelesaian, gambarkan grafik himpunanini pada garis riil, dan ungkapkan himpun-an ini dalam cara penulisan selang.

(a)

(c)

,

(a)

(, . ;)"

43ln

l \ / I 1 \ - '+ - l l l - - + - l

n / \ m n l( ' *

2r + t

1 /

x * l x - 2

/

6

7 . 6 x I 3 > 2 x - 5

8 . 3 - 2 x < 4 x * l < 2 x + 7

9 . 2 x 2 + 5 x - 3 < 0' l v - |

1 0 . - ^ ' >

0x - 2

ll. (x + 4)(2x - l)'�(x - 3) < 0

12. l3x . - 4 l <6

1 3 . t ' < 2l - x

14. l8 - 3xl > l2xl

15. Andaikan lxl < 2., Gunakan sifat-sifat nilai mutlak untuk memperlihatkan.

l 2 x 2 + 3 x + 2 1r - - - l < uI x ' + 2 1

15. Gambar sketsa segltiSa dengantitik-titik sudut A(-2,6), B(1,2), dan.q5,5), dan perlihatkan bahwa ini menrpa-kan sebuah segtiga siku-siku.

17. Cari jarak dari (3,-6) ke titikujung ruas garis dari A(1,2) ke B(7,8).

18. Cari persamaan lingkaran dengangaris tengahz4 B jitrrzA = (2p) dan B:(10,4)

19. Carilah pusat dan jari-jari lingkar-an dengan persamaan x2 + y2 - 8x + 6y:0.

20. Carilah jarak antara pusat ling-karan-lingk aran dengan persamaan.

i i 'r ; I

It

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

x 2 - 2 x + y 2 + 2 y : 2 d a n x 2 + 6 x + y 2

- 4 v : - 7

21. Tuliskan persamaan garis yangmelalui (-2,1) Yang:(a) melewati (7,3);(b) sejajar 3x - 2y = 5,(c) tegaklurus3x + 4y - 9'(d) tegaklurusy = 4;(e) mempunyai perpotongan-y 3.

22. Perlihatkan bahwa (2,-l),(5,3), dan ( l l , l l ) berada pada garis sama.

Dalam Soal-sozl 23-26, sketsakan grafiktiap p€rsamaan.

2 3 . 3 y - 4 x : 6

A . x 2 - 2 x + y 2 : 3

2 x ' \ jE . y : ; - " = i " ''

x ' * 2 ' \ i

2 6 . x : y 2 - 3L

27. Cari titik-titik perpotongan grafikgrafik dariy = xz - 2x + 4 dany - x= 4..

---1\

{ 28.)Di antara semua garis yang tegaktuffiiOa 4.r - .y : 2. cari satu persamaanyang - bersama-sama dengan sumbu xdan sumbu y positif - membentuk sebuah , ,/segitiga yang luasnya 8.

\ - , "" /d. \ 'L t /

l . -

Vk

a tr i

t**l*

-\*'l;

-L* //1 l l

l / ' � | - ,/* v 1..*., ! rb \ ( ,