1

巧妙＂數＂算法

摘要

在現今，數學的計算為了講求方便與快速，以此一些數學家發明了各式各樣的

速算法，這些速算法不但結合了印度數學，且將從古至今的祕方運用到現今，內容豐富、

多采多姿。而現在這些速算法已被收錄於國高中小的數學教科書課本中，讓我們對這部

分有了極大的好奇，到底速算法到底是如何出現?且為何會那麼便利快速又正確呢？

我們的研究想法如下:

一. 先舉出現在網路中已有的速算法例子，並懂得它的原理。

二. 延伸網路上的例子，將網路上所沒有的找出來，並進行研究且創新。

三. 在我們所找的速算法中，找出它們的共通點，加以連結。

四. 運用所找的速算法，將它帶到生活周遭裡使用，且讓不必要的運算時間減省下來，並

做屬於自己有意義的事。

壹、 研究動機

一、在國一的暑假中，我們參加了學校舉辦的多元智慧營，且欣賞了有關科展的影

片(日本畫線)，看完這個影片的當下我們覺得有關數學的乘法真的好神奇啊!普通的乘法

竟然有那麼快速又正確的方法，因此我們有了濃厚興趣，並對各式各樣的速算法追根究

底且找出它的原理，並且做連結，在推廣出別人所沒有的東西，並且在討論出速算法對

生活周遭又有何貢獻?

二、我們以前在用電腦時，不經意看到有關數學速算法的影片，我們當時看得目不

轉睛、回味無窮，不管是它所用的技巧等，都感覺像看魔術表演一樣，非常精采。看完

後，我們下定決心開始討論有關這類的數學，且想要在研究當中，得知網路上速算法是

2

如何很快地算出來且又正確，另外我們也希望能找出更多沒發現的速算法，並運用在生

活中。

貳、 研究目的

一、 速算原理探討與擴充速算原理的運用與推廣

(一)AXB 型速算法

1.原理探討

(1)十位數字為 1 的兩位數乘積速算法

(2)十位數一樣，個位數字相加為 10 的兩位數乘積

2.推廣創造

(1)十位數字一樣的速算法

(2)十位數字、個位數字不同的速算法

(二)日本畫線

(三)盈數虧數

1.全部虧數

2.全部盈數

3.一盈數一虧數

二、 速算原理的運用與推廣

三、 在生活周遭的速算原理

參、 研究設備及器材

紙、筆、電腦、白板、白板筆

肆、 研究過程與方法

一.了解原理

(一)AXB 型速算法

3

1.十位數為 1 的速算法（以 17 X 15 為例）

(1)當我們算 17x15，印度數學告訴我們可以用(17+5) x10+7x5 這種簡便的方式算出答

案，即前面的數字 17 加上後面的數的個位數字 5 後，乘以 10 再加上兩數中的個位數字相乘

5x7 便可以算出答案。

(2)代數說明：

我們把上述以數學式子取代，令 A= 10+a，B=10+b，將它一般化，可得：

AXB=(10+a)(10+b)

=102+bX10+aX10+ab

= 10(10+a+b)+ab

= 10(A+b)+ab 得證

(3)圖解說明：

(圖一)：將 17 拆成 10+7，15 拆成 10+5

一般化： AXB=(10+a)(10+b)

(圖二)：將綠色畫線部分往上移，並合併就可變成

(10+5+7)X10+5X7=(17+5)X10+35

即 100+10a+10b+ab

=10(10+a+b)+ab

4

(3)討論 1: 17x15 的公式法則可不可以推廣到十位數是 2 甚至 3、4、5…….等？那為何文

獻上面只規定十位數字一定要是 1?

討論結果:可以。因為 17X15=(17+5)X10+5X7 的 17+5 算完後，直接加一個 0 就可以了，但

27X25=(27+5)X20+5X7 的 27+5 算完後，還要再乘以 2，反而比較難算，因此我們可以歸納

出文獻只規定十位數一定要是 1 的原因是因為較容易計算。

(4)討論 2: 那如果將這個公式繼續延伸下去至百位數或千位數以上，有沒有相通呢？

討論結果:我們發現不管是十位數字是 2 以上或是百位數、千位數甚至萬位數……等，只

要有相同的部分就可以使用 AXB=(10+a)(10+b) = 10(A+b)+ab，AXB 型這類的速算法了。

2.十位數相同、個位數相加等於 10 的速算法 (以 54X56 為例)

(1)當我們算 54X56 的時候印度數學告訴我們可以用(5+1)X100+4X6 這種簡便的方式算出

答案，即先將十位數字加 1 後乘以 100，再將兩數個位數字相乘，便可以算出答案，多神

奇阿！

(2)代數說明：

我們把上述以數學式子取代，令 A= 10x+a，B=10x+b，將它一般化，可得：

(10x+a)(10x+b)

=100𝑥2+10ax+10bx+ab =10x(10x+a+b)+ab

=10x(10x+10)+ab

=【x(x+1)】X100+ab 得證

可得 AxB = 100【x(x+1)】+ab

5

(3)圖解說明：

(圖三)54 拆成 50+4

56 拆成 50+6

(圖四) 綠色部分移上去後，合併成 50x(50+4+6)+4x6

(圖五) 個位數加起後(10)進位十位數

，所以變成 5(5+1)x100+4x6

(4)討論: 那麼十位數相同、個位數相加等於 10 的速算法的公式法則跟十位數為 1 的速算法的

公式法則有沒有相通?若有的話為何十位數相同、個位數相加等於 10 的速算法又有成立另一

種公式呢？

討論結果:其實十位數相同、個位數相加等於 10 的速算法也屬於十位數相同這個條件，因此

也可以使用十位數為 1 的速算法這類的速算法，但是 4+6 等於 10，又可以進一位，因此就可

以直接把它簡化，變成 100【x(x+1)】+ab 這麼方便的結果啦！

6

3. 擴充創造十位數字是 1 以上的速算法：

(1)文字說明:

限制:只能 2 個相同十位數字的二位數字。

解法:

1.將任意一個數加另一個數的個位數

2.算出來的十位數字 X 兩個相同十位數字再乘 100，加算出來的個

位數字 X 兩個相同十位數字再乘 10，再加 2 個數字的個位數字的乘

積。

(2)證明十位數字一樣的速算法公式

討論結果:

令(fa)X(fb)=(10x+a)(10x+b) (10x+a+b)=10c+d

=10xX10x+10x(a+b)+ab

=10x(10x+a+b)+ab

= 10xX10c+10Xx+d+ab

=100xc+10xd+ab

(10x+a+b)=10c+d

4.十位數字不同且個位數字也不同的速算法

(1)文字說明

限制: 限定二位數字

解法:

1.將較大的數的十位數字乘以 10 後再乘以較大的數再加另一個

個位數字(要括號)

7

2.算出來的第一點後再加兩數個位數字乘積再減較大的數的 10

乘以兩數十位數互減，及算出答案。

(2.)證明十位數字、個位數字不同的速算法公式

討論結果:

另兩數(A、B)，A=x+a。B=y+b，且 x>y

AXB

=(x+a)(y+b)

=(x+a)(y+x-b+b )-(x-y)(x+a)

=(x+a)(x+b)-(x-y)XA

= (A+b)x -A (x-y) +ab

(二)日本畫線

(1)舉例說明：

2

6

10

8

24

26

8

(圖六)41X26 日本畫線示意圖

以 41X26 為例

步驟 1:41 和 26 分別畫出他們十位數字和個位數字(分隔開來)

步驟 2:分成三區(如圖)，計算交點的數目，算出答案(超過 10 進位)，很神奇吧!(答案 1066)

(2)討論 1: 用了何種原理?

我們發現他跟我們所教的分配律(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 相同

如(圖七)所示:

26X41

=(20+6)(40+1)

=800+20+240+6

=800+260+6

=1000+60+6

=1066

(圖七)41X26 日本畫線示意圖

(3)討論 2:我們發現誰會有拿紙慢慢畫線並慢慢數出數字來啊，因此我們要來發掘為何要有這

種速算法呢?

討論結果:

1.其實這個因跟分配律太類似了，而經我們的討論後，發現其實這並沒有比較好算。

2.但是這個算式可以從代數式子換成幾何，可以讓初步學者或者有閱讀障礙者較容易理解

它。

2

6

10

8

24 26

9

(三)盈數虧數

1.皆為虧數

數字 虧數

97 3

86 14

83 (100-3-14)X1 42 (14x3)

(表一)97X86 盈數虧數示意圖

以 97X86 為例(以 100 為基準，虧是“少多少的意思＂)

由表格得知 97X86=8342

數字 虧數

X-a a

X-b b

X-a-b ab

(表二)皆為虧數代數示意圖

代數分析，得到的公式是(X-a)(X-b)=X(X-a-b)+ab

2.皆為盈數

數字 盈數

103 3

119 19

10

122(100+3+19)X1 57(3X19)

(表三)103X119 盈數虧數示意圖

以 103X119 為例(以 100 為基準，盈是“多多少的意思＂)

由表格可知 103X119=12257

數字 盈數

X+a a

X+b b

X+a+b ab

(表四)皆為盈數代數示意圖

帶數分析，得到公式是(X+a)(X+b)=X(X+a+b)+ab

3.一盈數一虧數

數字 盈數；虧數

128 +28

89 -11

117(100+28-11) 308(28X11)

117-4 400-308(要十位數)

113 92

(表五)128X89 盈數虧數示意圖

以 128X89 為例，(以 100 為基準)

由表格得知 128X89=11392

11

數字 盈數和虧數

X+a a

X-b b

X+a-b ab

X+a-b-N NX-ab

(表六)一盈數一虧數帶數分析

2.討論 1: 用了何種原理?

討論結果: 我們發現盈數虧數都也是使用了分配律這個原理，如(表 5)所示

97X86

=(100-3)(100-14)

=10000-1400-300+42

=100(100-3-14)+42

=8342 得證 (表七) 97X86 盈數虧數示意圖

3.討論 2:文獻上的基準點都以 100為準，所以由表格就可以直接算出答案，那麼基準點改變了，

還可以求出答案嗎?

討論結果: 在文獻中，它的結果並沒有 X1 的部分(表五)，那是為他的基準點是 100 所以不用

任何變化，那如果基準點改變了，還可以計算嗎？當然可以啊！但有部分需要更改了，例如:

若基準點是 150，就乘以 1.5(150 除以 100)，若基準點是 988，就乘以 9.88，以此類推，但為了

較好計算，還是建議大家用整數比較好。

4.討論 3:為何一盈一虧多了下面那兩個步驟?

12

討論結果: 另外我們用分配律來說明為何一盈數一虧數多了下面那兩個步驟，以(表六)所

示

(表 8) 128X29 盈數虧數示意圖 128X89

=(100+28)(100-11)

=10000+2800-1100-308

=100(100+28-11)-308

=100X117-308

=(100X117-400)+(400-308)

=100X(117-4)+92

=11392

(三.)三者之間(AXB 型、日本畫線、盈數虧數)的連結

1.討論

(1.)三者共同使用了何種原理？

討論結果: 根據上述研究過程與方法所討論速算法的說明，發現它們都使用分配律。

13

(圖八)三者之間基本關係示意圖

(2.)特殊速算法和盈數虧數進一步的更同點？

討論結果: 以 93X98 為例

AXB 型

93X98

=90(90+3+8)+24

=9090+24

=9114

盈數虧數

100—(-7)

100---(-2)

100(100-7-2)+14

特殊速算法

日本畫線

盈數虧數

分配律

14

=9100+14

=9114

好像看不出什麼共通點ㄟ

但若把基準點換掉的話就看的出來了

90----3

90----8

0.9X100(90+3+8)+24

=90(90+3+8)+24

=9090+24

=9114…就完全相同了

我們討論出來只要把他的基準點換一換，其實根本就長的一模一樣，因此它們都符合使

用 X(X+a+b)+ab 的公式

(3.)別人給你兩個數必教你算它們兩個數的乘積，要如何快速判別他是用於哪個速算法呢？

同時也說明各個速算法有那些優缺點？

討論結果: 三種速算法的一覽表

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(表八)各種速算法一覽表

(四.)日常生活中

討論:這些速算法可以用於那些日常生活上並舉出例子?

討論結果:我們發現有兩點跟這些速算法相類似

(一.)現今售價的趨勢

以前生活中，大部分的東西售價方式都以整數為主，但慢慢的，現今市場中，開始出

現了尾數是 9 的售價了，在慢慢的演化下，現今已成為非常主流的售價價錢。而在尾

數是 9 的當中，我們可以利用分配律將 9 變成(10-1)，讓運算更加輕鬆簡潔。

因應市場大量消費

台灣是個工商業發達的地方，從事生產的商人將以往的多樣性作物變成了大量的單一性，

通常在市場裡，有著買很多樣而打折扣的售價方式，例如:買 10 送 1，買 100 送 1,買 300 抽再

加 10 抽等

依照這個事件，我們可以利用盈數虧數的方式，簡便的算出結

果來。

例子: 以麥當勞的餐點為例(圖九)，分別標示 1~4 號餐

(1)我們這組組員分別想吃 3 個 2 號餐，1 個 3 號餐，要怎麼簡

便算出總共要花多少元了?.....可利用尾數是 9 用(10-1)的方法

ANS:3(100-1)+120-1

=300-3+120-1

=420-4

=416 答案:416 元

(2)有一位比賽主持人想以 1 號餐當作獎勵，若當時有 100 位參

賽者，而老闆因為看到她消費很多，因此給他優惠，3 份免錢， (圖九)菜單圖

1

3

2

4

16

請問可以很快地算出答案嗎?

ANS:利用盈數虧數

97……100-3 79……100-21

100-3-21=76 3X21=63 答案:7663 元

伍、研究結果

一.AXB 型

(一)十位數字為 1 的兩位數乘積速算法公式:另兩數為(10+a)(10+b)

公式為:10(10+a+b)+Ab

(二)十位數一樣，個位數字相加為 10 的兩位數乘積公式:另兩數為(10x+a)(10x+b)

公式為:【x(x+1)】X100+ab

(三)十位數字一樣的速算法公式:另(fa)X(fb)=(10x+a)(10x+b)，(10x+a+b)=10c+d

則公式為:100xc+10xd+ab

(四)十位數字、個位數字不同的速算法公式:

兩數 A、B，A=x+a，B=y+b，且 x> y

則公式為(A+b)x-A(x+y)+ab

二.盈數虧數

(一)全虧公式:(x-a)(x-b)=x(x-a-b)+ab

(二)全盈公式: (x+a)(x+b)=x(x+a+b)+ab

(三)一盈一虧公式(x+a-b-N)+Nx-ab

陸、 討論

一、研究方法的討論

(一.)套數字舉例，套好可以後，再套幾個不同的數字進行驗證，看看方法有沒有一致。

(二.)畫圖解析，盡量把複雜的數學應用畫出表來，讓過程變得簡單清晰明瞭又方便快

速和正確的求出應有的答案。

17

(三.)如同第一點，若是以代數算出來的話，套幾個簡單的數字驗證，並求出適當的答

案。

(四.)按照原理點出發，文獻是如何算，就從那兒去尋找不同之處。

二、計算過程中的問題和困難或很棒的地方

計算過程中往往會遇到公式使用的地方，我們就會停下來思考，是否有其他需要做計

算的地方式文獻中沒有提及的，當我們發現之後，便能與跟我們依樣在這邊卡關的人分享，

也能順便延伸出更多的公式。

三、套數字對我們來說計算過程比較明瞭清晰，容易證明，但是較不易活用，只會遇到

題目套數字進去而已。

四、畫圖解析對我們來說較方便理解，能將數學式子化為幾何，卻有些費時，導致研究

時間增長。

五、按照原理點出發對我們來說較容易解出新速算法公式的證明，但卻不容易發展較彈

性與更好的公式。

六.證明十位數字一樣的速算法公式

討論結果:

令(fa)X(fb)=(10x+a)(10x+b) (10x+a+b)=10c+d

=10xX10x+10x(a+b)+ab

=10x(10x+a+b)+ab

= 10xX10c+10Xx+d+ab

=100xc+10xd+ab

(10x+a+b)=10c+d

例子: 以 32X34 為例

(32+4=36)

100X3X3+10X3X6+2X4

=900+180+8

18

=1088 得證，好神奇喔!

七.證明十位數字、個位數字不同的速算法公式

討論結果:

另兩數(A、B)，A=x+a。B=y+b，且 x>y

AXB

=(x+a)(y+b)

=(x+a)(y+x-b+b )-(x-y)(x+a)

=(x+a)(x+b)-(x-y)XA

= (A+b)x -A (x-y) +ab

例子:以 35X27 為例

=(30+5)(20+7)

=(30+5)(20+10+7)-10(30+5)

=(30+5)(30+7)-10(30+5)

=30(30+5+7)+35-350

=1260+35-350

=945 得證，好神奇喔！

我們這種速算法用於兩數根本連什麼關係都沒有的情況用這個速算法才比較快。

19

八.結語:因為考卷裡的題目，往往是老師們設計過來利誘學生的，在生活上則可遇不可求。

如果能將速算法在課堂上使用，便能使學生印象更深刻。

九.感想：當我們討論完這些好玩又有趣的數學速算法以後，才知道原來簡單的兩位數乘

法竟然會有那麼多速算公式，每當我們使用這些速算法時，在雜亂複雜的乘法裡，快速又正

確的算出來，真是方便且有趣，可以值得我們一再深思。

柒、結論

一、 速算原理探討與擴充速算原理的運用與推廣

(一)AXB 型速算法

1.原理探討

(1)十位數字為 1 的兩位數乘積速算法

公式: 10(10+a+b)+Ab

(2)十位數一樣，個位數字相加為 10 的兩位數乘積

公式:【x(x+1)】X100+ab

2.推廣創造

(1)十位數字一樣的速算法

公式: 100xc+10xd+ab

(2)十位數字、個位數字不同的速算法

公式: (A+b)x-A(x+y)+ab

(二)日本畫線

公式: 步驟 1:兩個二位數分別畫出他們十位數字和個位數字(分隔開來)

步驟 2:分成三區，計算交點的數目，算出答案(超過 10 進位)。

(三)盈數虧數

1.全部虧數

20

公式: (x-a)(x-b)=x(x-a-b)+ab

2.全部盈數

公式: (x+a)(x+b)=x(x+a+b)+ab

3.一盈數一虧數

公式: (x+a-b-N)+Nx-ab

二、找出速算法原理的共通點

基本原理:都使用分配律

延伸原理:盈數虧數和 AXB 型都屬於 10(10+a+b)+Ab

捌、參考資料及其他

一〃陳朝 (2013) -神奇的印度數學:讓你愈玩愈有興趣的印度速演算法

二、麥當勞售價排。取自於 Google 圖片

https://www.google.com.tw/search?es_sm=93&biw=1280&bih=923&tbm=isch&sa=1&q=%E5%94%AE

%E5%83%B9%E7%89%8C-%E9%BA%A5%E7%95%B6%E5%8B%9E&oq=%E5%94%AE%E5%83%

B9%E7%89%8C-%E9%BA%A5%E7%95%B6%E5%8B%9E&gs_l=img.3...15278.17360.0.17959.9.9.0.

0.0.0.245.1323.0j7j1.8.0.msedr...0...1c.1j4.60.img..9.0.0.oRrYh1e42GM#imgdii=_

三、我想學印度數學。取自於 yahoo 知識家

https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question;_ylt=A8tUwY_h_QJUZC4Ah45r1gt.;_ylu=X3oDMT

E0azZuOWNzBHNlYwNzcgRwb3MDMQRjb2xvA3R3MQR2dGlkA1ZJUFRXNDZfMQ--?qid=101105

1402940

四、數學領域網。取自於 http://163.21.6.4/lt/post/8/1784

五、埃及和印度的乘法。取自於長安國中 林倉億老師網

http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol2no6b.htm

六、印度的數學。取自於數學史網 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_18_01_1/index.html

七、印度的 1919 乘法表。取自百度文化

http://wenku.baidu.com/view/dbeb850f79563c1ec5da7150.html 印度的 1919

21

八、科展規定與相關科展資料。取自於正興國中的高雄市的 55 屆科展專欄中

http://affairs.kh.edu.tw/826/

九、教育部入口網站。取自於 https://portal.kh.edu.tw/

十、歷屆科展作品。取自於國立臺灣科學教育館 http://www.ntsec.gov.tw/User/Article.aspx?a=250

十一、九九乘法畫線求解法，再也不必死背囉！取自於 google 影片

http://www.youmaker.com/video/sv?id=aa602a79029347b6a1e279afc0e32751105

十二、外國人教數學乘法。取自於 youtobe 影片 https://www.youtube.com/watch?v=c3lr1hX_nv4

十三、印度三秒乘法。取自於 youtube 影片 https://www.youtube.com/watch?v=urZS7arhajY

十四、印度數學。取自於 Joseph, G.: 1991, The Crest of The Peacock: Non-European Roots of

Mathematics, England: Penguin Books.

Bunt, L. N. H. et al. : 1988, The Historical Roots of Elementary mathematics. New York: Dover

Publications, Inc.

十五、印度數學史相關遺址及圖片。取自於 google 圖片

https://www.google.com.tw/search?um=1&espv=2&biw=1280&bih=923&hl=zh-TW&tbm=isch&sa=1&

q=%E5%8D%B0%E5%BA%A6%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%8F%B2&oq=%E5%8D%B0%E5%

BA%A6%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%8F%B2&gs_l=img.3..0i24.13014.15778.0.16208.3.3.0.0.0.0.

76.203.3.3.0.msedr...0...1c.1j4.60.img..2.1.57.G7T5rXnhHyc#imgdii=_

十六、我想學印度數學。取自於 yahoo 知識家

https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question;_ylt=A8tUwY_h_QJUZC4Ah45r1gt.;_ylu=X3oDMT

E0azZuOWNzBHNlYwNzcgRwb3MDMQRjb2xvA3R3MQR2dGlkA1ZJUFRXNDZfMQ--?qid=101105

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