INDICE - Planetario Pythagoras

INDICE

Meccanica celeste

Misura degli angoli grado radiante ora____________________________ 2

Distanze dei corpi celesti________________________________________ 3

Le dimensioni apparenti di un oggetto______________________________ 3

Sistemi di riferimento astronomici

Sistema altazimutale_________________________________ 4

Sistema orario_______________________________________ 5

Sistema equatoriale___________________________________ 5

Relazioni tra sistemi di riferimento

Latitudine del luogo___________________________________ 6

Stelle circumpolari____________________________________ 6

Culminazione________________________________________ 7

Altezza (culminazione inferioresuperiore)_________________ 7

Latitudine del luogo (culminazione superioreinferiore)_______ 9

Distanza zenitale_____________________________________ 9

Ascensione retta_____________________________________ 10

Misura del tempo ______________________________________________ 11

Giorno tempo siderale________________________________ 11

Giorno tempo solare vero_____________________________ 12

Giornotempo solare medio____________________________ 12

Equazione del tempo__________________________________ 12

Relazione tra tempo solare e tempo siderale_______________ 13

Ora locale e longitudine_______________________________ 14

Tempo Universale___________________________________ 15

Moto apparente dei pianeti_____________________________________ 16

Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti______________ 18

Le leggi del moto dei pianeti

Lrsquoellisse________________________________________________ 19

Le leggi di Keplero

Prima legge___________________________________ 20

Seconda legge_________________________________ 21

Terza legge___________________________________ 22

Legge di gravitazione universale____________________________ 23

Terza legge di Keplero generalizzata________________________ 24

Considerazioni sulle orbite (coniche)________________________ 26

Velocitagrave orbitale_________________________________________ 27

Considerazioni sulle orbite (dinamica)_______________________ 28

Velocitagrave di fuga (raggio di Schwarzschild)____________________ 29

Eclissi

Eclissi di Luna__________________________________________ 30

Eclissi di Sole___________________________________________ 33

Ciclo di Saros___________________________________________ 36

Strumenti ottici

Angolo solido_________________________________________________ 37

Campo dello strumento_________________________________________ 37

Apertura assoluta_____________________________________________ 37

Apertura relativa______________________________________________ 37

Rapporto focale________________________________________________ 38

Potere risolutivo_______________________________________________ 38

Ingrandimento________________________________________________ 39

Aberrazione della luce__________________________________________ 39

Rifrazione____________________________________________________ 39

Rifrazione atmosferica__________________________________________ 40

Riassumendo__________________________________________________ 41

Astrofisica

La radiazione elettromagnetica___________________________________ 43

Parametri di unrsquoonda___________________________________________ 44

Equivalenza massa energia______________________________________ 45

Grandezze fotometriche________________________________________ 46

Parametri fisici delle stelle_______________________________________ 48

Corpo nero______________________________________________ 48

Legge dello spostamento di Wien____________________________ 48

Legge di Stefan Boltzmann_________________________________ 49

Flusso e Luminositagrave_______________________________________ 49

Logaritmi

Definizione______________________________________________ 50

Proprietagrave dei logaritmi_____________________________________ 52

Magnitudine delle stelle________________________________________ 54

Cosmologia elementare

Redshift_____________________________________________________ 57

Ottico__________________________________________________ 57

Relativistico_____________________________________________ 58

Gravitazionale___________________________________________ 58

Problemi ed esercizi

Sistemi di riferimento___________________________________________ 59

I moti della Terra e la misura del tempo____________________________ 60

Il cielo visto dalla Terra e dalla Luna______________________________ 61

La gravitagrave____________________________________________________ 63

Terza legge di Keplero__________________________________________ 65

Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite circolari_______ 66

Esercizio un pianeta cadente_____________________________________ 68

Coordinate celesti e tempo______________________________________ 69

La misura del tempo____________________________________________ 70

Stelle e magnitudini____________________________________________ 72

Cosmologia elementare_________________________________________ 74

Miscellanea __________________________________________________ 75

Sfera e trigonometria sferica

Premessa_____________________________________________________ 84

Elementi della sfera____________________________________________ 84

Triangolo sferico_______________________________________________ 86

Angoli del triangolo sferico______________________________________ 86

Triangolo di posizione astronomico________________________________ 88

Primo Gruppo di Gauss___________________________________ 89

Secondo Gruppo di Gauss__________________________________ 89

Le parti della sfera_____________________________________________ 90

Esercizi______________________________________________________ 91

Bibliografia

Bignamino di astronomia

ldquoIn Astronomia ogni argomento va meditato ed approfondito in senso critico va analizzato nei suoi elementi essenziali e collegato a quanto

precede ed a quanto seguerdquo

(prof Leonida Rosino)

Il bignamino di astronomia ha lo scopo di aiutare gli olimpionici alla preparazione alle varie fasi delle Olimpiadi Italiane di Astronomia Costituisce la griglia essenziale per la risoluzione dei problemi Lrsquoabbiamo pensato come una bussola soprattutto per gli studenti che provengono da Istituti dove la fisica non egrave disciplina curriculare nel biennio Seguendo il Syllabus abbiamo suddiviso il ldquobiginordquo in quattro macrotemi

1) Meccanica Celeste (cinematica e dinamica celeste) 2) Strumenti ottici 3) Astrofisica 4) Cosmologia elementare

Ciascun macrotema egrave corredato da sezioni e da esercizi di riferimento

Introduzione

MISURA DEGLI ANGOLI GRADO RADIANTE ORA

Lrsquoampiezza di un arco o del corrispondete angolo al centro si puograve misurare in uno dei seguenti sistemi

bull Il s i s tema sessages imale ha come unitagrave di misura il grado

Il grado

Il grado definito come la 360-esima parte dellangolo giro I suoi sottomultipli sono primi e i secondi

bull 1 grado egrave diviso in 60 primi 1deg= 60 bull 1 primo egrave diviso in 60 secondi 1 = 60 bull Quindi un grado equivale a 3600rsquorsquo

Il s i s tema c ircolare ha come unitagrave di misura il radiante

Radiante Il radiante ( 120646) egrave lampiezza dellangolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati

intercetta un arco uguale al raggio

In astronomia egrave necessario molto spesso convertire la misura in gradi di un arco in misura di ora o

viceversa

Lrsquoampiezza di un angolo giro misurato in gradi 360deg in ore egrave 24ℎ 1ℎ = 360

24 = 15deg 1119898= 15rsquo

1119904=15rsquorsquo

Dunque il rapporto tra la misura dellarco e la misura del

raggio egrave un numero reale α che rimane costante α=119871

119877

120572119903119886119889 =120572deg120587

180 120572deg =120572119903119886119889

180deg

120587

Lrsquoampiezza di un radiante egrave

in gradi 120588deg= 57deg 17rsquo 44rsquorsquo~ 57deg3

in primi 120588rsquo~3438rsquo

in secondi 120588rsquorsquo ~206265rsquorsquo

(numero magico)

DISTANZE DEI CORPI CELESTI

La distanza dei corpi celesti viene determinata attraverso la misura di un angolo detto parallasse

Lrsquoangolo di parallasse egrave lrsquoangolo sotto cui viene visto un oggetto se osservato da due posizioni

diverse

LE DIMENSIONI APPARENTI DI UN OGGETTO

Le dimensioni apparenti di un oggetto dipendono dalla sua distanza In astronomia il diametro

angolare (o dimensione angolare) di un oggetto egrave la misura del suo diametro rispetto alla distanza

dallosservatore Si calcola con la seguente formula

120572 = 2 119886119903119888119905119886119899119892 119863

2119889

(D diametro reale e d distanza dallrsquoosservatore)

Generalmente il diametro apparente dei corpi celesti egrave inferiore ad un grado

Misurato il diametro apparente in secondi drsquoarco si puograve calcolare il diametro reale con la seguente

formula

119863 = 119889120572

206265

Si parla di parallasse geocentrica quando la

distanza tra le due osservazioni egrave uguale al raggio

terrestre mentre di parallasse annua quando la

distanza tra i due osservatori egrave uguale al semiasse

maggiore dellorbita della Terra attorno al Sole

(ovvero lUnitagrave Astronomica) p langolo di parallasse e d la distanza dellosservatore dalloggetto-

La relazione tra la distanza e la parallasse egrave data

dalla semplice formula d = r sen p

Spesso viene usato il parsec come unitagrave di misura delle

distanze stellari Una stella si trova alla distanza di 1

parsec quando la sua parallasse annua egrave di un secondo

darco d =1

119901primeprime

SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI

Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono

1) Una direzione fondamentale

2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale

3) Lrsquoorigine

4) Il verso di percorrenza

5) Lrsquounitagrave di misura

Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici

il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale

Sistema altazimutale

Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione

fondamentale egrave data dalla verticale il piano

perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la

verticale alla superficie terrestre passante per

losservatore individua lo zenit e il nadir Le

coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e

Altezza (h)

Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del

cerchio verticale passante per T e il meridiano

astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado

partendo dal punto cardinale sud nel senso delle

lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno

allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave

lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale

passante per T

Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera

celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte

misurata lungo il cerchio verticale passante per quel

punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con

valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir

Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde

allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave

passante per T Larco complementare dellaltezza si

chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave

rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit

dellosservatore La distanza zenitale si indica

generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe

le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano

sensibilmente con il passare del tempo a causa del

moto di rotazione della Terra

Sistema orario

Sistema equatoriale

Questo sistema di coordinate astronomiche ha come

direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse

del mondo e il piano dellequatore Le coordinate

sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e

la Declinazione (120575)

Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio

orario che passa per il punto e il meridiano

astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo

lequatore celeste partendo dal meridiano

astronomico in senso orario per un osservatore

boreale

La declinazione rappresenta la distanza angolare tra

un punto della sfera celeste e lequatore celeste

misurata lungo il cerchio orario che passa per tale

punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno

positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il

polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto

mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione

Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e

piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano

dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono

Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma

Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo

lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di

percorrenza antiorario

Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della

sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa

per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo

verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud

RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO

Latitudine del luogo

120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889

La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave

lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono

separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si

ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso

Formule inverse

119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593

Stelle circumpolari

120575 ge 90deg minus 120593

Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando

siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della

volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra

dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa

contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale

a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della

latitudine geografica 120593 del luogo

Se la declinazione egrave compresa tra

minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)

le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore

120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593

Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto

dellrsquoorizzonte)

Culminazione

Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano

La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593

dellrsquoosservatore

Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha

119911 = 120593 ndash 120575

Al momento della culminazione inferiore si ha

119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg

Altezza (culminazione superioreinferiore)

Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima

altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)

ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)

Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi

1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)

2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)

Analogamente in culminazione inferiore

ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575

Poicheacute se 120575 lt 120593

ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)

ℎ2 = 120575 - 90 + 120593

ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593

Se 120575 gt 120593

ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )

ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593

La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa

Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575

120593 = 90deg minus ℎ + 120575

120575 = 120593 + ℎ minus 90deg

Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)

120593 =ℎ1 + ℎ2

Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per

conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella

circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo

tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)

Formule inverse

ℎ1 = 2120593 minus ℎ2

ℎ2 = 2120593 minus ℎ1

Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg

Distanza zenitale

119911 = 90deg minus ℎ

La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova

sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la

verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della

stella h

Formule inverse

ℎ = 90deg minus 119911

Ascensione retta

Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore

vale la relazione

119879119904 = 120572 + 119867

Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del

punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e

119879119904 = 120572

Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano

Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare

la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e

lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa

120572 = 119879119904 minus119867

Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572

il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero

per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano

opposti

MISURA DEL TEMPO

La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste

(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)

La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad

un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende

lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo

punto scelto

In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il

centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il

Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ

assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste

con velocitagrave angolare costante in modo da

ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al

Sole vero)

Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si

chiamano giorno siderale giorno solare vero

giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave

tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio

Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo

Giorno siderale ndash tempo siderale

Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra

due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del

Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il

passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra

posizione qualsiasi

119905119904 = H + 120572

(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole

medio)

Giorno solare vero-Tempo solare vero

Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro

del Sole

Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore

del Sole ad un altro punto

Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ

Giorno solare medio - Tempo solare medio

Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio

Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad

un altro punto

119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ

Equazione del Tempo

Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso

istante

E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900

E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900

E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900

Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato

dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del

119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E

Relazione tra tempo solare e tempo siderale

Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza

1199051119904=1198671199041 + 1205721198781

1199052119904=1198671199042 + 1205721198782

Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha

1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)

(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24

Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole

medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24

Pe cui

1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24

1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1

36525)

1199052119904- 1199051119904 = 24 36625

Un giorno solare medio= 36625

36525 giorni siderali

Un giorno siderale= 36525

36625 giorni solari veri

Il rapporto K = 36625

36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in

intervalli di tempo siderali

∆119879119904= K ∆119879119898

Il rapporto Krsquo = 36525

36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli

ti tempo solare medio

∆119879119898= Krsquo ∆119879119904

24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno

siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio

Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte

precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore

minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a

mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante

del tempo siderale s

Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante

di tempo medio solare saragrave

s= S + 119879119898 119870

Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo

sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano

fondamentale di GW

Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da

119878 = 1198780 minus120582 ℎ

24ℎ (3119898 56119904 55)

Ora locale e longitudine

Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo

Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo

tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti

i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo

medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici

principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono

numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW

costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)

Il tempo medio locale egrave dato da

119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582

dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874

1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante

egrave sempre uguale alle differenze di longitudini

2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891

puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898

Tempo Universale

Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)

Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la

longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW

119905119897 = TU +120582

MOTO APPARENTE DEI PIANETI

I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave

complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle

fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono

di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il

pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave

inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti

interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro

rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da

una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave

in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e

tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave

veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo

il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)

Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e

contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e

quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per

qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il

pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per

Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al

Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione

inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado

appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione

occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o

opposizione

I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono

trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta

lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte

opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e

raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi

sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della

composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti

attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in

movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei

pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si

muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano

la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i

pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi

essi sembrano muoversi allindietro

Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il

periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la

composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla

Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)

2120587

119878 = 2120587

119875 - 2120587

119879

120783

119930 = 120783

119927 - 120783

119931

Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)

2120587

119878 = 2120587

119879 - 2120587

119875

120783

119930 = 120783

119931 - 120783

119927

Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di

quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia

temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere

che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le

stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti

talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro

movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro

moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che

sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli

altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in

qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in

posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando

questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave

Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno

e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa

enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso

apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole

(opposizione) il loro movimento tra le stelle

temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto

bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici

come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche

la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)

tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia

varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)

Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole

li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni

ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto

Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti

Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti

1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta

2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km

3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno

4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di

essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri

LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI

Prerequisito Lrsquoellisse

Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si

mantiene costante la somma delle distanze da due

punti fissi detti fuochi

Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che

una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento

fondamentale che ci permette di capire di quanto

questa viene compressa egrave leccentricitagrave e

Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la

semidistanza focale e il semiasse maggiore

119890 =119888

119886

Formule inverse

119888 = 119886119890

119886 =119888

119890

Infatti nellellisse possiamo individuare

bull Semiasse maggiore (a)

bull Semiasse minore (b)

bull Semidistanza focale (c)

Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la

distanza focale (F1F2)

ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se

questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse

diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se

fosse egt1 diventerebbe una iperbole

Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari

alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora

1198862 = 1198872 + 1198882

Formule inverse

1198872 = 1198862 minus 1198882

1198882 = 1198862 minus 1198872

LEGGI DI KEPLERO

PRIMA LEGGE

Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite

ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi

Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta

attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci

saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole

(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)

Possiamo quindi calcolare le due distanze

119889119886 = 119886(1 + 119890)

119889119901 = 119886(1 minus 119890)

Formule inverse

119886 =119889119886

1 + 119890

119886 =119889119901

1 minus 119890

119890 =119889119886

119886minus 1

119890 = 1 minus119889119901

119886

Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita

2119886 = 119889119886 + 119889119901

E il semiasse egrave quindi dato da

119886 =119889119886 + 119889119901

Formule inverse

119889119886 = 2119886 minus 119889119901

119889119901 = 2119886 minus 119889119886

La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze

2119888 = 119889119886 minus 119889119901

119888 =119889119886 minus 119889119901

Formule inverse

119889119886 = 2119888 + 119889119901

119889119901 = 119889119886 minus 2119888

Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come

119890 =119889119886minus119889119901

119889119886+119889119901=

2119888

2119886 =

119888

119886

SECONDA LEGGE

Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree

uguali in tempi uguali

Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno

al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che

allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente

proporzionali alle distanze

119881119886

119881119901=119889119901

119889119886

Formule inverse

119881119886 =119889119901 119881119901

119889119886

119881119901 =119881119886 119889119886

119889119901

119889119886 =119881119901 119889119901

119881119886

119889119901 =119881119886 119889119886

119881119901

TERZA LEGGE

Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono

proporzionali ai quadrati dei periodi di

rivoluzione

1198863

1198792= 119896

Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo

centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k

Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)

questa legge puograve essere anche scritta come

1198861199053

1198791199052 =

1198861198983

1198791198982

=1198861199043

1198791199042 = ⋯

PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave

astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti

ricavandola per la Terra

(1 119880119860)3

(1 119886119899119899119900)2= 1

E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole

NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica

descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi

che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo

uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei

gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole

dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso

Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a

119865119892=41205872 119898

1198701199032

Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora

119865119892=41205872 119898119872

1198721198701199032

Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872

119872119870 = G ( notare che contiene

la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula

119865119892=119866 119898119872

1199032

Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto

lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e

trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2

Terza legge di Keplero generalizzata

Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo

orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da

119865119888 = 119865119892

119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890

La forza centrifuga egrave espressa come

119865119888 = 119898 119886119888

E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come

119865119892 =119866119872119898

1198862

Sostituendo in formula

119898119886119888 =119866119872119898

1198892

Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione

119886119888 =119866119872

1198892

Lrsquoaccelerazione egrave espressa come

119886119888 =1199072

119886=412058721198862

1198792119886=41205872119886

1198792

41205872119886

1198792=119866119872

1198862

Da cui

1198863

1198792=119866119872

41205872

Formule inverse

119886 = radic119866119872 1198792

41205872

119879 = radic412058721198863

119866119872

119872 =412058721198863

119866 1198792

Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero

generalizzata diventerebbe

1198893

1198792=119866 (119872 +119898)

41205872

Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del

Sole data la relativa piccola massa dei pianeti

NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la

stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di

gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro

dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di

gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che

si esercita tra il corpo e la Terra Allora

119892 =119866119872

1198892

Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi

alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2

Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di

essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui

119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879

ldquoRationem vero harum

Gravitatis proprietatum

ex phaelignomenis nondum

potui deducere amp

hypotheses non fingordquo

ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di

queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non

avanzo ipotesirdquo

Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia

Mathematica liber tertius

ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE

La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave

inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero

119865 prop1

1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le

orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le

coniche

Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si

ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola

Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave

Circonferenza il piano egrave perpendicolare

allrsquoasse (tratteggiato)

Ellisse il piano egrave obliquo

Parabola il piano egrave parallelo a una delle

generatrici (le due rette incidenti in V in

figura)

Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono

CIRCONFERENZA e=0

ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave

lrsquoellisse egrave schiacciata)

PARABOLA e=1

IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave

questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)

VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE

Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia

uguale alla forza di attrazione gravitazionale

FC = FG

v2 =MG

119855 = radic119820119814

119825

A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica

VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI

Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che

altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale

119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784

E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario

associare la seconda legge di Keplero

Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema

119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953

Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866

119877

Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1

21198981199072

Il sistema diventa

119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011

2119898119907119886

2 minus119866119898119872

119889119886=1

2119898119907119901

2 minus119866119898119872

119889119901

Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953

119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924

119941119938

119941119953(119941119953minus119941119938)

Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953

120784 119942 =

119941119938minus119941119953

119941119938+119941119953

le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e

dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita

Quindi

119907119901 = radic119918119924

119938(120783+119942

120783minus119942)

119907119886 = radic119918119924

119938(120783minus119942

120783+119942)

ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE

Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie

che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda

dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica

119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942

Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa

costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare

bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza

ellisse)

bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua

velocitagrave egrave nulla)

bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con

velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)

VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD

119959 = radic120784119918119924

119929

A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga

Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R

diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del

raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della

luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero

Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del

matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave

119888 = radic2119866119872

119877119904 rarr 1198882 =

2119866119872

119877119904 rarr 119929119956 =

120784119918119924

119940120784

Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)

ECLISSI LUNA-SOLE

Eclisse di Luna

Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave

quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per

tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la

Luna si sposta da ovest verso est essa

entra nel cono drsquoombra della Terra dalla

parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna

attorno alla Terra giacesse sullo stesso

piano dellrsquoorbita della Terra attorno al

Sole ad ogni plenilunio avremmo una

eclisse totale di Luna Queste due orbite

sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i

due punti che definiscono i nodi Percheacute

si abbia una eclisse Sole e Luna non solo

devono essere allrsquoopposizione ma

devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore

di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale

Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra

I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)

VS VT= AS BT

VS= VT+ TS

sostituendo si trova che

VT =119879119878∙119861119879

119860119878minus119861119879

Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo

VT= 119878119879∙119861119879

10925119861119879minus119861119879

VT= 119878119879

10925minus1

La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925

Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta

sul piano dove si trova la Luna

Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave

necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a

41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5

Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare

Dalla proporzione

119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881

119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879

119881119879

Dato che

119881119867 = 119881119879 minus 119879119867

119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)

119881119879=

=119861119879

119881119879(1 minus

119879119867

119881119879) =

Dalla formula precedente

119881119879 =119878119879

Sostituendo

119877119867 =119861119879 ∙ 10825

119878119879(1 minus 119879119867) =

= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878

10825 (1 minus 119863119879119871)

Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve

durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est

o ad ovest)

La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108

giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni

Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna

piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno

eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade

poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine

dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)

Eclisse di Sole

Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la

Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni

estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che

consente alla Luna di coprire il disco del Sole

Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che

al momento del novilunio il Sole sia distante

dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo

valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse

di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di

Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra

massimo della Luna ha un valore che non

supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000

per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi

anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna

attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si

sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270

km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole

Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole

Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in

prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica

Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano

perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica

della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )

Dalla figura

120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo

Dalla figura si evince che

LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871

STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878

120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878

Lrsquo TSrsquo =

Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo

TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo

TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO

LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO

TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)

TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)

120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878

120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8

120573 = 88rsquo46

Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della

Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46

La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave

visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo

sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra

La distanza angolare del centro della Luna rispetto al

nodo (longitudine) si puograve calcolare con la

sinΔ120582 = tan120573

tan 119894

Δ120582 = 16deg5

Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo

il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova

(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in

vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova

successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima

Numero totale di eclissi per anno

Il Ciclo di Saros

In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7

bull 2 Luna + 5 Sole

e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il

numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole

Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo

di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice

Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della

Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi

hanno un moto di retrogradazione in un

giorno percorre un angolo pari a

3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e

113 giorni Il Sole si sposta di moto

diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno

rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di

62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra

due passaggi consecutivi del centro del

Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni

(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa

successione La natura si diverte

Succede che

bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)

bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502

bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni

Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19

Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il

ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo

223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente

allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni

questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano

di circa 120deg verso Ovest

ANGOLO SOLIDO

Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle

semirette che lo individuano

120570 =119860

1198772=41205871198772

1198772= 4120587

120570 = 4120587

Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura

egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro

Per avere la misura in gradi quadrati si deve

119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg

120587)2

119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587

1205872

4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889

STRUMENTI OTTICI

CAMPO DELLO STRUMENTO

Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro

dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1

APERTURA ASSOLUTA

Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave

proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632

APERTURA RELATIVA

Si definisce apertura relativa il rapporto

119863

119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)

119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900

RAPPORTO FOCALE

Linverso dellrsquoapertura relativa 119891

119863 definisce il rapporto focale

Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale

egrave data da

119889 = 119891 bull 119905119886119899120572

Con α=diametro angolare dellrsquooggetto

119889 = 119891120572

Se α egrave espresso in radianti

POTERE RISOLUTIVO

Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste

separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh

Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare

120579 =122 bull 120582

119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886

119889119894119886119898119890119905119903119900

Si ottiene un risultato in radianti

In secondi darco invece

120579 =25 bull 105 bull 120582

119863

Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)

Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a

120579 =122120582

119863= 122 bull

5500 bull 10minus9119898

3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46

Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo

Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non

lrsquoingrandimento

INGRANDIMENTO

Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla

delloculare f

119892 =119891

119891prime

ABERRAZIONE DELLA LUCE

Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza

appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori

delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di

poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi

119886 = arctan119907

119888

RIFRAZIONE

Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di

velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo

trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse

velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi

formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal

raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali

la proporzione egrave inversa

119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890

=11989921198991=11990711199072

RIFRAZIONE ATMOSFERICA

Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a

distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si

osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti

che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula

stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale

Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg

Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di

35rsquo

119903 = 582 tan (119911)

RIASSUMENDOhellip

CENNI TEORICI SUI TELESCOPI

Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche

provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce

unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che

sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un

quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave

caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze

bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo

diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono

capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione

Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza

dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE

bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce

proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave

possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE

Ingrandimento

Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e

la lunghezza focale dellrsquooculare

119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale

Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio

119865 =119891119900119887

119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)

Campo visivo

Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare

dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti

119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894

Pupilla drsquouscita

Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare

119901 =119863

119894

Potere risolutivo

Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa

distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh

120599(119903119886119889) =122120582

119863 120599deg =

699120582

119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886

Magnitudine limite

Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura

D (in cm)

119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863

Ingrandimento minimo utile

egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7

119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7

Formula di Dawes

Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto

che si vede sotto un angolo α

119863(119898119898) =120

120572

Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale

Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo

f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave

119897 = 2119891 tan (1205722)

ELEMENTI DI ASTROFISICA

Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo

attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione

elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e

chimiche delle stelle e delle galassie

La radiazione elettromagnetica

Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno

ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo

elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono

tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda

secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica

I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono

1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto

grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli

interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione

annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti

a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato

la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia

NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato

possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di

questi fenomeni ldquoestremirdquo

Parametri di unrsquoonda

Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi

parametri

Lunghezza drsquoonda 120640

la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra

due ventri Si misura in metri eo con i

suoi sottomultipli

Periodo T

lrsquointervallo di tempo misurato in

secondi in cui avviene unrsquooscillazione

completa ovvero lintervallo di tempo

impiegato dallonda per ritornare nella

medesima posizione (per esempio il

tempo intercorso tra due creste o tra

due ventri successivi

Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di

tempo egrave lrsquoinverso del periodo

120592 =1

119879

Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo

119867119911 = 1119904minus1

Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda

periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta

Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza

Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce

con il quadrato della distanza dalla sorgente

La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate

tra loro dalla relazione

120582 ∙ 120592 = 119888

(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le

due grandezze sono inversamente proporzionali

La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a

cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia

a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua

energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i

pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo

Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua

frequenza

119864 = ℎ ∙ 120584

(dove h egrave la costante di Planck)

119864 = ℎ119888

120582

EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione

scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione

119864 = 1198981198882

dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa

sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in

massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della

massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una

diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2

Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto

piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per

esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle

stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)

Grandezze fotometriche

Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen

Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=

120593

119878 )

Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)

Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio

1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14

2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897

prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie

Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)

Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data

119868 = 119864 =120593

120596

ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)

Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso

119871 = 119868

119878 119888119900119904120572

120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982

Parametri fisici delle stelle

Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono

la distanza (d)

lo spettro della radiazione em emessa

la luminositagrave totale o bolometrica (L)

la temperatura superficiale (T)

il raggio (R)

la massa (M)

Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che

non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione

pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua

delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero

Corpo nero

Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi

bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T

120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda

120582119898119886119909 119879 = 119887

b = 29 10minus3 m∙K

Per cui si ha

120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K

bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di

superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta

potenza della temperatura T

119868 = 1205901198794

Applicazioni in astrofisica

Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772

la legge di Stefan-Boltzmann diventa

L= 41205871198772 120590T4

Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che

la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero

Flusso e Luminositagrave

120593= 119871

41205871198892

Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa

dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di

raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso

misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave

della stella e dalla sua distanza

I LOGARITMI

Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero

ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni

aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero

La storia di come nasce questo procedimento di

calcolo egrave molto interessante qui ci piace

evidenziare che la motivazione alla base della

scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro

successo fu la ricerca di efficienti strumenti di

calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello

di cui erano gravati gli astronomi del tempo i

quali per poter predire il corso dei pianeti si

dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di

calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del

pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli

astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile

trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e

calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate

Che cosa egrave un logaritmo

Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa

Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero

radic25 = 5

La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =

25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza

Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al

numero di partenza ma al suo esponente

Introduciamo la scrittura

log5 25 = 2

questa la scriviamo

52 =25

Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare

la base per ottenere il numero b In notazione matematica

log119886 119887 = x

119886119909 = b

Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza

log2 8 = x

la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo

Scriviamo applicando la definizione

2119909 = 8

e siccome

8 = 23

Allora

2119909 = 23

e perciograve

(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)

Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma

rappresentano la stessa cosa

Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali

positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1

0 lt a lt1

Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888

Proprietagrave dei logaritmi

Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei

singoli fattori

(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)

Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del

dividendo e il logaritmo del divisore

(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)

Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto

dellesponente per il logaritmo del numero

Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave

log119886 radic119887119898119899

= log119886 119887119898

119899

(che possiamo scrivere come 119898

119899log119886 119887)

A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base

Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c

Ricorda inoltre che

log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)

Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero

di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo

naturale e si indica con ln

Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5

Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base

generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica

Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7

I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la

pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale

sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci

permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri

sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una

magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando

il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco

formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave

Niente paura

Oggi avete le calcolatrici e non si

devono utilizzare le famigerate tavole

logaritmiche che si utilizzavano un

tempo per calcolare un logaritmo

Bisogna solo stare attenti ad utilizzare

CORRETTAMENTE la calcolatrice

Nepero

Magnitudine delle stelle

Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di

magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1

I2= 100

m1 - m2= K log I1

-5=K2 K= -25

m1 - m2= -25 log I1

Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che

abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871

41205871198892

Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1

I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si

ottiene (a paritagrave di luminositagrave)

m1 - m2= -5 log d2

La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza

E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc

M- m= -5 log 119889

1119900119901119888

M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc

Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere

di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono

da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta

magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine

m1m2hellipmn egrave la seguente

119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)

Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra

Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio

Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble

Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare

S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale

a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula

119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)

Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave

espressa in magarcsec2

Redshift (spostamento verso il rosso)

Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le

galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta

portando le galassie con seacute

NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle

galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse

Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in

frequenza di unonda elettromagnetica dovuto

allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le

lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per

effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave

proporzionale al fattore di scala delluniverso

La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble

che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue

119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903

120582119905119890119900119903

La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro

distanza

119907 = 119867119889

H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz

(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia

Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift

z=119867119889

119888

Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907

119888 ) e quindi z egrave

direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie

bull Redshift relativistico

bull Redshift gravitazionale

La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto

intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu

Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un

fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno

spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel

punto in cui si trova il fotone

z= 119866119872

1199031198882

Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904

119903119904 = 2119866119872

1198882

(raggio di Schwarzschild)

(M massa della stella r raggio della stella)

La formula generale egrave

radic1minus119903119904 -1

PROBLEMI ED ESERCIZI

bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE

1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale

altezza si trova

Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la

posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud

Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla

latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque

hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo

2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena

allrsquoorizzonte

Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un

osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia

unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave

necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o

equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve

osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo

circa]

3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno

Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo

Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave

dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide

con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli

allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che

descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale

egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole

pari a 23deg27rsquo 119897

11990511988611989923deg27prime=23

4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato

che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello

invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave

dellrsquoEclittica

Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al

solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi

90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900

2rarr 120593 = 90deg minus

ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002

= 34deg47prime

Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza

dellrsquoEquatore celeste

휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime

[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000

bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO

5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave

alla culminazione inferiore

Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h

Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di

angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso

TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s

6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora

(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo

Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un

normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso

di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il

problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la

risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un

tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e

giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti

(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la

stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave

allrsquoincirca alle 19

7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio

segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual

egrave la longitudine di B

Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale

alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi

∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)

= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898

= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime

8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un

Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari

della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica

Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un

settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo

necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a

t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa

9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno

al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per

effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che

agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg

allrsquoequatore

Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti

della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica

Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto

che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave

di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme

119907 =2120587119877

119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898

2393ℎ= 1674

119896119898

Lrsquoaccelerazione centripeta vale

119886 =1199072

119877=(1674 divide 36)2

6378000= 339 ∙ 10minus3

119898

1199042

Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora

119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873

bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA

10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e

13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza

Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la

direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle

sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-

12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in

parsec pari al reciproco della parallasse

d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc

Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici

nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)

noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema

di Carnot (o teorema del coseno)

119909 = radic11988912 + 1198892

2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888

11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni

trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra

Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo

siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25

giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta

interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1

119878=

119879119904119900119897119890minus

119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =

119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890

=36525 ∙ 25

36525 minus 25119889 =

913125

34025119889 = 2684119889

12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute

illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del

Sole sia 32rsquo)

Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse

lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso

intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio

di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole

rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto

dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa

configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero

053deg da cui si ha 119877

119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera

devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo

raggio

13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica

settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007

cioegrave esattamente un anno dopo

Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la

Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono

drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non

illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono

le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo

considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome

365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna

al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo

quarto e Luna piena

bull LA GRAVITArsquo

14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti

nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare

con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola

dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7

UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni

Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella

conformemente alla regola di Zorzzp

Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero

considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di

proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione

per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in

UA e il periodo in anni risulta pari a 1

1198791 = radic11988613 = 283 119910

1198792 = radic11988623 = 1852 119910

Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono

34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti

15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la

lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala

il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una

distanza dal Sole di 1 cm

Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno

16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =

radic11987911987323= 30069 119880119860

Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta

119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069

0387119888119898 asymp 777 119888119898

16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la

Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il

rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)

Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova

fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che

agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti

nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa

la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che

separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di

attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898

1199092=

119866119872119871119898

(119889 minus 119909)2

Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo

119909

119889 minus 119909= radic

119872119879

119872119871= radic8125 = 901

119909 =901119889

1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898

Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto

percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal

centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-

6378)km=339635km

17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha

scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente

perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da

Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave

pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3

volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente

posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del

secondo

Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo

11988911988611198891199011

= 47 =1198861(1 + 1198901)

1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901

= 47 rarr 1198901 = 0649

1198891199012

1198891199011=1198862(1 minus 1198902)

1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr

11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012

1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (

1 minus 0649

1 minus 0324) = 1558

Per la Terza legge di Keplero

11987922 = (

11988621198861)3

11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910

bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo

di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904

Soluzione

119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)

(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=

37411 ∙ 106 119904

3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904

119886119899119899119900

= 11863 119886119899119899119894

Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002

1 1198801198603

1198792

1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2

3= radic(11863 119886119899119899119894)2

3= 52 119880 119860 =

= 77792 ∙ 106 119896119898

2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore

misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898

Soluzione

119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)

1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860

=2279 ∙ 109 119898

1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860

= 152 119880 119860

1 1198801198603

1198792

1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894

3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del

pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904

Soluzione

119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)

(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=

1941 ∙ 106 119904

3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904

119886119899119899119900

= 061 119886119899119899119894

1 1198801198603

1198792

1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2

3= radic(061 119886119899119899119894)2

3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898

119907 =2120587119886119881119879119881

=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898

1941 ∙ 106 119904= 3483

119896119898

119904

Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari

119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011

2119898119907119886

2 minus119866119898119872

119889119886=1

2119898119907119901

2 minus119866119898119872

119889119901

119907119886 =

119907119901119889119901

1198891198861

2119898119907119886

2 minus119866119898119872

119889119886=1

2119898119907119901

2 minus119866119898119872

119889119901

119907119886 =

119907119901119889119901

11988911988612119898119907119901

21198891199012

1198891198862

minus119866119898119872

119889119886=1

2119898119907119901

2 minus119866119898119872

119889119901

119907119886 =

119907119901119889119901

119889119886121199071199012119889119901

1198891198862

minus1

21199071199012 =

119866119872

119889119886minus119866119872

119889119901

119907119886 =

119907119901119889119901

1198891198861

21199071199012 (1198891199012

1198891198862minus 1) = 119866119872(

119889119886minus1

119889119901)

119907119886 =

119907119901119889119901

1198891198861

21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886

1198891198862

) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886

119889119886119889119901)

119907119886 =

119907119901119889119901

119889119886

1199071199012 = 2119866119872 (

119889119901 minus 119889119886

119889119886119889119901)(

1198891198862

1198891199012 minus 119889119886

119907119886 =

119907119901119889119901

119889119886

1199071199012 = 2119866119872 (

119889119901 minus 119889119886

119889119886119889119901) [

1198891198862

(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]

119907119886 =

119907119901119889119901

119889119886

119959119953 = radic120784119918119924119941119938

119941119953(119941119953 + 119941119938)

Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene

119959119938 = radic120784119918119924119941119953

119941119938(119941119953 + 119941119938)

Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e

dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le

seguenti relazioni

119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)

Quindi

119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)

119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872

1 + 119890

(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]

= radic2119866119872

2119886(1 + 119890

1 minus 119890) = radic

119918119924

119938(120783 + 119942

120783 minus 119942)

Sostituendo anche nel caso di 119881119886

119907119886 = radic119918119924

119938(120783 minus 119942

120783 + 119942)

Si ricorda inoltre che

119938 =119941119938 + 119941119953

120784 119942 =

119941119938 minus 119941119953

119941119938 + 119941119953

ESERCIZIO

Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce

lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t

Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto

rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)

Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso

equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui

si trova

119898119892 =119898119872119866

(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =

119866119872

(119877 + ℎ)2

Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza

ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0

Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo

problema Come risolverlo allora

Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse

egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento

Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima

a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)

Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata

1198792

1198863=41205872

119866119872 rarr 119879 = radic

41205872

1198661198721198863 rarr 119879 = radic

41205872

119866119872(ℎ

rarr 119879 = radic1205872

2119866119872ℎ3

Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave

119905 =119879

Problemi 1 Coordinate celesti e tempo

Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864

Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che

passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua

distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla

sorgere ad est

Soluzione

Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione

ℎ = 90deg minus 120593 + 120575

Quindi

ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25

La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime

Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle

ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900

Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)

119898 =120572

Δ119905=

(5ℎ32min3sec)

3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894

84 giorni prima del 14012020 era il 21102019

2 Coordinate e tempo

Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec

Quale egrave il tempo siderale di GW

Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore

Quindi

15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582

120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ

15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888

Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione

119879119904 = 119879119866119908 + 120582

Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +

6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888

PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO

Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno

sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale

Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del

tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore

Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare

medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare

medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto

la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il

punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato

allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s

Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione

del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi

TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in

accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W

mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m

15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s

Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano

esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave

+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s

qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema

Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se

il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio

saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di

Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h

26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio

in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525

ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a

Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale

Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso

dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del

Sole che curva si ottiene

Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso

Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da

Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero

anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale

come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che

assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata

analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a

mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno

Figura 1 Analemma decET

Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene

Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle

ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione

retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra

Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano

a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h

12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova

lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di

Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine

del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo

meridiano egrave origine delle longitudini)

λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha

longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave

le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s

bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI

1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente

come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine

dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03

secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave

costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo

corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte

ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono

Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema

Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che

contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se

consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un

flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti

gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula

di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi

119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)

119865 lowast 119873]

119873 minus 2

119873= 10

119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =

0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894

2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)

Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia

nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il

risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)

Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -

25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519

da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km

4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e

una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine

apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave

intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione

119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro

1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)

1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)

Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc

da cui d2gtd1

bull COSMOLOGIA ELEMENTARE

5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa

dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia

119911 =∆120582

120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887

120582119897119886119887=656933 minus 656281

656281= 9935 lowast 10minus4

Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre

119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911

1198670= 299792458

119896119898

119904lowast 9935 lowast

10minus4

719= 414 119872119901119888

6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a

119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886

120582119867minus119887119890119905119886= 035

Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere

1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892

Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti

1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr

11988921198891= 10

1198721minus11987225 = 0839

Possiamo scrivere il seguente sistema

1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14

119888119911

1198672= 0839

119888119911

1198671H2 minus H1 = 14

1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14

1198671 =

7368119896119898119904

119872119901119888

1198672 =8768

119896119898119904

119872119901119888

Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc

bull MISCELLANEA

1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno

spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring

Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg

e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di

magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2

Quanto vale la massa della galassia

Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista

dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie

pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere

legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari

della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza

della galassia

Calcoliamo per prima cosa il redshift z

119911 =∆120582

120582=

656281= 229 ∙ 10minus4

Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza

119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911

119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4

719119872119901119888 = 0954 119872119901119888

= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890

Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne

conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse

maggiore vale

119886 = arctan (119877

119889) = arctan (

311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888

Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3

2 il semiasse minore varragrave

119887 = arctan(119877radic3

2119889) = arctan (

37000 ∙ 173

2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888

Calcoliamo la superficie di questa ellisse

119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2

A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente

m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675

Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta

M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815

A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla

relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso

sia composto da componenti uguali)

119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)

= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890

Possiamo finalmente trovare la massa della galassia

119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892

2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza

drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti

atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione

di fusione termonucleare che produce elio

Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende

dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del

raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la

lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla

temperatura efficace secondo la Legge di Wien

120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870

542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870

Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)

119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882

Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo

quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma

perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente

minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo

la famosa relazione di Einstein

119864 = 1198981198882

Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo

119898 =119871

1198882=289 ∙ 1026119882

9 ∙ 10161198982

1199042 = 321 ∙

109119896119892

119904

Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del

protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi

il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore

per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un

secondo nel nucleo della stella

119873 =119898

∆119898=

321 ∙ 109

0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911

A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la

soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4

119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()

3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per

essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in

opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con

un periodo T=2766 ore)

Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve

applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata

1198792

1198863=41205872

119866119872 119886 = radic

1198661198721198792

41205872

= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107

4(314)23

= 10005119896119898

Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un

secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera

119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772

La luce viene interamente riflessa quindi

119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772

Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano

alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a

119865 =119865119904 ∙ 120587119877

41205871198892=119865119904 ∙ 119877

41198892

In particolare per una localitagrave posta sulla Terra

119865 =119865119904 ∙ 119877

4(119886 minus 119877119879)2=

119865119904 ∙ 1198772

4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877

Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente

che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad

occhio nudo)

119898minus119898119904 = minus25 log (119865

119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)

1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131

1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898

Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri

[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la

sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse

Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due

flussi sono assai simili]

4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La

particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1

e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal

punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce

Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il

punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla

Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di

fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di

riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015

Categoria Junior)

Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi

esso vale (Teorema di Pitagora)

119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897

Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861

119907=

5119886119897

075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci

sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse

in anni luce

Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce

da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897

119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo

Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave

attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo

temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894

Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si

spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a

119907 =119860prime119861

267119886119899119899119894=

3119886 119897

267119886119899119899119894= 1125119888

Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave

infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)

in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre

apparente

5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della

sua velocitagrave radiale

Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale

della stella egrave data da

119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898

119904

6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie

di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda

λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra

e stimare la sua distanza

Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582

120582=

(1020minus1)120582

120582= 0020

Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898

119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)

119889 =119907

119867= 6000719=834 Mpc

7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce

Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri

risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi

Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d

sono date da

119863 = 2119889 tan (120572

Da cui

1198891 =119863

2 tan(12057212)=

2 tan(01333

2)=21486 anni luce

1198892 =119863

2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890

1198893 =119863

2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890

8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali

ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli

oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio

Calcolare pure la pupilla drsquouscita

Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento

1198681 =119865

119891=2000119898119898

25119898119898= 80119909

1198682 =2000

10= 200119909

1198683 =2000

5= 400119909

Il campo del telescopio saragrave

1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894

=55deg

80= 069deg

1198651199001198812 =55deg

200= 028deg

1198651199001198813 =55deg

400= 014deg

La pupilla drsquouscita

1199011 =300

80= 375119898119898 1199012 =

200= 15119898119898 1199013 =

400= 075119898119898

9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare

ampio 700km

Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da

120572 = 2 arctan (119863

2119889) = 2 arctan (

2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097

Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120

120572=124cm

10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13

minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la

stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45

Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole

Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula

1198792 =11989122 1198781

11989112 1198782

1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)

1198792 =452 800

32 1000 13 = 234 119898119894119899

11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza

inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di

cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm

Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave

119879119898119886119909 =600

119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894

12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione

raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz

Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da

119888 = 120582120584 120582 =119888

120584= 732 119888119898

Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh

120599 =122120582

119863= 122

7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime

13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla

lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm

Soluzione Per la formula di Rayleigh

120599 =122120582

119863= 122

2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime

14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo

alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm

Soluzione Ancora una volta

120599 =122120582

119863= 122 lowast 6563

10minus9

15= 53 10minus7119903119886119889 = 011

15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a

una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma

si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2

Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a

malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta

di vedere a malapena la stella S2

Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda

stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima

Quindi applicando la formula di Pogson

1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239

1198982 = 11 + 239 = 1339

Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9

volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio

dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1

16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di

diametro D=25cm

Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro

espresso in cm) troviamo

119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138

17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine

limite visuale di +16 con un telescopio

Soluzione Applicando la formula precedente

119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898

18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con

velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio

dellorbita e la massa della stella centrale

Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da

119907 =2120587119877

119879 119889119886 119888119906119894 119877 =

119907119879

2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107

62831= 1856 ∙ 1011119898

Dalla Terza legge di Keplero

119872 =412058721198773

1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892

La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA

Premessa

Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta

Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza

Elementi della sfera

Superficie sferica

Si chiama superficie sferica la figura

generata da una semicirconferenza

in una rotazione completa attorno

al suo diametro Possiamo anche

definirla come luogo geometrico La

superficie sferica egrave il luogo

geometrico dei punti dello spazio

che hanno distanza dal centro pari al

raggio

Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di

una rotazione completa attorno al suo diametro

Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello

spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al

raggio

Zona sferica

Si chiama zona sferica la parte di

superficie sferica compresa fra due

piani paralleli α e β che intersecano

la sfera Le circonferenze sezioni si

chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave

la distanza tra i due centri delle

circonferenze sezioni

Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per

uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a

essi corrispondente

Presi due punti distinti su una sfera per essi passa

una ed una sola circonferenza massima

Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza

massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si

chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data

superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)

Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono

alla superficie sferica

Si chiama diametro una corda passante per il centro

della superficie sferica e della sfera

Segmento sferico a due basi

Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera

compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera

stessa

Calotta Sferica

Definiamo calotta sferica ognuna

delle due parti in cui una superficie

sferica viene divisa da un piano

secante 120572 La calotta egrave la porzione di

superficie sferica ottenuta per

sezione con il piano α

Segmento sferico ad una base

Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle

due parti in cui una sfera viene divisa da un piano

secante α il segmento egrave la porzione di sfera

compresa tra il piano e la calotta

Fuso sferico

La parte di superficie sferica limitata da due

circonferenze massime di sezione dei

semipiani α e β con la superficie sferica

Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta

nella geometria piana

La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e

allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti

AB = OA x AOcircB

Triangolo sferico

Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre

archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti

non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non

devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici

Lati del triangolo sferico

Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie

Tali lati sono minori o uguali a 180

Angoli del triangolo sferico

Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma

degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli

180deg lt α+β+γ lt 540deg

Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave

degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo

stesso circolo massimo

La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico

ε= α+β+γ minus 180deg

Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni

sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da

cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss

di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli

sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento

sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari

Per un lato

cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)

sin (119886)

sin (119860)=sin (119887)

sin (119861)=sin (119888)

sin (119862)

Oppure

sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)

Triangolo di posizione astronomico

Vertici del triangolo

Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro

nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe

essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile

usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche

per il calcolo delle lunghezze dei lati

Lati del triangolo

I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180

definite come segue

bull Distanza polare p = 9 - 120575

la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)

Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel

primo caso e p gt 90 nel secondo

bull Colatitudine c = 9 - 120593

coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione

dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la

declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt

90 per quelle sud

bull Distanza zenitale z = 90 - h

Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il

complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri

nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90

I tre angoli sono

1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z

2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P

3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A

Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss

119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867

119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867

Primo Gruppo di Gauss

119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860

119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860

Secondo gruppo di Gauss

Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico

Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa

Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale

119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860

119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860

Le parti della sfera

Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera

di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle

corrispondenti superfici e volumi

FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA

1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito

Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit

la stella culmina a nord dello zenit

ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ

Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)

sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H

Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha

sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ

questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ

La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni

90-h= plusmn (ϕ - δ)

90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ

(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)

CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90

Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1

sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo

sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )

ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)

cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)

90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero

2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord

Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il

( ) Primo Gruppo di Gauss

sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ

isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575

cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =

sinℎ

cos120593 cos120575 -

sin120593 sin120575

cos120593 cos120575 ed ancora cosH =

cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)

Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con

H=arccos(θsin h

cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una

determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente

tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867

cos 119867

2 = - tan φ tan δ

Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)

si trova che cos 119867

2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39

minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)

mentre il 21 dicembre cos 119867

2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che

H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate

3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582

= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata

Calcolare

1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta

Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il

meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -

+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111

Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo

Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del

meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582

per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)

TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556

15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296

il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1

I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno

T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole

Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit

sin h = sin sin + cos cos cos H (I)

cos h sin A = - cos sin H (II)

cos h cos A = cos sin - sin cos cos H

Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque

cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333

= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689

H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006

Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006

il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4

Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7

Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave

T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4

Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle

formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H

Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord

sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686

AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1

sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686

AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo

DISTANZA TRA DUE STELLE

Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e

declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare

Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che

PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671

Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero

cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP

Sostituendo

Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP

Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)

E svolgendo I calcoli

Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904

α=24deg58

Bibliografia

Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore

Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli

Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora

Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura

Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli

Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore

Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio

Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam

Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore

Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore

Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore

Wikipedia sito web

Vialatteanet sito web

Treccani sito web

Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas

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