Instituto Tecnológico de Costa Rica

Escuela Ingeniería en Electrónica

Curso: Métodos Numéricos

Método de Bairstow

Profesor:Ing. Marvin Hernández C

II Semestre 2008

Agenda

INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DEL MÉTODO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS

INTRODUCCION

El método de Bairstow es utilizado para encontrar las n-raíces de un polinomio. El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson.

Es importante que recuerde la forma factorizada de un polinomio:

)2)(3)(5)(4)(1()(5 xxxxxxf

Método de Bairstow

El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson

)2)(3)(5)(4)(1()(5 xxxxxxf

Se basa en…

Por lo general en esta aproximación el proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor. Por ejemplo, el polinomio general

nnn xaxaxaaxf ...)( 2

210

Puede dividirse entre un factor para producir un segundo polinomio que dé un orden más bajo, con un residuo , donde los coeficientes son calculados por la relación de recurrencia.

21

11

iiii

nnn

nn

sbrbab

rbab

ab

2ni

Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:

21

11

iiii

nnn

nn

scrcbc

rcbc

bc

2ni

Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:

021

132

bscrc

bscrc

Para mejorar los valores iniciales de r y s, en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado como en:

%100

%100

,

,

s

s

y

r

r

sa

ra

Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los valores de las raíces pueden determinarse como:

2

42 srrx

Ejemplos: Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale

Tenemos que f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2

Obtenemos como solución tres valores de raíces

x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278

Tabla de Valores

Obteniendo finalmente un acercamiento a los valores de raíces:

x1= 1.999 x2= 0.4357 x3 = 3,278

Ejercicio 7.3(Chapra, Canale)Tenemos que

f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25

Averiguando R y S después de 4 iteraciones se obtiene que:

εa,r =55.23% εa,r =824.1 %

x1=0.5 y x2=-1

Quedando como cociente el polinomio:f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5

Utilizando el mismo método después de cinco iteraciones:

x3=1+0.499i x4=1-0.499i

Ahora el cociente es un polinomio de primer grado que puede ser directamente evaluado para determinar la quinta raíz:

x5= 2

Ejercicio 7.5 (Chapra, Canale)b) Utilizando:

para determinar los valores de b.Con

32 704.33.1697.2134.9)( xxxxf

nnn

nn

rbab

ab

11 nnn

nn

rcbc

bc

11

5.0

2

s

r

34.997.213.16704.3)( 23 xxxxf

226.0892.85.0334.2234.9

334.2704.35.0892.8297.21

892.8704.323.16

704.3

0

1

2

3

b

b

b

b

3346.2704.35.0484.12334.2

484.1704.32892.8

704.3

1

2

3

c

c

c

Reacomodando la ecuación:

Obteniendo el y el :

Resolviendo el sistema:

r s

334.2334.2484.1132

sr

bscrc

226.0484.1334.2021

sr

bscrc

5752.1

9047.0

s

r

0752.25752.15.0

0953.19047.02

s

r

Asi podemos obtener el % de error

100*, rr

E ra

100*, s

sE sa

%9.75,saE%6.82, raE

Aplicado a una segunda iteración:

05.2

179.0

r

r

08.1

042.0

s

s

Aplicado a una tercera iteración:

096.1

0165.0

s

s

103.2

053.0

r

r

Iteración r Δr s Δs

1 1.0953 -0.9047 -2.0752 -1.5752

2 2.05 -0.179 -1.08 -0.042

3 2.103 -0.053 -1.096 -0.0165

Tabla 1. Valores de r,Δr, s y Δs

Asi las raíces son:

29.22

4

1

2

1

x

srrx

14956.1

29.2

3

2

x

x