Integración Mediante Fracciones Parciales

 

La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los metodos de Integración mas facil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios. 

Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

En donde   y   son polinomios con coeficientes reales, y grado

Ejemplo:

 

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?

Veamos los siguientes casos:

CASO 1: Factores Lineales Distintos. 

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccion racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de

la forma  , siendo Auna constante a determinar. 

Ejemplo:

 luego nos queda la siguiente igualdad

 o tambien lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B

Haciendo un Sistema.

A + B = 0

2A - 2B = 1 , las soluciones son : 

Quedando de esta manera:

con lo cual

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b,que figure n veces en el denominador de una

fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO:

Calculemos la siguente integral

Pero:   Tendremos

Amplificando por 

Las Soluciones son:

Nos queda:

CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.

A cada factor cuadrático reducible,   que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la

forma   siendo A y Bconstantes a determinar.

Ejemplo:

Calcular:

Con lo que se obtiene 

 de donde

luego los valores a encontrar son.

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

 

CASO 4: Factores cuadráticos Iguales

A cada factor cuadrático irreducible,   que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales. 

Ejemplo:

Calcular la siguente integral

tendremos que   por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el minimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son

A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

Esto es fracciones parciales, gracias

3. Resolver la siguiente integral

 

 

Por medio del método de integración de fracciones parciales podemos determinar que esta se puede descomponer como suma de dos integrales.

 

 

 

Una forma de resolverla es encontrar las constantes, A,B y   C.

 

 

 

 

comparando esta expresión con Ec. 3A

 

 

 

 

A+C=0

B=2

C=1

 

De donde podemos deducir que A=-1, por lo que:

 

 

 Ejercicios resueltos

En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

 S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador contiene factores cuadráticos

 Ejercicios resueltos

 S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Integrales en las que aparecen expresiones cuadráticas

De la descomposición de fracciones parciales a veces resultan integrandos con expresiones cuadráticas ireductibles. De la integración de este tipo de funciones nos ocuparemos en los siguientes ejercicios resueltos.

  Ejercicios resueltos

En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida

 S o l u c i o n e s