Integración por Fracciones Parciales

Rolando Vilca Pacco

Semana 3

∫ .𝑰𝑳𝑨𝑻𝒆

∫ 𝑷 (𝒙)(𝒂𝟏+𝒃𝟏 ) (𝒂𝟐+𝒃𝟐 ) . ..+(𝒂𝒏+𝒃𝒏)

𝒅𝒙=∫ [ 𝑨𝒂𝟏+𝒃𝟏

+ 𝑩𝒂𝟐+𝒃𝟐

. . .+𝑲𝒏

𝒂𝒏+𝒃𝒏 ]𝒅𝒙

Técnicas de Integración: Integración por Fracciones Parciales

Consideremos la siguiente operación:

𝑓 (𝑥 )= 2𝑥+5 +

1𝑥+1 ¿

(𝑥+1 )2+(𝑥+5)1(𝑥+5)(𝑥+1)

¿2 𝑥+2+𝑥+5(𝑥+5)(𝑥+1)

¿3𝑥+7

(𝑥+5)(𝑥+1)∫ . ?𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠

𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎

𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠¿∫ 3 𝑥+7𝑥2+6 𝑥+5 ?

¿2

𝑥+5 +1

𝑥+1∫ . 𝐶𝑜𝑚𝑜𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑎𝑒𝑠𝑡𝑎𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

Fracciones parciales

∫ 𝑃 (𝑥)(𝑎1+𝑏1) (𝑎2+𝑏2 ) .. .+(𝑎𝑛+𝑏𝑛)

𝑑𝑥=¿¿

Para funciones racionales propias

Para funciones racionales propias

Consiste en descomponer a la fracción polinómica como una suma de fracciones

𝐸𝑗𝑚 .∫ 2𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)

𝑑𝑥

∫ [ 𝐴𝑎1+𝑏1

+ 𝐵𝑎2+𝑏2

. . .+𝐾𝑛

𝑎𝑛+𝑏𝑛 ]𝑑𝑥

Casos que se presentan

∫ 2𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)

𝑑𝑥 ∫ 𝑥2+2𝑥+4(𝑥−1)3

𝑑𝑥 ∫ 6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)

𝑑𝑥 ∫ 𝑥+3𝑥2(𝑥¿¿2+9)

¿

∫ 4 𝑥(𝑥¿¿2+1)(𝑥¿¿2+2𝑥+3)𝑑𝑥 ¿

¿ ∫ 𝑥3−2𝑥𝑥2+3𝑥+2

𝑑𝑥

Caso 1: Factores lineales distintos𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 2 𝑥+1

(𝑥−1)(𝑥+3)𝑑𝑥

2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)

=𝐴

𝑥−1 +𝐵𝑥+3

2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)

=(𝑥+3 ) 𝐴+(𝑥−1)𝐵

(𝑥−1)(𝑥+3)

2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)

=𝐴𝑥+3 𝐴+𝐵𝑥−𝐵

(𝑥−1)(𝑥+3)

2 𝑥+1=𝐴𝑥+𝐵𝑥+3 𝐴−𝐵

2 𝑥+1=( 𝐴+𝐵 )𝑥+3 𝐴−𝐵

2=𝐴+𝐵1=3 𝐴−𝐵3=4 𝐴

𝐴=3/4 𝐵=5/ 4

2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)

=𝐴

𝑥−1 +𝐵𝑥+3

2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)

=3/ 4𝑥−1 +

5 /4𝑥+3

∫ 2𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)

=∫ 3 /4𝑥−1+

5/ 4𝑥+3

∫ 3/ 4𝑥−1 +

5 /4𝑥+3=¿¿

34 𝑙𝑛|𝑥−1|+ 54 𝑙𝑛|𝑥+3|+𝐶

𝑰

𝑰𝑰

𝑰𝑰𝑰

Caso 2: Factores lineales repetidos𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥2+2𝑥+4

(𝑥+1)3𝑑𝑥

𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3

=𝐴𝑥+1

+𝐵

(𝑥+1)2+

𝐶(𝑥+1)3

𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3

=𝐴(𝑥+1)2+𝐵 (𝑥+1 )+𝐶

(𝑥+1)3

𝑥2+2𝑥+4=𝐴(𝑥+1)2+𝐵 (𝑥+1 )+𝐶

𝐴=1

𝑥=−1

−12+2(−1)+4=𝐴(0)2+(0 )𝐵+𝐶

1−2+4=𝐶 𝐶=3

𝑥2+2𝑥+4=𝐴(𝑥2+2 𝑥+1)+(𝑥+1 ) 𝐵+𝐶

𝑥2+2𝑥+4=𝐴𝑥2+2𝐴𝑥+𝐴+𝐵𝑥+𝐵+𝐶

𝑥2+2𝑥+4=𝐴𝑥2+ (2𝐴+𝐵 ) 𝑥+ 𝐴+𝐵+𝐶

2 𝐴+𝐵=2 𝐵=0

∴𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3

=𝐴𝑥+1

+𝐵

(𝑥+1)2+

𝐶(𝑥+1)3

𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3

=1

𝑥+1+

0(𝑥+1)2

+3

(𝑥+1)3

∫ . ∫ .𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3

𝑑𝑥=[ 1𝑥+1

+3

(𝑥+1)3 ]𝑑𝑥¿∫ 1

𝑥+1 𝑑𝑥+∫3 (𝑥+1)− 3𝑑𝑥

¿ 𝑙𝑛|𝑥+1|− 32 (𝑥+1)−2+𝐶

∫ 𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)3

𝑑𝑥

∫ 𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)3

𝑑𝑥

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝐶𝑟 í 𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 :

𝐶=?

𝐸𝑛𝑙𝑎𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖 ó𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎

Caso 3 Factor repetido y factor distinto

𝐷=16

𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 6𝑥−1𝑥3(2 𝑥−1)

𝑑𝑥

6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)

=𝐴𝑥 +

𝐵𝑥2

+𝐶𝑥3

+𝐷

(2 𝑥−1)

6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)

=𝐴𝑥2(2𝑥−1)𝑥3(2 𝑥−1)

+𝐵𝑥 (2 𝑥−1)𝑥3(2𝑥−1)

+𝐶 (2 𝑥−1)𝑥3(2 𝑥−1)

+ 𝐷𝑥3

𝑥3(2 𝑥−1)

6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)

=𝐴𝑥2 (2 𝑥−1 )+𝐵𝑥 (2𝑥−1 )+𝐶 (2𝑥−1 )+𝐷𝑥3

𝑥3 (2𝑥−1)

6 𝑥−1=𝐴𝑥2 (2𝑥−1 )+𝐵𝑥 (2𝑥−1 )+𝐶 (2𝑥−1 )+𝐷𝑥3𝑥=

12

3−1=𝐴𝑥2 (0 )+𝐵𝑥 (0 )+𝐶 (0 )+𝐷( 12 )3

2=𝐷8

𝑥=0−1=𝐴 .0 (2 𝑥−1 )+𝐵 .0 (2 𝑥−1 )+𝐶 (2 .0−1 )+𝐷 .0

−1=−𝐶 𝐶=1

𝑃𝐶

𝑃𝐶

6 𝑥−1=𝐴𝑥2 (2𝑥−1 )+𝐵𝑥 (2𝑥−1 )+𝐶 (2𝑥−1 )+𝐷𝑥3

𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 6𝑥−1𝑥3(2 𝑥−1)

𝑑𝑥

6 𝑥−1=2 𝐴𝑥3− 𝐴𝑥2+2𝐵𝑥2−𝐵𝑥+2𝐶𝑥−𝐶+𝐷𝑥3

6 𝑥−1=(2 𝐴+𝐷 ) 𝑥3+ (2𝐵−𝐴 ) 𝑥2+(2𝐶−𝐵 ) 𝑥−𝐶

6 𝑥−1=𝑥3 (2 𝐴+𝐷 )+𝑥2 (2𝐵−𝐴 )+𝑥 (2𝐶−𝐵)−𝐶

0=(2 𝐴+𝐷 )

𝐶=1

0=(2 𝐴+16 ) 𝐴=−80=(2𝐵−𝐴 )

0=(2𝐵+8 ) 𝐵=−4

𝐷=16

6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)

=𝐴𝑥 +

𝐵𝑥2

+𝐶𝑥3

+𝐷

(2 𝑥−1)

6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)

𝑑𝑥=−8𝑥 +

−4𝑥2

+1𝑥3

+16

(2𝑥−1)∫❑ ∫ .[ ]𝑑𝑥∫ 6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)

𝑑𝑥=∫−8𝑥 𝑑𝑥+∫−4 𝑥−2 𝑑𝑥+∫𝑥− 3𝑑𝑥+∫ 2 (8)(2 𝑥−1)

𝑑𝑥

∫ 6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)

𝑑𝑥=−8 𝑙𝑛|𝑥|+4 𝑥−1− 12 𝑥− 2+8 𝑙𝑛|2𝑥−1|+𝐶

Caso 4 Factor lineal repetido y uno cuadrático distinto

𝐵=13

𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥+3𝑥4+9𝑥2

𝑑𝑥𝑥+3

𝑥2(𝑥 ¿¿2+9)= 𝐴𝑥 +

𝐵𝑥2

+𝐶𝑥+𝐷𝑥2+9

¿

𝑥=0

9 𝐴=1 𝐴=1 /9

𝑥+3

𝑥2(𝑥¿¿2+9)= 𝐴𝑥 (𝑥2+9 )+𝐵 (𝑥2+9 )+(𝐶𝑥+𝐷)𝑥2

𝑥2(𝑥¿¿ 2+9)¿¿

𝑥+3=𝐴𝑥 (𝑥2+9 )+𝐵 (𝑥2+9 )+(𝐶𝑥+𝐷)𝑥2

3=𝐵 (02+9 )

𝑥+3=(𝐴𝑥3+9 𝐴𝑥 )+(𝐵 𝑥2+9𝐵 )+(𝐶𝑥3+𝐷𝑥2)𝑥+3=𝐴𝑥3+𝐶𝑥3+𝐵𝑥2+𝐷𝑥2+9 𝐴𝑥+9𝐵𝑥+3=(𝐴+𝐶 )𝑥3+(𝐵+𝐷)𝑥2+9 𝐴𝑥+9𝐵

𝐶=−1/9 𝐷=−1 /3

𝐵=13𝐴=1 /9 𝐶=−1/9 𝐷=−1 /3

𝑥+3𝑥4+9 𝑥2

=19 𝑥 +

13 𝑥2

+− 19 𝑥−

13

𝑥2+9

𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥+3𝑥4+9𝑥2

𝑑𝑥

𝑥+3𝑥4+9 𝑥2

=19 𝑥 +

13 𝑥2

−

19 𝑥

𝑥2+9−

13

𝑥2+9

∫ 𝑥+3𝑥4+9 𝑥2

=∫ 19𝑥 +∫ 1

3 𝑥2− 19∫

𝑥𝑥2+9

− 13∫1

𝑥2+9

∫ 𝑥+3𝑥4+9 𝑥2

𝑑𝑥=19∫

1𝑥 𝑑𝑥+

13∫𝑥−2𝑑𝑥− 19∫

𝑥𝑥2+9

𝑑𝑥− 13∫1

𝑥2+9𝑑𝑥

𝑑𝑥

∫ 𝑥+3𝑥4+9 𝑥2

𝑑𝑥=19∫

1𝑥 𝑑𝑥+

13∫𝑥−2𝑑𝑥− 1

9 .2∫2 𝑥𝑥2+9

𝑑𝑥− 13 .∫1

𝑥2+32𝑑𝑥

∫ 𝑥+3𝑥4+9 𝑥2

𝑑𝑥=19 𝑙𝑛|𝑥|− 13 𝑥

−1− 118 𝑙𝑛|𝑥2+9|− 19 𝑡𝑔−1 𝑥3 +𝐶

Caso 5 Factores cuadráticos Distintos

𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 4 𝑥(𝑥¿¿2+1)(𝑥¿¿2+2 𝑥+3)𝑑𝑥¿

¿

Caso 5 El integrando es una fracción impropia𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥3−2 𝑥

𝑥2+3 𝑥+2𝑑𝑥

Ejercicio en clase, Integrar:

𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 5 𝑥2−𝑥+1

𝑥3−4 𝑥𝑑𝑥

𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 9𝑥−8(𝑥−3)(2𝑥−5) 𝑑𝑥

𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥2

(𝑥−1 )3(𝑥2+4 )𝑑𝑥

𝑅𝑝𝑡 .19 𝑙𝑛|𝑥−3|− 292 𝑙𝑛|2 𝑥−5|+𝐶

𝑅𝑝𝑡 . 14 𝑙𝑛|𝑥|− 238 𝑙𝑛|𝑥+2|+ 198 𝑙𝑛|𝑥−2|+𝐶

𝑅𝑝𝑡 . 16 𝑥−1150 (𝑥−1 )2

− 2125

𝑙𝑛|𝑥2+4|+ 4125

𝑙𝑛|𝑥−1|− 22125

𝐴𝑟𝑐𝑇𝑔( 𝑥2 )+𝐶