BAB II

I N T E G R A L TERT E N T U DAN LUAS

Sifat-Sifat Integral Tertentu :

Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval integrasi a ≤ x ≤ b, maka :

10. Jika m dan M masing-masing adalah nilai absolute minimum dan absolute

maksimum dari f(x) pada interval tutup [a, b] sehingga m ≤ f(x) ≤ M, maka :

m(b-a) ≤ ≤ M(b-a)

Contoh-Contoh Perhitungan Luas :

1. Hitung luas yang dibatasi oleh y = x3, y = 0, x = 1, dan x = 3

Jawab :

2. Hitung luas yang dibatasi oleh y = ex, y = e-x, x = 0 dan x = 2

Jawab :

1 3X

Y

0

Y

1

210 X

e-x

ex

Tugas:

3. Hitung luas yang dibatasi oleh y = 2 – x2 dan y = -x

4. Hitung luas yang dibatasi oleh x = 1 + y2 dan x = 10

5. Hitung luas yang dibatasi oleh lengkung dengan persamaan y = x2 dan y =

Soal :

Langkah-Langkah Menghitung Luas :

43

2

dxsin x .3

x

dx 2.

dx x- 2x 1.

4

1

1

1

32

Langkah yang perlu diperhatikan dalam menghitung luas dengan integral tertentu

adalah membuat sketsa dari :

a) Daerah yang dicari

b) Subinterval ∆x atau ∆y

c) Titik xi atau yi dalam subinterval ini

d) Jalur (strip) yang berupa empat persegi panjang

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang terletak di atas sumbu x dan dibawah parabola y = 4x – x2

Jawab :

y = 4x – x2

= x(4 – x)

y = 0 → x1 = 0, x2 = 4

Grafik memotong sumbu x di titik :

x = 0 dan x = 4

2. Hitung luas yang dibatasi oleh parabola y2 = 2x - 2 dan garis y = x – 5

Y

0

Y

dx 4 X

Jawab :

y2 = 2x – 2 = 2(x – 1)

→ y = 0 → x = 1

dan x = 0 → y2 = -2

y2 = -2 berarti grafik tidak memo-

tong sumbu

y, karena y imaginer.

Fungsi hanya terdefinisi dalam

Interval x ≥ 1

Titik potong garis y = x – 5 adalah :

y2 = 2x - 2

(x – 5)2 = 2x - 2

x2 – 10x + 25 = 2x - 2

x2 – 12x + 27 = 0

(x – 9)(x – 3) = 0

→ x1 = 9 x2 = 3

y1 = 4 y2 = -2

Jadi titik-titik potongnya adalah P(3, -2) dan Q(9, 4)

3. Tentukan luas antara lengkung y = x3 – 6x2 + 8x dan sumbu x

Y

X

Q

P

0

-2

-5

5 9

x = ½ (y2 + 2)

x = y + 5

1

4

4. Hitung luas yang dibatasi oleh parabola y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x

PR

1. Hitung luas bagian lingkaran x2 + y2 = 25 yang terpotong oleh garis x = 3

2. Hitung luas yang menjadi milik bersama kedua lingkaran

x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 = 4x

3. Hitung luas daerah yang terletak di bawah satu lengkung sikloida :

x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ

4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = -x2 + 4x

5. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kedua lengkungan

f(x) = x3 – 6x2 + 8x dan g(x) = x2 - 4x