Informe de investigación operativa

“UN DÍ A DE CAMPO EN

FAMÍLÍA”

Nombre: Pía Bustamante Cáceres

Sebastián Jeldres.

Rodrigo Palma.

Profesor: Guillermo Sánchez M.

Fecha: 01 de Agosto del 2015

Contenido

1. Introducción ................................................................................................................. 1

2. Desarrollo .................................................................................................................... 2

2.1. Enunciado del problema ........................................................................................ 2

2.2. Solución con PPL .................................................................................................. 2

2.2.1. Diagrama de flujo máximo .............................................................................. 2

2.2.1. Objetivo ........................................................................................................... 3

2.2.2. Variables de decisión ...................................................................................... 4

2.2.3. Función objetivo .............................................................................................. 5

2.2.4. Restricciones................................................................................................... 5

2.2.4.1. Capacidad de automóvil ........................................................................... 5

2.2.4.2. Número de personas ................................................................................ 5

2.2.4.3. Integrantes de una misma familia por auto ............................................... 5

2.2.4.4. Conservación del flujo en nodos ............................................................... 6

2.2.5. Modelo matemático ......................................................................................... 6

2.2.6. Resolución utilizando software WinQSB ......................................................... 7

2.3. Solución con modelo de redes .............................................................................. 8

3. Conclusiones ............................................................................................................... 9

4. Referencia ................................................................................................................. 10

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO INGENIERÍA EN MINAS

INVESTIGACIÓN OPERATIVA Página 1

1. Introducción

El trabajo consiste en maximizar el número de personas transportadas de cuatro

familias en un día de campo, la cual se debe efectuar mediante 4 automóviles con

distintas capacidades y que ninguno transporte a más de dos personas de la misma

familia.

Con estos antecedentes generaremos un modelo matemático, cuyo objetivo sea

formular un problema de flujo máximo el cual determinara la máxima capacidad de flujo

que puede ingresar a través de la fuente y salir por el nodo de destino.

Se empleara el software WinQSB, para resolver el problema de programación lineal.

Se verificara que los valores proporcionados por WinSQB, resuelven el problema.

Objetivos:

a) Formular un problema de flujo máximo para el transporte de las personas.

b) Resolver este problema de flujo máximo empleando WinQSB.




2. Desarrollo

2.1. Enunciado del problema

Cuatro familias se van a su día de campo familiar anual. Se dispone de cuatro

automóviles para el transporte de las familias. El auto 1 puede transportar 4 personas;

el auto 2, 3 personas; el auto 3, 3 personas y el auto 4, 4 personas. Cada familia consta

de 4 personas y se ha decidido que ningún automóvil transporte a más de dos

personas de la misma familia.

2.2. Solución con PPL

A continuación se presenta los pasos que llevan a obtener una solución para el

problema de flujo máximo mediante un modelo de programación lineal.

2.2.1. Diagrama de flujo máximo

El siguiente diagrama representa un modelo de red.

Primer conjunto de nodos (F1, F2, F3, F4); familias.

Segundo conjunto de nodos (A1, A2, A3, A4); autos.

Primer conjunto de arco (F; F1), (F; F2), (F; F3), (F; F4), número de integrantes

de cada familia.

Segundo conjunto de arcos ((F1, A1), (F1, A2), (F1, A3), (F1,A4)), ((F2, A1), (F2,

A2), (F2, A3), (F2,A4)), ((F3, A1), (F3, A2), (F3, A3), (F3,A4)), ((F4, A1), (F4, A2),

(F4, A3), (F4,A4)) .máximo número de integrantes de cada familia que pueden

ser transportados en cada automóvil.

Tercer conjunto de arcos (A1, D), (A2, D), (A3, D), (A4, D); Capacidad de los

autos.

En el diagrama de flujo máximo en cada nodo el flujo que entra debe ser igual al flujo que sale. Entonces desde D deben salir 14… podríamos indicar que este diagrama es para plantear el problema y que el diagrama final será una vez que encontramos la solución,




Arco Cap. Arco Cap. Arco Cap. Arco Cap.

(F, F1) 4 (F1,A1) 2 (F3,A1) 2 (A1,D) 4

(F, F2) 4 (F1,A2) 2 (F3,A2) 2 (A2,D) 3

(F, F3) 4 (F1,A3) 2 (F3,A3) 2 (A3,D) 3

(F, F4) 4 (F1,A4) 2 (F3,A4) 2 (A4,D) 4

(F2,A1) 2 (F4,A1) 2

(F2,A2) 2 (F4,A2) 2 (D,F) 16

(F2,A3) 2 (F4,A3) 2

(F2,A4) 2 (F4,A4) 2

2.2.1. Objetivo

Transportar la mayor cantidad de personas maximizando el transporte.

F

A1

A2

A3

A4

D

F1

F2

F3

F4

4

4

4

4

4

4

3

3

16

2




2.2.2. Variables de decisión

Se definen las siguientes variables de decisión:

X1 Número de integrantes de la familia 1 que viajaran en el auto 1








X9 Número de integrantes de la familia 3 que viaja en el auto 1








X17 Número de personas máxima que viajaran en el auto 1




X21 Número total de pasajeros que viajaran

X22 Número de personas de la familia 1







2.2.3. Función objetivo

Se busca transportar a la mayor cantidad de personas.

La función objetivo es z = X21 (personas transportadas)

2.2.4. Restricciones

Se identifican restricciones para la capacidad de los automóviles, el número de

personas por familia, la cantidad de integrantes de una misma familia que puede

transportar en un automóvil y la conservación del flujo en cada nodo.

2.2.4.1. Capacidad de automóvil

2.2.4.2. Número de personas

2.2.4.3. Integrantes de una misma familia por auto

Familia 1 Familia 2 Familia 3 Familia 4

Auto 1 X1 ≤ 2 X2 ≤ 2 X3 ≤ 2 X4 ≤ 2 (personas) Auto 2 X5 ≤ 2 X6 ≤ 2 X7 ≤ 2 X8 ≤ 2 (personas) Auto 3 X9 ≤ 2 X10 ≤ 2 X11 ≤ 2 X12 ≤ 2 (personas) Auto 4 X13 ≤ 2 X14 ≤ 2 X15 ≤ 2 X16 ≤ 2 (personas)

Auto 1 X17 ≤ 4 (personas)

Auto 2 X18 ≤ 3 (personas) Auto 3 X19 ≤ 3 (personas) Auto 4 X20 ≤ 4 (personas)

Familia 1 X22 ≤ 4 (personas)

Familia 2 X23 ≤ 4 (personas) Familia 3 X24 ≤ 4 (personas) Familia 4 X25 ≤ 4 (personas) Total Personas X21 ≤16 (personas)




2.2.4.4. Conservación del flujo en nodos

Nodo F X21 = X22+X23+ X24+ X25 (personas)

Nodo F1 X22 = X1+X2+ X3+ X4 (personas) Nodo F2 X23 = X5+X6+ X7+ X8 (personas) Nodo F3 X24 = X9+X10+ X11+ X12 (personas) Nodo F4 X25 = X13+X14+ X15+ X16 (personas) Nodo A1 X17 = X1+X5+ X9+ X13 (personas) Nodo A2 X18 = X2+X6+ X10+ X14 (personas) Nodo A3 X19 = X3+X7+ X11+ X15 (personas) Nodo A4 X20 = X4+X8+ X12+ X16 (personas)

2.2.5. Modelo matemático

Maximizar z = X21

Sujeto a:

C1 X1 2 C5 X5 2 C9 X9 2 C13 X13 2

C2 X2 2 C6 X6 2 C10 X10 2 C14 X14 2 C3 X3 2 C7 X7 2 C11 X11 2 C15 X15 2 C4 X4 2 C8 X8 2 C12 X12 2 C16 X16 2

C17 X17 4 C22 X22 4

C18 X18 3 C23 X23 4 C19 X19 3 C24 X24 4 C20 X20 4 C25 X25 4 C21 X21 16

C26 0 = X22 + X23 + X24 + X25 – X21

C27 0 = X1 + X2 + X3 + X4 – X22

C28 0 = X5 + X6 + X7 +X8 – X23

C29 0 = X9 + X10 + X11 + X12 – X24

C30 0 = X13 + X14 + X15 + X16 –X25

C31 0 = X1 + X5 + X9 + X13 – X17

C32 0 = X2 + X6 + X10 + X14 – X18

C33 0 = X3 + X7 + X11 + X15 – X19

C34 0 = X4 + X8 + X12 + X16 – X20

C35 0 = X17 + X18 + X19 + X20 – X21

Xi 0 , i = 1, 2, …, 25.

Xi Z




2.2.6. Resolución utilizando software WinQSB

Decisión Variable

solución Value

Decisión Variable

solución Value

X1 2 X16 2

X2 2 X17 4

X3 0 X18 3

X4 0 X19 3

X5 2 X20 4

X6 0 X21 14

X7 2 X22 4

X8 0 X23 4

X9 0 X24 4

X10 1 X25 2

X11 1

X12 2

Función (Max.) = 14 X13 0

X14 0

X15 0

Desde C1 a C25 fueron ingresadas como límite superior.

Desde C26 a C35 el valor entregado por WinQSB es cero.

El resultado del PPL expresado como modelo de red queda de la siguiente forma:

F

A1

A2

A3

A4

D

F1

F2

F3

F4

4

4

4

2

4

4

3

3

14

2

2

2

2

2

2

1

1




2.3. Solución con modelo de redes

Se utilizan los mismos datos pero se ingresan en el módulo de redes de WinQSB,

obteniendo el siguiente resultado.

From To Net Flow From To Net Flow

1 Node1 Node2 4 9 Node4 Node6 2








Total Net Flow from Node1 to Node 10 = 14

El resultado del módulo de redes expresado como modelo de red queda de la siguiente

forma:

F

A1

A2

A3

A4

D

F1

F2

F3

F4

4

3

3

4

4

4

3

3

14

2 2

1

2

2

1

2

2




3. Conclusiones

El resultado del PPL indica que pueden transportarse como máximo 14 personas, el

total de integrantes de las 4 familias es de 16 personas, por lo tanto 2 integrantes no

podrán viajar en automóvil.

Para satisfacer las condiciones del problema se pueden dar las siguientes opciones:

Que no viajen en automóvil 2 integrantes de una misma familia.

Que no viajen en automóvil 1 integrante de 2 familias.

Se pueden establecer diferentes alternativas de solución a las entregadas por WinQSB

en el módulo de programación lineal y en el módulo de redes. Siempre quedarán fuera

2 personas.




4. Referencia

Clases del curso “investigación operativa 1”, PROSEMIN, USACH, 2015.

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