METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEARPenulis: Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc, email: supri@fisika.ui.ac.id Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia Pengenalan metode iterasi Metode Iterasi Gauss-Seidel merupakan modifikasi dari metode Iterasi Jacobi. Modifikasi tersebut terletak pada rumus berikut:

( xi

(k)

j=1

>

i1

aijx(k)j

) >

n j = i +1

(a x ) + bij j( k 1)

i

=

aii

(1)

dimana i=1,2,3,...,n. Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan contoh berikut, diketahui sistem persamaan linear Ax = b yaitu10x1 x2+2x3

= = = =

6 25

x 1 + 11 x 2 x 3 + 3 x 4

2x1 x2+10x3 x4

11

3x2 x3+8x4

15

Lalu, sistem persamaan tersebut diubah susunannya menjadi seperti inix(k)

1 = 10 1 = = =x2

(k1)

2

(k1)

6 + 10 3 25(k1)1 1

1

x2

10x3 1(k)11 3

(k )

(k1)

x

(k )

3

11 x 1 + 2 3

x

1 + 10x2+

1

x4(k )

+ 11 11(k )

(k1)

10 x

1

x

(k )

4

1

10 x 4 15(k )

10(k )

8x2 +

8

x3 + 81

Misalnya kita tentukan nilai-nilai awal x(0) sebagai berikut x(0)= 0, x(0)2

= 0, x(0)3

= 0

dan x(0)4=

0. Atau dinyatakan seperti ini x(0) = (0; 0; 0; 0)t. Maka pada k = 1 kita akan

1

memperoleh nilai-nilai x(1) sebagai berikutx(1)

1 = 0, 6000 x2 = 2, 3272 (1) x3 = 0, 9873 (1) x4 = 0, 8789 (1)

Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu seterusnya proses ini diulangulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai x(k) mendekati solusi yang sesungguhnya, yaitu x = (1; 2; 1; 1)t Marilah kita amati hasil seluruh iterasi. Tabel di bawah ini menampilkan hasil perhitungan hingga iterasi yang ke-5. Kita bisa saksikan bahwa dibandingkan dengan iterasi Jacobi, problem sistem persamaan linear yang sama, bisa diselesaikan oleh metode iterasi GaussSeidel dalam 5 kali iterasi.

k

0

1

2

3

4

5

2

x(k)

1

x(k)

2 3 4

x(k) x(k)

0,0000 0,6000

1,030

1,0065

1,0009

1,0001

0,0000 2,3272 2,037 2,0036 2,0003 2,0000 0,0000 -0,9873 -1,014 -1,0025 -1,0003 -1,0000 0,0000 0,8789 0,9844 0,9983 0,9999 1,0000

3

Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Gauss-Seidel bekerja lebih efektifdibandingkan iterasi Jacobi. Ya.., memang secara umum demikian, akan tetapi ternyata ditemukan kondisi yang sebaliknya pada kasus-kasus yang lain. Algoritma Iterasi Jacobi Langkah 1: Tentukan k= 1 Langkah 2: Ketika (k N) lakukan Langkah 3-6 Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah ~i1=1

ai x

In =i+1 ai XOaii

+ bi

xi =

4

Langkah 4: Jika Mx XOM < c, maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn) lalu STOP Langkah 5: Tentukan k=k+1 Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan XO= x

Langkah 7: OUTPUT (Iterasi maksimum telah terlampaui) lalu STOPProgram dalam Fortran IMPLICIT NONE DIMENSION A(10,10) ,B(10) ,X(10) ,XO(10) REAL A,B,X,XO,EPS,NORM, S1,S2 INTEGER N, I, J, K, ITMAX WRITE(*,*) WRITE(*,*) ==> ITERASI GAUSS-SEIDEL UNTUK SISTEM LINEAR