izvuz_fmn_eng.pnzgu.ru · № 2 (10), 2009 Физико-математические науки. Математика 1 ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

№ 2 (10), 2009 Физико-математические науки. Математика

1

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

№ 2 (10) 2009

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Чугунова В. В. Об одном множестве функций ........................................................... 2

Миронов Д. А. Применение суперкомпьютерных вычислительных сред для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле ................................................................... 14

Бойков И. В., Кучумов Е. В. Об одном итерационном методе решения интегральных уравнений Вольтерра .................................................................... 25

Долгарев А. И., Долгарев И. А. Некоторые приложения галилеевых методов ..... 39

Алехина М. А., Зиновьева С. М. Синтез асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ в базисе { 1 2x x , 1 2&x x , 1x , stop}.................................................... 60

Долгарев И. А. Получение поверхностей одулярного галилеева пространства с сибсоном по коэффициентам их квадратичных форм ..................................... 68

Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Аналитическое продолжение функции Грина для уравнения Гельмгольца в слое............................................ 83

ФИЗИКА Голованов О. А., Макеева Г. С., Савченкова М. В. Вычислительный алгоритм

определения дескрипторов автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке .................................................................. 91

Макеева Г. С., Голованов О. А., Савченкова М. В. Электродинамический расчет ферромагнитного резонанса в магнитных композитных наноматериалах на основе решеток ферромагнитных наносфер .................... 102

Амелин И. И. Роль различных поверхностей монокристалла CuO в сверхпроводимости интерфейса CuO–Cu ....................................................... 110

Тимофеев В. Ю., Зайцев А. А. Моделирование тепловых полей в сложных динамических системах средствами САПР ....................................................... 115

Жуковский В. Ч., Горшков О. Н., Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Смирнов Ю. Г., Чупрунов Е. В., Рудин В. А., Скибицкая Н. Ю., Кревчик П. В., Филатов Д. О., Антонов Д. А., Лапшина М. А., Шенина М. Е., Ямамото К. Особенности двумерных туннельных бифуркаций в условиях внешнего электрического поля.................................. 123

Довыденков В. А., Ярмолык М. В., Буев А. Р., Леухин А. В., Сазонов А. Р. Нанокристаллические материалы с термически устойчивой структурой ...... 136

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2

МАТ ЕМА ТИ К А

УДК 519.718

В. В. Чугунова

ОБ ОДНОМ МНОЖЕСТВЕ ФУНКЦИЙ Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадеж-ных функциональных элементов в базисах, содержащих функцию h(x1, ..., 2 1kx )

множества H2k + 1. Предполагается, что базисные элементы независимо друг от друга с вероятностью ( (0; 1/2)) подвержены инверсным неисправностям на входах элементов. В работе показано: 1) в произвольном конечном полном базисе B, содержащем функцию h(x1, ..., 2 1kx ) множества H2k + 1, все булевы

функции можно реализовать схемами с ненадежностью не более ak+1 + k+2

при 2

1

48 (2 1)am k

, где a = 1

2 1kkC , m – наибольшее число входов элементов

в полном конечном базисе B; 2) в базисе B , содержащем все функции, зави-сящие не более чем от двух переменных, и функцию h(x1, ..., 2 1kx ) H2k + 1,

функции 0, 1, x1, x2, …, xn можно реализовать абсолютно надежно, а все ос-тальные функции можно реализовать асимптотически оптимальными по на-дежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически

(при 0) равной ak+1, где a = 12 1kkC .

Ключевые слова: булевы функции, синтез, асимптотически оптимальные по надежности схемы. Abstract. The realization of Boolean functions with circuits of unreliable functional elements in bases, contained the function h(x1, ..., 2 1kx ) from set H2k + 1 is consid-

ered. The basis elements are supposed to be prone to inverse faults on element inputs independently from each other with the probability ( (0; 1/2)). I this work there are demonstrated: 1) in arbitrary finite full basis B, contained function h(x1, ..., 2 1kx )

of set H2k + 1, all Boolean functions are possible to realize with circuits with reliabil-

ity at most ak+1 + k+2 at 2

1

48 (2 1)am k

, where a = 1

2 1kkC , m is the greatest

number of element inputs in finite full basis B; 2) in basis B , contained all func-tions, depended at most on two variables, and the function h(x1, ..., 2 1kx ) H2k + 1,

functions are possible to realize with asymptotically optimal on reliability circuits,

worked with unreliability, asymptotically equal to ak+1 (at 0), where a = 12 1kkC .

Keywords: boolean functions, asymptotically optimal reliable circuits.

Впервые задачу синтеза надежных схем из ненадежных элементов рас-сматривал Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что все элементы схемы не-зависимо друг от друга с вероятностью ( < 1/2 ) подвержены инверсным неисправностям на выходах, когда функциональный элемент с приписанной ему булевой функцией ( )e x в неисправном состоянии реализует ( )e x .


3

Для повышения надежности схем Дж. фон Нейман использовал схему, реали-зующую функцию голосования 1 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , )g x x x x x x x x x . Позднее М. А. Алехина и С. И. Аксенов ввели в рассмотрение новые классы функций,

корректирующих ошибки: 1G = { 1 21 2x x 31

1 3x x 322 3x x }, 2G = { 1 2

1 2x x

3 43 4x x }, 3G = {( 1 2

1 2x x )&( 3 43 4x x )} (где i {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4).

С. И. Аксенов показал [2], что при инверсных неисправностях на выхо-дах элементов наличие любой из функций множества G = G1 G2 G3 в за-данном полном базисе Б гарантирует реализацию произвольной булевой функции схемой, функционирующей с вероятностью ошибки не больше + c2 , где ≤ d, c, d – некоторые положительные константы.

В работе [3] М. А. Алехина ввела новый класс функций kM , повы-

шающих надежность схем, и доказала для него теорему 1. Множество kM –

множество всех булевых функций 1( , ..., )km x x (k 3), обладающих свойст-

вом: найдется такой набор 1( , ..., )kb b , что на нем и всех соседних с ним набо-

рах функция 1( , ..., )km x x принимает значение 0, а на наборе 1( , ..., )kb b и всех

соседних с ним наборах – значение 1. Наборы 1( , ..., )kb b и 1( , ..., )kb b назы-

ваются характеристическими наборами функции 1( , ..., )km x x .

Теорема 1 [3]. Пусть 1( , ..., )nf x x – произвольная булева функция, а S – схема, ее реализующая с ненадежностью P(S) ≤ p. Пусть схема Sm реализует функцию 1( , ..., )km x x kM и ( )mP S p . Обозначим v1 и v0 – вероятности

ошибок схемы mS на характеристических наборах. Тогда функцию

1( , ..., )nf x x можно реализовать такой схемой (S), что P((S)) ≤ max{v1, v0} +

+ cp2 , где положительная константа [ / 2]kkc kC .

Следствие 1. Пусть полный базис Б содержит функцию 1( , ..., )km x x

kM , а функциональные элементы с вероятностью подвержены инверс-

ным неисправностям на выходах. Пусть 1( , ..., )nf x x – произвольная булева

функция, а S – схема, реализующая ее с ненадежностью P(S) ≤ s (s – положи-тельная константа). Тогда функцию 1( , ..., )nf x x можно реализовать такой

схемой A над Б, что P(A) ≤ + c2 (положительная константа [ / 2] 2kkc kC s ).

Из рассмотренных выше результатов следует, что существуют такие булевы функции, наличие которых в рассматриваемом базисе при инверсных неисправностях на выходах позволяет реализовать почти все булевы функции асимптотически оптимальными по надежности схемами с ненадежностью (при 0).

Пусть функциональные элементы подвержены инверсным неисправно-стям на входах. Эти неисправности характеризуются тем, что поступающее на каждый вход элемента значение a (a {0, 1}) с вероятностью (0 < < 1/2) может превратиться в значение a . Очевидно, что при инверсных неисправ-ностях на входах с увеличением t – числа входов каждого элемента базиса Б, его ненадежность увеличивается до t . Возникает вопрос: можно ли при ин-версных неисправностях на входах элементов реализовать произвольную бу-


4

леву функцию схемой с ненадежностью порядка [t/2] + 1 (где t 3)? Ответ на него получен в этой статье.

Пусть ( ) ( , )f aP S a – вероятность появления значения ( )f a на выходе

схемы S, реализующей булеву функцию 1( ) ( , ..., )nf x f x x при входном на-

боре a . Ненадежность P(S) схемы S определяется как максимальное из чисел

( ) ( , )f aP S a при всевозможных входных наборах a . Надежность схемы S рав-

на 1 – P(S). Обозначим ( ) inf ( )P f P S , где S – схема из ненадежных элементов,

реализующая булеву функцию ( )f x . Схему A из ненадежных элементов, реа-лизующую булеву функцию ( )f x , назовем асимптотически оптимальной

(наилучшей) по надежности, если P(A) ( )P f при 0.

Рассмотрим множество функций H2k + 1, содержащее функции h(x1, ..., x2k + 1), существенно зависящие от (2k + 1) (где k = 1, 2, ...) переменных и об-ладающие свойствами:

1) найдется такой набор значений переменных 1 2 1( , ..., )kb b b , что на

нем и на всех наборах 1 2 1( , ..., )ka a a таких, что

2 1

1

( , )k

i ii

a b a b k

,

функция принимает значение 0, т.е. ( ) ( ) 0h b h a ;

2) на наборе 1 2 1( , ..., )kb b b и на всех наборах 1 2 1( , ..., )kc c c , таких, что

2 1

1

( , )k

i ii

c b c b k

,

функция принимает значение 1, т.е. ( ) ( ) 1h b h c .

Наборы 1 2 1( , ..., )kb b b и 1 2 1( , ..., )kb b b назовем характеристиче-

скими наборами функции h(x1, ..., x2k + 1). Функции множества H2k+1 можно представить в виде ДНФ. Для этого

фиксируем числа 1, 2, ..., 2k+1 {0, 1} и получаем соответствующую им функцию:

1 2 1

1 2 1, ,..., {1, 2, ..., 2 1}

( , ..., )

kj p

ki i i k

i i

h x x

11 2

1 2 1... ii i k

ki i ix x x

,

где под знаком дизъюнкции стоят все возможные элементарные конъюнкции

ранга (k + 1) от (2k + 1) переменных (их 12 1kkC штук).

Число функций во множестве H2k + 1 равно: |H2k + 1| = 22k + 1. Пример 1. При k = 1 множество рассматриваемых функций H3 имеет

вид: 1 2 3( , , )h x x x = 1 21 2x x 31

1 3x x 322 3x x , где i {0, 1}, i = 1, 2, 3.


5

Пример 2. При k = 2 и 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 1 функция множества H5 может быть задана СДНФ: h( 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x ) = 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x

1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x

1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x

1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x 1 2 3 4 5x x x x x .

Минимизируя СДНФ, получим: h(x1, x2, x3, x4, x5) = x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x2 x5 x2 x3 x4 x2 x3 x5 x3 x4 x5 x2 x4 x5 x1 x3 x4 x1 x3 x5 x1 x4 x5.

В случае k = 2 и произвольных i {0, 1}, рассуждая аналогично, по-

лучим: h( 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x ) = 31 21 2 3x x x 1 2 4

1 2 4x x x 51 251 2x x x

32 42 3 4x x x 3 52

52 3x x x 3 5453 4x x x 52 4

52 4x x x 31 41 3 4x x x 3 51

51 3x x x

51 451 4x x x , где i {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4, 5.

Теорема 2. Пусть полный базис B содержит функцию h(x1, ..., x2k+1) H2k + 1, а функциональные элементы с вероятностью подвержены инверс-ным неисправностям на входах. Допустим, что произвольную булеву функ-цию ( )f x можно реализовать такой схемой S, что P(S) ≤ p. Тогда функцию

( )f x можно реализовать такой схемой (S) над B, что

P((S)) ≤ ak + 1 + (2k + 1)ap2, (1)

где 12 1kka C .

Доказательство. Пусть ( )f x – произвольная булева функция, а S –

схема, реализующая ее с ненадежностью P(S) ≤ p в базисе B, содержащем функцию h(x1, ..., x2k+1), удовлетворяющую условиям теоремы 2. Пусть эле-мент Eh реализует функцию h(x1, ..., x2k+1) и P(Eh) ≤ p. Так как множество функций H2k + 1 M2k + 1, то для функций h(x1, ..., x2k+1) утверждение теоремы 1 справедливо.

Найдем вероятности ошибок на выходе функционального элемента

Eh на характеристических наборах: 1 2 1 12 1 (1 )k k k

kC

+ 2 2 12 1 (1 )k k k

kC + ... + 2 2

2 1 (1 )k kkC + 2 1 2 1

2 1k kkC ≤ 1 1

2 1k kkC .

Используя теорему 1, по схеме S построим такую схему (S), ненадеж-

ность которой: P((S)) ≤ 1 2ka cp , где a = 12 1kkC , c ≤ (2k + 1)a.

Схема (S) является искомой схемой (S). Теорема 2 доказана. Следствие 1. При k = 1 неравенство (1) принимает вид

P((S)) ≤ 32 + 9p2. (2)

Следствие 2. При k = 2 неравенство (1) принимает вид

P((S)) ≤ 103 + 50p2. (3)


P((S)) ≤ 354 + 245p2. (4)



6

P((S)) ≤ 1265 + 1134p2. (5)

Пусть B1 – произвольный конечный полный базис, содержащий хотя бы одну из функций множества H3, а m – наибольшее число входов элементов базиса B1 (m 3). Тогда в базисе B1 справедлива теорема 3.

Теорема 3. При ≤ 1/(432m2) любую булеву функцию ( )f x в полном

конечном базисе B1 можно реализовать такой схемой S, ненадежность кото-рой P(S) ≤ 32 + 3.

Для доказательства теоремы 3 используем леммы 1 и 2. Лемма 1 [2]. Если B – конечный полный базис, тогда функцию штрих

Шеффера xy можно реализовать над B схемой, в которой не более шести функциональных элементов.

Лемма 2 [4]. Если схема S* в произвольном базисе B реализует функ-цию штрих Шеффера xy с ненадежностью P(S*) ≤ , то при ≤ 1/50 любую булеву функцию ( )f x в базисе B можно реализовать схемой S, ненадежность

которой P(S) ≤ 4. Доказательство теоремы 3. В базисе B1, содержащем хотя бы одну из

функций множества H3, можно построить схему S*, реализующую функцию штрих Шеффера xy и состоящую из не более шести функциональных эле-ментов (лемма 1), т.е. P(S*) ≤ 6m, тогда ≤ 6m, где m – наибольшее число входов элементов базиса B1 (m 3).

Следовательно, используя лемму 2, получим: при ≤ 1/(300m) любую булеву функцию ( )f x в базисе B1 можно реализовать схемой S , ненадеж-

ность которой P( S ) ≤ 24m. Используя следствие 1 из теоремы 2, по схеме S построим схему ( S ),

ненадежность которой P(( S )) ≤ 32 + 9(24m)2 ≤ 13 при ≤ min{1/(300m); 1/(2492m2)} = 1/(432m2) (по формуле (2)). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ( S ) построим схему 2( S ), для которой P(2( S )) ≤ 32 + 9(13)2 = = 15242 ≤ при ≤ 1/(432m2). На четвертом шаге итерации построим схему 3( S ), ненадежность которой P(3( S )) ≤ 32 + 9()2 = 122 при ≤ 1/(432m2).

По схеме 3( S ) построим схему 4( S ), реализующую ( )f x с ненадежностью

P(4( S )) ≤ 32 + 9(122)2 = 32 + 12964 ≤ 32 + 3 при ≤ 1/(432m2). Схема

4( S ) искомая, т.е. S = 4( S ). Теорема 3 доказана. В базисе B2 – произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя

бы одну из функций множества H5, можно аналогично доказать теорему 4. Пусть m – наибольшее число входов элементов базиса B2 (m 3). Теорема 4. При ≤ 1/(2400m2) любую булеву функцию ( )f x в полном


Доказательство. В базисе B2, содержащем хотя бы одну из функций множества H5, можно построить схему S*, реализующую функцию штрих Шеффера xy и состоящую из не более шести функциональных элементов (лемма 1), т.е. P(S*) ≤ 6m, тогда ≤ 6m, где m – наибольшее число входов элементов базиса B2 (m 3).


7



ненадежность которой P(( S )) ≤ 103 + 50(24m)2 ≤ 13 при ≤ min{1/(300m); 1/(24502m2)} = 1/(2400m2) (по формуле (3)). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ( S ) построим схему 2( S ), для которой P(2( S )) ≤ 103 + 50(13)2 = = 84512 ≤ при ≤ 1/(2400m2). На четвертом шаге итерации построим схему 3( S ), ненадежность которой P(3( S )) ≤ 103 + 50()2 = 512 при ≤ 1/(2400m2). По схеме 3( S ) построим схему 4( S ), реализующую ( )f x с ненадежностью

P(4( S )) ≤ 103 + 50(512)2 ≤ 173 при ≤ 1/(2400m2). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме 4( S ) построим схему 5( S ), для которой P(5( S )) ≤ 103 + + 50(173)2 ≤ 103 + 4 при ≤ 1/(2400m2). Схема 5( S ) искомая, т.е. S = 5( S ).

Теорема 4 доказана. В базисе B3 – произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя

бы одну из функций множества H7, можно доказать теорему 5. Пусть m – наибольшее число входов элементов базиса B3 (m 3). Теорема 5. При ≤ 1/(11760m2) любую булеву функцию ( )f x в полном





ненадежность которой P(( S )) ≤ 354 + 245(24m)2 ≤ 13 при ≤ min{1/(300m); 1/(242452m2)} = 1/(11760m2) (по формуле (4)). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ( S ) построим схему 2( S ), для которой P(2( S )) ≤ 354 + + 245(13)2 ≤ при ≤ 1/(11760m2). На четвертом шаге итерации построим схему 3( S ), ненадежность которой P(3( S )) ≤ 354 + 245()2 ≤ 2462 при ≤ 1/(11760m2). По схеме 3( S ) построим схему 4( S ), реализующую

( )f x с ненадежностью P(4( S )) ≤ 354 + 245(2462)2 = 603054 ≤ 3 при ≤

≤ 1/(11760m2). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме 4( S ) построим схему 5( S ), для которой P(5( S )) ≤ 354 + 245(3)2 ≤ 354 + 5 при ≤ 1/(11760m2). Схема 5( S ) искомая, т.е. S = 5( S ).

Теорема 5 доказана. В базисе B4 – произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя

бы одну из функций множества H9, можно доказать теорему 6. Пусть m – наибольшее число входов элементов базиса B4 (m 3).


8

Теорема 6. При ≤ 1/(54432m2) любую булеву функцию ( )f x в полном





ненадежность которой P(( S )) ≤ 1265 + 1134(24m)2 ≤ 13 при ≤ ≤ min{1/(300m); 1/(2411342m2)} = 1/(54432m2) (по формуле (5)). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ( S ) построим схему 2( S ), для которой

P(2( S )) ≤ 1265 + 1134(13)2 ≤ при ≤ 1/(54432m2). На четвертом шаге ите-

рации построим схему 3( S ), ненадежность которой P(3( S )) ≤ 1265 +

+ 1134()2 ≤ 11352 при ≤ 1/(54432m2). По схеме 3( S ) построим схему 4( S ),

реализующую ( )f x с ненадежностью P(4( S )) ≤ 1265 + 1134(11352)2 ≤

≤ 29833 при ≤ 1/(54432m2). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме 4( S )

построим схему 5( S ), для которой P(5( S )) ≤ 1265 + 1134(29833)2 ≤ ≤ 207245 ≤ 4 при ≤ 1/(54432m2). На следующем шаге итерации построим схему 6( S ), ненадежность которой P(6( S )) ≤ 1265 ++ 1134(4)2 ≤ 1265 + 6

при ≤ 1/(54432m2). Схема 6( S ) искомая, т.е. S = 6( S ). Теорема 6 доказана. Теорема 7. Пусть m – наибольшее число входов элементов в полном

конечном базисе B, содержащем хотя бы одну функцию h(x1, ..., x2k + 1) множе-ства H2k + 1 (m 3), тогда любую булеву функцию ( )f x в базисе B при

2

1

48 (2 1)am k

можно реализовать схемой S, ненадежность которой

1 2( ) k kP S a , где a = 12 1kkC , k = 1, 2, ...

Доказательство. Проведем индукцией по числу k. При k = 1 утверждение верно (см. теорему 3). При k = 2 утверждение верно (см. теорему 4). При k = 3 утверждение верно (см. теорему 5). При k = 4 утверждение верно (см. теорему 6). Допустим, что при k 5 утверждение теоремы 7 верно, т.е. в базисе B ,

содержащем функцию 1 2 1( , ..., )kh x x , найдется такая схема S , реали-

зующая функцию ( )f x , ненадежность которой: P( S ) ≤ ak + k + 1 ≤ (a + 1)k

при 2

2 1

1

48 (2 1) kkm k C

.


9

Докажем справедливость теоремы для (k + 1), т.е. в базисе B, содержа-щем функцию 1 2 1( , ..., )kh x x . Так как базис B содержит функцию

1 2 1( , ..., )kh x x , то можно считать, что он содержит и функцию 1 2 1( , ..., )kh x x ,

т.к. функцию 1 2 1( , ..., )kh x x можно получить из 1 2 1( , ..., )kh x x отождеств-

лением переменных (например, 2 1kx с 2 1kx , 2kx с 2 2kx ). Поэтому в ба-

зисе B можно построить схему S , реализующую функцию ( )f x , с ненадеж-

ностью P( S ) ≤ ak + k + 1 ≤ (a + 1)k при 2

1

48 (2 1)am k

(из предыдущего

пункта доказательства). Тогда, используя теорему 2, по схеме S построим

схему ( )S , для которой P( ( )S ) ≤ ak + 1 + (2k + 1)a(a + 1)22k ≤ ak + 1 +

+ 2

2 33 6 2

1 1 11

48 (2 1)

k

a m k

≤ 1 2 3k ka ≤ 1 2k ka при

2

1

48 (2 1)am k

. Схема ( )S является искомой схемой S, т.е. S = ( )S .

Таким образом, при 2

1

48 (2 1)am k

в базисе B можно построить

схему S, реализующую произвольную булеву функцию ( )f x , для которой

P(S) ≤ ak+1 + k+2, т.е. теорема 7 верна. Теорема 7 доказана. Таким образом, показано, что при инверсных неисправностях на входах

элементов наличие хотя бы одной функции 1 2 1( , ..., )kh x x 2 1kH в полном

конечном базисе B позволяет реализовать все булевы функции схемами с не-

надежностью не более 1 2k ka при 2

1

48 (2 1)am k

, где a = 1

2 1kkC , m –

наибольшее число входов элементов в полном конечном базисе B. Пусть B – это множество всех булевых функций, зависящих не более

чем от двух переменных. Тогда множество попарно неконгруэнтных булевых функций, зависящих (возможно, фиктивно) от двух переменных x1, x2, есть M(x1, x2) = {x1 & x2, x1 x2, x1x2, x1 x2, x1 x2, x1 x2, x1 x2, x1 x2, 1x , 0, 1}.

При перечислении функций использованы следующие обозначения:

1 2 1 2x x x x , 1 2 1 2&x x x x , 1x 2x 1 2 1 2& &x x x x , 1 2x x

1 2x x , 1 2 1 2&x x x x , 1 2 1 2 1 2& &x x x x x x .

Пусть базис B = M(x1, x2){h(x1, ..., x2k + 1)}, где h(x1, ..., x2k + 1) H2k + 1. Тогда в базисе B справедливы теоремы 8 и 9.

Теорема 8. Пусть в базисе B 3

1

48 (2 1)a k

(где a = 1

2 1kkC ), а ( )f x –

произвольная функция. Тогда функцию f в базисе B можно реализовать схе-мой S, ненадежность которой P(S) ak+1 + k+2.

Доказательство. В базисе B , содержащем функции, зависящие не бо-лее чем от двух переменных, и функцию 1 2 1( , ..., )kh x x 2 1kH , наибольшее


10

число входов m = 2k + 1 имеет функциональный элемент, реализующий функцию 1 2 1( , ..., )kh x x . Справедливость теоремы 8 непосредственно следу-

ет из теоремы 7, т.к. базис B удовлетворяет всем условиям теоремы 7. Теорема 8 доказана.

Пусть ( )K n

– множество, содержащее функции xi ( 1,i n ) и константы

0, 1, которые в базисе B можно реализовать абсолютно надежно, т.к. элемен-ты, реализующие константы 0 и 1 при инверсных неисправностях на входах считаем абсолютно надежными. Очевидно, число функций во множестве

( )K n

равно (n + 2) и мало по сравнению с общим числом 22n

булевых функ-

ций от n переменных.

Теорема 9. Пусть 1

2(2 1)k

, ( )f x – булева функция, f ( )K n

, S –

любая схема в базисе B , реализующая ( )f x . Тогда P(S) ak + 1 – akk + 2, где

a = 12 1kkC .

Для доказательства теоремы 9 воспользуемся леммой 3. Лемма 3 [5]. Пусть ( )f x – произвольная булева функция, отличная от

константы, S – любая схема ее реализующая. Пусть подсхема B схемы S со-держит выход схемы S и реализует булеву функцию ( )f x с ненадежностью

P(B) 1/2. Обозначим p1 – минимум вероятностей ошибок на выходе схемы B

по таким входным наборам b , что ( ) 0f b . Аналогично, p0 – минимум веро-

ятностей ошибок на выходе схемы B по таким входным наборам b , что

( ) 1f b .

Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют условиям:

P1(S, a ) p1, если ( )f a = 0;

P0(S, a ) p0, если ( )f a = 1.

Замечание 1 [5]. Из леммы 3 следует, что P(S) max{p0, p1}. Доказательство теоремы 9. Пусть ( )f x – булева функция, удовлетво-

ряющая условиям теоремы, а S – произвольная схема, ее реализующая в бази-се B . Поскольку f ( )K n

, схема S содержит хотя бы один ненадежный эле-

мент. Обозначим E1 – ненадежный элемент, содержащий выход схемы S. Возможны случаи:

1. Элемент E1 реализует функцию x1 & x2. Вероятности ошибок на вы-ходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: P1(00) = 2, P0(11) = 2 – 2, P1(01) = – 2, P1(10) = – 2. При ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p0 = 2 – 2, p1 = 2, то (см. замечание 1) P(S) 2 – 2.

2. Элемент E1 реализует функцию x1 x2. Вероятности ошибок на вы-ходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: P1(00) = 2 – 2, P0(11) = 2, P0(01) = – 2, P0(10) = – 2. При ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = 2 – 2, p0 = 2, то (см. замечание 1) P(S) 2 – 2.


11

3. Элемент E1 реализует функцию x1 x2. Вероятности ошибок на вы-ходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: P0(00) = – 2, P0(11) = – 2, P0(01) = 2, P1(10) = 2 – 2. При ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = 2 – 2, p0 = 2, то (см. замечание 1) P(S) 2 – 2.

4. Элемент E1 реализует функцию x1 x2. Вероятности ошибок на вы-ходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: P1(00) = – 2, P1(11) = – 2, P1(01) = 2, P0(10) = 2 – 2. При ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p0 = 2 – 2, p1 = 2, то (см. замечание 1) P(S) 2 – 2.

5. Элемент E1 реализует функцию x1 x2. Вероятности ошибок на вы-ходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: P0(00) = P0(11) = P1(01) = P1(10) = 2 – 22. При ≤ 1/4 при-менима лемма 3. Так как p1 = p0 = 2 – 22, то (см. замечание 1) P(S) 2 – 22.

6. Элемент E1 реализует функцию x1 x2. Вероятности ошибок на вы-ходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: P1(00) = P1(11) = P0(01) = P0(10) = 2 – 22. При ≤ 1/4 приме-нима лемма 3. Так как p1 = p0 = 2 – 22, то (см. замечание 1) P(S) 2 – 22.

7. Элемент E1 реализует функцию x1x2. Вероятности ошибок на выхо-де элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных на-боров равны: P0(00) = 2, P1(11) = 2 – 22, P0(01) = – 2, P0(10) = – 2. При ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = – 2, p0 = 2, то (см. замечание 1) P(S) – 2.

8. Элемент E1 реализует функцию x1x2. Вероятности ошибок на выхо-де элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих входных на-боров равны: P0(00) = 2, P1(11) = 2 – 22, P1(01) = – 2, P1(10) = – 2. При ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = – 2, p0 = 2, то (см. замечание 1) P(S) – 2.

9. Элемент E1 реализует функцию 1x . Вероятности ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы соответствующих значений рав-ны: P1(0) = P0(1) = . При ≤ 1/4 применима лемма 3. Так как p1 = p0 = , то (см. замечание 1) P(S) .

10. Элемент E1 реализует функцию 1 2 1( , ..., )kh x x 2 1kH . Вероятно-сти ошибок на выходе элемента E1 при поступлении на его входы характери-

стических наборов равны: p1 = p0 = 1 12 1 (1 )k k k

kC + 2 2 1

2 1 (1 )k k kkC +

... + 2 22 1 (1 )k k

kC + 2 1 2 12 1

k kkC 1 1

2 1 (1 )k k kkC при

1

2(2 1)k

.

Учтем, что:

0 0 1 1 2 2 3 3 1 1(1 ) ... ... ( 1)k t t t t k k kk k k k k k kC C C C C C C .

Воспользуемся условием: t tkC – 1 1t t

kC = t tkC

1 11

t tk

t tk

C

C

=

= t tkC ! !( )!

1( 1)!( 1)! !

t

t

k t k t

t k t k

= t t

kC 11

k t

t

.


12

Так как 1

02(2 1)k

, то 1

01 1 2(2 1)

k t k t

t t k

, поэтому

1 1 1 1 1 10

1 1 2(2 1) 1 2(2 1) 1 4 2 2 4 8

k t k t k k

t t k t k t k

.

Если 1

01 8

k t

t

, то 0 1 11

k t

t

, поэтому:

t tkC – 1 1t t

kC = t tkC 1

1

k t

t

> 0.

Значит: (1 )k = 0 0kC – 1 1

kC + 2 2kC – 3 3

kC + … + t tkC – 1 1t t

kC +

+ … + ( 1)k k kkC 0 0

kC – 1 1kC = 1 – k.

Таким образом, p1 = p0 = 1 12 1 (1 )k k k

kC + 2 2 1

2 1 (1 )k k kkC + ... +

+ 2 22 1 (1 )k k

kC + 2 1 2 12 1

k kkC 1 1

2 1 (1 )k k kkC 1 1

2 1k kkC (1 – k) при

1

2(2 1)k

.

При 1

2(2 1)k

применима лемма 3 (см. замечание 1), поэтому

P(S) 1ka (1 – k) = 1ka – 2kak , где 12 1kka C .

Теорема 9 доказана. Из теоремы 9 следует, что схемы, построенные при доказательстве тео-

ремы 8, являются асимптотически оптимальными по надежности для почти

всех функций (кроме ix ( 1,i n ) и констант 0, 1) в базисе B . Функции ix

( 1,i n ) и константы 0, 1 в базисе B можно реализовать абсолютно надежно.

В работе [6] доказано, что если из базиса B убрать функцию

1 2 1 2 1( , ..., )k kh x x H , то в полученном базисе M справедливы теоремы 10

и 11. Теорема 10 [6]. При (0; 1/100] любую булеву функцию ( )f x в ба-

зисе M можно реализовать такой схемой S, что P(S) 2 + 192. Теорема 11 [6]. Пусть (0; 1/6], ( )f x – булева функция, отличная от

функций ix , ix ( 1,i n ) и констант 0, 1, а S – схема, реализующая ( )f x

в базисе M. Тогда P(S) 2 – 22. Таким образом, из теорем 10 и 11 следует, что асимптотически опти-

мальные по надежности схемы в базисе M функционируют с ненадежностью 2 при 0.

Сравнивая полученные в этой работе результаты (теоремы 8 и 9) с ре-зультатами работы [6] (теоремы 10 и 11), приходим к выводу, что наличие в рассматриваемом базисе функции 1 2 1( , ..., )kh x x 2 1kH позволяет реали-

зовать почти все функции (кроме ix ( 1,i n ) и констант 0, 1) в этом базисе

с большей надежностью.


13

Список литературы

1. Нейман , фон Дж . Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонент / Дж. фон Нейман // Автоматы. – М. : Изд-во иностр. лит., 1956. – С. 68–139.

2. Аксенов , С . И . О надежности схем над произвольной полной системой функ-ций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Из-вестия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2005. – № 6 (21). – C. 42–55. – (Естественные науки).

3. Алехина , М . А . О функциях и схемах, корректирующих ошибки / М. А. Але-хина // Синтез и сложность управляющих систем : материалы XVI Международ-ной школы-семинара. – М. : Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2006. – С. 8–12.

4. Алехина , М . А . Об асимптотически наилучших по надежности схемах в бази-

се {&, , } при инверсных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехи-на, В. В. Чугунова // Дискретный анализ и исследование операций. – 2006. – Т. 13. – № 4. – C. 3–17. – (Сер. 1).

5. Алехина , М . А . Нижние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при однотипных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. – 2002. – Т. 9. – № 3. – С. 3–28. – (Сер. 1).

6. Чугунова , В . В . О надежности схем в некоторых приводимых полных базисах / В. В. Чугунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Фи-зико-математические науки. – 2007. – № 2. – С. 25–37.

Чугунова Варвара Валерьевна кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет

Chugunova Varvara Valeryevna Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of discrete mathematics, Penza State University

E-mail: [email protected]

УДК 519.718

Чугунова, В. В. Об одном множестве функций / В. В. Чугунова // Известия высших

учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 2–13.


14

УДК 519.642 Д. А. Миронов

ПРИМЕНЕНИЕ СУПЕРКОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СРЕД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ

ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ Аннотация. Рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещенном в свободном пространстве. Поставленная задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению. Решение задачи производится параллельно численным методом Галеркина и численным методом коллокации. В связи с большой емкостью решение задачи численным методом Галеркина при различных параметрах было реализовано с использованием двух программных продуктов для супер-компьютерных вычислительных комплексов: реализации MPI и программной системы x-com. Исследованы особенности выполнения задачи на суперкомпь-ютерном комплексе.

Ключевые слова: дифракция стороннего электромагнитного поля, объемное сингулярное интегральное уравнение, метод Галеркина, метод коллокации. Abstract. In this paper the problem of diffraction of external electromagnetic field on locally heterogeneous body placed in free space is considered. The formulated problem is reduced to three-dimensional singular integral equation. The problem is solved using Galerkin numerical method and at the same time using the collocation numerical method. Because of high capacity the task solving was realized by Galerkin numerical method at various parameters with use of two types of software for supercomputing complexes: realization of MPI and realization of program sys-tem x-com. The features of performance of a task on a supercomputer complex are investigated.

Keywords: diffraction of external electromagnetic field, three-dimensional singular integral equation, Galerkin method, collocation method.

Постановка задачи для системы уравнений Максвелла

Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в свободном про-странстве расположено объемное тело ,Q характеризующееся постоянной

магнитной проницаемостью 0 и положительной ( 3 3 )-матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости ( )x . Компоненты ( )x являют-

ся ограниченными функциями в области Q , ( )L Q , а также 1 ( )L Q

. Граница Q области Q кусочно-гладкая.

Требуется определить электромагнитное поле 2, ( )E H L Q

, возбуж-

даемое сторонним полем с временной зависимостью вида i te . Источник

стороннего поля – электрический ток 0j

или падающая плоская волна.

Будем искать электромагнитное поле ,E H

, удовлетворяющее уравне-ниям Максвелла, условиям непрерывности касательных компонент поля при переходе через границу тела и условиям излучения на бесконечности:

0rot EH i E j

; 0rot ;E i H

(1)


15

[ ] [ ] 0Q Q

E H

; (2)

1 10 ( ), ( ), : .

E E Eik o R O R R x

H H HR

(3)

Здесь 0k – волновое число свободного пространства (вне Q ).

Краевую задачу (1)–(3) можно свести к объемному (векторному) сингу-лярному интегральному уравнению [1]:

10 0

1 ( ) ( )( ) ( ) v.p. ( , ) ( )

3Q

x yE x I E x x y I E y dy

0

0

( )( , ) ( ) ( ),

Q

yx y I E y dy E x

(4)

где

20 0( , ) ( ) ( ,grad)grad ( );x y k G r G r

1 1( , ) ( ,grad)grad ( ).x y G r

Функция Грина имеет вид

0| |1( , )

4 | |

ik x yeG x y

x y

;

0 1( ) ( ) ( ), | |;G r G r G r r x y 0

0 11 1

G ( ) , G ( ) .4 4

ik rer r

r r

Численные методы решения

Для численного решения интегрального уравнения (4) использованы два из наиболее эффективных методов численного решения интегральных уравнений – метод Галеркина и метод коллокации.

По методу Галеркина решение интегрального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида [1]:

AX B , (5)

где

11 12 13

21 22 23

31 32 33

A A A

A A A A

A A A

, 1

2

3

B

B B

B

.

klA – блок матрицы вида:

20 ,

l k k lj i i j

ij l k l kkl j i kl j iklA f x f x dx k G x y f y f x dydx


16

, ;k li j

l kj i

l kG x y f y f x dydx

y x

(6)

0( , )i k kk iB E f , , 1, 2, 3;k l , 1, , ;i j N

11 1,11

1

11 | |, ,

0, ;

k klmklm

klm

x x xhf

x

11, 1 1 1, 1 2, 2, 1 3, 3 3, 1

2 1 2 1 2 11, 1 2, 1 3, 1

{ : , , };

, 2 , 2 ,

klm k k l l l m m

k l m

x x x x x x x x x x

a a b b c cx a k x b l x c m

n n n

1, , 1;k n , 1, , / 2 1l m n ;

11, 1, 1: | |k kh x x .

Функции 2klmf , 3

klmf , зависящие от переменных 2x и 3x соответствен-

но, определяются аналогичными соотношениями. По методу коллокации решение интегрального уравнения сводится

к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида [2]:

3

0

01 1

1( J) , 1, ..., 3,pl plm pm pqlm qm pl

m q m

A J B J i E l

(7)

где

2002 2

( )( )23( )

q

pl l pn npqln

x x x xikB G r k

rr r

2 00 1 2 32

1, ;ln

ikk dx dx dx p q

r r

20 2

( )( )( ) 1

p

pl l pn nppln l ln ln

x x x xB k G r

r

20

1 2 32

3 ( )( )( )( ) , ;

4pl l pn nr x x x xk

r dx dx dx p qr r

(8)

1/ 232

1

( ) ;n pnn

r x x

1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2( , , ), ( , , ), ( , , );a f h h h a f h h h a f h h h


17

1 3 1 21 2 3

2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 3 2 3

2( , , ) 1 arcsin arcsin ;

h h h hf h h h

h h h h h h h h

0 00 2

0

exp( ) 1( ) 1 (1 )

( )

ik r ik rr ik r

k r

–

всюду дифференцируемая функция;

31 21 1 1 2 2 2 3 3 3, ,

2 2 2p p phh h

x p h x p h x p h ;

31 21 1 1 2 2 2 3 3 3, ,

2 2 2q q qhh h

x q h x q h x q h ,

plx – l -я декартова координата p -й узловой точки;

1 1 2 21 1 1 2 2 2П : , ,

2 2 2 2p p p p ph h h h

x x x x x x x

3 33 3 32 2p p

h hx x x

;

1 1 2 21 1 1 2 2 2П : , ,

2 2 2 2q q q q qh h h h

x x x x x x x

3 33 3 32 2q q

h hx x x

;

1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ), 0,..., 1, 0,..., 1, 0,..., 1p p p p p N p N p N ;

1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ), 0,..., 1, 0,..., 1, 0,..., 1q q q q q N q N q N .

Уравнения (5) и (7) решаются методом сопряженных градиентов [3] – итеративный метод вида

1i iX A X ,

где iX – решение уравнения на i -й итерации; 0X B . Итерации выполняются до тех пор, пока не будет выполнено условие

1| |i iX X , где – заданная точность.

Для вычисления коэффициентов ijklA были задействованы ресурсы мно-

гопроцессорных вычислительных комплексов с использованием двух про-граммных интерфейсов – MPI ( 8m ) и x-com ( 16m ). Для вычисления

pqlnB использован программный интерфейс MPI. Далее будут освещены осо-

бенности реализации алгоритмов с использованием данных программных ин-терфейсов.


18

Расчет необходимого объема памяти для хранения коэффициентов. Особенности выделения места в оперативной памяти во время вычисления

Для уменьшения времени на работу алгоритма программы и уменьше-ния объема занимаемой памяти в [4] предложено учитывать симметрию ко-

эффициентов ijklA (6) – достаточно вычислить и хранить в памяти коэффици-

енты блоков 11A и 12A . Общее количество коэффициентов данных блоков вычислялось по формуле

61 2N m , (9)

где m – количество интервалов разбиения всей области по одной координате. При оптимизации алгоритма вычислений было выявлено, что достаточ-

но вычислить и хранить коэффициенты блоков 11A и 12A в количестве

6 2N m . (10)

Зависимость количества коэффициентов ijklA и необходимого объема

оперативной памяти для их хранения прямо пропорциональная. Результаты расчета необходимого объема оперативной памяти при различных значениях m по формулам (9) и (10) представлены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты расчета необходимого объема оперативной памяти для хранения коэффициентов блоков 11A и 12A

m Количество Мбайт при использовании формулы (9)

Количество Мбайт при использовании формулы (10)

4 0,477 0,125 8 16,218 8

16 736,620 512 Из табл. 1 видно, что при использовании выявленного свойства сущест-

венно уменьшается объем необходимой оперативной памяти для хранения коэффициентов. В табл. 2 приведены коэффициенты уменьшения использо-ванного объема оперативной памяти относительно исходной задачи (где не учтена симметрия).

Таблица 2

Коэффициенты уменьшения использованного объема оперативной памяти

m Коэффициент уменьшения при использовании формулы (9)

Коэффициент уменьшения при использовании формулы (10)

4 4,5 17,17 8 4,5 9,123

16 4,5 6,474 Количество коэффициентов pqlnB (8) при 1 2 3N N N m вычисля-

ется формуле


19

6 9N m . (11)

В работе [2] показано, что для решения интегрального уравнения дос-таточно вычислить малую часть коэффициентов pqlnB , от которых зависят

все коэффициенты для уравнения (7) (последние можно быстро вычислить в дальнейшем). Количество хранимых коэффициентов pqlnB вычисляется по

формуле

3 6N m . (12)

В табл. 3 приведены необходимые объемы памяти для хранения коэф-фициентов матрицы уравнения (7) и необходимых коэффициентов pqlnB .

Таблица 3

Результаты расчета необходимого объема оперативной памяти для хранения коэффициентов матрицы и необходимых коэффициентов pqlnB

m Количество Мбайт при использовании формулы (11)

Количество Мбайт при использовании формулы (12)

4 0,5625 0,00586 8 36 0,04688

16 2304 0,375

Реализация MPI-версии алгоритма вычисления коэффициентов. Алгоритм распределения вычислений на многопроцессорных комплексах

MPI [5] – удобный стандартный API для использования в прикладных задачах ресурсов многопроцессорных комплексов. На каждом вычислитель-ном многопроцессорном комплексе используется одна или несколько реали-заций (компиляторов) MPI.

Для упрощения вычислений необходимых коэффициентов ijklA (6),

pqlnB (8) и передачи их между процессорами на многопроцессорных ком-

плексах память выделяется в виде одномерного массива. Общая схема алгоритма вычисления коэффициентов с учетом исполь-

зования MPI в реализации [3] представлена на рис. 1. Количество выделенных процессоров на задачу – p .

Количество коэффициентов C , которое необходимо вычислить на ка-ждом процессоре, вычисляется по формуле

1, если номер процессора меньше ,

, если номер процесора больше или равен ,

N N

p pC

N N

p p

где N – общее количество коэффициентов; – остаток от целочисленного

деления; – целая часть деления; p – количество выделенных процессо-

ров на задачу.


20

Рис. 1 Общая схема алгоритма вычисления коэффициентов

с использованием многопроцессорных комплексов Программы, реализованные с использованием MPI-функций, были за-

пушены на суперкомпьютерном комплексе СКИФ МГУ. Основные характе-ристики комплекса представлены в табл. 4.

Таблица 4

Основные характеристики суперкомпьютерного вычислительного комплекса СКИФ МГУ

Модель процессора

Количество процессоров Минимальный объем оперативной

памяти на один процессор

Intel Xeon E5472 3.0 ГГц

от 1 до 5000 в зависимости от количества и объема задач, уже работающих на комплексе

2 Гбайт

Для вычисления коэффициентов блоков 11A и 12A , при 8, 10m n ,

произведен запуск программы. Количество выделенных процессоров на зада-чу – 500. В табл. 5 показано время выполнения программы. Для сравнения приведено время выполнения представленного в [4] алгоритма и алгоритма с учетом выявленного свойства, т.е. при количестве коэффициентов, вычис-ленных по формулам (9) и (10) соответственно.

Таблица 5

Время на вычисление коэффициентов в блоках 11A и 12A

Время на вычисление элементов матрицы

При количестве коэффициентов, вычисленном по формуле (9)

При количестве коэффициентов, вычисленном

по формуле (10) Секунды 6012,26 2241,74 Минуты 100,204333333 37,362333333 Часы 1,670072222 0,622705555

2. Объединение вычисленных коэффициентов на процессоре 0, запись результатов на процессоре 0 и выход

Вычисления на процессоре (p – 1)

Вычисления на процессоре 1

Вычисления на процессоре 0

Массив

коэффициентов

1. Вычисление коэффициентов


21

По результатам, представленным в табл. 5, нетрудно вычислить при-мерное время выполнения вычисления коэффициентов матрицы при m = 16, n = 10. При n = 500 необходимо 40–45 ч на выполнение с использованием ал-горитма, учитывающего выявленное свойство.

Вычисление коэффициентов матрицы по методу Галеркина. Алгоритм распределения вычислений при помощи системы «x-com»

Основные причины применения системы «x-com» для решения задач. Основные понятия системы «x-com»

При заполнении блоков 11A и 12A на суперкомпьютерном вычисли-

тельном комплексе СКИФ МГУ с использованием MPI-функций при m = 16, n = 10 с учетом дополнительных расходов системы на передачу коэффициен-тов между процессорами, время на решение задачи составит ~ 1–2 суток при 1000 выделенных процессах. Если в течение этого времени возникнет ситуа-ция, при которой хотя бы один процесс прекратит работу, необходимые ко-эффициенты блоков мы не получим.

Программная система «x-com», разработанная специалистами НИВЦ МГУ, предназначена для многопроцессорных комплексов. Основная цель системы – решать задачи в многопроцессорных средах, где возможно пре-кращение работы одного или нескольких процессоров во время решения за-дачи. Эта система оптимальна для решения задач, которые допускают раз-биение на независимые подзадачи.

Основные термины системы «x-com»: 1. Порция – независимая подзадача общей задачи. Может выполняться

одновременно, параллельно с другими подзадачами (порциями). 2. Серверная часть системы «x-com». Программный модуль, содержа-

щий алгоритмы распределения порций по процессорам. Содержит функции, определяющие:

а) алгоритмы разбиения всей задачи на порции – количество порций, время на выполнение одной порции. Эти функции специфичны для конкрет-ной задачи;

б) алгоритмы объединения результатов работы всех подзадач-порций. 3. Клиентская часть системы «x-com». Программный модуль, содержа-

щий алгоритмы приема на выполнение порции каждым процессором. Выпол-няет алгоритм работы подзадачи.

Для нашей задачи при работе в системе «x-com» необходимо реализо-вать:

1. Функции серверной части, реализующие алгоритм разбиения всей за-дачи на порции.

2. Алгоритм работы каждой порции.

Функции серверной части, реализующие алгоритм разбиения всей задачи на порции

После выполнения MPI-программы алгоритма вычисления коэффици-ентов блоков 11A и 12A вычислено среднее время на вычисление одного ко-

эффициента – 0t .

Задано среднее время выполнения порции – 1t .


22

Известно N – общее количество коэффициентов блоков 11A и 12A .

Время T для вычисления коэффициентов блоков 11A и 12A определя-

ется по формуле

0T t N .

Тогда количество порций P определяется по формуле

11

TP

t

,

где – целая часть деления.

Количество вычисляемых коэффициентов в подзадаче (порции)

В каждой порции выполняется вычисление определенного количества коэффициентов.

Перед выполнением алгоритма решения подзадачи, клиенту передаются: – номер порции; – количество порций.

Количество коэффициентов, вычисляемое в порции с номером 1,i P , определяется по формуле

1, если номер порции меньше или равно ,

, если номер порции больше ,i

N N

P PC

N N

P P

где N – общее количество коэффициентов в блоках 11A и 12A , P – количе-

ство порций, – остаток от целочисленного деления, – целая часть

деления.

Статистика по работе системы «x-com» при выполнении задачи вычисления коэффициентов

Программа с реализацией алгоритма вычисления коэффициентов бло-ков 11A и 12A при m = 16, n = 10 была запущена в системе «x-com». Было

задействовано 4000 процессоров. Время счета на «x-com»: общее время счета: 06 ч 54 мин 23 с (24863 с). Общее количество коэффициентов в блоках 11A и 12A : 33554432.

Объем памяти для хранения коэффициентов блоков 11A и 12A :

536870912 Байт (524288 кБ; 512 МБ; 0,5 ГБ). Время для расчета с использованием только одного процессора для за-

пуска программы с использованием «x-com»: 19525 ч 55 мин 33 с (813,54 сут; 2,23 лет).

Количество частей-порций в задаче, которые могли выполняться в про-извольном порядке (одновременно, параллельно): 140428.

Количество коэффициентов в одной части-порции: от 199 до 200.


23

Время расчета каждой порции: – минимальное: 458,522 с (7,64 мин); – максимальное: 609 с (10,15 мин); – среднее: 485,211 с (8,09 мин). Количество отправленных порций на выполнение (порция может от-

правляться более одного раза): 168062. Из них посчитанных порций (порция может считаться более одного раза): 144875.

Количество отправок без посчитанных порций: 23187. Количество отправок с лишним счетом порций: 4447. Данные статистики выполнения алгоритма на системе «x-com»: 1. Доля эффективности системы только с учетом проблем на узлах (не-

посчитанные порции) относительно идеальной ситуации, когда каждая пор-ция будет посчитана с первого раза и только один раз, составляет 0,86203 (86,203 %);

2. Доля эффективности системы с учетом дополнительных расходов на качественное выполнение задачи (лишний счет порций) относительно иде-альной ситуации, когда каждая порция будет посчитана с первого раза и только один раз, составляет 0,96930 (96,930 %).

3. Доля эффективности системы с учетом проблем на узлах и дополни-тельных расходов на качественное выполнение задачи относительно идеаль-ной ситуации, когда каждая порция будет посчитана с первого раза и только один раз, составляет 0,83557 (83,557 %).

Важный результат при применении системы «x-com»

Применение системы «x-com» позволило получить коэффициенты бло-ков 11A и 12A при m = 16, n = 10. Ранее это не удалось сделать по следую-щим причинам:

1) большая вычислительная сложность задачи; 2) время на получение результатов было неприемлемо большое, даже при

вычислении на суперкомпьютерном комплексе с применением функций MPI.

Вычисление коэффициентов по методу коллокации с использованием суперкомпьютерной вычислительной среды MPI

Для вычисления необходимых коэффициентов pqlnB произведен за-

пуск программы при m = 16, n = 10. Количество выделенных процессоров на задачу – от 1 до 3. В табл. 6 показано время выполнения программы.

Таблица 6

Время вычисления коэффициентов pqlnB

Один

процессорДва

процессораТри

процессора Время на вычисление элементов матрицы, с 8,033112 4,018449 2,677404 Время на вычисление элементов матрицы, включая запись на жесткий диск результатов, с

12 11 8

По результатам, представленным в табл. 6, видно, что по времени вы-

числения коэффициентов pqlnB метод коллокации выгодно отличается по


24

сравнению с выполнением процедуры вычисления коэффициентов блоков

11A и 12A . Необходимо продолжить исследование алгоритма метода колло-

кации для данной задачи – время решения СЛАУ для полной оценки скоро-сти решения задачи по этому методу. Следует заметить, что вычисление ко-эффициентов pqlnB может производиться сразу перед решением СЛАУ без

предварительной записи на жесткий диск результатов, что может существен-но уменьшить время для получения результатов.

Действительно, по скорости вычисления коэффициентов метод Галер-кина явно уступает методу коллокаций. Но необходимо отметить, что при реализации алгоритма по методу Галеркина получены не только коэффици-енты, но и результаты решения задачи в целом после решения СЛАУ при па-раметрах m = 16, n = 10 (впервые). Кроме того, испытана при вычислении коэффициентов система «x-com», показавшая высокое качество работы над трудоемкой с вычислительной точки зрения задачей. По сравнению с приме-нением среды MPI, среда «x-com» предназначена для многопроцессорных вычислительных систем, где возможно прекращение работы нескольких про-цессоров во время вычислений.


1. Медведик , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектриче-ском теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Извес-тия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 2 (6). – С. 2–14.

2. Самохин , A. Б . Интегральные уравнения и итерационные методы в электро-магнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и Связь, 1998.

3. Ортега , Дж . Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем / Дж. Ортега. – М. : Мир, 1991.

4. Миронов , Д . А . Применение суперкомпьютерных вычислительных комплек-сов для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифрак-ции на диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших учебных заведе-ний. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 55–62.

5. MPI: A Message – Passing Interface Standart. Version 1.0. – University of Tennessee, 1994. – May, 5.

Миронов Денис Алексеевич аспирант, Пензенский государственный университет

Mironov Denis Alexeevich Postgraduate student, Penza State University


УДК 519.642

Алехина, М. А. Применение суперкомпьютерных вычислительных сред для реше-

ния объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифрак-ции на диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 14–24.


25

УДК 517.968.2; 519.62/.64 И. В. Бойков, Е. В. Кучумов

ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

Аннотация. Предложены и обоснованы итерационные методы решения интегральных уравнений Вольтерра в свертках первого и второго родов.

Основное внимание уделяется уравнениям первого рода:

0

( ) ( ) = ( ),t

h t x d f t

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 20 0

( , ) ( , ) = ( , ).t t

h t t x d d f t t

Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра, итерационные методы. Abstract. Offered iteration methods for solution of Volterra integral equatios of first and second kinds. Considered Volterra equations with convolution. Base attention is

given for integral equations of the first kind

0

( ) ( ) = ( ),t

h t x d f t

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 20 0

( , ) ( , ) = ( , ).t t

h t t x d d f t t

Keywords: Volterre integral equations, interation methods.

Введение

Интегральные уравнения Вольтерра исторически являются одним из первых видов интегральных уравнений, ставших известными математикам. Несмотря на более чем столетнюю историю, теория интегральных уравнений Вольтерра продолжает активно развиваться. Это связано с несколькими обстоятельствами. Во-первых, постоянно возникают все новые области физики, экономики, экологии, в которых основные процессы моделируются интегральными уравнениями Вольтерра. Это приводит к возникновению новых классов интегральных уравнений типа Вольтерра. Во-вторых, продолжается исследование с различных позиций классических уравнений Вольтерра.

Представить подробный обзор современных публикаций, посвященных интегральным уравнениям Вольтерра, в короткой заметке не представляется возможным, т.к. по этой тематике ежегодно публикуется несколько сотен статей. Отметим только, что подробное изложение классических результатов, относящихся к уравнениям Вольтерра, и обширная библиография приведены в работах [1–9].

В данной работе предлагается и обосновывается новый итерационный метод решения интегральных уравнений Вольтерра первого и второго родов.

1 Одномерные интегральные уравнения Вольтерра

Рассмотрим интегральные уравнения

0

( ) ( ) = ( );t

h t x d f t (1)


26

0

( ) ( ) ( ) = ( ),t

x t h t x d f t (2)

которые часто встречаются в физике. Стандартные методы операционного исчисления заключаются в том,

что к уравнениям (1) и (2) применяется преобразование Лапласа, которое приводит эти уравнения к алгебраическим уравнениям

( ) ( ) = ( );H p X p F p (3)

( ) ( ) ( ) = ( ),X p H p X p F p (4)

где ( ), ( ), ( )X p H p F p – преобразования Лапласа функций ( ), ( ), ( ).x t h t f t Оператор Лапласа будем обозначать буквой : ( ) = ( ).L L h H p Решения уравнений (3), (4) имеют вид

( ) = ( )/ ( );X p F p H p (5)

( ) = ( )/(1 ( )).X p F p H p (6)

Применяя к выражениям (5), (6) обратное преобразование Лапласа, формально можно получить решения соответствующих уравнений. Однако из-за возможности обращения функций ( )H p или (1 ( ))H p в нуль, расхо-димости интегралов обратного преобразования Лапласа получение достаточ-но точных и устойчивых решений во многих случаях весьма проблематично. Поэтому представляет интерес развитие других приближенных методов ре-шения интегральных уравнений видов (1) и (2). В первую очередь представ-ляет интерес построение итерационных методов из-за их устойчивости и фильтрующих свойств по отношению к возмущениям.

Прежде чем перейти к построению итерационных алгоритмов, оценим нормы прямого и обратного преобразования Лапласа. Обозначим через c вещественное число, определяющее полуплоскость сходимости функции

( ).F p Ниже через c будем обозначать число, определяющее полуплоскости сходимости всех используемых функций, и будем рассматривать функции

( ), ( ), ( )F p H p X p при = , = const > , < < .p u iv u c v Норму функции ( )F p определим формулой

1/2

2|| ( ) ||= | ( ) | .F p F u iv dv

(7)

Выведем формулу, аналогичную формуле Парсеваля для преобразова-ния Фурье. Очевидно,

2

2 2

0

|| ( ) || = | ( ) | = ( ) =ut ivtF p F u iv dv e f t dt dv

2 2

0

= ( ( )) = ( ( )) =ivt ut ivt ute e f t dt dv e e f t dt dv


27

2 2= 2 ( ( )) = 2 ( ( )) =ut utV e f t dv e f t dt

2 2

0

= 2 ( ) = 2 || ( ) || .utue f t dt f t

(8)

Здесь

( ), 0,( ) = ( ( )) =

0, < 0,

utut

ue f t t

f t e f tt

( )V f – преобразование Фурье функции ( ),f t определяемое формулой

1( ) = ( ) ;

2i tV f e f t dt

1/2

2

0

( ) = | ( ) | .ut ute f t e f t dt

(9)

Рассмотрим уравнение (1). Применив к нему преобразование Лапласа, приходим к уравнению (3). Пусть действительное число c определяет полуплоскость сходимости. Положим, = , const > .p u iv u c Предполо-

жим, что при изменении v в пределах < <v значения функции ( )H p

лежат внутри угла раствора, меньшего . Тогда существует такое

комплексное число , при котором значения функции ( )uH v при

изменении v в пределах от до , лежат внутри окружности радиуса 1 с центром в точке (1,0) плоскости комплексной переменной и, возможно,

в точке (0,0). Здесь ( )uH v – преобразование Лапласа функции ( ( ))ute h t

при = .p u iv

В случае, если значения функции ( ), = ,uH p p u iv лежат внутри

единичной окружности с центром в точке (1,0) и радиусом 1 (по аналогии с [10] это условие назовем условием A), рассмотрим итерационный процесс

10

( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ,t

n n nx t x t h t x d f t = 0,1,n (10)

Докажем сходимость этого итерационного процесса. Умножим

уравнение (10) на .ute В результате имеем

( )1

0

( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) .t

ut ut u t u utn n ne x t e x t e h t e x d e f t

(11)


28

Преобразуем это уравнение следующим образом:

1 1 10

( ( ) ( )) = ( ) ( ) ( )( ( ) ( ))t

ut utn n n n n ne x t x t e x t x t h t x x d

.

Переходя к нормам, имеем

1 1|| ( ( ) ( )) ||=|| ( ) ( )ut utn n n ne x t x t e x t x t

10

( )( ( ) ( ) ) ||=t

n nh t x x d

1 10

1= ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) =

2

t

n n n nL x t x t h t x x d

11

= (1 ( ))( ( )) ( )2

n nH v X v X v

1< <

1|1 ( ) | ( ) ( )sup

2n n

vH v X v X v

1< <

|1 ( ) | ( ( ) ( )) .sup utn n

vH v e x t x t

Здесь во временной области использована норма, определяемая формулой (9), а в спектральной области – норма, определяемая формулой (7).

Так как по предположению < <

|1 ( ) | < 1,supv

H v q

то, как следует из

теоремы Банаха [11], итерационный процесс (10) сходится к решению ( )x t уравнения (1) как геометричеcкая прогрессия со знаменателем .q

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть значения функции ( )uH v лежат внутри угла с вершиной в начале координат и с раствором, меньшим , в плоскости комплексной переменной. Тогда найдется такая константа , что

выполняется условие < <

|1 ( ) | < 1sup uv

H v q

и итерационный процесс (10)

сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q

к решению *( )x t уравнения (1). В случае, если условие А не выполняется, но значения функции ( )H v

лежат внутри угла раствора меньшего с вершиной в начале координат плоскости комплексной переменной, и, возможно, в его вершине для решения уравнения (1) может быть использован следующий итерационный процесс:

10

( ) = ( ) (1 )( ( ) ( ) ( ) ( ) ,t

n n n n n nx t x t x t h t x d f t

= 0,1, ,n (12)


29

где **0 < <1,n константа выбрана таким образом, чтобы

выполнялось неравенство < <

|1 ( ) | 1.supv

H v

Из условия, наложенного на функцию ( )H v , следует, что последнее

неравенство выполнимо. Пусть уравнение (1) разрешимо. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.2. Пусть уравнение (1) разрешимо. Пусть значения функции

( ), < < 1,uH v v расположены внутри угла раствора меньшего

с вершиной в начале координат плоскости комплексной переменной и, возможно, в его вершине. Тогда итерационный процесс (12) сходится к решению уравнения (1).

Замечание. Если уравнение (1) имеет несколько решений, то процесс сходится к одному из решений. Доказательство основано на теореме сходимости итерационных процессов с унитарными операторами [12].

Рассмотрим теперь случай, когда условие A не выполняется. Зафиксируем u ( > )u c и построим множества , = 0,1, , ,k k N где

0 0= ( , ),v 1= [ , ], =1,2, , 1,k k kv v k N = ( , ),N Nv конечные точки

, = 0,1, , ,jv j N которых подбираются таким образом, чтобы множество

значений ( )H u iv при , = 0,1, , ,kv k N было расположено внутри угла

с раствором меньшим и с вершиной в начале координат плоскости комплексной переменной .w При выполнении этого условия для каждого k найдется такое комплексное число ,k что при , = 0,1, , ,kv k N

значения функции ( )H u iv расположены внутри единичной окружности

с центром в точке (1,0) плоскости комплексной переменной w и, возможно, в точке (0,0).

Вначале рассмотрим случай, когда функция ( )H u iv не обращается

в нуль при конечных значениях ,v < < .v Тогда для решения уравнения (1) может быть использован следующий

итерационный процесс:

10

( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ,t

k k kn n k k n kx t x t h t x d f t

= 1, , 1,k N = 0,1, ;n (13)

1

1 1=1

( ) = ( ).N

kn n

k

x t x t

(14)

Здесь

0

( ) = ( ) ( )t

k kh t h t e d ; ( )ke – обратное преобразование

Лапласа функции ( ),kE u iv определяемой формулой

1, ,

( ) =0, , \ ,

kk

k

vE u iv

v

= 0,1, , .k N


30

При каждом фиксированном значении ,k = 1, 2, , 1,k N сходимость итерационной схемы (13) доказывается так же, как и сходимость итерационного процесса (2).

Можно показать, что итерационный процесс (13), (14) сходится

к функции * ( ),Nx t которая является прообразом функции *

0( ) ( ),,v N

X p E pv

где *( )X p – образ решения *( )x t уравнения (1), а 0

( ),v NE pv

–

характеристическая функция сегмента 0[ , ] :Nv v

0

0 0

1, [ , ],( ) =, 0, ( , ) \ [ , ].

Nv N N

E u ivv

Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 1.3. Пусть выполнены следующие условия:

1) уравнение (1) имеет единственное решение *( );x t

2) функция ( )H u iv не обращается в нуль при конечных значениях ,v < < ;v

3) преобразование Лапласа решения *( )x t суммируемо с квадратом:

* 2| ( ) | = < .X u iv dv k

Тогда для любого найдутся такие узлы , = 0,1, , ,kv k N и такие

комплексные константы ,k = 0,1, , ,k N что итерационный процесс (13),

(14) сходится к функции * ( )Nx t , и справедлива оценка

* * 2

0

| ( ( ) ( )) | <utNe x t x t dt

.

В случае, если функция ( )H u iv с фиксированным значением ( > )u u c при изменении v от до может обращаться в нуль в конечном числе точек, то для решения уравнения (1) нужно использовать другую вычисли-тельную схему.

Пусть функция ( )H u iv при фиксированном значении ( > )u u c и при v изменяющемся в пределах от до , обращается в нуль в конечном числе точек. Тогда существует такой набор узлов , = 0,1, , ,kv k N что при

изменении параметра v на множествах 0 0 1= ( , ], = [ , ],k k kv v v

= 1, 2, , 1, = [ , ),N Nk N v значения функции ( ),H u iv = const, > ,u u c находятся внутри угла с раствором меньшим с вершиной в начале координат плоскости комплексной переменной w и, возможно, в его вершине. Тогда каждому множеству , = 0,1, , ,k k N можно поставить

в соответствие комплексное число , = 0,1, , ,k k N такое, что значения

функции ( )k H u iv при = const, > , ,ku u c v расположены внутри


31

единичной окружности с центром в точке (1,0) и, возможно, в точке (0,0). Построим итерационный метод

1( ) = ( ) (1 )k k k kn n n nx t x t

0

( ) ( ) ( ) ( ) ,t

kn k k n kx t h t x d f t

= 0,1, , ,k N = 0,1, ,n (15)

1 1=0

( ) = ( ).N

kn n

k

x t x t (16)

Здесь ( ), ( )k kh t f t – прообразы функций ( ) ( ),kH u iv E u iv

( ) ( ),kF u iv E u iv где ( )kE u iv – характеристическая функция множества

, = 0,1, , ,k k N определяемая формулой

1, ,( ) =

0, ( , ) \ .k

kk

E u iv

Относительно сходимости итерационной схемы (15), (16) справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.4. Пусть уравнение (1) разрешимо. Тогда итерационный процесс (15), (16) сходится к одному из решений.

Доказательство проводится по аналогии с доказательством теоремы 1.2. Изложенный выше итерационный метод решения интегральных

уравнений Вольтерра в свертках может быть применен и к решению интегральных уравнений вида

( ) ( ) ( ) = ( );t

x t h t x d f t

( ) ( ) = ( ),

t

h t x d f t

которые, как отмечается в [1], широко используются при анализе процессов в физических системах.

Здесь при обосновании вычислительных схем нужно применить специальную теорему о свертке [1]

( ) ( ) = ( ) ( ),

t

L h t x d H p X p

где

0

( ) = ( ) ;ptH p h t e dt

( )X p – стандартное изображение,

0

( ) = ( ) .ptX p x t e dt


32

Замечание. Наряду с построением итерационных процессов в дей-ствительной области естественно рассмотреть аналогичные процессы в области изображений. Рассмотрим итерационный процесс:

1( ) = ( ) ( ( ) ( ) ( )), = 0,1, ,n n nX p X p H p X p F p n (17)

построенный по аналогии с итерациями (10). Его сходимость при = ,p u iv

< <v следует из доказательства теоремы 1.1. Вычислив по формуле (17) значения ( )X p на сетке узлов = ,k kp u iv = 1, 2, , ,k N и используя

квадратурные формулы вычисления обратного преобразования Лапласа

( ) ( ), > 0,1( ) =

0, < 0,2

u iu iv t

u i

x t te X u iv dv

t

(18)

находим значения ( )x t в узлах сетки ,kt = 1, 2, , .k M

По этим значениям строится локальный сплайн, восстанавливающий функцию ( ).x t

Вычисление интеграла, стоящего в левой части формулы (18) по квадратурным формулам, может оказаться неустойчивым.

Здесь следует использовать методы регуляризации, изложенные в книге [13].

Результаты, аналогичные приведенным в данном разделе, могут быть получены и для уравнений второго рода вида (2). Однако, т.к. для уравнений вида (2) метод простой итерации всегда сходится, то распространение предыдущих результатов на уравнения вида (2) не представляет значительного практического интереса, поэтому здесь не приводится.

2 Многомерные интегральные уравнения Вольтерра в свертках

В этом разделе будем исследовать итерационные методы решения многомерных интегральных уравнений Вольтерра в свертках. При этом ограничимся двумерными уравнениями первого рода вида

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 20 0

( , ) ( , ) = ( , ).

t t

h t t x d d f t t (19)

Обозначим через 1 2( , )H p p преобразование Лапласа функции 1 2( , ),h t t

осуществляемое формулой

1 1 2 2( )1 2 1 2 1 2

0 0

( , ) = ( , ) .p t p tH p p e h t t dt dt

Аналогично определяются преобразования 1 2( , )X p p и 1 2( , )F p p

функций 1 2( , )x t t и 1 2( , )f t t .

Будем считать функции 1 2( , )H p p и 1 2( , )F p p аналитическими по

переменным =i i ip u iv при ,i iu c = 1, 2.i Зафиксируем значения ,i iu c


33

= 1, 2,i и рассмотрим функцию 1 2 1 1 2 21 2

( , ) = ( , )H v v H u iv u ivu u при

< < ,iv = 1, 2.i

Предположим вначале, что значения функции 1 21 2

( , )H v vu u при

изменении значений < < ,iv = 1, 2,i лежат внутри угла раствора

меньшего , в плоскости комплексной переменной . Тогда найдется такое

комплексной число , что значения функции 1 21 2

( , )H v vu u при < < ,iv

= 1, 2,i лежат внутри окружности с центром в точке (1,0) и с радиусом,

равным единице в плоскости комплексной переменной . По аналогии с [10] назовем это условие условием .A Решение уравнения (19) будем искать итерационным методом:

1 1 2 1 2( , ) = ( , )n nx t t x t t

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 20 0

( , ) ( , ) ( , ) , = 0,1, ...

t t

nh t t x d d f t t n (20)

В случае, если значения функции 1 21 2

( , )H v vu u при изменении

значений < < ,iv = 1,2,i лежат внутри угла раствора меньшего и

в вершине угла, решение уравнения (19) ищется итерационным методом

1 1 2 1 2 1 2( , ) = ( , ) (1 )( ( , )n n n n nx t t x t t x t t

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 20 0

( , ) ( , ) ( , )) , = 0,1, ...

t t

nh t t x d d f t t n , (21)

где **0 < < 1.n

Докажем сходимость итерационных методов (20) и (21). Норму функции 1 2( , )F p p определим формулой

2 21 2 1 1 2 2 1 2( , ) = | ( , ) | .F p p F u iv u iv dv dv

(22)

Для обоснования сходимости итерационных процессов в (20) и (21) нам понадобится формула, аналогичная формуле Парсеваля для преобразования Фурье.

Очевидно,

2 21 2 1 1 2 2 1 2( , ) = | ( , ) | =F p p F u iv u iv dv dv


34

1 1 1 2 2 2

2

( ) ( )1 2 1 2 1 2

0 0

= ( , ) =u iv t u iv tf t t e e dt dt dv dv

1 1 2 2 1 1 2 2

2

( )1 2 1 2 1 2

0 0

= ( , ) =u t u t i v t v te f t t e dt dt dv dv

1 1 2 2 1 1 2 2

2

( )1 2 1 2 1 2= ( , ) =u t u t i v t v te f t t e dt dt dv dv

1 1 2 222

1 2 1 2= 4 (( ( , )) =u t u teV f t t dv dv

1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 21 2 1 2= 4 ( ( , )) ) = 4 ( ( , )) =u t u t u t u tV e f t t e f t t

1 1 2 2

1/222

1 2 1 20 0

= 4 ( , ) .u t u te f t t dt dt

Здесь

1 1 2 21 1 2 2 1 2 1 2

1 21 2

( , ), (0 < ) (0 < ),( , ) =

0, , .

u t u tu t u t e f t t t t

e f t tt t

Докажем сходимость итерационного процесса (20). Умножим

уравнение (20) на 1 1 2 2 .u t u te В результате имеем

1 1 2 2 1 1 2 21 1 2 1 2( , ) = ( ( , )u t u t u t u t

n ne x t t e x t t

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 20 0

( , ) ( , ) ( , )) , = 0,1,

t t

nh t t x d d f t t n (23)

Вычитая почленно из (22) такое же выражение, но со значением индекса на единицу меньшим, и переходя к нормам, получаем

1 1 2 2 1 1 2 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2( ( , ) ( , )) = ( ( , ) ( , ))u t u t u t u t

n n n ne x t t x t t e x t t x t t

1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 20 0

( , )( ( , ) ( , )) ) =

t t

n nh t t x x d d

1 2 1 1 21

= ( , ) ( , )4 n nL x t t x t t


35

1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 20 0

( , )( ( , ) ( , )) =

t t

n nh t t x x d d

1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 21

( , ) ( , ) ( , )( ( , ) ( , ))4 n n n nX p p X p p H p p X p p X p p

1 1 2 2 1 2 1 1 2<

1|1 ( , ) | || ( , ) ( , ) ||=sup

4< , =1,2n n

vi

H u iv u iv X p p X p pi

1 1 2 21 1 2 2 1 2 1 1 2

<= |1 ( , ) | ( ( , ) ( , )) .sup

< , =1,2

u t u tn n

vi

H u iv u iv e x t t x t ti

(24)

При условии

1 1 2 2< , 1,2

|1 ( , ) | < 1supv ji

H u iv u iv q

(25)

сходимость итерационного метода (20) следует из теоремы Банаха [11]. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (24). Тогда уравнение (19)

имеет единственное решение, к которому сходится итерационный процесс (20) со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем .q

В случае, если вместо условия (24) выполняется условие

1 1 2 2< , 1, 2

|1 ( , ) | 1,supv ji

H u iv u iv

(26)

то справедливо следующее утверждение. Теорема 2.2. Пусть выполнены следующие условия: 1) уравнение (19) разрешимо; 2) существует такое комплексное число , что справедливо

неравенство (25). Тогда итерационный процесс (21) сходится к одному из решений

уравнения (19). Доказательство следует из результатов [12] о сходимости

итерационных процессов с унитарными операторами и неравенства

1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 20 0

|| ( , ) ( , ) ( , ) || || ( , ) ||,

t t

x t t h t t x d d x t t

справедливость которого доказывается рассуждениями, аналогичными приведенными в (23).

Построим итерационные схемы решения уравнения (19) в пред-положении, что для функции 1 1 2 2( , ),H u iv u iv = const,iu ,ii c = 1, 2,i

при изменении 21 2( , ) ( , )v v условие A не выполняется. Вначале

рассмотрим случай, когда функция 1 1 2 2( , )H u iv u iv не обращается в нуль


36

во внутренних точках области 2( , ) . Обозначим через B достаточно

большое положительное число, величина которого будет определенно ниже. При выполнении приведенных выше условий область = [ , ; , ]B B B B

можно покрыть прямоугольниками 1 1= [ , ; , ],kl k k l lt t 1

2= ,k

kBt B

M

1= 0,1, ... , ,k M 22

2= , = 0,1, ..., ,l

lBB l M

M таким образом, чтобы при

1 2( , ) klv v значения функции 1 1 2 2( , )H u iv u iv были расположены

внутри угла раствора меньшего с вершиной в начале координат плоскости комплексной переменной .w

В этом случае каждому прямоугольнику kl можно поставить в

соответствие комплексное число kl такое, что значения функции

1 1 2 2(1 ( , ))kl H u iv u iv при 1 2( , ) klv v лежат внутри окружности

радиуса 1 с центром в точке (1,0) плоскости комплексной переменной .w Обозначим через 1 1 2 2( , )klE u iv u iv характеристическую функцию

области ,kl определяемую формулой

1 21 1 2 2 2

1 2

1, ( , ) ,( , ) =

0, ( , ) ( , ) \ .

klkl

kl

E u iv u iv

Решение уравнение (19) будем искать итерационным методом:

1 1 2 1 2 1 2( , ) = ( , ) (1 )( ( , )kl kl kl kln n n n nx t t x t t x t t

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 20 0

( , ), ( , ) ( , ) ,

t t

kl kl n klh t t x d d f t t (27)

где = 0,1,n , 1 2= 0,1, , 1, = 0,1, , 1,k M l M

1 11 2

1 1 2 1 1 2=0 =0

( , ) = ( , ),M M

kln n

k l

x t t x t t

(28)

здесь 1 2( , )klh t t – прообраз функции 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ),klH u iv u iv E u iv u iv

1 2( , )klf t t – прообраз функции 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ).klF u iv u iv E u iv u iv

Будем считать, что уравнение (19) имеет единственное решение *

1 2( , )x t t , удовлетворяющее условию

1 1 2 22*

1 2 1 20 0

( , ) < .u t u te x t t dt dt k

Тогда найдется постоянное число B такое, что справедливо неравенство


37

1 1 2 22*

1 2 1 22 2( , )

( , ) < .

\[ , ]

u t u te x t t dt dt

B B

При сделанных выше предположениях справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.3. Пусть уравнение (19) имеет единственное решение. Тогда итерационный процесс (26), (27) сходится к этому решению при ,n

B и при соответствующем выборе констант ,kl 1= 0,1, , ,k M

2= 0,1, ,l M (отметим, что при увеличении значения B параметры

1 2,M M могут также возрастать).

Рассмотрим теперь случай, когда функция 1 1 2 2( , )H u iv u iv

1 2 1 2( , = const, , )u u u u c может обращаться в нуль на конечном числе линий.

В этом случае область [ , ; , ],B B B B где B – достаточно большое

положительное число, может быть покрыта прямоугольниками

1 2, = 0,1, , 1, = 0,1, , 1,kl k M l M такими, что при 1 2( , ) klv v

значения функции 1 1 2 2( , )H u iv u iv лежат внутри угла (и, возможно, в его

вершине) раствора меньшего . Тогда каждому прямоугольнику ,kl 1= 0,1, , 1, = 0,1, ,k M l

2 1,M можно поставить в соответствие такое комплексное число ,kl что

значения функции 1 1 2 2 1 21 ( , ), ( , ) ,kl klH u iv u iv v v будут лежать в

круге радиуса 1 с центром в точке (1,0). При этих значениях kl итерационный

процесс (27), (28) сходится к одному из решений уравнения (19). Замечание 1. Утверждения, аналогичные сформулированным в тео-

ремах 2.1–2.3, справедливы и для уравнений второго рода. Замечание 2. Для уравнений Вольтерра первого и второго родов

можно по аналогии с итерационными схемами (20), (21) построить итера-ционные процессы в частотной области.


1. Верлань , А . Ф . Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – Киев : Наукова думка, 1986. – 544 с.

2. Интегральные уравнения. – М. : Наука, 1968. – 448 с. – (Справочная математическая библиотека).

3. Сизиков , В . С . Математические методы обработки результатов измерений / В. С. Сизиков. – СПб. : Политехника, 2001. – 240 с.

4. Трикоми , Ф . Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. – М. : ИЛ, 1960. – 300 с. 5. Цалюк , З . Б . Интегральные уравнения Вольтерра / З. Б. Цалюк // Итоги науки

и техники. – М. : Наука, 1979. – Т. 17. – С. 131–198. – (Математический анализ). 6. Baker, C. T. H. A perspective on the numerical treatment of Volterra equations /

C. T. H. Baker // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2000. – V. 125. – P. 217–249.

7. Brunner, H. On the History of Numerical Methods for Volterra Integral Equations / H. Brunner // CWI Newsletter. – 1986. – № 11. – 20 p.

8. Brunner, H. The numerical solution of Volterra equations : CWI Monographs / H. Brunner, P. J. van der Houwer. – 3 North. – Holland, Amsterdam, 1986. – 320 p.


38

9. Бойков , И . В . Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. – 316 с.

10. Бойков , И . В . Итерационные методы решения уравнений в свертках / И. В. Бойков // Известия вузов. Математика. – 1998. – № 2. – С. 8–15.

11. Люстерник , Л . А . Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. – М. : Наука, 1965. – 540 с.

12. Обломская , Л . Я . О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах / Л. Я. Обломская // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1968. – Т. 8. – № 2. – С. 417–426.

13. Тихонов , А . Н . Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1974. – 224 с.

Бойков Илья Владимирович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

E-mail: [email protected] Кучумов Евгений Владимирович аспирант, Пензенский государственный университет

Kuchumov Evgeny Vladimirovich Postgraduate student, Penza State University


УДК 517.968.2; 519.62/.64

Бойков, И. В. Об одном итерационном методе решения интегральных уравне-

ний Вольтерра / И. В. Бойков, Е. В. Кучумов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 25–38.


39

УДК 514.126 А. И. Долгарев, И. А. Долгарев

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГАЛИЛЕЕВЫХ МЕТОДОВ Аннотация. Методами галилеевой геометрии решены некоторые системы вто-рого порядка обыкновенных дифференциальных уравнений. Определены га-лилеевы кривизны евклидовых кривых и галилеевы квадратичные формы евк-лидовых поверхностей. Приведены примеры отыскания кривых и поверхно-стей по галилеевым кривизнам и коэффициентам галилеевых квадратичных форм соответственно. Указана галилеева связность для евклидовых поверхно-стей, позволяющая находить галилееву метрическую функцию евклидовой по-верхности. Галилеевыми методами решена задача И. Ньютона – найдены тра-ектории движения материальной точки двух и трех степеней свободы по за-данному 2-мерному полю ускорений движения.

Ключевые слова: галилеевы кривизны евклидовых кривых; галилеевы квадра-тичные формы евклидовой поверхности; галилеева метрическая функция евк-лидовой поверхности; галилеева связность; траектория точки с 2 и 3 степеня-ми свободы. Abstract. Methods of Galilean geometry will allow us to find solutions of some sys-tems of differential equations. Defined Galilean curvature of Euclidean curves and Galilean quadratic forms of Euclidean surface. They just found Euclidean curves and surfaces. By connectedness found Galilean metric functions of the Euclidean and the surface. For 2-dimensional field, the accelerated motion of a trajectory of motion of point 2 and 3 degrees of freedom.

Keywords: Galilean curvature Euclidean curves; Galilean quadratic forms Euclidean surface; Galilean metric function is the Euclidean surface; Galilean connectivity; trajectory points with 2 and 3 degrees of freedom.

Галилеева дифференциальная геометрия 3-мерных пространств по-строена в работе [1] по аналогии и в полном соответствии с евклидовой диф-ференциальной геометрией. Поэтому галилеевы методы являются и евклидо-выми методами, вобравшими в себя своеобразие галилеевой геометрии, осно-ва которого – галилеево скалярное произведение векторов. Строятся евклидо-ва и галилеева геометрии в единой схеме – схеме Г. Вейля. Рассматривается

действительное аффинное пространство 3A с действительным линейным

пространством 3L , представляющим собой арифметическое пространство 3R без нормы векторов, т.е. без скалярного произведения векторов. Выбранная размерность 3 несущественна. В работе [1] изложена 3-мерная геометрия. Многие положения верны и для n -мерного случая. Различные скалярные произведения векторов определяют на аффинном пространстве различные пространства, в том числе евклидово и галилеево пространства. Имеется большое разнообразие галилеевых пространств, пространство Галилея выде-ляется из них коммутативной и линейной геометрией. Это исторически пер-вое из изучаемых галилеевых пространств. О некоммутативных пространст-вах см. в [1], о нелинейных – в [2, 3]. О нелинейной геометрии аффинной плоскости написано и в [4, c. 237–261]. Еще предстоит выяснить, какое из галилеевых пространств лучше соответствует свойствам окружающего нас пространства.


40

Ниже приведены основные факты теории кривых и поверхностей 3-мерного пространства-времени Галилея из [1, 5]. Методы галилеевой гео-метрии позволили решить некоторые новые системы обыкновенных диффе-ренциальных уравнений, новые системы дифференциальных уравнений с ча-стными производными первого и второго порядков. Приведены схемы реше-ния указанных систем дифференциальных уравнений и приведены системы дифференциальных уравнений, решенные в геометриях некоммутативных галилеевых пространств.

Определены галилеевы кривизны евклидовых кривых и получены но-вые натуральные уравнения этих кривых. Получение векторных функций, описывающих регулярные евклидовы кривые, по их галилеевым кривизнам значительно проще, чем по евклидовым кривизнам. Введены галилеевы квад-ратичные формы евклидовых поверхностей, по коэффициентам галилеевых квадратичных форм получены векторные функции, описывающие евклидовы регулярные поверхности. Методы решения указанной задачи значительно проще известных. Приведены примеры отыскания кривых и поверхностей по галилеевым кривизнам и коэффициентам галилеевых квадратичных форм со-ответственно. Указана галилеева связность для евклидовых поверхностей, позволяющая находить галилееву метрическую функцию евклидовой по-верхности; приведены примеры галилеево изометричных поверхностей.

Галилеевыми методами решена задача И. Ньютона – найдены траекто-рии движения материальной точки двух и трех степеней свободы по заданно-му 2-мерному полю ускорений движения, по тангенциальной и нормальной составляющим ускорения.

1 О пространстве Галилея

1.1 Галилеево скалярное произведение векторов

Рассматривается действительное линейное пространство 3L . Евклидо-вым скалярным произведением векторов ( , , )r x y z и ( , , )s u v w называет-

ся число rs xu yv zw . Векторы ,r s

перпендикулярны в случае 0rs

.

Евклидова норма вектора r

равна | |r

= 2 2 2x y z , 2| |r r . При этом

линейное пространство 3L становится евклидовым векторным пространст-

вом 3V .

Для векторов линейного пространства 3L определим галилеево скаляр-ное произведение, обозначая векторы строчными греческими буквами. Гали-леево скалярное произведение векторов ( , , )x y z и ( , , )u v w и гали-леева норма | | вектора таковы:

, если 0 или 0;

, если 0.

xu x u

yv zw x u

2 2

| |, если 0;| |

, если 0.

x x

y z x

(1)

Как и выше: | | = 2 . Линейное пространство 3L становится гали-

леевым векторным пространством 3V . Выделенная первая компонента век-

торов называется временной, т.е. смысл первой компоненты вектора


41

( , , )x y z есть время. Оставшиеся компоненты векторов из 3V называются

пространственными. Используется следующее обозначение:

( , , )t x y .

Векторы (0, , )x y называются евклидовыми, они составляют евклидово

векторное пространство, изоморфное 2V . Обозначим евклидовы векторы , ..., , ...a r

Векторы ( , , )x y z , 0t , называются галилеевыми. Векторы ,

перпендикулярны в случае 0 . Всякий евклидов вектор перпендикуля-

рен всякому галилееву вектору. Имеем прямую сумму: 3 1 2 V V V , 1

V –

1-мерное временное пространство, изоморфное 1V .

В связи с тем, что временная составляющая 1V галилеева векторного

пространства 1-мерна, в 3V имеется единственное временное направление

(точнее – два взаимно обратных). Об углах между галилеевыми векторами говорить не приходится.

1.2 Дифференцирование галилеевых функций

Галилеевы векторные функции есть

( ) ( ( ), ( ), ( ))v t v x v y v , 1v I R , (2)

1I есть некоторый интервал из множества действительных чисел R ; или

функции вида

( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))t u t v u x v u y v u , 21( , )v u D R , (3)

1D – некоторая область евклидовой плоскости, ее можно считать прямо-

угольной: a v b , c u d . Производные галилеевых векторных функций отыскиваются покомпонентно. Смешанные производные не зависят от по-рядка дифференцирования.

1.3 Пространство Галилея размерности 3

3-мерное аффинное пространство, в линейном пространстве которого определено галилеево скалярное произведение векторов, называется 3-мерным пространством Галилея или 3-мерным пространством-временем Галилея и

обозначается 3Γ . Пространство-время 3Γ является прямой суммой оси вре-мени и евклидовой плоскости

3 1 2T E Γ ,

где 1T R – ось времени. Такое определение ( 1)n -мерного пространства Галилея приведено

в работе [6, c. 11–15], мы рассматриваем случай 2n (заметим, что в [6] га-лилеево скалярное произведение векторов не рассматривается). Точки про-

странства-времени 3Γ называются еще событиями. События ( , , )A t x y и

1 1 1( , , )A t x y называются одновременными.


42

Прямые и плоскости аффинного пространства являются прямыми и плоскостями пространства Галилея. Галилеевы векторы задают временное

направление в 3Γ , оно единственно. Одновременные между собою события

составляют евклидову плоскость в 3Γ . Через всякую точку пространства 3Γ проходит единственная евклидова плоскость. Направление времени в про-

странстве 3Γ есть полупространство с евклидовой границей, проходящей через данную точку. Углов между временными направлениями не существу-ет. Евклидова плоскость не содержит галилеевых векторов. Галилеева плос-кость содержит галилеевы и евклидовы векторы.

1.4 Кривые

Согласно [1, c. 54–69] регулярная кривая класса 3C с галилеевыми ка-сательными векторами в естественной параметризации задается галилеевой векторной функцией

( ) ( , ( ), ( ))t t x t y t , t I R , (4)

естественным параметром является время. Кривые с евклидовыми касательными векторами изучает евклидова

геометрия. От функции вида (2) к функции вида (4) переходим, обращая функцию ( )t t v . Функция производной первого порядка есть

( ) (1, ( ), ( ))t x t y t ,

это галилеев вектор, галилеева норма вектора производной является единич-ной: | ( ) | 1t , см. галилееву норму (1) вектора в п. 1.1; длина дуги линии (4)

от точки 0( )t до точки 1( )t равна 1 0| |t t . Вектор производной второго по-рядка является евклидовым

( ) (0, ( ), ( ))t x t y t .

Так как (см. п. 1.1) (галилеев вектор перпендикулярен евклидову вектору), то ( )t есть вектор нормали кривой (4). Единичный вектор нормали кривой (4) равен

1

(0, , )| |

n x y

. (5)

Кривизна галилеевой кривой (4) вычисляется по формуле

2 21 | ( ) |k t x y ,

1

1(0, , )n x y

k . (6)

Кручение галилеевой кривой (4) равно

2 21

x y x yk

k

. (7)

Функции кривизны и кручения кривой (4) 1 1( ) 0,k k t 2 2 ( )k k t за-

дают натуральные уравнения галилеевой кривой (4), функции ( )x x t ,

( )y y t есть решение системы


43

2 2 2

121 2

( ),

( ) ( )

x y k t

x y x y k t k t

(8)

обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной по формулам (6) и (7). Кривая (4) определяется с точностью до положения в пространстве [5].

Схема решения системы дифференциальных уравнений (8). По виду первого уравнения системы (8) вводим обозначения:

1( )cos ( )x k t m t , 1( )sin ( )y k t m t , 2( ) ( )m t k t dt . (9)

Введенные функции удовлетворяют и второму уравнению системы (8). Интегрируя функции (9) дважды по временному параметру t , находим функ-ции ( )x t и ( )y t и получаем кривую (4). Начальные условия

0t t , 0 0 0 0( ) ( , ( ), ( ))t t x t y t P , 0 0 0( ) (1, ( ), ( )) (1, , )t x t y t m n

определяют единственную кривую, проходящую через данную точку

0( )t P и имеющую данный Галилеев единичный касательный вектор

0( ) (1, , )t m n .

Пример 1. Зададим кривизны

2

1 3

1 tk

t

, 2 2

1

1k

t

галилеевой кривой ( ) ( , ( ), ( ))t t x t y t . Найдем функции ( ), ( )x t y t . Согласно (9)

имеем 2( ) ( )m t k t dt = 2

arctg1

dtt c

t

. Считаем 0c . Вводим функции

2

33

1 1cos(arctg )

tx t

tt

, 2

23

1 1cos(arctg )

tx t

tt

.

После двукратного интегрирования получаем семейство кривых

1 3 2 41

( ) , , ln2

t t C t C t C t Ct

.

Начальные условия 3 1

1, , 0, , 02 2

t x y x y выделяют кривую

1 1( ) , , ln

2t t t t

t

.

Это цепная линия. Ее кривизны совпадают с заданными. Заменяя пара-

метр ln t u , приходим к функции 1

( ) , ( ),2

u u uu e e e u

.

1.5 Поверхности

В работе [1, c. 70–101] изучаются регулярные поверхности класса 3C в естественной параметризации


44

( , ) ( , ( , ), ( , ))t u t x t u y t u , 2( , )t u D R . (10)

Векторы частных производных

(1, ( , ), ( , ))t t tx t u y t u , (0, ( , ), ( , ))u u ux t u y t u

в каждой точке P поверхности (10) неколлинеарны и определяют касатель-ную плоскость , ,t uP поверхности. Функция (10) получается в резуль-

тате обращения функции ( , )t t v u по параметру v функции (3). Первая

квадратичная форма поверхности есть

22

2 2

, если изменяется,

, если не изменяется.u u

dt tds

x y t

Вид первой квадратичной формы поверхности такой же, как вид гали-

леевой нормы (1) вектора из 3V . Коэффициент

2 2( , ) 0u uE E t u x y (11)

первой квадратичной формы называется метрической функцией поверхности (10). Расстояния по поверхности (10) вдоль u -линии вычисляются как

( , )s E t u du ; вдоль всех остальных линий поверхности (10) расстояние от

точки 0 0( , )t u до точки 1 1( , )t u равно 1 0| |s t t . Единичный вектор норма-

ли поверхности (10) таков:

1

(0, , )u un y xE

. (12)

Вторая квадратичная форма поверхности равна

2 2II 2Adu Bdudt Cdt , (13)

ее коэффициенты вычисляются формулам

uu u uu uuu

x y y xA n

E

, tu u tu u

tux y y x

B nE

,

tt u tt utt

x y y xC n

E

. (14)

Полная кривизна поверхности есть

2K AC B .

Деривационные формулы поверхности таковы:

tt Cn ,

2t

tu tE

BnE

,

2u

uu uE

AnE

, t u

Bn

E

, u uA

nE

. (15)

Имеются аналоги формул Гаусса-Петерсона-Кодацци:

2 2

4t ttE E E

KE

, 2 2t t u uAE A E BE B E , 2 ( ) 0t t uBE E B C . (16)


45

Символы Кристоффеля:

2 0ij , 111 0 , 1 1

12 21 2tE

E , 1

22 2uE

E . (17)

Если все коэффициенты , , ,E A B C первой и второй квадратичных

форм поверхности являются функциями временного параметра t , то коэффи-циенты , ,A B C второй квадратичной формы поверхности являются функ-

циями метрической функции поверхности:

,A p E ,q

BE

2 2 4

4t ttE E E qE

CpE E

, (18)

где ,p q постоянные, см. [8]. Поверхность определяется только метрической

функцией [5]. Если заданы коэффициенты первой и второй квадратичных форм по-

верхности

( , ) 0, ( , ), ( , ), ( , )E E t u A A t u B B t u C C t u , (19)

то функции ( , ), ( , )x x t u y y t u – компоненты векторной функции ( , )t u

(10), описывающей поверхность пространства-времени Галилея 3Γ , являются решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными, составленной по формулам (11) и (14):

2 2 ( , ),

( , ) ( , ),

( , ) ( , ),

( , ) ( , ).

u u

uu u uu u

tu u tu u

tt u tt u

x y E t u

x y y x A t u E t u

x y y x B t u E t u

x y y x C t u E t u

(20)

Полученная поверхность имеет квадратичные формы с заданными ко-эффициентами (19). Единственная поверхность определяется однозначно следующими начальными условиями:

0 0,t t u u , 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ( , ), ( , ))t u t x t u y t u P ,

0 0 0 0 0 0( , ) (1, ( , ), ( , )) (1, , )t t tt u x t u y t u a b ,

0 0 0 0 0 0( , ) (0, ( , ), ( , )) (0, , )u u ut u x t u y t u c d . (21)

Это поверхность, проходящая через точку P и имеющая касательную плоскость с заданными векторами (1, , ), (0, , )a b c d . Тем самым для поверхно-

стей пространства-времени Галилея 3Γ устанавливается аналог теоремы Бонне евклидовой геометрии [5]. Аналоги формул Петерсона-Кодацци (16) являются условиями интегрируемости системы дифференциальных уравне-ния с частными производными (20).

По формуле (11) метрической функции поверхности и деривационным формулам (15) получаются две системы дифференциальных уравнений с ча-стными производными:


46

2 2 ( , ),

( , )( , ) ,

( , )

( , )( , ) ,

( , )

( , ) ;

u u

uuu u u

ttu u u

tt u

x y E t u

E t ux x A t u y

E t u

E t ux x B t u y

E t u

x C t u y

2 2 ( , ),

( , )( , ) ,

( , )

( , )( , ) ,

( , )

( , ) ,

u u

uuu u u

ttu u u

tt u

x y E t u

E t uy y A t u x

E t u

E t uy y B t u x

E t u

y C t u x

(22)

решением каждой из которых являются функции ( , ), ( , )x x t u y y t u – те же, что и решения системы (20) – компоненты векторного задания поверхности (10).

Начальные условия (21) определяют единственную поверхность с за-данными коэффициентами квадратичных форм (19). В работе [9] приведены примеры получения поверхностей по функциям (19).

Заданные функции (17) – галилеева связность, приводят к системе дифференциальных уравнений с частными производными:

112122

2 ,

2 ,

t

u

E E

E E

решением которой является метрическая функция ( , )E E t u поверхности

( , )t u (10), пространства-времени Галилея 3Γ . Получаем:

0 0

1 112 22 0( , ) ( , ) ( , )

t u

t u

L t u t u dt t u du , ( , )1( , ) L t uE t u e

c ,

см. [10]. Если , , ,E A B C являются функциями параметра t , то при 0A оп-ределяется семейство поверхностей (см. [8]):

1 2( , ) , sin ( ), cos ( )E E

t u t w C t w C tp p

, w pu qt ;

при 0A определяется семейство линейчатых поверхностей:

1 2( , ) , cos ( ), sin ( )t u t u E qt C t u qt C t .

( )iC t – постоянные интегрирования по параметру u . Это семейства поверх-ностей по заданной галилеевой связности – множество попарно изометрич-ных поверхностей [10].

Пример 2. Галилеева связность

112 2 2

t

t u

, 1

22 2 2

u

t u

определяет метрическую функцию поверхностей пространства-времени Га-лилея

2 21E t u

c .


47

При 1c и

2 2

tA

t u

,

2 2

uB

t u

, 0C

имеем семейство изометричных поверхностей

2

1 3 2 4( , ) , ,2

ut u t tu C t C C t C

,

здесь iC – постоянные, определяемые начальными условиями.

Пример 3. Если A и B – указанные в примере 2 функции, но 2 2C t u , то имеем семейство изометричных поверхностей:

2 2 3

1 3 2 4( , ) , ,2 2 6

t u u tt u t tu C t C C t C

.

Все приведенные поверхности попарно изометричны, их метрическая

функция 2 2E t u Есть и другие изометричные им поверхности [10]. Полу-чены все эти поверхности в результате решения системы дифференциальных уравнений с частными производными (20). Среди поверхностей с метриче-

ской функцией 21E u имеются поверхности

2 21( , ) , ,

2 2

at u t u t u

, 2 21 1( , ) , ,

2 2t u t u t u

,

см. [9], эллиптический и гиперболический параболоиды; они изометричны. Вместе с тем компоненты ( , ), ( , )x x t u y y t u поверхности (10) полу-

чаются в результате решения следующих систем дифференциальных уравне-ний с частными производными в векторной форме

,2

,2,

uuu u

ttu u

tt

EAn

EE

BnE

Cn

где (0, , )u u ux y , вектор n

есть (12).

Схема решения системы дифференциальных уравнений с частными производными (20) согласно [5] такова. По виду первого уравнения имеем

cos ( , )ux E w t u , sin ( , )uy E w t u , (23)

функцию ( , )w w t u предстоит найти. Дифференцируем функции (23) по па-

раметру u :

cos sin2

uuu u

Ex w Ew w

E , sin cos

2u

uu uE

y w Ew wE

.


48

Подставляя значения производных во второе уравнение системы (20), получаем

uA

wE

.

Дифференцируем функции (23) по параметру t и по третьему уравне-

нию системы (20) получаем tB

wE

. Находим:

3

2

2

t tut

A E E Aw

E

,

3

2

2

t ttu

B E E Bw

E

.

По аналогу первой формулы Петерсона-Кодацци (16) приходим к вы-воду, что функция ( , )w w t u является решением уравнения с полным диф-

ференциалом

0B A

dt duE E

,

интегрируя которое, имеем функцию ( , )w w t u .

Интегрируем функции (23) по параметруu ; постоянными интегрирова-ния являются функции параметра

1cos ( )x E wdu C t , 2sin ( )y E wdu C t .

Дифференцируя дважды эти функции по параметру по четвертому уравнению системы (20) находим функции 1 2( ), ( )C t C t и функции

( , ), ( , )x x t u y y t u . Начальные условия (21) определяют единственные

функции ( , ), ( , )x t u y t u и единственную поверхность (10). Проверка показы-

вает, что заданные коэффициенты (11) и (14) системы уравнений (20) являют-ся коэффициентами квадратичных форм найденной поверхности.

В примерах 2, 3 получены поверхности по коэффициентам квадратич-ных форм.

2 Решения систем дифференциальных уравнений

2.1 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

В исследованиях геометрических свойств пространства-времени Гали-лея приходится решать дифференциальные уравнения и системы дифферен-циальных уравнений. В частности, по натуральным уравнениям кривых по-лучается векторное задание кривой в естественной параметризации. Задача эта разрешена и в евклидовой, и в галилеевой геометрии. Для евклидовой кривой в естественной параметризации ( )r s

= ( ( ), ( ), ( ))x s y s z s вычислитель-

ные формулы кривизны и кручения таковы:

2 2 21( )k s x y z , 2 2

1

1( ) ( ) ( ) ( )k s xy xy z xz xz y yz yz x

k .


49

Заданные функции кривизны и кручения

1 1( )k k s 0 , 2 2 ( )k k s (24)

однозначно, с точностью до положения в евклидовом пространстве, опреде-ляют кривую ( )r s

, имеющую кривизны (24). Здесь по двум функциям 1( )k s и

2 ( )k s однозначно отыскиваются три функции ( ), ( ), ( )x x s y y s z z s – компоненты векторного задания пространственной кривой ( )r s

. В связи

с чем (24) называются натуральными уравнениями кривой. Система двух дифференциальных уравнений для трех функций, составленная по вычисли-тельным формулам 1( )k s и 2 ( )k s

2 2 2 21

21 2

,

( ) ( ) ( ) ,

x y z k

xy xy z xz xz y yz yz x k k

не позволяет найти три требуемые функции. Задача решается другими методами, см. [11, c. 196–205; 12, c. 38–41]. В пространстве-времени Галилея размерности 3 задача решена,

см. п. 1.4; по вычислительным формулам кривизны и кручения (6) и (7) со-ставлена система обыкновенных дифференциальных уравнений (8), ее реше-нием являются две функции ( )x t , ( )y t – компоненты векторного задания галилеевой кривой (4) ( ) ( , ( ), ( ))t t x t y t в естественной параметризации. Схема решения этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений приведена в п. 1.4.

В других галилеевых пространствах решены системы обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

2 2 21

21 2

( ) ( ) ( ),

( )( ) ( )( ) ( ) ( );

x x y y k t

x x y y y y x x k t k t

22 2

1

21 2

1( ),

2

( ) ( ) ( ) ( );

x y x x k t

x y x x y x k t k t

22 2

1

21 2

1( ) ( ) ( ),

1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

1 1

x x y ey y y k te

x x y ey y y y y x x y e y k t k te e

Случай постоянных коэффициентов рассмотрен в [1], общий случай – в [7]. В 4-мерном пространстве-времени Галилея составлена система трех

обыкновенных дифференциальных уравнений:

2 2 2 21

2 2 2 4 21 2

3 31 2 3

,

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( )

x y z k

y z z y x z z x x y y x k k

y z z y x x z z x y x y y x z k k k


50

с заданными функциями кривизн 1 1 2 2 3 3( ) 0, ( ), ( )k k t k k t k k t кривой

( )t = ( , ( ), ( ), ( ))t x t y t z t .

К настоящему времени указанная система уравнений решена только в случае постоянных кривизн. В работе [13] установлено, что в этом случае

3 0k , т.е. кривая с постоянными кривизнами уплощается. Тем самым полу-

чено некоторое локальное ограничение на размерность пространства-времени Галилея. В малой окрестности всякого события 4-мерного пространства-времени мировая линия события не более чем 3-мерна, она вкладывается в 3-мерное пространство-время. Это согласуется с известным фактом, что наша солнечная система плоская – все планеты движутся в плоскости эклип-тики; и наша галактика – Млечный путь, тоже плоская.

2.2 Системы дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка

По заданным векторным полям класса 1C

1 2( , ) ( ( , ), ( , ))a t u a t u a t u и 1 2( , ) ( ( , ), ( , ))b t u b t u b t u

на некоторой области D евклидовой плоскости определяется регулярная по-

верхность класса 2C

( , ) ( , ( , ), ( , ))t u t x t u y t u

на той же области в одулярном галилеевом пространстве с точностью до по-ложения в пространстве как решение одной из систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка:

1

1

( , ),

( , ),

u

t

x a t u

x b t u

2

2

( , ),

( , );

u

t

y a t u

y b t u

при условиях 1 1t ua b , 2 2

t ua b ;

1

1

( , ),

( , ),

u

t

x a t u

x x b t u

2

2

( , ),

( , );

u

t

y a t u

y y b t u

при условиях 1 1 1t ua a b , 2 2 2

t ua a b ;

1

1

( , ),

( , ),

u

t

x a t u

x b t u

2

2

( , ),

1( , );

2

u

t t

y a t u

y x x b t u

при условиях 1 1t ua b , 2 1 1 21

2t t ua a a b ;

1

1

( , ),

( , ),

u

t

x a t u

x b t u

2

2

( , ),

1( ) ( , );

1

u

t t

y y a t u

y x y ey b t ue


51

при условиях 1 1 2 2 11( )

1t t ua a a ea be

, 2 2 2t ua a b .

Решения указанных систем дифференциальных уравнений приведе-ны в [14].

2.3 Системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка

В евклидовой геометрии доказана теорема Бонне об определяемости поверхности заданными коэффициентам первой и второй квадратичных форм. Заданы шесть функций

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )E u v F u v G u v L u v M u v N u v , (25)

которые определяют три функции: ( , ), ( , ), ( , )x u v y u v z u v – компоненты по-

верхности

( , ) ( , ( , ), ( , ))r t u t x t u y t u,

имеющей первую и вторую квадратичные формы с коэффициентами (25). Система дифференциальных уравнений с частными производными, написан-ная по формулам коэффициентов (25), является громоздкой (см., например [15], или в тензорной форме [16], разворачивающуюся в громоздкую систему уравнений). Схемы доказательства теоремы Бонне евклидовой геометрии приведены в [15, c. 455–458; 16, c. 212–214], см. также [12, c. 111–117]. В геометрии пространства-времени Галилея доказательство аналога теоремы Бонне основано на решении систем дифференциальных уравнений (20) и (22) [5]. В некоммутативном пространстве с растраном [17] решена система урав-нений

2 2 ( , ),

( , ) ( , ),

( , ) ( , ),

( ) ( ) ( , ) ( , ).

u u

uu u uu u

tu u tu u

tt t u tt t u

x y E t u

x y y x A t u E t u

x y y x B t u E t u

x x y y y x C t u E t u

В других пространствах решены системы уравнений, в которых по-следнее уравнение заменено одним из следующих уравнений:

1

2u tt tt t u ttx y x x y x C E

;

1( ) ( ( )

1u tt t u tt t tt tx y y y x x y ey C Ee

.

Решение системы уравнений при этом усложняется.

3 Галилеевы методы в евклидовой геометрии

3.1 Галилеевы кривизны евклидовой кривой

Рассматривается регулярная кривая класса 3C 3-мерного евклидова пространства ( ) ( ( ), ( ), ( ))r t x t y t z t

, 1t I R , 1I есть интервал из R . Функ-


52

ция ( )x t обратима, существует обратная функция ( )t t x , и кривая ( )r t

за-

дается в параметризации

( ) ( , ( ), ( ))r x x y x z x, t I R . (26)

Такая параметризация кривой называется выделенной, функция не ме-нее трех раз дифференцируема. Выделенная параметризация евклидовой кри-вой напоминает естественную параметризацию галилеевой кривой, см. (4).

Только в частном случае 2 2 2( ) ( )y x z x a кривая ( )r x

лежит на круглом

цилиндре, в общем случае это произвольная регулярная кривая. Имеем:

( ) (1, ( ), ( ))r x y x z x , ( ) (0, ( ), ( ))r x y x z x

.

Функция производной второго порядка имеет одну нулевую компоненту. Определение. Галилеевой кривизной евклидовой кривой (26) в выделен-

ной параметризации называется величина

2 21 ( ) ( ) ( )k r x y x z x

,

галилеевым кручением евклидовой кривой (26) в выделенной параметризации называется величина

2k=2

1( )

y z y z

k

.

Согласно п. 1.4 справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Компоненты ( ), ( )y y x z z x кривой (26) являются реше-

нием системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

2 2 2

12

1 2

( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

y z k x

y z y z k x k x

(27)

где 1 ( ) 0k x , 2 ( )k x – заданные на интервале I функции класса 3C галилее-

вых кривизн. Единственная кривая определяется начальными условиями:

0x x , 0 0 0( , ( ), ( )) ( , , )x y x z x a b c , 0 0(1, ( ), ( )) (1, , )y x z x d f .

# Схема решения системы дифференциальных уравнений приведена в п. 1.4. В результате получается евклидова кривая в выделенной параметри-зации. #

Теорема 1 означает, что выполняется следующее утверждение. Теорема 2. Функции

1 1 ( ) 0k k x , 2 2 ( )k k x

являются галилеевыми натуральными уравнениями евклидовой кривой. # Пример 4. По галилеевым кривизнам

12

kx

, 21

( )k xx


53

найдем евклидову кривую ( ) ( , ( ), ( ))r x x y x z x. Система обыкновенных диф-

ференциальных уравнений (27) принимает вид

2 22

3

2,

2.

y zx

y z y zx

Согласно (9) 2( ) lnm x k dx x (постоянную интегрирования считаем

равной нулю). Полагаем:

1(cos ln sin ln )y x x

x ,

1(sin ln cos ln )z x x

x .

Эти функции удовлетворяют рассматриваемой системе дифференци-альных уравнений. После двукратного интегрирования находим

1 3cos lny x x C x C , 2 4sin lnz x x C x C .

Начальные условия 0 0 0 0 01, 0, 0, 1, 1x y z y z выделяют кривую

( ) ( , cos ln , sin ln )r x x x x x x.

Ее галилеевы кривизны совпадают с заданными. После замены пара-

метра tx e кривая записывается в виде ( ) ( , cos , sin )t t tr x e e t e t. Это кони-

ческая спираль. Заметим, что в п. 1.4 функции ,y z подбираются так, чтобы они удовлетворяли первому уравнению системы. Подбор осуществляется не-однозначно.

3.2 Галилеевы квадратичные формы евклидовой поверхности

Пусть задана регулярная поверхность класса 3C 3-мерного евклидова

пространства ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))r u v x u v y u v z u v, 2

1( , )u v D R , 1D – область евклидовой плоскости. Ввиду регулярности поверхности, функция ( , )x x u v обратима по каждому параметру, существует обратная функция ( , )v v x u , и поверхность ( , )r u v

записывается в параметризации

( , ) ( , ( , ), ( , ))r x u x y x u z x u, 2( , )x u D R , (28)

D – область евклидовой плоскости. Параметризация (28) евклидовой поверх-

ности называется выделенной, ( , )r x u

является функцией класса 3C . Имеем:

(1, ( , ), ( , ))x x xr y x u z x u, (0, ( , ), ( , ))u u ur y x u z x u

;

векторы xr

, ur

неколлинеарны, каждая точка поверхности (28) является обыкновенной.

Для поверхности (28) рассматриваем следующие квадратичные формы. Первой галилеевой квадратичной формой евклидовой поверхности (28) в вы-деленной параметризации называется форма

2 2I ( , )dx E x u du , (29)


54

ее коэффициент

2 2( , ) 0u uE E x u y z (30)

называется галилеевой метрической функцией поверхности (28). Квадрат

элемента площади поверхности вычисляется по формуле 2 ( , )ds E x u dxdu . Элемент расстояния вдоль линии ( ) ( , ( , ( )), ( , ( )))r x x y x u x z x u x

на поверхно-

сти (28) определяется равенством 2 2(1 ( , ( ))dl E x u x dx . Угол между двумя направлениям на поверхности (28) отыскивается из соотношения

1 2

1 2

1 ( , ( )) ( , ( ))cos

1 ( , ( )) 1 ( , ( ))

E x u x E x u x

E x u x E x u x

.

Вектор

0, ,u uz yn

E E

(31)

является единичным и перпендикулярен вектору ur

– касательному вектору u -линии поверхности. Назовем его галилеевой нормалью поверхности (28). Второй галилеевой квадратичной формой евклидовой поверхности (28) в вы-деленной параметризации называется форма

2 2II 2Adu Bdudx Cdx , (32)

где

uu u uu uuu

y z z yA r n

E

, tu u tu uut

y z z yB r n

E

,

tt u tt utt

y z z yC r n

E

. (33)

Галилеевой полной кривизной поверхности (28) в выделенной парамет-

ризации называется 2K AC B . Функции

ttr Cn ,

2t

tu uE

r r BnE

,

2u

uu uE

r r AnE

, t u

Bn r

E

, u uA

n rE

(34)

называются галилеевыми деривационными формулами поверхности (28); уравнения

2 2

4t ttE E E

KE

, 2 2t t u uAE A E BE B E , 2 ( ) 0t t uBE E B C (35)

называются галилеевыми формулами Гаусса-Петерсона-Кодацци евклидовой поверхности (28); совокупность функций

2 0ij , 111 0 , 1 1

12 21 2tE

E , 1

22 2uE

E (36)

называется галилеевой связностью евклидовой поверхности (28). Евклидовы поверхности в выделенной параметризации (28), имеющие одну и ту же гали-лееву метрическую функцию (30), называются галилеево изометричными.


55

Теорема 3. Пусть на области D евклидовой плоскости заданы функ-

ции класса 3C

( , ) 0, ( , ), ( , ), ( , )E E t u A A t u B B t u C C t u . (37)

Действительные функции ( , ), ( , )y y t u z z t u класса 3C на области

D , являющиеся решением системы дифференциальных уравнений с частны-ми производными вида (20)

2 2 ( , ),

( , ) ( , ),

( , ) ( , ),

( , ) ( , )

u u

uu u uu u

tu u tu u

tt u tt u

y zy E t u

y z z y A t u E t u

y z z y B t u E t u

y z z y C t u E t u

(38)

определяют в евклидовом пространстве регулярную поверхность ( , ) ( , ( , ), ( , ))r x u x y x u z x u

, коэффициенты галилеевых квадратичных форм

которой совпадают с заданными функциями (37). Начальные условия вида (22) выделяют единственную поверхность, проходящую через данную точку и имеющую данную касательную плоскость.

# Схема решения системы уравнений (38) совпадает со схемой решения системы уравнений (20). Эти системы уравнений различаются только обозна-чениями неизвестных функций. Уравнения (35) являются условиями интег-рируемости системы уравнений (38). #

По формулам (33) составляются системы дифференциальных уравне-ний с частными производными вида (22), их решениями являются те же функции ( , ), ( , )y y t u z z t u .

Теорема 4. Галилеева связность (36) определяет галилееву метриче-

скую функцию регулярной евклидовой поверхности (28) класса 3C с точно-стью до постоянного множителя. При ( )E E t имеем класс галилеево изо-

метричных поверхностей в выделенной параметризации. # Справедливость утверждения основана на аналогии с поверхностями

пространства-времени Галилея. # Примеры. В примере 3 п. 1.5 по заданным функциям коэффициентов

галилеевых квадратичных форм евклидовой поверхности

2 2

tA

t u

,

2 2

uB

t u

, 2 2C t u

найдены евклидовы поверхности в выделенной параметризации [10]. По мет-

рической функции 21E u получаются, см. [9], эллиптический и гипербо-лический параболоиды (п. 1.5) евклидова пространства. В работе [9] приведе-ны и другие примеры получения евклидовых поверхностей по заданным ко-эффициентам их галилеевых квадратичных форм. В примере 2 получены евк-лидовы поверхности по их галилеевой связности. Указаны галилеево изомет-ричные поверхности. Согласно примеру 3 галилеево изометричны эллиптиче-ский и гиперболический параболоиды.


56

4 Механические приложения

В механике известна задача И. Ньютона: по заданному полю ускорений движения материальной точки указать уравнения траектории точки [6, c. 11–30]. Функции, описывающие траекторию ( ),r t

являются решением уравнения

И. Ньютона, которое можно записать в виде

( , , ) ( )r F r r t F t .

В аннотации к параграфу 5 [6, c. 26] В. И. Арнольд отмечает: «Анализ общей потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки возможностей современной науки». Методы галилеевой геометрии, развитые после публикации В. И. Арнольда, предоставляют возможность решения за-дачи И. Ньютона [7, 18].

4.1 Движения с двумя степенями свободы

Материальная точка ( , )x y массы 1 движется по плоской траектории

( ) ( ( ), ( ))r t x t y t во времени t под действием некоторой силы, которая созда-

ет поле F

ускорений движения. В пространстве-времени Галилея рассматри-вается событие ( , ( ), ( ))t x t y t , мировая линия которого описывается галилее-

вой векторной функцией

( ) ( , ( ), ( ))t t x t y t , t I R . (39)

Поле ускорений движущейся точки

1 2( ) ( ( ), ( ))F t f t f t

(40)

определяет траекторию движения ( ) ( ( ), ( ))r t x t y t как составляющую миро-

вой линии движения ( ) ( )t te r t , где e

– единичный вектор направления

времени. Функции ( ) ( ( ), ( ))r t x t y t являются решением уравнения И. Ньютона

( )r F t . (41)

Геометрия окружающего нас пространства локально является галилее-вой, но еще экспериментально не установлен вид этой геометрии. В работе [1] и других работах авторов изучаются различные галилеевы геометрии, ме-тоды которых позволяют отыскивать уравнения траектории движения мате-риальных точек в заданном поле ускорения [6, 17].

Поле ускорений (40) согласно уравнению И. Ньютона (41) определяет кривизну 1k и кручение 2k мировой линии (39) движения материальной точ-

ки в этом поле:

1 2 2 21 ( ( )) ( ( ))k f t f t ,

1 2 1 2

2 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ( ))

f t f t f t f tk

f t f t

, (42)

см. [7]. Согласно п. 1.4 функции кривизны и кручения определяют мировую линию движения с точностью до положения в 3-мерном галилеевом про-странстве, а траекторию движения – с точностью до положения на плоскости. Начальные условия, в которых задана точка траектории и касательный вектор


57

в этой точке, выделяют единственную траекторию точки, движущейся в дан-ном поле ускорений.

Обозначим компоненты скорости движущейся точки: ( , )v p q .

Теорема 5. Функции 1 2( ), ( )f t f t – компоненты поля ускорения движе-ния, определяют компоненты ( ), ( )p t q t скорости движения как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

2 2 2

121 2

( ),

( ) ( ),

p q k t

pq pq k t k t

(43)

где 1( )k t и 2 ( )k t есть (42). # Указанная система обыкновенных дифференциальных уравнений есть

система вида (8), схема решения которой приведена в п. 1.4, см. теорему 3 в [7]. # Теорема 6. Параметрические уравнения ( ), ( )x x t y y t траектории

движения материальной точки в различных галилеевых геометриях являют-ся решением одной из следующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

,

;

x p

y q

,

;

x x p

y y q

,

1;

2

x p

y q p x

1( ),

1;

x x p y eye

y y q

1,

1;

x p

y q

компоненты ,p q вектора скорости движения по заданному полю ускорения

движения являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений (43).

# Решения всех указанных систем обыкновенных дифференциальных уравнений существуют. Для третьей системы уравнений сначала отыскивает-ся функция ( )x t , затем функция ( )y t . Для четвертой системы уравнений сна-чала решается второе уравнение, потом первое. # Это содержание теоремы 4 в [7], см. также [19].

4.2 Движение с тремя степенями свободы

Траектория движения материальной точки с тремя степенями свободы описывается евклидовой векторной функцией ( ) ( ( ), ( ), ( ))r t x t y t z t

, ее мож-

но описать и функцией в выделенной параметризации ( ) ( , ( ), ( ))r x x y x z x.

Согласно п. 3.1 выполняется следующее утверждение.

Теорема 7. Двумерное поле ускорений 1 2( ) ( ( ), ( ))F t f t f t

материаль-

ной точки в движении с тремя степенями свободы определяется галилеевы-ми кривизнами (п. 3.1) 1( )k t и 2 ( )k t (42) как решение системы обыкновенных

дифференциальных уравнений вида (43) и систем уравнений теоремы 6. # Как известно, вектор ускорения a

движущейся точки имеет две со-

ставляющие – тангенциальную и нормальную:

t na a t a n

,

где n

– единичный вектор касательной к траектории; n

– единичный вектор нормали траектории. Поэтому теорема 7 решает задачу И. Ньютона для дви-


58

жения с тремя степенями свободы локально. Если заданы функции тангенци-ального ( )ta x и нормального ( )na x ускорений движущейся точки, то функ-

ции ( ), ( )y x z x отыскиваются следующим образом. Галилеева кривизна миро-

вой линии движения есть 2 21 t nk a a , кручение равно

2 12

| ( ) |

( )na x

k kv x

, где ( ) ( )tv x a x dx .

Теперь траектория движения в выделенной параметризации находится по галилеевым кривизне и кручению.


1. Долгарев , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2005. – 306 с.

2. Долгарев , И . А . Альтернативное 2-мерное действительное линейное про-странство. Группа Ли базисов пространства / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Владикавказский математический журнал. – 2007. – Т. 9. – Вып. 4. – С. 4–14.

3. Долгарев , И . А . Альтернативная аффинная плоскость / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Владикавказский математический журнал. – 2008. – Т. 10. – Вып. 2. – С. 9–20.

4. Xyбежты , И . А . Теория плоскостей / И. А. Хубежты. – Владикавказ (Дзауд-жикау) : ГОУ ВПО СОГУ, 2009. – 476 с.

5. Долгарев , И . А . Системы дифференциальных уравнений в частных производ-ных для поверхностей пространства Галилея : дис. … канд. физ.-мат. наук / И. А. Долгарев. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 120 с.

6. Арнольд , В . И . Математические методы классической механики / В. И. Ар-нольд. – М. : Наука, 1989. – 472 с.

7. Долгарев , А . И . Методы одулярной галилеевой геометрии в описании меха-нических движений / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. По-волжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 12–24.

8. Долгарев , И . А . Поверхности 3-мерного пространства Галилея, коэффициен-ты квадратичных форм которых являются функциями только времениподобного параметра или только пространственноподобного параметра / И. А. Долгарев // Дифференцируемые многообразия фигур : межвуз. тематич. сборник научных трудов. – Вып. 38. – Калининград : Изд-во КГУ, 2007. – С. 44–50.

9. Долгарев , И . А . Поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея как решения систем дифференциальных уравнений с частными производными / И. А. Долгарев // Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики : межвуз. сборник научных работ. – Пенза : Изд-во ПГТА, 2007. – С. 7–10.

10. Долгарев , И . А . Поверхности пространства-времени Галилея по символам Кристоффеля / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволж-ский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 2 (6). – С. 39–51.

11. Рашевский , П . К . Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. – М. : Гостехиздат, 1956. – 420 с.

12. Позняк , Э . Г . Дифференциальная геометрия / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. – М. : Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

13. Долгарев , А . И . Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространст-ва-времени Галилея / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. По-волжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 1 (5). – С. 41–54.


59

14. Долгарев , А . И . Дифференциальные уравнения поверхностей одулярных про-странств. Нормальная кривизна поверхности / А. И. Долгарев // Труды СВМО. – Саранск, 2004. – Т. 6. – № 1. – С. 132–144.

15. Выгодский , М . Я . Дифференциальная геометрия / М. Я. Выгодский. – М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. – 512 с.

16. Норден , А . П . Теория поверхностей / А. П. Норден. – М. : Гостехиздат, 1956 – 260 с.

17. Долгарев , И . А . Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства с растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И. А. Долгарев // Извес-тия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 6. – С. 17–31.

18. Долгарев , А . И . Решение задачи И. Ньютона методами галилеевой геометрии / А. И. Долгарев // Труды участников Междунар. школы-семинара по геом. и ана-лизу памяти Н. В. Ефимова (9–15 сентября). – Ростов-на-Дону : ЮРУ, 2008. – С. 28–29.

19. Долгарев , А . И . Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кри-вые евклидовой плоскости / А. И. Долгарев // Дифференцируемые многообразия фигур : межвуз. тематич. сборник научных трудов. – Вып. 33. – Калининград : Изд-во КГУ, 2002. – С. 25–28.

Долгарев Артур Иванович кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет

Dolgarev Artur Ivanovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: [email protected] Долгарев Иван Артурович кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет

Dolgarev Ivan Arturovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University


УДК 514.126

Долгарев, А. И. Некоторые приложения галилеевых методов / А. И. Долгарев,

И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 39–59.


60

УДК 519.95 M. А. Алехина, С. М. Зиновьева

СИНТЕЗ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО НАДЕЖНОСТИ НЕВЕТВЯЩИХСЯ ПРОГРАММ

В БАЗИСЕ {x1x2, x1x2, 1x , stop}1

Аннотация. Рассматривается задача синтеза асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ с условной остановкой, реализующих бу-левы функции, при инверсных неисправностях на выходах операторов в бази-се {x1x2, x1x2, 1x , stop}. Доказано, что в рассматриваемом базисе все булевы

функции f(x1, x2,…, xn) можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности программами с условной остановкой, причем для функций xi (i {1, 2, …, n}) эти программы являются абсолютно надежными (не содержат операторов), а для остальных функций эти программы функционируют с не-надежностью, асимптотически равной ε при ε → 0 (ε – вероятность инверсной неисправности на выходе оператора).

Ключевые слова: булевы функции, неветвящиеся программы, оператор услов-ной остановки, синтез, надежность.

Abstract. We consider the problem of synthesis of optimal on reliability no-branching programs with conditional stop-operator at inverse faults on operator out-puts in basis {x1x2, x1x2, 1x , stop}. We proved that in this basis it’s possible to

realize all Boolean functions with asymptotically optimal on reliability programs with conditional stop-operator, and for functions xi (i {1,2,…,n}) these programs are absolutely reliable (contain no operators), and for remaining functions these programs work with unreliability asymptotically equal ε at ε → 0 (ε is a probability of the inverse fault on the operator output).

Keywords: Boolean functions, nobraching programs, conditional stop-operator, syn-thesis, reliability.

Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися про-

граммами с условной остановкой [1]. Предполагается, что все операторы – конъюнкторы, дизъюнкторы, инверторы и операторы условной остановки – независимо друг от друга с вероятностью ε (ε (0; 1/2)) подвержены инверс-ным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии вычислительный оператор реализует приписан-ную ему булеву функцию φ, а в неисправном – функцию . В неисправном состоянии оператор условной остановки вместо единицы выдает нуль. Счита-ем, что программа Pr реализует функцию f(x1, x2, …, xn), если она реализует ее при отсутствии неисправностей.

Ненадежностью N(Pr) программы Pr назовем максимальную вероят-ность ошибки на всех выходах программы Pr при всевозможных входных наборах.

Чтобы сформулировать известные результаты для схем из функцио-нальных элементов, которые отличаются от неветвящихся программ наличи-ем оператора условной остановки, введем необходимые определения. 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ, номера проектов 08-06-00503а, 09-06-28615а/В.


61

Ненадежностью N(S) схемы S из функциональных элементов, подвер-женных инверсным неисправностям на выходах, назовем максимальную ве-роятность ошибки на выходе схемы S при всевозможных входных наборах. Обозначим Nε(f) = inf N(S), где инфимум берется по всем схемам S из нена-дежных элементов, реализующим булеву функцию f( x ) ( x = (x1, x2, …, xn)). Схема A из ненадежных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной по надежности, если N(A) ~ Nε(f) при ε → 0, т.е.

( )1lim

( )0

N f

N A

.

Теорема 1 [2]. При ε (0, 1/128] любую булеву функцию ( )f x можно

реализовать такой схемой S, что N(S) ≤ 3ε + 32ε2. Обозначим K(n) – множество булевых функций f(x1, x2, …, xn), не пред-

ставимых в виде ( & ( ))a bix h x , где i {1, 2, …, n}, a, b {0, 1}.

Теорема 2 [2]. Пусть ε (0, 1/6], а f(x1, x2, …, xn) K(n). Тогда любая схема S, реализующая f, имеет ненадежность N(S) ≥ 3ε – 6ε2 + 4ε3.

Из теорем 1 и 2 следует, что в базисе {x1& x2, x1 x2, 1x } для почти всех

функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функциониру-ют с ненадежностью, асимптотически равной 3ε при ε → 0.

Для неветвящихся программ с надежным оператором условной оста-новки доказана теорема 3 [3].

Теорема 3 [3]. При ε (0, 1/128] любую булеву функцию можно реали-зовать такой программой fPr с надежным оператором условной останов-

ки, что N(Prf ) ≤ ε + 41ε2 . Докажем теорему о нижней оценке ненадежности программ с надеж-

ным оператором условной остановки. Теорема 4. При ε (0,1/2) для любой функции f(x1, x2, …, xn), не равной

xi (i {1, 2, …, n}), и любой программы fPr с надежным оператором услов-

ной остановки, реализующей функцию f, справедливо неравенство N(Prf ) ≥ ε. Доказательство. Пусть f(x1, x2, …, xn) – произвольная функция, отлич-

ная от переменных xi (i {1, 2, …, n}), а fPr – любая программа, ее реали-

зующая. Отметим, что любая программа для рассматриваемой функции со-держит хотя бы один функциональный оператор. Если в программе fPr вход

ни одного оператора условной остановки не соединен с выходом никакого функционального оператора (т.е. либо операторов остановки нет, либо все они соединены с полюсами), то хотя бы один из выходов программы является выходом функционального оператора. Поскольку рассматриваемая подпро-грамма является схемой из функциональных элементов, для которой известно [4], что вероятность ошибки на выходе не меньше ε, поэтому N(Prf ) ≥ ε. Если же в программе fPr имеется хотя бы один оператор условной остановки,

вход которого соединен с выходом функционального оператора, то вероят-ность ошибки на выходе этого оператора остановки равна ε. Поэтому ненадеж-ность программы, которая равна максимальной вероятности ошибки на всех выходах программы fPr при всевозможных входных наборах, не меньше ε.

Теорема 4 доказана.


62

Далее будем считать все операторы условной остановки ненадежными, подверженными инверсным неисправностям на выходе. Для неветвящихся программ с оператором условной остановки, подверженным инверсным не-исправностям на выходах, справедливы лемма 1 и теорема 5.

Лемма 1. При ε (0, 1/128] программа Prg (рис. 1) реализует функцию голосования g(x1, x2, x3) с ненадежностью N(Prg) ≤ 3ε, а вероятности

I I II II0 1 0 1, , ,P P P P появления нуля и единицы соответственно на каждом из двух

выходов I и II приведены в табл. 1.

Таблица 1

Выход I Выход II Наборы I

0P I1P II

0P II1P

(000) ε2 ε – ε2 1 – 2ε + 3ε3 – 2ε4 ε – 3ε3 + 2ε4 (001), (010), (100) ε2 ε – ε2 1 – 3ε + 5ε2 – 5ε3 + 2ε4 2ε – 5ε2 + 5ε3 – 2ε4 (011) ε – ε2 (1 – ε)2 ε – 2ε2 + 3ε3 – 2ε4 2ε2 – 3ε3 + 2ε4 (101), (110) ε2 ε – ε2 3ε – 8ε2 + 7ε3 – 2ε4 1 – 4ε + 8ε2 – 7ε3 + 2ε4 (111) ε – ε2 (1 – ε)2 3ε2 – 5ε3 + 2ε4 ε – 3ε2 + 5ε3 – 2ε4

Доказательство. Запишем функцию голосования в виде

1 2 3 2 3 1 2 3( , , ) ( )( )g x x x x x x x x и представим программу (рис. 1) с операто-

ром условной остановки функциональной схемой (рис. 2).

g(x1, x2, x3): 1) z1 = x2 & x3 2) stop (z1) 3) z2 = x2 x3 4) z3 = x1 z1 5) z4 = z2 & z3

Рис. 1 Рис. 2 Заметим, что оператор остановки срабатывает, когда на его вход посту-

пает единица (при этом в исправном состоянии на выходе оператора тоже единица).

Вычислим и оценим вероятности I I II II0 1 0 1, , ,P P P P программы Prg на всех

входных наборах a . Набор (000) :a

– вероятность I1P : I

1 ( , )gP Pr a = ε(1 – ε) = ε – ε2 < ε;


63

– вероятность II1P : II

1 ( , )gP Pr a = (1 – ε)[(1 – ε)ε + ε((1 – ε)ε + ε(1 – ε))] =

= ε – 3ε3 + 2ε4 < ε;


0 ( , )gP Pr a = ε · ε = ε2;


0 ( , )gP Pr a = 1 – ε + ε2 – ε + 3ε3 – 2ε4 – ε2.

Наборы (001), (010) :a


1 ( , )gP Pr a = ε(1 – ε) = ε – ε2 < ε;


1 ( , )gP Pr a = (1 – ε)[(1 – ε)ε + ε(ε2 + (1 – ε)2)] = 2ε –

– 3ε2 + 5ε3 – 2ε4 < 2ε;


0 ( , )gP Pr a = ε·ε = ε2;


0 ( , )gP Pr a = 1 – ε + ε2 – 2ε + 3ε2 – 5ε3 + 2ε4 – ε2 = 1 –

– 3ε + 5ε2 – 5ε3 + 2ε4. Набор (100) :a


1 ( , )gP Pr a = ε(1 – ε) = ε – ε2 < ε;


1 ( , )gP Pr a = (1 – ε)[(1 – ε)ε + ε(ε2 + (1 – ε)2)] = 2ε –

– 3ε2 + 5ε3 – 2ε4 < 2ε;


0 ( , )gP Pr a = ε · ε = ε2;


0 ( , )gP Pr a = 1 – ε + ε2 – 2ε + 3ε2 – 5ε3 + 2ε4 – ε2 = 1 –

– 3ε + 5ε2 – 5ε3 + 2ε4. Заметим, что на рассмотренных наборах (000), (001), (010), (100) ошиб-

кой будет появление 1, и вероятность ошибки на выходе программы Prg будет

равна I II1 1max{ , }P P , который не превосходит 2ε.

Набор (011) :a


0 ( , )gP Pr a = ε(1 – ε) = ε – ε2 < ε;


0 ( , )gP Pr a = ε[(1 – ε)2 + ε(ε(1 – ε) + (1 – ε)ε)] = ε –

– 2ε2 + 3ε3 – 2ε4 < ε;


1 ( , )gP Pr a = (1 – ε)2;


1 ( , )gP Pr a = 1 – ε + ε2 – ε + 2ε2 – 3ε3 + 2ε4 – 1 + 2ε –

– ε2 = 2ε2 – 3ε3 + 2ε4. Наборы (101),(110) :a


0 ( , )gP Pr a = ε2;


0 ( , )gP Pr a = (1 – ε)[ε(1 – ε) + (1 – ε)(ε(1 – ε) + (1 –

– ε)ε)] = 3ε – 8ε2 + 7ε3 – 2ε4 < 3ε;


1 ( , )gP Pr a = ε(1 – ε);


1 ( , )gP Pr a = 1 – ε2 – 3ε + 8ε2 – 7ε3 + 2ε4 – ε + ε2 = 1 –

– 4ε + 8ε2 – 7ε3 + 2ε4.


64

Набор (111) :a


0 ( , )gP Pr a = (1 – ε)ε = ε – ε2 < ε;


0 ( , )gP Pr a = ε[ε(1 – ε) + (1 – ε)(ε(1 – ε) + (1 – ε)ε)] =

= 3ε2 – 5ε3 + 2ε4 < 3ε2;


1 ( , )gP Pr a = (1 – ε)2;


1 ( , )gP Pr a = 1 – ε + ε2 – 3ε2 + 5ε3 – 2ε4 – 1 + 2ε – ε2 =

= ε – 3ε2 + 5ε3 – 2ε4. Заметим, что на рассмотренных наборах (000), (001), (010), (100) ошиб-

кой будет появление 0, и вероятность ошибки на выходе программы Prg будет

равна I II0 0max{ , }P P , который не превосходит 3ε.

Лемма 1 доказана. Теорема 5. При ε (0, 1/128] любую булеву функцию можно реализо-

вать такой программой Prf , что N(Prf ) ≤ ε + 41ε2. Доказательство. Пусть f(x1, x2, …, xn) – произвольная булева функция.

По теореме 1 ее можно реализовать неветвящейся программой (схемой) S с ненадежностью N(S) ≤ 3ε + 32ε2 .

Используя эту схему S, построим для f неветвящуюся программу с опе-ратором условной остановки Prf (рис. 3) и представим ее схемой (рис. 4). Вы-числим и оценим вероятности ошибки для каждого из двух выходов I и II программы Prf (рис. 4).

Prf: 1) t1 = f(x1, x2, …, xn) (S) 2) t2 = f(x1, x2, …, xn) (S) 3) t3 = f(x1, x2, …, xn) (S) 4) z1 = t2 & t3 5) stop (z1) 6) z2 = t2 t3 7) z3 = t1 z1 8) z4 = z2 & z3

Рис. 3 Рис. 4 Пусть набор a такой, что 0)~( af . Оценим вероятность ошибки на

выходе I программы:

1( , )fP Pr a = (1 – p1)3·( – 2) + 3·(1 – p1)

2·p1·( – 2) + (1 – p1)·p12·(1 – )2 +


65

+ 2·(1 – p1)·p12·( – 2) + p1

3·(1 – )2 ≤ + 3p1 + p12,

где p1 ≤ 3 + 322. Тогда 1( , )fP Pr a ≤ + 212.

Оценим вероятность ошибки на выходе II программы:

1( , )fP Pr a = (1 – p1)3·(ε – 3ε3 + 2ε4) + 3·(1 – p1)

2·p1·(2ε – 5ε2 + 5ε3 – 2ε4) +

+ (1 – p1) ·p12·( 2ε2 – 3ε3 + 2ε4) + 2·(1 – p1)·p1

2·(1 – 4ε + 8ε2 – 7ε3 + 2ε4) +

+ p13·( ε – 3ε2 + 5ε3 – 2ε4) ≤ + 6p1 + 2p1

2,

тогда 1( , )fP Pr a ≤ + 412.

Пусть набор a такой, что ( ) 1f a . Оценим вероятность ошибки на вы-ходе I программы:

0 ( , )fP Pr a = (1 – p0)3·( – 2) + 2·(1 – p0)

2·p0·2 + (1 – p0)2·p0·( – 2) +

+ 3·(1 – p0)·p02·2 + p0

3·2 ≤ + p0,

где p0 ≤ 3 + 322. Тогда 0 ( , )fP Pr a ≤ + 42.

Оценим вероятность ошибки на выходе II программы:

0 ( , )fP Pr a = (1 – p0)3·(3ε2 – 5ε3 + 2ε4) + 2·(1 – p0)

2·p0·(3ε – 8ε2 + 7ε3 – 2ε4) +

+ (1 – p0)2·p0·(ε – 2ε2 + 3ε3 – 2ε4) + 3·(1 – p0)·p0

2·(1 – 3ε + 5ε2 – 5ε3 + 2ε4) +

+ p03·(1 – 2ε + 3ε3 – 2ε4) ≤ 32 + 7p0 + 3p0

2,

тогда 0 ( , )fP Pr a ≤ 532.

Выбирая из полученных для вероятности ошибок значений максималь-ное, видим, что ненадежность программы N(Prf) удовлетворяет неравенству N(Prf ) ≤ ε + 41ε2.

Теорема 5 доказана. Заметим, что функции xi (i {1, 2, …, n}) можно реализовать абсолют-

но надежно без использования каких-либо операторов. Докажем утверждение о нижней оценке ненадежности программ для других, отличных от xi (i {1, 2, …, n}), функций.

Теорема 6. При ε (0, 1/2) для любой булевой функции f(x1, x2, …, xn), не равной xi (i {1, 2, …, n}), и любой программы Prf с ненадежным опера-тором условной остановки, реализующей функцию f, справедливо неравенст-во N(Prf) ≥ ε(1 – ε).

Доказательство. Пусть f(x1, x2, …, xn) – произвольная функция, отлич-ная от переменных xi (i {1, 2, …, n}), а Prf – любая программа, ее реали-зующая.

Для каждого из тех операторов программы, выход которых является выходом программы, верно одно из утверждений: он является функциональ-ным оператором либо оператором остановки, на вход которого подается пе-ременная xi (i {1, 2, …, n}), либо оператором остановки, вход которого со-единен с выходом некоторого функционального оператора.

В первом случае рассматриваемая подпрограмма является схемой из функциональных элементов, для которой известно [4], что вероятность ошибки на выходе не меньше ε, поэтому N(Prf) ≥ ε.


66

Во втором случае вероятность ошибки на выходе также не меньше ε, поэтому N(Prf) ≥ ε.

В третьем случае вероятность ошибки на выходе функционального оператора равна p, где p ≥ ε [4]. Тогда на выходе оператора остановки вероят-ность ошибки равна max{p(1 – ε), ε(1 – p)} ≥ ε(1 – ε), поэтому N(Prf) ≥ ε(1 – ε).

Таким образом, ненадежность любой программы не меньше ε(1 – ε). Теорема 6 доказана. Из теорем 5 и 6 следует, что в базисе {x1&x2, x1x2, 1x } для всех функций

f(x1, x2, …, xn), исключая функции xi (i {1, 2, …, n}), асимптотически опти-мальные по надежности программы с ненадежным оператором условной оста-новки функционируют с ненадежностью, асимптотически равной ε при ε→0.

Проведенные исследования показывают, что при ε (0, 1/128] все бу-левы функции в базисе {x1&x2, x1x2, 1x } можно реализовать программами

с ненадежным оператором условной остановки, которые функционируют с ненадежностью не больше ε + 41ε2, в то время как ненадежность асимпто-тически оптимальных схем не превосходит (3ε + 32ε2), т.е. приблизительно в три раза хуже.


1. Чашкин , А . В . О среднем времени вычисления значений булевых функций / А. В. Чашкин // Дискретный анализ и исследование операций. – 1997. – Январь–март. – Том 4. – № 1. – С. 60–78.

2. Васин , А . В . Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {x1&x2, x1/x2,

1x } при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Извес-

тия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 4. – С. 3–17.

3. Зиновьева , С . М . Синтез надежных неветвящихся программ с условной оста-новкой / С. М. Зиновьева // Материалы Седьмой молодежной научной школы по дискретной математике и ее приложениям (г. Москва, 18–23 мая 2009 г.). – В пе-чати.

4. Neuman, Von J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components / J. Von Neuman // Automata studies / edited by C. Shannon, Mc. Carthy J. – Princeton University Press, 1956. – (Русский перевод: Автоматы. – М. : ИЛ, 1956. – С. 68–139).

Алехина Марина Анатольевна доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики, Пензенский государственный университет

Alekhina Marina Anatolyevna Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of discrete mathematics, Penza State University

E-mail: [email protected] Зиновьева Светлана Михайловна ассистент, кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет

Zinovyeva Svetlana Mikhaylovna Assistant, sub-department of discrete mathematics, Penza State University



67

УДК 514.126

Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся

программ в базисе {x1x2, x1x2, 1x , stop} / M. А. Алехина, С. М. Зиновьева //

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-матема-тические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 60–67.


68

УДК 517.9 + 514.7 И. А. Долгарев

ПОЛУЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОДУЛЯРНОГО ГАЛИЛЕЕВА ПРОСТРАНСТВА С СИБСОНОМ

ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ИХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ Аннотация. На основе коэффициентов квадратичных форм поверхности одулярного галилеева пространства с сибсоном (единственным 3-мерным нильпотентным одулем Ли) составлена система дифференциальных уравне-ний с частными производными, решение которой приводит к определению поверхности.

Ключевые слова: некоммутативное галилеево пространство, поверхность, ко-эффициенты квадратичных форм. Abstract. As a result of solution of combined differential equations with partial de-rivatives we have surface of noncommutative Galilean space in sibson by value co-efficients of quadratic forms.

Keyword: noncommutative Galilean space, surface, coefficients of quadratic forms.

В геометрии свойства поверхностей характеризуются некоторыми функциями или константами, получаемыми в процессе дифференцирования функций, задающих поверхности. Большой интерес представляет обратная задача: получение поверхностей, свойства которых описываются заданными функциями – коэффициентами квадратичных форм поверхности. Поверхно-стям сопоставляются квадратичные формы, их коэффициенты позволяют ре-шать метрические задачи на поверхности, вычислить кривизну поверхностей, линий на поверхностях. Ставится задача – по коэффициентам квадратичных форм поверхности найти поверхность. В евклидовой геометрии эта задача решена, а именно доказана теорема Бонне о том, что поверхность определя-ется заданием коэффициентов ее первой и второй квадратичных форм [1]. Заданы шесть скалярных функций двух параметров – коэффициентов первой и второй квадратичных форм поверхности. Эти функции и их производные связывают три уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Требуется найти три скалярные функции двух параметров, являющиеся компонентами векторной функции, задающей поверхность в евклидовом пространстве. В галилеевом пространстве имеется четыре скалярные функции двух параметров – коэффи-циенты первой и второй квадратичных форм поверхности и три уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Требуется найти две скалярные функции двух параметров, которые служат компонентами в общем случае одулярной функ-ции, задающей поверхность в галилеевом пространстве. Поверхность гали-леева пространства определяется векторным полем евклидовой плоскости, но при этом может получиться и поверхность в некоммутативной одулярной галилеевой геометрии.

Примеры получения одулярных поверхностей по евклидовым 2-мер-ным векторным полям с помощью дифференциальных уравнений содержатся в [2]. Основы дифференциальной геометрии некоммутативного одулярного пространства с сибсоном изложены в [3, 4]. Монография [4] рассматривает 3-мерные разрешимые действительные одули Ли и вейлевские одулярные


69

пространства с этими одулями. Существует пять видов действительных раз-решимых одулей Ли, к ним относится и абелев одуль Ли – линейное про-странство. Вейлевские одулярные пространства обобщают аффинное про-странство, имеют с ним общую аксиоматику. Вводя на одуле Ли галилееву норму, получаем галилеевы одулярные пространства. Среди них содержится и классическое пространство-время Галилея. Дифференциальная геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея изложена в [4]. Отличные от про-странства Галилея пространства с галилеевой нормой называются галилее-выми. Основная теорема теории поверхностей пространства Галилея, аналог теоремы Бонне, доказана в [5], подробные исследования проведены в [6]. Наиболее близким к пространству Галилея является одулярное галилеево пространство с растраном, растран – это одуль Ли, составленный из парал-лельных переносов и гомотетий аффинного пространства. Основная теорема теории поверхностей некоммутативного галилеева пространства с растраном доказана в [7]. Сибсон является единственным нильпотентным одулем Ли, он состоит из галилеевых движений.

Ниже доказывается аналог теоремы Бонне для поверхностей ЕС-пространства, т.е. галилеева пространства с касательным отображением о одуль Ли галилеевых движений. В процессе доказательства используются дифференциальные уравнения. Трудности в доказательстве связаны с тем, что полная кривизна поверхности ЕС-пространства не относится к внутрен-ней геометрии поверхности и формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци содержат, кроме коэффициентов квадратичных форм поверхности, еще дополнительные функции.

Рассмотрен также случай, в котором коэффициенты квадратичных форм поверхности являются постоянными величинами.

Поверхности ЕС-пространства изучаются в [3], одулярные галилеевы пространства описаны в [4]. Результаты описания поверхности ЕС-прост-ранства по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм доложены на Лобачевских чтениях в Казанском университете в 2007 г. [8], о поверхно-стях одулярных галилеевых пространств сообщено в Международной школе-семинаре памяти Н. В. Ефимова в 2006 г. [9].

1 Сибсон и ЕС-пространство

1.1 Нормированный сибсон

Действительный 3-мерный сибсон 3 определяется на многообразии 3R следующими операциями над тройками чисел, см. [4]:

1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) ( , , ) ( , , ); x x x y y y x y x y x y

1 2 1 2 1 ( 1)( , , ) ( , , ),

2

t tt x x x xt x t x t xx Rt .

Операция сложения некоммутативна. Элементы сибсона называются сибсами и обозначаются , , ..., , ... Пусть (1, 0, 0) , (0,1, 0) ,

(0, 0,1) . Имеется разложение

1 2 1 2( , , ) x x x x x x .


70

Упорядоченное множество ( , , ) Б является базисом сибсона 3 .

Сибсы ( , 0, 0)x составляют линейное пространство 1L над R , сибсы 1 2(0, , )x x составляют линейное пространство 2L над R . Сибсон является

полупрямой суммой линейных пространств: 3 = 2L ┤ 1L . На линейных про-

странствах 1L , 2L определена евклидова норма, превращающая их в евкли-

довы пространства 1V , 2V . На сибсоне задается галилеева норма: галилеевой

нормой сибса 1 2( , , ) x x x называется

, если 0 x x ; 1 2 2 2( ) ( ) , если 0 x x x .

Компонента x всякого сибса является временной, компоненты 1 2,x x являются пространственными.

Сибсон по сложению является нильпотентной группой Ли ступени 2. Как группа Ли, сибсон порождается двумя сибсами. Неперестановочные сиб-

сы , порождают сибсон 3 . Всякие два перестановочных сибса порожда-ют 2-мерное евклидово векторное пространство или 2-мерное галилеево про-странство.

1.2 Сибсонные функции

Сибсонная функция одного параметра является совокупностью трех действительных функций одного действительного параметра

1 2( ) ( ( ), ( ), ( )) t x t x t x t , I Rt .

Считаем, что функции 1 2( ), ( ), ( )x t x t x t есть функции класса 3C . Фор-мула дифференцирования сибсонных функций такова:

1 2 1 11( ) ( ), ( ), ( )

2

t x t x t x t x x x ,

см. [4]. Сибсонная функция двух параметров – это тройка действительных функций двух действительных параметров:

1 2( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) u v x u v x u v x u v , 2( , ) D Ru v .

Рассматриваем функции класса 3C . Для функции ( , ) u v частные про-изводные находятся по правилу дифференцирования сибсонных функций од-ного параметра [4]. Смешанные производные второго порядка зависят от по-рядка дифференцирования: uv vu .

1.3 ЕС-пространство

Рассматривается множество { , , ..., , ...}A B M точек и сибсон 3 . Ото-

бражение пар точек ( , )A B в сибсон 3 удовлетворяет аксиомам Г. Вейля. Тем самым определяется вейлевское одулярное пространство – ВО-прост-ранство с сибсоном [4]. ВО-пространство с нормированным сибсоном, п. 1.1,


71

называется ЕС-пространством. Точка O и базис ( , , ) Б сибсона состав-ляют репер ЕС-пространства ( , , , ) B O . ЕС-пространство является оду-лярным галилеевым пространством-временем. Координаты сибса OM в бази-

се Б есть координаты точки M в репере B . Если 1 2( , , )OM x x x – сибс

в репере B , то 1 2( , , )M x x x . Компонента x всякой точки 1 2( , , )M x x x яв-

ляется временной, компоненты 1 2,x x являются пространственными. ЕС-прост-

ранство является галилеевым пространством-временем. Расстояние AB ме-

жду точками A и B определяется как норма сибса AB . Координатная плос-кость , , O ЕС-пространства является евклидовой, координатная плос-кость , , O является галилеевой; не существует плоскости, определяе-мой точкой O и сибсами , . Через всякую точку A ЕС-пространства про-ходит единственная евклидова плоскость , , A . Всякая другая плоскость, проходящая через точку A , является галилеевой плоскостью. Существуют неколлинеарные точки, через которые не проходит никакой плоскости [3, 4].

1.4 Поверхности ЕС-пространства

Регулярная поверхность ЕС-пространства в естественной параметриза-ции, см. [4], задается сибсонной функцией двух параметров:

( , ) ( , ( , ), ( , )) t u t x t u y t u , 2( , ) D Rt u . (1)

u -линии поверхности 0 0 0 0( , ) ( , ( , ), ( , )) t u t x t u y t u являются линиями

евклидовых плоскостей 0t t ЕС-пространства, t -линии поверхности

0 0 0( , ) ( , ( , ), ( , )) t u t x t u y t u есть кривые ЕС-пространства в естественной па-

раметризации. Сибсы , t u порождают сибсон 3 , поэтому поверхность не обладает касательной плоскостью [3, 4]. Основные сведения о поверхностях ЕС-пространства содержатся в [3, 4].

Сибсонную функцию (1), задающую поверхность, запишем в виде двух составляющих:

( , ) ( , ) t u t r t u . (2)

Составляющая t является временной, t есть время; составляющая ( , ) ( ( , ), ( , ))

r t u x t u y t u является пространственной. Функция ( , )r t u – евкли-

дова векторная функция, она является проекцией поверхности ЕС-прост-

ранства на евклидову плоскость 2 , , E O . Для того чтобы задать по-верхность в ЕС-пространстве в естественной параметризации, достаточно задать векторную функцию ( , )

r t u .

Согласно правилу дифференцирования сибсонных функций, п. 1.2, производные первого порядка функции (1) равны

1 1

( , )2 2

t t t t t tx y x x r x x , (0, , ) u u u ux y r , (3)

здесь – третий сибс репера ( , , , ) B O ЕС-пространства. Единичный

сибс нормали поверхности таков:


72

2 2

1( , )

u u

u u

n y xx y

. (4)

Производные второго порядка функции (1) равны:

1

2

tt tt tt tr x x ,

1

2

tu tu tu ur x x , ut utr , uu uur . (5)

Первая квадратичная форма поверхности есть

2

22

, если const,

, если const.

dt tds

Edu t (6)

Ненулевой, тождественно не равный единице коэффициент первой квадратичной формы поверхности таков:

2 2 u uE x y . (7)

Функция ( , )E E t u называется еще метрической функцией поверхно-

сти галилеева пространства. Вторая квадратичная форма поверхности:

2 2II 2 Adu Bdudt Cdt , (8)

ее коэффициенты

uuA r n ,

utB r n , 1

( )2

tt tt tC r x x n . (9)

Полная кривизна поверхности равна

2 K AC B . (10)

Деривационные формулы поверхности ЕС-пространства:

2 u

uu uu uE

r r AnE

, 2

tut ut u

Er r Bn

E;

22 2

2 2

t tu u u u tu u utu u

E x y x y x x xr B n

E E,

tt Cn . (11)

1.5 Основные уравнения теории поверхностей ЕС-пространства

В работе [4] получены формулы Гаусса и Петерсона-Кодацци для по-верхностей ЕС-пространства. Имеется два аналога формулы Гаусса:

2 2

4

t ttE EE

KE 2

t ut

u

BE xB E C E

yE

1

2

tu ttuu

Ex x

y;

2 2

4

t ttE EE

KE 2

t ut

u

BE yB E C E

xE; (12)


73

и формулы Петерсона-Кодацци:

2 ( ) u t tt tE B A BE AE ; (13)

2 ( ) (2 ) t u t tu ttu uBE E C B E x x x . (14)

Согласно формулам (12) полная кривизна поверхности не относится к внутренней геометрии поверхности ЕС-пространства.

2 Определение поверхности ЕС-пространства коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм

2.1 Постановка задачи

В ЕС-пространстве рассматриваем поверхность, заданную сибсонной функцией ( , ) t u (1) в естественной параметризации. Ее пространственная

составляющая ( , )r t u задана на односвязной области 2D E евклидовой

плоскости ЕС-пространства. Для поверхности (1) на области D определяют-

ся четыре скалярные функции класса 2C :

( , ) 0 E E t u , ( , )A A t u , ( , )B B t u , ( , )C C t u , (15)

являющиеся коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверх-ности. Эти функции связывают уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци и вы-полняются четыре деривационные формулы (11) для производных второго порядка сибсонной функции (1). Ставим задачу: по заданным функциям (15) найти векторную функцию ( , )

r t u – пространственную составляющую по-

верхности ЕС-пространства, записанную в виде (2), чтобы эта поверхность имела первую и вторую квадратичные формы, коэффициенты которых есть функции (15). Для однозначного определения поверхности заданы начальные условия

0 0( , ) r t u a , 0 0( , )

ur t u b ,

b E , 0 0( , )

tr t u c , (16)

где 0 0( , )Dt u и , ,

a b c – известные векторы, причем векторы b и

c некол-

линеарны. Так как ( , )

r t u – векторная функция, то выполняется следующее условие.

Условие ( )p . Компоненты ( , ), ( , )x t u y t u функции ( , )r t u удовлетво-

ряют обычным условиям 2C -функций: смешанные производные этих функ-ций не зависят от порядка дифференцирования.

Сформулированная задача сводится к доказательству теоремы, анало-гичной теореме Бонне, см. [1], евклидовой геометрии.

Основная теорема. Если на односвязной области D евклидовой плос-

кости заданы функции (15) класса 2C , для них выполнены условия (12)–(14), то на области D существует функция ( , ) ( ( , ), ( , ))

r t u x t u y t u , являющаяся

евклидовой, т.е. пространственной составляющей сибсонной функции ( , ) ( , ) t u t r t u , задающей поверхность в ЕС-пространстве, единствен-

ную, удовлетворяющую условиям (16), первой и второй квадратичными фор-


74

мами которой являются (6) и (8), коэффициенты которых совпадают со значениями заданных функций (15) в точках области D .

Доказательство теоремы содержится в п. 2.3–2.5.

2.2 Системы дифференциальных уравнений с частными производными

Определить компоненты векторной функции ( , )r t u по функциям (15)

можно на основе формул (3), (4), (8), (10), составив по ним систему диффе-ренциальных уравнений с частными производными:

2

2

,

2 21( ) ,2 2 2

1( ) .2

u

t tu u u u tu u utu tu u u

tt tt t

r E

E x y x y x x xr x x r B n

E E

r x x Cn

(17)

Это система уравнений в векторной форме. Второе уравнение системы получено из второй формулы в (5) и третьей деривационной формулы в (11). Третье уравнение системы получено из первой формулы в (5) и четвертой деривационной формулы в (11). Формулы (12), (13) представляют собой усло-вия интегрируемости системы уравнений (17), к ним относится и условие (р).

Второе и третье уравнения в (17) запишем в компонентах входящих в них векторных функций. Для компонент векторов из второго уравнения с учетом (4) и (0,1) , как евклидова вектора, выполняются равенства:

22 2

2 2

t tu u u u tu u u utu u

E x y x y x x x yx x B

E E E; (18)

22 21

2 2 2

t tu u u u tu u u utu tu u u

E x y x y x x x xy x x y B

E E E. (19)

Перепишем (18) в виде

2 2

2 2 2

t tu u tu u

tu u u u u u uE x x x xB

x x y x y y xE E EE

,

отсюда получаем

2

ttu u u

E Bx x y

E E. (20)

В равенстве (19) производим тождественные преобразования.

2 2 2 22 21

2 2 2

tu u u u tu u u u t u

tu tu u ux y x y x x x x E x

y x x y BE E E

;

2 2 2 2( ) 2 ( )1

2 2 2

tu u u u u u t u

tu tu u ux x y x x y E x

y x x y BE E E

.


75

С учетом 2 2 u uE x y , см. (6), получаем

2

ttu u u

E By y x

E E. (21)

Третье векторное уравнение системы (17) легко заменяется двумя по-компонентными уравнениями и система векторных уравнений (17) эквива-лентна следующей системе дифференциальных уравнений с частными произ-водными, куда вошли уравнения (20) и (21):

2 2 ,

,2

,2

,

1.

2

u u

ttu u u

ttu u u

tt u

tt tt u t u u

E x y

E Bx x y

E EE B

y y xE E

Cx y

EC

y x x x x xE

(22)

Составляющие ( , ), ( , )x t u y t u сибсонной функции ( , ) t u t

( ( , ), ( , )) x t u y t u являются решением системы дифференциальных уравнений

с частными производными (22). В доказательстве основной теоремы используются заданные функции –

коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности. Эти функ-ции не являются производными искомых функций, описывающих поверх-ность, но выражаются через них. Поэтому сначала отыскиваются частные производные

ur и

tr неизвестной функции ( , )

r t u по коэффициентам квадра-

тичных форм поверхности с использованием деривационных формул поверх-ности и уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци. Затем по найденным функци-ям

ur и

tr находится функция ( , )

r t u . В этом состоит метод последователь-

ного интегрирования системы уравнений (22). Функция ( , )

ur t u для поверхности ЕС-пространства отыскивается так

же, как для поверхности коммутативного пространства Галилея [5]. Условия нахождения функции

tr осложняются тем, что деривационные формулы по-

верхности и уравнения Петерсона-Кодацци содержат не только заданные функции , , ,E A B C , но и отдельные компоненты функций

ttr ,

tr . Чтобы най-

ти функции ,t tx y – компоненты функции ( , )r t u , приходится решать вспомо-

гательные дифференциальные уравнения в частных производных, затем ис-пользуется условие (р). После этого возникают уравнения с полным диффе-ренциалом функций ( , ), ( , )x t u y t u .

2.3 Функция ur

Согласно виду формулы (6) для коэффициента E первой квадратичной формы поверхности обозначим


76

cosux E w , sinuy E w , (23)

где ( , )w w t u – функция, которую предстоит найти. Как в [5], находим по

второму и третьему уравнениям системы (22)

uA

wE

, tB

wE

; (24)

на основе (13) получаем уравнение с полным дифференциалом:

0 A Bdu dt

E E,

решением которого является функция ( , )w w t u . Начальные условия, см.

(16), определяют единственную функцию

( , ) ( cos , sin )ur t u E w E w . (25)

Теперь единичный вектор нормали поверхности есть (согласно (4) и (24))

( sin , cos ) n w w . (26)

2.4 Функция ( , )tr t u

Функцию tr пространственной составляющей поверхности ( , ) t u (1)

находим по компонентам производных второго порядка tu , tt , сибсонной

функции ( , ) t u , входящим в систему уравнений (22). Сначала мы отыщем

векторные функции tur и

ttr , а затем функцию

tr будем находить по ее про-

изводным tur и

ttr по условию (p) из п. 2.1. В третье уравнение системы (22),

т.е. в уравнение (20), подставляем уже найденные функции (23):

cos sin2

ttu

Ex w B w

E.

Интегрируем равенство по параметру u , в результате в качестве посто-янного слагаемого интегрирования имеем функцию 1( )c t параметра t :

1cos sin ( )2

t

tE

x w B w du c tE

. (27)

Для нахождения функции 1( )c t воспользуемся четвертым уравнением

системы (22); дифференцируем (27) по параметру t :

1cos sin ( ) sin2

t

ttt

Ex w B w du c t C w

E. (28)

Получаем

1( ) sin c t C w cos sin2

t

t

Ew B w du

E,


77

1( ) sin c t C w cos sin2

tE

w B w duE

.

Подставляя 1( )c t в (27), находим

2sin tx C wdt c . (29)

По третьему уравнению системы (22), т.е. по уравнению (21), с исполь-зованием функций (23) получаем

3sin cos ( )2

u

tE

y w B w du c tE

.

По аналогии с предыдущим, привлекая пятое уравнение из (22) и вы-ражения (28), (29), имеем функцию

4 51

cos sin sin2

ty C wdt C wdt C wdt dt c t c . (30)

Таким образом, найдена векторная функция tr = ( , )t tx y , ее компоненты

есть функции (29) и (30). По начальному условию 1 20 0( , ) ( , )

tr t u c c c из (16)

определяется единственная функция tr , для которой 1

0 0( , ) ,tx t u c 2

0 0( , ) ty t u c .

2.5 Отыскание функции r

Согласно условию (p) из п. 2.1 имеем уравнения с полным дифферен-циалом

0 u tx du x dt , 0 u ty du y dt .

Функции , ,u ux y ,t tx y найдены в п. 2.3, 2.4. Решения указанных урав-нений составляют векторную функцию

( , ) ( ( , ), ( , ))r t u x t u y t u .

Начальное условие 1 20 0( , ) ( , )

r t u a a a , см. (16), выделяет единствен-ную функцию, определяемую функциями (3) и (5).

2.6 Поверхность с заданными коэффициентами квадратичных форм

Условия основной теоремы из п. 2.1 обеспечивают существование единственной функции ( , ) ( ( , ), ( , ))

r t u x t u y t u , отыскиваемой в п. 2.5. Сле-довательно, существует единственная поверхность

( , ) ( , ( , ), ( , )) t u t x t u y t u , 2( , ) D Et u ,

ЕС-пространства, определяемая функциями (15) и удовлетворяющая началь-ным условиям (16). По условиям основной теоремы в п. 2.1 найдена функция

( , ) ( ( , ), ( , ))u u u u ur x y x t u y t u . При этом u ur . Получены

cosux E w , sinuy E w , ( sin ,cos ) n w w .


78

Вычисляем:

2 2 2 u u ur x y E ,

т.е. найденная поверхность ( , ) t u имеет первую квадратичную форму с за-

данным в (15) коэффициентом ( , )E E t u . Поверхность ( , ) t u имеет вторую

квадратичную форму с заданными коэффициентами , ,A B C . Это следует из

того, что для поверхности сначала найдена производная u ur , п. 2.3, по ко-

торой получаем ( sin , cos ) uu uur A w A w . Следовательно,

uu uun r n A ,

результат совпадает со второй заданной функцией в (15). Кроме того, найдена функция

utr , компоненты которой есть (20) и (21),

вместе с (23) имеем:

cos sin , sin cos2 2

t tut

E Er w B w w B w

E E,

см. (29), (21) и (23). Таким образом,

utr n B ,

для векторной функции r выполняется

tu utr r . Коэффициент B второй

квадратичной формы поверхности ( , ) t u совпадает с третьей заданной в (15)

функцией. Производная tt , см. (5), и четвертая формула в (11), используемая

в п. 1.5 при нахождении функции tr и входящая в условия основной теоре-

мы, дают

ttn Cnn C .

Коэффициент C второй квадратичной формы найденной поверхности ( , ) t u совпадает с заданной в (15) функцией ( , )C C t u , определяющей по-

верхность ( , ) t u .

Как показывают равенства (29) и (30) и предшествующие им формулы, функции ,t tx y , а значит, и ( , )y y t u , могут быть выражены или через функ-

ции ,B E , или через функцию C . Их связывает вторая формула для полной

кривизны ЕС-пространства в (12), что и дает зависимость между различными выражениями для функции ty . Пример использования второй формулы

в (12) имеется ниже.

3 Поверхность ЕС-пространства, коэффициенты квадратичных форм которой постоянны

3.1 Теорема для поверхности, имеющей постоянные коэффициенты квадратичных форм

По основной теореме, п. 2.1, функции ( , ), ( , ), ( , ), ( , )E t u A t u B t u C t u (15) –

коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности и началь-ные условия (16) однозначно определяют поверхность ЕС-пространства. Пусть коэффициенты квадратичных форм поверхности постоянны, т.е. функ-


79

ции , ,A B C (15) постоянны. В этом случае определяется поверхность кон-

кретного вида, она описывается следующей теоремой. Теорема. Если коэффициенты первой и второй квадратичных форм

поверхности ЕС-пространства постоянны, то поверхность является анало-гом квазиплоскости. В этом случае 0, 0, 0 E A B C . Поверхность за-

дается сибсонной функцией

20 1 0 2 3

1( , ) , cos , sin

2

t u t u E c at C u E c bt C t C ,

это цилиндрическая поверхность с евклидовой образующей, направляющая которой является галилеевым циклом.

Квазиплоскости изучаются в [3]. Поверхность, определяемая точкой и двумя некоммутирующими сибсами, называется квазиплоскостью. Плоскость определяется точкой и двумя коммутирующими сибсами. Доказательству теоремы посвящены п. 3.2–3.5.

3.2 Производные по пространственному параметру

Полная кривизна поверхности описывается формулами Гаусса (12), в каждом слагаемом первой из формул содержатся как сомножители, произ-водные коэффициентов квадратичных форм поверхности, которые равны ну-лю, т.к. коэффициенты постоянны. Следовательно, такая поверхность имеет нулевую полную кривизну:

2 0 K AC B .

Для функции ( , )u u ur x y в п. 2.3 получено

cosux E w , sinuy E w , uA

wE

, tB

wE

. (31)

Функция ( , )w w t u получается в результате решения уравнения с пол-

ным дифференциалом

0 A Bdu dt

E E;

в случае постоянных коэффициентов его решением является функция

0 A Bw u t c

E E, 0 constc . (32)

Вычисляем: ur E . Поверхность с выписанной производной ( , )u ux y

пространственной составляющей имеет в первой квадратичной форме задан-ный коэффициент .E Единичный вектор нормали поверхности равен

( sin ,cos ) n w w , см. (26). По функциям ux и uy находим компоненты

функции r :

1cos sin ( ) E

x E wdu w C tA

, 2sin cos ( ) B E

y E wdu w C tA

. (33)


80

При интегрировании по параметру u получается слагаемое, зависящее от параметра t .

Полученные выражения (33) предстоит уточнить, функции 1 2( ), ( )C t C t

найти.

3.3 Производные по времени. Пространственная составляющая

По функциям (33) находим

1cos ( ) tB E

x w C tA

, 2sin ( ) tB E

y w C tA

;

2

1sin ( ) ttB

x w C tA

, 2

2cos ( ) ttB

y w C tA

.

Из 2 0 K AC B получаем 2 B AC . Тогда по (5)

10, ,

2

tt tt tt tt tx y x x

1 2 1 11 1

sin ( ), cos ( ) sin ( ) cos ( )2 2

B EC w C t C w C t C w C t w C t

A.

Далее получаем:

1 21

( )sin ( )cos sin cos2

ttn C C C t w C t w C w w

21 1

1( )cos cos ( )cos

2 B E

C t w w C t wA

.

Значит,

1 2 1 11 1

( ) cos sin ( ) cos ( ) cos 02 2

B EC t C w w C t C w C t w

A.

Для выполнения этого равенства каждый из множителей при sin w и cos w должен обращаться в нуль. Имеем по первому слагаемому:

11

( ) cos 02

C t C w , 11

( ) cos2

C t C w .

Функция 1( )C t зависит только от параметра t , поэтому в (32) отсутст-

вует слагаемое, содержащее параметр u , что возможно только при 0A . Так

как 2 0 AC B , то 0B . По (32) имеем, что w – постоянная величина:

0w c .

Снова находим функции ( , ), ( , )x t u y t u , см. (33), при найденном значе-

нии 0w c :

0 1cos ( ) x u E c C t , 0 2sin ( ) y u E c C t ; (34)


81

тогда

1 2( ), ( ) t tx C t y C t , 1 2( ), ( ) tt ttx C t y C t ;

1 0 2 1 1 01

( )sin ( ( ) ( ) ( ))cos2

ttC n C t c C t C t C t c .

Значение C постоянно, следовательно, 1 2( ), ( ) C t C t и 1( )C t постоянны.

Обозначим: 1( ) C t a , 2 ( ) C t b . Отсюда

1 1( ) , C t at C 22 2 3

1( )

2 C t t C t C .

По (34) получаем компоненты пространственной составляющей по-верхности ( , ) t u .

3.4 Поверхность

Поверхность одулярного ЕС-пространства задается функцией (2), см. п. 1.4, ( , ) ( ( , ), ( , )) t u t x t u y t u , функции ( , ), ( , )x t u y t u только что

найдены в конце предыдущего пункта, поэтому отыскиваемая поверхность такова:

20 1 0 2 3

1( , ) , cos , sin

2

t u t u E c at C u E c bt C t C ,

как указано в теореме. В предыдущем параграфе в основной теореме уста-новлено, что функции ( , ), ( , ), ( , ), ( , )E t u A t u B t u C t u определяют поверхность

некоммутативного галилеева пространства с сибсоном. В частности, это от-носится и к случаю, в котором функции , ,A B C постоянны. Начальные усло-

вия вида (16) определяют единственную поверхность. Выше найдены поверхности ЕС-пространства по заданным коэффици-

ентам их квадратичных форм, т.е. для поверхностей ЕС-пространства доказан аналог теоремы Бонне в евклидовой геометрии.


1. Позняк , Э . Г . Дифференциальная геометрия / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин – М. : Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

2. Долгарев , А . И . Дифференциальные уравнения поверхностей одулярных про-странств. Нормальная кривизна поверхности / А. И. Долгарев // Труды Средне-волжского математического общества. – Саранск : СВМО. – 2004. – Т. 6. – № 1. – С. 132–144.

3. Долгарев , А . И . Поверхности в дифференциальной геометрии пространства с касательным отображением в одуль галилеевых движений / А. И. Долгарев. – Саранск : Средневолжское математическое общество, 2003. – Препринт 62. – 40 с.

4. Долгарев , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2005. – 306 с.

5. Долгарев , И . А . Нахождение поверхности в пространстве Галилея по ее квад-ратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. По-волжский регион. – 2006. – № 5 (26). – С. 51–60. – (Естественные науки).


82

6. Долгарев , И . А . Системы дифференциальных уравнений в частных производ-ных для поверхностей пространства Галилея : дис. … канд. физ.-мат. наук / И. А. Долгарев. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 120 с.

7. Долгарев , И . А . Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства с растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2007. – № 6 (33). – С. 17–31. – (Естественные науки).

8. Долгарев , И . А . Система дифференциальных уравнений с частными произ-водными для поверхностей в некоммутативном галилеевом пространстве с сибсо-ном / И. А. Долгарев // Лобачевские чтения – 2007 : труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. – Казань : Изд-во КМО-КГУ, 2007. – Т. 36. – С. 16–19.

9. Долгарев , И . А . Получение поверхностей 3-мерных одулярных галилеевых пространств по заданным коэффициентам их квадратичных форм / И. А. Долгарев // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова : труды участников. – Ростов-на-Дону, 2006. – С. 38–39.

Долгарев Иван Артурович кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет

Dolgarev Ivan Arturovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University


УДК 517.9 + 514.7

Долгарев, И. А. Получение поверхностей одулярного галилеева пространства с сиб-

соном по коэффициентам их квадратичных форм / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-матема-тические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 68–82.


83

УДК 517.6 Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СЛОЕ1

Аннотация. В статье рассматриваются функции Грина 1-го и 2-го рода для уравнения Гельмгольца в слое. Доказывается возможность аналитического продолжения через положительную часть действительной оси в нижнюю по-луплоскость на основе принципа симметрии Римана-Шварца. Доказана спра-ведливость известного представления функции Грина в верхней полуплоско-сти для нижней полуплоскости.

Ключевые слова: уравнение Гельмгольца для слоя, аналитическое продолже-ние функции Грина. Abstract. In the article Green’s functions first and second kind for the Helmholtz equation in a layer are considered. The opportunity of analytical continuation across positive part of real axis is based upon Riemann–Schwartz principle of symmetry was proved. Correctness of known Green’s functions representations in upper half-plane was proved for lower half-plane.

Keywords: Helmholtz equation in a layer, analytical continuation of Green’s function.

Введение

В ряде задач математической физики важно иметь аналитическое про-должение функций Грина для уравнения Гельмгольца в слое в нижнюю по-луплоскость [1]. Обширные исследования по аналитическому продолжению функций Грина для задач математической физики представлены в работе [2]. В статье [3] получены представления для функций Грина в первом квадранте комплексной плоскости и исследованы их свойства. Однако результаты о по-ведении функций Грина в нижней полуплоскости в этой статье отсутствуют. Целью настоящей работы является доказательство возможности аналитиче-ского продолжения функций Грина в нижнюю полуплоскость и получения явной формулы для этого продолжения.

1 Функции Грина 1-го и 2-го рода для уравнения Гельмгольца в слое

Мы будем рассматривать функции Грина 1-го рода 1 ,G x y и 2-го рода

2 ,G x y для уравнения Гельмгольца с параметром 2k в неограниченной об-

ласти в 3R слоя 1 2 3 3, , : 1 0U x x x x x (для слоя

1 2 3 3, , : 0 1U x x x x x рассматривается аналогично). Относительно

волнового числа k считаем, что Im 0k и 0k .

Функция Грина 1 1 , , ,G G x y x y U определяется как решение

краевой задачи ( y U фиксировано):

1 Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие по-тенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.


84

21 1 ,G k G x y x U ; (1)

3 3

1 10 1 0x xG G , (2)

с условиями на бесконечности [3]: для 1, , 0,ng n

1, 1 2 1 21, 1,,n

n n ng

ik g o g O

, (3)

т.к. 1 22 21 2: x x равномерно по всем направлениям x ,

1 2: ,x x x и равномерно по y из любого ограниченного подмножества

в U , где

2 2 2 2 , Im 0n nk k n k ; (4)

0nk , если k n ; 0nk , если k n , и

0

1, 1 3 31

: 2 , cosng G x y nx dx

. (5)

Соотношения (3) и (4) являются условиями Зоммерфельда для двумер-ной ограниченной области. Коэффициенты Фурье (5) являются решениями

двумерного уравнения Гельмгольца с параметром 2nk в области 0 для

некоторого 0 . Отсюда и из условия (3) следует [4], что 1,ng и 1,ng

экспо-

ненциально убывают при , если 2 2 2, Im 0nk n k .

Функция Грина 1 ,G x y 1-го рода может быть представлена в одной из

следующих форм [3]:

11 3 3 0

1

, sin sin2 j

j

iG x y jx jy H k x y

, (6)

для x y , где 1 2: ,x x x и 1 2: ,y y y или

*33

1 *3 3

exp 2exp 21, ,

4 2 2j

ik x y jeik x y jeG x y

x y je x y je

(7)

где 3 0, 0,1e , *1 2 3, ,y y y y , 1

0H z – функция Ханкеля нулевого по-

рядка первого рода. Формулы (6) и (7) имеют смысл при Im 0k и ,k n n . Отметим, что функция Грина 1-го рода определена при 0k .

Эквивалентность представлений (6) и (7) доказана в [4].


85

Функция Грина 2 2 , , ,G G x y x y U определяется как решение

краевой задачи ( y U фиксировано):

22 2 ,G k G x y x U ; (8)

3 3

2 2

3 30 1

0x x

G G

x x

, (9)

с условиями на бесконечности [3]: для 2, , 1ng n ,

2, 1 2 1 22, 2,,n

n n ng

ik g o g O

, (10)

т.к. 1 22 21 2: x x равномерно по всем направлениям x , 1 2: ,x x x

и равномерно по y из любого ограниченного подмножества в U , где

2 2 2 2 , Im 0n nk k n k ; (11)

0nk , если k n ; 0nk , если k n , и

0

2, 2 3 31

: 2 , sinng G x y nx dx

. (12)

Соотношения (10) и (11) являются условиями Зоммерфельда для дву-мерной ограниченной области. Коэффициенты Фурье (12) являются реше-

ниями двумерного уравнения Гельмгольца с параметром 2nk в области 0

для некоторого 0 . Отсюда и из условия (10) следует [4], что 2,ng и 2,ng

экспоненциально убывают при , если 2 2 2 Im 0nk n k .

Для функции Грина 2 ,G x y 2-го рода верны следующие представле-

ния [3]:

12 3 3 0

00

1, cos cos

2 1 jjj

iG x y jx jy H k x y

, (13)

для x y , где 1 2: ,x x x и 1 2: ,y y y или

*

3322

2 *3 3

1, ,

4 2 2

ik x y jeik x y je

j

e eG x y

x y je x y je

(14)

где 3 0, 0,1e . Здесь 10H z – функция Ханкеля нулевого порядка первого

рода и ij – символ Кронекера. Представления (13) и (14) эквивалентны [3].


86

Формулы (13) и (14) имеют смысл при Im 0k и , \ 0k n n . Отме-

тим, что функция Грина 2-го рода не определена при 0k .

2 Сходимость представлений для функций Грина и аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость

Будем рассматривать функцию Грина 2-го рода 2 ,G x y и использо-

вать для нее представление (13). Для функции Грина 1-го рода доказательство ничем не отличается.

Пусть k a bi , будем считать, что Re 0k a и Im 0k b . Тогда

0 2 , где arg k . Для 2nk получаем

22 2 2 2 2 2 2 2nk a bi n a b n abi .

Тогда для любых 0, 0a b найдется :n n такое, что 2 2 2 2 0a b n и n n nk u v i , где

2 2 2 2 0nu a b n , 2 0nv ab и n n nw u v i . (15)

Следовательно, 2 arg nw и

2 2 arg argcos sin

2 2n n

n n nw w

k u v i

.

Пусть arg

2nw , тогда ясно, что 0 2 ,

2 2 cos sinn n nk u v i .

Обозначим 2 2 cos 0n n nu v и 2 2 sin 0n n nu v , тогда

n n nk i , используя условие Im 0nk , выбираем перед корнем знак

«+» и получаем

n n nk i , где 0n и 0n .

Из формул (15) для nu и nv ясно, что при n : nu , а

2 0nv ab , и, следовательно, arg

2 2nw . Это значит, что при n

имеем n .

Вернемся к рассмотрению ряда (13), обозначим

13 3 0

0

1cos cos

2 1n jj

ia jx jy H k p

,

где 0p x y , тогда 1 10 0n n n na H k p H i p .


87

Известно представление [5, с. 29]

1 ch0

1 iz tH z e dt

, 0 arg z ;

тогда 2 0n ab , и

1 ch0

1 n nip i tn n na H i p e dt

ch ch ch1 1,n n n nip t p t p t pe e dt e dt Ce

(16)

где 2 1 ch

0

2 ab t pC e dt

– константа, не зависящая от n .

Из формулы (16) следует, что исходный ряд (13) сходится равномерно и определяет в любом ограниченном подмножестве точек первого квадранта

Re 0, Im 0k k аналитическую функцию.

Теперь вернемся к обозначению 2 2 2 2nk k n . Рассмотрим вопрос о

поведении ряда (13) при действительных значениях аргумента k . При действительных значениях k найдется такое число n , что

2 2 2 2 0nk k n , и, значит, nk будет чисто мнимым. Так как мы имеем

условие Im 0nk , то n nk iz , где 0nz при n n . Известно, что

10 0

1

2

iK z H iz

, где 0K z – функция Макдональда, и мы получаем

2 3 3 000

1 1, cos cos

1 nnn

G x y nx ny K pz

.

Для 0K z известно представление [5, с. 94] ch0

0

z tK z e dt

,

Re 0z .

Обозначим 3 3 00

1 1cos cos

1n nn

a nx ny K pz

, тогда из (15) при

0b получим, что 2 2 2nu a n , следовательно, 2 2 2 ,n nz k a n

из этого имеем

ch0

0

n npz t pzn na K pz e dt Ce

, (17)


88

где 2 2 2 1 ch

0

a n t pC e dt


Оценка (17) означает, что при действительных значениях k ряд (13) сходится равномерно по k на любом ограниченном подмножестве множества

R \ , 0M n k n . Кроме того, следует помнить, что при оценке

сходимости мы отбросили конечное число членов ряда (13) до номера 1n включительно, которые, разумеется, не влияют на сходимость. Значения от-брошенных членов, вообще говоря, невещественны. Ясно, что для каждого из отброшенных членов аналитическое продолжение существует и определяется теми же формулами.

Известно, что 0K z при 0z принимает вещественные значения, и,

значит, функция, определяемая рядом (13), может быть продолжена аналити-чески в четвертый квадрант Re 0, Im 0k k . Этот факт следует из прин-

ципа симметрии Римана-Шварца. Если теперь мы докажем сходимость ряда (13) при k a bi , где 0a ,

0b , то тем самым мы найдем аналитическое продолжение функции Грина

2 ,G x y в части нижней полуплоскости (четвертом квадранте).

Пусть k a bi и 0a , 0b , тогда 22 2 2nk a bi n

2 2 2 2 2a b n abi . Ясно, что для любых 0, 0a b найдется :n n та-

кое, что 2 2 2 2 0a b n . Пусть 2 2 2 2na b n u , где 0nu и

2 0nab v . Тогда 2n n nk u v i и n n nk i u v i . Пусть n n nw u v i ,

тогда 0 arg 2nw . Получаем

2 2 arg argcos sin

2 2n n

n n n n nw w

k i u v i i i

,

где 2 2 argcos 0

2n

n n nw

u v , 2 2 argsin 0

2n

n n nw

u v .

Из условия Im 0nk выбираем знак «+» и получаем

n n nk i i .

Теперь мы можем записать ряд (13) в такой форме:

2 3 3 000

1 1, cos cos

1 n nnn

G x y nx ny K p i

.

Теперь выясним поведение n при n . Так как

2 2 argcos

2n

n n nw

u v и 2 2n nu v ,

argcos 1

2nw при n , то из

этого следует, что n при n и 2 0n ab .


89

Обозначим 2 3 3 00

1 1, cos cos

1n n nn

a G x y nx ny K p i

.

Получаем следующую оценку:

ch0

0

n np i tn n na K p i e dt

ch ch ch

0 0

,n n n nip t p t p t pe e dt e dt Ce

(18)

где 2 1 ch

0

ab t pC e dt


Это значит, что формула (18) дает равномерную оценку, из этого сле-дует, что ряд (13) сходится и при Re 0k , Im 0k во всяком ограниченном подмножестве точек четвертого квадранта. В соответствии с принципом сим-метрии Римана-Шварца получаем аналитическое продолжение функции Гри-на 2 ,G x y из части верхней полуплоскости Re 0, Im 0k k в часть ниж-

ней полуплоскости Re 0, Im 0k k .

Поскольку функции 100H z z , 0 0K z z и 0z z имеют точки

разветвления при 0z z , то нам необходимо еще указать, как проводить раз-

резы из точек разветвления. Один из вариантов проведения разрезов пред-ставлен на рис. 1.

Imk

Rek0

π 2π 3π 4π

Рис. 1 Представление области M на комплексной плоскости

После проведения разрезов для 100H z z и 0 0K z z выбирается

главное значение логарифма 0ln z z , а для 2 2 2nk k n выбираются

в зависимости от k такие ветви, чтобы 0jk при k j или 0jk при

k j [3].


90

Если рассматриваемая точка k попадает на разрез, то направление раз-реза можно немного изменить так, чтобы он не проходил через k .

Таким образом, мы не только доказали, что функцию Грина можно оп-ределить во всяком ограниченном подмножестве точек правой полуплоскости при Re 0,k k n , для 0,1, 2, ...,n но и доказали справедливость пред-ставления (13) для функции Грина 2-го рода во всяком ограниченном под-

множестве множества Re 0 \ , 0M k n k n (с выбором соот-

ветствующих разрезов).


1. Родионова , И . А . О фредгольмовости электромагнитной задачи о собствен-ных колебаниях в слоях, связанных через отверстие / И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2004. – № 5. – С. 39–48. – (Естественные науки).

2. Мизохата , С . Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. – М. : Мир, 1977.

3. Morgenrother, K. On the Instability of Resonances in Parallelplane Waveguides / K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 1989. – V. 11. – P. 279–315.

4. Ильинский , А . С . Математические модели электродинамики / А. С. Ильин-ский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. – М. : Высшая школа, 1991.

5. Бэйтмен , Г . Высшие трансцендентные функции : в 3 т. / Г. Бэйтмен, А. Эрдейи. – М. : Наука, 1974. – Т. 3.

Смирнов Юрий Геннадьевич доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: [email protected] Валовик Дмитрий Викторович кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет

Valovik Dmitry Viktorovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University


УДК 517.6

Валовик, Д. В. Аналитическое продолжение функции Грина для уравнения

Гельмгольца в слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 83–90.

№ 2 (10), 2009 Физико-математические науки. Физика

91

ФИ З И К А

УДК 537.874.6 О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕСКРИПТОРОВ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ С МАГНИТНЫМИ

НАНОВКЛЮЧЕНИЯМИ И КАНАЛАМИ ФЛОКЕ1 Аннотация. На электродинамическом уровне строгости определяются деск-рипторы линейных и нелинейных автономных блоков (АБ) в виде прямо-угольных параллелепипедов с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке на гранях. Основой построения дескрипторов являются урав-нения Максвелла, решаемые совместно с уравнением Ландау-Лифшица, в ко-тором учитывается поле обменного взаимодействия. Для решения нелинейной краевой задачи дифракции для АБ c магнитными нановключениями и канала-ми Флоке применен проекционный метод Галеркина.

Ключевые слова: дескриптор, автономный блок, каналы Флоке, магнитные на-новключения, уравнения Максвелла, уравнение Ландау-Лифшица. Abstract. The descriptors of linear and nonlinear autonomous blocks (ABs) in the form of the rectangular parallelepipeds with Floquet channels on bounds containing the magnetic nanoinsertions are determined at ectrodynamic accuracy level. The de-scriptors are based on the solution of the nonlinear full Maxwell`s equations with electrodynamic boundary conditions, complemented by the Landau-Lifshitz equa-tion of motion of the magnetization vector including the exchange term. The 3D dif-fraction boundary problem for AB with Floquet channels containing the magnetic nanoinsertions was solved using the Galerkin’s projection method.

Keywords: descriptor, autonomous block, Floquet channels, magnetic nanoinser-tions, the Maxwell`s equations, Landau-Lifshitz equation.

Введение

Декомпозиционный подход является основой построения систем авто-матизированного моделирования (проектирования) технических систем и устройств СВЧ и ИК-диапазона. При декомпозиционном подходе наиболь-шую ценность представляют автономные блоки (АБ), дескрипторы которых получены без упрощения уравнений электродинамики и краевых условий (в строгой электродинамической постановке задачи). В настоящее время в практике решения задач электродинамики применяются многомодовые АБ [1], минимальные АБ [2], универсальные АБ с каналами Флоке [3]. Эти известные АБ с однородным заполнением могут иметь лишь весьма ограниченное при-менение в построении математических моделей устройств СВЧ на основе магнитных наноматериалов, т.к. основой построения их дескрипторов явля-ются уравнения Максвелла для изотропных линейных сред. Указанные не-

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 05-08-33503.


92

достатки не присущи АБ в виде прямоугольных параллелепипедов с магнит-ными нановключениями и виртуальными каналами Флоке на гранях, т.к. ос-новой построения их дескрипторов являются уравнения Максвелла, решае-мые совместно с уравнением Ландау-Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия. Развитие декомпозиционного подхода к матема-тическому моделированию устройств СВЧ на основе магнитных наномате-риалов требует нахождения дескрипторов линейных и нелинейных АБ с маг-нитными нановключениями и каналами Флоке – их математических описаний в виде матриц рассеяния или систем нелинейных уравнений, связывающих амплитуды падающих и отраженных волн на комбинационных частотах.

1 Математическая модель. Стационарные уравнения поля с учетом обменного взаимодействия

Формулировка краевой задачи электродинамики для структур, содер-жащих системы магнитных наночастиц, состоит в следующем. Необходимо решить уравнения Максвелла:

0( )

rot ( )= ( )

E t

H t E tt

; (1)

( )

rot ( )=

B t

E tt

; (2)

0( ) ( ) ( ) B t M t H t , (3)

совместно с уравнением движения вектора намагниченности в ферромагне-тике в форме Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия [4]:

эф 0( )

( ) ( ) ( ) ( )

r

dM tM t H t H t M t

dt; (4)

эф ( ) ( ) ( )

qH t H t H t ; (5)

2( ) ( )

qH t q M t , (6)

где ( ), ( ) E t H t – векторы напряженности электрического и магнитного полей;

( )

M t – вектор намагниченности среды; ( )B t – вектор магнитной индукции;

эф ( )

H t – суммарное эффективное поле, включающее ( )

qH t – поле

обменного взаимодействия; – оператор Лапласа; – относительная диэлектрическая проницаемость среды; – электропроводность среды; 0 ,

0 – электрическая и магнитная постоянные; – гиромагнитное отношение;

r – частота релаксации; 0 – статическая восприимчивость; q – константа обменного взаимодействия.

Используя формулы векторного анализа, запишем поле обменного

взаимодействия ( )

qH t (6) в виде

( ) graddiv ( ) rot rot ( ) .

qH t q M t M t (7)


93

Учитывая, что div ( ) 0

M t , и вводя векторную функцию

( ) rot ( ) F t M t ,

запишем (7) в виде

( ) rot ( ).

qH t q F t (8)

Подставляя (3) в (2) и учитывая (8), систему уравнений для электромагнитного поля (с учетом поля обменного взаимодействия) запишем в виде

0( )

rot ( )= ( )

E t

H t E tt

;

0rot ( )= ( ( ) ( ))

E t M t H t

t;

0d ( )

( ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))d

q r

M tM t H t H t H t M t

t; (9)

rot ( ) ( )

M t F t ;

1rot ( ) ( )

qF t q H t .

Сведем систему нестационарных нелинейных уравнений (9) к стационарным, полагая, что электромагнитные поля источников с частотами

1 2, , ..., , ... m монохроматические.

Представляя векторные функции ( )E t , ( )

H t , ( )

M t , ( )

F t , ( )

qH t в виде

рядов по всевозможным комбинационным частотам

( ) ( ) exp( )

m m

m

E t E i t ; ( ) ( ) exp( )

m m

m

H t H i t ;

( ) ( ) exp( )

m m

m

M t M i t ; ( ) ( ) exp( )

m m

m

F t F i t ;

( ) ( ) exp( )

q q m m

m

H t H i t

и подставляя эти ряды в (9), получаем следующие системы стационарных нелинейных уравнений на каждой из комбинационных частот:

0rot ( ) ( ) ( )

m m m mH i E ; (10.1)

0rot ( ) ( ) ( )

m m m m mE i M i H ; (10.2)

( ( ) ( ( ) ( ))) ( ) ( )

ij i j q j r m m

i j

M H H i M


94

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ;

r m q m mH t M H M H M H (10.3)

rot ( ) ( )

m mM F ; (10.4)

1rot ( ) ( )

m q mF q H ; (10.5)

1, 2, ... m ,

где m – комбинационные частоты 00, , 0 m m m ;

0 0( )

H H ;

0 0( )

M M ; 0

( )( ) ( )

m

m mm

i ; 0, если ,

1, если .

i j mij

i j m

2 Формулировка нелинейной краевой задачи дифракции для автономных блоков с магнитными

нановключениями и каналами Флоке

На рис. 1 показан АБ в виде прямоугольного параллелепипеда, содер-жащего магнитное нановключение, с виртуальными каналами Флоке на гра-нях блока. Собственные волны виртуальных каналов Флоке могут быть запи-саны в виде [3]

( ) ( ) ( ) exp ( ) ;

( ) ( ) ( ) exp ( ) ;

1, 2, ..., ; 1, 2, ..., 6; 1, 2, ...,

zm m m mkk k k

zm m m mkk k k

m

E e e i z

H h h i z

k

(11)

где ( ) mk

e , ( )

mkh и ( )

zmk

h , ( ) zmk

e – продольные и попереч-

ные компоненты электрического и магнитного полей собственных волн;

( ) mk – постоянные распространения собственных волн; – номер

входного сечения S (грани АБ); k – индекс собственных волн; z – про-

дольные координаты в локальных системах координат, знаком « » обозна-чены падающие и отраженные волны.

Системы векторных функций ( ) mk

e , ( )

mkh в (11) ортого-

нальны и нормированы:

*( ) ( )

m m knnkS

e h dS , (12)

где

dS – векторный элемент поверхности; – знак комплексно-сопря-

женной величины; 1, если ,

0, если .

knk n

k n


95

Рис. 1 Автономный блок с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке: 0V – внутренняя область АБ; V – область магнитных

нановключений; 0 V V – область, заполненная немагнитной средой

с диэлектрической и магнитной проницаемостями , v v

На каждом входном сечении S (гранях параллелепипеда) АБ каса-

тельное электромагнитное поле можно представить в виде суперпозиции пря-мых и обратных собственных волн каналов Флоке (11) [3]:

( ) ( ) ( )1

( ) ( ( ) ( )) ( );

m k m k m k m

k

E с c e (13.1)

( ) ( ) ( )1`

( ) ( ( ) ( )) ( );

m k m k m k m

k

H c c h (13.2)

1, 2, ..., 6; 1, 2, ..., m

где ( ) mk

c , ( ) mkc – амплитуды падающих и отраженных волн.

Определим векторные произведения, умножая (13.1) на ( ) ( )

n mh и

( ) mn

e на комплексно-сопряженное выражение (13.2), затем проинтегриру-

ем их по поверхности S с учетом нормировки (12), и в результате получим:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( )) ;

k m k m m k m

S

c c E h dS (14.1)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( )) ;

k m k m k m k m

S

c c e H dS (14.2)

1, 2, ..., 6; 1, 2, ..., m

0


96

Складывая (14.1) и (14.2), получаем условие неасимптотического излу-чения [5]:

( )( ( ) ( ))

m k m

S

E h dS

( ) ( ) ( )( ( ) ( )) 2 ( )

k m k m k m

S

e H dS c . (15)

Нелинейная краевая задача дифракции для АБ с магнитными нано-включениями и виртуальными каналами Флоке (рис. 1), формулируется сле-дующим образом. Электромагнитное поле должно удовлетворять в области магнитных нановключений V АБ, системе стационарных нелинейных урав-нений (10.1)–(10.5), а в области 0 V V – однородным уравнениям Максвелла:

0rot ( ) ( )

m m v mH i E ; (10а)

0rot ( ) ( )

m m v mE i H ,

а также условиям неасимптотического излучения (15) на гранях АБ (входных сечениях S ).

Неизвестными в задаче дифракции являются амплитуды ( ) ( ) k mc от-

раженных волн на входных сечениях S (гранях) АБ, если амплитуды

( ) ( ) k mc волн, падающих на входные сечения S , известны.

3 Построение алгоритма решения нелинейной краевой задачи дифракции для автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке

Для решения нелинейной краевой задачи дифракции для АБ c магнит-ными нановключениями и каналами Флоке (рис. 1) применим проекционный

метод Галеркина [6]. В качестве базисных функций ( )

k mЕ , ( )

k mH

(где k – индекс базисной функции; m – индекс комбинационной частоты) используем систему собственных функций прямоугольного резонатора с од-нородно-периодическими граничными условиями на стенках резонатора (гра-нях АБ) (рис. 1).

Собственные частоты k и собственные функции ( )

k mЕ , ( )

k mH

резонатора определяются из решения краевой задачи для однородных урав-нений Максвелла:

( ) 0 ( )

( ) 0 ( )

rot ;

rot ,

k m k k m

k m k k m

H i E

E i H в области 0V , (16)

с граничными условиями на стенках резонатора (гранях АБ):

( ) 1 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 4( ) ( ), ( ) ( );k m k m k m k mE S E S H S H S


97

( ) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 5( ) ( ), ( ) ( );k m k m k m k mE S E S H S H S

( ) 3 ( ) 6 ( ) 2 ( ) 6( ) ( ), ( ) ( ).k m k m k m k mE S E S H S H S

(17)

Собственные функции резонатора ортогональны и нормированы:

0 0

0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) .

k m n m k m n m knV V

H H dV E H dV (18)

Используя теорему Остроградского-Гаусса, тождество векторного ана-

лиза rot rot rot ( ) b a a b a b и учитывая (16), запишем систему стацио-

нарных нелинейных уравнений (10.1)–(10.5) в проекционной интегральной форме [7]:

0

( ) 0 ( )( ( ) ) ( ) ( )

m k m m m m k mS V

H E dS i E E dV

0

0 ( )( ) ;

k m k mV

i H H dV

0

( ) ( )( ( ) ) ( )

m k m m m k mS V

E H dS i M H dV

0 0

0 ( ) 0 ( )( ) ( ) ;

m m k m k m k mV V

i H H dV i E E dV

0 0

( ) 0 ( )( ) ( ) 0;

m k m k m k mV V

F E dV i M H dV

0 0

1( ) 0 ( )( ) ( ) 0;

q m k m k m k m

V V

q H H dV i F E dV (19)

0 0

( ) 0 ( )( ) ( ) ( ( ))

r m m k m m k mV V

i M H dV M H H dV

0 0

0 ( ) 0 ( )( ( )) ( ( ) )

q m k m m k mV V

M H H dV M H H dV

0

0 ( )( )

r m k mV

H H dV

0

( )( ( ) ( ( ) ( )) ,

ij i j q j k m

i j V

M H H H dV

где 1 2 6... . S S S S Решение нелинейной краевой задачи дифракции для уравнений (10.1)–

(10.5) с граничным условием (15) для АБ c магнитными нановключениями и


98

каналами Флоке (рис. 1) ищем в виде рядов Фурье по следующим системам функций:

– в области 0V АБ (рис. 1) по системе собственных функций прямо-

угольного резонатора ( )

n mЕ , ( )

n mH :

( )1

( ) ( ) ;

m n m n m

n

E a E ( )1

( ) ( ) ;

m n m n m

n

H b H

( )1

( ) ( ) ;

m n m n m

n

M d H ( )1

( ) ( ) ;

q m n m n m

n

H g H

( )1

( ) ( )

m n m n m

n

F f E ; (20)

– на гранях АБ – по системе собственных волн каналов Флоке

( ) ml

e , ( )

mlh :

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( ) ( )

m l m l m l m

l

E c c e ;

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( ) ( )

m l m l m l m

l

H c c h . (21)

Подставляя (20), (21) в (19), (15) и учитывая уравнения (10а) и норми-ровку (18), получаем следующую систему нелинейных алгебраических урав-

нений относительно неизвестных коэффициентов n ma ω , n mb ω ,

n md ω , n mg ω , n mf ω и ( ) ( )l mc , ( ) ( )l mc :

6

( ) ( ) ( ) 01 1 1

( ) ( ( ( ) )

k m l l m m v kn m m v

l n

M c i i

6

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

) ( ) ( ) ( );

k m n m n n k kn n m k m l l m

l

A a i b M c (22.1)

6

( ) ( ) ( ) 01 1 1

( ) ( ) ( (1 )

k m l l m k kn n m m v kn m v

l n

N c i a i i

6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

) ( ) ( ) ( );

k m n m n m m k m n m n m k m l l m

l

B b i B d N c

0 ( ) ( ) ( ) ( )1

( ) ( ) 0;

k k m n m n m k m n m n m

n

i B d A f (22.2)


99

1( ) ( ) 0 ( ) ( )

1

( ) ( ) 0;

k m n m n m k k m n m n m

n

q B g i A f (22.3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

( ) ( ) 2 ( );

q n m n m q n m n m q m

n

U a R b c (22.4)

( ) ( ) 0 ( ) ( )1

( ) ( )

k m n m r k m n m n m

n

X B b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( );k m n m r m k m n m n m k m n m n m k m mY i B d X g J

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

( ) ( ) ( ( ) ( ));

k m m ij k m p i r j p i r j r j

i j p r

J W d b g (22.6)

1, 2, ... 6; , 1, 2, ...; 1, 2, ..., q k m

где

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ;

k m n m l m k m

S

M h E dS

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ;

k m n m l m k m

S

N e H dS

( ) ( ) ( ) ( )( ) ;

k m n m n m k mV

A E E dV

( ) ( ) ( ) ( )( ) ;

k m n m n m k mV

B H H dV

( ) ( ) 0 ( ) ( )( ) ;k m n m n m k mV

X M H H dV

( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) ;k m n m n m k mV

Y H H H dV

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ;k m p i r j p i r j k mV

W H H H dV

( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ;

q n m n m q m

S

U E h dS

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) .q n m q m n mS

R e H dS

Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений (22.1)–(22.6) используем итерационный метод, или метод Ньютона [6].


100

При решении системы уравнений (22.1)–(22.6) итерационным методом на каждом шаге итераций функция ( ) ( )k m mJ определяется следующим образом:

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

( ) ( ) ( ( ) ( ))

им

k m m ij k m p i r j p i r j r ji j p r

J W d b g ,

где 0 0 0( ), ( ), ( ) p i r j r jd b g – значения коэффициентов, полученные на пре-

дыдущем шаге итерации. При решении уравнений (22.1)–(22.6) методом Ньютона на каждой ите-

рации функция ( ) ( )k m mJ определяется

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

( ) ( ( ) ( ( ) ( ))

мн

k m m ij k m p i r j p i r j r ji j p r

J W d b g

0 0 0 0( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )), p i r j r j r j p i p i r jd b b g d d g

где 0 0 0( ), ( ), ( ) p i r j r jd b g – значения коэффициентов, полученные на пре-

дыдущей итерации. При малых амплитудах падающих волн (в линейном приближении) де-

скрипторы АБ, частично заполненных магнетиком, – это матрицы рассеяния R , проводимости Z или сопротивления Y [8]. Элементы матрицы рассеяния R определяются из решения системы уравнений (22.1)–(22.6) при парциаль-ных режимах функционирования АБ [8], когда все амплитудные коэффици-

енты ( ) ( ) k mc падающих волн в виртуальных каналах Флоке АБ равны ну-

лю, кроме одного ( ) 1 nc [8]. Решая систему линейных (в этом приближе-

нии) алгебраических уравнений (22.1)–(22.6), находим коэффициенты отра-

женных волн ( )kc – элементы матрицы рассеяния ( )

kknR c [8]).

Заключение

Математические модели устройств СВЧ на основе магнитных нанома-териалов, базирующиеся на решении уравнений Максвелла совместно с урав-нением Ландау-Лифшица без упрощения уравнений и краевых условий, адек-ватны, что позволит отказаться от экспериментально-эмпирического подхода в проектировании и разработке технических систем и устройств.

Построение математических моделей технических систем и устройств СВЧ осуществляется следующим образом. Область магнитных наноматериа-лов расчленяется на АБ с магнитными нановключениями и каналами Флоке. В результате соединения этих АБ по виртуальным каналам Флоке получаем дескрипторы (матрицы рассеяния или системы нелинейных алгебраических уравнений) областей, заполненных магнитными наноматериалами, рассмат-риваемых как волноводные трансформаторы (базовые элементы) [3]. Далее полученные в данной работе дескрипторы этих волноводных трансформато-ров используются наряду с дескрипторами АБ с изотропным однородным заполнением в декомпозиционном подходе к математическому моделирова-нию технических систем в целом.


101


1. Никольский , В . В . Электродинамика и распространение радиоволн / В. В. Никольский. – М. : Наука, 1978. – 544 с.

2. Никольский В . В . , Голованов О . А . // Радиотехника и электроника. – 1979. – Т. 24. – № 6. – С. 1070.

3. Никольский В . В . , Лаврова Т . И . // Радиотехника и электроника. – 1978. – Т. 23. – № 2. – С. 241.

4. Голованов О . А . Макеева Г . С . // Физика волновых процессов и радио-технические системы. – 2005. – Т. 8. – № 4. – С. 10–18.

5. Гуревич , А . Г . Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. – М. : Наука, 1994.

6. Голованов О . А . // Радиотехника и электроника. – 1990. – Т. 35. – № 9. – С. 1853.

7. Бахвалов , Н . С . Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М. : Наука, 1975. – 632 с.

8. Никольский , В . В . Вариационные методы для внутренних задач электроди-намики / В. В. Никольский. – М. : Наука, 1967.

9. Никольский , В . В . Декомпозиционный подход к задачам электродинамики / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. – М. : Наука, 1983. – 304 с.

Макеева Галина Степановна доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет

Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physico-mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio-electronic systems, Penza State University

E-mail: [email protected] Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и начертательной геометрии,Пензенский артиллерийский инженерный институт им. Н. Н. Воронова

Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and descriptive geometry, Penza Artillery and Military Engineering Institute named after N. N. Voronov

E-mail: [email protected] Савченкова Мира Викторовна инженер, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Savchenkova Mira Viktorovna Engineer, Penza State University of Architecture and Construction


УДК 537.874.6

Голованов, О. А. Вычислительный алгоритм определения дескрипторов автоном-

ных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учеб-ных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 91–101.


102

УДК 537.874.6 Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. В. Савченкова

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ФЕРРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА В МАГНИТНЫХ

КОМПОЗИТНЫХ НАНОМАТЕРИАЛАХ НА ОСНОВЕ РЕШЕТОК ФЕРРОМАГНИТНЫХ НАНОСФЕР1

Аннотация. Рассчитана зависимость действительных и мнимых частей компо-нент тензора эффективной магнитной проницаемости наноструктурированной гиромагнитной среды на основе периодической решетки ферромагнитных (же-лезо) наносфер от постоянного поля намагничивания на частоте

9,375 ГГцf . Проведено сравнение вычисленной частоты и ширины линии

ферромагнитного резонанса в наноструктурированной среде на основе маг-нитной нанорешетки (магнитном наноматериале) и частоты ферромагнитного резонанса в сплошной гиромагнитной среде.

Ключевые слова: тензор магнитной проницаемости, наноструктурированная сре-да, периодическая решетка, ферромагнитные наносферы, поле намагничивания.

Abstract. The real and imaginary parts of effective permeability tensor components of the nanostructured gyromagnetic medium based on a 3D periodic array of ferro-magnetic (iron) nanospheres were calculated depending on the bias magnetic field at frequency 9,375f GHz. The comparison of the calculated frequency and

width of line of ferromagnetic resonance in the nanostructured medium based on the magnetic nanoarray (the magnetic nanomaterial) and ones in the continuum gyro-magnetic medium was done.

Keywords: permeability tensor, nanostructured medium, periodic array, ferromag-netic nanospheres, bias magnetic field.

Введение

Ферриты, широко используемые в устройствах СВЧ, обладают доста-точно малой магнитной проницаемостью, низким магнитным моментом и относительно высокими потерями для их продвижения в миллиметровый и терагерцовый диапазоны. Новой тенденцией развития техники СВЧ, КВЧ и ИК диапазонов является применение магнитных композитных наноматериа-лов на основе решеток ферромагнитных металлических наночастиц в немаг-нитной диэлектрической матрице. В этой связи актуальной является задача электродинамического расчета размерно-зависимых электромагнитных свой-ств и параметров магнитных наноматериалов в зависимости от геометрии магнитных элементов (сферы, эллипсоиды, цилиндры, диски, параллелепипе-ды), а также размеров и расстояний между магнитными наночастицами при их сокращении до длины обменного взаимодействия.

1 Математическая модель

Математическая модель магнитных явлений в системах ферромагнитных наночастиц базируется на уравнении движения намагниченности в ферромаг-нетике в форме Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия [1]: 1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 05-08-33503.


103

эф 0( )

( ) ( ) ( ) ( )

r

dM tM t H t H t M t

dt; (1)

эф ( ) ( ) ( )

qH t H t H t ;

2( ) ( )

qH t q M t ,

совместно с уравнениями Максвелла:

0( )

rot ( )= ( )

E t

H t E tt

;

( )

rot ( )=

B t

E tt

; (2)

0( ) ( ) ( ) B t M t H t ,

где ( ), ( ) E t H t – векторы напряженности электрического и магнитного полей;

( )

M t – вектор намагниченности среды; ( )B t – вектор магнитной индукции;

эф ( )

H t – суммарное эффективное поле, включающее ( )

qH t – поле

обменного взаимодействия; – оператор Лапласа; – относительная диэлектрическая проницаемость среды; – электропроводность среды; 0 ,

0 – электрическая и магнитная постоянные; – гиромагнитное отношение;

r – частота релаксации; 0 – статическая восприимчивость; q – константа

обменного взаимодействия. Система уравнений Максвелла (2) совместно с уравнением Ландау-

Лифшица (1) с учетом обменного взаимодействия дополняется электродина-мическими граничными условиями и условиями неасимптотического излу-чения.

В работе [2] разработана математическая модель распространения элек-тромагнитных волн в гиромагнитных наноструктурированных средах, бази-рующаяся на решении краевой задачи для уравнений Максвелла (2) совмест-но с уравнением движения намагниченности в форме Ландау-Лифшица (1) с учетом поля обменного взаимодействия. Краевая задача решена на основе декомпозиционного подхода с использованием в качестве базового элемента автономного блока (АБ) в виде прямоугольного параллелепипеда с магнит-ными нановключениями и каналами Флоке [3].

В работе [2] показано, что наноструктурированная среда на основе пе-риодической решетки ферромагнитных металлических наночастиц в немаг-нитной диэлектрической матрице (рис. 1) ведет себя как гиромагнитная среда с тензором эффективной магнитной проницаемости

0

0

0 0 z

i

i

(3)


104

и относительной эффективной диэлектрической проницаемостью , при

плотности упаковки ячейки периодической нанорешетки 0,2r

a (расстоянии

между наносферами 5d r ), где r – радиус наносфер (r = 150 нм), a – период решетки. На основе разработанной методики [2] были рассчитаны значения

компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости

и эффек-

тивной диэлектрической проницаемости из уравнений для постоянных

распространения продольных и поперечных волн в трехмерной периодиче-ской решетке ферромагнитных наносфер. При этом постоянные распростра-нения были получены из решения краевой электродинамической задачи без упрощения уравнений и граничных условий.

b

a

x

ykE ,H

4S

1S

5S2S

6S

3S

а) б) в)

Рис. 1 Модель наноструктурированной гиромагнитной среды на основе решетки маг-нитных наночастиц: а – направление распространения волнового процесса 0

z ;

б – трехмерная периодическая решетка ферромагнитных наносфер; в – моделирование ячейки АБ с каналами Флоке

Однако вычислительный алгоритм решения краевой задачи для уравне-

ний Максвелла (2) совместно с Ландау-Лифшица с учетом обменного взаи-модействия (1) достаточно сложный [3], поэтому возможны ошибки на этапах разработки и создания алгоритма. Определенные гарантии достоверности ре-зультатов математического моделирования может дать лишь тестовая задача, имеющая аналитическое решение. Сформулируем такую задачу и решим ее.

2 Ферромагнитный резонанс в сплошной гиромагнитной среде и решетке ферромагнитных металлических наносфер. Тестовая задача

Рассмотрим свободную прецессию намагниченности в неограниченной гиромагнитной среде, исходя из уравнения движения намагниченности (1). Рассматривая вынужденную прецессию с учетом потерь, получим из (1), если пренебречь малыми величинами второго порядка, следующую систему урав-нений:

0 0( ) , r x H y y r xi M M M H H

,E H


105

0 0( ) , H x r y x r yM i M M H H

0( ) , r z r zi M H (4)

где – гиромагнитное отношение; 00

0

M

H – статическая магнитная вос-

приимчивость; 0 r H – частота релаксации; 0 H H – частота ферро-магнитного резонанса. Собственная частота прецессии намагниченности яв-ляется комплексной и равна 0 H ri .

Решая систему линейных алгебраических уравнений (4), определяем компоненты тензора магнитной восприимчивости [1]:

2

0 2 2 2

rr r

rr rr

i

i; (5)

0 2 2 2

H

rr rri; (6)

0r

zri

, (7)

где 2 2 rr H r – резонансная частота.

Разделяя вещественные и мнимые части (5), (6) и (7), получаем:

2 2 2 2 2 2 2

0 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) 2 ( )

( ) 4 ( ) 4

rr rr r rr rr

rr r rr r

i i ; (8)

2 2 2

0 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) 2

( ) 4 ( ) 4

H rr r H

rr r rr r

i i ; (9)

2

0 02 2 2 2r r

z z zr r

i i

. (10)

Компоненты тензора магнитной проницаемости

определяются сле-дующим образом:

(1 4 ) (4 ), i i

(4 ) (4 ), i i

(1 4 ) (4 ).z z z z zi i (11)

Результаты расчетов компонентов тензора магнитной проницаемости

по формулам (11) хорошо согласуются с результатами эксперимента [1] при намагничивании ферромагнитного материала до насыщения. Компонен-

ты тензора

в (11) зависят от величины 00

0

M

H (статическая магнитная


106

восприимчивость). Провести сравнение значений компонентов тензора маг-

нитной проницаемости

сплошной ферромагнитной среды, рассчитанных по формулам (11), с вычисленными при помощи разработанного алгоритма значениями компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости

наноструктурированной гиромагнитной среды затруднительно, т.к. вы-числительный алгоритм не позволяет проводить расчеты эффективной стати-

ческой восприимчивости 0 для магнитного наноматериала.

Поэтому сравнение результатов вычислений при помощи разработан-ного алгоритма с аналитическими расчетами по известным формулам прове-дем по совпадению частот ферромагнитного резонанса в сплошной гиромаг-нитной среде и наноструктурированной среде (магнитном наноматериале), что не требует знания численного значения эффективной статической маг-

нитной восприимчивости 0 .

Такое сравнение возможно лишь для случая наноструктурированной среды на основе решетки магнитных наносфер, т.к. только в этом случае сфе-рической геометрии наночастиц собственная частота однородного типа коле-баний намагниченности ферритовой сферы [1]

0 o H ,

(причем как уединенной ферритовой сферы, так и системы магнитных нано-частиц [4, 5]), совпадает с частотой прецессии намагниченности (частотой ферромагнитного резонанса)

0 H H

в неограниченной ферромагнитной среде [1].

3 Результаты математического моделирования явления ферромагнитного резонанса в решетке ферромагнитных металлических наносфер

На графике (рис. 2) показана рассчитанная зависимость действитель-

ных и мнимых частей компоненты тензора эффективной магнитной про-

ницаемости

наноструктурированной среды на основе решетки ферромаг-нитных (железо) наносфер (рис. 1) (r/a = 2) от постоянного поля намагничи-вания 0H на частоте 9,375 ГГцf .

Постоянные распространения электромагнитных волн, распростра-няющихся в трехмерной периодической решетке ( 90 x y ; 0 z ;

a b c , рис. 1) ферромагнитных наносфер, рассчитаны при помощи разра-ботанного вычислительного алгоритма методом АБ с магнитными нановклю-чениями и каналами Флоке.

Электродинамический расчет проведен при следующих параметрах магнитного наноматериала: ферромагнитные металлические наносферы радиу-сом r = 150 нм (материал наночастиц – железо, константа обменного взаимо-

действия 9 20 2,2 10 Э см q ; проводимость 5 1 11,03 10 Ом см ; па-

раметр диссипации 00,0023 r H , α = 0,0023 [1]; намагниченность насы-


107

щения 04 21580 Гс M ) находятся в немагнитной матрице – диэлектриче-

ской среде с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостя-ми 2,25, 1v v .

Рис. 2 Ферромагнитный резонанс в наноструктурированной гиромагнитной среде на основе решетки ферромагнитных (железо) наносфер: кривая 1 – действительная

часть ; кривая 2 – мнимая часть ; r = 150 нм; 0,2r

a; 9,375 ГГцf

На графике (рис. 3) показана теоретическая зависимость (параметры

феррита взяты из эксперимента) [1] действительных и мнимых частей компо-

ненты тензора магнитной проницаемости

сплошной ферромагнитной

среды (намагниченность насыщения 0 160 ГсM , магнитные потери

α = 0,025 [1], для H0 = 3330 Э на частоте 9,375 ГГцf ) от постоянного поля

намагничивания 0H .

Из графиков на рис. 2 и 3 следует, что совпадение частот ферромаг-нитного резонанса наблюдается при постоянном поле намагничивания

0 3330ЭH . Ход кривых на графиках (рис. 2, 3) качественно совпадает, хотя

численные значения действительных и мнимых частей компонентов и

различны. На частоте ферромагнитного резонанса действительные и мнимые час-

ти компонентов тензора магнитной проницаемости

из (11) равны [1]:

0 0(1 2 ) 2 ,rr

ri i

00 2 .H

ri i

(12)


108

3000 3500 4000

–2

2

4

6

0

12

0, ЭH

Рис. 3 Ферромагнитный резонанс в сплошной ферромагнитной среде [1]: кривая 1 – действительная часть ; кривая 2 – мнимая часть ;

0 160 ГсM ; 9,375 ГГцf ; 93 10 r

Используя формулы (12) и вычисленные значения действительных и

мнимых частей компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости

(3) (рис. 2), можно сделать оценку ширины кривой ферромагнитного ре-зонанса, определяющей магнитные потери магнитного наноматериала и эф-фективную намагниченность магнитной нанорешетки.

Из электродинамического расчета, результаты которого представлены на рис. 2, следует, что наноструктурированная гиромагнитная среда имеет более узкую ширину кривой ферромагнитного резонанса, чем сплошная фер-ромагнитная среда (рис. 3).

Неоднородное магнитное поле в магнитной нанорешетке (эффективная

намагниченность магнитной нанорешетки 0 1709 ГсM ) имеет величину порядка магнитного момента насыщения ферромагнетика (намагниченность насыщения 04 21580 ГсM ) и масштаб изменения, определяемый периодом решетки a.

Узкая ширина кривой ферромагнитного резонанса (малые магнитные потери) и большие значения напряженности магнитного поля в нанорешетке (порядка магнитного момента насыщения ферромагнетика) позволяют в пер-спективе создавать на основе таких магнитных наноматериалов параметриче-ские усилители и генераторы с низким уровнем мощности накачки.

Как следует из результатов математического моделирования, магнит-ное поле наночастиц можно перестраивать путем перемагничивания всей ре-шетки или отдельных ее частей внешним магнитным полем 0H . Это свойство решеток ферромагнитных наночастиц открывает новые возможности для управления свойствами сред, высокочувствительных к магнитному полю, и создавать магнитные фотонные кристаллы и устройства на их основе в мик-роволновом и терагерцовом диапазонах.


1. Гуревич , А . Г . Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. – М. : Наука, 1994.


109

2. Голованов , О . А . Математическое моделирование и электродинамический расчет эффективных параметров магнитных наноматериалов / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2008. – № 4. – С. 80–85.

3. Голованов О . А . Вычислительный алгоритм определения дескрипторов автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – C. 91–101.

4. Макеева , Г . С . Анализ распространения и дифракции электромагнитных волн в микроволновых магнитных наноструктурах / Г. С. Макеева, О. А. Голованов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математичес-кие науки. – 2008. – № 1. – С. 110–121.

5. Pardavi-Horvath, M. Nonlinear Phenomena in Magnetic Nanoparticle Systems at Microwave Frequencies / M. Pardavi-Horvath. G. S. Makeeva, O. A. Golovanov // IEEE Transaction on Magnetics. – 2008. – V. 44. – № 10. – Oct.

Макеева Галина Степановна доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет

Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physico-mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio-electronic systems, Penza State University

E-mail: [email protected] Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и начертательной геометрии,Пензенский артиллерийский инженерный институт им. Н. Н. Воронова

Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and descriptive geometry, Penza Artillery and Military Engineering Institute named after N. N. Voronov

E-mail: [email protected] Савченкова Мира Викторовна инженер, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Savchenkova Mira Viktorovna Engineer, Penza State University of Architecture and Construction


УДК 537.874.6

Макеева, Г. С. Электродинамический расчет ферромагнитного резонанса в маг-

нитных композитных наноматериалах на основе решеток ферромагнит-ных наносфер / Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 102–109.


110

УДК 538.945 И. И. Амелин

РОЛЬ РАЗЛИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ МОНОКРИСТАЛЛА CuO В СВЕРХПРОВОДИМОСТИ ИНТЕРФЕЙСА CuO–Cu

Аннотация. В приближении Шубина-Вонсовского сделан анализ свойств сверхпроводящего состояния в интерфейсе CuO–Cu в зависимости от напыле-ния атомов Cu на xz-, yz-, xy-грани монокристалла CuO. Показано, что наи-большее значение критической температуры Tc 300K можно получить с по-мощью напыления атомов Cu на yz-грань. При напылении атомов Cu на другие грани возможно СП-состояние с небольшими значениями Tc 10 K.

Ключевые слова: комнатнотемпературные сверхпроводники, интерфейс, куло-новский интеграл, зарядовое упорядочение, Бозе-жидкость. Abstract. The analysis of superconducting states in the interface CuO-Cu depending on the spraying of Cu atoms on the xz, yz, xy faces of monocrystal CuO is done in the Shubin-Vonsovskiy approximation. It is shown that the highest value of critical temperature Tc > 300 K can be obtained using the spraying of atoms on the yz face. The spraying of Cu atoms on the other faces leads to the superconducting states with the small values of Tc ~10 K.

Keywords: Indoor-temperature, superconductors, the interface, the Coulomb Inte-gral, the Charge Ordering, the Boze-liquid.

В металлах и соединениях типа BaPbBiO3, NbN и MoN критическая температура Tc порядка 1–16 К. Данные сверхпроводники имеют трехмерную кристаллическую решетку.

В 1986 г. были открыты высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) с высокой Tc порядка 100 K. Исследования показали, что ВТСП име-ют слоистую кристаллическую решетку. Именно поэтому ВТСП являются сильно анизотропными металлами и имеют большие Tc. Основным токоне-сущим элементом в ВТСП является CuO2-плоскость. Многие теоретические работы, объясняющие механизм образования сверхпроводимости ВТСП, не учитывают фактор слоистости новых веществ. В серии работ [1–4] автором с учетом слоистости ВТСП предложен механизм образования СП-состояния и возможный путь получения комнатнотемпературных сверхпроводников. Объяснены многие экспериментальные свойства ВТСП, в том числе и боль-шие Tc 1000 K в интерфейсе CuO–Cu. Однако повторные эксперименты по измерению параметров СП-состояния интерфейса CuO–Cu не дали положи-тельных результатов. В работе показаны возможные причины данного несо-ответствия.

В приближении CNDO выполнены расчеты электронной структуры кластера кристалла YBa2Cu3O6+δ [1]. Установлено, что гибридизированная d-p-зона CuO2-плоскостей состоит из почти заполненной d-подзоны шириной 3 эВ и незаполненной p-подзоны полушириной B = 0,4 эВ. Рассчитанная струк-тура зоны удовлетворительно согласуется с экспериментальными исследова-ниями. Показано выполнение в плоскостях условия Шубина-Вонсовского. Данные условия являются причиной образования в анионной подсистеме плоскостей волны зарядовой плотности (ВЗП). Не исключена возможность образования ВЗП и в металлах M3C60, в которых B = 0,25 эВ и Tc 40K [5].


111

В 1934 г. С. П. Шубин и С. В. Вонсовский показали [6], что в узкой на-половину заполненной металлической зоне с одним электроном на центр при выполнении условия

ZV > I, (1)

где Z – число ближайших соседей; I – энергия электростатического взаимо-действия двух коллективизированных (бывших валентных) электронов у од-ного узла кристаллической решетки и такая же энергия между двумя коллек-тивизированными электронами V двух соседних узлов решетки, возникает полярное состояние (именуемое в литературе как состояние с ВЗП) с пара-метром порядка m = 2. Параметр m равен разности электронной плотности на соседних центрах. Значение m = 2 соответствует образованию в системе элек-тронных пар малого радиуса.

В обычных металлах условие (1) выполняется при межцентровых рас-стояниях r0 2a0, где a0 – радиус Бора. Но, как показано в [2, 7], при таких r0 состояние с ВЗП не реализуется из-за наличия широкой зоны (большой ки-нетической энергии носителей). Однако условие (1) будет реализовано в 2D-плоских системах в узкой зоне проводимости (наличие небольшого чис-ла ближайших соседей) и уменьшенного значения параметра I анионной под-системы. При незначительном уменьшении r0 происходит уширение зоны и резкое уменьшение параметра m [7].

В работе [1] показано, что в кристалле YBa2Cu3O6+ с увеличением происходит рост t1 и уменьшение t, где t1 – число дырок в p-оболочке анионов О, t – число дырок в d-оболочке катионов Cu в CuO2-плоскости. При увели-чении также происходит увеличение параметра m кислородной подсистемы от значения m 0,37 до m 0,72. Наличие ВЗП в CuO2-плоскости подтвер-ждено экспериментальными исследованиями [8]. С нашей точки зрения, с учетом электрон-фононного взаимодействия (ЭФВ) в системе возможна до-стройка электронных пар небольшого размера.

В приближении Шубина-Вонсовского с учетом ЭФВ установлена коло-колообразная зависимость энергии образования электронных пар:

E = kT*(δ) E1m/2 + Tef, (2)

где E1 = (ZV – I), Tef – вклад в энергию спаривания электронов от ЭФВ поряд-ка 20 К. Сделаны оценки параметров V и I с учетом экранировки кулоновско-го взаимодействия в металлической CuO2-плоскости кристалла YBa2Cu3O6+. Из расчетов следует [1], что T*(δ) ~ n(δ) = t1 + t, где n – число дырок в CuO2-плоскости. С учетом данной оценки получено значение кулоновского псев-допотенциала μ* [4]. При наличии сильной электрон-фононной связи (λ ~ 0,5) и электронной корреляции в электронном спаривании зависимость критиче-ской температуры Tc(δ) ~ n(δ) имеет колоколообразную зависимость, что полностью соответствует экспериментальным исследованиям. Оценка темпе-ратуры Tc кристалла YBa2Cu3O7 дает значение Tc ~ 100 K, что также соответ-ствует экспериментальным данным. Вычислено отношение 2Δ/kTc 4,13, которое подтверждает наличие эффекта сильного спаривания электронов.

В работе [9] исследованы температурные зависимости электропровод-ности и вольтамперные характеристики пленок Cu, нанесенных термическим испарением на естественные грани монокристаллов CuO, как на подложку.


112

В интерфейсе CuO–Cu зафиксирована большая Tc порядка 800–1100 K [10]. Однако повторные эксперименты по измерению электропроводности в ин-терфейсе не подтвердили наличие СП-состояния с большими Tc.

Анализируя работу [11], можно сделать вывод, что на поверхности ан-тиферромагнитного полупроводника CuO, по-видимому, образуется двумер-ная парамагнитная решетка, состоящая из Cu2+ и O2– ионов. В работе [3] пока-зано, что, по всей вероятности, при напылении Cu на поверхности окиси меди двумерная решетка CuO состоит из Cu2+ и O1– ионов и имеет узкую частично заполненную зону. В этом случае в кислородной подсистеме плоскости при выполнении условия (1) возможно образование электронных пар малого раз-мера. В данном приближении оценка температуры образования пар дает зна-чение T* ~ 104 K. При концентрации пар в интерфейсном слое n ~ 1,61020 см–3 и эффективной массе носителей (дырок) m* ~ me температура начала бозе-эйнштейновской конденсации может иметь значение Tс ~ 103 K. Полученная оценка температуры Tс по порядку величины соответствует эксперименталь-ному значению. Рассмотрим возможные причины повторных экспериментов, которые не подтвердили наличие СП-состояния с Tс ~ 103 K.

Оксид CuO принадлежит к структурному типу тенорита, который пред-ставляет собой моноклинно искаженный тип структуры NaCl. Параметры ячейки равны: a = 4,684, b = 3,425, c = 5,129 Å, β = 99,46 [12]. В xy-плоскости межъядерные расстояния будут равны: вдоль оси x Rx = 2,342 Å, вдоль оси y Ry = 1,712 Å. Вдоль оси z можно положить Rz = 2,564 Å. Анионы кислорода в плоскостях будут иметь четыре соседних иона Cu.

Анализируя межъядерные расстояния кристалла CuO, можно прийти к выводу, что поверхность кристалла, имеющая xz-грань, должна иметь самую узкую гибридизированную зону ΔExz. Зона ΔEyz (поверхность CuO – yz-грани) должна быть шире зоны ΔExz, но уже зоны плоскости ΔExy, т.е. ΔExz < ΔEyz < < ΔExy. Таким образом, из вышеизложенного следует, что при напылении ме-ди на поверхности CuO, которые могут быть xz-, yz- или xy-гранями, возмож-ны совершенно различные механизмы СП-состояния и, соответственно, раз-личные температуры Tc.

В приближении Шубина-Вонсовского по формуле (2) сделаем оценку энергии kT* = E в различных гранях, взяв их в качестве поверхности моно-кристалла CuO. Такая оценка энергии без Tef сделана в [3], предполагая t1 = 1, t = 1 и m = 2 в кислородной подсистеме xy-грани. В плоскостях каждый анион O–1 окружен четырьмя ионами Cu2+. Оценка дает значение T*

xy = Exy ~ ~ 16103 K. Вычисляя подобным образом, получим значение для yz-плоскости T*

yz = Eyz ~ 13103 K. Аналогичные расчеты для плоскости xz показывают, что условие (1) не выполняется. В плоскости xy параметр m может иметь неболь-шое значение.

Сравнивая Cu–O расстояния в xy- и yz-плоскостях, можно сделать вы-вод, что в плоскости yz гибридизированная CuO-зона поверхности будет бо-лее узкой по сравнению с зоной xy-плоскости. А это может привести к увели-чению параметра m (в предельном случае до m = 2) в несколько раз в yz-плоскости [2, 7] по сравнению с m плоскости xy и, соответственно, к рез-кому увеличению T*. Возможно также, что в плоскости xy параметр m ~ 0, а в плоскости yz m > 0. В этом случае в плоскостях xy и xz интерфейса возможно образование СП-состояния с помощью ЭФВ с Tc ~ 10 K, а в плоскости yz при


113

m = 0,2 возможно значение T* ~ 1300 K и сверхпроводимость с зафиксиро-ванной в экспериментах температурой Tc > 300 K. Конкретные ответы на по-ставленные в работе вопросы даст расчет электронной структуры интерфейса CuO–Cu. Однако в настоящее время такие расчеты пока невозможны.

Анализируя результаты работы, можно сделать следующие выводы: 1. Высокие Tc при повторных экспериментах, аналогичных работам [9–

11], по-видимому, не получились из-за того, что атомы Cu напылялись на по-верхность монокристалла CuO, которая представляла собой xz- или xy-грань.

2. В случае напыления атомов Cu на грань xz CuO СП-состояние с Tc > 300 K в интерфейсе должно отсутствовать. При напылении Cu на грань xy в интерфейсе CuO–Cu должен быть сверхпроводящий слой с Tc, гораздо меньшей 300 K. Возможно, что в данном слое механизм образования СП-состояния с Tc ~ 10 K связан с узкой зоной проводимости, параметром m ~ 0 при участии ЭФВ. Аналогичная ситуация может быть и в плоскости xz интерфейса CuO–Cu.

3. В случае напыления атомов Cu на плоскость yz CuO в интерфейсе CuO–Cu поверхность yz, по-видимому, должна иметь более узкую гибриди-зированную зону проводимости по сравнению с зоной проводимости поверх-ности xy и, соответственно, параметр m > 0 ВЗП. Это вызовет увеличение температур T* и Tc, т.е. в плоскости yz интерфейса CuO–Cu будем иметь, по всей вероятности, зафиксированную в работах [9–11] температуру Tc > 300 K.


1. Амелин И . И . // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1999. – Т. 70 (1). – С. 24.

2. Амелин И . И . // Журнал физической химии. – 1999. – Т. 73 (12). – С. 2274. 3. Амелин И . И . // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. –

2002. – Т. 76 (3). – С. 219. 4. Амелин И . И . // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. –

2003. – Т. 77 (3). – С. 159. 5. Gunnarsson O. // Review Modern Physic. – 1997. – V. 69. – P. 575. 6. Shubin S. P. , Vonsovski i S . V. // Proc. Roy. Soc. – 1934. – V. 145. – P. 159. 7. Ionov S. P. , Amelin I . I . , Lubimov V. S. [et al.] // Physica Status Solidi (b). –

1976. – V. 77. – P. 441. 8. McQueeney R. J . , Petrov Y. , Egami T. [et al.] // Physical Review Letters. –

1999. – V. 8 (3). – P. 628. 9. Осипов В. В., Самохвалов А. А. // Физика металлов и металловедение. – 2000. –

Т. 89. – С. 43. 10. Осипов В . В . , Кочев И . В . , Наумов С . В . // Журнал экспериментальной

и теоретической физики. – 2001. – Т. 120. – С. 1246. 11. Арбузова Т . И . , Наумов С . В . , Самохвалов А . А . [и др.] // Физика

твердого тела. – 2001. – Т. 43. – С. 846. 12. Лазарев , В . Б . Химические и физические свойства простых оксидов металлов /

В. Б. Лазарев, В. В. Соболев, И. С. Шаплыгин. – М. : Наука, 1983.


114

Амелин Иван Иванович кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической физики, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (г. Саранск)

Amelin Ivan Ivanovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of theoretical physics, Mordovia State University named after N. P. Ogeryev (Saransk)


УДК 538.945

Амелин, И. И. Роль различных поверхностей монокристалла CuO в сверхпрово-

димости интерфейса CuO–Cu / И. И. Амелин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 110–114.


115

УДК 517.9 + 536.212 В. Ю. Тимофеев, А. А. Зайцев

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ В СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ СРЕДСТВАМИ САПР

Аннотация. Рассматривается моделирование теплопередачи в системах со сложными граничными условиями. Приведены примеры моделей, разработан-ные авторами, со статическими и динамическими граничными условиями, вы-полненные с помощью современных средств моделирования, а также их влия-ние на прочностные параметры изделий.

Ключевые слова: моделирование систем, сложные граничные условия. Abstract. We describe heat transfer modeling of systems with complex boundary conditions. Described examples of models with static and dynamic boundary condi-tions designed with CAE. All models created by authors.

Keywords: modeling of systems, complex boundary conditions.

Современные изделия предъявляют все более жесткие требования к прочности, износостойкости, долговечности и, не в последнюю очередь, к материалоемкости и массе изделий. В условиях жесткой конкуренции не всегда возможно проведение натурных испытаний, как из-за сжатых сроков, так и из-за отсутствия материальной базы. В таких условиях математическое моделирование начинает играть очень важную роль, выступая в качестве средства оптимизации и прогнозирования.

В процессе проектирования можно построить математическую модель детали и просчитать все нагрузки и напряжения, возникающие в процессе эксплуатации. При этом производится оптимизация геометрии изделия: на участках с низкой нагрузкой с целью экономии материала и уменьшения мас-сы делаются технологические отверстия или уменьшается толщина материа-ла. В местах, испытывающих сильную деформацию и высокую степень на-гружения, напротив, добавляются ребра жесткости и увеличивается толщина.

Однако процесс проектирования не ограничивается конструкторской деятельностью – на параметры изделия очень сильно влияет технология его изготовления и применяемый инструмент.

В условиях автоматизированного малолюдного производства надежное функционирование станков с ЧПУ возможно только при применении систем диагностирования, которые осуществляют контроль работы основных эле-ментов оборудования. Одним из элементов, ограничивающих надежность работы станка с ЧПУ, является режущий инструмент. Его неконтролируемый предельный износ или поломка могут привести к браку изделия и разруше-нию узлов станка. В связи с этим моделирование технологических процессов и выбор оптимальных режимов резания приобретают очень большое значе-ние, особенно для прецизионной обработки, предъявляющей жесткие требо-вания к режущему инструменту [1].

Однако традиционная реализация средств математического моделиро-вания с помощью языков программирования высокого уровня (Fortran, C++) или математических САПР, таких как MathCAD, MATLAB и Maple оправды-вает себя только при решении или очень простых, или, наоборот, очень спе-


116

цифических задач. Вызвано это тем, что трудозатраты растут в геометриче-ской прогрессии при усложнении задачи.

Выходом из данной ситуации является применение Computer Assisted Engineering (CAE) – систем автоматического проектирования, специально предназначенных для решения инженерных задач, связанных с прочностью, деформациями, разрушением, теплообменом и другими областями расчетов [2].

Почти все специализированные САПР используют метод конечных элементов (МКЭ) – численный метод решения задач прикладной механики, широко используемый для решения задач механики деформируемого твердо-го тела, теплообмена, гидродинамики и электромагнитных полей. С точки зрения вычислительной математики идея метода конечных элементов заклю-чается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществ-ляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики – общего метода исследования систем путем их расчленения [3].

Расчет комбинированного воздействия – температуры и механических напряжений – очень важен для узлов и деталей, работающих в сложных усло-виях. При больших приложенных усилиях и нагреве в металле возникают яв-ления ползучести и текучести. Модель Джонсона-Кука описывает пластиче-ские напряжения, возникающие в материале, как функцию величины дефор-мации, интенсивности деформаций и температуры, определяемую уравнени-ем (1) [4].

н

0 пл ком1 ln 1

mn T T

A B CT T

, (1)

где A, B, C, n и m – коэффициенты; – эквивалентное пластическое напря-жение; – скорость деформации; 0 – начальная скорость деформации; Т –

температура; плТ – температура плавления; нТ – начальная температура.

Тела вращения, имеющие сложную форму и технологические отверстия для крепления, вентиляции и т.д., являются типовыми и могут применяться во многих изделиях, в частности, это может быть крышка с отверстиями для болтов. В процессе работы может возникнуть ситуация, когда деталь будет нагреваться неравномерно, создавая недопустимые механические напряжения и деформации.

Первым этапом является построение геометрической модели и разбие-ние на конечные элементы (КЭ) (рис. 1).

Предположительно, отверстия будут являться концентраторами напря-жений, поэтому возле них требуется задать сгущение сетки КЭ для более точного расчета.

Так как в нормальном состоянии крышка закреплена болтами, то одним из граничных условий будет фиксация перемещения внутренних поверхно-стей отверстий по осям x, y и z. Вторым граничным условием будет наличие источника тепла с температурой 800 °С (рис. 2).

Следующим шагом будет определение параметров материала крышки. В качестве материала возьмем сталь 45, распространенный конструкционный


117

материал. В данном случае модель стали будет гомогенной и изотропной, со следующими характеристиками:

Коэффициент теплового расширения α (мкм/м·°С)…………………….11 Плотность (кг/м3)……………………………………………………….7800 Коэффициент Пуассона…………………………………………………..0,3 Теплоемкость (Дж/Кг/°С)……………………………………………..432,6 Теплопроводность (Вт/м·°С)…………..….……..……….…….………47,7 Модуль Юнга (ГПа)……………………………………………………...200

Рис. 1 Разбиение модели на КЭ

Рис. 2 Механические и тепловые граничные условия


118

Для выбранного материала коэффициенты в формуле (1) будут прини-мать следующие значения: A = 551,3 МПа; В = 600,8 МПа; n = 0,234; C = 0,013; m = 1.

Примем время моделирования 10 с: за это время успеет прогреться только часть крышки и механические напряжения, вызванные градиентом температур, будут максимальными.

Результат расчета показан на рис. 3, 4. Крышка показана в разрезе с учетом деформаций.

Рис. 3 Распределение теплового поля в теле крышки

Рис. 4 Распределение напряжений в теле крышки Из рис. 4 хорошо видно, что отверстия для болтов являются, как и

предполагалось, концентраторами напряжений: величина напряжений в них достигает 3,189 ГПа, в то время как предел прочности стали 45 составляет


119

0,6 ГПа. Таким образом, с помощью модели удалось установить, что проч-ность детали при данном типе нагрева недостаточна.

Однако для определения параметров прочности и износостойкости тре-буется учитывать и технологические процессы, применяемые при изготовле-нии. Например, перегрев режущего инструмента может приводить к его по-вышенному износу, и, как следствие, отклонению параметров обрабатывае-мых поверхностей от заданных. Неоптимальный выбор параметров резания может вызвать недопустимую деформацию детали в процессе обработки, по-явление микротрещин и т.д., поэтому следующей задачей явилось построение модели механической обработки металла резанием.

При моделировании резания металлов деформации и их интенсивность могут достигать очень больших значений, при этом всегда требуется учиты-вать как пластическую, так и упругую составляющие.

Авторами было проведено исследование зависимости ЭДС естествен-ной термопары сверло–деталь от износа режущего инструмента. Для под-тверждения теоретических выкладок были проведены натурные эксперимен-ты и построена математическая модель сверления цилиндрической заготовки (рис. 5) [6] .

Рис. 5 Модель сверления цилиндрической заготовки При построении данной модели были учтены следующие граничные

условия: тепловой поток возникает при упругопластической деформации ме-талла заготовки и трении стружки о переднюю режущую поверхность сверла.

Напряжение, возникающее при пластической деформации металла, яв-ляется функцией деформации , интенсивности деформации и температу-ры Т. Металл начинает деформироваться пластически, когда возникающее


120

напряжение начинает превышать величину ползучести или текучести (крите-рий Губера-Мизеса) [7].

Для расчета пластического напряжения в сталях наиболее точные ре-зультаты дает табличный метод, основанный на экспериментальных данных:

, ,T .

На рис. 6 представлены зависимости пластического напряжения от дефор-мации и температуры при разных значениях интенсивности деформаций [8].

Рис. 6 Зависимость пластического напряжения от деформации при 1 Теплопередача при обработке металлов резанием осуществляется как

между инструментом и материалом заготовки, так и между передней режу-щей поверхностью и стружкой, причем количество тепла, отдаваемое в стружку, может превышать отдачу в тело заготовки в несколько раз.

Стружка же, в свою очередь, охлаждается посредством конвекции, и ее температура снижается по мере удаления от зоны резания, что хорошо видно на рис. 5.

В процессе металлообработки тепловые потоки не являются стацио-нарными: стружка, через которую происходит значительный теплоперенос, постоянно скалывается и деформируется. Геометрия контактирующих по-верхностей изменяется при врезании инструмента, изменяя тем самым усло-вия теплопередачи. Теплоемкость и теплопроводность как самого инструмен-та, так и обрабатываемой детали нелинейно зависят от температуры.

Таким образом, линейная задача теплопередачи при наложении слож-ных граничных условий приобретает значительную нелинейность.

Результаты моделирования представлены на рис. 7, 8. Из графика на рис. 7 видно, что максимальная температура на режущей

кромке сверла составляет 192 °С, что является допустимым для инструмен-тальной стали Р6М5.


121

Рис. 7 Распределение теплового поля по режущей кромке

и передней режущей поверхности сверла

Рис. 8 Распределение теплового поля в теле сверла

на расстоянии 2 мм от оси вращения Данные, полученные с помощью математического моделирования, дос-

таточно точно совпадают с экспериментальными [9]. Основным преимуществом данного метода, по сравнению с традици-

онными, такими как моделирование с помощью языков программирования высокого уровня и математическими САПР, является радикальное уменьше-ние трудозатрат и сокращение времени, требующегося для проектирования.


1 Тимофеев , В . Ю . Неразрушающая диагностика металлорежущего инструмен-та методом измерения сигнала термоЭДС / В. Ю. Тимофеев, А. А. Зайцев // Тео-


122

рия и практика производства листового проката : сборник научных трудов. Ч. 2. – Липецк : Изд-во ЛГТУ, 2008. – С. 231–237.

2 Ли , К . Основы САПР (CAD, CAM, CAE) / К. Ли. – СПб. : Питер, 2004. – 560 с. 3 Галлагер , Р . Метод конечных элементов. Основы : пер. с англ. / Р. Галлагер. –

М. : Мир, 1984. – 428 с. 4 Johnson, G. R. A constitutive model and data for metals subjected to large strains,

high strain rates and high temperatures / G. R. Johnson, W. H. Cook // Proceedings of the 7th International Symposium on Ballistics. – Hague, Netherlands, 1983. – Р. 541–547.

5 Abaqus Analysis User's Manual. – Dassault Systèmes, 2008. 6 Тимофеев , В . Ю . Исследование изменения термоЭДС резания в процессе из-

носа инструмента / В. Ю. Тимофеев, А. А. Зайцев // Необратимые процессы в природе и технике : сборник научных трудов. Ч. 2. – М. : МГТУ им. Н. Э. Бау-мана, 2009. – С. 220–223.

7 Варданян , Г . С . Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности / Г. С. Варданян, В. И. Андреев, Н. М. Атаров, А. А. Горшков. – М. : АСВ, 1993. – 573 с.

8 Eckart , D. Fließkurvenatlas metallischer Werkstoffe / D oege Eckart, Heinz Meyer-Nolkemper, Imtiaz Saaed. – München : Hanser, 1986. – 224 c.

9 Резников , А . Н . Теплофизика резания / А. Н. Резников. – М. : Машинострое-ние, 1969. – 288 с.

Тимофеев Василий Юрьевич аспирант, Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина

Timofeev Vasily Yuryevich Postgraduate student, Eletsk State University named after I. A. Bunin

E-mail: [email protected] Зайцев Андрей Анатольевич кандидат физико-математических наук, доцент, проректор, Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина

Zaytsev Andrey Anatolyevich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, vice rector, Eletsk State University named after I. A. Bunin


УДК 517.9 + 536.212

Тимофеев, В. Ю. Моделирование тепловых полей в сложных динамических систе-

мах средствами САПР / В. Ю. Тимофеев, А. А. Зайцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 115–122.


123

УДК 539.2:541.117 В. Ч. Жуковский, О. Н. Горшков, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Ю. Г. Смирнов, Е. В. Чупрунов,

В. А. Рудин, Н. Ю. Скибицкая, П. В. Кревчик, Д. О. Филатов, Д. А. Антонов, М. А. Лапшина, М. Е. Шенина, К. Ямамото

ОСОБЕННОСТИ ДВУМЕРНЫХ ТУННЕЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ В УСЛОВИЯХ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ1

Аннотация. Исследуется проблема управляемости двумерного диссипативного туннелирования в системе «игла кантилевера АСМ/СТМ – квантовая точка», моделируемой 2D-осцилляторным потенциалом, взаимодействующим с термо-статом, во внешнем электрическом поле. Методом инстантонов рассчитана ве-роятность 2D-туннельного переноса и исследована ее зависимость от величины внешнего электрического поля. Полученные зависимости качественно соответ-ствуют отдельным экспериментальным ВАХ для системы «платинированная иг-ла кантилевера АСМ/СТМ – квантовая точка из золота», полученным в НИФТИ при ННГУ им. Н. И. Лобачевского. Экспериментально наблюдаемыми и устой-чивыми оказываются предсказанные ранее 2D-туннельные бифуркации с дисси-пацией для случая параллельно туннелирующих взаимодействующих частиц.

Ключевые слова: диссипативное туннелирование, двумерные бифуркации, квантовые точки. Abstract. Controllability problem for two-dimensional dissipative tunneling in sys-tem of «the AFM/STM cantilever tip – quantum dot», simulated by 2D oscillator potential in a heat bath and external electric field, has been investigated. The 2D tunnel transfer probability dependence on external electric field has been calculated in frames of instanton approximation. Obtained results are qualitatively corre-sponded to separate experimental VACs for system «platinized cantilever tip – golden quantum dot», which have been obtained in N. Novgorod State University. Earlier predicted 2D tunnel bifurcations with dissipation for case of parallel tunnel-ing interacting particles are found as experimentally observed and stable ones.

Keywords: dissipative tunneling, 2d-bifurcations, quantum dots.

Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию влияния внешнего электрического поля на наблюдаемые характеристики 2D-диссипа-тивного туннелирования для металлических квантовых точек (КТ) в системе совмещенного АСМ/СТМ. Актуальность данного исследования обусловлена тем, что проведенные теоретические расчеты предлагают практически значи-мые механизмы управления для экспериментально реализуемых структур с туннельно связанными квантовыми точками (КТ) и квантовыми молекула-ми (КМ) в системе совмещенного АСМ/СТМ, что является существенным для целей современной наноэлектроники с управляемыми характеристиками. Этим обусловлена и практическая значимость выполненного исследования.

Впервые существование 2D-туннельных бифуркаций было предсказано в работе Ю. Н. Овчинникова и Б. И. Ивлева [1] для систем взаимодействую- 1 Данная работа выполнена при частичной поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647, а также в рамках темати-ческого плана проведения фундаментальных научных исследований по заданию Ро-собразования, № 1.15.09.


124

щих контактов Джозефсона. Был предсказан эффект излома на температур-ной или токовой зависимости вероятности распада в окрестности точки би-фуркации. Однако, как предполагалось, соответствующая температурная об-ласть могла оказаться узкой для детального экспериментального изучения. Соответствующая особенность вероятнее всего замывалась флуктуациями. Несколько позднее в работе Ю. И. Дахновского и М. Б. Семенова [2] неус-тойчивый эффект 2D-туннельных бифуркаций изучался для антипараллель-ного переноса в системах типа порфиринов (или на примере димеров 7-азаиндола). В работе коллектива авторов [3] исследована тонкая структура 2D-туннельных бифуркаций с диссипацией при параллельном и антипарал-лельном переносе частиц. Было показано, что в случае параллельного пере-носа туннелирующих частиц в асимметричном осцилляторном потенциале в точке бифуркации может наблюдаться устойчивый излом на зависимости вероятности туннелирования от температуры, а также режим квантовых бие-ний в окрестности точки бифуркации. В. А. Бендерский, Е. И. Кац и соавторы [4] исследовали конкурирующие туннельные траектории в 2D-потенциале с варьируемой топологией как модель для квантовых бифуркаций. В послед-ние годы процессы туннелирования вызывают особый интерес исследовате-лей структур с квантовыми точками и квантовыми молекулами, что во мно-гом связано с возможностями современных нанотехнологий [5–15].

Многие из отмеченных систем рассматриваются с позиций инстантон-ного подхода. Вычисление константы туннелирования, основанное на ин-стантонном приближении, делает все перечисленные явления в некотором смысле «подобными». В химических реакциях константа скорости предполага-ет экспоненциальную эволюцию для вероятности переноса, тогда как в элек-тронных приборах константа скорости определяет туннельный ток. В работе Ю. Н. Овчинникова [9] было показано, что проводимость гранулированных металлических пленок связана с процессами туннелирования между соседни-ми гранулами, а также, что взаимодействие с термостатом, обеспечивающее реальный переход в состояния, локализованные в «соседнем» кластере, доста-точно мало. Таким образом, характеристики туннельного тока в изучаемых системах можно рассматривать в пределе сравнительно «слабой» диссипации, но достаточной для обеспечения «распадности» двухъямного осцилляторного потенциала, используемого в предлагаемой модели. Кроме того, существен-ный вклад в туннельный ток может внести вероятность туннелирования, оце-ненная с точностью до предэкспоненциального фактора в работе [15]. На рис. 1 представлена экспериментальная схема исследований и одна из вольт-ампер-ных характеристик, полученная экспериментальной группой (О. Н. Горшков, Д. О. Филатов и др.) в НИФТИ при ННГУ им. Н. И. Лобачевского.

Одной из характерных особенностей ВАХ, приведенной на рис. 1, яв-ляется резкий излом, наблюдаемый при положительных напряжениях, кото-рый, как мы предполагаем, обусловлен сменой режима туннелирования по параллельным каналам в асимметричном 2D-потенциале или наличием точки бифуркации, описанной в [3]. Вблизи этой точки на ВАХ наблюдается не-большая переходная область с отдельной особенностью, которая, вероятно, может отвечать режиму квантовых биений, также предсказанных нами в [3]. И, наконец, в области отрицательных напряжений мы наблюдаем характерный единичный пик, который, как описано ранее [15], связан с особенностью пре-дэкспоненциального фактора в момент, когда с изменением внешнего элек-


125

трического поля, влияющего на величину параметра асимметрии потенциала, модельный потенциал становится симметричным.

а)

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

1

2

3

4

I,nA

U, V

б)

Рис. 1 Схема экспериментальной установки с использованием совмещенного АСМ/СТМ и отдельные полученные туннельные ВАХ: а – схема туннелирования

электронов через нанокомпозитную структуру Si/SiO2/SiO2: НК–Au/SiO2: A1 – туннельно-прозрачный барьер зонд-кластер, A2 – барьер кластер-подложка;

б – одна из вольт-амперных характеристик, измеренных на структуре Si(100)/SiO2(1,5 нм)/SiO2: НК–Au(1,6 нм)/SiO2(1,8 нм),

в местах расположения нанокластеров Au в SiO2 Эта совокупность изученных теоретически и экспериментально эффек-

тов позволяет делать вывод о возможности экспериментального наблюдения устойчивых 2D-туннельных бифуркаций с диссипацией, что и является ос-новным результатом данной работы. Теоретическая возможность использо-вать науку о диссипативном туннелировании для систем с АСМ/СТМ была ранее продемонстрирована в работе [11]. В работе [15] приводится сравнение теоретической зависимости для вероятности диссипативного туннелирования с экспериментальной ВАХ в структуре с КТ из коллоидного золота для со-вмещенного АСМ/СТМ [12].


126

При изучении туннельного тока с иглы кантилевера совмещенного АСМ/СТМ в ближайший нанокластер золота (квантовую точку) вполне веро-ятной может быть ситуация, когда из-за неоднородностей на поверхности иг-лы реализуются параллельные близко расположенные каналы туннельного тока. Если размер неоднородности оказывается меньше размера нанокластера (квантовой точки), то при отрицательном приложенном напряжении меняется асимметрия потенциала вдоль координаты переноса, как это изображено на рис. 2. С учетом взаимодействия туннелирующих по параллельным каналам частиц перестройка потенциала становится существенно двумерной (рис. 3).

а) б) в)

Рис. 2 Учет влияния электрического поля на асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал. При некотором значении приложенного

отрицательного напряжения потенциал становится симметричным (б), что может дать в предэкспоненциальном факторе вероятности переноса

наблюдаемый единичный пик Учет влияния электрического поля (при отрицательном напряжении) на

асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал дает

2 2

2 20 00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2U q q a q q b I q e Eq

, (1)

где параметр 2

2 200 02

I b a

определяет исходную асимметрию потенциа-

ла в отсутствие поля, как известно, приводит к изменению величины асим-метрии, пропорциональной величине поля;

2

2 202 1 0 0 0 0( ) ( ) ~

2U U b U a a b e E a b E

, (2)

где 2 2

1 0 20

( )2

e EU b b e E

,

2 2 22 20

2 0 0 020

( )22

e EU a a e E a b

.

При некотором значении внешнего поля первоначально асимметрич-ный потенциал с более глубокой правой ямой может стать симметричным

c ca b :

1 2( ) ( )U a U b ; 2 22 2 2

2 200 0 0 02 2

0 0

( )22 2

e E e Ea e E b e E b a

, (3)


127

16116

5,0

1

2,5y0,0

-2,5

-5,0

-5,0

-2,5

0,0 x

2,5

5,0

AB

а)

-5,0

1

-2,5x0,0

2,5

5,0

-5,0

-2,5

0,0 y

2,5

5,0

A B

262116116

б)

16116

5,0-5,0

2,5x

-2,50,0

y-2,50,0

-5,02,5 1

5,0 A B

в)

Рис. 3 Изменение асимметрии поверхности потенциальной энергии для параллельного переноса частиц во внешнем электрическом поле

(при отрицательном приложенном напряжении). При некотором значении приложенного напряжения потенциал становится симметричным (б)


128

Из формулы (3)

20

0 0 0 0 0 0( )( )2

E e a b b a a b

и 20

0 0( )2cE b a

e

.

Таким образом, влияние электрического поля можно учесть через пере-

нормировку параметров 0 20

| |e Ea a a

, 0 2

0

| |e Eb b b

. Смена знака на-

пряжения приводит к тому, что исходная асимметрия потенциала (правая яма глубже левой) будет только усиливаться, состояние симметричного потен-циала при таком знаке напряжения не достигается. Для 2D-потенциала мы получим картину, напоминающую рис. 3,a, где минимум B справа будет бо-лее глубоким, а минимум A более мелким. Если исходная асимметрия по-тенциала (как предполагается) была недостаточной для достижения точки бифуркации туннельных траекторий, то с ростом поля мы можем ее достичь.

Для 2D-параллельного переноса с учетом взаимодействия частиц и пе-ренормировки параметров потенциала во внешнем электрическом поле мы получим перенормированный потенциал в виде

1 2 2 22 21 2 1 1 1 12

2 ,, ( )

pp

U q qU q q q a q b a q b q

2 22 2 22 2 2 2 1 2( )

2q a q b a q b q q q

. (4)

При введении взаимодействия между частицами в диполь-дипольном приближении выбираем intV в форме гармонического потенциала «притя-жения»:

21 2

int 2

y yq qV

. (5)

Такая потенциальная энергия может описывать, например, следующую физическую ситуацию (с «обычным» кулоновским отталкиванием): две взаи-модействующие одноименно заряженные частицы расположены на достаточ-но большом расстоянии 0R друг от друга вдоль оси x , и также предполагает-

ся 0R d , где d – дистанция параллельного переноса взаимодействующих частиц вдоль оси y в одном направлении (рис. 4).

В этом случае функция потенциальной энергии взаимодействия может

быть представлена в виде ряда по степеням параметра 2 21 2 0y yq q R , где

1yq и 2yq – координаты туннелирования (рис. 4). Для кулоновского отталки-

вания частиц в среде ( 0 – диэлектрическая постоянная, – относительная диэлектрическая проницаемость) получим

22 2 2 2 1 2

1/ 2 22 20 0 0 0 0 00 0 1 2

1

2( )

y yrep

y y

q qe e e eV

R R R RR q q

. (6)


129

Следовательно,

2

30 0

e

R

. (7)

Рис. 4 Введение координаты туннелирования: 0R (вдоль оси xq ) – дистанция между

туннелирующими частицами; 1yq и 2yq – координаты туннелирования

Отрицательная гармоническая потенциальная энергия (второе слагае-

мое в разложении) появляется, следовательно, как эффективное притягиваю-щее взаимодействие, хотя потенциал остается все время отталкивающим. Этот отрицательный вклад уменьшает отталкивающий потенциал от его мак-

симального значения в 0R . Постоянная составляющая 2

00 0

eU R

R

может

быть включена в определение потенциальных энергий отдельных частиц. Мы предполагаем, что две частицы независимо взаимодействуют с

гармоническим термостатом. Такое взаимодействие рассматривается в били-нейном приближении. Динамика среды описывается осцилляторным гамиль-тонианом (при этом мы используем систему единиц с 1 , 1Bk и массами

осцилляторов, равными 1):

2 2 21

2ph i i ii

H P Q . (8)

Каждая из туннелирующих частиц (электронов или эффективных заря-дов) взаимодействует с осцилляторным термостатом следующим образом:

(1) (2)1 1 2 2, , , .i i i i i ip ph p ph

i i

V q Q q C Q V q Q q C Q (9)

Как и в работе [3], мы интересуемся вероятностью переноса в единицу времени или, строго говоря, только ее экспоненциальной частью, которая может быть записана в форме Лангера

Im

2Re

ZT

Z . (10)


130

Для вычисления удобно представить статистическую сумму Z в форме интеграла по траекториям [1–8]

1 2 1 2exp , ,i ii

Z Dq Dq DQ S q q Q . (11)

Здесь S обозначает подбарьерное действие для всей системы. Мнимая часть Im Z появляется благодаря распадности энергетических уровней в ис-ходной яме потенциальной энергии. Справедливость этого приближения тре-бует, чтобы диссипация была бы достаточно сильной, так что реализуется только некогерентный распад [3].

Интеграл (11) может быть взят по фононным координатам [3], в ре-зультате

/ 2

2 21 2 1 2 1 2

/ 2

1 1, ,

2 2S q q d q q V q q

/ 2

1 2 1 2/ 2

d D q q q q

, (12)

где

1expn n

n

D D v i

, (13)

/ Bk T – обратная температура (ниже мы предполагаем, что 1 и

1Bk ), 2 /nv n является мацубаровской частотой, и

2 2

2 2 2i i

n ni n ii i

C CD v

v

. (14)

Траектория, которая минимизирует евклидово действие S , может быть найдена из уравнений движения. Моменты времен 1 и 2 , в которые части-цы проходят вершины барьера, определяются из следующих уравнений:

1 1 2 20, 0q q . (15)

В случае параллельно туннелирующих частиц [потенциальная энергия (4)], результирующее евклидово действие задается следующим образом:

2 242 2 1 22 2

1 2 1 2 2

12

2

a bS a a b a b

2 2 224 1 2 1 22 2 2 2 2 2

1

sin sin sin sin2

2

n n n n

n n n n n n

v v v va b

v v v v

, (16)

где n определяется соотношением (14).


131

Ниже мы используем следующие обозначения:

21 2 1 2, 2 , / 2, 2 / , / ,b b a

и предполагаем, что b a . В отсутствие взаимодействия с осцилляторами среды – термостата, т.е. при 0n , действие (16) как функция параметров

и принимает вид

24 1

1 coth2 1 1

a b aS

a b a b

1sinh cosh cosh cosh cosh

3/ 2 11 coth 1 sinh 1

cosh 1 cosh 1 1 cosh 1 . (17)

Как только траектория найдена, уравнения (15) могут быть представле-ны в следующей форме:

1sinh cosh coth sinh coth sinh 1 cosh 1

1

coth 1 sinh 1 coth 1 0;

4 13 cosh sinh coth cosh 1 sinh coth cosh

1 1b

1cosh 1 sinh 1 coth 1 cosh 1 1

1

1

sinh 1 coth 1 cosh 1 01

. (18)

Как было проанализировано нами в работе [3], решение этой системы и позволяет выявить бифуркацию 2D-туннельных траекторий, т.е. при опреде-

ленном значении температуры , либо параметра асимметрии потенциала,

связанного с величиной приложенного электрического поля /b b a , либо

коэффициента взаимодействия 22 / (где 2

30 0

e

R

зависит, в частно-

сти, от относительной диэлектрической проницаемости среды – термостата; проблема изучения 2D-бифуркаций с диссипацией при изменении параметра может представлять отдельный интерес). Численный анализ системы (18) по-зволяет также выявить тонкую структуру перехода в окрестности точки бифур-


132

кации, а именно режим квантовых биений для параллельного переноса тунне-лирующих частиц. В итоге вероятность 2D-туннелирования с экспоненциаль-ной точностью определяется как exp S , где S задается выражением (17)

с учетом решения системы (18). Поскольку нас интересует качественное срав-нение с имеющимися туннельными ВАХ для системы «игла кантилевера – на-нокластер из золота», мы интересуемся зависимостью от параметра асим-

метрии /b b a . Результат сравнения этой теоретической кривой с экспери-ментальной ВАХ приведен на рис. 5. Но необходимо учесть, что в целом мы рассматриваем две области изменения электрического поля: при положительном напряжении с реализацией режима 2D-бифуркации; при отрицательном напря-жении с достижением симметричного потенциала, что в случае синхронного туннельного переноса по параллельным координатам дает в удвоенном пре-дэкспоненциальном факторе особенность типа единичного пика в этом случае.

-5 -3 -1 1 3 50

1

2

Vg, В

I, нА

Рис. 5 Сравнение теоретической кривой (пунктирная кривая)

для 2D-диссипативного параллельного туннелирования с экспериментальной ВАХ, приведенной на рис. 1 (точечная кривая)

Условия применимости рассматриваемой модели обусловлены при-

ближением разреженного газа пар «инстантон – антиинстантон» и обсужда-лись в [2–8]. В рассматриваемой модели может происходить подавление ку-лоновских эффектов, если стартовая энергия частицы в КТ существенно пре-

вышает энергию кулоновского отталкивания: 2

00 0

eU

a b

.

Таким образом, обобщая результаты работ [3, 15], мы приходим к каче-ственному сравнению теоретических кривых для вероятности диссипативно-го 2D-туннелирования как функции приложенного электрического поля с учетом точки бифуркации (при положительном напряжении) и наличия еди-ничного пика в случае симметричного потенциала (при отрицательном на-пряжении) с отдельными экспериментальными ВАХ для системы «игла пла-тинированного кантилевера – квантовая точка (нанокластер из золота)», по-


133

лученными группой соавторов из Нижегородского государственного универ-ситета им. Н. И. Лобачевского. Эти результаты приведены на рис. 5.

Помимо достаточно хорошего качественного соответствия теоретиче-ской и экспериментальной зависимости (за исключением небольших переход-ных областей), результат этой работы позволяет сделать вывод об экспери-ментальном обнаружении устойчивой 2D-бифуркации (смене режима туннели-рования с синхронного на асинхронный), предсказанной в работе [3]. Вблизи этой точки (резкий излом на ВАХ) небольшой локальный минимум может быть следствием режима квантовых биений, также описанных в [3], и кото-рые учитывались в процессе численного анализа, представленного на рис. 5.


1. Ивлев Б . И . , Овчинников Ю . Н . // ЖЭТФ. – 1987. № 93. – С. 668. 2. Dahnovsky Yu. I . , Semenov M. B. // J. Chem. Phys. – 1989. – № 91. – № 12. –

P. 7606. 3. Dahnovsky Yu. I . , Ovchinnikov A. A. , Krevchik V. D. [ et al.] // Phys.

Rev. B. – 2003. – № 68. – P. 155426. 4. Benderski i V. A. , Vetoshkin E. V. , Trommsdorff H. P. , Kats E. I . //

Phys. Rev. E. – 2003. – № 67. – P. 026102. 5. Krevchik, V. D. Transfer processes in low – dimensional systems (memorial col-

lection of articles, dedicated to prof. A. A. Ovchinnikov and A. I. Larkin’s memory) / V. D. Krevchik, M. B. Semenov, V. Ch. Zhukovsky, K. Yamamoto [et al.] // UT Re-search Institute Press. – Tokyo. Japan, 2005. – 690 P. – (Publication of this book was supported by Nobel prize winner – 2003. prof. A. J. Leggett).

6. Овчинников , А . А . Принципы управляемой модуляции низкоразмерных структур : монография (посвящается памяти члена-корреспондента РАН, зав. от-делом Объединенного института химической физики РАН А. А. Овчинникова) / А. А. Овчинников, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов [и др.]. – М. : УНЦ ДО, 2003. – С. 510.

7. Жуковский В . Ч . , Кревчик В . Д , Семенов М . Б . [и др.] // Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон. – 2006. – № 3. – С. 24.

8. Жуковский В . Ч . , Кревчик В . Д , Семенов М . Б . [и др.] // Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон. – 2007. – № 2. – С. 10.

9. Овчинников Ю . Н . // ЖЭТФ. – 2007. – Т. 131. – № 2. – С. 286. 10. Ull ien D. , Cohen H. , Porath D. // Nanotechnology. – 2007. – V. 18. – № 42. –

P. 424015. 11. Louis A. A. , J . P. Sethna // Phys. Rev. Lett. – 1995. – V. 74. – № 8. – P. 1363. 12. Yanagi H. , Ohno T. // Langmuir. – 1999. – V. 15. – № 14. – P. 4773. 13. Bychkov А . М . , Stace Т . М . // Nanotechnology. – 2007. – V. 18. – P. 185403. 14. Антонов Д . А . , Вугальтер Г . А . , Горшков О . Н . [и др.] // Вестник

ННГУ. – 2007. – № 3. – С. 55. – (Физика твердого тела). 15. Жуковский В . Ч . , Кревчик В . Д , Семенов М . Б . [и др.] // Вестник

Моск. ун-та. Физ., Астрон. – 2009. – № 1.

Жуковский Владимир Чеславович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Zhukovsky Vladimir Cheslavovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, sub-department of theoretical physics, Moscow State University named after M. V. Lomonosov



134

Горшков Олег Николаевич директор НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского

Gorshkov Oleg Nikolaevich Director of Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy

E-mail: [email protected] Кревчик Владимир Дмитриевич доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет

Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of physics sub-department, Penza State University

E-mail: [email protected] Семенов Михаил Борисович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Пензенский государственный университет

Semenov Mikhail Borisovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, physics sub-deparment, Penza State University

E-mail: [email protected] Смирнов Юрий Геннадьевич доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: [email protected] Чупрунов Евгений Владимирович доктор физико-математических наук, профессор, ректор Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского

Chuprunov Evgeny Vladimirovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, rector of Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy

E-mail: [email protected] Рудин Вадим Александрович студент, Пензенский государственный университет

Rudin Vadim Alexandrovich Student, Penza State University

E-mail: [email protected] Скибицкая Наталья Юрьевна аспирант, Пензенский государственный университет

Skibitskaya Natalya Yuryevna Postgraduate student, Penza State University



135

Кревчик Павел Владимирович студент, Пензенский государственный университет

Krevchik Pavel Vladimirovich Student, Penza State University

E-mail: [email protected] Филатов Дмитрий Олегович кандидат физико-математических наук, доцент, НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского

Filatov Dmitry Olegovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy

E-mail: [email protected] Антонов Дмитрий Александрович научный сотрудник НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского

Antonov Dmitry Alexandrovich Research worker, Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy

Лапшина Мария Александровна аспирант, НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского

Lapshina Mariya Alexandrovna Postgraduate student, Physics and Engi-neering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy

Шенина Мария Евгеньевна аспирант, НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского

Shenina Mariya Evgenyevna Postgraduate student, Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy

Кенджи Ямамото профессор, заместитель директора исследовательского института при международном медицинском центре (г. Токио, Япония)

Kendji Yamomoto Professor, vice director of research institute of International Medical Centre (Tokyo, Japan)


УДК 539.2:541.117517.9 + 536.212

Жуковский, В. Ч. Особенности двумерных туннельных бифуркаций в условиях внеш-

него электрического поля / В. Ч. Жуковский, О. Н. Горшков, В. Д. Кревчик [и др.] // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 123–135.


136

УДК 538.911 В. А. Довыденков, М. В. Ярмолык,

А. Р. Буев, А. В. Леухин, А. Р. Сазонов

НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ С ТЕРМИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОЙ СТРУКТУРОЙ

Аннотация. Исследовались материалы, полученные из композиций Cu–CuО–Al–C с применением реакционного размола и последующего отжига. Показа-но, что за счет твердофазных взаимодействий, инициированных деформацией при реакционном размоле и термически активируемых при отжиге, возможно получение материалов с размерами зерен матричного металла 150–300 нм с расположенными по границам включениями фазы 2 3Al O размерами

30–60 нм. Такая структура является термически устойчивой и не склонна к рекристаллизации до температуры 860 °С. Ключевые слова: реакционный, размол, отжиг, твердофазные взаимодействия, рекристаллизация, нанокристаллит. Abstract. Materials obtained from Cu–CuО–Al–C compositions using reaction mill-ing and subsequent annealing were studied. It was demonstrated that owing to solid phase interactions initiated by strain under reaction milling and thermally activated under annealing, the materials with matrix metal grain size of 150–300 nm with lo-cated at the boundaries 2 3Al O phase inclusions of 30–60 nm can be obtained.

Such a structure is thermally stable and it is not subject to re-crystallization under the temperature of up to 860 °С. Keywords: reaction, milling, annealing, solid phase interactions, re-crystallization, nanocrystallite.

Согласно общепринятой модели объемного нанокристаллического ма-териала [1, 2] повышенные свойства таких материалов обусловлены двумя факторами. Во-первых, нанокристаллиты имеют практически бездефектную структуру, что связано с термодинамическими условиями существования де-фектов в твердом теле. Во-вторых, значительная доля объема нанокристалли-ческого материала занята границами (иногда более 50 %), в которых структу-ра не обладает дальним порядком и близка к аморфной. И действительно, при комнатной температуре материал, имеющий нанокристаллическую структу-ру, обладает прочностью, в несколько раз превосходящей прочность мате-риала с обычной структурой [1–3].

Вместе с тем набор технологий, позволяющих получать макроскопиче-ские образцы из металлов с нанокристаллической структурой, пока еще огра-ничен. К таковым относятся технологии, основанные на интенсивной пласти-ческой деформации (равноканальное угловое прессование, кручение под дав-лением), импульсные низкотемпературные процессы компактирования ме-таллических нанопорошков, кристаллизации аморфных сплавов, метод Глей-тера, механохимический синтез [1, 2]. На сегодняшнем уровне развития ука-занные методы позволяют (в лучшем случае) получать образцы для исследо-ваний и опытных работ, поскольку не создано еще высокопроизводительных технологий, основанных на этих методах. В связи с этим поиск новых техно-логических вариантов, обеспечивающих приемлемую производительность, представляет актуальную задачу.


137

Кроме того, структура таких материалов является термодинамически неравновесной, поэтому при нагреве она неустойчива и склонна к рекристал-лизации и фактическому превращению в структуру обычных материалов. Из сказанного выше вытекает, что одной из главных задач, которая должна ре-шаться при создании температурно стабильных нанокристаллических мате-риалов, является закрепление границ между нанокристаллитами. Одним из методов решения этой задачи является создание на границах нанокристалли-тов высокодисперсных фаз, которые препятствуют термически активируемо-му движению этих границ. Показано, как можно решить эту задачу на приме-ре меди, применяя реакционный размол, дополнительный термический син-тез нанодисперсного γ-Аl2O3 процесса твердофазных реакций кислорода.

Перспективны гибридные технологии, основанные на применении ре-акционного размола (механохимического синтеза) в сочетании с последую-щей низкотемпературной обработкой продуктов размола. Известно [3], что при реакционном размоле смесей Fe2O3–Fe–Ni–(Ti, Zr) происходит частичное деформационное растворение оксида железа с образованием пересыщенных твердых растворов кислорода в металлической фазе и его миграция к элемен-там с большим сродством к кислороду с образованием дисперсных упроч-няющих оксидов. Такая же схема применяется для систем CuO–Cu–(А1, Cr, Ti, Zr)–C [4]. Вместе с тем наш многолетний опыт [5, 6] показал, что непо-средственно в размольном агрегате при разумном времени обработки реакции в твердой фазе не проходят до конца. В результате после компактирования образуются промежуточные неустойчивые структуры, в которых присутст-вуют оксиды матричного металла, растворенные в матрице активные к ки-слороду металлы, оксиды матричного металла, покрытые оксидами типа А12О3. Все это приводит к тому, что набор физико-механических свойств по-лученных материалов неоптимален, особенно если от материалов требуется жаропрочность. В настоящей работе исследовалась возможность дополни-тельного синтеза нанодисперсных фаз с одновременной «очисткой» матрицы от растворенных элементов за счет использования низкотемпературного внутреннего твердофазного окисления-восстановления. При этом источником внутреннего кислорода являются оксиды матричного металла, а их восстано-вителем является высокодисперсный углерод. Исследования проводились на примере материалов на основе железа и меди как наиболее распространенных в технике, а также потому, что эти элементы существенно по-разному ведут себя по отношению к углероду. На рис. 1 приведена твердость и электропро-водимость дисперсно-упрочненной меди, полученной из исходных составов согласно табл. 1.

Реакционный размол осуществлялся в высокоэнергетическом аттриторе с удельной энергией 2,5 квч на 1 кг композиции. Гранулы, полученные в ре-зультате реакционного размола состава № 1, подвергались отжигу. После от-жига гранулы в холодном состоянии прессовались в брикеты, брикеты нагре-вались в нейтральной среде и подвергались горячей экструзии в пруток диа-метром 22 мм при степени обжатия (отношение площадей брикета и прутка) равной 10.

Гранулы, полученные в результате реакционного размола состава № 2, отжигу не подвергались и перерабатывались в прутки аналогично гранулам состава № 1.


138

Рис. 1 Твердость и электропроводность образцов при различном времени реакционного размола: 1–2 – твердость; 3–4 – электропроводность;

1–3 – состав № 1; 2–4 – состав № 2

Таблица 1 Исходный состав композиций на основе меди

Содержание компонентов (% масс) Компоненты

Состав № 1 Состав № 2 1. Графит 0,25 0,25 2. Порошок алюминия 0,5 0,5 3. Порошок оксида (II) меди согласно [4] – 4. Порошок меди ПМС-1 остальное остальное Итого 100 100

В табл. 2 приведены данные по изменению химического состава компо-

зиции № 1, прошедшей реакционный размол в течение 60 мин в зависимости от времени отжига.

Таблица 2

Изменение массы, потеря массы при отжиге в водороде и содержание углерода в грануляте состава № 1 после различного времени отжига

Время изотермической выдержки, чХарактеристики гранул после отжига

1 2 3 4 5 1. Изменение массы по отношению к исходной

100m

m

0,12 0,28 0,36 0,44 0,44

2. Потеря массы при отжиге в водороде 0,45 0,34 0,13 0,05 0,05 3. Содержание углерода, % масс 0,17 0,14 0,10 0,08 0,08

Из приведенных на рис. 1 и в табл. 2 данных следует, что отжиг компо-

зиций после реакционного размола существенно влияет на свойства, особен-но на электропроводность, которая очень чувствительна к чистоте матрично-го металла. При отжиге происходит окончательное окисление алюминия и


139

одновременное восстановление оксида меди высокодисперсным углеродом. Структура материала, подвергнутого отжигу, представляет собой медную матрицу с размером зерен 150…300 нм с расположенными по границам включениями γ-Al2O4 размерами 30…60 нм (рис. 2).

Рис. 2 Типичная структура материала на основе меди (×100000) В табл. 3 приведены свойства одного из материалов в сравнении с хром-

циркониевой бронзой Бр.ХЦр.

Таблица 3 Основные физико-механические свойства материала, получаемого с применением реакционного размола

и углеродного восстановления Cu–CuO–Al–C

Характеристики материалов при 20 °С Разработанный

(патент РФ № 2195394)Бр.ХЦр

1. Основа материала Сu Сu 2. Упрочняющая фаза А12О3, С Сг, Zr 3. Плотность, кг/м3 8550 8900 4. Твердость, HRB, не менее 74 82 5. Относительная электропроводность, % JACS 84 74 6. Предел прочности при растяжении, МПа 500 490 7. Относительное удлинение, % 15 15 8. Температура рекристаллизации, °С 860 500

Созданные на основе изложенных выше технологических принципов

материалы уже находят промышленное применение, в том числе и за рубе-жом. Основным преимуществом указанных материалов является их высокая жаропрочность. Это материалы для токосъемных элементов высокоскорост-ных электропоездов, разрывные электроконтакты, электроды для сварочного инструмента, износостойкие детали погружных насосов, детали демпфирую-щих устройств, детали клапанного узла автомобилей. Обзоры некоторых об-ластей применения материалов приведены в работах [5, 7–9].


140

В городе Йошкар-Оле на ООО «Завод «Купол» создано опытное произ-водство объемных нанокристаллических материалов (рис. 3). Опыт, получен-ный при эксплуатации этого производства, позволяет ставить задачи создания промышленных комплексов оборудования и крупномасштабного производ-ства изделий из указанных материалов.

Рис. 3 Двумерная модель нанокристаллического материала


1. Суздалев , И . П . Нанотехнология: физикохимия нанокластеров, наноструктур и наноматериалов / И. П. Суздалев. – М. : КомКнига, 2006. – 592 с.

2. Андриевский , Р . А . Наноструктурные материалы : учебное пособие для сту-дентов высш. учеб. заведений / Р. А. Андриевский, А. В. Рагуля. – М. : Изд. центр «Академия», 2005. – 192 с.

3. Козлов , К . А . Деформационно-индуцированные структурно-фазовые перехо-ды в системах «оксид железа – металл/сплав» при измельчении в шаровой мель-нице / К. А. Козлов, А. В. Литвинов, В. А. Шабашов [и др.] // Дислокационная структура и механические свойства металлов и сплавов «ДСМСМС-208» : мате-риалы XI Международной конференции (Екатеринбург, 10–14 апреля 2008 г.). – Екатеринбург, 2008. – С. 165–166.

4. Патент РФ 2195394. Дисперсно-упрочненный композиционный материал для элек-тродов контактной сварки / Шалунов Е. П., Матросов А. Л., Довыденков В. А., Симонов B. C., Липатов Я. М. Заявл. 2.02.2001 ; Опубл. 27.12.2002. – С. 8.

5. Довыденков , В . А . Получение композитов на основе меди механическим легированием. Опыт реальной технологии / В. А. Довыденков, B. C. Симонов // Новейшие технологии в порошковой металлургии и керамике. – Киев, 2003. – С. 101–102.

6. Dovydenkov, V. A. Granule formation kinetics in the process of mechanical alloy-ing and their influence upon the properties of materials Cu-Al-O-C and Cu-Ti-C-O / V. A. Dovydenkov, V. S. Simonov, E. P. Shalunov, M. V. Yarmolyk // Proc. of the PM. 2004. World congress. – Vienna. – 2004. – V. 1. – Р. 177–180.

7. Довыденков , В . А . Порошковая металлургия как метод изучения объемных нанокристаллических материалов / В. А. Довыденков // Новые материалы и изде-лия из металлических порошков. Технология. Производство. Применение (ТПП-ПМ 2008) : материалы докладов научно-практ. семинара (Йошкар-Ола, 17–19 ию-ня 2008 г.). – Йошкар-Ола, 2008. – С. 22–28.


141

8. Шалунов , Е . П . Нанокомпозиционные материалы ДИСКОМ® для электриче-ских контактов сильноточной аппаратуры / Е. П. Шалунов, И. С. Гершман, А. Л. Матросов [и др.] // Новые материалы и изделия из металлических порошков. Технология. Производство. Применение (ТПП-ПМ 2008) : материалы докладов научно-практического семинара (Йошкар-Ола, 17–19 июня 2008 г.). – Йошкар-Ола, 2008. – С. 29–32.

9. Шалунов , Е . П . Высокоресурсные электроды контактной сварки из медных композиционных материалов с нанодисперсными упрочняющими фазами / Е. П. Шалунов, В. А. Довыденков // Электрические контакты и электроды : труды Института проблем материаловедения НАН Украины. – Киев, 2004. – С. 190–201.

Довыденков Владислав Андреевич кандидат технических наук, Президент ЗАО «Завод металлокерамических материалов «Метма» (респ. Марий Эл, г. Йошкар-Ола)

Dovydenkov Vladislav Andreevich Candidate of engineering sciences, president of joint-stock company «Cermet materials factory «Metma» (Mari El rep., Yoshkar Ola)

E-mail: [email protected] Ярмолык Милана Владимировна инженер-технолог, ЗАО «Завод металлокерамических материалов «Метма» (респ. Марий Эл, г. Йошкар-Ола)

Yarmolyk Milana Vladimirovna Mechanical engineer, joint-stock company «Cermet materials factory «Metma» (Mari El rep., Yoshkar Ola)

E-mail: [email protected]. Буев Андрей Романович доктор технических наук, профессор, декан физико-математического факультета, Марийский государственный университет (респ. Марий Эл, г. Йошкар-Ола)

Buyev Andrey Romanovich Doctor of engineering sciences, professor, dean of physico-mathematical department, Mari State University (Mari El rep., Yoshkar Ola)

E-mail: [email protected] Леухин Александр Викторович кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой общей физики, Марийский государственный университет (респ. Марий Эл, г. Йошкар-Ола)

Leukhin Aleksandr Viktorovich Candidate of physico-mathematical sciences, head of sub-department of general physics, Mari State University (Mari El rep., Yoshkar Ola)

E-mail: [email protected]. Сазонов Андрей Рудольфович ведущий специалист, кафедра общей физики, Марийский государственный университет (респ. Марий Эл, г. Йошкар-Ола)

Sazonov Andrey Rudolfovich Senior staff, sub-department of physics, Mari State University (Mari El rep., Yoshkar Ola)

e-mail: [email protected].


142

УДК 538.911

Довыденков, В. А. Нанокристаллические материалы с термически устойчивой струк-

турой / В. А. Довыденков, М. В. Ярмолык, А. Р. Буев, А. В. Леухин, А. Р. Са-зонов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (10). – С. 136–142.

№ 4, 2008 Технические науки. Сведения об авторах

143

Вниманию авторов!

Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.

Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его стра-ницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области мате-матики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.

Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других журналах, редколлегией не рассматриваются.

Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использовани-ем текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.

Необходимо представить статью в электронном виде ([email protected], дис-кета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.

Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электрон-ном виде – RTF.

Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннота-цией и ключевыми словами на русском и английском языках.

Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением 300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии 0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.

Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элемен-тов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в ри-сунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием шрифтов Symbol).

В списке литературы нумерация источников должна соответствовать очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в квадратных скобках. В списке указывается:

для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство, год издания, том, количество страниц;

для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора, название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, вы-пуск, страницы;

для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, изда-тельство, год, страницы.

В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках ко-торой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.

К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетно-го листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень, ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.

Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается. Рукопись, полученная редакцией, не возвращается. Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную прав-

ку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.

Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований, к рассмотрению не принимаются.


144

Уважаемые читатели!

Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия выс-ших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки» рекомендуем вам оформить подписку.

Журнал выходит 4 раза в год по тематике: • математика • физика • механика

Стоимость одного номера журнала – 250 руб. 00 коп. Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить

заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 56-34-96, тел.: 36-82-06, 56-47-33; Е-mail: [email protected]

Подписку на второе полугодие 2010 г. можно также оформить по каталогу агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы» тематический раздел «Известия выс-ших учебных заведений». Подписной индекс – 36949.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

ЗАЯВКА

Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2010 г.

№ 1 – ______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.

Наименование организации (полное) __________________________________

__________________________________________________________________

ИНН ___________________________ КПП _____________________________

Почтовый индекс __________________________________________________

Республика, край, область____________________________________________

Город (населенный пункт) ___________________________________________

Улица ____________________________________ Дом____________________

Корпус __________________________ Офис ____________________________

ФИО ответственного ________________________________________________

Должность ________________________________________________________

Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail_____________________

Руководитель предприятия ____________________ ______________________ (подпись) (ФИО)

Дата «____» _________________ 2009 г.

Documents

izvuz_fmn_eng.pnzgu.ru · № 2 (10), 2009 Физико-математические науки. Математика 1 ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ