tangenten 3/2000 1

Når jeg med dette nummeret av TANGENTEN overtar ansvaret som redaktør, viljeg først takke Ole Einar Torkildsen for stor innsats gjennom 5 år. Han overtoketter Stieg Mellin-Olsen. Som fersk i redaksjonen kan det ikke ha vært en lett opp-gave å overta ansvaret. Tidsskriftet har gjennomgått en positiv utvikling de sisteårene. Nettet av skrivevillige forfattere har vokst. Abonnementstallene har steget ogsamarbeidet med LAMIS har vist seg som et heldig trekk for alle parter. En stortakk til Ole Einar!

Tingene ligger vel til rette når jeg nå overtar redaktørstolen. Jeg kommer inn iordnete forhold, noe som jeg takker min forgjenger for. Likevel ser jeg det er myeå ta fatt på.

· TANGENTEN åpner med et elevinnlegg. Vi får et innblikk i hvordan nyeevalueringsformer oppleves fra elevsiden. Mange skoler prøver ut nyeeksamensformer, og det er viktig at positive erfaringer bringes videre tilhele systemet.

· I dette nummeret ser vi på privatskoler i Norge som bl.a. utmerker seg gjen-nom et spesielt syn på matematikken. Steinerskolen og Montessoriskolen pre-senterer sine syn på faget. Vi kan se likhetstrekk med den offentlige skolensamtidig som der er forskjeller. Reformene på 80- og 90-tallet har muligensbidratt til å minke forskjellene.

· TANGENTEN går nye veier. Til neste nummer inviterer vi Signe Holm Knudtzonog Janne Fauskanger som gjesteredaktører. Temaet er «jenter og matematikk»,et område der forskning og forsøksvirksomhet vokser. Det blir viktig å holdetritt med utviklingen på denne fronten og å kunne sammenholde nyvinningermed våre egne erfaringer fra klasserommene.

· Diskusjonen om nye læreres matematikkunskaper som har vært tydelig i avi-sene og som har funnet sine nedslag i TANGENTEN er fortsatt levende. Myeav den bunner i forskjellige tolkninger av «matematikkens vesen». Vi ser klartat utviklingen i samfunnet krever forandringer i skolen og dermed også imatematikkundervisning. Dette rokker ved matematikkens vesen slik mangeser det.

Korden

nr300.p65 17.02.2008, 18:361

3/2000 tangenten2

· Matematikkåret 2000 har synliggjort faget i nyesammenhenger. TANGENTEN har tatt initia-tiv til et nordisk samarbeidsprosjekt. Felles-utgivelsen om matematikkundervisning i Nor-den vil foreligge i oktober. Alle våre abonnentervil få et eksemplar av boka som en liten 2000-årsgave.

Til slutt: Hvorfor vil noen drive et blad for mate-matikk i skolen? Kan ikke lærerne finne aktueltstoff på internettet? Er der ikke uhorvelige mengderav tilbud om undervisningsopplegg, oppgaver,rapporter og kopieringoriginaler tilgjengelige gjen-nom internett, skolenett og diskusjonsgrupper?Hvorfor da et tidsskrift i tillegg?

Etter min mening henger vår eksistensberetti-gelse sammen med kvalitet. Som redaksjon forsø-ker vi å arbeide fram et blad som virker til bevisst-gjøring og kvalitetsheving. Vi vil at TANGENTENskal være noe annet enn det en kan få gjennom søki en hvilken som helst søkemotor. Samtidig som vihåper på å inspirere leserne, vil vi kanskje sparedem for arbeid og frustrasjon som søk på nettetkan medføre. Det er klart for oss at TANGEN-TEN må bli enda mer aktuell og treffe våre leserepå hjemmebane.

Illustratøren vår har på omslagssiden latt seg inspi-rere av sommerens fotballfester. Da landslaget ikkekom så langt som forventet, begynte BjørgTronshart å studere andre spennende sider vedfotballens struktur. Her er mye artig matematikk åhente.

Redaktørskifte

nr300.p65 17.02.2008, 18:362

tangenten 3/2000 3

Eg går i klasse 10 på ungdomsskulen der vi nylegvar oppe i munnleg eksamen. Eg kom opp i matte.

Vi begynte tidleg med førebuingane, med valgav type eksamen, eventuell eksamenspartnar osv.Sjølv valgte eg og ein kamerat å gå opp saman etterklasseromsmodellen, der vi skulle gå opp samanmed tre andre grupper i faget vi ville få. Vi føre-budde oss på samarbeid gjennom fleire oppgåverog prosjekt i skuletida.

Då det begynte å nærma seg fekk vi vite meirom måten å ha klasseromsmodellen. Vi fekk vitaat vi hadde ei viss tid til å førebu oss om eit spesi-elt emne før vi vart spurde. Vi hadde og ein litenprøveeksamen for å sjå litt korleis det føregjekk.

Då eg og kameraten min fekk vite at vi haddekome opp i matte, vart vi fortald om kva som varspesielt med det, deriblant at vi fekk utdelt eit emneog opplysninger for så å kunne lage og løyse eigneoppgåver. Dermed var det klart for øvinga. Vi fekkein lesedag før sjølve eksamen, der eg og kamera-ten min øvde oss på å lage eigne oppgåver omreise. Vi fann ut omtrent kor mykje det kostar å bupå hotell og å ete på ei reise til ein tilfeldig plass.

På eksamensdagen fekk eg meg ei positiv over-rasking. I staden for å få ei viss tid til å lageoppgåver, kom faglærar og eksaminator rundt frågruppe til gruppe og stilte spørsmål og ba oss for-klare kva vi hadde kome fram til, kva vi holdt påmed osv. Eg meinte dette letta opp på presset oggjorde det letteare å konsentrere seg . Eg veit ikkjekorleis det var for andre, men eg likte denneeksamensforma. Uansett, vi starta med å trekke eioppgåve til kvar gruppe. Vi fekk overskrifta «EM ifotball» og informasjon om mål på fotballbana,

Erling Rangnes

Klasseromsmodellen –munnleg eksamen for einungdomsskoleelev

lagoppsetting, bilettprisar til fotballkampane, va-luta, flybilettprisar og hotellkostnader. Vi lagdeførst eit tankekart om kva oppgåver det varmogleg å lage. Kameraten min valgte å ta areala påfotballbana først medan eg fordreiv tida med åfinne ut kor mykje det ville koste for ein familie påto vaksne og to barn å reise til Amsterdam, verader i fem dagar og sjå to kampar. Deretter rekna egalt, bortsett frå buss og flykostnader, om til gylden,og fekk dermed inn valuta og. Vi fekk dessutanfleire utfordringar frå sensor. Vi var innom tids-rekning og sannsynsrekning også. Oppgåvene varikkje altfor vanskelege, det verka som vanskegradenvart tilpassa ut frå kva vi fekk til, og vi gjorde det vikunne for å svare.

Det var få av oss som brukte klasseroms-modellen som fekk lågare karakter i matte munn-leg eksamen enn det vi hadde i standpunkt. Fleireav oss, deriblant eg sjølv fekk ein karakter overstandpunkt. Det kan kanskje ha noko med at stem-ninga var mykje lettare enn eg forventa. Eg fekkriktignok jernteppe eit par gonger, men kom alltidinn i nærleiken av riktig svar. Då vi var ferdige medalle oppgåvene, spurde sensor om kva karakter vitrudde vi fortende. Vi vart sende ut på gongen ogtatt inn igjen ein etter ein for å få vite karakteren vår.Det verka som om dei fleste var fornøyde.

nr300.p65 17.02.2008, 18:363

3/2000 tangenten4

Etter ca. 20 år i vanlig skole, på barnetrinn ogungdomstrinn, har jeg de siste tre årene arbeidetved Jareteigen Montessori skole i Tønsberg. Jeghar lest mye om Montessoris prinsipper, og jeghar gode kolleger som er velvillige veiledere i detdaglige arbeidet. Jeg har imidlertid ikke tatt noenetterutdanning i Montessori-metoden. Derfor ermye av det jeg skriver hentet fra vår fagplan, somer forfattet av Carla Foster. Hun har lang erfaringfra Montessori-skoler i USA og i Norge. Hun harjobbet ved Jareteigen i 6 år.

Montessori-metoden er basert på det med-fødte eller iboende potensialet mennesker har formatematikk, identifisert som «det matematiskesinn», som består av evnen til kreativ tenkning ogevnen til abstrakt tenkning. Dette potensialet må, ifølge Montessori, utdannes og utvikles. Siden bar-net har en medfødt evne til å lære og forstå mate-matikk, gir vi ikke alle regler, men hjelper barnet tilå finne disse selv, gjennom arbeid med konkretmateriell. Gjennom dette arbeidet vil barnet få et«matematisk redskap» til å forstå verden rundt seg.

En ikke-lineær metode

Montessori-metoden kan kalles ikke-lineær. Bar-net gis muligheten til å lære utfra sine sensitive pe-rioder. Dette vil si at læreren tilpasser sine presenta-sjoner og valg av stoff i forhold til hvilket nivå detenkelte barn er på. Gjennom observasjon fantMontessori ut at man kan undervise barn helt nedi 3–4 års alder i matematikk, dersom det blir gjortpå barnets egne premisser. Dette har jeg sett fun-gere i vår barnehage på Jareteigen. Barna leker segtil matematikk, med konkret materiell som er til-

Lisbet Karlsen

Matematikk i etMontessori-miljø

passet hver enkelts nivå.For at eleven skal få et best mulig grunnlag for

sin matematikkforståelse, gis presentasjoner i be-slektede emner når det er naturlig at de kommerinn. Dette kan illustreres f. eks. ved emnet multipli-kasjon, som kan sees som en spesiell form for ad-disjon. Når elevene i femårsalder har fått konseptetaddisjon, kan de utmerket godt bli presentert kon-septet multiplikasjon. Et annet eksempel er brøk iforhold til divisjon, faktorer osv.

Matematikk er et fag som forsterker den evnentil eksakthet og nøyaktighet som er typisk for etbarns psyke. Derfor konstruerte Montessori trestadier i undervisningen basert på dette:

1. Telling i desimalsystemet, først konkret medmateriell, så abstrakt.

2. Læring av fakta, memorering, alle muligekombinasjoner innenfor de fire regningsart-ene.

3. Reglene for vårt titallssystem, plassverdi/hierarki osv, først konkret med materiell, såabstrakt.

Geometri

Når det gjelder geometri, er dette et eget kapittel iMontessori-metoden. Geometri er et viktig fagsom hjelper elevene til å skape seg et bilde av denverden de er en del av, og den matematiske verdende skal bli seg bevisst gjennom arbeidet i skolen. Vier omgitt av geometriske former. Barnet er vant tilgeometriske former helt fra starten av sitt liv, ogdet vil derfor være naturlig å jobbe med dem fratidlige alderstrinn.

nr300.p65 17.02.2008, 18:364

tangenten 3/2000 5

Materiellet i geometri brukes også for å opp-øve resonneringsevne og logikk. Elevene vil for ek-sempel kunne bevise for seg selv at en halvpartsom ser ut som firkant er like stor som en halvpartsom ser ut som en trekant, fordi dette materiellet erbygget opp av småbiter som kan flyttes på. Vi haret utmerket materiell som viser Pytagoras’ setning.Ved å flytte på små biter, ser elevene tydelig sam-menhengen. Geometrimateriellet hjelper også elev-ene til å se logikken i oppbyggingen av formler.

I barnehagen er arbeidet med geometri av enubevisst art. Barna gjør oppdagelser og lagrer dissegjennom repetisjon av aktivitetene. Barna vil over-føre det de har gjort med materiellet til sine omgi-velser og søke å finne de samme relasjoner der.Montessori kaller dette indirekte forberedelser forbarnet, forberedelser til den undervisning de sidenvil få i skolen. Barna vil da gjenkjenne de geome-triske emnene, faget er ikke helt nytt. I skolen vilundervisningen bli av mer vitenskapelig art. Arbei-det med geometri vil gi elevene en mer og mer de-taljert kunnskap om emnene man tar for seg, et-tersom undervisningen har form av et spiral-prinsipp.

Bruk av visuelle og taktile sanser

Montessori-metoden er basert på bruk av konkretmateriell. De bruker sine visuelle og taktile sanser.Metoden er basert på at elevene skal gjøre oppda-gelser, finne regler og mønstre, men alt materiellblir introdusert av lærer før elevne kan gjøre brukav det selv. Størst utvalg av materiell har små-skolen. Her finnes flere typer materiell for hvertenkelt tema. Det gir variasjon, og det gir mulighetfor å finne et materiell som passer for den enkelte.Mye av materiellet kan brukes på flere plan, slik atnye presentasjoner kan føre eleven videre med detsamme, kjente materiellet.

Selvinstruerende materiell ogindividualisering

Materiellet er selvinstruerende og selvkontroller-ende etter at eleven har fått den første innføringen.Det er f. eks. basert på fargekoder for å hjelpe bar-net til å huske plasshierarkiet i desimalsystemet,samtidig som det gir gjenkjenning når nytt materi-

ell blir presentert. Fargekodene blir presentert forbarna allerede i barnehagen.

Gjennom bruk av forskjellig materiell oppnårelevene litt ulike tilnærmingsmåter til de ulike em-nene de holder på med, men prinsippet i materielleter likevel det samme. Materiellet hjelper barnet å nåabstraksjonsnivå, og når barnet har kommet dit,vil det forlate materiellet av seg selv. Dette vil selv-sagt variere svært fra elev til elev, også innenfor deulike emnene for den enkelte elev. Vi er innommange emner, og etter hvert som forståelsen økerhos eleven, gir læreren. «mer kjøtt på beina» –større utfordringer for eleven.

I storskolen, der jeg jobber, vil de aller flesteelevene jobbe uten materiell etter hvert. Vi har like-vel et utvalg av materiellet fra småskolen hos oss,slik at elevene kan gå tilbake til dette etter behov.

Læreren gir faglige presentasjoner til små grup-per av elever, der bruken av materiellet blir presen-tert. Elevene deltar svært aktivt, og presentasjonenehar ofte preg av en muntlig framstilling av mate-matiske emner, i tillegg til at elevene er medhjelperemed materiellet.

Elevene får fortløpende rettet de oppgavene dehar jobbet med etter en presentasjon. Dersom viser at eleven mangler den innsikt han/hun trengerfor å komme videre, gir vi heller en ny presenta-sjon, enn å fokusere på feilene.

I dette systemet passer det dårlig å følge en læ-rebok. Elevene jobber ofte med ulike temaer, utfraegne ønsker og behov. Ofte dukker det opp et be-hov for å lære noe spesielt for å komme videremed et tema.

I storskolen, særlig i 7. klasse, velger elevene istor grad selv hvilke temaer de ønsker å jobbe med.På dette trinnet har de fleste blitt flinke til å selvstudere utdrag fra fagplanen og se hva de trenger/mangler av kunnskap.

Selv om jeg mangler innsikt i bruken av altmateriellet, kan jeg i storskolen se resultatet av atelevene har fått arbeide med det i småskolen.Dessuten har jeg lært å bruke en del materiell. Detføles riktig og godt å få undervise barn i temaer deber om å bli undervist i. Det blir stadig lettere åjobbe uten lærebok. Vi rekker mye mer, synes jeg! Ide temaene der det ikke er naturlig å bruke konkret

(fortsetter side 11)

nr300.p65 17.02.2008, 18:365

3/2000 tangenten6

Erik Marstrander

Matematikk i steinerskolenAllment om matematikk i steinerskolen

Fagplanen i matematikk på steinerskolen er intimtforbundet med det spirituelle menneskesynet somskolen prøver å arbeide ut ifra. Slik som alle andrefag på skolen er også matematikk et fag som søkesforstått som et pedagogisk virkemiddel i barnetsutvikling. Det står ikke i motsetning til det rettsligekrav barnets selv har til skolen om kunnskap ogferdigheter, men fører til en annen læreplan. Opp-arbeidelse av kunnskaper og regneferdigheter, entendet skjer ved aktivitet, selvforståelse eller memore-ring representerer pedagogiske virkemidler. Vi kanderfor vanskelig komme bort fra at faginnhold,innlæringsform, egen bearbeidelse og testing bådeenkeltvis og samlet representerer et syn på men-nesket som blir formidlet til elevene sammen medstoffet. Det ville være vanskelig å forsvare at detfinns en objektiv matematikkundervisning. Ikke såå forstå at matematikken er subjektiv eller under-lagt personlige meninger, men måten man under-viser på er ikke objektiv. All undervisning uttaler etmenneskesyn og derved også et livssyn.

Allerede en så enkelt ting som å telle represente-rer i så måte et tankekors. Vi er alle vant til å telle1, 2, 3, 4, … osv, og samtidig forestille oss at vi leg-ger en til hver gang. Derfor er 4 større enn 3, 3 erstørre enn 2, 2 er større enn 1, som er den minste.

Man assosierer med det gjenstandsmessige, ogtenker seg at menneskenes evne til å telle er et pro-dukt av at de en gang i tiden satt å lekte seg medsmåstein eller bønner. Det ligger et materialistisklivssyn til grunn for slike assosiasjoner. Ser vi deri-mot på organismer, både i planteriket og i dyreri-ket, telles det på en helt annen måte. Sjøstjernen tel-ler til 5 ved å dele seg i 5 deler, agurken teller til 3ved å dele frukten i tre frøkamre og liljen teller til 6ved å sette ut seks kronblader i blomsten. I naturenfinner det ikke sted en kummulativ telling, men endivitiv, ikke en oppsamling, men en oppdeling.

Biologene arbeider i vår tid med å forstå detoverordete formprinsipp som ligger til grunn forslike dannelser. Man kan bare registrere at sjø-stjerneorganismen «vet» at den skal dele seg i 5lenge før den har møtt verdenen. Selv oppdagelsenav det biologiske prinsipp, enten det dreier seg omgener, aminosyrer eller andre kjemiske forbindel-ser, vil ikke rokke ved at naturen faktisk deler seg pådenne måten. I motsetning til en kvantitativ tellingkunne man være fristet til å kalle dette en kvalitativtelling. Det ligger en kvalitet, dvs en egenart, i hånd-ens fem fingre. I den kvalitative telling er derfor 1det største tallet, mens 4 er mindre.

nr300.p65 17.02.2008, 18:366

tangenten 3/2000 7

Den kvalitative opplevelse av verden liggerbarnets bevissthet meget nær. Derfor introduserestellingen også på den kvalitative måten, dvs oppde-ling av enheten. Et tau blir delt i to, tre og fire, ensirkel blir delt i tre og fire som igjen gir en trekantog en firkant. Slik bygges den første tallforståelseopp rundt tallene som en kvalitet i seg selv, ikke re-sultat av en oppsamling. For barna synes dette åvære helt uproblematisk, ja mer enn det: Det synessom en riktig fremstillingsform og et riktig inn-hold. Verden er meningsfull, også tallene! For ossvoksne derimot rører slike tanker ved de mestdyptgående problemstillinger som europeisk kul-tur har forholdt seg til: Har gjenstandene i verden,enten det dreier seg om et dyr eller tallet 12 enegenart utover det fysiske materiale som er synlig?Det toppet seg i den store universaliastriden på1200-tallet der nominalistene sto steilt mot realis-tene. Som kjent lever vi i en tid som er sterkt influ-ert av nominalismen, dvs det syn at vårt språk ikkeuttaler noe om tingenes realitet. De er snarere til-feldige merkelapper som vi mennesker i tidens løphar satt på dem. I tråd med det kan man spørre,slik Kant gjorde, om selve tenkningen kan utsi noensannhet om naturens gjenstander. Vi kjenner hanskonklusjoner, noe som også har fått sine konse-kvenser.

Disse merkesteinene i vår kulturhistorie pekerpå et problemkompleks som har fått et bestemtutfall og som er videreført med en indre konse-kvens til vår tids syn på mennesket: En vellykkettilfeldighet.

I en skole er bevisstgjøringen av dette spørsmå-let sentralt. Det å oppdra et menneske må hengesammen med ens tro og tillit til at det enkelte men-neske kan utvikle seg selv, og metoden må under-støtte disse tankene. Mennesket er verdens mål ogmening kan man stille opp som en antitese.Steinerskolen er derfor ikke oppstått for å ta håndom mistilpassede barn eller introdusere en kunst-nerisk anlagt pedagogikk. Den er oppstått dermennesker vil arbeide med barn ut ifra et spiritueltmenneskesyn. I vår sammenheng vil det si å stilleseg inn i realistenes syn på språket: Det utsier ensannhet om tingenes realitet og at tenkningen kanerkjenne verdens kvaliteter. Det fører også til atbarnets bevissthet er en realitet som det er riktig åta på alvor og arbeide konkret ut ifra.

De fire første skoleårene

Nettopp barnets bevissthet blir i matematikkfageten sentral faktor for forståelsen av læreplanen. El-ler for å presisere: Ikke bare bevisstheten generelt,men bevissthetsutviklingen spesielt. I de 4–5 førsteskoleårene øves elevene i formtegning. Det er enform for linjegeometri, der linjene knyttes sammentil symmetriske former på mange forskjellige vis.

Figurene på denne og neste side viser noen ek-sempler. Vi ønsker å vekke bevissthet om akse-symmetri ved at barna føyer til den ene manglendehalvdelen, fordi det er et hovedelement i organise-ringen av deres egen kropp.

I enklere former som forvandles skisseres or-ganiske formdannelser, og i flettinger utfordres detintellektuelle moment, både gjennom linjeføringenog hvordan de enkelte linjene går over og underhverandre.

Dette er geometri i det 1-dimensjonale rom.Først etter at barnets bevissthetutvikling har gjen-nomgått en eksternalisering i 9–10-års alderen blirbarna introdusert til den 2-dimensjonale geome-trien. Interessant nok kan man finne et tilsvarende

nr300.p65 17.02.2008, 18:367

3/2000 tangenten8

stadium i menneskets historie i megalittkulturen,da slike linjegeometriske mønstre var vanlig. En-kelte steder ble denne kulturen beholdt helt opp tilsiste tusenårsskiftet. Også tallfølger og den rytmeman musikalsk kan anskueliggjøre dem med liggerinn under disse aldertrinnene. Likeledes er sam-menfall av tallfølger i bestemte tall, noe som kandanne grunnlag for gangetabellene og fellesnevner,viktige øvingsområder. På barnetrinnet dreier detseg om å undervise i matematikk handlende eller

gjørende. Barn forstår med kroppen det voksneerkjenner med tankene. Derfor klapper, hopper,klipper og tegner man ikke i undervisningen fordibarna synes det er morsomt. Man gjør det fordibarnets erkjennelse ennå er knyttet sammen medkroppens organiske prosesser. Og da blir detmorsomt.

Midttrinnet

Når barna er mellom 9 og 10 år avløses dennebevissthetsformen av en begynnende erkjennelse avden ytre verdens forhold. Undervisningen fokuse-rer på de vanlige måleenhetene for lengde, vekt ogrommål. Først finner barna frem til egne måle-enheter, for eksempel tomme, favn, fot og kopp. Såintroduseres standardenhetene meter, kg og liter. I5.klasse introduseres barna så til brøken, urbildetpå at enheten er brutt i stykker. Ved enkle øvelserarbeides det i begynnelsen bare med stambrøkene,slik som ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ¹⁄₆, ¹⁄₈, ¹⁄₁₂. Også i denne sam-menheng er det interessant å legge merke til ategypterne arbeidet på en lignende måte. For barnablir den kulturhistoriske delen til en introduksjon,vel og merke ikke presentert som historisk passé,men som en realitet. Mange bruker anskuelige his-torier med kongeriker som blir oppdelt i 12, en deltil hver sønn, sammensluttet til større og mindrebrøkdeler osv. Videre anskueliggjøres brøkdeler påen rekke forskjellige måter. Man arbeider fra hel tildel, fra del til hel igjen og så det vanskeligste aspek-tet av brøken: Forholdet. Det som imidlertid er enavgjørende del av undervisningen er lærerens tilste-deværelse. Hun står frem for klassen uten lærebok,legger frem stoffet på sin måte og forholder segdirekte til barna. Gjennom aktivitet, også lærerens,blir tankene vekket. Brøkregningen gjennomarbei-des så i 5. og 6. klasse, slik at så å si alt er behand-let.

Eksternaliseringen av bevisstheten i 9–10-års-alderen blir naturlig videreført i undervisningengjennom desimaltall, som et stivnet brøksystem, tilprosentregning og renteregning. Som et sluttpro-dukt, men også som en port inn i ungdomstidendannes evnen til den abstrakte tanke i 12–13-års-alderen. Bevisstheten har trukket seg så langt til-bake fra verdens kvaliteter at mennesket kan opp-

nr300.p65 17.02.2008, 18:368

tangenten 3/2000 9

fatte sin egen tenkning. Vi kan se på et par eksem-pler hvordan innføringen gjøres.

Setter man opp en addisjon av fire like tall,f. eks:

3 + 3 + 3 + 3 =

kan man omdanne dette til et gangestykke:

3 + 3 + 3 + 3 = 4 · 3

Uansett hvilket tall man velger, så gjentar det seg:

17 + 17 + 17 + 17 = 4 · 176,1 + 6,1 + 6,1 + 6,1 = 4 · 6,1¹⁄₂ + ¹⁄₂ + ¹⁄₂ + ¹⁄₂ = 4 · ¹⁄₂

31,68 + 31,68 + 31,68 + 31,68 = 4 · 31,68

Tar man et eller annet tall a fire ganger, kan manskrive dette som et gangestykke: 4 · a eller 4a.

a + a + a + a = 4 · a = 4a

I samtale med klassen vil dette ikke være noe somlæreren presser frem, snarere noe elevene oppda-ger selv. I subtraksjon kan man sette opp den enklesannheten: Tar man et tall og trekker fra detsamme, får man null.

14 – 14 = 02,1 – 2,1 = 0156 – 156 = 0¹⁄₂ – ¹⁄₂ = 0a – a = 0

Kjente regneregler, slik som brøkregler, kan ogsåbearbeides på lignende måte.

Andre øvelser retter seg mot naturlige tall.Hvordan uttrykker man algebraisk et naturlig tall?Jo, med bokstaven n. Velg et naturlig tall i tankene.Regn så ut hva n + 1 blir?, og hva blir 2n? Hva blirn – 2?

Har man arbeidet med de greske figurtallenepå et tidligere klassetrinn, kan man i 7.–8. klasse nåspørre seg hva slags tall kvadrattallene, rektangel-tallene og trekanttallene danner? Rektangelfigureneer:

• • • •• • • • • • •

• • • • • • • • •Nr 1 = 2 Nr 2 = 6 Nr 3 = 12

Vi ser at hvis n = 1, blir antallet 2, for n = 2 blirantallet 6 og for n = 3 blir antallet 12. Høyden eralltid en mindre enn lengden. På et så tidlig sta-dium kan man komme frem at tallene kan skrives:n · (n + 1).

Hva som her er tatt med som en kortfattet ek-sempel må selvfølgelig forstås som et arbeid i formav en dialog over lengre tid.

Ungdomstrinnet

På ungdomstrinnet har også geometrien en storplass. Her tas det sikte på å utvikle dømmekraften,dvs å integrere den abstrakte tenkningens tendenstil rigiditet inn i et sammenhengende tankemessighele. Til det egner geometrien seg meget godt. Medutgangspunkt i symmetri og sirkelkonstruksjonerutvikles nå grunnlaget for den greske geometrien.Den imøtekommer den strenge forstandskarak-teren i tenkningen, samtidig som man får utvikleten bevegelighet i forestillinger og begreper ved atproblemstillinger kan ses og løses på flere forskjel-lige måter. Her er trekant- og firkantkonstruksjonerkjente elementer, likeledes Pythagoras’ flatesetning.Mindre kjent er nok de linjere transformasjoner oglinjegeometrien. Både aksesymmetri og forflytninggjennomgås; her skal jeg trekke frem punkt-symmetrien, eller forstørring og forminsking somden også ofte kalles.

På spørsmål om hvordan man kan gjøre tre-kanten ABC dobbelt så stor (ikke dobling av area-let), finner man fort frem til å forlenge to av sidenetil dobbel lengde. Det kan man gjøre med alle trevalg av sider.

Etter å ha bevist at side DE er parallell til BC og atden også må være dobbelt så lang som BC, kanman spørre om ikke det er mulig å forstørre ABC,slik at den nye siden stikker ut like mye på begge si-der av AB.

nr300.p65 17.02.2008, 18:369

3/2000 tangenten10

Her oppdager vi at punktene F, C og midt-punktet M på AB ligger på en linje. Er det sikkert,og er DF dobbelt så lang som AC? Mange varia-sjoner av denne konstruksjonen kan gjøres. Vioppdager at det hele tiden er ett punkt som liggerstille mens de andre punktene forstørres opp. Kannå dette punktet ligge midt inne i trekanten? Kan viplassere S vilkårlig inne i trekanten?

Ja, kan man plassere det faste punktet til ogmed utenfor trekant ABC? Når vi så fordoblerABC til DEF, får vi frem en slik konstruksjon:

Nå kan man gå videre til punktsymmetri ogsentralperspektivet. Viktig i vår sammenheng er atelevene har grepet det avgjørende med det fastepunktet S selv. De har hatt opplevelsen av at de selvhar oppdaget det.

I de første regnetimene i barneskolen ble barnaintrodusert til den rette og krumme linje som mot-

poler. I ungdomstiden utvikles nå følelsen forflateforvandlinger, som egentlig hele den greskegeometrien dreier seg om. Hvordan kan mandanne flater?

Enten kan man la en flate vokse fra et sentrumutover eller kan man la formen dannes av en be-grensning utenfra. Enten fylles formen ut av punk-ter innenfra eller begrenses den av linjer utenfra.En første øvelse er vist ovenfor og en mer avansertform nedenfor.

Slike øvelser danner sammen med de linjeretransformasjonene grunnlaget for den projektivegeometrien i 2. og 3. vg. som jeg skal komme til-

nr300.p65 17.02.2008, 18:3610

tangenten 3/2000 11

bake til i et senere nummer av Tangenten.På ungdomstrinnet introduseres og øves også

potens og rot, negative tall og parenteser samt lik-ninger og volumregning. Også på disse områdeneprøver vi å arbeide slik at elevene oppdager realite-tene selv. Men det er også oppgaveløsning og regu-lær trening i faglig selvstendighet som på mangemåter ligner den offentlige skoles undervisning. Idet hele tatt likner matematikkundervisningen pådette trinnet både i form og innhold på mangemåter den offentlige skoles læreplan. Det er ikke til-feldig. På dette stadium i menneskets bevissthetsut-vikling dreier det seg om å vekke forstandskreftenetil aktivitet, ikke bare reproduserende, men ska-pende aktivitet. Her har lærere i offentlig skole ogsteinerskolen sammenfallende opplevelse av bar-nets bevissthet og pedagogiske mål for undervis-ningen. Dette gjelder kanskje ikke så sterkt for10.klasse. Her vurderer steinerskolen at barnetsbevisstutvikling gjør et nytt sprang, nå inn i det meridemessige. Undervisningen dreier seg derfor ogsåmer i den retning. Vi ser på tallsystemene, bådehistorisk fra assyrisk, egyptisk og romersk tid ogkonstruerer gjerne våre egne femtallsystemer osv.Spesielt interessant er det å få frem at brøkenesdesimalekvivalens er et uttrykk for tallsystemet,

materiell i storskolen, kan vi som regel bruke ver-den rundt oss. Vi lager ofte oppgaver sammen,elever og lærere, oppgaver elevene jobber videremed etter en presentasjon.

Det er ikke foretatt noen forskning på hvordanelevene klarer seg i vanlig ungdomsskole etter årenepå Jareteigen Montessori skole. De få elevene jeghar snakket med sier de klarer seg svært bra. Jegser i hvert fall mange elever med tro på at de mes-trer faget matematikk.

ikke for tallet selv. 1/7 er jo lik 0,142857… i 10-tall-systemet, mens det i 7-tallsystemet er lik 1/10 = 0,1.Det er forskjell på begrepet 7 og tallet 7. I et størreperspektiv prøver vi å arbeide frem forskjellen mel-lom begrep og forestilling. Dette møtte barna alle-rede da brøken ble introdusert. En og samme verdikan som kjent uttrykkes med en rekke forskjelligebrøker. I 10. klasse arbeides det slik at dette skal blibevisst. I historie arbeides det med ideer ogsamfunnsdannelse, kunsthistorie og biografier. Imatematikken introduseres enkel permutasjon,kombinatorikk og sannsynlighetsregning ut fra detsamme pedagogiske mål. På den måten prøver viogså i matematikken å møte den idealitet somkommer frem hos mange unge på dette klassetrin-net. Terningkasting er alltid meget populært. En-kelte klasser kan drive det til serier med 3000 kastfor å få frem de store talls lov. Men da går det ogsåmed en dobbelttime. Sammen med proporsjonali-tet i geometrien prøver man å differensiere begre-pene. Stoffet i 10.klasse er derfor lagt opp megetutfordrende tankemessig.

Artikkelen blir fortsatt i et senere nummer av Tan-genten.

(fortsatt fra side 5)

nr300.p65 17.02.2008, 18:3611

3/2000 tangenten12

I følge L97 skal kalkulatoren brukes mer og tidli-gere i skolen enn før. Det var stor motstand motkalkulatoren da den opprinnelig ble innført i sko-len. Tydelig kom dette til uttrykk da den ble obliga-torisk på ungdomstrinnet. Mange var redd for atelevene ikke skulle lære å regne selv. Kritikken harvært vesentlig mindre ved innføringen av L97, endakalkulatoren nå skal brukes fra småskoletrinnet ogat eksamen i 10. klasse skal foregå med bruk avkalkulator i hele oppgavesettet.

Hva brukes kalkulatoren til i klasserommene? Jeghar spurt lærere på kurs og mange svarer at debruker kalkulator der det er et kalkulatorsymbol ilæreboka. I en travel hverdag kan det hende at detstopper der. Noen lærebøker er imidlertid kreativei sitt oppgavevalg og har stor variasjon i tilfangetav oppgaver.

Uavhengig av læreverkenes presentasjon vil jegnedenfor presentere noen eksempler som kan løsesved kalkulator og som kan gi økt tallinnsikt ogsamtidig være interessante å holde på med.

Eksempel 1

I L97 for 5. klasse under Tall står det: «elevene skal… undersøke lommeregnerens muligheter og be-grensninger.»

Regneprioritet er et av områdene som gir tyde-lige begrensninger for kalkulatoren. I student-grupper har utregning av uttrykket: 2 + 3 × 5 gittforskjellig svar alt etter hvilken kalkulator de har.Hvordan kalkulatoren regner og dermed hvilkenstrategi man må bruke for at kalkulatoren skal gidet svaret man ønsker er innfallsvinkler til å under-

søke muligheter og begrensninger. Interessant mådet derfor være å la elever lage oppgaver til hveran-dre for deretter å regne dem ut ved hjelp av kalku-latoren. En måte å rette dette mot matematikk idagliglivet på er å sette dette i en praktisk sammen-heng ved å la elevene lage regnefortellinger til styk-kene sine.

Eksempel 2

Undersøkelser av tall.På mange klassetrinn kan eksemplene under

være en utfordring for undersøkelse av tall. Påhøyere trinn kan oppgavene utvides til mer for-melle begrunnelser for svarene.

Bruk sifferne 1, 2, 3 og 4 og løs oppgavene un-der. Alle sifferne skal brukes en gang i hvert stykke.Gjør svarene så store som mulig:

Bruk de samme sifferne som over, men gjør

svarene så små som mulig. Tilsvarende kan gjøresmed 6 bokser isteden for 4.

Hans-Jørgen Brucker

Bruk av kalkulator

+ = 55+ = 64– = 11¥ = 448

+–¥:

nr300.p65 17.02.2008, 18:3612

tangenten 3/2000 13

Eksempel 3

Kjeder.Start med et tall mindre enn 40. Multipliser

enerne med 4 og legg til tierne. Gjenta dette flereganger.

Eks: Velger 32. Ganger 2 med 4 og legger til 3,får da 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11.

Gjentar dette og får:1 × 4 + 1 = 5, deretter 5 × 4 + 0 = 20, deretter0 × 4 + 2 = 2, deretter 2 × 4 + 0 = 8, deretter8 × 4 + 0 = 32, deretter 2 × 4 + 3 = 11 osv.Ser at tallene gjentas, prøv f. eks. å starte

med 4. Hva skjer da?Prøv andre tall under 40.

Eksempel 4

Ødelagt kalkulator.Hvis kalkulatoren din er ødelagt, slik at du ikke

kan bruke gangetegnet, hvordan ville du da regneut 57 × 63?

Hva hvis tasten for 5-tallet var ødelagt?

Eksempel 5

Flere kjeder.Velg et tall. Hvis tallet er et partall, så halver det.

Hvis det er et oddetall, så gang det med 3 og legg til1. Gjenta dette mange ganger. Prøv med nye tall.Hva får du?

Eksempel 6

Fire på rad. Spill for to.Trykk 5 og gangetegn på kalkulatoren. Trykk

deretter inn et annet tall og så på likhetstegnet.Hvis svaret du nå får står i tabellen under, setter duet kryss på det tallet. Den første til å få 4 på radhar vunnet.

Eksempel 7

Partall.Trykk 2 + 2 =. Beholdt svaret og trykk + 2 =

gjentatte ganger. Fargelegg tallene som kommer påkalkulatoren i rutene under.

Oppgaven kan brukes for større tabell og sommønstre for gangetabellen.

Eksempel 8

Andre undersøkende oppgaver:a) Ta et tosifret tall, f. eks. 31. Bytt om sifrene,

dvs. 13. Finn differensen mellom tallene, dvs.31 – 13 = 18. Prøv med andre tall. Hvilketmønster finner du? Forklar resultatet.

b) Skriv ned tre tall etter hverandre, f. eks. 3, 4 og5. Ganger sammen det største og det minstetallet og gang det midterste tallet med seg selv.Finn differansen mellom svarene du fikk.Prøv igjen med andre tall som følger etterhverandre. Hvilket mønster finner du?Forklar resultatet.

c) i) Skriv ned tre tall etter hverandre, f. eks 5, 6og 7. Legg sammen tallene. Er summen deleligmed 3? Gjelder dette hver gang vi tar tre talletter hverandre? Forklar resultatet.ii) Prøv det samme med 4 tall etter hverandre.Forklar resultatet.iii) Prøv det samme med 5 tall etter hveran-dre. Forklar resultatet.

d) Regn ut:15873 × 7 =15873 × 14 =15873 × 54 =15873 × 45 =15873 × 28 =15873 × 63 =Hvilket mønster finner du? Forklar resultatet.

5 85 0 40 90 2010 30 98 110 45 6055 80 105 5 20 7565 50 120 25 35 11560 15 70 55 10 2025 60 15 35 70 100

1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36

nr300.p65 17.02.2008, 18:3613

3/2000 tangenten14

Ein god kollega på ein annan kant av landet ringjerav og til for å drøfta ulike spørsmål ho har fått fråelevane sine – elevar som kjem til henne fordi deihar vanskar av eitt eller anna slag. For ikkje lengesidan var problemstillinga slik: «Når vi deler 81 på3, då skriv vi 81 : 3 =, og så skriv vi 2 på tiarplasseni svaret. Men kvifor skriv vi det talet først? Og kor-leis veit vi at det er tiarplassen?»

Kva ligg bak slike spørsmål? Korleis vi kanhjelpa elevane å finna svar?

Det kan liggja nær å sukka over matematikk-undervisning som består i å læra borna algoritmerdei ikkje forstår. Kanskje hadde eleven vår forståttbetre om han hadde fått høve til å utforska ogfinna svar utan å bruka ein fast oppsett måte ågjera det på. I vårt tilfelle var spørsmålet gitt for åfå vita kvifor vi kan gjera det akkurat slik, og då erdet det eleven vår vil ha svar på.

Konkret materiell

Det vert ofte lettare for elevane å forstå om dei fårbruka konkret materiale. For å få tak i kva someigentleg skjer når 81 skal delast på tre er det formange born avgjerande over lenger tid å ha gjorterfaringar med å gruppera antal. Det er ogsåavgjerande å ha begrep om einarar og tiarar, einar-plass og tiarplass – generalisert på grunnlag avmange erfaringar med ulike slag einarar og tiarar.Det er lett å ty til pengar, det er noko born oftastkjenner frå dagleglivet. Skal dei kunna generalisera– oppdaga kva alle einarar er like i og kva alletiarar er like i, må dei ha arbeidd med einarar ogtiarar av mange slag. Då kan dei generalisera; eina-

Gunvor Sønnesyn

Ti delt på atten; korleis blirdet, og kvifor blir det slik?

rar er det vi tel ein om gongen, og tiarar det vi tel tiom gongen. Alt det er mogeleg å telja ein om gon-gen kan brukast som eksempel på einarar, og alt vikan telja ti om gongen kan brukast som tiarar.

Korleis veit vi kva som er tiarplassen?

Borna vil fort erfara at skal vi dela likt, er det lurt åstarta med den største eininga. I vårt tilfelle er dettiarane. Har vi åtte tiarar som skal delast på tre, såvert det to heile tiarar til kvar. Det skriv vi der vi harbestemt oss for å skriva svaret, så slepp vi å hugsadet mens vi arbeider vidare. Vi skriv kor mangetiarar det vart til kvar. Då avgjer vi med det sammekva som er tiarplassen. Den plassen der vi skrivantal tiarar vert tiarplassen, og så er i neste om-gang einarplassen gitt ut frå det. Har tre fått totiarar kvar, så har vi brukt seks, og har to att. Detkan vi skriva i eit rekneskap slik det er vanleg, ellerpå ein annan måte dersom det synest lettare.

To tiarar og ein einar som vi hadde frå før, detkan vi tenkja som 21 einarar. Vi kan gjera det syn-leg med å veksla kvar tiar i ti einarar. Då vert detikkje så vanskeleg å dela einarane i tre grupper.Kanskje kan eleven vår – lat oss kalla han Per –gangetabellen så godt at han veit at det vert sju tilkvar. Viss ikkje må han dela ut og telja.

2-talet står alt på tiarplassen i svaret, då måantal einarar stå på einarplassen, ein plass lenger tilhøgre. Dette siste er kanskje ikkje så lett – detforutset at Per har begrep om sifferet sin plass i ta-let som symbol for antal einarar, tiarar, hundrararosv.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3614

tangenten 3/2000 15

Går det an med 10:18?

Per hadde fleire spørsmål, han. Det neste var slik:«Korleis blir det når vi skal dela 10 på 18?» Vanlegprosedyre for ei slik utrekning er om lag slik:

«10 delt på 18, det går ikkje. Det blir null, ognull nede, og ti igjen, og så må vi setja til ein null

slik at vi får 100:18, og skriva komma i svaret i sva-ret, og så bli det 5. 5 × 18 er 90, og då har vi brukt90 av dei hundre, og har ti igjen. Så set vi ein ny nullbakerst …», og det heile gjentek seg. Men kvar kjemalle nullane frå? Og kvifor skriv vi 0,.. i svaret?

Per vil forstå matematikkspråket

Igjen kunne vi setja Per til å utforska – ta 10 bollarog dela det mest mogeleg likt på 18. Det ville hantruleg klara. Men det spørs om han var nøgd meddet. Per ville ha hjelp til å forstå matematikkspråketsitt uttrykk for dette – og ikkje minst – han ville vitakvar alle nullane kjem frå. Skal Per bli nøgd, må vifinna ut korleis vi kan gjera dette begripeleg forhan.

Kva for einingar har Per bakgrunn for åarbeida med?

Det blir viktig å finna ut kva slag einingar eleven vårhar forutsetningar for å arbeida med. Arbeider vimed einarar, så er det heile vi skal dela 10, og vi fårikkje «ein einar til kvar» når det skal delast på 18.Vel vi å arbeida med tideler, så er det heile vi skaldela 100 tideler, og då vert det både ein og fleire ti-deler på kvar.

Vi har fleire måtar å skriva 100 tideler med tal.Vi kan til dømes skriva 100/10 eller 10,0. Kanskjehar vi ikkje vore heilt bevisst på det siste alle gong-ene vi har sett til ein null bak komma - at deteigentleg symboliserer at vi har delt kvar einar i tilike store deler. I tilfellet over hadde vi ti einarar. Videler kvar einar i ti like store deler, og har 100 tide-ler. Vi har like mykje som før, men vi har gitt det eianna nemning – vi arbeider med ei anna eining. Vikan skriva 10 = 10,0; men leggja oss på minnet atdå betyr 10,0 100 tideler. Kanskje vert det lettare årekna med desimaltal når vi gir elevane våre eitgrunnlag for å forstå dette?

Vi må vita kva Per veit …

Lat oss seia at Per har begrep om heil og del avheil, han har begrep om tideler og hundredeler.Han forstår ein hundredel som ein av delene nårein heil er delt opp i hundre like store deler og tidelsom ein del når den heile er delt i ti like store deler.

I Tangenten 2/ 99 har Jostein Våge ein artik-kel om å forstå og å forklara. Han syner tilSkemp og Mellin-Olsen og skil mellom in-strumentell og relasjonell forståing. Slike egser det har «vår elev» instrumentell forstå-ing – han veit korleis han skal utføra rekne-operasjonen 10:18. Han ber om hjelp til å fåei relasjonell forståing – å forstå kvifor dengitte operasjonen fungerer, slik Våge define-rer uttrykket. Eigentleg ber han om meir –han vil forstå sjølve operasjonen.

Våge har truleg rett når han hevdar atdet duger ikkje berre å forklara og tru at dåhar eleven forstått.

Etter mitt syn er orda likevel viktige i å«dela» forståing – men då ord som verkeleggir meining både for den som forklarar ogfor den som skal forstå. Det vil sei at vi måha kompetanse til å sjå kva forutsetningarsom er nødvendige for at forklaringa vårskal føra til relasjonell forståing.

Det er ikkje nok at lærarar eller studen-tar får enkelte «aha»-opplevingar på vårtnivå. Vi må også kunna leggja til rette for atelevane våre får alle dei «aha»-opplevingarsom er nødvendige for å forstå.

10 : 18 = 0,555 0100 90 100 90 100 90 10

nr300.p65 17.02.2008, 18:3615

3/2000 tangenten16

Det har han lært ut frå mangfaldig erfaring medheile einingar som er delt i hundre like store delerog ti like store deler. Han har og begrep om at sif-feret sin plass i talet symboliserer antal tusenar,hundrarar, tiarar og einarar på venstre side avkomma, og tideler, hundredeler og tusendeler påhøgre side av komma. Vidare har han leseferdig-heit for desimaltal, og kan lesa 10,000 som tikomma null null null eller ti tusen tusendeler. Dettegjev eit grunnlag for meistring som kan læra Per athan får til matematikk, at matematikk erspennande og moro. Det gjev haldningar både tilfaget og til seg sjølv som ein som kan.

Vi vel kva eining vi vil rekna med

Då kan vi velja å skriva 10,000; og rekna medtusendeler. Vi har reknestykket 10,000:18, og les: «titusen tusendeler delt på atten». Vi får ingen heileinar til kvar, og skriv 0, i svaret. Vi har då hundretideler å dela på atten. Det gir fem tideler til kvar, ogskriv 5 på tidelplassen i svaret. Vi har brukt opp 90av dei hundre tidelene, og har ti att. Vi gjer det om(vekslar, eller eigentleg deler kvar tidel i ti like storedeler) til hundredeler – og har hundre hundredelerå dela på atten. Det blir fem hundredeler til kvar,og vi skriv 5 på hundredelsplassen i svaret. Vi bru-kar samme prosedyre – deler kvar hundredel viikkje har brukt i ti like store deler, og har hundretusendeler å dela på 18. Slik kunne vi fortsetja ogdela kvar tusendel i ti til titusendeler, i neste om-gang titusendelene i ti til hundretusendeler osv. Dåhar vi eit fint utgangspunkt for å undra oss. Kormange deler er det eigentleg mogeleg å dela ein heili? Kor nøyaktig svar treng vi?

Kan vi sjå ein tusendel?

Med ein kvadratmeter millimeterpapir som detheile vi skal dela, i dette tilfellet 10; kan vi sjå einarensom 10 kvadratdesimeter (ein tidel av kvadratme-teren). Tidelen vert då ein kvadratdesimeter,hundredelen ti kvadratcentimeter og tusendelen einkvadratcentimeter. Reknar vi då med tusendeler girsvaret oss antal kvadratcentimeter. Ville vi ha detmeir nøyaktig kunne vi dela i titusendeler eller

hundretusendeler, og finna kor mange«tikvadratmillimeter» eller kvadratmillimeter detvart på kvar av dei 18.

Gje rom for undring

Tilbake til spørsmålet kor mange deler det ermogeleg å dela ein heil i. Vi veit at det er ikkje nokosvar på det. Lat oss ta med slike spørsmål og – ogundra oss saman med borna. Dette er også ein delav matematikken – det er ikkje slik at vi alltid har eiteksakt svar – at det alltid er ei løysing på eit mate-matisk problem. Vi kan velja kor langt vi vil gå -kor mange desimalar det gjev meining i å ta med.Det vil seia at vi vel kor mange gonger det gjevmeining å dela det vi har att i ti like store deler. Vikan ikkje med berre auga vårt sjå skilnad på0,55 mm og 0,555 mm, men vi kan sjå at 0,55 m og0,555 m ikkje er det samme. Vi ser det endå betreom vi snakkar om skilnaden på 0,55 km og0,555 km.

Lat oss læra av elevar som spør!

Det er godt at vi har born som spør – slik at vi blirtvinga til å tenkja gjennom korleis det eigentleg er –og kvifor vi gjer ting slik vi gjer. Særleg i matema-tikken har vi som lærarar alt for lett for ågjennomføra ein prosedyre fordi vi har lært at detskal vera slik, og ikkje ut frå ei forståing av kvifor vigjer det på denne måten – og kva alle tala og teiknavi skriv undervegs eigentleg står for.

Lat oss læra av elevane som spør – og samanmed dei gå inn i utfordringa det er å finna svar ogforstå.

Referansar

Mellin-Olsen, Eleven, matematikken og samfunnet,

NKI-forlaget 1984

Skemp, Richard R., Mathematics teaching, The

Association of Teachers of Mathematics 1976

nr300.p65 17.02.2008, 18:3616

tangenten 3/2000 17

Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker

Uendelige mengderMot slutten av 1800-tallet foregikk det en interes-sant utvikling av tallbegrepet, spesielt i matematikk-miljøene i Tyskland. Flere matematikere arbeidetmed å legge et grunnlag for ulike typer av tall. Enav de mest bemerkelsesverdige utviklingene var de-finisjonen av «uendelige tall». Før vi går nærmereinn på denne utviklingen skal vi imidlertid nevnenoe om uendelighetsbegrepet.

Vi vil skille mellom de to typene: potensiell uen-delig og faktisk eller aktuell uendelig.

En prosess sies å være potensiell uendelig hvisden kan fortsettes uten noen gang å stoppe. Et ek-sempel er prosessen å dele et tall med 2, eller foreksempel å telle utover i tallrekka. Faktisk uendeligrefererer til en uendelig mengde av elementer be-traktet som en helhet (en «ting»). Eksempler pådette er mengden av de naturlige tallene og meng-den av de reelle tallene.

Dette skillet er også interessant didaktisk. Dethar blitt vist at 11 og 12 år gamle barn kan aksep-tere ideen om det potensielt uendelige, mens detfaktisk uendelige er et mye vanskeligere begrep å blifortrolig med.

Vi finner eksempler langt tilbake i historien påpotensielt uendlige prosesser (for eksempel Zenosparadoks med Achilles og skilpadda). Det somimidlertid har vært et vanskelig begrep å akseptere,også for mange matematikere, er faktisk uendelig.Dette vil for mange være et ikke intuitivt begrepsom leder til (tilsynelatende) paradokser. Aristote-les (384–322 f. Kr.) ville ikke at uendelige mengderskulle være en del av filosofi og matematikk, sidenhan mente at det ville lede til paradokser og selv-motsigelser. Vi kan regne med at Aristoteles kjente

til Zenos paradoks.Kirken hadde også lenge innvendinger mot at

en aksepterte faktisk uendelige mengder. ThomasAquinas mente at å akseptere en faktisk uendelig-het ville være en direkte utfordring mot Gud, somvar enestående og («faktisk») uendelig. Faktiskuendelig ble ikke generelt akseptert før mot sluttenav 1800-tallet – og det skjedde heller ikke da utenheftige diskusjoner i matematikkmiljøene.

Det var framfor alt en mann som vi kan sihadde mesteparten av æren for dette – GeorgCantor (1845–1918). Imidlertid hadde ideen omfaktisk uendelig blitt tatt opp av enkelte matemati-kere opp gjennom historien, og da ofte knyttet tilparadokser.

Galileo Galilei (1564–1642) så på forholdetmellom naturlige tall og kvadrattallene. Han så påavbildningen mellom dem:

1 2 3 4 …� � � � …1 4 9 16 …

og argumenterte ut fra denne avbildningen at detvar like mange kvadrattall som naturlige tall. Imid-lertid er det klart «flere» naturlige tall enn kvadrat-tall. Han konkluderte at de vanlige begrepene«større», «mindre» osv. ikke hadde mening når entok for seg uendelige mengder.

Diskusjon om det uendelige ble også tatt oppav Bernard Bolzano (1781–1848).

Det skulle imidlertid gå noen år før saken igjenble tatt opp på en systematisk måte av Georg Can-tor.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3617

3/2000 tangenten18

Georg Cantor har såvidt vites ikke kommet påfrimerke, men han finnes gjengitt på et spesial-stempel fra Tyskland 150 år etter at han ble født (3.mars 1995).

På dette stemplet finner vi også den noe merkeligelikheten:

¿ = 2¿0 > ¿0

For å forstå hva dette betyr vil vi se litt på tall-mengder. La oss starte med endelige mengder.

{1, 2} er en mengde med to elementer: 1 og 2{1, 2, 3} er en mengde med tre elementer: 1, 2 og 3

Mengden {1, 2, 3, 4, 5, …} er mengden av alle na-turlige tall, et eksempel på en faktisk uendeligmengde. Å «telle opp» disse er derimot enpotensielt uendelig prosess (vi blir aldri ferdige). Vivil nå videre ta for oss mengden {1, 2} og se påmengden av alle delmengder som denne har:

{1, 2} har delmengdene Δ (den tommemengde), {1}, {2} og {1, 2} (mengden selv)

Ser vi på mengden {1, 2, 3} finner vi del-mengdene Δ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} og{1, 2, 3}.

Det skulle ikke være så vanskelig å se ut fradisse eksemplene at enhver mengde med to ele-menter har fire delmengder og at enhver mengdemed tre elementer har 8 delmengder. Hvor mangedelmengder har så en mengde med fire elementer?– med fem, med n?

Ved å generalisere fra eksemplene finner vi aten mengde med n elementer har 2n delmengder.Antallet elementer i en mengde kaller vi kardinali-teten til mengden. Mengden av antall delmengdertil en mengde kaller vi potensmengden til mengden– en betegnelse som passer med skrivemåten 2n.

Når vi utvider til å studere uendelige tall-mengder, får vi endel paradokser som påpektovenfor. Hvis vi betrakter mengden av naturligetall som en (faktisk) uendelig mengde har den altsåden egenskapen at den kan bringes i en-entydigkorrespondanse med en delmengde av seg selv

Georg Cantor ble født 3. mars i 1845 i

St. Petersburg. Faren var en framgangsrik

kjøpmann. I 1856 reiste familien til Tyskland. Fra

1862 til 1867 studerte Cantor matematikk i Zürich,

Göttingen og Berlin. I Berlin var han student til

Weierstrass. Fra 1872 hadde han stilling ved

universitetet i Halle og ble i 1879 professor samme

sted.

Cantors grunnleggende arbeider i mengdelære

var i perioden fra 1875 til 1884.

Fra 1884 led han under tunge depresjoner og

hadde flere frivillige opphold på klinikker. Cantors

mengdelære var tidlig omstridt. Han hadde

støttespillere – som Richard Dedekind – men også

sterke motstandere som Leopold Kronecker i Berlin.

Galileo Galilei er kanskje mest kjent som astronom

og fysiker. Han var imidlertid professor i geometri og

astronomi, først i Pisa og siden i Padua. Fra 1610

var han hoffmatematiker i Firenze. Det må bemerkes

at det var uklare grenser mellom mekanikk,

astronomi og matematikk på den tiden Galilei levde,

og mange arbeidet innenfor flere felter. Vitenskapen

var ikke så spesialisert. Han hadde forøvrig stor

innflytelse på matematikere i samtida, for eksempel

på Bonaventura Cavalieri (1598–1647) som var elev

av Galilei.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3618

tangenten 3/2000 19

(paradokset til Galilei). Det som var et sentraltproblem ved utvidelse av tallbegrepet til å omfatteuendelige tall var å generalisere enkelte egenskapersom vi har for endelige tall (mengder) til også ågjelde for (faktisk) uendelige mengder. For å sam-menlikne mengder bruker vi ideen til Galilei medavbildninger.

Cantor innførte avbildninger for å avgjøre nårto mengder er «like», eller har samme kardinalitet,når vi bruker betegnelsen fra endelige tallmengdersom vi innførte ovenfor. Tallmengder som harsamme kardinalitet som de naturlige tall kaller vitellbare. Det finnes da en en-entydig (1–1) avbild-ning mellom slike mengder og de naturlige tallene.Vi kan nå umiddelbart presentere noen tellbaremengder:

· de jamne tallene: 2, 4, 6, 8, …· de odde tallene: 1, 3, 5, 7, …· kvadrattallene: 1, 4, 9, 16, ..

Cantor innførte symbolet ¿0 for kardinaliteten tilmengden av naturlige tall. ¿ (alef) er den førstebokstaven i det hebraiske alfabetet. Alle mengdeneovenfor har kardinalitet ¿0, som er felles for alletellbare mengder. Indeksen er «0» fordi Cantor be-traktet dette som den «første» uendeligheten ( i enserie av mange). Cantor innførte på denne måtenen rekke nye uendelige «tall»: ¿0, ¿1, ¿2,¿3, ¿4, … .Disse såkalte kardinaltallene kan vi be-trakte som en utvidelse av de naturlige tallene. Vikan også se på de naturlige tallene som kardinaltall– tallet 3 3 3 3 3 som antallet elementer i en mengde medtre elementer.

Før vi går videre med bakgrunnen til uttrykketpå stemplet, trenger vi en definisjon av potenserfor uendelige mengder. Kan vi finne en rimelig ut-videlse av hva MN skal bety når M og N er uende-lige kardinaltall? Den definisjonen som en fant eg-net var å definere MN som kardinaliteten av allefunksjoner fra N til M. La oss spesielt betrakte si-tuasjonen der M er en mengde med to elementer. Idenne sammenhengen er det vanlig å brukeM = {0, 1}.

Funksjonen f definert fra {a, b, c} Æ {0, 1} vilvære gitt ved alle tripler som består av 0-er og 1-ere. For eksempel kan vi liste opp funksjonens ver-dier på følgende måte:

Bernard Bolzano hadde studert en rekke ulike

emner, teologi, filosfi og matematikk, ved

universitetet i Praha. I 1805 ble han ansatt som

professor i religionsvitenskap. Han besluttet å

arbeide som prest selv om hadde hadde fått tilbud

om en stilling i matematikk. Han fikk imidlertid

problemer som prest ved at han uttrykte kjetterske

meninger. I 1819 ble han tvunget til å trekke seg

tilbake fra prestegjerningen. Allerede som prest

hadde han arbeidet med matematikk, og hadde

publisert betydningsfulle arbeider. Etter at han

hadde trukket seg tilbake levde han hos venner,

tilbaketrukket på landsbygda. Han fikk da tid til å

arbeide med matematikk. Hans interesser gikk i

retning av matematikkens grunnlag, og spesielt var

han opptatt av filosofien rundt

uendelighetsbegrepet. Han så på en-entydige (1–1)

avbildninger som et middel til å studere egenskaper

ved uendelige mengder. Et slikt eksempel er

avbildningen mellom de naturllige tallene og

kvadratttallene som Galilei hadde sett på. Bolzano

arbeidet for en stor del aleine, og de ideene som

han presenterte ble stort sett ikke tatt opp av tidens

matematikere.

Denne minneplaten over Bernard Bolzano finnes i

Celetná ulice i Praha i nærheten av Karls

universitetet.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3619

3/2000 tangenten20

aÆ0, bÆ0, cÆ0 0, 0, 0aÆ1, bÆ0, cÆ0 1, 0, 0aÆ0, bÆ1, cÆ0 0, 1, 0aÆ0, bÆ0, cÆ1 0, 0, 1aÆ1, bÆ1, cÆ0 1, 1, 0

osv. fram til

aÆ1, bÆ1, cÆ1 1, 1, 1

(Overbevis deg om at det blir 8 elementer når viregner med alle muligheter).

Kardinaliteten til mengden {0, 1} er 2, 2, 2, 2, 2, og kardin-aliteten til mengden {a, b, c} er 33333. Vi får da at kar-dinaliteten til 2222233333 dermed blir 88888 (som vi også har ivanlige tallregning). Dette er da et eksempel på atdefinisjonen gjelder for endelige kardinaltall. (Un-dersøk noen flere eksempler).

Vi har nå gitt 2¿0 en mening, nemlig kardinali-

teten til alle funksjoner fra de naturlige tall til 22222(= {0, 1}). Det store spørsmålet som nå reiser seger om denne mengden er tellbar eller mer generelthvilken ¿ den er.

La oss se på hvordan verdiene til denne funk-sjonen (dvs. 2¿0) er. Vi kan betrakte disse somuendelige (tellbare) følger av 0 eller1 (ethvert na-turlig tall avbildes på 0 eller 1)

For eksempel, kan vi liste noen slike verdier:

1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, … (1)0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, … (2)0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, … (3)0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, … (4)

og så videre.

Et av de mest kjente bevisene om uendelige meng-der er at denne mengden ikke er tellbar (kan ikkebringes i en 1–1 avbildning med de naturlige tall).Beviset kan skissemessig gis slik:

Anta at vi hadde en nummerering av elemen-tene av denne mengden (som antydet ved tallenesom er gitt i parentes). Vi vil da påstå at en sliknummerering ikke kan omfatte alle slike elementer.Lag nemlig et element som er forskjellig fra førsteelement på første plass, fra andre element på andreplass, fra tredje element på tredje plass osv.

(Som et eksempel ville vi fått ut fra opplistingenovenfor: 0, 0, 1, 0, …) Dette elementet vil være

forskjellig fra ethvert element i opplistingen.Resultatet kan skrives: 2¿0 > ¿0 (som står på

stemplet).

Beviset kan generaliseres videre til å vise at potens-mengden (mengden av alle delmengder til en vil-kårlig mengde) har ekte større kardinalitet ennmengden selv. Det kan også vises at mengden oven-for har lik kardinalitet som mengden av alle reelletall. Denne kardinaliteten kan vi betegne med ccccc.Altså 2¿0

= c (cc (cc (cc (cc (c for continuum eller kontinuum pånorsk).

Vi kan nå komme til likheten på stemplet:2¿0 = ¿. Kardinaliteten til de reelle tallene er altsåstørre enn kardinaliteten til de naturlige tallene.

Vi definerer ¿1 som det kardinaltallet som føl-ger etter ¿0. Hva er nå forholdet mellom 2¿0 og¿1? En naturlig(?) hypotese er at 2¿0 = ¿1. Dennepåstanden fikk navnet kontinuum-hypotesen, ogCantor forsøkte forgjeves å bevise denne.

En mulig kandidat til et kardinaltall mellom ¿0og ¿1 kunne være kardinaliteten til de rasjonaletallene (brøkene). Cantor beviste imidlertid at derasjonale tallene er tellbare. Dette er også et megetelegant bevis. I oppstillingen nedenfor har vi visthvordan en kan telle opp de rasjonale tallene:

1

1

1

2

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

6

2

5

2

2

2

4

2

3

2

4

3

3

3

2

3

1

3

4

4

3

4

2

4

1

4

3

5

2

5

1

5

5

3

1

6… osv.

(fortsettes side 23)

nr300.p65 17.02.2008, 18:3620

tangenten 3/2000 21

For mange emner i matematikk gir datamaskinernye muligheter. Dynamisk geometri kan gi nyeinnfallsvinkler til å oppdage og eksperimenteremed geometriske sammenhenger. Slik kan elevenefå en bedre tilnærming til begrepene vi kjenner fraplangeometri med passer og linjal, og bygge oppforståelse for sammenhenger. På Internett fins detflere programmer for dynamisk geometri, de-monstrasjoner av hvordan de virker, undervis-ningsopplegg og informasjon om aktuelle prosjek-ter.Hva er dynamisk geometri? Vi kan for eksempeltegne en trekant og konstruere halveringslinjene forvinklene i trekanten. Så kan vi ta tak og dra i ethjørne og se hva som skjer med halveringslinjeneog skjæringspunktet mellom dem. Programmethar med de vanligste konstruksjonene somhalveringslinje, midtnormal, nedfelle normal, pa-rallelle linjer, tegne sirkler. Slike enkle anvendelserpasser i grunnskolen, men programmet gir ogsåstore muligheter på høyere nivå, med muligheterfor bruk av makroer, å tegne kjeglesnitt og geome-triske steder. På Skolenettets fagsider i matematikkligger flere undervisningsopplegg som bruker dyna-misk geometri, http://skolenettet.nls.no/dok/sn/fag/

matm_gr/fag.matematikk.gr.html.På Cabri-sidene http://www.cabri.net/index-

e.html finner vi både programmet Cabri og flere in-formasjoner om hva det dreier seg om. UnderProducts på dette nettstedet finner vi demo-utga-ven, som kan lastes ned gratis for å prøve pro-grammet, på http://www-cabri.imag.fr/produits/

cabripc-e.html. Vi kan ikke lagre eller kopiere teg-ninger og ikke ta utskrift i denne versjonen, men

Anne Berit Fuglestad

Internettressurser:Dynamisk geometri

det er likevel gode muligheter for å gjøre seg kjentmed programmet. Videre under About og valgetExamples finner vi noen animasjoner som viserflere muligheter i Cabri på adressen http://www-

cabri.imag.fr/a-propos/exemples-e.html. Program-met fins for flere språk og er nylig oversatt tilnorsk, både bokmål og nynorsk. Norsk utgave avhåndboka kan kjøpes fra Høgskolen i Agder, se in-formasjoner under http://www.hia.no/realfag/.

Programmet The Geometers Sketchpad er kan-skje den mest kjente konkurrenten til Cabri. Vi fin-ner informasjoner på nettstedet http://

www.keypress.com/sketchpad/index.html. Også herer det muligheter for å hente en demoversjon avprogrammet. Nettstedet gir også lenker til andreprosjekter som bruker Sketchpad (Onlineresources) og gir Prosjektideer for bruk i undervis-ningen.

Figur 1

Trekant med vinkel – halveringslinjer – vi kan dra

nr300.p65 17.02.2008, 18:3621

3/2000 tangenten22

Et annet program for dynamisk geometri erEuklid DynaGeo på adressen http://

www.mechling.de. I tillegg til de vanlige konstruk-sjonene er det her også muligheter for å sette avlinjestykke med en bestemt lengde, eller vinkel medet bestemt gradtall. Dette programmet ershareware. Det kan lastes ned og prøves ut i 8 uker,men ikke brukes i skolen. Det forutsetter at en beta-ler lisens dersom programmet skal brukes videre,enten som enbruker eller skolelisens. Alle informa-sjoner om dette fins på nettstedet.

DrGeo er også et program for interaktiv geo-metri, laget for DOS og for GNU/Linux. Det haren del av de samme mulighetene som de andre,men virker mer begrenset og tungvint i bruk. For-delen er at det er fullstendig gratis. Det kan hentesfra http://www.drgeo.seul.org/index.html.

Cinderella er et noe nyere program i kategoriendynamisk geometri http://www.cinderella.de/. Detkan brukes for å undervise euklidsk geometri ogikke-euklidske geometrier, som projektiv oghyperbolsk geometri. Cinderella er skrevet i Java ogkan også bruke som forfatterverktøy for å lage in-teraktive konstruksjoner for websider. En demo-utgave av Cinderella, fullt funksjonell, men somgår bare 15 minutter om gangen, er tilgjengelig påhttp://www.cinderella.de/demo/download.html.

Det fins flere interaktive geometri konstruksjonerlaget med Cinderella på Internett. På Maths Netmed adresse http://www.anglia.co.uk/education/

mathsnet/dynamic/cindy/index.html finner vi for ek-sempel illustrasjoner av ulike figurer der vi kan drai punkter eller linjer.

Det er også mulig å lage interaktive applikasjo-

ner som kan legges på Internett ved hjelp av Cabrieller Geometers Sketchpad med passende tillegg.Eksemplene som vises på Cabri-sidene http://www-

cabri.imag.fr/a-propos/exemples-e.html er ikke inter-aktive animasjoner. De består av flere bilder somfølger etter hverandre for å vise konstruksjonersom på en film. Med interaktive konstruksjoner erdet mulig selv å ta tak i punkter eller linjer ogprøve hvordan konstruksjonen virker.Programmeringsspråket Java med de spesielle mu-lighetene for å lage Java-applets - applikasjonersom kan kjøre på Internett - ligger bak denne mu-ligheten.

The Cabri Java Project på sidene http://www-

cabri.imag.fr/cabrijava/ viser hvordan vi kan kobleCabri-figurer laget med Cabri II, sammen med enJava applet slik at figurene kan vises dynamisk påInternett. I tillegg til Cabri programmet trenger vifila CabriJava.jar som kan hentes fra disse sidene,og vi trenger mulighet for å lage et HTML doku-ment. Vi finner flere eksempler på interaktive kon-struksjoner laget på denne måten på Cabri JavaProject sidene.

For konstruksjoner laget i GeometersSketchpad kan interaktive sider lages medJavaSketchpad. Dette er omtalt på http://

f o r u m . s w a r t h m o r e . e d u / w o r k s h o p s / s u m 9 8 /

java.gsp.explain.html.

Figur 3 Fra NRICH – dra i punktet.

Er trekanten likesidet?

Figur 2 Interaktiv Cinderella-figur – dra i punktene

nr300.p65 17.02.2008, 18:3622

tangenten 3/2000 23

MathsNet har en samling interaktive figurer,laget med de aktuelle programmene. Det finnes etgodt utvalg slike på

http://www.anglia.co.uk/education/mathsnet/

dynamic/. Maths Net har også flere aktuelle lenkertil andre kilder med undervisningsressurser fordynamisk geometri, se for eksempel lenke til TheMath Forum http://forum.swarthmore.edu/dynamic/

classroom.html og til NRICH-The Geometry Pro-blem bank http://www.nrich.maths.org.uk/mathsf/

journalf/rb_interact_geom.html.The Math Forum har egen diskusjon angå-

ende dynamisk geometri: http://forum.swarthmore.

edu/epigone/geometry-software-dynamic/. Her erdet muligheter for å diskutere og stille spørsmål tilandre som arbeider med dynamisk geometri.

Her finner vi for eksempel lenke til en artikkelmed litt historisk tilbakeblikk og en sammenligningmellom tre av de aktuelle programmene med om-tale av styrke og svakheter: http://www.math.uic.edu/

~burgiel/Cinderella/review.pdf. Et annet innlegg giren anbefaling av Wingeom fra Peanut Software,http://math.exeter.edu/rparris/. Dette er fri program-

vare, men siden det tar utgangspunkt i koordinat-geometri er det nokså annerledes enn de andreprogrammene som er omtalt her.

Programmer for dynamisk geometri har mu-ligheter som bør kunne gi ny inspirasjon og for-ståelse for geometrien, både i grunnskolen og påhøyere nivå. Ut fra de omtalte programmene oglenkene skulle det være mulig å komme i gang. Detfins sikkert mange flere gode kilder til undervis-ningsopplegg og oppgaver i dette emnet og tips omandre lenker mottas med takk til e-postAnne.B.Fuglestad@hia.no.

Denne artikkelen (med alle lenker!) kan ogsåfinnes på http://www.caspar.no/Tangenten.

Litteratur

Breiteig, T. & Fuglestad, A.B. (2000) Data i matema-

tikken. (2 utg./2.opl.) Oslo: Aschehoug.

Fuglestad, A.B. (1999) Læring med datamaskiner i

konstruktivistisk perspektiv. Tangenten, 2(10),

27–33.

Historien om kontinuum-hypotesen er ikke av-sluttet. For å komme videre må vi gå til mengde-lærens aksiomer. Den amerikanske matematikerenPaul Cohen viste i 1963 at hvis «den vanlige»aksiomatiseringen av mengdelæren ikke har mot-sigelser (er konsistent), så vil den også være kon-sistent hvis vi legger til negasjonen av kontinuums-hypotesen. Det vil si at å innføre uendeligheter mel-lom kardinaliteten til de naturlige tallene og til dereelle tallene ikke vil føre til motsigelser – hvis detikke var noen allerede.

Det grunnlaget som ble lagt for matematikkengjennom mengdelæren har vist seg levedyktig oger i dag stort sett akseptert av de fleste matemati-kere.

Oppgaver

Sammenlikning av uendelige tallmengder ved hjelpav en-entydige avbildninger er et fascinerende om-råde.

Mange oppgaver kan gå på å lage avbildninger,for eksempel:1. Vis at det er «like mange» heltall som natur-

lige tall.2. Vis at det er «like mange» positive reelle tall

som det er reelle tall. (Hint: Bruk for eksem-pel eksponensialfunksjonen).

3. Vis at det er «like mange» reelle tall mellom 0og 1 som det er reelle tall.

Litteratur

De fleste matematikkhistoriske verk vil ha med

avsnitt om mengdlærens utvikling. Her vil vi

spesielt trekke fram:

Picutti, E. m.fl. (2000) Stora matematiker från

Fibonacci til Wiles. Lund: Studentlitteratur.

Det finnes også en biografier om Cantor, for

eksempel:

Purkert, W. & Ilgauds, H.J. (1985) Georg Cantor.

Leipzig: B.G. Teubner.

(fortsatt fra side 20)

nr300.p65 17.02.2008, 18:3623

3/2000 tangenten24

nr300.p65 17.02.2008, 18:3624

tangenten 3/2000 25

Hvordan finne formelen?Følgende oppgave stammerfra en Shell-undersøkelse(Alan Bell, The University ofNottingham, publisert i Jour-nal of Mathematical Behaviornr. 14 s. 41–73 (1995)). Per ArneBirkeland (Høgskolen i Agder) prøvdeoppgaven ut som en gruppeoppgave iungdomsskolen. Hensikten var bl.a. å se hvordanelevene arbeider med en åpen oppgave der algebrakan være et nyttig hjelpemiddel. Prøv gjerne opp-gaven på dine elever. I neste nummer av Tangen-ten presenterer han noen av elevenes løsninger.

HengebrokablerHengebrokablerHengebrokablerHengebrokablerHengebrokablerNår man lager kabler til en hengebro, kan mangestrenger bli presset sammen til en sekskantet form.Tegningen over illustrerer en slik kabel av «stør-relse 4» som er satt sammen av 37 strenger.

– Hvor mange strenger trenger man for å lageen kabel av størrelse 5?

– Hvor mange strenger trenger man for å lageen kabel av størrelse 6?

– Hvor mange strenger trenger man for å lageen kabel av størrelse 10?

Kan du med ord forklare hvordan du finner uthvor mange strenger du trenger i en kabel?Hvor mange strenger trenger man for å lage enkabel av «størrelse n» der n er et hvilket som helsttall?

Oppgaver

nr300.p65 17.02.2008, 18:3625

3/2000 tangenten26

Arealer av trekanterPå hver av de to parallelle linjene m og n velger vito punkter, A og B på m og C og D på n. Vi trek-ker nå forbindelseslinjene AC, AD, BC og BD sompå tegningen. Forbindelseslinjene AD og BC møtesi punktet x. Vis at trekantene AxC og BxD harsamme areal. Her kan det være lurt å prøve segfram med ulike eksempler og kanskje har deregeometriprogrammet «Cabri» som kan være tilhjelp?

Pythagoras setning?Vi vet at når vi lager kvadrater over katetene oghypotenusen i en rettvinklet trekant, vil summen avarealene til kvadratene over katetene være lik area-let til kvadratet over hypotenusen. Hvordan er detmed arealene til tre formlike figurer som er tegnetover katetene og hypotenusen i en rettvinklet tre-kant? Her er noen eksempler.

x

n

m

A B

C D

nr300.p65 17.02.2008, 18:3626

tangenten 3/2000 27

Matematikkundersøkelsen 1999 ogallmennlærerutdanningenResultatene fra Norsk Matematikkråds undersø-kelse blant nye studenter 1999 foreligger nå. De eretter min mening godt egnet til diskusjon om hvasom bør gjøres for å bedre nye studenters kunn-skaper og regneferdigheter i matematikk. Undersø-kelsen viser hvordan det står til med nye studentersferdigheter innefor helt grunnleggende og sentraleområder av grunnskolematematikken, og for denye lærerstudentenes vedkommende viser under-søkelsen dramatiske brister i tallregning og prak-tisk regning. For disse studentenes vedkommendehadde 52.4 % av R94-studentene det laveste kurs-nivå med matematikk med modul 2A fra videre-gående skole. Det vil i praksis si at de stort sett ikkehadde særlig mer enn grunnskolematematikkenmed seg i «bagasjen». Bare 6.9 % hadde 3MX.Blant lærerstudenter med modul 2A var det 78.4 %som bare hadde 20 eller færre rette svar av 43. Vedlærerutdanningen er det fra 1998 obligatorisk med10 vekttall matematikk. Det fagspesifikke innholdeti dette kurset går ikke mye ut over den videregå-ende skoles grunnkurs med modul 2B.

All erfaring viser at grunnmurens kvalitet eravgjørende for sluttresultatet. Og den grunnmurenjeg sikter til bygges i grunnskolen. Det må derforvære av den aller største betydning at bygg-mesterne kan sitt fag. Fra videregående skole vet viat lærere med hovedfag oppnådde de beste resul-tatene blant elevene. En lærer med hovedfag er glad

i sitt fag. Den gleden smitter over på elevene. Eninspirator må selv være inspirert. Det er ikke min-dre viktig å inspirere barn og unge mellom 6 og 16år enn elever i den videregående skole.

Det er snakk om en sirkel her: arbeidet med årekruttere til realfagene starter i barneskolen, mendersom arbeiderne enten mangler eller har man-gelfulle kunnskaper, vil sirkelen bli «ond» og konse-kvensene for rekrutteringen langvarig negative.Derfor bør en ved lærerutdanningen satses på denundervisning som fremmer positiv matematikk-læring. Den store internasjonale TIMSS-undersø-kelsen blant 13-åringer viser helt klart hvilken un-dervisning det er. I tillegg må studentene lære ommatematikkvansker. Men morgendagens læreremå ikke selv ha vansker med å løse grunnskolenseksamen i matematikk! Det må bli krav ommatematikkbakgrunn ut over grunnkurset i denvideregående skole for de som skal begynne pålærerutdanningen. Det kan ikke være en menneske-rett å kunne bli lærer. Matematikk er skolens neststørste fag. Det bør gjenspeile seg i både opptaks-krav og utdanning.

Tangenten stilte spørsmålet om hva undersø-kelsen ønsket å evaluere: regneferdigheter ellermatematikkunnskaper. Regneferdigheter er i hvertfall en del av matematikkunnskapene, og en viktigsådan. Ja, de er etter hva min erfaring tilsier avgjø-rende for å kunne trenge dypere inn i faget. Ram-meplanen for 10-vekttallskurset i lærer-utdanningen er organisert etter områdene

Divergenten

nr300.p65 17.02.2008, 18:3627

3/2000 tangenten28

(i) kunnskaper i matematikk,(ii) didaktikk,

(iii) matematikk som skapende og resonnerendevirksomhet,

(iv) matematikk som redskap og metode og(v) matematikk i kultur og samfunn.

Planen poengterer at kunnskaper i matematikk skalvære utgangspunkt for de andre områdene. Hva erda i følge rammeplanen, kunnskaper i matematikk?Jo, det er nettopp de fagspesifikke delene som tall-begrepet, aritmetikk, geometri, algebra, likninger,osv. Og det var det undersøkelsen forsøkte å kart-legge: matematikkunnskaper. «God kunnskap imatematikk er en forutsetning for å kunne arbeidemed matematikk slik det er beskrevet i de øvrigemålområdene» (sitat fra rammeplanen). Det fin-nes ikke noe enten regneferdighet ellermatematikkunnskap. Det finnes bare matematikk-kunnskap.

Eystein RaudeHøgskolelektorHøgskolen i Vestfold

Om Matematikk ogKunnskap – Forståelse – FerdigheterI fjor i august gjennomførte Norsk Matematikkråd(NMR) nok en gang sin matematikkundersøkelsefor nye studenter ved universitet og høgskoler. Iden forbindelse kom Tangenten (4/99) på redak-sjonell plass med angrep på blant annetevalueringsaspektet ved undersøkelsen og redaktø-ren stilte spørsmål ved hva den var ment å skulleundersøke – matematikkunnskaper eller regne-ferdigheter.

Jeg oppfatter det slik at Tangentens daværenderedaktør skiller mellom matematikkunnskaper og-ferdigheter. Drill- og standardprosedyrer kallerhan «rituell matematikk» (en politisk korrekt yt-ring?), og han karakteriserer oppgavene i undersø-kelsen som regneoppgaver eller rituelle oppgaver.Det er vel ikke mulig å oppfatte redaktøren dit henat regneferdigheter er noe negativt i og for seg?

Hvordan er det med forholdet mellom kunn-skap, forståelse og ferdigheter i matematikk?

Ifølge boka Mesterlære, Læring som sosial prak-sis (ad Notam Gyldendal, 1999), kan kunnskapblant annet være proposisjonell, situert og skolas-tisk. For matematikkens vedkommende er det ikkeønskelig at kunnskapen skal være situert, dvs. inn-vevd i lokale sammenhenger og noe som ikke auto-matisk kan overføres fra en sammenheng til enannen. Dette synet er da heller ikke nytt i skolen, ogregning for regningens egen skyld har vel heller al-dri vært meningen, noe som allerede kommer tiluttrykk i Normalplan for landsfolkeskolen,1922, og

nr300.p65 17.02.2008, 18:3628

tangenten 3/2000 29

som for så vidt er blitt videreført i L97.Kunnskap er nær knyttet til forståelse: forståelse

av et tegns mening, av formålet med en handlingog forståelse av meningen med en sosial institu-sjon. Forståelse er altså innsikt i meningen mednoe.

Ludwig Wittgenstein sa mot slutten av sitt liv:«Å forstå er å kunne». Han kritiserer den oppfat-ning at en persons praktiske beherskelse av etuttrykks korrekte anvendelse bare er et ytre tegn påselve forståelsen av uttrykket, som for sitt vedkom-mende er noe indre og privat. Det er i kraft av for-ståelsen at språkbrukeren, i vårt tilfelle eleven, mes-trer uttrykkets bruk og derfor kan avgjøre om an-vendelsen ved en bestemt anledning er korrekt ellerikke. Forståelsen som en indre tilstand eller annetløser ikke problemet etter W.`s mening.

Derfor konkluderer W. med at forståelse rett ogslett er beherskelse av uttrykkets, i vårt tilfellematematikkens, korrekte anvendelse.

Mitt utgangspunkt var redaktørens skille mel-lom kunnskaper i matematikk og regneferdigheter,at regneferdigheter eller rituell matematikk nå bliransett som mindre viktig. Etter mitt syn er det nett-opp av den største betydning å beherske «rituellmatematikk», å kunne ta del i det relevante utsnit-tet av den språklige praksis. Det er ved graden av åbeherske av det matematiske språket at graden avforståelse viser seg. Hvordan vet vi om en elev for-står prosentbegrepet dersom eleven ikke kan gjøreberegninger? Eller: hvilken nytte har det å kunneuttale at «prosent betyr per hundre» dersom

denne «kunnskapen» ikke kan anvendes? Og til an-vendelsen hører å beherske aritmetikk, bestemteregneregler. Beherskelse av uttrykkets korrekte an-vendelse er en nødvendighet for å kunne ta del ispråklige spill.

Eystein RaudeHøgskolelektorHøgskolen i VestfoldRedaksjonen har forkortet innlegget.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3629

3/2000 tangenten30

Tanker rundt et tusenårsskifte fortsattNår vi står en stjerneklar kveld og ser opp på deutallige stjerner er det svært naturlig å spørre: fin-nes det intelligent liv på en planet rundt noen avdisse?

Vi kan snu på problemstillingen og vurderemuligheten noen der ute har til oppdage at det ersåkalt intelligent liv her på jorda. Mange definererintelligent liv som evnen til å kommunisere medradio/tv-signaler, og vi har her på jorden et nett avlyttestasjoner som søker etter budskap fra stjer-nene.

I følge en slik definisjon har vi vært «intelli-gente» i snaut 100 år.

For å få en ide om vår rolle i universet tenker vimodeller i forskjellige målestokker, ideen har jegfått av Rolf Stabell på Astrofysisk institutt ved Uni-versitetet i Oslo, kanskje Norges største ekspert ikosmologi.

Modell 1:Modell 1:Modell 1:Modell 1:Modell 1: Solsystemet i målestokken1 : 10 000 000 000 eller 1 : 1010.

I denne målestokken blir sola ei kule med diameterca 14 cm, jorda er et korn med diameter ca 1 mm iavstand 15 m fra sola og den ytterste planeten gåri bane i avstand ca 600 m fra sola. Tilnærmet kanvi si at solsystemet okkuperer ca 1 km2 og av detteopptar jorda ca 1 mm2.

I denne målestokken vil vi finne vår nærmestestjerne i avstand 4000 km (Alfa Centauri) og dennærmeste som vi kan se fra Norge; Sirius i avstandca 8000 km. Denne avstanden er egentlig 8 lysår.

Vi skifter til ny målestokk i det vi legger på6 nuller:

Modell 2:Modell 2:Modell 2:Modell 2:Modell 2: Vår galakse i målestokken1 : 10 000 000 000 000 000 eller 1 : 1016

I denne målestokken svarer 1 meter til 1 lysår. Nåblir avstanden til vår nærmeste stjerne 4 meter,Sirius har vi 8 meter unna og hele vår galakse somer en spiralgalakse med diameter 100 km og sombestår av ca 200 milliarder stjerner roterer lang-som rundt. Solsystemet vil oppta ca 1 mm2 i enavstand ca 30 km fra galaksens sentrum og brukerca 200 millioner år på en runde.

Vi skifter målestokk enda en gang og også nålegger vi på 6 nuller.

Modell 3:Modell 3:Modell 3:Modell 3:Modell 3: Galakser i målestokk1 : 10 000 000 000 000 000 000 000 eller 1 : 1022

I denne målestokken har vår galakse Melkevei-systemet en diameter på ca 10 cm, vår nabogalakseAndromeda som vi kan se med det blotte øye erca 2,3 meter vekk. Vi vet nå at det er flere enn100 milliarder galakser som hver kanskje har hun-dretalls milliarder stjerner og hvor de fjerneste vilvære ca 20 km unna.

Tilsvarende kan vi kan også lage en modell forjordas alder:

La oss tenke oss at jorda ble til ved år 1000 ogat vi nyttårsaften år 1999 ser til bake på jordas his-torie. Målestokken blir 1000 år : 4 500 000 000 år,altså 1 : 4 500 000.

I denne målestokken svarer altså ett år i vårmålestokk til 4,5 millioner år i virkeligheten. Enmåned vil svare til 400 000 år, ei uke ca 100 000, ogen dag ca 12 000 år. En time svarer til ca 500 år ogett minutt til ca 8 år.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3630

tangenten 3/2000 31

Geologisk og historisk tidsregning i denne måle-stokken kan da se slik ut:

UUUUUrrrrrtttttididididideeeeennnnn varer da fram til ca 1885ca 1780 kom de første primitive algene (urdyr).

OldtidOldtidOldtidOldtidOldtidKambrium fra 1885–1905Ordovicium fra 1905–1920Silur fra 1920–1926Devon fra 1926–1937Karbon fra 1937–1948Perm fra 1948–1955

MiddeltidMiddeltidMiddeltidMiddeltidMiddeltidTrias fra 1955–1963Jura fra 1963–1971Kritt fra 1971–1986, dinosaurene dør ut ca 1985

NåtidNåtidNåtidNåtidNåtidTertiær fra 1986–1999Kvartær siste åretMenneskene blir til i løpet av 1999.Vi har sikre spor etter homo sapiens fra juni/juliHistorisk tid.Historisk tid.Historisk tid.Historisk tid.Historisk tid. Vår historie handler i denne måle-stokken om den siste dagen Vi har funnet spor et-ter bosetting kl 0200. De egyptiske og kinesiske dy-nastier ca 1500. Kristus levde ca 2000. Vikingene stopå som verst ca kl 2200 og det siste århundre svarertil fra kl 2348 til midnatt.

For å finne oss må vi først lette etter solsystemetsom utgjør ei flate på ca 1 mm2 i en galakse på ca100 km2. Deretter vil jorda utgjøre på ny en flatepå ca 1 mm2 i et solsystem på 1 km2. I tillegg må vitreffe på mennesker som har en form for kultur.

De må treffe en dag i løpet av tusen år. For å treffevår sivilisasjon er det snakk om minutter.

Skulle såkalt intelligens finne oss ville de også sik-kert finne ut at vår sivilisasjon bruker mest øko-nomi og energi på våpen og nest mest på narko-tika og andre rusmidler, at vi lar en del av befolk-ningen sulte og lide mens de rike kaster og brennermat.

Bjørn Bjørneng

nr300.p65 17.02.2008, 18:3631

3/2000 tangenten32

VVVVVeeeeel anl anl anl anl anvvvvveeeeendtndtndtndtndte pe pe pe pe peeeeengngngngngeeeeerrrrrPå Matematikkbiennalen i Göteborg i januar fikk videmonstrert en CD-rom som het Euklides,matematikerns dröm. Jeg kjøpte den til tross for atteksten kun var på svensk.

Foruten rettledningen er CD-en todelt: enbiblioteksdel og en verkstedsdel. Biblioteksdelen erbetryggende for voksne mennesker som mistrivesmed å prøve seg frem i for stor grad. Verksted-delen er perfekt for dem som taster i vei på pc-enuten skrupler.

Her fins lekre fotografier foruten animasjoner,tekst og tegninger. Her fins også rikelig med mulig-heter til selv å prøve seg frem og teste ut både detene og det andre.

Teksten bakpå eska lyder: Euklides er ettmultimediaprogram der matematikk og bilde fore-nes. Barn, ungdom og voksne kan skape en personligmatematikk gjennom å aktivt undersøke koblingermellom tall, geometri og geometriske former i omgi-velsene. Programmet fremhever matematikk som enestetisk opplevelse med interessante koblinger til an-dre kunnskapsområder. Det passer både for den somhar problemer med tradisjonell matematikk og forden som vil ha større utfordringer.

Denne CD-en kan benyttes av barn fra 5–6 årog oppover. Jeg har nettopp fått den, men hittil harjeg dessverre ikke hatt tid til å sitte stort mer ennen time og leke meg.

Primtall, symmetrier, tallbilder, gangetabellen,romgeometri, pytagoras setning og pascals trekanter noen stikkord. Formingslæreren med sans formønster vil kunne finne nye ideer her. Elever somer lei av terping, vil kunne møte matematikken pået annet vis. Flinke elever som kjeder seg i timene,vil få muligheten til nye oppdagelser.

Pris til private er 390 SEK, pris til skoler er 2900SEK. For meg var fire hundre norske kroner leverthjem i postkassa vel anvendte penger.

Passer både til MAC og PC, men sjekk at duikke har for gammel maskin før du handler.

Anne Fyhn

Nils Kr. Rossing: Den matematiske krydderhylle– Smakstilsetning for matematikkundervisningeni skolenVitensenteret, 325 s.

Anthony Furness og Ilkka Isaksson:Euklides, matematikerns dröm. (CD-rom)Ekelunds Förlag AB, S 16902 Solna, Sverige

Undring, gylne øyeblikk, om å skifte ståsted, dengode historie, skjønnheten, kreativiteten og skaper-evnen og lek – dette er noen av punktene forfatte-ren setter opp som viktige deler av lærings-perspektivet. Punktene er også hovedoverskriftenei boka. Under disse overskriftene er det en ufattelig

Bokomtaler

nr300.p65 17.02.2008, 18:3632

tangenten 3/2000 33

mengde spennende matematisk stoff hentet frageometri, topologi, tallære, funksjoner osv. Vink-lingene er spennende, ofte med fortellerstoff knyttettil forsøk en kan gjøre. Det er lett å bli fascinert avhistorien og på den måten bli nysgjerrig på forsø-kene. Et eksempel er studenten som lekte seg medpapirstrimler og oppdaget at han kunne bretteheksagoner og mens han fingret med modellenoppdaget han at han kunne folde den ut som enblomst og danne nytt heksagon med ny overflate.Modellen er enkel og kan uten problem brukes tileksperimentering i barneskolen, for eksempel nåren arbeider med mangekanter og vinkler.

Boka er ikke beregnet på et spesielt trinn i sko-len. Den er ikke laget som en lærebok som skaldekke en fagplan. Som mangeårig lærer i barnesko-len så jeg mange forsøk som kunne brukes der, frasmåskolen og oppover. Som høyskolelærer medundervisning på førskole- og allmennlærer-utdanning oppdaget jeg en hel del forsøk som jegfikk lyst til å jobbe med sammen med studenter.Men boka er ikke begrenset til grunnskole ellerlærerutdanning, her er nok av utfordringer forflinke elever på videregående skole også, som åbruke avanserte lommeregnere til å lage knute-matte-mønster og arbeid med fraktaler og rekker.Dessuten inneholder boka mange utforsknings-oppgaver og lek med tall som voksne og barn kanglede og undre seg over sammen. For ungdoms-skolen må boka være et funn dersom en ønsker enmer kreativ og eksperimenterende undervisning,det gjelder emner som symmetri, tesselering, rom-figurer, Fibonacci-tallene og Pascals trekant blantannet.

Flere temaer gir muligheter for tverrfagligsamarbeid, som med naturfag, historie, formingog KRL-faget. Det er skrevet om «fenomener»innen mystikk og tall, såkalt numerologi som jegfant interessante forklaringer på her. Dessuten erdet tatt med forklaringer på opprinnelsene til ulikeparadis som barn leker med, hvordan lage kretiskelabyrinter og etnomatematikk fra ulike land.

I det hele tatt er dette en spennende bok å bla i,jeg har lært ting som jeg ikke har tenkt over før, foreksempel at kumlokk alltid er runde slik at lokketikke skal kunne ramle ned i kummen og at det fin-nes en annen form, Reuleaux´ triangel som er slikat lokket likevel ikke kan ramle nedi kummen fordibredden er konstant. Her er det også beskrevethvordan denne spesielle formen utnyttes i prak-tiske sammenhenger.

Boka er billig, kun 100 kr per stykk. Det betyr athver skole bør ta seg råd til å ha noen eksemplarerpå lærerbiblioteket. Til den bruken forfatteren an-befaler den til, som en smakstilsetning imatematikkundervisningen, vil jeg tro denne bo-ken kan bli til stor glede for både lærere og elever.Boka kan fungere som en idebank. Bakerst er detmange litteraturhenvisninger og gode internett-adresser som kan være kjekke å gjøre seg bruk av iundervisningen.

Pris og kvalitet er alltid en avveining. Jeg per-sonlig synes boka ville ha fortjent en noe mer pro-fesjonell utgivelse. Det gjelder layout, farger, kor-rektur, kanskje også litt mer vurdering av hva somskal være med hvor. Eksempelvis er lek tatt medsom et hovedmoment, uten at det er behandlet slikemnet fortjener. Det ville kanskje være bedre å

nr300.p65 17.02.2008, 18:3633

3/2000 tangenten34

Georges Ifrah: All verdens tall.Tallenes kulturhistorie.Norsk utgave: Pax forlag 1997. To bind, 1200 s.

på hvordan romerne gjorde dette. Ifrah fant ikkede svarene han søkte i leksikon og oppslagsbøker.Han ga seg ikke så lett og etter hvert ble interessenså stor at han oppga undervisningen og reiste ver-den rundt for å undersøke tellingens historie. Re-sultatet av undersøkelsene hans er samlet i to tykkebøker om tallenes kulturhistorie.

Tallene og tellingen oppstod ikke plutselig, mener et resultat av tusener av års utvikling. Men, spørIfrah, begynte det i Asia eller Europa, eller kanskje iAfrika? Hadde utviklingen av tellingen startet påCro-Magnon menneskenes tid for 30000 år siden,eller var den enda eldre? Kan dyr oppfatte tall, ellerer dette forbeholdt mennesker? Ifrah gir en levendeog personlig preget fremstilling av de svarene hanfant på disse spørsmålene. Det er altså ikke en tørrfremstilling av fakta, men likevel holder boka fagligmål. Bøkene gir en grundig og bred oversikt overtallenes utvikling fra den spede begynnelse medrissing av streker i et bein til dagens datamaskiner.Et poeng er menneskenes bruk av ulike telle-redskaper, både konkrete og abstrakte. Direkte utennoen form for telling eller gruppering kan vi bareoppfatte og skille fra hverandre antall opp til fire!Ifrah gir derfor inngående beskrivelse av ulike telle-metoder og telleredskaper. Dessuten behandles dementale metodene for telling som for eksempelgruppering og ikke minst posisjonssystemer.

Ved å studere tallordene i ulike språk kan manfå et innblikk i tidligere tiders tallsystemer. Dan-skene spesielle tellemåte viser en arv etter et tjuetall-system og baklengs telling. Når de sier halvtres,mener de et halvt snes mindre enn tre snes, dvs. 10mindre enn 60, altså 50! Dette er lettere å forstå hvis

kutte ut dette kapittelet og heller la det lekende ogundrende mennesket boltre seg med de spennendetemaene som blir tatt opp i boka? Det betyr noe aten bok ser innbydende ut, at illustrasjonene er ty-delige og at en fort ser hvilken tekst en illustrasjonhører sammen med. Men med den økonomiensom er i skolen, vil jeg likevel tro det er mangesom setter pris på en slik utgivelse som blir produ-sert så rimelig at skolen har råd til å kjøpe den.

Herved anbefalt!

Toril Eskeland Rangnes

Hvor kommer tallene fra?Hvor kommer tallene fra?Hvor kommer tallene fra?Hvor kommer tallene fra?Hvor kommer tallene fra?Forfatteren George Ifrah opplevde at noen tros-skyldige spørsmål fra nysgjerrige elever kom til åforandre livet hans. «Lærer, hvor kommer egentligtallene fra? – Hvem oppfant null?» Ute av stand tilå svare stammet han fram svært nølende: «æh, destammer fra … tidenes morgen.» Elevene ble like-vel ivrige og stilte enda flere spørsmål. En elevhadde strevd med å multiplisere romertall og lurte

nr300.p65 17.02.2008, 18:3634

tangenten 3/2000 35

vi sammenligner med tidsuttrykk som «halv fem».I folkelig språk sier vi fortsatt at vi klokka halv femer halvveis inne i den femte timen. Tilsvarende kanvi si at når vi har talt til 50, er vi halvveis inne i tel-lingen av det tredje sneset. Tallenes kulturhistorieinneholder mye som er av interesse for de språk-interesserte. Kjennskap til tallord på flere språk kanogså gjøre det mulig å huske hva gamle uttrykksom dusin betyr. På fransk er ’douze’ ordet fortolv. Ordet to er på fransk ’deux’, på italiensk ’due’og latin ’duo’! Tallet ti er ’decem’ på latin,’dix’ påfransk og ’zehn’ på tysk. Det ser ut til at fransk-mennene har arvet første del av det latinske ordet,mens tyskerne har beholdt siste del. Ordet ’douze’på fransk har beholdt siste delen av det latinskeordet for ti til tross for at de bruker den første de-len i ordet for ti!

Studiet eller vitenskapen om hvordan ord harblitt som de er kalles etymologi. Dette er en del avspråkvitenskapen eller lingvistikken. Noen begrepergår igjen i nesten alle språk og etymologien til or-dene for disse begrepene er derfor spesielt interes-sante i lingvistikken. Mest kjent er hvor like ordenefor ’mamma’ og ’pappa’ er på ulike språk. Ordenefor tall spiller en tilsvarende rolle. «Tallenes kultur-historie» har oversikter over tallordene på en rekkespråk. En annen sammenheng mellom tall ogspråk er den alfabetiske tellingen i gresk og he-braisk. Bokstavene i alfabetet har en fast rekkefølgeog egner seg derfor som telleord. Alfa, beta oggamma svarer slik til en, to og tre. Et spørsmålsom tas opp i bøkene er om den alfabetiske tellin-gen opprinnelig er gresk eller hebraisk. Selve skrift-språkets opprinnelse er også knyttet til tallenes

historie. Et kapittel tar opp skriftlig regnskapsfør-sel i Mesopotamia. Trolig er skriftlig regnskapsfør-sel opprinnelsen til skriftspråket. Kapitlet fokusererimidlertid først og fremst på hvordan tallnotasjonutvikler seg gjennom bruken av regnskaper.

Tallenes kulturhistorie er et omfattende verk ogegner seg for de fleste best som et oppslagsverk.Det er imidlertid ikke noe leksikon. Kapitlene ersammenhengende fremstillinger. En rekke temaertas opp. Fokuset er tallene, men de settes hele tideninn i en språklig og kulturell sammenheng. Andrebind tar spranget helt fram til vår tid og har engrundig drøfting av datamaskiner og maskin-regning. Til og med den menneskelige intelligens erviet et kapittel. Bøkenes er opprinnelig skrevet påfransk og beregnet på franske forhold. Noen gan-ger skinner det klart gjennom i oversettelsen. Det erimidlertid bare noen få ganger en leser vil tenkeover dette. Den norske oversettelsen har et godtspråk som gjør bøkene tiltalende å lese. Vel be-komme!

Reinert A. Rinvold

nr300.p65 17.02.2008, 18:3635

3/2000 tangenten36

Harald Totland

TidevannI naturen er det mange eksempler på svingningersom er både lette å registrere og mer eller mindreregelmessige, men det finnes få slike fenomener dervariasjonen i tillegg er vedvarende i århundrer. Deto åpenbart mest betydningsfulle slike fenomeneneer for det første solas daglige gang på himmelen ogfor det andre den årlige variasjonen knyttet til solasgang. Andre eksempler er variasjonen i måne-fasene, samt månens og stjernenes gang på natte-himmelen. Alle disse fenomenene hører i sin helhethjemme i himmelsmekanikken og beskrives avforholdsvis enkle geometriske bilder. Tidevannet erytterligere et eksempel, men i motsetning til de fore-gående finner dette fenomenet sted her nede påjorda, og det er ikke opplagt at det skulle værenoen årsakssammenheng mellom variasjonen ivannstanden ved kysten på den ene side oghimmellegemene på den andre.

Isaac Newton (1642–1727)1 var den første somga en fysisk forklaring av tidevannet, og det pågrunnlag av fysiske lover som han selv var opp-havsmann til, nemlig de generelle bevegelsesloveneog gravitasjonsloven. Han viste at det faktisk erastronomiske forhold som ligger til grunn for tide-vannet, og at derfor også dette fenomenet er for-bundet med himmelsmekanikken. Det er imidlertidmer komplisert å forklare enn de ovennevnte fe-nomenene, både når det gjelder den tilgrunn-liggende dynamikken, og ikke minst når det gjelderberegningen av de direkte utslagene forskjellige ste-der på jorda (altså problemer fra fagområdetoseanografi, se f. eks. referanse [1]). Hensiktenmed denne artikkelen er å formidle en rent kvalita-tiv forståelse av fenomenet, og dette krever ingen

spesielle forkunnskaper.Årsakene til at tidevann oppstår og arter seg

som det gjør, kan sammenfattes i tre hoved-grunner. Et første hint får man ved å se på hyppig-heten av flo (høyvann) og fjære (lavvann).

Hvor ofte er det flo?

Flo og fjære opptrer begge omtrent to ganger idøgnet, og følger altså tilnærmelsesvis den dagligerytmen til jorda. Denne kjensgjerningen tyder alle-rede på at tidevannsfenomenet har noe å gjøre medfølgende faktum.Grunn 1: Jorda har en daglig rotasjon om sin egen

akse.

Det viser seg imidlertid at flo og fjære inntreffer pået litt senere klokkeslett for hver gang (og for hverdag). Det betyr at tidsrommet mellom to gangermed flo eller to ganger med fjære ikke er akkurat12 timer, men litt mer, i gjennomsnitt 12 timer og25 minutter. Det dobbelte av dette tidsrommet, 24timer og 50 minutter, kalles et månedøgn. Dette ertiden som går ifra månen står i en viss posisjon,for eksempel i sør, og til neste gang den står i sør.Det er altså tydelig at også månens månedligekretsløp rundt jorda på en eller annen måte spilleren viktig rolle for tidevannet.

Grunnen til at et månedøgn er litt lengre enn etvanlig døgn, er at månens omløpsretning er densamme som jordas rotasjonsretning. For hvertdøgn som går, beveger månen seg et lite stykke vi-dere i banen rundt jorda, og jorda må rotere 50minutter ekstra før vi får innhentet den.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3636

tangenten 3/2000 37

Hvorfor blir det flo?

Vannmassene i havene er ikke helt jevnt fordeltsom på en kuleoverflate, men buler litt ut i tohovedretninger i verdensrommet: i retning månen,samt i motsatt retning (omtrent som en ameri-kansk fotball, se figur 1). Siden jorda roterer, vil et-hvert sted på kysten omtrent to ganger i døgnetpassere områder hvor vannmassene blir løftet littopp (dvs. ut i verdensrommet), og det blir flo(med fjære på tidspunkter midt imellom). Og sidende to hovedretningene følger månens kretsløp, blirdet flo to ganger i månedøgnet. Den lille deforma-sjonen av havoveflaten arter seg altså som en glo-bal havbølge som har en bølgetopp på hver sideav jordkloden, og som forplanter seg langs jord-overflaten i takt med månedøgnet.

Nå gjenstår det altså bare å finne ut hvorforhavmassene blir deformert på denne måten. Dettehar å gjøre med krefter som påvirker jorda og blirforklart i de neste to avsnittene.

Kreftene som virker på jorda

Som vi har sett, er det en sammenheng mellomdeformasjonen og månens bevegelse. For å for-klare denne sammenhengen, er det imidlertid ikketilstrekkelig presist å si at månen går i bane rundtjorda.Grunn 2: Månen og jorda går i (månedlig) bane

rundt sitt felles massesenter.

Hadde jorda og månen hatt samme masse (værtlike «tunge»), ville massesenteret (tyngdepunktet)

ha ligget midt imellom dem, og de ville hatt likestore baner. Men siden jorda har omtrent 80 gan-ger så stor masse som månen, ligger massesenteretforholdsvis nær jordas eget massesenter, faktiskinne i selve jordkloden (omtrent 4700 km fra sen-trum). I tillegg til egenrotasjonen har jorda altså etmånedlig kretsløp langs en sirkelbane med radiuslik 3/4 av jordradien (se figur 2). Denne forholdsvisbeskjedne sirkelbevegelsen er, som vi snart skal se,en essensiell årsak til tidevannet, og den har der-med en overraskende stor betydning for mye av li-vet på jorda.

Det felles massesenteret til månen og jorda gårpå sin side i årlig bane rundt sola, men dette ser vibort ifra inntil videre. Dessuten gjør vi en forenk-ling til. Siden det i denne omgang bare er selvedeformasjonseffekten som skal forklares, ser vi idette og neste avsnitt bort ifra jordas egenrotasjon.Vi forestiller oss altså at jorda har en fast oriente-ring i forhold til stjernehimmelen.

Det er to ulike krefter som spiller en rolle i for-bindelse med deformasjonen av havmassene, ogsom henger sammen med jordas månedlige sirkel-bevegelse (grunn nr. 2): tyngdekraften (gravitasjo-nen) og sentrifugalkraften. Sistnevnte er en kraftsom alle har erfaring med, for eksempel fra bilkjø-ring i krappe svinger. Sentrifugalkraften er da kraf-ten som trekker utover i svingen. Snurrer man enslegge rundt i ring, må man holde hardt igjen motsentrifugalkraften, som trekker loddet utover – iretning bort fra sirkelbevegelsens sentrum. Påsamme måte fører jordas månedlige sirkel-bevegelse også til en viss sentrifugalkraft. Det som

Figur 1 Skjematisk framstilling av deformasjonen av havoverflaten til jorda (t.h.) i sammenheng med retningen

til månen (t.v.). (Deformasjonen er sterkt overdrevet.)

nr300.p65 17.02.2008, 18:3637

3/2000 tangenten38

nå er av betydning, er at denne sentrifugalkraftenpå et gitt tidspunkt er den samme overalt på jorda,både i styrke og retning. Dette kommer av at allepunkter på jorda gjennomløper like store sirkel-baner i løpet av en måned, som vist i figur 2; deneneste forskjellen mellom banene er at de er for-skjøvet i forhold til hverandre.

Som kjent er det tyngdekraften som er densentrale vekselvirkningen i himmelsmekanikken. Isine baner rundt hverandre (rundt massesenteret)holdes månen på plass av jordas tyngdekraft ogjorda av månens tyngdekraft – på samme måtesom solas tyngdekraft holder jorda og de andreplanetene på plass i sine baner rundt sola. Dentredje og avgjørende årsaken til tidevannet er attyngdekraften, i motsetning til sentrifugalkraften,ikke er den samme overalt på jorda.Grunn 3: Tyngdekraften er ikke konstant, men

varierer – både i styrke og retning – fra sted til sted.

Formelen for tyngdekraften er gitt i Newtons be-rømte gravitasjonslov. I denne sammenhengenholder det å slå fast to ting vedrørende tyngdekraf-ten rundt ei kule med jevnt fordelt masse (jorda ogmånen er tilnærmelsesvis slike kuler). For det førsteer tyngdekraften rettet mot kulas sentrum, og fordet andre avtar styrken med avstanden fra sen-trum.

Forklaring av deformasjonen

Nå skal vi se på hvordan disse kreftene faktisk førertil en deformasjon av den globale havoverflaten.

Figur 3 er en skjematisk framstilling av jorda ogmånen på et bestemt tidspunkt. De fire pilene somer rettet mot månen, viser månens tiltrekningskraft(tyngdekraft) på de fire stedene merket A, B, C ogD på jorda. Sentrifugalkraften som stammer frajordas månedlige omløp, er representert ved pilenesom er rettet mot høyre på figuren, altså utover isirkelbevegelsen.2 Som nevnt er månens tiltrek-ningskraft, i motsetning til sentrifugalkraften, ikkeden samme overalt på jorda. Dette er vist ved devarierende retningene og lengdene til pilene (vekto-rene). Det er mulig å vise at i jordas sentrum hartiltrekningskraften samme styrke som sentrifugal-kraften og motsatt retning, så der opphever de tokreftene hverandre. Alle andre steder blir det imid-lertid tilovers en nettokraft. Denne nettokraften,som kalles tidevannskraft, er vist i figur 4 for for-skjellige områder på jordoverflaten.

Vi ser først på områdene rundt A og C, hvortiltrekningskraften og sentrifugalkraften er paral-lelle og motsatt rettede. I områder nærmest må-nen (A) er tiltrekningskraften større enn sentrifu-galkraften (se figur 3), slik at det er en nettokraft iretning månen (figur 4). På den siden som er lengstborte fra månen (C), er forholdene motsatt. An-nerledes er det i områder som B og D. Her hartiltrekningskraften og sentrifugalkraften omtrentsamme styrke, men de er ikke parallelle.Tiltrekningskraften er rettet litt innover, så netto-kraften her har retning omtrent mot jordas sen-trum.

I områder som A, B, C og D er nettokraften

Figur 2 Systemet jord og måne ved to tidspunkter med omtrent to ukers mellomrom, sett ovenfra i forhold til

planet de beveger seg i. Massesenteret, angitt ved punktet midt på figuren, er tenkt å være i ro. Sirklene med

tykk strek viser posisjonene ved første tidspunkt, sirklene med tynn strek viser situasjonen to uker senere.

De fire stiplede linjene i midten beskriver halvsirkler som gjennomløpes av forskjellige steder på jorda i løpet

av dette tidsrommet (når man ser bort ifra jordas egenrotasjon).

nr300.p65 17.02.2008, 18:3638

tangenten 3/2000 39

altså parallell med jordas egen tyngdekraft. La ossnå se på områder som ligger imellom to slike om-råder, for eksempel området E (figur 4). Her blirnettokraften en mellomting mellom den i D og deni A, og den ligger derfor delvis på langs av havover-flaten (den har med andre ord en tangentiell kom-ponent) og trekker vannet mot A. Som figur 4 vi-ser, blir det tilsvarende i de øvrige tre områdenehvor det er tegnet inn piler. Resultatet av alle dissenettokreftene – tidevannskreftene – er at vannetstrømmer mot de to områdene rundt ytterpunk-tene A og C.3

I virkeligheten er situasjonen mer komplisertenn det som er blitt beskrevet her. Det skyldes blantannet kontinentene og havdypene.

Forskjeller fra sted til sted

De tidspunktene da man er nærmest månen, ernår den står i sør. Det som er blitt sagt så langt,skulle kanskje tyde på at det alltid er flo på sliketidspunkter, men dette er ikke tilfelle. Grunnen tildet er at kontinentene hindrer vannmassene i ha-vene å bevege seg fritt, noe som fører til en forsin-kelse i ankomsten av tidevannet. Denne forsinkel-sen, som varierer fra sted til sted og er meget kom-plisert å beregne, kalles havnetiden. I tillegg finnesdet påfallende store lokale variasjoner i tidevanns-forskjellen. Enkelte steder er forskjellen mellom floog fjære nærmere 20 meter, mens den knapt ermerkbar andre steder. Dette er blant annet avhen-

Figur 4 Tidevannskraft (nettokraft gitt som summen av tiltrekningskraft og sentrifugalkraft i figur 3) forskjellige

steder på jorda, sett ovenfra eller fra siden i forhold til baneplanet.

C

D

A

B

E

Figur 3 Tiltrekningskraft (tyngdekraft) fra månen (t.v.), angitt ved heltrukne piler, og sentrifugalkraft, angitt ved

stiplede piler, forskjellige steder på jorda (t.h.). Bildet beskriver perspektiver både ovenfra og fra siden i

forhold til baneplanet.

B

A C

D

nr300.p65 17.02.2008, 18:3639

3/2000 tangenten40

gig av kystlinjas form og havbunnens dybder. Inoen bukter vil vannet, når det strømmer inn ogut, kunne skylle fram og tilbake som en bølge (påsamme måte som man kan få vannet til å skyllefram og tilbake i badekaret). Hvis den karakteris-tiske perioden for denne bølgen er i nærheten av12 1/2 time, får bølgen ekstra stort utslag somfølge av resonans. Figur 1 beskriver altså egentligen forenklet situasjon, hvor man forestiller seg atjordoverflaten er fullstendig dekket av hav. Denmaksimale forskjellen i vannstanden ville i et slikttilfelle være bare omtrent en halv meter.

Solas rolle

Så langt har vi sett bort ifra solas virkning. Det erimidlertid klart at grunn nr. 2 ovenfor (jordaskretsløp rundt massesenteret med månen) gjelderpå samme måte for sola som for månen, bortsettfra at omløpstiden er et år istedenfor omtrent enmåned. Siden sola har mye større masse enn jorda,er det felles massesenteret i dette tilfellet praktisktalt sammenfallende med solas massesenter. Ogsågrunn nr. 1 og 3 – jordas daglige rotasjon samttyngdekraftens variasjon – gjelder som før. Dettebetyr at også sola forårsaker en tidevannseffekt påjorda. Spørsmålet er hvor stor denne effekten er iforhold til den effekten som forårsakes av månen.Til tross for at avstanden til sola er mye lengre ennavstanden til månen, sørger solas enorme massefor at den har større tiltrekningskraft på jorda enndet månen har. Vi har imidlertid sett at det som eravgjørende, er hvor mye tiltrekningskraften vari-

erer mellom forskjellige steder på jordoverflaten. Pågrunn av den store avstanden til sola er denne va-riasjonen mindre enn variasjonen i månens tiltrek-ningskraft, og det viser seg at tidevannseffekten frasola er knapt halvparten så stor som månens. Solasvirkning er mest merkbar når jorda, månen og solaligger på en linje. Dette skjer omtrent to ganger imåneden, nemlig ved fullmåne og nymåne. Da blirdet spring, med ekstra store tidevannsforskjeller(springflo og springfjære). Tidevannsforskjelleneer minst ved nipp, når retningene til sola og månendanner rette vinkler.

Tidevannskrefter

En liten kommentar til slutt. Vi har sett attidevannskraften et gitt sted på jordoverflaten blirdannet av summen av månens (og solas) tyngde-kraft og sentrifugalkraften, eller alternativt av for-skjellen mellom månens (og solas) tyngdekraft påstedet og tyngdekraften i jordas sentrum. Genereltvil ethvert objekt med en viss utstrekning bli påvir-ket av deformasjonskrefter som er forårsaket avtyngdefeltets inhomogenitet (dvs. av at tyngdekraf-ten ikke er konstant, men varierer fra sted til sted).Disse deformasjonskreftene betegnes i fysikkenogså som tidevannskrefter.

Et enkelt eksempel er gitt ved at man tenker seget lodd som holdes rett over et annet lodd i tyngde-feltet til for eksempel månen, og at de slippes sam-tidig. Hvis de får starte høyt nok, vil de etterhvertfå stadig større avstand, for tyngdekraften er heletiden størst på det nederste loddet (se figur 5 a).

Figur 5 Effekten av tidevannskreftene i et inhomogent tyngdefelt: (a) To lodd som faller fra forskjellig høyde får

økende avstand, (b) To lodd som faller fra samme høyde får minkende avstand, (c) En fallende elastisk ring

med fire lodd blir deformert.

a b c

nr300.p65 17.02.2008, 18:3640

tangenten 3/2000 41

Blir de derimot sluppet ved siden av hverandre isamme høyde, vil de nærme seg hverandre, sidentyngdekraften da har samme styrke, men ikkesamme retning (figur 5 b). Hvis man nå tenker segfire lodd som i utgangspunktet er fysisk forbundetmed en elastisk ring, er det lett å se at ringen etterhvert blir strukket i loddrett retning og sammen-presset i vannrett retning (figur 5 c).

Dette lille eksempelet kan knyttes direkte tiltidevannsfenomenet. Når jorda kretser rundtmassesenteret med månen, eller rundt sola, er dettefaktisk ingenting annet enn en kontinuerlig fall-bevegelse, men da i tillegg med en fartskomponentpå tvers av fallretningen. Deformasjonen av ringenmed loddene har med andre ord nøyaktig sammeopphav som den lille deformasjonen av jordashavoverflate, som altså fører til tidevann.

Et par utregninger

Til nå har vi unngått formler, men noen tall harvært nevnt når det gjaldt lengden av et månedøgnog avstanden mellom jordas sentrum og det fellesmassesenteret med månen. La oss nå se på hvor-dan man kan komme fram til disse tallene.

(1)(1)(1)(1)(1) Soldøgn og månedøgn. Et døgn, d = 24 h, kal-les også et soldøgn fordi det er den tiden det tarfor jorda å gjøre en omdreining sett i forhold tilsola. Siden jorda også beveger seg langs en banerundt sola, er et soldøgn ikke helt likt et stjernedøgn(jordas rotasjonstid i forhold til stjernehimmelen).Månedøgnet er en tredje type. Lengden av etmånedøgn, D, kan regnes ut når man vet at tidendet tar mellom hver gang månen krysser forbin-delseslinjen mellom jorda og sola, er T = 29,5d. Iløpet av denne tiden roterer jorda T/d ganger i for-hold til sola, men bare T/D ganger i forhold tilmånen. Siden månen i løpet av dette tidsrommethar gått rundt jorda én gang i jordas rotasjons-retning, må antallet T/D være én mindre enn T/d,altså

T/D = T/d – 1,

som gir den enkle sammenhengen

1/d – 1/D = 1/T.

(Tilsvarende sammenheng er det bl.a. mellom etstjernedøgn, et soldøgn og et år.) Dermed finnerman månedøgnet:

(2)(2)(2)(2)(2) Massesenterets plassering. Avstanden mellomjordas og månens sentre er a = 384 000 km, ogjordas masse M er 81 ganger så stor som månensmasse m, altså M = 81m. Avstanden x fra jordassentrum til massesenteret kan regnes ut ved hjelpav vektstangprinsippet: Siden avstanden fra må-nens sentrum til massesenteret er a – x, får manligningen

m(a – x) = Mx fi ma = (M + m)x,

som gir avstanden til massesenteret, dvs. radien ijordas sirkelbevegelse:

altså omtrent 3/4 av jordradien, som er på6400 km.

Utregning (1) kan gjøres på flere forskjelligmåter, og disse kan med fordel akkompagneres avpassende geometriske figurer. Resultatet av utreg-ning (2) kan man konkretisere ved for eksempel åforbinde to vekter i masseforhold 1 : 9 med en lettstang eller et tau, og så merke av massesenteret entidels taulengde fra (sentrum i) den tyngste vekten.Da skal det være mulig å få dette modellsystemet tilå rotere på isen på en slik måte at massesenteretligger i ro.

Vi har i disse to eksemplene å gjøre med mate-matikken innen tidevann som astronomisk feno-men, med en viss vekt på geometri og vektor-regning. På den annen side er det også matematikki selve det synlige resultatet av fenomenet, altså dedaglige og månedlige svingningene i vannstanden.Disse kan danne utgangspunkt for undervisninginnen sammenhengene mellom tabell, graf og si-tuasjon generelt og innen sinus- og cosinus-funk-

nr300.p65 17.02.2008, 18:3641

3/2000 tangenten42

sjoner spesielt (se referanse [2]). Tidevannstabellerfinnes ferdigtrykt, men det er også mulig å få demregnet ut og vist med tilhørende grafer (se refe-ranse [3]). Alle som bor ved kysten (og særlignordover i landet, hvor forskjellene er tydeligst)har dessuten muligheten av å lage tidevannstabel-ler selv ut ifra egne målinger. Ved å måle vannstan-den mange ganger i løpet av en dag, ser man va-riasjonen i takt med månedøgnet, mens man ved åmåle høyeste vannstand gjennom en måned kan fåfram de månedlige variasjonen mellom springfloog nippflo.

Når man står i fjæra, er det pussig å tenke påat det her holder til dyr og planter med en «dags-rytme» tilsvarende et halvt månedøgn. For disseorganismene har altså månen i en viss forstand enviktigere direkte effekt enn sola.

Noter

1 Newtons fødselsår er 1642 etter den

julianske kalender (som fortsatt var i bruk i

England da), 1643 etter den gregorianske.2 Strengt tatt representerer pilene kraftfelt,

altså kraft pr. masseenhet.

3 Det er selvsagt mulig å gi en beskrivelse som

ikke innebærer bruk av såkalte fiktivkrefter

slik som sentrifugalkraften, men dette blir

betraktelig mer komplisert. For det første

forutsetter det bruk av Newtons andre lov,

SF = ma, for det andre kjennskap til begrepet

sentripetalakselerasjon (som skal inn på

høyre side av ligningen), og for det tredje at

man tar med de indre kreftene på jorda

(jordas tyngdekraft og normalkraft) på

venstre side av ligningen.

Referanser

[1] Mellor, G. L. (1996), Introduction to Physical

Oceanography (Springer, New York).

[2] Torkildsen, S. H. (1995), Det svinger i Bodø! En

matematisk modell. Tangenten 6, nr. 4, 23-29.

[3] Internett – se for eksempel:

http://tbone.biol.sc.edu/tide/sitesel.html eller

http://www.math.uio.no/tidepred/ eller

http://www.dnmi.no/varsel/index.html

ICME 10 · 2004Kvart 4. år vert det halde ICME – International

Congress on Mathematical Education. I år var den i

Japan, i 2004 skal den vere i København; dei

nordiske landa samarbeider om arrangementet.

Vi kjem til å høyre meir om dette i åra framover;

dei som er interessert kan følgje med på heimesidene

www.icme-10.dk

nr300.p65 17.02.2008, 18:3642

tangenten 3/2000 43

nr300.p65 17.02.2008, 18:3643

3/2000 tangenten44

Modellbegrepet er sentralt i matematikken. Detdreier seg om hvordan man ut fra noen opplysnin-ger om virkeligheten kan lage et matematisk bildeav denne virkeligheten, og deretter analysere dettebildet for å finne mer informasjon om virkelighe-ten. Modeller brukes blant annet som grunnlag forsvært mange politiske beslutninger, men også i defleste andre sammenhenger.

Matematisk modellering er et kraftig redskap,og kraftige redskaper er det bestandig fare for åmisbruke. Man kan putte inn mer eller mindre sik-ker informasjon, lage seg en modell, og få ut in-formasjon som kan nyte godt av matematikkensautoritet. Slik bruk av matematikken egner seggodt for å manipulere en godtroende opinion.

Nettopp derfor er det viktig at elevene får etbevisst forhold til modeller, og ser at konklusjo-nene som kommer ut aldri er sikrere enn de anta-kelser vi legger til grunn når vi lager modellen.Problemstillingen nedenfor er en av mange somegner seg godt fra en slik synsvinkel. Den er lettforståelig, og kan forhåpentligvis berede grunnenfor å ta opp mer kompliserte (og politiske?) mo-deller senere.1

Problemstilling

Jeg er litt høyere enn faren min; jeg er 178 cm høy,mens min far er 176 cm høy. Dette har irritert hamikke så rent lite, men her om dagen kom han tri-umferende med et nytt innspill: – Da jeg var re-krutt (i 1950) var jeg høyere enn gjennomsnittet,mens du var lavere enn gjennomsnittet (i 1990). Selvom jeg synes at dette argumentet ikke var noe vi-

Bjørn Smestad

Uhemmet regresjon –det er fali det

dere lå utfordringen i luften: Stemmer dette?Et søk på nettet (www.ssb.no) frembrakte følgendetabell:

Norske rekrutters gjennomsnittshøyde:

År Høyde1900 170,01930 172,81960 177,11990 179,7

Oppgave

Hva blir konklusjonen: Stemmer farens påstand el-ler stemmer den ikke?

En tilleggsutfordring: Si noe om hvorfor høy-den har økt så voldsomt.

Hva er det rimelig å anta at gjennomsnittshøy-den til rekruttene vil være i 2010?

Hva med gjennomsnittshøyden i 1800? Eller i1030?

Fra litteraturen

Et analogt problem er omtalt og løst i Tre småvenner av Kjell Aukrust:

Vi kommer inn i historien i det Solan Gunder-sen forsøker å åpne et syltetøyglass, og Ludvigkommer med et forslag:

- Hadde man enda hatt disse jomsvikingene, desom bet i skjoldkantene. De hadde vel bitt lokketfint av, store og utvokste karer som de var!

- Hva var det denne Ludvig’n satt og bablaom?

nr300.p65 17.02.2008, 18:3644

tangenten 3/2000 45

Gundersen var irritert:- Store og kraftige vikinger? Sludder og våsprat

fra ende til annen. Vikingene var noen oppskryttesmå puslinger!

Ludvig så mistenksom på Solan: Hvor haddesagbruksarbeideren disse opplysningene fra?

Solan Gundersen hadde det fra sjølvesteforskningssjefen i Statistisk Sentralbyrå. Eksper-tene regna seg tel sånt. Dagens norske soldat vokstenemlig 0.8 millimeter om året. I dag var gjennom-snittshøyden 179 centimeter. Det var bare å regneseg attende i tia med null komma åtte, tel slaget påStiklestad – Da skulle’n Ludvig få sjå svart på kvittå mye det vart att tå’n Olav den Hellige,Gaukatore, Afrafaste og’n Hårek fra Tjøtta! – Nei,her nytta det itte å telle på fingra! Men Solan Gun-dersen kunne fortelle det han:

- Dessa oppskrytte råskinna som barkasammen i slaget på Stiklestad var itte høyere enn29 centimeter!

Ja Ludvig kunne bare måpe. På Stiklestad villehan verken ha sett snurten av bondehæren ellerkara hass Olav den Hellige. Døm var rett og slettborte neri graset.

- Det eneste Ludvig ville sett og hørt, var kamp-rop og ei skur av knappnåler som pilsvermer overgrastorva. Så kom itte og fortell en sagbruks-arbeider at vikingene kunne skru lokket av et sylte-tøyglass fra Nora fabrikker!

Målløs over slike statistiske kjensgjerningersatte Ludvig seg ende ned …

Dagen etter holdt han seg til opptråkkete stier.Gjennom høgt gras ville han ikke ta seg fram:

Rote seg bort i etterdønningene fra slaget påStiklestad, det var fali det!

(Kjell Aukrust: Tre små venner, HelgeErichsens Forlag 1979)

Didaktiske kommentarer

Det elevene gjør i denne oppgaven, er å lage en ma-tematisk modell, tenke over forutsetningene i denog trekke ut opplysninger av den. I tillegg skapes enkognitiv konflikt hvis de faktisk regner ut at vikin-gene på Stiklestad var ekstremt lave. Dennekognitive konflikten kan føre til at elevene tenkermer over forutsetningene de har gjort, og kanskjekommer de fram til at konklusjoner ikke kan trek-kes ukritisk – dersom vi skal forutsette at endrin-gen i høyde har vært lik langt tilbake i tid, må vivære rimelig sikre på at forholdene (eller endrin-gene i forholdene) har vært tilsvarende i hele tids-perioden.

Et annet moment er at man her benytter seg avhumorens kraft. Hvorvidt bruk av humor bidrartil læring er høyst omstridt, men de fleste for-skerne mener at bruk av humor i det minste bi-drar til et hyggeligere og mindre skremmendelæringsmiljø. (Dette forutsetter naturligvis at hu-moren ikke er av uthengende art). En del forskeremener at humoren må være nært knyttet til temaetom den skal ha noen læringseffekt, mens mer løs-revet humor kan virke avsporende. Humor-forskning kan derfor sies å støtte bruk av humorsom i dette eksemplet.

Før jeg begynte å skrive denne artikkelen, hardet aldri falt meg inn at regnestykket til Solan (ellerforskningssjefen i Statistisk Sentralbyrå?) kan værefeil. Men jeg vil anta at elevene (og andre) vil få an-dre svar enn 29 centimeter … Dette er kanskje enhint om effekten av å bruke «autoriteter» i under-visningen, både på godt og vondt …

Takk til Kjell Aukrust for tillatelse til å brukeutdraget fra Tre små venner.

Note

1 Se Mogens Niss: «Matematiske modeller,

almendannelse og demokrati» fra

Matematikundervisning og Demokrati,

IMFUFA, Roskilde Universitetscenter 1990.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3645

3/2000 tangenten46

nr300.p65 17.02.2008, 18:3646

LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 47

Landslaget formatematikk i skolenAdresse:Landslaget for matematikk i skolenBoks 2919, LandåsN-5825 BergenE-post: lamis@hib.noPostgiro: 0819 2039356 Organisasjonsnr: 980 401 103

Det overordnede målet for Land-slaget for matematikk i skolen erå heve kvaliteten på matematikk-undervisningen i grunnskolen,den videregående skole og påuniversitet/høyskole.Landslaget skal stimulere til kon-takt og samarbeid mellom lærerepå ulike utdanningsnivåer ogmellom lærere og andre som eropptatt av matematikk.

Styret består av:Fra grunnskolens barnetrinn:Henrik Kirkegaard, ÅlesundTurid Nørving, MossFra grunnskolens ungdomstrinn:Johannes Hjelland, BømloSvein H. Torkildsen,Kristiansand (styreleder)Fra videregående skole:Anne Karin Wallace, Trondheim.Bente Solbakken, Mo i RanaFra høyskole/universitet:Kristian Ranestad, OsloVeslemøy Johnsen,Kristiansand (nestleder)

Medlemsavgift for 2000Skole/institusjon 500,–Enkeltmedlem 275,–Husstandsmedlem 125,–Studenter 200,–

Tangenten inngår i kontingenten(Gjelder ikke husstandsmed-lemmer)

«Jeg hadde aldri trodd det skullebli så mye ut av det på dennekorte tiden.» Uttalelsen stammerfra en av de som var med daLAMIS ble etablert i Nordfjordeid iaugust 1997, og den falt i etter-kant av det andre sommerkursetvårt, august 1999. Personligsynes jeg det har vært både in-spirerende og moro å erfare denvarme mottakelse LAMIS har fåtti mange kretser, fra departementtil ingeniørorganisasjoner og in-dustri. Men det viktigste vil alltidvære interessen for LAMIS hospraktiserende lærere. Også derer det mye positivt å erfare.I mine to år som styreleder harjeg fått mange henvendelser frade fleste deler av vårt vidstrakteland. Det fins så menn enga-sjerte lærere med interesse formatematikkundervisning. Men

mange føler seg ensomme ogsavner et nettverk. Vi må nokbare innse at vår særegne geo-grafi og bosetting gjør det van-skelig for mange med personligkontakt i et lokalt nettverk. Selv imer tett befolkede områder kandet være vanskelig å få i gangaktivitet gjennom lokallag. Detser ut til å være et arbeid sommå gå over tid. Vi har heldigvismedlemmer rundt om i landetsom ikke gir seg i første mot-bakke.Dess viktigere vil nok sommer-kursene bli. Etter mitt skjønn harvi selv arrangert to svært godesommerkurs der foredrag ogverksteder har holdt høy kvalitet.I år var vi i Island på nordiskmatematikklærerkonferanse.Omkring 70 av 130 deltakere varnorske, og langt de fleste av demer medlemmer av LAMIS. Tilneste år vil vi igjen arrangereeget sommerkurs. Søknad omstøtte er sendt, og vi får håpe atStatens Lærerkurs igjen åpnerpengesekken slik at riktig mangekan samles i Kristiansand tidlig iaugust. Det hadde vært festlig åpassere 100 deltakere. Blir væretsom det er mens jeg nå sitter herog skriver, kan vi nok en gang få

nr300.p65 17.02.2008, 18:3647

48 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

denne deilige kombinasjonen avferie og fag!Et annet tiltak vi med god grunnkan ha store forventninger til er«matematikkleirskolen» i Nord-fjord. På LAMIS-sidene i dettenummer av Tangenten har vi enomtale av det pilotprosjektet vihar arbeidet med en tid. Mye harskjedd siden ideen ble kastetfram på et møte i interimstyret foret par år siden, og det er deilig åse konkrete resultater. Dette erså avgjort et tiltak å satse på ifortsettelsen. Målet får være atflest mulig elever – og lærere –får erfaring med å «gjøre ogsnakke» matematikk, ikke bareløse oppgaver fra læreboka. Kanvi bidra til å dreie arbeidet medmatematikk mer i den retningenog elevene i tillegg får med segandre hyggelige minner og erfa-ringer fra leirskolen, burde dettekunne bli en positiv opplevelsefor mange. Her får vi bygge vi-dere på den kompetanse ogerfaring som LAMIS-medlemmerer i ferd med å opparbeide seg.Samarbeidet med Fellesrådet forkunstfagene i skolen (FKS) harogså gitt synlige resultater. Kon-feransen i mars var vellykket oghadde hele 411 deltakere. Også

dette var et tiltak som ga delta-kerne inspirasjon til å sette mate-matikken inn i en sammenhengsom kan gi arbeidet med fageten ny dimensjon. Omtalen avkonferansen i dette nummer avTangenten viser at LAMIS-med-lemmer satte sitt preg på det somskjedde og at tilbakemeldingeneer gode. Vi holder fortsatt kon-takt med FKS, og i slutten av junivar vi sammen med dem i etmøte i departementet for en litenoppsummering av konferansenog mulig spredning av ideer tiltverrfaglige opplegg. Med denomorganisering av departemen-tet som nå foregår, vil organisa-sjoner som vår stå overfor nyeproblem. Det vil ligge mindrepenger i departementet til åstøtte tiltak som f eks konferan-sen «Riv ned gjerdene». Mye avpengene til utviklingsarbeid leg-ges ut til utdanningsdirektøreneog vil bli fordelt gjennom dem.Under møtet lovte departementetå gi oss mulighet for å presentereoss og arbeidet vårt på en av desamlingene departementet jevn-lig har for samtlige utdannings-direktører. Det er en mulighet vibør prøve å få noe ut av.Matematikkrommet på Hovin-

høgda skole er i god gjenge.Også her er målet å inspirere tilvarierte aktiviteter i matematikk-undervisningen. Det godt utstyrterommet er nå på plass og åpnes islutten av september. Neste fasei arbeidet blir å få erfaring medbruk av utstyret og spredning averfaringene. Et eget matematikk-rom er neppe den beste løsnin-gen for alle skoler. Det er brukenav utstyret som kan bidra til øktmatematkkforståelse hos elev-ene, og organiseringen av utsty-ret og undervisningen blir detselvsagt en oppgave for denenkelte skole å finne en løsningpå. Uansett burde det være in-spirasjon og ideer å hente i detsom nå er under oppbygging påHovindhøgda skole. Bare det åha ei omfattende utstyrsliste medhenvisning til leverandør vil væretil hjelp for mange. Flere lister ertilgjengelige på LAMIS’ hjemme-side på internett.Det synet på matematikk-undervisning som ligger bak alledisse tre initiativene er også bygdinn i KappAbel-konkurransen forniendeklasser. Spesielt gledeliger det at det tunge fagmiljøet vedNTNU så sterkt signaliserer atdenne type aktiviteter er viktige i

nr300.p65 17.02.2008, 18:3648

LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 49

grunnskolens matematikk-opplæring. De samme signalerkommer fra matematisk instituttved UiO gjennom tilbudet til sko-lene om å få besøk av en mate-matiker som holder timer medelevene. Utbudet og variasjonen itemaer er riktig spennende.Som de aller fleste grunnskole-lærere underviser jeg i andre fagenn matematikk. I sommer harjeg blant annet vært på en euro-peisk konferanse for naturfag-undervisning i York, England. Jeghar også hatt en viss kontaktmed Prosessindustriens Lands-forening (PIL) som organiserteden norske deltakelsen på dennekonferansen. Det er interessant åse på det samarbeidet mellomundervisning og industri som erunder utvikling i flere land i Eu-ropa. Her hjemme har jo LAMISogså hatt kontakt med ingeniør-foreningene NIF og NITO, og PILer sammen med flere bedrifter enav sponsorene til matematikk-rommet som også ble presentert iYork. Mange er opptatt av å«blåse liv» i realfagene, og allesynes det er vanskelig å nå frampå tross av at de bruker storeressurser på arbeidet. Mye mate-riell og invitasjon til flere konkur-

ranser sendes skolene uten å nåfram til de som kan gjøre noemed det. Kanskje det haddevært bedre å samle kreftene,samordne tiltakene og la alt gåsom én forsendelse til skolene?Jeg har denne gangen tillatt megå bruke litt plass på en liten opp-summering og noen refleksjonernå som jeg holder på å avsluttemin periode som styreleder. Dethar vært en krevende, men ihøyeste grad interessant periode.Håpet mitt er at den aktivitetensom er i gang får fortsette, og atnye hoder bringer fram nye ideertil tiltak. Med dette takker jeg formeg og ønsker det nye styretlykke til i arbeidet.

Svein H. Torkildsen

http://www.lamis.noLAMIS har allerede vært på nettei stund. Internettsiden vår harbetydd en stor avlastning for osssom stadig har fått henvendelser

fra lærere som gjerne vil ha infor-masjon om LAMIS. Nå kan vihenvise interesserte til siden vår,og en god del nye medlemmerhar meldt seg via skjemaet påinternettsiden.Grete Tofteberg har stått for ar-beidet og bygd opp siden vår påsitt eget hjemmeområde. Når dufår dette nummeret av Tangentenburde alt være klart på vårt egetdomene, og energien kan brukespå å videreutvikle siden. Vedtek-tene og annen fast informasjonhar sin selvsagte plass på sidensom også er forsynt med linker tilandre interessante adresser.Informasjon om landslagets akti-viteter samt artikler og bilder frakurs og konferanser kan forhå-pentlig gi et bilde av hvordan viarbeider og hva vi prioriterer.Lokallag legger også ut informa-sjon om møter på internettsiden.En matematikkoppgave somskiftes ut i alle fall nesten hvermåned har vi også fått plass til.Har du forslag til en liten opp-gave er det bare å sende deninn. Og har du forslag til forbe-dringer av siden, er selvsagt ogsåde velkomne.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3649

50 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

Forestill deg drøyt 400 godtvoksne mennesker som sitter ogstirrer mot taket i Folkets hus iOslo. Hver og en har omhyggeligknyttet knute på en papirstrimmelog fått erfare at det dannes enregulær femkant. Ved hjelp avtaklyset som skinner gjennompapiret trer nå en femarmetstjerne fram i den regulære fem-kanten. En stille mumling gårgjennom salen. På scenen stården lune og rolige Geir Bottensom har regien på forsamlingensaktivitet.Og spør om han fikk oss med inni grenselandet mellom matema-tikk og kunst. Gjennom fine ek-sempler fra naturen og denmenneskeskapte hverdagen fikkhan øynene opp hos noen hver.Her var det snakk om bier ogblomster – og fotballer. SelvPentagon ble avlagt en litenvisitt. Og hver og en av demange konferansedeltakernefikk også lage ei flott lita eske aven sirkulær papirbit. Det ble enavkortet trekantet pyramide avdet – med lokk!At Geir tok prisen blant bidrags-yterne på konferansen «Riv nedgjerdene» får stå som min per-sonlige vurdering. Men det kom-

Riv ned gjerdene!Svein H. Torkildsen

mer tydelig fram av de 239evalueringsskjemaene som blelevert inn etter konferansen imars at mange var enige medmeg. Det var ellers varierendekvalitet over bidragene, og somrimelig er var det ikke full sam-stemmighet mellom deltakerneom hvem som var interessante.Annet er vel heller ikke å ventenår forsamlingen er en blandingav kunstnere, matematikere,kunstlærere, matematikklærereog allmennlærere. I en så sam-mensatt forsamling vil naturligvisogså det utbyttet hver enkelt får

ha sammenheng med egen kom-petanse eller mangel på sådan –som en av deltakerne så tref-fende formulerte seg påevalueringsskjemaet.Velformulert var i høyeste gradogså professor Trond Berg Erik-sen i sitt foredrag Ars sinescientia nihil. Mange var interes-sert i å få en utskrift av nettoppdet foredraget. Fellesrådet forkunstfagene i skolen – somhadde hovedansvaret for arran-gementet – ser seg ikke i standtil å få ut en konferanserapport.Men det er meningen å legge

nr300.p65 17.02.2008, 18:3650

LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 51

foredragene ut på Skolenettet.Da kan vi også få helheten iSvein Sjøbergs foredrag om«Realistens kalde kroppsspråk»som dessverre ble sterkt ampu-tert på grunn av tidssprekken iprogrammet. Mange følte medforedragsholderen som ble tvun-get til å improvisere.Flere av konferansedeltakernepeker på at tidsprogrammet varnoe strengt med lange økter ogkorte pauser. Det ble lite tid til ådyrke gamle og stifte nye be-kjentskaper, og det opplevermange som viktig på en konfe-ranse av denne type. Ved enseinere anledning er nok detteen innvending det bør legges storvekt på imøtekomme. De ufor-melle samtalene mellom enga-sjerte deltakere er ofte en likestor inspirasjon som de mer for-melle innleggene.Av de 239 som leverteevalueringsskjema var langt defleste kvinner (177) og majorite-ten over 35 år (193). 113 arbei-det i grunnskolen, 87 i videregå-ende skole og 36 på høyskole/universitet. Resten arbeidet iadministrasjon, annen offentligeller privat virksomhet. 105hadde matematikkfaglig og 109

kunstfaglig bakgrunn. Det var 70allmennlærere og 30 med annenbakgrunn. Flere av deltakernehar altså mer enn ett bein å ståpå. Det må være et komplimenttil de som har stått for konferan-sen at 115 i denne bredt sam-mensatte forsamlingen ga en5’er for helheten i konferansen.31 ga en 6’er – meget godt.

Hva mer hadde deltakerne påhjertet etter konferansen? Jegsiterer et utvalg av de mangepositive uttalelsene:· Etter R-94 er dette det første

kurset jeg får være med påsom tar for seg disse viktigedelene av læreplanen. Vitrenger slike innspill for å fået eieforhold til deler av lære-planen. Vi lærere kan væreen «treg masse». Vi trengerbare ordentlig input for åkomme i gang.

· Flott og inspirerende!· Dette må gjentas. Dette gir

energi!· Gjenta dette, helst årlig, men

til en lavere pris.· Det beste seminar jeg har

vært med på!· jeg føler jeg har fått en gave-

pakke fra skolen for å dra hit.

· Viktig konferanse i en forvir-rende tid – mye nytt/uliketolkinger av planer osv.

· Jeg skulle ønske hele kolle-giet mitt hadde vært her.

· Gir håp om at skolen bevegerseg i riktig retning.

Men skepsisen ligger også underhos enkelte:· Jeg var noen ganger urolig

for en mulig faglig overflatisk-het. Det er ikke nok å si«sirkel» og «kvadrat», så erdet automatisk matematikk.

· Jeg ser en liten fare:Matematikklæreren kangjerne la kjedsomhetenkomme inn i vårt fag ved åforklare for mye, ta vekkspenningen. Han må ogsåvære interessert i form oginnlevelse – på samme måtesom formgiveren må ha re-spekt for tallenes betydning –og skjønnhet!

· Seminaret var preget av forlite kunnskap i kunst oghåndverk. Ta med fagfolk iseinere prosjekt. Spre kunn-skap!

Noen peker på andre problemdet er verd å merke seg:· Dette har jeg venta på! Men

nr300.p65 17.02.2008, 18:3651

52 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

de fleste er ikke DER – reddefor mer bunden tid til planleg-ging/merarbeid.

· Jeg måtte betale over halv-parten selv, og ingen flerefikk delta.

Og så har vi da en som riktig slårtil: «Gjerdene er revet. Nå kom-mer ulven og tar alle sauene.»Nettopp denne kommentarenkan minne oss om at kombina-sjonen av fag ikke er uproblema-tisk. Men det hadde vært interes-sant med en nærmere begrun-nelse fra denne konferanse-deltakeren. Det kan bli en inter-essant debatt av det i Tangenten.Jeg synes LAMIS har all grunn tilå være tilfreds med konferansenog samarbeidet med Fellesrådetfor kunstfagene i skolen (FKS).De LAMIS-medlemmene som vari ilden under konferansen, haralle kommet godt ut avkonferansedeltakernes evalu-ering. En ekstra honnør fortjenerGunnar Nordberg og Ida HeibergSolem som har representertLAMIS i forberedelsene og gjen-nomføringen av konferansen. Devil også fortsatt holde kontaktmed FKS.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3652

LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 53

Sist skoleår ble medlemmene iLAMIS LAMIS LAMIS LAMIS LAMIS bedt om å mene noe omden videre utvikling av «Landsla-get for matematikk i skolen».Her følger en kortfattet oppsum-mering av undersøkelsen. Tallenebygger på svar fra 166166166166166 medlem-mer.I Tangenten har LAMIS noensider hvor de gir informasjon bl.a.om styrets arbeid med mer.

Spørsmål 1Spørsmål 1Spørsmål 1Spørsmål 1Spørsmål 1 gikk på hvordanman er fornøyd med den infor-masjonen som blir gitt på denevnte sidene i Tangenten og hersvarer 7575757575 %%%%% på at de er godtfornøyd og resten at de ermellomfornøyd.

Spørsmål 2Spørsmål 2Spørsmål 2Spørsmål 2Spørsmål 2 lød som følger:«Hva slags stoff for øvrig setterdu mest pris på i Tangenten».Her måtte man gjerne sette flerekryss.Av 5 nevnte områder var det 2–3som pekte seg klart ut som detmedlemmene verdsatte høyest:78 % vil gjerne ha artikler sombeskriver arbeid i klasserommet70 % setter stor pris på fagligeartikler om matematiske temaer60 % vil gjerne ha oppgavesider31 % liker at det debatteres ma-tematikk i bladet

Videre utvikling av LAMISGerd Nilsen

30 % setter pris på bokomtalerFlere nevner under kommenta-rene til dette spørsmålet at deliker variasjonen i bladet og der-for krysser av på det meste.Andre igjen sier at dette medtips om differensierings-mulighe-ter er noe man bør få mer av,hvis mulig. «Gleder meg til nestenummer av Tangenten» sies ogsåav flere.

Spørsmål 3 Spørsmål 3 Spørsmål 3 Spørsmål 3 Spørsmål 3 «Synes du etable-ring av lokallag bør være en prio-ritert oppgave?35 % svarer ja23 % svarer nei42 % svarer vet ikkeKommentarene som går igjen herer at dette er sterkt avhengig avildsjeler som kan risikere åbrenne ut.Det bør kanskje begrenses tilstørre steder hvor konsentrasjo-nen av matematikklærere errelativt høy.Noen kommenterer at en møte-plass for matematikklærerehadde vært fint å ha.

Spørsmål 4: Spørsmål 4: Spørsmål 4: Spørsmål 4: Spørsmål 4: «Hva slags aktivite-ter synes du et lokallag skal prio-ritere?»Av de som svarte her mente63 % at lokallaget skulle ha kurs

for alle interesserte og ikke baremedlemmene.Like mange mente at det skullearrangeres medlemsmøter medmatematikkaktiviteter34 % krysset av for at debatt-møter hadde vært interessant.PS! For den våkne matematikernevnes bare at man her kunnekrysse av ved flere alternativer.

Spørsmål 5 Spørsmål 5 Spørsmål 5 Spørsmål 5 Spørsmål 5 gikk på om med-lemmene synes at arbeidet om åutarbeide et lite oppgavehefteburde være en prioritert oppgaveder styret også ber om innspill framedlemmene. Dette oppgave-heftet er da tenkt å kunne bru-kes på flere nivå.Her svarer 82 % at de synesdette er en god ide3 % svarer nei15 % vet ikkeKommentarer her gikk på; flottide, håper mange kommer medoppgaveforslag, kanskje et forlagburde ta på seg jobben, hva omLAMIS og SUE kunne samarbei-det her, et godt supplement somvil være å ta L-97 på alvor.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3653

54 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

Jeg har aldri vært påmatematikkonferanse før, menvar en av de heldige som fikkstøtte fra LAMIS til å være medpå denne konferansen. Forvent-ningene om både faglig utbytteog natur- og kulturopplevelser fraIsland ble oppfylt.Arrangørene hadde tenkt påbegge deler fra begynnelse tilslutt. Jeg sitter igjen med mangeopplevelser fra Island, mye mat-nyttig faglig påfyll og mer kunn-skap om hva de andre nordiskelandene foretar seg påmatematikkfronten.Konferansen ble holdt i en litenby, Borgarnes, med historisk susfra sagatiden.

Faglig delHer var det lagt opp til en varia-sjon med foredrag, diskusjonerog verksteder. Jeg for min delhadde mest utbytte av verkste-dene jeg valgte å være med på.Programmet var lagt opp slik at vihadde muligheter til å velge. Detvar flott, men jeg fikk ikke medmeg alt jeg hadde lyst til. Varia-sjonen av temaer som ble tattopp på de ulike verkstedene varstor. De faglig ansvarlige for detteprogrammet hadde vært flinke til

Inntrykk fra IslandMarianne Thorrud Vike

å treffe temaer, og jeg fikk stortutbytte av å delta på verkstederom for eksempel algebra ogsannsynlighet og statistikk. Detga meg mye å reflektere over iforhold til L 97 og mye som jegkan bruke rett inn i undervisnin-gen min. Det er slik vi fotfolket(jeg er matematikklærer på ung-domsskolen) liker å ha det når vier på «kurs». Jeg fikk også be-kreftelse på at andre har prøvd utog kommet til samme konklusjonsom meg: Det er viktig med utfor-sking og andre type oppgaver itillegg til tradisjonelle

matematikkoppgaver vi kjennerfra før for å få med oss flere avelevene. Kanskje de også vilsynes at matematikk er GØY.Det var også fokusert påorganiseringsformer, hvordankomme bort fra lærerrollen og gåinn i veilederrollen? Her fikk jegmange ideer og tips under konfe-ransen.Det var også god tid til diskusjo-ner både innenfor programmerteposter og utenom disse.

Kulturell delDen kulturelle biten var også

Foto

: Kur

t Klu

ngla

nd

nr300.p65 17.02.2008, 18:3654

LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN 55

nøye gjennomtenkt, og disseinntrykkene vil sitte for bestandig.Jeg som alltid har drømt om åreise til Island fikk med megmange av severdighetene landeter kjent for. Noen fikk til og medoppleve jordskjelv. Jeg kom endag for sent til denne opplevel-sen. Men åpningssermonien påÞingvellir fikk jeg med meg, enflott start på det hele. Andre opp-levelser var å få besøke hjemste-det til Snorri Sturlason. Her fikk vien fyldig innformasjon om dettestedets historie av presten oghans fru som nok var svært såglade i og stolte av stedet sitt.Varme kilder ble besøkt og vi fikkogså smake vann med CO2 rettfra kilden. Jeg og mange andrebenyttet også anledningen til å tamed oss noen biter av Island. Detble plukket lava i stor stil på enav våre utflukter som et bevis påat vi hadde vært der. Sankthans-dagen bød på mange opplevelsersom skjerpet flere av sansenevåre. Det å smake på råtten haivar en av dem, en selsom rettsom ble servert på en gård utmot Breiðarfjörður. Den vil blihusket, men jeg er ikke sikker påom den opplevelsen blir gjentatt.På samme sted fikk vi også

besøke denlille gårdenskirke. Bondensom eidekirken varomviser.Mange gamlegjenstanderble vist frammens eierenfortalte histo-rien om dem.Samme kveldfikk vi en flottnaturopple-velse med båtpå Breiðar-fjörður. Vi fikk se havørn, lunde-fugl og mange slags blomstersom vokste på øyene i fjorden.Senere på kvelden var det etfantastisk måltid med alt somhavet kan by på. Det mest spesi-elle var det å få smake på lunde-fugl. Denne sankthansdagen vilbli et godt minne for livet. Til ogmed solen var med oss underhele oppholdet. Islendingene varlike overrasket som oss over såmye fint vær.Festmiddagen den siste kveldenble slik det sto i programmet,underholdning fra deltagere, fraden lokale folkedansgruppen og

dans og moro til langt på natt.Det jeg sitter igjen med fra dennekonferansen er rikt utvalg avideer til min egen matematikk-undervisning og bedre grunnlagtil å forbedre denne. Det varutrolig morsomt å få være med iet nordisk matematikkmiljø. Detga meg også enorm lyst til åengasjere meg mer for dettefaget. Det blir nok ikke sistegang dere ser meg.

Hilsen en heldig lærer som fikkvære med på dette.

Foto

: Kur

t Klu

ngla

nd

nr300.p65 17.02.2008, 18:3655

56 LANDSLAGET FOR MATEMATIKK I SKOLEN

7. klasse på Kirkebygden skole iVåler, Østfold var heldige ogskulle få prøve et leirskole-opphold ved Sophus Lie-sente-ret/Fjordane folkehøgskole. 20spente elever, to foreldre ogklassens lærer dro med buss fraskolen mandag 4. juni om mor-genen. En lang busstur ventet.Denne gikk mye bedre enn noenkunne tro på forhånd. En beha-gelig buss, en grei sjåfør, trevideofilmer og bra vær bidro tildette. Framme i Nordfjordeidventet en god middag, alle varfornøyd med både mat og rom.Neste dag, tirsdag, begynte «al-voret», selve leirskolen. Klassenble delt i grupper, den enegruppa arbeidet med planetene ivårt solsystem, de lagde også etfint solur. Den andre gruppajobba med hemmelige koder/kryptogrammer. Etter lunch gikkturen til Bjørkevika der det blirbygd vikingskip. Her fikk alle ut åro. Fem par årer i hvert skip, detvar ikke helt lett. Bading ble detogså tid til før vi skulle hjem igjentil middag. På kvelden var detsamling ved sjøen, bading, leirbålog allsang. Alle syntes de haddehatt en fin dag.Onsdag var det dragebygging,

Med 7. klasse til NordfjordeidTurid Nørving

Pytagoras og kalkulatorlek somsto på planen. Etter lunch kunneelevene ri. Her hadde vi en av-tale med hestesenteret. De somikke skulle ri kunne velge fotball,dragebygging eller modellfly-bygging. De fleste guttene valgtefotball. Middagen i dag var grillingute i atriet. Her var vi sammenmed ti engelske elever som ogsåbodde på skolen denne uka.Ulike gruppeoppgaver ute, enliten samling inne, bra med fritidfør leggetid og oppholdet vårt varsnart over.Hjemover gikk turen overValdresflya, snø og nydelig vær.Alle elevene var godt fornøydmed turen og ganske trøtte ogslitne på skolen fredag.Til slutt noen betraktninger fraklassens lærer. I forkant av leir-skolen hadde elevene arbeidetmed et prosjekt om Sophus Lie.De hadde også hatt besøk påskolen av Kristian Ranestad ogGeir Ellingsrud fra Universitetet iOslo.Turen Våler–Nordfjordeid er lang,ca 10–11 timers busstur, menden gikk veldig bra. Fjordanefolkehøgskole er fint egnet til etslikt opphold, men vi burde kan-skje hatt noen regler om hvor og

når elevene kunne forlate skolen.Kanskje 7. klasse på våren ikkeer den helt «rette» klassen.Mange elever ser seg ferdig medskolen, og er mer interessert iskoletur enn i leirskole. Men - detvar ingen av elevene som villevært foruten denne turen. Tilturen fikk vi pengestøtte fra OddFellow Fondet, Moss, NorskeSivilingeniørers Forening og NITOØstfold. Vi fikk fire filmer plussframkalling av Moss Dagblad.Tusen takk til dem alle. En stortakk også til Henrik Kierkegaard,Bjørn Bjørneng og KristianRanestad som alle var flotte læ-rere for oss.

nr300.p65 17.02.2008, 18:3656