kretanje

Milinkovic M. Vukomir Fizika Osnovi teorije Re�eni zadaci Knjiga za samostalno pripremanje ispita 1

KretanjeU svakom trenutku sva tela u prirodi zauzimaju odre�ene poloµzaje u prostoru.Kretanje je promena polo-µzaja tela u odnosu na neko referentno telo koje uslovno miruje. Radi lak�eg prouµcavanja zakona mehanikeuveden je pojam materijalne taµcke koja se de�ni�e kao telo koje ima masu ali se oblik i druge dimenzije mo-gu zanemariti. Na primer, posmatraµc sa Zemlje zvezdu uvek vidi kao taµcku.Moµze se smatrati da se svako telosastoji od velikog broja materijalnih taµcaka pa se kretanje tela moµze smatrati kao istovremeno kretanjevelikog broja materijalnih taµcaka.Mehanika je deo �zike gde se prouµcava kretanje tela pod uticajem jedne sile ili vi�e sila pri µcemu se prihvatada je mirovanje poseban oblik kretanja.Mehaniku moµzemo podeliti na kinematiku, dinamiku i statiku.Kinematika je deo mehanike gde se prouµcava kretanje materijalne taµcke ili tela bez analize uzrokakoji su to kretanje izazvali.Dinamika je deo mehanike gde se prouµcava kretanje tela sa analizom uzroka koji su kretanje izazvali.Statika je deo mehanike gde se prouµcava dejstvo dveju ili vi�e sila na jedno telo i uslovne ravnoteµze telaPutanja ili linija koju materijalna taµcka �opisuje�u toku kretanja naziva se trajektorija.Pomeranje ilikretanje tela moµze biti pravolinijsko ili krivolinijsko pa trajektorijamoµze biti prava ili kriva linija.Prema obliku putanje, brzini ili ubrzanju, kretanje materijalne taµcke ili tela moµzemo �podeliti�i nasledeci naµcinPrema obliku putanje, kretanje materijalne taµcke ili tela moµze biti pravolinijsko ili krivolinijskoPremabrzini,kretanjematerijalne taµcke ili tela moµze biti ravnomerno ili neravnomernoPremaubrzanju,kretanjematerijalne taµcke ili tela moµze biti jednakoubrzano ili nejednakoubrza-no, odnosno jednako ili nejednako usporeno

Translatorno rotaciono i sloµzeno kretanje

x0

yA′

B′

C ′

A

B

C x0

y

A B C

A′

B′

C ′Linearno pomeranje ili kretanje tela, od-nosno translatorno kretanje (slika levo) jeoblik kretanja kada se sve taµcke tela krecu poputanjama (�linijama�) istih oblika i duµzinaKod translatornog kretanja tela svi njegovielementarni delovi imaju jednake i paralelneputanje.

Ugaono pomeranje ili kretanje tela, odn-osno rotaciono kretanje (slika desno) jeste

onaj oblik kretanja kada se sve taµcke tela krecu po kruµznim putanjama (�linijama�) ili koncentriµcnim krugo-vima oko neke ose, ne raµcunajuci one taµcke tela koje se ( eventualno ) nalaze na samoj osi rotacije.Kod rotacionog kretanja tela svi njegovi elementarni delovi imaju kruµzne putanje kojima se centri nalaze naistoj pravoj.Svako kretanje materijalne taµcke ili tela je kombinacija translatornog i rotacionog kretanja.

Ravnomerno ili jednoliko pravolinijsko kretanjeRavnomerno ili jednoliko pravolinijsko kretanje materijalne taµcke ili tela je ono kretanje kada materijalnataµcka ili telo u istim intervalima vremena prelaze ista rastojanja po pravolinijskoj putanji.

t t t( )t1S1

( )t2S2

( )t3S3

S S SA B C DAko materijalna taµcka ili telo iz poµcetnog poloµzajaA stigne za vreme t do poloµzaja B tada je rastoja-nje AB = S pre�eni put S koji su materijalna taµckaili telo pre�li za vreme t Ako za isto vreme t mate-rijalna taµcka ili telo stigne iz poloµzaja B do poloµza-ja C tada je rastojanje BC = S pre�eni put S kojisu materijalna taµcka ili telo pre�li za vreme t Ako zaisto vreme t materijalna taµcka ili telo stigne iz polo-

µzaja C do poloµzaja D tada je rastojanje CD = S pre�eni put S koji su materijalna taµcka ili telo pre�li zavreme t


Materijalna taµcka ili telo za dva puta vece vreme pre�u dva puta duµzi put, za tri puta vece vreme pre�utri puta duµzi put, odnosno:

� Put AC = 2AB = 2S telo pre�e za vreme 2 t � Put AD = 3AB = 3S telo pre�e za vreme 3 t

Ako pre�ena rastojanja AB = S; AC = 2S; AD = 3S podelimo sa odgovarajucim vremenima t; 2 t; 3 ttada dobijamo formulu za brzinu v kod ravnomernog kretanja, odnosno

v =AB

t=S

tv =

AC

2 t=2S

2 t=S

tv =

AD

3 t=3S

3 t=S

t� � � v =

nS

n t=S

t

Kod ravnomernog kretanjabrzinamaterijalne taµcke ili tela jednaka jekoliµcniku pre�enog putai vremena kretanja, odnosno brzina je brojno jednaka pre�enom putu koji materijalnataµcka ili telo pre�e u jedinici vremena pa moµzemo pisati

v =S

t

h ms

iAko materijalna taµcka ili telo za vreme t = 7 s pre�u put S = 7m tada njihova brzina (v) pri ravnomernomkretanju iznosi

v =S

t=7m

7 s= 1

m

sIz formule v =

S

tdobijamo formulu koja pokazuje zavisnost pre�enog puta (S )

brzine kretanja (v) i vremena kretanja (t) odnosno

S = v � tKako je brzina (v) kod ravnomernog kretanja ista u svakom trenutku kretanja, odnosno nezavisna

=S tv ⋅ }vt

43421t

v

0

od vremena kretanja, onda je njen gra�µcki prikaz na (v; t) koordinatnom si-

stemu prava linija paralelna sa t - osom. Iz formule v = S

t

h ms

ividimo da je

jedinica za brzinu jedan metar u jednoj sekundi, odnosnom

s

S1

S 2

S 3 =t 3t

=t 2t

=t 1t

=t 0=S 0 Ako je koliµcnik pre�enog puta S i proteklog vremena t konstantantada se brzina v moµze odrediti iz bilo kog merljivog intervala puta �Si merljivog intervala vremena �t kada je

v =S1t1=S2t2=S3t3=S2 � S1t2 � t1

=S3 � S2t3 � t2

=S3 � S1t3 � t1

= � � � = �S

�t

gde su intervali pre�enog puta �S i �proteklog�vremena �t konaµcni

= vSt•

S} }S }S

( )t s10 2 3

10

20

30( )S m

( )t s10 2 3

10

20

30( )S m

=v tS =

m10 = 5 sm

s2

=vtS = 20

sm= v

St•

= vS t•

S}

Iz formule S = v � tvidimo da je pre�e-ni put S kod ravn-omernog kretanjasrazmeran vrem-enu kretanja t gdeje brzina v koe�-cijent srazmere�to se gra�µcki moµzeprikazati na (S; t)

koordinatnom sistemu.Ako je brzina v veca tada sa slike desno vidimo da gra�k pre�enog puta S ima vecinagib ili uspon u odnosu na gra�k pre�enog puta S gde je brzina v manja.

Neravnomerno ili promenljivo pravolinijsko kretanjeSva kretanja u tehnici ili u prirodi uop�te sumanje ili vi�e promenljiva pa je zato promenljivokretanje osnovni oblik kretanja.Promenljivo kretanje je svako kretanje gde materijalna taµckaili telo u jednakim intervalima vremena prelazi razliµcite duµzine puteva.


Proseµcna ili srednja brzina

434214444444 34444444 21

444 8444 76A B C=S∆ S 2 S1−

1= v1 t•S1

= v 2 t• 2S 2

Ako rastojanje S1 od taµcke A do taµcke Btelo pre�e za vreme t1 i ako rastojanje S2od taµcke A do taµcke C telo pre�e za vremet2 tada je prirodno oµcekivati da ce rastoja-nje �S = S2 � S1 od taµcke B do taµcke Ctelo preci za vreme �t= t2� t1 nekom pr-oseµcnom ili srednjom brzinom (vsr )

vsr =S2 � S1t2 � t1

=�S

�todnosno

!v sr =

!S 2 �

!S 1

t2 � t1=�!S

�t

Kod promenljivog kretanja analiza proseµcne ili srednje brzine ima smisla samo u odre�enomdelu pre�enog puta �S ili u odre�enom intervalu vremena �t pa proseµcnu ili srednju brzinumoµzemo formulisati de�nicijom:

Proseµcna ili srednja brzina materijalne taµcke ili tela jeste brzina jednaka onoj brzinikod ravnomernog kretanja kojom bi materijalna taµcka ili telo pre�li isti put za istovreme kao pri kretanju promenljivom brzinom.

Pogledajmo primere

00) Ako jedan treptaj oka proseµcno traje t = 0; 1 s onda odredimo brzinu aviona koji u toku jednog treptajaoka preleti rastojanje S = 50mAko za vreme t = 0; 1 s avion preleti rastojanje S = 50m onda njegova brzina v iznosi

v =S

t=50m

0; 1 s= 500

m

s= 500

0; 001 km1

3 600h= 500 � 0; 001 � 3 600 km

h= 1800

km

h

00) Odredimo srednju brzinu leta Jastreba koji rastojanje S1 preleti za vreme t1 = 50 s brzinom v1 = 20m

sa zatim rastojanje S2 = 600m preleti za vreme t2 = 30 s

Kako je S1 = v1 � t1 = 20m

s� 50 s = 1000m onda srednja brzina leta Jastreba iznosi

vsr=S ukupno

tukupno=S1+ S2t1+ t2

=1000m+600m

50 s+ 30 s=1600m

80 s= 20

m

s= 20� 0; 001 km

1

3 600h= 20�0; 001�3 600 km

h= 72

km

h

00) Automobil pre�e rastojanje S1 = 100 km za vreme t1 = 4h a zatim pre�e rastojanje S2 = 50 km zavreme t2 = 1h Odredimo proseµcnu ili srednju brzinu automobila

vsr =S ukupno

tukupno=S1 + S2t1 + t2

=100 km+ 50 km

4h+ 1h=150 km

5h= 30

km

h

00) Automobil pre�e rastojanje S1 = 100 km brzinom v1 = 25km

ha zatim pre�e rastojanje S2 = 50 km

brzinom v2 = 50km

hOdredimo proseµcnu ili srednju brzinu kretanja automobila

Vreme za koje automobil pre�e rastojanje S1 i S2 iznosi t1 =S1v1=100 km

25km

h

= 4 h t2 =S2v2=50 km

50km

h

= 1 h

Srednja brzina kretanja automobila iznosi vsr =S ukupnot ukupno

=S1 + S2t1 + t2

=100 km+ 50 km

4 h+ 1 h= 30

km

h

00) Autobus ide iz jednog do drugog mesta udaljenog S = 250 km Prvo rastojanje S1 = 200 km autobus


pre�e za vreme t1 = 3; 5 h a zatim pravi pauzu od t = 0; 5 h Preostalo rastojanje S2 = 50 km autobuspre�e za vreme t2 = 1 hAutomobil krene u isto vreme na isti put. Prvi deo rastojanja S1 = 100 km automobil pre�e za vremet1 = 1; 5 h a preostali deo rastojanja S2 = 150 km automobil pre�e za vreme t2 = 1 h Kada stigne dodrugog mesta automobil pravi pauzu od t = 1 hOdredimo proseµcnu ili srednju brzinu kretanja autobusa i automobilaProseµcna ili srednja brzina kretanja autobusa iznosi

vsr =S ukupnot ukupno

=S

t1 + t+ t2=

250 km

3; 5 h+ 0; 5 h+ 1 h= 50

km

h

Kada automobil stigne do drugog mesta, onda se vreme pauze koju posle toga pravi ne ubraja u vreme kre-tanja pa proseµcna ili srednja brzina kretanja automobila iznosi

vsr =S ukupnot ukupno

=S

t1 + t2=

250 km

1; 5 h+ 1 h= 100

km

h

00) U prvoj polovini vremena svog kretanja automobil je i�ao brzinom v1 = 80km

ha u drugoj polo-

vini vremena dva puta sporije.Odredimo srednju brzinu kretanja automobila na celom putu

21 v1v 2 = = 40

hmkv1 = 80

hmk

21 t 2

1 t

S1 S 2vsr =

S ukupnot ukupno

=S1 + S21

2t+

1

2t=v11

2t+ v2

1

2t

t=1

2v1 +

1

2v2

= 40km

h+ 20

km

h= 60

km

h= 60 000

m

3 600 s= 16; 66

m

s

00) Na prvoj polovini puta svog kretanja automobil je i�ao brzinom v1 = 80km

ha na drugoj polovini

puta dva puta sporije.Odredimo srednju brzinu kretanja automobila na celom putu

21 v1v 2 = = 40

hmkv1 = 80

hmk

21 S 2

1 S

t1 t 2 vsr =S ukupnot ukupno

=

1

2S +

1

2S

t1 + t2=

SS

2v1+

S

2v2

=1

1

2v1+

1

2v2

=1

1

2

v2 + v1v1 � v2

=

= 2v1 � v2v1 + v2

= 280km

h� 40 km

h

80km

h+ 40

km

h

=6400

km

h120

= 53; 33km

h= 53 333

m

3600 s= 14; 81

m

s

00) Voz se krece brzinom v1 = 36km

h= 10

m

sa konduter u vozu ide brzinom v2 = 1

m

sOdredimo naj-

manju i najvecu brzinu kondutera u odnosu na µzelezniµcku stanicu.

Minimalna brzina kondutera u odnosu na µzelezniµcku stanicu iznosi

vmin = v1 � v2 = 10m

s� 1 m

s= 9

m

s

Maksimalna brzina kondutera u odnosu na µzelezniµcku stanicu iznosi

vmax = v1 + v2 = 10m

s+ 1

m

s= 11

m

s


00) µCovek na µcamcu hoce da pre�e reku �irine AB = 500m najkracim putem.Ako bi voda mirovala, tada bi

v1→

v 2→

v→r

A

B150 m

500m

C se µcamac kretao normalno prema obali brzinom v1 = 7; 2km

h= 2

m

sMe�utim, kretanje

vode u reci odnese µcamac 150m niz reku.Odredimo vreme prelaska µcamca preko reke i br-zinu kretanja vode u reci.

Vreme prelaska µcamca preko reke iznosi t =AB

v1=500m

2m

s

= 250 s

Ako kretanje vode u reci odnese µcamac 150m niz reku, onda brzina kretanja vode u reci

iznosi v2 =BC

t=150m

250 s=3

5

m

s

Trenutna brzinaAko materijalna taµcka ili telo u istim ili jednakim intervalima vremena �t prelazi razliµcite ili nejed-nake duµzine ili intervale puteva �S tada se oni krecu promenljivim ili ubrzanim ( ili usporenim )brzinama pa se takvo kretanje naziva promenljivo ili ubrzano kretanje. U sluµcaju ubrzanog ili us-

porenog kretanja, koliµcnik�S

�tnije konstantan vec prikazuje neku srednju brzinu u merljivom int-

ervalu vremena �t

vsr =�S

�t

Smanjivanjem merljivog intervala vremena �t do njegove �nemerljivosti� kada se pribliµzava ili teµzinuli, srednja vrednost brzine (vsr ) se pribliµzava ili teµzi trenutnoj brzini koju moµzemo prikazati formulom

v = lim�t!0

�S

�t=dS

dt

Trenutna brzina materijalne taµcke ili tela koji se krecu promenljivom brzinom jeste njihova sre-dnja brzina u beskonaµcno malom intervalu vremena ili puta.Trenutnabrzinamaterijalne taµcke ili tela jednaka jediferencijalnom koliµcniku puta i vremena, od-nosno prvom izvodu puta po vremenu �to je Njutnova de�nicija prvog izvoda

x

y

z0

A B

r→r→0

→0τ S Za opisivanje pravolinijskog kretanja materijalne taµcke u prostoru potre-

bno je znati poloµzaj njene putanje, odnosno prave u koordinatnom sistemuf (x; y; z) i pre�eni put S u funkciji od vremena t ili S = S (t)Poloµzaj putanje, odnosno prave moµzemo odrediti poloµzajem jedne taµckena pravoj (A) i ortom pravca (

!� 0 ) Ako u odre�enom intervalu vre-

menamaterijalna taµcka iz poloµzaja A pre�e u poloµzaj B tada je rastojanjeizme�u ta dva poloµzaja pre�eni put S gde je vektor pomeranja

�!r = S

!� 0 pa vektorska jednaµcina pravolinijskog kretanja ima oblik

!r =

!r 0 + S

!� 0

Kako su vektor poloµzaja taµcke A (!r 0 ) i ort pravca (

!� 0 ) konstantni, onda se brzina moµze prikazati rela-

cijom

!v =

d!r

dt=d

dt

!r 0| {z }0

+dS

dt|{z}v

!� 0 = v

!� 0

Kod ravnomernog pravolinijskog kretanja brzina v je konstantna dS

dt= v = const ) dS = v dtZ

dS =

Zv dt = v

Zdt ) S = v t+C = v t+S0 Konstantu integracije C = S0 odre�ujemo iz poµcetnih

uslova.Ako kretanje poµcinje iz taµcke A u trenutku t = 0 tada je njen pre�eni put S = S0 = 0 ) C = 0 pa je

S = v � t


�to pokazuje da je put kod ravnomernog pravolinijskog kretanja linearna funkcija vremena.Brzina je vektorska �ziµcka veliµcina de�nisana prvim izvodom vektora pomeraja po vre-menu, odnosnobrzina jepromenaputau jedinici vremena iliprvi izvodputapovremenu

Jednako ili jednoliko ubrzano kretanjeUbrzanje

1t t 2

A Bv→1 v→2Ako se telo krece jednako ubrzanim kretanjem i ako upoloµzaju A odnosno u trenutku t1 ima brzinu

!v 1 a u

poloµzajuB odnosno u trenutku t2 imabrzinu!v 2 tada

delenjem promene brzine �!v =

!v 2�

!v 1 sa intervalom vremena �t = t2� t1 u kojem je pro-

mena brzine nastala, dobijamo srednju promenu brzine kretanja u jedinici vremena ili �-ziµcku veliµcinu koju nazivamo ubrzanje, odnosno!a sr =

!v 2 �

!v 1

t2 � t1=�!v

�t

Ubrzanje materijalne taµcke ili tela oznaµcavamo slovom a jer latinska reµc acceleratio znaµci ubrzanje pazato ubrzaµce elementarnih µcestica u atomskoj �zici nazivamo akceleratori.

1t

A v→ B

t 2 1t += ∆ t

+v→ ∆ v→ Za izuzetno mali interval vremena kada �t! 0 poloµzaj tela Atoliko je blizu poloµzaju tela B da se oni dodiruju ili sjedinjuju u jedannovi zajedniµcki poloµzaj pa se tada moµze zamisliti da vremena t1 i

t2 = t1 +�t pripadaju istom trenutku kada dobijamo formulu za trenutno ubrzanje materijalne ta-µcke ili tela, odnosno

!a = lim

�t!0

�!v

�t

U teorijskim analizama ili praktiµcnoj primeni koristimo iskljuµcivo trenutno ubrzanje pa se zato reµctrenutno moµze izostaviti i ostaviti samo reµc ubrzanje. U izuzetno retkim sluµcajevima kada se (ev-entualno) ne misli na trenutno ubrzanje, tada je to i nagla�eno ali takve beznaµcajne �analize�su opisneprirode.Dakle, trenutno ubrzanje ili samo ubrzanje materijalne taµcke ili tela koji se krecu promenlji-vom brzinom jeste njihovo srednje ubrzanje na beskonaµcno malom delu puta ili u besko-naµcno malom intervalu vremena, odnosno ubrzanje je brojno jednako promeni brzineu jedinici vremena pa moµzemo pisati

a =v2 � v1t2 � t1

=�v

�t=

m

ss=m

s2

kada vidimo da je jedinica za ubrzanje metar u sekundi na kvadrat, odnosno [a ] =m

s2

Kako jeubrzanje jednako koliµcnikupromenebrzine i intervala vremena u kojem je promenabrzine nastala, onda je ubrzanje kod jednakoubrzanog kretanja konstantno, odnosno:Za jednako ubrzano kretanje je a = const

brzinaopada

brzinaraste

a→v→

v→

a→

Ako brzina tela pri kretanju raste, tada vektor ubrzanja !a ima isti pravac

i smer kao vektor brzine !v ili put.

Ako brzina tela pri kretanju opada, tadavektor ubrzanja !a ima isti pravac

kaovektorbrzine!v ali suprotan smer.Na primer, kod slobodnog padanjavektori ubrzanja i brzine imaju isti pravac i smer.Me�utim, ako telo bacimovertikalno uvis, tada vektor ubrzanja ima isti pravac kao vektor brzineali suprotan smer.

Jednako ubrzano kretanje je ono kretanje materijalne taµcke ili tela kada se u istim ili jednakim interval-ima vremena brzina menja, odnosno povecava ili smanjuje za iste vrednosti.Ako poµcetnu brzinu oznaµcimo sa v0 i njen prira�taj, odnosno povecanje ili smanjenje u jednoj sekundisa a onda se brzina kretanja materijalne taµcke ili tela kod jednoliko ubrzanog kretanja moµze prikazatiformulama


Na kraju �nulte� sekunde v = v0 + 0 � a t = v0Na kraju jedne sekunde v = v0 + 1 � a t = v0 + a tNa kraju dve sekunde v = v0 + 2 � a t = v0 + 2a tNa kraju tri sekunde v = v0 + 3 � a t = v0 + 3a tNa kraju n sekundi v = v0 + n � a t = v0 + na tTrenutna brzina v kod jednakoubrzanog kretanja moµze se prikazati formulom

v = v0 + a t odakle je a t = v � v0 odnosno a =v � v0t

=v � v0t� t0

=�v

� t= const

Kod jednakoubrzanog kretanja, trenutno ubrzanje (a) ima konstantnu vrednost jer se brzina u istimintervalima vremena menja za iste vrednosti.

Proseµcna ili srednjabrzina ipre�eniputkodjednakoubrzanogkretanjaKako jepromenabrzine kod jednakoubrzanog kretanja konstantna, onda se srednja brzinakod tog kretanja moµze prikazati aritmetiµckomsredinombrzine koju su taµcka ili telo imali napoµcetkui na kraju intervala, odnosno

vsr =v0 + v

2=v0 +

vz }| {v0 + a t

2=2v0 + a t

2= v0 +

1

2a t

gde je srednja brzina vsr jednaka onoj konstantnoj brzini kojom bi taµcka ili telo pre�li isti put Sza isto vreme ako bi se kretali konstantnom brzinom pa pre�eni put kod jednakoubrzanogkretanja iznosi

S = vsr t =

�v0 +

1

2a t

�t = v0 t+

1

2a t2

v

t0

=v const a

t0=a 0

Gra�k brzine v kod ravnomernog kreta-nja je prava linija paralelna sa t - osomdok se gra�k ubrzanja a poklapa sa t - os-om jer je vrednost ubrzanja a kod ravno-mernog kretanja jednaka nuli.

( )t s1 2 3 4 50

a [ ]ms2

33a = m

s2= const

=vv 0 + at

1 2 3 4 50

2

5

( )t s

smv [ ]

8

11

14

17

Ako telo ima poµcetnu brzinu v0 = 2m

si

ako nastavi kretanje ravnomerno ubrza-

no sa ubrzanjem a = 3m

s2

tada jednaµcina njegovog kretanja glasi

v = v0 + a t = 2m

s+ 3

m

s2� t

Zamenom odre�enih vrednosti za t i algeba-rskim raµcunanjem dobijamo razliµcite vred-nosti brzine v u zavisnosti od vremena t

t (s) 0 1 2 3 4 5

vh ms

i2 5 8 11 14 17

Kako je ubrzanje a kod jednakoubrzanog kretanja konstantno, onda je njegov gra�k pra-va linija paralelna sa t -osom i nalazi se iznad nje.


1 2 3 4 50

2

5

( )t s

smv [ ]

=vv

0at

−

17

( )t s1 2 3 4 50

a [ ]ms2

3−3a = m

s2= const−

14

11

8

Ako telo ima poµcetnu brzinu v0 = 17m

si

ako nastavi kretanje ravnomerno uspo-reno sa ubrzanjem a = �3 m

s2

tada jednaµcina njegovog kretanja glasi

v = v0 � a t = 17m

s� 3 m

s2� t

Zamenom odre�enih vrednosti za t i algeba-rskim raµcunanjem dobijamo razliµcite vred-nosti brzine v u zavisnosti od vremena t

t (s) 0 1 2 3 4 5

vh ms

i17 14 11 8 5 2

Kako je ubrzanje a kod jednako usporenog kretanja konstantno, onda je njegov gra�k pra-va linija paralelna sa t -osom i nalazi se ispod nje.

S S

0 0

=S v t•

const=v

S}t

=Sv 0

+at

21

t•

2

S}t

Na slici levo prikazan jegra�k pre�enog putaS kod ravnomernogkretanjau zavisnostiod vremena kretanja (t)Na slicidesno prikazanje gra�kpre�enogpu-ta S kod jednakoub-rzanogkretanja u za-

visnosti od vremena kretanja (t) pri µcemu poµcetna brzina iznosi v0 = 0

Zavisnost brzine i puta kod jednakoubrzanog kretanjaIz formule za trenutnu brzinu kod jednakoubrzanog kretanja

v = v0 + a t dobijamo v � v0 = a t ) t =v � v0a

Ako vreme t =v � v0a

zamenimo u formulu za pre�eni put kod jednakoubrzanog kretanja

S = v0 t+1

2a t2 tada dobijamo

S = v0v � v0a

+1

2a

�v � v0a

�2=v � v0 � v20

a+1

2av2 � 2v � v0 + v20

a2=2v � v0 � 2v20

2a+v2 � 2v � v0 + v20

2a

=2v � v0 � 2v20 + v2 � 2v � v0 + v20

2a=v2 � v202a

odakle je v2 � v20 = 2aS odnosno v2 = v20 + 2aS pa je

v =pv20 + 2aS Zavisnost brzine v i puta S kod jednakoubrzanog kretanja

Ako poµcetna brzina iznosi v0 = 0 tada formula koja pokazuje zavisnost brzine od puta kod jed-nakoubrzanog kretanja glasiv =

p2aS

Ako je kretanje jednakousporeno, tada formula koja pokazuje zavisnost brzine i puta glasiv =

pv20 � 2aS

Ako nismo savladali diferencijalni raµcun, zaobi�imo nekoliko redovaKako trenutna brzina kod jednakoubrzanog kretanja iznosiv = v0 + a t onda formulu za pre�eni put moµzemo dobiti i primenom diferencijalnog raµcuna


S =

tZ0

v dt =

tZ0

(v0 + a t) dt = v0 t+t2

2a = v0 t+

1

2a t2| {z }

Kvadriranjem formule za trenutnu brzinu kod jednakoubrzanog kretanja v = v0 + a t dobijamo

v2 = (v0 + a t)2= v20 + 2v0 a t+ a

2 t2 = v20 + 2a

�v0 t+

1

2a t2| {z }

S

�= v20 + 2aS odnosno v2 = v20 + 2aS )

v =pv20 + 2aS Zavisnost brzine v i puta S kod jednakoubrzanog kretanja

Ako telo polazi iz mirovanja kada je v0 = 0 tada za jednako ubrzano kretanje vaµze formule

Brzina v = v0|{z}0

+ a t = a t Pre�eni Put S = v0|{z}0

t+1

2a t2 =

1

2a t2

00) Od poµcetka kretanja automobila do dostizanja brzine v2 = 100km

hpro�e vreme t2 = 11 sekundi.

Odredimo ubrzanje automobila

a =�v

� t=v2 � v1t2 � t1

=100

km

h� 0

11 s� 0 =100 000

m

3 600 s11 s

= 2; 52m

s2

00) Odredimo ubrzanje tela ako ono polazi poµcetnom brzinom v0= 10m

si nastavi da se krece ravnomerno

ubrzano kada za prvih 10 s pre�e put S = 1000m

Iz formule za pre�eni put kod ravnomerno ubrzanog kretanja S = v0 t+1

2a t2 dobijamo

1

2a t2 = S� v0 t

odakle je

a = 2S � v0 tt2

= 21 000m� 10 m

s10 s

102 s2= 2

10m� 1m1 s2

= 18m

s2

00) Voz se krece brzinom v0 = 72km

h= 20

m

si od trenutka kada zapoµcne koµcenje pre�e rastojanje S = 800m

Odredimo ubrzanje voza pri koµcenju i vreme koµcenja.

Kvadriranjem formule v = v0 + a t dobijamo

v2 = (v0 + a t)2= v20 + 2v0 a t+ a

2 t2 = v20 + 2a

�v0 t+

1

2a t2| {z }

S

�= v20 + 2aS

Kada se voz zaustavi, tada njegova brzina iznosi v = 0 odnosno

0 = v20 + 2aS ) 2aS = � v20 ) a = � v202S

= �400

m2

s2

1600m= � 0; 25 m

s2

Vreme koµcenja voza moµzemo dobiti iz formule

v = v0 + a t ) 0 = v0 + a t ) a t = � v0 ) t = � v0a= �

20m

s

� 0; 25 ms2

= 80 s

00) Ako telo zapoµcne kretanje poµcetnom brzinom v0 = 10m

si nastavi da se krece ravnomerno ubrzanim

kretanjem kada za vreme t = 10 s pre�e put S = 1000m onda odredimo ubrzanje tela.

Iz formule za pre�eni put kod ravnomerno ubrzanog kretanja S = v0 t+1

2a t2 dobijamo

1

2a t2 = S � v0 t

odnosno

a = 2S � v0 tt2

= 21 000m� 10 m

s� 10 s

100 s2= 2

900m

100 s2= 18

m

s2


00) Telo A poµcinje da se krece konstantnim ubrzanjem a1 = 1m

s2u trenutku kada mu je poµcetna brzina bila

2=2v→0 sm

B

ms2

a2 = 0,5−

1=1v→0 sm

A

1a = ms2

1 v01 = 1m

sTelo B poµcinje da se krece stalnim ubrzanjem a2 = � 0; 5

m

s2u

trenutku kada mu je poµcetna brzina bila v02 = 2m

sZa koliko vremena ce

tela A i B imati istu brzinu?Primenom formule za brzinu kod jednako ubrzanog kretanja v = v0 + a tdobijamo v1 = v01 + a1 t v2 = v02 + a2 t Iz uslova v1 = v2 dobijamo

v01+a1 t = v02+a2 t odakle je (a1 � a2 ) t = v02�v01 odnosno t =v02 � v01a1 � a2

=2m

s� 1 m

s

1m

s2+ 0; 5

m

s2

=1

1; 5s =

2

3s

Slobodno padanje

h

H=a g

t

0=v

→ →

v→

vk→

Slobodno padanje sa poµcetnom brzinom v0 ili bez poµcetne brzine v0 jeste primerjednako ubrzanog kretanja gde ubrzanje Zemljine teµze obeleµzavamo sa g ume-sto sa a i duµzinu pre�enog puta sa h ili H umesto sa STelo pada slobodno ako se bez otpora sredine krece kroz prostor samo zbog dejstvasile gravitacije pa se takvo kretanje moµze izvoditi u bezvazdu�nom prostoru.Kod pa-danja sa male visine u vazdu�nom prostoru uticaj otpora trenja sa vazduhom je ma-li pa se moµze zanemariti.Ako telo zapoµcne slobodno padanje sa visine H poµcetnom brzinom v0 tadanjegova trenutna brzina v i srednja brzina vsr u funkciji od vremena tiznose

v = v0 + g t odnosno vsr =v0 + v

2=v0 +

vz }| {v0 + g t

2=2v0 + g t

2= v0 +

1

2g t

pa duµzina puta h koji telo pre�e slobodnim padom za vreme t iznosi

h = vsr � t =�v0 +

1

2g t

�t = v0 � t+

1

2g t2

Iz poslednje jednaµcine moµzemo odreditivreme slobodnogpadanja tela napre�enomputu h odnosno1

2g t2 + v0 t� h = 0 ) g t2 + 2v0 t� 2h = 0 ) t1;2 =

�2v0 �p4v20 + 8 g h

2 g=�2v0 � 2

pv20 + 2 g h

2 g=

=�v0 �

pv20 + 2 g h

g=�v0 +

pv20 + 2 g h

gpa vreme slobodnog padanja iznosi

t =�v0 +

pv20 + 2 g h

g

Ako telo zapoµcne slobodno padanje sa visine H bez poµcetne brzine v0 tada njegova trenutnabrzina v srednja brzina vsr duµzina pre�enog puta h i vreme slobodnog padanja t iznose

v = g t vsr =1

2g t h =

1

2g t2 t =

p2 g h

g=

r2 g h

g2=

r2h

g

Kvadriranjem formule za trenutnu brzinu v = v0 + g t dobijamo

v2 = (v0 + g t)2= v20 + 2v0 g t+ g

2 t2 = v20 + 2 g�v0 t+

1

2g t2| {z }

h

�= v20 + 2 g h

pa brzina tela kod slobodnog padanja u trenutku kada pre�e rastojanje h iznosiv =

pv20 + 2 g h Ako telo zapoµcne slobodno padanje bez poµcetne brzine v0 tada njegova brzina

u trenutku kada pre�e rastojanje h iznosiv =

p2 g h


9,81g = ms2

9,81g = ms2

9,83g = ms2

9,83g = ms2

9,78g = ms2

Pri padanju kroz bezvazdu�ni prostor sva tela imaju jednakoi stalno ubrzanje bez obzira na njihovu veliµcinu, oblik ili masuKod slobodnog padanja ubrzanje tela nastalo delovanjem gr-avitacione sile zavisi od nadmorske visine i nije jednako nasvim taµckama Zemljine povr�ine zbog njene �spljo�tenosti�.

Najmanje ubrzanje je na ekvatoru�g = 9; 78

m

s2

�anajvece

na polovima�g = 9; 83

m

s2

�Na geografskoj �irini 45� ubrzanje

pribliµzno iznosi g = 9; 81m

s2

Ako nismo savladali diferencijalni raµcun, zaobi�imo nekoliko redovaFormule za trenutnu brzinu v i pre�eni put h kod slobodnog padanja ili jednakoubrzanogkretanja u bezvazdu�nom prostoru moµzemo odrediti i primenom diferencijalnog raµcuna.Diferencijalna jednaµcina za brzinu glasidv

dt= g ) dv = g dt )

Zdv = g

Zdt ) v = g t+ C1| {z }

F

U poµcetku kretanja je t = 0 ) v = v0 pa zamenom u jednaµcinu F dobijamo v0 = g � 0 + C1 )C1 = v0 Zamenom C1 = v0 u jednaµcinuF dobijamo formulu za trenutnu brzinu v kod slobodnogpadanja ili jednakoubrzanog kretanja, odnosnov = g t+ v0 = v0 + g t

Diferencijalna jednaµcina za pre�eni put glasidh

dt= v = v0 + g t ) dh = v0 dt+ g t dt )

Zdh = v0

Zdt+ g

Zt dt ) h = v0 t+

1

2g t2 + C2| {z }

FF

U poµcetku kretanja je t = 0 ) h = 0 pa zamenom u jednaµcinu FF dobijamo

0 = v0 � 0+1

2g � 02+C2 ) C2 = 0 Zamenom C2 = 0 u jednaµcinu FF dobijamo formulu za pre�eni

put h kod slobodnog padanja ili jednakoubrzanog kretanja, odnosno

h = v0 t+1

2g t2

Vidimo da ubrzanje a brzina v i pre�eni put h ne zavise odmase m jer se pretpostavlja da setelo krece u vakumu gde nema trenja ili otpora vazduha.

Vertikalni hitac na goreAko telo izbacimo vertikalno na gore poµcetnom brzinom v0 tada gravitaciona sila svojim delovanjemsmanjuje brzinu njegovog kretanja.Ako se zanemari otpor vazduha, tada trenutna i srednja brzina

h

vk 0=

Hm

ax

v0

v0v <

kv′

=a g

→ →

→ →

→

→

tela u funkciji od vremena t iznose

v = v0 � g t odnosno vsr =v0 + v

2=v0 +

vz }| {v0 � g t2

=2v0 � g t

2= v0 �

1

2g t pa duµzina

puta h koji pre�e telo izbaµceno vertikalno uvis poµcetnom brzinom v0 iznosi

h = vsr � t =�v0 �

1

2g t

�t = v0 t�

1

2g t2

Kvadriranjem formule za trenutnu brzinu v = v0 � g t dobijamo

v2 = (v0 � g t)2 = v20 � 2v0 g t+ g2 t2 = v20 � 2 g�v0 t�

1

2g t2| {z }

h

�= v20 � 2 g h| {z }

�F

pa brzina


tela izbaµcenog vertikalno uvis poµcetnom brzinom v0 u trenutku kada pre�e rastojanje h iznosiv =

pv20 � 2 g h Na maksimalnoj visini Hmax telo ima krajnju brzinu vk = 0 pa je vk = v0 � g t = 0 )

v0 = g t pa vreme dostizanja maksimalne visine Hmax iznosi

t =v0g

Kada dostignemaksimalnu visinu Hmax telo se zaustavi pa je vk = 0 odnosno v2k = v20 � 2 gHmax| {z }

�F

= 0 )

Hmax =v202 g

Ako pogledamo slobodno padanje bez poµcetne brzine v0 tada vidimo za�to posle dostizanjamaksimalne visine Hmax vreme padanja tela na mesto odakle je izbaµceno iznosi

t =

r2Hmaxg

=

vuuut 2v202g

g=

sv20g2=v0g

Vreme kretanja tela domaksimalne visine Hmax jednako je vremenu njegovog povratka do mesta odakleje i izbaµceno.Vidimo da je krajnja brzina v0k pri povratku tela na mesto odakle je izbaµceno jednaka poµcetnojbrzini v0 kojom je ono i izbaµceno, odnosno

v0k =p2gHmax =

s2g

v202g=pv20 = v0

00) Kuglica je baµcena sa Zemlje vertikalno uvis i na Zemlju se vratila posle 3 s Odredimo poµcetnu

v0

pv

Hm

ax

vk 0=

→

→

brzinu kuglice i dostignutu visinu ako se otpor vazduha zanemari.Kako je vreme kretanja kuglice od Zemlje domaksimalne visine jednako njenom povratku iztaµckemaksimalne visine do Zemlje, onda vreme kretanja kuglice vertikalno uvis iznosi t = 1; 5 sKada dostigne maksimalnu visinu, tada brzina kuglice iznosi vk = 0 odnosno

vk = v0 � g t = 0 pa je poµcetna brzina kuglice v0 = g � t = 9; 81m

s2� 1; 5 s = 14; 76 m

s

Maksimalnu visinu koju dostiµze kuglica moµzemo odrediti i primenom zakona o odrµzanju mehani-µcke energije.U trenutku poµcetka kretanja sa Zemlje kuglica ima samo kinetiµcku energiju, odnosno

Ek =1

2mv20 U trenutku dostizanja maksimalne visine kuglica ima samo potencijalnu energiju, odnosno

Ep = mgHmax Kako je Ek u poµcetku kretanja jednaka Ep na maksimalnoj visini, onda imamo

Ek = Ep ) 1

2mv20 = mgHmax ) Hmax =

v202 g

=(14; 76)

2 m2

s2

2 � 9; 81 ms2

= 11m

Kako je poµcetna brzina kretanja kuglice vertikalno uvis (v0 ) jednaka brzini njenog pada na Zemlju pri povratkuiz taµcke maksimalne visine (vp ) onda maksimalnu visinu moµzemo odrediti i primenom formule

v0 = vp =p2 gHmax ) v20 = 2 gHmax ) Hmax =

v202 g

= 11m

Brzina i ubrzanje kodpromenljivog pravolinijskog kretanja

1t 2t

0S 1S 2S

Pre�eni put S materijalne taµcke ili tela akose za vreme t krecu konstantnom brzinom

v iznosi S = v t odakle je v =S

t

Me�utim, ako se materijalna taµcka ili telo krecu po pravolinijskoj putanji nekom promenljivom brzinom


kada za vreme t1 pre�u put S1 (raµcunajuci od taµcke S0) a za vreme t2 pre�u put S2 onda srednja brzina vsrnjihovog kretanja iznosi

vsr =S2 � S1t2 � t1

=�S

�t

Ako su prira�taji pre�enog puta �S i proteklog vremena �t toliko mali, tada dobijamo �prikaz�pro-mene brzine u beskonaµcno malim intervalima vremena odnosno pravu ili trenutnu brzinu

v = lim�t!0

�S

�t=dS

dt

Iz poslednje relacije vidimo da je brzina v prvi izvod puta S po vremenu t �to je (ponovimo) Njutnovade�nicija prvog izvoda. Sliµcno postupamo kada je u pitanju i ubrzanje koje de�ni�emo kao promenu brzineu odre�enim intervalima vremena. Iz iskustva znamo da je srednja vrednost ubrzanja u malom intervaluvremena bliµza trenutnom ubrzanju ukoliko je vremenski interval manji pa srednje ubrzanje asr mo-µzemo de�nisati relacijom.

asr =v2 � v1t2 � t1

=�v

�tUbrzanje u beskonaµcno malim intervalima vremena iznosi

a = lim�t!0

�v

�t=dv

dtOva formula pokazuje da je ubrzanje a prvi izvod brzine v po vremenu t

Kako je v =dS

dtonda poslednju formulu moµzemo prikazati i u obliku

a =dv

dt=d

dtv =

d

dt

dS

dt=d2S

dt2pa je ubrzanje a drugi izvod puta S po vremenu t

Formule v =dS

dta =

dv

dt=d2S

dt2su osnovne formule kretanja u �zici.

00) Odredimo poµcetnu brzinu i ubrzanje taµcke koja u �estoj sekundi pre�e 6m a u desetoj sekundi 8m

Prema formuli za pre�eni put kod jednakoubrzanog kretanja S = v0 t+1

2a t2 imamo

6 = 6 � v0 +1

2a � 36

8 = 10 � v0 +1

2a � 100

odakle re�avanjem po a dobijamo a = �0; 1 ms2

Zamenom a u jednu od dve prethodne relacije dobijamo po-

µcetnu brzinu v0 = 1; 3m

s

00) Neko telo polazi iz stanjamirovanja i krece se po pravolinijskoj putanji jednako ubrzanim kretanjemi u prvoj sekundi pre�e 20 cm

a) Koliki je njegov put u desetoj sekundi ?

b) Koliko vremena pro�e dok telo postigne brzinu 24m

s?

c) Koliki put telo pre�e za 3 min ?

Primenom formule za pre�eni put kod jednakoubrzanog kretanja

S1 = v0 t+1

2a t21 dobijamo a =

2S1t21

=2 � 0; 2 m1 s2

= 0; 4m

s2

a) Iz sistema jednaµcina

S10 =1

2a t210

S9 =1

2a t29

9>>=>>; dobijamo S = S10 � S9 =1

2a�t210 � t29

�=1

2� 0; 4 m

s2�100 s2 � 81 s2

�= 3; 8m


b) v = v0|{z}0

+ a t Sada je t =v

a=24m

s

0; 4m

s2

= 60 s = 1 min

c) S(3 min) =1

2a t2 =

1

4� 0; 4 m

s2(180 s)

2= 6480m = 6; 48km

00) Prvu polovinu puta S telo prelazi brzinom v = v0 Duµz preostalog dela puta telo se1

2vremena kretalo

brzinom v = v1 dok je poslednji deo puta pre�lo brzinom v = v2 Odredimo srednju brzinu kretanja tela.

⇒ 21

2S 2t⇒ 21

1S 2t⇒21 S 1t

0v 1v 2v

Prema slici imamo1

2S = v0 t1 ) t1 =

S

2v0odnosno S1 = v1

1

2t2 =

1

2v1 t2 S2 = v2

1

2t2 =

1

2v2 t2

Kako je S1 + S2 =1

2S =

1

2(v1 + v2 ) t2 ) t2 =

S

v1 + v2onda imamo

vsr =S

t1 + t2=

SS

2v0+

S

v1 + v2

=S

v1 S + v2 S + 2v0 S

2v0 v1 + 2v0 v2

=2v0 v1 S + 2v0 v2 S

v1 S + v2 S + 2v0 S=2v0 (v1 + v2 )

2v0 + v1 + v2

00) Automobil A krece se konstantnom brzinom vA = 85km

hi pretiµce automobil B koji se krece brzinom

vB = 60km

hDuµzine automobila A i B iznose l = 5m Rastojanje izme�u automobila pre i posle preticanja

iznosi L = 25m Odredimo vreme i put preticanja automobila koji pretiµce.

A B B A

l L l l L l

vA→ →vB vA

→

=S B vB ⋅τ=SA vA ⋅τ

→vB

Put koji pre�e automobil A iznosi SA = SB + 2L+ 2l = SB + 2 (L+ l) odakle je SA � SB = 2 (L+ l)

Kako je SA = vA � SB = vB � ) vA � � vB � = (vA � vB ) � = 2 (L+ l) pa vreme preticanja � iznosi

� =2 (L+ l)

(vA � vB )= 8; 64 s Sada je SA = vA � = 204m SB = vB � = 144m

00) Automobil se krece srednjom brzinom vsr = 40km

htokom 3 sata (� = 3h) Za to vreme automobil

se kretao sa tri razliµcite konstantne brzine i to v1 = 20km

hv2 = 50

km

hi kroz pola sata sa v3 = 34

km

h

Koliko vremena se automobil kretao sa prethodnim konstantnim brzinama?

vsr = 40km

h� = 3h

)S = vsr � = 120km Kako je t1 =

S1v1

t2 =S2v2

t3 =S3v3=1

2h odnosno

S3 = v3 t3 = 34km

h� 0; 5h = 17km onda imamo S1 + S2 + S3 = 120km ) S1 + S2 = 103km = S0

t1 + t2 + t3 = 3h ) t1 + t2 = 2; 5h = t0 pa je


t0 = t1+ t2 =S1v1+S2v2=S1v1+S0 � S1v2

=S1v1+S0v2� S1v2= S1

�1

v1� 1

v2

�+S0v2

S1

�1

v1� 1

v2

�= t0�

S0v2

)

S1 =t0 �

S0v2

1

v1� 1

v2

=

2; 5h� 103km

50km

h1

20km

h

� 1

50km

h

= 14; 6km t1 =S1v1= 0; 73 h t2 = t0 � t1 = 2; 5 h� 0; 73 h = 1; 77 h

00) Telo je baµceno vertikalno uvis. Posle jedne sekunde (t1 = 1 s) telo se nalazi na visini h1 a posle dve

H

t 2

t1

t 3

h1=

hH

h1−

0=vk

v p0→

v1→

v 2→

v0→

sekunde prolazi kroz istu taµcku. Vreme se raµcuna od bacanja tela.Odredimo poµce-tnu brzinu tela v0 visinu h1 najvecu visinu H i brzinu v2 pri drugom prolaskutela kroz taµcku na visini h1 Za dati zadatak vaµze sledece formulevk = v0 � g (t1 + t2 ) = 0 ) v0 = g (t1 + t2 )

v1 = v0 � g t1 = g (t1 + t2 )� g t1 = g t2

H = v0 (t1 + t2 )�1

2g (t1 + t2 )

2= g (t1 + t2 )| {z }

v0

(t1 + t2 )�1

2g (t1 + t2 )

2

= g (t1 + t2 )2 � 1

2g (t1 + t2 )

2=1

2g (t1 + t2 )

2

(a) h = v1 t2 �1

2g t22 = g t2 t2 �

1

2g t22 =

1

2g t22 (b) h =

1

2g t23

Iz (a) i (b) dobijamo 1

2g t22 =

1

2g t23 ) t2 = t3 = 1 s Sada je

v0 = g (t1 + t2 ) = 19; 62m

sH =

1

2g (t1 + t2 )

2 odnosno

h1 = v0 t1 �1

2g t21 = 19; 62m � 1 s�

1

2� 9; 81 m

s2� 1 s2 = 14; 715m

h =1

2g t22 =

1

2� 9; 81 m

s2� 1 s2 = 4; 905m v0 =

p2 g h = 9; 81

m

s


Krivolinijsko kretanje u prostoruSvako krivolinijsko kretanje materijalne taµcke ili tela moµze se posmatrati kao kruµzno i pravolinijsko kre-tanje jer se svaka kriva linija moµze razloµziti na elementne lukove odre�enih duµzina i odgovarajucih polu-preµcnika.Kako su brzina, ubrzanje i put vektorske veliµcine, onda se krivolinijsko kretanje u prostorumoµze �racionalno�prikazati vektorskim veliµcinama.Kod pravolinijskog kretanja to nije neophodno jer su

y

z

x0 j

→i→

k→

A

r→

yx

z

pravci vektora brzine kod pravolinijskog kretanja istiodnosno �leµze� na istoj pravoj pa su kod takvog kretanjapotrebne samo brojne vrednosti za brzinu, ubrzanje ipre�eni put jer je sabiranje vektora istog pravca po br-ojnoj vrednosti identiµcno algebarskom.Poloµzaj taµcke A u prostoru prikazanom pravouglim koor-dinatnim sistemom potpuno je odre�en njenim koordinatamax y z odnosno vektorom poloµzaja!r = x

!i + y

!j + z

!k gde su

!i

!j

!k jediniµcni vektori

Brzina kod krivolinijskog kretanja u prostoruOpisivanje ili �prouµcavanje�promene poloµzaja, odnosno �kretanja�materijalne taµcke ili tela u prostoru

y

z

x

0i→

j→

k→

∆ s

r→∆

r→ r→1

AA1

A2

An

v→→

0τ

ili ravni znaµci odrediti njihovpoloµzaj u bilo kom trenutkuu odnosu na odabrani koordi-natni sistem. Poloµzaj taµckeA pri kretanju kroz poloµzajeA1 A2 : : : An odre�en je njen-im pokretnim vektorom po-loµzaja

!r

!r =

!r (t)

= x (t)!i + y (t)

!j + z (t)

!k

Ovoj vektorskoj jednaµcini od-govaraju tri skalarne jednaµcine

x = x (t) y = y (t) z = z (t)

Ako iz poloµzaja A odre�enog vektorom poloµzaja!r za vremenski interval �t taµcka stigne u poloµzaj A1

odre�en vektorom poloµzaja!r 1 tada imamo

!r 1 =

!r + �

!r ) �

!r =

!r 1 �

!r

gde je vektor �!r prira�taj ili promena vektora poloµzaja

!r u vremenskom intervalu �t odnosno ve-

ktor pomeraja taµcke.Koliµcnik vektora prira�taja �!r i vremenskog intervala (skalara) �t predsta-

vlja vektor srednje brzine u tom vremenskom intervalu, odnosno

!v sr =

�!r

�t

gde vektor!v sr ima isti pravac i smer kao i vektor �

!r i njegova brojna vrednost je proporcionalna

intenzitetu vektora �!r Me�utim, srednja brzina

!v sr odstupa po pravcu i intenzitetu od trenutne

brzine taµcke u poloµzaju A kada je to odstupanje manje ako je interval izme�u poloµzaja A i A1 manji.Vektor

!v sr dostiµze graniµcnu vrednost trenutne brzine

!v kada rastojanje A1A! 0 ili �t! 0 pa je

!v = lim

A1!A

!v sr = lim

�t!0

�!r

�t= lim

�t!0

!r (t+�t)� !

r (t)

�t=d!r

dt=

�!r

Ova relacija pokazuje da je trenutna brzina jednaka prvom izvodu vektora poloµzaja pokretnetaµcke po vremenu.


y

z

x

0i→

j→

k→

r→∆

r→ r→1

AA1 A2

An

v→

→0τ

r→∆r→∆

Smanjenjem vremena �t sm-anjuje se seµcica �

!r ili tetiva

luka koja za �t! 0 iz poloµza-ja tetive prelazi u poloµzaj ta-ngente u taµcki A kada intenz-itet vektora prira�taja pos-taje jednak pre�enom putudr = dS pa se vektor brzinemoµze izraziti relacijom

!v =

dr

dt

!� 0 =

dS

dt|{z}v

!� 0 = v

!� 0

gde jedS

dtintenzitet brzine kretanja materijalne taµcke u poloµzaju A a

!� 0 jediniµcni vektor tangente.

U pravouglom koordinatnom sistemu vektor brzine!v ima tri komponente duµz x y z ose.

Diferenciranjem vektora poloµzaja!r po vremenu t dobijamo

!v =

d!r

dt=d

dt

�x!i + y

!j + z

!k

�=dx

dt|{z}vx

!i +

dy

dt|{z}vy

!j +

dz

dt|{z}vz

!k = vx

!i + vy

!j + vz

!k

pa se komponente brzine v ili njene projekcije na koordinatne ose x y z mogu prikazati formulama

vx =dx

dt=

�x vy =

dy

dt=

�y vz =

dz

dt=

�z dok je modul ili intenzitet brzine v odre�en formulom

v =qv2x + v

2y + v

2z Pravac vektora brzine v u odnosu na koordinatne ose moµzemo odrediti preko kosinusa

uglova u odnosu na te ose gde je

cos (!v ;

!i ) =

�xq

�x2 +

�y2 +

�z2=

�x

vcos (

!v ;

!j ) =

�yq

�x2 +

�y2 +

�z2=

�y

vcos (

!v ;

!k ) =

�zq

�x2 +

�y2 +

�z2=

�z

v

Ubrzanje kod krivolinijskog kretanja u prostoru

y

z

x

0i→

j→

k→

AA1

An

v→

v→∆

v→∆v→1v→1

a→

Kod neravnomernog kretanjamaterijalne taµcke po krivolini-jskoj putanji njen vektor br-zine se menja sa vremenompo pravcu i intenzitetu.Dakleako se taµcka u vremenu od t dot+�t krece po krivoj liniji odpoloµzajaA do poloµzajaA1 ta-da vektor prira�taja ili pro-mene njene brzine iznosi

�!v =

!v 1 �

!v

Ako vektor prira�taja brzine �!v podelimo sa intervalom vremena �t za koji je taj prira�taj nastao

tada dobijamo vektor srednjeg ubrzanja materijalne taµcke, odnosno

�!v

�t=

!a sr

Kako je vektor srednjeg ubrzanja!a sr koliµcnik vektora prira�taja brzine i vremenskog intervala �t

koji je pozitivni skalar, onda vektor!a sr ima isti pravac i smer kao vektor prira�taja brzine �

!v

Vektor!a sr dostiµze graniµcnu vrednost trenutnog ubrzanja

!a ako rastojanje A1A! 0 ili ako �t! 0

pa je


!a = lim

A1!A

!a sr = lim

�t!0

�!v

�t= lim

�t!0

!v (t+�t)� !

v (t)

�t=d!v

dt=

�!v

Ova formula pokazuje da je trenutno ubrzanje materijalne taµcke jednako prvom izvodu vektora brzine

taµcke po vremenu. Kako je!v =

d!r

dtonda formula

!a =

d!v

dt=d2!r

dt2=

��!r

pokazuje da je vektor ubrzanja!a jednak drugom izvodu vektora poloµzaja pokretne taµcke po vre-

menu. U pravouglom koordinatnom sistemu vektor ubrzanja!a ima tri komponente duµz x y z ose kada

dvostrukim diferenciranjem vektora poloµzaja!r po vremenu t dobijamo

!a =

d2!r

dt2=d

dt

�dx

dt|{z}vx

!i +

dy

dt|{z}vy

!j +

dz

dt|{z}vz

!k

�=d2x

dt2|{z}ax

!i +

d2y

dt2|{z}ay

!j +

d2z

dt2|{z}az

!k

pa se komponente ubrzanja a ili njegove projekcije na koordinatne ose x y z mogu prikazati formulama

ax =d2x

dt2=

��x ay =

d2y

dt2=

��y az =

d2z

dt2=

��z

dok je modul ili intenzitet vektora ubrzanja a odre�en formulom

a =qa2x + a

2y + a

2z =

q��x2 +

��y2 +

��z2 Pravac vektora ubrzanja a u odnosu na koordinatne ose moµzemo

odrediti preko kosinusa uglova u odnosu na te ose gde je

cos (!a ;

!i ) =

��xq

��x2 +

��y2 +

��z2=axa

cos (!a ;

!j ) =

aya

cos (!a ;

!k ) =

aza


Kosi hitac

v y

v x

v

ax = 0ay = −g

v xv =

ymax

v x0

v y0

v 0

αα

v xk

v yk

v0

vk=

x

v x

v y v

21 D

D

0

y Ako se telo izbaci u bezotpo-rni prostor nekom silom poduglom � u odnosu na x - osutada u nastavku kretanja nanjega deluje iskljuµcivo gra-vitaciona sila pa je dalje kr-etanje telasloµzeno, odnosnoravnomerno po horizontal-noj komponenti vx i ravno-merno-promenljivo po ve-rtikalnoj komponenti vy jergravitaciona sila na �slobo-dno�telo vr�i uticaj iskljuµci-vo po vertikalnom pravcu.Dakle, u horizontalnom pr-avcu na telo ne deluje ni-kakva sila pa njegovo ubrza-nje u pravcu x - ose iznosi

ax = 0 ) vx = v0x = const

x = vx t

dok u vertikalnom pravcu na telo deluje konstantna gravitaciona sila pa je ubrzanje u pravcu y - ose

ay = � g ) vy = v0y + ay t = v0y � g t ) y = v0y t�1

2g t2

Putanja kretanja tela izbaµcenog u polju gravitacione sile moµze se �opisati�formulama

x = vx t y = v0y t�1

2g t2

U trenutku dostizanja maksimalne visine (ymax ) vertikalna komponenta brzine tela iznosi vy = 0 pa je

vy = v0y � g tymax = 0 ) v0y = g tymax

odakle dobijamo vreme dostizanja maksimalne visine (tymax ) koje iznosi

tymax =v0yg

pa je vreme dostizanja maksimalne visine (ymax ) srazmerno vertikalnoj kompone-

nti poµcetne brzine (v0y ) a obrnuto srazmerno gravitacionom ubrzanju (g)U trenutku maksimalnog doleta tela (D) njegova vertikalna komponenta visine iznosi y = 0 a njenomzamenom u jednaµcinu putanje dobijamo

0 = v0y t�1

2g t2 ) v0y =

1

2g t pa je ukupno vreme kretanja tela

tuk =2v0yg

odakle vidimo da je ono 2 puta vece od vremena dostizanja najvece visine, odnosno

tuk = 2 tymax jer se �taµcka�maksimalne visine putanje (ymax ) nalazi na njenoj polovini.

Maksimalna visina putanje tela iznosi

ymax= v0y tymax�1

2g t2ymax= v0y

v0yg� 12gv20yg2

=v20yg� 12

v20yg=v20y2g

Kako je

v0x = v0 cos� v0y = v0 sin� onda horizontalna komponenta putanje ili maksimalni dolet iznosi

D = xmax= v0x tuk= v0x2v0yg

=2v0xv0y

g=2v0 cos�v0 sin�

g=v20 2 sin� cos�

g=v20 sin 2�

g

pa se vidi da telo ima najveci dolet D ako je izbaµceno pod uglom � = 45� jer je tada sin 2� = sin 90� = 1


odnosno � = 45�

Ne�to �sloµzeniju�, zanimljiviju i korisniju analizu istog �problema�uz upotrebu ne�to �sloµzenijeg�raµcuna moµze-mo pogledati na sledecim stranicama gde je termin hitac zamenjen terminom teniska loptica.

Teniska loptica je izbaµcena sa visine h poµcetnom brzinom v0 u pravcu koji sa terenom zaklapa ugao �Odredimo parametre kretanja loptice ako zanemarimo uticaj otpora vazduha

v y = 0

v x0

v y0v 0

v y

v x

ax = 0ay = −g

vv xv =

v y

v x

v

γ

hD1

0D

α

θv xk

v yk vk

x

x1

y

ymax y max1

Sa slike vidimo da vaµze sledece relacije:v0xv0

= cos� ) v0x = v0 cos�v0yv0

= sin� ) v0y = v0 sin�

Posle poµcetka kretanja, loptica nema horizontalno ubrzanje ax pa imamo:

ax = 0| {z } ) ax =dvxdt

= 0 ) vx = const = v0x = v0 cos� vx =dx

dt= v0 cos� ) dx = v0 cos� dt )

x = v0 cos�

Zdt = v0 cos� � t+ C1 Konstantu C1 odre�ujemo iz poµcetnih uslova, odnosno

x(t=0) = 0 ) 0 = v0 cos� � 0 + C1 ) C1 = 0 Zamenom dobijamo

x = v0 cos� � t ) t =x

v0 cos�

ay = � g| {z } ) ay =dvydt

= � g ) dvy = � g dt ) vy = � gZdt = � g t+ C2

Konstantu C2 odre�ujemo iz poµcetnih uslova, odnosno

vy(t=0) = v0y ) v0y = � g � 0 + C2 ) C2 = v0y = v0 sin� Sada je

vy =dy

dt= v0 sin�� g t ) dy = (v0 sin�� g t) dt

y = v0 sin�

Zdt� g

Zt dt = v0 sin� � t�

1

2g t2 + C3

y(t=0) = h ) h = v0 sin� � 0�1

2g � 02 + C3 ) C3 = h Sada je

y = v0 sin� � t�1

2g t2 + h = v0 sin�

x

v0 cos�� 12g

x2

v20 cos2 �

+ h = x tg �� g

2v20 cos2 �

x2| {z }parabola

+ h


Odredimo brzinu loptice v u zavisnosti od njenog poloµzajav2 = v2x + v

2y = (v0 cos�)

2+ (v0 sin�� g t)2 = v20 cos2 �+ v20 sin2 �� 2v0 sin� � g t+ g2 t2

= v20�cos2 �+ sin2 �

�| {z }1

� 2g�v0 sin� � t�

1

2g t2�

| {z }y�h

= v20 � 2 g (y � h) Sada je

v =pv20 � 2g (y � h) Odredimo �pravce�kretanja loptice u funkciji vremena. Prema slici imamo:

tg =vyvx=v0 sin�� g tv0 cos�

= tg �� g t

v0 cos�tg � = � vyk

vxk=g tk � v0 sin�v0 cos�

=g tk

v0 cos�� tg �

Odredimo vreme t1 za koje loptica dostignemaksimalnu visinu putanje (ymax ) U trenutku dostizanjamaksimalne visine, vertikalna komponenta brzine vy jednaka je nuli, odnosno

vy(t=t1 ) = v0 sin�� g t1 = 0 ) t1 =v0 sin�

gMaksimalna visina koju loptica dostiµze iznosi

ymax = y(t=t1 ) = v0 sin� � t1 �1

2g t21 + h = v0 sin�

v0 sin�

g� 12gv20 sin

2 �

g2+ h =

1

2

v20 sin2 �

g+ h

Za h = 0 ) y1max =v20 sin

2 �

2gOdredimomaksimalni domet loptice

Za x = D ) y = 0 ) 0 = D tg �� g

2v20 cos2 �

D2 + h Mnoµzenjem sa2v20 cos

2 �

gdobijamo

D2 � 2 tg � � v20 cos

2 �

gD � 2v

20 cos

2 � � hg

= 0 odnosno D2 � v20 sin 2�

gD � 2v

20 cos

2 � � hg

= 0 Sada je

D =

v20 sin 2�

g�

s�v20 sin 2�

g

�2+4 � 2 � v20 cos2 � � h

g

2

Nama je znaµcajno samo re�enje sa znakom (+) odnosno

D =v20 sin 2�

2g+1

2

s�v20 sin 2�

g

�2+4 � 2v20 cos2� � h

g=v20 sin 2�

2g+

s1

4

�v20 sin 2�

g

�2+1

4

4 � 2 � v20 cos2� � hg

=v20 sin 2�

2g+

vuuuuut�v20 sin 2�

2g

�20BB@1 +2 � v20 cos2 � � h

g

4 � v40 sin2 � � cos2 �4g2

1CCA =v20 sin 2�

2g+v20 sin 2�

2g

s1 +

2 g h

v20 sin2 �

=v20 sin 2�

2g

1 +

s1 +

2 g h

v20 sin2 �

!

Za h = 0 ) D1 =v20 sin 2�

gLoptica dostiµzemaksimalni domet ako je izbaµcena pod uglom � =

�

4

Tada je sin 2� maksimalno, odnosno sin 2� = sin�

2= 1 Za � =

�

4) D1max =

v20g

Primetimo da loptica dostiµze najvecu visinu na polovini D1


Horizontalni hitac Pogledajmo sledeci primer

00) Na visini H = 25m horizontalno je baµcena kuglica poµcetnom brzinom v0 = 15m

sOdredimo vreme

βα vx

v y

v

x

y →v 0

D

H

0

→

→

→

kretanja kuglice, domet, intenzitet brzine kuglice pri udaruna Zemlju i ugao pod kojim kuglica pada na Zemlju.Ako bi slobodno padala na Zemlju bez poµcetne brzine i ot-pora vazduha, tada bi kuglica za vreme t pre�la vertikalno

rastojanje H =1

2g t2 pa vreme kretanja kuglice iznosi

t =

r2H

g=

vuut 2 � 25m9; 81

m

s2

= 2; 26 s Ako nema otpora vazduha,

tada je horizontalna komponenta brzine kuglice (vx ) u sva-kom trenutku jednaka njenoj poµcetnoj brzini v0 pa domet

kuglice iznosi D = v0 � t = 15m

s� 2; 26 s = 33; 86m

Vertikalna komponenta brzine (vy ) jednaka je brzini slobodnog padanja, odnosno

vy = g � t = 9; 81m

s2� 2; 26 s = 22; 15 m

s

Brzinu udara kuglice na Zemlju moµzemo odrediti primenom Pitagorine teoreme, kada je

v =q(vx )

2+ (vy )

2=q(v0 )

2+ (vy )

2=

r225

m2

s2+ 490; 5

m2

s2= 26; 75

m

s

Kako je sin� =vyv) � = arcsin

vyv= arcsin

22; 15m

s

26; 75m

s

= 55; 89� onda ugao udara kuglice na Zemlju iznosi

� = 180� � � = 180� � 55; 89� = 124; 11�

00) Iz podnoµzja ravni nagnute pod uglom � = 20� izbaµcen je projektil poµcetnom brzinom v0 = 100m

spod

α β

v 0

domet d xy =

βtan ⋅y( , )T 0x 0

x

y

0 0x

y 0

→

uglom � = 50� u odnosu na strmu ravan.Odredimo domet proj-ektila duµz ravni. Prema slici imamo

x = v0 cos� � t ) t =x

v0 cos�odnosno y = v0 sin� � t�

1

2g t2 =

= v0 sin�x

v0 cos�� 12g

x2

v20 cos2 �

= x tg �� g x2

2v20 cos2 �| {z }

parabola

Presek putanje kretanja (parabole) i prave y = tg � � x glasi y = y odnosno

x0 tg � = x0 tg ��g x20

2v20 cos2 �

Iz ove jednaµcine dobijamo x0

�(tg �� tg � )� g x0

2v20 cos2 �

�= 0 kada jedno

�re�enje�x0 = 0 otpada dok se drugo re�enje dobija ako se izraz u velikoj zagradi izjednaµci sa nulom pa je

g x0 = 2v20 cos

2 � (tg �� tg � ) ) x0 =2v20 cos

2 �

g(tg �� tg � ) Kako je

x0d= cos� onda imamo

d =x0cos�

=2v20 cos

2 �

g cos�(tg �� tg � ) = 741; : : : m


00) Na 10m udaljenosti i 4m iznad horizontalne ravni nalazi se meta koju treba pogoditi kuglom izbaµcenom

x

y

0θ

0x

y 0

v 0

v 0

α 2 α 1

→

→

poµcetnom brzinom v0 = 20m

sOdredimo ugao u odnosu na horizontalnu

ravan pod kojim treba baciti kuglu da bi ona pogodila metu. Prema slici imamo

x = v0 cos� � t ) t =x

v0 cos�odnosno

y = v0 sin� � t�1

2g t2= v0 sin�

x

v0 cos�� 12g

x2

v20 cos2�

= x tg �� g x2

2v20 cos2�

pa je y0 = x0 tg ��g x20

2v20 cos2 �

Mnoµzenjem sa 2 cos2 � dobijamo

2y0 cos2 � = 2x0

sin�

cos�cos2 �� g x

20

v20Kako je

(2 cos2 � = 1 + cos 2�

2 sin� cos� = sin 2� onda je

y0 (1 + cos 2�) = x0 sin 2��g x20v20

odnosno y0 +g x20v20

= x0 sin 2�� y0 cos 2�

y0

�1 +

g x20v20 y0

�= x0 sin 2�� y0 cos 2� Prema slici vaµzi

y0px20 + y

20

= sin �x0px20 + y

20

= cos �y0x0= tg �

pa delenjem prethodne relacije sapx20 + y

20 dobijamo

y0px20 + y

20

�1 +

g x20v20 y0

�=

x0px20 + y

20

sin 2�� y0px20 + y

20

cos 2� odnosno

sin �

�1 +

g x20v20 y0

�= cos � sin 2�� sin � cos 2� = sin (2�� ) odakle je

2�� = arcsin�sin �

�1 +

g x20v20 y0

��odnosno

�1 =1

2

arcsin

sin �

�1 +

g x20v20 y0

�| {z }

0:599

!| {z }

36;8�

+ arc tgy0x0| {z }

�=21;8�

!= 29� 180 1200

Kako je sin� = sin (� � �) onda jednostavno dobijamo i �2 odnosno

�2 =1

2

�180� � arcsin

�sin �

�1 +

g x20v20 y0

��+ arc tg

y0x0

�= 82� 290 5300

Oba re�enja su realna i zadovoljavaju uslove zadatka.

00) Lopta se otkotrlja sa horizontalnog stola visokog h = 2; 2m posle µcega padne na pod na rastojanju

dx

y

0

h

v→0

v→

d = 2; 9m od podnoµzja stola.Odredimo vreme padanja lopte (�) br-zinu kojom je napustila sto (v0) i brzinu njenog udara o pod (v)Ako zanemarimo otpor vazduha, tada kotrljanje lopte nema uticajapa njeno kretanje moµzemo posmatrati kao horizontalni hitac gde je� = 0 Prema slici, parametarske jednaµcine glase

x = v0 t ) t =x

v0y = h� 1

2g t2 = h� g x

2

2v20

Prema zakonu o odrµzanju energije E = const imamo

1

2mv20 +mgh odakle je v =

pv20 + 2 g h

Za x = d ) y = 0 pa je 0 = h� g d2

2v20) h =

g d2

2v20odnosno


v0 =

rg d2

2h= d

rg

2h= 2; 9m

vuut 9; 81m

s2

4; 4m= 4; 33

m

sVreme padanja lopte � moµzemo odrediti iz formule

x = d = v0 � odakle je � =d

v0=

2; 9m

4; 33m

s

= 0; 67 s Brzina udara lopte u pod iznosi

v =pv20 + 2 g h = 7; 86

m

s

00) Telo je baµceno poµcetnom brzinom v0 = 24m

spod uglom � u odnosu na horizontalnu ravan.Odredi-

d0

Ay

xα

v→0

mo ugao � da domet tela bude jednak maksimalno dostignutoj visini kreta-nja ymax Odredimo domet tela.

Kako je y = v0 t sin��1

2g t2 onda za taµcku A vaµzi y = ymax v0 = 0 odnosno

vy = v0 sin�� g t = 0 odakle je t0A =v0 sin�

g

ymax = y(t od 0 do A) = v0v0 sin�

gsin�� 1

2gv20 sin

2 �

g2=v20 sin

2 �

g� 12

v20 sin2 �

g

=v20 sin

2 �

2g

d = v0 t cos� = v0 � 2 � t(0A) cos� = 2 � v0v0 sin�

gcos� =

v20 sin 2�

gMora biti d = ymax odnosno

v20 sin 2�

g=v20 sin

2 �

2 g) 2 � 2 sin� cos� = sin2 � ) 4 cos� = sin� Sada je 4 =

sin�

cos�= tg � )

� = arc tg 4 = 75� 570 ili d = ymax =v20 sin 2�

g= 27; 63m

00) Na strmu ravan nagibnog ugla � = 45� pada kugla sa visine H = 20m bez poµcetne brzine. Pri

dx

v 0

y

0l m10=

D

hm

10=

hm

10=

Hm

20=

o45o45

N

α

→

odbijanju od strme ravni kugla izgubi 20% brzine.Mesto udarau strmu ravan je na polovini visine slobodnog pada.Odredimo domet kugle na horizontalnu ravan.

Kako je v = g t odnosno h = v0 t|{z}0

+1

2g t2 =

1

2g t2 onda brzina uda-

ra kugle u strmu ravan iznosi v =p2 g h Od strme ravni kugla se odbi-

ja pod istim uglom pod kojim je pala na ravan.To znaµci da kugla na-stavlja da se krece kao telo baµceno sa visine h u horinzontalnom pravcu(� = 0) i to brzinom v0 koja je 20% manja od brzine v odnosno

v0 = 0; 8 � v = 0; 8 �p2 g h Prema slici vaµze parametarske jednaµcine

x = v0 t ) t =x

v0odnosno y = h� 1

2g t2

U trenutku pada na horinzontalnu ravan kada je x = D y = 0 vaµzi

y = 0 = h� 12g t2 ) t =

r2h

godnosno

D

v0=

r2h

godakle je

D = v0

r2h

g= 0; 8 �

p2 g h

r2h

g= 16m Domet na horizontalnoj ravni d iznosi

d = D � l = 16m� 10m = 6m


Kruµzno kretanjeKruµzno kretanje je najjednostavniji i najvaµzniji oblik krivolinijskog kretanja gde se materijalna taµcka

0θθ∆θ

A1

A

r0

∆ S

x

ykrece oko jedne obrtne ose opisujuci kruµznu putanju koja leµzi u ra-vni normalnoj na obrtnu osu. Za jednostavnije razumevanje kruµznogkretanjamaterijalne taµcke prirodno se javlja potreba za pojmovima ug-aone brzine i ugaonog ubrzanja jer je brzina kretanja materijalnetaµcke zavisna od njene udaljenosti od obrtne ose dok je njena ug-aona brzina ista bez obzira na udaljenost taµcke od iste obrtne ose

Ugaona brzina kod kruµznog kretanjaAko se materijalna taµcka krece po kruµznoj putanji oko obrtne ose (0)koja je normalna na ravan kruµzne putanje, tada rastojanje te taµckedo obrtne ose, odnosno polupreµcnik

�r = 0A

�u nekom vremensk-

om intervalu �t opisuje neki ugao �� pa je poloµzaj taµcke kod kru-µznog kretanja odre�en njenim rastojanjem od obrtne ose i opisanim

uglom. Ako iz poloµzaja A za neki vremenski interval �t taµcka stigne u poloµzaj A1 tada ugaoni pomerajpolupreµcnika, odnosno rastojanja od obrtne ose iznosi�� = � � �0pa se srednja ugaona brzina (!sr ) materijalne taµcke oko obrtne ose de�ni�e koliµcnikom njenog ugaonogpomeraja (��) i vremenskog intervala (�t) za koji je taj ugaoni pomeraj (��) nastao, odnosno

!sr =��

�t=� � �0t� t0

pri µcemu se u trenutku t0 taµcka nalazila u poloµzaju A i u trenutku t u poloµzaju A1

Srednja ugaona brzina je !sr =ugaoni pomerajproteklo vreme

Srednja ugaona brzina !sr dostiµze graniµcnu vrednost trenutne ugaone brzine ! kada rastojanjeA1A! 0 odnosno kada �t! 0 pri µcemu je

! = limA1A!0

!sr = lim�t!0

��

�t=d�

dt

Ako je ugaona brzina ! konstantna i ako je u trenutku t0 = 0 i �0 = 0 tada je ! =� � �0t� t0

=�

tili

� = ! t �to po analogiji odgovara formuliS = v t odnosno pre�enom putu kod translatornog kretanja.

Dimenziona jedinica ugaone brzine je ! =ugao - radijanvreme - sekund

=rad

s

1 rad =180�

�= 57� 170 4500 =

1

2�obrta 1 obrt= 360� = 2� rad

Ugaona brzina ! se izraµzava i brojem obrta u sekundi, odnosno1 obrt - pun ugao

1 sekund=O

s

U tehnici se ugaona brzina ! izraµzava i brojem obrta u minuti gde je1 obrt - pun ugao

1 minut=

O

min

00) Satelit kruµzi oko Zemlje na udaljenosti h = 6370 km brzinom v = 32 000km

hOdredimo vreme potre-

h

v→

v→

r

bno da satelit obi�e Zemlju od istoka prema zapadu i od za-pada prema istoku.Polupreµcnik Zemlje je r = 6370 kmSatelit se krece po kruµznoj putanji preµcnika 2 (r + h) pa ob-im te putanje iznosi

O = 2 (r + h)� = 2 (6 370 km+ 6370 km)� = 80 047; 78 km

Vreme za koje satelit obi�e jedan krug ili jedan obrt iznosi

t =O

v=80 047; 78 km

32 000km

h

= 2; 5 h = 9005; 37 s


Ugaona brzina rotacije satelita oko Zemlje iznosi

!S =1 obrt

t=

2� rad

9 005; 37 s= 6; 97 � 10�4 rad

sUgaona brzina rotacije Zemlje oko svoje ose iznosi

!Z =1 obrt

t=

2� rad

24 � 3 600 s = 7; 27 � 10�5 rad

s

Ako satelit obilazi Zemlju od istoka prema zapadu, tada njegova ugaona brzina u odnosu na Zemlju iznosi

!i�z = !S � !Z = 6; 97 � 10�4rad

s� 7; 27 � 10�5 rad

s= 6; 24 � 10�4 rad

s

Vreme obilaska satelita oko Zemlje od istoka prema zapada iznosi

t1 =1 obrt

!i�z=

2� rad

6; 24 � 10�4 rads

= 10 053; 2 s = 2; 79 h

Ako satelit obilazi Zemlju od zapada prema istoku, tada ugaona brzina njegovog kretanja u odnosu na Zemljuiznosi

!z�i = !S + !Z = 6; 97 � 10�4rad

s+ 7; 27 � 10�5 rad

s= 7; 7 � 10�4 rad

s

Vreme obilaska satelita oko Zemlje od zapada prema istoku iznosi

t2 =1 obrt

!z�i=

2� rad

7; 7 � 10�4 rads

= 8155; 34 s = 2; 26 h

Ugaono ubrzanje kod kruµznog kretanjaKao kod drugih oblika kretanja, tako i kod kruµznog kretanja materijalna taµcka se moµze kretati oko obrtne osesporije ili brµze pa se i njena ugaona brzina menja, odnosno kruµzno kretanje moµze imati i ugaono ubrz-anje (�) Ako u poloµzaju A odnosno u trenutku t0 taµcka ima ugaonu brzinu !0 a u poloµzaju A1 odnosnou trenutku t ugaonu brzinu ! tada promena ili prira�taj ugaone brzine �! u vremenskom intervalu�t = t� t0 iznosi �! = ! � !0gde je srednje ugaono ubrzanje �sr jednako koliµcniku promene ugaone brzine �! i vremenskog in-tervala �t u kome je do te promene i do�lo

�sr =�!

�t=! � !0t� t0

ili �sr =promena ugaone brzine

proteklo vreme

Srednje ugaono ubrzanje �sr ce dostici graniµcnu vrednost trenutnog ugaonog ubrzanja � kada rasto-janje A1A! 0 odnosno kada �t! 0 pa je

� = limA1A!0

�sr = lim�t!0

�!

�t=d!

dtKako je ! =

d�

dtonda se trenutno ugaono ubrzanje � moµze prikazati

i formulom � =d2�

dt2Ako je ugaono ubrzanje � konstantno, tada se trenutno ugaono ubrzanje � moµze

odrediti iz bilo kog vremenskog intervala t� t0 kada je

� =! � !0t� t0

odakle za t0 = 0 dobijamo � =! � !0t

) ! � !0 = �t ili

! = !0 + �t pa je poslednja formula analogna relaciji za brzinu kod jednakoubrzanog kretanja

v = v0 + a t

Formulu za ugaonu brzinu taµcke oko obrtne ose kada je ugaono ubrzanje konstantno! = !0 + �t moµzemo dobiti i primenom diferencijalnog raµcuna sledecim postupkom

Kako je trenutno ugaono ubrzanje

� =d!

dt) d! = � dt onda imamo

Zd! = �

Zdt odnosno ! = �t+ C Za t = 0 ) ! = !0 ili


!0 = � � 0 + C ) C = !0 pa je

! = !0 + �t| {z } Kako je trenutna ugaona brzina ! =d�

dt= !0 + �t ) d� = (!0 + �t) dt onda imamoZ

d� =

Z(!0 + �t) dt = !0

Zdt+ �

Zt dt odnosno � = !0 t+

1

2�t2 + C Za t = 0 ) � = 0 ili

0 = !0 � 0 +1

2� � 02 + C ) C = 0 pa je

� = !0 t+1

2�t2| {z } Kako je � =

d!

dt

d�

d�=d!

d�

d�

dt|{z}!

= !d!

d�onda imamo ! d! = � d� odakle je

Z! d! = �

Zd� odnosno

1

2!2 = �� + C Za t = 0 imamo � = 0 ) ! = !0 odnosno

1

2!20 = � � 0 + C ) C =

1

2!20 pa je

1

2!2 = �� +

1

2!20 odnosno

!2 = 2�� + !20| {z }Brzina materijalne taµcke kod kruµznog kretanjaAko se materijalna taµcka krece oko obrtne ose po kruµznoj putanji polupreµcnika r tada rastojanje izme�upoloµzaja A i A1 iznosi �S = r� � odakle dobijamo njenu brzinu kretanja

v = lim�t!0

�S

�t= lim

�t!0

r��

�t= r lim

�t!0

��

�t= r

d�

dt|{z}!

= r ! pa je

! =v

rBrzinu v = r ! nazivamo obimnom ili perifernom brzinom

Ubrzanje materijalne taµcke kod kruµznog kretanja

θ

A

0x

y

0θ∆θ

A1

r→r→

v→

∆θv→1

v→v→∆

Kod svakog krivolinijskog kretanja materijalne taµckenjeno ubrzanje moµze imati bilo koji pravac koji se ne po-klapa sa pravcem njene brzine �to vaµzi i za kruµzno kret-anje kao najjednostavniji oblik krivolinijskog kretanja.Kod kruµznog kretanja sa konstantnom ugaonom brzin-om ! obimna ili periferna brzina v je konstantna.Ako se materijalna taµcka krece po kruµznoj putanji polupreµc-nika r tada ce njena brzina u poloµzaju A biti oznaµcena vekt-orom brzine

!v a u poloµzaju A1 vektorom brzine

!v 1 gde se

vidi da vektori brzine!v i

!v 1 uvek imaju poloµzaj i pravac

tangente na putanju kretanja materijalne taµcke, na mestugde se ta taµcka trenutno nalazi. Vidimo da su vektori

!v i

!v 1

uvek normalni sa polupreµcnikom r pa vektori brzine!v i

!v 1

uvek grade isti ugao �� kao i polupreµcnici r Sa slike vidimo da je!v +�

!v =

!v 1 pa za male uglove ��

moµzemo prihvatiti aproksimaciju

�v � v��to su poloµzaji A i A1 bliµzi jedan drugom to se duµzina tetive koja ih�spaja�sve vi�e pribliµzava duµzini luka�S pa u graniµcnom sluµcaju kada A1A! 0 odnosno kada �t! 0 imamo

a = lim�t!0

�v

�t= lim

�t!0

v��

�t= v lim

�t!0

��

�t= v

d�

dt|{z}!

= ! v Kako je v = ! r ) ! =v

r) r =

v

!

onda se ubrzanje materijalne taµcke kod kruµznog kretanja moµze prikazati i formulama

a = ! v = !2 r =v2

r


gde vektor ubrzanja!a ima pravac vektora prira�taja brzine �

!v Ako se poloµzaj taµcke (A1 ) pribliµzava

poloµzaju taµcke (A) tada se pravac vektora �!v pribliµzava pravcu polupreµcnika r u dodirnoj taµcki kruµzne

putanje pa ce vektor �!v u graniµcnom sluµcaju kada poloµzaji A1 i A budu beskonaµcno blizu, biti norma-

lan na vektor brzine!v odnosno imace pravac polupreµcnika r i smer koji je uvek orijentisan ka centru

kruµzne putanje.Dakle, vektor ubrzanja!a kod kretanja taµcke po kruµznoj putanji uvek ima smer ka centru

kruµzne putanje pa se ovo ubrzanje naziva normalno radijalno ili centripetalno ubrzanje jer se ono javljaiskljuµcivo usled promene pravca vektora obimne ili periferne brzine

!v kada je intenzitet vektora br-

zine!v pri konstantnoj ugaonoj brzini ! konstantan.

0

x

y

θ

θ

m

r

a→a→t

a→r

A

0 x

y

0θ

v →∆tv→∆

v→∆

rv→1

v→1

r→ A1

r→∆θ

Ako ugaona brzina ! pri kruµznom kretanju nije konstantna, tada vektor periferne brzine !v pored

pravca, menja i intenzitet, odnosno brojnu vrednost, pa se tada pravac vektora ubrzanja!a ne poklapa

sa pravcem polupreµcnika r Tada je podesno vektor ubrzanja!a razloµziti na vektor radijalnog ubrzanja

(!a r ) koji se poklapa sa pravcem polupreµcnika r i vektor tangencijalnog ubrzanja (

!a t ) koji se poklapa

sa pravcem tangente na mestu dodira taµcke sa polupreµcnikom r

Sa slike desno vidimo da je zbir vektora brzine!v i vektora prira�taja brzine �

!v

!v +�

!v =

!v 1

gde vektor prira�taja brzine �!v moµzemo razloµziti na tangencijalnu komponentu �

!v t i na radijalnu kom-

ponentu �!v r Pribliµzavanjem poloµzaja A1 poloµzaju A smanjuje se vrednost vektora prira�taja

brzine �!v odnosno smanjuje se razlika

�v = v1 � v = r !1 � r ! = r�!gde se vrednost tangencijalne komponente �

!v t pribliµzava algebarskoj razlici

�!v t � r�!

U graniµcnom sluµcaju, kada A1A! 0 odnosno kada �t! 0 tangencijalna komponenta �vt ce postati je-dnaka algebarskoj razlici �v = r�! kada je

at = lim�t!0

�v

�t= lim

�t!0

r�!

�t= r lim

�t!0

�!

�t= r

d!

dt|{z}�

= r �

Tangencijalna komponenta ubrzanja!a t ima pravac tangente u taµcki dodira polupreµcnika r i putanje.

Radijalna komponenta ubrzanja!a r ima poloµzaj u pravcu polupreµcnika r ili radijalni pravac pa ce ra-

dijalno ubrzanje i kod promenljivog kruµznog kretanja biti

ar = ! v = r !2 =

v2

r

�to je identiµcno ubrzanju a kod jednolikog kruµznog kretanja gde je ugaona brzina ! konstantna. Akose materijalna taµcka krece po kruµznoj putanji konstantnom ugaonom brzinom (! = const) tada kod takvog


kretanja postoji samo radijalno ubrzanje!a r i ono nastaje zbog promene pravca periferne brzine dok

je ugaono ubrzanje � kod takvog kretanja jednako nuli (� = 0) pa i tangencijalno ubrzanje!a t kod ta-

kvog kretanja iznosi!a t = r � 0 = 0Zato tangencijalno ubrzanje

!a t postoji samo kod promenljivog kruµznog kretanja gde je ugaono ubrzanje

� 6= 0 pa kod takvog kretanja tangencijalno ubrzanje nastaje zbog promene brojne vrednosti vektoraperiferne brzine

!v Promenom svoga pravca vektorske veliµcinemenjaju svoju vrednost pa je

svako krivolinijsko kretanje ubrzano kretanje jer se pravac vektora brzine pri takvom kret-anju menja.Svako kruµzno kretanje je ubrzano kretanje gde je ubrzanje uvek razliµcito od nule.Kako su tangencijalna i radijalna komponenta ubrzanja

!a t i

!a r me�usobno normalne, onda brojna

vrednost ubrzanja!a iznosi

a =pa2t + a

2r =

q(r �)

2+ (r !2 )

2 pa za ugao � koji ubrzanje!a gradi sa polupreµcnikom r imamo

atar= tg � ) � = arc tg

atar

θy

0x

y

r

x

Ako se koordinatni sistem postavi u centar kruµzne putanje u xy - ravni i ako se pri-hvati da je �0 = 0 za t0 = 0 tada koordinate materijalne taµcke koja se krece pokruµznoj putanji polupreµcnika r iznose x = r cos � y = r sin � a njihovim dif -erenciranjem po vremenu t dobijamo komponente brzine u pravcu x i y ose

vx =dx

dt= � r sin � � d�

dt|{z}!

= � r ! sin � vy =dy

dt= r cos � � d�

dt|{z}!

= r ! cos �

Diferenciranjem ovih formula po vremenu t dobijamo komponenteubrzanjataµcke u pravcu x i y - ose, odnosno

ax =dvxdt

= � r�d!

dt|{z}�

sin � + ! cos � � d�dt|{z}!

�= � r

�!2 cos � + � sin �

�

ay =dvydt

= r

�d!

dt|{z}�

cos � + !

�� sin � � d�

dt|{z}!

��= � r

�!2 sin � � � cos �

�Kako su komponente ax i ay me�usobno normalne, onda imamo

a2 = a2x + a2y = r

2�!4 cos2 � + 2!2 cos � � � sin � + �2 sin2 �

�+ r2

�!4 sin2 � � 2!2 sin � � � cos � + �2 cos2 �

�= r2

�!4�cos2 � + sin2 �

�| {z }1

+ �2�sin2 � + cos2 �

�| {z }1

�= r2 !4 + r2 �2 = (r �)

2+�r !2

�2odnosno

a =

q(r �)

2+ (r!2 )

2 Poznata formula

00) Obim Zemlje na ekvatoru iznosi 40 000 000m

o45

r 1

r

a) Odredimo ugaonu brzinu taµcke na ekvatoru i druge taµcke koja se na-lazi na 45 - om stepenu geografske �irine.

b) Odredimo linijsku ili perifernu brzinu taµcke na ekvatoru i druge ta-µcke koja se nalazi na 45 - om stepenu geografske �irine.

c) Odredimo radijalno, ugaono, tangencijalno i totalno ubrzanje ta-µcke na ekvatoru i taµcke koja se nalazi na 45 - om stepenu geografske �irine.

d) Odredimo procentualnu razliku teµzine tela mase m na ekvatoru ina polovima.


a) Ako izuzmemo taµcke na osi rotacije Zemlje, onda je ugaona brzina ! za svaku drugu taµcku na Zemlji ista

! =1 obrt

24 h=

2 � rad

24 � 3600 s = 7; 27 � 10�5 rad

s

b) Obim Zemlje na ekvatoru iznosi O = 2 r � pa je njen polupreµcnik r =40 000 000m

2�= 6366 197m

Linijska ili periferna brzina taµcke na ekvatoru iznosi

ve = r � ! = 6366 197m � 7; 27 � 10�5rad

s= 462; 96

m

srad = 462; 96

m

s

1 radz }| {1

2�obrta| {z }2 �

= 462; 96m

s

Polupreµcnik Zemlje na 45 - om stepenu geografske �irine iznosi

r1 = r cos 45� = 6366 197m �

p2

2= 4 501 581m

Linijska ili periferna brzina taµcke na 45 - om stepenu geografske �irine iznosi

v45� = r1 � ! = 4501 581m � 7; 27 � 10�5rad

s= 327; 36

m

srad = 327; 36

m

s

1 radz }| {1

2�obrta| {z }2 �

= 327; 36m

s

c) Radijalna komponenta ubrzanja ima poloµzaj u pravcu polupreµcnika r ili radijalni pravac. Taµcke na ek-vatoru i na 45 - om stepenu geografske �irine imaju sledece vrednosti radijalnog ubrzanja

(ar )e =v2er=214 331; 96

m2

s2

6 366 197m= 0; 0337

m

s2(ar )45� =

v245�

r1=107 164; 57

m2

s2

4 501 581m= 0; 0238

m

s2

Zemlja se okrece konstantnom ugaonom brzinom ! pa ugaono ubrzanje � svake taµcke na Zemlji iznosi

� =d!

dt= 0 ) a t = r � � = r � 0 = 0 (at )e = 0 (at )45� = 0

Tangencijalnoubrzanje (at)postoji samo kodpromenljivogkruµznog kretanja gde jeugaonoubrzanje� 6= 0Totalno ubrzanje (atot) taµcke na ekvatoru ili na 45 - om stepenu geografske �irine jednako je radijalnom ubr-zanju istih taµcaka, odnosno

(atot )e =q(ar )

2e + (at )

2e =

q(ar )

2e + 0 = (ar )e (atot )45� =

q(ar )

245� + (at )

245� =

q(ar )

245� + 0 = (ar )45�

d) Centrifugalna ili radijalna sila na polovima ne postoji ali na ekvatoru postoji zbog µcega dolazi dosmanjenja teµzine tela mase m kada je Qe = ma = m

�g � (ar )e

�Qpol = mg

QeQpol

=m�g � (ar )e

�mg

=9; 81

m

s2� 0; 0337 m

s2

9; 81m

s2

= 0; 99 %

Vektorsko predstavljanje veliµcina kod kruµznog kretanja

xr→v→ω→

xr→

v→ω→

Ugaona brzina!! je vektorska

veliµcina koja ima pravac jednakpravcuoserotacije, intenzitetjednak veliµcini ugaone brzine asmer vektora ugaone brzine!! de�nisan je smeromkretanjazavrtnja sadesnim navojemkoji se okretanjem u smeru ro-tacije taµcke krece u smeru ve-ktora

!v pa se on naziva i aksi-

jalnim vektorom kao svi drugivektori koji imaju pravac oseProizvod polupreµcnika puta-nje odnosno radijus vektora

!r


i vektora ugaone brzine!! jeste vektorska veliµcina koja pokazuje perifernu brzinu

!v =

!r �!

!

gde je vektor!v normalan na ravan koji saµcinjavaju vektori

!r i

!! pa je vektorski proizvod dva vektora

neki novi spoljni vektor koji nije u ravni sa druga dva vektora vec stoji �spolja�normalno na ravan ko-ju oni grade.Kako vektor ugaone brzine

!! i radijus vektor

!r grade ugao � = 90� ) sin � = 1 onda

brojna vrednost vektorskog proizvoda!v =

!r �!

! odgovara formuli za perifernu brzinu kod kruµznog kretanja gde jev = r !

v→ω→

xr→a→t→α

xa→r

r

Brojna vrednost vektorskog proizvoda!a t =

!� �!

r odgovara formuli za tangencijalno ubrzanje!a t pri µcemu je at = �r

Brojna vrednost vektorskog proizvoda!a r =

!! �!

v odgovara formuli za radijalno ubrzanje!a r pri µcemu je ar = ! v

Period rotacijePeriod rotacije (T ) kod kruµznog kretanja je ono vreme za koje materijalna taµcka ili telo izvr�i jedan ob-rt oko ose rotacije. Kod ravnomernog kruµznog kretanja po putanji polupreµcnika r taµcka tu putanju du-µzine 2 r � pre�e za vreme T koje zavisi od brzine njenog kretanja v = ! r pa imamo

2 r � = v T = ! r T odakle je ! =2�

T

Ako taµcka ili telo u jedinici vremena obavi � (�ni�) obrta, tada je � =1

Todnosno ! = 2� � gde je � =

1

Tfrekfencija ili uµcestanost koja se u tehnici oznaµcava sa f

00) Odredimo brzinu metka v tako �to se on �pusti�da pro�e kroz dve paralelne kruµzne ploµce na me-

l

θ

v �usobnom rastojanju l = 90 cm koje rotiraju na istoj

osovini brzinom ! = 1740O

minMerenjem je provereno

da je otvor na drugoj ploµci kroz koju je pro�ao metak,pomeren za � = 20� u odnosu na otvor na prvoj ploµci.Ako pogledamo rotaciono kretanje, onda znamo za�to je

� = 20�=20

180� rad=

�

9rad ! =

1740

602�rad

s= 58�

rad

s

� = ! t l = v t odakle dobijamo�

l=!

vodnosno v =

l !

�=0; 9m � 58� rad

s�

9rad

= 469; 8m

s


00) Zamajac ma�ine polupreµcnika r = 1; 4m polazi iz stanja mirovanja i za vreme t = 24 s postigne uga-

ϕ

→a t

→a r

→a

r

constα =

onu brzinu 180O

minOdredimo ugao ' koji zamajac opi�e za to vreme i ubr-

zanje na obodu zamajca. Kako je 1 obrt = 2� rad onda imamo

! = 1802�

60

rad

s= 6�

rad

s! = !0|{z}

0

+ �t � =!

t=6�

24 s

rad

s=�

4

rad

s2

!2 = (!0 )|{z}0

2+ 2�� Odavde je � =

!2

2�=(�t)

2

2�=�t2

2=1

2

�

4(24)

2= 72� rad

ar = !2 r =

�6�

1

s

�2� 1; 4m = 50; 4 � �2 m

s2= 497; 428

m

s2at = �r =

�

4� 1; 4 = 1; 099 m

s2

a =pa2r + a

2t =

q(497; 428)

2+ (1; 099)

2= 497; 429

m

s2' = arc tg

atar= arc tg

1; 099

497; 428= 70 3600

00) Gimnastiµcar skaµce u vodu sa visine H = 5; 5m Pri skoku on u vazduhu izvede 2; 5 okreta.Odredimonjegovu srednju ugaonu brzinu !sr

H =1

2g t2pad ) tpad =

r2H

gKako ugao �okretanja�gimnastiµcara iznosi � = 2; 5 � 2� = 5� rad onda je

njegova ugaona brzina ! =�

tpadSrednja ugaona brzina �okretanja�gimnastiµcara je

!sr =�r2H

g

= �

rg

2H= 5� rad �

vuut 9; 81m

s2

2 � 5; 5m = 14; 8rad

s

00) Na kojoj geografskoj �irini ce posada aviona koji leti brzinom va = 360km

hu pravcu istok - zapad

αr z

r1 vzva

ω

videti Sunce uvek u istom poloµzaju?Kako je T = 24 h rz = 6378 km onda br-

zina taµcke na Zemlji ispod aviona iznosi vz = ! r1 =2�

Trz cos� Iz uslova da

brzina aviona va mora biti jednaka vZ sledi va = vZ =2�

TrZ cos�

odakle je cos� =va T

2� rZ� = arccos

va T

2� rZ= arccos

360km

h� 24 h

2� � 6 378 km = 77�3205700

Documents

kretanje