ELEKTROTEHNIKI FAKULTET SARAJEVO INENJERSKA FIZIKA I
--predavanja za 3. sedmicu nastave
MEHANIKA MATERIJALNE ESTICE 2.3.3 Kruno kretanje/gibanjeKada
ubrzanje materijalne take nema isti pravac kao brzina, ve s brzinom
zatvara ugao razliit od nule, materijalna taka uvijek e se kretati
po zakrivljenoj liniji. Primjer takvog kretanja je kruno kretanje/
gibanje. Kretanje materijalne take po krunici je kretanje u ravni.
Neka krunica lei u (x, y) ravnini Cartesijevog koordinatnog sustava
(crt. 2.8). Poloaj materijalne toke moemo opisati Cartesijevim
koordinatama x i y ili polarnim koordinatama r i . Kako je putanja
krunica, iznos radijusa vektora r je konstantan, te se pri kretanju
mijenja samo polarna koordinata .
Crt. 2.8 Veza izmeu Cartesijevih i polarnih koordinata
materijalne take je:
x = r cos y = r sin Kut/ugao se obino izraava u radijanima i
jednak je koliniku luka s i puluprenika r
=
s (rad ) r
1rad =
Iz ove relacije slijedi izraz za preeni put:
180 = 57,3 0
8
s = rDeriviranjem puta s po vremenu, dobiva se tzv. obodna
(linearna) brzina v:
v=
d ds =r = r dt dt
gdje je
=
d dt
ugaona/kutna brzina.
Jedinica za ugaonu/ kutnu brzinu je rad s-1 ili s-1, budui da
dopunsku jedinicu rad esto ne piemo. Kutna/ugaona brzina je vektor;
iji je smjer na pravcu ose rotacije i odreen je pravilom desne
ruke. Ako prsti desne ruke slijede materijalnu toku, palac pokazuje
smjer .
Crt. 2.9 Pravac ugaone/kutne brzine uvijek je okomit na ravninu
kruenja. Obodna/periferna brzina v uvijek je okomita i na vektor r
i na vektor (crt.2.9). Kut izmeu r i je
, tj si = 1 . Zbog toga moe se vektorski napisati kao: n 2
v = r
ili r v = r
Jednoliko kruno kretanje/gibanje je kruenje s konstantnom uganom
brzinom:
d = = konst. dtIntegriranjem dobivamo
= 0 + t
9
gdje je 0 ugao u momentu t = 0. Za opisivanje jednolikog krunog
kretanja korisno je definirati frekvenciju i vrijeme potrebno za
jedan puni krug-period. Oito je za jednoliko kruno kretanje:
= 2f ,
T=
1 f
Jednoliko kruno kretanje je zapravo ubrzano kretanje, jer se pri
njemu stalno mijenja smjer obodne/periferne brzine, crt. 2.10, iako
joj iznos ostaje konstantan. Iznos promjene brzine v jednak je v =
v . Podijelimo li obje strane ove relacije sa t uz granini prijelaz
t 0 , dobivamo iznos za ubrzanje koja mijenja smjer brzine :
a r = limt 0
v v = lim = v t t 0 t
Ova akceleracija ima smjer prema sreditu krunice i zbog toga,
zovemo je radijalna (normalna) ili centripetalna akceleracija.
Crt. 2.10
Ako sa r0 oznaimo jedinini radijus vektor usmjeren prema sreditu
krunice, izraz za radijalnu akceleraciju moemo pisati vektorski: r
v2 2 a r = r r0 = r0 = v r
2.3.3 Nejednoliko kruno gibanjePri nejednolikom kruenju iznos
obodne/periferne brzine nije vie konstantan ve se mijenja s
vremenom.
10
Zbog toga je ukupna akceleracija sastavljena od radijalne
akceleracije a r i tangencijalne akceleracije at . Radijalna
komponente akceleracije je u smjeru r . Tangencijalna komponenta
akceleracije je u smjeru tangente.
Tangencijalna akceleracija nastaje zbog promjene iznosa
periferne/obodne brzine:
at =
dv d (r ) d = =r r dt dt dt
gdje je
d d 2 = 2 = dt dt
ugaona/ kutna akceleracija (ubrzanje).
Jedinica ugaone/kutne akceleracije je rad s-2. Ako ugaonu
akceleraciju definiramo kao vektor iji je smjer okomit na ravan
kruenja, tada moemo napisati u vektorskom obliku:
at = r
Pri jednolikom kretanju po krunici = konst. odnosno = 0 te je i
tangencijalna akceleracija nula. Pri nejednolikom krunom kretanju
postoji i radijalna i tangencijalna akceleracija. Radijalna ima
smjer r0 , dakle prema sreditu krunice, dok je druga u smjeru
tangente. One su okomite jedna na drugu pa ukupnu akceleraciju a
dobivamo kao
a = at + a r
Poseban sluaj nejednolikog krunog kretanja je kretanje s
konstantom ugaonom akceleracijom ( = kons .). tt Zakone takvog
kretanja moemo dobiti uzimajui u obzir da je = kons . i da je u
trenutku t=0, kut = 0 , a = 0 . Integrirajui izraz d = dt
dobivamo:
0
d = dt0
t
11
odnosno
= t + 0Integriranjem izraza d = (t + 0 )dt dobivamo izraz za
ugao/ kut:
0
d = (t + )dt = tdt + 0 0 0 0
t
t
t
0
dt
odnosno
1 = t 2 + 0 t + 0 2Ovi izrazi analogni su izrazima za
pravolinijsko kretanje. Tablica pokazuje formalnu analogiju meu
formulama pravrolinijskog i krunog kretanja. Ako u formule
pravolinijskog kretanja umjesto s, v i a uvrstimo , , dobivamo
formule krunog kretanja.
Pravolinijsko kretanje
Kruno kretanje
v=
ds dt d 2s a= 2 dt s = vt + s 0 s=
d dt d 2 = 2 dt s = t + 0
=
1 2 at + v 0 t + s 0 2 2 v 2 = 2as + v 0
1 s = t 2 + 0 t + 0 2 2 2 v = 2 + 0
3. DINAMIKA ESTICE3.1. Uvod U kinematici smo prouavali zakone
kretanja bez obzira na uzroke koji su to kretanje proizveli. Sada
emo prouiti dinamiku koja razmatra fizikalne uzroke kretanja Osnova
dinamike su tri Newtonova asksioma/zakona koje je jo 1686.
formulirao engleski fiziar Isaac Newton. Iz tih aksioma moe se
izgraditi tzv. klasina ili Newtonova mehanika. Newtonova mehanika
izvrsno opisuje makroskopske pojave, dakle tijela dimenzija veih od
atoma i molekula, te brzine mnogo manje od brzine svjetlosti.
12
Za opisivanje mikrosvijeta (atoma i molekula) moraju se
primjeniti zakoni kvantne mehanike, a za velike brzine
upotrebljavaju se zakoni relativistike mehanike(Einsteinova teorija
relativnosti). Osnovne fizikalne veliine dinamike su sila i masa. U
fizici silu opisujemo pomou njenog djelovanje. Fizika veliina kojom
se mjere interakcije izmeu tijela naziva se sila. Djelovanje sile
moe biti dvojako: sila moe ubrzati ili usporiti neko tijelo; tj.
promjeniti mu stanje kretanja, sila moe promjeniti oblik tijela
(deformacija). U dinamici se prouava samo prvo djelovanje sila, tj.
sila kao uzrok promjene stanja kretanja nekog tijela. Danas je
poznato da postoje etiri osnovna tipa meudjelovanja meu esticama
(molekulama, atomima, te elementarnim esticama). To su
gravitacijska sila, elektromagnetska sila, sila slabe interakcije i
sila jake interakcije. Gravitacijska sila djeluje izmeu tijela po
Newtonovom zakonu gravitacije:F =
gdje su m1 i m2 mase tijela koje meudjeluju a r, rastojanje
izmeu centara masa tih tijela, = 6,67 10 11 Nm 2 kg 2 gravitacijska
konstanta, r0 jedinini vektor. Intenzitet gravitacijskih sila
srazmjeran je masama tijela a opada sa kvadratom rastojanja izmeu
njih, usljed toga ove sile dolaze do izraaja kod tijela velikih
masa, kao to su nebeska tijela, i djeluju na velikim rastojanjima.
Elektromagnetne sile potiu usljed meudjelovanja naelektrisanih
tijela. Ukoliko su naelektrisanja u relativnom mirovanju,
interakcija je izraena tzv. Coulombovom silomF =
mm r1 2
2
r0
gdje su q1 i q2 naelektrisanja a r-rastojanje izmeu centara tih
naelektrisanja, 0 = 8,85 10 12 Fm 1 dielektrina konstanta vakuuma.
Ukoliko se naelektrisanje kree u mangetnom polju B, na njega
djeluje magnetna sila:
1 q1 q2 r0 4 0 r 2
r r F =q vB
(
)
gdje je v brzina naelektrisanja, q naboj a B magnetska
indukcija. Ako osim mangetskog, na naboj djeluje i elektrino polje,
ukupna elektromagnetska (Lorentzova) sila je vektorski zbor
elektrine i magnetske sile: F = q E + q v x B
Meudjelovanje izmeu molekula, atoma kao i sile unutar atoma su
elektromagnetske prirode, koje dolaze do izraaja na relativno malim
rastojanjima. Intenzitet elektromagnetskih interakcija je mnogo
puta vei od intenziteta gravitacijskih. Nuklearne sile djeluju
izmeu estica atomskog jezgra bez obzira na njihovo naelektrisanje.
Nuklearne sile djeluju na malim rastojanjima, oko 10-15 m i velikog
su intenziteta, veeg i od elektromagnetskog.
13
Masa je svojstvo svakog tijela koje odreuje njegovo ponaanje pri
djelovanju sile: to je masa tijela vea ono je tromije (intertnije),
to ga je tee ubrzati ili usporiti, tj. promjeniti mu stanje
kretanja. Masa je mjera tromosti (inercije) tijela. Kvantitativna
mjera za inerciju predstavlja fizikalnu veliinu koja se zove masa.
Ova fizikalna veliina odreuje inertna i gravitacijska svojstva
tijela. .
3.2. Prvi Newtonov aksiom/zakonJo je Galilei uoio da tijelo na
koje ne djeluju vanjske sile ostaje na miru ili se kree jednoliko
po pravcu. Da pokrenemo tijelo koje miruje potrebna je odreena
sila; takoer, tijelo koje se kree jednoliko po pravcu ostat e u tom
stanju kretanja sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila . .
Svojstvo tijela da odrava svoje stanje kretanja/kretanja ili
mirovanja zovemo, tromost ili inercija. ustrajnost Prouavajui
Galileieva razmatranja, doao je Newton do svojeg prvog
zakona/aksioma
Svako e tijelo ostati u stanju mirovanja ili jednolikog kretanja
po pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne
promijeni.Prvi Newtonov aksiom se esto zove i princip inercije.
Poloaj tijela odreujemo s obzirom na neko drugo tijelo (okolinu)
izborom referentnog sistema/sustava. Prvi Newtonov zakon ne vai u
svakom referentnom sistemu. Sistemi u kojima vai prvi Newtonov
aksiom su inercijalni sistemi/ sustavi; prihvaanjem ovog aksioma
ograniili smo se na opisivanje pojava u inercijalnim sustavima.
Svaki sistem koji miruje ili se kree jednoliko po pravcu s obzirom
na neki inercijalni sistem opet je inercijalni sistem . Mirovanje i
jednoliko kretanje po pravcu ravnopravni su. Tijelo koje u jednom
inercijalnom sistemu miruje u drugom inercijalnom sistemu moe
mirovati ili se kretatii jednoliko po pravcu.
3.3. Drugi Newtonov aksiom/zakonDrugi aksiom opisuje kako se
ponaa tijelo kad na njega djeluje odreena vanjska sila F. Iz
iskustva je poznato, a i brojni pokusi mogu potvrditi, da je
akceleracija tijela proporcionalna sili i ima smjer sile. Konstanta
proporcionalnosti izmeu sile i akceleracije je masa tijela m: (3.1)
Masa je mjera za inerciju (tromost) tijela: to je masa tijela vea,
to je za isto ubrzanje potrebna vea sila. Masa koja se pojavljuje u
gornjoj relaciji naziva se, upravo zbog tog svojstva, tromom masom
tijela. Ovu vezu izmeu sile, mase i akceleracije zovemo drugi
Newtonov zakon u nerelativistikom obliku ili jednadba kretanja.
Napisan u ovom obliku 2. Newtonov aksiom vrijedi u granicama
valjanosti Newtonove mehanike, tj. za brzine mnogo manje od brzine
svjetlosti i zato se i zove nerelativistiki. Pomou gornje jednadbe
moemo izvesti jedinicu za siluF =m a
[F ] = [m ][a] = 1kg 1m s2 = 1kg m s2 = 1N
14
Jedinica za silu je dakle 1 njutn (N). 1N je sila koja tijelu
mase 1 kg daje ubrzanje od 1 m/s2. Da bismo openito formilirali 2.
Newtonov aksiom, potrebno je definirati koliinu kretanja/kretanja
tijela (impuls tijela). To je vektorska veliina jednaka produktu
mase i brzine:
p=m v
(3.2)
Newtonova formulacija drugog aksioma/zakona glasi:
Brzina promjene koliine kretanja/kretanja proporcionalna je sili
i zbiva se u pravcu te sile:d d p F = m v = dt dt
(3.3)
Ovako napisan 2. Newtonov aksiom vrijedi i za velike brzine
(uporedive s brzinom svjetlosti); zato se formula (3.3) esto zove
relativistiki oblik drugog Newtonovog aksioma. Formula (3.3.)
prelazi u (3.1.) u sluaju kad su brzine tijela malene u usporedbi s
brzinom svjetlosti (v
