La Recta Circunfrencia Parabola

8/18/2019 La Recta Circunfrencia Parabola

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____________________________________________ __________ __ Ing. Eduardo Casado

LA RECTA

Definición: Analíticamente es una ecuación lineal o de primer grado en dos

variables.

También podemos decir que es la representación gráfica cuya ecuaciónsea de primer grado en dos variables.-

Una recta queda determinada si se conocen perfectamente doscondiciones como por ejemplo:

1- Dos de sus puntos.-2- Un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

Para determinar la distancia entredos puntos ( )11; y x A y ( )22 ; y x B podemos usar el teorema dePitágoras y plantear:

( ) ( )122

12 y y x x D AB −+−=

FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA :A continuación se definen algunas formas que pueden tomar las rectas

en función de los datos con que se cuentan:

A- Punto y Pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto decoordenadas: ( )11 ; yP y cuya pendiente es “m”:

( )11 x xm y y −=−

B- Pendiente – Ordenada al origen: La ecuación de la recta que de la cual seconoce la pendiente y la ordenada al origen de coordenadas: ( )b;0

bmx y +=

C- Dos puntos: Los puntos con los que se cuenta como datoson: );(;);( 221111 y xP yP En este caso a la recta obtenida también se lallama “ Ecuación Cartesiana de la Recta ”

( )21211 yyyyyy−−−


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____________________________________________ __________ __ Ing. Eduardo Casado D- Ecuación Segmentaria : La ecuación e la recta que corta a los ejes

coordenados en los puntos ( ) ( )b ya ;00; . También se la denominaEcuación Segmentaria de la recta.-

1=+b y

a x

la forma en que se puede demostrar es:

La recta que pasa por estos dos puntos es:

( )→−

−

−=−

)0;(

;0)(

2

11

12

121 aP

bP x x

x x y y

y y

)0(0

0 −−

−=− xa

bb y

xab

b y −=−

Haciendo pasajes de términos obtenemos: b xab y =+

Luego dividiendo todo por “b” tendremos: 1=+→=+a x

b y

bb

b

xab

b y

E- Ecuación General: Una ecuación lineal o de primer grado en las variables“x” e “y” . es de la forma: 0=++ C By Ax , donde: C B A ;; , son

constantes arbitrarias. la pendiente e la recta es de la forma: A B

m −= y su

ordenada en el origen es: BC

b −= . Para llegar a estos valores podemos

proceder de la siguiente manera:

Dada: 0=++ C By Ax despejamos “y” :

B ByC Ax portododivideSe →−=+ y tendremos:

−+−=→

−

−=

−

+− B

C x

B A

y B

By BC

x B

A


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____________________________________________ __________ __ Ing. Eduardo Casado

Ejemplo:Dada la recta: 12 += x y , determinar la recta paralela que pasa por el punto

)4;1(P .La pendiente de la recta dada es: 2=m , entonces la recta buscada es:

22)1(24)( 11 +=→−=−→−=− y x y x xm y y siendo estaultima la recta buscada que cumple las condiciones dadas. Gráficamentetendremos

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

x

y

RECTAS PERPENDICULARES:Dos rectas son perpendiculares cuand o se cumple la siguiente igualdad

de las pendientes

Dadas: bm y += 11 ; c xm y += 22 son perpendiculares si :

12

1m

m −=

Ejemplo:Dada la recta: 12 += x y , determinar la recta perpendicular que pasa por elpunto )4;1(P .-

La pendiente de la recta dada es: 2=

m , entonces la recta buscada es:

29

21

)1(21

4)(1

11 +−=→−−=−→−−=− x y x y x x

m y y siendo

esta ultima la recta buscada que cumple las condiciones dadas.Gráficamente tendremos

-1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

x

y


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____________________________________________ __________ __ Ing. Eduardo Casado LA CIRCUNFERENCIA :Definición : “Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntosdel plano que están a una distancia constante de un punto fijo. Dicho punto

fijo se llama centro y la distancia constante se llama radio de lacircunferencia Una circunferencia queda determinada si se conocen su

centro y su radio” .-Para obtener la forma característica de la ecuación de la Circunferencia,

debemos plantear el siguiente esquema:

Si planteamos la distancia entre lospuntos ( ) y xP ; y ( )k hC ; denominada como radio r ,tendremos:

r D PC = , entonces:( ) ( )22 k yh xr −+−= desde

donde podemos deducir que:( ) ( )222 k yh xr −+−= (I)

Esta es la llamada ecuaciónreducida de la circunferencia.-


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____________________________________________ __________ __ Ing. EduardoCasado

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Si adoptamos el caso particular deque la circunferencia esté en elcentro de coordenadas donde ( ) ( )0;0; =k hC , entoncestendremos: 222 y xr += .

Si en la ecuación ( ) ( )222

k yh xr −+−= desarrollamos en elsegundo miembro los cuadrados de los binomios planteados,tendremos:

22222 22 k yk yh xh xr +−++−= Asociamos los términos que no dependen de las variables ye x eigualamos a cero, logramos:

( ) 022 22222 =−++−−+ r k h yk xh y x

Si designamos:

−+=

−=

−=

222

22

r k hF

k E h D

tendremos la llamada

ecuación general de la circunferencia :022 =++++ F Ey Dx y x

A continuación trataremos de vincular las dos ecuacionesdeterminadas: la reducida y la General, para ello seguimos lossiguientes pasosAsociamos los términos con igual variable:( ) ( ) →=++++ 022 F Ey y Dx x se completa cuadrados encada uno de los paréntesis determinados:

F E E

Ey y D D

Dx x −=

−

+++

−

++

222

222

2222

Operando:F

E E y

D D x −=−

++−

+

4242

222

→

4422

2222 E DF

E y

D x ++−=

++

+

Luego sacando común denominador en esta última expresión,tendremos:


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6

44

22

2222 F E D E y

D x

−+=

++

+ (II)

Si a esta expresión (II) la comparamos con la expresión (I)podemos deducir los elementos mas importantes de lacircunferencia que son el centro y el radio de la misma:

−=

−=

2

2: E

k

Dh

Centro

24

44:

22222 F E Dr F E Dr Radio −+

=→−+

=

En lo que se refiere al radio debemos hacer algunasconsideraciones que surgen del análisis de la raíz; puedenpresentarse las siguientes posibilidades:

0422 >−+ F E D REPRESENTA UNA CIRCUNFERENCIA

REAL 0422


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Ejemplo 2:

Hallar las coordenadas del centro y el rdio de lacircunferencia. 0145322 =−+−+ y x y x , mediante:

a) Completar cuadrados.-b) Aplicando la f´romula general.-

a)→=−+−+

0145322

y x y x

01425

25

523

23

322

222

2 =−

−

+++

−

+− y y x x

→=−

−

++

−

− 0144

2525

49

23

22

y x

490

25

23

22

=

++

− y x

de donde surge:

==

−

1023

490

25

;23

r

C

b)


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De la ecuación dada surge :−=

=

−=

14

5

3

F

E

D

==−−+

=→−+

=

−→

−−

−→

−−

1023

290

2)14(4259

24

25

;23

25

;23

2:

222

r F E D

r

C C E D

C

SECCIONES CONICAS:

Definición :

“ Es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancia uin punto fijo y una recta fija es constante y recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica”.-De esta definición surge:

AD EXENTRICID

DIRECTRIZ

FOCO

: constanteRelación

:Recta Fija

::fijoPunto

Las secciónes cónicas se clasifican en tres categorías segúnsu forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo a losvalores que adopta la exeentricidad.

→< 1e La cónica se llama Elipse →= 1e La cónica se llama Parábola →> 1e La cónica se llama Hipérbola

LA PARABOLA :


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Definición : “Se define como parábola al lugar geométric de todslos puntos del plano que equidistan de una recta fija llamadadirectrizy de un ounto fijo llamado foco”

D acuerdo a la definicion podemosmplantear la igualdad de lasdistancias etre el punto ( ) y xP ; y el foco y por otro lado entre elpunto y la directriz, entonces: PAPF D D = , se plantea entonces:

( ) ( )[ ]22 ak yh xPF +−+−= ademas: ( )[ ]ak yPA −−= seigualan estas dps expresiones:

( )[ ] ( ) ( )[ ]22 ak yh xak y +−+−=−− elevamos al cuadradoambos miembros:

( )[ ] ( ) ( )[ ]222 ak yh xak y +−+−=−−

Se desarrollan los cuadrados de los binomios planteados:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22222 22 ak ak y yh xak ak y y +++−+−=−+−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22222 22 ak ak y yh xak ak y y +++−+−=−+−−

( ) 2222222 222222 akak ya yk yh xakak ya yk y +++−−+−=+−++−

Haciendo las cancelaciones necesarias:


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( ) ka yah xka ya 2222 2 +−−=−

Luego : ( )244 h xka ya −=− sacando factor común:

( ) ( )2

4 h xk ya −=−

Esta última expresión representa la ecuación de la parábola convértice en ( )k hV ; y eje de la parábola paralelo al eje de lasordenadas.-En el caso especial de que el vértice fuera: ( )0;0V . La ecuaciónadopta la forma: 24 xay =

Los elementos característicos de la parábola determinada son:

Vértice: ( )k hV ; La Longitud del Lado recto . Se calcula como : LLR=4a yse define como la distancia que hay entre los puntos quecortan a la parábola a trazar una perpendicular al eje quepase por el foco.-

La parábola puede adoptar distintas posiciones según los ejes,por lógica las ecuaciones sufren modificaciones que se puedenresumir en el siguiente cuadro, en el cual se denotan losdistintos elementos característicos de las parábolas según suposición.-

Ecuación:( ) ( )24 h xak y −=−

Vértice:( )k hV ;

Foco:( )ak hF +;

Posición:

Fk a

D a D

h

LLR:

a LLR 4=

Ec. Directriz

ak y −=


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Ecuación:( ) ( )24 h xak y −−=−

Vértice:( )k hV ;

Foco:( )ak hF −;

Posición:

D Dk

F

h

LLR:a LLR 4=

Ec. Directrizak y +=

Ecuación:( ) ( )24 k yah x −=−

Vértice:( )k hV ;

Foco:( )k ahF ;+

Posición:D

a a

k F

D h

LLR:a LLR 4=

Ec. Directrizah −=

Ecuación:( ) ( )24 k yah x −−=−

Vértice:( )k hV ;

Foco:( )k ahF ;−

Posición:D

a a

k F

h D

LLR:

a LLR 4=

Ec. Directriz

ah +=

Ejemplo 1:

Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto

−

34

;0 y

por directriz la recta: 034

=− y . Hallar la longitud del lado recto:

Desarrollo :


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Estos datos nos dan la certeza de que el eje de simetría es “y”,razón por la cual la parábola adopta la forma: ay x 42 = .Sea: );( yP un punto genérico de la parábola, podemos plantear:

34

34

)0(2

2 −=

++− y y x se opera algebraicamente y se

obtiene:

y x y x3

160

316 22 −=→=+

3

164 == a LLR Vértice: )0;0(V

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