Le raisonnement math́matique et ses difficult́ s · Emmanuel Sander Professeur de Psychologie du D́veloppement et de l’Education Laboratoire Paragraphe - Equipe CRAC, Université

Resolution de problemeset

developpement des connaissances arithmetiques

Emmanuel Sander

Professeur de Psychologie du Developpement et de l’EducationLaboratoire Paragraphe - Equipe CRAC, Université Paris 8

[email protected]

Le raisonnementmathematique et ses difficultes

• RDP : Lien entre les propriétés mathématiques et les propriétés sémantiques issues de l'environnement

– Des mathématiques vers la sémantique quotidienne : perspective applicative

– De la sémantique quotidienne vers les mathématiques : perspective psychologique, orientée vers les acquisitions de connaissances

• Première partie : Les Connaissances Naïves– Influence de nos conceptions quotidiennes sur la construction

des notions mathématiques• Conception spontanée des notions mathématiques

• Conception spontanée des situations décrites

• Modèle mentaux, simulation mentale

• Deuxième partie : Le Recodage Sémantique– Surmonter des conceptions limitatives pour favoriser le

developpement des notions et le transfert d’apprentissage• Le recodage semantique comme voie vers l’abstraction

• Favoriser la flexibilite cognitive par l’introduction de situation sémantiquement ambiguës

• Première partie : Les Connaissances Naïves– Influence de nos conceptions quotidiennes sur la

construction des notions mathématiques• Conception spontanée des notions mathématiques



LA CIGALE ET LA FOURMI

La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas un seul petit morceau De mouche ou de vermisseau.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine

Hofstadter & Sander, 2013





La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas un seul petit morceau De lion ou de taureau.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine







Jean-Henri Fabre (1823-1915) dans ses "Souvenirs entomologiques" relève les erreurs concernant la cigale : elle ne dispose pour s'alimenter que d'un suçoir et n'a rien à faire de mouches ou de vermisseaux.

Les cigales au stade larvaire se nourrissent de la sève des racines, alors que les adultes aspirent le liquide des branches de divers arbres et arbustes.



La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas une seule goutte de sève à aspirer même en rêve.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine




Fischbein, 1994 ; Lakoff & Nunez, 2000 ; Sander, 2008

• ? = 3+4 3+4 =?

• 3 = 3 7-4 = 3

• 4+5 = 3+6 « Après la fin, il devrait y avoir le résultat et pas un autre problème.

– 2 produits achetés = le deuxième à 50 %

– 1 lunette de vue achetée = 1 lunette de soleil offerte

• Analogie naïve : « L’egalite est le resultat d’un processus »

• Robert Recorde (1557) : I will sette as I doe often in woorke use, a pair

of paralleles, or Gemowe [twin] lines of one length, thus : ===, bicause noe 2

thynges, can be moare equalle

Ginsburg, 1977 ; Kieran, 1981

Connaissance naïve du signe « égal »

• “Inventer un probleme de soustraction dont la solution est 8-3=5”

Connaissance naïve de la soustraction

• “Inventer un probleme de soustraction dont la solution est 8-3=5”

•Paul (Hugo, Théo, Nathan, Léa, Marie, Judith, etc…) a 8 bonbons (billes,

gâteaux, pommes, etc…). Il/Elle en donne (mange, perd, etc…) 3 à

(pendant, etc…). COMBIEN LUI EN RESTE-T-IL ?



• “Inventer un probleme d’addition dont la solution est 5+3=8”

Connaissance naïve de l’addition

• “Inventer un probleme d’addition dont la solution est 5+3=8”

•Paul (Hugo, Théo, Nathan, Léa, Marie, Judith, etc…) a 5 bonbons (billes,

gâteaux, pommes, etc…). Il/Elle en reçoit (gagne, etc…) 3 à (pendant,

etc…). COMBIEN EN A T-IL EN TOUT ?

• “Inventer un problème de soustraction dont la solution est 8-3=5 et

dans lequel on ne perd rien, on ne fait que gagner”


• “Inventer un problème de soustraction dont la solution est 8-3=5 et

dans lequel on ne perd rien, on ne fait que gagner”

Paul a 3 billes. Il en gagne pendant la récréation et maintenant il en a 8. Combien de billes a-t-il gagnées ?


• “Inventer un probleme d’addition dont la solution est 5+3=8 et dans

lequel on ne gagne rien, on ne fait que perdre”

Paul avait des billes. Il en perd 3 pendant la récréation et maintenant il lui en reste 5. Combien de billes avait-il avant la récréation ?

Connaissance naïve de l’addition

Connaissances naïvesde l’addition et de la soustraction

• Additionner, c’est ajouter (deux parties qui forment un tout, ou un accroissement depuis un état initial et une question sur l’etat resultant)

• Soustraire c’est perdre, retirer, enlever (une totalite dont une partie est retranchée, et une question sur la partie subsistante)

• 1998)

Riley, Greeno, Heller, 1983

• “Inventer un probleme de multiplication”

Connaissance naïve de la multiplication

Sander, 2008 ; Hofstadter & Sander, 2013

• “Inventer un probleme de multiplication”

• “Definir l’operation mathematique de multiplication”

• “Est-ce qu’à votre avis multiplier rend plus grand ?”


Sander, 2008 ; Hofstadter & Sander, 2013

Quelques exemples de définitions (étudiants à l’université) :

Une multiplication est une addition réitérée d’un nombre, un nombre de fois donnée.

Multiplier consiste à ajouter à un chiffre donné ce même chiffre autant de fois qu’on le souhaite.

Multiplier, c’est additionner un certain nombre à lui-même autant de fois que le nombre par lequel on le multiplie l’indique.

La multiplication est un calcul dans lequel on choisit combien de fois on additionne une quantité par elle-même.



Bezout (Traité d’arithmétique destiné à la marine et à

l’artillerie, 1821): « Multiplier un nombre par un autre,

c’est prendre le premier de ces deux nombres autant de

fois qu’il y a d’unités dans l’autre »



Multiplier rend plus grand

Si on demande d’inventer un probleme de multiplication, presque tout le monde introduit un nombre entier

Si un gallon d’essence coûte £1,27, combien coûte 0,22 gallon ? (Majorite d’erreurs alors que si on remplace 0,22 par 5, 100% de réussite; Bell, Swann & Taylor, 1981)

Prix de 3 objets à 50 cruzeiros ? vs 50 objets à 3 cruzeiros ?

Pourquoi 3x5=5x3, càd 5+5+5 = 3+3+3+3+3 ?

Definition consensuelle de ce qu’est une multiplication : Additionner une valeur autant de fois qu’indique par l’autre valeur


Brissiaud & Sander, 2010 ; Sander, 2008 ; Schliemann et al., 1998

• “Inventer un problème de division (une et une seule division)”

Connaissance naïve de la division

Hofstadter & Sander, 2013 ; Sander, 2008

• “Inventer un probleme de division (une et une seule division)”

• Une mère achète 20 bonbons pour ses 4 enfants. Combien de

bonbons chacun d’entre eux recevra-t-il ?

• 20/4 = 5



Quelques exemples de problèmes (étudiants à

l’université) :

4 amis se partagent 12 bonbons. Combien de bonbons chaque ami

recevra-t-il ?

Un terrain de 90 m2 doit être divisé en 6 parcelles de superficie

égale. Quelle sera la superficie de chaque parcelle ?

Au marché, une maman achète 20 pommes pour ses 5 enfants.

Combien de pommes chaque enfant aura-t-il ?

Au cinéma, il y a 120 sièges et 10 rangées. Combien y a-t-il de

sièges par rangée ?

Pour les vacances, on prépare 20 kilos de vêtements à mettre dans

4 valises. Combien va peser chaque valise ?

On utilise 12 mètres de tissu pour fabriquer 4 robes. Combien de

mètres de tissu faut-il pour fabriquer une seule robe ?


“Inventer un problème de division (une et une seule

division)”

Problèmes de partage attendus

“Inventer un problème de division (une et une seule

division) dont le résultat soit plus grand que la valeur initiale”

Tâche difficile car elle est incompatible avec l’analogie

du partage, qui conduit toujours à obtenir une quantité

moindre.



Elèves de 6ème et 5ème

• “Inventer un probleme de division”

219

15 16 40

50

100

150

200

250

Sharing O ther Inappropriate P roblem No answer

Success Failure

Audo & Sander, 2008 ; Sander, 2008

200

317

5

24

1 4

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7

“Inventer un probleme de division (une et une seule division) dont le résultat soit plus grand que la valeur initiale”

1: « Impossible ! »2: Possible, mais pas de problème proposé3: Possible, mais valeurs numériques uniquement4: Possible, mais justification erronée5: Invente un problème inapproprié6: Réussite7: Pas de réponse

Une seule réussite sur 254 élèves ! Audo & Sander, 2008 ; Sander, 2008

Etudiants à l’Universite

Tâche 1 (“Inventer un problème de division”) :

93% des problèmes inventés par les adultes sont dérivés de l’analogie “Diviser

c’est partager”

Tâche 2 (“Inventer un problème de division qui rende plus grand”) :

74% échec

27% écrivent “ Impossible ”

23% construisent un problème incompatible avec la consigne

23% posent une opération (exemple : 4/0.2), mais sans énoncé

Audo & Sander, 2008 ; Sander, 2008

« Lorsqu’on a une certaine valeur au début et qu’on

divise, on a forcément moins à la fin ; donc, ce

n’est pas possible. »

« Diviser, c’est répartir en parts égales. Alors,

chacun a moins que ce qu’il y avait au début ;

donc, il est impossible d’inventer un problème où

il y a plus à la fin. »

« Impossible, car diviser c’est découper en plusieurs

morceaux ; pour avoir plus, il faut multiplier. »


« On peut faire 10/0,5 = 20 mais c’est juste un

résultat. On ne peut pas construire de tel

problème, car dans la réalité on partage en 2,

3, 4… c’est-à-dire toujours en plus que 1. »

« Oui, c’est possible – par exemple, 5/0,20 –

mais je ne trouve aucune situation qui va

avec. »

« Lorsqu’on divise par une moitié, on a plus,

mais c’est impossible de diviser par une

moitié. »


Jean a 20 bouteilles de vin. Il en vend la moitié à 8

euros la bouteille. Combien d’argent reçoit-il ?


Si j’ai 3 kilos de farine et que j’utilise 0,5 kilo de farine par

gâteau, combien puis-je faire de gâteaux ?

J’ai 10 euros et un bonbon coûte 0,2 euros. Combien de

bonbons puis-je acheter ?

Combien puis-je découper de bandes de tissus de 0,15 m

dans un rouleau de 3 mètres ?





• Avec 75 roses, on peut faire 5 bouquets identiques. Combien de roses seront dans chaque bouquet ? (93%)

• 15 amis ont acheté 5 kg de cookies. Combien chacun a-t-il reçu ? (28%)

• Si un gallon d’essence coûte £1,27, combien coûte 5 gallons ? (100%)

• Si un gallon d’essence coûte £1,27, combien coûte 0,22 gallons ? (44%)

Fischbein et al., 1985 ; Bell, Swann & Taylor, 1981

Conception spontanée des situations décrites


Inventer un problème dans lequel il est question de 12 oranges et 4 pommes

Inventer un problème dans lequel il est question de 12 oranges et 4 paniers

Bassok, Chase & Martin, 1998


Dans les manuels, pour 97% des problèmes à résoudre par addition, les objets additionnés appartenaient à des catégories de même niveau (e.g., des pommes et des poires, ou des billes rouges et noires) alors que 94% des problèmes demandant une division utilisaient des objets reliés fonctionnellement (e.g., des billes et des boites)

Bassok, Pedigo, & Oskarsson, 2008

• La métaphore de l’habillage …

– et ses limites

• La surface n’est pas seulement source d’interférence …

– mais aussi d’inférence

• Structure induite et structure profonde

– Un vase qui contient des fleurs, un sac qui contient des billes

– Structure additive, structure multiplicative

• Contenu et abstraction de l’encodage

– Un même contenu peut faire l’objet d’une diversité d’encodage

– L’abstraction de l’encodage détermine le champ des transferts entre situations


Bassok & Olseth, 1995 ; Sander, 2007 ; Gamo, Sander & Richard, 2010

• Une infirmière mélange une solution de 6% d’acide borique avec une solution de 12% d’acide borique. Combien lui faut-il de chaque solution pour avoir 4,5 litres de mélange à 8%?

• M. Roberts reçoit 7% d’intérêt comme revenu de ses actions et 11% d’intérêt de ses bons du Trésor. Combien a-t-il sur chaque compte, sachant qu’il a au total 1200 euros et qu’il a eu en moyenne 8% d’intérêt ?

Combinaison (mélange virtuel)

Mélange sans nécessité de dissolution des composants

Mélange avec dissolution des composants

Reed, 1987 ; Sander & Richard, 2005


Transfert : 38%

6%x+12%y = 8%4,5x + y = 4,5

Problème d’entraînement : Les mécaniciens d’IBM doivent s’assurerque les voitures de la société fonctionnent bien. Ce jour-là, il y a 11voitures et 8 mécaniciens. Les mécaniciens choisissent au hasard surquelle voiture ils vont travailler. Ce choix est fait par ordred’anciennete. Quelle est la probabilité que les 3 plus anciensmécaniciens, Al, Bud et Carl, choisissent respectivement les voituresdu chef du conseil d’administration, du président exécutif et du vice-président ?

Solution : 1/(11x10x9)

Ross, 1987, 1989


Problème test 2 : Les mécaniciens d’IBM réparent les voitures descommerciaux de la société. Les commerciaux choisissent au hasard lemécanicien qui réparera leur voiture, le meilleur commercialchoisissant en premier et ainsi de suite. Ce jour là, il y a 14 voitures decommerciaux et 16 mécaniciens. Quelle est la probabilité que lemeilleur mécanicien répare la voiture du meilleur vendeur et que le2ème meilleur mécanicien répare la voiture du 2ème meilleur vendeur ?

Problème test 1 : Les mecaniciens d’IBM reparent les voitures des commerciaux de la société. Les mécaniciens choisissent au hasard sur quelle voiture ils vont travailler, le meilleur mécanicien choisissant en premier et ainsi de suite. Ce jour là, il y a 16 voitures de commerciaux et 5 mécaniciens. Quelle est la probabilité que le meilleur mécanicien choisisse la voiture du meilleur vendeur et que le 2ème meilleur mécanicien choisisse la voiture du 2ème meilleur vendeur ?

Solution : 1/(16x15) ; taux de réussite de 37%

Solution : 1/(16x15) ; taux de réussite de 75%

Ross, 1987, 1989

Test

Entraînement

OP PO PP

OP 89 0 60

PO 33 53 50

PP 67 31 50

Bassok, Wu & Olseth, 1995


• Problème source– Les mécaniciens d’IBM doivent s’assurer que les voitures de la société fonctionnent bien. Ce jour-là, il

y a 11 voitures et 8 mécaniciens. Les mécaniciens tirent au hasard la voiture sur laquelle ils vonttravailler. …

• Problème cible 1– Les mécaniciens d’IBM réparent les voitures des commerciaux de la société. Les mécaniciens tirent au

hasard la voiture sur laquelle ils vont travailler. …

• Problème cible 2

– Les mécaniciens d’IBM réparent les voitures des commerciaux de la société. Les commerciaux tirent auhasard le mécanicien qui réparera leur voiture. …

• Lorsque la distinction animé/inanimé fait office d’indicateur pour réussir le problèmecible 1, que signifie cette réussite ?

• Importance de dissocier la structure induite de la structure profonde pour l’évaluationdes connaissances

– Cela nécessite de mettre en évidence les structures induites

Bassok, Wu & Olseth, 1995

Sander, 2007






Modèle mentaux, simulation mentale

1/ Nicolas va en récréation avec 27 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ?

2/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 27 billes. Combien de billes reste-t-il à Nicolas ?

3/ Nicolas va en récréation avec 4 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ?

4/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 4 billes. Combien de billes reste-t-il à Nicolas ?

Brissiaud & Sander, 2010

1/ Nicolas va en récréation avec 27 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ? (14/20)

2/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 27 billes. Combien de billes reste-t-il à Nicolas ? (8/20)

3/ Nicolas va en récréation avec 4 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ? (8/20)

4/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 4 billes. Combien de billes reste-t-il à Nicolas ? (16/20)



• 1/ Dans un paquet de 200 images, on fait des tas de 50 images. Combien y a-t-il de tas ?

• 2/ On partage 200 images en 50 tas. Combien y a-t-il d’images dans chaque tas ?

• 3/ On partage 200 images en 4 tas. Combien y a-t-il d’images dans chaque tas ?

• 4/ Dans un paquet de 200 images, on fait des tas de 4 images. Combien y a-t-il de tas ?



• 1/ Dans un paquet de 200 images, on fait des tas de 50 images. Combien y a-t-il de tas ? (14/20)

• 2/ On partage 200 images en 50 tas. Combien y a-t-il d’images dans chaque tas ? (4/20)

• 3/ On partage 200 images en 4 tas. Combien y a-t-il d’images dans chaque tas ? (15/20)

• 4/ Dans un paquet de 200 images, on fait des tas de 4 images. Combien y a-t-il de tas ? (5/20)



Modèle hiérarchique des stratégies

• Concerne les apprentissages arithmétiques élémentaires

• La procédure associée à la structure induite est-elle efficiente ?

Base de texte

Modèle de situation

Modèle du problème #1

Procédure

informelle

efficiente ?

OUI

Comptage ou

fait numérique

NON

Modification de la

représentation initiale

Modèle du problème # 2

Opération arithmétique

Solution

numérique


Structure Multiplicative (S1)

1,45

1,07

1,44

0,41

1,33

0,48

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

Conc (d1) Disc (d2) Conc (d1) Disc (d2) Conc (d1) Disc (d2)

S1T1 S1T2 S1T3

Les 6 Types de problèm e

No

te m

oy

enn

e (su

r 2

)

Structure Additive (S2)

1,50

0,75

1,36

0,84

1,25

0,85

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

Conc (d1) Disc (d2) Conc (d1) Disc (d2) Conc (d1) Disc (d2)

S2T1 S2T2 S2T3

Les 6 types de problèm e

No

te m

oy

enn

e (su

r 2

)

• Madame Durand a 30 images. Elle partage ces images entre 3 enfants pour que chacun ait la même chose. Combien d’images chaque enfant va-t-il recevoir ?

– Induit une structure de partage et la procédure X+X+X=30

• Monsieur Dupont a 30 gâteaux. Il partage ces gâteaux entre 10 enfants pour que chacun ait la même chose. Combien de gâteaux chaque enfant va-t-il recevoir ?

– Même structure de partage mais la procedure associee X+X+………+X = 30


Modèle hiérarchique des stratégies


construction des notions mathématiques

• Deuxième partie : Le Recodage Sémantique– Surmonter des conceptions limitatives pour favoriser le

developpement des notions et le transfert d’apprentissage

La resolution de probleme repose sur l’analyse semantique des proprietes d’une situation qui relevent d’une même operation et de ce fait elle est essentielle pour donner du sens à l’operation

Chercher l’operation mene souvent à l’echec ; ce qui est souhaitable, c’est de faire l’analyse profonde de l’enonce, eventuellement avec recodage sémantique

Une voie est de développer la flexibilité représentationnelle : capacité à envisager la même situation sous plusieurs perspectives de manière à favoriser la stratégie la plus efficiente selon le contexte

Sander & Fort, 2014Gamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Sander, Richard, 2010

Hofstdater & Sander, 2013

Paul perd 4 de ses 31 billes pendant la récréation. Combien lui en reste-t-il ?

Paul avait des billes en allant à l’ecole. Il en gagne 4 pendant la recreation et maintenant il en a 31. Combien de billes Paul avait-il avant la récréation ?

Paul a 4 billes. Mathieu a 31 billes. Combien de billes manque-t-il à Paul pour qu’il en ait autant que Mathieu ?

Paul a 4 billes. Il en gagne pendant la récréation et maintenant il en a 31. Combien de billes a-t-il gagnées ?

Paul a 4 billes de moins que Mathieu. Mathieu a 31 billes. Combien de billes Paul a-t-il ?

Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?

Gamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014

15-7 = 8 (classeur) ; 15-3 = 12 (Laurent) ; 12-8 = 4 (équerre)

L’equerre coûte 4 euros





Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s’est arrêtee 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?







15-7 = 8 (début) ; 15-3 = 12 (arrêt Laurence) ; 12-8 = 4 (durée)

Jeanne a suivi ses cours de danse pendant 4 ansGamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014





15-7 = 8 (début) ; 15-3 = 12 (arrêt Laurence) ; 12-8 = 4 (durée)MAIS AUSSI 7-3 = 4


15-7 = 8 (classeur) ; 15-3 = 12 (Laurent) ; 12-8 = 4 (équerre)MAIS AUSSI 7-3 = 4




15-7 = 8 (début) ; 15-3 = 12 (arrêt Laurence) ; 12-8 = 4 (durée)MAIS AUSSI 7-3 = 4


Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtee à 15 ans. Jeanne a commence au même âge que Laurence et s’est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?


1 calcul 3 calculs

Achat 5% 95%

Cours 70% 30%




Gros, Thibaut & Sander, 2015

Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtee à 15 ans. Jeanne a commence au même âge que Laurence et s’est arrêtee 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?


Gros, Thibaut & Sander, 2015

3 calculs

Structure profonde

P2

P1P3

T2T1

P3

P2

P1

T2

T1P2 T2 T1

P1

P3

Structure induisant un schéma partie-toutInférence de complément

Structure induisant un schéma de comparaisonInférence de comparaison

1 calcul

Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s’est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?

Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’équerre ?

Apprentissage par comparaison pour provoquer un recodage sémantique

En s’appuyant sur des contenus adaptes, on peut faire acquerir à des enfants d’ecole primaire des points de vue « invisibles » à des adultes, voire à des enseignants

Un apprentissage fondé sur la comparaison entre procédures peut favoriser un recodage sémantique

Pré-test; Apprentissage (pour les groupes expérimentaux); Post-test

Gamo, Sander & Richard, 2010

• Pierre est au 3ème étage. Il veut rejoindre Paul qui est au 21ème etage. Combien d’etages doit-il monter ?

• Jean avait 21 bonbons. Il en a donné 18 à ses amis. Combien reste-t-il de bonbons à Jean ?

Problème de combinaison

Paul a 5 billes rouges et 3 billes bleues.Combien de billes a-t-il au total ?

Partie 1: 5 billes rouges

Partie 2: 3 billes bleues

Tout : toutes les billes de Paul

Problème de transformation

Paul a 5 billes. Il gagne 3 billes de plus durant la récréation. Combien Paul a-t-il de billes après la récréation ?

Etat initial : 5 billes (avant la

récréation)

Transformation : 3 billes de plus

durant la récréation

Etat final : les billes de Paul après la

récréation

P1

P2Tout

I FT

Sander & Fort, 2014

Problème de combinaison

Partie 1: 3 ampoules allumées

Partie 2: des ampoules allumées

ensuite

Tout : 32 ampoules allumées

Problème de transformation

Etat initial : 3 ampoules allumées

Transformation : des ampoules

allumées ensuite

Etat final : 32 ampoules allumées

I F

T

P1

P2Tout

Sander & Fort, 2014

• Problème de combinaison

Partie 1: 39 billes rouges perdues

Part 2: 4 billes bleues restantes

Tout : Les billes de Pierre avant la

récréation

• Problème de Transformation

Etat initial : Les billes de Pierre avant

la récréation

Transformation : 39 billes (rouge)

Etat final : 4 billes (bleues)

I F

C

P1

P2Tout

Sander & Fort, 2014

• Problème de combinaison

Partie 1: 39 billes perdues

Part 2: 4 billes restantes

Tout : Les billes de Pierre avant la

récréation

• Problème de Transformation

Etat initial : Les billes de Pierre avant

la récréation

Transformation : 39 billes

Etat final : 4 billes

I F

C

P1

P2Tout

Sander & Fort, 2014

Contrôle (C) (N=115) Experimental (E) (N=111)

CE1 (N=78)MOY (7A 6M)

39 39

CE2 (N=148)MOY (8A 7M)

76 72

Prétest Problèmes de complémentProblèmes de transformation

Apprentissage Problèmes « Classiques »

Problèmes« Flexibles »

Posttest Problèmes de complémentProblèmes de transformation

Sander & Fort, 2014

Evolution entre prétest et posttest

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

CE1 GE GC CE2 GE GC

Sander & Fort, 2014

• Bibliographie du diaporama (1)

• Audo, S., & Sander, E. (2008). Les sources de difficulté dans la résolution de problèmes de division. Congrès de la Société Française de Psychologie, Bordeaux, septembre 2008.

• Bassok, M., Chase V.M., Martin S.A (1998). Adding and Oranges: Alignment of Semantic and Formal Knowledge. Cognitive Psycholoy 35, 99-134.

• Bassok, M., Pedigol, F., & Oskarsson, An T. (2008). Priming Addition Facts With Semantic Relations. Learning, Memory, and Cognition, 34, 343-352.

• Bassok, M., & Olseth, K.L. (1995). Object-based representations: Transfer between cases of continuous and• discrete models of change. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory and Cognition, 21, 1522-• 1538.• Bassok, M., Wu, L.L., & Olseth, K.L. (1995). Judging a book by its cover: Interpretative effects of content on• problem-solving transfer. Memory and Cognition, 23, 354-367.• Bell, A., Swann, M., & Taylor, G. (1981). Choice of operation in verbal problems with decimal numbers. Educational Studies in

Mathematics, 12, 399-420.• Brissiaud, R., & Sander, E. (2010). Arithmetic word problem solving: a Situation Strategy First Framework. Developmental

Science, 13(1), 92-107.• Fischbein, E., (1994). Tacit models. In D. Tirosh (Ed.), Implicit and explicit knowledge: An educational• approach (pp. 97-109). Norwood, NJ: Ablex Publishing Corporation.• Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S., & Marino, M. S. (1985). The role of implicit models in solving verbal• problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16, 3-17• Gamo, S., Nogry, S., & Sander, E. (2014). Réduire les effets de contenus en résolution de problèmes pour favoriser la

construction d’une representation alternative. Cahiers des Sciences de l’Education – Université de Liège (aSPe), 36, 35-65.• Gamo, S., Sander, E., & Richard, J-F. (2010). Transfer of strategies by semantic recoding in arithmetic problem solving. Learning

and Instruction, 20, 400-410.• Gamo, S., Taabane L., & Sander, E. (2011). Rôle de la nature des variables dans la résolution de problèmes additifs complexes,

L’Année psychologique, 111 (4), 613-640.• Ginsburg, H. (1977). Children’s arithmetic. New York : Van Nostrand.• Gros, H., Thibaut, J-P., & Sander, E. (2015). Robustness of semantic encoding effects in a transfer task for multiple-strategy

arithmetic problems. Proceedings of the 37th Annual Meeting of the Cognitive Science Society, Pasadena, California, USA, pp. 818-823.

• Hofstadter, D., & Sander, E. (2013). L’Analogie : cœur de la pensée. Paris, Odile Jacob. (version française) Surfaces and Essences: Analogy as the fuel and fire of thinking. New York, Basic Books. (version anglaise)

• Bibliographie du diaporama (2)

• Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, 317-326.

• Lakoff, G., & Nunez, R. (2000). Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings• Mathematics into Being. New York: Basic Books.• Recorde, R. (1557). Whetstone of Witte. New York, Da Capo (republié en 1969).• Reed, S.K. (1987). A structure mapping model for word problems. Journal of Experimental Psychology:• Learning Memory and Cognition, 13, 124-139.• Riley, M. S., Greeno, J. G., & Heller, J. I. (1983). Development of children’s problem solving ability in• arithmetic. In H. P. Ginsburg (Ed.), The development of mathematical thinking. New York: Academic Press.• Ross, B.H. (1987). This is like that: the use of earlier problems and the separation of similarity effects. Journal of

Experimental Psychology: Learning, Memory and Cognition, 13, 629-639.• Ross, B.H. (1989). Distinguishing types of superficial similarities: different effects on the access and use of• earlier problems. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory and Cognition, 15, 456-468.• Sander, E. (2007). Manipuler l’habillage d’un probleme pour evaluer les apprentissages, Bulletin de psychologie,

60, 119-124.• Sander, E. (2008). Les connaissances naïves en mathématiques. Dans J. Lautrey, S. Rémi-Giraud, E. Sander et

A. Tiberghien, Les connaissances naïves (pp. 57-102). Paris, Armand Colin.• Sander, E., & Fort, C. (2014). Semantic ambiguity as basis for promoting learning in the case of arithmetic

problem solving. Proceedings of ICAP 2014, 28th international congress of applied psychology, 8-13 July 2014, Paris.

• Sander, E., & Richard, J-F. (2005). Analogy and transfer: encoding the problem at the right level of abstraction. Proceedings of the 27th Annual Conference of the Cognitive Science Society, Stresa, Italy, pp. 1925-1930.

• Schliemann, A. D., Araujo, C., Cassundé, M. A., Macedo, S., & Nicéas, L. (1998). Use of multiplicative commutativity by school children and street sellers. Journal for Research in Mathematics Education, 29, 422-435.

• References bibliographiques d’approfondissement

• Bassok, M, Chase, V. M, & Martin, S. A. (1998). Adding apples and oranges: Alignment of semantic and formalknowledge. Cognitive Psychology, 35, 99-134

• Brissiaud, R., & Sander, E. (2010). Arithmetic word problem solving: a Situation Strategy First Framework. Developmental Science, 13(1), 92-107.

• Fischbein, E., (1989). Tacit models and mathematical reasoning, For the Learning of Mathematics, 9, 9-14. • Gamo, S., Sander, E. & Richard, J.-F. (2010). Transfer of strategy use by semantic recoding in arithmetic problem

solving. Learning and Instruction, 20, 400-410.• Gamo, S., Nogry, S., & Sander, E. (2014). Apprendre à resoudre des problemes en favorisant la construction

d'une representation alternative chez des eleves scolarises en education prioritaire. Psychologie française, 59(3), 215-229.

• Gamo, S., Taabane, L., & Sander, E. (2011). Rôle de la nature des variables dans la résolution de problèmes additifs complexes. L’année psychologique, 111, 613-640.

• Hofstadter, D., & Sander, E. (2013). Les analogies naïves. In D. Hofstadter et E. Sander, L’Analogie (pp. 465-526). Paris, Odile Jacob.

• Richland, L. E., Stigler, J. W., & Holyoak, K. J. (2012). Teaching the conceptual structure of mathematics. Educational Psychologist, 47, 189-203.

• Sander, E. (2008). Les connaissances naïves en mathématiques. In J. Lautrey, S. Rémi-Giraud, E. Sander & Tiberghien, A. (Eds.). Les connaissances naïves (pp. 57-102). Paris, Armand Colin.

• Sophian, C. (2007). The origins of mathematical knowledge in childhood. New-York: Routledge• Thevenot, C., & Oakhill, J. (2006), Representations and strategies for solving dynamic and static arithmetic word

problem: The role of working memory capacities Quarterly Journal of Experimental Psychology-A, 58 (7), 1311-1323.

• Vicente, S., Orrantia, J., & Verschaffel, L. (2007). Influence of situational and conceptual rewording on wordproblem solving. British Journal of Educational Psychology, 77(4), 829-848.

Resolution de problemeset

developpement des connaissances arithmetiques

Emmanuel Sander

Professeur de Psychologie du Developpement et de l’EducationLaboratoire Paragraphe - Equipe CRAC, Université Paris 8

[email protected]

Le raisonnement mathematique et ses difficultes

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Le raisonnement math́matique et ses difficult́ s · Emmanuel Sander Professeur de Psychologie du D́veloppement et de l’Education Laboratoire Paragraphe - Equipe CRAC, Université