LECCIÓN 3.1 secuencias aritméticas - High School …math.kendallhunt.com/documents/daa2/CLS/DAA2CLS_011_03.pdf · 1 unidad mayor que el punto anterior, ... El Ejemplo B en tu libro

Ecuaciones lineales ysecuencias aritméticas

L E C C I Ó N

3.1CONDENSADA

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 3 23©2010 Key Curriculum Press

(continúa)

En esta lección

● escribirás fórmulas explícitas para secuencias aritméticas

● escribirás ecuaciones lineales en forma de intersección

En el Capítulo 1 aprendiste las fórmulas recursivas. Usar una fórmula recursiva para hallar un término alejado en la secuencia puede resultar tedioso. Por ejemplo, para hallar el valor de u 72 , primero tienes que hallar los valores de u1 hasta u 71 . Una fórmula explícita te dice cómo calcular cualquier término de la secuencia sin calcular los términos anteriores. Las siguientes fórmulas recursiva y explícita representan la misma secuencia.

Fórmula recursiva Fórmula explícita

u 0 � 5 u n � 5 � 7n

u n � u n�1 � 7 donde n � 1

Usa ambas fórmulas para calcular los primeros términos de la secuencia. ¿Obtienes los mismos resultados? Para hallar el valor de u 72 con la fórmula explícita, sustituye n por 72: u72 � 5 � 7(72) � 509. Para saber más sobre las fórmulas explícitas, lee el texto hasta el Ejemplo A en tu libro. Después analiza el siguiente ejemplo.

EJEMPLO Considera la secuencia aritmética definida recursivamente.

u 0 � 13

u n � u n�1 � 3 donde n � 1

a. Halla una fórmula explícita para la secuencia.

b. Usa la fórmula explícita para hallar u17.

c. Halla el valor de n de modo que u n � �50.

� Solución a. Para generar los términos, empiezas en 13 y restas 3 para hallar cada término:

u 0 � 13

u 1 � 10 � 13 � 3 � 13 � 3 � 1

u 2 � 7 � 13 � 3 � 3 � 13 � 3 � 2

u 3 � 4 � 13 � 3 � 3 � 3 � 13 � 3 � 3

Cada término es igual a 13 menos 3 multiplicado por el número del término. Por lo tanto, la fórmula explícita para el enésimo término es:

u n � 13 � 3n

b. Empieza con la fórmula explícita y sustituye n por 17.

u17 � 13 � 3(17) � �38

Lección 3.1 • Ecuaciones lineales y secuencias aritméticas (continuación)

24 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

©2010 Key Curriculum Press

(continúa)

c. Sustituye u n por �50 en la fórmula explícita y resuelve para n.

�50 � 13 � 3n Sustituye u n por �50.

�63 � �3n Resta 13 de ambos lados.

n � 21 Divide ambos lados por �3.

La variable n en la fórmula explícita u n � 13 � 3n representa

x

y

642–2

12

10

8

6

4

2

–2

(0, 13)

(1, 10)

(2, 7)

(3, 4)

(4, 1)

(5, –2)

un número entero. Por lo tanto, si representas gráficamente la secuencia de pares ordenados �n, u n �, obtienes un conjunto de puntos discretos.

Los puntos están en una recta que tiene una pendiente igual a �3, la diferencia común de la secuencia aritmética. El punto (0, 13), que se corresponde con el término inicial de la secuencia, es la intersección y de la recta. Por lo tanto, la ecuación para la recta que pasa por los puntos es y � 13 � 3x ó y � �3x � 13.

En este curso usarás x e y para escribir ecuaciones lineales, y n y u n para escribir fórmulas recursivas y explícitas en secuencias de puntos discretos.

Investigación: Punto de correspondenciaPaso 1 La investigación en tu libro tiene tres fórmulas recursivas, tres gráficas y tres ecuaciones lineales. Agrupa las fórmulas, gráficas y ecuaciones que se correspondan. Si falta una fórmula, una gráfica o una ecuación, deberás crearla. Cuando termines, lee las respuestas y las explicaciones a continuación.

1, B, y � 4 � x: La secuencia de la Fórmula 1 tiene un valor inicial de 4 y una diferencia constante de �1. Por lo tanto, la gráfica debe tener un punto en (0, 4) y después cada punto subsiguiente debe ser 1 unidad menor que el punto anterior. La Gráfica B se ajusta a esta descripción. El valor inicial, 4, es la intersección y de la recta que pasa por los puntos, y la diferencia constante, �1, es la pendiente. Por lo tanto, la ecuación lineal es y � 4 � x.

2, C, iii: La secuencia de la Fórmula 2 tiene un valor inicial de 2 y una diferencia constante de 5. Por lo tanto, la gráfica debe tener un punto en (0, 2) y después cada punto subsiguiente debe ser 5 unidades mayor que el punto anterior. La Gráfica C se ajusta a esta descripción. El valor inicial, 2, es la intersección y de la recta que pasa por los puntos y la diferencia constante, 5, es la pendiente. Por lo tanto, la ecuación lineal es y � 2 � 5x, que es la Ecuación iii.

3, ve la gráfica de la derecha, i: La secuencia de la Fórmula 3

x

y

108642–2

6

4

2

–2

–4

tiene un valor inicial de �4 y una diferencia constante de 3. Por lo tanto, la gráfica debe tener un punto en (0, �4) y después cada punto subsiguiente debe ser 3 unidades mayor que el punto anterior, como muestra la gráfica de la derecha. El valor inicial, �4, es la intersección y de la recta que pasa por los puntos y la diferencia constante, 3, es la pendiente. Por lo tanto, la ecuación lineal es y � �4 � 3x, que es la Ecuación i.

Lección 3.1 • Ecuaciones lineales y secuencias aritméticas (continuación)


A, u 0 � 3 y u n � u n�1 � 2 donde n � 1, y � 3 � 2x: La Gráfica A tiene un punto en (0, 3) y después cada punto subsiguiente debe ser 2 unidades mayor que el punto anterior, por lo tanto la secuencia que se corresponde con la Gráfica A tiene un valor inicial de 3 y una diferencia constante de 2. Esta secuencia tiene una fórmula recursiva u 0 � 3 y u n � u n�1 � 2 donde n � 1. La recta que pasa por los puntos de la Gráfica A tiene una pendiente de 2 y una intersección y en 3, por lo tanto la ecuación es y � 3 � 2x.

ii, u 0 � 4 y u n � u n�1 � 1 donde n � 1, ve la gráfica de la derecha:

x

y

108642–2

6

4

2

–2

10

8

La secuencia que se corresponde con la Ecuación ii tiene un valor inicial de 4 y una diferencia constante de 1, por lo tanto su fórmula es u 0 � 4 y u n�1 � 1 donde n � 1. La gráfica de la secuencia tiene un punto en (0, 4) y después cada punto subsiguiente es 1 unidad mayor que el punto anterior, como se muestra en la gráfica de la derecha.

Paso 2 El valor inicial de una secuencia aritmética es la intersección y de la recta que pasa por los puntos y el valor de a en la ecuación de la recta, que es y � a � bx. La diferencia común de una secuencia aritmética es la pendiente de la recta que pasa por los puntos y el valor de b en la ecuación de la recta, que es y � a � bx.

Paso 3 Los puntos �n, u n � de una secuencia aritmética siempre son colineales porque para llegar de un punto al siguiente, siempre se avanza 1 unidad hacia adelante y b unidades hacia arriba, donde b es la diferencia constante. Por consiguiente, la pendiente entre cualesquier dos puntos es b, por lo tanto deben estar en la misma recta.

El Ejemplo B en tu libro te permite practicar más las fórmulas explícitas y ecuaciones lineales. Analiza el ejemplo por tu cuenta y después lee el resto de la lección.

De nuevo pendientes

(continúa)


En esta lección

● usarás la fórmula de la pendiente

● realizarás un experimento y hallarás una recta que se ajuste a los datos

● identificarás la variable dependiente, la variable independiente, el dominio y el rango de una relación

En cursos anteriores de matemáticas, aprendiste que la fórmula para la pendiente de la recta entre dos puntos �x1, y1� y �x2, y2� es:

pendiente � y 2 � y

1 ________

x 2 � x

1

donde x1 � x2.

Para cualesquier dos puntos en la misma recta, obtendrás la misma pendiente. En otras palabras, una recta tiene una sola pendiente.

Las rectas horizontales son las únicas rectas que tienen dos puntos con el mismo valor y. (De hecho, cada punto en una recta horizontal tiene el mismo valor y.) Puedes ver con la fórmula que la pendiente de una recta horizontal es 0.

Las rectas verticales son las únicas rectas que tienen dos puntos con el mismo valor x. (De hecho, cada punto en una recta vertical tiene el mismo valor x.) La pendiente de una recta vertical es indefinida porque el denominador en la fórmula de la pendiente es 0.

Como sabes, cuando una ecuación lineal se escribe en forma de intersección y, y � a � bx, la pendiente de la recta es b, el coeficiente de x. Muchos libros usan la letra m para representar la pendiente, pero nosotros usaremos la letra b.

Cuando los datos reales muestran una tendencia lineal, puedes ajustar una recta a los datos. A menos que los datos sean exactamente lineales, la pendiente de la recta dependerá de los puntos que elijas para trazar la recta que pase por ellos.

Cuando analizas la relación entre dos variables, debes decidir qué variable expresar en términos de la otra. Cuando una variable depende de otra, se llama variable dependiente. La otra variable se llama variable independiente. También debes pensar en el dominio y el rango de la relación. El dominio es el conjunto de valores x posibles y el rango es el conjunto de valores y posibles.

Investigación: Despegue del globo En esta investigación, escribirás una ecuación para la distancia entre un cohete-globo y un sensor como una función de tiempo.

Lee el Procedure Note (Nota del procedimiento) y los Pasos 1 y 2 en tu libro. Si tienes los materiales para hacer el experimento y un amigo que te pueda ayudar, reúne tus propios datos. De lo contrario, usa los datos de muestra de la página siguiente. Completa los pasos por tu cuenta antes de leer los resultados de la página siguiente.

L E C C I Ó N

3.2CONDENSADA

Lección 3.2 • De nuevo pendientes (continuación)



Tiempo (s) x

Distancia (m) y

0 0.132667

0.05 0.132099

0.1 0.191364

0.15 0.276836

0.2 0.368507

0.25 0.473591

0.3 0.664749

0.35 0.941310

0.4 1.091230

0.45 1.298230

0.5 1.518573

0.55 1.744151

0.6 1.999602

0.65 2.365544

0.7 2.394023

Paso 3 Ésta es una gráfica de los datos, donde el tiempo es la variable independiente. El dominio de los datos es 0 � x � 0.7 y el rango es 0.132009 � y � 2.394023. El dominio indica los segundos en que el cohete está en movimiento. El rango indica la distancia que viaja.

Pasos 4 y 5 Usaremos A(0.05, 0.132099), B(0.3, 0.664749), C(0.5, 1.518573) y D(0.65, 2.365544) como puntos representativos.

Pendiente entre A y B: 2.1306 Pendiente entre B y C: 4.2691

Pendiente entre A y C: 3.0812 Pendiente entre B y D: 4.8594

Pendiente entre A y D: 3.7224 Pendiente entre C y D: 5.6464

Paso 6 Las estimaciones de la pendiente son distintas porque los cuatro puntos no están en la misma recta. La media de las pendientes es 3.9515 y la mediana es 3.9958. No hay moda. La media y la mediana están muy cerca. Cualquiera podría ser una opción razonable para la pendiente representativa. Usaremos la media.

Paso 7 La pendiente indica que la distancia entre el cohete y el sensor aumenta 3.9515 metros por segundo. En otras palabras, la velocidad del cohete es de aproximadamente 3.95 metros por segundo.

Ahora, analiza el ejemplo en tu libro.

En esta lección

● trazarás una recta de ajuste para un conjunto de datos

● hallarás la ecuación para la recta de ajuste y la usarás para hacer predicciones

Cuando representas gráficamente datos reales, a veces los puntos muestran una tendencia lineal. Sin embargo, es poco probable que todos los puntos estén en una recta. Depende de ti hallar una recta que resuma o modele los datos. Una recta que se ajusta razonablemente bien a un conjunto de datos se llama recta de ajuste.

Las pautas dadas en la sección “Finding a Line of Fit” de tu libro te ayudarán a hallar una recta que se ajuste a un conjunto de datos de modo razonable. Una vez que traces una recta de ajuste, puedes escribir una ecuación que se aproxime a la relación entre las variables. Puedes usar la ecuación para predecir los valores que están entre los puntos de datos y los que están más allá de éstos.

Si conoces la pendiente y la intersección y de una recta, puedes escribir fácilmente la ecuación en forma de intersección y, sea y � a � bx. Cuando sólo conoces las coordenadas de dos puntos sobre la recta o la pendiente y las coordenadas de un punto, puedes escribir una ecuación en forma de punto-pendiente. Esta forma se resume en “Point-Slope Form” de tu libro. Lee esta información atentamente.

El ejemplo en tu libro muestra cómo ajustar una recta a un conjunto de datos y después usar la ecuación de la recta para hacer predicciones. Analiza el ejemplo. Observa que en la parte b te piden hacer una predicción para un valor más allá del último año enumerado en la tabla. El proceso que usa un modelo para hacer una predicción más allá del primer o último punto de datos se llama extrapolación. Hallar un valor entre los puntos de datos dados se llama interpolación. Por lo tanto, por ejemplo, si tuvieras que predecir la concentración de CO2 en 1991, usarías la interpolación.

Investigación: La olaEs probable que hayas visto a los aficionados en los eventos deportivos hacer una “ola” al levantarse rápida y sucesivamente con los brazos levantados y después volver a sentarse. En esta investigación hallarás una ecuación para modelar la relación entre el número de personas y el tiempo necesario para completar la ola.

Esta tabla muestra los datos de la ola reunidos en una clase usando las instrucciones del Paso 1.

Número de personas x

2 5 6 8 9 10 15 16 22

Tiempo (s)y

2.1 4.4 5.2 5.8 4.7 6.7 7.5 10.4 11.0

Usa estos datos de muestra y tu libro para analizar los Pasos 2 y 3 de la investigación. Luego mira los ejemplos de respuestas de la página siguiente.


(continúa)

Ajuste de una recta a los datos

L E C C I Ó N

3.3CONDENSADA

Lección 3.3 • Ajuste de una recta a los datos (continuación)



Paso 2 A la derecha está la gráfica de los datos

x

y

6 8 10 12 14 16 18 20 22420

12

10

8

6

4

2

Número de personas

Tie

mp

o (s

)

con una recta de ajuste razonable. Tu recta de ajuste es probablemente diferente.

La recta pasa por los puntos (5, 4) y (18, 10),

por lotanto su pendiente es 10 � 4�18 � 5 � �1

63�.

La forma punto-pendiente de la ecuación (usando el punto (5, 4)) es:

La variable y (“y estimado”) seusa en lugar de y para indicar queésta es una recta de predicción.

ˆ

y 4 613

(x 5)� � �___

La pendiente de la recta, �163�, o aproximadamente 0.46, significa que por cada

nueva persona que participa, el tiempo necesario para completar una ola se incrementa en 0.46 segundos.

Para hallar la intersección y, vuelve a escribir la ecuación en forma de intersección y.

y � 4 � �163�(x � 5)

y � �51

23� � �1

63�x � �

31

03�

y � �21

23� � �1

63�x

La intersección y es �21

23�, o aproximadamente 1.69. Esto significa que 0 personas

necesitarían 1.69 segundos para completar la ola. Esto no tiene sentido, por lo tanto la intersección y no significa nada en este contexto.

Para hallar la intersección x, sustituye y por 0 y resuelve para x.

0 � �21

23� � �1

63�x

��131� � x

Esto significa que, en 0 segundos, ��131� personas podrían completar una ola. Esto

no tiene sentido, por lo tanto la intersección x no significa nada en este contexto.

Un dominio razonable para la muestra de datos sería de 0 a 22 personas.

Paso 3 Con esta ecuación, si hubiera 750 estudiantes en una escuela, entonces necesitarían �1

63�(750) � �

21

23� � 348 segundos para completar la ola. Unas 40,000

personas en un gran estadio necesitarían �163�(40,000) � �

21

23� � 18,463 segundos para

completar para la ola. ¡Más de 5 horas!

De hecho, con un grupo grande de personas, la ola va ganando impulso y comienza a viajar más rápido. Por lo tanto, con una gran cantidad de personas, es posible que los datos no sean lineales.

En esta lección

● ajustarás la recta mediana-mediana a un conjunto de datos

Hasta ahora, has ajustado las rectas a los datos “a ojo”—es decir, al ver el patrón de los puntos, trazas una recta que consideras un buen ajuste. Es probable que tú y los demás estudiantes hayan hallado a menudo diferentes ecuaciones para el mismo conjunto de datos.

Existen más métodos formales para hallar una recta de ajuste. En esta lección, aprenderás un procedimiento para hallar la recta mediana-mediana. Si tú y los demás estudiantes siguen el procedimiento correctamente, todos obtendrán la misma recta de ajuste para el conjunto de datos dado.

El texto que precede el ejemplo en tu libro explica cómo hallar la recta mediana-mediana. Lee ese texto y después analiza atentamente el ejemplo. (Además de leer el ejemplo, debes resolverlo usando lápiz y papel.) Luego repasa los pasos para hallar una recta mediana-mediana dada después del ejemplo.

Investigación: Itinerarios de una aerolíneaEn esta investigación, hallarás una recta mediana-mediana que

x

y

200

0

600

1000

1400

1800

2200

100 200 300Tiempo de vuelo (min)

Dis

tan

cia

de

vuel

o (m

i)

modele la relación entre la distancia de un vuelo de aerolínea y el tiempo de vuelo. Completa por tu cuenta los pasos de la investigación antes de leer el siguiente texto.

Paso 1 Un vuelo de Detroit a Cincinnati demora 64 minutos y cubre 229 millas.

Paso 2 A la derecha está la gráfica de los datos.

Paso 3 Éstos son los pasos para hallar la recta mediana-mediana:

1. Ordena los datos según los valores del dominio. Después divide los datos en tres grupos de igual tamaño. Como los 10 valores no se dividen uniformemente en tres grupos, divídelos en grupos de 3-4-3.

Halla la mediana del valor x y la mediana Destinos

Tiempo de vuelo (min)

Distancia de vuelo (mi)

Cincinnati, OH 64 229

Louisville, KY 67 306

Memphis, TN 104 610

Omaha, NE 120 658

New Orleans, LA 156 938

Denver, CO 180 1129

Houston, TX 189 1092

Phoenix, AZ 248 1671

Los Angeles, CA 288 1979

San Francisco, CA 303 2079

del valor y en cada grupo. Los valores x están ordenados, pero observa que la distancia del vuelo a Denver es más larga que la del vuelo a Houston, a pesar de que el tiempo de viaje es más corto. Nombra los puntos con las medianas de los valores x e y como M1, M2 y M3, respectivamente. M1 es (67, 306), M2 es (168, 1015) y M3 es (288, 1979).

La recta mediana-mediana


(continúa)

L E C C I Ó N

3.4CONDENSADA



Lección 3.4 • La recta mediana-mediana (continuación)

2. Halla la pendiente de la recta que pasa por M1 y M3. Ésta será la pendiente de la recta mediana-mediana.

pendiente � �19

278

98

�� 67

306 � 7.57

3. Halla la ecuación de la recta que pasa por M1 con la pendiente del Paso 2. La ecuación de la recta que pasa por M3 será igual.

y � 306 � 7.57(x � 67) Forma punto-pendiente.

y � 306 � 7.57x � 507.19 Distribuye 7.57.

y � �201.19 � 7.57x Forma de intersección.

4. Halla la ecuación de la recta que pasa por M2 con la pendiente del Paso 2.

y � 1015 � 7.57(x � 168) Forma punto-pendiente.

y � 1015 � 7.57x � 1271.76 Distribuye 7.57.

y � �256.76 � 7.57x Forma de intersección.

5. Halla la media de las intersecciones y de las rectas que pasan por M1, M2 y M3. (Las intersecciones y de las rectas que pasan por M1 y M3 son iguales.)

�201.19 � �201.19 � �256.76 3 � �219.7

Por lo tanto, la ecuación de la recta mediana-mediana es y � �219.7 � 7.57x.

Paso 4 La gráfica muestra los puntos M1, M2 y M3 y la recta

x

y

200

0

600

1000

1400

1800

2200

100 200 300Tiempo de vuelo (min)

Dis

tan

cia

de

vuel

o (m

i)

mediana-mediana.

Paso 5 Éstos son los ejemplos de respuestas a las preguntas a–f:

a. Ejemplos de respuestas: Si x � 300, entonces y � �219.7 � 7.57(300) � 2051; en 300 minutos puedes volar aproximadamente 2050 millas desde Detroit. Si x � 50, entonces y � �219.7 � 7.57(50) � 158.8; en 50 minutos puedes volar aproximadamente 160 millas desde Detroit.

b. (189, 1092) y (64, 229) son los puntos más alejados de la recta mediana-mediana. Otros factores además de la distancia, como los vientos preponderantes, el tamaño y el tipo de avión o la geografía, pueden afectar los tiempos de vuelo.

c. La pendiente indica que la distancia recorrida en 1 minuto es aproximadamente de 7.57 millas, que representa una velocidad total de unas 7.57 mi/min.

d. La intersección y representa las millas recorridas a los 0 minutos, �219.7 millas aproximadamente. Esto representa la distancia que habría recorrido un avión si no hubiera estado en la pista.

e. El dominio es de 64 min � x � 303 min, que incluye todos los tiempos de vuelo. El rango es 229 mi � y � 2079 mi, que incluye todas las distancias de vuelo.

f. Es más sencillo ajustar una recta a ojo, pero la recta medina-mediana da un modelo estándar y constante de los datos.

Predicción y exactitud

En esta lección

● calcularás los residuos y el error cuadrático medio y los usarás para evaluar el ajuste de una recta a un conjunto de datos

Una forma de evaluar con qué exactitud el modelo de la recta describe a un conjunto de datos es observando los residuos, o las distancias verticales entre los puntos del conjunto de datos y los puntos generados por la recta de ajuste.

residuo � valor y del punto de datos � valor y del punto en la recta

Cuanto más cerca esté un punto a la recta, más próximo a cero

y

x

Punto de datos

Punto de datos

Recta de ajuste

Punto pronosticadopor la recta deajuste

Punto pronosticadopor la recta deajuste

Residuopositivo

Residuonegativo

estará su residuo. Un residuo positivo indica que el punto está por encima de la recta. Un residuo negativo indica que está por debajo de la recta. Si una recta se ajusta bien, entonces habrá aproximadamente tantos puntos por encima de la recta como por debajo de ésta, por lo tanto la suma de los residuos será casi cero.

Estudia el Ejemplo A en tu libro que muestra cómo hallar e interpretar los residuos.

Investigación: Experimento de resortePaso 1 La investigación en tu libro describe un experimento en el que fijas diversas masas al extremo de un resorte y después mides la longitud del resorte. Estos datos se reunieron en un experimento similar. Intenta completar los pasos por tu cuenta, antes de leer el siguiente texto.

Masa (g)x

0 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Longitud del resorte (cm)y

6.4 8 8.5 9 9.3 9.8 10.1 10.5 10.7 11 11.6

Paso 2 A la derecha hay una gráfica de los datos con la masa en el eje x, y la longitud del resorte en el eje y. La recta mediana-mediana de los datos, y � 0.037x � 6.29, también está representada gráficamente.

Paso 3 La pendiente indica que la longitud del resorte aumenta aproximadamente 0.037 cm por cada gramo adicional de peso. La intersección y significa que la recta mediana-mediana predice que el resorte mide aproximadamente 6.29 cm de largo cuando no se le añade ningún peso.

Paso 4 Esta tabla muestra los residuos redondeados a los centésimos. (Los valores y se calculan con valores de pendiente e intersección no redondeados.)

x 0 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

y 6.4 8 8.5 9 9.3 9.8 10.1 10.5 10.7 11 11.6

y 6.29 8.15 8.52 8.89 9.26 9.63 10.00 10.38 10.75 11.12 11.49

y � y 0.11 �0.15 �0.01 0.11 0.04 0.17 0.10 0.12 �0.05 �0.12 0.11

(continúa)


L E C C I Ó N

3.5CONDENSADA



Lección 3.5 • Predicción y exactitud (continuación)

a. La suma de los residuos es aproximadamente 0.42, que es bien poco con relación a los valores de y, por lo tanto, el modelo es un buen ajuste.

b. El mayor residuo positivo es aproximadamente 0.17, para 90 g. El residuo negativo con la mayor magnitud es aproximadamente �0.15, para 50 g. Es posible que, para los valores de estos datos, la medida de la longitud del resorte haya sido menos precisa. No obstante, estos residuos no son mucho mayores que los otros residuos, por lo tanto, es poco probable que se produzca un gran error de medición.

c. Este modelo parece ser un buen ajuste para pesos de hasta 140 g. Por lo tanto, si la medida de una longitud fue de 0.2 cm más que la predicción, tendrías que repetir la medición. Sin embargo, es posible que el modelo no sea preciso para pesos mucho mayores.

d. La predicción de longitud para una masa de 160 g es aproximadamente 12.2 cm. Usando el mayor residuo (redondeado a 0.2 cm) para el error posible, 12.2 0.2 cm es una predicción razonable de la longitud.

La gráfica en la página 154 de tu libro ilustra que es posible que la suma de los residuos se aproxime a 0, incluso si la recta es un mal ajuste. Para que una recta sea un buen ajuste, los residuos individuales también deben estar cercanos a 0. Existe, sin embargo, una sola medición que indica lo bien que una recta se ajusta a un conjunto de datos. Esta medición se llama error cuadrático medio (root mean square error). Puedes calcular el error cuadrático medio siguiendo estos pasos:

1. Calcula los residuos. 2. Eleva los residuos al cuadrado. 3. Halla la suma de los cuadrados de los residuos. 4. Divide esta suma por el número de los puntos de datos menos 2. 5. Toma la raíz cuadrada del cociente del paso anterior.

Para saber más sobre el error cuadrático medio, lee el resto de la Lección 3.5 en tu libro. Intenta resolver el problema del Ejemplo B sin ver la solución y después verifica tu respuesta.

En esta lección

● escribirás sistemas de ecuaciones para representar situaciones reales

● resolverás sistemas de ecuaciones usando gráficas y tablas

● resolverás sistemas de ecuaciones usando una forma sencilla de sustitución

Un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen las mismas variables y que se resuelven o estudian simultáneamente se llama sistema de ecuaciones. El Ejemplo A en tu libro muestra un problema real que puedes resolver hallando la solución de un sistema de ecuaciones. El ejemplo muestra que puedes estimar la solución de un sistema representando gráficamente las ecuaciones y hallando el punto donde las gráficas se intersecan, o haciendo una tabla y buscando el valor x para el que los valores y sean iguales. Analiza atentamente el Ejemplo A.

Investigación: Tendencias poblacionalesLee la investigación en tu libro e intenta resolver el problema planteado en el Paso 1. Cuando termines, lee el siguiente texto que describe dos posibles métodos para resolver el problema.

Puedes modelar la población de San José mediante la recta mediana-mediana y � �30,850,000 � 15,870x, donde x es el año e y es la población.

Puedes modelar la población de Detroit mediante la recta mediana-mediana y � �36,331,000 � 17,700x, donde x es el año e y es la población.

Puedes usar una gráfica o una tabla para estimar el año en que las dos ciudades tuvieron la misma población. La gráfica muestra que la población de San José igualó a la de Detroit entre el 2001 y el 2002. En ambas ciudades, la población era aproximadamente 909,000 habitantes.

La tabla muestra que en el 2001 la población de Detroit era mayor que la de San José, pero que en el 2002 era menor. Eso quiere decir que las dos ciudades deben haber tenido la misma población entre el 2001 y el 2002. Para hacer una estimación precisa, tendrías que mostrar incrementos menores en la tabla.


Sistemas lineales

(continúa)

L E C C I Ó N

3.6CONDENSADA



Lección 3.6 • Sistemas lineales (continuación)

Ambos métodos hallaron la misma respuesta. El método de solución que elijas dependerá de qué tan precisa debe ser tu respuesta y de la tecnología disponible.

Has visto que puedes estimar la solución de un sistema usando una gráfica o una tabla. En muchos casos, puedes hallar la solución exacta con métodos simbólicos.

El Ejemplo B en tu libro demuestra un método. Aprenderás otros métodos en la siguiente lección. Analiza atentamente el Ejemplo B y lee el texto a continuación del Ejemplo B. Después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO Josie hace aretes de plata y los vende. Alquiló un puesto en una feria de arte de fin de semana por $325. Los materiales para cada par de aretes le cuestan $6.75 y los vende a $23. ¿Cuántos pares necesita vender en la feria para cubrir los gastos?

� Solución Si x es el número de aretes, entonces puedes escribir estas ecuaciones:

y � 325 � 6.75x Gastos de Josie.

y � 23x Ingresos de Josie.

La gráfica muestra que los ingresos de Josie finalmente exceden sus gastos.

La intersección representa el punto de equilibrio, cuando los ingresos de Josie son iguales a sus gastos. Puedes hallar el punto de equilibrio trazando la gráfica o usando una tabla. También puedes resolver un sistema de ecuaciones. Iguala los lados derechos de las ecuaciones entre sí y resuelve para x.

325 � 6.75x � 23x Cuando los gastos de Josie igualan a sus ingresos.

325 � 16.25x Resta 6.75x de ambos lados.

20 � x Divide ambos lados por 16.25.

Josie necesita vender 20 pares de aretes para cubrir los gastos.

En esta lección

● usarás el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones

● usarás el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones

Esta lección trata dos métodos para resolver los sistemas de ecuaciones: el método de sustitución y el método de eliminación. Es probable que hayas aprendido estas técnicas en un curso anterior de matemáticas. Para revisar y practicar estos métodos, lee el texto en tu libro que precede la investigación. Después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO Resuelve este sistema para x e y.

⎧⎪⎨⎪⎩

y � 5 � �3x

7x � 3y � 7

� Solución Resuelve la primera ecuación para y: y � 5 � 3x. Ahora sustituye y por 5 � 3x en la segunda ecuación.

7x � 3y � 7 La segunda ecuación.

7x � 3(5 � 3x) � 7 Sustituye y por 5 � 3x.

7x � 15 � 9x � 7 Distribuye 3.

�2x � �8 Resta 15 de ambos lados y combina los términos semejantes.

x � 4 Divide ambos lados por �2.

Ahora que sabes el valor de x, sustitúyelo en cualquiera de las ecuaciones para hallar el valor de y.

y � 5 � �3(4) Sustituye x por 4 en la primera ecuación.

y � �7 Multiplica y suma 5 a ambos lados.

La solución del sistema es (4, �7).

Investigación: ¿Cuál es tu sistema?En esta investigación, explorarás las propiedades de diferentes clases de sistemas. Analiza los pasos de la investigación por tu cuenta. Luego lee las soluciones que están a continuación.

Paso 1 Usa el método de eliminación para resolver cada sistema.

a. Resta las ecuaciones para eliminar x. La ecuación resultante es 8y � �16, por lo tanto, y � �2. Sustituye y por �2 en la primera ecuación para obtener 2x � 5(�2) � 6, y halla el valor de x. 2x � 16, por lo tanto, x � 8. La solución es (8, �2).

(continúa)


Sustitución y eliminación

L E C C I Ó N

3.7CONDENSADA

b. Multiplica la primera ecuación por 2 para obtener 6x � 4y � 24. Suma la ecuación resultante a la segunda ecuación. Esto da la ecuación 0 � 0. Esta ecuación es verdadera para cualquier valor de x y de y, por lo tanto, hay infinitas soluciones.

c. Para eliminar x, multiplica ambas ecuaciones de modo que x tenga el coeficiente 12 (ó �12), que es un múltiplo común de 4 y 3.

3(4x �8y � 5) 12x � 24y � 15 Multiplica la primera ecuación por 3.

4(�3x � 6y � 11) �12x � 24y � 44 Multiplica la segunda ecuación por 4.

0 � 59 Suma las ecuaciones resultantes.

La ecuación final, 0 � 59, es falsa para todos los valores de x e y, por lo tanto, el sistema no tiene solución.

d. Multiplica la primera ecuación por 3 para obtener �6x � 3y � 15. Suma la ecuación resultante a la segunda ecuación y obtendrás 0 � 0. Como en 1b, hay infinitas soluciones.

e. Suma las dos ecuaciones para eliminar y. La ecuación resultante es 6x � 12, por lo tanto, x � 2. Sustituye x por 2 en la primera ecuación y halla el valor de y: 2 � 3y � 6, por lo tanto, y � 4 _ 3 . La solución es �2, 4 _ 3 �.

f. Multiplica la primera ecuación por �3 para obtener �3x � �9y � �24. Suma la ecuación resultante a la segunda ecuación para eliminar x. La ecuación resultante, 0 � �28, es falsa, por lo tanto, el sistema no tiene solución.

2a.

x

y

2

4

842 6–6

–4

–4 –2

6

–6

–2

2b.

x

y

2

4

42 6–6

–4

–4 –2

6

–6

–2

2c.

x

y

2

4

42 6–6

–4

–4 –2

6

–6

–2

2d.

x

y

2

4

42 6–6

–4

–4 –2

6

–6

–2



Lección 3.7 • Sustitución y eliminación (continuación)

(continúa)

2e.

x

y

2

4

42 6–6

–4

–4 –2

6

–6

–2

2f.

x

y

2

4

42 6–6

–4

–4 –2

6

–6

–2

Paso 3 Los sistemas de las partes a, b, d y e son consistentes.

Paso 4 Los sistemas de las partes c y f son inconsistentes.

Paso 5 Los sistemas de las partes b y d son dependientes y los sistemas de las partes a y e son independientes.

Paso 6 Si el método de eliminación en una ecuación da un resultado que es siempre verdadero, como 0 � 0, entonces el sistema es consistente y dependiente (las rectas son iguales). Si el método de eliminación da un resultado para x e y, entonces el sistema es consistente e independiente (hay un solo punto de intersección). Si el resultado final no es verdadero, tal como 0 � 24, entonces el sistema es inconsistente (las rectas son paralelas).

Lección 3.7 • Sustitución y eliminación (continuación)


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LECCIÓN 3.1 secuencias aritméticas - High School …math.kendallhunt.com/documents/daa2/CLS/DAA2CLS_011_03.pdf · 1 unidad mayor que el punto anterior, ... El Ejemplo B en tu libro