Luis Felipe Melo Jiménez Director: Gabriel PadillaTeorema de Ramsey para Categorías . Categorías Tipo Ramsey Luis Felipe Melo Director: Gabriel Padilla Si consideramos como morfismos

Luis Felipe Melo Jiménez

Director: Gabriel Padilla

24 de Noviembre de 2010

Categorías tipo Ramsey

Categorías Tipo Ramsey

Luis Felipe Melo Director: Gabriel Padilla

1. Preliminares

Preliminares Ramsey Clásico

Preliminares Categóricos

2. Ramsey desde las categorías

3. Categorías de Ramsey



La teoría de Ramsey involucra variadas ideas matemáticas. Debe su nombre al

matemático Británico Frank Plumpton Ramsey y cuenta con dos características muy

especiales que podríamos sintetizar en dos palabras: sencillez y adaptación. A partir

del simple principio del casillero la teoría de Ramsey se interesa en responder el

siguiente problema general: “¿Cuán grande debe ser cierto objeto matemático para

que al partirlo de cierto modo alguna de sus particiones cumpla una propiedad

dada?” Aunque los comienzos fueron como es natural parte de la teoría combinatoria;

esta sencilla idea se ha adaptado a otros muchos contextos y ha resultado útil en

campos como la teoría abstracta de conjuntos, la teoría de espacios euclideos, teoría

de grafos, espacios vectoriales y la teoría de categorías que nos ocupa aquí.







Dado un conjunto finito designamos por el conjunto de sus

subconjuntos de tamaño

.

E claro que si el tamaño de es menor que entonces .

Notación ,




Dado un conjunto finito designamos por el conjunto de sus

subconjuntos de tamaño

.

E claro que si el tamaño de es menor que entonces .

Notación ,

Sea no vacio un conjunto finito, y sea una función desde

hasta el conjunto de los primeros enteros no negativos

. Llamamos entonces una - de a la

familia , donde para cada entre y .

Definición







Dada una función que determine una r-partición

decimos que , es subconjunto

- de respecto a la -partición si existe

alguna entre y tal que , es decir, si todos sus

subconjuntos de tamaño están en una de las clases definidas

por la función .

Conjunto -







Si la cardinalidad del conjunto es usamos la notación para

indicar que dada una partición cualquiera de índice fijo siempre

existirá algún subconjunto de tamaño al menos tal que es

-homogéneo respecto a la partición dada; es decir, al partir en

partes, siempre habrá algún subconjunto de tamaño al

menos y una tal que .

Si no se cumple la propiedad para los números especificados entonces

usamos la notación , al mínimo número tal que lo

denotamos y lo llamamos, número de Ramsey para la tripla .

Propiedad de Ramsey






Ejemplo rápido de

Pentagrama 2-coloreado sin triángulos monocromáticos








Dados números naturales existe un numero natural

, tal que para cualquier se tiene

.

Notese que el teorema se tiene trivialmente si no se cumple

Teorema de Ramsey Finito







Una categoría es una quíntupla ordenada en donde

y son dos clases de conjuntos llamadas respectivamente objetos y

morfismos de la categoría, y son “asignaciones” que dan a cada

elemento de la clase un único elemento de la clase y por último una

asignación que va desde una subclase de hacia .

es el “producto cartesiano” de las clases, i.e., la clase cuyos

elementos son todos los pares ordenados que podemos formar con

elementos de . Estos objetos cumplen cuatro condiciones

Categoría







Condiciones de la Categoría (1)

i) Empalme: Escribimos , es decir, pertenece a la subclase de

si y solo si , cumplen

y .





i) Empalme: Escribimos , es decir, pertenece a la subclase de

si y solo si , cumplen

y .







ii) Asociatividad de la asignación : se tiene que para

morfismos cualesquiera en .

iii) Condición de Pequeñez: Dados la subclase de los elementos de a

los que les asigna y les asigna forman un conjunto (es decir son

pocos posiblemente el conjunto vacío) este conjunto lo designamos

.

iv) Identidad: Para cada elemento existe un elemento de que deno-

taremos tal que y para morfismos cualesquiera

siempre que la composición tenga sentido según la condición de empalme.








Sean y ℬ categorías, una asignación ℱ que consista de

1. Una asignación que a cada objeto de la categoría asigna un objeto de la

categoría ℬ, .

2. Una familia de funciones .

para todo en los objetos de , es llamada un funtor si cumple con

i) para todo en los objetos de .

ii) para todo y y todo

objetos de .

Funtor







Sean dos funtores, una transformación natural es una tripla

ordenada donde

Transformacion Natural



i. Par cada objeto de , usualmente denotado es un morfismo de .

ii. Para cada morfismo en el siguiente diagrama conmuta



ordenada donde




i. Par cada objeto de , usualmente denotado es un morfismo de .

ii. Para cada morfismo en el siguiente diagrama conmuta



ordenada donde




Ramsey desde las categorías




Una categoría es una subcategoría de la categoría si se cumplen las siguientes

cuatro condiciones.

i. La clase de los objetos de es una subclase de la clase de los objetos de .

ii. La clase de los morfismos de es una subclase de la clase de los morfismos

de .

iii. El dominio, el codominio y las composiciones que hacen los morfismos de

corresponden a los que tienen como objetos de .

iv. Cada -identidad es una -identidad.

Subcategoría







Las categorías son usadas para capturar muchas nociones conjuntistas, por ende es

natural definir una categoría cuyos objetos son la clase de los conjuntos y

cuyos morfismos las funciones, podemos definir nuevas categorías con los mismos

objetos pero distintos morfismos, como que tiene los mismos objetos que

pero usando relaciones. O podemos “quitar” objetos y encontrarnos una nueva

categoría, es el caso de que consiste en los subconjuntos finitos con funciones,

notemos que entre dos objetos de existen los mismos morfismos que cuando

son considerados objetos de lo que no pasa cuando los consideramos objetos

de .

Rel, Set y Fin







Dado un objeto de una categoría, un subobjeto de es un par ordenado

donde es otro objeto de la categoría y es un monomorfismo, es

decir, que se cumple

o en otras palabras es izquierdo cancelable respecto a la composición de

morfismos.

Subobjeto, Monomorfismo







Dados dos objetos de una categoría llamemoslos y vamos a designar por al

conjunto de todos los subobjetos de cuyo primer elemento en la pareja ordenada

sea , en el contexto de las categorías tipo Ramsey lo llamaremos subobjetos de

de índice , no hay que confundir este concepto con .

Subobjetos de de índice ,



Dado un objeto de la categoría y una s-coloracion de los subobjetos de un objeto

cuyo primer elemento sea , es claro que cualquier morfismo

determina una función entre los subobjetos de con primer elemento ,


Dados dos objetos de una categoría llamemoslos y vamos a designar por al

conjunto de todos los subobjetos de cuyo primer elemento en la pareja ordenada

sea , en el contexto de las categorías tipo Ramsey lo llamaremos subobjetos de

de índice , no hay que confundir este concepto con .

Subobjetos de de índice ,







Dada una coloración , tiene un subobjeto monocromático de

orden si la función es constante, a decir, el subobjeto que determina la

función .

Subobjeto Monocromatico




Dada una coloración , tiene un subobjeto monocromático de

orden si la función es constante, a decir, el subobjeto que determina la

función .

Subobjeto Monocromatico







Dados números naturales existe un objeto tal que para

cualquier y cualquier -coloración existe un subobjeto

de índice monocromático respecto a

Teorema de Ramsey para Categorías




Dados números naturales existe un objeto tal que para

cualquier y cualquier -coloración existe un subobjeto

de índice monocromático respecto a

Teorema de Ramsey para Categorías



Si consideramos como morfismos las funciones inyectivas entre

naturales, entendiéndolos como cardinales finitos, tenemos el mismo

teorema finito de Ramsey, podemos considerar otros contextos como

espacios vectoriales y encontrar nuevas interpretaciones del teorema de

Ramsey para categorías.





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